Eötvös Loránd Tudományegyetem

Átírás

1 aa BOOTSTRAP MÓDSZEREK ÉS ALKALMAZÁSAIK Doktori értekezés tézisei VARGA LÁSZLÓ Témavezető: Zempléi Adrás Egyetemi doces, CSc Matematika Doktori Iskola Vezető: Faragó Istvá Alkalmazott Matematika Doktori Program Vezető: Karátso Jáos Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Valószíűségelméleti és Statisztika Taszék Természettudomáyi Kar 2017

2 1. Bevezetés A disszertáció az elméleti/alkalmazott statisztikai eljárások egy számításigéyes családjáról szól: bootstrap módszerekről. A PhD dolgozat több ézőpotot mutat be: vázolja a legfotosabb bootstrap módszereket, megvilágítja az elméleti eredméyek mögött rejlő matematika ehézségeit, új módszerekkel bővíti a bootstrap elméletét és bemutatja azok gyakorlati alkalmazhatóságát. Ez a tézisfüzet agyrészt a disszertáció felépítését követi. A PhD dolgozat a szerző [1], [2] és [3] publikációi yugszik, melyek az elméleti eredméyeket külöböző meteorológiai jeleségek modellezésére alkalmazzák. 2. Fejezetek valószíűségelméletből és statisztikából Ez a szakasz valószíűségelméletből, idősorok elméletéből (stacioárius folyamatok, vektor autoregresszió), a kopulák elméletéből (illeszkedésvizsgálat a Kedall-függvéy segítségével, kopulák homogeitásvizsgálata) és extrém érték elméletből (egy- és kétváltozós maximumo alapuló és küszöbmeghaladási modellek) tartalmaz a későbbi fejezetek számára szükséges megközelítéseket és eredméyeket. 3. Bootstrap módszerek A bootstrap egy redszerit visszatevéses mitavétele alapuló statisztikai eljárás, amit számos statisztikai feladat megoldására lehet haszáli: a beüket érdeklő statisztika eloszlásáak becslésére, torzítás csökketésére, hipotézisvizsgálatra, kofideciaitervallumok és -halmazok készítésére, idősorok előrejelzésére stb. A bootstrap módszereket az elmúlt évszázad utolsó két évtizedébe fejlesztették ki kiváló tudósok. A fő kocepciót Bradley Efro vezette be klasszikus cikkébe ([6]), és azóta köszöhetőe a számos kiterjesztések és általáosításak az egyik legszélesebb körbe elterjedt Mote Carlo módszerré vált. A bootstrap módszerek gyakorlati alkalmazhatósága expoeciálisa megőtt a számítógépes hardware és a programozási yelvek gyors fejlődéséek köszöhetőe. A bevezetését követő évekbe a bootstrap számos korlátjára derült féy, melyek az eredeti kocepció módosításához és regeteg kiterjesztéshez vezettek, így megszületett a paraméteres/félparaméteres bootstrap, reziduális bootstrap, blokk bootstrap, súlyozott bootstrap, dupla/tripla bootstrap és az -bőlm (agolba m-out-of-) bootstrap. Godolkozásomra és ezáltal a disszertációra a [9], [8] és [11] taköyvek gyakorolták a legagyobb hatást A bootstrap alapelve Az i.i.d. bootstrap alapötlete az, hogy az eredeti mitából visszatevéses mitavételezéssel további mitákat veszük. Formálisa felírva, legye X = (X 1,..., X ) T egy 1

3 i.i.d., valószíűségi változókból álló sorozat ismeretle F eloszlásfüggvéyel és legye T = t (X ; F ) egy beüket érdeklő statisztika (például az X mitaátlag). Az X i valószíűségi változók akár vektorváltozók is lehetek ilyekor X mátrix lesz. Redszerit az a fő célkitűzés, hogy T egy bizoyos függvéyéek az eloszlását megbecsüljük, például gyakra va szükségük T szórására vagy egy magas kvatilisére. Adott X mitára, P, E, D 2 ad Cov fogja jelöli a feltételes valószíűséget, a feltételes várható értéket, a feltételes variaciát és a feltételes kovariaciát, például P ( ) = P ( X ). Az i.i.d. bootstrap módszert formalizálhatjuk is: egy adott X mitából mit alaphalmazból m elemű X m = {X 1,..., X m} véletle mitákat veszük: P (X j = X i ) = P (X j = X i X ) = 1 i = 1,..., j = 1,..., m, így a bootstrap mita elemei feltételese függetleek és azoos eloszlásúak leszek. Ezáltal az Xi boostrap mitaelemek közös eloszlását az F (x) = 1 I(X i x) empirikus eloszlásfüggvéy határozza meg. A bootstrap mita agysága redszerit megegyezik az eredeti mita méretével. A következő lépés a statisztika bootstrap verziójáak defiiálása: T m, = t m (X m; F ). Ha az eljárást sokszor megismételjük, akkor T ismeretle G eloszlását a bootstrap verziók G m eloszlásával becsülhetjük. A problémák többségébe a G m-tól függő meyiségek kiszámításához számítógépes szimulációkra va szükség. A matematikai elmélet fejlesztése sorá az egyik legfotosabb szempot aak a vizsgálata (legalább szimulációkkal), hogy a statisztika bootstrap eloszlása elég közel va-e az eredeti eloszláshoz. Azt modjuk, hogy a bootstrap gyegé/erőse kozisztes, ameyibe egy alkalmasa választott metrikába a két eloszlás távolsága sztochasztikusa/egy valószíűséggel 0-hoz tart lásd [14] 3.1 fejezetét a téma bővebb kifejtéséért Blokk bootstrap módszerek Ameyibe adataik összefüggők és stacioáriusak, akkor a blokk bootstrap a legelfogadottabb újramitavételezési módszer; [11] alaposa tárgyalja ezt az eljárást. A blokk bootstrap alapötlete az a szádék, hogy megpróbáljuk az összefüggőséget átörökítei a mitákra. Eek érdekébe egy-egy mitaelem helyett egész blokkokból veszük újabb mitákat, majd ezeket a blokkokat összerakjuk, precízebbe leírva: 1. Tekerjük fel az X 1,..., X adatokat egy körvoalra, azaz defiiáljuk az X t = X tmod() (t Z + ) sorozatot, ahol mod() a "modulo " osztást jelöli. Ez azt jeleti, hogy X k = X k+ = X k+2 =... = X k mide k {1, 2,..., }-re. 2. Határozzuk meg a blokkok kezdőidexeit: az A {1,..., } halmazra kocetrált I 1, I 2,... valószíűségi változó sorozatot. 3. Határozzuk meg a blokkok hosszát: az L 1, L 2,... emegatív egész értékű valószíűségi változó sorozatot. 2

4 4. Defiiáljuk a blokkokat: B(I i, L i ) = { X Ii, X Ii+1,..., X Ii+L i 1} i = 1, 2, Rakjuk össze a blokkokat: X = {B(I 1, L 1 ), B(I 2, L 2 ),...}. A klasszikus blokk bootstrap a mozgó blokk bootstrap (MBB), ahol a blokkméret egy rögzített 1 b egész szám és a blokkokat az eredeti mitából veszik azoos valószíűséggel, azaz a blokkok kezdőidexei egyeletes eloszlásúak az A={1, 2,..., b+1} halmazo. A cirkuláris blokk bootstrap (CBB) midössze ayiba külöbözik az MBBtől, hogy A={1, 2,..., }. A stacioárius blokk bootstrap (SBB) a CBB általáosítása, a blokkméretek függetle geometriai eloszlásúak p (0, 1] paraméterrel. Általáosított blokk bootstrap A PhD dolgozatba egy olya blokk bootstrap módszert vezettük be, amely kiküszöbölte azt a problémát, amit az egész blokkagyságok okoztak a kokrét motivációt lásd a 3.4 fejezetbe. Kiterjesztésükbe a blokkméret valószíűségi változó, a módszer pedig a CBB-t is magába foglalja speciális esetkét. Ameyibe 1 b R, akkor legye az általáosított blokk bootstrap mita a következő. Tekerjük fel most is a mitát egy körvoalra. Tetszőleges k {1, 2,..., } eseté a blokkok legyeek az alábbiak (hosszuk vagy b, vagy b ) : {X k, X k+1,..., X k+ b 1 } 1 b + b valószíűséggel {X k, X k+1,..., X k+ b 1 } b b valószíűséggel ahol b jelöli b felső, míg b az alsó egészrészét. Végül illesszük össze a blokkokat. Az előzőekbe leírt általáosított blokk bootstrap (GBB) "paramétereit" a blokk bootstrap-él bevezetett jelölésekkel is felírhatjuk: 1 b R az elvárt blokkméret, amit előre rögzítük A = {1, 2,..., } I i X Uif(A) i = 1, 2,... feltételese függetleek egymástól P (L i = b ) = 1 P (L i = b ) = b b i = 1, 2,... feltételese függetleek egymástól I i és L j feltételese függetleek mide i és j eseté 1. Állítás. A GBB módszer eseté mide i = 1, 2,...-re azt kapjuk a blokkméretekre, hogy E L i = b és D 2 L i = (b b )(1 b b ). A cirkuláris blokk bootstrap mitához hasolóa a mi általáosított bootstrap miták is redszerit em stacioárius folyamat (az eredeti mitára feltételese). Mostatól fel fogjuk tei, hogy a bootstrap mita hossza megegyezik az eredeti mitamérettel, azaz m =. Defiiáljuk a következő valószíűségi változókat: N s : a b méretű blokkok száma; 3

5 N l : a b méretű blokkok száma; R: a maradék blokkméret hossza, azaz R = N s b N l b. Az alábbi állítás megadja N s eloszlását, amiből N l és R eloszlása már köyedé kiszámolható. 2. Állítás. Legye p = b b, ekkor N s eloszlása a következő: j = 0, 1,..., -re 0 ha (j+1) b egész [ ][( ) ( ) ] b j b p b (1 p) j 1 j + j b 1 j + j b 1 b + b (1 p) ha j b egész P (N s=j) = b ( ) j 1 j j + j b b p j b b (1 p) j egyébkét j b Az alkalmazásokba a bootstrap mitaátlag kovariaciamátrixáak yomára lesz szükség, ebbe segít a következő tétel. 1. Tétel. A bootstrap átlag kovariaciamátrixát az alábbi módo lehet kiszámítai: [ ] Cov (X b) = b 2 2 Cov (X b,i) E N s + D N 2 s X (X ) T + [ ] + b 2 2 Cov (X b,i) E N l + D N 2 l X (X ) T b 1 2 i 2 P (R = i) Cov (X i,1) + D R 2 X (X ) T, i=0 ahol X b,i az i-edik b méretű blokk átlaga (i = 1, 2,...) Súlyozott bootstrap A súlyozott (weighted vagy multiplier) bootstrap az i.i.d. bootstrap kiterjesztéséek tekithető. A klasszikus súlyozott bootstrap ötlete először a [7] köyv 10. fejezetébe jelet meg és a későbbiekbe számos alkalmazásra lelt. Az elmúlt évekbe kutatásaim egyik fókuszpotjába eek az elméletek egy részterülete, a súlyozott likelihood bootstrap állt. Úgyevezett bootstrap súlyokat vezetük be, melyeket τ = (τ,1, τ,1,..., τ, )-el jelölük és feltesszük róluk, hogy az X mitához tartozó valószíűségi változók. [13] a súlyozott bootstrap-et a maximum likelihood becsléssel kombiálta úgy, hogy a log-likelihood függvéy elemeit megszorozta a megfelelő súlyokkal. Ebbe a kotextusba P ( ) olya feltételes valószíűséget jelöl, amikor a súlyok véletleek, a mita viszot rögzített. A disszertációba Wilks klasszikus, az általáosított likelihood-háyados tesztstatisztikára voatkozó eredméyéek ([15]) egy további általáosítását és aak bizoyítását mutatjuk be. 4

6 Tegyük fel, hogy adott egy eloszláscsalád f ϑ (x) sűrűségfüggvéyel, ahol ϑ Θ R p ismeretle paraméter. Egy X = (X 1,..., X ) T i.i.d. mita log-likelihood függvéyét l(ϑ X ) = l(ϑ) = log f ϑ (X i ) fogja jelöli, a paraméter maximum likelihood becslését pedig ϑ = arg max l(ϑ). Defiiáljuk a log-likelihood függvéy (bootstrap) súlyozott verzióját az alábbi módo: ϑ l (ϑ X ) = l (ϑ) = τ,i log f ϑ (X i ), és legye ϑ a súlyozott ML-becslés. A súlyokra tett feltételek redszerit kotextusról kotextusra változak, ezért csak a mi feladatukra voatkozó feltételredszert fogjuk bemutati. Tegyük fel, hogy az alábbi feltételek teljesülek a bootstrap súlyokra: A1. függetleek az adatgeeráló folyamattól; A2. véges második mometummal redelkezek mide = 1, 2,... eseté; A3. P (τ,i 0) = 1; i = 1,..., ; = 1, 2,...; A4. Eτ,i = 1 i = 1,..., ; = 1, 2,...; 1 A5. Létezik egy olya γ R, amire τ,i 2 p γ; A6. Létezik egy olya q < 1 valós szám, amire Cov(τ,i, τ,j ) q i j 1 i j ; = 1, 2,... A feti feltételekek számos eloszlás eleget tesz, mi az alkalmazásokál az i.i.d. expoeciális és a poliomiális (multiomiális) eloszlást haszáltuk: ( (τ,1,..., τ,) Multiomial ; 1,..., 1 ) ad (τ,1,..., τ,) i.i.d. Exp(1). Egyrészt az egyszerűségük miatt választottuk ezeket, másrészt azért, hogy megézzük, a koordiáták közötti gyege összefüggőség (poliomiális eloszlás) jeletős hatást gyakorol-e az adott probléma eseté a végeredméyre (például a 4.2 fejezetbe a kofideciaitervallumok lefedési valószíűségére). Tegyük fel, hogy az eloszláscsaládra stadard erős regularitási feltételek teljesülek, például a [4] 191. ( oldalá ) lévő (RR). Készítsük a paramétertérből egy két részből álló σ }q partíciót: ϑ = ρ }p q és legye σ it(p r H (Θ)), ahol H a Θ paramétertér első q koordiátájáak megfelelő altér. Defiiáljuk a korlátozott ML-becslést az alábbi módo: ϑ = ( σ ρ ) ( σ = arg max l ρ ρ 5 ). (1)

7 Jelölje ϑ a feti (1) [ súlyozott verzióját. Wilks eredméye yomá tudjuk, hogy σ = σ eseté T := 2 l( ϑ ) l( ϑ ] d ) χ2 q. 2. Tétel. A véletle súlyozású általáosított likelihood-háyados statisztika aszimptotikus eloszlása. Erős regularitási feltételek eseté és haszálva az eddigi jelöléseket; ha σ = σ, akkor T := 2 γ [ l ( ϑ ) l ( ϑ ) ] d χ2 q. A 2. tétel bizoyításához további állításokra volt szükségük. Az első a többdimeziós határeloszlás-tétel, míg a második a agy számok gyege törvéyéek egy általáosítása véletle súlyokkal. 3. Állítás. Legyeek τ -ek az ebbe a fejezetbe bevezetett, A1-A6 feltételekek eleget tevő valószíűségi változók (súlyok); Y 1, Y 2,... i.i.d. p dimeziós valószíűségi vektorváltozók 0 p várható érték vektorral és Σ kovariaciamátrixszal. Ameyibe a súlyok függetleek az Y i valószíűségi vektorváltozóktól, akkor 1 τ,i Y i d N p(0 p, γσ). 4. Állítás. Legyeek τ -ek az ebbe a fejezetbe bevezetett, A1-A6 feltételekek eleget tevő valószíűségi változók (súlyok); Y 1, Y 2,... i.i.d. valószíűségi változók véges első két mometummal. Ameyibe a súlyok függetleek az Y i valószíűségi változóktól, akkor 1 τ,i Y i p EY Blokkméret megállapítása a gyakorlatba A szakirodalomba két általáos stratégiát szoktak javasoli az ideális blokkméret kiválasztására, az egyik almitavételezése ([10], subsamplig), a másik emparaméteres behelyettesítése ([12], oparametric plugi) alapul. A 4.1 és 4.3 fejezetekbe egy ezektől eltérő, modell alapú megközelítést mutatuk be: úgy próbáljuk megtaláli a legjobb blokkméretet, hogy először egy reméyeik szerit megfelelőe illeszkedő vektor autoregressziós VAR(p) modellt illesztük a többdimeziós adatokra, majd megézzük, melyik blokkméretre lesz az eredeti mitából blokk bootstrap-pel vett mita mitaátlagáak kovariaciamátrixa legközelebb a VAR-modellből származó mita mitaátlagáak kovariaciamátrixához. Ez az eljárás kellőe általáos ahhoz, hogy más, a VAR-ál akár jóval boyolultabb sztochasztikus folyamatokra is alkalmazi lehesse. A 4.1 fejezetbe az optimális b blokkméretet a következő képlettel számítjuk: b = argmi 1 b Z tr ( Cov ( )) X VAR tr (Cov (Xb)), (2) 6

8 ahol Cov (X b) a blokk bootstrap átlag kovariaciamátrixa b blokkagyság eseté és a Cov ( ) X VAR meyiséget az alábbi módo kapjuk meg. Elegedő csak VAR(1) folyamatokkal foglalkozi, mert egy d dimeziós VAR(p) felírható pd dimeziós VAR(1)-két. Ha va egy d dimeziós VAR(1) folyamatuk X t = AX t 1 +ε t, Cov(ε t ) = C alakba, akkor { Cov(X VAR ) = 1 1 ( Γ X (0) + 1 h [A ) h Γ X (0) + (Γ X (0)) T (A h ) T ]}, (3) h=1 ahol Γ X az autokovariacia mátrix és vec(γ X (0)) = (I d 2 A A) 1 vec(c). A szakirodalomba redszerit egész blokkmérettel végzik a szimulációkat. Azoba azt tapasztaltuk, hogy a (2) képlettel kapott egész blokkméretek eseté éha igecsak jeletős a két yom közti eltérés, ami akár jeletős torzítást is okozhat, főleg kisebb blokkagyságok eseté. Sajos hasoló a helyzet az alfejezet elejé megemlített, a szakirodalomba széles épszerűségek örvedő két általáos techikával is, ez volt a fő motivációja a 3.2 fejezetbe bevezetett általáosított blokk bootstrap-ek. Ezért aztá a (2) képlet helyett az alábbi egyelet megoldását javasoljuk az ismeretle 1 b R változó szerit: tr ( Cov(X VAR ) ) ( ) = tr Cov (X b). (4) A 4.3 fejezetbe ezt a megközelítést követjük a blokkméret meghatározása sorá Profil likelihood és az extrémumok bootstrap-ezése A 4.2 fejezetbe a korábba kimodott 2. tételt fogjuk arra haszáli, hogy kofideciaitervallumot készítsük a küszöbmeghaladáso alapuló egyváltozós extrémértékeloszlás visszatérési értékeire. A Pickads Balkema de Haa tétel alapjá tudjuk, hogy egy adott küszöbérték felett a megfigyelések általáosított Pareto-eloszlással (GPD) közelíthetők, amely eloszlás az alábbi eloszlásfüggvéyel redelkezik: ( ) H(x) = ξx ξ σ if ξ 0, 1 e x σ if ξ = 0 ahol ξ-t alakparaméterek, σ-t pedig skálaparaméterek hívják. Mi az alkalmazásokba egy másfajta paraméterezéssel dolgoztuk: ξ és a q-kvatilis (visszatérési érték) H 1 (q) voltak a paramétereik, ekkor a log-likelihood függvéy a következő alakot ölti: l(ξ, H 1 (q) X ) = log h ξ,h 1 (q)(x i ), ahol h ξ,h 1 (q)(z) = (1 q) ξ 1 ξh 1 (q) ( 1 + z (1 q) ξ 1 H 1 (q) ) 1 ξ 1 az új paraméterezésű sűrűségfüggvéy. Jelölje az ML-becsléseket ˆξ és H 1 (q). Most bevetjük a 3.3 fejezetbe beve- 7

9 zetett súlyokat a log-likelihood függvéy elemeit szorozzuk meg velük: l (ξ, H 1 (q) X ) = τ i log h ξ,h 1 (q)(x i ). A profil likelihood egy széles körbe haszált módszer arra, hogy visszatérési értékek (kvatilisek) vagy más fotos paraméterek értékeire kofideciaitervallumot kostruáljuk. Az eljárás alapja az ú. profil log-likelihood függvéy ([5], p ), amit jele esetbe a következőképp defiiálhatuk: l p (H 1 (q) X ) = max ξ l(ξ, H 1 (q) X ). (5) Tehát az l p függvéy rögzített kvatilis értékekre a log-likelihood függvéy ξ szeriti lokális maximumát adja meg. A súlyozott bootstrap-et a profil likelihood módszerrel kombiáltuk, hogy a visszatérési értékekre kofideciaitervallumot határozzuk meg. A profil log-likelihood függvéy bootstrap verziója (5) értelemszerű módozata: l p(h 1 (q) X ) = max ξ l (ξ, H 1 (q) X ). Legye γ a 3.3 fejezetbeli A5 feltételbe szereplő kostas, ami a súlyok második mometumáak átlagából számolt sztochasztikus határérték. A 2. tétel szerit erős regularitási feltételek mellett, ameyibe a súlyokra az A1 A6 feltételek teljesülek, akkor 2 γ [ l (ˆξ, H 1 (q) X ) l p(h 1 (q) X ) ] d χ2 1. (6) Ezt az aszimptotikus eredméyt felhaszálhatjuk arra, hogy a visszatérési értékekre kofideciaitervallumot kostruáljuk. A továbbiakba jelölje 1 α a megbízhatósági szitet, c 1 α a χ 2 1-eloszlás (1 α)-kvatilisét és x = (x 1,..., x ) a tapasztalati mitát. Ezáltal (6)-t felhaszálva, az alábbi Iα súlyozott profil kofideciaitervallumot készíthetjük: I α = { H 1 (q) : lp(h 1 (q) x) l (ˆξ, H 1 (q) x) γ c 1 α 2 }, (7) amely redszerit szélesebb a hagyomáyos profil likelihood kofideciaitervallumál és gyakra jobba is teljesít ála. Szimulációik azt mutatták, jóval potosabb lefedési valószíűséggel redelkezik a hagyomáyos profil itervallumhoz képest, ameyibe a mita kevert GPD eloszlásból származik (a 4.2. fejezetbe volt rá szükség). 4. Alkalmazások 4.1. Kopulaillesztés és bootstrap szélsebességi adatok modellezésébe Ez az alfejezet [1] cikk alapjá készült. Két észak-émet állomás, Hamburg és Fehmar 50 éves api szélsebességi maximumait modelleztük. Fő céluk az volt, hogy az össze- 8

10 függőségi struktúrát kopulákkal elemezzük és előrejelzéseket készítsük. Külöböző kopula modelleket illesztettük és az illeszkedést a Kedall-függvéy segítségével elleőriztük, de mivel adataik összefüggők voltak, a hagyomáyos tesztelési eljárás módosításra szorult. A kritikus értékeket CBB elve vett, kisebb elemszámú mitákból geeráltuk, felhaszálva az effektív mitaméret fogalmát. Ezt a kisebb mitaelemszámot és a blokkméretet a következő módo határoztuk meg. Először egy VAR(1) folyamatot illesztettük az adatokra, ami jóak bizoyult, majd a (2) képletet megoldva, optimális blokkagyságak b = 8 adódott. Az effektív mitaméret azt a mitaagyságot jeleti, amivel egy függetle mitából vett mita mitaátlagáak a variaciája megegyezik a megfigyelt, összefüggőséget is magába tartalmazó mitaátlag variaciájával. Több dimeziós megfigyelések eseté a variacia helyett a kovariaciamátrix yomát lehet haszáli. A mi esetükbe az effektív mitaméretre e = tr(σ) = tr(cov 8 (X)) =1571 adódott. Összességébe azt kaptuk, hogy a grafikus módszerek és a tesztek szerit egyötetűe a Gumbel kopula illeszkedett a legjobba, de mitaméret-korrekció élkül a Gumbel kopula illeszkedését is erőse elutasítottuk vola Küszöbmeghaladási modellek és a súlyozott bootstrap a meteorológiába Ez az alfejezet a [2] cikket mutatja be. A felhaszált megfigyelések az E-OBS adatbázis 63 éves api csapadékadataiból származak, öt magyarországi állomást választottuk Budapest, Tapolca, Várpalota, Székesfehérvár és Hatva településekhez közel. Az elemzés célja az volt, hogy modellezzük az csapadékok kiugró értékeit; megvizsgáljuk, ebből a szempotból megfigyelhető-e változás a klímákba; illetve magas visszatérési szitekhez tartozó visszatérési értékekre itervallumbecslést adjuk. Először egyváltozós küszöbérték-modellekkel foglalkoztuk. Küszöbértékek 10 mm-t választottuk, azt kaptuk, hogy a (7) súlyozott profil likelihood itervallum számos esetbe jobba teljesített, mit a hagyomáyos profil itervallumbecslés, viszot a súlyok eloszlása em bizoyult fotos téyezőek. A vizsgált 63 év alatt a GPD eloszlás paraméterei az idő függvéyébe szigifikás módo megváltoztak, ez a változás pedig a magas visszatérési értékekél külööse jeletős volt, megerősítve azt, hogy jóval gyakrabbá váltak a szélsőséges időjárási eseméyek. Hasoló eredméyekre jutottuk a kétváltozós BGPD II extrém érték modell illesztése sorá is, például a Tapolca Budapest párok eseté az összefüggőségi paraméter értéke szigifikás módo megőtt, illetve a vizsgált állomáspárok feléél a 10 éves visszatérési értékekek megfelelő extrém eseméyek bekövetkezéséek együttes valószíűsége erőteljes emelkedést mutatott Általáosított blokk bootstrap alkalmazása hőmérsékleti adatok modellezésébe Ez az alfejezet [3] cikk alapjá készült. Az E-OBS adatbázisba található 5 kárpátmedecei állomáspár összefüggőségi struktúráját modelleztük. Azt a célt tűztük ki ma- 9

11 guk elé, hogy a miták első és második feléek összefüggőségi struktúráját kopulák homogeitásvizsgálatával összehasolítsuk egymással. Mideekelőtt szimulációkat hajtottuk végre aak érdekébe, hogy a kopula homogeitásvizsgálat teszt erejét bootstrap eseté is megvizsgáljuk. Azt kaptuk, hogy a próba kozisztes és még kis mitára is elfogadható ereje va. Megéztük továbbá a blokkméret tesztre gyakorolt hatását, ami az esetek többségébe meglehetőse gyegéek bizoyult. Ezutá a disszertációba bevezetett általáosított blokk bootstrap segítségével p-értékeket szimuláltuk. A blokkméretet a (4) képlet megoldásával határoztuk meg. A VAR modell most is jól illeszkedett, így a mitaátlag kovariaciamátrixát (3) képlettel lehetett számítai. Meteorológiai szempotból [3] cikkükek az volt a fő következtetése, hogy a hőmérséklet-adatok összefüggőségi struktúrájába változást lehet megfigyeli, ami aál erősebb, miél távolabb va egymástól a két állomáspár. A PhD értekezés alapjául szolgáló publikációk: [1] P. Rakoczai, L. Varga, ad A. Zempléi. Copula fittig to autocorrelated data with applicatios to wid speed modellig. Aales Uiversitatis Scietarium de Rolado Eotvos Nomiatae, Sectio Computatorica, 43:3 20, [2] L. Varga, P. Rakoczai, ad A. Zempléi. Applicatios of threshold models ad the weighted bootstrap for hugaria precipitatio data. Theoretical ad applied climatology, 124(3-4): , [3] L. Varga ad A. Zempléi. Geeralised block bootstrap ad its use i meteorology. Advaces i Statistical Climatology, Meteorology ad Oceaography, 3(1):55 66, További hivatkozások: [4] A. A. Borovkov ad A. M. Mathematical statistics. Gordo Breach, Amsterdam, [5] S. Coles. A itroductio to statistical modelig of extreme values. Spriger Verlag, [6] B. Efro. Bootstrap methods: aother look at the jackkife. The Aals of Statistics, 7(1), [7] B. Efro. The jackkife, the bootstrap ad other resamplig plas. CBMS-NFS, [8] B. Efro ad R. J. Tibshirai. A itroductio to the bootstrap. CRC press, [9] P. Hall. The bootstrap ad Edgeworth expasio. Spriger Sciece & Busiess Media, [10] P. Hall, J. L. Horowitz, ad B.-Y. Jig. O blockig rules for the bootstrap with depedet data. Biometrika, 82(3): , [11] S. N. Lahiri. Resamplig methods for depedet data. Spriger Sciece & Busiess Media, [12] S. N. Lahiri, K. Furukawa, ad Y.-D. Lee. A oparametric plug-i rule for selectig optimal block legths for block bootstrap methods. Statistical Methodology, 4(3): , [13] Michael A Newto ad Adria E Raftery. Approximate bayesia iferece with the weighted likelihood bootstrap. Joural of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), pages 3 48, [14] J. Shao ad D. Tu. The jackkife ad bootstrap. Spriger Sciece & Busiess Media, [15] S. S. Wilks. The large-sample distributio of the likelihood ratio for testig composite hypotheses. The Aals of Mathematical Statistics, 9(1):60 62,

12 aa