A Fourier-analízis elmélete és gyakorlata

Átírás

1 A Fourier-analízis elmélete és gyakorlata Nagy László Témavezet : Schipp Ferenc 007. június 8.

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 3. Matematikai háttér 6.1. Normált csoportok Periodizáló operátor Karakterek Fourier-transzformált Inverziós formula Transzformáció kiterjesztése Transzformációk Trigonometrikus Fourier-Transzformáció Trigonometrikus Fourier-Együtthatók Trigonometrikus Fourier-Sor Diszkrét Fourier-Sor Diszkrét Fourier-Transzformáció A z-transzformáció Algoritmusok Gyors Fourier-Transzformáció FFT algoritmusok algebrai formája Algoritmusok osztályozásai Gyors konvolúció és az FFT Waveletek Waveletek szerkesztése Multirezolúció Skálázási egyenlet Ortonormált waveletek Folytonos Wavelet-Transzformáció

3 TARTALOMJEGYZÉK 6. Sz r k és sz r készletek Sz r k Downsampling és Upsampling Sz r készletek Alkalmazások Fourier-Transzformáció kontra Waveletek Összefoglalás 90

4 1. fejezet Bevezet A jelfeldolgozás során a bemen jeleket frekvencia-komponensekre bontjuk. Ez a felbontás nem más, mint a bemen jel (legyen az egy- vagy kétdimenziós, analóg, vagy digitális) valamilyen speciális függvénnyel történ szuperpozíciós felírása. Az ötlet természetesen nem új. Az els feljegyzések függvények közelítésére, függvény-együtthatók szuperpozíciójával a korai 1800-as évekre tehet ek, amikor Joseph Fourier felfedezte, hogy bizonyos tulajdonságokkal rendelkez függvények felbonthatóak szinusz- és koszinuszhullámok végtelen összegére. Ez matematikai áttörésnek számított gondolat számos, mára kialakult módszer alapját képezi. Joseph Fourier frekvenciaanalízisbeli elmélete szerint (amit ma már csak Fourier-szintézis néven emlegetünk) bármely π szerint periodikus f(x) függvény el állítható a következ hatvány-sor alakban: f(x) = a 0 + (a k cos kx + b k sin kx), k=1 ahol az a 0, a k és b k együtthatókat az f függvényb l határozhatjuk meg. Fourier állítása kiemelked en fontos szerepet játszott a matematikusok függvényekhez köt d elméleteiben. A módszer egy teljesen más szemléletet nyújtott a függvények további vizsgálataihoz. Elméletével tulajdonképpen egy új, eddig még kinyitatlan kaput tárt szélesre a funkcionális világ r felé. Néhány évtizedre rá, a tudósok a szinusz és koszinusz hullámoknál alkalmasabb függvényeket kezdtek el keresni, amelyek tartalmazzák a Fourier analízis alapjait és alkalmasak a különböz jelek közelítésére. Deníció szerint ugyanis e két függvény nem lokális, más szóval a tartójuk a valós számok R halmaza után, megismerve a függvények új jelentését, a ourier-sorok konvergenciáját és az ortonormált rendszerek fogalmát, a matematikusok fokozatosan bevezették a frekvencia analízis mellett a skála analízist. Itt a 3

5 1. FEJEZET. BEVEZETŽ 4 függvényt különböz skálájú matematikai struktúrák segítségével kezdték el elemezni. E mára nagyon fontos módszer lényege, hogy vesznek egy függvényt, eltolják, átskálázzák, majd megvizsgálják, hogy a kapott struktúra el állítja-e az adott jelet. Ez utóbbi módszerrel a wavelet analízis foglalkozik. A Fourier analízis azonban csak az 1960-as években válhatott a digitális jelfeldolgozás központi szerepévé. Ugyanis ez id tájt jelentek meg a transzformációt elvégz gyors, numerikusan jól kezelhet algoritmusok. Cooley és Tukey 1965-ben alkotta meg az els úgynevezett FFT algoritmust, amellyel a diszkrét Fourier-transzformáció kiszámítását gyakorlati feladatok esetére is megoldották, mintegy dönt lökést adva a digitális jelfeldolgozás további fejl désének. A dolgozat témája mint ahogyan azt a cím is sugallja a Fourier analízis eszköztárának részletes bemutatása. A leírás magában foglalja, a formálisabb matematikai leírás mellett, a módszer gyakorlati alkalmazását is. Tárgyaljuk a digitális jelfeldolgozás során alkalmazott fontosabb transzformációkat, melyek gyors elvégzésére bevezetjük a különböz FFT algoritmusokat. A dolgozat során bepillantunk a wavelet analízis varázslatos világába is. Bemutatva annak matematikai hátterét rávilágítunk a Fourier analízissel való fontos kapcsolatára. Végül a tárgyalt módszerek segítségével jelfeldolgozási alapokkal is megismerkedünk. A következ ekben röviden áttekintjük az egyes fejezetek tartalmát. Az. fejezetben áttekintjük a Fourier analízis alkalmazásához szükséges alapfogalmakat, deníciókat, fontos összefüggéseket. Mindezt tesszük a fejezet elején bevezetett általános csoporton, ez által lehet vé téve a kés bbiek számára a speciális számunkra fontos és gyakorlatban használt csoportokra való lesz kítést. A jelfeldolgozásban fontos szerep játszó periodizáló operátor ismertetése után, a csoport karaktereinek segítségével, bevezetjük a Fourier-transzformáció (FT) és inverz Fourier-transzformáció (IFT) fogalmát. Mindeközben ismertetjük a transzformáció fontosabb operátorokkal való kapcsolatát, majd a bemutatott módszert kiterjesztjük a teljes L térre. A soron következ 3. fejezetben, a már megismert transzformációt, bemutatjuk néhány speciális csoportra. Ez által értelmezzük a Trigonometrikus Fourier-Transzformációt (TFT), a Trigonometrikus Fourier-Együtthatókat (TFE), a Trigonometrikus Fourier-Sort (TFS), a Diszkrét Fourier-Sort (DFS), valamint a Diszkrét Fourier-Transzformációt (DFT). A fejezet végén értelmezzük a digitális jelfeldolgozás nélkülözhetetlen transzformációját a z-transzformációt. A különböz konvergencia kritériumok mellett megmutatjuk a fontosabb operátorokkal való kapcsolatát. Végül leírjuk, hogy a számunkra fontos Fourier-transzformációkkal miként hozható kapcsolatba a z-transzformáció.

6 1. FEJEZET. BEVEZETŽ 5 A 4. fejezetben a módszer gyors FFT algoritmusait vizsgáljuk meg. El sz r a DFT redundanciáit vizsgáljuk, majd ezek gyelembe vételével levezetjük az els gyorsított eljárást. Ezek után az algoritmusok általánosabb algebrai formáját adjuk meg, az el z szakaszban bevezetet m veletek általánosításával. Ezt követ en a kialakított algoritmusainkat különböz szempotok szerint osztályozzuk. Végül bemutatjuk, hogy az FFT miként alkalmazható a jelfeldolgozás legfontosabb m veletének a konvolúciónak a gyors kiszámítására. A rákövetkez 5. fejezet a wavletekr l szól, pontosabban azok matematikai hátterér l. A bevezetés után rátérünk a wavelet analízis alapjául szolgáló multirezolúció ismertetésére, mely során deniáljuk a Riesz-bázis fogalmát. Ezt követ en a Fourier-transzformáció segítségével bevezetjük a skálázási egyenletet, melynek megoldására egy példát is mutatunk. A fejezet végén ortonormált waveletek szerkesztésével is foglalkozunk, majd értelmezzük a Folytonos Wavelet-Transzformációt (CWT). A 6. fejezetben a digitális jelfeldolgozás alapelemeivel ismerkedünk meg. El ször az alul-, illetve felülátereszt sz r k tulajdonságait mutatjuk be mind az id -, mind a frekvencia-tartományon. Deniáljuk a skálázási egyenlethez nagyon hasonlító, wavelet egyenletet. Ismertetjük a sz rés két alapm veletét a downsampling és upsampling eljárásokat, továbbá bemutatjuk ezek hatását a különböz tartományokban. A bevezett sz r k és m veletek segítségével sz r készleteket építünk fel. Itt jegyezzük meg, hogy a dolgozat terjedelmi korlátai miatt csak -csatornás, FIR sz r készletek szerkesztésével foglalkotunk. A sz r készlet építésénél a tökéletes rekonstrukcióra törekszünk, ennek megkövetelése céljából mondunk ki feltételeket. Kapcsolatot teremtünk a diszkrét sz r k és a folytonos waveletek világa között, majd rekurziós módszereket mutatunk be a különböz szinteken lév együtthatök el állítására, a keresett skála függvény közelítésére, valamint megmutatjuk, hogy az együtthatók ortogonalitásából miként tudunk következtetni a rendszerünk ortogonalitására. A diszkrét esethez tartozó Gyors Wavelet-Transzformáció (FWT) ismertetése mellett, bemutatunk néhány jelfeldolgozásbeli alkalmazást, mint például a zajmentesítés, vagy az éldetektálás folyamatát. Végül összehasonlítjuk a Fourier-transzformációt a waveletekkel, mely során rávilágítunk a Fourier analízis hézagira, hátrányaira. Végül a 7. fejezetben a dolgozatban szerepl eredményeket értékeljük és foglaljuk össze, levonva a megfelel következtetéseket. Megjegyezzük, hogy a dolgozatban szerepl állítások, tételek bizonyítás nélkül szerepelnek, illetve csak azokat bizonyítjuk, melyeket elengedhetetlennek tartunk az elmélet teljes megértéséhez. Az egyes bizonyítások megtalálhatóak a jelzett forrásmunkákban.

7 . fejezet Matematikai háttér.1. Normált csoportok A (G, +) kommutatív csoportból kiindulva bevezetjük a normált csoport fogalmát. Jelöljük 0-val a csoport nullelemét, x-szel pedig az x G elem inverzét, ekkor, ha létezik a csoporton egy x x leképezés (egy norma), akkor azt mondjuk, hogy a csoport normált. Ezen a csoporton bevezethet egy ρ(x, y) := x y, (x, y G) metrika, amelyben az (x, y) x + y és x x leképezések folytonosak, ami annyit jelent, hogy az adott csoport topologikus. Könnyen ellen rizhet, hogy a fenti metrika transzláció invariáns, azaz bármely x, y G elem távolsága meg rz dik, ha mindkét elemet egy z G elemmel eltoljuk, nevezetesen a ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y) (x, y, z) G (.1) egyenl ség teljesül, minden csoportbeli elemre. Akkor nevezzük a (G, ρ) metrikus teret lokálisan kompaktnak, ha a (G, +) normált csoport zárt gömbjei kompakt halmazok. Amennyiben a (G, ρ) metrikus tér kompakt, abban az esetben a G normált csoport kompakt, továbbá, ha az inf{ x : x 0} > 0 egyenl tlenség is fenn áll, úgy a szóban forgó csoport diszkrét. A következ kben ezen új fogalmak segítségével bevezetünk néhány speciális csoportot. Ismeretes ugyanis, hogy a valós számok R halmaza a + szokásos összeadásra nézve Abel-csoport és az x := x, (x R) norma ezen a csoporton, ami azt jelenti, hogy az (R, +) normált csoportot alkot. Az egész számok Z halmaza pedig ugyanezzel a normával az R-nek egy normált, diszkrét részcsoportja. A csoportelméletben bevezetett faktorcsoport [11] deníciójából következik, hogy az R/Z (faktorcsoport) izomorf a [0, 1) intervallum modulo 1 összeadással vett csoportjával, amit a továbbiakban 6

8 . FEJEZET. MATEMATIKAI HÁTTÉR 7 M-mel jelölünk. Bevezetve a + jelölést a csoportm veletre, a x +y := { x + y, ha x + y < 1, x + y 1, ha x + y 1 (.) formula áll fenn minden x, y M := [0, 1) esetén. Továbbá belátható, hogy a csoport nulleleme a 0 szám, az x M elem inverze pedig az 1 x és az x := min{x, 1 x} (x M) normával az (M, +) csoport is normált. Ennek segítségével az M m := { k m } : k = 0, 1,..., m 1 ( m N ) (.3) denícióval megadott csoport az M egy diszkrét m-edrend ciklikus részcsoportja. Az egydimenziós tórusz, másnéven az egység abszolút érték komplex számok T := {z C : z = 1} (.4) halmaza a szorzásra nézve csoportot alkot, amelynek nulleleme az 1 szám, a z T elem inverze pedig a z szám z komplex konjugáltja. A komplex trigonometrikus függvény, tehát az ɛ(t) := exp(iπt) = cos(πt) + i sin(πt) (t R) (.5) formulával deniált leképezés, M-re vonatkozó lesz kítése egy izomorzmus M és T között, amely az M-beli elemek + összeadását az elemek T-beli képeinek a szorzásába viszi át, azaz ɛ az (M, +) csoport karaktere (a karaktereket részletesebben az (.3) szakaszban mutatjuk be). Végül a z := 1 z (z T) leképezéssel a (T, ) csoport is normált. Az eltolás m veletével természetes módon értelmezhetjük függvények körében a transzláció operátorát. Tetsz leges G csoporton értelmezett f komplex érték függvényre legyen (τ s f)(x) := f(x + s) (s, x G). (.6) Látható, hogy a trsanszláció nem más, mint a függvény argumentumának adott csoportbeli elemmel való eltolása... Periodizáló operátor A jelfeldolgozásban és persze a további vizsgálatainkban fontos szerepet játszanak azok az operátorok, melyek egy adott függvényhez annak periodikus változatát rendelik. Jelölje L p T (T > 0, 1 p ) azoknak

9 . FEJEZET. MATEMATIKAI HÁTTÉR 8 az R-en értelmezett, lokálisan integrálható, T-szerint periodikus függvények halmazát, melyeknek a [0, T ) intervallumra való leszükítése L p [0, T ] térbeli. Nyilvánvaló, hogy ezekre a terekre L p T Lp T tartalmazás teljesül. Legyen f L 1 (R) ekkor az (E T f)(x) := k Z f(x + kt ) = k Z(τ kt f)(x)(x R) (.7) utasítással értelmezett operátort periodizáló operátornak nevezzük. Mivel k Z T 0 f(x + kt ) dx = f(x) dx <, ezért a (.7) sor majdnem minden x R pontban abszolút konvergens, azaz a deníció korrekt. Továbbá a fent bevezetett E T : L 1 (R) L 1 T leképezés egy korlátos líneárs operátor, amelyre T 0 (E T f)(x) dx = f(x) dx, T 0 (E T f)(x) dx f(x) dx. Bizonyítható, hogy ez az operátor nemcsak számokra, hanem T-szerint periodikus függvényekre nézve is homogén, azaz bármely λ, T-szerint periodikus, Lebesgue-mérhet függvény esetén, ha f, λf L 1 (R), akkor E T (λf) = λe T (f). Azonban a most bevezetett periodizáló operátornak nemcsak a fent leírt interpretációja van. Ugyanis E T felfogható egy speciális várhatóérték operátornak, amely nagyon sok vonatkozásban hasonlít az integrál funkcionálhoz, melynek következményeképpen az ott bevezetett integrállal kapcsolatos alapvet fogalmak átvihet k erre az operátorra. Ez által lehet ség nyílik a skaláris szorzat és az ortogonalitás fogalmának általánosítására, kiindula az (f, g) E T (fḡ) (f, g L (R)) bilineáris operátorokból. Akkor mondjuk, hogy az f, g L (R) függvények E T -ortogonálisak, ha E T (fḡ) = 0. Ez a deníció valóban tekinthet általánosításnak, ugyanis az T E T (fḡ)(x) dx = f(x)g(x) dx =< f, g >, (f, g L (R)) 0 R egyenl ségek miatt az E T -ortogonalitásból következik a szokásos ortogonalitás.

10 . FEJEZET. MATEMATIKAI HÁTTÉR 9.3. Karakterek Következ lépésként értelmezzük a korábban már bevezetett (G, +) normált csoport karaktereit, a komplex trigonometrikus függvények tulajdonságai alapján. Akkor nevezünk egy γ : G T leképezést a csoport karakterének (azaz trigonometrikus függvényének), ha γ folytonos és eleget tesz a γ(x + y) = γ(x)γ(y) (x, y G) (.8) függvényegyenletnek. Ez a feltétel azt jelenti, hogy a szóban forgó leképezés egy homomorzmus G és a komplex tórusz között. G karaktereinek a halmazát Ĝ szimbólummal fogjuk jelölni. Nyilvánvalóan minthogy két karakter szorzata is karakter Ĝ a γ 0(x) := 1 (x G) egységelemmel csoportot alkot, ahol a γ Ĝ karakter inverzét annak komplex γ = 1 konjugáltja szolgáltatja. γ Az így kapott (Ĝ, ) csoportot a (G, +) csoport duálisának nevezzük. Csoportok direktszorzatát felhaszálva a karakterek kiterjeszthet k n dimenzióra, melyekre igaz, hogy a duális csoportbeli karakterek el állíthat k a csoportok karaktereinek Kronecker-szorzataként: γ(x) = (γ 1 γ γ n )(x) := γ 1 (x 1 )γ (x ) γ n (x n ), (.9) (x = (x 1,..., x n ) G) Ennek megfelel en, G-vel jelölve az (R n, +), (Z n, +) és (M n, +) csoportok bármelyikét, a csoport duálisának karakterei egységes formában írhatók fel ɛ s (t) := exp(πi s, t ) (t G, s Ĝ) alakban, ahol s, t a szokásos R n -beli skaláris szorzatot jelöli. Hasonlóan a komplex trigonometrikus rendszerhez, a kompakt csoportok karakterei is ortonormált rendszert alkotnak a normált Haar-mértékkel [3] L m(g) térben, azaz µ-vel jelölve a G csoport normált Haar-mértékét teljesül a γ 1 (x)γ (x) dµ(x) = δ γ1,γ (γ 1, γ Ĝ) (.10) G egyenlet, ahol δ rs a Kronecker-féle szimbólum..4. Fourier-transzformált Ebben a pontban az imént ismertetett karakterek segítségével deniáljuk a G-n értelmezett, a G csoport µ Haar-mértéke szerint integrálható

11 . FEJEZET. MATEMATIKAI HÁTTÉR 10 függvények Fourier-transzformáltját. Ezek után bemutatjuk a nemsokára bevezetésre kerül moduláció, dilatáció és a már deniált transzláció operátorokkal való kapcsolatát. Legvégül deniálunk egy olyan, függvények közötti m veletet, amely nem vezet ki az L 1 m(g) térb l. Tehát legyen f L 1 µ(g), ekkor a Ĝ halmazon értelmezett (Ff)(γ) := f(γ) := G f(t)γ(t) dµ(t) (γ Ĝ) (.11) ˆf függvényt az f függvény Fourier-transzformáltjának nevezzük. Speciálisan, a már bevezetett csoportok ɛ x (s) = ɛ x1 (s 1 ) ɛ xn (s n ) (x = (x 1,..., x n ) Ĝn, s = (s 1,..., s n ) G n ) karaktereinek alkalmazásával az f L 1 µ(g) függvény Fourier-transzfolmáltja a (Ff)(x) := f(x) := f(t)ɛ x (t) dµ(t) (x Ĝ) (.1) G alakban írható fel, ahol µ a G {R, M} esetben a Lebesgue-mértéket, míg G {Z, M m } esetben pedig a diszkrét mértéket jelenti. A 3. fejezetben részletesen bemutatjuk az egyes speciális csoportokon értelmezett transzformációkat. A most bevezetett Fourier-transzformált fontos tulajdonsága, hogy bármely f L 1 m(g) függvény Ff Fourier-transzformáltja a Ĝ halmazon értelmezett, a végtelenben elt n függvény, továbbá F : L 1 m(g) C 0 (Ĝ) korlátos, líneáris operátor, amelyre Ff f 1 (f L 1 m(g)) teljesül [3]. A harmónikus analízisben fontos szerep jut bizonyos operátoroknak, nevezetesen az argumentum eltolásaival és a karakterek szorzásával összefügg transzformációkból származtatott dilatációnak és modulációnak (δ z f)(s) := f(zs) (z R, s R) (.13) (ν y f)(s) := ɛ y (s)f(s) (s G, y Ĝ). (.14) Ezen, valamint az 1. fejezetben bevezetett, transzláció operátorok szoros kapcsolatban állnak a Fourier-transzformációval, nevezetesen F(τ a f) = ν a Ff (a G), (.15) F(ν b f) = τ b Ff (b Ĝ), (.16)

12 . FEJEZET. MATEMATIKAI HÁTTÉR 11 F(δ c f) = c 1 δ c 1Ff (G = R, c > 0). (.17) Tehát, mint látható, a bevezetett operátorok a Fourier-transzformációval nem cserélhet k fel, pontosabban a felcserélés csak a fenti szabályok alkalmazásával lehetséges. Köztudott, hogy az L 1 m(r) líneáris tér nem zárt a függvények pontonkénti szorzására nézve. Az említett s t, általánosan az L 1 m(g) téren bevezethet, egy ett l eltér bínáris m velet, az úgynevezett konvolúció, amely már nem vezet ki a térb l. Ez a transzformáció szoros kapcsolatban van a (G, +) csoport struktúrájával és a rajta értelmezett Fourier-transzformáltjával. Minthogy bármely f, g L 1 m(g) függvényre az (f g)(x) := f(t)g(x t) dµ(t) (x G) (.18) G integrál minden (x G) pontban létezik és véges µ majdnem mindenütt, ezért a most (.18) alatt értelmezett (f g) L 1 m(g) függvényt az f, g L 1 m(g) függvények konvolúciójának nevezzük. Természetesen a konvolúció és Fourier-transzformáció között is szoros, s t, igen fontos kapcsolat van, nevezetesen bármely két f, g L 1 m(g) függvényre az alábbi f g = fĝ (.19) egyenl ség teljesül [3]. Ezen (.19) alatti azonoság interpretációja az, hogy a Fourier-transzformált a függvények konvolócióját a transzformált függvények szorzatába viszi át. A konvolúció kiterjeszthet az X {L p m(g), C(G), C 0 (G)} (1 p ) terekre, melyekre fennáll, hogy bármely g L 1 m(g) és f X függvények esetén létezik az f g konvolúció, melyre f g X és f g g 1 f X (g L 1 m(g), f X). (.0).5. Inverziós formula Most vizsgáljuk meg, hogyan, milyen feltételek mellett lehet az integrálható függvényeket visszaállítani azok Fourier-transzformáltjából. Ezúttal olyan integrálható függvényekb l indulunk ki, amelynek Fourier-transzformáltja is integrálható az adott csoport duálisán, amely integrálhatóság az l 1 tér esetén a Fourier-együtthatókból alkotott sor abszolút konvergenciájával ekvivalens. A formulával összefüggésben bevezetjük a Fourier-transzformált adjungáltját. Kiindulva az f, g := f(t)ḡ(t) dµ(t) (.1) G

13 . FEJEZET. MATEMATIKAI HÁTTÉR 1 (f L p m(g), g L q m(g), 1 p + 1 q = 1, 1 p, q ) funkcionálból, az F-nek erre vonatkozó adjungáltja az operátor, amire (F f)(x) := (Ff)( x) (x Ĝ) (.) Ff, g = f, F g (f, g L 1 (R)) (.3) teljesül. Ezen operátor segítségével felírható az inverziós formula általános alakja [3], azaz, ha f L 1 1 m(g) és g Lm(Ĝ), akkor F (Ff) = f. (.4) A 3. fejezetben bevezetésre kerül speciális Fourier-transzformációk bemutatásakor kitérünk az adott transzformációhoz tartozó inverziós formulák pontos alakjára..6. Transzformáció kiterjesztése Ebben a részben G = R esetre szorítkozunk, mely esetében a Fouriertranszformáció (.1) alapján integrálható függvényekre értelmezhet. A deníciót kiterjesztjük L (R)-beli függvényekre, amely téren a kiterjesztett operátor unitér, azaz F-fel jelölve a kiterjesztett operátort Ff, Fg = f, g (f, g L (R)) (.5) teljesül. Mivel az (.5) egyenl ség fennáll az úgynevezett diadikus intervallumok karakterisztikus függvényeire, azaz az I := {χ I : I = [k n, (k + 1) n ), (k, n Z)} L 1 (R) (.6) függvényosztály elemeire (nevezetesen bármely I, J I esetén Fχ I, Fχ J = χ I, χ J ), továbbá az I zárt rendszer az egész L (R) térben, ezért a Fouriertranszformáció az (.5) tulajdonság megtartásával kiterjeszthet az egész L (R) térre. Ennek alapján az L 1 (R) L (R) halmazra kiterjesztett Fouriertranszformáltat is F-fel fogjuk jelölni. A korábban bevezetett F operátor a következ, (F f)(x) := (Ff)( x) utasítással (x R, f L (R)) kiterjeszthet az L (R) térre és a deníció, valamint (.5) alapján F f = Ff = f (f L (R)).

14 . FEJEZET. MATEMATIKAI HÁTTÉR 13 Továbbá bármely f, g L (R) függvényre az (.3) alatti azonosság most is teljesül, azaz F a Fourier-transzformált adjungáltja. Végül bármely f, g L (R) függvényre F(F f), g = f, g miatt F(F f) = f (f L (R)), tehát F értékkészkete az L (R) tér [3]. Következésképpen F : L (R) L (R) olyan bijekció, melynek inverze F, azaz F 1 = F. A konvolúció és a Fourier-transzformáció közötti kapcsolat a kiterjesztett F operátorra abban formában áll fent, hogy ha f L 1 (R) és g L (R), akkor a F(f g) = FfFg állítás teljesül.

15 3. fejezet Transzformációk 3.1. Trigonometrikus Fourier-Transzformáció Mint ahogyan az a bevezet ben olvasható volt, a Fourier-transzformáció egy leképezés az id tartományról (G) a frekvenciatartományra (Ĝ). Az el z fejezetben bevezetett m veletek a legszebben akkor néznek ki, ha mind az id -, mind a frekvencia-tartomány a valós számok halmaza, azaz G = Ĝ = R. Ebben a szakaszban ezt az esetet tárgyaljuk, bemutatva az általános deníciók ide vonatkozó alakját. Els ként vizsgáljuk meg a (.8) alatt bezetett karaktereket. A korábban már említett ɛ t (x) = exp(πitx) (t, x R) (3.1) függvények bármely t R esetén az (R, +) csoport karakterei, továbbá bebizonyítható, hogy a t ɛ t leképezés egy izomorzmus, melynek következményeképpen a szóban forgó csoport duálisa önmaga. Az állítás a (.9) alatt bevezett n-dimenziós esetre is érvényes, tehát az (R n, +) karakter csoportja izomorf önmagával. A (.11) alatt bevezetett Fourier-transzformáció G = R esetre vonatkozó megfelel je az L 1 (R)-beli függvények f(x) = f(t)exp( πixt) dt (f L 1 (R), x R) (3.) R úgynevezett Trigonometrikus Fourier-Transzformáltja (TFT). A (.18) alatt bevezetett konvolúció TFT-re vontakozó alakja az alábbi formában írható fel: (f g)(x) := f(t)g(x t) dt (x G = R, f, g L 1 (R)) (3.3) 14

16 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 15 és ezt viszi át a Fourier-transzformáció a transzformáltak szorzatába a (.19) egyenl ségnek megfelel en. Az (.4) inverziós formula G = R csoportra vonatkozó alakja az f(x) := f(t)ɛ x (t) dt (f, f R) (3.4) alakot ölti. Ezt, a (3.) alatt deniált transzfomációval összevetve látható, hogy a két m velet egy konstans szorzó erejéig megegyezik, amib l látszik, hogy a két tartomány (R) valóban izomorfak egymással. Az el z fejezet végén azt is megmutattuk, hogy a transzformáció kiterjeszthet az L (R) térre unitér operátorrá. A (.5) egyenl séget g = f esetre alkalmazva az energiatételhez, vagy más néven Parseval-egyenl séghez jutunk: f(t) dt = Ff(t) dt. (3.5) Még egy fontos összefüggést is megemlítünk, amely a mintavételezésre vonatkozik. Nevezetesen, ha egy diszkrét g függvényt (azaz sorozatot) úgy állítunk el egy folytonos idej f függvényb l, hogy azt az egész id pontokban mintavételezzük, akkor a g Fourier-transzformáltja el állítható f Fouriertranszformáltjának periodizáltjaként. Alkalmazva a (.) alatt bevezetett periodizáló operátor jelöléseit és bevezetve az E T := E (ha T = 1) jelölést formálisan a ĝ(x) = (E f)(x) alakhoz jutunk. Ez által elméleti és gyakorlati szempontból egyaránt fontos kapcsolatot teremtettünk a folytonos idej Fourier-integrál és a diszkrét sorozatokkal foglalkozó DFT reprezentáció között. 3.. Trigonometrikus Fourier-Együtthatók Az el z esethez hasonlóan most is újratárgyaljuk a bevezetett deníciókat, azonban most a transzformáció értelmezési-, azaz id -tartománya G = M. Kezdve most is a karakterekkel, megmutatható, hogy az ɛ n (n Z) 1- szerint periódikus trigonometrikus függvények karakterei az (M, +) csoportnak és az n ɛ n leképezés egy izomorzmus a Z és az említett csoportok között, tehát az (M, +) csoport duálisa (Z, +), azaz Ĝ = Z. (.9) alkalmazásával, n-dimenziós esetben a (M n, +) karakter csoportja (Z n, +) csoporttal azonosítható.

17 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 16 A (.11) alatt bevezetett Fourier-transzformáció G = M esetre vonatkozó megfelel je az L 1 (M)-beli függvények f(n) = f(t) exp( πint) dt (f L 1 (M), n Z) (3.6) M úgynevezett Trigonometrikus Fourier-Együtthatója (TFE). Látható tehát, hogy a transzformáció adott integrálható függvényb l, a függvényhez tartozó együtthatók sorozatát állítja el. A (.18) alatt bevezetett konvolúció TFE-re vontakozó alakja az alábbi formában írható fel: (f g)(x) := 1 0 f(t)g(x t) dt (x G = M, f, g L 1 (M)). (3.7) Természetesen a (3.6) transzformáció a most bevezetett konvolúciót is a transzformáltak szorzatába viszi át. Az (.4) inverziós formula G = M csoportra vonatkozó alakja az f(x) := n Z f(n)ɛ n (x) (f L 1 (M), f l 1 (Z)) (3.8) alakot ölti, amely alatt a (3.6) transzformációval el állított ˆf együtthatókból a függvény el állítását értjük. Egy M = [0, 1) intervallumon értelmezett függvény, tulajdonképpen felfoghatók egy periodikus nem feltétlenül folytonos függvény egyetlen periódusának, ahol a periódusid t az intervallum hossza jelen esetben 1 jelöli. Ez által az f M függvények kiterjeszthet k az egész valós számegyenesre periodikus függvényekké, jelöljük ezeket f szimbólummal. Általánosabb formában való felíráshoz jelöljük T 0 -lal a periodusid t. Egy periodikus, folytonos idej f(t) függvény ismeretesen végtelen sok diszkrét komponensb l álló Fourier-sorba fejthet, az f(t) = m= c m e imω 0t (3.9) kifejtéssel, ahol a c m komplex Fourier-együtthatók tetsz leges m egész számra a c m = 1 T0 / f(t)e imω0t dt (3.10) T 0 T 0 / egy periódusra vett integrálból számolhatók. Az f(t) függvény T 0 periódusideje és a Fourier-sorfejtés mω 0 frekvenciájú tagjai közötti kapcsolat az ω 0 alapharmonikuson keresztül az ω 0 = π/t 0 egyenletb l következik.

18 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK Trigonometrikus Fourier-Sor Ebben az esetben az id -tartomány az egész számok halmaza, azaz G = Z. Ennek következménye, hogy a bevezetésre kerül transzformáció l 1 (Z)-beli konvergens sorozatok felett operál. El z ekben (3.) alatt megmutattuk, hogy az (M, +) csoport duálisa (Z, +). Minthogy az ɛ t (t M) függvények a (Z, +) csoport karakterei, és valamennyi karakter megkapható ilyen módon, továbbá az ɛ t1 (x)ɛ t (x) = ɛ t1 +t (x) (t 1, t M, x Z) azonosságot gyelembe véve adódik, hogy (Z, +) csoport duálisa izomorf az (M, +) csoporttal. (.9) alkalmazásával, n-dimenziós esetben a (Z n, +) karakter csoportját az (M n, +) csoport azonosítja. A (.11) alatt bevezetett Fourier-transzformáció G = Z esetre vonatkozó megfelel je az l 1 (Z)-beli sorozatok f(x) = n Z f(n)exp( πinx) (f l 1 (Z), x M) (3.11) úgynevezett Trigonometrikus Fourier-Sora (TFS). A (.18) alatt bevezetett konvolúció TFS-re vontakozó alakja az alábbi alakot ölti: (f g)(m) := n Z f(n)g(m n) (m G = Z, f, g l 1 (Z)). (3.1) Itt jegyezzük meg, hogy minden kés bbiekben bemutatásra kerül líneáris, id invariáns sz rés, tulajdonképpen egy rögzített függvénnyel vett konvolúció, azaz szemléletesen minden kimen érték, a bemeneti értékek id t l független sz r -együtthatókkal vett súlyzott összege. Ezt a fajta konvolúciót természetesen diszkrét jelek feldolgozásánál használjuk, számos bemen jel ugyanis felfogható egy diszkrét sorozatnak, gondoljunk csak egy képre, ami véges sok pixel-értékb l áll. Mint általánosságban, most is igaz a (.19) formula, ami a konvolúció és a Fourier-transzformáció közötti kapcsolatot teremti meg. Az (.4) inverziós formula G = Z csoportra vonatkozó alakja az f(n) := f(x)ɛ n (x) dx (f l 1 (Z)) (3.13) M alakot ölti, ami tulajdonképpen az eredeti sorozat együtthatókból való el állítását jelenti.

19 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK Diszkrét Fourier-Sor A periodikus sorozatok több szempontból is nagyon fontosak. Egyrészt, minden véges hosszúságú sorozat felfogható egy periodikus sorozat egyetlen periódusaként. Másrészt, a periodikus sorozatok úgynevezett Diszkrét Fourier-Soros reprezentációja képezi az összeköt láncszemet a teoretikus Fourier-integrálok és a numerikus számításra alkalmas diszkrét Fouriertranszformáltak között. Ha a T 0 periódusid t N egyenl részre osztjuk, és az így kapott T = T 0 /N id t tekintjük egységnyinek, akkor bármelyik t = nt n id pillanathoz tartozó f(nt ) = f(n) diszkrét helyettesítési érték a (3.9)-b l a T ω 0 = π/n helyettesítéssel f(n) = c m e imω0nt = c m ɛ N mn n = 0, 1,..., N 1 m= m= alakú lesz, ahol ɛ N n := exp(inπ/n) a komplex egységvektor N-edik gyökét jelenti. A kapott sor m futóindexe szerinti összegzés csoportokra bontható a következ felbontással: m = k + rn k = 0, 1,..., N 1 és r Z. (3.14) Az ɛ N N = 1 és ɛn (k+rn)n = ɛn kn azonosságok alkalmazásával a fenti sorfejtés tovább bontható, vagyis N 1 N 1 f(n) = c k+rn ɛ N (k+rn)n = c k+rn. (3.15) Bevezetve a k=0 r= F f(k) = N r= ɛ N nk k=0 r= c k+rn k = 0, 1,..., N 1 (3.16) úgynevezett átlapolt együtthatókat, akkor a (3.15) sorfejtés a f(n) = N 1 k=0 1 N F f(k)ɛ N nk, n = 0, 1,..., N 1 (3.17) véges periodikus összeg alakba írható, amib l a periodikus F f(n) együtthatók meghatározhatók. Összefoglalva tehát, a (.11) alatt bevezetett Fouriertranszformáció, periodikus f(n) id tartománybeli sorozatokra vonatkozó megfelel je a periodikus frekvencia-tartománybeli sorozatok F (k) = F f(n) = N 1 n=0 f(n)ɛ N kn, k = 0, 1,..., N 1 (3.18)

20 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 19 úgynevezett Diszkrét Fourier-Sora (DFS). A (.18) alatt bevezettet konvolúció periodikus sorozatokra vonatkozó alakja a ( f g)(n) := N 1 m=0 f(m) g(n m) (3.19) formulával megadott, úgynevezett periodikus konvolúció. A most megadott konvolúció az eddigiekt l annyiban különbözik, hogy mind az f(m) mind a g(n m) N-re periodikus, így tehát a szorzatuk is az. Az összegzést azonban csak egyetlen periódusra kell elvégezni. Természetesen a (.19) alatt bevezetett azonosság most is teljesül, méghozzá abban a formában, hogy két periodikus sorozat periodikus konvolúciójának diszkrét Fourier-soros transzformáltja a két sorozat DFS transzformáltjának a szorzatát adja. A (.4) alatt deniált inveziós formula, periodikus sorozatokra vonatkozó alakja a f(n) = 1 N N 1 k=0 F (k)ɛ N kn, n = 0, 1,..., N 1 (3.0) formában jelenik meg, mellyel az id - és frekvencia-tartománybeli periodikus sorozatok között a dualitást teljessé tettük Diszkrét Fourier-Transzformáció A véges hosszúságú sorozatok nagyon fontos esetében a DFS, illetve az inverz DFS Fourier-reprezentáció egyszer södik és az úgynevezett Diszkrét Fourier-Transzformációba és inverzébe megy át. Egy véges hosszúságú, N mintából álló f(n) sorozat úgy hozható kapcsolatba a periodikus sorozatokat leíró DFS reprezentációval, hogy azt egy N pontos periódussal rendelkez periodikus f(n) jelsorozat egyetlen periódusának tekintjük. Az f(n) sorozat periodikus ismétlésével generált f(n) (periodikus) sorozathoz viszont már tartozik egy egyértelm F (k) DFS-együtthatós leírás, amely maga is N-re periodikus. Ha most ezekb l az F (k) együtthatókból csak egyetlen periódust, mint véges hosszúságú N pontos f(k) sorozatot tekintünk, akkor az el bbi eljárás fordított irányban is megismételhet. A (.3) alatt bevezetett karakterek vizsgálatával folytatva könnyen igazolható, hogy az (M N, +) csoport karakterei az ɛ n : M N T (n = 0, 1,..., N 1)

21 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 0 alakú függvények és ezen csoport duálisa izomorf az egész számok Z N := {0, 1,..., N 1} részhalmazának mod N vett csoportjával. A (.11) alatt bevezetett Fourier-transzformáció G = M N esetre vonatkozó megfelel je az l 1 (Z)-beli diszkrét függvények f(n) = 1 f(t)exp( πint) (f : M N C, n Z N ) (3.1) N t M N úgynevezett Diszkrét Fourier-Transzformációja (DFT). Ez a gyakran találóan véges Fourier-transzformációnak is nevezett mátrixkapcsolat N darab id tartományi komplex minta és N darab frekvencia-tartománybeli komplex spektrumvonal között teremt kölcsönösen egyértelm összefüggést. A transzformáció tehát egyetlen speciális (3.1) ábrán látható mátrixszorzás segíségével megadja egy diszkrét idej jelsorozat frekvenciaspektrumának mintáit. A transzformáló mátrix speciális alakjának köszönhet en a DFT-t algoritmikusan is egyetlen egységként, alapm veletként kezelik, holott természetesen egy bolnyolult rendszerr l van szó. f(0) f(1) f(). f(n 1) ɛ N ɛ N... ɛ N (N 1) = 1 ɛ N ɛ N 4... ɛ N (N 1) ɛ N (N 1) ɛ N (N 1)... ɛ N (N 1) f(0) f(1) f(). f(n 1) 3.1. ábra. Az N-pontos DFT mátrixösszefüggése A (.18) alatt bevezetett konvolúció DFT-ra vontakozó alakja az alábbi formában írható fel: (f g)(x) := 1 f(n)g(x n) (x G = M N, f, g l 1 (M N )). (3.) N n M N A konvolóció elnevezésére gyakran használják a diszkrét konvolúció kifejezést, jelezve, hogy a súlyzott összeadás véges hosszúságú sorozatok felett történik. A (.4) inverziós formula G = M N csoportra vonatkozó alakja az f(x) := n Z N f(n)ɛn (x) (f l 1 (M N )) (3.3)

22 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 1 alakot ölti, melynek mátrixösszefüggésére hasonló ábra rajzolható fel, a karakter komplex konjugálása nélkül. A DFT, illetve IDFT jelölések helyett gyakran használják az FFT, illetve IFFT rövidítéseket is, amelyek a Fast Fourier-Transform kifejezés rövidítéseként a DFT-t és annak inverzét kölünös gyorsasággal el állító algoritmikus transzformációra utalnak. Tulajdonképpen ez a módszer (algoritmus) indította meg a modern jelfeldogozás térhódítását. Az FFT m ködését és annak megvalósítását a 4 fejezetben tárgyaljuk részletesebben A z-transzformáció A most következ szakaszban egy olyan transzformációt vezetünk be, amely amellett, hogy a diszkrét Fourier-transzformáció általánosításának számít matematikai módszerét illet en jól kezelhet, egyszer és a diszkrét idej jelfeldolgozás nélkülözhetetlen eszköze. Diszkrét idej rendszernek egy olyan áramkörileg megvalósított, illetve algoritmikusan végrehajtott transzformációt nevezünk, amely a bemeneti x(n) sorozatot egy kimeneti y(n) sorozatba viszi át. A deníciót formálisan az R (Response) operátor segíségével írható fel a y(n) = R(x(n)) (3.4) formula segítségével. A további vizsgálataink során feltesszük, hogy a rendszer líneáris és id invariáns [1]. Ismeretes, hogy bármely x(n) sorozat összerakható az egységnyi impulzus késleltetett, illetve konstanssal szorzott értékeinek összegeként, azaz felírható egy x(n) = k= x(k)δ(n k) (3.5) konvolúciós összeg alakjában, ahol δ(n) = 1, ha n = 0 és azonosan 0 minden más n-re, az úgynevezett egységimpulzus. h(n)-nel jelölve az egységimpulzusra adott válasz-sorozatot, az id invariancia a következ állítással ekvivalens: ha h(n) = R(δ(n)), akkor h(n k) = R(δ(n k)) is teljesül. Ennek és a (3.5) el állításnak a következményeképpen, a kimeneti y(n) jel el állítható ( ) y(n) = R x(k)δ(n k) = x(k)r(δ(n k)) = x(k)h(n k), k= k= k= (3.6) azaz röviden y(n) = x(n) h(n), konvolúciós alakban. A h(n) impulzusválasz-sorozat meghatározása azonban sokszor nehézkes, ezért gyakran használják az úgynevezett transzferfüggvényt [1] a rendszer

23 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK jellemzésére. A transzferfüggvény deníciószer en egy olyan H(z) függvény, amelyik egy komplex z változó függvényében egyértelm en megadja a rendszernek a z n típusú gerjesztésre adott feleletét z n H(z) alakban. Behelyettesítve a fenti (3.6) egyenletbe az x(n) = z n sorozatot, láthatjuk, hogy az ilyen típusú sorozatok a rendszer sajátfüggvényeinek tekinthet k. Ugyanis ekkor a konvolúciós összeg a ( ) y(n) = h(n) x(n) = z n k h(k) = z n z k h(k) = z n H(z), k= k= alakba írható, ahol a középs tagban a zárójelben lév összeg: H(z) = k= (3.7) h(k)z k, (3.8) ami tulajdonképpen nem más, mint a bevezetni kívánt z-transzformáció. Egy x(n) diszkrét idej sorozat X(z) z-transzformáltját tehát a X(z) = (Zx)(n) = n= x(n)z n (3.9) sor segítségével deniáljuk, minden olyan z komplex értékre, amelyre ez a sor konvergens. Az el állítás tulajdonképpen egy Laurent-sorfejtés [1], amit kétoldalú z-transzformációnak is szoktak nevezni, megkülönböztetésül az n = 0-tól induló úgynevezett egyoldalú z-transzformációtól. Mivel kauzális jelek esetén a két el állítás ekvivalens, ezért a továbbiakban a jobban kezelhet kétoldalút használjuk. Egy rendszer kauzális, ha egy tesz leges n = n 0 id höz tartozó kimeneti érték csak a korábbi, az n n 0 id khöz tartozó bemeneti minták értékét l függ. Ennek következményeként, egy a (3.6) szerinti konvolúciós összeggel jellemezhet líneáris, id invariáns rendszer akkor és csak akkor kauzális, ha h(n) = 0, amikor n < 0. A (3.9) sor konvergenciájának vizsgálatát leegyszerüsíti a Laurent-sorral való kapcsolat, ugyanis így lehet ség nyílik a komplex függvénytan eredményeinek felhasználására. Egy komplex f(z) függvényt analitikusnak nevezünk egy z 0 pontban, ha az z 0 tetsz leges z z 0 < δ (δ > 0) környezetében dierenciálható. Az analitikusság az f(z) = u(x, y) + iv(x, y) felbontáshoz tartozó, úgynevezett Cauchy-Riemann egyenletekb l [1] következik, ahol z = x + iy. Ha f a z 0 pontban nem analitikus, de minden környezetében található olyan pont, ahol f(z) dierenciálható, akkor a z 0 helyet a függvény szinguláris pontjának nevezzük.

24 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 3 A Laurent-tétel [1] szerint tesz leges a d : r < z a < R körgy r ben egyérték, analitikus f(z) függvény ebben a gy r ben el állítható a f(z) = n= c n (z a) n (3.30) Laurent-sorával, ahol a c n konstansok a c n = 1 f(ζ)(ζ 0) n 1 dζ, n Z (3.31) πi Γ vonalintegrál formulával számolhatók, ahol Γ a D körgy r ben fekv tetsz leges, az óramutató járásával ellentétes irányítású görbe. Továbbá az R sugár növelésével, illetve a r sugár csökkentésével a D tartományt az f(z) függvény legközelebbi küls, illetve bels szinguláris pontjáig növelhetjük, amely D tartományon a sor (egyenletesen) konvergens és el állítja f(z)- t. Végül az f(z) Laurent-sora a konvergencia tartományában egyértelm, azonban az azonos középpontokhoz tartozó és szinguláris ponttal elválasztott konvergencia-tartományokban az f(z) különböz Laurent-sorokkal állítható el. A komplex z változót az e iω egységkörön felvéve egyszer kapcsolatot találunk egy x(n) sorozat X(z) és x(n) z-, illetve Fourier-transzformáltja között: X(e iω ) = x(n) = X(z) z=e iω. (3.3) Altalánosabban, tekintsük a z komplex változó polárkoordinátás z = e iω alakját. Ekkor a z-transzformáció ezekhez a pontokhoz az (x(n)r n ) sorozat Fourier-transzformáltját rendeli, ahonnan az r = 1 speciális esetben visszakapjuk az egységkörön vett (Fourier-)transzformáltat. Azonban a z- transzformált sorösszege akkor is konvergens lehet, amikor önmagában az x(n) nem az, hiszen most a n= x(n)r n < megkötésnek kell teljesülnie ahhoz, hogy a z-transzformált egyenletesen konvergens legyen. Ez a feltétel egy adott x(n) sorozat esetében nyilvánvalóan csak az r, illetve a z bizonyos érték-tartományában fog teljesülni. Ha X(z) konvergens a r < z < R egyenl tlenségekkel behatárolt körgy r ben, akkor a z-nek ezt a halmazát konvergenciatartománynak nevezzük, melynek megadásával a transzformált már egyértelm vé válik. A Fourier-transzformációval való most bevezett szoros kapcsolat miatt

25 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 4 magától értet d nek látszik, hogy az ott bevezetett fogalmak a z-transzformációnál is érvényesek legyenek. Nos, a helyzet majdnem ez. A majdnem szó mint látni fogjuk a fentebb említett konvergenciatartományok miatt szerepel. Természetesen a z-transzformáció is egy líneáris operátor, amelynél a líneáris kombinációt alkotó sorozatok transzformáltjának konvergenciatartománya az egyes sorozatok konvergenciatartományainak a metszete. A transzlációval való kapcsolat a következ formában érvényesül: Z(τ m x(n)) = n= = z m x(n m)z n = k= k= x(k)z k = z m X(z), x(k)z (m+k) = (3.33) ahonnan a z = e iω helyettesítéssel visszakapjuk a (.15) alatt bevezetett Fourier-transzformációra vonatkozó összefüggést. A konvergenciatartomány a transzláció hatására nem változik meg. Legyen Z(x(n)) = X(z) a D : r < z < R konvergenciatartományban. Ekkor az id tartományban a komplex w n sorozattal való szorzásnak a z-transzformált w-val való dilatáltja felel meg, nevezetesen: Z(x(n)w n ) = n= x(n)w n z n = n= x(n)(wz) n = X(wz) = (δ w X)(z), (3.34) ahol a w egy tetsz leges komplex szám. A D konvergenciatartomány a w mennyiséggel átskálázódik: D w : r/ w < z < R/ w. Két sorozat valós konvolúciójának z-transzformáltjára a (.19) összefüggéshez hasonló van érvényben, nevezetesen most a Z(x(n) y(n)) = Z(y(n) x(n)) = X(z)Y (z) (3.35) formula teljesül, melynek konvergenciatartományára a línearitásnál elmondottak teljesülnek. A Z 1 inverz z-transzformáció egy X(z) z-transzformálthoz egy x(n) sorozatot rendel az alábbi módon: x(n) = Z 1 (X(z)) = 1 πi C X(z)z n 1 dz, (n Z), (3.36) ahol C egy olyan kontúrgörbe, amely az X(z) konvergenciatartományában, az óramutató járásával ellentétes irányban haladva körülfogja X(z) szingularitásait, valamint az origót. A fenti vonalintegrál a komplex függvénytanban

26 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 5 jól ismert Reziduum-tétel [1] segítségével könnyen meghatározható: x(n) = 1 X(z)z n 1 dz = πi C M Res z=zj (X(z)z n 1 ) = Z 1 (X(z)), (3.37) j=1 ahol z j -k (j = 1,..., M) a C görbe belsejéban lév pólusok. Arról már volt szó, hogy két valós sorozat konvolúcióját a z-transzformáció a transzformáltak szorzatába viszi át. Most vizsgáljuk meg két tesz leges x(n) és y(n) sorozat szorzatának z-transzformáltját. Ehhez legyenek az egyes sorozatokhoz tartozó transzformáltak X(z), illetve Y (z), melyek a D x, illetve D y tartományban konvergensek. Ekkor a sorozatok szorzataként deniált w(n) sorozat W (z) z-transzformáltját az alábbi komplex konvolúció segítségével számoljuk: W (z) = Z(w(n)) = Z(x(n)y(n)) = 1 πi C Y (v)x( z v )v 1 dv, (3.38) ahol C az óramutató járásával ellentétes irányítású, D x és D y tartományok metszetének konvergenciatartományában haladó zárt görbe. A most bevezetett (3.38) formulából közvetlenül levezethet a Parseval-féle formula: x(n)y(n) = 1 X(v)Y ( 1 πi C v )v 1 dv, (3.39) n= ahol v a v komplex konjugáltját jelöli. A korábbiakban láthattuk, hogy egy periodikus x(n) sorozatot az ugyancsak periodikus X(k) diszkrét Fourier-soros együtthatók segítségével írhatunk le, továbbá ez a kapcsolat a (3.18) és (3.0) szerint kölcsönös és egyértelm. Nyílvánvaló, hogy a periodikus x(n) sorozatnak nem létezik z- transzformáltja, hiszen a periodicitás miatt az el állító sor sehol sem fog konvergálni. Helyette emeljük ki az N-re periodikus sorozat egy periódusát és jelöljük x(n)-nel, azaz x(n) = x(n), ha 0 n N 1, és x(n) = 0 egyébként. Ez által a (3.9) alatt bevezetett z-transzformált a X(z) = n= x(n)z n = N 1 n=0 x(n)z n (3.40) véges összegre egyszer södik. Ezt összevetve a (3.18) alatti, X(k) DFS e- gyütthatók meghatározására szolgáló egyenlettel, meggyelhet, hogy X(z) és X(k) kapcsolatára az X(k) = X(z) z=e i πk N = X(ei πk N ) = X(ɛ N k ) (3.41)

27 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 6 összefüggés írható fel. Látható tehát, hogy az X(k) DFS együtthatók az X(z) z-transzformáltnak a komplex egységkörön felvett mintáival egyenl k, amely N darab minta a z = 1 pontból kiindulva egymástól π/n radiánra helyezkedik el. Most vizsgáljuk meg a kapcsolatot a másik oldalról is, azaz induljunk ki egy olyan nemperiodikus, általában véges hosszúságú x(n) sorozatból, amelynek létezik a (3.9) szerinti X(z) z-transzformáltja, amely egyértelm en adott. Ha most az X(z) egységkörös mintáit a (3.41) alatti összefüggéshez hasonlóan az X(k) = X(z) z=e i πk N = m= x(m)e i π N km = m= x(m)ɛ N km (3.4) formában DFS együtthatóknak tekintjük, akkor az inverz DFS transzformáció egy periodikus x(n) = 1 N N 1 k=0 X(k)e i π N kn = 1 N N 1 k=0 X(k)ɛ N kn (3.43) sorozatot rendel hozzá. A (3.4) alatti összefüggést behelyettesítve a most levezetett eredménybe a ( x(n) = 1 N 1 ) ( ) N 1 x(m)ɛ N km ɛ N 1 kn = x(m) ɛ N k(n m) N N k=0 m= m= k=0 (3.44) formulához jutunk, ahol a zárójelben lév kifejezés értéke éppen 1, ha m = n + rn és zérus, minden más m értékre. Ez utóbbi megjegyzés gyelembevételével végeredményül az x(n) = r= x(n + rn) (3.45) egyenl séghez jutunk, azaz a z-transzformált mintavételezésével és az azt követ inverz DFS transzformációval el állított periodikus x(n) sorozat a kiinduló x(n) sorozat N-pontos ismétlésével állítható el. Azonban az el állítás csak akkor lehet egyértelm, ha az x(n) sorozat hosszúsága eredetileg kisebb volt, mint N. Ellenkez esetben ugyanis, x(n) el állítása közben a sorozatok átlapolódnak és a z-transzformált mintavételezéséb l kapott x(n) sorozatból az x(n) nem nyerhet vissza. A probléma természetesen megoldható N növelésével.

28 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 7 Most a z-transzformáltat az egységkör mintáiból el állítjuk zárt alakban. Kindulva az N pont hosszúságú x(n) sorozat X(z) z-transzformáltjából: X(z) = N 1 n=0 x(n)z n, (3.46) helyettesítsünk az x(n) helyébe az x(n) sorozat (3.43) szerinti inverz DFS kifejtését (ez megtehet, hiszen x(n) = x(n), ha 0 n N 1). Ekkor kapjuk, hogy X(z) = N 1 n=0 ( 1 N N 1 k=0 X(k)ɛ N kn ) z n = 1 N N 1 k=0 X(k) ( N 1 ) (ɛ N k z 1 ) n. (3.47) A zárójelben lév kifejezés megadható zárt alakban a mértani sor részletösszegére vonatkozó formula segítségével, továbbá a ɛ N kn = 1 miatt az X(z) z-transzformált a következ alakot ölti: X(z) = 1 N N 1 k=0 X(k) 1 z N 1 z N = 1 ɛ N k z 1 N N 1 k=0 n=0 X(k) 1 ɛ N k z 1. (3.48) Azonban a mintavételezést általában egy r < 1 sugarú körön szokták elvégezni, ezért a (3.48) egy általánosabb alakja: X(z) = (1 r N z N ) 1 N k=0 N 1 k=0 X(rɛ N k ) 1 rɛ N k z 1. (3.49) Ez utóbbi formula kiszámítása a X(rɛ N k ) minták meghatározása miatt nehézkes, azonban, ha az r elég közel van az egységhez, akkor számolhatunk az N eredeti X(ɛ k ) mintákkal is. A most levezetett zárt alak segítségével a Fourier-transzformáltat is megadhatjuk ilyen formában a z = e iω helyettesítéssel. Ekkor ugyanis a (3.48) formula a N 1 X(e iω ) = X(k)Φ(ω π k) (3.50) N alakba hozható. Kifejtve a (3.48) alatti összeg k-adik tagját: 1 1 z N N 1 ɛ = z N ( N ) z z N ( ) N = k z 1 N z 1 ɛ N z 1 k ɛ N k ɛ N k z 1 z=e iω N 1 iω sin(n ω/) = e Ne iπk/n sin(ω/ πk/n), (3.51)

29 3. FEJEZET. TRANSZFORMÁCIÓK 8 majd a k = 0 esethez tartozó számolgatások után Φ(ω) interpoláló függvény explicit kifejezhet a N 1 iω sin(n ω/) Φ(ω) = e N sin(ω/) (3.5) formula segítségével. Összefoglalva a kapott eredményeket a Fourier-transzformált az alábbi zárt alakra hozható: X(e iω ) = N 1 k=0 N 1 iω sin(n ω/) X(k)e Ne iπk/n sin(ω/ πk/n). (3.53)

30 4. fejezet Algoritmusok 4.1. Gyors Fourier-Transzformáció A 3.5. szakaszban bevezetett DFT azért válhatott a diszkrét idej jelfeldolgozás és sz rés meghatározó elemévé, mert léteznek olyan algoritmusok, illetve számítástechnikai megoldások, amelyekkel a DFT operációinak hatalmas m veletigényei igen nagy mértékben lecsökkenthet k, ezzel sokkal hatékonyabbá és gyorsabbá téve a transzformációt. Egy N-pontos DFT közvetlen kiszámítása során bármelyik X(k) DFT együttható kiszámításához N komplex szorzást és N 1 komplex összeadást kell elvégezni. Ez azt jelenti, hogy az N darab együttható meghatározásához összesen N komplex szorzásra és (N 1)N komplex összeadásra van szükség, tehát a transzformáció m veletigénye O(N ). Természetesen a komplex m veleteket a jól ismert ɛ k (x) = e iπkx = cos(πkx) + i sin(πkx), (k Z, x R) (4.1) Euler-formula segítségével felbonthatjuk valós operációkra a következ képpen: ( N 1 N 1 ( ) ( ) ) πnk πnk X(k) = x(n)ɛ N nk = x(n) cos i sin = N N n=0 n=0 [( N 1 ( ) ( ) ) πnk πnk = R(x(n)) cos + I(x(n)) sin N N n=0 ( ( ) ( ) )] πnk πnk i R(x(n)) sin I(x(n)) cos, (4.) N N ahol R(x), illetve I(x) a komplex x szám valós, illetve képzetes részét jelölik. Az így kialakított valós operációk m veletigénye 4N valós szorzás és 9

31 4. FEJEZET. ALGORITMUSOK 30 N(4N ) valós összeadás. Mindehhez hozájön még a komplex x(n) sorozat N valós mintájának, valamint az ɛ N nk tényez knek megfelel színuszés koszinusz-együtthatók sorozatának tárolása. Ezek után nem nehéz belátni, hogy az N-pontos DFT direkt módon történ kiszámítása N -tel arányosan n. Ezzel szemben a most bemutatásra kerül gyors Fouriertranszformációk (FFT), egy ugyanilyen N elem bemenet DFT kiszámításához, csak N log N komplex m veletet végeznek. Ez a log N/N arányú m veletigény-csökkenés méltán tekinthet radikálisnak, hiszen már egy N = 104 elem bemeneti minta transzformációjának kiszámítása is kb szoros javulást eredményez. A következ kben egy példán kersztül szemléltetjük a DFT redundanciáját. Legyen a bemenetünk egy N = 8 pont hosszúságú, zérusokkal 16 elem re kiegészített valós sorozat. A sorozat valóssága miatt a (4.) alatt levezetett összefüggés az alábbi 15 ( ) nkπ 15 ( ) nkπ X(k) = x(n) cos i x(n) sin 8 8 n=0 n=0 (4.3) egyszer bb alakba írható. Ismeretes, hogy a DFT-re érvényes az úgynevezett komplex konjugációs tétel [1], azaz fennáll a X(N k) = X(k), (k = 0, 1,,..., N ) (4.4) egyenl ség, ahol z a z szám komplex konjugáltját jelöli és N páros szám. A fenti (4.3) alatti egyenl ség k = 0, 1,..., 8 értékek melletti, pl. cos(nkπ/8) számokat tartalmazó, 16 oszlopos C mátrix sorainak száma, az iménti (4.4) tétel következményeként, 9-re redukálódik. Ez által a szögfüggvények értékeit tartalmazó C mátrix a 4.1. ábrán látható alakba írható, ahol az a, b és c speciális konstansok érétkei rendre cos(π/8), cos(π/8) és cos(3π/8). E mátrix segítségével a DFT a következ mátrix-vektor szorzatként állítható el : X = Cx, ahol x a 16 elem mintát tartalmazó bemen jel, X pedig a DFT együtthaókat tartalmazó 9 elem tömb. A mátrixszorzás úgy interpretálható, hogy az x(n) bemen jelet 9 különböz koszinusz-generátor jellel összehasonlítjuk és k = 0, 1,..., 8 értékekre megvizsgáljuk, hogy a k-adik vizsgáló koszinuszjel mennyire hasonlít az x(n) sorozatra. A hasonlóság mértékén most egy diszkrét skaláris-szorzatot értünk, nevezetesen a C mátrix k-adik sorát jobbról megszorozzuk az x(n) mintákból álló x vektorral, mely szorzatnak az eredménye éppen az X(k) DFT frekvenciaminta valós része lesz. Ha most