Folyamatszimulációs módszer kidolgozása összetett spinrendszerek dinamikus NMR spektrumának számolására

Átírás

1 XXVIII. Országos Tudományos Diáöri Konferencia Kémiai és Vegyiari Szeció Szeged, árilis 2-4. SZALAY ZSÓFIA Folyamaszimulációs módszer idolgozása összee sinrendszere dinamius NMR serumána számolására Témavezeı: Rohonczy János ELTE Szervelen Kémiai Tanszé Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar

2 Taralomjegyzé Bevezeés... 3 Hımérsélefüggı NMR serumo szimulációja... 4 A hımérsélefüggı NMR seroszóia... 4 Néhány szó az NMR seroszóiáról... 4 Dinamius NMR... 6 Dinamius NMR serumo szimulációja... 8 Saius NMR serumo számolása... 8 A sőrőségmárix-módszer... 0 Közismer DNMR serumo számoló rogramo és jellemzıi... 2 Az MC-DNMR rogram elmélei háere... 5 A dinamius jelenség saiszius leírása... 5 A dinamius jelenség érelmezése a veormodell ereein belül... 5 Az idısála feloszása... 7 Álalánosíás csaol sinrendszerere... 9 Bázis- és sajáfüggvénye... 9 Dinamius fid illeve serum számolása Csereono ezelése öbb mag eseén A ifejlesze rogram néhány jellemzıje Álalános jellemzı A rogram alaszerezee Loális oszályo és eljáráso Megoszás öbb rocesszoron Gyaorlai éldá Kineiai esz: szimuláció egy magra Veormodell eszje: AB sinrendszer N,N-dimeil-aceamid Anilinszármazé szimulációja Izoroil-csoor szimulációja... 4 Összefoglalás Felhasznál irodalom... 46

3 Bevezeés Az NMR serumo szimulációja (émiai elolódáso és csaolási állandó alaján) elsı ránézésre egyszerőne őnhe, mivel az eleronszereze-számíásoól elérıen a Hamilonoeráor véges bázison rerezenálhaó. Ez a bázis n db feles sinő mag eseén 2 n méreő, ehá 0-5 magnál nagyobb rendszerere már csa seciális eseeben (moleulaszimmeriá figyelembe vevı egyszerősíéseel) számolhaó i a serum. Még ennyi mag is memóriaaaciás-roblémá ooz olyan eseeben, amior a vizsgál rendszerben valamilyen magcserefolyama jászódi le és anna idıállandója összemérheı a serum deeálási idejével. E cserefolyamao eredményeén az NMR serumo jellegzees hımérsélefüggı jelalaválozás muana. E jelensége vizsgálaával és leírásával foglalozi a dinamius NMR seroszóia. Ezen eseeben a szoásos idıfüggelen Schrödingeregyenle helye az idıfüggı ell megoldani, amelyhez az ún. sőrőségmárix-formalizmus alalmazzá. Eor a megoldandó egyenlerendszer a Hilber-ér helye (amelyne dimenziója 2 n ) Liouville-érben írhaó fel, amelyne dimenziója 2 2n. Enne öszönheıen a serumszimuláló rogramo fejleszéséne fı iránya a sőrőségmárix effeív méreéne csöenésére irányul (l nulla eleme elhagyása, szimmeria ihasználása). Jelen dolgoza émája egy olyan, folyamaszimuláción alauló DNMR serumo szimulációjára alalmas rogram ifejleszése, amely lényegesen isebb memóriaigényő a orábbianál, és így alalmas soal nagyobb sinrendszere számolására is. Ez elsısorban anna öszönheı, hogy a szimuláció algorimusa alajaiban elér a hagyományos rogramoéól. A cserefolyamao félig fenomenologius - félig vanummechaniai megözelíése helye a rendszer saiszius viseledésé modellezve, a nagy számo örvénye alaján becsüli meg a ísérlei serumo. Így a eljesíheelenül nagy memóriaigény elfogadhaó méréőre csöen, megnı viszon a számoláshoz szüséges idı. A rocesszoro fejlıdése és öbb géen való árhuzamosíás leheısége jelenısen lerövidíhei az ilyen fuaáso idejé. Ez uóbbi leheıség ihasználására az elészíe rogramo öbb rocesszoron való fuásra is alalmassá eü. A dolgozaban elıször az NMR és DNMR seroszóia elméleéne néhány idevágó megállaíásá einjü á. Ezuán a özismer szimulációs módszererıl lesz szó. A harmadi részben a ifejlesze rogram alajául szolgáló modell ismereése és anna elmélei érelmezése öveezi. Ezuán röviden ismerejü a fonosabb rogramozásechniai részleee. Végül néhány szimulációs éldán ereszül szemlélejü az algorimus eljesíıéességé. 3

4 Hımérsélefüggı NMR serumo szimulációja A hımérsélefüggı NMR seroszóia Néhány szó az NMR seroszóiáról Az NMR jelenség alaja az, hogy a 0-nál nagyobb sinő mago mágneses ér ávolléében degenerál állaoai mágneses érben felhasadna (Zeeman-felhasadás). Ez a felhasadás a mag I mágneses momenuma eseén 2I energiaszine eredményez, amelye egymásól azonos ávolságra vanna. Tehá feles sinő mag eseén (és a ovábbiaban csa ezerıl lesz szó) é megülönbözeheı sinállao eleezi, amelyee α és β állaoona nevezün. A felhasadás mérée E = hγ B N () ahol B a ülsı mágneses ér nagysága és ħ a Planc-állandó. A γ N giromágneses faor az ado izoóra jellemzı anyagi állandó. A E = hν összefüggés szerin, az energiaülönbségne megfelelı ν frevencia a mágneses ér nagyságával arányosan nı, iiusan MHz nagyságrendbe esi. A B mágneses ér nem egyezi meg a seroméer B 0 homogén mágneses erével, mivel az a mag örüli eleronfelhı leárnyéolja, módosíja. Az árnyéolás is arányos a B 0 érrel, ehá az energiaülönbség a öveezı éleel írhaó le: ( ) E = h γ B N 0 σ (2) ahol σ a émiai árnyéolási ényezı (enzor, ami oldaban salárén ezelheı). Ez iiusan 0-6 nagyságrendő, ezér m-ben szoás megadni. A gyaorlai NMR araméere özö az árnyéolás helye émiai elolódás szoás megadni, amine élee: ν ν ref δ = = σ ref ν L ahol, ν az ado mag, ν ref a referencia Larmor-frevenciája, ν L edig a mag rezonanciafrevenciája. Az NMR seroszóiában az eleronfelhı magsinre gyaorol haása melle a sine egymással való ölcsönhaásá is figyelembe ell venni. Eze a ölcsönhaáso a ülönbözı csaolási állandóal (l. dioláris, sin-sin, vadruol csaolás) írhaó le. Az olda NMRben eze özül elsısorban a sin-sin csaolás mérheı, enne mérıszáma a csaolási állandó (J ij ) []. Az ún. veor-modellben [] a sinállaooa (I = ½ eseén α és β állaoo) veoroal szimbolizálju, amelye hossza I( I ) σ h. Eze mágneses érben úgy állna be, hogy z- (3) 4

5 irányú veüleü I z = mħ. Ez megfelel anna, hogy az I és I z vanummechaniai imulzusmomenum-oeráoro sajáéréei I( I ) h illeve mħ (m = -I, -I..., I-, I). Mivel a I oeráor omonensei egymással nem ommuálna, a (mágneses ér iránya álal iünee) z irány sajáállaoai nem sajáállaoai I x és I y oeráorona. Emia a veoro x és y omonense a z melle meghaározhaalan, eze az xy sí bármely irányába állhana, így az ado sinvanumszámhoz arozó veoro egy ú felszínén helyezedne el. Továbbá, eze a veoro nem állna, mivel forgaónyomaé ha ráju mágneses momenumu mia. Enne megfelelıen mindé úon ν L frevenciával recesszálna (azonos irányba), ahol a Larmor-frevencia: Észreveheı, hogy L ( σ ) ( ) ν L = γ N B0 2π. (4) E = hν, ahol E a é állao energiájána ülönbsége. A ovábbiaban, az egyszerőség edvéér vizsgáljun egyelen izolál mago. Ilyenor a é állaoo α (m = ½) és β (m = -½) szimbólummal szoás jelölni. A modell szerin mágneses érben az egyes magona megfelelı veoro é ú menén helyezedne el. Eze oulációja ermodinamiai egyensúlyban a Bolzmann-saiszia szerin: N N α β E = ex (5) BT ahol N α és N β a é szin oulációja, E a fen leír (oziív) energiaülönbség, B a Bolzmann-állandó, T a hımérséle. A veoro eredıje a maroszóius mágnesezeség veor (M). Ez egyensúlyban z irányú és hossza (5) egyenle szerin nem nulla, ugyanaor mási é omonense az egyenlees eloszlás mia iálagolódi (az xy sí degenerál). Az NMR mérés során elıször minden mago gerjeszün egy B erısségő, ν L frevenciájú, ulzussal. A besugárzás haására é folyama indul meg: egyrész a rezonancia mia leheségessé váli az ámene az α és β állaoo özö és a é energiaszin oulációja ado idı elelével (90 -os ulzus) iegyenlíıdi. Ezzel árhuzamosan, a B ér haására megszőni a degenerálság az xy síban, és a veoro összesörıdne (. ábra). Tehá a 90 os gerjeszés öveıen az M veor x irányba mua, és ezuán magára hagyva így recesszál ovább. Ez nem az jeleni, hogy a rendszerün egyelen magból áll, hanem az, hogy az összes magfajából csa egye einün, amine a ölcsönhaása a öbbivel elhanyagolhaó. 5

6 Ez a veor deeálju x irányban, amine eredménye egy szinuszgörbe lenne. A ülönbözı relaxációs folyamao mia (eze részleei meghaladjá a jelen dolgoza ereei) a gerjeszés megszőnésé öveıen foozaosan visszaáll az egyensúlyi állao: csöen a veoro mozgásána oherenciája y z B x. ábra Sine veormodellben egyensúly eseén, valamin B válozó mágneses ér jelenléében. (sin-sin relaxáció, T 2 ) és visszaáll a Bolzmann-eloszlás (sin-rács relaxáció, T ). Eze eredményeén a deeál jel (free inducion decay, fid) inenziása exonenciálisan csöen, a folyama idıállandója T 2 *, a lászólagos relaxációs idı. Eze az idıállandó oldaban jellemzıen néhány másoderc nagyságúa. Az így ao fidbıl Fourier-ranszformációval aju meg a Lorenz-görbébıl álló serumo (a frevencia függvény). Az egyelen frevencián iado RF ulzus (mivel viszonylag rövid) - függelenül a émiai árnyéolásülönbségeıl - a vizsgál izoófaja összes magjá egyszerre gerjeszi, viszon a hosszú deeálás (néhány másoderc) ala a magoa már ülönbözı, egyedi frevenciával észleljü. Enne megfelelıen a fid exonenciálisan lecsengı szinuszo szuerozíciója. [] Dinamius NMR Az elızı fejezeben, amior ijeleneü, hogy egyelen mag fidje lecsengı szinuszgörbe, feléelezü, hogy a deeálás ideje ala nem válozi meg a é sinállao energiaülönbsége, vagyis a (4) egyenle szerin a σ árnyéolási ényezı állandó. Elıfordulha azonban, hogy a mag örüli eleronfelhı megválozi, azaz a mag valamilyen émiai reacióban vesz rész. Ez lehe éldául egy öés örüli forgás, izomerizáció, vagy bármilyen egyéb egyensúlyi reació (l. sav-bázis egyensúlyban roondisszociáció). Ha egy ilyen reació sebességi együhaója () nagyságrendeel isebb, min a lászólagos relaxációs idı reciroa (azaz a mérés idısálájához viszonyíva a reació lassú), aor mindé reaáns (izomer sb.) serumá ülön deeálju az egyensúlyi összeéelne megfelelı inenziásarányban. Amennyiben nagyságrendeel nagyobb, min, azaz a reació T 2 gyors, aor nem udun ülönbsége enni a seciesze özö és a szinuszo álagá deeálju (éldául szabadon forgó meil-csoor három evivalens hidrogénje, vagy vizes oldaban a savas roono vízzel összeolvadó jele). A é szélsıséges ese özö nyilvánvalóan van ámene, amior a és összemérheı, eor széles, eseleg T 2 6

7 alavonalba veszı, jelee aun [2-3]. Amior DNMR serumo szimulációjáról beszélün, aor az ilyen ineiai folyamaona a serumo alajára gyaorol haásá szerenén leírni. Az NMR serumo öbb oból függhene a felvéel hımérséleéıl. Egyrész a jelinenziás a Bolzmann-saiszia mia a hımérséle csöenésével nı, de ez a jele inenziásarányá nem válozaja meg jelenısen, csa a jel/zaj viszony javul. Az oldószer viszoziásána hımérsélefüggı válozása a jele szélességére gyaorol haás. A émiai elolódás is függhe a hımérséleıl (l. víz jele a 2. ábrán), de a legláványosabb az a válozás, amior a hımérséle válozaásával a jele alaja válozi meg a serumban. Ez aor öveezhe be, ha az oldószer (és a seroméer mőszai) araméerei álal meghaározo hımérsélearományon belül egy, az ado moleulá (mago) érinı cserefolyama sebessége annyi válozi, hogy az a serumban is érzéelheı válozás ooz. Ideális eseben a é elülönülı jelıl a hımérséle növelésével eljuhaun a eljesen össze- olvad (iálagol) jelig, de az is elég (lehe), ha csa megezdıdi a jele iszélesedése (aár az elülönülés, aár az összeolvadás irányában). Például az N,N-dimeil-aceamid eseén (2. ábra) alacsony hımérséleen é elülönülı N-meil-jele deeálun. A mina melegíésével eze foozaosan szélesedne, majd szine beleveszne az alavonalba (oaleszcencia), egybeolvadna, majd az álagos émiai elolódásnál iemeledne és végül i iélesedene. Ilyen eseeben a vál- * * δ / m 2. ábra Az N,N-dimeil-aceamid * T=420 K T=370 K T=350 K T=320 K NMR seruma négy ülönbözı hımérséleen (250 MHz észüléen). A *-gal jelöl csúcso az oldószerben (d 6 -DMSO) oldo víz jelei. ozás ineiai araméerei is meghaározhaó, ha öbb hımérséleen is felvesszü a serumo. A legegyszerőbb összefüggés szerin, é szingle jele érinı egyelen cserefolyama oaleszcencia állaoában = π 0, 5 ν (6) c ahol a sebességi együhaó, ν a é jel frevenciájána ülönbsége [4]. Ebbıl az Eyring- Polányi egyenle alaján ölcsönös csere eseén megahaju a reació aiválási szabadenaliájá a oaleszcenciahımérséleen (h, B, R a szoásos állandó, κ =, T c a oaleszcenciahımérséle): H 7

8 G c = RT c hc ln (7) κ BTc Enne a élene nagy hibája, hogy csa abban az eseben használhaó, ha mindé jel szingle, ovábbá meg udju állaíani a é elülönülı jel elolódásá. Ez már önmagában elég seciális helyzee jelen. A módszer ovábbi hibája, hogy a oaleszcencia hımérséleéne meghaározása is onalan, és a ao mennyiség ( G ) még mindig hımérsélefüggı. Többféle mágneses érben meghaározva a oaleszcenciahımérséleee már megahaju az aiválási araméeree, de ez sem álalánosan alalmazhaó megoldás. Bonyolulabb eseeben ezér mindenéen szüségessé váli a eljes serumsoroza szimulációja [5]. A 2. ábrán a csillaggal jelöl csúcso az oldószerben oldo víz jelei. Eze émiai elolódásána válozása hasonló hımérsélefüggı cserefolyama, min a dimeil-aceamid eseében. A ülönbség annyi, hogy ennél a folyamanál nem haározhaó meg a folyamaban rész vevı seciesze, és az összee egyensúly eredménye a hımérséleel válozó émiai elolódás. Az ehhez hasonló jelenségee álalában nem sorolju a DNMR jelensége örébe. Dinamius NMR serumo szimulációja Saius NMR serumo számolása A dolgoza árgya egy olyan rogram, amely dinamius NMR serumo szimulációjára alalmas. Enne számolási módszere a saius örülménye (ehá ahol a deeálás ideje az eseleges cserefolyamao sebességi állandójával nem összemérheı) özö felve serumo számolási módszerére éül, ezér elıször érdemes áeineni enne fonosabb onjai. Az egydimenziós saius NMR seroszóia serumszámíási módszerei és egyenleei a 60-es évere idolgozá. Az eljárás a szoásos vanummechaniai formalizmus veszi alaul: az idıfüggelen Schrödinger-egyenle alaján a rendszer leheséges sajáállaoaina (ψ i ) energiái a Hamilon-oeráor sajáéréei; a jele frevenciája ezen energiá ülönbségeine felel meg. Konréan a Hamilon-oeráor (relaxáció nélül) a öveezı alaba írhaó [4,6]: ) ) ) ) H = ν I J I I (8) i zi i i i< j ij i j 8

9 ahol ν i az i mag émiai elolódása, J ij az i és j mag özöi csaolási állandó, Î ill. Î z a magra haó imulzus-oeráor ill. enne z irányú omonense. Ez az oeráor már Planc-állandóval oszva van, azaz a sajáéréei özvelenül a frevenciá leszne. A öveezı léés a Hamilon-oeráor ifejése egy alalmas bázison. A ermészees bázis az ún. szorzafüggvénye adjá, amelye alaja φ i = ααββ...α, azaz olyan sinsajáfüggvényszorzao, amelyben a. ényezı a. mag sinfüggvénye. Ilyen függvénybıl n darab feles sinő mag eseén 2 n van, ami ugyan véges eljes bázis (ellenében az eleronszerezeszámíásonál használ végelen vagy nem eljes bázisoal), de exonenciálisan nı a rendszer méreével, ami álalános eseben jelenısen orláozza a rendszer méreé (20 magra - l. 20 csaoló hidrogén aralmazó moleulára b. 0 6 méreő bázis jelen, amin a Hamilon-oeráor márixána memóriaigénye b. 4 Tb lenne egyszerősíése nélül). Az imulzusmomenum-oeráoro haása a bázisfüggvényere egyszerő szabályohoz veze, amelye alaján a szorzabázison a Hamilon-oeráor márixána elemei a öveezıéen alaulna: H = ϕ H ) ϕ = mν J D (9) i i i i i< j ij ij és az offdiagonális elemere: H l = H l = ϕ H ) ϕ = J F (0) l i i< j ij ij ahol D ij = illeve -, ha a. bázisfüggvényben az i. és a j. sinfüggvény aralel ill. aniaralel és F ij =, ha a. és l. bázisfüggvény eredı sinvanumszáma azonos és onosan az i. és a j. sinfüggvényben ülönbözne, egyébén nulla [4]. Eze alaján önnyen beláhaó, hogy a márixna csa azon H ij elemei leszne nulláól ülönbözıe, ahol a φ i és a φ j báziso eredı sinvanumszáma azonos (azaz azonos számú β- aralmazna). Tehá, ha a bázisfüggvényee eredı sinvanumszám szerin csoorosíju, aor a márix szerezee blodiagonális lesz, és a sajáveoro is az egyes bloohoz rendelheı leszne. Enne megfelelıen beszélheün ado szinhez arozó (ado eredı sinvanumszámú) bázis ill. sajáfüggvényerıl. A blodiagonális ala mási elınye, hogy ezzel némi memóriaerüle sórolhaó. Ugyanis nem ell egyszerre a eljes márixo a memóriában árolni, elég egy bloo, amelyhez n darab n mag eseén a. szinen méreő bázis arozi. Ez a nyeresége azonban nem szabad úlbecsülni, a 3. ábrán láhaó, hogy a legnagyobb ( n ) exonenciálisan nı, min a eljes márix eseén (csa az ala 2 helye,9). = bázis méree ugyanúgy 2 9

10 Az elıbbie alaján feléíe márix diagonalizálásával megaju a rendszer sajáállaoai (ψ i ) és a hozzáju arozó energiáa (frevenciáa). A serum szimulációjához szüség van még az inenziáso iszámíására: ) 2 A = I ψ () l ψ ahol Î az ún. léeı (gerjeszı) oeráor (i az imaginárius egység): ) ) ) I = I ii x y = I j ) l xj ) ii yj (2) ábra A legnagyobb méreő márix dimenziója a rendszer méreéne függvényében: a eljes Hamilon-márix (iros) és blodiagonális felbonással (é) logarimius sálán. n Az egy maghoz arozó léeıoeráor haása a é sinfüggvényre (j ill. csa az szimbolizálja, hogy azonos ill. ülönbözı maghoz arozna, φ a eszıleges bázisfüggvény lehe): ) I α j j ) = 0 és I j ) β = α illeve I ϕ = 0. (3) j j j Mivel a bázisfüggvénye is és a sajáfüggvénye is oronormál bázis alona, az ámene ilo, amennyiben a é sajáfüggvényne nincs olyan omonense, amelyi onosan egy bázisfüggvényben ér el. Mivel a Hamilon-oeráor márixa oálsinvanumszám szerin blodiagonális, az ámenee csa a szomszédos szine özö lehene megengedee ( I o = ). A onré inenziásoa, eze figyelembe véelével, a () egyenle alaján lehe iszámíani [4]. A sőrőségmárix-módszer A hımérsélefüggı NMR-serumo számolása a saiushoz ées csa egyelen bonyodalma jelen: a folyamao idıbeli lefolyása mia a rendszer idıfüggı Schrödingeregyenleé ell megoldani [5,7]: i ψ H ) ψ i i h = ahol a ψ i sajáfüggvénye már az idııl is függne (ehá eze nem azonosa az elızı részben ψ-vel jelöl függvényeel). A dinamius NMR serumo szimulációjára álalánosan elerjed módszer az sőrőségmárix formalizmuson alaul. Enne özonjában a sőrőségmárix áll: j (4) ρ = ψ j ψ j (5) N 0

11 azaz * ρ l = ϕ ψ j ψ j ϕl = c jc jl (6) N N j j feléve, hogy a sajáveoro oronormála és = f ψ c ϕ. (7) Eor az Î oeráoro várhaóéréé (ami maga a serum) a öveezı összefüggés adja: ) Y ν = Trace ρ I. (8) f ( ) ( ) Az egyenleben az ismerelen a sőrőségmárix. Ez a Liouville-Neumann-egyenle megoldásával ahaó meg: ρ ih =, f ) [ ρ ] Ahol a jobb oldalon a é oeráor ommuáora szereel. A megoldáshoz szüséges Hamilon-oeráor eé szoás válaszani a saius serumonál bevezee, szigorúan vanummechaniai alara éülı, izolál sinrendszer leíró Ĥ oeráorra és a örnyezeel (oldószerrel, más moleuláal) való ölcsönhaás leíró agora. Ez uóbbia fenomenologius alaon bevezee ago, ezér nincs érelme a ommuáoron belül ezelni ıe. Az így ao differenciál-egyenlerendszer: H o ) ) [ ρ, H ] Rρ (9) ρ = 2 π i (20) ahol az R ) oeráor alaja a relaxációs modellıl függ. Ez írja le az összes mechanizmus szerini relaxáció és a émiai válozásoa. Az ebbıl levezeheı differenciálegyenlerendszer (a legelerjedebb Wangsness-Bloch-Redfield-féle fenomenologius relaxációs modell szerin [8]): = 2π i ) 0 r2 ρ ρ ρ ρ [ ρ, H ] ρ r ρ T ahol ρ 0 a sőrőségmárix a = 0 illanaban, T és T 2 * a már bevezee sin-rács és sin-sin relaxációs idı, az r indexő összegzés a leheséges reacióra vonaozi, az egyes reació idıállandója τ r, a számlálóban szerelı é márix edig a icserélıdés elıi (r ) és uáni (r 2 ) állao sőrőségmárixá jelöli. Az egyenlerendszer ismerelenje a ρ márix, amelyne méree 2 n x 2 n. Ez a márixo egyelen 2 2n méreő szuerveorba rendezve áérheün a Liouvilleérbe. I a differenciálegyenlerendszer alaja: ρ = i T * 2 0 ( L L ) ρ R( ρ ρ ) Xρ r τ r (2) 0 (22)

12 ahol az L 0, L, R és X a idıfüggı és az idıfüggelen saius ( izolál ) Hamilon-oeráor, valamin a relaxációs és a icserélıdési oeráoro szueroeráor megfelelıi. Kémiai egyensúly feléelezve élheün a vázisacionárius özelíéssel [9], azaz: ρ = 0 = ( L R X ) ρ C (23) ahol C aralmazza a orábban definiál oeráoro haásá ρ-ól függelen agora. Enne a lineáris egyenlerendszerne a megoldása szolgálaja az eredmény, azaz a ρ sőrőségmárixo, amelybıl a (8) egyenle alaján számolhaó a serum. Ez gyaorlailag az (L R X) márix diagonalizálásá jeleni, amine méree (alaérelmezés szerin) 2 2n x 2 2n. A számolás idıigénye megfelelı algorimussal rövidíheı (l. az L márix frevenciafüggı, de mégsem ell minden frevencián újradiagonalizálni [7]), a memóriaigény azonban már nagyobb robléma. A saius serumo számolásánál láu, hogy az oani H márix blodiagonális. Ez a ulajdonsága ermészeesen i is megmarad, ehá az eredı sinvanumszám szerin i is bloora bomli a márix. Ez a nyereség, amin az az 3. ábra muaja, csuán egy-é ovábbi mago adha a rendszerhez. A nagy memóriaigény a módszer legnagyobb háránya és álalában a dinamius NMR serumo szimulációjána legfıbb gája. Például, már egy olyan egyszerő moleula, min a glüóz H NMR serumai sem lehe ezzel a módszerrel szimulálni, mivel a rendszerben csa a é anomer haos győrő feléelezve 7 x 2 = 4 mago jelen. Azér ell megszorozni eıvel, mer a sőrőségmárix módszernél minden mago bele ell számíani a sinrendszerbe, ami valamelyi omonensben benne van. Tehá a glüóznál mind a hé hidrogén a é állaoban ülön számí. (Csa a hé C - H hidrogén számí, mivel nehézvizes oldaban az O - H hidrogéne jelei a vízzel összeolvadna, minha nem is a moleulához aroznána.) Így a eljes márix méree 0 6 nagyságrendbe esi, ami egyszerősíés uán is 0 8 nagyságrende jelen, ami már önmagában Gb-nyi memóriá igényel. Ha már nem csa ez a é izomer szerenén figyelembe venni, vagy nem vizes oldaban le felvéve a serum, a márix méree is nı (a reduál márix is 0 5 méreő 2 x 2 magra). Közismer DNMR serumo számoló rogramo és jellemzıi Az ismeree elven mőödı NMR serumoa számoló rogramona soféle válozaa van, mind dinamius, mind egyszerő serumo számolására. Ebben a fejezeben eze néhány jellemzıjé ismerejü. A orai rogramo még nem a seroszóiai araméerebıl számolá a serumoa, csuán a megjelenı csúcsora illeszee öbbnyire Lorenz-görbé. A számíógée 2

13 fejlıdésével ez a módszer iszoríoá azo a rogramo, ami már énylegesen a émiai elolódáso és csaolási állandó alaján, az elızı részben ismeree vanummechaniai elven számolá i a serumo. Ilyen módszerrel eljesen álalános eseben a 990-es éve elején 8-9 mago aralmazó rendszerere álalánosan használhaó rogramo jelene meg [0-4]. Az exonenciálisan növevı memóriaigény nyilvánvalóvá ee, hogy a számíógée fejlıdése nem elegendı, ezér ülönbözı módszeree fejleszee i a moleulá szimmeriájána ihasználására [5-7]. Például egy meil-csoor három hidrogénjé a hagyományos módon 2 3 = 8 bázissal lehe leírni, de a valóságban csa 4 állaoa van, ami a bázis méreé rögön a felére csöeni. A mási leheséges egyszerősíés, hogy az egymással nem csaoló csooroa elülönülen ezeli, ezálal igen jelenıs megaaríás érheı el. Ilyen egyszerősíı módszereel aár 20 magból álló (megfelelı szimmeriával rendelezı) sinrendszere saius serumai is szimulálhaó (l. Win- Daisy [5]). Ezen rogramo öbbsége valamilyen ierációs algorimus segíségével a serumaraméere meghaározására is alalmas. A dinamius serumoa számoló rogramoa az 970-es évere fejleszeé i. Eze özül a legelerjedebbe a DNMR soroza rogramjai vola [8-20]. Ez ezdeben (DNMR3-ig) még nem ierál, csa a serumaraméerebıl szimulál egy serumo. Az uolsó ismer válozaa (DNMR5, [20]) már ierációra is ées, a DNMR3 válozahoz ées azonban más jelenıs fejlıdésen nem men ereszül. Ezzel a rogramcsomaggal néhány (iiusan 2-4) csaoló mag serumá lehe iszámolni úgy, hogy eze özö eszıleges (elsırendő) cserefolyamao lehene. Hasonló elven mőödi az NMRLoo rogramcsomag [2] DNMR szimulációs része is. Aró válozaásoal (l. saius sajáveoro használaa a szorzafüggvénye helye) a Liouville-márix méreé b. negyedére csöeneé, de ez a szimulálhaó rendszer maximális méreé nem soal javíja. I is leheıség van seciális sinrendszere szimulációjára. A Bruer BioSin GmbH ToSin rogramjána - émavezeım álal ifejlesze - dinamius NMR serumoa számoló TEDDY modulja [22] is a sőrőségmárix bloosíásán és a Liouville-Neumann-egyenle (9) vázisacionárius megoldásán alaul. A rogram eszés szerini sinrendszer, szeudo-sinnel jellemze sin-csooroa és ugyancsa eszıleges, aár öbb mago is érinı cserefolyamao ud ezelni. Ugyanaor a fen ismeree memóriaorlá ez eseben is fennáll. Az uóbbi éveben ifejlesze új szemléleő rogramcsomag a MEXICO [23]. Enne mőödéséhez új módszeree is ifejleszee [24] (más relaxációs modell és ineiai 3

14 leírás használ), de alaveıen még ez is a sőrőségmárix-módszerre éül. A MEXICO3 rogrammal az álalánosan szimulálhaó mago száma nagyjából megegyezi a DNMR5 eljesíıéességével. A rogram egyelıre csa é sinrendszer ezelésére alalmas (ehá egyelen egyensúlyi reació írhaó le vele) és ierációs algorimus sem éíee bele. Megemlíendı még a WinDNMR 7. rogram is [25], amely elsısorban oaási céllal észül. Ez meghaározo sinrendszere (AB, AB 2, ABX, ABX 3, AA'BB', AA'XX') dinamius serumai ées szimulálni és emelle alalmas eszıleges, legfeljebb 8 magból álló sinrendszer saius serumána iszámíására is [26]. A DNMR számoló rész aár 4 (szinglee eseén 8) állaoo is ud ezelni és soféle gyaran elıforduló csoorra ifejleszeé. Ez a rogram a vanummechaniai modell csa alalmazza, nem az alaján számol. A seciális sinrendszerere álalánosan megadhaó egyenleebıl számolja i a frevenciáa, majd eze alaján éíi fel a sőrőségmárixo. A öbbi DNMR serumo szimulációjára alalmas rogramban (éldául MesreS [27], inmr [28], SinWors [29]) a dinamius rész csa iegészíıén szereel. Eze elsısorban serumfeldolgozó rogramcsomago, amelyeel saius serumo araméereine illeszése melle is dinamius rendszere araméerei is meg lehe becsülni. Így álalában 2-4 magnál nagyobb rendszere serumá nem lehe velü iszámolni. Láhaó, hogy a dinamius serumo szimulációjána elsıdleges orlája, hogy a módszer memóriaigénye meghaladja a hagyományos serumszámoló módszereé, és nem arányosan, hanem örülbelül exonenciálisan nı az állaoo számával. Enne megfelelıen a legismerebb rogramo is csa - 4 álalánosan csaol mag 2-4 állaoána szimulációjára alalmasa. 4

15 Az MC-DNMR rogram elmélei háere A dinamius jelenség saiszius leírása A dinamius jelenség érelmezése a veormodell ereein belül Az lassziusna számíó módszere fen emlíe orláai a gyaorlaban az jeleni, hogy már egyébén icsine eine moleulá (l. glüóz) DNMR serumai sem lehe szimulálni. Ezér munán során arra öreedün, hogy nagyobb rendszere serumai szimuláló rogramo ervezzün és írjun, amely (egyelıre) a rendszer eseleges szimmeriájá nem használja i. A módszer memóriaigényéne elvi felsı haára a saius rendszere mérebeli orlája, mivel az egyes rendszere energiaszinjeine meghaározásá nem lehe megerülni. A rogram fiziai elve az elsı részben ismeree veormodellre éül. Az egyszerőség edvéér vizsgáljun ismé egyelen mago és legyen enne öbbféle leheséges örnyezee. Eor, a veormodell érelmében a deeálás során a maroszóius mágnesezeségveor álal induál jel (fid) exonenciálisan lecsengı szinusz lesz. A relaxáció csa exonenciális szorzó ad a fidben, ha feléelezzü, hogy minden magra azonos a relaxációs idı (ez a felevés nagy hibá nem ooz a számolásnál). A sine relaxációjáól ehá ámeneileg eleinheün. Így a fid egy szabályos szinuszgörbe lesz, amennyiben nincsen a deeálási idı ala cserefolyama. Érelmezzü a émiai válozás (ehá a émiai vagy izomerizációs reació, cserefolyama sb. beöveezésé) úgy, hogy az a recesszió sebességéhez ées elhanyagolhaó idı ala öveezi be (azaz a moleuláris folyamaoa elválaszju a sine viseledésé befolyásoló illeve leíró folyamaoól). Eor, a örályán mozgó veor (és így a fid szinuszána) frevenciája egyi illanaról a másira megválozi, de özben megarja illananyi fázisá. Így a ovábbiaban az új frevenciával recesszál ovább, a orábbi állaoáól izárólag a fázisa függ. Ez a ulajdonságo fogju ihasználni a rogramban. Tehá éleszerően: deeálás ala a csere elı az eredı mágnesezeségveor ω frevenciával recesszál, majd illanaban a frevencia hirelen ω 2 -re vál. A válás során a veor nem ugri, azaz a fázisoa illeszeni ell. Ez az illeszés abból az összefüggésbıl lehe iszámolni, hogy a válás illanaában a veor ugyano van, bármelyi frevencia szerin nézzü (a fázis a = 0 illanara visszaveíve számolju): ϕ ω = ϕ ω (24) 5

16 Árendezve: Az így ao fid: ϕ = ϕ ( ω ω ) (25) ( iω ) ex( iϕ ) a ex (26) ha a relaxáció nem vesszü figyelembe (a a jel inenziása). Mivel a másodi exonenciális ag idııl függelen, az amliúdóba beéíheı: ( iω ) ex( iϕ ) = y ex( iω ) a ex (27) ahol az y a fázisinformáció is hordozó omlex amliudó, a edig az ámene inenziása. Így a cserénél elég az amliudó nyomon öveni. Vizsgálju meg az egy magból álló rendszer viseledésé a hımérséle függvényében. Elméleben minden rendszer lehőheı annyira, hogy minden cserefolyama sebességi állandója a T 2 * reciroánál (az effeív relaxáció-sebességénél) lényegesen isebb legyen (feléelezzün, hogy ez 0, / s 0,2 0,3 =9998 =4998 =998 =998.0 =498.0 =98.0 =40.7 =98.02 =8.0 = ábra A melegíés haása egy mag eseén. A é frevencia:00 és 500 Hz. uóbbi nem függ a hımérséleıl). Eor nagyon icsi anna a valószínősége, hogy bármely 0, / s 0,2 0,3 =9998 =4998 =998 =998.0 =498.0 =98.0 =40.7 =98.02 =8.0 = ábra A melegíés haása a fid hosszára (00 ese álaga). A é frevencia 500 és 00 Hz. Láhaó, hogy a oaleszcencia (000 s - ) örnyéén a fid lecsengése nagyon rövid. moleula reagáljon, azaz bármely mag eleronfelhıje megválozzon. Ezér é elülönülı jele aun. A hımérséle növelésével nı, és ezzel együ nı anna a valószínősége, hogy a deeálás ideje ala megválozi a deeál mag örnyezee és így frevenciája. Ezér elıször néhány, majd so, végül olyan so csere jászódi le mérés özben, hogy már csa az álagu mérheı meg (4. ábra). Az idıben öbbféleéen reagáló moleulá álal ado jele összegzésével ao fid viseledése az 5. ábrán muao lesz: alacsony és magas hımérséleen a relaxáció eljes 6

17 egészében elhanyagolva a lecsengés minimális, míg a özes hımérséleen nagyon gyors lesz, mivel a ülönbözı fázissal érezı veoro saisziusan ioljá egymás. Ez a fenomenologius é onosan az az eredmény jósolja, ami dinamius NMR serumonál megszoun: a özes hımérséleeen a jel nagyon széles lesz. A rogram a Mone Carlo szimuláció ismer módszeré veszi alaul [30]: nagy, de véges (és rerezenaív) soaságon ve álagból számolja i a maroszoius araméeree (jelen eseben az M mágnesezeség veor öbb száz idıonban). Szőebb érelemben az ilyen íusú modellszámíásoa folyamaszimulációna (rocess simulaion) nevezi. Az idısála feloszása Vizsgálju a rendszer ineiai viseledésé, függelenül az NMR seroszóiáól. Legyen a reació álalános egyenlee: ij A i A (28) azaz minden secieszbıl onosan egy mási eleezi és minden reació elsırendő. Eor a rendszer ineiai viseledésé leíró egyenlerendszer egy egyenleéne álalános alaja [3]: d [ A ] d i = j i ij j [ A ] [ A ] = 0 ahol a nem léezı reacióra ij = 0 és i és j befuja az összes indexe. A cél az, hogy meghaározzu az auális állao élearamá vagy az az idıillanao, amior a reació illanaszerően beöveezi. Erre a rogram fejleszése során é megoldás éíeün be, amelyee illanaonéni dönésne illeve élearam-meghaározásna nevezün el. A illanaonéni dönés módszerben az haározzu meg, hogy egy ado idıillanaban öréni-e reació vagy nem. Az idısálá feloszju hosszúságú részere és minden egyes idıillanaban, egy generál vélelenszám alaján eldıl, hogy a rendszer a öveezı idıonban melyi moleulaállaoban lesz. A feloszás finomsága és az egyes reació sebességi együhaói alaján a differenciális ineiai egyenlebıl meghaározhaó, hogy az i. (auális) állaoból a j.-be erülés valószínősége: P ij = i [ A ] i j [ A ] i 0 ji j (29), (30) ahol [A i ] 0 az i. seciesz egyensúlyi oncenrációja. Eor anna a valószínősége, hogy az eredei állaoban marad a rendszer: j i ij P =. (3) ii ij 7

18 Ezebıl a P ij valószínőségebıl feléülı márix a szimuláció során állandó, ehá nem ell az állao minden újabb elıfordulásánál újra iszámolni. Ezzel a módszerrel minden egyes onban elég egy darab egyenlees eloszlású vélelenszámo generálni. Hibája viszon, hogy az eredménye (és fuási ideje) nagyon erısen függ érééıl, és diszré idısálá használ. Az élearam-meghaározás eseén nem a csere léé vagy nemléé, hanem az auális állao (egyedi) élearamá haározzu meg. Ehhez exonenciális eloszlású vélelenszámo ell generálni a visszaalaulás (ámeneileg) nem feléelezı inegrál ineiai egyenle alaján: [ Ai ] [ ] = ex ij Ai 0 j i ahol [A i ] 0 az ado seciesz egyensúlyi oncenrációjá jeleni. Láhaó, hogy ebben az összefüggésben is csa a vizsgál seciesz fogyaszó reació sebességi együhaója szereel. Ez azonban még nem mondja meg, hogy mi a öveezı állao (ha eınél öbb moleulaállao van). A árhuzamos reació ineiai leírásából ismer [3], hogy a ij sebességi együhaó aránya szabja meg, hogy milyen arányban eleezne a ermée (ahol j a ermé indexe). Tehá eınél öbb állao eseén még egy (ezúal egyenlees eloszlású) vélelenszámo ell generálni, mivel a é szám nem orrelálha. Enne a módszer- ne elınye, hogy az idısála folyonos, és evés csere eseén még így is evesebb vélelenszámra van szüség, minha ellıen is -vel feloszo diszré sála minden onján ellene egye generálni. A é módszer egy AB eszrendszeren hasonlíou össze. A 6. ábrán é, azonos araméereel de a é ülönbözı módszerrel meghaározo cserehelyeel, fuao szimuláció eredményé ábrázolu. Láhaó, hogy a é serumsoroza elérése saiszius hibán belüli. 0,00 0,25 0,50 0,75 δ / m (32) =998,0 =98,0 =48,04 =3, ábra A éféle csereongeneráló módszer összehasonlíása egy AB sinrendszer néhány serumán. A iros serumo ononéni dönéssel (0000 onal), a ée élearammeghaározással lee szimulálva. Tehá a é módszer valamelyiével (a = 0 ivéelével) minden idıonra meg udju haározni, hogy az éen vizsgál seciesz melyi moleulaállaoban van. A ezdei állaoo az egyensúlyi összeéel (állaoo özöi valószínőségi eloszlás) alaján haározhaju meg. Mivel a rendszer ermodinamiai és émiai egyensúlyban van, a 8

19 seciesze oncenrációja idıben állandó (azaz a válozásu 0). Az így (29) alaján felír egyenlerendszer ugyan alulhaározo, de hozzáéve a i [ ] = A (33) feléel, a ao lineáris egyenlerendszer megoldva megaju az egyes állaooban való arózodás valószínőségé (relaív oncenrációjá). Tehá minden elsırendő, egy iindulási secieszbıl egy ermée adó reaciósor eseén fel udju oszani az idısálá úgy, hogy az ürözze a vizsgál rendszer dinamius egyensúlyi állaoá. Egyféle feloszás még nem rerezenaív, de so függelen feloszással ao rendszer álaga visszaadja az egyensúlyi összeéel. Mielı ovábblénén, vessün egy illanás NMR-es szemonból a reació íusá orláozó araméerere: a cseré idıonjána meghaározásához csa az használu i, hogy az egyes reació a vizsgál omonensre elsırendőe. Tehá a öbbi reaáns rendje eszıleges lehe. Mivel émiai egyensúly van, az olyan anyago, amelyeel a serumo számíásánál nem foglalozun (l. oldószer, vagy olyan anyago, ami nem adna jele) eszıleges haványon befolyásolhajá a reació, hiszen oncenrációju állandó és a sebességi együhaóba beéíheı. A serumo befolyásoló öbbi vegyüle ebbıl a szemonból szinén hasonlóan ezelheı enne a reaánsna a szemonjából. A neó elsırend mindenéen öveelmény az egyenlerendszerben szerelı secieszere, mivel minden secieszre felír ineiai egyenlene elsırendőne ell lenni. Ilyen eseeben viszon mindenéen elıre ismernün ell az egyensúlyi összeéel. Összességében ehá a reacióról elég az megöveelni, hogy a vizsgál omonensere nézve szeudo elsırendőe legyene, a nem deeál (szimulál) anyago eszıleges haványon befolyásolhajá a reacióa. i Álalánosíás csaol sinrendszerere Bázis- és sajáfüggvénye Az NMR alajelenség leírásánál ismeree veormodell ierjeszése öbb, dinamius egyensúlyban levı magra nem riviális felada. Az egy sin egy veor megfeleleés lenne a ézenfevı, eor minden moleulához annyi sinú arozna, ahány mago aralmaz. Eor az egyes úoon az eredı veoro recesszálna, de frevenciáju függ aól, hogy a moleula öbbi sinúján meora az energiaülönbség. Eze egyie sem lesz sajáállaoban, így még egyelen sinúon belül is soféle energiaszin van, ami a eljes ée megbonyolíja, összezavarja. 9

20 Ennél a énél egyszerőbb, és az eredei modellhez jobban hasonlí, ha egy veor egy, az összes mag sinjé aralmazó függvényne felel meg (l. szorzafüggvényne vagy sajáfüggvényne). Eor még mindig fennáll az a robléma, hogy míg egy mag eseén a é bázisfüggvény az egy magból álló rendszer Hamilon-oeráorána sajáfüggvénye, addig öbb mag eseén ez oránsem igaz: a isza bázisállaoo (a ovábbiaban: szorza- vagy bázisfüggvénye, φ i ) álalános eseben nem sajáállaoai (a ovábbiaban: sajáfüggvénye, ψ i ) a rendszerne. A Hilber-érben mindé függvényrendszer eljes bázis alo és oronormál. Ha a sajáfüggvényee einjü a veormodellben egy darab veorna, anna az az elınye, hogy jól meghaározhaó energiáju van (mivel eze a Hamilon-oeráor sajáveorai), és ezér a belılü éze árona ado frevenciáju van. Nézzü meg, hogyan mőödi ez a modell egy illananyi () (2) reaciónál: az () állao sajáfüggvényei elveszi érelmüe, és az új állaoban eljesen új sajáfüggvénye jelenne meg. Eze szoásos szorzabázison ve együhaói is eljesen megválozna. Egy ado sajáállaoból bármelyi új sajáállaoba erülhe a rendszer és fordíva, egy új állao bármelyi régibıl eleezhe és ezuán eze ülön folyaódna, ehá a számolási igény az idı elırehaladával exonenciálisan nı. Mivel a régi állaoo frevenciája álalános eseben ülönbözı, a sajáveoro ülönbözı fázissal fogna megérezni, mindegyie fel ell még oszani (ehá i ell fejezni az () sajáfüggvényei a (2) sajáfüggvényei aloa bázison), és ez a sőrőségmárix módszerrel összemérheı méreő márixo roduálna. Ráadásul ezee az együhaóa a fid számolása során végig fel ell használni, azaz a árhelyigény enne soszorosa lesz. Tehá az a megoldás, hogy a veormodellben a sajáfüggvényee einsü egy veorna, udarcba fullad. Azzal, hogy nem a sajáfüggvényee vesszü a veormodell veoraina, elveszíjü az az elıny, hogy onosan ismerjü a frevenciájua. Viszon, ha az egy szorzafüggvény egy veor hozzárendelés vesszü alaul, aor soal fonosabb elınyhöz juun: feléelezheı, hogy a illanareació ala semelyi magsin sem válozi meg. Tehá, a szorzafüggvényenél megvan az a ulajdonság, ami a sajáfüggvényenél hiányzo: eze a reació ala is megmaradna, áviheı egyi rendszerbıl a másiba. Sı, eze a fázisua sem veszíi el a válozás ala. Nincsen viszon egyérelmően hozzáju rendelheı frevencia. Ha az egyes szine energiájá a Hamilon-oeráor várhaó éréével helyeesíjü, az hibás eredményre veze (l. egy forgó mein-csoor duble-duble jele még magas hımérséleen is duble marad szingle helye), ehá minden egyes frevenciával ülön ell a fide számolni, és ezee megfelelı súlyozással összegezni. A modell lényege ezen a súlyozás meghaározása. 20

21 Kvanummechaniából ismer, hogy amennyiben egy ψ sajáfüggvény a φ bázison a = f ψ c ϕ (34) alaban fejheı sorba, aor, mivel a Hamilon-oeráor hermiius és mindé függvényrendszer oronormál, f = f f f ϕ c ψ (35) Így anna a valószínősége, hogy a φ f állaoban lévı rendszer a ψ sajáállaoban van: (az együhaó valósa, ezér az abszolúéré elhagyhaó). Ebbıl egy ado frevenciájú (ψ ψ q ) ámene valószínősége meghaározhaó. A veormodellben láu, hogy ahhoz, hogy jele deeáljun, az szüséges, hogy é veor, amelye sinvanumszámána ülönbsége egy, azonos frevenciával recesszáljon. Jelen árgyalásban egyelen veorárna sincs meghaározo szögsebessége, csa ado frevencia-eloszlása. Tehá a é sajáállao együes elıfordulásána valószínősége fogja meghaározni a hozzáju rendelheı ámene valószínőségé. A (34) éleben az összegzés f indexe csa azoon a bázisfüggvényeen fu végig, amelyere az eredı sinvanumszám megegyezi ψ eredı sinvanumszámával. Ugyanis a Hamilon-márix blodiagonális szerezee mia az eıl elérı sinvanumszámú szorzafüggvénye együhaója mindenéen nulla lesz. Ebbıl (az idınyereségen ívül) az az elıny származi, hogy a ülönbözı eredı sinvanumszámú állaoo egymásól függe lene. Tehá a é sajáállao együes elıfordulásána valószínősége az auális bázisállaoo eseén c =, 2 2 c f c qe ahol φ e és φ f a é bázisállao és ψ q és ψ edig a é sajáállao. Ez a ifejezés beszorozva a ψ q ψ ámene inenziásával, megaju az ámene inenziásá az ado φ e, φ f bázisár serumában: 2 c f y = c 2 f c 2 qe ψ I ψ = c a. (36) Elıfordulha, hogy degenerál sajáfüggvénye is vanna, eor eze összevonhaó, és így is mérében csöenheı a szimuláció ideje. A ülönbözı bázisállaoohoz arozó a együhaó viszon semmiéen nem vonhaó össze, mivel a cseré éleeiben eze szorzaai szereelne (7. ábra). q 2 0,25 0,50 0,75,0 / s 7. ábra Ké ülönbözı bázisárhoz arozó függvénye álal ado fide: a é bázisár ülön számolva (alsó sor), eze összege (é) és az összevonan számol fid (özésı sor). Felsı sor: a éféleéen számol fid ülönbsége (0x nagyíás). 2

22 Dinamius fid illeve serum számolása Az elızı részben ismeree alaon, a fid számolásánál minden csere uán a iszámolandó fidrészlee száma megszorzódi a leheséges frevenciá számával. Ha ez így ellene végigszámolni, aor a szüséges számolás mennyisége a cseré számával exonenciálisan nıne. Ez a robléma a öveezı meggondolás alaján, elegánsan megerülheı: ihasználhaju, hogy az új frevenciá valószínőségi eloszlása függelen a veor addigi frevenciájáól, amin az a (36) éle muaja (csa az új állao együhaói szereelne). ω =7 Hz I =0,7 ω 2 =40 Hz I 2 = 0,3 ω =25 Hz I =0,6 ω 2 =3 Hz I 2 = 0,4 0,25 0,50 0,75,00 / s 8. ábra Egy é magból álló sinrendszer egy bázisárjához arozó jele felhasadása illanareació uán. A iros és a é szinuszgörbe az eredei állao é görbéje, mindeı é újabb (azonos színő) szinuszban folyaja a recesszió. A görbé fázisuban illeszve vanna, a lászólagos ugrás anna öszönheı, hogy az inenziáso összege adja i a orábbi.. Vizsgáljun egyelıre egy olyan cseré, ahol é frevenciából mási eı lesz. A feni érvelés szerin a szimuláció során a 8. ábrán láhaó (omlex) görbée ell iszámolni. Észreveheı, hogy a másodi szaaszban egy-egy nagyobb és isebb frevenciájú é és iros görbe van, amelye frevenciája megegyezi. A rigonomerius függvényere vonaozó azonosságoból öveezi, hogy é azonos frevenciájú és inenziású, de ülönbözı fázisú szinusz összege egy azonos frevenciájú, isebb inenziású és más fázisú szinusz: sin α β α β. (37) 2 2 ( α ω ) sin( β ω ) = 2sin ω cos Az összeadhaóság ülönbözı inenziáso eseén is igaz, csa o nem isza szinusszá alaul. Eor az összeadás úgy érelmezhejü, hogy a é azonos frevenciával recesszáló veor helye az összegüel számolun (9. ábra). A másodi szaaszban ehá egy-egy é és iros görbe összeadhaó, és ezzel a négy új görbébıl ismé é görbe lesz, azaz minden idıszeleben csa annyi frevenciával ell számolni, amennyi az auális állaoban van. Tehá nem jön hozzá semmilyen szorzó az elıéleébıl, ezálal elerülheı az exonenciális növeedés a szinuszgörbé ezelésében. 9. ábra Az azonos frevenciájú, ülönbözı fázisú jele együezeléséne érelme-zése a veormodellben. Az ábrázol sí az xy sí. Az azonos fázissal induló sárga és lila veor a válás idıonjában más fázisban lesz. Ezee veoriá-lisan összeadva az eredeinél isebb veor aun. Ez ismé é részre bonju, és a é új veor (é és iros) azonos fázissal indul ovább. 22

23 Térjün vissza még egy gondola erejéig erre a rendszerre. A csere során összesen négyféle magcsoor jelen meg, az eze álal ado fide muaja az 0. ábra alsó négy görbéje. (Így az is láhaó, hogy a fázisu valóban megmarad a csere illanaában.) Ezee a csere elı úgy csoorosíou, hogy a zölde és a lilá, illeve a irosa és a ée ezelü együ. A csere illanaában ez a é összevon görbe (sárga ill. söélila) omonenseire hasad, és a ao négy görbé mos már az új frevenciáju szerin csoorosíou, azaz a ée a zölddel és a irosa a szürével. Ezee összeadva ahaó meg a fid (0. ábra, legfelsı görbe). Azaz álalánosságban az mondhaju, hogy vesszü az egyes idıinervallumoon leheséges frevenciá öszes ombinációjá, majd ezee minden egyes idıszele- / s 0,25 0,50 0,75,00 0. ábra Egy éfrevenciájú bázisár önálló görbéi (alsó sor), eze összegei frevenciá szerin (özésı sor) és a eljes fid. A frevenciá megegyezne a 8. ábra frevenciáival. ben másé (az auális szelene megfelelıen) csoor-osíju, és ezzel aaríun meg (rengeeg) számolási idı. Tehá álalánosan: egy ado bázisállaoárra a. csere idıonja elı ω q, uána ω jelöli a frevenciáa ( =, q = nem felélenül ugyanannyi darab). Az inenziásoa a, a omlex amliudóa l y r (r. frevencia az l. csere uán), a sajáfüggvényár elıfordulási valószínőségé c jelöli. Ado új frevencia fidjé a orábbi frevenciából az abba örénı váláso összege adja: ( ( ( ) ( ( ) ) ( ) fid = = a c yq ex i ω δ q a c yq ex i ωq ω ex iω (38) q q amibıl a zárójeles rész inenziásna nevezve: fid ( i ) = a y ex ω (39) Az inenziás számolása is ovább egyszerősíheı: y = q c y q ex ( i ( ωq ω ) ) = c ex( iω ) yq ex( iωq ) q (40) 23

24 A éleben az inenziáso omlex mennyisége, a öbbi valós. Az árendezés uán láhaó, hogy a é mag eseében levon öveezeése az álalános eseben is igaza maradna: Az azonos frevenciájú részlee együ számíhaó, mivel az idı- és ωq -függı rész iemelheı az összegzésbıl. Az új fázis számolásánál az új és a régi frevencia szerini rész széválaszhaó, ehá uóbbi elég egyszer iszámolni. Az is megállaíhaó, hogy mivel csa az elızı cilus mennyiségei szereelne a éleben, már aor i lehe számolni. Ha a relaxáció, min exonenciális szorzó figyelembe vesszü, aor a ao fid: ( ) = ( fid a y ex i ω ) ex * (4) T ahol a jelölése a fen definiálana felelne meg. Innenıl éféle ú leheséges. Az elsı szerin a rogram csa a fidrészleee számolja i, enne valós és ézees részé összefőzi minden idıinervallumra, és összegzi minden bázisárra és függelen feloszásra. Eor az idısála ado onjaiban ell iszámolni a fide, ehá i a már diszré válozó. A onban a fid élee (ha < < ): illeve fid fid R I [ ] ( ( ) ( ) a Re y cos Im( y ) sin( ω ) = ω ex (42) * T [ ] ( ( ) ( ) a Im y cos Re( y ) sin( ω ) = ω ex (43) * T ahol a felsı indexben I ill. R a mennyiség valós ill. ézees részé jelöli. Az inenziáso valós része: Re ( ) y = ( ) ( ) ( ) ( ) c cos ω Re yq ex iωq sin ω Im yq ex iωq illeve a ézees rész: Im q ( ) y = ( ) ( ) ( ) ( ) c cos ω Im yq ex iωq sin ω Re yq ex iωq Az összegzés valós és ézees részé edig agonén lehe számolni: és q 24 q q (44) (45) Re ( ) yq ex iωq = ( Re( y ) cos( ω ) Im( y ) sin( ω ) (46) q q q q q q Im ( ) y ex iω = ( Re( y ) sin( ω ) Im( y ) cos( ω ) (47) q q q q q q q q

25 25 Az q y edig az elızı idıszaaszban iszámol inenziás, ivéve a legelsı idıszaasz (nincs elızı szaasz). A fide 0 fázissal ell indíani minden szinuszra, hiszen a veormodell szerini billenés uán a frevenciáól függelenül az x irányba áll a maroszóius mágnesezeségveor (azaz Re 0 = y és 0 Im 0 = y éréeel ell indulni). Ezuán a fidbıl diszré Fourier-ranszformációval megahaó a serum. Enne a megoldásna legfonosabb elınye, hogy egy feloszásra a fid minden onjá csa egyszer ell iszámolni (aor, amior beleesi az idıszelebe), ehá viszonylag gyors. A mási leheıség a serum iszámíására, hogy a deeálás nem diszreizálju. A fidrészleee folyonos Fourier-ranszformációval serumdaraboá alaíju, és ezee összegezzü. Eor a feni élee ell exonenciálissal beszorozni és inegrálni minden frevenciára: ( ) ( ) ( ) = ex ex ex * d i T i y a Y ω ω ω (48) áalaíva: ( ) = d T i i y a Y * ex ω ω ω (49) iinegrálva ( ) ( ) ( ) ( ) = T i T i i T y a Y * * * ex ex ω ω ω ω ω ω ω (50) bevezeve a = és a ω ω ω = jelölésee és árendezve: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = T i i y a T i T T Y * 2 2 * * * ex ex ex ω ω ω ω ω (5) Amine a valós része adja a serumo. Az ilyen elven mőödı szimuláció is gyaorlailag ugyanaz az eredmény adja, min az elızı. A robléma vele, hogy lényegesen lassabban mőödi, ugyanis minden idıinervallumra i ell számolni és össze ell adni a serum minden onjá, ami lényegesen öbb számolás jelen, min a fid szimulációja. Csereono ezelése öbb mag eseén A fid számolásána legfonosabb ényezıje, hogy a reació idıonjai megfelelıen legyene meghaározva. Ezeen az idıonoon múli, hogy a rogram fuása során a függelen mérése énylegesen ellıen függelene legyene, és az eredmény ürözze a reació sebességé is. Ezee a onoa a mago számáól függelenül ell generálni, ehá i is

26 érvényese az egy mago vizsgáló részben leíra. Egynél öbb mag eseén az az újabb érdés merül fel, hogy a ülönbözı bázisáro serumai azonos vagy ülönbözı feloszással számolju-e. A evesebb számolás igénylı megoldás szerin még a serumszámolás megezdése elı generálhaju azoa a onoa (illanaoa), ahol majd a reació meg fogna örénni. Ezee a deerminál éleuaa árolhaju és ezuán minden bázisárra ezeel a onoal számolhaun. Tehá, ha a rendszer szemonjából nézzü, aor így a szimuláció moleuláris viseledés alaján csoorosíja a moleuláa és ezen csooro serumá számolja i az elızıeben ismeree elve szerin. (Az már csa rogramozásechniai érdés, hogy a legülsı cilus nem a feloszáso (scane), hanem a bázisáro szerin megy.) Enne a módszerne az a háránya, hogy ellıen so scan és gyors cserefolyamao eseén az elárolandó ada mennyisége nagyon nagy lehe (az idıonoon ívül még az is árolni ell, hogy melyi a öveezı állao). A mási megoldás, hogy minden bázisárhoz ülön csereonoa számol a rogram. Eor, az elızıvel ellenében, a szemlélemód az, hogy a bázisáro (illeve a moleulá, amihez eze arozna) egymásól függelenül reagálna, nincsen megöés arra, hogy ha van egy olyan φ 2 φ ámene, ami éldául 0,5 s uán váloza örnyezee, aor mindenéen legyen egy ilyen φ 3 φ ámene is. Így nincs szüség a csereono árolására, egyszerően aor ell ıe generálni, amior szüség van ráju. Enne a módszerne elınye az is, hogy mivel minden bázisárhoz ülön éleú arozi, egyenleesebb az eloszlás és így elméleileg evesebb függelen számolás is elegendı lehe. A é módszer összehasonlíásából az derül i, hogy a serumo elérése hibahaáron belül van (. ábra). A ülönbsége elsısorban a fuás idejében és a árhelyigényben várhaó: az egyelen uffer használó módszer lényegesen evesebb vélelenszám generálás igényel, viszon rengeeg adao ell hozzá árolni. -0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 / m =998,0 =98,0 =48,04 =3,352. ábra A éféle szemléleő aia összehasonlíása egy AB sinrendszer néhány serumán. A iros serumo bázisáronén ülönbözı csereonoal lee szimulálva, a ée egyfélével. 26

27 A ifejlesze rogram néhány jellemzıje Álalános jellemzı Az elızıeben ismeree elven mőödı, DNMR serumoa szimuláló rogramo Java rogramozási nyelven íru meg. Enne fonosabb részleeirıl lesz szó ebben a fejezeben. A rogram célja, hogy olyan serumoa szimuláljon, amelyenél a deeálás ideje ala valamilyen, a mago émiai örnyezeé érinı válozás öréni. Emelle még alalmas egyállaoú rendszere serumaina szimulációjára is ( saius serumo ). Az algorimus bemenei araméerei: az álalános seroszóiai araméere (serum szélessége, felbonása, özee, deeálási idı, aodizációs függvény) szimulációs araméere (scane, hımérséleee, mago és moleulaállaoo száma) saius NMR araméere (minden állaohoz a émiai elolódáso, csaolási állandó) reacióaraméere (aiválási araméere, hımérséle-adao) egyéb acsoló (számolás módja, idısála feloszás íusa, régebbi fájlo használaa, megoszás öbb rocesszoron sb.) Ezee a araméeree a rogram egy elıre definiál önyvárban lévı fájlból olvassa be és ugyanebbe a önyvárba erülne az eredmény aralmazó fájlo. Az eredménye és az eselegesen megaro melléeredménye lehene: a iszámol (omlex) serumo (vagy fide). Eze száma elméleileg eszıleges lehe (a orláozás elsısorban idıbeli). a szimulál rendszer álagos állaoá leíró adasor (az állaooa megszámozva és ezee minden idıonra álagolva). a illanareació idıonjai és erméei leíró fájl vagy az aiválási araméerebıl számol, reació-valószínőségi márix (ha minden bázisárra ülön éleua számolun). a saius Hamilon-oeráor sajáéréei és sajáveorai, valamin az ámenee inenziásai minden moleulaállaoban. a fuás megszaadása eseén emou fájl, ami aralmazza az uolsó végigszámol bázisár és az aor auális eredmény. Ez a fájl normál befejezés eseén a rogram örli. 27