A z i személyről a saját X i ( t)

Átírás

1 AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA RADNÓTI LÁSZLÓ A szerző az élettartamok statsztkájának különféle területet mutatja be a valószínűségszámításban és a matematka statsztkában tájékozott olvasóknak. A halandóság táblák elméletéből a Központ Statsztka Hvatalban alkalmazott módszerek részletes smertetése mellett az aktív népesség halandóság táblájának becslését tárgyalja. Az élettartamok statsztkájának újabban érdeklődést keltő területe közül az elvesztett potencáls életévek számításának módszertanára tér k bővebben. A számítások a Központ Statsztka Hvatal kadványaból a statsztka és a demográfa évkönyvekből származó adatokra támaszkodnak. Tárgyszó: Várható élettartam. Halálozás arányszám. Kegyenlítés eljárás. A z személyről a saját X ( t) életútja nyújtja a legközvetlenebb nformácót. Ez az életút értéket valamlyen állapottérben felvevő sztochasztkus folyamat és egy t dőpontg már smert. A valóság természetesen túl bonyolult ahhoz, hogy mndenestől egyetlen modellben bemutassuk. A valóságban egy dnamkus szaporodó és halálozó populácó egyedenek életútja közös valószínűség mezőn zajlanak le, és eközben járulékosan különböző kapcsolatok jönnek létre az egyedek között. Ezeket vzsgálva eljuthatunk a tökéletes és a tökéletesen használhatatlan társadalommodellhez. Az ég mechankához hasonlóan egyszerű modelleket kell vzsgálnunk, melyek bár specáls esetként se fordulnak elő a valóságban, mégs sok szempontból kelégítő nformácót szolgáltatnak a valóság egészére vonatkozólag. Bzonyos közgazdaság kérdések tanulmányozásához elegendő lehet, ha az életutat egy sztochasztkus cash-flow-val, esetleg egy kezdőtőkével modellezzük. Ha a modellt eogén változóként kegészítjük egy dőben változó, esetleg sztochasztkus kamattal, márs érdekes kérdéseket fogalmazhatunk meg. A modellbe nem kell feltétlenül az adott személy életével összefüggő valamenny cash-flow-t belefoglaln. Gyakor bztosításmatematka feladat egy életbztosítás kapcsán felmerülő cash-flow várható jelenértékének a meghatározása. A díjszámításban megkövetelten érvényesülő ekvvalenca elv azt jelent, hogy ennek legalábbs a költségeket és a bztosító által érvényesíthető nyereséget nem tartalmazó nettó cash-flow-ra vonatkozólag bzonyos pesszmsta feltevések mellett nullának kell lenne. A díjtartalékképzés alapmegfontolása az, hogy mnden egyes kötvényre vonatkozólag, amennyben a várható jelenérték negatív jó termékek esetében általában ez a helyzet, azaz a még várható díjbevételt meghaladó összegű kötelezettség Statsztka Szemle, 81. évfolyam, szám

2 56 RADNÓTI LÁSZLÓ várható, akkor ennek a többletkötelezettségnek megfelelő befektetett formában mndenkor tartalékban kell állna. Fontos specáls bztosítás az életjáradék. Amkor elmélet sznten járadékról beszélünk, akkor tulajdonképpen nem a bztosításról szólunk, amnek cash-flow-jához a járadéktőke valamlyen formában való felhalmozása s hozzátartozk, hanem csak a bztosított által halálág egyenlő dőszakonként felvett egyenlő összegekről. Ha az értékeléshez használt technka kamatlábat nullának vesszük, akkor a hav 12 1 euró járadék várható jelen értéke dmenzótól eltekntve jól közelít a járadékfzetés ndulásakor várható élettartamot. A bztosításmatematka, lletve járadékszámítás történetét a Sbbett és Haberman [1995] által szerkesztett monográfa, lletve a Kopf [1927] tanulmánya tárgyalja. Egyes feltételezések szernt a járadékok.e. 25 körül jelennek meg Ks-Ázsában, a fejlett pénzügy rendszerrel rendelkező Bablonban, feltehetőleg kína és nda előzmények után. A járadékok pénzügy értékelésével foglalkozó próbálkozások első dokumentuma az ókor Rómában jelentek meg. Ulpanus császár dején járadékértékelés táblázatok készültek. Ezek feltehetőleg nem tartalmaztak kamatot, tehát a várható élettartamot becsülték különböző életkorokban. Ulpanus halandóság táblá elég vtatható adatokat tartalmaznak, pedg a rövd élettartamok esetén kohorszokból vett mnták átlagával gen egyszerűen becsülhető a várható élettartam. A halandóság vzsgálatában először J. Graunt alapos elemzése vezettek meggyőző eredményekre a XVII. század végén. A ma modern halandóság táblához pedg Halley és Euler kutatása révén jutottunk el. Azóta a módszereket számos statsztkus és bztosításmatematkus fnomította. A halandóság táblák módszertana A halandóság táblával kapcsolatban előrebocsátunk néhány közsmert jelölést, melyekhez hasonlókat a matematka demográfában sűrűn alkalmazunk. Ezek: a betöltött kor, B az élveszületések száma a naptár év folyamán, P az évesek száma a naptár év elején, D az év folyamán évesen meghaltak száma, D azon meghaltak száma, akk -edk születésnapjukat az adott naptár évben töltötték be, D azon meghaltak száma, akk -edk születésnapjukat a megelőző naptár évben töltötték be, m a korspecfkus halálozás arány, q és +1 év egzakt életkor között halálozás valószínűsége, feltéve az éves élettartam elérését (nyers elhalálozás valószínűség, a kegyenlített elhalálozás valószínűséget p =1 q az +1 éves egzakt életkor elérésének valószínűsége, n 1 n p = p = az éves egzakt életkor elérésének valószínűsége, q -szel jelöljük), l = 1 p l =1 élveszületettből az éves kort elérők száma, d százezer élveszületettből évesen meghaltak száma, = l l+1 L a staconer népesség koreloszlása, e az éves korban még várható élettartam.

3 AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA 561 Az 1 3. ábrán Magyarország férf népességének 21. év halandóság táblája alapján mutatjuk be az élettartam eloszlását és továbbélés függvényét. A 4. ábrán a nyers és kegyenlített halandóság valószínűségeket láthatjuk. Az lleszkedés jóságát az ábrán s megfgyelhetjük. 1. ábra. A férf népesség élettartam sűrűségfüggvénye 2. ábra. A férf népesség élettartam eloszlásfüggvénye,3,25,2,15,1,5, ,,9,8,7,6,5,4,3,2,1, ábra. A férf népesség továbbélés függvénye 4. ábra. A férf népesség nyers és kegyenlített elhalálozás valószínűsége 1,,9,8,7,6,5,4,3,2,1, ,,1,1,1, A várható élettartam A vzsgált populácó véletlen egyedének élettartamát T-vel jelölve az éves korban még várható élettartam a defnícó szernt: ( T ) = E T. e A várható értéket az eloszlásfüggvény segítségével kfejezve és parcálsan ntegrálva: 1 ( T ) = tdf( t t ) = p dt + E T t p F () ( ) ahol t a T valószínűség változó eloszlása és tp =1 F t a továbbélés valószínűség születéstől t éves korg. A félegyenest a halandóság tábla korcsoportjanak megfelelően felosztva és az ezen ntervallumokon vett ntegrálok összegére bontva a várható élettartamnak a staconer né-,

4 562 RADNÓTI LÁSZLÓ pesség koreloszlásával való szokásos kfejezéséhez jutunk. A koréves halandóság tábla esetében 1 1 e = L. l = Halálozás arányszámok, a halálozás és továbbélés valószínűségek becslése A rövdített halandóság tábla az élettartamot reprezentáló poztív félegyenes 1, 4, 5, 1,, 85 osztópontokkal való felosztásán alapul, 5 és 85 év között egyforma beosztást alkalmaz. Ez 18 szakaszra és egy félegyenesre a továbbakban ezt s szakasznak tekntjük bontja az élettartamot. A jelölések hasonlók az előzőkben bevezetettekhez, ám az egyszerűség kedvéért a mennységek ndeébe nem az életkor kerül, hanem azon ntervallum sorszáma, amelyre a mennység vonatkozk. Legyen az -edk korcsoportban meghaltak száma, az e korcsoport évközep népessége pedg P arányszámokból a képlettel ahol. A halálozás valószínűséget az m q = n n 1+ m 2 D D m = korspecfkus halálozás P n az -edk ntervallumhoz tarozó korévek száma kapjuk. A ) valószínűség most az -edk korcsoportban, azaz n év alatt halálozás valószínűségét jelent az ntervallum kezdetének megfelelő életkor elérését feltéve. A halálozás tábla az alábbak szernt konstruálható: 1 l 1 = 1, l = 1 1 q j ( = 2, 3,, 19). j= 1 A staconer népességre az l továbbélés függvényt ntegrálva L 1 =,3l1 +, 7l2, mert csecsemőkorban a halandóság ntenztása a születést követő négy hét vszonylag magas pernatáls halandóságának szntjéről gyorsan csökken, s ezért a staconárus népesség közelebb kerül az egyéves korg továbbélők számához. A felső nytott ntervallumra l19 n L 19 =, és egyébként L = ( l + l+1 ). m 2 19 Végül a várható élettartamra az ntegrált numerkusan közelítve a következő formulát kapjuk: ( 19 1 e = Lj. l j= q

5 AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA 563 A koréves halandóság táblákat ma s lényegében a Pallós E. által a múlt század közepén kdolgozott módszer szernt számoljuk. A nyers továbbélés valószínűségek becslésénél azonban lényeges változás volt a Beckner Zeuner-formuláról a Böckh-formulára való áttérés, am lehet p B D P D = és B P p P = D D P D 1 1. P 1 D 1 P A nyers halandóság valószínűség pedg: q =1 p. Kegyenlítés eljárások Az dőskor halandóságra nagyon megbízhatatlan becsléseket szolgáltatnak a ks populácókból becsült nyers halandóság valószínűségek. Javítható a helyzet, ha egy megfelelően választott eloszláscsaládban keressük az dős korban hátralevő élettartam eloszlását. Szokásos feltevés, hogy ez a Gompertz Makeham-eloszlás. Ehhez 76 éves kor fölött az éves továbbélés valószínűségre p = e a+ b c alakú függvényt llesztünk. A c paramétert a következő alakban becsüljük: c 5 H3 H2 =, H =. H2 H 4 + ( ) + 1 k ln p76 5 k 1 = Az a és a b paramétereket a legksebb négyzetek módszerével becsüljük. Ahol nncs lyen többletnformácónk, ott a szokásos kegyenlítés eljárást alkalmazunk. Halandóság táblánk 15 és 75 év között Karup Kng-nterpolácót alkalmaznak. Legyen A kegyenlített valószínűségeket a 2 q + = 2 = Z. 5 q = 6 n j Z + 5( j 3) ( = 15, 2,..., 7, n 4) 1α j= képlet adja, ahol α együtthatók a következő mátrból olvashatók k: n j -,4 1,8 -,4,256 -,156,988,1456 -,24,64,288 -,156,7376,432 -,688,192,192 -,688,432,7376 -,156,288,64 -,24,1456,988 -,156,256

6 564 RADNÓTI LÁSZLÓ Az aktív népesség halandósága A munkaügy statsztkának fontos kategórája az aktív népesség. Ezért s érdemes külön foglalkozn az aktív népesség halandóságával, s bemutatn az ennek tanulmányozására alkalmas módszert. Az deáls a multstate lfe-table módszerek alkalmazása lenne. Ehhez a jelenséget modellező Markov-folyamat valamenny átmenet-valószínűségét meg kellene becsülnünk. A rendelkezésre álló adatok azonban ezt nem teszk lehetővé, de ahhoz elegendők, hogy az aktív népesség koréves elhalálozás valószínűséget meghatározzuk. A munkaerő-statsztka általános gyakorlata szernt 75 éves korg beszélünk gazdaság aktvtásról, e fölött az aktvtás megszűnk tömegjelenségnek lenn. Az aktív népesség halandóság valószínűsége pedg csak a nyugdíjkorhatárg megbízhatók. A 21. év országos halandóság táblák adatan kívül az aktív népesség koreloszlását a 21. év statsztka és demográfa évkönyv adataból, az aktív népesség korspecfkus halálozás adatat pedg regsztrácós adatokból számolhatjuk. A korcsoportonként arányokat, amelyeket w -szel jelölünk, az 1. táblában mutatjuk be, az éves korú népesség évközep létszámát (jelölése P ) pedg a 2. tábla tartalmazza. ~ Az éves aktív népesség létszáma (lásd a 3. táblát) az év folyamán átlagosan P = w P. (A 3. tábla Együtt oszlopának az összegtől való eltérése az alkalmazott becslés eljárásból ered.) Az arányok 5 éves korcsoportokra vonatkoznak, de 5 éves korcsoporton belül változásuk általában elhanyagolható. Az év folyamán évesen elhalálozó aktívak száma (lásd a 4. táblát) D % ( 15 74). A éves korú népesség korcsoportonként aránya Korcsoport (éves) Férf Nő Együtt százalék 1. tábla ,34 8, 9, ,37 47,86 56, ,69 61,11 75, ,12 69,91 8, ,51 73,2 75, ,45 23,85 37, ,12 2,83 4, ,72 45,55 53,31 Az aktív népesség elhalálozás valószínűségenek számítása során először a halálozás arányszámokat (lásd az 5. táblát) becsüljük m ~ ~ ~ = D P összefüggéssel, majd az aktívak elhalálozás valószínűségere a q ~ = m ~ 1+ 1/ 2 m ~ számításával nyers becslést adunk. (Lásd a 6. táblát.) A halálozás valószínűségek kegyenlítésére mozgóátlagos smítás eljárást alkalmazunk. (Lásd az 5. ábrát.) A kegyenlített elhalálozás valószínűségeket (lásd a 7. táblát) Grevlle harmadfokú, klenc tagú kegyenlítés módszerével nyerjük. A 6. ábrán összehasonlítjuk az aktív népesség elhalálozás valószínűséget Magyarország népességének elhalálozás valószínűségevel, amt a 8. tábla mutat be.

7 AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA 565 Korév A 21. év évközep népesség korévenként Férf Nő Együtt fő 2. tábla , , 1315, , , 1388, , 63341, , , 64487, , , 6763, , ,5 7152, , , , , , , 15987, ,5 8857, , , 83788, , , , , , 86921, 17714, , , , ,5 7137,5 1459, ,5 7224, , , 7496, , , 71222, , , , 14468, , 734, , , , , , 62223, 12555, ,5 6971, , ,5 6664, , , 6182, , , 61475, 12276, , 65327, , , , , , , , , 71957, , , 78531, , , 86658, , , 91565, , , , , , 81745, , , , , , , 15218, ,5 7881, , , , 14426, , 73492, , , 6756, , ,5 6327, , , , , , 686, , , 664, , , 65136, , , 63981, , , 631, , ,5 6717, , , , , , 5855, 99897, , 5848, 98946, , , 98745, ,5 5747, 9815, , 57697, 9746, , 5665, 94922, , 567, 9451, , , 9211, , , , , , 82531, , 49714, 78674, 3. tábla A 21. év becsült aktív népesség korévenként Korév Férf Nő Együtt ,2 517, , , 5146,8 1275, , 565, , ,9 5157, , ,1 546, , , ,1 826, , , , ,8 3727, , , ,4 9335, ,2 411, 96389, , , , , 5312, , , ,1 1255, , , , , , , , , , , , , , ,8 1159, , , , ,9 4617, , ,6 435,2 1589, , , , ,2 4241, , ,1 4273,7 9613, , , , ,5 4782,3 9812, , ,5 1496, ,6 5488, , , ,5 1717, , , , , , , ,2 6726, , , , , , , , , , , ,9 5842, , , , , ,7 5537, , , , , , , , ,3 1533, , , , 46663, , , , , , 45698, , , , ,4 1812, 5275, ,2 1784,2 5131, ,2 1719,5 4867, ,7 1692,6 4727, ,6 1656,9 4572, ,4 1643,9 4528, ,3 1632, 4519, ,8 1627,6 449, ,6 1634, 446, ,4 164,3 4344, ,9 165,8 4325, ,7 1577,9 4215, ,7 1516,8 3991, ,8 1454,9 3777, ,3 147,9 36,7 fő

8 566 RADNÓTI LÁSZLÓ Korév Az aktív népesség 21. év halálozása Férf Nő Együtt elhaltak száma (fő) tábla Az aktív népesség 21. év halálozás aránya Korév Férf Nő Együtt halálozás százezer főre 5. tábla 15,,, 16 13,3, 7,9 17 4,5 19,7 32, 18 78,6 116,3 93, ,6 92,5 215, 2 92,9 11,7 59, ,8 11,2 49,7 22 9,9 18,8 61, ,4 33,6 58, ,2 52,4 9, ,7 32, 54, ,3 35,8 53, ,5 33,4 8, ,1 39, 67,4 29 9,5 53,6 75, ,2 44,6 89, , 32,1 83, ,6 5,2 94, , 5,8 81, ,8 43,4 118, ,6 69, 128, ,7 72,7 115, ,6 16,1 138, ,9 19,3 26, ,5 14,7 26, ,7 1,4 283, ,8 178,6 311, ,5 19,1 329, ,7 165,2 355, ,5 158,3 347, ,7 193,9 425, ,9 252,1 435, ,1 213,1 456, ,8 264, 475, ,6 25,1 483, ,4 287,7 513, ,2 293,9 564, ,3 251, 511, ,7 239,8 48, ,7 192,1 483, ,4 532,1 875, , 319,7 93, ,4 283,4 771, ,7 284,1 79, , 16,9 66, ,6 149,1 2843, , 1233, 1871, ,1 814,2 1376, ,8 945,3 129, ,5 1448,5 1552, ,7 79,8 1126, ,4 919,1 1128, ,3 144,5 1269, ,1 1468,8 1255, ,9 1122, 1243, ,4 137,1 1664, ,7 1267,5 1352, ,6 112,8 1277, ,5 1237,2 1429, ,1 1775,7 161,8

9 AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA 567 Az aktív népesség 21. év nyers elhalálozás valószínűsége Korév Férf Nő Együtt 15,,, 16,13,,8 17,4,2,32 18,79,116,94 19,296,92,215 2,93,12,59 21,77,11,5 22,91,19,61 23,75,34,58 24,117,52,9 25,69,32,54 26,64,36,53 27,111,33,8 28,86,39,67 29,9,54,76 3,123,45,9 31,122,32,83 32,129,5,95 33,15,51,82 34,175,43,118 35,173,69,128 36,148,73,115 37,164,16,139 38,283,19,26 39,287,15,26 4,456,1,283 41,438,178,311 42,462,19,329 43,537,165,354 44,531,158,347 45,65,194,424 46,612,252,434 47,693,213,455 48,685,264,475 49,719,25,482 5,741,287,512 51,836,293,563 52,777,251,51 53,727,24,479 54,785,192,482 55,138,531,872 56,1235,319,926 57,12,283,768 58,935,284,76 59,938,161,658 6,3313,1479,284 61,294,1225, ,1618,811, ,1441,941, ,1582,1438, ,1296,788,112 66,1222,915, ,1373,139, ,1124,1458, ,1312,1116,1235 7,184,1361, ,1418,126, ,149,1115,127 73,169,123, ,1587,176, tábla Az aktív népesség 21. év kegyenlített elhalálozás valószínűsége Korév Férf Nő Együtt 16,18,17,18 17,71,5,62 18,125,7,13 19,154,67,119 2,144,45,14 21,112,23,76 22,86,18,58 23,8,3,59 24,86,39,67 25,85,39,66 26,83,37,65 27,85,38,67 28,93,41,72 29,14,44,79 3,111,44,83 31,116,43,85 32,126,43,91 33,138,46,98 34,145,53,16 35,155,65,116 36,165,81,129 37,195,93,151 38,253,11,185 39,328,112,228 4,398,132,271 41,446,154,34 42,484,167,329 43,521,175,351 44,562,182,375 45,67,196,45 46,643,218,433 47,669,237,455 48,696,253,474 49,73,267,497 5,762,278,518 51,768,264,59 52,759,25,494 53,789,267,528 54,882,37,627 55,1,35,75 56,978,35,738 57,995,26,743 58,1242,367,954 59,1683,631,1354 6,269,95, ,217,186, ,1948,1133, ,1593,177, ,1375,999,125 65,1344,15,123 66,1269,124, ,1212,181, ,1254,1189, ,1431,129,1375 7,1716,1327, tábla

10 568 RADNÓTI LÁSZLÓ 8. tábla Korév Férf Nő Magyarország népességének elhalálozás valószínűsége a 21. év halandóság táblák szernt Korév Férf Nő,87,752 1,56,41 2,37,24 3,36,19 4,21,15 5,21,16 6,18,13 7,16,11 8,15,1 9,17,11 1,21,14 11,26,17 12,29,2 13,29,18 14,21,8 15,34,18 16,41,19 17,52,2 18,63,21 19,73,22 2,81,24 21,85,27 22,88,3 23,89,34 24,92,38 25,96,41 26,12,42 27,11,42 28,118,43 29,128,45 3,139,49 31,148,56 32,155,64 33,165,73 34,183,85 35,214,99 36,26,115 37,32,132 38,388,151 39,459,173 4,529,197 41,598,223 42,669,252 43,741,283 44,817,315 45,894,348 46,974,382 47,157,417 48,1143,454 49,123,49 5,1319,525 5,1319,525 51,147,558 52,1496,588 53,1587,619 54,1685,653 55,1793,694 56,198,74 57,229,788 58,2158,842 59,23,95 6,2457,979 61,263,163 62,2816, ,315, ,3228, ,3454,153 66,3683, ,3914, ,4164, ,445,216 7,4789,241 71,5188, ,5635, ,6121, ,6634, ,7164,416 76,7762, ,8195, ,8699, ,9286,6285 8,9967, ,1757, ,11673,868 83,12733, ,13957, ,15367, ,16987, ,18844, ,2964, ,23374,239 9,261, ,29167, ,32594, ,36394, ,4569, ,4517, ,49978, ,55132, ,6492, ,65956,6534 1,71397,7197

11 AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA 569 Az aktív népesség elhalálozás valószínűsége görbéjének kanyarulata jobbára maguktól értetődők, például a legfatalabb korcsoportban a kedvezőtlenebb szocáls körülmények között nevelkedett vszonylag magasabb halandóságú réteg helyezkedk el, majd az értelmség fatalok munkába állásával az aktívak halandósága a halandóság természetes tendencájával szemben csökkenn kezd. 5. ábra. A halálozás valószínűségek kegyenlítése 6. ábra. A népesség és az aktív népesség halandósága,1,1,1,1 Férfak Együtt,1 Nő,1, éves, Aktív férf Aktív nő Férf Nő éves Az elvesztett potencáls élettartam Az élettartamra vonatkozólag a halandóság táblákon kívül számos egyéb statsztka smeretes. Az egyk legfontosabb az elvesztett potencáls élettartamra vonatkozó. Ennek tárgyalásához előrebocsátjuk a standardzálás egy kellően általános defnícóját. A standardzálás akárcsak a standardzált halálozás arányszámok számításánál az elvesztett potencáls élettartam vszonylatában s a vzsgált jelenség szempontjából nem lényeges hatások kszűrésével hasznos eszköznek bzonyul. Standardzálást olyan ( n, r) vektorpárokkal jellemezhető struktúrákra alkalmazunk, amelyekre n ( = 1,...,k) a struktúra -edk kategórájának a mérete (létszáma), r pedg egy mutatónak az -edk kategórára vonatkozó értéke. Értelmezzünk egy F függvényt az r F (( n, r), ( n, r )) s r s képlettel. Ha most ( n, ) a vzsgált, ( n, ) pedg a standard struktúra, akkor az = k r n = 1 k F értéket ndrekt stan- s F( n, r ), ( n, r s s s ) értéket a mutató drekt, míg az ( n, r ), ( n, r ) dardzáltjának nevezzük. A tényleges összetételt tükröző ( n, r ), ( n, r ) = 1 n F súlyozott átlagot a standardzált mutatóval szembeállítva a tényleges jelzővel lletjük. Legyen PYLL (Potental Years of Lfe Lost) egy meghalt által a [ év, 7 év] potencáls élettartamból le nem élt évek száma. Valamely népességcsoport meghaltjanak öszszességére ezt a mennységet a PYLL = R D

12 57 RADNÓTI: AZ ÉLETTARTAMOK STATISZTIKÁJA formulával becsüljük, ahol D az -edk korcsoport meghaltjanak száma, y az -edk korcsoport meghaltjanak átlagos kora és R = ma( 7 y,) az -edk korcsoportban bekövetkezett halálozással vesztett évek átlagos száma. Feltéve, hogy a halálozások a korcsoporton belül egyenletesen oszlanak el, y éppen az -edk korcsoportot felező életkor. Az élettartam-veszteség -edk korcsoportra vonatkozó korspecfkus rátája λ = R D P, ahol P az évközep népesség. A 7 év felett korcsoportokra ez. A demográfa évkönyv az elvesztett lehetséges élettartamot mnt az érntett (7 év alatt) népesség százezer főjére vonatkoztatott tényleges és standardzált rátát közl, a standardzálást a WHO standard európa népességének korösszetétele szernt végezve. IRODALOM BENJAMIN, B. HAYCOCKS, H. W. [197]: Analyss of mortalty and other actuaral statstcs. Cambrdge Unversty Press, London. BENJAMIN, B. POLLARD, J. H. [198]: The analyss of mortalty and other actuaral statstcs. Henemann, London. CHIANG, L. C. [1968]: Introducton to stochastc processes n bostatstcs. Wley, New York. HOEM, J. M. LINNEMANN, P. [1987]: The tals n movng average graduaton. Stockholm Research Reports n Demography, 37. köt. Unversty of Stockholm. KOPF, E. W. [1927]: The early hstores of the annuty. Proceedngs of the Casualty Actuaral Socety, 13. évf. 28. sz old. PALLÓS E. [1971]: Magyarország halandóság táblá 19/1-tól 1967/68-g. Népességtudomány Kutató Intézet Közleménye. Központ Statsztka Hvatal, Budapest. RINÁGEL J. [1981]: Halandóság táblák elkészítésének matematka és számítástechnka megfontolása. Rendszerfejlesztés Közlemények. Központ Statsztka Hvatal, Budapest. SIBBETT, T. A. HABERMAN, S. (szerk.) [1995]: Hstory of actuaral scence. Pckerng & Chatto, London. SUMMARY The author presents varous felds of the statstcs of lfetme data on the bass of probablty theory and mathematcal statstcs. From the theory of lfe-tables besdes the detaled revew of the lfe-table methodology appled at the Hungaran Central Statstcal Offce, the lfe-table of economcally actve populaton s also gven a treatment. From the popular felds of lfetme statstcs the assessment of potental lfe years lost s presented. The estmates are based on the data of the Hungaran Statstcal Offce publshed n the Statstcal and Demographc Yearbooks.