A BSc-képzés szakdolgozati témái

Átírás

1 A BSc-képzés szakdolgozati témái ELTE TTK, Matematikai Intézet 2010/2011 Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék 1. Szabadon választható téma. Témavezet : A tanszék bármelyik oktatója, vagy (a tanszékvezet által jóváhagyott) küls szakember. A téma rövid leírása: Ha egy hallgató tetsz leges valószín ségszámítási vagy statisztikai téma iránt érdekl dik, akkor témavezet nek választhatja azt a szakembert, aki ehhez ért, és ebben segítséget tud neki nyújtani. a hallgató és a témavezet megállapodása alapján. Ajánlott szakirányok: mindegyik. 2. Urnamodellek. Témavezet : Backhausz Ágnes A téma rövid leírása: A legegyszer bb Pólya-féle urnamodellben kezdetben adott számú fehér és piros golyó van. Minden lépésben húzunk egyet. Ha fehéret húztunk, még egy fehér, míg ha pirosat, még egy piros golyót teszünk az urnába. Az Ehrenfest-féle urnamodellben két urnánk van, itt a húzások után egyik urnából lehet a másikba helyezni a golyókat. Mindkét modellt sokféleképpen általánosították. Például a PólyaEggenbergerféle urnamodellben a húzott golyó színét l függ en adott számú fehér és piros golyót lehet az urnába helyezni vagy éppen kivenni. Vizsgálni szokták, hogy adott számú lépés után milyen az eloszlása a különböz szín, illetve különböz urnákban elhelyezkez golyók számának, továbbá hogyan viselkedik a modell aszimptotikusan, a lépések számával végtelenhez tartva. A módszerek jöhetnek például a Markov-láncok vagy a martingálok elméletéb l is. 1

2 2 A feladat minél több urnamodellre vonatkozó eredmény és módszer feldolgozása, valamint a különböz modellek összehasonlítása. Johnson, N. L., Kotz, S., Urn models and their application, John Wiley & Sons, New York (1977). Mahmoud, H. M., Polya urn models, Chapman & Hall/CRC (2009) Ajánlott szakirányok: matematikus, alkalmazott matematikus, matematikatanár. 3. Lokális jelenségek véletlen gráfokban. Témavezet : Backhausz Ágnes A téma rövid leírása: Diszkrét id ben fejl d véletlen gráfsorozatokat vizsgálunk. Minden lépésben egy új csúcsot adunk a gráfhoz, amely egy-egy éllel csatlakozik néhány, véletlenszer en kiválasztott régi csúcshoz. Tekinteni lehet minden d egész számra a d fokú csúcsok arányát. Több modellnél ez 1 valószín séggel konvergál valamely c d pozitív számhoz. Azokat a modelleket, melyekben c d polinomiálisan csökken d-vel végtelenhez tartva (azaz c d d γ ), skálafüggetlen modelleknek nevezik, és gyakran használják nagy méret hálózatok (internet, szociális hálók) modellezésére. Bizonyos skálafüggetlen modellekben fellép a következ jelenség. Rögzítsünk egy csúcsot, és tekintsük a d fokú csúcsok arányát ennek szomszédai között. Ez is konvergálhat 1 valószín séggel, viszont a határérték c d -t l különböz, s t a polinomiális csökkenés kitev je is megváltozik. A feladat a fenti jelenség elméleti hátterének összefoglalása és számítógépes szimulációja a különböz modellekben. R. Durrett, Random graph dynamics, Cambridge University Press, T. F. Móri, A surprising property of the BarabásiAlbert random tree, Studia Sci. Math. Hungar. 43 (2006), T. F. Móri, Degree distribution nearby the origin of a preferential attachment graph, Electron. Comm. Probab. 12 (2007), T. F. Móri, Random multitrees, Studia Sci. Math. Hungar. 47 (2010), Ajánlott szakirányok: elemz, alkalmazott matematikus 4. Véletlen bolyongás csoportokon Témavezet : Csiszár Vill A téma rövid leírása: Jónéhány gyakorlati feladatban kell csoportokon való véletlen bolyongásokat vizsgálni, például az Ehrenfest urnamodellben (a csoport Z d 2), véletlenszám-generátorok elemzésénél (a csoport Z p ), vagy a külön-

3 3 böz kártyakeverési módszerek összehasonlításakor (a csoport S n ). A tanulmányozandó kérdés, hogy a bolyongás milyen gyorsan jut el egy teljesen véletlenszer állapotba. A témát Persi Diaconis igen jó stílusú és olvasmányos könyve alapján ajánlom, ezen kívül szimulációs vizsgálatokra is lehet ség nyílik. P. Diaconis: Group Representations in Probability and Statistics (Lecture NotesMonograph Series, Vol.11), Institute of Mathematical Statistics, Hayward, CA, 1988, 3. és 4. fejezet. Ajánlott szakirányok: matematikus, alkalmazott matematikus, elemz. 5. Statisztikai adatvédelem Témavezet : Csiszár Vill A téma rövid leírása: A statisztikai hivataloknak világszerte f feladatuk, hogy a társadalmat megfelel mennyiség és min ség adattal lássák el. A számítástechnikai eszközök fejl désével azonban egyre fontosabb szempont, hogy a közzétett táblázatokból ne lehessen egyes embereket beazonosítani, és így róluk érzékeny információkat megtudni. A dolgozat témája a táblázatok adatvédelmi kockázatának felmérésére, illetve csökkentésére alkalmazott néhány módszer áttekintése. angol nyelv cikkek, illetve L. Willenborg, T. de Waal: Statistical Disclosure Control in Practice (Lecture Notes in Statistics, Vol.111), Springer, New York, 1996 (amennyiben megszerezhet ) Ajánlott szakirányok: alkalmazott matematikus, elemz. 6. Klímaindexek és id járásunk kapcsolata Témavezet : Márkus László A téma rövid leírása: Northern Oscillation Index (NOI) North Atlantic Oscillation (NAO) - napfolttevékenység magyar id járási, ill. folyó vízjárási viszonyok. Van kapcsolat közöttük? A hallgató az id sorok periodicitásának, valamint az id sorok kapcsoltságának vizsgálatát végezheti el kiegészítve regressziós vizsgálattal, illetve id sormodellek illesztésével. A dolgozat bemutatja a felhasznált fogalmak és ismert módszerek elméleti alapjait, tulajdonságait, áttekinti az ezekkel kapcsolatos szakirodalmat, elvégzi az adatok elemzését és röviden összefoglalja, milyen konklúzióra jutott. Jó angol nyelvtudás (szeretjük Pet t is, de nem írt a NOI-ról) és valamelyes programozási készség R-ben feltétlen szükséges.

4 4 Az adatsorok: Ajánlott szakirányok: alkalmazott matematikus 7. AR és ARMA folyamatok stacionárius eloszlásának vizsgálata Témavezet : Márkus László A téma rövid leírása: Konstans, ill. véletlen együtthatós AR és ARMA folyamatok stacionárius eloszlásának vizsgálata, különös gyelemmel az eloszlás farokviselkedésére. Els sorban szimulációk segítségével kellene információt nyerni arról, hogy különböz kitev khöz tartozó Weibull eloszlású zajjal generált AR, ill. ARMA folyamatok stacionárius eloszlása tekinthet -e ugyancsak Weibull eloszlásúnak és ha igen, milyen kitev vel. Elméleti eredmény általánosan nem ismert. Szükséges független azonos Weibull eloszlású valószín ségi változókból minta generálása, ezekb l AR(MA) generálás (triviális), eloszlásillesztés, paraméterbecslés. A dolgozat bemutatja a felhasznált fogalmak és ismert módszerek elméleti alapjait, tulajdonságait, áttekinti az ezekkel kapcsolatos szakirodalmat, elvégzi a szimuláció elemzését és röviden összefoglalja, milyen konklúzióra jutott. Jó R-beni programozási készség (vagy érdekl dés) is szükséges. Ajánlott szakirányok: alkalmazott matematikus 8. Öreged eloszlások vizsgálata Témavezet : Móri Tamás A téma rövid leírása: Élettartam-adatok elemzésénél a meggyelések eloszlásáról gyakran feltételeznek különböz öreged tulajdonságokat. Ezekben az öreged osztályokban az általánosan érvényes becsléseknél élesebb eredmények adhatók az eloszlásfüggvényre, a momentumokra, a felújítási függvényre. A szakdolgozat témája néhány fontosabb öreged osztály és tulajdonságaik ismertetése, különös tekintettel a fenti mennyiségek becsléseire. Móri Tamás: Élettartam-adatok elemzése, 9. fejezet Ajánlott szakirányok: alkalmazott matematikus, matematikus

5 5 9. Parazitológiai adatok statisztikai elemzése Témavezet : Reiczigel Jen, Szent István Egyetem, Állatorvos-tudományi Kar, Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék, 1078 Budapest, István u. 2, L épület 3. emelet Telefon: reiczigel.jeno aotk.szie.hu A téma rövid leírása: A legtöbb parazita (tetvek, bélférgek, mikroparaziták stb.) eloszlása meglehet sen aggregált (=jobbra ferde), vagyis a gazdaegyedek többségének fert zöttsége alacsony (vagy éppen 0), és viszonylag kevés gazdaegyed(b)en található a paraziták nagy része. Emiatt a normális eloszláson alapuló módszerek alkalmazhatósága a gyakorlatban megszokott mintanagyságok mellett kérdéses. (A fert zöttséget negatív binomiális eloszlással szokás modellezni.) A parazitáltság statisztikai elemzésére néhány új módszert fejlesztettünk (kon- dencia-intervallumok, egy- két- és többmintás statisztikai tesztek), amelyeket a QP (Quantitative Parasitology) programcsomagba integráltunk. További eljárások fejlesztéséhez, új elképzeléseink kipróbálásához, teszteléséhez várjuk statisztika iránt érdekl d, programozáshoz, szimulációs vizsgálatokhoz kedvet érz szakdolgozók jelentkezését. A témakörben választható szakdolgozati témák: Location-scale tesztek alkalmazhatóságának vizsgálata parazita-adatok elemzésére Permutációs és bootstrap ANOVA alkalmazhatóságának vizsgálata parazitaadatok elemzésére A feladathoz statisztikai alapismeretek szükségesek. Az R programcsomag ismerete el ny. A témával kapcsolatos tájékozódáshoz ajánljuk a és a oldalakat. Ajánlott szakirányok: Elemz, alkalmazott matematikus 10. Szimulációs vizsgálatok a regressziónál. Témavezet : Zempléni András A téma rövid leírása: Sok magyarázó változó esetén akkor is szignikáns eredményt kapunk a lineáris regressziónál, ha valójában nincs is kapcsolat a célváltozóval. Ennek a jelenségnek a vizsgálatára a szimulációs vizsgálatok a legcélszer bbek. P. I. Good, J. W. Hardin: Common Errors in Statistics, 13. fejezet, Appendix A.

6 6 Ajánlott szakirányok: elemz, alkalmazott matematikus. 11. Összefügg ségi (asszociációs) mér számok. Témavezet : Zempléni András A téma rövid leírása: Számos mér számmal lehet a kétdimenziós meggyelések kapcsolatát jellemezni (Chi-négyzet statisztika, Csuprov-, Cramér-féle mér szám, stb.) Ezek tulajdonságait elméleti és szimulációs módszerekkel is érdemes vizsgálni. Korpás Attiláné: Általános Statisztika I. Ajánlott szakirányok: elemz.