A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában

Átírás

1 A Markovi forgalomanalízis legújabb eredményei és ezek alkalmazása a távközlő hálózatok teljesítményvizsgálatában Horváth Gábor ghorvath@hit.bme.hu (Horváth András, Telek Miklós) - p. 1

2 Motiváció, problémafelvetés A Markovi Érkezési Folyamat (MAP) MAP illesztési megoldások MAP alapú sorbanállási hálózatok - p. 2

3 Motiváció Motiváció Aggregációs hálózatokban a legérdekesebb minőségi jellemzők a bufferekben "keletkeznek" Rendszerben lévő buffereket azonosítjuk és a bufferek hálózatát vizsgáljuk tovább - p. 3

4 Motiváció Motiváció Aggregációs hálózatokban a legérdekesebb minőségi jellemzők a bufferekben "keletkeznek" Rendszerben lévő buffereket azonosítjuk és a bufferek hálózatát vizsgáljuk tovább - p. 3

5 Motiváció Motiváció Aggregációs hálózatokban a legérdekesebb minőségi jellemzők a bufferekben "keletkeznek" Rendszerben lévő buffereket azonosítjuk és a bufferek hálózatát vizsgáljuk tovább - p. 3

6 Motiváció Motiváció Aggregációs hálózatokban a legérdekesebb minőségi jellemzők a bufferekben "keletkeznek" Rendszerben lévő buffereket azonosítjuk és a bufferek hálózatát vizsgáljuk tovább A bufferhálózat vizsgálata történhet szimulációval vagy analízissel - p. 3

7 Számos QoS jellemző gyorsan és pontosan kiszámolható, ha: Motiváció A csomagérkezési időközök exponenciális eloszlásúak (Poisson folyamat) A csomagméretek exponenciális eloszlásúak Ezzel szemben a gyakorlati vizsgálatok (mérések) tapasztalatai: A forgalom nem Poisson folyamat A csomagérkezési idők összefüggők LRD tulajdonság Fraktális viselkedés Kérdések: Milyen eszközzel modellezzük az ilyen összetett forgalmat? Hogy számítsuk a hálózat QoS jellemzőit? - p. 4

8 Markovi Érkezési Folyamatok Egy állapot-átmeneti rendszer (Markov lánc) modulálja az érkezéseket a háttérben Bizonyos átmenetek érkezést generálnak, mások nem: Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal - p. 5

9 Markovi Érkezési Folyamatok Egy állapot-átmeneti rendszer (Markov lánc) modulálja az érkezéseket a háttérben Bizonyos átmenetek érkezést generálnak, mások nem: Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal D 0 = 0 5 5, D 1 = p. 5

10 Markovi Érkezési Folyamatok Egy állapot-átmeneti rendszer (Markov lánc) modulálja az érkezéseket a háttérben Bizonyos átmenetek érkezést generálnak, mások nem: Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Előnyök: Könnyen szimulálható Hatékonyan megoldható sorbanállási rendszerek: M/M/1 MAP/MAP/1, M/G/1 MAP/G/1 - p. 5

11 MAP illesztés Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Hogyan lesz mérési eredményekből / adatsorból MAP? Két módszertan: Likelihood alapú: Olyan MAP-ot készít, ami a lehető legnagyobb valószínűséggel generálhatta az adatsort Az adatsor minden tagját figyelembe veszi Drasztikusan lassul az adatsor növelésével Statisztikai alapú: Az adatsorból jól megválasztott statisztikai mennyiségeket számolunk (momentumok, autokorreláció) Olyan MAP-ot keresünk, amely az adatsorral megegyező statisztikával bír Minél több az adat, annál pontosabb - p. 6

12 Statisztikai alapú MAP illesztés Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Hatékony MAP illesztés kulcsa: 2 lépcsős megoldás 1. Érkezési idők eloszlásának 2. Összefüggőségi jellemzők A hatékonyság oka: két egymást követő optimalizálási feladat sokkal hatékonyabb, mint egy dupla annyi változós optimalizálási feladat - p. 7

13 Érkezési időközök A független mintákra való Markovi eloszlásillesztés sokat vizsgált terület, sok eredménnyel. Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal - p. 8

14 Összefüggőségi jellemzők Tipikusan autokorrelációval jellemzik az összefüggőséget: Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Tulajdonságok: ρ = E[(X 0 E(X))(X 1 E(X))] σ 2 pozitív: átlag feletti időket várhatóan átlag feletti követi és vice versa negatív: átlag feletti időket várhatóan átlag alatti követi és vice versa - p. 9

15 Összefüggőségi jellemzők Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Kiterjesztés: a k távolságra lévő érkezési időközök korrelációja: ρ k = E[(X 0 E(X))(X k E(X))] σ 2 Példa: LBL-TCP adatsor (Lawrence Berkeley Laboratory forgalma, 2 óra hosszú) Lag-k korr Lag trace Lag-k korr e-05 1e-06 trace 1e Lag - p. 10

16 MAP illesztés, összefoglalás Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal 1. Érkezési időközök : Adott: az adatsor Cél: az érkezési időközök eloszlásának Eszköz: momentumillesztés, vagy optimalizálás Eredmény: egy MAP (D 0, D 1 ), mely még független érkezéseket generál 2. Összefüggőség : Adott: az adatsorból kinyert autokorrelációs fv., és a független MAP (D 0, D 1 ) Cél: az érkezési időközök eloszlásának megtartása mellett az összefüggőség Eszköz: nemlineáris optimalizálás Eredmény: a kész MAP (D 0, D 1 ) - p. 11

17 Validálás Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal 2 sorbanállási rendszer, determinisztikus kiszolgálással: Tapasztalat: +sorhossz eloszlások összehasonlítása Relatíve rossz eredmények akkor is, ha jól sikerült a MAP Tanulság: Az autokorrelációs függvény illesztésére törekedés tévút! ρ k = E[(X 0 E(X))(X k E(X))] σ 2 = 1 σ 2 (E(X 0X k ) +...) Más összefüggőségi jellemzők is vannak - p. 12

18 Az együttes momentumok Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Az együttes momentumok fogalma: Tulajdonságok: η i,j = E(X i 0X j 1 ) Csak a szomszédos érkezésekre vonatkoznak, de ez elegendő, mert a magasabb fokú együttes momentumok meghatározzák a MAP összefüggőségét Adatsorból is könnyen előállítható: η i,j = 1 N 1 N 1 k=1 x i k x j k+1 - p. 13

19 Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Markovi Érkezési Folyamatok MAP illesztés Statisztikai alapú MAP illesztés Érkezési időközök MAP illesztés, összefoglalás Validálás Az együttes momentumok Inverz karakterizáció együttes momentumokkal Fő eredmény: MAP inverz karakterizáció n 2 egyszerű statisztikai mennyiséggel 1. 2n 1 momentumból előállítjuk az érkezési időközök eloszlását 2. (n 1) 2 együttes momentumból összefüggővé tesszük a MAP-ot Eljárásunk tulajdonságai: Egyértelmű Gyors (azonnali válasz) De adhat rossz MAP-ot: ezeket addig kell transzformálni, amíg érvényes MAP-ot nem kapunk - p. 14

20 MAP alapú sorbanállási hálózatok Poisson helyett MAP bemenő forgalom: MAP alapú sorbanállási hálózatok MAP alapú sorbanállási hálózatok - p. 15

21 MAP alapú sorbanállási hálózatok Poisson helyett MAP bemenő forgalom: MAP alapú sorbanállási hálózatok MAP alapú sorbanállási hálózatok - p. 15

22 MAP alapú sorbanállási hálózatok Poisson helyett MAP bemenő forgalom: MAP alapú sorbanállási hálózatok MAP alapú sorbanállási hálózatok A MAP osztály zárt: Elágazásra Szuperpozícióra A kimenőforgalomra? - p. 15

23 MAP alapú sorbanállási hálózatok Legyen a csomag kiszolgálási folyamat is MAP: MAP alapú sorbanállási hálózatok MAP alapú sorbanállási hálózatok - p. 16

24 MAP alapú sorbanállási hálózatok Legyen a csomag kiszolgálási folyamat is MAP: MAP alapú sorbanállási hálózatok MAP alapú sorbanállási hálózatok - p. 16

25 MAP alapú sorbanállási hálózatok Legyen a csomag kiszolgálási folyamat is MAP: MAP alapú sorbanállási hálózatok MAP alapú sorbanállási hálózatok A kimenőfolyamat egy állapotterű MAP! n állapotú MAP közelítés: A MAP/MAP/1 rendszer kimenőfolyamatának n 2 paraméterének kiszámolása (pontos!) Az n 2 paraméteréből MAP előállítása (általában pontos) Minél nagyobb n, annál több összefüggőségi jellemzőt veszünk figyelembe egyre pontosabb a közelítés - p. 16

26 Tandem hálózat Topológia: Node A Node B Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa 3 vizsgált eset: a) exponenciális eloszlású csomagméretek b) nem exponenciális, de független csomagméretek c) összefüggő csomagméretek - p. 17

27 Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa #Áll. a. eset #Áll. b. eset c. eset Szimuláció n/a n/a momentum n= alapú n= ETAQA n= n= n= n= Level n= prob. n= based n= n= p. 18

28 Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa Probability Case c.: Queue length distribution of Node B Simulation MAP(2) MAP(3) Buffer size - p. 19

29 Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa Autocorrelation Case c.: Autocorrelation of departures of Node A Simulation MAP(2) MAP(3) Lag - p. 19

30 Összetett példa Topológia: Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa Node D Node A Node B Node C A csomagérkezési időközök és a kiszolgálási idők is összefüggők. - p. 20

31 Összetett példa Topológia: Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa Node D Node A Node B Node C A csomagérkezési időközök és a kiszolgálási idők is összefüggők. Node D Node A Node B Node C Szimuláció MAP(2) Rel. hiba -0.06% -0.1% -0.5% -4% MAP(3) Rel. hiba -0.06% 0.05% -0.2% -3.6% - p. 20

32 Összetett példa Node C, a legrosszabbul közelített csomópont: Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa Probability Queue length distribution of Node C Simulation MAP(3) Buffer size - p. 21

33 Összetett példa Node C, a legrosszabbul közelített csomópont: Tandem hálózat Tandem hálózat, eredmények Tandem hálózat, eredmények Összetett példa Összetett példa Autocorrelation Autocorrelation of the arrivals of Node C Simulation MAP(3) Lag - p. 21

34 Kifejlesztettük az együttes momentum alapú MAP illesztést Megoldást javasoltunk sorbanállási hálózatok megoldására MAP alapokon - p. 22