Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004."

Átírás

1 Irodlom Formális nyelvek I. Véges utomták és reguláris nyelvek Fülöp Zoltán SZTE TTK Informtiki Tnszékcsoport Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Fülöp Zoltán, Formális nyelvek és szintktikus elemzésük, Polygon, Ésik Zoltán, Gomás Év és Iván Szolcs: Automták és formális nyelvek példtár, Typotex Kidó, 21. J. E. Hopcroft és R. Motwni, J. D. Ullmn, Introduction to Automt Theory, Lnguges, nd Computtion, Addison Wesley, 20 és Person Eduction Limited 24. (A ili.) Peter Linz, An Introduction to Forml Lnguges nd Automt, Jones & Brlett Lerning, 22. Ajánlott z elődások látogtás és jegyzetelés! A vizsgán z elődáson elhngzottkt is tudni kell. 1/141 2/141 A formális nyelvek egy lklmzás Egy (progrmozási) nyelv szintxis: zon szályok összessége, melyek meghtározzák nyelvet. Hogyn, milyen módszerrel dhtó meg progrmozási nyelvek szintxis? A legelterjedte módszer genertív nyelvtnnl történő szintxis megdás. Adjuk meg z A,B és C változókól, 0 és 1 konstnsokól, + és műveleti jelekől, vlmint ( és ) zárójelekől felépíthető ritmetiki kifejezések szintxisát! Ilyenek például z A, 1, A+1, A+B, A (B +1) ritmetiki kifejezések. Az összes ilyen kifejezés egy nyelvet lkot. A formális nyelvek egy lklmzás Aritmetiki kifejezések Aritmetiki kifejezéseknek z A,B és C változó jelekől, 0 és 1 konstns jelekől, + és műveleti jelekől, vlmint ( és ) csoportosító jelekől, kif tg kif + tg tg fkt tg fkt fkt ( kif ) vlt konst vlt A B C konst 0 1 szályok lklmzásávl felépíthető jelsoroztokt (szvkt) nevezzük. A jel válsztási lehetőséget jelent, olvssuk vgy -nk. Ez egy genertív nyelvtn. 3/141 4/141

2 A formális nyelvek egy lklmzás Levezetés: kif tg tg fkt tg ( kif ) tg ( kif + tg ) tg ( tg + tg ) fkt ( tg + tg ) fkt ( fkt + tg ) fkt ( fkt + fkt ) Minden lépésen z láhúzott szintktiki egységet helyettesítjük megfelelő szály jo oldlán álló vlmelyik kifejezéssel. A formális nyelvek egy lklmzás Levezetés: fkt ( fkt + fkt ) vlt ( fkt + fkt ) vlt ( vlt + fkt ) vlt ( vlt + konst ) A ( vlt + konst ) A (B + konst ) A (B +1) Jelölés: kif A (B +1) 5/141 6/141 A formális nyelvek egy lklmzás Az A, B, C, 0, 1, +,, ( és ) jelekől álló ritmetiki kifejezés szintxis: egy jelsorozt (vgy szó) kkor és csk kkor ritmetiki kifejezés, h kif -ől fenti szintktiki szályok lklmzásávl történő levezetéssel megkphtó. Röviden: w szó ritmetiki kifejezés kif w. A formális nyelvek egy lklmzás Egy másik péld: FONYA progrmozási nyelv szintxis: progrm ut.list. ut.list ut ut ; ut.list ut ert.do ifut whileut lokk ert.do vlt := kif ifut if relcio then ut else ut whileut while relcio do ut lokk egin ut.list end relcio kif relciojel kif relciojel < > = = 7/141 8/141

3 A formális nyelvek egy lklmzás Egy másik péld: FONYA progrmozási nyelv szintxis: kif tg kif + tg tg fkt tg fkt fkt ( kif ) vlt konst vlt A B C konst 0 1 A formális nyelvek egy lklmzás Egy w jelsorozt kkor és cskis kkor szintktikusn helyes FONYA nyelvű progrm, h progrm w. Ilyen például l oldli jelsorozt és nem ilyen jo oldli: A := 0; A := 0; while A < C do while A+C do egin A := A+1; egin A := A+1 B := B C B := B C end; end; C := C B. C := C B. A jo oldlin két szintktikus hi vn! 9/141 10/141 A formális nyelvek egy lklmzás Az elemzés lpkérdése: Amennyien dott egy progrmozási nyelv szintxis és dott egy ezen nyelven írott progrm, kkor hogyn tudjuk eldönteni zt, hogy z dott progrm engedelmeskedik-e szintxisnk, vgyis szintktikusn helyes-e? Röviden: igz-e, hogy progrm w? Tö lgoritmus is létezik, lásd Szintktikus elemzési módszerek c. kurzus nygát. Áltlános foglmk, jelölések Áécé: szimólumoknk egy tetszőleges véges, nemüres hlmz. Áltlán Σ-vl jelöljük. Σ áécé feletti szó: egy 1... k lkú sorozt, hol k 0 és 1,..., k Σ. k = 0 eset: üres szónk nevezzük, jele λ. Péld áécére és szvkr: Σ = {,}, λ,,,,, st. Progrmozásn: ASCII, Unicode áécék, BEGIN, END, IF, ALMA, K1, továi kulcsszvk, zonosítók, 123, , K1+123, egyé számok, kifejezések st pedig szvk. 11/141 12/141

4 Áltlános foglmk, jelölések Összes szvk hlmz: Σ = { 1... k k 0, 1,..., k Σ} Σ + = { 1... k k 1, 1,..., k Σ} = Σ {λ} Péld: Σ = {λ,,,,,,,,...}, Σ + = {,,,,,,,...} Konktenáció: z u,v Σ szvk egymás után írásávl kpott uv Σ szó. Péld: h u =, v =, kkor uv =, uλ = λu = u. A konktenáció sszocitív: u(vw) = (uv)w minden u,v,w Σ -r n Htványozás: u n { }} { = uu...u, u 0 = λ, u = -re u 3 =. Áltlános foglmk, jelölések H w = xy, kkor x w prefixe, y w suffixe. Péld: pefixei λ,,,, suffixei,,,λ Egy w szó hosszán enne előforduló etűk multiplicitássl vett számát értjük. A jele w, pontos definíció következő: (i) h w = λ, kkor w = 0, (ii) h w = v, vlmely Σ és v Σ -r, kkor w = 1+ v. Péld: λ = 0, = 1, = 2, = 3. 13/141 14/141 Áltlános foglmk, jelölések Nyelv: Σ tetszőleges részhlmzát Σ feletti nyelvnek nevezzük. Péld {, } feletti nyelvekre: {,, } (véges nyelv), {w Σ w páros }, {λ,,,,...} = { n n n 0}. A már ismert ritmetiki kifejezések hlmz egy nyelv z {A,B,C,0,1,+,,(,)} áécé felett. Az összes Σ feletti nyelvek hlmz: P(Σ ) (kontinuum számosságú). Műveletek nyelvekkel Legyenek L,L 1,L 2 Σ nyelvek. Az L 1 L 2,L 1 L 2 és L 1 L 2 z ismert hlmzelméleti műveletek. Továá L = Σ L z L komplementere, L 1 L 2 = {uv u L 1,v L 2 } z L 1 és L 2 konktenációj, Minden lehetséges módon válsztunk L 1 -ől és L 2 -ől szvkt és összeláncoljuk (konktenáljuk) őket: {λ,,}{,} = {,,,,,} Σ {} = {w w Σ }, z -r végződő szvk hlmz. 15/141 16/141

5 Műveletek nyelvekkel A nyelvek konktenációj is sszocitív: ezért zárójelezés elhgyhtó. Htványozás: L n = L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 )L 3, n { }} { LL...L, L 0 = {λ} L = {λ} L LL LLL... z L iteráltj, Műveletek nyelvekkel Megjegyzés: = {λ} és minden L nyelvre λ L. Továá: L = {λ} L +. Az, és komplementer műveleteket Boole műveleteknek, z, konktenáció és iteráció műveleteket pedig reguláris műveleteknek nevezzük. Tetszőleges számú (0 is megengedett) L-eli szó konktenációjként megkphtó szvk hlmz. {,} = {λ,,,,,,,,...} L + = L LL LLL... ( 0 eset kizárv). 17/141 18/141 Műveletek nyelvekkel Néhány, nyelv műveletekre vontkozó zonosság: L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) L 3 L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 )L 3 L 1 L 2 = L 2 L 1 L{λ} = {λ}l = L L L = L L = L = L L = L = Továá: Genertív nyelvtnok Egy olyn, könnyen leírhtó eszközzel ismerkedünk meg, mely lklms (áltlán végtelen) nyelvek megdásár. Az eszköz neve genertív nyelvtn (vgy genertív grmmtik). Más szóvl: genertív nyelvtnok olyn végesen specifikálhtó eszközök, melyekkel nyelveket tudunk reprezentálni. L 1 (L 2 L 3 ) = L 1 L 2 L 1 L 3 (L 1 L 2 )L 3 = L 1 L 3 L 2 L 3 (L 1 L 2 ) = (L 1 L 2) L 1 (L 1 L 2 ) = {λ} L 1 (L 2 L 1 ) L 2 19/141 20/141

6 Genertív nyelvtnok Genertív nyelvtn: egy G = (N,Σ,P,S) négyes, hol: N egy áécé, nemterminális áécé, Σ egy áécé, terminális (efejező, végső) áécé, mire N Σ =, S N kezdő szimólum (vgy strt szimólum), P pedig α β lkú ún. átírási szályok véges hlmz, hol α,β (N Σ) és α-n vn leglá egy nemterminális etű. (α szály l oldl, β jo oldl.) Genertív nyelvtnok Péld: G 1 = ({S,A},{,},{S A,A A,A λ},s) egy nyelvtn, hol {S, A} nemterminális áécé, {,} terminális áécé, S kezdő (strt) szimólum, {S A,A A,A λ} szályok hlmz. A A egy szály, minek l oldl A, jo oldl pedig A 21/141 22/141 Genertív nyelvtnok Közvetlen levezetés (deriváció): tetszőleges γ,δ (N Σ) esetén γ G δ, h vn olyn α β P szály és vnnk olyn α,β (N Σ) szvk, melyekre fennállnk, hogy γ = α αβ, δ = α ββ. Genertív nyelvtnok Péld: G 1 = ({S,A},{,},{S A,A A,A λ},s) AA AA z A A szállyl AA A z A λ szállyl α α β G α β β γ δ 23/141 24/141

7 Genertív nyelvtnok Levezetések: γ G δ: egy lépés γ n G δ: n 0 lépés (γ 0 G δ γ = δ) γ + G δ: leglá egy lépés γ G δ: vlmennyi (esetleg 0) lépés H nem okoz félreértést, G helyett -t írunk. Genertív nyelvtnok Péld: G 1 = ({S,A},{,},{S A,A A,A λ},s) S A A A Tehát: S, S +, S 4 mind teljesülnek. Továá: A A, A 2 A, tehát A A, A A. Leginká zok levezetések érdekelnek ennünket, melyek kezdő szimólumól indulnk ki és terminális szón végződnek. 25/141 26/141 Genertív nyelvtnok G = (N,Σ,P,S) nyelvtn áltl generált nyelv: L(G) = {u Σ S G u}. A G 1 = ({S,A},{,},{S A,A A,A λ},s) példán L(G 1 ) = { n n n 1}. Egy nyelvet áltlán nem csk egy nyelvtnnl lehet generálni: G = (N,Σ,P,S) és G = (N,Σ,P,S ) nyelvtnok ekvivlensek, h L(G) = L(G ). Genertív nyelvtn Péld: Az elői G 1 nyelvtn ekvivlens G 2 = ({S},{,},{S S,S },S) nyelvtnnl, mert ugyncsk L(G 2 ) = { n n n 1}. 27/141 28/141

8 Genertív nyelvtnok Péld: G r = (N,Σ,P,S), hol N = {K,T,F}, Σ = {+,,(,),}, S = K, P = { - K K +T, K T, - T T F, T F, - F (K), F }. Ekkor L(G r ) z -ól vlmint (,),+ és jelekől képezhető ritmetiki kifejezések hlmz. Genertív nyelvtn Az A α 1,...,A α n szályok feĺırását következőképpen rövidítjük: A α 1... α n. Például, G r nyelvtn szályi megdhtók így is: - K K +T T, - T T F F, - F (K). Egy levezetés G r -n: K T T F F F (K) F (K +T) F (F +F) F (+) 29/141 30/141 Áltlános jelölések Chomsky nyelvosztályok A G = (N,Σ,P,S) nyelvtn Az,,c,d,... szimólumok Σ elemeit, z A,B,C,D,..., és S szimólumok N elemeit, z...,u,v,w,x,y,z szimólumok N Σ elemeit, z α,β,γ,δ,... szimólumok (N Σ) elemeit, és z...,u,v,w,x,y,z szimólumok Σ elemeit fogják jelölni. 0 típusú (vgy áltlános), h rá semmilyen korlátozás nincs. 1 típusú (vgy környezetfüggő), h P-en minden szály αaβ αδβ lkú, hol δ λ. Kivétel, z S λ szály, ekkor zonn z S nem szerepelhet semelyik szály jo oldlán. 2 típusú (vgy környezetfüggetlen), h P-en minden szály A α lkú. 3 típusú (vgy reguláris), h P-en minden szály A xb vgy A x lkú. 31/141 32/141

9 Chomsky nyelvosztályok Egy dott G nyelvtn esetén legngyo olyn i {0,1,2,3} z érdekes, melyre nyelvtn i típusú. Pl. G 1,G 2 és G r nyelvtnok rendre 1, 2 és 2 típusúk. Egy dott L Σ nyelvet i típusúnk mondunk vlmely i {0,1,2,3}-re, h vn olyn i típusú G nyelvtn, melyre L = L(G). Itt is legngyo olyn i z érdekes, melyre nyelv i típusú. Pl. z L(G 1 ),L(G 2 ) és L(G r ) nyelvek mindegyike 2 típusú és e lehet izonyítni, hogy egyik sem 3 típusú. Chomsky nyelvosztályok Az i {0,1,2,3} típusú nyelvek osztályát L i -vel jelöljük. Az nyilvánvló, hogy L 3 L 2 és L 1 L 0, mert minden 3-típusú nyelvtn 2-típusú is és minden 1-típusú nyelvtn 0-típusú is. Késő látni fogjuk, hogy érvényes Chomsky nyelvhierrchi: sőt z erőse lkj is. L 3 L 2 L 1 L 0, L 3 L 2 L 1 L 0 33/141 34/141 Chomsky nyelvosztályok Véges utomták, reguláris kifejezések 0 Összefogllás 0 Továi progrm: Először reguláris nyelveket (vgyis reguláris nyelvtnokkl generálhtó nyelveket) vizsgáljuk Bevezetünk továi két olyn eszközt, melyekkel reguláris nyelveket lehet megdni (reprezentálni): véges utomtákt és reguláris kifejezéseket. Nyelvtnok Nyelvek Megmuttjuk, hogy mind véges utomtákkl felismerhető nyelvek, mind reguláris kifejezésekkel reprezentálhtó nyelvek megegyeznek reguláris nyelvekkel. A l oldli z eddigiek lpján világos, jo oldlit fokoztosn, teljesen félév végére látjuk e. 35/141 36/141

10 Véges utomták Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) rendszert determinisztikus utomtánk nevezzük, hol: 1. Q egy nem üres, véges hlmz, z állpotok hlmz, 2. Σ egy áécé, z input áécé, 3. q 0 Q kezdő állpot, 4. F Q végállpotok hlmz, 5. δ : Q Σ Q egy leképezés, z átmenetfüggvény. Véges utomták Automt megdás irányított gráfként: Az állpotok gráf csúcsi, h δ(q,) = p, kkor q csúcsól egy élet irányítunk p csúcs és z élet ellátjuk z címkével, q p és zt mondjuk, hogy z utomt q állpotól z input szimólum htásár átmegy p állpot. A kezdő és végállpotokt reprezentáló csúcsokt megjelöljük. 37/141 38/141 Véges utomták Véges utomták Péld: M 3 = (Q,Σ,δ,q 0,F) egy utomt, hol Az M 3 utomt megdás irányított gráfként: Q = {q 0,q 1,q 2 }, Σ = {,}, F = {q 0 }, továá kezdő állpot: q 0 végállpot-hlmz: {q 0 } q 1 δ(q0,) = q 1, δ(q 0,) = q 0, δ(q1,) = q 2, δ(q 1,) = q 1, δ(q2,) = q 0, δ(q 2,) = q 2. q 0 q 2 39/141 40/141

11 Véges utomták Automt megdhtó tálázt formán is. A kezdő állpotot tálázt első sorá írjuk, végállpotokt pedig megjelöljük. Az M 3 utomt megdás tálázttl: δ q 0 q 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 2 q 0 q 2 Véges utomták M konfigurációink hlmz: C = Q Σ. A (q, 1... n ) konfiguráció zt jelenti, hogy M q állpotn vn és z 1... n szót kpj inputként. Átmeneti reláció: (q,w),(q,w ) C esetén (q,w) M (q,w ) h w = w, vlmely Σ-r és δ(q,) = q. (q,w) M (q,w ), egy lépés (q,w) n M (q,w ), n 0 lépés (q,w) + M (q,w ), leglá egy lépés (q,w) M (q,w ), vlmennyi (esetleg 0) lépés 41/141 42/141 Véges utomták Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) utomt áltl felismert nyelven z L(M) = {w Σ (q 0,w) M (q,λ) és q F} nyelvet értjük. Véges utomták Átmenetek z M 3 utomtán: kezdő állpot: q 0 végállpot-hlmz: {q 0 } Szvkkl: q 0 -ól w htásár vlmelyik q F végállpot jutunk. M q0 q1 w q2 q 0 F w L(M) (q 1,) M3 (q 2,) M3 (q 0,) 2 M 3 (q 0,λ), (q 0,) M3 (q 0,) M3 (q 1,) M3 (q 1,) M3 (q 2,) M3 (q 0,λ) és (q 0,) M3 (q 1,) M3 (q 1,) M3 (q 1,λ) 43/141 44/141

12 Véges utomták Az M 3 utomt áltl felismert L(M 3 ) nyelv zon szvkól áll, melyeken z etűk szám oszthtó háromml. Véges utomták A determinisztikus utomt áltlánosítás: nemdeterminisztikus utomt. kezdő állpot: q 0 végállpot-hlmz: {q 0 } q1 Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) rendszert nemdeterminisztikus utomtánk nevezzük, hol: L(M 3 ), mert: (q 0,) M3 (q 0,) M3 (q 1,) M3 (q 1,) M3 (q 2,) M3 (q 0,λ) q0 q2 1. Q egy nem üres, véges hlmz, z állpotok hlmz, 2. Σ egy áécé, z input áécé, 3. q 0 Q kezdő állpot, 4. F Q végállpotok hlmz, 5. δ : Q Σ P(Q) egy leképezés, z átmenetfüggvény. Egy input szimólum htásár egy állpotól tö állpot is átmehet. Az áltlánosítás vlóján nem növeli meg felismerő kpcitást. L(M 3 ), mert: (q 0,) M3 (q 1,) M3 (q 1,) M3 (q 1,λ) 45/141 46/141 Véges utomták A nemdeterminisztikus utomt egy input szimólum htásár egy állpotól tö állpot is átmehet: Véges utomták Péld: M = (Q,Σ,δ,q 0,F) egy nemdeterminisztikus utomt, hol δ(q,) = {q 1,...,q n } q 1 Q = {q 0,q 1,q 2,q 3 }, Σ = {,}, F = {q 3 }, továá q q 2. δ(q0,) = {q 0,q 1 }, δ(q 0,) = {q 0 }, δ(q1,) =, δ(q 1,) = {q 2 }, δ(q2,) = {q 3 }, δ(q 2,) =, δ(q3,) = δ(q 3,) = {q 3 }. q n,, Az is megengedett, hogy δ(q,) =. q 0 q 1 q 2 q 3 47/141 48/141

13 Véges utomták Az M utomt megdás tálázttl: δ q 0 q 0,q 1 q 0 q 1 q 2 q 2 q 3 q 3 q 3 q 3 Véges utomták Az átmeneti reláció és felismert nyelv nemdeterminisztikus utomtákr: Átmeneti reláció: (q,w),(q,w ) C esetén (q,w) M (q,w ) h w = w, vlmely Σ-r és q δ(q,). Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) utomt áltl felismert nyelven z L(M) = {w Σ (q 0,w) M (q,λ) vlmely q F-re} nyelvet értjük. Szvkkl: q 0 -ól w htásár elérhető vlmely q F végállpot (ugynkkor esetleg nem végállpotok is elérhetők). 49/141 50/141 Véges utomták Véges utomták,, q 0 q 1 q 2 q 3 L(M ) = {uv u,v Σ }, tehát M pontosn zon Σ -eli szvkt ismeri fel melyeken előfordul z rész-szó. M nemdeterminisztikus! Lehetnek olyn szvk, melyeket egy nemdeterminisztikus utomt nem tud végig olvsni, mert δ(q,) = lkú átmenetek mitt elkdht. A teljesen definiált utomták viszont minden szót végig tudnk olvsni. Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) nemdeterminisztikus utomt teljesen definiált (vgy: teljes), h minden q Q és Σ esetén δ(q,) leglá egy elemű. A determinisztikus utomták teljesen definiáltk. Továá, minden nemdeterminisztikus utomt könnyen teljessé tehető egy ún. cspd állpot evezetésével, nélkül, hogy felismert nyelv megváltozn. 51/141 52/141

14 Véges utomták Tétel. Tetszőleges M = (Q,Σ,δ,q 0,F) nemdeterminisztikus utomtához megdhtó olyn M = (Q,Σ,δ,q 0,F) teljesen definiált utomt, melyre L(M) = L(M ). Véges utomták Péld. Az M utomt teljessé tétele.,, Bizonyítás. H M teljesen definiált, kkor legyen M = M. Különen, legyen Q = Q {q c }, hol q c Q, vgyis egy új állpot ( cspd állpot). Továá, minden q Q és Σ esetén, legyen { δ δ(q,) h δ(q,) (q,) = {q c } h δ(q,) =. Végül, minden Σ-r, legyen δ (q c,) = {q c }. q 0 q 1 q 2 q 3 q c, 53/141 54/141 Véges utomták Tétel. Egy nyelv kkor és csk kkor ismerhető fel nemdeterminisztikus utomtávl, h felismerhető determinisztikus utomtávl. Bizonyítás. ) H egy nyelv felismerhető determinisztikus utomtávl kkor felismerhető nemdeterminisztikus utomtávl is. Véges utomták M = (Q,Σ,δ,q 0,F ), hol Q = P(Q) (= {S S Q}), htványhlmz, q 0 = {q 0}, F = {S Q S F }, δ : Q Σ Q z leképezés melyre tetszőleges S Q és Σ esetén δ (S,) = q S δ(q,). ) Fordítv: legyen M = (Q,Σ,δ,q 0,F) egy nemdeterminisztikus utomt. Megdunk egy M = (Q,Σ,δ,q 0,F ) determinisztikus utomtát, melyre L(M ) = L(M). A konstrukció neve: htványhlmz konstrukció. S δ (S,) = q S δ(q,) 55/141 56/141

15 Véges utomták M állpoti z M állpotiól képzett hlmzok. Nyilvánvló, hogy M determinisztikus. Az L(M ) = L(M) izonyítás: Álĺıtás. Minden w Σ -r és S Q-r Véges utomták Az M és M felismeri w = 1... k szót. 1 2 k 1 k ({q 0 },w) M (S,λ) kkor és csk kkor, h S = {q Q (q 0,w) M (q,λ)}. Szvkkl: Az M-en w htásár elérhető állpotok hlmz megegyezik zzl z állpottl, melye M w htásár jut. Az álĺıtás könnyen igzolhtó w szerinti indukcióvl. Az álĺıtásól zonnl következik, hogy L(M ) = L(M), mert mindkét utomt kkor ismeri fel w-t, h S-en vn leglá egy F-eli állpot. q 0 S 0 q 1... qk 1 q k ( F) S 1 S k 1 S k ( F ) 57/141 58/141 Véges utomták Egy fontos megjegyzés: A htványhlmz konstrukcióvl kpott determinisztikus utomt állpotink szám exponenciálisn növekedhet z eredeti nemdeterminisztikus utomt állpotihoz képest (n-ről 2 n -re). Ez ngy állpotszámú rendszerek esetén állpottér ronást eredményez. Szerencsére helyzet áltlán ennél sokkl jo. A gykorltn úgy járunk el, hogy determinisztikus utomt {q 0 } kezdőállpotáól kiindulv csk zokt z állpotokt konstruáljuk meg, melyek ezen kezdőállpotól elérhetők. Ez trükk áltlán 2 n -nél jóvl kevese állpotot eredményez. (Lásd következő példát.) Véges utomták Péld. Determinizáljuk z M nemdeterminisztikus utomtát!,, q 0 q 1 q 2 q 3 L(M ) = {uv u,v Σ } 59/141 60/141

16 Véges utomták Péld. Átmenetek {q 0,q 1 } állpotól: Véges utomták Péld. Az M utomt determinizálás: q 0,q 1 q 0,q 2 q 0 q 0 q 1 q 0 q 2 q 3 q 0 q 3 q 0 q 2 q 0 q 1 q 3 A kpott utomt determinisztikus és 6 állpot vn (16 helyett). 61/141 62/141 Véges utomták Véges utomták Péld. Észrevesszük, hogy 3 végállpot összevonhtó egyetlen p végállpottá: A nemdeterminisztkius utomt áltlánosítás: nemdeterminisztikus utomt λ-átmenettel, röviden nemdeterminisztikus λ-utomt. Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) rendszert nemdeterminisztikus λ-utomtánk nevezzük, hol: q 0 q 0 q 1 q 0 q 2 p, Az így kpott utomtánk már csk 4 állpot vn. 63/ Q egy nem üres, véges hlmz, z állpotok hlmz, 2. Σ egy áécé, z input áécé, 3. q 0 Q kezdő állpot, 4. F Q végállpotok hlmz, 5. δ : Q (Σ {λ}) P(Q) egy leképezés, z átmenetfüggvény. Olyn átmenet is lehetséges, melyik nem fogysztj z inputot. Előnye, hogy néh kényelmes lklmzni. Ugynkkor, nemdeterminizmushoz hsonlón, nem növeli meg felismerő kpcitást. 64/141

17 Véges utomták Véges utomták A λ-átmenet Egy péld: λ Átmeneti reláció: q (q,w),(q,w ) C esetén (q,w) M (q,w ) h w = w, vlmely (Σ {λ})-r és q δ(q,). λ A felismert nyelv definíciój ugynz, mint nemdeterminisztikus eseten: z M utomt w szót felismeri, h q 0 -ól w htásár elérhető vlmely q F végállpot (esetleg λ-átmenetek segítségével ). p 1 A 0 1 λ B C D λ E 0 λ λ F 0 Felismert nyelv: {1,11,0,,00}{0} δ 0 1 λ A E B B C D C D D F E F B,C 65/141 F D 66/141 Véges utomták Véges utomták Tétel. Egy nyelv kkor és csk kkor ismerhető fel nemdeterminisztikus λ-utomtávl, h felismerhető nemdeterminisztikus utomtávl. Bizonyítás. ) H egy nyelv felismerhető nemdeterminisztikus utomtávl kkor felismerhető nemdeterminisztikus λ-utomtávl is. ) Fordítv: legyen M = (Q,Σ,δ,q 0,F) egy nemdeterminisztikus λ-utomt. Megdunk egy M = (Q,Σ,δ,q 0,F ) nemdeterminisztikus utomtát, melyre L(M ) = L(M). Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) nemdeterminisztikus λ-utomtához megdunk egy M = (Q,Σ,δ,q 0,F ) nemdeterminisztikus utomtát, melyre L(M ) = L(M). M megdásához, ki kell számolni z állpotok λ-lezárását M-en. Egy q Q állpot λ-lezárás zon állpotokól áll, melyek elérhetők q-ól λ-átmenetekkel: Cl(q) = {p Q (q,λ) M (p,λ)}. A {q} hlmzól kiindulv, hozzávesszük q-ól egy λ-átmenettel elérhető állptokt, és ezt z eljárást ddig folyttjuk, míg hlmz ővíthető. Tehát q Cl(q). 67/141 68/141

18 Véges utomták Az M = (Q,Σ,δ,q 0,F) nemdeterminisztikus λ-utomtához megdunk egy M = (Q,Σ,δ,q 0,F ) nemdeterminisztikus utomtát, melyre L(M ) = L(M). A Cl(q) lezárások ismeretéen, legyen: δ (q,) = p Cl(q) δ(p,) és F = {q Q Cl(q) F }. Tehát M q állpotól z htásár zon állpotok megy át, melyeke M vlmennyi λ-átmenettel, mjd egy -átmenettel jut el. Továá M végállpoti zon állpotok, melyekől M vlmennyi λ-átmenettel egy F-eli állpot jut, vgyis felismer. (A vlmennyi mindkét eseten lehet null is.) Ezért L(M ) = L(M). Véges utomták Egy péld: 1 A 0 λ B 1 C λ D λ E 0 λ λ F 0 Cl(A) = {A}, Cl(B) = {B,D}, Cl(C) = {C,D}, Cl(D) = {D}, Cl(E) = {E,B,C,D}, Cl(F) = {F,D} F = {E,B,C,F,D} 69/141 70/141 Véges utomták Egy péld: A 1 B C D Az ekvivlens nemdeterminisztikus utomt. Felismert nyelv: {1,11,0,,00}{0}. 1 0 E F Véges utomták Összefogllás: Véges utomtákkl nyelveket lehet definiálni, oly módon, hogy minden M utomt felismer egy L(M) nyelvet. A következő három fjt utomtát ismertük meg: determinisztikus utomt, nemdeterminisztikus utomt, nemdeterminisztikus λ-utomt. A felismerő kpcitás mindhárom fjt utomtánk ugynz. Ugynkkor, nemdeterminisztikus utomtákkl könnye ánni, például egy dott nyelvhez áltlán könnye megdni z őt felismerő nemdeterminisztikus utomtát, mint determinisztikust. Ez még inká igz nemdeterminisztikus λ-utomtákr. Például két tomtához ngyon könnyű megdni egy olyn nemdeterminisztikus λ-utomtát, mely z eredeti utomták áltl felismert nyelvek egyesítését vgy konktenációját ismeri fel. 71/141 72/141

19 Reguláris kifejezések Progrm: Nyelvek megdásánk egy új formájávl ismerkedünk meg. Veszünk egy áécét és hozzáveszünk néhány segédszimólumot. Ezekől ún. reguláris kifejezéseket építünk fel izonyos szályok szerint. Minden reguláris kifejezés meghtároz (vgy: reprezentál) egy nyelvet. Az összes ilyen nyelvet vizsgáljuk. Ki fog derülni, hogy reguláris kifejezésekkel reprezentálhtó nyelvek nem mások, mint reguláris nyelvek. Reguláris kifejezések Egy Σ áécé feletti reguláris kifejezések hlmz (Σ {,λ,(,),+, }) hlmz legszűke olyn U részhlmz, melyre z lái feltételek teljesülnek: (i) z (áthúzott null) szimólum eleme U-nk; (ii) λ szimólum eleme U-nk; (iii) Minden Σ-r z szimólum eleme U-nk; (iv) H R 1,R 2 U, kkor (R 1 )+(R 2 ), (R 1 )(R 2 ), és (R 1 ) is elemei U-nk. Péld: Legyen Σ = {,}. Akkor például ( ), (()+()) és (()())(() ), Σ feletti reguláris kifejezések. 73/141 74/141 Reguláris kifejezések Az R reguláris kifejezés áltl meghtározott (reprezentált ) R nyelvet következőképpen definiáljuk: (i) H R = (áthúzott null), kkor R = (üres nyelv); (ii) H R = λ (mint szimólum), kkor R = {λ} (mint nyelv); (iii) H R = (mint szimólum), kkor R = {} (mint nyelv); (iv) ) H R = (R 1 )+(R 2 ), kkor R = R 1 R 2 ; (iv) ) H R = (R 1 )(R 2 ), kkor R = R 1 R 2 ; (iv) c) H R = (R 1 ), kkor R = R 1. Egy L Σ nyelv reperzentálhtó reguláris kifejezéssel, h vn olyn Σ feletti R reguláris kifejezés, melyre R = L. Reguláris kifejezések A (gykrn zvró) zárójelezés z egyértelmű kiolvshtóság mitt szükséges. A zárójelek szám csökkenthető, h megállpodunk n, hogy prioritási sorrend legyen, konktenáció, +. Továá, z és konktenáció művelet sszocitív, zért + és z egymás után írás zárójelezése elhgyhtó. Végül () helyett -t, ( ) helyett -et írunk. Így reguláris kifejezések zárójelezése z lái módon egyszerűsödik: ( ) helyett (()+()) helyett (+) (()())(() ) helyett írhtunk (+) (+) -t, (+) (+) -t, st. 75/141 76/141

20 Reguláris kifejezések Reguláris kifejezések Példák = = = {λ}; (+) = + = ( ) = ({} {}) = {,} ; = = = = {}{}{} = {}{λ,,,...} = {,,,...}. Tehát {λ}, {,} és {,,,...} nyelvek reprezentálhtók reguláris kifejezéssel. Minden Σ = { 1,..., n } áécé esetén Σ nyelv reprezentálhtó reguláris kifejezéssel, mert Σ = ( n ). Továi példák: Σ = {,} ) L = {uv u,v Σ } (w L w-en előfordul z rész-szó) reprezentálhtó, mert L = (+) (+). Gondoljunk z ugynezen nyelvet felismerő determinisztikus utomtár. Melyiket könnye megdni? ) L = {uv u,v Σ } (w L w -vl kezdődik és végződik és vn enne leglá egy ) reprezentálhtó, mert L = (+) (+). 77/141 78/141 Reguláris kifejezések Továi példák: Σ = {,} c) Az (+) (λ+) reguláris kifejezére (+) (λ+) = {w {,} w-en nem fordul elő rész-szó} Adjunk meg ehhez nyelvhez egy determinisztikus utomtát! Melyik z egyszerű? Reguláris kifejezések Továi példák reprezentálhtó nyelvekre: d) Minden véges nyelv reprezentálhtó reguláris kifejezéssel. Vlón, legyen L = {x 1,...,x n }, n 1. Akkor hol L = R R n, { i1... R i = ini h x i = i1... ini λ h x i = λ. Például λ+++ = {λ,,,}. Adjunk meg ehhez nyelvhez is egy determinisztikus utomtát! 79/141 80/141

21 Reguláris kifejezések e) Reguláris kifejezések UNIX-n: z áécé z ASCII és különöző rövidítéseket enged meg. Rövidítések krkter hlmzokr: A. (pont) tetszőleges krkter rövidítése. Elhgyj + jeleket: z n reguláris kifejezést [ 1... n ] formán rövidíti. Például < + > + = helyett [<>=]-t ír. Kihsználv, hogy z ASCII rendezett, hlmzokt rövidítve definiál. Például [0-9] jelenti reguláris kifejezést. Továi példák: [A-Z] és [A-Z-z0-9]. Mkrókt hsznál. Például [:digit:] [0-9] helyett és [:lnum:] [A-Z-z0-9] helyett. Reguláris kifejezések e) Reguláris kifejezések UNIX-n: z áécé z ASCII és különöző rövidítéseket és kiterjesztéseket enged meg. Rövidítések műveletekre: A + helyett jelet ír. A? zt jelenti, hogy legfelje egy. Tehát z R? UNIX kifejezés λ+r rövidítése. A + viszont zt jelenti, hogy leglá egy. Tehát z R+ UNIX kifejezés z RR rövidítése. Az {n} rövidítés zt jelenti, hogy n példány. Tehát z R{5} UNIX kifejezés z RRRRR rövidítése. Példák:.?, [:digit:]+ [:lnum:]{3}, st. 81/141 82/141 Az ekvivlenci tétel Tétel. Tetszőleges L Σ nyelv esetén következő három álĺıtás ekvivlens: (1) L reguláris (generálhtó 3-típusú nyelvtnnl). (2) L felismerhető utomtávl. (3) L reprezentálhtó reguláris kifejezéssel. Bizonyítás. Megmuttjuk, hogy Akkor (1) (2) (3). 1. Lemm: (3) = (1) 2. Lemm: (1) = (2) 3. Lemm: (2) = (3) A reguláris nyelvek 3-típusúk 1. Lemm. (3) = (1): H L Σ nyelv reprezentálhtó reguláris kifejezéssel, kkor generálhtó 3-típusú nyelvtnnl. Bizonyítás. Az L-et reprezentáló R reguláris kifejezés struktúráj szerinti indukcióvl. Az indukció lpj. (i) R = Ekkor L = R =, mely generálhtó G = ({S},Σ,,S), 3-típusú nyelvtnnl. (ii) és (iii) R =, hol Σ vgy = λ Ekkor L = R = {}, mely generálhtó G = ({S},Σ,{S },S), 3-típusú nyelvtnnl. 83/141 84/141

22 A reguláris nyelvek 3-típusúk Indukciós lépés. (iv) ) R = (R 1 )+(R 2 ) Ekkor L = R = L 1 L 2, hol L 1 = R 1 és L 2 = R 2. Indukciós feltevés: L i generálhtó G i = (N i,σ,p i,s i ), 3-típusú nyelvtnnl, i = 1,2. (N 1 N 2 =.) A reguláris nyelvek 3-típusúk Akkor L generálhtó G = (N 1 N 2 {S},Σ,P 1 P 2 {S S 1,S S 2 },S), 3-típusú nyelvtnnl, hol S egy új szimólum. S G w kkor és csk kkor, h S 1 G 1 w vgy S 2 G 2 w. 85/141 86/141 A reguláris nyelvek 3-típusúk Indukciós lépés. (iv) ) R = (R 1 )(R 2 ) Ekkor L = R = L 1 L 2, hol L 1 = R 1 és L 2 = R 2. Indukciós feltevés: L i generálhtó G i = (N i,σ,p i,s i ), 3-típusú nyelvtnnl, i = 1,2. (N 1 N 2 =.) Akkor L generálhtó G = (N 1 N 2,Σ,P,S 1 ), 3-típusú nyelvtnnl, hol P legszűke olyn szályhlmz mire teljesülnek következő feltételek: A reguláris nyelvek 3-típusúk H A xb P 1, kkor A xb P, H A x P 1, kkor A xs 2 P, P 2 minden eleme P-nek is eleme. S 1 G 1 w 1 és S 2 G 2 w 2 kkor és csk kkor, h S 1 G w 1S 2 G w 1w 2. 87/141 88/141

23 A reguláris nyelvek 3-típusúk Indukciós lépés. (iv) c) R = (R 1 ) Ekkor L = R = L 1, hol L 1 = R 1. Indukciós feltevés: L 1 generálhtó G 1 = (N 1,Σ,P 1,S 1 ), 3-típusú nyelvtnnl. Akkor L generálhtó G = (N 1 {S},Σ,P,S), 3-típusú nyelvtnnl, hol S egy új szimólum, P pedig legszűke olyn szályhlmz mire teljesülnek következő feltételek: A reguláris nyelvek 3-típusúk S S 1,S λ P, H A xb P 1, kkor A xb P, H A x P 1, kkor A xs P. S G λ S G S 1 G w 1S G w 1 ( L 1 ) w 1 S G w 1 S 1 G w 1w 2 S G w 1 w 2 ( L 1 L 1 ) w 1 w 2 S G w 1 w 2 S /141 90/141 Az ekvivlenci tétel Tétel. Tetszőleges L Σ nyelv esetén következő három álĺıtás ekvivlens: (1) L reguláris (generálhtó 3-típusú nyelvtnnl). (2) L felismerhető utomtávl. (3) L reprezentálhtó reguláris kifejezéssel. Bizonyítás. 1. Lemm: (3) = (1) 2. Lemm: (1) = (2) 3. Lemm: (2) = (3) A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl 2. Lemm. (1) = (2): H L Σ nyelv reguláris, kkor felismerhető utomtávl. Bizonyítás. Legyen L egy reguláris nyelv és tegyük fel, hogy L = L(G), hol G egy 3-típusú nyelvtn Lemm. Minden G = (N, Σ, P, S), 3-típusú nyelvtnhoz megdhtó vele ekvivlens G = (N,Σ,P,S), 3-típusú nyelvtn, úgy hogy P -en minden szály A B, A B vgy A λ lkú, hol A,B N és Σ Lemm. Minden olyn G = (N,Σ,P,S), 3-típusú nyelvtnhoz melynek csk A B, A B vgy A λ lkú szályi vnnk megdhtó olyn M = (Q,Σ,δ,q 0,F) nemdeterminisztkius λ-utomt, melyre L(M) = L(G). 91/141 92/141

24 A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl 2.1. Lemm. Minden G = (N, Σ, P, S), 3-típusú nyelvtnhoz megdhtó vele ekvivlens G = (N,Σ,P,S), 3-típusú nyelvtn, úgy hogy P -en minden szály A B, A B vgy A λ lkú, hol A,B N és Σ. Bizonyítás. Konstruáljuk meg P -t következőképpen: (i) Minden A B, A B és A λ lkú P-eli szályt vegyünk fel P -e. A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl (ii) Minden A 1... n B, P-eli szály esetén (hol n > 1, 1,..., n Σ) vegyük fel P -e z A 1 A 1, A 1 2 A 2,...,A n 1 n B szályokt, hol A 1,...,A n 1 új nemterminális szimólumok. (iii) Minden A 1... n, P-eli szály esetén (hol n 1, 1,..., n Σ) vegyük fel P -e z A 1 A 1, A 1 2 A 2,...,A n 1 n A n,a n λ szályokt, hol A 1,...,A n új nemterminálisok. Legyen N = N { új nemterminálisok }. 93/141 94/141 A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl Minden A N-re és w Σ -r Ugynis A G w kkor és csk kkor, h A G w. A 1... n B P kkor és csk kkor, h A G 1 A 1 G... G 1... n 1 A n 1 G 1... n B és A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl Péld szályok szétdrolásár G : S A B A B λ B A G : S A 1, A 1 A, S B A A 2, A 2 B, A λ B A 3, A 3 A 4, A 4 λ B A A 1... n P kkor és csk kkor, h A G 1 A 1 G... G 1... n A n G 1... n. Az A = S válsztássl kpjuk, hogy L(G) = L(G ). 95/141 96/141

25 A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl 2.2. Lemm. Minden olyn G = (N,Σ,P,S), 3-típusú nyelvtnhoz melynek csk A B, A B vgy A λ lkú szályi vnnk megdhtó olyn M = (Q,Σ,δ,q 0,F) nemdeterminisztkius λ-utomt, melyre L(M) = L(G). A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl G-en: M-en: Bizonyítás. Konstruáljuk meg M-et következőképpen: Q = N, q 0 = S, F = {B N B λ P}, minden A N és (Σ {λ}) esetén legyen A B P B λ P A B F B δ(a,) = {B N A B P}. Az árán Σ vgy = λ. 97/141 98/141 A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl Ekkor minden n 1, A,B N és w Σ esetén A n G wb kkor és csk kkor h (A,w) n M (B,λ). Részleteseen: A G 1 A 1 G... G 1... n 1 A n 1 G 1... n B kkor és csk kkor, h A 3-típusú nyelvek felismerhetők utomtávl Például, vegyük z elői G nyelvtnt: G : S A 1, A 1 A, S B A A 2, A 2 B, A λ B A 3, A 3 A 4, A 4 λ B A (A, 1... n ) M (A 1, 2... n ) M... M (B,λ). Az A = S, B F válsztássl dódik, hogy L(M) = L(G). 99/ /141

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése Hrmdik típusú nyelvek és véges utomták Formális nyelvek, 10. gykorlt Házi feldtok megoldás 1. feldt Melyik nyelvet fogdj el következő utomt? c q 0 q 1 q 2 q 3 q 1 q 4 q 2 q 4 q 2 q 0 q 4 q 3 q 3 q 4 q

Részletesebben

Az LR elemző felépítése. Léptetés. Redukálás. Kiegészített grammatika. Mit kell redukálni? Kiegészített grammatika. elemző. elemző.

Az LR elemző felépítése. Léptetés. Redukálás. Kiegészített grammatika. Mit kell redukálni? Kiegészített grammatika. elemző. elemző. Emlékeztető Emlékeztető: elemzési irányok Felülről lefelé lulról felfelé LR elemzések (z LR() elemzés) () () () () B B Forítóprogrmok előás (,C,T szkirány) () () () () () () () B () B () () () B () Ez

Részletesebben

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: A Formális nyelvek vizsga teljesítése a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon: 1. Öt kis kérdés megválaszolása egyenként 6 pontért, melyet minimum 12

Részletesebben

Nyelvek és Automaták

Nyelvek és Automaták Budpesti Műszki és Gzdságtudományi Egyetem dr. Friedl Ktlin Nyelvek és Automták Óri jegyzet, 200. Szerkesztette: Horváth Ádám Mészégető Blázs Előszó A jelen jegyzet elsősorbn Budpesti Műszki és Gzdságtudományi

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z

Részletesebben

Chomsky-féle hierarchia

Chomsky-féle hierarchia http://www.ms.sapientia.ro/ kasa/formalis.htm Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezetű), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.

Részletesebben

Automaták és formális nyelvek

Automaták és formális nyelvek Automaták és formális nyelvek Bevezetés a számítástudomány alapjaiba 1. Formális nyelvek 2006.11.13. 1 Automaták és formális nyelvek - bevezetés Automaták elmélete: információs gépek általános absztrakt

Részletesebben

Formális nyelvek és automaták

Formális nyelvek és automaták Formális nyelvek és utomták Horváth Árpád 2015. április 21. Nézzük először vázltosn félév fontosbb foglmit! Nyelvek, nyelvtnok és utomták kpcsolt áltlábn (formális) nyelv szvk hlmz Például C, Jv nyelvek,

Részletesebben

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei 7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei Elsıfokú függvények: f : A R A R, A és f () = m, hol m; R m 0 Az elsıfokú függvény képe egyenes. (lásd késı) m: meredekség,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat.

Házi feladatok megoldása. Nyelvtani transzformációk. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 6. gyakorlat. Nyelvtani transzformációk Formális nyelvek, 6. gyakorlat a. S (S) SS ε b. S XS ε és X (S) c. S (SS ) Megoldás: Célja: A nyelvtani transzformációk bemutatása Fogalmak: Megszorított típusok, normálformák,

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális és logritmikus egyenletek, Eponenciális és logritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Eponenciális egyenletek 60 ) = ; b) = ; c) = ; d) = 0; e) = ; f) = ; g) = ; h) =- 7

Részletesebben

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom: Bevezetés számítástudomány mtemtiki lpji Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó,

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai

Juhász István Orosz Gyula Paróczay József Szászné Dr. Simon Judit MATEMATIKA 10. Az érthetõ matematika tankönyv feladatainak megoldásai Juhász István Orosz Gyul Próczy József Szászné Dr Simon Judit MATEMATIKA 0 Az érthetõ mtemtik tnkönyv feldtink megoldási A feldtokt nehézségük szerint szinteztük: K középszint, könnyebb; K középszint,

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Okttási Hivtl A 013/014 tnévi Országos Középiskoli Tnulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Jvítási-értékelési útmuttó 1 Oldj meg vlós számok hlmzán egyenletet! 3 5 16 0

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 7. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011 Mtemtik I. Mőszki informtiki mérnm rnöksszisztens http://jgypk.u jgypk.u-szeged.hu/tnszek/szmtech szmtech/oktts/mtemtik-.pdf Glmbos GáborG JGYPK - Mtemtik I. Felsıfokú Szkképzés A Mtemtik I. fıbb f témái:

Részletesebben

Automaták mint elfogadók (akceptorok)

Automaták mint elfogadók (akceptorok) Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 3. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük.

Arányosság. törtszámot az a és a b szám arányának, egyszer en aránynak nevezzük. Arányosság Az törtszámot z és szám rányánk, egyszeren ránynk nevezzük. Az rány értéke zt ejezi ki, hogy z szám hányszor ngyo számnál, illetve szám hányszor kise z számnál. Az rányokkl végezhet két legontos

Részletesebben

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok Kutov ntl Ptolemios, sey, feldtok Kutov ntl (Kposvár) Ptolemios-tétele, sey-tétel, feldtok Ptolemios-tétel: H egy konvex négyszög szemközti oldli és, ill. és d; átlói e és f, kkor + d e f. Egyenlőség kkor

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata

Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata A 19. óra vázlata: Atomataelmélet: A Rabin Scott-automata Az eddigieken a formális nyelveket generatív szempontból vizsgáltuk, vagyis a nyelvtan (generatív grammatika) szemszögéből. A generatív grammatika

Részletesebben

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer

19. Függvények rekurzív megadása, a mester módszer 19. Függvéyek rekurzív megdás, mester módszer Algoritmusok futási idejéek számítás gykr vezet rekurzív egyelethez, külööse kkor, h z lgoritmus rekurzív. Tekitsük például h z összefésülő redezés lábbi lgoritmusát.

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Lineáris egyenletrendszerek Összeállított: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. Leontieff-modellek Leontieff-modellek: input-output modellek gzdság leírásár legyen n féle, egymássl összefüggésben

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt3 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 20. jnuár 28. 1:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP

MATEMATIKA FELADATLAP MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt :00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 9. osztály

Gyakorló feladatsor 9. osztály Gykorló feldtsor 9. osztály Hlmzok. Sorold fel z lábbi hlmzok elemeit! ) A={ legfeljebb kétjegyű 9-cel oszthtó páros pozitív számok} b) B={:prímszám, hol < 7} c) C={b=n+, hol nϵz és- n

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym AMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen

Részletesebben

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Középiskolás leszek! matematika. 13. feladatsor 1. 2. 3. 4. 5. 6. Középiskolás leszek! mtemtik Melyik számot jelentheti A h tudjuk hogy I felennyi mint S S egyenlõ K és O összegével K egyenlõ O és L különbségével O háromszoros L-nek L negyede 64-nek I + S + K + O + L

Részletesebben

Minta feladatsor I. rész

Minta feladatsor I. rész Mint feldtsor I. rész. Írj fel z A számot htványként! A / pont/. Mekkor hosszúságú dróttl lehet egy m m-es tégllp lkú testet z átlój mentén felosztni két derékszögű háromszögre? Adj meg hosszúságot mértékegységgel!

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 2009. jnuár 23. MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2009. jnuár 23. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto

Részletesebben

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA

TERMOELEKTROMOS HŰTŐELEMEK VIZSGÁLATA 9 MÉRÉEK A KLAZKU FZKA LABORATÓRUMBAN TERMOELEKTROMO HŰTŐELEMEK VZGÁLATA 1. Bevezetés A termoelektromos jelenségek vizsgált etekintést enged termikus és z elektromos jelenségkör kpcsoltár. A termoelektromos

Részletesebben

26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése.

26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK. Célkitűzés: A hálózati egyenirányító és stabilizáló alapkapcsolások és jellemzőinek megismerése, illetőleg mérése. 26. HÁLÓZATI TÁPEGYSÉGEK Célkiűzés: A hálózi egyenirányíó és silizáló lpkpcsolások és jellemzőinek megismerése, illeőleg mérése. I. Elmélei áekinés Az elekronikus készülékek működeéséhez legöször egyenfeszülségre

Részletesebben

Bevezetés a funkcionálanalízisbe

Bevezetés a funkcionálanalízisbe Bevezetés funkcionálnlízisbe Krátson János elődási lpján írt: Kurics Tmás Trtlomjegyzék Előszó 3 1. Normált terek 5 1.1. Normált terek és tuljdonságik............................ 5 1.2. Metrikus és normált

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 2. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 02

Részletesebben

A digitális számítás elmélete

A digitális számítás elmélete A digitális számítás elmélete 1. előadás szept. 19. Determinisztikus véges automaták 1. Példa: Fotocellás ajtó m m m k b s = mindkét helyen = kint = bent = sehol k k b s m csukva b nyitva csukva nyitva

Részletesebben

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT

ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT 4. C Í M K E É V F O L Y A M ORSZÁGOS KÉSZSÉG- ÉS KÉPESSÉGMÉRÉS 2008 18323 VÁLTOZAT Csk kkor nyisd ki tesztfüzetet, mikor ezt kérik! H vlmit nem tudsz megoldni, nem j, folytsd következő feldttl! Okttási

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg.

Részletesebben

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA I HLMZOK, KOMINTORIK VEGYES KOMINTORIKI FELDTOK dott 9 külsõre egyform érme z érmék közül z egyik hmis, tömege könnye töinél Rendelkezésünkre áll egy kétkrú mérleg, mellyel összehsonlításokt tudunk végezni

Részletesebben

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Elődó: Bgi Márk Elődás címe: Csillgászti elődás és kvíz A versenyzők feldtmegoldásokon törik fejüket. 88 VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY Zent, 008. december. 9. évfolym.

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2012. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 0 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

Formális nyelvek és automaták előadások

Formális nyelvek és automaták előadások VÁRTERÉSZ MAGDA Formális nyelvek és automaták előadások 2005/06-os tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Előzetes tudnivalók 4 2. Bevezetés 15 3. Ábécé, szó, formális nyelv 17 4. Műveletek nyelvekkel 24 4.1.

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym TMt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggonozó változt 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál!

FIGYELEM! Ez a kérdőív az adatszolgáltatás teljesítésére nem alkalmas, csak tájékoztatóul szolgál! FIGYELEM! Ez kérdőív z dtszolgálttás teljesítésére nem lklms, csk tájékozttóul szolgál! KÖZPONTI STATISZTIKAI HIVATAL Az dtszolgálttás sttisztikáról szóló 1993. évi XLVI. törvény (Stt.) 8. (2) ekezdése

Részletesebben

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2014. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Mtemtik emelt szintû érettségi témkörök 04 Összeállított: Kovácsné Németh Srolt (gimnáziumi tnár) Tájékozttó vizsgázóknk Tisztelt Vizsgázó! szóeli vizsgán tétel címéen megjelölt tém kifejtését és kitûzött

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2011. jnuár 21. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Használati utasítás. Használat előtt olvassa el. Olvassa el, ha további információkra van szüksége. Számítógép-vezérelte varrógép ELŐKÉSZÜLETEK

Használati utasítás. Használat előtt olvassa el. Olvassa el, ha további információkra van szüksége. Számítógép-vezérelte varrógép ELŐKÉSZÜLETEK Hsználti utsítás Számítógép-vezérelte vrrógép ELŐKÉSZÜLETEK Hsznált előtt olvss el. A VARRÁS ALAPJAI RÖGZÍTŐ ÖLTÉSEK Olvss el, h továi informáiókr vn szüksége. FÜGGELÉK Fontos iztonsági előírások A gép

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

6. Tárkezelés. Operációs rendszerek. Bevezetés. 6.1. A program címeinek kötése. A címleképzés. A címek kötésének lehetőségei

6. Tárkezelés. Operációs rendszerek. Bevezetés. 6.1. A program címeinek kötése. A címleképzés. A címek kötésének lehetőségei 6. Tárkezelés Oerációs rendszerek 6. Tárkezelés Simon Gyul Bevezetés A rogrm címeinek kötése Társzervezési elvek Egy- és többrtíciós rendszerek Szegmens- és lszervezés Felhsznált irodlom: Kóczy-Kondorosi

Részletesebben

E5CN Alkalmazási segédlet

E5CN Alkalmazási segédlet PNSPO! E5N Alklmzási segédlet 2 TARTALOMJEGYZÉK Bekötések...4 Beállítások...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás...6 Egyszerű ON-OFF szbályozás beállítás (risztási funkcióvl)...6 PID szbályozás beállítás...7

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

Jobbra és balraforgatás

Jobbra és balraforgatás Def A P F pont (mgsság-)egyensúly: AVL f Egy(P) = h(jo(p)) h(bl(p)) Def Az F inf AVL-f, h ( P F)( Egy(P) ) tétel H F AVL-f, kkor h(f).44 lg(n + ), hol n z F f pontjink számát jelöli. Biz Legyen N m z m

Részletesebben

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK

1144 PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK PROGRAMOZÁSMÓDSZERTAN, PROGRAMOZÁSI NYELVEK ESETFELVETÉS- MUNKAHELYZET A következő fejezetekben zokkl z lpvető mtemtiki lpokkl ismerkedhet meg, melyek tudás elengedhetetlen z lpvető progrmozási ismeretek

Részletesebben

Mátrixok és determinánsok

Mátrixok és determinánsok Informtik lpji Mátriok és erminánsok számok egyfjt tábláztát mátrink hívjuk. mátriok hsználhtóság igen sokrétő kezdve mtemtikávl, folyttv számítástechnikán és fizikán keresztül, egészen z elektrotechnikáig.

Részletesebben

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM Felhsznált segédletek, példtárk:. Nemzetközi Elıkészítı Int. NEI. Összefoglló feldtgőjtemén ÖF. Szécheni István Fıiskol Távokt. SzIT. Mőszki Fıiskol Példtár MFP Szent

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 2007. jnuár 26. MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2007. jnuár 26. 15:00 ór M 1 feltlp NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

"ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30.

ALAPÍTÓ OKIRAT... A továbbiakban változatlanul a 13. ponttal bezárólag. Határidő: határozat megküldésére: 199 6. október 30. -8 4 - (...) "ALAPÍTÓ OKIRAT... (Változtlnul 12. pontig) 12.) Az intézmény vezetőiét pályázt útján Várplot város Önkormányztánk Képviselő-testülete htározott időre nevezi k i. Az áltlános iskolábn két

Részletesebben

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică

Matematikai analízis. Editura Didactică şi Pedagogică András Szilárd Mureşn Mrin Mtemtiki nlízis és lklmzási Editur Didctică şi Pedgogică Bucureşti, 2005 Descriere CIP Bibliotecii Nţionle României ANDRÁS SZILÁRD, MARIAN MUREŞAN Mtemtiki nlízis és lklmzási/

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym AMt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2010. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2014. jnuár 18. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

ELBIR. Elektronikus Lakossági Bűnmegelőzési Információs Rendszer A FEJÉR MEGYEI RENDŐR-FŐKAPITÁNYSÁG BŰNMEGELŐZÉSI HIRLEVELE 2010.

ELBIR. Elektronikus Lakossági Bűnmegelőzési Információs Rendszer A FEJÉR MEGYEI RENDŐR-FŐKAPITÁNYSÁG BŰNMEGELŐZÉSI HIRLEVELE 2010. ELBIR Elektronikus Lkossági Bűnmegelőzési Információs Rendszer FEJÉR MEGYEI RENDŐR-FŐKPITÁNYSÁG BŰNMEGELŐZÉSI HIRLEVELE Tisztelt Polgármester sszony/úr! DR. SIMON LÁSZLÓ r. dndártábornok z Országos Rendőr-főkpitányság

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Mtemtik emelt szint 1111 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Formi előírások: Fontos tudnivlók 1.

Részletesebben

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012 Konfár László Kozmáné Jk Ágnes Pintér Klár sokszínû munkfüzet 8 Hrmdik, változtln kidás Mozik Kidó Szeged, 0 Szerzõk: KONFÁR LÁSZLÓ áltlános iskoli szkvezetõ tnár KOZMÁNÉ JK ÁGNES áltlános iskoli szkvezetõ

Részletesebben

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK

II. EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Egyenletek és egyenlőtlenségek 5 II EGYENLETEK ÉS EGYENLŐTLENSÉGEK Az idők folymán ngyon sok gykorlti problém merült fel, melynek megoldásához egyenletekre volt szükség A mi egyszerű és tömör mtemtiki

Részletesebben

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része

A vasbeton vázszerkezet, mint a villámvédelmi rendszer része Vsbeton pillér vázs épületek villámvédelme I. Írt: Krupp Attil Az épületek jelentős rze vsbeton pillérvázs épület formájábn létesül, melyeknél vázszerkezetet rzben vgy egzben villámvédelmi célr is fel

Részletesebben

Kezelési útmutató ECO és ECO Plus

Kezelési útmutató ECO és ECO Plus Kezelési útmuttó ECO és ECO Plus Kidás: 2012.12.15. Eredeti kezelési útmuttó Gép Clssic Plus Gép szám Clssic Plus Gép típus Clssic Plus Verzió Berendezés jellege Álltfj Ügyfél neve & Co. KG Ügyfél címe

Részletesebben

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész

A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról 1. rész A torokgerendás fedélszerkezet erőjátékáról. rész Bevezetés Az idő múlik, kívánlmk és lehetőségek változnk. Tegnp még logrléccel számoltunk, m már elektronikus számoló - és számítógéppel. Sok teendőnk

Részletesebben

Kombinációs hálózatok egyszerűsítése

Kombinációs hálózatok egyszerűsítése Komináiós hálóztok egyszerűsítése enesózky Zoltán 24 jegyzetet szerzői jog véi. zt ME hllgtói hsználhtják, nyomtthtják tnulás éljáól. Minen egyé felhsználáshoz szerző elegyezése szükséges. él: speifikáióvl

Részletesebben

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK

1. Laboratóriumi gyakorlat ELMÉLETI ALAPFOGALMAK . Lortóriumi gykorlt LMÉLTI ALAPFOGALMAK. Műveleti erősítők A műveleti erősítőket feszültség erősítésre, összehsonlításr illetve különöző mtemtiki műveletek elvégzésére hsználják (összedás, kivonás, deriválás,

Részletesebben

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4)

Jegyzőkönyv. Termoelektromos hűtőelemek vizsgálatáról (4) Jegyzőkönyv ermoelektromos hűtőelemek vizsgáltáról (4) Készítette: üzes Dániel Mérés ideje: 8-11-6, szerd 14-18 ór Jegyzőkönyv elkészülte: 8-1-1 A mérés célj A termoelektromos hűtőelemek vizsgáltávl kicsit

Részletesebben

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b

1. NAP 9. OSZTÁLY. Lackó József, Csíkszereda 2. Az ab,, a b XVII ERDÉLYI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY CSÍKSZEREDA 007 FEBRUÁR 8- NAP 9 OSZTÁLY Igzoljuk, hogy mide * \ {} eseté 5 ( ) Lckó József, Csíkszered Az b,, b számok eseté htározzuk meg z Ex ( ) x b x kifejezés

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym Mt1 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2015. jnuár 17. 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 4. évfolyamosok számára 4. évfolym Mt2 feltlp MATEMATIKA FELADATLAP 4. évfolymosok számár 2015. jnuár 22. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 6. évfolyamosok számára 6. évfolym AMt2 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 6. évfolymosok számár 2012. jnuár 26. 15:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrenden

Részletesebben

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Gyakorló feladatsor 11. osztály Htvány, gyök, logritmus Gykorló feldtsor 11. osztály 1. Számológép hsznált nélkül dd meg z lábbi kifejezések pontos értékét! ) b) 1 e) c) d) 1 0, 9 = f) g) 7 9 =. Számológép hsznált nélkül döntsd el, hogy

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI MATEMATIKA ÚTMUTATÓ ÉRETTSÉGI VIZSGA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI. ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS Mtemtik emelt szint Jvítási-értékelési útmuttó MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERFORRÁS MINISZTÉRIUM ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. május. Mtemtik emelt szint

Részletesebben

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS

REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOTEGYENLETEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍTÉS REÁLIS GÁZOK ÁLLAPOEGYENLEEI FENOMENOLOGIKUS KÖZELÍÉS Száos odell gondoljunk potenciálo! F eltérés z ideális gáz odelljétl: éret és kölcsönhtás Moszkópikus következény: száos állpotegyenlet (ld. RM-jegyzet

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

MAGYAR NYELVI FELADATLAP

MAGYAR NYELVI FELADATLAP MAGYAR NYELVI FELADATLAP 8. évfolymosok számár tehetséggondozó változt 10:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Ügyelj küllkr! A feldtokt tetszés szerinti sorrenden oldhtod meg. A megoldásr

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára 8. évfolym Mt1 feldtlp MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll dolgozz! Zsebszámológépet nem hsználhtsz. A feldtokt tetszés szerinti sorrendben oldhtod meg.

Részletesebben

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám

PÉLDA: Négyezer-hatszázöt 4 6 0 5 Jel Szám 8. TESZTFÜZET JAVÍTÓKULCS / 2 ELEMI SZÁMOLÁSI KÉSZSÉG Minden helyes megoldás esetén 1, ármilyen hiányosság vgy hi esetén 0 pontot kell dni. SZÁMÍRÁS A BETŰVEL MEGADOTT SZÁMOKAT ÍRD LE SZÁMJEGYEKKEL! 03

Részletesebben

(Nem jogalkotási aktusok) HATÁROZATOK

(Nem jogalkotási aktusok) HATÁROZATOK 2013.4.9. Az Európi Unió Hivtlos Lpj L 100/1 II (Nem joglkotási ktusok) HATÁROZATOK A BIZOTTSÁG VÉGREHAJTÁSI HATÁROZATA (2013. márius 26.) z ipri kiosátásokról szóló 2010/75/EU európi prlmenti és tnási

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára MATEMATIKA FELADATLAP 8. évfolymosok számár 11:00 ór NÉV: SZÜLETÉSI ÉV: HÓ: NAP: Tolll olgozz! Zseszámológépet nem hsználhtsz. A feltokt tetszés szerinti sorrenen olhto meg. Minen próálkozást, mellékszámítást

Részletesebben

Szerelői referencia útmutató

Szerelői referencia útmutató Szerelői referenciútmuttó Dikin Altherm geotermikus hőszivttyú Szerelői referenci útmuttó Dikin Altherm geotermikus hőszivttyú Mgyr Trtlomjegyzék Trtlomjegyzék 1 Áltlános iztonsági óvintézkedések 3 1.1

Részletesebben

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében

PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ. a Társadalmi Megújulás Operatív Program keretében PÁLYÁZATI ÚTMUTATÓ Társdlmi Megújulás Opertív Progrm keretében Munkhelyi képzések támogtás mikro- és kisválllkozások számár címmel meghirdetett pályázti felhívásához Kódszám: TÁMOP-2.1.3/07/1 v 1.2 A projektek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. KÖZÉPSZINT I. ) Az A hlmz elemei háromnál ngyobb egyjegyű számok, B hlmz elemei pedig húsznál kisebb pozitív pártln számok. Sorolj fel z hlmz elemeit! ( pont) A B AB

Részletesebben

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei

Lakások elektromágneses sugárzásának mértéke és ezek csökkentési lehetőségei Lkások elektro ánk mértéke ezek csökkenti lehetőségei Írt: Vizi Gergely Norbert, Dr. Szász ndrás múlt százdbn tudósok rájöttek, vezetékek elektro hullámokt bocsátnk ki, miket távkommunikációr lehet hsználni,

Részletesebben