4. előadás Determinisztikus véges automaták

Átírás

1 Formális nyelvek és utomták 4. elődás Determinisztikus véges utomták dr. Kllós Gáor

2 Formális nyelvek és utomták Trtlom Determinisztikus véges utomták Meghtározás, működés Átmeneti reláció (ismételt is), számítási sorozt Szvk elfogdás, felismert nyelv Automták megdás 2

3 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Bevezetés Célunk: lgoritmusok és szg-ek mtemtiki modelljének vizsgált Egyre erőse számítási kpcitású modelleket fogunk megismerni Először csk: véges (elf-ó) utomt Egyszerű mtemtiki gépmodell, utomtizáltn működik Vn CPU-j (véges), inputot kp, Y/N típusú válszt d Nincs memóriáj (mondhtjuk: erősen korlátozott memóriáj vn) Bizonyos típusú nyelveket fog tudni elfogdni/felismerni Ez egy nyelvfelismerő eszköz (lnguge recognition device) Bár szerény, de mégis igen hsznos ez z eszköz! Pl. fordítóprogrm részeként 3

4 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Felépítés Input szlg Feldolgozndó sztring Vezérlő Belső állpotokkl (egyértelmű zonosítók!) Kezdőállpot, végállpotok Átmenetek Minden időpillntn egyértelmű állpotn! Olvsófej A szlgon lépked, egyesével Nincs külön memóri A működés végén megállás (válsz) Reding hed Az utomt véges, mert véges hlmzokkl leírhtó! Input tpe q 2 c q 3 sttes q 1 q 0 Accept / Reject Control unit 4

5 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Vázltos működés Kezdeten Vezérlő: kezdőállpotól indul Olvsófej: z input szlg l szélén, krkter olvsás (Feldolgozndó sztring első eleme) Toválépés Új első állpot: Csk z ktuális állpottól és (most) eolvsott jeltől függ, egyértelmű (determinisztikus)! (Lásd: δ(p, ) = q, köv. oldlk) (NDA: késő tnuljuk) Fej: szlgon eggyel jor Megállás (válsz) Szó végigolvsv (nálunk mindig! z ut. teljesen definiált), és elfogdv (végállpotn) vgy visszutsítv (egyéként) A működéshez külső evtkozás nem szükséges! 5

6 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Definíció (DVA) Determinisztikus véges utomt (DVA, véges elfogdó utomt) (deterministic finite utomton, determ. finite stte recognizer; DFA, DFSR): M = (K, Σ, δ, s, F) rendszer egy rendezett ötös, hol: K z állpotok hlmz (véges, nem üres) Σ áécé (input) δ z átmeneti függvény (mozgási szályok hlmz), K Σ K (minden K Σ-eli párr definiált esetleg cspdáll.) s K, kezdőállpot (initil stte) F K, végállpotok (elfogdó állpotok, finl sttes) hlmz Megjegyzések Az áll.hlmzr K helyett Q jelölés is hsználtos (hsonló: s helyett q 0 ) Az ötös esetleg más sorrenden is megdhtó, ill. írhtó M(K, Σ, δ, s, F) A teljesen definiáltságot nem minden szerző követeli meg! (ekkor: prciális utomták, lásd: F. Z., B. I., A. P.) Az utomtát Rin Scott-féle ut.nk is nevezzük (ált. nemdet., ld. késő) 6

7 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Reprezentáció Irányított gráf, kiegészítő infóvl (állpotdigrm; stte digrm) A csúcsok z állpotok Kezdőállpot: nyílll vgy kettős nyílll megjelölve Végállpotok: dupl körök Az élek (irányítv) z átmenetek, címkék: olvsott etű Minden csúcs kimenő fok Σ (teljesen def. eset) Nyelő (cspdállpot; ded stte): csúcs, csk reflexív kimenő élekkel Az áráról leolvshtók: K, Σ, δ, s, F Áltlán ez megdás legcélszerű p p, q q stte initil stte finl stte δ (p, )=q p q 7

8 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Reprezentáció A DVA megdhtó tálázttl és csk szöveges leírássl is Ezekől z állpotdigrm megrjzolhtó Előny: méretfüggetlenség, skálázhtó Hátrány: z emer inká vizuális Tálázt (péld) M = (K, Σ, δ, s, F), hol K = {q 0, q 1 }, Σ = {, }, δ tálázttl dott s = q 0, F = {q 1 } Állpotdigrm eől Szöveges leírás Mint z elő, csk itt nincs tálázt, és δ elemeit is szövegesen megdjuk Péld: δ, ) = q 1, δ, ) = q 0 st. q 0 q 1 8

9 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Működés nyomon követése Rjzolhtunk (lásd köv. oldlk) ill. hsználhtó pl. pénzérme vgy szimulátor progrm Pl. JFLAP vgy Butterfly projekt (Várlji F.) 9

10 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Definíció (konfiguráció) A konfiguráció tdk. egy pillntfelvétel z utomt működéséről Def.: Egy M = (K, Σ, δ, s, F) DVA konfigurációj egy rendezett pár, mely M ktuális állpotáól és z input még nem eolvsott részéől áll A konfiguráció tehát K Σ* egy eleme A teljes inputot nem kell tárolni, már feldolgozott rész nem efolyásolj jövőt (hiszen z utomt nem léphet vissz z inputon) csk z ktuális állpotig vezetett minket Konfiguráció péld: (q 5, ) Konfigurációk soroztávl mutthtó e z, hogy hogyn dolgozz fel z utomt z inputot (Lásd még: átmeneti reláció) 10

11 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (konfiguráció) Péld utomtánk áltl elfogdott nyelv: L = {w -k szám w-en pártln} Állpotok q 0 -k szám (eddig) páros q 1 -k szám (eddig) pártln H w =, kkor érvényes konfigurációk-e következők?, ) (N), ) (Y) (q 1, ) (N) (q 1, ) (Y) (q 2, ) (N) q 0 q 1 current stte input Reding hed Configurtion of DFA:, ) 11

12 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Definíció (átmeneti reláció, egy lépésen történő előállítás) Átmeneti reláció, w M : Két szomszédos konfiguráció között értelmezett (ináris reláció), h z utomt át tud menni z elsőől második egy direkt mozgássl Formálisn H Σ, w Σ*, q, p K, δ(q, ) = p, Akkor ((q, w), (p, w)) w vgy (q, w) w(p, w) Ekkor zt mondjuk, hogy (q, w) előállítj (p, w)-t egy lépésen (yield in one step) Azz két konfiguráció között létezik megfelelő átmenet Emellettw M egy függvény, melyre K Σ + K Σ* Az É.T- nincs elevéve: (q, e) H nyilvánvló, hogy melyik DVA-ról vn szó, kkor z M jelzés elhgyhtó w mellől 12

13 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (átmeneti reláció, egy lépésen történő előállítás) Péld konfiguráció-átmenet A péld szerint lehetségesek-e következő egy lépésen történő előállítások?, ) w (q 1, ), ) w (q 1, ), ) w, ), ) w, ) (N) (Y) (N) (Y) input Reding hed q 0 q 1 q 0 q 1 current stte current stte Yield in one step:, ) - (q 1, ) 13

14 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Definíció (számítási sorozt) Számítási sorozt (M det. véges utomtávl): C 0, C 1,... C n konfiguráció-sorozt, melyre C 0 w C 1 w... w C n Péld: (q 1, ) w (q 2, ) w (q 1, ) w (q 3, ) A számítási sorozt hossz z egy lépésen történő előállítások szám (n) A példán: 3 Az első és utolsó konfiguráció összeköthető z n lépésen történő előállítás relációvl, ennek jele w n A példán: (q 1, ) w 3 (q 3, ) Kérdés: (Az ár szerint) Érvényes számítási sorozt-e következő?, ) w, ) w (q 1, ) w (q 1, ) w (q 1, ) (Y) (Y) (Y) (N) input Reding hed q 0 q 1 q 0 q 1 current stte Yield in one step:, ) - (q 1, ) current stte 14

15 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Definíció (ismételt átmeneti reláció, vlhány lépésen történő előállítás) Ismételt átmeneti reláció, w M *: Az w M reláció reflexív, trnzitív lezártj; Ekkor (q, w) konf.ól vlhány lépésen elérhető (q', w'), Jelölés: (q, w) w M * (q', w') vgy ((q, w), (q', w')) w M * Esetleg null lépés is lehet Ekkor nyilván (q', w') = (q, w) Vlhány lépésen történő előállítás (előállítás; yield): A (q, w) konfigurációól egy lépésen történő előállítások ismétlésével eljutunk (q', w')-e (vlhány lépésen) Azz: (q, w) konfiguráció előállítj (q', w')-t Itt is lehet null lépés H nyilvánvló, hogy melyik DVA-ról vn szó, kkor z M jelzés elhgyhtó w*-ól 15

16 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (ismételt átmeneti reláció, vlhány lépésen történő előállítás) A péld szerint lehetségesek-e következő vlhány lépésen történő előállítások (yield)?, ) w* (q 1, ), ) w 3 (q 1, ), ) w* (q 1, ), ) w 5 (q 1, ) (Y) (Y) (N) (N) input Reding hed q 0 current stte q 1 q 0 q 1 current stte Yield:, ) -*, ) 16

17 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Definíció (elfogdott szó) A DVA áltl elfogdott szó (ccepted string, word): M pontosn kkor fogdj el w Σ* szót, h tlálhtó olyn q F, mire (s, w) w M * (q, e) Itt s kezdőállpot, q elfogdó állpot, w teljes input Másként: H egy elfogdó konfiguráció jutunk z (s, w) kezdő konfigurációól ismételt átmeneti relációvl Vgy: A kezdő konf.ól eljutunk egy elfogdó vlhány lépésen történő előállítássl Péld: elfogdott szó input Reding hed q 0 q 1 q 0 q 1 current stte current stte, ) (q 1, e) 17

18 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (elfogdott szó) A péld szerint elfogdott szvk-e következők? (Y) (N) (Y) (Y) (N) input Reding hed q 0 q 1 q 0 q 1 current stte current stte, ) (q 1, e) 18

19 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Definíció (elfogdott nyelv) A DVA áltl elfogdott/felismert nyelv (ccepted lnguge): Azon szvk hlmz, melyeket M felismer; jelölés L(M) Formálisn: L(M) = {w Σ* (s, w) w M * (q, e), q F} A w L(M)? kérdés eldöntéséhez szükséges lépések szám: w Minden lépésen egy szimólumot dolgozunk fel A szó mindig végigolvsásr kerül Péld L(M) = {w G* # pártln} q 0 q 1 19

20 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (szvk elfogdás) Mutssuk e és z szvk feldolgozását (jó eseten: z elfogdáshoz vezető számítási lépéseket) z előző M utomtávl! Eml.: L(M) = {w G* # pártln} A feldolgozás lépései (konf. átmenetek), ) w M, ), ) w M (q 1, ) w M, ) w M, ) w M (q 1, ) w M, ) w M (q 1, ) w M (q 1, ) w M, ) w M, ) w M (q 1, e) w M, e) Elfogdv Visszutsítv Mindkét eseten 6 lépésen megkptuk válszt q 0 q 1 20

21 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (DVA megdás) Adjunk meg olyn M DVA-t, mi z lái nyelvet ismeri fel: L(M) = {w G* w-en szerepel z szó} Megoldás Állpotok (fontos, hogy z állpotoknk djunk jelentést!): q 0 : M eddig 0 krktert olvsott -ól, kezdőáll., q 1 : M pontosn 1 krktert olvsott -ól, q 2 : M pontosn 2 krktert olvsott -ól, q 3 : M végigolvst z részszót, ez elfogdó állpot (de jöhet még input) Átmenetek értelemszerűen q 0 q 1 q 2 q 3, 21

22 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (DVA megdás) Adjunk meg olyn M DVA-t, mi z lái nyelvet ismeri fel: L(M) = {w G* w-en # = 3} Megoldás Állpotok ( jelentésre most is figyeljünk!): q 0 : # = 0, kezdőáll., q 1 : # = 1, q 2 : # = 2, q 3 : # = 3, ez végállpot q 4 : # 4(továi szvk; ez nem elfogdó állpot) Átmenetek értelemszerűen Egyszerű módosítássl sok hsonló feldt megoldhtó 22

23 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (DVA megdás) Adjunk meg olyn M DVA-t, mi z lái nyelvet ismeri fel: L(M) = {w G* w-en -k szám páros, és # 1} Megoldás Állpotok: q 0,0 : -k szám páros (0, 2, 4, ), még nem volt (elfogdó állpot), q 1,0 : -k szám pártln (1, 3, ), még nem volt, q 1,1 : -k szám pártln, egy volt, q 0,1 : -k szám páros, egy volt (elfogdó állpot), q 0,2 : -k szám páros, egynél tö volt q 0,0 q 0,1 q 1,2 : -k szám pártln, egynél tö volt Átmenetek értelemszerűen q 0,2 q 1,0 q 1,1 q 1,2 23

24 Formális nyelvek és utomták Determinisztikus véges utomt Péld (DVA megdás) Eml.: L(M) = {w G* w-en -k szám páros, és # 1}-hez DVA megdás (folyt.): Másik ekvivlens utomt is készíthető (Állpotok összevonás) q 0,0 q 0,1 q 0,2 q 1,0 q 1,1 q 1,2 q 0,0 q 0,1 q 01,2, q 1,0 q 1,1 24

25 Formális nyelvek és utomták Ajánlott irodlom Hrry R. Lewis, Christos H. Ppdimitriou: Elements of the Theory of Computtion (2 nd ed.), Prentice-Hll, Upper Sddle River, 1998 Fülöp Zoltán: Formális nyelvek és szintktikus elemzésük, Polygon, Szeged, 2001 Dömösi Pál és társi: Formális nyelvek és utomták, Elektronikus jegyzet, 2011 Bch Iván: Formális nyelvek, Typotex kidó, Budpest, 2002 Aln P. Prkes: A Concise Introduction to Lnguges nd Mchines, Springer, London,