1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak. dr. Kallós Gábor

Átírás

1 1 2. gyakorlat Matematikai és nyelvi alapfogalmak dr. Kallós Gábor

2 Köszönetnyilvánítás Köszönetnyilvánítás (Acknowledgement) Ez a gyakorlati feladatsor nagyban épít a következő könyvre Elements of the Theory of Computation (Prentice-Hall), Szerzők: Harry R. Lewis, Christos H. Papadimitriou (Profs.); illetve a Pannon egyetemen (Veszprém) használt Digitális számítás elmélete c. tárgy gyakorlatainak fóliáira, Ennek szerzői: dr. Heckl István (előadó, tantárgyfelelős) és dr. Hegyháti Máté A szerző köszönetet mond az anyagok felhasználásának engedélyezéséért és a tananyag kidolgozása során kapott sok segítségért A köszönetnyilvánítás a további gyakorlatok fejlécében nem szerepel külön, de természetesen azokra is vonatkozik 2

3 Tartalom Halmazok, műveletek Hatványhalmaz Rendezett párok Relációk Számosságok, mennyiségi egybevágóság Nyelvi alapfogalmak Ábécé, szavak, nyelvek Műveletek szavakkal és nyelvekkel 3

4 Feladatok (elem, részhalmaz) Igazak-e a következők? 5 {1, 2, 3, 4, 5} 0 {1, 2, 3, 4, 5} {2, 3} {{1, 3}, 2, {2, 3, 4}, {2, 3, }} {1, 2, 3, 4, 5} 1 {{1}, 2, 3, 5, 7} {2, 3} {1, 2, {3, 2}, 4} {1, 2} {1, 2, {2, 3}} {, 1, {2, 4}} {1, 2} {2, 1} {{1}} {1, 2} {1} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {1, 3, {2, 4}} {{2, 3}} {1, 3, {2, 3}} 4

5 Feladatok (halmazműveletek) Végezzük el a következő műveleteket! ({1, 2, 5} {2, 1}) {2, 5, 7} = = {1, 2, 5} {2, 5, 7} = {2, 5} {0, 3, 5} ({3, 7} {3, 5, 7}) = = {0, 3, 5} {3, 7} = {0, 3, 5, 7} ({1, 2, 5} {5, 7, 9}) ({5, 7, 9} {1, 2, 5}) = = {1, 2} {7, 9} = {1, 2, 7, 9} ({1, 2} {2, 3}) ({4, 5, 6} {3, 5, 7}) = {1, 2, 3} {5} = (({1, 4, 5, 7} {2, 4, 8, 3}) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}) (({4, 5, 6} {3, 5, 7}) {4, 6, 7}) = = ({1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}) ({3, 4, 5, 6, 7} {4, 6, 7}) = = {1, 2, 3, 4, 5, 7} {3, 5} = {3, 5} 5

6 Feladatok (hatványhalmaz) Soroljuk fel a következő hatványhalmazok elemeit! P({a, b}) =? Megoldás: P({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}} 2 {5, 7} =? Megoldás: 2 {5, 7} = {, {5}, {7}, {5, 7}} P({2, 3, 5}) =? Megoldás: P({2, 3, 5}) = {, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} P({x}) =? Megoldás: P({x}) = {{}, {x}} P({ }) =? Megoldás: P({ }) = {{}, { }} = {, { }} P({{ }, }) =? Megoldás: P({{ }, }) = {, { }, {{ }}, {{ }, }} 6

7 Feladatok (halmazműveletek és hatványhalmaz) Végezzük el a következő műveleteket! ( {{3, 5}, {1, 2, 3}, {7}}) ( {{3, 1, 5}, {3, 2}, {7}}) = = {1, 2, 3, 5, 7} {} = {} ( {{3}, {3, 5}, {7}}) ( {{1, 2, 3}, {2, 3, 4}}) = = {3, 5, 7} {2, 3} = {2, 3, 5, 7} P({2, 3, 5}) P({3, 5}) = = {, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} {, {3}, {5}, {3, 5}} = = {{2}, {2, 3}, {2, 5}, {2, 3, 5}} (2 {5, 7} 2 {5, 9} ) 2 {3, 5} = = ({, {5}, {7}, {5, 7}} {, {5}, {9}, {5, 9}}) {, {3}, {5}, {3, 5}} = = {{7}, {5, 7}} {, {3}, {5}, {3, 5}} = = {, {3}, {5}, {7}, {5, 7}, {3, 5}} 7

8 Feladatok (rendezett pár, Descartes-szorzat) Adjuk meg A B elemeit, ahol A = {1, 2} és B = {3, 4, 5}! Egészítsük ki! {1, 3, 9} {b, c, d} = {(1, b), (1, c), (1, d), } {0} {1, 2} {1, 2, 3} = {(0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 1, 3), } P({4, 5}) {1, 2} = {, {4}, {5}, {4, 5}} {1, 2} = {(, 1), (, 2), ({4}, 1), } Igazak-e a következő állítások? (a, b) {a} {b}? Igaz, mert {a, b} {a} {b}? Nem, mert {(a, b)} {a} {b}? Igaz, mert {a, b} {a} {b}? Nem, mert {b, b} {b, a} {b}? 8

9 Feladatok (spec. bináris relációk) Döntsük el, hogy az alábbi gráffal adott R 1 reláció rendelkezik-e a felsorolt tulajdonságokkal! R 1 = { (a, a), (a, b), (a, c), (b, c), (c, a) } R 1 {a, b, c} {a, b, c} Reflexív-e R 1? Vá.: Nem, mert a b és c hurok hiányzik Szimmetrikus-e R 1? Vá.: Nem, mert nincsenek (b, a) és (c, b) élek Antiszimmetrikus-e R 1? Vá.: Nem, mert Tranzitív-e R 1? Vá.: Nem, mert a c b 9

10 Feladatok (spec. bináris relációk) Döntsük el, hogy az alábbi gráfokkal adott relációk rendelkeznek-e a felsorolt tulajdonságokkal! (reflexív, szimmetrikus, tranzitív) R 1 = {(1, 1), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 2), (6, 3), (6, 6), (7, 7), (6, 7)} Reflexív N, szimmetrikus N, tranzitív N R 2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (c, b), (c, c)} a b Reflexív Y, szimmetrikus N, tranzitív Y c 10

11 Feladatok (spec. bináris relációk) Döntsük el, hogy az alábbi gráfokkal adott relációk rendelkeznek-e a felsorolt tulajdonságokkal! (reflexív, szimmetrikus, tranzitív) R 1 = {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (c, e), (e, c), (e, e), (e, a), (a, e), (b, b), (b, f), (f, b), (f, f), (d, d)} Reflexív Y, szimmetrikus Y, tranzitív Y R 2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d), (b, d)} Reflexív Y, szimmetrikus N, tranzitív Y a f a e b d d c c b 11

12 Feladatok (tranzitív lezárt) Határozzuk meg a következő gráfok tranzitív lezártját! R 1 = { (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (c, b) } a b a b c c R 1 * = { (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (c, b), (b, c), (c, a) } R 2 = { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (a, c), (b, c) } R 2 * = R 2 a b c 12

13 Feladatok (mennyiségi egybevágóság, számosságok) Megadható-e bijekció a következő két halmaz között? A = {8, piros, {, b}}, B = {1, 2, 3} Igazoljuk, hogy N és a négyzetszámok halmaza mennyiségileg egybevágó! Adjunk meg bijekciót a 17-tel osztható nemneg. egész számok és a négyzetszámok között! Adjunk meg bijekciót N és Z között! Igazoljuk, hogy a valós számok [1, ) részhalmaza és a [0, 1) intervallum között létesíthető bijekció! *Mutassuk meg, hogy a [0, 1)-beli valós törtszámok halmaza nem felsorolható (nem megszámlálhatóak)! *El tudunk képzelni R -nél nagyobb számosságot? Hol jöhet ez elő? 13

14 Nyelvi alapfogalmak Feladatok (ábécé, szó) Adjunk meg értelmes w szavakat E és H felett, amelyekre w = 1, w = 2, w = 3 Tudunk mondani olyan w szót, amely E és H felett is értelmes? Próbáljunk minél hosszabb ilyen szót felírni! (pl. is, be, van, ) Lehet ugyanazon w szó hossza különböző E és H felett? Lehet-e egy adott w szóra fix i-re w(i) eltérő E és H felett? Soroljuk fel B* elemeit! Milyen rendezést célszerű alkalmazni B* megadásánál? Igaz-e ez alapján pl., hogy 111 > 0011? Adjunk meg értelmes szavakat V = {if, then, else, a, b, c} felett! (Hf.) Tervezzünk algoritmust (készítsünk programot), ami kiírja adott ábécé felett az összes páros hosszú szót! az összes hárommal nem osztható hosszú szót! 14

15 Nyelvi alapfogalmak Feladatok (konkatenáció; prefix, szuffix, részszó, tükörkép) Mi lesz e e egyszerűbb alakja? Mutassuk be tetsz. ábécé felett a konkatenáció asszociatív tulajdonságát, azaz hogy (wx)y = w(xy) Mutassunk be tetsz. ábécé felett olyan konkrét v, w szavakat, amikor a konkatenáció mégis kommutatív! Keressünk olyan w szót, amelyre ww = www! *Igazoljuk, hogy Ʃ* a művelettel egységelemes félcsoportot, monoidot alkot Ui.: a művelet asszociatív, és az üresszó egység Adjunk meg részszót, prefixet és szuffixet az abbababa szónál! Hány különböző prefix lehetséges? Hány különböző valódi részszó adható meg? 15

16 Nyelvi alapfogalmak Feladatok (prefix, szuffix, részszó, tükörkép) Keressünk olyan angol és magyar szavakat, amelyekhez sok különböző prefix, szuffix és részszó adható meg! 16

17 Műveletek nyelvekkel Feladatok (nyelvek megadása, nyelvműv.-ek) Adjuk meg a L 1 = {x G* 3 < x < 5} nyelv összes szavát! Soroljuk fel az {a n b n n 0} nyelv szavait! Igazoljuk, hogy L*, ahol L = {01, 1, 100}! (Azaz daraboljuk fel megfelelő módon!) Meg tudunk adni olyan szót az előző L*-ban, amelyet többféle módon is fel tudunk darabolni? Igazoljuk, hogy a következő szavak benne vannak L'*-ban, ahol L'* = {ab, ba, acb} Szavak: abacbab, acbbaab, baacbab Adjuk meg B* elemeit! Indokoljuk, hogy a * ill. + művelet valóban a konkatenáció lezárása! Igazoljuk/szemléltessük, hogy tetszőleges L nyelvre (L*)* = L* (az iteráció idempotens) (biz.: teljes ind.) 17