Orosz Gyula: Markov-láncok. 4. Statisztikus golyójátékok

Átírás

1 . Statsztkus golyójátékok Egy urnában kezdetben különböző színű golyók vannak. Ezek közül véletlenszerűen kválasztunk egyet, és a követett stratégától függően kveszünk vagy beteszünk újabb golyókat az urnába. Ezt a lépést addg folytatjuk, míg a golyók darabszáma, színösszetétele vagy egyéb jellemzője el nem ér egy előre rögzített értéket. A statsztkus golyójátékok elnevezést olyan golyómodellek esetén használjuk, amkor az urnában lévő golyók összetétele előírt szabály szernt változk, a húzás tartalmától függően; de a golyók húzása véletlenszerűen történk. A játékokban a golyók eloszlásával kapcsolatos valószínűség kérdéseket vzsgálunk, például az egyes célállapotok elérésének a valószínűségét, az de vezető folyamat átlagos hosszát stb. A. fejezetben (vsszatevéses sorsolás modell) a golyók színmegoszlása a játék alatt változatlan volt, s így állandó valószínűséggel húztunk azonos színű golyókat. A most következő golyójátékokban - a különböző színű golyók számának változása matt - ez a valószínűség nem állandó, a golyók aktuáls számával lesz arányos. Ez alapján a statsztkus golyójátékokat az állandó valószínűségű golyójátékok általánosításának s teknthetjük. A golyójátékok osztályozása A fejezet játékaban a khúzott golyók színétől függő szabály szernt változtatjuk az urnában lévő golyók színét vagy számát. A játékokat több szempontból osztályozhatjuk. Osztályozás szempont lehet: a) A kezdet színek száma. Ez lehet, vagy több (állapodjunk meg abban, hogy ezeket az eseteket a,,,, kódokkal szmbolzáljuk). b) A khúzott golyók száma. Ez lehet, vagy több (kódok:,,, ). c) A játék folyamán a golyók számának változása. Ez lehet állandó (cserélünk vagy ugyananny golyót teszünk vssza, mnt amennyt kvettünk), lehet csökkenő (khúzunk vagy kevesebbet teszünk vssza) és lehet növekvő. A változás módokhoz rendelt kódok: a csökkenő, állandó, növekvő esetben rendre, 0,. A [színek száma, húzott golyók száma, golyószám változása] számhármassal a játékok egy-egy osztályát jellemezhetjük. Például a.. feladat [,, 0] típusú, a.. feladat [,, 0] vagy [,, 0] típusú volt. (A sorsolás modellben a dobókocka hat oldallapjának hat golyót feleltethetünk meg. Ez lehet akár különböző színű golyó s, de mvel ktüntetett szerepe csak a -os lapnak van, a több lapot jellemző golyót teknthetjük egyforma színűnek.) d) Más típusú osztályozást kapunk, ha az egyes színek változását jellemző stratégákat vzsgáljuk. A stratéga lehet a kválasztott golyó színét támogató, ún. konform stratéga. Például ha a kválasztott golyó pros, akkor egy tovább pros golyót helyezünk az urnába. ehet a stratéga semleges (ha a kválasztott golyó pros, akkor nem csnálunk semmt), és végül lehet kontrastratéga, mely a kválasztott szín ellen hat (például ha a kválasztott golyó pros, akkor kcseréljük egy kék golyóra). Általában azt mondhatjuk, hogy módszertanlag gen hasznos a hasonló típusú golyójátékok tárgyalása. Sok feladat átfogalmazható a golyójátékok modelljére, mnt erre /

2 mndjárt látunk példákat, s az átfogalmazás-modellezés technkáját a későbbekben s gyakran alkalmazzuk. Ugyanakkor a golyójátékok gen alkalmasak számítógépes játékok alapjául s. Könnyen programozhatók, tetszőlegesen paraméterezhetők, a szmulácók és játékok gen sok varácója képzelhető el. (Erről kssé bővebben a 9. fejezetben írunk.) Három klasszkus példa Az alábbakban - megoldásuk nélkül - három klasszkus feladatot említünk, melyekkel a fent bevezetett fogalmakra példákat mutatunk.. példa: Egy dobozban p darab pros színű és k darab kék golyó van. A dobozból kveszünk két golyót. Ha ezek különböző színűek, akkor a pros golyót vsszatesszük, ha egyforma színűek, akkor egy kék golyót teszünk vssza. Ezt az eljárást addg smételjük, míg egyetlen golyó marad a dobozban. M a valószínűsége annak, hogy ez a golyó pros?. példa: Egy táblára felírtunk 99 darab -est, 997 darab -est és 998 darab -ast. Bármely két különböző számjegyet letörölhetjük, ha helyette a harmadk számjegyet egyszer felírjuk a táblára. Igaz-e, hogy ezt az eljárást smételve elérhetjük, hogy a) csak egyfajta; b) csak egyetlen szám marad? Ha gen, melyk lehet ez a szám? A feladatnak valószínűségszámítás értelmezést s adhatunk. Ekkor az eljárás folyamán két különböző, véletlenszerűen kválasztott számjegyet letörlünk, s helyettük a harmadk számjegyet egyszer felírjuk a táblára. M a valószínűsége annak, hogy a) csak egyfajta; b) csak egyetlen szám marad?. példa: Egy szgeten szürke, barna és 7 zöld kaméleon él. Ha két különböző színű kaméleon találkozk, megjednek egymástól, mndketten a harmadk színre változtatják a bőrüket. Két azonos színű találkozásakor nem változtatják meg a színüket. ehetséges-e, hogy egy dő múlva mnden kaméleon ugyanolyan színűvé válk? (M ennek a valószínűsége, ha a kaméleonok találkozása véletlenszerű?) Az első játék kódja [,, ]. A másodk játék felfogható egy olyan golyómodellnek, amelyben az -es, -es és -as számjegyek a pros, kék, sárga golyóknak feleltethetők meg. Ha nem rányított, hanem véletlenszerű folyamatot akarunk, akkor annyban módosítjuk a vsszatevés szabályt, hogy ha két egyforma golyót húzunk (számjegyet választunk), akkor mndkettőt vsszatesszük. Így a játék kódja [,, ], a golyószám pedg nem szgorúan monoton módon csökkenő. A harmadk játék kódja [,, 0]; tt az egyes kaméleonokat azonosíthatjuk hasonló színű golyókkal. A végállapotok valószínűségét a 9. fejezetben megadjuk; ezek meghatározásához nncs szükségünk a Markov-láncok módszerére. Ha azonban a. b) vagy a. példa esetleges végállapotának (csupa egyforma számjegy, lletve egyforma kaméleon) eléréséhez szükséges átlagos lépésszámára vagyunk kíváncsak, már eredményesen alkalmazhatjuk a tanult eljárást. A továbbakban néhány egyszerű stratégájú, kevés golyóból álló modell vselkedését vzsgáljuk meg. Konform- és kontrastratégák /

3 .. feladat (konform pros stratéga): Egy urnában 0 golyó van, kezdetben 7 kék és pros. Mnden lépésben véletlenszerűen kválasztunk egy golyót. A játékszabály a következő: ha a kválasztott golyó kék, prosra cseréljük k; ha pros, akkor változtatás nélkül vsszatesszük. (Ebben a játékban tehát csak nőhet a pros golyók száma.) A játéknak akkor van vége, amkor mnden golyó pros. Átlagosan hány lépésg tart egy játék? Megoldás: Ebben a játékban a pros szín valószínűséggel győz. Jelentse a hátralévő húzások átlagos számát, ha a 0 golyóból darab kék van az urnában. A feladat 7 meghatározása. A játék folyamatábrájának felírása helyett rögtön vzsgáljuk meg az általános egyenletet. Mvel darab kék golyó esetén 0 eséllyel húzunk kék és 0 0 eséllyel pros golyót, 0 az = ( ) ( ) egyenletet kapjuk. (Az egyenlet első tagja úgy 0 0 értelmezhető, hogy valószínűséggel kék golyót húzunk; mvel ezt kcseréljük prosra, 0 történk egy húzás, plusz még anny, amenny átlagosan az ( ) kék golyó esetén várható, vagys számú. Hasonlóan a másodk tag a pros golyó húzásának folyamatát írja le.) Innen 0 átalakításokkal = következk. Ezt az egyenletet felírva az = 7,,...,, esetekben, az alább egyenletrendszer adódk: 0 7 =, 7 0 =,... 0 =, 0 = 0. Csak az egyenletrendszer szmmetrája matt használtuk 0 -t, nylván 0 = 0. Most az egyenletrendszerben alulról felfelé haladva, a ksebb ndexű tagokat sorban behelyettesítve, az 7 = 0... összefüggést kapjuk, nnen 7. 7 Megjegyzések:. A követett megoldás módszerrel hasonlóan látható be, hogy n golyó esetén, kezdet k kék golyóval, a húzások átlagos száma k = n... ; specálsan, ha mnden k golyó kék kezdetben, akkor a húzások átlagos száma n = n.... n. Mellékmegoldásként megkaptuk az = 0 már smert eredményt, mely azt mutatja meg, hogy ha tíz golyóból egy kék, átlagosan tízszer kell vsszatevéssel húznunk, míg skerül /

4 a kék golyót khúzn. (Ugyanez az érték érmedobálásnál, kockadobásnál, vsszatevéses sorsolásnál p n volt (.. feladat).).. feladat (kétrányú színpárbaj): Egy urnában golyó van, kezdetben pros és kék. Mnden lépésben véletlenszerűen kválasztunk egy golyót, és ellenkező színűre cseréljük k. A játékot akkor nyer Pros (P), ha mnden golyó pros lesz; míg Kék (K) akkor, ha mnden golyó kék lesz. Átlagosan hány lépésg tart egy játék? Megoldás: A játék mndkét szín szempontjából kontrastratégájú. egvalószínűbb, hogy a golyók színeloszlása az egyensúly állapot körül ngadozk, ezért a játék végét várhatóan magas lépésszámmal lehet elérn. egyen az. állapotban darab pros golyó az urnában; jelentse az. állapotból ndulva a húzások várható számát, p pedg P győzelmének a valószínűségét, szntén az. állapotban. Ekkor tudjuk, hogy szmmetraokok matt p = (gazságos a játék) és p = p (nncs döntetlen; a játék előbb-utóbb véget ér). A több p meghatározásához - a szokott módon - felírhatjuk, hogy: p = p p, p = p, és most p =. Az egyenletrendszer megoldása p = és p =, vagys a játék erősen kegyensúlyozott akkor s, ha nem a szmmetrkus kezdőhelyzetből ndulunk. A lépésszámokra teljesül az = szmmetra, így a felírható egyenletrendszer: =, =, =. Az egyenletrendszer megoldása =, =, = 7... feladat (egyrányú színpárbaj): Egy urnában golyó van, kezdetben pros és kék. Mnden lépésben véletlenszerűen kválasztunk egy golyót, és ellenkező színűre cseréljük k. A játéknak akkor van vége, ha mnden golyó pros lesz. Átlagosan hány lépésg tart egy játék? (Először próbáljuk számolás nélkül megbecsüln, hogy mennyvel nőnek a.. feladat lépésszáma!) Megoldás: Ha darab pros és darab kék golyónk van, a lépésszámokra = teljesül. Az egyenlet átalakítva =, ezt írjuk fel rendre az =,,,, esetekben: /

5 = = = = =,,,, 0. Két peremfeltételünk van a szélsőhelyzetekből: = 0, lletve 0 =. Például a másodk feltételt felhasználva az egyenletekből - lentről felfelé haladva - mnden változót kfejezhetünk -gyel: =, =, =, =, = Mvel = 0, a kapott értékek: = =, =, =, =, =, és korábban láttuk, hogy =. 0 = Érdemes összehasonlítanunk az előző.. feladat =, =, = 7 lépésszámat a most kapott = 8,, = 80,8, = 78, értékekkel. Megjegyzések: Az egy- és kétrányú színpárbaj játéknak több általánosítása képzelhető el.. Megtehetjük, hogy az alapjáték paraméteret (kezdet golyószám, célállapot) változtatjuk meg. Például legyen a kezdőállapot k darab kék és p darab pros golyó, Kék győzelméhez a kék golyók számának el kell érne a k -et, Pros győzelméhez pedg a pros golyók számának kell elérne a p -at.. Felvehetünk több színt, s az új színekre specáls szabályokat érvényesíthetünk. Például a pros és kék golyók mellett sárga golyókat s az urnába helyezünk, s ha sárga golyót húzunk, kcseréljük prosra. És hát természetesen több játékos s játszhat. Két lehetséges szabály pros, kék, sárga golyók esetén:. Ha sárga golyót húzunk, vsszatesszük. (Ez a játék vegyesen konform és kontrastratégájú. áthatóan csak sárga nyerhet; kérdés az ehhez szükséges lépésszám.). Pros golyót kékre, kéket sárgára, sárgát prosra cserélünk. A következő feladat a statsztkus golyójátékok egy gyakorlat alkalmazására mutat példát... feladat: Egy 8 DC 0 MHz-es AT számítógép az [, ] ntervallumban egymlló véletlenszámot,9 másodperc alatt generált k. Ugyanez a gép átlagosan menny dő alatt osztott k négy játékos között egy lapos kártyapaklt? (Az osztás algortmus a következő: a gép először egy véletlenszámot választ az [, ] ntervallumból; ha a számnak /

6 megfelelő kártyalap még nem foglalt, kosztja a soron következő játékosnak; ha a lapot már megkapta valamelyk játékos, akkor a gép új véletlenszámot generál és így tovább.) Megoldás: Ez a feladat a golyójátékok egy alkalmazása; megpróbáljuk valamelyk játékkal modellezn az osztást. A gép szempontjából a kártyalap kétféle lehet: "jó" vagy "rossz". "Jó" a kártyalap akkor, ha a véletlen választáskor még nem osztottuk k a soron következő játékosnak, ellenkező esetben "rossz". Ugyanakkor ha a gép egy "jó" kártyalapot kválaszt és koszt a soron következő játékosnak, utána már a kártyalapot "rossznak" kell jelöln, hszen többé nem osztható k. A kártyalapok száma állandó, tehát a lap közül véletlen választás egy golyót tartalmazó urnából való húzásnak felel meg. Kezdetben mnden lap "jó", legyenek a kezdet golyók például kékek. Ha egy "jó" lapot húzunk, azt kosztjuk, és "rossznak" jelöljük; ennek megfelel az, hogy ha egy kék golyót khúzunk az urnából, helyette egy prosat teszünk vssza (a golyószám állandó). Ha egy "rossz" lapot húzunk, azt továbbra s "rossznak" tekntjük; ennek megfelelően, ha egy pros golyót húzunk az urnából, változtatás nélkül vsszatesszük. Vegyük észre, hogy a kártyapakl osztásának a.. játék konform pros stratéga modellje felel meg. Ekkor a kérdés az, hogy ha kezdetben kék golyó van az urnában, akkor átlagosan hány húzás után lesz mnden golyó pros? A.. feladatban követett megoldással =... 9,9, így az osztás átlagosan kb.,0 másodpercg tartott. Megjegyzések:. A kapott dő gen rövd; nncs szükség arra, hogy az esetleges programozó kírja a hagyományos nformácós szöveget: "Várj egy kcst, most éppen osztok." (A feladat s ebből a gyakorlat problémából származk.). Az osztás nylván gyorsabbá tehető, ha számláljuk a kosztott lapokat. Az utolsó nyolc lap már egy kézbe kerül, tehát csak lapot kell ekkor kosztan.. A feladat szép példa a matematka gyakorlat alkalmazására. Érdemes ezt tudatosítan a dákjank körében; valamnt azt s hangsúlyozhatjuk, hogy általában egyáltalán nem könnyű egy gyakorlat feladat matematka modelljét felállítan. Vsszatevés nélkül sorsolások Egy urnában kezdetben különböző színű golyókat helyezünk el. A játékosok felváltva húznak úgy, hogy a khúzott golyót nem teszk vssza (tehát az urnában lévő golyók száma monoton csökken). Mndegyk játékosnak van nyerő színe (színkombnácója); s akkor győz valamelykük, hogy ha ennek megfelelő színű golyót húz. A játékban döntetlen eredményt s kaphatunk, ha elfogytak a golyók és senk sem nyert. Ezekben a játékokban tehát a. fejezet sorsolás eljárását módosítjuk, s így egy csökkenő golyószámú modellt kapunk... feladat: Vzsgáljuk meg az egyszerűbb alapjátékokat! Ebben két játékos, a kezdő A és a másodhúzó B játszk egymással. A nyer, ha pros golyót húz, B nyer, ha kéket; s a golyók kezdet színmegoszlása a) (p, k) = (, ); b) (p, k) = (, ); c) (p, k) = (, ); d) (p, k) = (, ); /

7 e) (p, k) = (, ); f) (p, k) = (, ); g) (p, k) = (, ); h) (p, k) = (, ); ) (p, k) = (, ); j) (p, k) = (, ). (Természetesen a tanórán a mennység helyett a mnőségre törekedjünk: kevesebb feladatot tűzzünk k, de lehetőleg az érdekesebbeket.) Megoldás: a) P(A nyer) = (ha elsőre pros golyót húz), P(B nyer) = 0, P(döntetlen) = P(D) =. b) P(A nyer) =. (Elsőre prosat kell húzna. Ha ugyans kéket húz, akkor a következő húzással vagy B nyer, vagy döntetlen lesz a játék.) P(B nyer) = kék húzás következk); P(D) = Ez a játék gazságos. = (egymás után két = (kék - pros - kék (kpk) a húzások sorrendje). c) P(A nyer) = (elsőre prosat kell húzna). P(B nyer) = (ha az első két húzás kék - pros (kp) vagy kék - kék (kk), akkor s nyer); P(D) = 0. d) P(A nyer) = = (a húzások sorrendje p vagy kpp). P(B nyer) = = (a húzások sorrendje kk vagy kpkk). P(D) = = (kpkpk). 0 e) P(A nyer) = = (p vagy kpp). P(D) = 0, így P(B nyer) =. (Persze k s számolhatjuk a kk, lletve kpk sorozatok valószínűségét: =.) Általában s gaz, hogy ha a kék golyók száma legalább -vel több, mnt a prosaké, akkor a játékban nem lehet döntetlen. 7 9 f) P(A nyer) = = (p, kpp vagy kpkpp); P(B nyer) = g) P(A nyer) =. A következő feladatokban a pros golyók száma nem kevesebb a kék golyók számánál; a játékok nylván nem lehetnek A számára előnytelenek. h) P(A nyer) = = (p vagy kpp). P(D) = = (kpk), így P(B nyer) =. 9 ) P(A nyer) = = (p, kpp vagy kpk; tulajdonképpen p vagy kp). 0 7/

8 j) P(A nyer) = 7 = (p, kpp vagy kpkpp). P(D) = 0 = (kpkpk), így P(B nyer) =. 0.. (ktűzött) feladat: Határozzuk meg az előző játékokban a húzások átlagos számát! Útmutatás: egegyszerűbb a defnícót alkalmaznunk. Például a d) (, ) játékban annak a valószínűsége, hogy a játék,,,, lépésben ér véget (tehát a húzások p, kk, kpp, kpkk, kpkpk), rendre, =, =, =, = Innen az átlagos húzásszám =, feladat: Egy urnában kezdetben pros, kék és sárga golyó van. Három játékos, A, B és C felváltva húz vsszatevés nélkül. A nyer, ha pros golyót húz; B nyer, ha kéket; C, ha sárgát. Határozzuk meg A, B, C nyerés esélyét! Megoldás: A játék állapotdagramja mélységű (7 szntű) fagráf, melynek felrajzolásakor gyekeztünk egyszerűsítéseket végezn. Az egyes állapotokat a golyók aktuáls számával jelöltük (kezdetben ez ()); a döntetlen végállapot jele D. / / / A / / / / / / / / / B 0 C / / / / B / / / / / / / / 0 C C / / A 0 C 0 B A 0 0 / / / / / / / / C D B D C D B D Nem rajzoltuk k például az egyértelmű utolsó szntet; vagy az (0) állapotból rögtön következtettünk vagy A, vagy C győzelmére. Az ábra alapján P(A nyer) = = ; P(B nyer) = 0 = ; 0 8/

9 9/ P(C nyer) = ; 0 0 = és a döntetlen valószínűsége D =. 0 = (A folyamatábra lényegében nem könnyítette meg a munkánkat, de a megoldás szerves része, így nem hagytuk el. Bzonyos értelemben feleslegesen dolgoztunk, de ez a feladatmegoldás folyamán gyakran előfordul.).8. (ktűzött) feladat: Határozzuk meg az előző játékban a húzások átlagos számát! Megjegyzések: A vsszatevés nélkül sorsolás modelleket általánosíthatjuk. Változtathatjuk a golyók kezdet megoszlását, többféle (többszínű) golyóval játszhatunk, és növelhetjük a játékosok számát s. A csökkenő golyószám matt nehezebb ekvvalens állapotokat találn, így a játék folyamatábrája könnyen megnövekedhet, a játék elemzése elnehezedhet. (A.7. feladatban kevés kezdet golyóval játszottunk, ennek ellenére az állapotdagram gráfja gen bonyolult lett.) Természetesen mnél összetettebb a feladat, annál nkább előtérbe kerül a számítógép alkalmazása. Vegyes feladatok.9. (ktűzött) feladat (KöMa A.8.): Egy n oldalú dobókockát addg dobálunk, amíg mnd az n lehetséges eredményt legalább egyszer megkapjuk. Menny a dobások számának várható értéke?.0. (ktűzött) feladat: Egy fzkusok által a gázok dffúzójára használt modell a következő: Egy urna üres, egy máskban darab számozott golyó van. Egy kísérlet abból áll, hogy véletlenszerűen kválasztunk egy számot -től -g, és a nek megfelelő golyót áttesszük a másk urnába. A játéknak akkor van vége, ha a golyók eloszlása -. a) Átlagosan hány lépésg tart a kísérlet? b) Oldjuk meg a fordított feladatot s: - golyó esetén várhatóan hány lépés után fog kürüln valamelyk urna?.. (ktűzött) feladat: Egy dobozban négy különböző színű golyó van. Véletlenszerűen kválasztunk kettőt, majd az első golyót olyan színűre festjük, mnt a másodk. Várhatóan hány húzás kell ahhoz, hogy mnden golyó egyszínű legyen?