Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK"

Átírás

1 Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK Diszkrét Matematika 1

2 Tematika Számelmélet: oszthatóság, euklideszi algoritmus, prímfelbontás, kongruenciák, prímszámok. Kódolás elmélet: az RSA algoritmus és annak matematikai alapjai. Lineáris algebra: vektor fogalma, műveletek vektorokkal, vektortér, bázis, véges dimenziós vektortér, koordináták, Sajátérték, sajátvektor. Gráfelmélet: páros gráfok, magyar módszer, hozzárendelési feladat, szállítási feladat. Diszkrét Matematika 2

3 1. Számelmélet A számelmélet első kérdéseit Pitagórasz tette fel, és a természetes számok egymáshoz való viszonyával foglalkozott. (Oszthatóság, prímszámok, maradékos osztás, stb.) Különböző részterületei alakultak ki: Elemi számelmélet (oszthatóság, prímek, maradékos osztás) Analitikus számelmélet (a vizsgálati módszer a függvénytan) Algebrai számelmélet (algebrai számok) Kombinatórikus számelmélet (tökéletes számok) Prímszámelmélet (prímszámok eloszlása, tulajdonságaik) Geometriai számelmélet (Nagy Fermat tétel) Számításelméleti számelmélet (prímteszt, prímfaktorizáció, kriptográfia) Diszkrét Matematika 3

4 Oszthatóság Az oszthatóság azzal foglalkozik, hogy egy egész szám osztható-e egy másik egész számmal. A d a azt jelenti, hogy létezik olyan k egész szám, amelyre teljesül, hogy a = kd. Ha d a, akkor d az a szám osztója és az a szám a d szám többszöröse (többese). Általában csak pozitív egészekkel foglalkozunk, de az oszthatóság kiterjeszthető a negatív számokra is, hiszen ha d osztója a-nak, akkor d is osztója a-nak az egész számok halmazán belül. Bármely a szám osztható 1-gyel és a-val. Ezeket triviális osztóknak nevezzük. A nem triviális osztókat tényezőknek vagy faktoroknak nevezzük. Diszkrét Matematika 4

5 Tétel 1.1.: Ha a b és a c, akkor a b+c Biz. Ha a b, akkor b = ka. Ha a c, akkor c = la. Ezért b + c = ka + la = (k + l) a Így a osztója (b + c)-nek is. Vegyük észre, hogy a tétel állítása visszafele nem igaz. Azaz abból, hogy a b+c, abból nem következik, hogy a b és a c. Egy egyszerű ellenpélda: 2 8 és 8 = Világos, hogy 2 3és 2 5. Viszont igaz az alábbi tétel

6 Diszkrét Matematika 6 Tétel 1.2.: Tegyük fel, hogy a b+c és a b. Ekkor a c. Biz. Mivel a b+c és a b, ezért b+c = ka és b = la, ahol k > l. Ezért ka = b+c = la + c. Ezért (k l)a = c. Amiből azonnal következik, hogy a c Diszkrét Matematika 6

7 Vizsgáljuk meg a következő példát: Legyen n = 5. Lesznek olyan számok, amelyek többszörösei 5-nek, vagy másképpen fogalmazva -át adnak maradékul: ilyenek 1, 15, 2, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 1-et adnak maradékul: ilyenek 6, 11, 16, 21, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 2-t adnak maradékul: ilyenek 7, 12, 17, 22, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 3-at adnak maradékul: ilyenek 8, 13, 18, 23, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 4-et adnak maradékul: ilyenek 9, 14, 19, 24, Diszkrét Matematika 7

8 Általában azt mondhatjuk, hogyha n egy természetes szám, akkor a természetes számokat különböző osztályokba sorolhatjuk aszerint, hogy az n-nel való osztás után a maradék értéke mennyi lesz. Ezeket az osztályokat maradékosztályoknak vagy más néven ekvivalencia osztályoknak nevezzük. Ha n természetes szám, akkor az n-hez tartozó maradékosztályok száma is n. Tétel 1.3. (Maradékos osztás tétele): Legyenek a és n pozitív egész számok. Ekkor egyértelműen léteznek olyan q és r egész számok, amelyekre r<n, és a = qn + r. Diszkrét Matematika 8

9 A fenti kongruencia relációról belátható, hogy ekvivalencia reláció: azaz reflexív, szimmetrikus, tranzitív. Legyen n = Diszkrét Matematika 9

10 Diszkrét Matematika 1

11 Prímszámok Ha egy a számnak csak a triviális osztói léteznek, akkor az a számot prímszámnak nevezzük. Ha az a nem prím, akkor a-t összetett számnak nevezzük. Prímszámok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, Összetett számok: 18 = 2 3.3, azaz 3 18 és Diszkrét Matematika 11

12 Tétel 1.4. Végtelen sok prímszám létezik. Biz. Diszkrét Matematika 12

13 Tétel 1.6.: Ha p prím és a, b egész számok, amelyekre teljesül, hogy p ab, akkor p a vagy p b. Diszkrét Matematika 13

14 Közös osztó és legnagyobb közös osztó Ha a d szám egyaránt osztója az a és b egész számoknak, akkor d-t az a és b számok közös osztójának nevezzük. Legyen a = 3 és b = 72. Mivel a osztói a 1, 2, 3, 5, 6, 1, 15, 3 és b osztói 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, ezért a és b közös osztói a 2, 3 és a 6. Ha a és b legalább egyike -tól különböző egész, akkor a és b közös osztói közül a legnagyobbat az a és b számok legnagyobb közös osztójának nevezzük. Jelölése lnko(a,b). Legyen a = 3 és b = 72. Ekkor lnko(3,72) = 6. Diszkrét Matematika 14

15 Az lnko tulajdonágai: lnko(, ) =, lnko(, a) = a, 1 lnko(a, b) min( a, b ), lnko(a,b) = lnko(b, a) lnko(a, ka) = a Tétel 1.5.: Ha az a és b egészekre d a és d b, akkor d lnko(a,b) Azt láttuk, hogy ha a = 3 és b = 72, a és b közös osztói a 1, 2, 3 és a 6, és 1 6, 2 6 és 3 6. Diszkrét Matematika 15

16 Azt mondjuk, hogy az a és b egész számok relatív prímek, ha lnko(a,b) = 1. Azt mondjuk, hogy az n 1, n 2,, n k egész számok páronként relatív prímek, ha lnko(n i,n j ) = 1 minden i jpárra. Diszkrét Matematika 16

17 Diszkrét Matematika 17

18 Az euklideszi algoritmus Az euklideszi algoritmus a következő rekurziós tételen alapul: Tétel 1.8.: Legyen a tetszőleges, nem negatív, és b tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor lnko(a,b) = lnko(b, a mod b). Biz. A bizonyításban egyrészt megmutatjuk azt, hogy lnko(a,b) lnko(b, a mod b). Másrészt azt is bebizonyítjuk, hogy lnko(b, a mod b) lnko(a,b). Ebből azonnal következik, hogy lnko(a,b) = lnko(b, a mod b). Diszkrét Matematika 18

19 Példa: Legyen a = 36 és b = 126. Ekkor a tétel szerint Alkalmazzuk ismét a tételt: lnko(36,126) = lnko(126, 18). lnko(126,18) = lnko(18,18). Most a tétel ismételt alkalmazásával azt kapjuk, hogy lnko(18, 18) = lnko(18,). Ezért a legnagyobb közös osztó: 18. Diszkrét Matematika 19

20 2. Lineáris algebra A hétköznapi tér az elemi geometria két(három)dimenziós tere két különböző pontja, az A és B pont közti szakasznak kétféle módon adhatunk irányítást. Az jelöli azt az irányított egyenes szakaszt, amelynek kezdőpontja az A és végpontja a B. Az irányított egyenes szakaszok közé soroljuk az szimbólummal jelölt elfajult szakaszt is, amelynek kezdőpontja és végpontja is az A pont. Az vektort nullvektornak nevezzük. B B A A Diszkrét Matematika 22 A

21 Az irányított egyenes szakaszok osztályokra (csoportokra) oszthatók oly módon, hogy a különböző osztályoknak nem lesz közös eleme: Azt mondjuk, hogy az és szakaszok egy osztályba esnek, ha az AD és CD szakaszok felezési pontjai egybeesnek. (Az egy osztályba eső szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúak.) Az egy osztályba eső elemek összességét nevezzük vektornak. B F 1 F 2 D A C A vektorok jelölése: a, a,. Azt, hogy az irányított egyenes szakasz az a vektorhoz tartozik -val jelöljük Diszkrét Matematika 23

22 Ha az irányított egyenes szakasz az a vektorral jelölt osztályba tartozik, akkor -t az a egy reprezentánsának nevezzük. Azt mondjuk, hogy az és irányított szakaszok relációban vannak egymással, ha ők ugyanannak az a vektornak a reprezentánsai. (Vagy ami ezzel megegyezik: az AD és BC szakaszok felezési pontjai egybeesnek.) Jelölése: Egy osztályozást ekvivalencia relációnak nevezünk, ha igazak a következők: reflexív: tranzitív: szimmetrikus: Diszkrét Matematika 24

23 Tétel: A fenti osztályozás a vektorok között ekvivalencia relációt határoz meg. Biz. Legyen, és az a vektor három reprezentánsa. Ekkor be kell látnunk, hogy a definíció három tulajdonsága (reflexív, tranzitív és szimmetrikus) teljesül a reprezentánsokra. Az osztályozás Reflexív, hiszen szakasz felezési pontja egybeesik az szakasz felezési pontjával. Tranzitív, mert, ha akkor AB párhuzamos DC-vel és így ABDC paralelogrammát alkot. Hasonlóan -ből következik, hogy CD párhuzamos EF-fel. Ezért AB párhuzamos EF-fel, amiből következik, hogy ABFE paralelogramma. Ennek átlói mindig felezik egymást. A szimmetrikusság abból következik, hogy ha AB párhuzamos CDvel, akkor CD is párhuzamos AB-vel. Diszkrét Matematika 25

24 Tétel: Ha megadunk a síkban egy P pontot, akkor minden vektornak van olyan reprezentánsa, amelynek kezdőpontja P, azaz van olyan Q pont, hogy. Következmény: Egy vektor a síkban mindig szabadon eltolható önmagával párhuzamosan úgy, hogy kezdőpontja egy megadott pontba kerüljön. Az a vektor hosszán bármely reprezentánsának hosszát értjük, és a val jelöljük. Az a vektor irányán az összes olyan vektor irányát értjük, amelynek reprezentánsai párhuzamosak az a reprezentánsaival. Ha az a és b vektorok iránya azonos, akkor a jelölés: a b. A nullvektor definíció szerint párhuzamos minden vektorral. Diszkrét Matematika 26

25 Két vektor azonos irányítású, ha reprezentánsaik párhuzamosak, és úgy hozhatók fedésbe, hogy kiindulási és végpontjaik egybeesnek. Az azonos irányítású vektorok jelölése: a b. A nullvektor definíció szerint minden vektorral azonos irányítású. Ha két vektor párhuzamos, de nem azonos irányítású, akkor jelölése: a b. Két vektort kollineárisnak (egy egyenesbe esőnek) nevezünk, ha irányaik megegyeznek. Tétel: Két vektor akkor és csak akkor egyenlő (ekvivalens), ha reprezentánsaik hossza, iránya és irányítása megegyezik. Diszkrét Matematika 27

26 Az a és b nem egy egyenesbe eső vektorok szögén értjük azt a belső szöget, amely teszőlegesen választott és irányított egyenes szakaszok esetén a PAB háromszög P csúcsánál van. A B P Ha a vektorok egy egyenesbe esnek és egyik sem nullvektor, ha a b,akkor a bezárt szög º, ha a b, akkor a bezárt szög 18º A nullvektor bármely vektorral º-os szöget zár be. Diszkrét Matematika 28

27 Műveletek vektorokkal: Összeadás Vektorok összege: Az és vektorok összegén értjük azt a vektort, amelynek reprezentánsa az irányított szakasz. 1. Szabály: vektorfűzés 2. Szabály: paralelogramma szabály B C B A A B C Diszkrét Matematika 29

28 Műveleti azonosságok 1. Az összeadás nem vezet ki a vektorok halmazából. (Az összeadás eredménye vektor.) 2. Az összeadás kommutatív művelet: a + b = b + a A bizonyítás egyszerűen következik a definícióból. 3. A vektorok halmazában létezik a nullvektor, amely az a + x = a vektoregyenlet megoldásaként áll elő: x =. a + = a. 4. A vektorok halmazában létezik az ellentett (inverz) elem, amely az a + x = vektoregyenlet megoldásaként áll elő: x = a. a + ( a) =. A ( a) inverz vektor nagysága és iránya megegyezik az a vektor irányával és nagyságával, de irányítása ellentétes. Diszkrét Matematika 3

29 Műveletek vektorokkal: Kivonás Használjuk az inverz elem definícióját a kivonás értelmezéséhez: b a = b + ( a) B b C a b + ( a) b A Két vektor különbségén azt a vektort értjük, amelynek hossza a közös kiinduló pontból felmért vektorok végpontjai közötti távolság, iránya a két végpont által meghatározott irány és irányítása a kivonandóból a kisebbítendő felé mutat. Diszkrét Matematika 31

30 Összegvektorra vonatkozó háromszög egyenlőtlenség: a + b a + b. Különbségvektorra vonatkozó háromszög egyenlőtlenség: a b a b. Paralelgramma azonosság: egy paralelogramma átlói hosszának négyzetösszege egyenlő az oldalak hosszainak négyzetösszegének kétszeresével: a + b 2 + a b 2 = 2 a b 2. Diszkrét Matematika 32

31 Műveletek vektorokkal: Skalárral való szorzás Ha λ valós szám, akkor az a vektorλskalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre λa = λ a λa a Így aλskalárral való szorzás λ -szoros nyújtás, haλ>1, λ arányú zsugorítás, ha 1 >λ>, és ha λ <, akkor a megfelelő szabályhoz járul egy kezdőpontra történő tükrözés. Diszkrét Matematika 33

32 Műveleti azonosságok Legyen V a vektorok halmaza. Ekkor mindenλ,ν R és a, b V esetén: λ(ν a) = (λν )a (λ +ν)a =λa+ν a λ(a + b) =λa+λb Példa: legyenλ=2. a b b a a+b b a+b Emlékeztetőül: párhuzamos szelők tétele! Diszkrét Matematika 34

33 Műveletek vektorokkal: Vektorok skaláris szorzata Az a és b nemnulla vektorok skaláris szorzatán a a b = a b cos γ számot értjük, aholγaz a és b vektor által bezárt szög. A nullvektor és egy másik tetszőleges vektor skaláris szorzata. Fontos: a vektorok skaláris szorzata egy szám! Azt mondjuk, hogy a művelet kivezet a vektorok halmazából. Geometriai értelmezés: b γ a b cosγ Diszkrét Matematika 35

34 Vegyük észre, hogy párhuzamos vektorok a skaláris szorzatra nézve úgy viselkednek, mint a valós számok. Ilyenkor a két vektor hossza ( a és b ) adja a számok abszolút értékét, és a számok előjelét a két vektor iránytásának viszonya szolgáltatja. Ez következik abból a tényből is, hogy cos º = 1 és cos 18 º = 1. Mivel a vektorok skaláris szorzata ennek a műveletnek a kiterjesztése nem kollineáris vektorokra, ezért a nem egy egyenesbe eső vektorokra úgy végezzük el a skaláris szorzást, hogy az egyik vektort rávetítjük a másik vektorra, és ezutás alkalmazzuk a klasszikus számokra már ismert szorzás műveletét. Mivel a 2 = a a = a 2, ezért Következmény: a a >, ha a, és a a = akkor és csak akkor, ha a =. (A skalár szorzat pozitív definit.) Diszkrét Matematika 36

35 Tétel: Ha a és b két egy síkban fekvő nemnulla vektor, akkor a két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk. Biz. 1. Tegyük fel, hogy a két vektor merőleges egymásra. Ekkor a két vektor által közbezárt szög 9º. Mivel cos 9º =, ezért a b = a b cos γ = a b =. 2. Tegyük fel, hogy a b =. Azt tudjuk, hogy a b = a b cosγés a és b. Egy szorzás csak akkor lehet, ha valamelyik tényezője, ezért a b = csak akkor állhat, ha cosγ=. Ebből pedig következik, hogyγ=9º + kπ, ami azt jelenti, hogy a és b merőleges egymásra. Diszkrét Matematika 37

36 Műveleti azonosságok Tétel: a vektorok skaláris szorzata kommutatív művelet: a b = b a. Tétel: a vektorok skaláris szorzata nem asszociatív művelet: ( a b ) c a ( b c ). Biz. A bal oldal egy c-vel párhuzamos vektort ad, a jobb oldal pedig egy a-val párhuzamosat. Tétel:a vektorok skaláris szorzatára igazak a következő azonosságok: λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ). Biz. Használjuk ki a kommutativitást és a definíciót! Diszkrét Matematika 38

37 Tétel: a vektorok skaláris szorzata disztributív művelet: a( b + c ) = a b + a c. Biz. Geometriai bizonyítást adunk. Tegyük fel, hogy a = λ e, ahol e egységnyi hosszú. Ekkor b + c c c cos β = e c b cos α = e b b e e( b + c ) Ebből következik, hogy e( b + c ) = e b + e c. A skalárral való szorzás szabályai miattλe(b+c)=λeb+λec. Mivel a =λe, ezért a( b + c ) = a b + a c. Diszkrét Matematika 39

38 Műveletek vektorokkal: Vektorok vektoriális szorzata Legyenek a és b nemnulla vektorok, és jelöljük a közbezárt szöget γ- val. A két vektor vektoriális szorzatán azt az a x b vektort értjük, amelynek nagysága = a b sinγ iránya merőleges az a és b vektorok által meghatározott síkra írányítása olyan, hogy a, b és a x b ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot. A nullvektor és egy másik tetszőleges vektor vektoriális szorzata. Tétel: Ha a és b egyike sem nullvektor, akkor a x b hossza az a és b által kifeszített paralelogramma területe. b γ m = b sinγ a T = a b sinγ Diszkrét Matematika 4

39 a c = a x b b Diszkrét Matematika 41

40 Műveleti azonosságok Tétel: a vektorok vektoriális szorzata antikommutatív művelet: a x b = b x a. Biz. A tétel állítása azonnal következik a jobbsodrás előírásából. Tétel: a vektorok vektoriális szorzata megtartja a lineáris kombinációt: (λa + µ b) x c = λ (a x c ) + µ (b x c ). Tétel: a vektorok vektoriális szorzata mindkét oldalra disztributív művelet: (a +b) x c = (a x b) + (b x c) a x ( b + c ) = (a x b) + (a x c) Diszkrét Matematika 42

41 Tétel: Ha a és b két egy síkban fekvő nemnulla vektor, akkor a két vektor akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha vektoriális szorzatuk. Biz. 1. Tegyük fel, hogy a két vektor párhuzamos. Ekkor a két vektor által közbezárt szög º. Mivel sin º =, ezért a x b = a b sin γ = a b =. 2. Tegyük fel, hogy a x b =. Azt tudjuk, hogy a x b = a b sinγés a és b. Egy szorzás csak akkor lehet, ha valamelyik tényezője, ezért a x b = csak akkor állhat, ha sinγ=. Ebből pedig következik, hogy γ = 18º + k π, ami azt jelenti, hogy a és b párhuzamos. Diszkrét Matematika 43

42 Műveletek vektorokkal: Vektorok vegyes szorzata Az a, b, c vektorok vegyes szorzatán az ( a b c )= a (b x c ) számot értjük. Tétel: Az a, b, c vektorok vegyes szorzata akkor és csak akkor, ha a három vektor egy síkban van. Tétel: Az a, b, c vektorok vegyes szorzata az a, b és c által kifeszített paralelepipedon térfogata. Tétel: Az a, b, c vektorok vegyes szorzataira igazak a következő állítások: ( a b c ) = (b c a) = (c a b) = ( c b a ) = ( b a c ) = ( a c b ) Diszkrét Matematika 44

43 Tétel: Ha adott a síkban a és b nem kollineáris vektor, akkor a sík bármely c vektora felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre. Azaz léteznek olyan egyértelműen meghatározhatóα,β R konstansok, amelyekre c = α a + β b Biz. Vektorok megadása koordinátákkal Tétel: Ha a és b párhuzamos, akkor létezik olyan α konstans, amelyre b =αa. 1. Felbonthatóság: Legyen adva a három vektor: a, b, c. Húzzunk c végpontjain át párhuzamosokat az a ill. b vektorokkal. Az a és b vektorral párhuzamos egyenesek biztosan metszik egymást. Legyen ez a pont M. Diszkrét Matematika 45

44 αa A M βb B Diszkrét Matematika 46

45 2. Egyértelműség. Tegyük fel, hogy létezik két felbontás: c = α 1 a + β 1 b c = α 2 a + β 2 b = (α 1 α 2 ) a + (β 1 β 2 ) b Mivel a és b nem párhuzamosak, ezért konstansszorosaik sem párhuzamosak. Két nem kollineáris vektor konstansszorosának összege csak akkor lehet a vektor, ha együtthatóik -val egyenlők. Ezértα 1 =α 2 ésβ 1 =β 2, ami ellentmondás. Diszkrét Matematika 47

46 A c =αa+βb előállításban azt mondjuk, hogy a c vektor az a és b vektorok lineáris kombinációja. (A definíció független a dimenziótól, tehát több vektort is feksorolhatunk a jobb oldalon.) Legyen a 1, a 2,, a n a (kétdimenziós) tér n különböző osztályába tartozó vektor. Azt mondjuk, hogy a vektorok egy rendszere lineárisan független, ha a rendszer egyetlen vektora sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjával. Tétel: Ha a és b nem kollineáris (nem párhuzamos) vektor, akkor a két vektor lineárisan független. Biz. Triviális. Diszkrét Matematika 48

47 Következmény: A kétdimenziós térben van két lineárisan független vektor. Tétel: A kétdimenziós térben nincs három olyan vektor, amely lineárisan független lenne. Biz. A tétel állítása azonnal következik a felbontási tételből A maximális számú lineárisan független vektort bázisnak nevezzük. Következmény: a kétdimenziós térben két nem kollineáris vektor bázist alkot. Legyen a és b két olyan vektor, amely bázist alkot a kétdimenziós térben. A c = α a + β b előállításban az α és β együtthatókat a c vektor a, b bázisra vonatkozó koordinátájának nevezzük. Diszkrét Matematika 49

48 A vektornak azt a reprezentánsát, amelynek kezdőpontját a Descartes-féle koordinátarendszer origójában van rögzítve, helyvektornak nevezzük. Egy helyvektort meghatározza végpontjának helyzete. Tétel: A Descardes koordinátarendszerben a koordinátatengelyek irányába mutató egységnyi hosszúságú helyvektorok bázist alkotnak. e 1 = (1,) e 2 = (,1) a a = 4 e e 2 a = (4, 2) Diszkrét Matematika 5

49 Figyeljük meg, hogy egy vektor koordinátái függenek a bázistól: a = (2,) b = (,2) c a' = (1,) b' = (,1) c = 2 a + 1 b c = (2, 1) c = 4 a' + 2 b' c = (4, 2) Következmény: egy adott bázis esetén egy síkbeli vektor megadható két koordinátájának segítségével: c = (c 1, c 2 ). Diszkrét Matematika 51

50 Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Legyen az a és b két síkbeli (kétdimenziós) vektor adott a koordinátáival: Két síkbeli vektor összegén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a két összeadandó koordinátáinak összegével egyenlők: Könnyű ellenőrizni, hogy a műveleti azonosságok érvényben maradnak. Diszkrét Matematika 52

51 a b Diszkrét Matematika 53

52 Ha λ valós szám (λ R), akkor az a vektor λ skalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre tehát a konstanssal megszorozzuk a vektor minden koordinátáját. λ = 1, a Diszkrét Matematika 54

53 Két síkbeli vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a kivonandó és a kisebbítendő koordinátáinak különbségével egyenlők: b a b Diszkrét Matematika 55

54 Tétel: A koordinátákkal adott a és b vektorok skaláris szorzatán a számot értjük, azaz a skalárszorzat értéke a szorzótényezők megfelelő koordinátáinak szorzatösszegével egyenlő. Biz. Itt geometriai bizonyításnak nincs helye, mert az eredmény skalár. Legyen a kétdimenziós tér bázisa az e 1 és e 2 koordinátatengelyek irányába mutató két egységvektor: Ekkor a = a 1 e 1 + a 2 e 2 és b = b 1 e 1 + b 2 e 2. Diszkrét Matematika 56

55 Számítsuk ki a skalárszorzat értékét úgy, hogy közben használjuk a skalárszorzat műveleti azonosságait: a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 ) = = a 1 b 1 e 1 e 1 + a 1 b 2 e 1 e 2 + a 2 b 1 e 2 e 1 + a 2 b 2 e 2 e 2 Használjuk ki, hogy egymásra merőleges, egységnyi hosszú vektorok alkotják a bázist: e 1 e 1 = e 2 e 2 = 1, és e 1 e 2 = e 2 e 1 =. Ezért a b = a 1 b 1 e 1 e 1 + a 2 b 2 e 2 e 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2, amit bizonyítani akartunk. Mivel a vektoriális szorzat kivezet a síkból,ezért ennek kordinátákkal történő kiszámítása előtt foglalkoznunk kell a háromdimenziós tér vektoraival. Diszkrét Matematika 57

56 Síkban, koordinátákkal adott vektor hossza: Ha a vektor koordinátákkal van adva, akkor a vektor hosszát megkaphatjuk, ha képletet használjuk. Ekkor ugyanis: Példa: Legyen a = (3, 4). Ekkor Diszkrét Matematika 58

57 Vektorok a háromdimenziós térben Mivel a vektorok korábbi definíciójában sehol sem használtuk ki azt, hogy egy irányított szakasznak a síkban kell lenni, ezért a három dimenziós térben minden korábbi definíció érvényben marad. Két vektor egymáshoz való viszonya is változatlan lesz a térben, mert ha a két vektor reprezentánsait közös kezdőpontba toljuk el, akkor a két vektor mindig egyértelműen meghatároz egy síkot, és ezért a síkbeli definíciók itt is érvényben maradnak. (lásd két vektor szöge). Ennek az a következménye, hogy az összes művelet, amelyet a vektorokra definiáltunk, érvényben marad, hiszen ezekben maximum két vektor szerepel. A kérdés az, hogy meg lehet-e adni koordinátákkal egy háromdimenziós vektort, és lehet-e általánosítani a két-dimenziós eredményeket? Diszkrét Matematika 59

58 Háromdimenziós vektorok megadása koordinátákkal Tétel: Ha a és b párhuzamos, akkor létezik olyan α konstans, amelyre b =αa. Tétel: Ha adottak a térben a, b és c nem egy síkbba eső vektorok, akkor a tér bármely d vektora felbontható az a, b és c vektorokkal párhuzamos összetevőkre. Azaz léteznek olyan egyértelműen meghatározhatóα,β,γ R konstansok, amelyekre d = α a + β b + γ c Biz. Legyen adva a három nem egy síkba eső vektor, és vegyünk fel egy negyedik vektort is. a-t, b-t és d-t toljuk el közös kezdőpontba (K), és d végpontján jelöljük D-vel, és húzzunk egy a D-n átmenő és a c vektorral párhuzamos egyenest. Diszkrét Matematika 6

59 Ez az egyenes döfi az a és b által meghatározott síkot egy T pontban. A KT irányított szakasz meghatároz egy f vektort, amely az a és b vektorokkal egy síkban van. Ezért a síkbeli vektorok felbontási tétele miatt léteznek olyanα,β R konstansok, amelyekre f = α a + β b. A TD által meghatározott c vektor párhuzamos a c vektorral, ezért c = γ c. Az f, c és a d vektorok egy síkban vannak, ezért rájuk ismét alkalmazható a síkbeli vektorokra vonatkozó felbontási tétel: d = f + c = α a + β b + γ c. Az egyértelműség bizonyítása megegyezik a kétdimenziós esettel. Diszkrét Matematika 61

60 d = f + c = α a + β b + γ c c = γ c a d D b c d b T K a f β b α a f =α a + β b Diszkrét Matematika 62

61 Tétel: Ha a, b és c nem egy síkba eső vektorok, akkor a három vektor lineárisan független. Biz. Triviális. Következmény: A háromdimenziós térben van három lineárisan független vektor. Tétel: A háromdimenziós térben nincs négy olyan vektor, amely lineárisan független lenne. Biz. A tétel állítása azonnal következik a felbontási tételből Diszkrét Matematika 63

62 A maximális számú lineárisan független vektort bázisnak nevezzük. Következmény: a háromdimenziós térben három nem egy síkba eső vektor bázist alkot. Legyen a, b és c három olyan vektor, amely bázist alkot a háromdimenziós térben. A d =αa+βb+γcelőállításban azα,βés γ együtthatókat a d vektor a, b, c bázisra vonatkozó koordinátájának nevezzük. Tétel: A Descardes koordinátarendszerben a koordinátatengelyek irányába mutató egységnyi hosszúságú helyvektorok bázist alkotnak. e 1 = (1,, ) e 2 = (, 1, ) e 3 = (,, 1) Diszkrét Matematika 64

63 Az e 1, e 2, e 3 vektorokból álló bázis ortonormált rendszernek hívjuk. (Az elnevezés magyarázata: ortogonális = merőleges egymásra, normált = egységnyi hosszú.) Koordinátákkal adott háromdimenziós vektorokra a kétdimenziós vektoroknál megadott definíciók kiterjeszthetők. Legyen az a és b két térbeli (háromdimenziós) vektor adott a koordinátáival: Diszkrét Matematika 65

64 Két térbeli vektor összegén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a két összeadandó koordinátáinak összegével egyenlők: Ha λ valós szám (λ R), akkor az a vektor λ skalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre tehát a konstanssal megszorozzuk a vektor minden koordinátáját. Diszkrét Matematika 66

65 Két térbeli vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a kivonandó és a kisebbítendő koordinátáinak különbségével egyenlők: A koordinátákkal adott a és b vektorok skaláris szorzatán a számot értjük, azaz a skalárszorzat értéke a szorzótényezők megfelelő koordinátáinak szorzatösszegével egyenlő. Diszkrét Matematika 67

66 Tétel: A koordinátákkal adott a és b vektorok vektoriális szorzatán az vektort értjük. Biz. Jelöljük most a koordinátatengelyek irányába mutató bázist alkotó egységvektorokat rendre i, j, k-val. a x b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) x (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = = a 1 b 1 (i x i ) + a 1 b 1 (i x j ) + a 1 b 3 (i x k ) + a 2 b 1 (j x i ) + a 2 b 2 (j x j ) + a 2 b 3 (j x k ) + a 3 b 1 (k x i ) + a 3 b 2 (k x j ) + a 3 b 3 (k x k ). Diszkrét Matematika 68

67 Használjuk ki, hogy (i x i ) = (j x j ) = (k x k ) =, mert párhuzamos vektorok vektoriális szorzata. Vegyük észre, hogy a definíció miatt és az antikommutativitás miatt Ezért (i x j ) = k, (j x k ) = i, (k x i ) = j, (i x k ) = j, (j x i ) = k, (k x j ) = i a x b = a 1 b 2 k a 1 b 3 j a 2 b 1 k + a 2 b 3 i + a 3 b 1 j a 3 b 2 i = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k. Diszkrét Matematika 69

68 Koordinátákkal adott háromdimenziós vektorok esetén a vegyes szorzat kiszámítható a definíció alkalmazásával: ( a b c )= a (b x c ) ( a b c ) = a (b x c ) = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) [(b 2 c 3 b 3 c 2 ) i + (b 3 c 1 b 1 c 3 ) j + (b 1 c 2 b 2 c 1 ) k] = = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) i + a 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) j + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) k A 3 x 3-as elrendezéseket harmadrendű determinánsnak nevezzük. Diszkrét Matematika 7

69 Térbeli vektorok hossza: Ha a vektor koordinátákkal van adva, akkor a vektor hosszát megkaphatjuk, ha képletet használjuk. Ekkor ugyanis: Példa: Legyen a = (3, 4, 5). Ekkor Diszkrét Matematika 71

70 Határozzuk meg az y és z értékeket úgy, hogy az a = 2i + yj + k és a b = 3i -6j +zk vektorok párhuzamosak legyenek egymással! Használjuk a párhuzamosság feltételét, és a vektorok vektoriális szorzatának koordinátás alakját: Mivel egy vektor akkor, ha minden koordinátája, ezért 12 3y = -ból kapjuk, hogy y = 4. Hasonlóan, 3 2z = -ból kapjuk, hogy z = 3/2. Ha y és z értékét behelyettesítjük az első koordináta helyébe, akkor azonosságot kapunk. Diszkrét Matematika 72

71 Mivel egyenlő y értéke, ha azt akarjuk, hogy az a = (4, -7, 2) vektor merőleges legyen b = (5, y, 4)-re? Használjuk a merőlegesség feltételét, és a vektorok skaláris szorzatának koordinátás alakját: Az a kérdés, hogy a skaláris szorzat milyen y értékre egyenlő -val? 28 7y = -ból következik, hogy y = 4. Ezért a (4, -7, 2) vektorra a (5, 4, 4) vektor merőleges. Diszkrét Matematika 73

72 Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder két szemközti élpárja merőleges egymásra, akkor a harmadik élpár is merőleges. a b c-a b-a c c-b Feltételek: a c b c b a Biz.dó: b c a Megoldás: a feltételekből adódik, hogy a ( c b ) = és c ( b a ) =. Ezért ac ab = és cb ca =. cb ab =, és így b( c a ) = b c a Diszkrét Matematika 74

73 Bizonyítsuk be, hogy az A(1,,7), B(-1,-1,2), C(2,-2,2) és D(,1,9) pontok egysíkúak (komplanárisak). Azt kell belátni, hogy a O B C A D vektorok egy síkban vannak. Az ábrából kiolvasható, hogy Ezért a vektorok koordinátái kiszámíthatók: Diszkrét Matematika 75

74 Ez a három vektor akkor van egy síkban, ha a koordinátáikból alkotott harmadrendű determináns értéke =. (Vegyük figyelembe a vegyesszorzat geometriai értelmezését.) Diszkrét Matematika 76

75 Vektorfogalom általánosítása Láttuk azt, hogy a kétdimenziós ill. a háromdimenziós térben a tér egyes pontjait reprezentáló vektorok egy számpárral, ill. egy számháromassal jellemezhetők. A vektorok között műveleteket definiáltunk, amelyek közül néhány eredménye vektor (összeadás, skalárral való szorzás) volt, másoké skaláris mennyiség (skaláris szorzás). Terjesszük ki a vektor fogalmát : Egy n-dimenziós vektoron egy a = (a 1, a 2,, a n ) = (a i ) n rendezett szám n-est értünk. (A definícióban most nincs jelentősége annak, hogy a vektort sorvektor vagy oszlopvektor formájában adjuk meg, de a későbbi tanulmányok során a két fogalmat meg kell különböztetni egymástól) Diszkrét Matematika 77

76 Definiáljunk két műveletet a vektorok összeadását és a skalárral való szorzást úgy, hogy az n = 2 ill. n =3 speciális esetekre a már korábban definiált műveleteket kapjuk. Az a = (a 1, a 2,, a n ) = (a i ) n, b = (b 1, b 2,, b n ) = (b i ) n két n- dimenziós vektor összegén azt a c = (c 1, c 2,, c n ) = (c i ) n vektort értjük, amelynek koordinátái a két összeadandó koordinátáinak összegével egyenlők: c = a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) = (a i + b i ) n Haλvalós szám (λ R), akkor az a n-dimenziós vektorλskalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre tehát a konstanssal megszorozzuk a vektor minden koordinátáját. Diszkrét Matematika 78

77 Könnyű belátni, hogy haλ,µ R és a = (a i ) n, b = (b i ) n, akkor az így definiált műveletekre érvényesek az alábbi azonosságok: (1) λ(a + b) = λa+ λ b (2) (λ + µ) a = λa+ µ a (3) (λµ) a =λ(µ a) (4) 1 a = a Az n-dimenziós térben két vektor a és b egyenlő, ha megfelelő koordinátái megegyeznek, azaz a i = b i, i = 1,2,,n. Diszkrét Matematika 79

78 Definiáljuk a következő speciális vektorokat az n-dimenziós vektorok halmazában: 1 = (1, 1,, 1) = (1) n egységvektor = (,,, ) = () n nullvektor i. egységvektor Tétel: Érvényesek a következő állítások: (1) a = (2) ( 1) a = a (3) λ = (4) λ a = (λ = a= ) (5) λ a = λ b (λ = a = b) (6) λ a = µ a (λ = µ a= ) Diszkrét Matematika 8

79 Az n-dimenziós tér vektorainak egy halmazát lineárisan függetlennek nevezzük, ha egyik vektor sem írható fel a többiek lineáris kombinációjaként. Tétel: ha a vektoroknak egy halmaza lineárisan független, akkor a nullvektor csak triviálisan csupa együtthatóval állítható elő a vektorok lineáris kombinációjával. Azt a minimális számú lineárisan független vektort, amelynek lineáris kombinációjaként bármely n-dimenziós vektor előállítható, bázisnak nevezzük. Tétel: n 1 darab vektor nem elegendő ahhoz, hogy minden n- dimenziós vektor előállítsunk ezek lineáris kombinációjaként. Tétel: az n darab egységvektor az n-dimenziós vektorok halmazában lineárisan független. Diszkrét Matematika 81

80 Hozzárendelési feladat Adott n számú dolgozó és n különböző munka. A dolgozók a munkákat különböző költségekkel végzik el. Osszuk szét a dolgozók között a munkákat úgy, hogy minden dolgozó pontosan egy munkát kapjon, és a munkavégzés költsége minimális legyen! n c ij A dolgozók száma A j. munka elvégzésének költsége, ha azt az i. dolgozó hajtja végre. (1 i,j n) 1, ha az i. dolgozó végzi a j. munkát x ij, különben 83

81 A matematikai modell i = 1, 2,, n j = 1, 2,, n 1 i n, 1 j n 84

82 Megoldható a feladat? A megoldást mindig egy olyan nn-es bináris mátrix szolgáltatja, amelynek minden sorában és minden oszlopában egy és csak egy 1-es van. Példa: 44-es esetben legyen a költségmátrix Egy lehetséges megoldás: 85

83 Következmény-1: Egy hozzárendelési feladatnak (HF) mindig van lehetséges megoldása. Következmény-2: Egy HF lehetséges megoldásainak halmaza csak n- től függ, a költségmátrix értékétől a a lehetséges megoldások halmaza független. Következmény-3: Egy HF-nak n! különböző lehetséges megoldása van. Következmény-4: Különböző célfüggvényű (de azonos n-hez tartozó) HF-hoz tartozó lehetséges megoldások halmaza megegyezik. Ezért a HF-t meghatározza a C = {c ij } költségmátrix. Jelölése: H(C). Következmény-5: Egy HF optimális megoldását mindig meghatározhatjuk, ha végigpróbáljuk az összes lehetséges megoldást, és kiválasztjuk azt, amelyhez a minimális célfüggvényérték tartozik. 86

84 A C nm és D nm mátrixokat ekvivalensnek mondunk, ha léteznek olyan α 1,α 2,,α n, ésβ 1,β 2,,β m konstansok, amelyekre c ij = d ij + α i + β j minden 1 i n, 1 j n értékre. Jelölése: C ~ D. Tétel (Mátrixok ekvivalenciája): Ha C és D nn-es költségmátrixok, és C ~ D, akkor H(C) és H(D) optimális megoldásai megegyeznek. Biz. Legyen z C és z D a két célfüggvény, és legyen megoldás. Megmutatjuk, hogy létezik egy olyanγkonstans, amelyre egy tetszőleges 87

85 1 1 γ 88

86 Egy mátrix elemeinek egy rendszerét független rendszernek nevezzük, ha a mátrix minden sora és minden oszlopa legfeljebb egy elemet tartalmaz a rendszerből. (Elemeit *-gal jelöljük.) Tekintsük azt az eljárást, amely előállít egy olyan C (), C (1),, C (k) mátrixsorozatot (k n), amelyre teljesül, hogy (1) C ~ C () (2) C (t) ~ C (t+1), t =, 1, 2,, k-1 (3) C (t), t =, 1, 2,, k (4) C (k) ban ki van jelölve egy n elemű független rendszer. 89

87 Tétel: Tegyük fel, hogy van egy ilyen mátrixsorozatunk. Legyen egy olyan nn-es mátrix, amelyre teljesül, hogy Ekkor Biz. optimális megoldása H(C)-nek. lehetséges megoldás (4) miatt. optimális megoldása H(C (k) )-nak, mert z k ( ) =, és (3) miatt, és bármely X lehetséges megoldásra z k (X ). (1) és (2) valamint az ekvivalencia tranzitivitása miatt C ~ C (k). optimális megoldása H(C)-nek is. 9

88 Magyar módszer Jelölje * a kijelölt független rendszer elemeinek a számát. Előkészítő rész (Egy független rendszer előállítása): Vonjuk ki a sorminimumokat a sorokból Vonjuk ki az oszlopminimumokat az oszlopokból. Így megkapunk egy C () mátrixot. Jelöljünk ki C () -ban egy független rendszert. Egy mátrix egy elemét szabad elemnek nevezzük, ha nincs jellel ellátva, és sem a sora sem az oszlopa nincs lekötve. 91

89 r = * = n i VÉGE r = r + 1 Kössük le a * oszlopait Van szabad elem? Jelöljük meg '-vel a szabad -t ' sora tartalmaz *-t? ' sorát kössük le, * oszlopát oldjuk fel A szabad elemek minimumát levonjuk a szabad elemekből, és hozzáadjuk a kétszeresen kötött elemekhez. Láncképzés: oszlopában *, * sorában. (Jel.: L) C (r+1) elemei: Jelölések nélküli C (r) megjelölése *-gal, ha - és - és 92

90 Példa: Oldjuk meg a következő hozzárendelési feladatot! 93

91 Jelöljük ki a független rendszert oszlopfolytonosan: * * * * Kössük le a *-k oszlopait! * * * * 94

92 Keressünk sorfolytonosan szabad -t! Ez a c 35 elem lesz. Mivel a harmadik sor tartalmaz * elemet, ezért a c 35 elemet ellátjuk '-vel, a sort lekötjük, a sorában levő * oszlopát pedig feloldjuk: * ' + * * ' * ' + + Most a c 41 lesz az első szabad, a negyedik sort lekötjük és a negyedik oszlopot kell feloldani. Keresve szabad -t azt kapjuk, hogy a c 14 lesz az első szabad, az első sort le kell kötni és a harmadik oszlopot kell feloldani. 95

93 Szabad -t keresve most azt látjuk, hogy nincs ilyen elem. Mivel a független rendszerünk csak 4 elemet tartalmaz, ezért az ekvivalencia tétel felhasználásával gyártani kell szabad -t: A szabad elemek minimuma most * ' + * * ' * ' + + Vonjuk le az 1-t a szabad elemekből, és adjuk hozzá a kétszer kötött elemekhez: 96

94 Most már ismét kereshetünk szabad -t. Ez a c 21 elem lesz. Ennek sora tartalmaz * elemet, ezért a c 21 elemet ellátjuk '-vel, a sorát lekötjük, és a harmadik oszlopot feloldjuk: ' * + * ' + * ' * ' Ismét szabad -t keresve, c 51 lesz az első szabad, de a sora nem tartalmaz * elemet, ezért a láncképzés indul be: 97

95 98 Most törölve a jelöléseket, és * -gal ellátva a láncon kívüli * elemeket, valamint * -gal ellátva a láncon belüli ' elemeket, megkapjuk a a C(1) mátrixot. * * * * ' ' ' ' = () C

96 99 Mivel C (1) -ben 5 elemű a független rendszer, ezért az eljárás véget ér. Most már csak az X megoldásmátrix előállítása van hátra: * * = (1) C * * *

97 X = Ezért a célfüggvény értéke: 1

98 Szállítási feladat Adottak feladóhelyek (raktárak), amelyekben azonos árú áll rendelkezésre különböző mennyiségben. Adottak továbbá felvevőhelyek (igények), amelyekben előírt mennyiségekben árúra van szükség. Szállítsuk el a raktárakban levő árút a felvevőhelyekre úgy, hogy a szállítási költségek összege minimális legyen. n a i m A dolgozók száma Az i. raktárban lévő árumennyiség. (i = 1,2,,n) Az igények száma c ij Egységnyi anyagmennyiség szállítási költsége az i. raktárból a j. felvevőhelyre. (1 i n, 1 j m) x ij Az i. raktárból a j. felvevőhelyre szállítandó árumenynyiség. (1 i n, 1 j m) 11

99 A matematikai modell i = 1, 2,, n j = 1, 2,, m 1 i n, 1 j m 12

100 Megoldható a feladat? Tétel (Egyensúlyi feltétel): A szállítási feadatnak akkor és csak akkor létezik optimális megoldása, ha és A korábbiakból látható, hogy egy szállítási feladatot meghatározza az a és b vektor, valamint a C költségmátrix. Jelöljük az így meghatározott szállítási feladatot S(a, b, C)-vel. Tétel: Ha a C és D mátrixok ekvivalensek, akkor az S(a, b, C) és S(a, b, D) feladatok optimális megoldásai megegyeznek. A következőkben feltételezzük, hogy az a, b, C elemei egész számok. 13

101 Tekintsük a következő eljárást (Ford-Fulkerson, 1956): Előállítunk egy olyan mátrixsorozatot, amelyre (1) C ~ C () (2) C (t) ~ C (t+1), t =, 1, 2,, k-1 (3) C (t), t =, 1, 2,, k (4) X (t), és X (t) egész, t =, 1, 2,, k (5) Ha t k, akkor (6) Bármely 1 i n, 1 j m, 1 t k indexháromasra -ból következik, hogy (7) Ha akkor bármely t<k. (8) k =. 14

102 Tétel: A bemutatott eljárás feltételeit kielégítő mátrixsorozat esetén X (k) optimális megoldása az S(a, b, C) szállítási feladatnak. Biz: t definíciója miatt, és a (4), (5), (8) feltételek teljesülése miatt ahol L k az S(a, b, C (k) ) szállítási feladat lehetséges megoldásainak a halmaza. Ha z k az S(a, b, C (k) ) célfüggvénye, akkor (6) miatt. (3) miatt bármely lehetséges megoldásra z k (X), ezért X (k) optimális megoldása S(a, b, C(k))-nak. (1), (2) és az ekvivalencia tranzitivitása miatt C ~ C (k). Ezért X (k) optimális megoldása S(a, b, C)-nek is. 15

103 Hogyan lehet az (1) (8) feltételeket kielégítő mátrixpár-sorozatot előállítani? Ford Fulkerson (1956): A hozzárendelési feladatra kidolgozott gondolatmenet alapján megalkotta a magyar módszert a szállítási feladat megoldására. Előkészítő rész: C () -ban elemek előállítása sorminimumok és oszlopminimumok segítségével. X () előállítása (mohó algoritmus segítségével) 16

104 r = Paraméterek kiszámítása r = i VÉGE Van szabad elem? Ekvivalencia lépés i. sorban Jelöljük meg '-vel a szabad -t Láncképzés kössük le az i. sort. ha és és az s. oszlop le van kötve, akkor oldjuk fel az s. oszlopot, és jelöljük *-gal. r = r

105 Paraméterek kiszámítása: Ekvivalencia-lépés: A szabad elemek minimumát levonjuk a szabad elemekből, és hozzáadjuk a kétszeresen kötött elemekhez. Láncképzés: oszlopában *, * sorában választása. 18

106 19 Példa: Oldjuk Meg a következő S(a,b, C) szállítási feladatot! Először az előkészítő részben a sorminimumok és az oszlopminimumok segítségével kiszámítjuk C () -t: Most C () alapján megkonstruáljuk az X () mátrixot: = () X

107 Mivel az iterációs részben mindig mátrixpárral dolgozunk, ezért a továbbiakban ezeket adjuk meg () X = Következik a paraméterek kiszámítása: Ezért az oszloplekötésekkel folytatódik az eljárás. Ehhez ki kell számolnunk a a szükségletek és a szállítandó mennyiségek eltéréseit a képlet alapján. Kapjuk δ 1 = δ 2 = δ 3 = δ 5 =, ezért ezeket az oszlopokat lekötjük. 11

108 Most az algoritmus szerint sorfolytonosan keresünk szabad -t. Az első szabad elem. Megvizsgálva X () első sorára a készlet és a szállítandó mennyiségek eltérését, kapjuk, hogy azaz X () első sorára teljesül a szállítás. Ellátjuk vesszővel a elemet, lekötjük a sorát, a sorában megvizsgáljuk az elemeket. Azt látjuk, hogy és C () második oszlopa le van kötve. Ezért ezt az oszlopot feloldjuk, és a elemet *-gal látjuk el: * ' + X () =

109 Több ilyen elem nincs az első sorban. Ezért ismét szabad -t keresünk. Az első szabad elem lesz. Kiszámolva a különbséget kapjuk, hogy következik: -t vesszővel kell ellátni, és a láncképzési lépés * ' ' + X () = Most X () és a lánc alapján elkészítjük X (1) -t. Ehhez ki kell számítanunk Θ értékét. Ehhez először ρ értékét határozzuk meg, amely a láncba tartozó *-knak megfelelő x értékek minimuma. Most egyetlen ilyen elem van, ezértρ=3. 112

110 Másrészt venni kell a lánc kezdő elemének sorindexét, és az X () -ban ehhez a sorhoz tartozó lehetséges növekményt: Ezután még venni kell a lánc befejező elemének oszlopindexét (ez 4), és meg kell határozni az oszlopeltérést: Ezért Állítsuk elő a (C (1), X (1) ) mátrix-párt: X (1) = Mivel 1 = 1, ezért ismét oszloplekötésekkel folytatódik az eljárás. δ 1 =δ 2 =δ 3 =δ 5 =, ezért az indexeknek megfelelő oszlopokat lekötjük. 113

111 Sorfolytonosan az első szabad elem. Mivel ezért -et ellátjuk vesszővel, a sorát lekötjük, majd a C (1) második oszlopát feloldjuk, és -et ellátjuk *-gal * ' * ' + + X (1) = Több elemet nem lehet ellátni *-gal ebben a sorban, ezért sorfolytonosan -t keresünk. Sorfolytonosan az első szabad elem. Mivel ezért -et ellátjuk vesszővel, a sorát lekötjük, majd a C (1) első oszlopát feloldjuk, és -et ellátjuk *-gal. Mivel nincs szabad, ezért az ekvivalencia lépéssel folytatjuk az eljárást. 114

112 115 Kössük le a sorokat és az oszlopokat. A szabad elemek minimuma 1, ezt kivonjuk a szabad elemekből és hozzáadjuk a kétszer kötött elemekhez: = (1) X ' * ' * + + = (1) X ' * ' * + +

113 Ismét szabad -t keresve, lesz az első szabad. Mivel ezért az eljárás a láncképzéssel folytatódik. Lássuk el -et vesszővel * ' ' (1) X = 2 2 * ' A C (1) negyedik oszlopában nincs *, ezért a lánc elfajuló, csak egyetlen elemet tartalmaz. Számoljuk ki most is először Θ-t. és ezért Θ = 1. Így a lánc alapján az X (1) mátrixnak csak a (2,4) indexű eleme változik meg. 116

114 117 Képezzük most 2 t. Azt kapjuk, hogy 2 =, ezért az eljárás véget ér. A feladat optimális megoldásához tartozó célfüggvényérték: = (2) X = (2) X

115 A potenciálok módszere Tekintsük a következő szállítási feladatot: F 1 F 2 F 3 Készlet (a) F 4 K 1 K K Igény (b) Keressünk egy kiinduló megoldást a mohó algoritmussal! Így az összes költség: = 14 Az összesen n + m -1 = 6 helyre allokáltunk szállítást. 118

116 Vezessük be segédváltozóként az u i és a v j potenciálokat, úgy, hogy a költségmátrixban szereplő a lekötött elemekre c ij = u i +v j legyen. Írjuk ezeket a lekötött elemek oszlopa elé ill. sora fölé. A potenciálok közül egyet szabadon választhatunk meg. Legyen u 2 =. u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) Számítsuk ki a nem lekötött relációkra a c ij (u i +v j ) különbségeket: 119

117 c 11 (u 1 +v 1 ) = 5 (-2 + 4) = 3 előjele + c 12 (u 1 +v 2 ) = 8 (-2 + 3) = 7 előjele + c 32 (u 3 +v 2 ) = 3 (4 + 3) = -4 előjele c 33 (u 3 +v 3 ) = 7 (4 + 6) = -3 előjele c 24 (u 2 +v 4 ) = 4 ( + 5) = -1 előjele c 34 (u 3 +v 4 ) = 8 (4 + 5) = -1 előjele Vizsgáljuk meg ezek után, hogy a nem lekötött relációk esetén hogyan alakul a c ij (u i +v j ) különbség. Ha ez, ez azt jelenti, hogy annak relációnak a lekötése nem változtatna a költségeken. Ha ez a különbség pozitív, akkor ennek a relációnak a bevonása növelné a költségeket. Ha negatív, akkor ennek a relációnak a bevonása csökkentené a költségeket. 12

118 Miután több negatív különbséget is kaptunk, a program, vagyis a költség csökkenthető, ha a negatív előjelű relációk közül lekötünk. A legnegatívabb a T 3 F 2 viszonylat adódott, ennek lekötése csökkentené leginkább a költségeket. Ha ezt a viszonylatot lekötjük egy x mennyiséggel, akkor ez hiányozni fog az előbbi lekötések közül. Vagyis át kell rendeznünk a korábbi elosztási rendet egy kör mentén. x értékét úgy kell megválasztani, hogy ezáltal egy addig kötött elemhez mennyiség kerüljön, és így a kötöttsége megszűnjön. Pl. x = 4-t választva a T 2 F 2 reláció kötöttsége megszűnik. 121

119 u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) x 3 4 -x x x Az új program költsége: = 88. Tekintsük most az új helyzetet, és jelöljük be az új kötött relációkat. 122

120 Nézzük a további javítás lehetőségét: c 11 (u 1 + v 1 ) = 5 ( + 2) = 3 az előjel + c 12 (u 1 + v 2 ) = 8 ( 3) = 11 az előjel + c 23 (u 2 + v 3 ) = 3 (2-3) = 4 az előjel + c 33 (u 3 + v 3 ) = 7 (6 + 4) = -3 az előjel c 24 (u 2 + v 4 ) = 4 (2 + 3) = -1 az előjel c 34 (u 3 + v 4 ) = 8 (6 + 3) = -1 az előjel A program ugyan jobb lett, mint korábban, a szállítási költség kevesebb, de mivel még vannak negatív különbségek, ezért tovább javítható. Most a legnagyobb javítást a T 3 F 3 reláció bevonása ígéri, ezért a korábbi elvekhez hasonlóan növeljük meg ezt a relációt egy x mennyiséggel. 123

121 u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) x x x x Most x = 2 a helyes választás ahhoz, hogy egy lekötött pozíción -t kaphassunk. 124

122 u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) Az új program költsége: = 82. Számítsuk ki ismét az új potenciálokat: 125

123 u 1 = -3 u 2 = -4 u 3 = Igény (b) v 1 = 8 v 2 = 3 v 3 = 7 v 4 = 6 Készlet (a) c 11 (u 1 +v 1 ) = 5 (-3 + 8) = előjele + c 12 (u 1 +v 2 ) = 8 (-3 + 3) = 8 előjele + c 22 (u 2 +v 2 ) = 3 (-4 + 3) = 1 előjele + c 23 (u 2 +v 3 ) = 6 (-4 + 7) = 3 előjele + c 24 (u 2 +v 4 ) = 4 (-4 + 6) = 2 előjele + c 34 (u 3 +v 4 ) = 8 ( + 6) = 2 előjele + Mivel minden le nem kötött potenciál értéke pozitív, ezért a megoldásunk tovább nem javítható. 126

Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK

Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK 14.3.1. Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK 13-14 Diszkrét Matematika 1 Tematika Számelmélet: oszthatóság, euklideszi algoritmus, prímfelbontás, kongruenciák, prímszámok. Kódolás elmélet: az

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I. Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,

Részletesebben

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0 Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 ) 1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma. Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd

Részletesebben

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1 feladatok Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?

Részletesebben

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok

Vektoralgebra. 4. fejezet. Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása. Feladatok 4. fejezet Vektoralgebra Vektorok összeadása, kivonása és számmal szorzása T 4.1 (Háromszögegyenl tlenség) Minden a, b vektorpárra a + b a + b. T 4.2 (Paralelogrammaszabály) Ha az a és b vektor különböz

Részletesebben

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK 217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli

Részletesebben

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20. 1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf81 2018-09-04

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok 2

Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében

Infobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

Matematika 11. osztály

Matematika 11. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia 2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest

Részletesebben

1. A Hilbert féle axiómarendszer

1. A Hilbert féle axiómarendszer {Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké,

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság

Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, invertálhatóság 1. Bevezetés A félév anyaga: lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz 2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix

Részletesebben

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Hajder Levente 2017/2018. II. félév Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást? 1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

10. előadás. Konvex halmazok

10. előadás. Konvex halmazok 10. előadás Konvex halmazok Konvex halmazok Definíció: A K ponthalmaz konvex, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Állítás: Konvex halmazok metszete konvex. Konvex halmazok uniója

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában 1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =

Részletesebben