Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK"

Átírás

1 Diszkrét Matematika. Galambos Gábor SZTE-JGYPK Diszkrét Matematika 1

2 Tematika Számelmélet: oszthatóság, euklideszi algoritmus, prímfelbontás, kongruenciák, prímszámok. Kódolás elmélet: az RSA algoritmus és annak matematikai alapjai. Lineáris algebra: vektor fogalma, műveletek vektorokkal, vektortér, bázis, véges dimenziós vektortér, koordináták, Sajátérték, sajátvektor. Gráfelmélet: páros gráfok, magyar módszer, hozzárendelési feladat, szállítási feladat. Diszkrét Matematika 2

3 1. Számelmélet A számelmélet első kérdéseit Pitagórasz tette fel, és a természetes számok egymáshoz való viszonyával foglalkozott. (Oszthatóság, prímszámok, maradékos osztás, stb.) Különböző részterületei alakultak ki: Elemi számelmélet (oszthatóság, prímek, maradékos osztás) Analitikus számelmélet (a vizsgálati módszer a függvénytan) Algebrai számelmélet (algebrai számok) Kombinatórikus számelmélet (tökéletes számok) Prímszámelmélet (prímszámok eloszlása, tulajdonságaik) Geometriai számelmélet (Nagy Fermat tétel) Számításelméleti számelmélet (prímteszt, prímfaktorizáció, kriptográfia) Diszkrét Matematika 3

4 Oszthatóság Az oszthatóság azzal foglalkozik, hogy egy egész szám osztható-e egy másik egész számmal. A d a azt jelenti, hogy létezik olyan k egész szám, amelyre teljesül, hogy a = kd. Ha d a, akkor d az a szám osztója és az a szám a d szám többszöröse (többese). Általában csak pozitív egészekkel foglalkozunk, de az oszthatóság kiterjeszthető a negatív számokra is, hiszen ha d osztója a-nak, akkor d is osztója a-nak az egész számok halmazán belül. Bármely a szám osztható 1-gyel és a-val. Ezeket triviális osztóknak nevezzük. A nem triviális osztókat tényezőknek vagy faktoroknak nevezzük. Diszkrét Matematika 4

5 Tétel 1.1.: Ha a b és a c, akkor a b+c Biz. Ha a b, akkor b = ka. Ha a c, akkor c = la. Ezért b + c = ka + la = (k + l) a Így a osztója (b + c)-nek is. Vegyük észre, hogy a tétel állítása visszafele nem igaz. Azaz abból, hogy a b+c, abból nem következik, hogy a b és a c. Egy egyszerű ellenpélda: 2 8 és 8 = Világos, hogy 2 3és 2 5. Viszont igaz az alábbi tétel

6 Diszkrét Matematika 6 Tétel 1.2.: Tegyük fel, hogy a b+c és a b. Ekkor a c. Biz. Mivel a b+c és a b, ezért b+c = ka és b = la, ahol k > l. Ezért ka = b+c = la + c. Ezért (k l)a = c. Amiből azonnal következik, hogy a c Diszkrét Matematika 6

7 Vizsgáljuk meg a következő példát: Legyen n = 5. Lesznek olyan számok, amelyek többszörösei 5-nek, vagy másképpen fogalmazva -át adnak maradékul: ilyenek 1, 15, 2, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 1-et adnak maradékul: ilyenek 6, 11, 16, 21, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 2-t adnak maradékul: ilyenek 7, 12, 17, 22, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 3-at adnak maradékul: ilyenek 8, 13, 18, 23, Lesznek olyan számok, amelyek 5-tel osztva 4-et adnak maradékul: ilyenek 9, 14, 19, 24, Diszkrét Matematika 7

8 Általában azt mondhatjuk, hogyha n egy természetes szám, akkor a természetes számokat különböző osztályokba sorolhatjuk aszerint, hogy az n-nel való osztás után a maradék értéke mennyi lesz. Ezeket az osztályokat maradékosztályoknak vagy más néven ekvivalencia osztályoknak nevezzük. Ha n természetes szám, akkor az n-hez tartozó maradékosztályok száma is n. Tétel 1.3. (Maradékos osztás tétele): Legyenek a és n pozitív egész számok. Ekkor egyértelműen léteznek olyan q és r egész számok, amelyekre r<n, és a = qn + r. Diszkrét Matematika 8

9 A fenti kongruencia relációról belátható, hogy ekvivalencia reláció: azaz reflexív, szimmetrikus, tranzitív. Legyen n = Diszkrét Matematika 9

10 Diszkrét Matematika 1

11 Prímszámok Ha egy a számnak csak a triviális osztói léteznek, akkor az a számot prímszámnak nevezzük. Ha az a nem prím, akkor a-t összetett számnak nevezzük. Prímszámok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, Összetett számok: 18 = 2 3.3, azaz 3 18 és Diszkrét Matematika 11

12 Tétel 1.4. Végtelen sok prímszám létezik. Biz. Diszkrét Matematika 12

13 Tétel 1.6.: Ha p prím és a, b egész számok, amelyekre teljesül, hogy p ab, akkor p a vagy p b. Diszkrét Matematika 13

14 Közös osztó és legnagyobb közös osztó Ha a d szám egyaránt osztója az a és b egész számoknak, akkor d-t az a és b számok közös osztójának nevezzük. Legyen a = 3 és b = 72. Mivel a osztói a 1, 2, 3, 5, 6, 1, 15, 3 és b osztói 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, ezért a és b közös osztói a 2, 3 és a 6. Ha a és b legalább egyike -tól különböző egész, akkor a és b közös osztói közül a legnagyobbat az a és b számok legnagyobb közös osztójának nevezzük. Jelölése lnko(a,b). Legyen a = 3 és b = 72. Ekkor lnko(3,72) = 6. Diszkrét Matematika 14

15 Az lnko tulajdonágai: lnko(, ) =, lnko(, a) = a, 1 lnko(a, b) min( a, b ), lnko(a,b) = lnko(b, a) lnko(a, ka) = a Tétel 1.5.: Ha az a és b egészekre d a és d b, akkor d lnko(a,b) Azt láttuk, hogy ha a = 3 és b = 72, a és b közös osztói a 1, 2, 3 és a 6, és 1 6, 2 6 és 3 6. Diszkrét Matematika 15

16 Azt mondjuk, hogy az a és b egész számok relatív prímek, ha lnko(a,b) = 1. Azt mondjuk, hogy az n 1, n 2,, n k egész számok páronként relatív prímek, ha lnko(n i,n j ) = 1 minden i jpárra. Diszkrét Matematika 16

17 Diszkrét Matematika 17

18 Az euklideszi algoritmus Az euklideszi algoritmus a következő rekurziós tételen alapul: Tétel 1.8.: Legyen a tetszőleges, nem negatív, és b tetszőleges pozitív egész szám. Ekkor lnko(a,b) = lnko(b, a mod b). Biz. A bizonyításban egyrészt megmutatjuk azt, hogy lnko(a,b) lnko(b, a mod b). Másrészt azt is bebizonyítjuk, hogy lnko(b, a mod b) lnko(a,b). Ebből azonnal következik, hogy lnko(a,b) = lnko(b, a mod b). Diszkrét Matematika 18

19 Példa: Legyen a = 36 és b = 126. Ekkor a tétel szerint Alkalmazzuk ismét a tételt: lnko(36,126) = lnko(126, 18). lnko(126,18) = lnko(18,18). Most a tétel ismételt alkalmazásával azt kapjuk, hogy lnko(18, 18) = lnko(18,). Ezért a legnagyobb közös osztó: 18. Diszkrét Matematika 19

20 2. Lineáris algebra A hétköznapi tér az elemi geometria két(három)dimenziós tere két különböző pontja, az A és B pont közti szakasznak kétféle módon adhatunk irányítást. Az jelöli azt az irányított egyenes szakaszt, amelynek kezdőpontja az A és végpontja a B. Az irányított egyenes szakaszok közé soroljuk az szimbólummal jelölt elfajult szakaszt is, amelynek kezdőpontja és végpontja is az A pont. Az vektort nullvektornak nevezzük. B B A A Diszkrét Matematika 22 A

21 Az irányított egyenes szakaszok osztályokra (csoportokra) oszthatók oly módon, hogy a különböző osztályoknak nem lesz közös eleme: Azt mondjuk, hogy az és szakaszok egy osztályba esnek, ha az AD és CD szakaszok felezési pontjai egybeesnek. (Az egy osztályba eső szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúak.) Az egy osztályba eső elemek összességét nevezzük vektornak. B F 1 F 2 D A C A vektorok jelölése: a, a,. Azt, hogy az irányított egyenes szakasz az a vektorhoz tartozik -val jelöljük Diszkrét Matematika 23

22 Ha az irányított egyenes szakasz az a vektorral jelölt osztályba tartozik, akkor -t az a egy reprezentánsának nevezzük. Azt mondjuk, hogy az és irányított szakaszok relációban vannak egymással, ha ők ugyanannak az a vektornak a reprezentánsai. (Vagy ami ezzel megegyezik: az AD és BC szakaszok felezési pontjai egybeesnek.) Jelölése: Egy osztályozást ekvivalencia relációnak nevezünk, ha igazak a következők: reflexív: tranzitív: szimmetrikus: Diszkrét Matematika 24

23 Tétel: A fenti osztályozás a vektorok között ekvivalencia relációt határoz meg. Biz. Legyen, és az a vektor három reprezentánsa. Ekkor be kell látnunk, hogy a definíció három tulajdonsága (reflexív, tranzitív és szimmetrikus) teljesül a reprezentánsokra. Az osztályozás Reflexív, hiszen szakasz felezési pontja egybeesik az szakasz felezési pontjával. Tranzitív, mert, ha akkor AB párhuzamos DC-vel és így ABDC paralelogrammát alkot. Hasonlóan -ből következik, hogy CD párhuzamos EF-fel. Ezért AB párhuzamos EF-fel, amiből következik, hogy ABFE paralelogramma. Ennek átlói mindig felezik egymást. A szimmetrikusság abból következik, hogy ha AB párhuzamos CDvel, akkor CD is párhuzamos AB-vel. Diszkrét Matematika 25

24 Tétel: Ha megadunk a síkban egy P pontot, akkor minden vektornak van olyan reprezentánsa, amelynek kezdőpontja P, azaz van olyan Q pont, hogy. Következmény: Egy vektor a síkban mindig szabadon eltolható önmagával párhuzamosan úgy, hogy kezdőpontja egy megadott pontba kerüljön. Az a vektor hosszán bármely reprezentánsának hosszát értjük, és a val jelöljük. Az a vektor irányán az összes olyan vektor irányát értjük, amelynek reprezentánsai párhuzamosak az a reprezentánsaival. Ha az a és b vektorok iránya azonos, akkor a jelölés: a b. A nullvektor definíció szerint párhuzamos minden vektorral. Diszkrét Matematika 26

25 Két vektor azonos irányítású, ha reprezentánsaik párhuzamosak, és úgy hozhatók fedésbe, hogy kiindulási és végpontjaik egybeesnek. Az azonos irányítású vektorok jelölése: a b. A nullvektor definíció szerint minden vektorral azonos irányítású. Ha két vektor párhuzamos, de nem azonos irányítású, akkor jelölése: a b. Két vektort kollineárisnak (egy egyenesbe esőnek) nevezünk, ha irányaik megegyeznek. Tétel: Két vektor akkor és csak akkor egyenlő (ekvivalens), ha reprezentánsaik hossza, iránya és irányítása megegyezik. Diszkrét Matematika 27

26 Az a és b nem egy egyenesbe eső vektorok szögén értjük azt a belső szöget, amely teszőlegesen választott és irányított egyenes szakaszok esetén a PAB háromszög P csúcsánál van. A B P Ha a vektorok egy egyenesbe esnek és egyik sem nullvektor, ha a b,akkor a bezárt szög º, ha a b, akkor a bezárt szög 18º A nullvektor bármely vektorral º-os szöget zár be. Diszkrét Matematika 28

27 Műveletek vektorokkal: Összeadás Vektorok összege: Az és vektorok összegén értjük azt a vektort, amelynek reprezentánsa az irányított szakasz. 1. Szabály: vektorfűzés 2. Szabály: paralelogramma szabály B C B A A B C Diszkrét Matematika 29

28 Műveleti azonosságok 1. Az összeadás nem vezet ki a vektorok halmazából. (Az összeadás eredménye vektor.) 2. Az összeadás kommutatív művelet: a + b = b + a A bizonyítás egyszerűen következik a definícióból. 3. A vektorok halmazában létezik a nullvektor, amely az a + x = a vektoregyenlet megoldásaként áll elő: x =. a + = a. 4. A vektorok halmazában létezik az ellentett (inverz) elem, amely az a + x = vektoregyenlet megoldásaként áll elő: x = a. a + ( a) =. A ( a) inverz vektor nagysága és iránya megegyezik az a vektor irányával és nagyságával, de irányítása ellentétes. Diszkrét Matematika 3

29 Műveletek vektorokkal: Kivonás Használjuk az inverz elem definícióját a kivonás értelmezéséhez: b a = b + ( a) B b C a b + ( a) b A Két vektor különbségén azt a vektort értjük, amelynek hossza a közös kiinduló pontból felmért vektorok végpontjai közötti távolság, iránya a két végpont által meghatározott irány és irányítása a kivonandóból a kisebbítendő felé mutat. Diszkrét Matematika 31

30 Összegvektorra vonatkozó háromszög egyenlőtlenség: a + b a + b. Különbségvektorra vonatkozó háromszög egyenlőtlenség: a b a b. Paralelgramma azonosság: egy paralelogramma átlói hosszának négyzetösszege egyenlő az oldalak hosszainak négyzetösszegének kétszeresével: a + b 2 + a b 2 = 2 a b 2. Diszkrét Matematika 32

31 Műveletek vektorokkal: Skalárral való szorzás Ha λ valós szám, akkor az a vektorλskalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre λa = λ a λa a Így aλskalárral való szorzás λ -szoros nyújtás, haλ>1, λ arányú zsugorítás, ha 1 >λ>, és ha λ <, akkor a megfelelő szabályhoz járul egy kezdőpontra történő tükrözés. Diszkrét Matematika 33

32 Műveleti azonosságok Legyen V a vektorok halmaza. Ekkor mindenλ,ν R és a, b V esetén: λ(ν a) = (λν )a (λ +ν)a =λa+ν a λ(a + b) =λa+λb Példa: legyenλ=2. a b b a a+b b a+b Emlékeztetőül: párhuzamos szelők tétele! Diszkrét Matematika 34

33 Műveletek vektorokkal: Vektorok skaláris szorzata Az a és b nemnulla vektorok skaláris szorzatán a a b = a b cos γ számot értjük, aholγaz a és b vektor által bezárt szög. A nullvektor és egy másik tetszőleges vektor skaláris szorzata. Fontos: a vektorok skaláris szorzata egy szám! Azt mondjuk, hogy a művelet kivezet a vektorok halmazából. Geometriai értelmezés: b γ a b cosγ Diszkrét Matematika 35

34 Vegyük észre, hogy párhuzamos vektorok a skaláris szorzatra nézve úgy viselkednek, mint a valós számok. Ilyenkor a két vektor hossza ( a és b ) adja a számok abszolút értékét, és a számok előjelét a két vektor iránytásának viszonya szolgáltatja. Ez következik abból a tényből is, hogy cos º = 1 és cos 18 º = 1. Mivel a vektorok skaláris szorzata ennek a műveletnek a kiterjesztése nem kollineáris vektorokra, ezért a nem egy egyenesbe eső vektorokra úgy végezzük el a skaláris szorzást, hogy az egyik vektort rávetítjük a másik vektorra, és ezutás alkalmazzuk a klasszikus számokra már ismert szorzás műveletét. Mivel a 2 = a a = a 2, ezért Következmény: a a >, ha a, és a a = akkor és csak akkor, ha a =. (A skalár szorzat pozitív definit.) Diszkrét Matematika 36

35 Tétel: Ha a és b két egy síkban fekvő nemnulla vektor, akkor a két vektor akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk. Biz. 1. Tegyük fel, hogy a két vektor merőleges egymásra. Ekkor a két vektor által közbezárt szög 9º. Mivel cos 9º =, ezért a b = a b cos γ = a b =. 2. Tegyük fel, hogy a b =. Azt tudjuk, hogy a b = a b cosγés a és b. Egy szorzás csak akkor lehet, ha valamelyik tényezője, ezért a b = csak akkor állhat, ha cosγ=. Ebből pedig következik, hogyγ=9º + kπ, ami azt jelenti, hogy a és b merőleges egymásra. Diszkrét Matematika 37

36 Műveleti azonosságok Tétel: a vektorok skaláris szorzata kommutatív művelet: a b = b a. Tétel: a vektorok skaláris szorzata nem asszociatív művelet: ( a b ) c a ( b c ). Biz. A bal oldal egy c-vel párhuzamos vektort ad, a jobb oldal pedig egy a-val párhuzamosat. Tétel:a vektorok skaláris szorzatára igazak a következő azonosságok: λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ). Biz. Használjuk ki a kommutativitást és a definíciót! Diszkrét Matematika 38

37 Tétel: a vektorok skaláris szorzata disztributív művelet: a( b + c ) = a b + a c. Biz. Geometriai bizonyítást adunk. Tegyük fel, hogy a = λ e, ahol e egységnyi hosszú. Ekkor b + c c c cos β = e c b cos α = e b b e e( b + c ) Ebből következik, hogy e( b + c ) = e b + e c. A skalárral való szorzás szabályai miattλe(b+c)=λeb+λec. Mivel a =λe, ezért a( b + c ) = a b + a c. Diszkrét Matematika 39

38 Műveletek vektorokkal: Vektorok vektoriális szorzata Legyenek a és b nemnulla vektorok, és jelöljük a közbezárt szöget γ- val. A két vektor vektoriális szorzatán azt az a x b vektort értjük, amelynek nagysága = a b sinγ iránya merőleges az a és b vektorok által meghatározott síkra írányítása olyan, hogy a, b és a x b ebben a sorrendben jobbsodrású rendszert alkot. A nullvektor és egy másik tetszőleges vektor vektoriális szorzata. Tétel: Ha a és b egyike sem nullvektor, akkor a x b hossza az a és b által kifeszített paralelogramma területe. b γ m = b sinγ a T = a b sinγ Diszkrét Matematika 4

39 a c = a x b b Diszkrét Matematika 41

40 Műveleti azonosságok Tétel: a vektorok vektoriális szorzata antikommutatív művelet: a x b = b x a. Biz. A tétel állítása azonnal következik a jobbsodrás előírásából. Tétel: a vektorok vektoriális szorzata megtartja a lineáris kombinációt: (λa + µ b) x c = λ (a x c ) + µ (b x c ). Tétel: a vektorok vektoriális szorzata mindkét oldalra disztributív művelet: (a +b) x c = (a x b) + (b x c) a x ( b + c ) = (a x b) + (a x c) Diszkrét Matematika 42

41 Tétel: Ha a és b két egy síkban fekvő nemnulla vektor, akkor a két vektor akkor és csak akkor párhuzamos egymással, ha vektoriális szorzatuk. Biz. 1. Tegyük fel, hogy a két vektor párhuzamos. Ekkor a két vektor által közbezárt szög º. Mivel sin º =, ezért a x b = a b sin γ = a b =. 2. Tegyük fel, hogy a x b =. Azt tudjuk, hogy a x b = a b sinγés a és b. Egy szorzás csak akkor lehet, ha valamelyik tényezője, ezért a x b = csak akkor állhat, ha sinγ=. Ebből pedig következik, hogy γ = 18º + k π, ami azt jelenti, hogy a és b párhuzamos. Diszkrét Matematika 43

42 Műveletek vektorokkal: Vektorok vegyes szorzata Az a, b, c vektorok vegyes szorzatán az ( a b c )= a (b x c ) számot értjük. Tétel: Az a, b, c vektorok vegyes szorzata akkor és csak akkor, ha a három vektor egy síkban van. Tétel: Az a, b, c vektorok vegyes szorzata az a, b és c által kifeszített paralelepipedon térfogata. Tétel: Az a, b, c vektorok vegyes szorzataira igazak a következő állítások: ( a b c ) = (b c a) = (c a b) = ( c b a ) = ( b a c ) = ( a c b ) Diszkrét Matematika 44

43 Tétel: Ha adott a síkban a és b nem kollineáris vektor, akkor a sík bármely c vektora felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre. Azaz léteznek olyan egyértelműen meghatározhatóα,β R konstansok, amelyekre c = α a + β b Biz. Vektorok megadása koordinátákkal Tétel: Ha a és b párhuzamos, akkor létezik olyan α konstans, amelyre b =αa. 1. Felbonthatóság: Legyen adva a három vektor: a, b, c. Húzzunk c végpontjain át párhuzamosokat az a ill. b vektorokkal. Az a és b vektorral párhuzamos egyenesek biztosan metszik egymást. Legyen ez a pont M. Diszkrét Matematika 45

44 αa A M βb B Diszkrét Matematika 46

45 2. Egyértelműség. Tegyük fel, hogy létezik két felbontás: c = α 1 a + β 1 b c = α 2 a + β 2 b = (α 1 α 2 ) a + (β 1 β 2 ) b Mivel a és b nem párhuzamosak, ezért konstansszorosaik sem párhuzamosak. Két nem kollineáris vektor konstansszorosának összege csak akkor lehet a vektor, ha együtthatóik -val egyenlők. Ezértα 1 =α 2 ésβ 1 =β 2, ami ellentmondás. Diszkrét Matematika 47

46 A c =αa+βb előállításban azt mondjuk, hogy a c vektor az a és b vektorok lineáris kombinációja. (A definíció független a dimenziótól, tehát több vektort is feksorolhatunk a jobb oldalon.) Legyen a 1, a 2,, a n a (kétdimenziós) tér n különböző osztályába tartozó vektor. Azt mondjuk, hogy a vektorok egy rendszere lineárisan független, ha a rendszer egyetlen vektora sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjával. Tétel: Ha a és b nem kollineáris (nem párhuzamos) vektor, akkor a két vektor lineárisan független. Biz. Triviális. Diszkrét Matematika 48

47 Következmény: A kétdimenziós térben van két lineárisan független vektor. Tétel: A kétdimenziós térben nincs három olyan vektor, amely lineárisan független lenne. Biz. A tétel állítása azonnal következik a felbontási tételből A maximális számú lineárisan független vektort bázisnak nevezzük. Következmény: a kétdimenziós térben két nem kollineáris vektor bázist alkot. Legyen a és b két olyan vektor, amely bázist alkot a kétdimenziós térben. A c = α a + β b előállításban az α és β együtthatókat a c vektor a, b bázisra vonatkozó koordinátájának nevezzük. Diszkrét Matematika 49

48 A vektornak azt a reprezentánsát, amelynek kezdőpontját a Descartes-féle koordinátarendszer origójában van rögzítve, helyvektornak nevezzük. Egy helyvektort meghatározza végpontjának helyzete. Tétel: A Descardes koordinátarendszerben a koordinátatengelyek irányába mutató egységnyi hosszúságú helyvektorok bázist alkotnak. e 1 = (1,) e 2 = (,1) a a = 4 e e 2 a = (4, 2) Diszkrét Matematika 5

49 Figyeljük meg, hogy egy vektor koordinátái függenek a bázistól: a = (2,) b = (,2) c a' = (1,) b' = (,1) c = 2 a + 1 b c = (2, 1) c = 4 a' + 2 b' c = (4, 2) Következmény: egy adott bázis esetén egy síkbeli vektor megadható két koordinátájának segítségével: c = (c 1, c 2 ). Diszkrét Matematika 51

50 Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal Legyen az a és b két síkbeli (kétdimenziós) vektor adott a koordinátáival: Két síkbeli vektor összegén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a két összeadandó koordinátáinak összegével egyenlők: Könnyű ellenőrizni, hogy a műveleti azonosságok érvényben maradnak. Diszkrét Matematika 52

51 a b Diszkrét Matematika 53

52 Ha λ valós szám (λ R), akkor az a vektor λ skalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre tehát a konstanssal megszorozzuk a vektor minden koordinátáját. λ = 1, a Diszkrét Matematika 54

53 Két síkbeli vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a kivonandó és a kisebbítendő koordinátáinak különbségével egyenlők: b a b Diszkrét Matematika 55

54 Tétel: A koordinátákkal adott a és b vektorok skaláris szorzatán a számot értjük, azaz a skalárszorzat értéke a szorzótényezők megfelelő koordinátáinak szorzatösszegével egyenlő. Biz. Itt geometriai bizonyításnak nincs helye, mert az eredmény skalár. Legyen a kétdimenziós tér bázisa az e 1 és e 2 koordinátatengelyek irányába mutató két egységvektor: Ekkor a = a 1 e 1 + a 2 e 2 és b = b 1 e 1 + b 2 e 2. Diszkrét Matematika 56

55 Számítsuk ki a skalárszorzat értékét úgy, hogy közben használjuk a skalárszorzat műveleti azonosságait: a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 ) = = a 1 b 1 e 1 e 1 + a 1 b 2 e 1 e 2 + a 2 b 1 e 2 e 1 + a 2 b 2 e 2 e 2 Használjuk ki, hogy egymásra merőleges, egységnyi hosszú vektorok alkotják a bázist: e 1 e 1 = e 2 e 2 = 1, és e 1 e 2 = e 2 e 1 =. Ezért a b = a 1 b 1 e 1 e 1 + a 2 b 2 e 2 e 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2, amit bizonyítani akartunk. Mivel a vektoriális szorzat kivezet a síkból,ezért ennek kordinátákkal történő kiszámítása előtt foglalkoznunk kell a háromdimenziós tér vektoraival. Diszkrét Matematika 57

56 Síkban, koordinátákkal adott vektor hossza: Ha a vektor koordinátákkal van adva, akkor a vektor hosszát megkaphatjuk, ha képletet használjuk. Ekkor ugyanis: Példa: Legyen a = (3, 4). Ekkor Diszkrét Matematika 58

57 Vektorok a háromdimenziós térben Mivel a vektorok korábbi definíciójában sehol sem használtuk ki azt, hogy egy irányított szakasznak a síkban kell lenni, ezért a három dimenziós térben minden korábbi definíció érvényben marad. Két vektor egymáshoz való viszonya is változatlan lesz a térben, mert ha a két vektor reprezentánsait közös kezdőpontba toljuk el, akkor a két vektor mindig egyértelműen meghatároz egy síkot, és ezért a síkbeli definíciók itt is érvényben maradnak. (lásd két vektor szöge). Ennek az a következménye, hogy az összes művelet, amelyet a vektorokra definiáltunk, érvényben marad, hiszen ezekben maximum két vektor szerepel. A kérdés az, hogy meg lehet-e adni koordinátákkal egy háromdimenziós vektort, és lehet-e általánosítani a két-dimenziós eredményeket? Diszkrét Matematika 59

58 Háromdimenziós vektorok megadása koordinátákkal Tétel: Ha a és b párhuzamos, akkor létezik olyan α konstans, amelyre b =αa. Tétel: Ha adottak a térben a, b és c nem egy síkbba eső vektorok, akkor a tér bármely d vektora felbontható az a, b és c vektorokkal párhuzamos összetevőkre. Azaz léteznek olyan egyértelműen meghatározhatóα,β,γ R konstansok, amelyekre d = α a + β b + γ c Biz. Legyen adva a három nem egy síkba eső vektor, és vegyünk fel egy negyedik vektort is. a-t, b-t és d-t toljuk el közös kezdőpontba (K), és d végpontján jelöljük D-vel, és húzzunk egy a D-n átmenő és a c vektorral párhuzamos egyenest. Diszkrét Matematika 6

59 Ez az egyenes döfi az a és b által meghatározott síkot egy T pontban. A KT irányított szakasz meghatároz egy f vektort, amely az a és b vektorokkal egy síkban van. Ezért a síkbeli vektorok felbontási tétele miatt léteznek olyanα,β R konstansok, amelyekre f = α a + β b. A TD által meghatározott c vektor párhuzamos a c vektorral, ezért c = γ c. Az f, c és a d vektorok egy síkban vannak, ezért rájuk ismét alkalmazható a síkbeli vektorokra vonatkozó felbontási tétel: d = f + c = α a + β b + γ c. Az egyértelműség bizonyítása megegyezik a kétdimenziós esettel. Diszkrét Matematika 61

60 d = f + c = α a + β b + γ c c = γ c a d D b c d b T K a f β b α a f =α a + β b Diszkrét Matematika 62

61 Tétel: Ha a, b és c nem egy síkba eső vektorok, akkor a három vektor lineárisan független. Biz. Triviális. Következmény: A háromdimenziós térben van három lineárisan független vektor. Tétel: A háromdimenziós térben nincs négy olyan vektor, amely lineárisan független lenne. Biz. A tétel állítása azonnal következik a felbontási tételből Diszkrét Matematika 63

62 A maximális számú lineárisan független vektort bázisnak nevezzük. Következmény: a háromdimenziós térben három nem egy síkba eső vektor bázist alkot. Legyen a, b és c három olyan vektor, amely bázist alkot a háromdimenziós térben. A d =αa+βb+γcelőállításban azα,βés γ együtthatókat a d vektor a, b, c bázisra vonatkozó koordinátájának nevezzük. Tétel: A Descardes koordinátarendszerben a koordinátatengelyek irányába mutató egységnyi hosszúságú helyvektorok bázist alkotnak. e 1 = (1,, ) e 2 = (, 1, ) e 3 = (,, 1) Diszkrét Matematika 64

63 Az e 1, e 2, e 3 vektorokból álló bázis ortonormált rendszernek hívjuk. (Az elnevezés magyarázata: ortogonális = merőleges egymásra, normált = egységnyi hosszú.) Koordinátákkal adott háromdimenziós vektorokra a kétdimenziós vektoroknál megadott definíciók kiterjeszthetők. Legyen az a és b két térbeli (háromdimenziós) vektor adott a koordinátáival: Diszkrét Matematika 65

64 Két térbeli vektor összegén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a két összeadandó koordinátáinak összegével egyenlők: Ha λ valós szám (λ R), akkor az a vektor λ skalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre tehát a konstanssal megszorozzuk a vektor minden koordinátáját. Diszkrét Matematika 66

65 Két térbeli vektor különbségén azt a c vektort értjük, amelynek koordinátái a kivonandó és a kisebbítendő koordinátáinak különbségével egyenlők: A koordinátákkal adott a és b vektorok skaláris szorzatán a számot értjük, azaz a skalárszorzat értéke a szorzótényezők megfelelő koordinátáinak szorzatösszegével egyenlő. Diszkrét Matematika 67

66 Tétel: A koordinátákkal adott a és b vektorok vektoriális szorzatán az vektort értjük. Biz. Jelöljük most a koordinátatengelyek irányába mutató bázist alkotó egységvektorokat rendre i, j, k-val. a x b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) x (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = = a 1 b 1 (i x i ) + a 1 b 1 (i x j ) + a 1 b 3 (i x k ) + a 2 b 1 (j x i ) + a 2 b 2 (j x j ) + a 2 b 3 (j x k ) + a 3 b 1 (k x i ) + a 3 b 2 (k x j ) + a 3 b 3 (k x k ). Diszkrét Matematika 68

67 Használjuk ki, hogy (i x i ) = (j x j ) = (k x k ) =, mert párhuzamos vektorok vektoriális szorzata. Vegyük észre, hogy a definíció miatt és az antikommutativitás miatt Ezért (i x j ) = k, (j x k ) = i, (k x i ) = j, (i x k ) = j, (j x i ) = k, (k x j ) = i a x b = a 1 b 2 k a 1 b 3 j a 2 b 1 k + a 2 b 3 i + a 3 b 1 j a 3 b 2 i = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) i + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) j + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) k. Diszkrét Matematika 69

68 Koordinátákkal adott háromdimenziós vektorok esetén a vegyes szorzat kiszámítható a definíció alkalmazásával: ( a b c )= a (b x c ) ( a b c ) = a (b x c ) = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) [(b 2 c 3 b 3 c 2 ) i + (b 3 c 1 b 1 c 3 ) j + (b 1 c 2 b 2 c 1 ) k] = = a 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) i + a 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) j + a 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) k A 3 x 3-as elrendezéseket harmadrendű determinánsnak nevezzük. Diszkrét Matematika 7

69 Térbeli vektorok hossza: Ha a vektor koordinátákkal van adva, akkor a vektor hosszát megkaphatjuk, ha képletet használjuk. Ekkor ugyanis: Példa: Legyen a = (3, 4, 5). Ekkor Diszkrét Matematika 71

70 Határozzuk meg az y és z értékeket úgy, hogy az a = 2i + yj + k és a b = 3i -6j +zk vektorok párhuzamosak legyenek egymással! Használjuk a párhuzamosság feltételét, és a vektorok vektoriális szorzatának koordinátás alakját: Mivel egy vektor akkor, ha minden koordinátája, ezért 12 3y = -ból kapjuk, hogy y = 4. Hasonlóan, 3 2z = -ból kapjuk, hogy z = 3/2. Ha y és z értékét behelyettesítjük az első koordináta helyébe, akkor azonosságot kapunk. Diszkrét Matematika 72

71 Mivel egyenlő y értéke, ha azt akarjuk, hogy az a = (4, -7, 2) vektor merőleges legyen b = (5, y, 4)-re? Használjuk a merőlegesség feltételét, és a vektorok skaláris szorzatának koordinátás alakját: Az a kérdés, hogy a skaláris szorzat milyen y értékre egyenlő -val? 28 7y = -ból következik, hogy y = 4. Ezért a (4, -7, 2) vektorra a (5, 4, 4) vektor merőleges. Diszkrét Matematika 73

72 Bizonyítsuk be, hogy ha egy tetraéder két szemközti élpárja merőleges egymásra, akkor a harmadik élpár is merőleges. a b c-a b-a c c-b Feltételek: a c b c b a Biz.dó: b c a Megoldás: a feltételekből adódik, hogy a ( c b ) = és c ( b a ) =. Ezért ac ab = és cb ca =. cb ab =, és így b( c a ) = b c a Diszkrét Matematika 74

73 Bizonyítsuk be, hogy az A(1,,7), B(-1,-1,2), C(2,-2,2) és D(,1,9) pontok egysíkúak (komplanárisak). Azt kell belátni, hogy a O B C A D vektorok egy síkban vannak. Az ábrából kiolvasható, hogy Ezért a vektorok koordinátái kiszámíthatók: Diszkrét Matematika 75

74 Ez a három vektor akkor van egy síkban, ha a koordinátáikból alkotott harmadrendű determináns értéke =. (Vegyük figyelembe a vegyesszorzat geometriai értelmezését.) Diszkrét Matematika 76

75 Vektorfogalom általánosítása Láttuk azt, hogy a kétdimenziós ill. a háromdimenziós térben a tér egyes pontjait reprezentáló vektorok egy számpárral, ill. egy számháromassal jellemezhetők. A vektorok között műveleteket definiáltunk, amelyek közül néhány eredménye vektor (összeadás, skalárral való szorzás) volt, másoké skaláris mennyiség (skaláris szorzás). Terjesszük ki a vektor fogalmát : Egy n-dimenziós vektoron egy a = (a 1, a 2,, a n ) = (a i ) n rendezett szám n-est értünk. (A definícióban most nincs jelentősége annak, hogy a vektort sorvektor vagy oszlopvektor formájában adjuk meg, de a későbbi tanulmányok során a két fogalmat meg kell különböztetni egymástól) Diszkrét Matematika 77

76 Definiáljunk két műveletet a vektorok összeadását és a skalárral való szorzást úgy, hogy az n = 2 ill. n =3 speciális esetekre a már korábban definiált műveleteket kapjuk. Az a = (a 1, a 2,, a n ) = (a i ) n, b = (b 1, b 2,, b n ) = (b i ) n két n- dimenziós vektor összegén azt a c = (c 1, c 2,, c n ) = (c i ) n vektort értjük, amelynek koordinátái a két összeadandó koordinátáinak összegével egyenlők: c = a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a n + b n ) = (a i + b i ) n Haλvalós szám (λ R), akkor az a n-dimenziós vektorλskalárral történő szorzatán azt aλa vektort értjük, amelyre tehát a konstanssal megszorozzuk a vektor minden koordinátáját. Diszkrét Matematika 78

77 Könnyű belátni, hogy haλ,µ R és a = (a i ) n, b = (b i ) n, akkor az így definiált műveletekre érvényesek az alábbi azonosságok: (1) λ(a + b) = λa+ λ b (2) (λ + µ) a = λa+ µ a (3) (λµ) a =λ(µ a) (4) 1 a = a Az n-dimenziós térben két vektor a és b egyenlő, ha megfelelő koordinátái megegyeznek, azaz a i = b i, i = 1,2,,n. Diszkrét Matematika 79

78 Definiáljuk a következő speciális vektorokat az n-dimenziós vektorok halmazában: 1 = (1, 1,, 1) = (1) n egységvektor = (,,, ) = () n nullvektor i. egységvektor Tétel: Érvényesek a következő állítások: (1) a = (2) ( 1) a = a (3) λ = (4) λ a = (λ = a= ) (5) λ a = λ b (λ = a = b) (6) λ a = µ a (λ = µ a= ) Diszkrét Matematika 8

79 Az n-dimenziós tér vektorainak egy halmazát lineárisan függetlennek nevezzük, ha egyik vektor sem írható fel a többiek lineáris kombinációjaként. Tétel: ha a vektoroknak egy halmaza lineárisan független, akkor a nullvektor csak triviálisan csupa együtthatóval állítható elő a vektorok lineáris kombinációjával. Azt a minimális számú lineárisan független vektort, amelynek lineáris kombinációjaként bármely n-dimenziós vektor előállítható, bázisnak nevezzük. Tétel: n 1 darab vektor nem elegendő ahhoz, hogy minden n- dimenziós vektor előállítsunk ezek lineáris kombinációjaként. Tétel: az n darab egységvektor az n-dimenziós vektorok halmazában lineárisan független. Diszkrét Matematika 81

80 Hozzárendelési feladat Adott n számú dolgozó és n különböző munka. A dolgozók a munkákat különböző költségekkel végzik el. Osszuk szét a dolgozók között a munkákat úgy, hogy minden dolgozó pontosan egy munkát kapjon, és a munkavégzés költsége minimális legyen! n c ij A dolgozók száma A j. munka elvégzésének költsége, ha azt az i. dolgozó hajtja végre. (1 i,j n) 1, ha az i. dolgozó végzi a j. munkát x ij, különben 83

81 A matematikai modell i = 1, 2,, n j = 1, 2,, n 1 i n, 1 j n 84

82 Megoldható a feladat? A megoldást mindig egy olyan nn-es bináris mátrix szolgáltatja, amelynek minden sorában és minden oszlopában egy és csak egy 1-es van. Példa: 44-es esetben legyen a költségmátrix Egy lehetséges megoldás: 85

83 Következmény-1: Egy hozzárendelési feladatnak (HF) mindig van lehetséges megoldása. Következmény-2: Egy HF lehetséges megoldásainak halmaza csak n- től függ, a költségmátrix értékétől a a lehetséges megoldások halmaza független. Következmény-3: Egy HF-nak n! különböző lehetséges megoldása van. Következmény-4: Különböző célfüggvényű (de azonos n-hez tartozó) HF-hoz tartozó lehetséges megoldások halmaza megegyezik. Ezért a HF-t meghatározza a C = {c ij } költségmátrix. Jelölése: H(C). Következmény-5: Egy HF optimális megoldását mindig meghatározhatjuk, ha végigpróbáljuk az összes lehetséges megoldást, és kiválasztjuk azt, amelyhez a minimális célfüggvényérték tartozik. 86

84 A C nm és D nm mátrixokat ekvivalensnek mondunk, ha léteznek olyan α 1,α 2,,α n, ésβ 1,β 2,,β m konstansok, amelyekre c ij = d ij + α i + β j minden 1 i n, 1 j n értékre. Jelölése: C ~ D. Tétel (Mátrixok ekvivalenciája): Ha C és D nn-es költségmátrixok, és C ~ D, akkor H(C) és H(D) optimális megoldásai megegyeznek. Biz. Legyen z C és z D a két célfüggvény, és legyen megoldás. Megmutatjuk, hogy létezik egy olyanγkonstans, amelyre egy tetszőleges 87

85 1 1 γ 88

86 Egy mátrix elemeinek egy rendszerét független rendszernek nevezzük, ha a mátrix minden sora és minden oszlopa legfeljebb egy elemet tartalmaz a rendszerből. (Elemeit *-gal jelöljük.) Tekintsük azt az eljárást, amely előállít egy olyan C (), C (1),, C (k) mátrixsorozatot (k n), amelyre teljesül, hogy (1) C ~ C () (2) C (t) ~ C (t+1), t =, 1, 2,, k-1 (3) C (t), t =, 1, 2,, k (4) C (k) ban ki van jelölve egy n elemű független rendszer. 89

87 Tétel: Tegyük fel, hogy van egy ilyen mátrixsorozatunk. Legyen egy olyan nn-es mátrix, amelyre teljesül, hogy Ekkor Biz. optimális megoldása H(C)-nek. lehetséges megoldás (4) miatt. optimális megoldása H(C (k) )-nak, mert z k ( ) =, és (3) miatt, és bármely X lehetséges megoldásra z k (X ). (1) és (2) valamint az ekvivalencia tranzitivitása miatt C ~ C (k). optimális megoldása H(C)-nek is. 9

88 Magyar módszer Jelölje * a kijelölt független rendszer elemeinek a számát. Előkészítő rész (Egy független rendszer előállítása): Vonjuk ki a sorminimumokat a sorokból Vonjuk ki az oszlopminimumokat az oszlopokból. Így megkapunk egy C () mátrixot. Jelöljünk ki C () -ban egy független rendszert. Egy mátrix egy elemét szabad elemnek nevezzük, ha nincs jellel ellátva, és sem a sora sem az oszlopa nincs lekötve. 91

89 r = * = n i VÉGE r = r + 1 Kössük le a * oszlopait Van szabad elem? Jelöljük meg '-vel a szabad -t ' sora tartalmaz *-t? ' sorát kössük le, * oszlopát oldjuk fel A szabad elemek minimumát levonjuk a szabad elemekből, és hozzáadjuk a kétszeresen kötött elemekhez. Láncképzés: oszlopában *, * sorában. (Jel.: L) C (r+1) elemei: Jelölések nélküli C (r) megjelölése *-gal, ha - és - és 92

90 Példa: Oldjuk meg a következő hozzárendelési feladatot! 93

91 Jelöljük ki a független rendszert oszlopfolytonosan: * * * * Kössük le a *-k oszlopait! * * * * 94

92 Keressünk sorfolytonosan szabad -t! Ez a c 35 elem lesz. Mivel a harmadik sor tartalmaz * elemet, ezért a c 35 elemet ellátjuk '-vel, a sort lekötjük, a sorában levő * oszlopát pedig feloldjuk: * ' + * * ' * ' + + Most a c 41 lesz az első szabad, a negyedik sort lekötjük és a negyedik oszlopot kell feloldani. Keresve szabad -t azt kapjuk, hogy a c 14 lesz az első szabad, az első sort le kell kötni és a harmadik oszlopot kell feloldani. 95

93 Szabad -t keresve most azt látjuk, hogy nincs ilyen elem. Mivel a független rendszerünk csak 4 elemet tartalmaz, ezért az ekvivalencia tétel felhasználásával gyártani kell szabad -t: A szabad elemek minimuma most * ' + * * ' * ' + + Vonjuk le az 1-t a szabad elemekből, és adjuk hozzá a kétszer kötött elemekhez: 96

94 Most már ismét kereshetünk szabad -t. Ez a c 21 elem lesz. Ennek sora tartalmaz * elemet, ezért a c 21 elemet ellátjuk '-vel, a sorát lekötjük, és a harmadik oszlopot feloldjuk: ' * + * ' + * ' * ' Ismét szabad -t keresve, c 51 lesz az első szabad, de a sora nem tartalmaz * elemet, ezért a láncképzés indul be: 97

95 98 Most törölve a jelöléseket, és * -gal ellátva a láncon kívüli * elemeket, valamint * -gal ellátva a láncon belüli ' elemeket, megkapjuk a a C(1) mátrixot. * * * * ' ' ' ' = () C

96 99 Mivel C (1) -ben 5 elemű a független rendszer, ezért az eljárás véget ér. Most már csak az X megoldásmátrix előállítása van hátra: * * = (1) C * * *

97 X = Ezért a célfüggvény értéke: 1

98 Szállítási feladat Adottak feladóhelyek (raktárak), amelyekben azonos árú áll rendelkezésre különböző mennyiségben. Adottak továbbá felvevőhelyek (igények), amelyekben előírt mennyiségekben árúra van szükség. Szállítsuk el a raktárakban levő árút a felvevőhelyekre úgy, hogy a szállítási költségek összege minimális legyen. n a i m A dolgozók száma Az i. raktárban lévő árumennyiség. (i = 1,2,,n) Az igények száma c ij Egységnyi anyagmennyiség szállítási költsége az i. raktárból a j. felvevőhelyre. (1 i n, 1 j m) x ij Az i. raktárból a j. felvevőhelyre szállítandó árumenynyiség. (1 i n, 1 j m) 11

99 A matematikai modell i = 1, 2,, n j = 1, 2,, m 1 i n, 1 j m 12

100 Megoldható a feladat? Tétel (Egyensúlyi feltétel): A szállítási feadatnak akkor és csak akkor létezik optimális megoldása, ha és A korábbiakból látható, hogy egy szállítási feladatot meghatározza az a és b vektor, valamint a C költségmátrix. Jelöljük az így meghatározott szállítási feladatot S(a, b, C)-vel. Tétel: Ha a C és D mátrixok ekvivalensek, akkor az S(a, b, C) és S(a, b, D) feladatok optimális megoldásai megegyeznek. A következőkben feltételezzük, hogy az a, b, C elemei egész számok. 13

101 Tekintsük a következő eljárást (Ford-Fulkerson, 1956): Előállítunk egy olyan mátrixsorozatot, amelyre (1) C ~ C () (2) C (t) ~ C (t+1), t =, 1, 2,, k-1 (3) C (t), t =, 1, 2,, k (4) X (t), és X (t) egész, t =, 1, 2,, k (5) Ha t k, akkor (6) Bármely 1 i n, 1 j m, 1 t k indexháromasra -ból következik, hogy (7) Ha akkor bármely t<k. (8) k =. 14

102 Tétel: A bemutatott eljárás feltételeit kielégítő mátrixsorozat esetén X (k) optimális megoldása az S(a, b, C) szállítási feladatnak. Biz: t definíciója miatt, és a (4), (5), (8) feltételek teljesülése miatt ahol L k az S(a, b, C (k) ) szállítási feladat lehetséges megoldásainak a halmaza. Ha z k az S(a, b, C (k) ) célfüggvénye, akkor (6) miatt. (3) miatt bármely lehetséges megoldásra z k (X), ezért X (k) optimális megoldása S(a, b, C(k))-nak. (1), (2) és az ekvivalencia tranzitivitása miatt C ~ C (k). Ezért X (k) optimális megoldása S(a, b, C)-nek is. 15

103 Hogyan lehet az (1) (8) feltételeket kielégítő mátrixpár-sorozatot előállítani? Ford Fulkerson (1956): A hozzárendelési feladatra kidolgozott gondolatmenet alapján megalkotta a magyar módszert a szállítási feladat megoldására. Előkészítő rész: C () -ban elemek előállítása sorminimumok és oszlopminimumok segítségével. X () előállítása (mohó algoritmus segítségével) 16

104 r = Paraméterek kiszámítása r = i VÉGE Van szabad elem? Ekvivalencia lépés i. sorban Jelöljük meg '-vel a szabad -t Láncképzés kössük le az i. sort. ha és és az s. oszlop le van kötve, akkor oldjuk fel az s. oszlopot, és jelöljük *-gal. r = r

105 Paraméterek kiszámítása: Ekvivalencia-lépés: A szabad elemek minimumát levonjuk a szabad elemekből, és hozzáadjuk a kétszeresen kötött elemekhez. Láncképzés: oszlopában *, * sorában választása. 18

106 19 Példa: Oldjuk Meg a következő S(a,b, C) szállítási feladatot! Először az előkészítő részben a sorminimumok és az oszlopminimumok segítségével kiszámítjuk C () -t: Most C () alapján megkonstruáljuk az X () mátrixot: = () X

107 Mivel az iterációs részben mindig mátrixpárral dolgozunk, ezért a továbbiakban ezeket adjuk meg () X = Következik a paraméterek kiszámítása: Ezért az oszloplekötésekkel folytatódik az eljárás. Ehhez ki kell számolnunk a a szükségletek és a szállítandó mennyiségek eltéréseit a képlet alapján. Kapjuk δ 1 = δ 2 = δ 3 = δ 5 =, ezért ezeket az oszlopokat lekötjük. 11

108 Most az algoritmus szerint sorfolytonosan keresünk szabad -t. Az első szabad elem. Megvizsgálva X () első sorára a készlet és a szállítandó mennyiségek eltérését, kapjuk, hogy azaz X () első sorára teljesül a szállítás. Ellátjuk vesszővel a elemet, lekötjük a sorát, a sorában megvizsgáljuk az elemeket. Azt látjuk, hogy és C () második oszlopa le van kötve. Ezért ezt az oszlopot feloldjuk, és a elemet *-gal látjuk el: * ' + X () =

109 Több ilyen elem nincs az első sorban. Ezért ismét szabad -t keresünk. Az első szabad elem lesz. Kiszámolva a különbséget kapjuk, hogy következik: -t vesszővel kell ellátni, és a láncképzési lépés * ' ' + X () = Most X () és a lánc alapján elkészítjük X (1) -t. Ehhez ki kell számítanunk Θ értékét. Ehhez először ρ értékét határozzuk meg, amely a láncba tartozó *-knak megfelelő x értékek minimuma. Most egyetlen ilyen elem van, ezértρ=3. 112

110 Másrészt venni kell a lánc kezdő elemének sorindexét, és az X () -ban ehhez a sorhoz tartozó lehetséges növekményt: Ezután még venni kell a lánc befejező elemének oszlopindexét (ez 4), és meg kell határozni az oszlopeltérést: Ezért Állítsuk elő a (C (1), X (1) ) mátrix-párt: X (1) = Mivel 1 = 1, ezért ismét oszloplekötésekkel folytatódik az eljárás. δ 1 =δ 2 =δ 3 =δ 5 =, ezért az indexeknek megfelelő oszlopokat lekötjük. 113

111 Sorfolytonosan az első szabad elem. Mivel ezért -et ellátjuk vesszővel, a sorát lekötjük, majd a C (1) második oszlopát feloldjuk, és -et ellátjuk *-gal * ' * ' + + X (1) = Több elemet nem lehet ellátni *-gal ebben a sorban, ezért sorfolytonosan -t keresünk. Sorfolytonosan az első szabad elem. Mivel ezért -et ellátjuk vesszővel, a sorát lekötjük, majd a C (1) első oszlopát feloldjuk, és -et ellátjuk *-gal. Mivel nincs szabad, ezért az ekvivalencia lépéssel folytatjuk az eljárást. 114

112 115 Kössük le a sorokat és az oszlopokat. A szabad elemek minimuma 1, ezt kivonjuk a szabad elemekből és hozzáadjuk a kétszer kötött elemekhez: = (1) X ' * ' * + + = (1) X ' * ' * + +

113 Ismét szabad -t keresve, lesz az első szabad. Mivel ezért az eljárás a láncképzéssel folytatódik. Lássuk el -et vesszővel * ' ' (1) X = 2 2 * ' A C (1) negyedik oszlopában nincs *, ezért a lánc elfajuló, csak egyetlen elemet tartalmaz. Számoljuk ki most is először Θ-t. és ezért Θ = 1. Így a lánc alapján az X (1) mátrixnak csak a (2,4) indexű eleme változik meg. 116

114 117 Képezzük most 2 t. Azt kapjuk, hogy 2 =, ezért az eljárás véget ér. A feladat optimális megoldásához tartozó célfüggvényérték: = (2) X = (2) X

115 A potenciálok módszere Tekintsük a következő szállítási feladatot: F 1 F 2 F 3 Készlet (a) F 4 K 1 K K Igény (b) Keressünk egy kiinduló megoldást a mohó algoritmussal! Így az összes költség: = 14 Az összesen n + m -1 = 6 helyre allokáltunk szállítást. 118

116 Vezessük be segédváltozóként az u i és a v j potenciálokat, úgy, hogy a költségmátrixban szereplő a lekötött elemekre c ij = u i +v j legyen. Írjuk ezeket a lekötött elemek oszlopa elé ill. sora fölé. A potenciálok közül egyet szabadon választhatunk meg. Legyen u 2 =. u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) Számítsuk ki a nem lekötött relációkra a c ij (u i +v j ) különbségeket: 119

117 c 11 (u 1 +v 1 ) = 5 (-2 + 4) = 3 előjele + c 12 (u 1 +v 2 ) = 8 (-2 + 3) = 7 előjele + c 32 (u 3 +v 2 ) = 3 (4 + 3) = -4 előjele c 33 (u 3 +v 3 ) = 7 (4 + 6) = -3 előjele c 24 (u 2 +v 4 ) = 4 ( + 5) = -1 előjele c 34 (u 3 +v 4 ) = 8 (4 + 5) = -1 előjele Vizsgáljuk meg ezek után, hogy a nem lekötött relációk esetén hogyan alakul a c ij (u i +v j ) különbség. Ha ez, ez azt jelenti, hogy annak relációnak a lekötése nem változtatna a költségeken. Ha ez a különbség pozitív, akkor ennek a relációnak a bevonása növelné a költségeket. Ha negatív, akkor ennek a relációnak a bevonása csökkentené a költségeket. 12

118 Miután több negatív különbséget is kaptunk, a program, vagyis a költség csökkenthető, ha a negatív előjelű relációk közül lekötünk. A legnegatívabb a T 3 F 2 viszonylat adódott, ennek lekötése csökkentené leginkább a költségeket. Ha ezt a viszonylatot lekötjük egy x mennyiséggel, akkor ez hiányozni fog az előbbi lekötések közül. Vagyis át kell rendeznünk a korábbi elosztási rendet egy kör mentén. x értékét úgy kell megválasztani, hogy ezáltal egy addig kötött elemhez mennyiség kerüljön, és így a kötöttsége megszűnjön. Pl. x = 4-t választva a T 2 F 2 reláció kötöttsége megszűnik. 121

119 u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) x 3 4 -x x x Az új program költsége: = 88. Tekintsük most az új helyzetet, és jelöljük be az új kötött relációkat. 122

120 Nézzük a további javítás lehetőségét: c 11 (u 1 + v 1 ) = 5 ( + 2) = 3 az előjel + c 12 (u 1 + v 2 ) = 8 ( 3) = 11 az előjel + c 23 (u 2 + v 3 ) = 3 (2-3) = 4 az előjel + c 33 (u 3 + v 3 ) = 7 (6 + 4) = -3 az előjel c 24 (u 2 + v 4 ) = 4 (2 + 3) = -1 az előjel c 34 (u 3 + v 4 ) = 8 (6 + 3) = -1 az előjel A program ugyan jobb lett, mint korábban, a szállítási költség kevesebb, de mivel még vannak negatív különbségek, ezért tovább javítható. Most a legnagyobb javítást a T 3 F 3 reláció bevonása ígéri, ezért a korábbi elvekhez hasonlóan növeljük meg ezt a relációt egy x mennyiséggel. 123

121 u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) x x x x Most x = 2 a helyes választás ahhoz, hogy egy lekötött pozíción -t kaphassunk. 124

122 u 1 = -2 u 2 = u 3 = 4 Igény (b) v 1 = 4 v 2 = 3 v 3 = 6 v 4 = 5 Készlet (a) Az új program költsége: = 82. Számítsuk ki ismét az új potenciálokat: 125

123 u 1 = -3 u 2 = -4 u 3 = Igény (b) v 1 = 8 v 2 = 3 v 3 = 7 v 4 = 6 Készlet (a) c 11 (u 1 +v 1 ) = 5 (-3 + 8) = előjele + c 12 (u 1 +v 2 ) = 8 (-3 + 3) = 8 előjele + c 22 (u 2 +v 2 ) = 3 (-4 + 3) = 1 előjele + c 23 (u 2 +v 3 ) = 6 (-4 + 7) = 3 előjele + c 24 (u 2 +v 4 ) = 4 (-4 + 6) = 2 előjele + c 34 (u 3 +v 4 ) = 8 ( + 6) = 2 előjele + Mivel minden le nem kötött potenciál értéke pozitív, ezért a megoldásunk tovább nem javítható. 126

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

1. Szabadvektorok és analitikus geometria 1. Szabadvektorok és analitikus geometria Ebben a fejezetben megismerkedünk a szabadvektorok fogalmával, amely a középiskolai vektorfogalom pontosítása. Előzetes ismeretként feltételezzük az euklideszi

Részletesebben

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat 6. előadás Vektoriális szorzás Vegyesszorzat Bevezetés Definíció: Az a és b vektorok vektoriális szorzata egy olyan axb vektor, melynek hossza a vektorok abszolút értékének és hajlásszögük szinuszának

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

1. A komplex számok ábrázolása

1. A komplex számok ábrázolása 1. komplex számok ábrázolása Vektorok és helyvektorok. Ismétlés sík vektorai irányított szakaszok, de két vektor egyenlő, ha párhuzamosak, egyenlő hosszúak és irányúak. Így minden vektor kezdőpontja az

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III. Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége

LINEÁRIS VEKTORTÉR. Kiegészítő anyag. (Bércesné Novák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége LINEÁRIS VEKTORTÉR Kiegészítő anyag (Bércesné Noák Ágnes előadása) Vektorok függetlensége, függősége Vektortér V 0 Halmaz T test : + ; + ; Abel csoport V elemeit ektoroknak neezzük. Abel - csoport Abel

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x. Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.

út hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám. 1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 11 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási

Részletesebben

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen

1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen 10. osztály 1. Legyen egy háromszög három oldalának a hossza a, b, c. Bizonyítsuk be, hogy ( a + b + c) 3 4 ab + bc + ca Mikor állhat fenn egyenlőség? Kántor Sándorné, Debrecen A feladatban szereplő kettős

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

Lineáris Algebra gyakorlatok

Lineáris Algebra gyakorlatok A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2?

Vektoralgebra. 1.) Mekkora a pillanatnyi sebesség 3 s elteltével, ha a kezdősebesség (15;9;7) m/s, a gravitációs gyorsulás pedig (0;0;-10) m/s 2? Vektoralgebra Elmélet: http://digitus.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/vektorfolcop.pdf Mikor érdemes más, nem ortonormált bázist alkalmazni? Fizikában a ferde hajításoknál megéri úgynevezett ferdeszögű koordináta-rendszert

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA

Részletesebben

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)

A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

I. Vektor fogalma, tulajdonságai

I. Vektor fogalma, tulajdonságai 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM Tanári útmutató I. Vektor fogalma, tulajdonságai Módszertani megjegyzés: Az 1. és. fejezet az eddig tanultak rendszerezett és kibővített átismétlése. Bevezetőként kereshetünk

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat 1. tétel Természetes számok tízes számrendszer műveletek és tulajdonságaik Természetes számok, jele, jelölések, ábrázolása számegyenesen műveletek a természetes számok halmazán belül Tízes számrendszer

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk. Vektorok Vektoron irányított szkszt értünk A definíció értelmében tehát vektort kkor ismerjük, h ismerjük hosszát és z irányát A vektort kövér kis betűkkel (, b stb) jelöljük, megkülönböztetve z, b számoktól,

Részletesebben

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik Ismert fogalmak Témák Vektortér Lineáris kombináció Lineáris függőség, függetlenség Generátorrendszer, bázis, dimenzió Lineáris leképezések Szabadvektorok vektortere

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

A vektor fogalma (egyszer

A vektor fogalma (egyszer Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Vektorműveletek a koordináta-rendszerben Elméleti anyag: A vektor fogalma (egyszerű meghatározás): az irányított szakaszokat nevezzük vektoroknak. Egy vektornak

Részletesebben

1. Transzformációk mátrixa

1. Transzformációk mátrixa 1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

Matematika pótvizsga témakörök 9. V Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális

Részletesebben