sin 2 (x) dx = ctg(x) + C k (x ]kπ, (k + 1)π [, k Z) cos 2 (x) dx = tg(x) + C k (x ]kπ π 2, kπ + π 2 [, k Z)

Átírás

1 ÌÅ ÊÆÁ ÁÆÌÌ ÅÌÅÌÁÃÁ Ä Ã ÖÓÐÝ ÃÐÙÐÙ ÁÁº

2 ÝÞØ ÝØÑ ÒÝ ÌÅ ÊÆÁ ÁÆÌÌ ÅÌÅÌÁÃÁ Ä Ã ÖÓÐÝ ÓÔÝÖØ Ä Ã ÖÓÐÝ ¾¼¼ ÃÐÙÐÙ ÁÁº

3 ÁÒØÖ Ð Þ ÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Áº ÈÖÑØÚ ÚÒÝ Ø ÖÓÞØÐÒ ÒØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÖÓÙܹØØÐ ÚØÞÑÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÖØÖÙÑ ÐÒ ÐØØÐ ¾½ º ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð ÑòÚÐØ ØÙÐÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÝÒÐØÐÒ ÞÔÖØØØÐ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐÖ º º º º º ¾ º Þ ÒØÖ Ð ÑÒØ Ð Ø Ö ÚÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÆÛØÓÒ¹ÄÒÞ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÈÖ Ð ÐÝØØ Ø ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÐØ ÖÒ ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÒØÖ ÁÑÔÖÓÔÖÙ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÎÓØÓÖØÖ ÙÐ Þ ØÖ ÑØÖÙ ØÖ º º º º º º º ÁÁº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÚÞØ ÎØÓÖØÖ ÙÐ Þ ØÖ ÑØÖÙ ØÖ ÓÐÑ º º º º º º º º º º º º Þ R n ÙÐ Þ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ R n ØÓÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÚ ÐÒ Ö ÐÖ Ð ÑÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÔÓÐÑ Ô ÓÐØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÖÓÞØÓ ÑòÚÐØ ÐÐØÚ ÖÒÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÚ ÐØÓÞ ÚØÓÖÖØò ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Áκ ÖÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÐÔÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ÓÐÝØÓÒÓ ÑòÚÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÝØÓÒÓ ØÓÔÓÐÓÙ ÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÖÖØ ÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÀØ ÖÖØ ÑòÚÐØ ÐÐØÚ ÝÒÐØÐÒ º º º º º º º º º º º º º ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð ÐØÐ ÒÓ Ø ÐÐÑÞ º º º º ½ κ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÚÞØ ÃÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ ÚÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÊÑÒÒ¹ËØÐØ ÒØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö ÚÓ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÑÒعÒØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÖÒ ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÖ ÒÝÑÒØ ÔÖ Ð ÖÚ ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÒ Ð Þ ÐÝÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÞÔÖØØØÐ ÚØÞÑÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ÖÒò ÖÚ ÐØ ÓÙÒ ÌÝÐÓÖ ØØÐ º º º º º º º º º º º ÄÓ Ð ÞÐ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º ÁÒÚÖÞÚÒݹØØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÁÑÔÐØ ÚÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð R n ¹Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÎÁÁº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÚÞØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð ØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð ÓÖÐ ØÓ R n ¹Ð ÐÑÞÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ÂÓÖÒ¹ÑÖØ ÐÑÞÓ R n ¹Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÁÒØÖ ÐØÖÒ ÞÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º ÌÊÌÄÇÅÂà ÌÖØÐÓÑÝÞ º Ø ÖÖØ ÓÐÝØÓÒÓ Ô ÓÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÁº ÌÚ ÐØÓÞ ÚÒÝ ÖÒ Ð Þ ÑØ º º º º º º ÚÒÝ ÓÖÓÞØÓ ÚÒÝ ÓÖÓ ØÓÒÒØ ½¼º º ÐØØÐ ÞÐ ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½¼ ÁÁÁº ËÓÖÓÞØÓ R k ¹Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Þ ÓÖÓÞØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ùݹ ÓÖÓÞØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÖÒ ÐÝÒÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÎÁÁÁº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÚÞØ

4 ÖÒ ÐÝÒÐØ ÓÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÃÞØ ÖØ ÔÖÓÐÑ ÚÝ ÙݹÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÐÑ ØÓÒ ÑÓÐØ ÖÒ ÐÝÒÐعØÔÙ Ó º º º º º º º º º ½¾ º Þ ÞØÒ¹ØØÐ ÙݹÐØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÁÖÓÐÓÑÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÆÚÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ì ÖÝÑÙØØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÌÊÌÄÇÅÂà º Å ÖÒò ÐÒ Ö ÖÒ ÐÝÒÐØ º º º º º º º º º º º º º º º ½¼

5 À Þ f ÚÒÝ ÖØÐÑÞ ØÖØÓÑ ÒÝ ÒÑ ÒØÖÚй ÅÝÞ º ÓÖ Þ ÐÐØ ÒÑ Þº ÐÙÑ ½¼ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË º ÞÓÒÝØ À G(x) = F(x) + C ÓÖ ÐØØÐ ÑØØ G (x) = F (x) = f(x) µ (x, b ) Ý Ò ÞÖÒØ G ÔÖÑØÚ ÚÒݺ µ À G = f ÞÞ G ÔÖÑØÚ ÚÒÝ f¹ò ÓÖ G (x) = F (x) Áº ÞØ (x b ) Ñ ÚÚÐÒ ÞÞÐ ÓÝ, [G(x) F(x)] = (x b ), ÖÒ Ð Þ ÑØ Ò ØÒÙÐØ ÞÖÒØ G(x) F(x) = C (x Ý b ) ÞÞ, G(x) = F(x) Cº + ÁÒØÖ Ð Þ ÑØ ÈÖÑØÚ ÚÒÝ Ø ÖÓÞØÐÒ ÒØÖ Ð ÓÝ Ý f :, b R ÖÒ ÐØ ÚÒÝÞ ÓÞÞ ¹ Á ÑÖØ Þ f :, b R ÚÒݺ ÖÒÐØ Èк À f(x) = x 2 (x R) Ý ÐØÞ f (x) = 2x (x R)º ÃÖ f :, b R¹Þ ÐØÞ¹ F :, b R ÓÝ F = f À f(x) = sin(x) (x R) ÓÖ F(x) = cos(x) (x R) ØÒ Èк F (x) = sin(x) = f(x) (x ØРк R) Òº ÄÝÒ ÓØØ Þ f :, b R ÚÒݺ F :, b R ÖÒ ÐØ ÚÒÝØ Þ f ÔÖÑØÚ ÚÒÝÒ Ø ÒØÖ Ð Ò ÒÚÞÞ F = fº ÚÝ ÖÓÞØÐÒ F Þ f ÐÐ Ø ÞÒ ÐÙº f ÑØ ÖÓÞ Ø ÒØÖ ¹ ÚÒÝÖ Þ Ò ÑÓÒÙº Ð F = f ÚÒÝ x ÐÝÒ ÐÚØØ ÖØØ F(x) = f(x)dx ÚÝ Þ ( ÐÐ Ñ ÝÖÒ ÔÖÑØÚ ÚÒÝØ Ø ÖÓÞØÐÒ ÒØÖ Ðص f)(x) ÐÒغ ÔÖÑØÚ ÚÒÝ Ø ÖÓÞØÐÒ ÒØÖ Ðµ ÖØÐÑÞØ f : H R ÚÒÝÖ ÓÐ H ÒØÖÚÐÐÙÑÓ Ý Ø º Þ f(x) = sh(x) (x R) ÚÒÝ ØÒ F(x) = ch(x) (x R) Èк ØÐ Ø ÓÝ F (x) = f(x) Ý F(x) = sh(x)dxº ÚÒÝ ØØк À f, F :, b R, F = f (F = f) Ý G :, b R ÓÖ ÔÖÑØÚ ÚÒÝ Ø ÖÓÞØÐÒ ÒØÖ Ðµ f¹ò ÓÖ C R ÓÝ G(x) = F(x) + Cº ÐÓ ÐÔÒØÖ x dx = { ln(x) + C (x > ) ln( x) + C 2 (x < ) x µ dx = xµ+ µ + + C (x R +, µ ) x dx = x + C (x R, >, ) ln sin(x) dx = cos(x) + C (x R) cos(x) dx = sin(x) + C (x R) sin 2 (x) dx = ctg(x) + C k (x ]kπ, (k + )π [, k Z) cos 2 (x) dx = tg(x) + C k (x ]kπ π 2, kπ + π 2 [, k Z) dx = rcsin(x) + C (x ], [ ) x 2 dx = rctg(x) + C (x R) + x2 sh(x) dx = ch(x) + C (x R) ch(x) dx = sh(x) + C (x R)

6 ØØÐ Ð ÒØÖ Ð ØØеº À Þ f, g :, b R Ú¹ º ÔÖ ÐØ, b ¹Ò ÐØÞ f g ÓÖ ÐØÞ fg ÖÒ ÒÝ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ½¾ ÈÊÁÅÁÌÎ ÎÆ ÀÌýÊÇÌÄÆ ÁÆÌÊýÄ ½½ x2 + dx = rsh(x) + C = ln(x + x 2 + ) + C (x R) x2 dx = rch(x) + C = ln(x + x 2 ) + C (x ], [ ) ( n x )dx n x n+ = n + C (x ], [ ) n + n= n= p, q R ØØ ÞÐ ÓÖ ÐØÞ (pf + qg) C R ÓÝ ØØк f, g :, b R ÓÝ ÐØÞ f g ÄÝÒ ÓÐÝÒ [pf(x) + qg(x)] dx = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x, b ). ÞÓÒÝØ º ÄÝÒ F = f, G = g ÓÖ F, G ÐØÞ ÑØØ (pf + qg) ÐØÞ (pf + qg) (x) = pf (x) + qg (x) = pf(x) + qg(x) (x, b ), Ñ ÞØ ÐÒØ ÓÝ ÐØÞ (pf(x)+qg(x)) dx = pf(x)+qg(x)+c = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x, b )º Ø ÖÓÞØÐÒ ÒØÖ Ð Ò ÑØØ ÞØ ÐÒØ ÓÝ ÐØÞ Ñ fg ØРРȵº º ÈÐ ÄÝÒ f(x) = x, g(x) = e x (x R)º f g ÖÒ ÐØ f (x) =, g (x) = e x (x R) ØÓÚ ÐØÞ f (x)g(x)dx = = e x dx = e x Ð ÐÔÒØÖ ÐÓµ Ý ØØÐ ÑØØ ÐØÞ dx xe x dx C R ÓÝ xe x dx = xe x e x dx + C = xe x e x + C (x R). ÄÝÒ f(x) = ln(x), g(x) = x (x R)º f ÖÒ ÐØ g f (x) = x, g (x) = (x R + ) ØÓÚ ÐØÞ f (x)g(x)dx = x xdx = dx (x R + ) Ð Ý ØØÐ ÑØØ ÐØÞ ln(x)dx = ln(x)dx ÐÔÒØÖ ÐÓµ ÓÝ C R ln(x)dx = ln(x)dx = x ln(x) x xdx + C = = x ln(x) x + C (x R + ). À f(x) = x 3 (x R), g(x) = cos(x) (x R) ÓÖ ÐØÞ Èк x 3 dx Ð ÐÔÒØÖ ÐÓµ Ý ØØÐÒ ÞÖÒØ ÐØÞ cos(x)dx (2x ÐØÞ cos(x))dx C R ÓÝ (2x cos(x))dx = 2 x sin(x) + C. ÓÐÝÒ C R ÓÝ ÚÒ f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx + C (x, b ). ȵ ÞÓÒÝØ º ÐØØÐ ÑØØ Þ f g f g ÚÒÝ ÖÒ ÐØ À ÅÝÞ º P n ÔÓÐÒÓÑ Ý Þ Ð ÒØÖ ÐÓ (x) Ý n¹ó ÒØÖ Ð ØØÐÚÐ ÑØ ÖÓÞØ ÔÖ Ð P n (x)e x dx, P n (x)sin(x)dx, P n (x)rcsin(x)dx, P n (x)ln(x)dx, P n (x)cos(x)dx, P n (x)rccos(x)dx, P n (x)sh(x) dx, P n (x)rctg(x)dx, P n (x)ch(x)dx, P n (x)rcctg(x)dx. ØØÐ ÐÝØØ Ø ÒØÖ Ð ØØеº À f :, b R, º g : c, d, ÓÐÝÒÓ ÓÝ ÐØÞ b g : c, d ÐØÞ R f [ f(x)g(x) f (x)g(x) dx] = f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) = = f(x)g (x), (f g) g C R ÓÝ ÓÖ ÐØÞ ÚÒ ÓÐÝÒ (( ) ) f(g(x)) g (x)dx = f g (x)+c = Àµ (x c, d )º f(t)dt t=g(x) +C

7 ÐÐØÚ ÔÖÓÐÙ Þ sh, chµ ÚÒÝ µ sinµ ÐÐÑÞÞÙº ÐÝØØ Ø Ø º ÐØØÐ ÑØØ ÐØÞ [( f) g] ÞÓÒÝØ [( ) f g] (x) = f(g(x)) g (x) (x c, d ), Ñ ÔÔÒ ÞØ ÐÒØ ÓÝ ÐØÞ (f g)g ØÐ Ð Àµº À ÒØÒ ÐØÞ g ÓÖ Àµ ÚØÞ ÅÝÞ º Øе ÖØ Ð [( ) ] f(x) dx = (f g)g g À µ (x) + C = = f(g(t))g (t)dt t=g (x) + C (x c, d )º º º 3 x dx =? (x > ) g(t) = t ÓÖ + g (t) ÐØÞ = g (x) = x Ý ÄÝÒ 3 x dx = 3 t + dt t=x +C = = 3 t dt t=x +C = 3 ln(x ) + C. 5 x 2 +2x+2 dx =? g(t) = t ÓÖ g (t) ÐØÞ = g (x) = x Ý ÄÝÒ + 5 x 2 + 2x + 2 dx = 5 (x + ) 2 + dx = = 5 t 2 + dt t=x+ +C = 5 rctg(x + ) + C. ÅÝÞ º x2 dx g(t) = sin(t) (t ] π 2, π 2 ØÒ [ ) R(sin(x), cos(x)) dx ØÒ ÓÐ R(u, v) Þ ÖÓÒ Ð u, v¹ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ½ ÈÊÁÅÁÌÎ ÎÆ ÀÌýÊÇÌÄÆ ÁÆÌÊýÄ ½ 2xsin(x 2 )dx =? º ÈÐ ÄÝÒ f(x) = sin(x), g(x) = x 2 (x R)º ÓÖ g : R R + R ØÓÚ ÐØÞ g (x) = 2x (x R) f = sin(x)dx Ð g(t) = 2 rctgt (Ðк (t R) tg x 2 = t = g (x) (x ] π, π [ ), ) x + b R (x, n dx ØÒ cx + d Ò x ] π, π [ µ º Ý ØØÐ ÑØØ ÐØÞ 2xsin(x 2 )dx C R ÐÔÒØÖ ÐÓµ ÓÝ 2xsin(x 2 )dx = sin(t)dt t=x 2 +C = cos(x 2 ) + C. x + b t = n cx + d = g (x), g(t) = dtn b ct n, R(x, x2 + bx ØÒ Þ ÙÐֹРÚÝ ØÖÓÒÓÑØÖÙ + c) dx ch(2x + 3)dx =? (x R) º ØØ Þ f(x) = ch(2x + 3) ÚÒÝÒ ÐØÞ Ð ÓÝ (x R) g(t) = t 3 2 g (t) = 2 ØÓÚ ÓÖ ÄÝÒ ÚÒݺ ÔÖÑØÚ g (x) = 2x + 3 R) Ý ÑÝÞ ÑØØ ÐØÞ (x ( ch(2x + 3)dx = ch 2 t 3 ) dt t=2x+3 +C = = ch t dt 2 t=2x+3 +C = sh(2x + 3) + C. 2 Ð ØÖØÚÒÝ ÒØÖ Ð º ÊÓÒ ÔÖ Ð ØÖØÖ ÓÒØ ØØÐ ÞÖÒØ ÑÒÒ Pn(x) Q m(x) ÖÓÒ Ð ÝÖØÐÑòÒ Ð ÐÐ Ý ÔÓÐÒÓÑ ØÖØÚÒÝ (x b) j, px + q (x 2 + rx + s) k (j, k N +, r 2 4s < ) ØÖØ ÞÓÒÝÓ ØØ ÒÑ Ö ÞÐØÞØص ÞÒØ ÓÐ (x b) j Ð (x 2 +rx+s) k Q m Ó Þغ Ý (x) P n(x) Q m(x) ÑØ ÖÓÞ Ú ÞÚÞØØ

8 ÅÝÞ º Þ ÙØ Ø ÒØÖ ÐØÔÙ Ø ÝÓÖÐØÓÒ ÚÞ ÐÙ Þ Ð ÞÐ º ØØÐ ÙØ Ò ¾µ µ µ ÔÐ ØÒ Þ ÒØÖ Ð ÖÓÒ Ð ÒØÖ Ð Ö ÚÞØØ Ú Þº ØÖØÚÒÝ ÆÝÐÚ T S ÑÖØ ÚÒÝ ÞÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÚ Þغ Ò x 2 x 2 i [x i, x ÑØØ i ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ Ý ÔÓØØ ØÐÐÔÓ Þ ØÐ Ð ] Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ½ ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄÀÌËý ÇÄÅ ½ Þ (x b) j dx px + q (x 2 + rx + s) k dx s T ØÐ Ð ÑÖØ ÑÒÒ ØÐÐÔ T ØÖÐØò ÓÑ Ö Þ ÞÖ ÒÑ ÒÝÐÒ ÝÑ º y y ÑØ ÖÓÞ Öº ÞÓÒÒÐ Ð Øصº ÌÓÚ Òº ÖÓÒÐÞ Ð ÐÝØØ Ø ÚÞ ÐØ ÔÐ ÙÐ º R(e x dx ÒÓÑ ÒØÖ ÐÓµº ) x x 2 x x x 2 x À Þ Ó ÞØ ÔÓÒØÓØ x i = i n (i =,...,n) ÑÓÒ Ú Ð ÞØÙ Ý Ý ÐØÓÒ ÑÙØØÙ ÞØ ÑÒ ÐÞØØ ÓÐÓÑ Ð ÞÖ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð ØØÖØ ÓÑØÖ ØÖØÐÑ Øµº ÖÓÞÞÙ Ñ Þ f(x) = x 2 (x [, ]) ÚÒÝ Ö Þ x¹ ÀØ [, ] Þ Þ Þ x = ÝÒÐØò ÝÒ ÐØÐ Ø ÖÓÐØ ¹ ØÒÐÝ ØÖÐØغ ÓÑ Ö ØØ T ØÖÐØØ ÓÖÐ ØÓ Þ ÞÓÖØÙº Þ Ó ÞÙ Ð [, ÒØÖÚÐÐÙÑÓØ ] = x < x < x 2 <... < x n < x n = ÔÓÒØÓк T Ð Ð Ø Ý ÔÙ Þ [x Ó ÞØ i, x i Þ ÞÖ ] f(x i ) = x 2 Ñ ØÐÐÔÓØ ÑÐÒ i i =,..,nµ Ú Þ Þ. ØÖÐØÒ S = x 2 i (x i x i ) S = ( ) 2 i n n = n 3 (2 + + n 2 n(n + )(2n + ) ) = 6n 3 = = 2n2 + 3n + 6n 2, ( i s = n Ý = 2n2 3n + 6n 2, ) 2 n = n 3 (2 + + (n ) 2 ) = 2n 2 3n + 6n 2 T 2n2 + 3n + 6n 2, (n )n(2n ) 6n 3 = ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÐÑ ÚÞ ÐØ ÓÑÓØ ÞÖØ ØÖÐØ Þ ÐÐ T º ÓÒÓÐØÑÒØ ÓÝ Þ [x À ÓÒÐ i, x i Þ ÞÖ ] f(x i ) = x 2 Ñ ØÐÐÔÓØ ÑÐÒ i i =,..,nµ ÓÖ Þ. Ð ÞÐØ Ð Ø T ¹Ö Ø Ñ 2n 2 3n + 6n 2 3 2n 2 + 3n + 6n 2 3 s = x 2 i (x i x i ) Ð Ø ØØ ÞÐ ÔÓÒØÓ Ò ØÒØØ ÞÞÐ ¹ ÑØØ ÓÝ Ö ØØ ØÖÐØ T = 3 º ÚØÞØØ Ð Þ Ð ÓÖ ÒÝÙÓØÒ Ò Ñ Þ ÒÑ ÈÖ Þ Ð ÒÑ ØØ ÞÐ ÐÓ ÞØ ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞص ØÒ Òº Ô Ý ÔÓØØ ØÐÐÔÓ ØÖÐØÒ

9 Ñ ÞÖ ÞÒ ÐØ ÐØÐ ÒÓ Ò Ý f : [, b] R ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖÐ ØÓ µ ÒÑÒØÚ ÚÒÝ Ö Þ [, b] Þ Þ ÚÝ º ÞÓÒÝØ À P = {x µ, x,..., x n }, t i [x i, x i ØØ ÞÐ ÓÖ ] Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ½ ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄÀÌËý ÇÄÅ ½ x = Þ x = b ÝÒ ÐØÐ Ø ÖÓÐØ ÓÑ ØÖÐØÒ Þ¹ Þ ØÐ ÔÓÒØÓ Ñ Ö º ÐØ Ö y b x Òº ÄÝÒ f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ P Ý ÐÓ ÞØ º b]¹òº [, M i. =. sup f(x), m i = inf f(x) (M i, m i R) x [x i,x i] x [x i,x i] Òº f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ P Ý ÐÓ ÞØ º ÄÝÒ Þ [, b]¹òº s(f, P) = m i x i, S(f, P) = O(f, P) = M i x i, (M i m i ) x i Ñ ÞØ Ñ Ø Þ Ð ÓÝ f ÒÑÒØÚ Ý ÐÙØÙÒ ÊÑÒÒ À ÑÐÞØØ ÒØÖ Ð ÓÐÑ ÓÞ ÑÐÝÒ ÓÑØÖ ÒÚÚÐ ØÖØÐÑ ÙÐ ÒÑÒØÚ ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝÖ ÔÔÒ Ö ÐØØ ÓÑ ÔÐ Ð Þº ØÖÐØ σ(f, P) = f(t i ) x i Þ ÑÓØ Þ f ÚÒÝ P ÐÓ ÞØ ÓÞ ØÖØÓÞ Ð Ð ÐÐØÚ Ó Þ¹ ÐÐ ÞÒ Ñ t i [x i, x i ] ØÒ [, b] R Þ ÖØ ÒØÖÚÐÐÙѺ ØÓÚ Ò f : [, b] R ÄÝÒ ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝÐ ÓÐÐÓÞÙÒº ØÔÙ ÑÓØ f ÚÒÝ P ÐÓ ÞØ ÓÞ t Þ Þ,...,t n ÒØÖ Ð¹ ¹Þ ØÖØÓÞ ÒÚÞÞº Þ ÞÐØ ÓÑØÖÐ ÞÓÒÝÓ ØÖй ÞÒ Òº P = {x i = x < x < < x i < < x n = b} [, b] ØØк À f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ ÓÖ ÖÑÐÝ P σ(f, P)¹Ö s(f, P) σ(f, P) S(f, P); µ µ ÖÑÐÝ P P 2 ¹Ö s(f, P ) s(f, P 2 ), S(f, P 2 ) S(f, P ); غµ Þ [, b] ÒØÖÚÐÐÙÑ Ý ÐÓ ÞØ Ò Þ x ÐÑÞØ i ÔÓÒØÓØ Ó ÞØ ÔÓÒØÒ Þ [x ÐÓ ÞØ i, x i ] (i =,.. ÒØÖÚÐÐÙÑÓØ.,n) µ ÖÑÐÝ P, P 2 ¹Ö s(f, P ) S(f, P 2 ). ÐÓ ÞØ Ö ÞÒØÖÚÐÐÙÑÒ Ñ x i = x i x i ÑÐÐØØ P =. sup{ x i i =,...,n} Òº P ÄÝÒ P 2 Ø ÐÓ ÞØ º [, b] P 2 ØÓ¹ ÒÓÑØ µ P Ú Ó ÞØ P ÐÓ ÞØ Ò P 2 P =. P º P 2 ÐÑÞØ P P 2 ÒÚÞÞº Ý Ø Ò Òº P º k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞØ b]¹ò [, lim P k = = ØРк k m i f(t i ) M ÑÐÝÐ i x i > ÑØØ m i x i f(t i ) x i M i x i ÞÞ Ð ÐÐØÚ m i x i f(t i ) x i (i =,...,n), M i x i Þ ÑÓØ ÐÓ ÞØ ÒÓÑ Ò ÒÚÞÞº

10 ÖÑÐÝ i =,...,n¹ö ÑÐ ÞÞ ÙØ Ò Ò µ Ð Ñ Ó ÓÒÐÒ ÚØÞº к ÓÝ Ī Á ÖÐعРÚÒÝ Ð ÞòØ Þ [, b] ÒØÖÚÐÐÙÑÖµº Ĺ ÞÞ P ØØ ÞÐ ÐÓ ÞØ [, b]¹òº Á ÑÖØ ÓÝ ÖÑÐÝ Ø ÝÒ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ¾¼ ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄÀÌËý ÇÄÅ ½ ÚØÞ Ñ Þ ÐÐØ º ÄÝÒ P µ = {x,..., x n }, P 2 = {y,..., y m }, P P ÓÖ Ö¹ 2 [x ÑÐÝ i, x i ÐØÞ j, k ÓÝ ]¹Ö [x i, x i ] = [y j, y j ] [y k, y k ] (x i = y j, x i = y k ). m () i P À, m (2) i P 2 ØÖØÓÞ ÒÑÙÑÓ ÓÖ ¹Þ m () i m (2) j,..., m (2) Ý k m () i x i = m () i y j + + m () i y k m (2) j y j + + m (2) k y k º ÈÐ f(x) = c (x [, b]) ÓÖ Á = Ī ÑÖØ [, b] ÖÑÐÝ P ÐÓ ÞØ ¹ À m Ö i = M i Ý = s(f, P) = S(f, P) = n c x c i = x n x i = c(b ) Ø Ø Á = Ī = c(b )º ÄØÞ f ÓÝ Á Īº ÄÝÒ f(x) = { x [, b] Q, x [, b] \ ([, b] Q), Þ Ñ ÞØØ ÚÒ ÖÓÒ Ð ÖÖÓÒ Ð Þ Ñ Ý ÚÐ m i =, M i = ÐÓ ÞØ ÖÑÐÝ ÒØÖÚÐÐÙÑ Ò Ñ ÓÝ À P µ, P 2 ÐÓ ÞØ Ó ÓÖ P ØØ ÞÐ, P 2 P P Ý µ 2 ÑØØ µ s(f, P ) s(f, P P 2 ) S(f, P P 2 ) S(f, P 2 ), s(f, P) = x i =, S(f, P) = x i = b, Ý Á = b = Īº Ñ Þ ÐÐØ Øº Òº f : [, b] ÓÖÐ ØÓ ÚÒݺ Þ º ÄÝÒ R = b f =. sup{s(f, P)}, Ī = f =. Á inf{s(f, P)} P P b Òº f : [, b] ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð¹ º Þ R Á Ø [, Īº ÞØ Þ ÖØØ Þ = f [, ÐØØ ÊÑÒÒ¹ b] b]¹ò ÒÚÞÞ Ö Þ I, b f b ÚÝ f(x) dx ÐÐ Ø ÞÒ Ð¹ Ò Ð ÒØÖ ÑÓØ Þ f ÚÒÝ [, b] ÐØØ Ð ÐÐØÚ Ð ÖÓÙܹÒع Þ Ð Ò ÒÚÞÞº Ö ØØк f : [, b] ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ ÓÖ Á R, Ī R Ī Á ÄÝÒ ØРк º µ ÑØØ ÖÑÐÝ P ÞÓÒÝØ Þ ØØÐ Ö Þ s(f, ¹Ö P ) S(f, P) P Ī R s(f, P ) ØÓÚ Ī Ñ ÓÝ ÐØÞ Ý ØÒ ÖÑÐÝ À [c, d] [, b] f d]¹ö ÚÐ Ð ÞòØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ Ùº [c, d ÓÖ ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ [c, ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ f d]¹òº [c, Þ d]¹ò f f : [, b] ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð Ø ÐÐ d]¹òº À R [c, f [c,d] = g d f. d gº = ÓÖ c c c ÐØÞ Á R Á Īº ÖÑÐÝ P ¹Ö s(f, P) Á ÃÚØÞÑÒݺ O(f, P)º Ī S(f, P) Ñ ÅÝÞ º Ð ÑÙØØ ÓÝ Þ f(x) = c (x [, b]) ÚÒÝ Þ ÔÐ b c dx = c(b ) Ñ ÖÐعР¹ ÐØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÚÒÝ ÒÑ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ [, b]¹òº

11 Ð Ð Þ ÝØ Ø ÖÖØ ØÙÐÓÒ Ø ÑÙØØ Ð ÖÑÒݺ Þ ØØÐ ÖÓÙܹØØÐ ÚØÞÑÒݵº À f : [, b] R ÓÖ¹ ØÓ ÚÒÝ ÓÖ Ð ÓÖÓÞØÓÞ ØÖØÓÞ s(f, P Ó ÞØ k ÐÐØÚ S(f, P ) k ÓÖÓÞØ Ø ÖÖع ) ÞÖØ ÔÐ ÙÐ Ñ Ö ÚÞ ÐØ f(x) = x 2 (x [, ]) ÚÒÝÖ Òغ = Ī = 3 Á ØØк Þ f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ ÓÖ ÓÖ Ê¹ ÐØ [, b]¹ò ÐØÞ I R ÓÝ ÖÑÐÝ ε > ¹ÓÞ Ðع ÑÒÒ¹ÒØÖ ØØк Þ f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ ÓÖ ÓÖ Ê¹ ÐØ [, b]¹ò [, b] ÖÑÐÝ P ÑÒÒ¹ÒØÖ k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ Ó¹ ØÖØÓÞ ÖÑÐÝ σ(f, P ÖÓÞØÓÞ k ÒØÖ ÐÞÐØ Þ ÓÖÓÞØ ÓÒÚÖ¹ ) Ò º ØØк Þ f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ ÓÖ ÓÖ º ÐØ [, b]¹ò Þ [, b] ÖÑÐÝ P ÊÑÒÒ¹ÒØÖ k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ Þ¹ ÞÓÒÝØ º ÖÑÐÝ P ¹Ö Ī Á À f : [, b] ÓÖÐ ØÓ ÒÑÒØÚ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ¹ R b f Þ Ñ f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð [, b]¹òµ ÓÑØÖ Þ ÓÖ ÚÒÝ δ(ε) > ÓÝ ÖÑÐÝ ÓÐÝÒ P ÐÓ ÞØ Ö [, b]¹ò ÑÐÝÖ P < δ(ε), σ(f, P) I < ε ØÐ Ð ÖÑÐÝ σ(f, P)¹Öº Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ¾¾ º ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄÀÌËý ÃÊÁÌÊÁÍÅÁ ¾½ ØÖØÐÑ ÐÝÒ Þ f Ö ÐØØ ÓÑ ØÖÐغ º ÖÓÙܹØØÐ ÚØÞÑÒÝ ØØÐ ÊÑÒÒ¹ÖØÖÙѵº Þ f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ º ÓÖ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ [, b]¹ò ÖÑÐÝ ε > ÓÖ ØØÐ ÖÓÙܹØØеº À f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ ÓÖ ÖÑÐÝ ε¹óþ ÐØÞ δ(ε) > ÓÝ [, b] ÖÑÐÝ P ÐÓ ÞØ Ö ÑÐÝÖ P < δ(ε) µ S(f, P) Ī < ε Á s(f, P) < ε ÐØÞ P ÐÓ ÞØ [, b]¹ò ÓÝ ØÒ O(f, P) = S(f, P) s(f, P) < ε. º ÞÓÒÝØ ÄÝÒ f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÞÞ Á µ = Ī = I ε > ÓØغ ØРк ÖÓÙܹØØÐ ÑØØ ε 2 ¹Þ δ(ε) > ÓÝ P ÓÐÝÒ ÐÓ ÞØ [, b]¹ò ÑÐÝÖ P < δ( ε 2 ) ÓÖ [, b] P ÖÑÐÝ µ k ÓÖÓÞØ Ö ÐØÞ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ lim s(f, P k) =, lim S(f, P k) = Ī, lim O(f, P k) Á = Ī ; k k k Á I s(f, P) < ε 2 S(f, P) I < ε 2, [, b] ÖÑÐÝ P µ k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞØ Ö ÐØÞ σ (f, P k ) σ 2 (f, P k ÒØÖ ÐÞÐØ Þ ÓÖÓÞØ ÓÝ ) ÐØÞ lim k σ (f, P k ) Á = ÐÐØÚ lim k σ2 (f, P k ) = Ī. Á ÅÝÞ º Ī Ø Ø ÑØ ÖÓÞØ Ý Ô Ð ÒÓÖÑ Ð Ð¹ Ñ ÓÝ O(f, P) = S(f, P) s(f, P) < εº µ ÌÝ Ð ÓÝ ε > ¹Ö P ÓÝ O(f, P) = S(f, P) s(f, P) < ÓÖ Ī εº S(f, P) s(f, P) = O(f, P) < ε ÑØØ Úع Á ÓÝ Á = Ī ÞÞ f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ Þ Ø ÓÖÓÞØ ØÒ O(f, P k ) ÒÙÐÐ ÓÖÓÞغ Ý Þ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ ØØк f : [, b] R ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ º P) Ý Ð ÑÑÙØØÒ ÓÝ O(f, ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÖØÖÙÑ º ÐØØÐ ÐÒ ÖÑÐÝ ε ÐØÞ ÐÓ ÞØ > b]¹ò ÓÝ P [, O(f, P) ÑÖØ < ¹ÓÞ ε Īµ = ÓÐÝØÓÒÓ ÝÒÐØ ÓÐÝØÓÒÓ Ø f b]¹ò Ý Á ÓÖ [, ε b δ(ε) > x, x [, b], x x < δ(ε) ØÒ ÓÝ ÐØÞ ¹ÓÞ f(x ) f(x ) < ε b. Þ

12 º ØØк Ý f : [, b] R ÑÓÒÓØÓÒ ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ º ÞÓÒÝØ À f() = f(b) = f(x) C = Þ ÐÐØ Þº µ ÌÒØ Þ f(x) = [x], x [, 2] ÚÒÝØ Þ ÞÖ Þ Èк Ð ÞòØ Ø [, 2] ÒØÖÚÐÐÙÑÖµº Þ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÚ ÚÒÝ ØØк À f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ [, b]¹ò [c, d] [, b] º f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ [c, d]¹ò º ÓÖ ØØÐ Ä Ù¹ÖØÖÙѵº Þ f : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ º ÓÖ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ Ý Ä Ù ÞÖÒØ ÒÙÐй ÓÖ ÞÔ ÓÐ Ò ÓØØ ÒØÖ Ð Ò ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐÐÐ ÞÖØ ÖÑÒÝØ º ÑÝÞ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ¾ º ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄÀÌËý ÃÊÁÌÊÁÍÅÁ ¾ P ÓÝ P < δ(ε) ÓÖ ÄÝÒ ÓÐÝÒ Á Ī O(f, P) = (M i m i ) x i = (f(x i) f(x i )) x i < ε. Ð ÞÒ ÐØÙ ÓÝ f ÓÐÝØÓÒÓ ÑØØ x i, x i [x i, x ÁØØ i ÓÝ ] M i = f(x i ), m i = f(x i )ºµ ÄÝÒ f : [, b] R P = { = ÃÚØÞÑÒݺ,,..., n = b} ÐÓ ÞØ [, b]¹òº À f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÖÑÐÝ [ Ý i, i ] b ÓÖ ÐØ b]¹ò ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ [, f(x) dx = f(x) dx i i º º ØØÐ Ð ÞÒ Ð ÚÐ ØÐ ÒÙÚÐ ÞÓÒÒÐ Ô¹ ÞÓÒÝØ Þ ÐÐØ Øº Ù À f() ÓÖ ε > ØÒ ÓÐÝÒ ¹Ö ÓÝ P P µ < f(b) ε ÐÚ Ð ÞÒ ÔÐ ÙÐ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÚÚ f ÚÒÝ ¹ f(b) f() ÓÝ ØÒ m i = f(x i ), M i = f(x i )µ ÔÙ ÓÝ Ī O(f, P) = (M Á i m i ) x i = [f(x i ) f(x i )] x i < < ε f(b) f() [f(x i ) f(x i )] = ε, Á Ñ = Ī ÞÞ f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ ÓÝ ÐÑÞØÐ ÓÐÝØÓÒÓ º H R Ä Ù ÞÖÒØ ÒÙÐй ÑÖØò ÐØÒØÚ ÖÑÐÝ ε > ¹ÓÞ ÐØÞ { ] ÑÖØò n, b n [ n ÒØÖÚÐÐÙѹ N} H ] ÖÒ ÞÖ ÓÝ n, b n [ (b n n εºµ ) < n= n= ÅÝÞ º À f : [, b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ º ØØÐ ÑØØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð¹ ÞÞ Á Ø = Īº Þ [, b] ÒØÖÚÐÐÙÑ ÝÒÐ Ö ÞÖ Ó ÞØ ÚÐ P ÒÝÖØ k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞØ ÑÖØ P k = b º Ý k ÚØÞÑÒÝ ÖÓÙܹØØÐ ÑØØ lim s(f, P Á k) = = Ī = lim S(f, P k), k k ÌØÐÒ ÐÔ Ò Ý ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹Òع Ð Ø ÖÑÐÝ P Ö k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞØÓÞ ØÖØÓÞ s(f, P k ) S(f, P k ÚÝ ), σ(f, P k ÓÖÓÞØ Ø ÖÖØ Ñº ) Ý ØØÐÒ ÑØØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ [, 2]¹Ò ÒÑ ÓÐÝØÓÒÓ µº ØØÐ Þ ÒØÖ Ð ÒØÖÚÐÐÙÑ ÐØØ ØÚØ µº º f : [, b] R, c ], b [, f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ [, c]¹ò ÄÝÒ b]¹ò ÓÖ [c, ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ f b]¹ò [, b f = c f + b c f.

13 ØØк À Þ f, g : [, b] R ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ º f g ØÓÚ ÐØÞ c > ÓÝ g(x) > c ÖÑÐÝ x [, b]¹ ÓÖ ÅÝÞ º º ØØÐ ØÐ ÒÙÚÐ ÓÝ Ú Ó ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð¹ ØØк À f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÚÒÝ ÓÖ f º Ðغ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÝÒÐØÐÒ ÞÔÖØØØÐ º ÐÖ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ¾ º ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄ ÅæÎÄÌÁ ÌÍÄÂÇÆËýÁ ¾ º ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð ÑòÚÐØ ØÙÐÓÒ ØØк À f, g : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ p, q R ÓÖ (p f + q g) : [, b] ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ R Ø ÚÒÝ ÞÓÖÞØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ b b (p f + q g) = p b f + q g ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÚÒÝ ÓÑÔÓÞ ÐØÐ Ò ÒÑ Ê¹ Ðغ ÑÒÒ¹ÒØÖ ÄÝÒ f : [, b] R, g : [c, d] R R º f d]º À [c, ÊÑÒÒ¹ f ÐØ g ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖ g f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ ÒØÖ º [, b] ÖÑÐÝ P ÞÓÒÝØ k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞØ Ö σ(p f + q g, P k ) = p σ(f, P k ) + q σ(g, P k ), f g ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ Ö¹ Ñ ÁÁºº ØØе ÑØØ Þ ÐÐØ Øº ØÖÙÑ ØÐ ÒÙÚÐ ÚØÞ ÓÝ Þ ÅÝÞ º ØØÐÐ f i : [, b] ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ R λ i R (i =,.,n) ÓÖ.. n λ i f i ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÚÒÝ b λ i f i = λ i b f i. ØØк ÄÝÒ f, g : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ f g f ÓÖ b b gº º P ÄÝÒ ÞÓÒÝØ k Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞØ b]¹ò [, ØØ ÞÐ ÒÓÖÑ t k i [xk i, xk i ] f(tk i ) g(tk i ) σ(f, P k) σ(g, P k ) ÑØØ ÓÖ ØØ ÞÐ Ñ Þ ÐÐØ Øº ØØк f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÖ f 2 ØÓÚ À c > ÓÝ f(x) c ÖÑÐÝ x [, b] ÓÖ ÊÑÒÒ¹ ÐØÞ f ÒØÖ Ðغ b b ÅÝÞ º À f, g : [, b] R ÓÖÐ ØÓ ÚÒÝ f g ÓÖ f g b b f g. Ö Ý f g ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ º Þ ÞÓÒÝØ f g = 4 [(f + g)2 (f g) 2 ] f g = f g Þ Ð Ø ØØÐ Ð ÞÒ Ð ÚÐ ÒÝÐÚ ÒÚÐÒ Þ ÝÒРغ ÐÐØ ØØк f : [, b] ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÖ ÄÝÒ R b b f f. ÞÓÒÝØ º f Þ ºº ØØÐ ÑØØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ Ý f f f ÝÒÐØÐÒ Ð Þ ØØÐ ÑØØ f f f Ñ Þ ÐÐØ Øº

14 ØØÐ ÞÔÖØØØеº ÄÝÒ f, g : [, b] R ÊÑÒÒ¹Òع º ÐØ ØÓÚ Ö ØØк ÄÝÒ f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÖ F f Òع Ð ÑÒØ Ð Ø Ö ÚÒݵ ÓÐÝØÓÒÓ [, b]¹òº Ö ÐØ x¹ò F (x) = f(x)º Ì Ø f ÖÑÐÝ x [, b]¹ ÖÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ý F Ý ÔÖÑØÚ ÚÒÝ f¹òºµ Ò º ÄÝÒ ε > ØØ ÞÐ ÓÖ f x¹ð ÓÐÝØÓÒÓ ÑØØ ÞÓÒÝØ δ(ε) > ÓÝ ÐØÞ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ¾ º ÆÄÌÄÆËà ÃÈÊÌÃÌÌÄà ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄʾ º Þ ÒØÖ Ð ÑÒØ Ð Ø Ö ÚÒÝ m f(x) M, g(x) (x [, b]), Òº ÄÝÒ f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÖ ÓÖ b b b m g f g M g. f. =, b. b = Òº ÄÝÒ f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÖ Þ º m g, f g, M g ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÞÓÒÝØ m g f g M g [, b]¹ò ÑÐÝÐ Þ ØØÐ ÑØØ Ò Þ ÐÐØ º F : [, b] R, F(x) =. f(t)dt Á¹µ x ÃÚØÞÑÒݺ ÄÝÒ f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ m f M ÓÖ m b f M. b Ò ÐØ F ÚÒÝØ f ÒØÖ Ð Ò ÑÒØ Ð Ø Ö ÞÖÒØ ÒÚÞÞº ÞØ ÞÓ ØÖÐØÑÖ ÚÒÝÒ ÚÝ ÚÒÝÒ ÒØÖ ÐÚÒÝÒ ÒÚÞÒº f ÞÓÒÝØ º º ØØÐÐ g(x) = Ú Ð ÞØ Ð ÔÙ Þ ÐÐØ Øº ØØк ÄÝÒ f : [, b] R ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ Þ x [, ÔÓÒØÒ ÓÖ Þ b] F ÒØÖ Ð ÑÒØ Ð Ø Ö ÚÒݵ f À f : [, b] ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝ ÓÖ ÐØÞ R c b] ÓÝ [, f(c) = b f. b º ÓÐÝØÓÒÓ ÑØØ f m = inf f([, b]), M = ÞÓÒÝØ supf([, b]) b ÑØØ ÚÒÝÖØ Þ f [m, ÚØÞÑÒÝ M] Ý b ÐØÞ c ÓÝ f(c) = b ÓÐÞÒÓ Ý ØØÐ f ÑØ ÞÓ¹ ÑØØ b t [, b], t x < δ(ε) = f(t) f(x) < ε. h ÓÐÝÒ ÓÝ x + h [, b] h < δ(ε) ÓÖ Ð ÞÒ ÐÚ ÄÝÒ x+h f(x)dt = hf(x) Ò ÓÝ x ÒÝØÒ ÐÐØغ

15 º ÄÝÒ P ÞÓÒÝØ k = {x k i i =,,..., n ØØ ÞÐ ÒÓÖÑ Ð k} ÓÖÓÞØ [, b]¹òº F ØÐ Ø ÄÖÒ¹ØØÐ ÐØØÐØ Ö¹ ÐÓ ÞØ À F ÖÒ ÐØ [, b]¹ò F = f ÞÞ F ÔÖÑØÚ ÅÝÞ º f¹ò ÓÖ F ¹Ø ÒÝÐÚ Ò Þ Áº ÞØÒ ØÒÙÐØ ÞÖÒØ ÚÒÝ f(x) = [x], x [, 2] ÚÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÒÚ ÞÖØ ÊÑÒÒ¹ Þ Ðغ F(x) = x, x [, 2] ÚÒÝ ÖÒ ÐØ ØÓ¹ ÒØÖ ÇÊÅÍÄ º ¾ ÆÏÌÇƹÄÁÆÁ x+h F(x + h) F(x) f(x) h = x x+h f(t)dt f(t)dt f(x)dt h = x x+h x+h x+h = f(t)dt f(x)dt h = (f(t) f(x))dt h x x x x+h h sign(h) f(t) f(x) dt < x+h εdt = h h hε = ε, x x ÞØ ÓÝ Ñ ÐØÞ ÐÒØ F F(x + h) F(x) (x) = lim = f(x), h h ¼ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ÞÞÚ ÞØ Ô n k n k F(b) F() = (F(x k i ) F(x k i )) = f(t k i ) x k i = σ(f, P k ) ÚØÞ k¹ö Ý k ØÒ f ÒØÖ ÐØ ÑØص F(b) F() = b ÞÞ ÞÓÒÝØÒº F(b) F() = σ(f, P k ) b f, ÑÖØ f σ(f, P k ÓÒ ØÒ ÓÖÓÞص ÞØ ÐÐØØ ) ÞÓÒÝØÒ ÐÐØغ À f : [, b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ Þ ÖÑÐÝ ÑØ x [, ØÒ ÞÞ b] F (x) = f(x) (x b]) Ø Ø [, Ý ÔÖÑØÚ F Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ñ ÐÐÑÞØÙ ØØÐÒغ f¹òº ÚÒÝ Ø ÑÒÒ ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ ÖØÐÑÞØص ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝÒ Ì º ÈÐ 2 Þ [x] dx ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÐØÞµº ÑØ ËÞ ÚÒ ÔÖÑØÚ ÚÒݺ º ÆÛØÓÒ¹ÄÒÞ ÓÖÑÙÐ ÌÐ ÐÒ Ø Ø ØØÐÒ ÆÛØÓÒ¹ÄÒÞ ÓÖÑÙеº ÄÝÒ f, F : [, b] R ÓÐÝÒ ÌØÐ f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ F ÓÐÝØÓÒÓ [, b]¹ò ÖÒ ÐØ ÓÝ ], b ¹Ò ØÓÚ [ F (x) = f(x) (x ], b ) ÓÖ [ b f = F(b) F() 2 [x] dx = F(2) F() = 2 =. π Þ sin(x)dx ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÐØÞµº ÑØ ËÞ Ú F (x) = = [x] x [, 2[º ÐØØÐ Ý F(b) F() Þ ÑÓØ ÞÓ [F(x)] b ÑÓÒ ÐÐÒºµ Þ f(x) = sin(x), x [, ÓÐÝØÓÒÓ ÞÖØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ Þ π] sin(x)dx = cos(x) + C (x R) Ý Á ÑÖØ ÓÝ F(x) = cos(x), (x Þ [, ÔÖÑØÚ ÚÒÝ ÞÞ π]) f F (x) = [x k i, xk i ] tk i ]xk i, xk i [ ÓÝ ÑÐÝ F(x k i ) F(x k i ) = F (t k i ) x k i = f(t k i ) x k i i =,,..., n ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ Ý k ØÒº π sin(x)dx = [ cos(x) ] π = + = 2. f(x)µ [, π]¹ò ÞÖØ ØØÐÒ ÑÝÞ ÑØØ

16 ØØÐ ÔÖ Ð ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð µº À Þ f, g : [, b] R ¹ ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÖÒ ÐØ ÓÖ ÚÒÝ º ÈÖ Ð ÐÝØØ Ø ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐÓ º H : [c, d] R, H(u) =. f(x)dx ÓÖ H ¹ ÄÝÒ ÞÓÒÝØ ÖÒ ÐØ H (x) = f(x) (x [c, d])º ÄÝÒ ØÓÚ G : [c, d] R u g() ¾ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË º ÈÊÁýÄÁË Ë ÀÄÌÌËÌËË ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄÇà ½ b b fg = f(b)g(b) f()g() f g. ÞÓÒÝØ º ÄÝÒ F : [, b] R, F(t) = t fg + t f g + f()g() G(t) = t f(g(x))g (x) dx g(t) g() f(x) dx, G (t) = f(g(t))g (t) H (g(t))g (t) = Ý G(t) cº ÓÖ G() = ÑØØ c = Ý G(b) = Ñ G Ò ÑØØ ÓÖ Þ ÐÐØ Øº ÓÖ t [, b]¹ö F (t) f(t)g(t) F (t) = f(t)g (t) + f (t)g(t) [f(t)g(t)] = ( t [, b]), F(t) c ÐÐØÚ F() =. ÑØØ c = ÞÖØ F(b) Ñ = Ý F Þ ÐÐØ Øº Ð Ò π Þ xsin(x)dx ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÐØÞµº ÑØ Ù ËÞ Èк f(x) = x, g(x) = cos(x) (x [, π]) ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÖÒ ÐØ Þ ÐØÞ f (x) =, g (x) = sin(x) (x [, π]) Þ f, g : [, π] R ÑÖØ ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ º ÞÖÒØ π ÞÖØ ØØÐÒ ÆÛØÓÒ¹ÄÒÞ ÓÖÑÙÐ xsin(x)dx = π( cos(π)) ( cos()) = π + π π cos(x)dx = π + [ sin(x) ] π = π. ( cos(x))dx = ØØÐ ÐÝØØ Ø ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð µº À g : [, b] [c, d] ÖÒ ÐØ f : [c, d] R ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Ò À¹Êµ b f(g(x))g (x) dx = g(b) g() f(x) dx. ÅÝÞ º À¹Êµ¹Ò x ÐÝØØ ÖØÙÒ t Ú ÐØÓÞØ ÐÓÐÐÓÒ ÓÖ Þ À ¹Êµ g(b) g() ÐÒ Öغ f(x) dx = b f(g(t))g (t) dt. À¹Êµ¹Ø ÞÒ ÐÙ ÞÖÚ Þ ÓÝ Þ ÑØÒ Ò¹ ÓÖ ÒØÖÒÙ f(g(x)) g (x) Ð Ñ À ¹Êµ¹Ø ÓÖ ÐÙÒ ØÖ x = g(t) (t [, b]) ÐÝØØ Ø Ð ÖÙ ØÙÙµ Þ ÑØÒ Þ g(b) f(x)dx ÒØÖ Ðغ Þ g() ÈÐ º ËÞ ÑØ Ù Þ I = Ðغ ÒØÖ Ò ÆÝÐÚ π 2 π 4 I = x sin ( x) dx 2 ÐØÞµ ÊÑÒÒ¹ ÝÒØ π 2 π 4 ( ) x 2 sin dx, x ØØ g : [ π 4, ] [ π 2 ØÓÚ Ð ÓÝ 2 π, ] 4 π, g(x) = x ÓÐÝØÓÒÓ¹ Þ f : [ 2 π, π] 4 Ò ÖÒ ÐØ R, f(x) = sin(x) ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝ ØÐ Ø ØØÐ ÐØØÐØ Ý À¹Êµ Ò ÒÝ ÓÖ

17 ØØк À Þ f n : [, b] R (n =, 2,.. ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹.) ÐØ [, b]¹ò Þ f ÒØÖ n ÚÒÝ ÓÖÓÞØ ÝÒÐØ Ò ÓÒÚÖ Ð ØØк À Þ f n : [, b] R (n =, 2,.. ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò.) ÐØ [, b]¹ò ÚÐÑÐÝ x ÖÒ [, ØÒ b] f n (x ÓÒÚÖÒ ) f n [, f n b]¹ò ÓÖ ÝÒÐØ Ò ØÓÚ ÝÒÐØ Ò ÓÒÚÖÒ f : [, b] R ÚÒÝÞ [, b]¹ò ÐØÞ f Ý Ð ÓÒÚÖ ÒØÖ Ð ÓÒÚÖÒ º À ½µ ÒÑ ÐØÞ ÓÖ Þ ÑÔÖÓ¹ ÔÖÓÔÖÙ ÒØÖ ÐØ ÚÖÒ Ò ÑÓÒÙº ÔÖÙ Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ½¼º ÎÆËÇÊÇÌÇÃ Ë ÎÆËÇÊÇà º º º ÞÖÒØ ÖÑÒÝ π 2 ( ) x 2 sin dx = x π 4 ËÞ ÑØ Þ = 2 π 4 π π 2 π 4 ( ) x 2 sin dx = x sin(x)dx = cos e x +e 2x dx ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ðغ 2 π 4 π sin(x)dx = ( ) ( ) 2 4 cos π π f(x) = ex +e (x [, ]) 2x ÓÐÝØÓÒÓ º Þ ÚÒÝ g(t) = log t (t e]) ÓÖ [, g([, e]) = [, ], = g(), ÄÝÒ = g(e) g g (t) = t À ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÖÒ ÐØ ÞÖØ ¹ ÑØص ʵ ÞÖÒØ e x dx = + e2x log e log e x dx = + e2x e = [ rctg t ] e = rctg e π 4. e log t e + e 2log t t dt = + t 2 dt =. À f Þ ÃÚØÞÑÒݺ n : ÚÒÝ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð¹ [, b] R [, Ø b]¹ò f n b]¹ò Þ [, f : [, b] ÝÒÐØ Ò ÓÒÚÖ Ð R b ÐØ f b]¹ò [, f = b ÚÒÝÞ ÓÖ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ f n º n= f ÞÓÒÝØ º n ÚÒÝ ÓÖ S n ÓÖÓÞØ Ö ÐÐÑÞ¹ Ö ÞÐØ Þ ØØÐغ Þ ÞÙ µ f (x) = lim n f n(x) (x [, b]) ÃÚØÞÑÒݺ f À n : [, b] R (n =, 2,. ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÖÒ ÐØ..) ÐØÞ x b] ÓÝ [, f n (x ) f n ÓÒÚÖÒ ÝÒÐØ Ò n= ÓÒÚÖÒ [, b]¹ò ÓÖ f n = f ÐØÞ f = f nº ØØÐ Ô Ð Ø ØÚ ÒÝ ÓÖÓ ÖÒ ÐØ Ö ÚÓÒع ØØÐ ÞÒ ÐØØÐ ÓÖ ØÖÑ ÞØ Ò ØÐ ÐÒµº ÓÞ ½ ÁÑÔÖÓÔÖÙ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð ÚÒÝ ÓÖÓÞØÓ ÚÒÝ ÓÖÓ ØÓÒÒØ ½¼º ÐØ ÖÒ ÐØ ÒØÖ Òº ÄÝÒ R, < b +, f : [, b[ R ÑÒÒ [, t] [, ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ÚÒݺ b[ f : [, b] R ÚÒÝÞ [, b]¹ò ÓÖ f ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ Þ b]¹ò [, ½µ b f = lim b f n n Ð ØÓÚ ÓÝ b = + ÚÝ ε > ÓÝ f ÒÑ ÓÖÐ ØÓ ÌÝ [b ε, ÒØÖÚÐÐÙÑÒº À ÐØÞ b[ ½µ lim t t b f. = Ø ÓÖ Þ f ÚÒÝ ÑÔÖÓÔÖÙ ÊÑÒÒ¹ Ú ÖÖØ ÞØ ÒÚÞÞ [, b b[¹òº ÁÐÝÒÓÖ ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ Þ f ѹ Ò Ð ÒØÖ b f ØРк

18 Áº ÁÆÌÊýÄËýÅÌýË ½ ÁÅÈÊÇÈÊÁÍË ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄ Òº À R, c <, f :]c, ] R ÑÒÒ [t, ] ]c, ] ÓÖÐ ØÓ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ c = ÚÝ ε > ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ ÓÝ f ÒÑ ÓÖÐ ØÓ ]c, c + ε]¹óòº À ÐØÞ ¾µ lim t c+ t f. = Ø ÖÖØ ÓÖ ÞØ Þ f ÑÔÖÓÔÖÙ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð Ò Ú (c, ]¹Òº ÓÒÚÖÒ ÐÐØÚ ÚÖÒ Þ ÐÞÞ ÒÚÞÞ c f Þ Ò ÞÖØ ÞÖÒØ + lim x α t + α + (tα+ ) = α < α + dx = ÚÖÒ µº + α + Þ ÃÓÒÚÖÒ ¹ e αx dx ÑÔÖÓÔÖÙ ÒØÖ Ð ÓÐ α R ÖÞØØØ =, b = + ÓÐ Þ f : [, + [ R, f(x) = e αx ÄÝÒ ÖÑÐÝ [, t] [, + [ ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ ÊÑÒÒ¹ ÚÒÝ ÓÒкµ Òº ÄÝÒ < b +, f : ], b [ R [x, y] ], b [ º ÓÖÐ ØÓ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐØ ØÓÚ = ÚÝ ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ b = ÚÝ ÑÒØص ÚÝ ÐØÞ + ε ÓÝ > ÒÑ ÓÖÐ ØÓ Þ f ], + ε] [b ε, b ÒØÖÚÐÐÑÓÒº ÓÖ [ lim x + y b y x f. = Ø ÖÖØØ ÐØÞµ f [, b ] ÐØØ ÑÔÖÓÔÖÙ ÊÑÒÒ¹ Ú Ð Ò ÒÚÞÞº ÒØÖ b f ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ ÒØÖ ÑÖØ t [ ] t e αx dx = α eαx = α (eαt ) α ÐÐØÚ ÅÚÐ lim t + eαt = t e x dx = t { α <, + α > dx = t. lim t = +, t + + ÈÐ º x α dx ÑÔÖÓÔÖÙ ÒØÖ Ð ÓÐ α R ÖÞØØØ Þ ÃÓÒÚÖÒ ¹ =, b = + ÓÖ Þ f : [, + [ R, f(x) = x α ÄÝÒ ÖÑÐÝ [, t] [, + [ ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ ÊÑÒÒ¹ ÚÒÝ ÐØ ÓÐÝØÓÒÓ µ ÒØÖ ÞÒ [ ] t x α+ t = x α dx = α + α + (tα+ ) α [ ] t lnα = º lnt α = ÌÓÚ lim t + tα+ = { α < + α > lim lnt = +. t + Ý ØØк À Þ λ, λ 2 R ÓÖ b b b f, ÞÓÒÝØ º ÈÐ ÙÐ + b e αx α <, dx = α + α. g ÑÔÖÓÔÖÙ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐÓ ÓÒÚÖÒ (λ f + λ 2 g) ÓÒÚÖÒ b (λ f + λ 2 g) = λ t b f + λ 2 g. ¹Ö Þ Ñ t b ¹ÚÐ Ò Þ ÐÐØ º

19 ØØк ÄÝÒ f, g : [, b[ R, m f M, g, ÐØÞ ØØк ÄÝÒ R, b R º b, < b, f : [, b[ ÊÑÒÒ¹ R ÐØ ÖÑÐÝ [, c] [, b[ ÒØÖÚÐÐÙÑÓÒ d [, b[º À Þ ÒØÖ b g, b fg ½ ÁÅÈÊÇÈÊÁÍË ÊÁÅÆƹÁÆÌÊýÄ ÒØÖ ÓÖ ÑÔÖÓÔÖÙ ÐÓ b m g b b fg M g, b b fg = f(ξ) g. ÐÐØÚ f ÓÐÝØÓÒÓ Ý ÐØÞ ξ [, b[ ÓÝ ÞÓÒÝØ º ÊÑÒÒ¹ÒØÖ ÐÖ ÚÓÒØÓÞ ØØÐ ÐÔ Òº b f ÑÔÖÓÔÖÙ ÒØÖ Ð ÓÒÚÖÒ ÓÖ Þ b d b f = f + f d d f f [, d] ÐØØ ÊÑÒÒ¹ÒØÖ Ð Ø Ñ ÓÐ d b d f Þ ØÓÚ b f f [d, b[¹ö ÚРй ÞòØ Ò ÑÔÖÓÔÖÙ ÒØÖ Ð Ø Ðкµ x d x f(t)dt = f(x) dx + f(t)dt, d ÞÓÒÝØ º ÅÚÐ x ]d, b [ ¹Ö Ð ÚØÞ Þ ÐÐØ º

20 ÙÐ Þ ØÖ ÑØÖ¹ ÎÓØÓÖØÖ ØÖ Ù ÞÓÐÐÙ ÞÓØ ØÚ ÐØÓÞ ÚÒÝ ÚÞ ÐØ Ò Ð ÁØØ ÐÒ Ö ÐÖ ÓÐÑØ ÖÑÒÝØ ÑÐÝØ Þ¹ ÓÒØÓ ÑØÑØ Ø ÖÝÒ ØÒÙÐØ ØÒÙÐÒ ÚØÓÖØÖ ÙÐ Þ ØÖ ÖØ ØÖÜÓ ØÖÑÒ Ò Óµº Ñ Ð ÓÖÒ º ÞØÒ Ö ÞÒ Ñ ÓÐ µ ¹ ÍÝÒÓÖ ÞØ ÞÓÐ Þ ÐÔÚØ ØÓÔÓÐ ÓÐÑÐ ØØÐÐ ÞØ ÝÖ ÞØ Þ R ØÓÔÓÐ ÖÐ ØÒÙÐØ ÐØÐ ÒÓ Ø Ñ Ö ÞØ ÑÐÝ ÓÒØÓ ÞÖÔØ Ø ÞÒ ØÒÙÐÑ ÒÝÒÒ Ö¹ ÙÝÒ Òº ÄÝÒ ÓØØ Ý V ÐÑÞ ÐÑØ ÚØÓÖÓÒ ÒÚÞ¹ ÌÝ Ð ÓÝ ÖØÐÑÞÚ ÚÒ Ø ÑòÚÐØ Þµº V, x + = x ÒÙÐÐÐÑ ÐØÞ µ µ x V, x V, x + ( x) = ÒÚÖÞÐÑ ÐØÞ µ µ x = x µ λ(µx) = (λµ)x µ Òº Ý V ÚØÓÖØÖØ ÖØ Ý Ð Ö ÚÝ Ð µ ÞÓÖÞع º Ð ÞÓÖÞØØÖÒ ÚÝ Ò ÚÐ ÖØò Ð Ö ÞÓÖÞØ ØÐ Òº V Ð ÞÓÖÞØØÖ ÓÖ Þ x V ÚØÓÖ Ó Þ Ò ÚÝ º À Ò Þ x =. x, x Þ ÑÓØ Öغ ÒÓÖÑ ÙÐ Þ º ÞÓÒÝØ ÞÓÒÒÐ ÚØÞ Ð ÓÝ x 2 = x, x ÓÖ ½µ ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà ¼ µ (λ + µ)x = λx + µx, λ(x + y) = λx + λy ÞØÖÙØÚØ µº ÁÁº ÞØ Òº À V Ý ÚØÓÖØÖ ÓÖ, : V V R ÚÒÝØ Ö ÚÝ Ð ÞÓÖÞØÒ ÒÚÞÞ x, y, z V λ, µ R Ð ØÒ x, y = y, x ½µ x + y, z = x, z + y, z, ¾µ λx, y = λ x, y, µ µ x, x, x, x = x = ÚÞØ ØРк ØÒµ ÙÐ Þ ØÖÒ ÒÚÞÒº ÒÝÐØ Þ ÖØ ÐÑÞÓ ØÓÖÐ ÔÓÒØ ÓÑÔØ Þ ÒÝÞØ ÐÑÞÓµº ØØк Þ ÙÐ Þ ÒÓÖÑ Ö ØÐ Ð x, x = x =, x V, ½µ λx = λ x x V, λ R, ¾µ x, y 2 x 2 y 2, µ x + y x + y x, y V. µ ÎØÓÖØÖ ÙÐ Þ ØÖ ÑØÖÙ ØÖ ÓÐÑ ÚØÓÖÓ Þ ÑÐÝØ x, y V ¹Ö x + y Ð ÖÖÐ ÚÐ ÞÓÖÞ ÑÐÝØ x V λ R ØÒ λx ÓÖ = x = º λx = λx, λx = λ 2 x, x = λ x, x = λ x ¾µ ÐÚ ÒÓÖÑ Ò Ø Ð ÞÓÖÞØ ÒÝÞØÝ Ð ÞÒ Ðк V ¹Ø Ø ÑòÚÐØØÐ ÚØÓÖØÖÒ ÚÝ ÐÒ Ö ØÖÒµ ÒÚÞÞ ØÙÐÓÒ Øµº ÖÑÐÝ x, y, z V, λ, µ R ØÒ x + y = y + x ÓÑÑÙØØÚØ µ ½µ x + (y + z) = (x + y) + z ÞÓØÚØ µ ¾µ µ x + λy 2 = x + λy, x + λy = x, x + 2λ x, y + λ 2 y, y = = λ 2 y 2 + 2λ x, y + x 2 ( x, y V, λ R)

21 ÑÓÒÙ ÓÝ d : V V R ÚÒÝ Ø ÚÓÐ ÚÝ ÑØÖ ÞØ ¹Òº V ÓÐ ÓÖ ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ d ÑØÖ X¹Ò X¹Ø ØÙÐÓÒ ØÖÒ ÒÚÞÞº ÂÐÐ (X, d)º ÑØÖÙ dimh =. sup{d(x, y) x, y Þ ÑÓØ H} ØÑÖÒ ÓÖ H ÒÚÞÞº Ý ÞÖòÒ Ð ØØ ÓÝ H X (H ) ÔÓÒØÓ Ò ÅÝÞ º ÓÖÐ ØÓ X r R ÓÝ d(x, ) < r x H ØÒº ÓÖ R 2 = R R Ý ÑÓÐÐØ ÖÔÖÞÒØ Øµ Ñ Ö Ãй ÅÝÞ º Áº κ ÞØÒ ÑØÙ ÑÒØ Ð ÖØ ¹Ð ÓÓÖ¹ ÙÐÙ Þ ÑÝÒ ÑÐÝÒ ¼ ÔÓÒØ (, ) ÔÓÒØ Þ Ý Ø ÓÐÝÒ Ý ÐÐ ÓÝ ÓÒÒÒ Ö Ô ÒÞÚ Þ y¹øòðý ÔÓÞØÚ ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà ¾ ÎÃÌÇÊÌÊ ÍÃÄÁËÁ ÌÊ Ë ÅÌÊÁÃÍË ÌÊ ÇÄÅ ½ Ñ ÓÓ ÚÒÝ ÑÖØ ØÙÐÓÒ µ ÝÒÐØÐÒ ÐÐØ Ø y 2 > y = Ý Þ ÐÐØ ÒÝÐÚ ÒÚÐÒ Þ Þ x, = y = ÑØغ x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + y x, y µ x 2 + y x, y x 2 + y x y = ( x + y ) 2 Òº (X, d) ÑØÖÙ ØÖº Þ X r (> ) ÙÖ º ÄÝÒ K(, r) =. {x X d(x, ) < r} ÐÑÞØ ÑÖÒÝÞØÒ ÒÝÐØ Öغ Òº ÄÝÒ (X, d) ÑØÖÙ ØÖº H X ÓÖÐ ØÓ H = º H ØÒ r R ÓÝ x, y H¹Ö d(x, y) rº ÚÝ Þ ÝÒÐØÐÒ ÑÖØ ØÙÐÓÒ Þ ÐÐØ Øº ÅÒÒ Þ ½µ¹µ ØÙÐÓÒ ÓØ ØÐ Ø. : V R ÅÝÞ º ÒÓÖÑ Ò ÒÚÞÒ V ¹Òº ÚÒÝØ Òº À V Ð ÞÓÖÞØØÖ ÚÝ ÙÐ Þ ØÖµ ÓÖ Þ x, y º ÚØÓÖÓ ÙÐ Þ Ø ÚÓÐ Ò V d(x, y) =. x Þ ÑÓØ ÖØ y Þ R n ÙÐ Þ ØÖ ØØк V ¹Ð ÙÐ Þ Ø ÚÓÐ Ö ØÐ Ð d(x, y), d(x, y) = x = y, x, y V, ½µ d(x, y) = d(y, x) x, y V, ¾µ d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z V. µ º ÞÓÒÝØ d(x, y) = x y d(x, y) = =, x = y; ½µ ¾µ d(x, y) = x y = (y x) = y x = d(y, x) µ d(x, z) = x z = (x y) + (y z) x y + y z = = d(x, y) + d(y, z)º Òº ÄÝÒ R. = R n Ñ Ö N¹Ö R n ÓÖ ÖØÐÑÞØØ R n+. = R n R n ÐÑØ (x Rº,...,x n ÐÐ ÖÒÞØØ ÚÐ )¹ÒÐ Ñ n¹ Ò ÒÚÞÞ ÓÐ Þ (x,..., x n ) = (y,...,y n ) x = y,..., x n = y n. x =. À (x,...,x n ) ÓÖ Þ R x i Þ x ÓÓÖÒ Ø Ò R n n ¹Ø ÚÝ ÚØÓÖÓÒ ÒÚÞÞº ÔÓÒØÓÒ ÐÑØ Ó R n. n Þ ËÞÓ = R R ÞØ ÑÓÒÙ Þ ÐÐ R n R n¹ ÞÖ ÖØ ¹ ÞÓÖÞغ ÚØØ ÚÐ ÒÑ Òº ÄÝÒ X Ý ÒÑÖ ÐÑÞº À ÖØÐÑÞÚ ÚÒ Ý º d : X X ÚÒÝ Þ R d(x, y), d(x, y) = x = y, x, y X, ½µ d(x, y) = d(y, x) x, y X, ¾µ d(x, z) d(x, y) + d(y, z) x, y, z X µ ØÖÒ ÞÖغ Ò R 3 = R R Ý ÑÓÐÐ ÖÔÖÞÒØ µ Þ Ð ÑÓÒ R ØÖÐ ÖØ ¹Ð ÓÓÖÒ ØÖÒ ÞÖº ÚÞØØØ ÓØØ Ð ÖØ ¹Ð ÓÓÖÒ ØÖÒ ÞÖ Ý ÒÒ À (, ÓÓÖÒ Ø ÔÓÒØ Ò ÐÐØ ÙÒ ÑÖÐ ÝÒ Ø ÑÐÝ Ý ) R d(x, y) =. x y Ñ V ÙÐ Þ ØÖ d(x, y) =. ÅÝÞ º x ÑØÖ ÚÐ ÑØÖÙ ØÖº y Ð ÚØ Ø Þ x¹øòðýº Þ ØÒÐÝØ z¹øòðýò ÒÚÞ¹ ÓÖ Øº

22 ØÖ ÔÓÒØ ÚÐ Þ Ñ ÖÑ ÓÐ R 3 ÐÑÚÐ ÐÐÑÞ¹ ÓÖ ÓÖØÚº Ø ØØк R n ÑÓ Ø ÖØÐÑÞØØ Ø ÑòÚÐØØÐ ÚØÓÖØÖ ÚÝ ÐÒ Ö ØÖµº Ò ÐØ ÒÓÖÑ ÐÐØÚ Ø ÚÓÐ ÑØÖµ ØÐ Ø ÒÓÖÑ ÐÐØÚ ÞÖÒØ ØÙÐÓÒ Øº ÑØÖ z P(x,y, z) º Ð ÞÓÖÞØ ØÙÐÓÒ Ò ÐÐÒÖÞ Úк ÞÓÒÝØ ½µ¹µ x = (x º ØØк À,...,x n ), y = (y,..., y n ) ÓÖ Þ R n x =. x, x =. n x 2 i, d(x, y) =. x y =. n (x i y i ) 2 ÐÐØÚ ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà R n ÍÃÄÁËÁ ÌÊ y ÞÓÒÝØ º Ý ÞÖò Ðصº x ÅÝÞ º º ØØÐÒ Ò ÐØ Ð Ö Ð µ ÞÓÖÞØØÐ ÒÓÖÑ ÚРй P (x, y) ØÖ ÔÓÒØÓÞ Þ (x, y, z) R 3 ÖÒÞØØ Þ Ñ ÖÑ ÓØ Ø¹ ÐØ ÓÞÞ ÖÒÐÒ Ý ÓÝ Ý P ÔÓÒØÓÞ ÖÒÐØ z ÓÓÖÒ Ø ÚÒ ¹Ð P ØÒÐÝÖ Ó ØÓØØ ÑÖÐ ØÐÔÔÓÒØ Ò ÑÐÐ Þ Ñ z z Þ ÑÝÒ Ò Ñ P P ÔÓÒØ ÑÖÐ ÚØÐØ Ö Ý x y P Ø Ð ÖØ ¹Ð ÓÓÖÒ ØÖÒ ÞÖÒº ÓÓÖÒ Ø ÚÓÐ Ð ÑØÖ Úе R n ÙÐ Þ ØÖ ÙÐ Þ ÒÓÖÑ ÚÐ ÐØÚ ÑØÖ Úк (R n, d)¹ø n¹ñòþ ÙÐ Þ ØÖÒ ÒÚÞº À n Ý = d(x, y) =. x y (x, y Ø ÚÓÐ Ð R) (R, d) = ÑØÖÙ ØÖ ÞÒ (R, ØÐ Ø ÑØÖ ØÙÐÓÒ Øº d) d Þ R n ÔÓÒØ ÚØÓÖµ r ÙÖ ÒÝÐØ ÑÖÒÝÞØ º K(, r) =. {x R n d(x, ) < r} ÐÑÞ ÓÐ d Þ R n ¹Ð ÙÐ Þ Ø ÚÓÐ º Òº ÄÝÒ ÓØØ Þ R n ÐÑÞ ÖØÐÑÞÞ ÒÒ Þ Þ¹ Ð ÖÖÐ ÚÐ ÞÓÖÞ ÑòÚÐØØ x + y. = (x + y,...,x n + y n ), ÐÐØÚ λx. = (λx,..., λx n ) ÞÖÒØ x = (x,..., x n ), y = (y,...,y n ) R n λ R. ÓÖÐ ØÓ Þ ØÑÖ ÓÐÑ (R n, d)¹ò ÙÝÒÞ ÑÒØ (X, d)¹ º Òº ØÓÚ ÓÝ H (R n, d) ÓÖÐ ØÓ r R, H ÁÞ K(, r) ÞÞ x < r x Hµº º R n ØÓÔÓÐ º ÚØÓÖØÖ ½µ¹µ ØÙÐÓÒ Ý ÞÖòÒ ÐÐÒÖÞغ ÞÓÒÝØ =. (,..., n ). ÒÙÐÐÐÑ ØØк x = (x À,...,x n ), y = (y,..., y n ) Ý R x, y =. n x y + + x n y n Þ (R n, d) ÑØÖÙ ØÖÒ Ý R n ÚØÓÖ ÔÓÒØ ÚÝ ÐÑ r > ÙÖ ÒÝÐØ ÑÖÒÝÞØÒ K(, r) = {x R n d(x, ) < r} ÖØØØ ÐÑÞØ ÓÐ d(x, ) =. n (x i i ) 2 R n ¹Ð ÑØÖ ÞÖÔк À Þ ÑÐÒÞØØ ÓÖ ÞÓ d R n ÐÐ Þ R n ¹Ð Ø ÚÓÐ Ö ÑØÖ Öµº Ð Ö ÚÝ Ð µ ÞÓÖÞØ R n ¹Òº

23 Òº ÄÝÒ ÓØØ E (R n, d) ÐÑÞº ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ x E Ð ÔÓÒØ E¹Ò K(x, r) ÓÝ K(x, r) E x R n Ø ÖÔÓÒØ E¹Ò ÒÑ Ð ÒÑ Ð ÔÓÒØ K(x, r)¹ö K(x, r) E K(x, r) CE µº ÞÞ Ð ÔÓÒØÓ ÐÑÞ Ø E Ð Ò Ø ÖÔÓÒØÓ ÐÑÞ Ø E Ø ¹ Ò ÒÚÞÞº Ö Òº Þ E (R n, d) ÐÑÞØ ÒÝÐØÒ ÒÚÞÞ ÑÒÒ Ð ÔÓÒØ Þ ÖØÒ ÒÚÞÞ CE ÒÝÐغ ÔÓÒØ ÒÝÐØ ÐÑÞÓ Ý Ø ÒÝÐØ ¾µ Ú Ó ÒÝÐØ ÐÑÞ ÑØ ÞØ ÒÝÐØ µ R n Þ ÖØ ÐÑÞÓ ½µ Þ ÖØ ÐÑÞÓ ÑØ ÞØ Þ ÖØ ¾µ Òº ÄÝÒ ÓØØ E (R n, d)º Þ x º R n Þ E й ÔÓÒØÓØ ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ò ÒÚÞÞ K(x ÑÞ, r) (R n ÖÒÝÞØ ¹Ðµ º ÈÐ Þ E = {( n, ) n N} R2 ÐÑÞÒ (, ) ÔÓÒØ ØÓÖÐ ØØк Þ E (R n, d) ÓÖ ÓÖ Þ ÖØ E E ÞÞ ÑÒÒ ØÓÖÐ ÔÓÒØ Øµº ØÖØÐÑÞÞ ØØÐ ÓÐÞÒÓ¹ÏÖ ØÖ µº ÖÑÐÝ S R n ÓÖÐ ØÓ ÚØÐÒ º ÐØÞ ØÓÖÐ ÔÓÒغ ÐÑÞÒ Òº K R n ÐÑÞ ÓÑÔØ ÑÒÒ ÒÝÐØ Ð Ð º Ð ÞØØ Ú Ó ÐÑÞ ÑÐÝ Ð K¹Øº Ú ÓØØ ÒÝÐØ Ð ÑÖ ÐÑÞ Ñ Ö ÒÑ Ð ÐÒ Ý ÞÐ Ú Ó Ñ Ø Ðº E¹Ø ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà º R n ÌÇÈÇÄÁý x R n Ð ÔÓÒØ E¹Ò Ð ÔÓÒØ CE¹Ò K(x, r), K(x, r) E = µ ÞÞ x ØÖØÐÑÞ ÐÒÞ E¹Ð ÔÓÒØÓØ ÞÞ (K(x ¹ØÐ, r)\{x }) E º ØÓÖÐ ÔÓÒØÒ ÐÑÞ Ø ÞÓ E E ÐÐÒº ¹ÚÐ x ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ E¹Ò ÒÑ ØÓÖÐ ÔÓÒØ ÞÞ E K(x r), ÓÝ (K(x, r)\{x }) E = º ÄÝÒ E =], [ ], [ R 2 º Èк ( 2, 2 ) K(( 2, 2 ), 4 ) ( 2, 2 ) 4 ÔÓÒØ Ð ÔÓÒØ E¹Ò ÑÖØ K(( 2, 2 ), 4 ) ], [ ], ÔÐ ÙÐ Þ ØÐ Ø ÓÝ [º ÙÖ ÖÒÝÞص (3, ) K((3, ), ) ÑØØ E = K((3, ), ) Ð ÔÓÒØ E¹Ò ÑÖØ C R 2E ÞÞ (3, ) Ð ÔÓÒØ C R 2E¹Òº (, ) ØÒ r > K((, ), ¹ r) Ø ÖÔÓÒØ E¹Ò ÑÖØ E ( + r 2, ) K((, ), ( + r Eµ ÑØØ ÒÑ Ð ÞÒ 2, ) / r) K((, ), r) CE ( r ÒÑ Ð ÔÓÒØ E¹Òº ÑØØ 2, ) Eµ ÞÒ (, ) ÑÖØ / K((, r)¹ò ÚÒ ÐÑ E¹Ò ÞÒ ÔÓÒØ ), Eµ ¹Ö ÑÖØ ÐÐÖÐ ÒÑ ÓÖÐ ØÓ r > N N ÓÝ n n > r < n < (, n ) K((, ), r)º Ý r ÞÞ Þ E = N N = {(n, n) n N} R 2 ÐÑÞ ÑÒÒ ÔÓÒØ ÞÓÐ ÐØ ÑÖØ n N¹Ö (K((n, n), ) \ (n, n)) E = º ÔÓÒØ Òº ÆÝÐØ ÐÑÞÓ Ý {o º ν ÖÒ ÞÖ Þ } S R n ÐÑÞÒ ÒÝÐØ Ð S Ý o ν º ν º ÈÐ E =], [ ], [ R ÒÝÐØ ÐÑÞ ÑÖØ (x, y) E ØÒ r = min{x, x, y, y} ÓÖ K((x, y), r) Eº E = [, + [ ], Þ ÖØ ÐÑÞ ÑÖØ + [ (x, y) ØÒ CE r = x ÓÖ x 2 K((x, y), 2 ) CE ÞÞ (x, Ð ÔÓÒØ Ý y) CE Þ E = N N R 2 {K((n, n), ) n N} ÐÑÞ¹ Èк ÐÑÞÒ ÒÝÐØ Ð ÑÖØ ÖÑÐÝ n N¹Ö (n, n) K((n, n), ) ÖÒ ÞÖ Ý (n, n) K((i, ) ÞÞ i), E K((i, )º i), Ý ÒÝÐØ Ø Ø E Þ Öغ ØØк Þ (R n, d) ÑØÖÙ ØÖÒ Þ ÚØÞ R n ÒÝÐØ ÐÑÞÓ ½µ º ÈÐ E = N N ÒÑ ÓÑÔØ ÑÖØ ÖÑÐÝ K((n, n), ) ÐÝ ÚÐ Þ ÐÐØÚ K = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ÓÑÔØ ÐÑÞ ÑÖØ K ÖÑÐÝ o Ð ØÒ K o ÑØØ ÐØÞ o ÒÝÐØ, o 2, o 3, o 4 ÐÑÞÓ ÒÝÐØ o¹ð ÓÝ (i, i) o i (i =, 2, 3, 4) Ý K 4 o i ÞÞ ÖÑÐÝ o¹ð Ú Ð ÞØØ Ú Ð º µ Ú Ó Þ ÖØ ÐÑÞ Ý Ø Þ Öغ

24 ØØÐ ÀÒ¹ÓÖеº Ý K R n ÐÑÞ ÓÖ ÓÖ º ÓÖÐ ØÓ Þ Öغ ÓÑÔØ º ÈÐ K = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} ÐÑÞ ÓÑÔØ ÑÖØ ÓÖÐ ØÓ ÐÞÒ Ò ÐØÙ ÚØÓÖØÖØ Ð Ö ÞÓÖÞØÓØ ÚØÓ¹ Þ ÙÐ Þ ÒÓÖÑ Ø ÚØÓÖÓ ÙÐ Þ Ø ÚÓÐ Ø ÐÐØÚ ÞÞ ÖÓ ÞÐÒº ÖÜÖÐ n m ØÔÙ Ñ ØÖÜÒ Þ ÑÓØ n ÓÖ m Ó ÞÐÓÔ ¹ Þ Ñ ØÖÜ ÞÓÒÓ ØÔÙ ÓÖ Ó ÞÐÓÔ Þ Ñ Ñ¹ ÃØ ÝÞº Þ A ÓÖ A ÓÖ A Ó ÞÐÓÔºµ Ó ÞÐÓÔ À A ÚØÖØÙ Ñ ØÖÜ ÓÖ Þ º,..., nn ÑÓ A ¹ Þ Ð Ø ÐÓØ º ÓÒ À ÚÖØÙ Ñ ØÖÜ ÓÒ Ð Ò ÙÔ ½ ÐÐ Ø ÐÑ º ØÖܺ Ñ n m¹ Ñ ØÖÜÓ Ø ÑòÚÐØÖ ÒÞÚ ÚØÓÖØÖØ ÐÓØÒº Þ ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà º ÌÇÎýÁ ÄÁÆýÊÁË ÄÊÁ ÄÁËÅÊÌÃ Ó ÞÐÓÔ Ò ÚÒ Þ ÒÜ Þ Ý j¹ ij Þ Ð ÓÖ¹ ÐÐ Ñ Ó Þ Ó ÞÓÐÔÒܵº ÔÐ ÙÐ K K((, ), )µ Þ ÖØ ÑÖØ ÒÒ ØÓÖÐ ÔÓÒصº E = N N ÒÑ ÓÑÔØ ÑÖØ ÒÑ ÓÖÐ ØÓ ÙÝÒ d((, ), (n, n)) = (n ) 2 N ÐÐÖÐ ÒÑ ÓÖÐ ØÓ ÑØØ ÒÑ ÐØÞ r > ÓÝ d((i, i), (j, j)) < r ØÐ ÐÒ ÖÑÐÝ i, j N¹Öº Òº Þ (X, d) ÑØÖÙ ØÖ Þ ÒÑ ÐØÞ X¹Ò º ÒÑÖ o ÓÐÝÒ, o 2 Ö ÞÐÑÞ ÓÝ o ÒÝÐØ o 2 = o o 2 Xº = Ñ ØÖÜ ÝÒÐ ÞÓÒÓ ØÔÙ Þ ÝÑ Ò ÑÐÐ ÃØ ÐÚ ÐÑ ÝÒк ÐÝÒ ÅÝÞ º Þ... º A = º... H ( ) X Þ X¹Ò (H, d) Þ ÑØÖÙ ØÖº d ÑØÖ H H¹Ö ÚÐ Ð ÞòØ Ø d¹úð ÐÐ (H, d) ÚÐÒ ÑØÖÙ ØÖºµ º ØØк (R n, d) Þº Þ A =... n Ñ ØÖÜÓØ ÒÙÐÐ¹Ñ ØÖÜÒ ÒÚÞÞ ÞÞ ij = µº º m... nm A º º ÌÓÚ ÐÒ Ö ÐÖ Ð ÑÖØ Ñ ØÖÜÓØ Þ A Ñ ØÖÜ ØÖÒ ÞÔÓÒ ÐØ Ñ ØÖÜ Ò ÒÚÞÞº Ô Ð Ò Þ R n ÙÐ Þ ØÖغ Ô ÓÐÚ ÚØÞÒ ÐÒ Ö ÐÖ Ò ÒÝ ÓÐÝÒ ÞÖØ Ñ¹ Ñò Ø ÖÝÒ Ö ÞÐØ Ò ÚÞ Ðص ÓÐÑ Ø ÚÞØ ØÑØ Ò Þ Ò Ðº ÑÐÝÖ Òº Ñ n¹ ÞÖ Ý Þ º º m... m A = = ( ij ) n m n... nm ÒÙÐÐ Ý Ñ ÞÐÒ ÓÖ ØÖÜÖÐ Ô... º E = ºº º º... Òº À A = ( ij ) n m, B = (b ij ) n m Ñ ØÖÜÓ ÓÖ ÓØØ Þ Þ C n n¹ Ñ ØÖÜ ÑÐÝÖ ÞÓ C. = A + B. = ( ij + b ij ) n m = (c ij ) n m. ÐÖÒÞ Ø n m¹ Ñ ØÖÜÒ Þ Ð ij ÑÓØ Ñ ØÖÜ Þ ÒÚÞÞº À n = m ÓÖ ÒÝÞØ ÚÖØÙ µ Ñ Ø¹ ÐÑÒ A = ( Þ ij ) n m ØÖÜ λ R Ð ÖÖÐ ÚÐ ÞÓÖÞØ Ñ λa =. (λ ij ) n m ÐÝÞØ Ðº ÞØ ØÒÝØ ÓÝ Ý Þ Ñ Þ A Ñ ØÖÜ i¹ ÓÖ Ò

25 ÐØ Ý ÒÚÖÞ Þ (A ) = Aº À A B ÒÚÖØ ÐØ ÒÚÖØ (AB) = B A º À A ÒÚÖØ ÐØ Ý (A ) = (A ) º ÓÖ ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà ¼ º ÌÇÎýÁ ÄÁÆýÊÁË ÄÊÁ ÄÁËÅÊÌà À Èк A = ÓÖ ( ) 3 4, B = 2 2 ( ) 3, λ = 5, 3 2 ( ) ( ) A + B = =, ( ) ( ) A = = (x,..., x n ) ÝÖØÐÑò ÑÐÐØØ ÐÒ Ö ÞÓÑÓÖ Ø Ò R n Úй Ð Ò Ò Þ n ÐÐØÚ n ØÔÙ Ñ ØÖÜÓ ÚØÓÖØÖ ÞØغ ÑÒØ R n ÐÑØ Ñ Ø ÒÑ ÑÓÒÙÒ Ó ÞÐÓÔÑ ØÖÜÓÐ ÚØÞÒ ÐÙº ÖÔÖÞÒØ x º x n Òº A = ( º Þ ik ) n m B = (b kj ) m p ÞÓÖÞØ Ñ ØÖÜÓ C n p ØÔÙ Ñ ØÖÜ ÑÐÝÒ Þ m c ij = ik b kj, ÞÞ k= ( A B =. C =. m ). (c ij ) n p = ik b kj k= n p. Òº Þ A ÚÖØÙ Ñ ØÖÜ ÒÚÖØ ÐØ ÐØÞ ÓÐÝÒ º Ñ ØÖÜ ÑÐÝÖ X AX = X A = E A n n ØÔÙ ÓÖ ÐØÞ n n ØÔÙ Ý Ñ ØÖܵº X¹Ø Þ ÒÚÖÞ Ñ ØÖÜ Ò ÒÚÞÞº A ØØк À A ÒÚÖØ ÐØ ÓÖ Ý ÒÚÖÞ ÚÒº À A ÒÚÖØ Ð¹ Ý ÒÚÖÞØ A ÐÐ ÖÖ AA = A A = E ØРкµ À A Ø Èк À A = ( ) 2 3, B = 2 2, Òº Ý A = ( º ij ) n n Ñ ØÖÜÓÞ ÖÒÐÒ ÓÞÞ ÚÖØÙ ÚÐ Þ ÑÓØ Ý ÓÝ Ý ÓÖ A B = ( ) = ( ) ÑÒÒ ÓÖÐ Ú Ð ÞØÙÒ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÐÑØ Ý ÓÝ ÑÒÒ ÐÝÒ Ú Ð ÞØÚ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÐÑ Ó ÞÐÓÔÐ ÞÒ ÐÑØ Þ ÞÓÖÓÞÞÙ ÔÓÞØÚ ÚÝ ÒØÚ ÐÐÐРРع Ð ÞÖÒØ ÓÝ Ú Ð ÞØÓØØ ÐÑ ÑÒÒÝÒ ÓÖÒÜ Ù ØØк Ñ ØÖÜ ÞÓÖÞ ÓÒØÓ ØÙÐÓÒ A (B C) = (A B) C, A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C, (λa) B = λ(a B) = A (λb), ÐØÐ Ò A B B Aµº Þ n ØÔÙ Ñ ØÖÜÓØ ÓÖÑ ØÖÜÒ Ñ Þ n ÅÝÞ º Ó ÞÐÓÔÑ ØÖÜÒ ÒÚÞÞº Þ ØÔÙ Ø (x,..., x n ) (x... x n ) ÓÖÖÒÒ ÚÒÒµ Ó ÞÐÓÔÒÜÒ ÔÖÑÙØ Ò ØÖÑ ÞØ ÒÚÖÞ Ð ÖÐØ Ðѵ Þ Ñ Ô ÖÓ ÚÝ Ô ÖØÐÒº Þ ØÓØ ÑÒÒ ÐØ ÑÓÒ ÔÞÚ ÞÙº Ý ÔÓØØ D Þ ÑÓØ Þ ( Þ ij ) n n ØÖÜ ØÖÑÒ Ò Ò ÒÚÞÞ Ñ ÐÐ n¹öòò ØÖÑÒ Ò µº... n D = º = º A n... nn

26 Ý ØÖÑÒ Ò º ik ØÖØÓÞ ÙÒ ÐØ ÐÖ ÐØÖ¹ ÐÑÞ Ò ÓÒ ÞØ Þ A ÑÒ ik n ¹ÖÒò ØÖÑÒ Ò Ø ÖØ ÑÐÝ Þ Þ i¹ ÓÖ k¹ Ó ÞÐÓÔ ÐÝ ÚРй ÖØÐ ØÚ ( ) i+k ÐÐÐк Ð ØØк Ý A = ( º ij ) n n ØÖÜ ØÖÑÒ Ò ÖÒÐÞ Þ Ð Ñ ÓÐ ØÙÐÓÒ ÖØ ÒÑ Ú ÐØÓÞ Ý ÓÖ ÓÞ ÓÞÞ Ù Ý Ñ ÓÖ Ø º ÒÒ Ø ÞÖ Øº ÚÝ ØØÐ ØÖÑÒ Ò Ó ÞÓÖÞ ØØеº ÃØ ÙÝÒÓÐÝÒ ÖÒò Ú¹ º Ñ ØÖÜ ØÖÑÒ Ò Ò ÞÓÖÞØ ÝÒÐ ÞÓÖÞØÑ ØÖÜ ØÖ¹ ÖØÙ ¾ º ÌÇÎýÁ ÄÁÆýÊÁË ÄÊÁ ÄÁËÅÊÌà ½ ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà º ÈÐ D = k,...,k n ( ) I k nkn ÓÐ I k,..., k n ÔÖÑÙØ Ò ÐÚ ÒÚÖÞ Þ Ñº Þ Þ n! ØÓØ ØÖØÐÑÞº ÐÔ Ò Ò = 2 2 2, º... n... n... n º º º º º º i + b i... in + b in = i... in + b i... b in º º º º º º n... nn n... nn n... nn ØÓÚ = ( ). À Ø ÓÖ Ø Ð ÖÐ ÖØ ( )¹ ÞÖ Ö Ú ÐØÓÞº º À Ø ÓÖ ÑÝÞ ÖØ ¼º º ÖØ Ú ÐØÓÞ ÓÖØ Ó ÞÓÐÔØ Ð Öк º ÒÑ D = n º ik A ik ØØеº Ø k= ÅÒÞ ÑÓÐÑÞØ ÓÖÓ ÐÝØØ Ó ÞÐÓÔÓÖ º ÈÐ ÙÐ Ò ØÖÑÒ ØÒ A 2 = ( ) = (2 5 4) = 6. À ÓÖ Ó ÞÐÓÔ ÙÔ ÚÒ D º ÚÐÑÐÝ Òµ ÓÖ ¼ Ò =... n º º... n λ i... λ in = λ º º º º n... nn n... nn Èк 3 2 D = Ò Þ ÑØ Ò Ð Ð ÞÖò Þ ÙØÓÐ Ó ÞÐÓÔ ÞÖÒØ Ð ØÖÑÒ ÑÖØ ÓÖ Ø 3 3¹ ØÖÑÒ Ò Ø ÐÐ Þ ÑÓÐÒ ÓÐÓÞÒ ÑÖØ 3 4 D = ( ) ( ) ( ) ( ) = ÑÒ Ò ÚÐ A B = A B ÞÓÒÝØ º Ò ÐÔ Òº

27 ØØк À Þ A ÚÖØÙ Ñ ØÖÜ ÒÚØ ÐØ ÓÖ ØÖÑÒ Ò º ¼ ÞÞ A ÖÙÐ Ö Ñ ØÖܵº ÒÑ ØØк À A ÓÐÝÒ ÚÖØÙ Ñ ØÖÜ ÓÝ A ÞÞ A ÖÙÐ ¹ º ÓÖ A ÒÚÖØ ÐØ A ÒÚÖÞÖ Ö µ ÓÐ A ØÐ Ð ji A = ( Þ ji ) n n ØÖÜ Ñ ij ØÖØÓÞ ÙÒ ÐØ ÐÑÞ ÐØÖÑÒ Ò º ÐÖ Òº Þ A : R n R m ÐÔÞ Ø ØÖÒ ÞÓÖÑ Øµ ÐÒ ¹ º ÒÚÞÞ Ö Ò ØРк A : R n R m ÐÒ Ö ÐÔÞ Þ Ø ÞÓ L(R n, R m )¹ Þ ÖØÐÑÞØØ ÐÔÞ ØÖÒ ÞÓÖÑ µ A : R n R m ØÔÙ ÐÒ¹ ÞÖÒØ ÐÔÞ ØÖÒ ÞÓÖÑ µº Ö ÞÓÒÝØ º ÅØÐ ÐØ ÞÖØ ÑØÑØ ÝÞØÒº AA = ( ) ÁÁº ÎÃÇÌÇÊÌÊà ÍÃÄÁËÁ ÌÊà ÅÌÊÁÃÍË ÌÊà º ÌÇÎýÁ ÄÁÆýÊÁË ÄÊÁ ÄÁËÅÊÌà ÚÐÒ ØРк º A ÒÚÖØ ÐØ Ý ÐØÞ Þ A ÒÚÖÞ ÑÐÝÖ A A = ÞÓÒÝØ Ý ÞÓÖÞ ØØÐ ÑØØ Eº ÑÐ A ÚØÞº = E = A A = A A, A(x + y) = A(x) + A(y), x, y R n, A(λx) = λa(x), x R n, λ R A = A A A 2... A n A 2 A A n2 = A (A ji) º n n º ÑÐ ÐÐÒº ÄÝÒ A m n¹ Ñ ØÖÜ Ý Þ ÅÝÞ º A(x) =. A x (x R n ) A n A 2n... A nn º ÃÒÒÝÒ Ð ØØ ÓÝ ÞÓÒÝØ js A is = δ ij A ÓÐ, δ ij = s= Ò Ö ÞÙØ Ñ AA = A ij A kj j= n n {, j = i,, j i. = A (δ ik A ) = (δ ik ) n n = E ÞÞ A A ÚØÞ Þ ÒÚÖÞº ( ) 2 ÄÝÒ A ÓÖ = A = 2 Ý ÐØÞ A 3 4 Èк A = ( ) + 4 = 4, A 2 = ( ) 2+ 2 = 2, A 2 = ( ) +2 3 = 4, A 22 = ( ) 2+2 = ÑØØ A = ( ) ( ) = , 2 Ö ÞØ ÖÑÐÝ A : R n R m ÐÒ Ö ÐÔÞ Å A(x) = A x (x R n, A m n¹ Ñ ØÖÜ) Öغ Ð ÖÑÐÝ A : R n R m ÐÒ Ö ÐÔÞ ÞÓÒÓ ØØ Ý A m n¹ Ý Ñ ØÖÜ Þк Òº À A L(R n, R m ) ÓÖ Þ º A =. sup { Ax } x Þ ÑÓØ Þ A ÐÒ Ö ÐÔÞ ÒÓÖÑ Ò ÒÚÞÞº ØØк ÒÓÖÑ ÓÒØÓ ØÙÐÓÒ º Ax A x ; A < + ; A + B A + B ; λa = λ A ; BA B A ; (A L(R n, R m ), B L(R m, R k )).

28 Òº Ý f : N R k ÚÒÝØ R k ¹Ð ÓÖÓÞØÒ ÒÚ¹ ÓÖÓÞØ n¹ ÐÑØ f(n), ÞÒº n, x n Ñ µ Ðк ÓÖÓÞØ ÚÝ ÅÝÞ º ÖÒÝÞØ ÓÐÑ Ø Ð ÞÒ ÐÚ ÓÒÚÖÒ Òº ÖÒÝÞØ ØØÐ Ø ÖÖØ ÝÖØÐÑò µº À x n R k ÓÒÚÖÒ ¹Ð ÓÖ Ý Ø ÖÖØ ÚÒ ÞÞ x ÓÖÓÞØ n x n b = bµº = ØØÐ ÓÒÚÖÒ ÓÖÐ ØÓ µº À Þ x n (R k ÓÖÓÞØ ¹Ðµ ÓÖ ÓÖÐ ØÓ º ÓÒÚÖÒ ÁÁÁº ËÇÊÇÌÇà R k ¹Æ ÁÁÁº ÞØ ËÓÖÓÞØÓ R k ¹Ò ÞØ ÓÐÑ ÖÑÒÝ ÞÓÖÓ ÒÐ Ø ÑÙØØÒ Þ Ñ¹ Ð ØÒÙÐØÐ Ð ÃÐÙÐÙ Áº ÁÁÁº Þصº ÓÖÓÞØÓÒ Ò Þ x º ÓÒÚÖÒµº n R k ÓÒÚÖÒ ¹Ð ÓÖÓÞØ x R ÓÝ ε > ØÒ n(ε) N ÓÝ n n(ε)¹ö d(x, x n ) = x x k n ØРк Þ < ε x R k ÚØÓÖØ ÐÑص Þ ÑÓØ x n ÖÖØÒ ÒÚÞÞº ÞØ ÓÝ x Ø n Ø ÖÖØ ÓÒÚÖÒ ÐÐ lim x x n = x ÚÝ x Ý n xº n Èк Þ ( n, ) R 2 ¹Ð ÓÖÓÞØ ÓÒÚÖÒ Ø ÖÖØ (, ) R 2 º ÓÖ ÞØ ÐÐ ÑÑÙØØÒ ÓÝ ÖÑÐÝ ε > ¹ÓÞ ÐØÞ n(ε) N n n(ε) ØÒ ÖÑÐÝ (n ÓÝ N) (( ) ) ( ) 2 d R 2 n,, (, ) = n + ( ) 2 = n < ε. Þ Ô Þ Þ n ÚÐ Þ Ñ ÓÖÓÞØ ÓÒÚÖÒ ÑØغ ÐÔÓÐÑ Ô ÓÐØÙ ÐÑÞ Þ { ÐÑÒ Ö n } {x ÚÝ n Ñ µ ÐÐ Ø ÞÒ ÐÙÒº } ÚÝ ÓÖÓÞØÓØ Þ f =. Å Ø n f =. x ÚÝ n Ñ µ ÞÑÐÙÑÑÐ ÚÝ Ø ÔÙ Þ x Ò n ÓÖÓÞØ ÓÒÚÖÒ x R ÓÝ K(x, k n(ε) N ÓÝ n n(ε)¹ö x ε)¹óþ n K(x, ØРк ε) Ý ÞÖòÒ Ð ØØ ÓÝ x n x ε)¹ö K(x, x n K(x, ε) Ú Ó n N ÚØÐÚк ÐÐ ( n, + ) ( {( 2 Þ n Èк R 2 n, + 2 n) Þ ¹Ð ÓÖÓÞØ n¹ Ø n, + n) 2 ÐÑÒ ÐÑÞ n N } º Ò ÓÖÐ ØÓ µº Þ x n R k ÓÖÓÞØ ÓÖÐ ØÓ {x ¹Ð n } ØÓ º ÓÖÐ Ò ÚÖÒµº Þ x º n R k ÓÖÓÞØ ÚÖÒ ÒÑ ¹Ð ÞÞ x ØÒ ε > ( K(x, ε)) ÓÝ n(ε) N¹Ö ÓÒÚÖÒ n n(ε) ÓÝ d(x, x n ) ε ( x n / ε))º K(x, Þ (n, ) R 2 ¹Ð ÓÖÓÞØ ÚÖÒ ÑÑÙØØÙ ÓÝ Èк ÖÑÐÝ (x, y) R 2 ØÒ ÐØÞ K((x, y), ε) ÓÝ ÖÑÐÝ n(ε) N¹ Ðк ( n, + n) 2 Èк Þ R 2 ÓÖÐ ØÓ ÑÖØ ÐÑÒ {( ¹Ð ÓÖÓÞØ n, + ) } 2 n n N ØÓ º ÁÁº º ÑÝÞ ÑØØ ÓÖÐ ÐÑÞ ÐØÞ n ÓÝ (n, ) / K((x, ε)º Ö y), ( n(ε) (x, y) ÓÝ R y ÓÖ ÒÝÐÚ Ò ε = y 2 K (x, y), y 2 ¹Ö 2 À ) ÒÑ ÑÑÙØØÒ ÐØÞ r ÓÝ ÖÑÐÝ > n N¹Ö ÐÒ ÓÝ ( ( d R 2 (, ), n, + 2 )) ( = n n n) 2 2 n2 + 4n + 5 = n 2 < r. ÝØÐÒ ÐÑØ Ñ (, n) ÓÖÓÞØÐ ÑÖØ ÖÒÝÞØ ØÖØÐÑÞ x¹øòðý ÑØ ÞØ Ö µº Þ À (x, y) = (x, ) ÓÖ ε = ØÒ n x + ¹Ö (n, ) / K((x, ), )º n2 + 4n + 5 2n2 + 8n + 8 n 2 < n 2 = 2 n , n ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº ÁÁÁº ØØÐ ÞÓÒÝØ º ÅÚÐ Ý ÞÖòÒ Ð ØØ ÖÑÐÝ n N¹Ö Ý r = 3 2 Ð Þº

29 ØØк Þ x º n R k ÓÖÓÞØ ÓÒÚÖÒ Ø ÖÖØ x R k ¹Ð x n = (x n,..., x kn ÐÐ Ð Þ ) x n,..., x kn ÝÒÚÞØØ ÓÓÖ¹ Ò ÐØ ÓÖÓÞØÓØ Þ ÓØØ ÓÖÓÞØÓ ÞÒ ÐÐØÚ λ¹ ÞÖÒØ Ò ÒÚÞÞº ÞÓÖÓ ÄÝÒ Òº n R k ÓÖÓÞغ À ϕ : N N ÞÓÖÒ ÑÓ¹ ¹Ð ÒÚÚ b ÒÓØÓÒ n = ÓÖ ϕ(n) b n Þ ¹Ø n Ö Þ ÓÖÓÞØ Ò ØØк À Þ n ÓÒÚÖÒ Ø ÖÖØ ÓÖ b n Ö Þ ÓÖÓ¹ Ö b ÞØ n ØРк ØØÐ ÙݹРÓÒÚÖÒ ÖØÖÙѵº Þ x n R k ¹Ð ÓÖ ÓÖ ÓÒÚÖÒ Ùݹ ÓÖÓÞغ ÓÖÓÞØ Òº Þ (X, d) ÑØÖÙ ØÖØ ØÐ Ò ÒÚÞÞ ÒÒ Ùݹ ÓÖÓÞØ ÓÒÚÖÒ º ÑÒÒ ÅÝÞ º R k ØÐ ÑØÖÙ ØÖº ÁÁÁº ËÇÊÇÌÇà R k ¹Æ º ÊËËÇÊÇÌÇà ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº ÁÁÁº ØØÐ ÞÓÒÝØ º Ò Øµ ÓÖÓÞØÓ ÓÒÚÖÒ Þ x = (x,..., x k ) ÐÐ Ð x in x i (i =,...,k)º ÀØ Ñ Þ Èк ÖÓÞÞ ( ) n + 3n + 2, n 2 + R 2 ÓÖÓÞØ Ø ÖÖØØ ÃÓÖ ØÒÙÐÑ ÒÝÒ ÐÔ Ò ¹Ð n + 3n + 2 3, n 2 +, ØØÐÒ ÓÝ Ý ( ) ( ) n + 3n + 2, n 2 + 3,. ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº ÁÁÁº º ØØÐ ÞÓÒÝØ º ØØÐ ÑÓÖØ ÒÑ Þ Ý ÓÖÓÞØ Ø ÅÝÞ º Ö Þ ÓÖÓÞØÖ ÓÒØØ ÑÐÝ Ø ÖÖØ ÙÝÒÞ ÓÖ Þ ÞÙÒØ ÓÖÓÞØÒ Ø ÖÖغ ØØÐ ÓÐÞÒÓ¹ÏÖ ØÖ ¹Ð Ú Ð ÞØ ØØеº À Þ n R k ÓÖÓÞØ ÓÖÐ ØÓ ÓÖ ÐØÞ ÓÒÚÖÒ Ö Þ ÓÖÓÞغ ¹Ð º Ä ÃÐÙÐÙ Áº ÁÁÁº º ØØÐ ÞÓÒÝØ R ÐÝØØ ÞÓÒÝØ R k ÐÐ ÖÒµº ¹Ø º Ùݹ ÓÖÓÞØÓ Òº Þ n R k ÓÖÓÞØÓØ Ùݹ ÓÖÓÞØÒ ÒÚÞÞ ¹Ð ε > ØÒ n(ε) N ÓÝ p, q n(ε) (p, q N) ØÒ d( p, q ) εº < ËÓÖÓÞØÓ ÑòÚÐØ ÐÐØÚ ÖÒÞ À x Òº n y n R k ÓÖÓÞØÓ λ R ØØ ÞÐ ÓÖ ¹Ð Þ x n + y n =. x n + y n ; λ x n =. λx n º Ä ÃÐÙÐÙ Áº ÁÁÁº º º ØØÐ ÞÓÒÝØ x R ÐÝØØ ÞÓÒÝØ x R k R ÐÝØØ R k ¹Ø ÐÐ ÖÒµº ¹Ø ÄÝÒ x ÌØк n y n R k ÓÖÓÞØ λ R ØØ ÞÐ ÓÝ ¹Ð x n x y n y ÓÖ x n + y n λ x n ÓÒÚÖÒ x n +y n x y + λx n λxº º Ä ÃÐÙÐÙ Áº ÁÁÁº ØØÐ ÞÓÒÝØ Þ µ Ö ÞÒ ÞÓÒÝØ ÞÓÐØÖØ ÐÝØØ R k ¹Ð ÙÐ Þ ÒÓÖÑ Ø ÐÐ ÖÒµº Þ º Ê Þ ÓÖÓÞØÓ ÒÚÞÞº

30 ÐØÓÞ ÚØÓÖÖØò Ú¹ ÌÚ ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÖÖØ ÒÝ Ù Ö ÞÓÐ µ ØÖÐ ÖØ ¹Ð ÓÓÖÒ ØÖÒ ÞÖÒ Ú¹ Ö Ñº Ð ØØ ÐÐÖе ÓÖÐ ØÓ º ÐÙÐÖÐ sup f(e), inf f(e) Þ ÑÓØ Þ f ÔÓÒØÓ Ð ÐÐØÚ ÔÓÒØÓ Ð ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ f¹ò ÐØÞ ÞÓÐØ ÑÜÑÙÑ ÐÐØÚ ÓÖ E¹Òº Þ f : E (R n, d) R ÚÒÝÒ Þ x ÑÒÑÙÑ E¹ K > Ý f(x, ) = x 2 > K x > K Ñ Þ ÔÐ ÙÐ À ÓÐÝÒ (x, )¹Ö ÑÐÝÖ x > Kº ÑÒÒ Òº Þ f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝ Þ x ÔÓÒع E ÓÐÝØÓÒÓ ÖÑÐÝ ε > ¹ÓÞ ÐØÞ δ(ε) > ÓÝ ÖÑÐÝ Ò ¼ Áκ ÌÎýÄÌÇË ÎÆà ÇÄÌÇÆÇËËý ÀÌýÊÊÌÃ Þ f(x, y) = x + y + 2 ((x, y) R 2 ) ÚÒÝ Ö ÔÐ ÙÐ Èк z = ÑÐÝ x+y+2 ØÐ ÔÐ ÙÐ (,, 2), (, 2, ) ( 2,, ) ÔÓÒØÓÓÒµº Òº Þ f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝ ÓÖÐ ØÓ ÓÖÐ ØÓ º f(e) f : E (R n, d) R ÚÒÝ ÐÙÐÖÐ ÐÐÖе ÓÖÐ ØÓ f(e) Þ Áκ ÞØ ÞØ ÓÐÑ ÖÑÒÝ ÚÐ ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ø Ø ÖÖØØ Ø ÖÝÐ ÃÐÙÐÙ Áº κ ÎÁº ÞØÒ ÚÞØØØ Òº À Þ f : E (R n, d) R ÚÒÝ ØÒ ÐØÞ º x, x 2 E ÓÝ sup f(e) = f(x ), inf f(e) = f(x 2 ), ÓÖÐ Ø Ò ÙÔÖÑÙÑ Ò ÐÐØÚ ÒÑÙÑ Òµ ÒÚÞÞ E¹Òº ÓÐÑÐ ØØÐÐ ÑÙØØÒ ÞÓÖÓ ÒРغ Ò ÐÝ ÐÓ Ð µ ÑÜÑÙÑ ÐÐØÚ ÑÒÑÙÑ ÚÒ ÐØÞ K(x, δ) ÓÝ x K(x, δ) E¹Ö f(x) f(x ) ÐÐØÚ f(x) f(x ) ÐÔÓÐÑ Òº Þ f : E (R n, d) R, f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝØ ÚÐ ÖØò ÐÐØÚ Þ (R n, d) ÑØÖÙ ØÖØ Þ ØÔÙ (R m, ÑØÖÙ ØÖ ÔÞ ÚÒÝÒ ÒÚÞÞº d)) Þ f(x, y) = x 2 + y 2 ((x, y) R 2 ) ÚÒÝÖ Þ Úع Èк Þ ØРк f ÐÙÐÖÐ ÓÖÐ ØÓ ÑÖØ ÒÝÐÚ Ò x 2 + y 2 (x, y) R 2 ¹Öº Þ f : E R 2 R ØÔÙ ÚÒÝ ÓÐÝÒ Ô ¹ ÅÝÞ º ÖÐ ÑÐÝ R 2 R = R 3 Ö ÞÐÑÞ Ý ÞÓ ÞÑÐÐØØ Ð inf f(r 2 ) = ÑÖØ Þ Ð ÑØØ Ð ÓÖÐ Ø Ñ Ö ÞØ ØØ Þ¹ ε > Ñ ÐØ Ð ÓÖÐ Ø ÑÖØ f(, ) = < ε Ý ÑÒÒ k Ð Ð ÓÖÐ ØÖ k º z f(x, y) = x 2 + y 2 = (x, y) = (, ) Ý ÞÓÐØ ÑÒÑÙÑ (, )¹Ò Ú Þ Ð fº ÑÐÝØ (,, 2) f ÐÐÖÐ ÒÑ ÓÖÐ ØÓ ÑÖØ K¹Ö (x, y) R 2 ÓÝ f(x, y) > Kº K < ÓÖ Þ ÒÝÐÚ Ò Þº À (, 2, ) x ( 2,, ) y ÓÐÝØÓÒÓ ÓÐÑ

31 ÅÝÞ º ÅÓÐÑÞØ Þ ÝÒÚÞØØ ÖÒÝÞØ Ú ÐØÓÞØ ÓÐÝØÓÒÓ ÔÓÒØÐ ÐÓ Ð µ ØÙÐÓÒ ÑÐÝ ÐÓ Ð Ø¹ غ Þ f(x, y) = x+y ((x, y) R 2 ) ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ (, ) R 2 ¹Ò ε > ÓØØ ÓÖ ÑÖØ ÓÐ Ñ ÓÐÝØÓÒÓ ÑÖØ (x ÚÒÝ, y ) R 2 ε = ¹ ØÒ δ(ε) > ¹Ø Ú Ð ÞØÚ Ð ÞÒ ÐÚ ÓÝ K((x Þ, y δ(ε))¹ ), ØØÐ ØÚØÐ ÐÚµº Þ f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝ ÓÖ ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Þ x ÔÓÒØÒ ÑÒÒ E x ÓÒÚÖ Ð ¹ÓÞ ÓÐÝØÓÒÓ ØØ ÑÓØØ ÚÚÐÒ ÑÓÐÑÞ Ø ÓÖÓÞØÓ ÀÒ¹Ð Ò Ò ÒÚÞº ÚÝ ØØк Þ f : E R (R m, d) ÚÒÝ ÓÖ ÓÖ ÓÐÝØÓ¹ º Þ x ÒÓ ÓØØ ÓÖÐ ÐÖÐ ÓÐÝØÓÒÓ º ¹Ò Áκ ÌÎýÄÌÇË ÎÆà ÇÄÌÇÆÇËËý ÀÌýÊÊÌà ¾ x E, d(x, x ) = x x R n < δ(ε) ØÒ d(f(x), f(x )) = f(x) f(x ) R m < ε. f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ A E Ðѹ Þ A ÑÒÒ ÔÓÒØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ º ÞÓÒ x E¹Ð n ÓÖÓÞØ ØÒ Þ f(x n ) (R m d)¹ð ÓÖÓÞØ ÓÒÚÖÒ, lim f(x n) = f(x )º n ÇÄÌÇÆÇËËý ÇÄÅ ½ ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº κ ØØÐ ÞÓÒÝØ º f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝ Þ x Þ ÔÓÒØÒ ÓÐݹ E K ØÓÒÓ R m(f(x ε)¹óþ ), K R n(x δ(ε)) ÓÝ, x E, x K R n)(x, δ(ε)) = f(x) K R m(f(x ε)º ), ÅÝÞ º Þ Ð ÚÞ ÐØ º ÐØ Þ ØÚØÐ ÐÚÚÐ ÚÞ ÐØ ÑÑÙ¹ ÓÝ ÔÐ ÙÐ f ÒÑ ÓÐÝØÓÒÓ (, ) ÔÓÒØÒ ÑÖØ ÓÐÝÒ ØØØ (x n, y n ÓÖÓÞØ ØÒØ Ò ÑÐÝÖ ) (x n, y n ) (, ) x n, y n Q ÓÖ f(x n, y n ) = f(, )º º ÈÐ Þ f(x, y) = c ((x, y) R 2 ) ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ R 2 ¹Ò ÑÖØ ÖÑÐÝ (x, y ) R 2 ε > ØÒ δ(ε) > ¹Ø Ý δ(ε) = ¹Ø ÔÓÒØÒ ØØк Þ f : E (R n, d) R m (f = (f,...,f m ), f i : E R (i =,.. ÚÒÝ ÓÖ ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ Þ.,m)) x E¹Ò Þ f i ÚÒÝ ÑÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ x ¹Òº Ð ÞØÚ (x, y) R 2 d((x, y), (x Ú, y )) ÓÖ < f(x, y) f(x, y ) = c c = < ε. º Þ ØÚØÐ ÐÚ ÓÖÓÞØÓÒ Ð ÑÓÒÓØØ ØØÐ Ø ÚÐ ÞÓÒÝØ ÒÚк ÒÝÐÚ f(x, y) f(, ) = x + y x + y Òº Þ f : E R (R m, d) ÚÒÝ ÐÖÐ ÓÖе ÓÐݹ Þ x ØÓÒÓ ÔÓÒØÒ Þ E f (, x ÐÐØÚ [x ] E¹Ö + ) E¹, 2 x 2 + y 2 = 2 (x, y), (, ) R 2 Öµ ÚÐ Ð ÞòØ ÓÐÝØÓÒÓ x ¹Òº ( (x, y) R 2 ) ÑØØ δ(ε) = ε 2 (x, y) (, ) < ε 2 ÓÖ f(x, y) f(, ) < ε Ñ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ò ØÐ Ð Ø º Þ ÐÒغ f(x, y) = { (x, y) Q Q ÝÒØ ÅÝÞ º Ò ÓÝ f : E R (R m, d) ÐÖÐ ÐÐØÚ ÓÐÝØÓÒÓ x ÓÖе ε > ¹ÓÞ δ(ε) >, x E, x ¹Ò δ(ε) < x x ÐÐØÚ x x < x + δ(ε)µ ØÒ d(f(x ), f(x)) < εº ÅÓÐÑÞØ ÓÖÓÞØÓ Ú ÐØÓÞØ º Ò ÚÒ ÓÐÝÒ (x, y) ÑÐÝÖ x, y Q ÓÐÝÒ ÓÝ x / Q ÚÝ y / Qµ ÐØÞ (x, y) R 2 ÓÝ (x, y) (x, y ) < δ(ε) f(x, y) f(x, y ) = Ñ Þ ÐÐØ Øº ØØÐ ÐØÖØ µº À Þ f : E (R n, d) R ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ º x E¹Ò f(x ) ÓÖ K(x, δ) (R n d) ÓÝ, x K(x, δ) E ÓÖ signf(x ) signf(x)º = ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº κ º ØØÐ ÞÓÒÝØ º

32 ØØÐ ÓÐÝØÓÒÓ ØÓÔÓÐÓÙ ÑÐеº f : (R n, d) (R m, d) ÚÒÝ ÓÖ ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ R n ¹Ò Þ (R m, d)¹òº ÊÚÒ ÓÑÔØ ÐÑÞ ÓÐÝØÓÒÓ Ô Óѹ ÓÑÔØ Ôغµ ÃÚØÞÑÒݺ f(e) ÓÖÐ ØÓ Þ Öغ À m = ÓÖ f ÐÚ Þ E¹Ò Þ ÞÓÐØ ÑÒÑÙÑ Ø ÑÜÑÙ¹ Ø ÑÖØ sup f(e) inf f(e) ÐÑ f(e)¹ò f(e) Þ ÖØ Ñ E¹Ò ÓÖ f ÝÒÐØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ E¹Òº ÊÚÒ ÓÑÔØ Ð¹ ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝ ÝÒÐØ Ò ÓÐÝØÓÒÓ ºµ ÑÞÓÒ ØØÐ ÓÐÞÒÓµº ÄÝÒ E (R n, d) Þ f : E R ÓÐݹ º ÚÒݺ À c, d f(e), c < d ÓÖ (c, d) f(e) ÞÞ f Ø ØÓÒÓ Òº Þ f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝ ÝÒÐØ Ò º Þ E ÓÐÝØÓÒÓ ÐÑÞÓÒ E ε > δ(ε) >, x, y E, d(x, y) < ØÒ δ(ε) d(f(x), f(y)) εº < ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº κº ØØÐ ÞÓÒÝØ º º ÇÄÌÇÆÇËËý Ë ÌÇÈÇÄÇÁÃÍË ÇÄÅà Áκ ÌÎýÄÌÇË ÎÆà ÇÄÌÇÆÇËËý ÀÌýÊÊÌà º ÓÐÝØÓÒÓ ÑòÚÐØ ØØк À Þ f, g : E (R n, d) R m ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ x E¹Ò ÓÖ Þ f + g λf (λ ÓÐÝØÓÒÓ R) x ¹Òº ØØÐ ÓÑÔØ ÝÒÐØ ÓÐÝØÓÒÓ ÀÒµµº º E (R n, d) ÓÑÔØ ÐÑÞ f : E (R m, d) ÓÐÝØÓÒÓ ¹ ÄÝÒ ØÖÑ ÞØ Ò ÓÖÐ ØÓ µº ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº κ º ØØÐ ÞÓÒÝØ º ØØк À Þ f, g : E (R n, d) R ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ x E¹Ò ÓÖ Þ f g g(x) (x ØÒ E) f ÓÐÝØÓÒÓ g x ¹Òº ØØÐ Þ ÞØØØ ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ µº ÄÝÒ (R n, d), º (R m, d), (R k, ÑØÖÙ ØÖ d) f : E R n R m, g : f(e) R m R k ØØÐ Þ ÓÐÝØÓÒÓ µº º f : (R n, d) (R m, d) ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝ E R n Þ ÄÝÒ ÓÖ f(e) Þº ÚÒݺ À f ÓÐÝØÓÒÓ Þ x ÓØØ ÔÓÒØÒ E ÓÐÝØÓÒÓ Þ g y = f(x ÓÖ h = g f ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ x )¹Ò ¹Òº ÖØ ÞØØ ÑÒÒ ÞÒ ÖØØ ÐÚ Þµº ÞÓÒÝØ º Ä ÃÐÙÐÙ Áº κ º º ØØÐ ÞÓÒÝØ º º Ø ÖÖØ ÓÐÑ h(x, y) = 3 x + y ((x, y) R 2 ) ÚÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ (, )¹Ò Èк Ñ Ö Ð ØØÙ ÓÝ Þ f : R 2 R, f(x, y) = x + y ÚÒÝ ÑÖØ (, )¹Ò g : R R, g(x) = 3 x ÓÐÝØÓÒÓ Þ f(, ) = ÓÐÝØÓÒÓ Òº Þ f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝÒ Þ x E ÐØÞ Ø ÖÖØ A R m ÓÝ ε > δ(ε) >, ÔÓÒØÒ x E, < d(x, x ) = x x R n < δ(ε) ÐÝÒ Ý ØÐ ÐÒ ØØÐÒ ÐØØк º ÓÐÝØÓÒÓ ØÓÔÓÐÓÙ ÓÐÑ d(f(x), A) = f(x) A R m < ε. lim f(x) = A x x ØÒ A¹Ø Þ f ÚÒÝ x ¹Ð Ø ÖÖØÒ ÒÚÞÞ B (R m, d) ÒÝÐØ ÐÑÞÖ f (B) = {x R n f(x) B} ÒÝÐØ (R n, d) R n¹òº ØØÐ ÓÑÔØ ÓÐÝØÓÒÓ µº ÄÝÒ E (R n, d) Óѹ ÐÑÞ f : E (R m, d) ÓÐÝØÓÒÓ ÚÒÝ E¹Ò ÓÖ f(e) ÔØ ÅÝÞ º ÅÓÐÑÞØ ÖÒÝÞØ Ú ÐØÓÞØ f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝÒ Þ x Þ E ÔÓÒØÒ ÖÖØ A R m ÓÝ K Ø R ε)¹óþ m(a, K R n(x, δ(ε)), x K R n(x, δ(ε))\{x }, x ØÒ E f(x) K R ε)º m(a, ÚÝ f(x) A, x x ÐÐ Ø ÞÒ ÐÙº Ø ÖÖØ ÐØÞ ÔÓÒØÐ ØÙÐÓÒ º

33 Ø ÖÖØ ÐØÞµ ÝÖØÐÑòÒ ÑØ ÖÓÞÓØØ Þ ÒÖØ º Ð ÓÒÐÒ ÑÒØ ÓÖÓÞØÓÒ Ð Ý ÞÖòÒ Ð Ø¹ ÞÓÒÝØ ÅÝÞ º Ò ÖÒÝÞØÐ ÑÓÐÑÞغ Áκ ÌÎýÄÌÇË ÎÆà ÇÄÌÇÆÇËËý ÀÌýÊÊÌà º ÀÌýÊÊÌà ÇÄÅ Þ f : E (R n, d) (R m, d) ÚÒÝÒ Þ x º (R n d)¹ò ÒÑ, Ø ÖÖØ x ÐØÞ / E ÚÝ x E A R m, ε >, δ(ε) > x E, x K ØÒ R n(x, δ(ε))\{x }, f(x) / K R ε)º m(a, ÅÝÞ º Ò Ð ÞòØ ÓÐÑ Ò ÞÒ ÐØ ÚÐ ÑÓÐÑÞØ ÓÒÐÒ ÓÐÝØÓÒÓ ÓÞµº ÖÒÝÞØ ØÓÐÑÞ Ñغ ÃÒÒÝÒ Ð ØØ ÚØÞ º f : E R (R m, d) ÓØØ ÚÒÝ Þ x ÄÝÒ ÔÓÒØ ØÓÖÐ [x, + ) E (, x ] E¹Òº Þ ÚÒÝÒ f x ÓÖ ¹Ò صº º ÈÐ Þ f(x, y) = c, (x, y) R 2 ÚÒÝ (x, y ) R 2 ¹Ò ÖÖØ c ÑÖØ (x Ø, y ØÓÖÐ ÔÓÒØ ) R 2 ε > ¹ ¹Ò δ(ε) > ØÒ < (x, y) (x Ö, y ) R 2 δ(ε) ÓÖ < f(x) c = c c = < ÚØÞº ε Þ f(x, y) = { x + y (x, y) (, ) 2 (x, y) = (, ) ÓÖ ÐØÞ Ø ÖÖØ ÐØÞ f(x ) f(x + ) f(x ) = = f(x + ) = A Ø ÖÖØ f x ¹Òµº Òº Þ f : E (R n, d) R ÚÒÝ x º E Ø Ö¹ ¹Ò + ÚÝ µ K¹ÓÞ δ(k) >, x E, < d(x, x ÖØ ) < ØÒ δ(k) f(x) > ÚÝ K f(x) Kµº < ÐØÞ Ø ÖÖØ (, ) R 2 ÔÓÒØÒ Þ ÝÒÐ ÚÒÝÒ ÑÖØ (, ) ØÓÖÐ ÔÓÒØ R 2 ¹Ò ε > ØØ ÞÐ ¹ÚÐ ÓÖ f(x, y) = x + y x + y 2 x 2 + y 2 = 2 (x, y) (, ) R ( (x, y) R 2, (x, y) (, )) ÑØØ δ(ε) = ε 2 < (x, y) (, ) R 2 < ε 2 ÓÖ f(x, y) < ε ÞÞ A = ÑÐÐØØ ØÐ Ð Ø ÖÖØ Ò (, )¹Òº Òº ÄÝÒ f : E R (R m, d) ÓØØ ÚÒÝ Þ x ÔÓÒØ [x ØÓÖÐ, + ) E ( (, x ] E))¹Òº Þ ÚÒÝÒ f Þ x ¹Ò ÐØÞ Ó¹ ÚÝ Ð¹µ ÓÐÐ Ø ÖÖØ A R m, ε > δ(ε) >, x E, x < x < x + δ(ε) x ÚÝ δ(ε) < x < x = d(f(x), A) < εº µ f Ó ÐÐØÚ Ðµ ÓÐÐ Ø ÖÖØÒ ÒÚÞÞ x A¹Ø ¹Ò ÚÝ ÝÓÐÐ Ø ÖÖØÒØ ÑÓÐÑÞغ + µ f(x, y) = x 2 +y ((x, y) E = R 2 \ (, )) 2 Èк Þ ÚÒÝÒ (, ) E ÖÖØ + º Ø ¹Ò ÞÖÒØ ÐÐ Ð ØÒÙÒ ÓÝ K¹Ö δ(k) > ÓÝ Ò ÞØ (x, y) R 2, < (x, y) (, ) < δ(ε) ØÒ x 2 +y > 2 Kº ÖÑÐÝ K ÓÖ x 2 + y 2 > ((x, y) ÑØØ Þ E) ØÒ Þ À δ(k) x 2 +y > K (x, y) E 2 ØÒº ÞÒ À ÓÖ K > x 2 + y 2 > K ((x, y) E) < x2 + y 2 < K < x 2 + y 2 < K (x, y) (, ) < K ÓÝ δ(k) = ÓÖ K (x, y) R 2 ØÒ < (x, y) (, ) < K ¹Ð ÚØÞ ÓÝ x 2 +y 2 > Kº lim x x + f(x) = A = f(x + ) ÚÝ ÐÐ Ø ÞÒ ÐÙº lim f(x) = A = f(x ) x x Òº ÄÝÒ E R ÐÐÖÐ ÐÙÐÖе ÒÑ ÓÖÐ ØÓ ÐÑÞ º f : E (R m, ÓØØ ÚÒݺ Þ d) ÚÒÝÒ f ÚÝ µ¹ò + Ø ÖÖØ A R m, ε > M R, x E x > M ÐØÞ ( x < M) ØÒ d(f(x), A) < εº ÓÖ A¹Ø f + ÚÝ µ¹ð