Átírás

1 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã ÄÃÍÄÍË ÁÁº È Ä ÌýÊ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö

2

3 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã ÄÃÍÄÍË ÁÁº È Ä ÌýÊ

4 ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö ËÇÊÇ ÌË ÊÃ Ë Ì Þ Á ØÚ Ò

5 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã ÄÃÍÄÍË ÁÁº È Ä ÌýÊ ÈÖÓ Ö ÑÓÞ ÔÖÓ Ö ÑØ ÖÚ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÐÐ Ø Ò ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒØ Þ Ø

6 Ä ØÓÖ Öº Þ Á ØÚ Ò Öº ÄÓ ÓÒÞ Ä ÞÐ ÓÔÝÖ Ø Ä Ã ÖÓÐÝ ¾¼¼ ÓÔÝÖ Ø Ð ØÖÓÒ Ù ÞÐ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö ¾¼¼ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒØ Þ Ø ¼½¼ Ö Ò È º ½¾ ØØÔ»»ÑÓ º Ò ºÙÒ º Ù Ñò Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ð Ö Þ ÓÒ Ð Ø ÐØ Ø º Å Ò Ò Ý Ð¹ ÞÒ Ð Þ ÖÞ Ð Þ Ø Ö Ð Ò ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò Øº Ñò ÑÓ ÁýÃ Ò Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ÁÃÌ ÇÅ ¹¼¼»¾¼¼ µ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÞÓ ØÚ Ö ÁÌ Å ¼»¾¼¼ µ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ò Þ Ðغ

7 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Áº ÁÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÈÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁº Î ØÓÖØ Ö Ù Ð Þ Ø Ö Ñ ØÖ Ù Ø Ö º º º º º º º º º º º ½º Ð Ô Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Þ R n Ù Ð Þ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º R n Ñ ØÖ Ù Ø Ö ØÓÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÓÚ Ð Ò Ö Ð Ö Ð Ñ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁº ËÓÖÓÞ ØÓ R k ¹ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Áκ Ì Ú ÐØÓÞ Ú ØÓÖ ÖØ ò Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ø Ö ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ κ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ð ÐÑ Þ º º º º º º º ½½ ½º ÃÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ËØ ÐØ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ º Ö Ö Ñ ÒØ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ÎÁº Ì Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ö Ò Ð Þ Ñ Ø º º º º º º º º º º ½ ½ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÎÁÁº Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð R n ¹ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

8 Ì ÊÌ ÄÇÅ à ÎÁÁÁº Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ½º Ð Ñ ØÓÒ Ñ ÓÐ Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ø ÔÙ Ó º º º º º º º º º º º º º ½ ½ ¾º Å Ö Ò ò Ð Ò Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½

9 Áº Þ Ø ÁÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø ½º ÈÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ ½º½º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø Áº Þ Ø ½º Ô Ö Ö Ù¹ Ò Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ Ò Ò Ú Þ ØØ Ð ÔÐ Ø Ø ÓÖÑÙ¹ Рص { µ x dx ln(x) + C (x > ) ln( x) + C (x < ) µ µ µ µ µ µ µ µ x µ dx xµ+ µ + + C (x R +, µ ) a x dx ax + C (x R, a >, a ) ln a sin(x) dx cos(x) + C (x R) cos(x) dx sin(x) + C (x R) x dx arcsin(x) + C dx arctg(x) + C (x R) + x sh(x) dx ch(x) + C (x R) ch(x) dx sh(x) + C (x R) (x (,))

10 ½¼ µ µ е ѵ Òµ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË x + dx arsh(x) + C ln(x + x + ) + C (x R) x dx arch(x) + C ln(x + x ) + C (x (, )) sin (x) dx ctg(x) + C k (x (kπ,(k + )π), k Z) cos (x) dx tg(x) + C k (x (kπ π,kπ + π ), k Z) ( a n x )dx n x n+ a n n + + C (x (, )) n n Å ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø Ó Ñ Ò Ò Ø Ò Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð ÔÖ Ñ ¹ Ø Ú Ú Òݵ Ò Ò F : a,b R Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝØ f : a,b R Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ò Ú ÞÞ F f Ø Ð Ðµ Þ Ð Ñ Ú ÒÝ Ã Ð ÙÐÙ Áº ÎÁÁÁº Þ Ø Ò Ú Þ Ðص ¹ Ö Ò Ð Þ ÐÝ Ò Ñ Ö Ø Ò Ð ÔÙÐÒ º Ð Ø Ù Ó Ý Þ a)... n) ÔÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ò Þ Ö ÔÐ F Ú ÒÝ ¹ Ö Ú ÐØ ÐÓÐ Ð ÒØ Ö ÐÓ Ò Þ Ö ÔÐ f Ú ÒÝ º µ (ln(x) + C ) x x > Ñ (ln( x) + C ) x ( ) x x < Ý Þ { ln(x) + C (x > ) F(x) Ú ÒÝÖ ln( x) + C (x < ) F (x) x (x ) Ñ Þ ÒØ Ö Ð Ò Ñ Øص Þ ÐÐ Ø Øº µ F(x) xµ + µ + + C (x R +, µ ) Ú ÒÝÖ Ð Ø Þ Ý Þ Þ ÐÐ Ø º µ F(x) ax lna + C F (x) µ + (µ + )xµ x µ x R + Ö, (x R, a >, a ) Ú ÒÝÖ F (x) ln a ax ln a a x Ñ Þ ÐÐ Ø Øº x R Ø Ò, µ F(x) cos(x) + C (x R)¹Ö F (x) ( )( sin(x)) sin(x) (x R) Ø Ø Þ Þ ÐÐ Ø º

11 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½½ µ,..., µ Þ Ð Þ ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º µ (arsh(x) + C) (x R) x + (ln(x + ( ) x + )) x + + x + x + x (x R), x + Ñ Þ ÐÐ Ø Øº µ µ¹ Þ ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ù º е ѵ ÞÓÒÒ Ð Ò ctg tg Ú ÒÝ Ö Ò Ð Þ ÐÝ Ò Ñ Ö Ø Òº Òµ ØÚ ÒÝ ÓÖÓ Ö Ò Ð Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ñ ØØ Þ F(x) n Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø F (x) n Þ Þ ÐÐ Ø Øº x n+ a n + C (x ], [) n + a n n + (n + )xn a n x n (x ], [), n Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ Ö Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ð ØÓ ½º¾º Рغ ËÞ Ñ Ø Ú Ø Þ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö ÐÓ Ø ( x ) dx ; x x dx ; x ( ) x dx ; x tg (x) dx ; x + x dx ; x + a dx ; x Å ÓÐ º À ÞÒ Ð Ù Þ Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ Ø Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø Á»½º ¹ Þ Ø ¾º Ø Ø Ð Ø ÐÐ ØÚ ÒÒ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ø Ú ÒÝÖ µ Ñ ÙØ Ò Þ ÒØ Ö Ð Ð Ñ ØØ f Ú ÒÝ Ö Ý Þ Öò ÞÓÒÓ Ó Ø ÞÒ ÐÙÒ º

12 ½¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ½º ( x ) 7 7x + 9x 4 x 6 (x R) Ñ ØØ ( x ) dx (7 7x + 9x 4 x 6 ) dx 7 dx 7 x dx + 9 x 4 dx x 6 dx + C ¾º º º 7x 7 x + 9 x5 5 x7 + C (x R) ; 7 ( ) x ( ) x x x + (x ) Ñ ØØ x ( ) x ( dx x x ) x + dx x dx x dx + dx + C x ln(x) + x + C (x > ) x ln( x) + x + C (x < ). x + x (x + ) + x + x (x R) Ñ ØØ x ( + x dx ) + x dx dx + x dx + C x arctg(x) + C (x R) ; x x x (x(x x) ) Ñ ØØ x x 8 x + 8 x x dx x x x 7 8 ( x ) 4 x 7 8 (x > ) x 7 8 dx x C x C 8 8 x + C (x > ).

13 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ º tg (x) sin (x) cos (x) cos (x) cos (x) cos (x) ( ] x kπ π, kπ + π ) [, k Z Ð ÞÒ Ð Ú Ð tg (x) dx ( ) cos (x) dx cos (x) dx + C tg(x) x + C k ( x ] kπ π, kπ + π [, k Z ). º x + a x x x + a x x + a x (x > ) Ñ ØØ x + a ( ) dx x + a x x dx x dx + a x dx + C x + a x + C x + a x + C (x > ). Ý Ý Þ Öò ÐÝ ØØ Ø ½º º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð ÒØ Ö ÐÓ Ø cos (x 5) dx ; + x dx ; x + 9 dx ; x dx ; x dx ; (e x + e x) dx ; Å ÓÐ º Ý Þ Öò Þ ÑÓÐ Ó Ý f(x) dx F(x) + C ÓÖ f(ax+b) dx F(ax+b)+Cº Þ Þ Ñ Ö x f(x) Ø ÖÓÞ ØÐ Ò a ÒØ Ö Ð Ø ÓÖ Ý Þ Öò Ò Ô Ù Þ x f(ax+b) Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Øº Þ f(x) cos (x) ( ] x kπ π, kπ + π [ ), k Z Ú ÒÝÖ F(x) tg(x) Ð Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ µ Ý Þ f(x 5) cos (x 5) ( x 5 ]kπ π, kπ + π [, k Z)

14 ½ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ö Ô Ù Ó Ý cos (x 5) dx tg(x 5) + C k ( x 5 ]kπ π, kπ + π [, k Z). ÌÙ Ù Ó Ý x + dx arsh(x) + C (x R). À x + 9 ¹ Ø Ð ÐÐ Ø Ø Ù Ñ ÒØ x Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ð Ò Ö µ ØÖ Ò Þ¹ + ÓÖÑ ÐØ Ý Ñ Þ Ö Ò Ð ÐÑ Þ Ø º Ý (x Ñ ØØ x + 9 dx x + 9 (x ), + ) + dx ( x arsh + C (x R) ) (x ) dx + ( x arsh + C (x R). ) ( ( x ) arsh + C ) Þ x x (x R) Ú ÒÝØ Þ f(x) x (x R) Ú Òݹ Ð Þ x x (x R) Ú ÐØÓÞ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ú Ð Ô Ù º Å Ö ÞØ x dx x x 4 dx + C x C (x R), Ý x dx ( x) C ( x) C (x R).

15 Þ ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ + x + x + ( x ) (x R) Ý ÒÐ Þ dx arctg(x) + C Ð Ô ÒØ Ö Ð Ñ ØØ + x + x dx ( ) dx + x 6 arctg arctg ( ) x + C ( ) x + C (x R). Þ x ) x ( x ( x > ) Ý ÒÐ Þ dx arch(x) + C x Ñ Þ Öµ Ó Ý x ) ( x arch arch ( x ( ) x ) dx (x > ) Ð Ô ÒØ Ö Ð + C + C ( x > ).

16 ½ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË µ Ð Ô ÒØ Ö Ð a e Ú Ð ÞØ Ð Ó Ý e x dx e x + C (x R), Þ ÖØ e x dx e x + C e x + C (x R) e x dx e x + C Þ Þ Ö ÒØ (e x + e x ) dx e x dx + (x R), e x dx + C e x e x + C (x R). Æ ÒÝ Ô Ð ÒØ Ö Ò Ù ½º º Рغ À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ Ð Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö ÐÓ Ø x + x x dx ; tg(x) dx ; dx ; x x x dx ; x sin x dx ; e x + e x dx ; sin 5 sin x xcos x dx ; cos x dx ; Å ÓÐ º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý f : a,b R Ö Ò Ð Ø ÓÖ f α (x)f (x) dx fα+ (x) + C (α ) α + f (x) dx ln(f(x)) + C (f(x) > ). f(x) ÌÓÚ Ð ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð µ f : a,b R, g: c,d a,b ÓÐÝ ÒÓ Ó Ý g c,d R f ÓÖ Ð Ø Þ (f g)g c R Ó Ý (( ) ) f(g(x))g (x) dx f g (x) + C f(t)dt tg(x) + C Þ Ý ÒØ Ö ÐÓ Þ Ò Ø Ø Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ú Ð Þ ÑÓÐ Ø º

17 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ Þ x + x dx x + x dx x ( + x ) dx (x R) Ý ÒÐ ÑÙØ Ø Ó Ý f(x) + x ¹Ö f (x) x Ý α Ñ ÐÐ ØØ Ð ÐÑ Þ Ø Þ Ð ÓÖÑÙÐ Þ ÖØ x + x dx x + x dx ( + x ) x dx Å Ú Ð ( + x ) C 4 ( + x ) 4 + C (x R). tg x sin x sinx ( ] x π cos x cos x + kπ, π + kπ[ ), Ý f(x) cos x > x ] π + kπ, π [ + kπ f (x) sin x Þ ÖØ Ñ Ó ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ sin x tg x dx cos x dx ( ] ln(cos(x)) + C k x π + kπ, π + kπ[ ). Þ x dx x x x dx ( x ) ( x) dx (x ],[ ) Ý ÒÐ ÑÙØ Ø Ó Ý f(x) x (x ],[ ) Ø Ò Ð Ø Þ f (x) x Ý Ð ÐÑ Þ Ø Þ Ð ÓÖÑÙÐ Þ ÖØ x dx x ( x ) ( x) dx ( x ) x + C (x ],[ ). + C

18 ½ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË À ÓÒÐ Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ò x x 4 4x x dx 4 4 ln( x ) + C ( x ) x dx ( ) x <. ( ) Ä Ý Ò x > ÓÖ x x ØÓÚ sin x dx cos x+c Ý ÖÑ ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ x sin x dx x sin x dx sin t dt t + C cos + C (x > ). x x Ê ÞÐ Ø Þ Ò Ð Ð e x ( + e x + e x dx ) e x dx ln( + e x ) + C (x R) ; sin 5 (x)cos(x) dx sin 5 (x)(sin(x)) dx sin6 (x) + C (x R) ; 6 sin x cos x dx cos (x)sin(x) dx cos (x)( sin(x)) dx cos (x)(cos(x)) (x) dx cos + C k cos(x) + C k ( x ] π + kπ, π + kπ, k Z). À ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð ½º º Рغ ËÞ Ñ Ø Þ Ð ÒØ Ö ÐÓ Ø x x dx ; ( + x) x dx ; x + x dx ; dx ; ( x ) dx ; e x e x + dx ;

19 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ Å ÓÐ º ÁØØ ÑÓ Ø Þ ÐÝ ØØ Ø Ð Ð Ò Ñ Þ Þ Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø Ò ÑÓÒ ÓØØ ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ø Ú Ø Ñ Ý¹ Þ Ò Ñ Ó ÐÑ ÞÓØØ Ø Ø ÐØ ÞÒ Ð Ù À f : a,b R, g: c,d a,b ÓÐÝ ÒÓ Ó Ý g f ØÓÚ g ÓÖ (f g) g (( ) ( ) f(x) dx (f g)g g )(x) + C f(g(t))g (t) dt tg (x) + C (x c,d ). À (f g)g g ]c,d[¹ Ò ÓÖ f Ñ Ø ÖÚ ÒÝ ( )º ÀÓ Ý Ñ ÐÝ Ò ÐÝ ØØ Ø Ø Ú Ð ÞÙÒ ÖÖ Ò Ò ÐØ Ð ÒÓ Ñ Þ Ö Ú Ò¹ Ò ÐÐ Þ Ø Ø ÔÙ Ó Ó Ý ÖÖ Ð Ñ Ö Þ ÐÑ Ð Ø Ò Þ ÐØÙÒ µº Þ x x dx Þ ( ) ax + b R x, n dx Ô Ð Ø Ý Þ Ð¹ cx + d Ñ Ð Ø ÒÝ Ò Ø ØØ ÙØ Ð Þ Ö ÒØ ÓÐÝ Ò x g(t) (t R) ÐÝ Ø¹ Ø Ø Ø Ð ÐÑ ÞÞÙÒ Ñ ÐÝÖ g (x) x t (x R) Þ Þ x t x t x t (t R) Ñ Øص x g(t) t (t R)º ÓÖ f(x) x x (x R), g(t) t ¹Ö g : R R g (t) t (t R) ØÓÚ Ð Ø Þ f(g(t))g (t)dt ( t ) t( t ) dt [ t + 6t 6 t 9 ] dt Þ ÖØ Ð Ø Þ x x dx t t7 7 t + C (t R) ; ( t ) t ( t ) dt t x + C 4 ( x) ( x) 7 ( x) + C (x R). À ÓÒÐ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð Þ ( + x) dx Þ Ñ Ø Ò Ð x g (x) x t (x > ) Þ Þ x t g(t) (t > ) ÐÝ ØØ Ø Ò Ð f(x) ( + x) x (x > ), g(t) t (t > )¹Ö g

20 ¾¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË g (t) t (t > ) ØÓÚ Ð Ø Þ f(g(t))g (t) dt ( + t t dt )t dt arctg t + C (t > ), + t Þ ÖØ Ð Ø Þ ( + x) x dx ( + t )t t dt t x + C arctg x + C (x > ). ( x ) dx ( dx ( x < ) x Ñ ØØ Þ ÐÑ Ð Ø Ý ) Ô Ð Ò Ð ÙÞ ÙÐÚ µ Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ x g(t) sin t, t ] π, [ π ÐÝ ØØ Ø Øº ÓÖ Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ý g : ],[ R, g (x) arcsin(x), g (t) cos t ( t ] π, π [ ) ØÓÚ f(x) ( (x ],[ ) x Ñ ÐÐ ØØ ) f(g(t))g (t) dt cos cos t dt t cos t dt ] tg t + C, t π, π [. Ý Ð Ø Þ ( x ) dx ( x ) dx tg(arcsin x) + C x + C ( x < ). x cos t cos t dt tarcsin x + C sin(arcsin x) sin (arcsin x) + C Þ + x dx Þ Ñ Ø Ò Ð ÐØ Ð Ò R(x, + x ) dx Ø ÔÙ ÒØ Ö Ð Þ Ö Ô Ðµ Ö Ñ ÒÝØ ÓÞ Þ x g(t) sh(t) (t R) ¹ ÐÝ ØØ Ø º ÓÖ sh Ú ÒÝ Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ñ ØØ g (x) arsh(x) (x R) g (t) ch(t) (t R)º Ð ÞÒ ÐÚ ch (t) sh (t) ch (t) + ch(t) (t R) ÞÓÒÓ ¹ Ó Ø Ô Ö ÓÐ Ù Þ Ú ÒÝ Ö Ô Ù Ó Ý

21 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ¾½ f(x) + x (x R) Ø Ò Ð Ø Þ f(g(t))g (t) dt + sh (t) ch(t) dt + ch(t) ch (t) dt dt dt + ch(t) dt + C t + sh(t) + C (t R). 4 Þ ÖØ Ð Ø Þ + x dx + sh (t) ch(t) dt tarsh(x) + C arsh(x) + 4 sh(arsh(x)) + C arsh(x) + sh(arsh(x))ch(arsh(x)) + C arsh(x) + x + x + C (x R). Þ x dx Þ Ñ Ø Ò Ð Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý x ( x dx ) dx Ôк x µ ØÙ Ú Ô Ö ÓÐ Ù Þ Ú ÒÝ ch (t) sh (t) ÞÓÒÓ Ø Ñ ÐÝ Ð sh (t) ch (t) Ú Ø Þ Þ x ch(t) g(t) (t ) ÐÝ ØØ Ø Ò ÞÙÒ º ÓÖ Ñ Ú Ð ch( Ú ÒÝ ) Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú [, + [¹ Òµ x g (x) arch (x ) g (t) sh(t) (t ) g (t) (t > ) ØÓÚ f(x) x (x ) Ñ ÐÐ ØØ Ð Ø Þ f(g(t))g (t) dt ch (t) sh(t) dt sh (t) dt ch(t) dt 4 sh(t) t + C (t ).

22 ¾¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Þ ÖØ ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ò ( ) ÓÖÑÙÐ Þ Ö Òص Ð Ø Þ x ( x dx ) dx ch (t) sh(t) dt tarch x + C ( x ( arch ( x 4 sh sh ( x arch x ( arch ( x )) )) ch ) + C x ( x ) arch ( ( x arch ( x x arsh Å ÝÞ º À ÓÒÐ Ò Ô Ù Ó Ý x dx x ( x arsh )) ) + C ) + C ) + C (x ). ( ) x x arsh + C (x ). Þ e x e x + dx (x R) Ñ Ø ÖÓÞ Ò Ð ÐØ Ð Ò R(e x ) dx Ø ÔÙ ÒØ Ö Ð Ú Òµ Ö Ñ ÒÝÖ Ú Þ Ø Þ e x g (x) t (x R) Þ Þ x ln(t) g(t) (t > ) ÐÝ ØØ Ø º ÓÖ g (t) (t > ) t f(x) ex e x (x R) Ñ ÐÐ ØØ Ð Ø Þ + f(g(t))g t (t) dt t + dt arctg(t) + C (t > ), t Ý Ð Ø Þ e x e x + dx t t + t dt te x + C arctg(ex ) + C (x R).

23 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ¾ È Ö Ð ÒØ Ö Ð ½º º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð ÒØ Ö ÐÓ Ø ln x dx ; (x + x)ln x dx ; (x )e x dx ; xcos(x) dx ; (x + x)ch(x) dx ; x sin x dx ; arcsin x dx ; xarctg x dx ; e x cos x dx ; x e x dx ; arctg x dx ; sin 4 (x) dx ; Å ÓÐ º Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ À Þ f,g: a,b R Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø a,b ¹Ò f g ÓÖ fg C R Ó Ý Èµ f(x)g (x) dx f(x)g(x) f (x)g(x) dx + C (x a,b ). Ð Ø Ò Þ Ö ÔÐ ÒØ Ö ÐÓ Ø Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø Ò Þ Ð Þ ØØ Ø Ø ÐØ Ú Ø Ñ ÝÞ Ò Þ Ö ÔÐ Ø ÔÙ Ó Ú Ð Ñ ÐÝ º ln x dx ln x dx (x > ) Þº Î Ð ÞÙ Þ f(x) ln x g(x) x (x > ) Ú ÒÝ Ø ÓÖ f (x) x, g (x) ØÓÚ Ð Ø Þ f (x)g(x) dx x x dx dx x (x > ), Ý ln x dx f(x)g (x) dx f(x)g(x) f (x)g(x) dx + C xln x x dx + C xln x x + C x (x > ). Þ (x + x)ln x dx Þ Ñ Ø Ò Ð Ø ÒØ Þ f(x) ln x, g (x) x +x Þ Þ g(x) x +x (x > ) Ú ÒÝ Ø ÓÖ f (x) x ( x f ) ( x ) (x)g(x) dx x + x dx + x dx x 9 + x (x > ).

24 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Þ ÖØ Ø Ø Ð Ò Þ Ö Òص Ð Ø Þ C R Ó Ý (x + x)ln x dx f(x)g (x) dx f(x)g(x) f (x)g(x) dx + C ( ) ( ) x x + x ln x 9 + x + C (x > ). Å ÝÞ º P n (x)ln x dx Ø ÔÙ ÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø Ò Ð Ñ Ò Þ f(x) ln x, g (x) P n (x) Ú Ð ÞØ Ð ÞÒ Ð Ù Èµ¹Øº Þ (x )e x dx Þ Ñ Ø Ò Ð Þ f(x) x, g (x) e x Ý g(x) e x, f (x) (x R) Ú Ð ÞØ Ð Ð ÐÑ Þ Ø Èµ ÓÖ C R Ó Ý (x )e x dx (x )e x e x dx + C (x )e x e x + C (x )e x + C (x R). x e x dx Ø Ò Ð Þ f(x) x, g (x) e x, f (x) x, g(x) e x (x R) Ñ ÐÐ ØØ Èµ¹Ø ÞÒ ÐÚ Ô Ù Ó Ý C R Ó Ý ( x e x dx x ) e x x e x + x e x xe x dx + C, dx + C Ð Ø Þ xe x dxº ÒÒ Ñ Ø ÖÓÞ Ö Ð ÐÑ ÞÞÙ Ö Èµ¹Ø f(x) x, g (x) e x, f (x), g(x) e x (x R) Ñ ÐÐ ØØ ÓÖ C R Ó Ý xe x dx x ( ) e x xe x + ( ) e x dx + C e x dx + C xe x 4 e x + C (x R).

25 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ¾ Ý x e x dx x e x xe x 4 e x + C + C ( x x ) e x + C. 4 Å ÝÞ º P n (x)e ax dx Ø ÔÙ ÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø Ò Ð f(x) P n (x), g (x) e ax (x R) Ñ ÐÐ ØØ ÞÒ Ð Ù Èµ¹Ø ØÐ Ø Þ Ö ÓÖ Ñ Þ Ð Ð ÔÓØØ f ¹ еº xcos(x) dx Þ Ñ Ø Ò Ð Ð Ý Ò f(x) x, g (x) cos(x), f (x), g(x) sin(x) (x R) ÓÖ Èµ¹ Ð xcos(x) dx xsin(x) sin(x) dx + C xsin(x) + cos(x) + C (x R). (x + x)ch(x) dx Ø Ò Ø Þ Ö Ð ÐÑ ÞÞÙ Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ø Ø Ñ Ö Ö Ñ Òµ Ô Ù Ó Ý (x + x)ch(x) dx (x + x)sh(x) (x + )sh(x) dx + C [ ] (x + x)sh(x) (x + )ch(x) ch(x) dx + C + C (x + x)sh(x) (x + )ch(x) + sh(x) + C + C (x + x + )sh(x) (x + )ch(x) + C (x R). Å ÝÞ º Þ P n (x)sin(ax + b) dx, P n (x)cos(ax + b) dx, Pn (x)sh(ax + b) dx, P n (x)ch(ax + b) dx Ø ÔÙ ÒØ Ö ÐÓ Þ Ñ ¹ Ø Ò Ð Þ f(x) P n (x) g (x) Ñ Ø ÒÝ Þ µ Ñ ÐÐ ØØ Ð ÐÑ ÞÞÙ (P)¹Ø ØÐ Ø Þ Öµº Ý ( ) x sinx dx x cos x x ( ) cos x dx + C x cos x + xcos x dx + C

26 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË x cos x + [x sin x ] sin x dx + C + C x cos x + xsin x + 4 cos x + C + C ( x + ) cos x + xsin x + C (x R). 4 arctg(x) dx arctg(x) dx xarctg(x) xarctg(x) x + x dx + C xarctg(x) ln( + x ) + C (x R). x + x dx + C arcsin(x) dx arcsin(x) dx x arcsin(x) x dx+c x xarcsin(x) + ( x ) ( x) dx + C xarcsin(x) + ( x ) + C xarcsin(x) + x + C (x R). xarctg(x) dx x x arctg(x) + x dx + C x arctg(x) x + + x dx + C [ x arctg(x) x + dx arctg(x) x + C + x dx (x R). ] + C Å ÝÞ º Þ P n (x)arcsin(x) dx, P n (x)arccos(x) dx, Pn (x)arctg(x) dx, Pn (x)arcctg(x) dx Ø ÔÙ ÒØ Ö ÐÓ Ò Ð g (x) P n (x) f(x) Ñ Ø ÒÝ Þ Ð Ð Ñ ÐÐ ØØ Ð ÐÑ ÞÞÙ (P)¹Øº

27 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ¾ Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ø (P) ÓÖÑÙÐ Ú Ðµ Ð ÞÒ ÐÚ f(x) e x, g(x) cos x (x R) Ú Ð ÞØ Ð e x cos x dx e xsin x x sinx e dx + C ex sin x e x sinx dx + C ex sin x [ ] x cos x x cos x e e dx + C + C ex sin x + 9 ex cos x 4 e x cos x dx + C 9 C (x R) Ú Ø Þ Ñ Ö Ò Þ ÙØ Ò Ó Ý [ e x cos x dx sinx + ] cos x e x + C (x R). Å ÝÞ º ÒØ Ñ Þ Ö Ð ÐÑ Þ Ø ÐØ Ð Ò Þ e ax sinbx dx, e ax cos bx dx Ø ÔÙ ÒØ Ö ÐÓ Ø Ò º sin n (x) dx sin(x)sin n (x) dx cos(x)sin n (x) cos(x)(n )sin n (x)cos(x) dx + C cos(x)sin n (x) + (n ) cos xsin n (x) dx + C cos(x)sin n (x) + (n ) ( sin (x))sin n (x) dx + C cos(x)sin n (x) + (n ) sin n (x) dx (n ) sin n (x) dx + C (x R), Ð Ö Ò Þ Ð Ô Ù Ó Ý sin n (x) dx n cos(x)sinn (x) + n n Þ Þ I n sin n (x) dx Ð Ð Ð Þ sin n (x) dx + C I n n cos(x)sinn (x) + n n I n + C (x R) (x R).

28 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ÝÒ Ú Þ ØØ Ö ÙÖÞ Ú ÓÖÑÙÐ Ø I n ¹Ö º À Ô Ð ÙÐ n Ý sin (x) dx cos(x)sin(x) + x + C. À n Ý sin (x) dx cos(x)sin (x) + sin(x) dx + C cos(x)sin (x) cos(x) + C (x R). ýðø Ð Ò n Ð Ô Ò (n ) Ñ Ô Ù I n ¹Øº Å ÝÞ º À ÓÒÐ Ð Ö Ð Ñ Ø I n cos n (x) dx Ö ÙÖÞ Ú ÓÖÑÙÐ º ÌÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù Ô Ö Ð Ù Þ Ú ÒÝ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÞÓÒÓ Ó Ð ÞÒ Ð ½º º Рغ ËÞ Ñ Ø Þ Ð ÒØ Ö ÐÓ Ø + cos(x) dx ; cos(x) dx ; sin(x) dx ; sh(x) dx ; sin xsin 5x dx ; cos x cos x dx ; sin (x) dx ; sin 4 (x) dx ; ctg (x) dx. cos(x) dx ; Å ÓÐ º cos + cos x x Ó Ý Þ ÖØ Ý ÒÐ Ð cos x + cos x + cos x cos x x π + kπ, k Zº + cos x dx x ] π + kπ, π + kπ[, k Zº dx cos x tg x + C tg x + C k cos x Ú Ø Þ Ñ dx

29 sin x ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ¾ cos x cos x sin x x kπ, k Zº Ý Å Ú Ð Ý ÒÐ Ó Ý sin x cos x Þ Þ cos x dx sin x dx ctg x + C k (x ]kπ, k + π[, k Z). sin x sin x cos x sin x + cos x sin x cos x sin x cos x cos x + sin x, Ý sin x sin x dx cos x ln ( cos x x cos dx + sin x ) + ln ( sin x dx + C ) ( + C ln tg x ) + C k, Ô Ð ÙÐ x ]kπ, (k + )π[, k Zº Ð Ø Ø Ó Ý ( ( sinx dx ln tg x )) + D k (x ](k )π, kπ[, k Z). Þ cos x ( sin x + π ) (x π ) + kπ, k Z Ý ÒÐ Ñ ØØ cos x dx ( sin x + π ) dx ln tg x + π + C k ( ( x ln tg + π + C k, 4))

30 ¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË x + π 4 x + π 4 Þ ]kπ, (k + )π[, k Z Ñ ( ( ( x cos x dx ln tg + π + D k, 4))) ](k + )π, (k + )π[, k Zº sh x sh x ch x ch x sh x sh x ch x ch x sh x (x ) sh x ch x ÞÓÒÓ Ñ ØØ ÐÐ ØÚ Ú Ø Þ º shx dx ch x sh x ( ln sh x ) ( ln th dx ( ln sh x ch x dx + C ) + C ch x ( x + C (x > ), )) ( ( sh x dx ln th x )) + C (x < ) Þ Ñ ÖØ sin α sin β [cos(α β) cos(α + β)] ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù ÞÓ¹ ÒÓ Ñ ØØ sin xsin 5x [cos x cos 8x] (x R), Ý sin xsin 5x dx (cos x cos 8x) dx cos x cos 8x dx + C 4 sinx sin 8x + C (x R). 6

31 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ ÌÙ Ù Ó Ý cos α cos β [cos(α + β) + cos(α β)] α, β¹ö Ý cos x cos x [ ( x cos + x ( x + cos ) x )] [ cos 5x 6 + cos x ] (x R), 6 Þ Ô Ó Ý cos x cos x dx cos 5x 6 dx + cos x 6 dx + C sin 5 6 x + sin x C 5 sin 5 6 x + sin x + C (x R). 6 sin x sin xsin x ( cos x)sin x sinx cos xsin x ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù ÞÓÒÓ Ñ ØØ sin x dx sin x dx + cos x + cos x cos x( sin x) dx + C + C (x R). sin 4 x sin x( cos x) sin x 4 sin x cos x cos 4x 4 8 cos x cos 4x (x R) 8 ÞÓÒÓ Ñ ØØ sin 4 x dx dx cos x dx cos 4x dx + C x sin x sin 4x + C x sin x sin 4x + C (x R). 4 Å ÝÞ º Þ ÙØ Ø Ð Ø Þ sin 4 x dx Ô Ð Ø ÒØ Þ Ñ Ø Ø Ñ Ø Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ò Ð Ú Þ ÐØÙÒ µº

32 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ê ÓÒ Ð Ø Öص Ú ÒÝ ÒØ Ö Ð Ä Ý Ò P n, Q m : R R n¹ ÐÐ ØÚ m¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ a,b R ÓÐÝ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ñ ÐÝ Ò Q m Ò Ñ Þ ÖÙ º Þ R: a,b R, R(x) P n(x) Ú ÒÝØ Ö ÓÒ Ð Ø Öص Ú ÒÝÒ Q m (x) Ò Ú ÞÞ º ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý n m ÓÖ Ð Ø ÞÒ P n m P l n m ÐÐ ØÚ l(< m)¹ Ó µ ÔÓÐ ÒÓÑÓ Ó Ý R(x) P n(x) Q m (x) P n m(x) + P l(x) Q m (x) x a,b ¹Ö º Ä Ý Ò ØÓÚ Q m ÔÓÐ ÒÓÑ R Ð ØØ ÝÒ Ú Þ ØØ ÖÖ Ù Ð Ø ÒÝ Þ Ö Ú Ð µ Ð ÓÒØ Q m (x) A(x a ) α (x a r ) αr (x + p x + q ) β (x + p s x + q s ) βs, ÓÐ A Q m Ý ØØ Ø i,...,r,j,...,s Ø Ò a i,p j,q j R, α i,β j N p j 4q j < Þ Þ x + p j x + q j Ò Ñ ÓÒØ Ø Ð Ú Ð Ð Ó ÔÓÐ ÒÓÑÓ ÞÓÖÞ Ø Ö µº ÓÖ Ð Ø ÞÒ A ik, B jl, C jl R Ó Ý P l (x) Q m (x) A + + A α x a (x a ) α + + A r + + A rα r x a r (x a r ) + αr + B x + C x + + B β x + C β + p x + q (x + p x + q ) β B sx + C s x + + B sβ s x + C sβs + p s x + q s (x + p s x + q s ) βs x a,b Ø Òº Ý Ý Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ P n (x) dx Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ñ ¹ Q m (x) Ø ÖÓÞ Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ý n m¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ ÐÐ ØÚ Þ A (x a) i dx Bx + C (x dx Ø ÔÙ ÒØ Ö ÐÓ Ñ Ø ÖÓÞ Ö º + px + q) j Ð Ø Ò Ñ Ò Ñ Ù Ö ÓÒ Ð Ø Öص Ú ÒÝ ÒØ Ð ÐÐ Ø Ø Ñ Ø ÖÓÞÚ P n m ¹ Ø Ø ÖØ Ò Þ Ö ÔÐ Ý ØØ Ø Ø µº

33 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½º º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ ÓØØ A,B,C R, a R, p,q R (p 4q < ), i,j N Ø Ò Þ ÒØ Ö ÐÓ Øº Å ÓÐ º µ ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý i Ø Ò A dx (x a) i Bx + C (x + px + q) j dx { A x a dx Aln(x a) + C, x > a Aln( (x a)) + C, x < a. i > Ø Ò (x a) i+ A A (x a) i dx i + (x a) i+ A i + + C, x > a + C, x < a. µ Ä Ý Ý Þ Öò ÐÝ ØØ Ø Ñò Þ Øºµ Bx + C (x + px + q) j Bx + C Bx + C [ ( x + p ) p ] j [ ( + q x + p ) ] j + b 4 b j Bx + C x + p b + (x R) j Ñ ØØ ÓÐ q p 4 4q p 4 > Ñ ØØ Ú Þ Ø Ó Ý b q p 4 µ Þ x bt p x + p g(t) (t R) ÐÐ ØÚ g (x) t (x R) b ÐÝ ØØ Ø Ð Ô Ù ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ö Òص C

34 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ó Ý ( Bx + C B bt p ) + C (x + px + q) j dx b j (t + ) j À j Ý Ð Bx + C x + px + q dx B b (j ) + C B p b j b dt tx + p b t (t + ) j dt x + p + t b (t + ) j dt tx + p b B b (j ) ln x + p b + C B p b j Ú Ø Þ x R Ø Òº À j > Ý Bx + C (x + px + q) j dx B arctg x + p b (t + ) j+ b (j ) j + + C B p b j + C + C C + tx p + b (t + ) j dt tx + p b Ú Ø Þ º Í Ý Ò ÓÖ Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ + C

35 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ (t (t + ) j dt + ) t (t + ) j dt t t (t + ) j dt [t (t + ) j+ j + j j (t dt + ) j (t dt + ) j ] dt + C 4 (t + ) j+ j + (t + ) j dt + (j ) t (t + ) j + C 4. Þ ÖØ j > ÓÖ p Bx + C (x + px + q) j dx B C B b (j ) ( j) + b j (j ) t (t + ) j tx+ p+ C B p + j b j j À (t + ) (t + ) j dt tx+ p + C 5. j dt¹ö Þ Ð Ñ Þ ÖØ Ð ÐÑ ÞÞÙ ÐÐ ØÚ ÞØ ØÓÚ ÓÐÝØ Ø Ù Ý ÒØ Ö ÐÙÒ Ú (j) Ð Ô Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø º Å ÝÞ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ñ Ý Þ Ø Ò Þ Ñ Øص Ò Ñ Þ Ò ÓÒÝÓÐÙÐØ ÓÖÑÙÐ Ø ÞÒ Ð Ù Ò Ñ Ñ Ò Ò ÓÒ Ö Ø Ð Ø Ò Ù Ý Ò ÞØ Þ Ð Ö Ø Ú Ø Ñ º ½º º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð ÒØ Ö ÐÓ Ø x + dx ; 5 (x + ) dx ; x + (x )(x + 5) dx ; x + x + x + dx ; x + (x + x + ) dx. x (x + )(x + )(x + ) dx ; (x + )(x + ) dx ; Å ÓÐ º { x + dx x + dx ln(x + ) + C ln( (x + )) + C Þ ½º º Ð Ø µ Ø Ò Ñ Ð Ð Òµº x x + dx ; x + x 5x + 6x dx ; x x x + dx ;, x >, x <

36 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË 5 (x + ) dx 5 (x + ) dx x x + (x ) + x + Ñ ØØ x x + dx 5(x + ) + C, x > 5(x + ) + C, x < 5 x + + C, x > 5 x + + C, x <. (x )(x + ) + x + (x ) dx + x + dx x + x + x x + ln(x + ) + C, x > x x + ln( (x + )) + C, x <. (x ) x + (x ) + (x + 5) (x )(x + 5) (x )(x + 5) x (x, x 5) x Ñ ØØ ( x + (x )(x + 5) dx x ) dx x ln( (x + 5)) + ln( (x )) + C, x < 5, ln(x + 5) + ln( (x )) + C, x ] 5,[, ln(x + 5) + ln(x ) + C, x >. Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý A,B,C R Ó Ý x (x + )(x + )(x + ) A x + + B x + + C x + Ó ÓÐ ÐÓÒ Þ Ò Ú Þ Ö ÓÞÚ Ö Ò ÞÚ x (x + )(x + )(x + ) (x,, ). (A + B + C)x + (5A + 4B + C)x + 6A + B + C (x + )(x + )(x + )

37 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ Ú Ø Þ x,, Ñ ÓÖ Ø Ð Ð Ø x (A + B + C)x + (5A + 4B + C)x + 6A + B + C Ñ Ý Ð Ø (x R), A + B + C, 5A + 4B + C, 6A + B + C. Þ Ý Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö A,B,C¹Ö Ñ ÐÝÒ Ý ÖØ ÐÑò Ñ Óй Ö Ò Ñ Ò Þ Þ ÑÓРе A 6, B, C Ú Ø Þ Ý x (x + )(x + )(x + ) 6 x + x + + x + (x,, ) Ñ Ó Ý x (x + )(x + )(x + ) dx 6 ln( (x + )) ln( (x + )) + ln( (x + )) + C, x <, 6 ln( (x + )) ln( (x + )) + ln(x + ) + C, x ], [, 6 ln( (x + )) ln(x + ) + ln(x + ) + C, x ], [, 6 ln(x + ) ln(x + ) + ln(x + ) + C 4, x >. x + x 5x + 6x (x 5x + 6x) + (5x 6x + ) x 5x + 6x + 5x 6x + x(x 5x + 6) + 5x 6x + x(x )(x ) Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý A,B,C R Ó Ý 5x 6x + x(x )(x ) A x + B x + C x (x,,) (x,,). Ó ÓÐ ÐØ ÓÒÐ Ò Ð ØÚ Ñ ÒØ Þ Ð Þ Ð Ø Ò 5x 6x + x(x )(x ) (A + B + C)x + ( A B 5C)x + 6C x(x )(x ) Ú Ø Þ x,, Ñ ÓÖ Þ A + B + C 5, A B 5C 6, 6C,

38 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ñ Ø Ð Ð A 6, B 5 6, C 6. Þ Ð Ñ ØØ Ý x + x 5x + 6x 6 x x + 6 x (x,,), Ñ Ó Ý x + x 5x + 6x dx x x x x ln( (x )) 6 ln( (x )) + 6 ln( x) + C, x <, ln( (x )) 6 ln( (x )) + 6 ln(x) + C, x ], [, ln( (x )) 6 ln(x ) + 6 ln(x) + C, x ], [, ln(x ) 6 ln(x ) + 6 ln(x) + C 4, x >. Þ x + x dx Þ ½º º Ð Ø µ Ö Þ Ò Ñ Ð Ð ÒØ Ö Ð + x + B, C, p, q j Ñ ÐÐ ØØ Þ Ò p 4q 4 < º Þ x + x + x + x + ( x + ) x + x + + (x R)

39 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ÞÓÒÓ g (x) x + t (x R) ÐÐ ØÚ x t g(t) (t R) ÐÝ ØØ Ø Ó Ý x + x + x + dx 4 x + x + dx t + t + dt + C t (x+ ) t t + dt + t (x+ ) ] ln [ ( ( x + )) + + t + dt + C t (x+ ) ( ( arctg x + )) + C (x R). Þ (x + )(x dx ÒØ Ö Ð Ñ Ø ÖÓÞ ÓÞ Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù + ) Ó Ý A,B,C R Ó Ý (x + )(x + ) A x + + Bx + C x + (x ). Ó ÓÐ ÐØ Þ Ò Ú Þ Ö ÓÞÚ Ö Ò Þ ÙØ Ò Ô Ù Ó Ý (x + )(x + ) (A + B)x + (B + C)x + A + C (x + )(x + ) Ñ Ý Ð Ø A + B, B + C, A + C, Þ Þ A, B, C Ý (x + )(x + ) x + + x + x + (x ). (x ), Þ ÖØ ÒØ Ö ÐÙÒ Ò Þ ½º º Ð Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ñ Ò Ø Ø ÔÙ Ð ÓÖ ÙÐ ØÓÚ µ Ø ÔÙ Ò Ð Ñ Ö Ø Ð Ò ÝÞ Ø Ò Ú Þ º Þ Ø Ý Ð Ñ

40 ¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ú Ú (x + )(x + ) dx x + dx 4 x x + dx + ln(x + ) 4 ln(x + ) + arctg(x) + C, x >, ln( (x + )) 4 ln(x + ) + arctg(x) + C, x <. Þ x x + x x (x ) (x )x (x ) Ý ÒÐ Ñ ØØ x x x + x + dx (x )(x + x ) (x ) (x + ) (x R) x (x ) (x + ) Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý A,B,C R Ó Ý (x, ) x (x ) (x + ) A x + B (x ) + C (x, ), x + Þ Þ x (x ) (x + ) (A + C)x + (A + B C)x A + B + C (x ) (x + ) (x, ), Ñ Ý Ð Ø A + C, A + B C, A + B + C, Þ Þ A 5, B 5, C 5 Þ ÖØ x x x + 5 x + 5 (x ) 5 x + (x, ). Ð Ú Ø Þ Ó Ý x x x + dx 5 x dx + 5 (x ) dx 5 x + dx + C 5 ln( (x )) + (x ) 5 5 ln( (x + )) + C, x <, 5 ln( (x )) + (x ) 5 5 ln(x + ) + C, x ], [, 5 ln(x ) + (x ) 5 5 ln(x + ) + C, x >.

41 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ Þ x + (x dx Þ ½º º Ð Ø µ Ö Þ Ò Þ Ö ÔÐ ÒØ Ö Ð Ô ¹ + x + ) Ð Ø B, C, p, q p 4q < j > º Ý Þ ÓØØ ÞÒ ÐØ Ñ Þ ÖÖ Ð ÓÐ ÓÞ ØÙÒ x + (x + x + ) dx x + [(x + ) + ] dx (t ) + (t + ) dt tx+ + C t (t + ) dt tx+ (t + ) dt tx+ + C (t + ) (t + ) t dt tx+ (t + ) dt tx+ + C x + x + t + dt tx+ + t t (t + ) dt + C x + x + arctg(x + ) + + ) t(t tx+ (t + ) dt tx+ + C 4 x + x + x + x + x + arctg(x + ) + C 5 (x R).

42 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ê ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝÖ Ú Þ Ø ÐÝ ØØ Ø ½º½¼º Рغ Ð ÐÑ ÐÝ ØØ Ø Ð Ú Þ Ú Þ Þ Ð ÒØ Ö ÐÓ¹ Ø Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ ÒØ Ö Ð Ö + x dx ; x( + x + x) dx ; sin x cos x + 5 dx ; tg x + tg x dx ; x 6x 7 dx ; x x + x + 4 dx ; (x + ) x + x + dx ; e x dx. x dx ; x x + sin x + cos x dx ; ( + cos x)sin x dx ; x x + x + dx ; + x x dx ; x (7x x ) dx ; e x dx ; ex Å ÓÐ º Þ Ð ÖÓÑ Ð Ø ÒÒ ÒÒ Ô Ð Ø Ñ ÓÖ Ý ( R x, n ) ax + b cx + d,..., n k ax + b dx cx + d ÓÐ R(u,...,u k+ ) Þ u,...,u k+ Ö ÓÒ Ð Ú ÒÝ µ ÒØ Ö ÐØ ÐÐ Ñ Ø ÖÓÞÒ º ÓÖ Ñ Ò Ö Ñ ÒÝÖ Ú Þ Ø t n ax + b cx + d g (x), g(t) dtn b a ct n x ÐÝ ØØ Ø Ð ÐÑ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒµ ÓÐ n Þ n,...,n k Ø ÖÑ Þ Ø Þ ¹ ÑÓ Ð Þ Ø Þ Ö º

43 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ t x g (x), x t g(t) (t ) ÐÝ ØØ Ø Ò Ð g (t) t Ý ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ö Òص + x dx + t t dt t x + C (t + ) dt t x + C + t dt t x t + dt t x + C x ln( x + ) + C (x ). t x x g (x) ( ) x, x t g(t) (t > ) ÐÝ ØØ Ø Ð g (t) t ( t ) (t > ) Ñ ÐÐ ØØ x x x t dx t t t dt x t x dt x 4 t x 4 x x ( 4 x x ( x + ln + x t ( t ) dt x t x + C + C (t )(t + ) x + C t x ) 4 t + dt x + C t ) x t ( x ln x ) + + C ( x > ).

44 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË t 6 x g (x) (x ), x t 6 g(t) (t ) ÐÝ ØØ Ø Ð g (t) 6t 5 (t ) Ñ ÐÐ ØØ x( + x + x) dx t 6 ( + t + t ) 6t5 dt t 6 x + C 6 t(t + t + ) dt t 6 x + C 6 t(t + )(t t + ) dt t 6 x + C t(t + ) ( ( t ) ) + dt t 6 x + C 4 6 A t + B t + + ( t 4 Ct + D ) + 6 dt t 6 x + C, ÓÐ A,B,C,D ÓÖ Ò ÞÒ ÐØ Ñ Þ ÖÖ Ð Ñ Ø ÖÓÞ Ø Þ Ò¹ Ø Ö ÐÓ Ô Þ ½º Ð Ø Ð Ô Ð Ø º Ú Ø Þ ÖÓÑ Þ ÞÓ Ø Ú Ø µ Þ R(sin x,cos x) dx Ô ¹ Ð Ø ÓÐ R(u,v) Þ u v Ú ÐØÓÞ Ö ÓÒ Ð Ú ÒÝ º ÓÖ Ó Ý Þ ÐÑ Ð Ø Ò Ñ Ö Ð ÞØ µ tg x t g (x) (x ] π,π[ ) ÐÐ ØÚ x arctg(t) g(t) (t R) ÐÝ ØØ Ø Ñ Ò Ö Ñ ÒÝØ ÓÞ Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ ÒØ Ö Ð ÓÞ ÙØÙÒ µ Ù Ý Ò ÓÖ sin(x) sin x cos x sin x + cos x tg x tg x + t t + (t R), cos x cos(x) x sin tg x sin x + x cos + tg x g (t) (t R) Ñ ØØ + t R(sin x,cos x) dx ( ) t t R + t, + t t + t (t R) + t dt ttg x + C

45 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ Ó ÓÐ ÐÓÒ Þ ÒØ Ö Ò Ù Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú Òݺ Þ ÖØ + sin x + cos x dx + t + t + t + t dt ttg x + C + t t + dt ttg x + C ln (tg x ) + + C, tg x + > ( ln (tg x )) + + C, tg x + < sin x cos x + 5 dx 4t + t t + t t dt ttg x + C t + t + dt ttg x + C ( t + ( ) dt ttg x 5 + ) + C ( ) 5 t + dt ttg x + C 5 + tg x arctg C

46 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ( + cos x)sin x dx ( + ) t t + t + t t + (t + )t dt ttg x + C ( A t + Bt + C ) t + + t dt ttg x + C dt ttg x + C, Ñ Ñ Ö Ý Þ Öò Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø º tg x ( + tg x dx x π ] 4, x π, π [ ) Þ Ñ Ø Ø Þ Ð Ñ Þ ÖÖ Ð g (x) tg x t, x arctg t g(t) ÐÝ ØØ Ø Ð º ÓÖ g (t) t + Ý tg x t + tg x dx + t t + dt ttg x + C ( A t + + Bt + C ) t dt ttg x + C, + Ñ Ñ Ö Ý Þ Öò Ò ÓÐÝØ Ø Ø º Ú Ø Þ Ø ÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø Ò Ð Ø Ñ Þ Ö Ò Ð ÓÞ º µ Þ ÓÐÝ Ò ÒØ Ö ÐÓ Ñ ÐÝ Þ R(x, ax + bx + c) dx ÒØ Ö Ð Ô Ð Ø Ý µ a > ÓÖ ax + bx + c ax + t Ú Ý ax + bx + c ax t ; µ c > ÓÖ ax + bx + c tx + c Ú Ý ax + bx + c tx c ; µ x R Ó Ý ax + bx + c ÓÖ ax + bx + c t(x x ) ÐÝ ØØ Ø ÙØ Ò Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝØ ÐÐ ÒØ Ö ÐÒ Ø ÖÑ ¹ Þ Ø Ò Ñ Ò Ò Ø Ò Ñ Ø Þ x g(t) ÐÝ ØØ Ø ¹ Ú ÒÝ Ñ ÐÝÒ t g (x) ÒÚ ÖÞ Ò Ð ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Þ µº

47 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ µ Þ ax + bx + c a [ ( x + b ) + a ] 4ac b 4a Ø Ð Ò ÝÞ ØØ Ð Ø ÐÞ Ñ Ð Ø ÙØ Ø Ñ ÐÝÒ Ð 4ac b d 4ac b Ú Ý d Ð Ð Ð x + b a ÐÝ Ö ÐÝ Ø¹ 4a 4a d Ø Ø Ò sin t¹ø Ú Ý sh t¹ø Ú Ý ch t¹øº Þ x x + x + dx ÒØ Ö ÐÒ Ð x + x + x + t, t x + x + x g (x), x t t g(t) ÐÝ ØØ Ø g (t) t t + Ñ ÐÐ ØØ Ó Ý ( t) x x + x + dx t t ( t t + t ) ( ) t t + ( t) dt t x +x+ x + C, Ñ Ñ Ö Ý Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ ÒØ Ö Ð º Þ Ô Ö Þ Ñ Ð Ó ÑÙÒ Ú Ð Öº Å Ö ÞØ Þ x + x + ( x + ) x + +

48 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ÞÓÒÓ ÐÐ ØÚ Þ ÐÝ ØØ Ø Ó Ý x + sht, x sh t g(t) (t ) x x + x + dx ( ) sh t x + + ( ) 4 sh t ch t dt x + + C tarsh ch t sht dt 4 x + ch t dt 8 tarsh ch t 8 x + + cht 8 tarsh x + 8 ch arsh x + 6 arsh ch t dt tarsh x + tarsh x + + C + C dt x + + C tarsh sh x + arsh + C. Þ x 6x 7 dx Þ Ñ Ø Ò Ð x 6x 7 x + t t x 6x 7 x g (x), x t + 7 t + 6

49 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ÐÝ ØØ Ø g (t) t + t 4 (t + 6) Ñ ÐÐ ØØ Ó Ý x 6x 7 dx ( ) t t + 7 t + t 4 t + 6 (t + 6) dt t x 6x 7 x + C (t + 6t 7) (t + 6) dt t x 6x 7 x + C, Ñ Ú ÞÓÒÝÐ Ý Þ Öò Ò Þ Ð Ø º [ (x ) Å Ö ÞØ Þ x 6x 7 (x ) 6 6 ] ÞÓÒÓ 4 x ch t ÐÐ ØÚ x 4ch t + g(t) ÐÝ ØØ Ø g (t) 4sh t 4 Ñ ØØ Ó Ý x 6x 7 dx (x ) 4 dx 4 4 ch t sh t dt tarsh x + C 4 6 sh t dt tarsh x + C ch t 6 8arsh x 4 4 dt tarsh x + C ( 4 4sh arsh x 4 ) + C (x R). Ñ Ó Ñ Þ Ö ÑÓ Ø ÝÓÖ Ò Ö Ñ ÒÝغ x x tx t x ( x x + ) g (x),

50 ¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ÐÐ ØÚ x t t + g(t) (t R) ÐÝ ØØ Ø g (t) t + 4t + (t + ) Ó Ý + x x dx t + t + t(t )(t + ) dt t x ( x x +) + C ( t + t ) t dt + t x ( x x +) + C [ ln t + ln(t ) arctg t] t x ( x x +) + C. Ñ Ñ ÓÒ ( ( ) ) x + x x (x + ) ( x + ) Þ x + sin t g (t) cos t Ó Ý + x x dx ( t arcsin x + ), x sint g(t), + ( x + ) dx cos t + cos t dt tarcsin x+ + C Ñ Ô Ð ÙÐ tg x t ÐÝ ØØ Ø Ð Ú Ø ØÓÚ º ÅÓ Ø Ø Ñ Þ Ö Ò Ý Ð Ý ÓÖÑ Ò ÝÓÖ º x + x + 4 x t Þ Þ x t 4 (t + ) ÐÝ ØØ Ø Ð x x + x + 4 dx t + t + 4 t(t + ) dt tx x +x+4 + C ( 4 t ) t + (t + ) dt tx x +x+4 + C ln( x + x + 4 x) ln( x + x + 4 x )+ + x x + x C.

51 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ ÈÖ Ð Ñ Ñ Þ ÖØ º 7x x t(x 5) Þ Þ x 5t + t + ÐÝ ØØ Ø Ð x 5t (7x x ) dx + 9 t ] ch[arsh(x + )] sh[arsh(x + )] + C x + x + + C. x + [ 9 t + 4 9t dt t 7x x x 5 7x x t x 5 + C. + C (x + ) x + x + dx (x + ) (x + ) + dx sh t sh t + ch t dt tarsh(x+) + C sh t dt tarsh(x+) + C cth[arsh(x + )] + C + sh (arsh(x + )) x + Þ e x t, x ln t g(t) (t > ) ÐÝ ØØ Ø g (t) t Ó Ý e x t dx ex t t dt te x + C ( A t dt te x t + B ) t + Aln(e x ) + B ln(e x + ) + C, x > ÓÐ A B Ý Þ Öò Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø º + C Þ e x t, x ln t g(t) (t > ) ÐÝ ØØ Ø Ð g (t) t ¹Ú Ð e x dx t t dt te x + C (t > ) Ñ ØØ dt te x Ú Ø Þ º t u, t u + g(u) (u R) ÐÝ ØØ Ø g (u) u

52 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ó Ý t Ý t dt u u + u du u t + C u + u du + u t+ + C [u arctg u] u t + C t arctg t + C. e x dx e x arctg e x + C (x ). ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ó ÐÑ Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ ½º½½º Рغ Ä Ý Ò [a,b] R Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙѺ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø [a,b]¹ò µ P k {x k i xk i a + ib a, i,,,...,k} k Ý ÒÐ Ö Þ Ö Ó ÞØ Ð ÔÓØØ ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Øµ µ P k {x k i a xk < xk < < xk k b} ÓÐ xk,xk,...,xk k Ý Ñ ÖØ Ò ÓÖÓÞ Ø ÝÑ ÙØ Ò Ú Ø Þ Ø º Å ÓÐ º µ x k i x k i xk i b a k Ý P k. sup{ x k i, i,,...,k} i sup b a b a b a lim Þ ÖØ lim k k k k P k Þ Þ Ò k Þ Ö Òص P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Øº µ À k Ö Þ Ø ØØ Ý ÐØ Ø Ð Ñ Øص x k i aq i (i,,...,k) ÓÐ b q k > Ñ ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø µº a ÓÖ x k i xk i xk i aqi (q ) Ý q > Ñ ØØ P k sup{ aq i (q ), i,,...,k} aq k (q ) a i ( b a ) k k ( ) k b a.

53 Í Ý Ò ÓÖ ÓÖÓÞ ØÓ Ö Ø ÒÙÐØ Þ Ö Òص ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ k b lim k a lim k ( ) k b k a b k b lim k a a b a, Ñ Ó Ý lim k P k Þ Þ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø [a,b]¹ Ò º ½º½¾º Рغ Ä Ý Ò f : [a,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú Òݺ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý [a,b] P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø Ö Ð Ø Þ lim s(f,p k) Á k lim S(f,P k) Ī lim O(f,P k) Ī Á k k º Å ÓÐ º Ä Ý Ò ε > ÓØØ ÓÖ Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ð Ñ ØØ δ(ε) > Ó Ý P ¹Ö Ñ ÐÝÖ P < δ(ε) s(f,p) Á < ε, S(f,P) Ī < εº Ä Ý Ò P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø ÓÖ lim P k Ñ ØØ k δ(ε) > ¹ ÓÞ N (δ(ε)) Ó Ý k > N (δ(ε)) Ø Ò P k < δ(ε)º À Ø Ø N(ε) N (δ(ε)) ÓÖ k > N(ε)¹Ö P k < δ(ε) Ý s(f,p k ) Á < ε, S(f,P k ) Ī < ε, Ñ Ø Ö Ø Ò Ñ Øص Þ Ð Ø ÐÐ Ø Øº ÖÑ O(f,P k ) S(f,P k ) s(f,p k )¹ Ð Ò k Ø Òº ½º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ f : [a,b] R, f(x) x Ú ÒÝ b Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø x dx b4 a 4 º a 4 Å ÓÐ º Ä Ý Ò P k ¾º½º Ð Ø µ Ö Þ Þ Ö ÒØ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ Ó¹ ÖÓÞ Ø [a,b]¹ò Þ Þ P k { x k i x k i a + i b a, i,,,...,k }. k Ú ÒÝ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ý Þ [x k i,xk i ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÓÞ Ø ÖØÓÞ m k i ÐÐ ØÚ Mi k ÔÔ Ò Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð ÐÐ ØÚ Ð Ú ÔÓÒØ Ò ÐÚ ØØ Ú ÒÝ ÖØ Þ Þ m k i ( a + (i ) b a ) (, Mi k a + i b a ). k k

54 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Þ ÖØ x k i b a k Ñ ØØ s(f,p k ) S(f,P k ) k ( a + (i ) b a ) b a, k k k ( a + i b a ) b a. k k i i Ý Þ Öò Þ ÑÓÐ Ó Ý s(f, P k ) [ k (i ) + ka + a (b a) k i ( a + a (b a) k + k S(f, P k ) [ k i + ka + a (b a) k i ( a + a (b a) k + + k a(b a) a(b a) k a(b a) a(b a) k k (i ) + i (k )(k ) k + k i + i k(k + ) k + (b a) k (b a) k (b a) 4 ] k i i (b a) 4 ] k (i ) i (k ) k b a k ) (b a) b a k ) (b a) Ý Á lim s(f,p k) b4 a 4, Ī lim k 4 S(f,P k) b4 a 4 Ø Ð Ð ÓÐ k 4 Ð ÞÒ ÐØÙ Þ Ð Þ Ð ØÓØ µ Ñ Ó Ý Á Ī b4 a 4 Þ Þ f 4 b Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ð Þ Ó Ý x dx b4 a 4 º 4 Å ÝÞ º ½º À P k ¹Ò ¾º½º Ð Ø µ Ö Þ Ò Ú Þ ÐØ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓ¹ Þ ØÓØ Ú Ð ÞØ Ù Ý Ñ Ý Þ Öò Ò Ô Ù Ð ØÙÒ ÞÓÒÝ Ø Ø ÐÐ Ò Ö ÞÞ µº ¾º Þ f(x) x (x [a,b]) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÖØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ¹ Ø Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø Áº º Þ Ø º Ø Ø Ð Ð Ú Ø Þ º Þ ÒØ Ö Ð ÖØ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ù Ý Ò Ý Ø ÖØ Ò º a

55 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ð Ò ÐØ Ø Ð ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ Ó ½º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ f(x) x, x [,] Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,]¹ Ò ( x) dx º Å ÓÐ º Þ ÓØØ Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,]¹ Ò Ñ ÖØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ó Ý ÞØ Ñ Ö ÐØ Ð ÒÓ Ð Ò Ö Ú ÒÝ Ø Ò ÓÖ Ò Ñ ÑÙØ ØØÙ µº Þ ÒØ Ö Ð ÖØ Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ô Ð ÙÐ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ s(f,p k ) Ø Ö ÖØ Òغ { Ä Ý Ò Ö Þ Ø ØØ k¹ö P k x k i xk i i } k, i,,...,k ÓÖ ¾º½º й Ø Þ Ö ÒØ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Øº [ i f ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ý Þ [x k i,xk i ] k, i ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÓÞ Ø ÖØÓÞ k m k i f(xk i ) i k, xk i k Þ ÖØ k ( s(f,p k ) i ) k ( k k k i ) k i i k k i k(k + ) k k + k i ( Ñ Ó Ý I lim s(f,p k) lim k + ) k k k º ÞÞ Ð Ð ØÓØ Ñ ÓÐ ÓØØÙ º (k N), ½º½ º Рغ Î Þ Ð Ú Ø Þ Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ø Ø ÖÓÞÞ Ñ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÖØ Ø Ð Ø Þ µ µ f(x) x + 5, x [,] ; {, x [,[ µ f(x) ;, x [,], x [,[ ],] µ f(x) x ;, x

56 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË µ f(x) 5x x + 6, x [,] ; µ f(x) x +, x [ 5,5]. Å ÓÐ º µ Þ f(x) x+5, x [,] Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,]¹ Òº b Á Ñ Ö Ø Ó Ý x dx b a b 5 dx 5(b a) Þ ÖØ x dx a a 5 dx º Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ Ã Ð ÙÐÙ ÁÁºÁº º½º Ø Ø Ðµ Ñ ØØ Ð Ø Þ (x + 5) dx (x + 5) dx x dx + 5 dx +. µ Þ f(x) {, x [,[, x [,] Ú ÒÝ Ó Ý Þ Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø µ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ý Ã Ð ÙÐÙ ÁÁºÁº º º Ø Ø Ð Ñ ØØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,]¹ Ò ÓÖ [,] [,] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ º Å Ú Ð f(x) x [,] Ý f(x) dx dx º Å Ö ÞØ f(x) {, x [,[, x Ý f(x) dx ÖØ Ñ Ø ÖÓÞ Ø [,] Ø Ø Þ Ð P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ s(f,p k ) Ø Ö ÖØ Òغ Ä Ý Ò P k ÓÐÝ Ò Ó Ý P k {x ki xki + ik }, i,,...,k,

57 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ÓÖ m k i (i,...,k), xk i k Ý Þ ÖØ s(f,p k ) k ( ) k, i lim s(f,p k) k ÅÓ Ø Ñ Ö Þ ÒØ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð ØØ Ø Ú Ø Ñ ØØ Ð Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº Áº º º Ø Ø Ðµ µ Þ f(x) dx f(x) dx + f. f(x) dx +., x [,[ ],] f(x) x, x Ú ÒÝ Ó Ý ÞØ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙ µ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ [,]¹ Ò Ý Ò Ñ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º µ Þ f(x) 5x x + 6, x [,] Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º Å Ö ÞØ f Þ f (x) x, f (x) x f (x) 6 (x [,]) Ú ÒÝ Ð Ò Ö ÓÑ Ò º Å Ú Ð Ô Ð ØØÙ Ó Ý b a Ý x dx b4 a 4, 4 b a x dx x dx b a 4, 6 dx 6( ). b a x dx 6 dx 6(b a), 8

58 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Î Ð Ð ÞÒ ÐÚ Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº Áº º Þ Ø ½º Ø Ø Ð Ø (5x x + 6) dx 5 x x dx µ Þ ÞÓÐ Ø ÖØ Ò Ñ ØØ f(x) x + { (x + ), x [ 5, ] x +, x [,5]. f Ô Ð ÙÐ Þ Þ Ø ØØ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø ÐØ Þ¹ Ò ÐÚ µ ÓÐÝØÓÒÓ [ 5,5]¹ Ò Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [ 5,5]¹ÓÒ ¹ ÓÖ [ 5, ] [,5] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ 5 5 x + dx 5 (x + ) dx 5 x dx + 5 dx ( ) ( 5) + ( ( 5)) , x + dx (x + ) dx x dx + dx 5 ( ) + (5 ( )) Þ ÖØ 5 5 x + dx 5 x + dx + x + dx 46. 5

59 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÖ ½º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ µ µ µ µ π 4 (x + 4) dx ( + sinx) dx ; (x + ) dx (x 6x + 8) dx ; x + x 4 dx. (x + 5) dx ; (x ) dx ; Å ÓÐ º Þ ØØ Þ Ö ÔÐ ÒØ Ö ÐÓ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Øص Ð ¹ Ø ÞÒ º µ x + 4 x + 5 x x x + 4 x + 5, x Ý x + 4 x + 5 x [,]º Þ ÖØ Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº Áº º Þ Ø Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÖ µ ½º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ ÒØ Ö ÐÓ Þ ØØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð Ðº µ + sin x x R Ý Þ Ð Þ ØØ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ π ( + sin x) dx π dx (π ), Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ ( µ x + x x x + x ) + 8 4, Ñ x R Ø Ò Þ Ý ÓÖ x [,]º Ð Ô Ö Ð ÞÒ ÐÚ Ø Ø Ð Ò Øµ Ò Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÒØ Ö ÐÖ º

60 ¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË µ x 6x + 8 (x ) (x ) x x x 4, Þ Þ x 6x + 8 x [,4] Ñ Þ Ð Ø Ø ÐØ ÞÒ ÐÚ Ó Ý 4 (x 6x + 8) dx 4 dx, µ ÞØ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø Ò º x + x 4 x + x 4 + x 4 x 4, Ñ x R¹Ö Ø Ð Ð Ý x dx + x 4 x, Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ ½º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý 8 π π 4 sin x x dx 6. Å ÓÐ º Þ f : [ π 4, π ] R, f(x) sin x x Ú ÒÝ Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ñ ÖØ f xcos x sinx (x) xcos x sin x x xcos x sin x x tg x

61 Ñ x Þ ÖØ [, π ] Ø Ò ÐÐ ØÚ m ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ½ [ π 4, π ] [, π ( π ) sin π inf f(x) f x [ π 4, π ] π ( π ) sin π M sup f(x) f 4 x [ π 4, π ] 4 π 4 Ì Ø π sin x x π, f(x) sin x [ π ÓÐÝØÓÒÓ x 4, π ] ] Ø Ò Þº π π 4 π, π. ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Þ ÖØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð m(b a) b a f(x) dx M(b a) ÓÖÑÙÐ Ñ ØØ a π 4, b π sinx, f(x) x, m π, M π π 8 ( π π π sin x 4) x dx ( π π π 4) 6, Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ π 4 Ñ ÐÐ ØØ ½º½ º Рغ Ä Ý Ò f : [,] R, f(x) x º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ð Ø Þ c [a,b] Ó Ý x dx c º Å ÓÐ º f ÓÐÝØÓÒÓ [,]¹ÓÒ Ý Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð ¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ c [,] Ó Ý f(c) c x dx Þ Þ ÐÐ Ø Øº

62 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Þ ÒØ Ö Ð Ú ÒÝ ½º½ º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ F : R R Ú ÒÝ ÐÓ Ð Þ Ð ÖØ ¹ ÐÝ Ø µ F(x) µ F(x) µ F(x) x x π x log + t 5 dt ; sin t + cos t dt ; t 5t + 4 e t + Å ÓÐ º Á Ñ Ö Ø Ð Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Øµ Ó Ý ÓØØ f : [a,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ Ø Ò Þ x F : [a,b] R, F(x) f(t) dt Ú ÒÝØ f ÒØ Ö Ð Ú ÒÝ Ò Ò Ú ÞÞ º Å ÑÙØ ØØÙ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ x [a,b]¹ Ò ÓÖ F (x) f(x)º Ý f ÓÐÝØÓÒÓ [a,b]¹ò ÓÖ F (x) f(x) x [a,b]¹ö Þ Þ F Ý ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò º Å Ò ÖÓÑ Ð Ø f : R R Ú ÒÝ Þ ÒØ Ö Ò Ù Ó µ ÓÐÝØÓÒÓ Ý x R Ø Ò F (x) f(x) Þ Ð Ø Ø Ò Ñ x F(x) G(x t 5t + 4 ) (x R) G(x) e t + Ñ ØØ F (x) G (x )xº µ F (x) log + x 5 (x R) a dt. F (x) + x + x 5 5 x 4 x ±, Ý F ¹Ò x ±¹ Ò Ð Ø Þ Ð ÖØ º F Þ y log y x + x 5 Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ ÓÑÔÓÞ

63 Ý ØÓÚ ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ F (x) 5 x + xx + x, F ( ) 5 4 <, F () 5 4 > Ñ ØØ F ¹Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ò x ¹ Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò x ¹ Òº µ F (x) sin x (x R) + cos x ØÓÚ Ý F (x) sin x x kπ, F (x) cos x( + cos x) + sin x ( + cos x) cos x + ( + cos x) (x R), F (lπ) 9 >, F ((l + )π) 9 < (l Z). Þ ÖØ Þ x lπ (l Z) ÐÝ Ò ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò Ñ Þ x (l + )π (l Z) ÐÝ Ò ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ú Ò F ¹Ò º µ F (x) G (x )x x4 + 5x + 4 x F (x) x,,,, º e x + F (x) Ñ F ( ), F ( ), F (), F (), F () Ñ Ø ÖÓÞ Ú Ð Ô Ù Ó Ý ÐÝ Ò ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ,, ÐÝ Ò ÐÓ Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ú Ò F ¹Ò º ½º¾¼º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ x cos t dt Ø Ö ÖØ Øº Å ÓÐ º µ Þ F(x) µ lim x x ; µ lim x + x (arctg t) dt x + x cos t dt, G(x) x (x R) Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ lim F(x) lim x x x cost F() lim x G(x) lim x x ØÓÚ F (x) cos x G (x) Ñ ØØ lim x F (x) G (x) lim x cos x Ý F

64 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË G Ø Ð Ø Ä³ÀÓ Ô Ø Ð¹ Þ ÐÝ ÐØ Ø Ð Ø Þ ÖØ x cos t dt F(x) lim lim x x x G(x) lim F (x) x G (x). x µ Ä Ý Ò ÑÓ Ø F(x) (arctg t) dt, G(x) x + Ý F (x) (arctg x), G (x) x x +, ÞØ ÐÐ Ò Ö ÞÞ µ lim G(x) + ØÓÚ x lim (arctg x + x) π 4 lim x x x + lim x + lim F(x) + x + x Ñ ØØ F (x) lim x + G (x) π 4 x lim x + (arctg t) dt x + Ý Ä³ÀÓ Ô Ø Ð¹ Þ ÐÝ Ó Ý F(x) lim x + G(x) lim F (x) x + G (x) π 4. Æ ÛØÓÒ¹Ä Ò Þ ÓÖÑÙÐ ÒØ Ö Ð Ñ Þ Ö ½º¾½º Рغ ËÞ Ñ Ø Þ Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÓ Ø µ x dx ; µ π sin x dx ; µ x dx ; µ dx ; µ + x x + 4x + 5 dx ; µ (5x + x + x 5) dx

65 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ Å ÓÐ º Á Ñ Ö Ø Æ ÛØÓÒ¹Ä Ò Þ ÓÖÑÙÐ Ò Úò Ø Ø Ð Ä Ý Ò f,f : [a,b] R ÓÐÝ Ò Ó Ý f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø F ÓÐÝØÓÒÓ [a,b]¹ò Ö Ò Ð Ø ]a,b[¹ò ØÓÚ F (x) f(x) (x ]a,b[ ) ÓÖ b a f(x) dx F(b) F(a) [F(x)] b a. Þ ÒØ Ö Ò Ù Ó Ò Þ Ö ÔÐ f Ú ÒÝ Ñ Ò Ý ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÓØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÓ Ð Ø ÞÒ º ÌÓÚ Ð Ø ÞÒ Þ F ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ø Þ f(x) dx Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö ÐÓ Ò Ñ ÓÐ C Ú Ð ÞØ Ø µº µ f(x) x Ý F(x) x dx x [ x x dx ] 8 ( ). µ f(x) sinx Ý µ f(x) F(x) x Ý sin x dx cos x π sin x dx [ cos x] π cos(π) ( cos()). F(x) x dx arcsin(x) x dx ( ) ( [arcsin(x)] arcsin arcsin ) π ( 4 π ) π 4.

66 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË µ f(x) + x Ý F(x) dx arctg(x) + x [arctg(x)] arctg( ) arctg π π 6 π 6. + x dx ( ) µ f(x) x + 4x + 5 (x + ) + Ý F(x) x + 4x + 5 dx (x + ) + dx x + 4x + 5 dx [arctg(x + )] arctg() arctg( ). µ f(x) 5x + x + x 5 Ý F(x) 5x4 4 + x + x 5x [ 5x x + x 5x ] 9 4. (5x + x + x 5) dx

67 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ½º¾¾º Рغ ËÞ Ñ Ø Þ Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÓ Ø π π π π cos x dx ; sin x dx ; sin xsin x dx ; π π 4 e ctg x dx ; ln x x dx ; x e x dx ; π π π 5x dx ; sin x + sin x dx ; xcos x dx ; Å ÓÐ º arccos x dx ; π x 9 dx ; x Þ f(x) cos x Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø + cos x F(x) sin n x dx ; + x dx ; + cos x ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Ý Þ π cos x dx π x x + dx ; cos x + dx (x [,π]) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý dx sin x x + 4 [ ] sin x π x + π 4. (x [,π]) f(x) ctg x cos x sin x sin x sin ( x sin x x Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º ( ) F(x) sin x dx ctg x x [ π 4, π ]) ( [ π x 4, π ])

68 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Ý Æ ÛØÓÒ¹Ä Ò Þ ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ π π 4 Þ f(x) ctg x dx [ ctg x x] π π 4 π + π 4 + π. 5x (x [, ]) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º Þ F(x) dx 5x 5x (x [, ]) 5x 5 5 ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Þ ÖØ Æ¹Ä ÓÖÑÙÐ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Þ 5x dx [ ] 5x 5 5 ( 7). f(x) sin x sin xsin x ( cos x)sin x sin x + cos x( sin x) (x [,π]) Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÖØ ÓÐÝØÓÒÓ º [sin F(x) sin x dx x + cos x( sin x) ] dx sin x dx + cos x( sin x) dx cos x + cos x (x [,π]) Ú ÒÝ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Ý Æ¹Ä ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ π Þ sin x dx [ cos x + ] π ( cos x ) ( + ) 4. f(x) ln x x (ln x) x (x [,e])

69 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,e]¹òº Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö ÐÓ Ö Ð Ø ÒÙÐØ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ù Ó Ý Þ ln x F(x) dx (ln x) (ln x) (ln x) dx x ln x (x [,e]) Ú ÒÝ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Ý Æ¹Ä ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ Þ e f(x) ln x x dx [ ] e ln x ln e ln. sin x sin xcos x + sin x + sin x ( + sin x) + sin x Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,π]¹òº Þ sin x ( + sin F(x) + sin x dx x) + sin x dx ln( + sin x) (x [,π]) (x [,π]) Ú ÒÝ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Þ ÖØ Æ¹Ä ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ Þ π sin x + sin x dx [ ln( + sin x) ] π ln ln. f(x) sin xsin x [cos(x x) cos(x + x)] cos x [ (x cos 4x π, π ]) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º Þ F(x) sin xsin x dx cos x dx 4 sin x [ (x 8 sin4x π, π ]) cos 4x dx

70 ¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ú ÒÝ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Þ ÖØ Æ¹Ä ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ π π sin xsin x dx [ 4 sinx ] π sin 4x 8 π. Þ x x (x [,]) Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø Þ x e x (x [,]) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ô Ö Ð ÒØ ¹ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ x e x dx [x e x ] xe x dx e xe x dx. Å Ö ÞØ Þ x x (x [,]) Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø Þ x e x (x [,]) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ xe x dx [xe x ] e x dx e [e x ] e [e e ]. Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÞÒ ÐÚ x e x dx e. Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ý Þ Öò Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ñ ÓÒµ ÑÓ Ø Ð ÐÑ Þ Ø Þ ÖØ π π xcos x dx [xsin x] π π π π sin x dx [sin x] π π.

71 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ½ Þ Ð Þ ÓÒÐ Ú Þ Ð Ø Ó Ý Ð ÐÑ Þ Ø Ô Ö Ð Ò¹ Ø Ö Ð Ø Ø Ð Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ ÑÓ Ø arccos x dx arccos x dx [xarccos x] arccos π 6 π 6 x x dx ( x ) ( x) dx ( x ) ( x ) dx π 6 ( 4 π 6 ( x ) ) π 6 +. x dx x À ÞÒ Ð Ø Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ý I n π π sin n x dx π sinxsin n x dx [ cos xsin n (x) ] π [ cos x](n )sin n (x)(cos x) dx

72 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË (n ) (n ) π π sin n xcos dx sin n x( cos x) dx (n )I n (n )I n, Ñ Þ I n n n I n Ö ÙÖÞ Ú ÓÖÑÙÐ Ø I n ¹Ö º Ð Ô I π Ó Ý n k (k N) Ø Ò I k k k dx π I n k + (k N) Ø Ò Ô I k+ π sin x dx Ñ ØØ ÒÒÝ Ò k k I 5 (k ) π 4 6 k, k k + k k I 4 6 (k) 5 k +. Å ÝÞ º Ð Ø Ø Ó Ý cos n x dx sin n x dxº Þ π f(x) x x + (x ) (x ) (x )(x ) (x )(x ) x (x [,]) x Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,]¹ÓÒº Þ F(x) x x + dx x dx x dx ln( x) ln( x) (x [,]) Ú ÒÝ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò Ý Æ¹Ä ÓÖÑÙÐ Ñ ØØ [ x x + dx ln x ] ln ln x ln π ln.

73 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ Þ ÙØÓÐ Ò Ý ÒØ Ö ÐÒ Ð ÐÝ ØØ Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ø ÞÒ Ð Ù Ð ÐÑ x g(t) ÐÝ ØØ Ø Ð À g: [a,b] [c,d] ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø f : [c,d] R ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖ b g(b) f(g(t))g (t) dt f(x) dx a x Þ dx x Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ò a b π Þ ( [ 4 x sin t g(t) t, π ]) ÐÝ ØØ Ø Ð Ð Ò Ý ( π g(), g sin 4) π 4 º x ( [ ]) Þ f(x) x, Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ x ( [ g(t) sin(t) t, π ]) ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ý 4 x sin dx x sin() π 4 π 4 π 8 4. x x dx sin t dt π 4 g(a) π 4 cos t sin t cos t dt sin t dt [ ] π sin t 4 t 4 9 Þ + x dx ÒØ Ö ÐÒ Ð Þ x t g(t) (t [,]) ÐÝ ØØ Ø Ø ÞÒ Ð Ù Ý g (t) t ; a, b Ñ ÐÐ ØØ g(a) g(), g(b) g() 9º Å Ú Ð f(x) + x (x [,9]) ÓÐÝØÓÒÓ g(t) t (t [,]) ÓÐÝØÓ¹ ÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ó Ý

74 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË 9 + x dx π g() g() 4 + x ( ) t + t + t dt 4 + t t + dt dt 4[t ln(t + )] 4[ ln 4]. Þ cos x + dx ÒØ Ö ÐÒ Ð Ñ Ú Ð Þ f(x) R(cos x) cos x + ÓÐÝØÓÒÓ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ð Ú Ø ØØ Þ Ö Òص Þ x arctg t g(t) (t [,]) ÐÝ ØØ Ø Ø ÞÒ Ð Ù º ÓÖ g (t) (t [,]) Ñ ØØ g ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø + t a, b Ñ ÐÐ ØØ g(a) g(), g(b) g() π Ý ÐÝ ØØ ¹ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ π cos x + dx g() g() cos x + dx t + 5 dt ( ) t arctg arctg 5 5. t + t + ( ) t [ arctg dt + t dt ] 5 5 arctg

75 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ÁÑÔÖÓÔÖ Ù ¹ ÒØ Ö ÐÓ ½º¾ º Рغ Î Þ Ð Ù Þ Ð ÑÔÖÓÔÖ Ù ¹ ÒØ Ö ÐÓ ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ý Ø ÖÓÞÞÙ Ñ ÖØ Ø dx ; dx ; x x x dx ; x dx ; dx (p > ) ; xp x + dx. x dx ; ln x dx ; x dx ; 4 x dx ; Å ÓÐ º Þ Ð Ò Ý ÒØ Ö Ð Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø Áº½¾º Þ Ø Ò ½º ¹ Ò Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ø ÔÙ ÓÖÓÐ Ø Ñ ÓÖ Þ ÒØ Ö Ò Ù f : [a,b[ R Ø ÔÙ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ [a,t] [a,b[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø b + Ú Ý ε > Ó Ý f Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ [b ε,b[¹ b t Òº Þ f ÑÔÖÓÔÖ Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò lim f Ú Ø Ö ÖØ a t b a b ÓÖ f. t lim f º a t b a lim x x + Ý Þ f : [,[ R, f(x) x Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Þ [ ε,[ (ε < ) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ù Ý Ò ÓÖ ÓÐÝØÓÒÓ [,t] [,[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,t]¹ò ØÓÚ t x dx [arcsin x]t arcsin t, t [,[.

76 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ð lim t arcsin t π t lim t Ñ ØØ Ô Ù Ó Ý x dx lim t arcsin t π, Ý Þ ÑÔÖÓÔÖ Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò ÖØ Ö x dx π Ø Ð Ðº + Þ dx¹ò Ð a, b +, f : [,+ [ R, f(x) ÓÖ¹ x x Ð ØÓ [,t] [,+ [ ¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ØÓÚ t t t [ ] dx x dx x t x, x t Ñ lim Ñ ØØ Ó Ý t + t t lim t + x dx, Þ Þ Þ ÑÔÖÓÔÖ Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò ÖØ À ÓÒÐ Ñ ÓÒ ÓÐ Ó Ð Ñ ÒØ Ð t + x dx [ln x]t ln t ln ln t, Ñ lim ln t + Ñ ØØ Ó Ý lim t + ÑÔÖÓÔÖ Ù ¹ ÒØ Ö Ð Ú Ö Ò º t t + dx º x x dx + Ý Þ x dx Å ÝÞ º Þ Ð Þ Ø Ð Ø Ú Þ Ð Ø Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø Ò Þ Ö ÔÐ x α dx Ð Ø Ô Ð Ø ÒØ º

77 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ Þ f(x) (x [,+ [) Ú ÒÝ ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØÓÒÓ ÖÑ ÐÝ x [,t] [,+ [ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý t t x dx Å Ö ÞØ ( x)( + x) dx t ( x + ) x [ln(x + ) ln(x )]t ln t + t ln. t + lim t + t [ ln x + ] t x dx lim ln(u) ln() Ñ ØØ Þ Þ Ø ØØ u lim ln t + t + t º Ú ÒÝ Ø Ö ÖØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Þ Ö Òص Ý Þ Þ Þ + t lim t + [ dx lim x t + ln t + t ln ] ln, + dx ÑÔÖÓÔÖ Ù ¹ ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò x x dx ln º Ú Ø Þ Ò Ý ÒØ Ö Ð Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÝÞ Ø ÐÞ ØØ Þ Ø Ò ¾º ¹ Ò Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ø ÔÙ Ý Þ ÒØ Ö Ò Ù f : ]c,a] R Ø ÔÙ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ [t,a] ]c,a] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ¹ Ö Ð Ø ε > Ó Ý f Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ]c,c + ε]¹óòº ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö ÐØ ÓÖ Ò Ú ÞØ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ø Ö ÖØ ØÓÚ ÒØ Ö Ð ÖØ º Þ lim x + a c ÓÖ Þ a f c a lim f Ú ¹ t c+ t f. a lim f Þ Ö ÒØ Ò ÐØ Þ ÑÔÖÓÔÖ Ù t c+ t dx ÒØ Ö ÐÒ Ð c, b, f : ],] R, f(x) ¹Ö x x x + Ñ ØØ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ],]¹ Ò ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØÓÒÓ

78 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË [t,] ],] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ØÓÚ dx x dx x x [ x] t t (t ],]). t t t Ð lim t Ñ ØØ Ô Ù Ó Ý t + lim t + ( t) Þ Þ lim t + t x dx ÓÒÚ Ö Ò x dx x dx º À ÓÒÐ Ñ ÓÒ ÓÐ Ð f(x) x (x ],]) Ñ ÐÐ ØØ Ñ ÐÝ Ð Þ x t x dx [ln x] t ln t (t ],]), lim ln t Ñ ØØ lim t + t + t ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö Ð Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º À f(x) (x ],]) p > Ö Þ Ø ØØ ÓÖ xp ln t, p x p dx t p t p, p p Ð lim ln t, lim t + t + t p dx lim ln t + Þ ÖØ x t + {, < p < +, p > Ñ ØØ Ô Ù Ó Ý +, p lim t + x p dx, < p <, t p Ý dx Ú Ö Ò p ÓÒÚ Ö Ò < p < ÓÖ ÖØ xp p º

79 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ Þ ln x dx ÒØ Ö ÐÒ Ð Þ Ð Ú Ð ÞÓÒÓ Ñ ÓÒ ÓÐ Ó ÙØ Ò Ô Ù Ó Ý t ln x dx t ln x dx [xln x] t t x x dx t ln t [x] t t lnt + t (t ],]). ijÀÓ Ô Ø Ð¹ Þ ÐÝ Ð ÐÑ Þ Ú Ð Ð Ø Ø Ó Ý lim t ln t Ý t + lim ln x dx, Þ Þ Þ ln x dx ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò t + t ln x dx º Þ ÙØÓÐ Ø ÒØ Ö Ð Þ ÐÑ Ð Ø Ò Ø Ö Ý ÐØ ÖÑ Ø ÔÙ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ñ ÓÖ f : ]a,b[ R Ø ÔÙ ]a,b[ Ñ Ò Ø Ú ÔÓÒØ Ú Ý Ý µ Ú Ø ¹ Ð Ò Ú Ý Ú ÔÓÒØÓ Ý ÖÒÝ Þ Ø Ò f Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ØÐ Ñ Ò Ø ÓÐÓ ÒÒ Ðеº ÓÖ lim t a+ s b s f Ú ÖØ ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù t b Ó Ý Þ f ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò ÖØ Ô Ø Ö ÖØ º a Þ dx ÒØ Ö Ð Ø Ò a, b 4 x Ñ ØØ lim x + 4 x +, f(x) 4 x lim x 4 x + (x ],[) Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ÐÐ ØÚ + Ý Ð ÐÑ ÖÒÝ Þ Ø Ò ÓÖÐ ØÓ ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [t,s] ],[ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý s t dx s 4 x t ( dx x ) arcsin x s t arcsin s arcsin t (t,s ],[).

80 ¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ÓÖ lim s arcsin s arcsin π lim t + arcsin t arcsin π Ñ ØØ s lim t + s t 4 x π, Ý + Þ 4 x x + dx ÓÒÚ Ö Ò ÖØ πº dx Ø Ò a, b +, f(x) x + (x R) ÓÐÝØÓÒÓ R¹ Ò Ý [t,s] R Ø Ò Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø s t x + dx [arctg x]s t arctg s arctg t (t,s R). Ð lim s + arctg s π lim t arctg t π Ñ ØØ s lim t s + t + Ú Ø Þ Ø Ø x + x + dx lim t s + [arctg s arctg t] π dx ÓÒÚ Ö Ò ÖØ πº

81 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ½ ËÓÖÓÞ ØÓ ÓÖÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ½º¾ º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ö ÖØ Ø n + n + + n n ; n + + n ; n + n n n + + n n n n + n ; p + p + + n p ( n p+ (p > ) ; sin π n n + sin π n + + sin n ) n π ( + n n + + n ) n. n Å ÓÐ º S n n + n + + n n ( n + n + + n ) n n n i n n i ÑÙØ Ø Ó Ý S n Þ f(x) x (x [,]) Ú ÒÝ Ð Þ Ð Ø Þ P n [,] n Ý ÒÐ Ö ÞÖ Ó ÞØ Ú Ð ÔÓØØ ÐÓ ÞØ Þ Þ s(f,p n ) ÖÑ ÐÝ n N¹Ö º P n ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø [,]¹Ò f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÖØ ÓÐÝØÓÒÓ µ Ý Þ ÖØ lim s(f,p n) n [ x x dx ] lim S n lim s(f,p n) n n., S n n + + n n + n n n n i n n n + i n n ÑÙØ Ø Ó Ý S n ÓØØ n N¹Ö Þ f(x) (x [,]) Ú ÒÝ + x s(f,p n ) Ð Þ Ð Ø Þ P n [,] n Ý ÒÐ Ö ÞÖ Ó ÞØ Ú Ð ÔÓØØ ÐÓ ÞØ º ÓÖ P n ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø f ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÖØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ ¹ Ö Ð Ø [,]¹ Ò ;

82 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ý Þ ÖØ lim s(f,p n) n + x dx [ln(x + )] ln, n S n n + + lim S n lim s(f,p n) ln. n n n n ( ) n n ( ) i i n, + n ( n n n + n ) + + ( n + n) n Ñ Ó Ý n N¹Ö S n Þ f(x) (x [,]) Ú ÒÝ + x s(f,p n ) Ð Þ Ð Ø Þ P n [,] n Ý ÒÐ Ö ÞÖ Ó ÞØ Ú Ð ÔÓØØ ÐÓ ÞØ Ý P n ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø [,]¹Ò f ÓÐÝØÓ¹ ÒÓ Þ ÖØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,]¹ Ò Ø Ø lim s(f,p n) n + x dx [arctg x] S n p + p + + n p n p+ n ( ) i p n n, i arctg arctg π 4, lim S n lim s(f,p n) π n n 4. [( ) p + n ( ) p ( n ) ] p + + n n n Ý S n Þ f(x) x p (x [,]) Ú ÒÝ Ý ÒØ Ö Ð Þ Ð Ø Þ P n [,] n Ý ÒÐ Ö ÞÖ Ó ÞØ Ú Ð ÒÝ ÖØ ÐÓ ÞØ Þ Þ S n σ(f,p n )

83 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ (t i in, i,...,n ) n¹ö º P n ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø f ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ý [ ] x lim σ(f,p n) x p p+ dx n p + p +, Þ ÖØ lim S n lim σ(f,p n) n n p +. ) S n ( sin π n + sin π n + + sin n n π n n ( sin i π n ) n. i Ý f(x) sin(πx) (x [,π]) Ñ ÐÐ ØØ S n σ(f,p n ) (n N) ÓÐ P n [,π] n Ý ÒÐ Ö ÞÖ Ó ÞØ Ú Ð ÔÓØØ ÐÓ ÞØ P n ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ý [ ] cos x π S n π lim S n lim σ(f,p n) n n ( + n + + n + + sin πx dx + n n ) π n n i π. + i n n Þ f(x) + x (x [,]) ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ý ÒØ Ö Ð Þ Ð Ø Þ Ý lim S n lim σ(f,p n) n n ( ). ½º¾ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý ÖÑ ÐÝ x ],]¹Ö º arctg x [ + x dx ] ( + x) n x n+ n + Å ÓÐ º ( ) n x n ( ) n (x ) n n n