Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø ½º Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½º½º n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ð Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ØÙÐ ÓÒ

Átírás

1 ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ò ËÞ ÓÐ ÓÞ Ø Ã Þ Ø ØØ ËØÖ ÒÒ Ö Ð Þ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÐÐ Ø Ì Ñ Ú Þ Ø Ä Þ ÓÚ Å Ð Ý Ø Ñ Ø Ò Ö Ò Ð Þ Ì Ò Þ ØÚ ÄÓÖ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Ì ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ã Ö Ù Ô Ø ¾¼½¼

2 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Ú Þ Ø ½º Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½º½º n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ð Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º º º º º ½º º Ò Ð Ø Ù ÓÖ Ð n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ º º º º º º º º º º º º º º ½º º n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ÃÙÖ ØÓÛ ¹ÍÐ Ñ Ø Ø Ð º º º º º º º º º º ½¼ ¾º ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½ ¾º½º Ö Ø Ð Ø Ú Ú Ð Ò Ò º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º C 1 ¹ Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º C 1 ¹ Ú Ð Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ö Þ Öò ÐÑ ÞÓ C 1 ¹ Ö ÓÒÓ Ð Ú Ð º º º º º º º ¾¾ º Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ¾ º½º Ì Ö ÓÒ ÐÑ Ø Þ Ý Ý Ò Ð º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º Ö Þ Öò n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ý Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º F σ ¹ ÐÑ ÞÓ ½ º½º Ú ¾¹ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ú ¹ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Ú F σ ¹ ÐÑ ÞÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ñ Ð Ø Þ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ñ ÐÝ F σ º º º º º º º º º º º º º º ½

3 Ì ÊÌ ÄÇÅ à ¾ º ÐÐ ÒÔ Ð ÓÒ ØÖÙ º½º ¾¹ Ñ ÒÞ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º¾º À ÐÑ ÞÓ Ø Ö ÞØ n¹ôóòø ÐÑ ÞÞ º º º º º º º º º º º º ¼ º º ËòÖò ÓÐ Ñ òöò n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Þ º º º º º º º º º ½ º º H 1 ¹Ñ Ö Ø Ö Þ Öò n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ º º º º º º º º º º º ¾ º º Å Ó Ø Ö n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Þ º º º º º º º º º º ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ

4 Ú Þ Ø Å Ò Ò ÔÓÞ Ø Ú Þ n Ø Ò n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ò Ò Ú ÞÞ ÞÓ Ø ¹ Ð ÐÑ ÞÓ Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò Ò Ð Ý Ò ÔÓÒØÓ Ò n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þº ÌÖ Ò Þ Ò Ø Ö ÙÖÞ Ú Ð ÒÒÝ Ò Ñ ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò n 2 Ø Ò Ð Ø Þ n¹ôóòø ÐÑ Þº ÖÖ Ð ÞÓÒ Ò Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø¹ Ú Ð ¹ Ñ ÐÝ Ò ÖØ Ð Ñ Ò Þ Ô Ñ Ò Ô Ð Ñ ÖØ Ú Ð Ñ º Æ ÝÓÒ Ò Þ Ñ ÓÐ ØÐ Ò Ö Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø¹ ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ñ Þ Ñ Ñ ÖØ Ó Ý Ð Ø¹ G δ º Ñ Ñ ÖØ Þ Þ Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ò Ñ Ð Ø F σ Ú Ð Ñ ÒØ Ó Ý Ð ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ü Ñ Ð V = L¹ Ð Ú Ø Þ Ó Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Þ ½ º Þ ÙØ Ø Ð Ò Þ ÓÐÝ Ò Ý ØÐ Ò Ð ÒÝ Ö Ñ ÒÝ Ø Ñ Ö Ò Ñ Ø Ò Ñ Ó ÙÒ Ö ÞÐ Ø Ò Ø Ö Ý ÐÒ º Þ ½º Þ Ø Ò Ñ Ú Þ Ð Ù Þ n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ò ÒÝ Ð ÔÚ Ø ØÙÐ ¹ ÓÒ Ø Ð Ø Þ Ø À Ù ÓÖ ¹ Ñ ÒÞ Ø À Ù ÓÖ ¹Ñ ÖØ Øº ÌÓÚ Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ñ Ò Ò Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ Þ ÓÖ Ð Ó Ý Ý Ó¹ Ö Ð n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Ö Ý G δ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ô ÓÐ Ñ òöòº Å ÙÐ Ò Ó Ð Ð ÓÞÓØØ Ð Þ Ö Ö Þ Öò Ö Ú Ð ½ º ÞÓÒÝ ¹ ØÓØØ Ó Ý Ý H 1 ¹Ñ Ö Ø n¹ôóòø ÐÑ Þ Ò Ñ Ð Ø Ö Þ Öò Ñ ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ Ú Þ Ú Þ ØØ Ý ÓÑ ØÖ Ñ ÖØ ÐÑ Ð Ø Ø Ö ÞØ Ö¹ Ø Ó Ý Ð Ø Þ ¹ ÓÖ Ð n¹ôóòø ÐÑ Þº Þ Ò Ö Ñ ÒÝ Ø Ö Ý Ð ÓÞ Ñ Ð Ø Ò Ó Ø ÐÐ ØÙ Ò Ö ÐÐ ØÚ Ö Þ Öò ÐÑ ÞÓ ÐØ ¹ Ð ÒÓ ØÙÐ ÓÒ Ö Ð Þ ÖØ ¾º Þ Ø Ò Ö ÞÐ Ø Ò Ó Ð Ð ÓÞÙÒ ÞÞ Ð Ø Ñ ÖÖ Ðº Å ÙÐ Ò Ö Ñ ÒÝ Ø º Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø º º Þ Ø Ø Þ F σ ¹ ÐÑ ÞÓ Ø Ö Ò Ð ÖØ Ö Ñ ÒÝ Ò Þ ÒØ Ð º Þ Ð ÞÓÒÝ Ø ÖÐ Ø ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò Ó Ý Ý 2¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ð Ø F σ Ä ÖÑ ÒØ Ð ½½ Þ ÖÑ Þ º ÞÓÒÝ Ø Ø Ö Þ Ð Ø Ú Þ Þ Ý Ó Ý Ý 2¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ú Ø Ñ Ô Ó Ý Ý F σ 2¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Øº Ö Ä ÖÑ Ò ÞÓÒÝ Ø ÚÓÐØ ØÓÒ Ó ØÓ Ù Ý Ò ÞØ Þ ØÐ Ø Ø ÞÒ ÐÚ Ý ÐÝ ÞÓÒÝ Ø Ø

5 Ú Þ Ø ÓØØ Þ ÐÐ Ø Ö º à ÓÙ Ö ØÖ Ú Ò Å ÐÐ ÓÒÐ ÓÒ Ó¹ Ð ØÑ Ò ØØ Ð ÞÓÐØ Ó Ý Ý 3¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ Ð Ø F σ º ÞÓÒ Ò Ó Ö ÐÒ Ó Ý n 4 Ø Ò Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ú Ø Ý ÐÝ Ò ÓÖ Ä ÖÑ Ò ÞÓÒÝ Ø Ñ Ò Ñ Ñò º ÓÖ Ö Ñ ÒÝ Ø Ý Ò Þ Ö Ú ÓÙ Ö ØÖ Å ÙÐ Ò Ñ Ø Ð ÐØ Ö ÔÔ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø ÖÖ Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ ÑÑ ÐÝ Ò n Ø Ò Ò Ñ Ð Ø F σ ¹ ÐÑ Þº Þ Ø Ø ÞÞ Ð ÞÓÒÝ Ø Ð Þ Ö Ù º Þ º Þ Ø Ò ÓÐÝ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ú Ð ÞØ Ü Ñ Ø ÞÒ Ð ÓÒ ØÖÙ Ø Ñ ÖØ Ø Ò Ñ ÐÝ ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Ó Ø Ø Ð Ò Ò ÐØ Ø Ð Ú Ð Ò Þ º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø òöò Ð Ø ÓÐ Ñ òöò Ð Ø Ñ Ó Ø Ö Ý Ò Ñ Ö ØÙ¹ Ð ÓÒ µº ÌÓÚ Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ À Ù ÓÖ ¹ Ñ ÒÞ Ð Ø ¾ n 4 ÓÖ Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Öغ Æ Ñ ØÙ Ù ÞÓÒ Ò Ó Ý Å ÙÐ Ò ÑÐ Ø ØØ Ø Ø Ð Ð Ð Ý Ø ¹ H 1 ¹Ñ Ö Ø ÐØ Ø Ð Þ Þ Ó Ý Ð Ø Þ ¹ Ö Þ Öò n¹ôóòø ÐÑ Þº Ã Þ Ò ØÒÝ ÐÚ Ò Ø Ã Þ Ò ØØ Ð Ø ÖØÓÞÓÑ Ø Ñ Ú Þ Ø ÑÒ Ä Þ ÓÚ Å Ð Ò Ö Ò Ø ¹ Ø Ø ØØ ÓÐ ÓÞ Ø Ö Þ Ò ÐÑ Ö Ð Ö Ñ Ñ Ú Ð ÞÓÐ Òº Æ ÝÓÒ Ó Ø Ø ÒÙÐØ Ñ ÞÖ Ú Ø Ð Ð Ú Ð Ø Ð Þ ÑÙÒ ÓÞ Ú Ð ÓÞÞ ÐÐ Ð º Ã Þ Ò Ñ ØÓÚ Ð Å ÖØÓÒÒ ÓÐÝÓ Þ Ð Þ Ð Ø Ò ÓÖ Ò Ð Ø ØØ ÞÒÓ Ñ ÝÞ Øº

6 ½º Þ Ø Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½º½º n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ð Ø Þ ½º½º½º Ò º Ä Ý Ò H R 2 n Nº H ÐÑ ÞØ n¹ôóòø ÐÑ Þ¹ Ò Ò Ú ÞÞ Ñ Ò Ò Ý Ò ÔÓÒØÓ Ò n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º Å ÞÙÖ Û Þ ½ ÞÓÒÝ ØÓØØ ½ ½ ¹ Ò Ó Ý Ð Ø Þ 2¹ÔÓÒØ ÐÑ Þº ÞÓÒÝ Ø Ý Þ Öò ØÖ Ò Þ Ò Ø Ò Ù Ø ÞÒ Ð ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Òݹ ÒÝ Ò ØÚ Ø ÐØ Ð ÒÓ n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ø Ö º Ñ Ð ½ Ë ÖÔ ½ Ðк Ñ Ð Ö ¾ Ò Ø Ð Ð Ø Ö Þ Ô ÓÐ Ð Ò Þ ÐÐ ò ÐØ Ð ÒÓ Ø Ó º Ø Ð Ú ÖØ ÞÐ Ò Ý ÞÓÒÝ ¹ Ø Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ð Ø Þ Ö º ½º½º¾º ýðð Ø º Å Ò Ò n 2 Ø Ò Ð Ø Þ n¹ôóòø ÐÑ Þº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò κ Ð ÓÒØ ÒÙÙÑ Þ ÑÓ Ö Ò Þ Ñº Ý Ò Þ ÒØ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑ Þ ÑÓ {α : 1 α < κ} ÐÑ Þ ¹ Þ ØØ Ð Ø Ø Ò Ø Ý Ô Ù Ý Ò Ò Ý {l α : 1 α < κ} ÐÖ Ò Þ Øº Å Ò Ò α < κ¹ ÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð Ò Ý H α R 2 ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝÒ Þ ¹ ÑÓ Ð Ð ω α Þ ÑÓ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ô Ð Ò def Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙÙѺ H 0 = º Ì Ý Ð Ó Ý α Ö Ú Ø Þ Ö Ò Þ Ñ α = β + 1º Þ l α ¹Ò Ú ÔÓÒØÓ ÓÒØ ÒÙÙÑ Þ ÑÓ ÐÑ ÞØ Ð ÓØÒ Ñ ÞÓÒ l α ¹Ø Ð Ð Ò Þ Ý Ò Þ Ñ Ñ ÐÝ Ð Ð 2 ÔÓÒع Ò Ñ Ø Þ H β ¹Ø Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙÙѺ Ã Ú Ø Þ ÔÔ l α ¹Ò Ú Ò ÓÒ¹ Ø ÒÙÙÑ Ó ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Þ Ð ÑÐ Ø ØØ Ý Ò Ý Ò Ò Ö Ø º À

7 ½º Â Ì Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð H β l α = k n ÓÖ Ú Ð ÞÙÒ n k ÐÝ Ò ÔÓÒØÓØ H α ¹Ø Ò Ð Ù Ý Ñ ÒØ H β Þ Ò ÔÓÒØÓ Ý Ø Øº À α < κ Ð Ñ ÞÖ Ò Þ Ñ ÓÖ Ð Ý Ò H α def = β<α H β H α Ð Ý Ò H α Ú Ó l α ¹Ò Ú ÔÓÒØ ÙÒ Ñ ÐÝ Ø Þ Ð Þ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Þ Þ Ö ÒØ Ð ÐÑ Þ Ú Ð ÔÙÒ Þ ÓØØ Ò H β ¹Ø H α¹ö Ö Ð º Î Ð Ð Ý Ò H = β<κh β. Ä Ø Ø Ó Ý Þ ØÙÐ ÓÒ Ó Ý Ý ÓØØ l Ý Ò Ö H α l n α = 0¹Ö Ø Ð Ð ÙØ Ò Ô Ñ ÐÝ Ð Ô Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ø Ø H l n ÒÒ Ðк ÞØ Ô Ó Ý ØØ Ú Ð Ò Ñ Ò Ò l Ý Ò Ø Ò Ý ÒÐ ÐÐ Þ ÞØÓ Ø Ó Ý Ñ Ò Ò l¹ Þ Ð Ø Þ β Ó Ý l = l β H β Ò Þ Ö ÒØ H l H β l = H β l β = nº ½º¾º Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ØÙÐ ÓÒ Ú Ø Þ Ò n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ À Ù ÓÖ ¹ Ñ ÒÞ Ú Ð Ô ÓÐ ØÓ Ò ¹ ÞÓÒÝ ØÙÒ Ò ÒÝ ÐÐ Ø Øº À Ù ÓÖ ¹Ñ ÖØ ¹ Ñ ÒÞ Ò Ø ¹ Ñ ÖØÒ Ú Þ º Ý H ÐÑ Þ s¹ Ñ ÒÞ À Ù ÓÖ ¹Ñ ÖØ Ø H s (H)¹Ú Ð À Ù ÓÖ ¹ Ñ ÒÞ Ø Ý Þ Öò Ò dim(h)¹ú Ð Ð Ð º Å Ý ÞÞ ØÓ¹ Ú Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÖ Ð Ø Ñ Ò Ò Ò Ð Ø Ù ÐÑ Þ Ñ Ö Ø ÖÑ ÐÝ Ò Ñ ÒÞ À Ù ÓÖ ¹Ñ ÖØ Ö Ò ÞÚ º Ý H s ¹Ñ Ö Ø ÔÓÞ Ø Ú Ú H s ¹Ñ ÖØ ò ÐÑ ÞØ s¹ ÐÑ ÞÒ Ò ¹ Ú Þ Ò º ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ø Ø ÐØ Ø Þ Ö Ó Ù ÞÒ ÐÒ º Ø Ø Ð ¹ ÞÓÒÝ Ø Ð Ý ØØ Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞÓ ÐÝ ØØ ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ö ÑÓÒ ¹ Ú Þ Ö Ô Ð ½¾ º Þ Ø Òº Þ Ò Ð Ø Ù Ø Ñ Ø Ð Ð Ø Ö Ö ¾º½¼º ¹ ÊÓ Ö ½ ¾º º Þ Ø º Ì Ø Ð ÒÝÚ Òº ½º¾º½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 1 Þ 0 s n Ð Ý Ò A R n Ò Ð Ø Ù Ñ ÐÝÖ H s (A) > 0º ÓÖ Ð Ø Þ K A ÓÑÔ Ø s¹ ÐÑ Þº Å Ð ØØ ØÓÚ Ñ ÒÒ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð ÞÐ Ò Ò ÒÝ Ø Ø ÐØ Ñ ¹ ÐÝ Ö Þ Ò Ð Þº ½º¾º¾º Ì Ø Ð ½¾ º º Ì Ø Ðµº À f : R m R n Ä Ô ØÞ¹Ð Ô Þ L ÓÒ Ø Ò Ð 0 s m H R m ÓÖ H s (f(h)) L s H s (H).

8 ½º Â Ì Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ËÔ Ð Ò dim(f(h)) dim(h). ½º¾º º Ì Ø Ð ½¾ ½¼º½½º Ì Ø Ð Ô Ð Ø µº À 1 < s < 2 A R 2 H s ¹Ñ Ö Ø 0 < H s (A) < ÓÖ dim (A (W + x)) = s 1 H s 1 (A (W + x)) < H s ¹Ñº Ѻ x Ø Ò Ñº Ѻ W ÓÖ Ò Ø Ð Ý Ò Ö º ËÞ Ú Ò Þ A ÐÑ Þ Ñº Ѻ ÔÓÒØ Ò Ø Ð Ñº Ѻ Ý Ò ÓÖ ÐÑ Þ Ò Ñ Ø Þ A¹Ø Ñ ÓÖ Ò ÞØ ÐÚ Ö Ù ºµ ½º¾º º ýðð Ø º À A R 2 Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ Þ ÓÖ dim(a) = 1º ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º¾º¾º Ì Ø ÐØ Ý Ý Ò Ö Ú Ð Ñ Ö Ð Ú Ø Ø Ö Ñ ÒØ f Ú ÒÝÖ Ð ÐÑ ÞÚ Ó Ý dim(a) 1º Ñ Ö ÒÝ Ð Ø ÓÞ Ø Ý Ð Ó Ý ÐÐ Ø ÙÒ Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò dim(a) = s > 1º ÓÖ Ø Ø Þ Ð 1 < t < s Ø Ò H t (A) = Ø Ø Ð Ø Þ K A ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ 0 < H t (K) < Þ ½º¾º º Ì ¹ Ø Ð Þ Ö ÒØ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ K¹Ø t 1 > 0 Ñ ÒÞ Ø Ø Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þ Ò Ñ Ø Þ º A¹Ø Ñ Ò Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÒÒ Ó Ý A n¹ôóòø ÐÑ Þº ½º¾º º Å ÝÞ º Þ º½º½º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ A¹Ö Ð Ú Ð Ò Þ ÐØ ÒÒ Ó Ý Ò Ð Ø Ù º ½º¾º º ýðð Ø º À Þ A R 2 ÐÑ Þ n¹ôóòø ÐÑ Þ ÓÖ H 1 (A) = º ÞÓÒÝ Ø º À ÞÒ Ð Ù Þ ½º¾º¾º Ì Ø Ðغ ½º¾º º Å ÝÞ º Ö Ö Ó Ý Ý Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ Þ σ¹ú H 1 ¹Ñ ÖØ ò¹ º Å Ý ÞÞ Ó Ý º Þ Ø Ò Ö ÞÐ Ø Þ ØØ Ènµ Ø Ñ ÐÐ ØØ Þ Þ Ù Ý Ò ÞÚ ØÐ Ò Ú Ø ÞÑ ÒÝ º º¾º Ì Ø ÐÒ º ½º º Ò Ð Ø Ù ÓÖ Ð n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ½º º½º ýðð Ø º Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ Þ ÓÖ Ð º Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ò ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø Ñ ÖÓ¹ Ò ÓÖÖ Ö Ð ½º º¾º Ì Ø ÐÖ Ú Þ Ø Ú Þ Ñ ÐÝ Ø ÞÓÒ Ò Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø ¹ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ò Ö Ú Ø ÓÞ Øº Å Ý ÞÞ ÞÓÒ Ò Ó Ý Ø Ð Ò ÖØ Ø ØÐ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÐ ÖÖ Ò ÑØÖ Ú Ð Ø Ø ÐÖ Ú Ø ÓÞÒ Ñ Þ Ò Å ÐÐ Ö Ñ Ö Ý ½ ¹ Ò ½ Ñ ÝÞ ØØ Ý Ò ÒÝ ÓÖÓ ÞÓÒÝ Ø Øº Þ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Þ º

9 ½º Â Ì Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý A n¹ôóòø ÐÑ Þº ÓÖ Þ (x, y) ÔÓÒØ ÔÓÒØÓ¹ Ò ÓÖ Ú Ò A ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ð Ø ÞÒ u 1,...,u n R Ú Ð Þ ÑÓ Ó Ý u 1,...,u n, y Ô ÖÓÒ ÒØ Ð Ò Þ (x, u 1 ),...,(x, u n ) Aº Ì Ø Þ R 2 \ A ÐÑ Þ C def = {(x, y, u 1,...,u n ) : y u i (i = 1,...,n), u i u j (1 i < j n), (x, u i ) A (i = 1,...,n)} ÐÑ Þ Ú Ø Ð Ø Þ Ð Ø ÓÓÖ Ò Ø Ö Ú ØØ Ú Ø Ø ÐØ Ðº À A Ò Ð Ø Ù ÓÖ C Ò Ð Ø Ù ÒÒ Ú Ø Ð Ø R 2 \ A Þº À Ô A Ñ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ð Ø Ù ÓÖ ÓÖ Ðº ÁØØ ÞÒ ÐØÙÒ Ò ÒÝ Ð Ö ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ø Ø ÐØ Ñ ÐÝ Ø Ñ Þ¹ Ò ÐÙÒ Þ ½º º¾º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÖ Ò Þ Ø ÑÓ Ø Þ Ýò Ø º Å Ò Ñ Ø Ð Ð Ø Ä Þ ÓÚ Å Ð ÝÞ Ø Ò ½¼ ÁÁº Ö Þ Ò º º ¹ Þ Ø Òº À A 1, A 2 R n Þ ÙÒ Ø Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞÓ ÓÖ Ð Ø ÞÒ B 1, B 2 R n Þ ÙÒ Ø ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ó Ý A 1 B 1 A 2 B 2 º Ð ÒÝ ÐÚ Ò¹ Ú Ð Ò Ú Ø Þ Ó Ý A R 2 \ A Ò Ð Ø Ù ÓÖ A ÓÖ Ðºµ À A R n Ò Ð Ø Ù f : A R m ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖ f(a) Ò Ð Ø Ù R m ¹ Òº Ñ ÐÐ ØØ Ñ ÞØ Ó Ù ÞÒ ÐÒ Ó Ý B R ÓÖ Ð f : B R ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø ÓÖ f Ö ÓÒ ÓÖ Ðº ½º º¾º Ì Ø Ðº À A R 2 Ò Ð Ø Ù Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ò A x Ð Þ Ð Ø Ö A x n ÓÖ Ð Ø Þ B ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ó Ý A B B¹Ò Ñ Ò Ò B x Ð Þ Ð Ø Ö B x nº ÞÓÒÝ Ø º ÑÐ ÞØ Ø Ò ÖÖ Ó Ý X ØÓÔÓÐÓ Ù Ø Ö Z Y X ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Z Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð Y ¹ Ò Ð Ø Þ B X ÓÖ Ð Ñ ÐÝÖ B Y = Z Ú Ý Ñ Ù Ý Ò Þ Z ÓÖ Ð Y ÐØ ÖØÓÔÓÐ Òº ÌÓÚ Ñ ÓØØ Ý T ØÓÔÓÐÓ Ù Ø Ö Ý f : Y T Ú ÒÝ ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý f Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø Ñ Ò Ò U T ÒÝ ÐØÖ f 1 (U) Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð Y ¹ Òº Ø Ø ÐØ ÖÓÑ Ö Þ Ò ÞÓÒÝ Ø Ù º ½º À A R 2 Ò Ð Ø Ù Ñ ÐÝÒ Ñ Ò Ò A x Ð Þ Ð Ø Ö A x n ÓÖ Ð Ö Ø A = F 1... F n Ð Ò ÓÐ Ñ Ò Ý F i Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ Ö ÓÒ Þ Þ (F i ) x 1 Ñ Ò Ò x¹ö µº Ä Ý Ò A n,i ÞÓÒ (x, y) A ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö A x = n y Þ A x ¹ Ð ÔÓÒØÓ Ñ Ó ÓÓÖ Ò Ø Ò Ò Ý Þ Ö ÒØ Ö Ò Þ Ò

10 ½º Â Ì Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð Þ i¹ Ð Ñ i = 1,...,nµº ÞØ Þ Ö Ø Ò Ð Ö ÐÐ Ø Ø Ó Ù Ð ØÒ Ó Ý Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò F 1,...,F n A Ú ÒÝ Ö ÓÒÓ Ó Ý A n,i F i Ñ Ò Ò i = 1,..., n¹ö ØÓÚ F 1... F n = A Ñ Ò Ý F i Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð A¹ Ò Ø Ø Ò Ð Ø Ù µº ÞØ Þ ÐÐ Ø Ø n¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ù º Þ n = 1 Ø ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Ä Ý Ò n > 1 Ø Ý Ð Ó Ý Þ ÐÐ Ø Þ n 1¹Ö º Þ A n,i ÐÑ ÞÓ Ò Ð Ø Ù Ù Ý Ò C = {(x, y 1,...,y n ) : (x, y i ) A (i = 1,...,n), y 1 <... < y n } ÐÑ Þ Ñ ÒØ Ú Ó Ò Ð Ø Ù ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø Ò Ð Ø Ù R n+1 ¹ Ò A n,i C ÐÑ Þ ÓÐÝØÓÒÓ Ô Þ (x, y 1,..., y n ) (x, y i ) Ð Ô Þ ÐØ Ðº Ä Ý Ò D def = n 1 i=1 A n,iº ÓÖ D Ò Ð Ø Ù Þ ÙÒ Ø A n,n ¹Ø Ð Ø Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò B ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ó Ý D B B A n,n = º Þ A B ÐÑ Þ Ò Ð Ø Ù Ð Þ Ð Ð n 1 Ð Ñò Þ ÖØ Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Ð Ø ÞÒ ÓÐÝ Ò E 1,...,E n 1 A B Ú ÒÝ Ö ÓÒÓ Ñ ÐÝ Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð A B¹ Ò Ý A¹ Ò µ Ñ ÐÝ Ö (A B) n,i E i º Î Ý ÞÖ Ó Ý A n,i (A B) n 1,i E i Ñ Ò Ò i = 1,...,n 1¹Ö º Þ ÖØ Þ A \ E 1 ÐÑ Þ Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð A¹ Ò Ð Þ Ð Ð n 1 Ð Ñò A n,i+1 (A \ E 1 ) n 1,i Ñ Ò Ò i = 1,...,n 1 Ø Òº À Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ Ò Ù ÐØ Ú Ø Þ ØØ Ð A \ E 1 ¹Ö ÓÖ Þ Ý ÔÓØØ Ú ÒÝ Ö ÓÒÓ E 1 ¹ Ý Ð Ý ØØ Ð Ø ÐØ Ø Ð Øº ¾º Ì Ý Ð Ó Ý A Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ Ö ÓÒ Þ Þ Ð Ø Þ f : H R Ú ÒÝ Ó Ý Gr(f) = Aº ÓÖ f Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø º H = pr 1 (A) ÐÑ Þ Ò Ð Ø Ù R¹ Òº ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒÙÒ Ó Ý Þ f = pr 2 pr 1 1 : H R Ú ÒÝ Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø º Þ Ð Ò Ð ØÒ Ó Ý Ñ Ò Ò c R Ø Ò C def = C(c) def = {(x, y) A : y > c} ÐÑ Þ x¹ø Ò ÐÝÖ Ú ØØ Ú Ø Ð Ø Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð H¹ Òº C A \ C ÐÑ ÞÓ Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð A¹ Ò Ø Ø Ò Ð Ø Ù R 2 ¹ Òº Ñ ØØ pr 1 (C) pr 1 (A \ C) Þ ÙÒ Ø Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞÓ R¹ Ò Ý Þ ØÚ Ð ÞØ Ø ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ð Þ Þ Ð Ø ÞÒ pr 1 (C) B 1 R pr 1 (A \ C) B 2 R Þ ÙÒ Ø ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ º Þ Ô ÞØ Ð ÒØ Ó Ý pr 1 (C) pr 1 (A \ C) Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð pr 1 (A) = H¹ Òº ÈÓÒØÓ Ò Þ ÐÐ f Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø Þº º À f : H R Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø Ú ÒÝ ÓÖ Ð Ø Þ f : R R ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø Ø Ö ÞØ º

11 ½º Â Ì Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½¼ À ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ù Ú Ð Ò Þ Ò Ð Þ Ò Þ Ò Ñ ÒØ Ñ Ö Ñ Ý Þ¹ Ø Ý R¹ Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø Ú ÒÝ Ö ÓÒ ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ R 2 ¹ Òº Ð Þ Ö Ø Ý Ð Ó Ý f ÖØ ÞÐ Ø Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Þ Þ f(h) = def {c 1, c 2,...}º Ä Ý Ò H i = f 1 (c i )º H i ÐÑ Þ Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð H¹ Ò Ñ Ò Ò i¹ö Ø Ø Ð Ø ÞÒ B i R ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ó Ý H i = H B i º Þ ÔÓØØ def B i ¹ Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Þ ÙÒ Ø C i = B i \ j<i B j ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ñ Ö ÞÓ ØÓÚ Ö H i = H C i Ñ Ò Ò i¹ö º Þ { ci, x C i f(x) = 0, x / C i i Ú ÒÝ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò ÓÐÝ Ò Ñ ÐÝ Ø Ö Ò º ÅÓ Ø Ö Ø Ö Ò Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÖ º Å Ò Ò n ÔÓÞ Ø Ú ÞÖ Ò Ð Ù def D i,n = f 1 ([i/n, (i + 1)/n)) H¹ Ò Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø ÐÑ ÞÓ Ø i Zµ Ú Ø Þ H¹Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÖØ ÞÐ Øò Ö Ð Ø Ú ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø Ú ÒÝØ f n (x) = i= i n χ D i,n. ÔÐ Ø Ò χ Di,n D i,n ÐÑ Þ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Ø Ð Ð º Å Ò Ò n¹ö Ð Ø Þ f n ¹Ò ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø f n : R R Ø Ö ÞØ Þ Ð Ø Ø Ó Ý Ñ Ò Ò x H Ø Ò f(x) f n (x) < 1/nº à ÒÒÝ Ò ÞÓÐ Ø Ó Ý Þ E def = {x R : f def n (x) ÓÒÚ Ö Ò } ÐÑ Þ ÓÖ Ð ØÓÚ Þ f = lim f n : E R ÓÖ Ð¹Ñ Ö Ø Ú Òݺ Î Ð Ó Ó Ý H E f H = f H Ý f¹ò Ú Ð ÞØ Ø Ù Þ Ð Ú ÒÝØ { f(x), x E; f(x) def = 0, Ý ÒØ. ½º º n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ÃÙÖ ØÓÛ ¹ÍÐ Ñ Ø ¹ Ø Ð Ò Þ Ð Þ Ø Ò Þ n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ø Ø Ö ÐÑ Ð Ø Þ ÑÔÓÒØ Ð Ú Þ Ð Ù Ñ Ò ÑÓ Ø Ò Ñ ÞÓ Ó Ø Ö ÐÑ Ð Ø Ø Ò Ñ Ö

12 ½º Â Ì Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½½ Ã Ø Ö Ì Ø Ð Þ Ô ÓÐ Ø Ñ ÖØ ÖØ º ÓÐ ÓÞ Ø Þ ÖÞ Ò Ñ ØÙ ÖÖ Ð Ó Ý Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò Þ Ö Ô ÐÒ Þ n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ÐÝ Ò Ö ÒÝ Ñ Þ Ð Ø Þ ÖØ ØØ ÞÓÒÝ ØÙÒ Ò ÒÝ Ý Þ Öò ÐÐ Ø Øº Ð Þ Ö Ö Ú Ò ÑÐ ÞØ Ø Ò Ò ÒÝ Ó ÐÓÑÖ Ø Ø ÐÖ Ñ ÐÝ Þ ØØ Ò Ò Ð ÐØ Ð ÒÓ Ò Ø Ö Ý Ð Ø Ð ½¼ µº Ä Ý Ò (X, d) Ñ ØÖ Ù Ø Öº Ý Y X ÐÑ Þ ÓÐ Ñ òöò Ȳ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ø Ð Ø Ö Ð ÐÐ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó ÓÐ Ñ òöò ÐÑ Þ ÙÒ ÒØ Ñ Ó Ø Ö Ò Ñ Ð Ø Ö Ö Þ Ù Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ö ØÙÐ ÓÒ Ð Ø Þ U X ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ó Ý Þ Y U Þ ÑÑ ØÖ Ù Ö Ò Ð Ø Ö º Ö Ã Ø Ö Ì Ø Ð ÞØ ÑÓÒ Ó Ý (X, d) Ø Ð ÓÖ Ñ Ò¹ Ò U X Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ Ó Ø Ö º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø ØÓÚ Ó Ý Ð Ø Ö G δ ¹ ÐÑ Þ ÓÐ Ñ òöò Ú Ð Ñ ÒØ Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ö ØÙÐ ÓÒ º ½º º½º Ì Ø Ð ÃÙÖ ØÓÛ ¹ÍРѵº À X Y Ø Ð Ñ ØÖ Ù Ø Ö H X Y ÓÐ Ñ òöò Ð Ø Ö Ö Þ Ù Ð Ú Ý Ö ØÙÐ ÓÒ ÓÖ Ð Ø Ö Ó x X Ú Ø Ð Ú Ð H x Ö Ò Ö ÓÐ Ñ òöò Ð Ø Ö Ö Þ Ù Ð Ú Ý Ö ØÙÐ ÓÒ Y ¹ Ò (H x = {y : (x, y) H})º ÌÓÚ H Ö ØÙÐ ÓÒ Ð Ø Ö Ó x X Ú Ø ¹ Ð Ú Ð H x Ð Ø Ö ÓÖ H Ð Ø Ö º ½º º¾º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2 Ð Ý Ò H R 2 Ö ØÙÐ ÓÒ n¹ôóòø ÐÑ Þº ÓÖ H Ð Ø Ö º ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð H¹Ò Ñ Ò Ò Ð Þ Ð Ø n Ð Ñò Ý Ð Ø ¹ Ö ÃÙÖ ØÓÛ ¹ÍÐ Ñ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ H Ð Ø Ö º ½º º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ ÓÖ Ð n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Ö º ½º º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2 Ð Ý Ò H R 2 G δ n¹ôóòø ÐÑ Þº ÓÖ H ÓÐ Ñ òöòº

13 ½º Â Ì Ý Þ Öò ÐÐ Ø Ó n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½¾ ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ Ö ÒØ H Ð Ø Ö G δ Ý ÓÐ Ñ òöòº Þ º Þ Ø Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý H¹Ö Ø ØØ ÐØ Ø Ð Ú Ð Ò Þ ¹ Ù Ý Ò Ð Ø Þ Ñ Ó Ø Ö n¹ôóòø ÐÑ Þº Þ ½º º¾º Ì Ø Ð ÒÝ Ò Þ ÐÑ Þ Ö ÙÐ Ò Ñ Ö ØÙÐ ÓÒ º À Ò Ø Ò Þ ÇÐÚ Ø Ø Ò ÓÒ ÓÐ Ø Ó Ý Ö ÐÒ Ð ØÒ Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ò Ñ Ð Ø ÓÐ Ñ òöò ÓÖ Ð Ú Ø ÞÒ Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ G δ n¹ôóòø ÐÑ Þ ÓÖ ÒÓ ÐÐ Ó Ý Ö Ò Ø Ù Ù Ý Ò ÓÐ Ñ òöò n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Þ Ø ÞÓÐÒ Ó Ù º

14 ¾º Þ Ø ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ¾º½º Ö Ø Ð Ø Ú Ú Ð Ò Ò ¾º½º½º Ò º Ý H R 2 ÐÑ ÞØ Ö Þ ÖòÒ Ú Ý Ö Ø Ð Ø Ò Ò Ú Þ Ò Ð Ø ÞÒ f i : [0, 1] R 2 i = 1, 2,...µ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð¹ Ø Ð Ô Þ Ñ ÐÝ Ö H 1 (H \ i=1 ) f i ([0, 1]) = 0. ¾º½º¾º Ò º Ý H R 2 ÐÑ ÞØ Ö Ñ ÒØ Ò Ú Ý Ø Ð Ò Ö Ø ¹ Ð Ø ØÐ ÒÒ Ò Ú Þ Ò ÖÑ ÐÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø f : [0, 1] R 2 Ð Ô Þ Ø Ò ) H (H 1 f([0, 1]) = 0. Ö Ø Ð Ø Ò Þ ÑÓ Ú Ú Ð Ò Ò Ú Òº ËÓ ÞÓÖ ÓÐݹ ØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ú Ò C 1 ¹ØÙÐ ÓÒ µ ÐÝ ØØ Ò Ð Ý Ò¹ Ä Ô ØÞ¹ ÓÐÝØÓÒÓ ÓØ Ú Ø Ð Ñ º ÞØ Ó Ý Þ Ø Ò Ú Ú Ð Ò ÓÐ Ñ Ó Ù ÞÒ ÐÒ Ñ Ò C 1 ¹Ð Ô Þ Ð Ó ÙÒ Þ ¹ ÑÓÐÒ º Þ Ú Ú Ð Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÞ ÞÓÒ Ò Ý ÓÐÝ Ò Ø Ò ÐÐ ò Ø Ø Ð Þ Ñ ÐÝÖ Þ Ò Ð Þ Ý Ö ÔÔ Ò ÖÖ Ø Ö Ò º ¾º½º º Ì Ø Ð Ï ØÒ Ý Ø Ö ÞØ Ø Ø Ð µº Ä Ý Ò P R Ô Ö Ø ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ Ð Ý Ò f : P R Ö Ò Ð Ø º Þ f Ú ÒÝ ÓÖ ½

15 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½ ÓÖ Ø Ö ÞØ Ø R¹Ö C 1 ¹ Ú ÒÝ ÒØ f ÓÐÝØÓÒÓ P ¹Ò Ñ Ò Ò ε > 0¹ ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ Ò δ > 0 Ó Ý x, y P x y δ Ø Ò f(y) f(x) f (x)(y x) ε y x. ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý Þ f Ú ÒÝ Ø Ö ÞØ Ø Þ Ñ Ý Ò Ö C 1 ¹ Ú ÒÝ ÒØ Ð Ð f¹ñ Ð Ý Ø Ö ÞØ Øº ÓÖ f ÓÐÝØÓÒÓ R¹ Ò Ý P ¹Ò ÓØØ Ñ Ý Þ f ¹Ú Ð Þ ÖØ f Ú Ð Ò ÓÐÝØÓÒÓ P ¹Òº ÌÓÚ f Ý ÒÐ Ø Ò ÓÐÝØÓÒÓ [min P, maxp]¹ò Ø Ø Ñ Ò Ò ε > 0¹ ÓÞ Ð Ø Þ δ > 0 Ó Ý x, y [min P, maxp] x y δ Ø Ò f (y) f (x) εº Ì Ø x, y P x < y y x δ ÓÖ Ä Ö Ò ¹ Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ ξ (x, y) Ó Ý f(y) f(x) = f (ξ)(y x) f(y) f(x) f (x)(y x) = f(y) f(x) f (x)(y x) = = f (ξ) f (x) y x ε y x. ÅÓ Ø Ö Ø Ö Ò Þ Ð ÞÓÒÝ Ø Ö º Ä Ý Ò min P = a maxp = bº Ð Ø Ù Ó Ý (c, d) Þ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ P ¹Ò ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÓÐÝØÓÒÓ h : [c, d] R Ú ÒÝ Ó Ý h(c) = f (c) h(d) = f (d) d h = c f(d) f(c) ( max h f (c) 2 max f (d) f (c), [c,d] f(d) f(c) d c ) f (c). Ä Ý Ò m = (f(d) f(c))/(d c)º À h m ÓÖ Þ d h = f(d) c f(c) ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð h Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÔÓÒØÓ Òº Þ ÖØ Þ ÞÓÒÓ Ò m Ú ÒÝØ Ý Ñ Ó Ø Ù Ó Ý [c, c + η] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò ÐÝ ØØ Ø Ý ÓÐÝ Ò Ð Ò Ö Ú ÒÒÝ Ð Ñ ÐÝ f (c)¹ø Ð m¹ Ð [d η, d] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ô ÐÝ ØØ Ø Ý ÓÐÝ Ò Ð Ò Ö Ú ÒÒÝ Ð Ñ ÐÝ m¹ø Ð f (d)¹ Ð º Þ Ý ÔÓØØ h 1 Ú ÒÝÖ d h c 1 Ú Ð Ø Ö Ð f(d) f(c)¹ø Ð η Ð Ö ÙÐ h 1 ÐØ Ð ÐÚ ØØ ÖØ Þ f (c), f (d), m ÔÓÒØÓ ÓÒÚ Ü ÙÖ Ò Ú ÒÒ Ý max h 1 f (c) max [c,d] ( f (d) f (c), f(d) f(c) d c ) f (c). Ì Ø h 1 ¹ Þ ÓÞÞ Ú Ý Ð ÐÑ ÞÓÐ Ø ÖØ ò c¹ Ò d¹ Ò ÐØòÒ Ú ÒÝØ Ý Ñ Ð Ð h Ú ÒÝØ ÔÙÒ º P ÐÑ Þ Ñ Ò Ý I i Þ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÓÞ Þ Ø Ò Ð Ý h i : I i R Ú ÒÝØ Ñ ÐÝ Ö Ò Ð Þ ÒØ ØÙÐ ÓÒ Ó Ðº Ä Ý Ò g : [a, b] R Þ f Ú ÒÝ P ¹Ö Ð Ú Ð ÓÐÝ Ò Ø Ö ÞØ Ñ ÐÝ P Ñ Ò Ý I i

16 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½ Þ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ñ Ý Þ h i ¹Ú к Ð Ø Ù Ó Ý g ÓÐÝØÓÒÓ [a, b]¹ Òº Þ [a, b] \ P ÐÑ Þ ÔÓÒØ Ò Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Ä Ý Ò ÑÓ Ø x P º À x Ò Ñ ÐÓÐ Ð ØÓÖÐ ÔÓÒØ P ¹ Ò ÓÖ g ÐÖ Ð ÓÐÝØÓÒÓ x¹ Ò Þ Ò Ú Ý x = a Ú Ý x Ý Þ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ó Ú ÔÓÒØ º À ÓÒÐ Ò x Ò Ñ Ó ÓÐ Ð ØÓÖÐ ÔÓÒØ P ¹ Ò ÓÖ g Ó Ö Ð ÓÐÝØÓÒÓ x¹ Òº Ì Ý Ð ÑÓ Ø Ó Ý x ÐÓÐ Ð ØÓÖÐ ÔÓÒØ P ¹Ò º Ä Ý Ò ε > 0 Ø Ø Þ Ð Ð Ý Ò δ > 0 ÓÐÝ Ò Ó Ý y, z P y z δ Ø Ò f (y) f (z) ε f(y) f(z) f (z)(y z) ε y z º Ä Ý Ò u def = min(p [x δ, x]) < xº Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý z (u, x) ÓÖ g(z) g(x) 3εº À z P ÓÖ Þ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º À z / P ÓÖ z Ý (c, d) Þ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ú Ò ÓÐ u c < d < x Þ ÖØ g(z) g(x) g(z) g(c) + g(c) g(x) = g(z) f (c) + f (c) f (x) < ( ) 2 max f (d) f (c), f(d) f(c) f (c) d c + ε 2ε + ε = 3ε. À ÓÒÐ Ò ÞÓÐ Ø Þ Ó Ý x Ó ÓÐ Ð ØÓÖÐ ÔÓÒØ ÓÖ g Ó Ö Ð ÓÐÝØÓÒÓ x¹ Òº ÔÓØØ g Ú ÒÝ Ø Ø ÓÐÝØÓÒÓ º ÍØÓÐ Ð Ô ÒØ ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý g¹ò Þ x f(x) def = g + f(a) a ÒØ Ö Ð Ú ÒÝ Ñ Ý Þ f¹ Ð P ÔÓÒØ Òº Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ f¹ Ö Ø ØØ ÐØ Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý f Ä Ô ØÞ Þ ÖØ Ø Ö ÞØ Ø [a, b]¹ö Ä Ô ØÞ Ú ÒÝ ÒØ Ô Ð ÙÐ Þ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÒ Ú Ð Ð Ò Ö ¹ Ø Ö ÞØ Ðº Â Ð Ð Ø Ö ÞØ ØØ Ú ÒÝØ F ¹ к Ý ÞÓÒ Ò P ÔÓÒØ ¹ Ò ÐÖÓÑÓÐ Ø Ö Ò Ð Ø º ËÞ Ö Ò Ö Þ ÞÓÒ Ò ÒÙÐÐÑ Ö¹ Ø ò ÐÑ ÞÓÒ Ø ÖØ Ò Ø Ñ Ù Ý Ò F Ä Ô ØÞ Ý ÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ Ø Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ö Ò Ð Ø º ÞÓÒ P ¹ Ð ÔÓÒØÓ Ò Ô ¹ ÓÐ F Ö Ò Ð Ø F Ñ ÐÐ Ó Ý Ý ÞÞ Ò f ¹Ú к Î Ð Ò Ö Ò Ð Ø ÞÓ Ò ÔÓÒØÓ Ò ÖÓÑÓÐ Ø Ð Ñ ÐÝ ÝÓÐ Ð ØÓÖÐ ÔÓÒØ P ¹Ò Ñ ÒØ ÞØ ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ ØÒ Ò ÐÝ Ò¹ Ð Ô Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ó Ú Òºµ Ì Ø F (x) = f (x) Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò x P ¹Ö º ÌÓÚ Þ F Ú ÒÝ ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ú Ð Ä Ô ØÞµ Ý Ñ Ò Ò u, v [a, b] u < v¹ö F(v) F(u) = v u F º Î Ý Ò Ý x P ÔÓÒØÓØ Ñ ÐÝÖ x > a Ð Ð I i = (c i, d i )¹Ú Ð P ¹ Ò Þ [a, x]¹ Ð Þ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ø h i ¹Ú Ð Ô Þ ÞÓ ÓÒ ÓÒ ØÖÙ ÐØ Ú ÒÝ Øº ÓÖ

17 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½ x f(x) f(a) = g = g + g = f + h i = a [a,x] P [a,x]\p [a,x] P i I i = f + (f(d i ) f(c i )) = F + (F(d i ) F(c i )) = [a,x] P i [a,x] P i = F + di x F = F = F(x) F(a) = f(x) f(a), [a,x] P i c i a Ø Ø f Ú Ð Ò Ø Ö ÞØ f¹ò º ¾º½º º Ì Ø Ðº À f : [a, b] R Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Ö Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ò ε > 0¹Ö Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò F [a, b] Þ ÖØ ÐÑ Þ Ó Ý λ([a, b] \ F) < ε f F Ø Ö ÞØ Ø [a, b]¹ö C 1 ¹ Ú ÒÝ Òغ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò H ÞÓÒ (a, b)¹ Ð ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ò f ¹ Ö Ò Ð Ø º ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ λ([a, b] \ H) = 0º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý f Ñ Ö Ø H¹Òº ÓØØ η > 0¹Ö n ÔÓÞ Ø Ú ÞÖ Ð Ý Ò H η,n ÞÓÒ H¹ Ð ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö Ø Ð Ð Ó Ý y [a, b] y x 1/n Ø Ò f(y) f(x) f (x)(y x) η y x º Î Ð Ó Ó Ý H η,1 H η,2... n H η,n = Hº à ÒÒÝò ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý Ñ Ò Ý H η,n ÐÑ Þ Ñ Ö Ø º Ý Ñ Ò Ò γ > 0¹Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò n Ó Ý Hη γ def = H η,n ÐÑ ÞÖ λ(hη γ ) > 1 γº Ä Ý Ò ε > 0 ÓØØ Ø ÒØ Þ A def = n Hε/2n 1/n ÐÑ Þغ ÓÖ λ(a) > 1 ε Ñ Ò Ò η > 0¹Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò δ > 0 Ó Ý Ñ Ò Ò x, y A y x δ Ø Ò f(y) f(x) f (x)(y x) η y x º Ä Ø Þ K A ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ λ(k) > 1 ε Ð Ø Þ P K Ô Ö Ø ÐÑ Þ Ó Ý λ(p) = λ(k) Ñ ÖØ Ñ Ò Ò Þ ÖØ ÐÑ Þ Ð ÐÐ Ý Ô Ö Ø Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÐÑ Þ ÙÒ Òغ ÞØ P Ô Ö Ø ÐÑ ÞØ Ú Ð ÞØ Ø Ù F ¹Ò Ù Ý Ò ¾º½º º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ f Ø Ö ÞØ Ø P ¹Ö Ð C 1 ¹ Ú ÒÝ Òغ ¾º½º º ýðð Ø º Å Ò Ý Ó Ý Ö Ø Ð Ø Ò Ø Ä Ô ØÞ Ú Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ð Ó ÐÑ ÞÞÙ Ñ Ù Ý Ò ÞÓ Ð Þ¹ Ò Ö Þ Öò ÐÑ ÞÓ º ÞÓÒÝ Ø º Þ Ý Ö ÒÝ ØÖ Ú Ð Ñ ÖØ Ý C 1 ¹ Ú ÒÝ Ä Ô ØÞ º Ñ Ö ÒÝ ÓÞ Ð Ý Ò H R 2 Ð Ý Ò f i : [0, 1] R 2 Ä Ô ØÞ Ú ¹ ÒÝ Ó Ý H 1 ( H \ i ) f i ([0, 1]) = 0.

18 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½ Ä Ý Ò (ε j ) j N ÔÓÞ Ø Ú Þ ÑÓ Ð ÐÐ ÒÙÐÐ ÓÞ Ø ÖØ ÓÖÓÞ Øº  РРf 1 i ¹ Ý Ð ÐÐ ØÚ f 2 i ¹Ú Ð f i Ð Ñ Ó ÓÓÖ Ò Ø ¹ Ú ÒÝ Øº ¾º½º º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ò i¹ö j¹ö Ð Ø ÞÒ g 1 ij, g2 ij : [0, 1] R C1 ¹ Ú ÒÝ Ó Ý λ([g k ij f k i ]) < ε j k = 1, 2µº ÓÖ Ñ Ò Ò i¹ö j¹ö g ij = (g 1 ij, g 2 ij) Ö Ö Þ Ó Ý λ([g ij f i ]) < 2ε j Ø Ø Þ f i ([0, 1])\ j g ij([0, 1]) ÐÑ Þ Ý ÒÙÐÐÑ ÖØ ò ÐÑ Þ f i ÐØ Ð Ô Ú Ø Þ ÔÔ H 1 ¹ÒÙÐÐÑ ÖØ ò Ñ ÖØ f i Ä Ô ØÞ ½º¾º¾º Ì Ø Ðµº g ij C 1 ¹ Ö Ø Ø Þ ÒØ Ò Ð H¹Ø H 1 ¹ ÒÙÐÐ ÐÑ ÞØ Ð ÐØ ÒØÚ º ¾º¾º C 1 ¹ Ú Å Ñ Ò Ò Ò Ð Ñ Ö Ú Ú Ø Þ Ò ÞÓÒ Ö ÓÞÙÒ Ó Ý Ñ ÑÙØ Ù Ó Ý ÓÖ Ú Ú Ð Ò Ò Ø ÔÙÒ Ö Ø Ð Ø ¹ Ò Ò Ø Ó Ý Þ f i Ö Ò Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Ò Ð Ý Ò ¼ Ö Ú ÐØ Ù Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ð Ý Ò º Þ ÐÝ Ò Ö Ò Ò Ú Ø ÙÒ ¾º¾º½º Ò º Ý C 1 ¹Ó ÞØ ÐÝ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò f : [0, 1] R 2 Ð Ô Þ Ø Ñ ÐÝÖ f ÓÐ Ñ ¼ C 1 ¹ ÚÒ Ò Ú Þ Ò º Å Ð ØØ ÓÞÞ Ó Ò Ò Ú Ø Þ Ð ÑÑ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ñ ÑÐ Ø Ò Ò ÒÝ Ð Ñ ÖØ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ò Ø Ý Þ Öò ÐÐ Ø Øº Þ X Ø Ö Ò Ý µ Ð Ñ ÖØ Ø Ö ÙÐ Ö Ò Ò Ú Þ Ò ÖÑ ÐÝ H X ÐÑ Þ ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ Ò A X µ¹ñ Ö Ø ÐÑ Þ Ó Ý H A µ(h) = µ(a)º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý µ Ö ÙÐ Ö Ð Ñ ÖØ X¹ Ò ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ Þ Þ H 1 H 2... Ú Ð X¹ Ð ÐÑ Þ ÓÖÓÞ Ø ÓÖ ( ) µ H n = lim µ(h n ). n n=1 Ñ Ú Þ Ð Ø Ò Ò Ø Ð Ð Ñ ÖØ Ó Þ Ö Ô ÐÒ Ä Ù Ð Ñ ÖØ Þ Ñ Ý Ò Ò λµ ÐÐ ØÚ Ð Ò Ö À Ù ÓÖ ¹Ñ ÖØ ÓÒ H 1 µº Å Ò ØØ Ö Ð ØÙ Ù Ó Ý Ö ÙÐ Ö Þ ÖØ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ º Ä Ý Ò I J ÓÐÝ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Þ Ñ Ý Ò Ò Ó Ý I Ó Ú ¹ ÔÓÒØ Ñ Ý Þ J Ð Ú ÔÓÒØ Ú Ðº À A I B J Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ñ Ö Ø ÐÑ ÞÓ ÓÖ λ(a B) = λ(a)+λ(b) Þ Ò I Ñ Ö Ø Ý Ð Ú ØØ Þ A B ÐÑ Þغ ¾º¾º¾º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò f : [0, 1] R Ø Ø Þ Ð Ú ÒÝ Ð Ý Ò N = {x [0, 1] : f (x) = 0}º ÓÖ Þ f(n) ÐÑ Þ ÒÙÐÐÑ ÖØ òº

19 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò ε > 0 Ø Ø Þ Ð º Å Ò Ò n ÔÓÞ Ø Ú ÞÖ Ò Ð Ù Þ Ð ÐÑ ÞØ N n def = {x N : f(y) f(x) ε y x, y x 1/n}. Î Ð Ó Ó Ý N 1 N 2... n N n = N Þ Ò N ÔÓÒØ Ò Ö Ú ÐØ ÐØòÒ º ÌÙ Ù Ó Ý λ(n n ) λ(n) λ(f(n n )) λ(f(n))º Å Ú Ð ε Ø Ø Þ Ð ÚÓÐØ Ð Ð ØÒÙÒ Ó Ý λ(f(n)) ε Þ Ô ÞØ Ó Ý λ(f(n n )) ε Ñ Ò Ò n¹ö º Ê Þ Ø Ò Ý n¹ غ Ý Ä Ý Ò I i,n = [(i 1)/n, i/n] i = 1, 2,..., nº ÓÖ f(n n ) = λ(f(n n )) n f(n n I i,n ), i=1 n λ(f(n n I i,n )). i=1 Î Ý ÞÖ Ó Ý Ñ Ò Ò i¹ö f Nn I i,n Ä Ô ØÞ ε ÓÒ Ø Ò Ð Þ N n ÐÑ Þ Ò Ñ ØØ Ý Ñ Ò Ò i¹ö λ(f(n n I i,n )) ελ(n n I i,n )º Ð ÑÑ Ð ØØ Ñ ÝÞ Ò Þ Ö ÒØ Ø Ø λ(f(n n )) n ελ(n n I i,n ) = ελ(n n ) ε. i=1 ÞØ ÖØÙ ÞÓÒÝ Ø Ò º ¾º¾º º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò f : [0, 1] R 2 Ø Ø Þ Ð Ð Ô Þ Ð Ý Ò N = {x [0, 1] : f (x) = (0, 0)}º ÓÖ H 1 (f(n)) = 0º ÞÓÒÝ Ø º ÞÓÒÝ Ø Þ Þ Ö ÒØ Ù Ý Ò Ý Ø ÖØ Ò Ñ ÒØ ¾º¾º¾º Ä Ñ¹ Ñ Ò Ðº ÙÔ Ò ÒÒÝ Ð Ò Ó Ý Þ f Ú ÒÝ ÑÓ Ø R 2 ¹ Ô Þ ÓØØ H 1 Ð Ñ ÖØ Ø Ø ÒØ º ¾º¾º º ýðð Ø º Ä Ý Ò f : [0, 1] R 2 ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ö º ÓÖ f([0, 1]) Ð Ø Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó C 1 ¹ ÚÚ Ð H 1 ¹ÒÙÐÐÑ ÖØ ò й Ñ ÞØ Ð ÐØ ÒØÚ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò N def = {x [0, 1] : f (x) = (0, 0)}º Þ N ÐÑ Þ Þ ÖØ Ý [0, 1] \ N Ð ÐÐ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Þ ÙÒ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÙÒ ÒØ Ñ ÐÝ Ò f¹ò ÓÐ Ñ ÒÙÐÐ Ö Ú ÐØ º Þ Ø Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ø Ø¹ Ð Ö Þ Ö ÓÒØÚ Ð Ö Ø ÞØ Ó Ý [0, 1] \ N Ñ Þ ÑÐ Ð ¹ Ø Ó ÓÐÝ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÙÒ Ð Ý Ò Ñ ÐÝ Ò f Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑòº

20 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ½ Å Ò Ý ÐÝ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÙÒ ¹ ÒØ Ð ÖÚ Ô Ù f([0, 1] \ N) Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó C 1 ¹ ÚÚ Ð Ú Ð Øº Ñ Ö f(n) ÐÑ Þ ¾º¾º º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ H 1 ¹ÒÙÐÐÑ ÖØ ò Ý Þ Ò Ú ÝÙÒ º ¾º¾º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ö Ø Ð Ø Ò Ò ÐØ Ø Ó Ý Ö C 1 ¹ Ú º ¾º º C 1 ¹ Ú Ð Ö ÒØ ¾º º½º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò h : [0, 1] R 2 C 1 ¹ Ú Ð Ð Ô Ø Γ¹Ú Ðº Ä Ý Ò ØÓÚ E = {p Γ : Γ¹Ò Ð Þ Ö ÒØ p¹ Ò}º ÓÖ λ(pr 1 (E)) = 0º ½º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò h = (h 1, h 2 )º Γ Ö Ò p = h(x) ÔÓÒØ Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Þ Ö ÒØ h 1(x) = 0º Þ N def = {x [0, 1] : h 1 (x) = 0} Ð Ð Ø Ú Þ ØÚ Ú Ð Ó Ó Ý pr 1(E) = h 1 (N)º ¾º¾º¾º Ì Ø Ð Ô ÔÓÒØÓ Ò ÞØ ÑÓÒ Ó Ý Þ ÒÙÐÐÑ ÖØ òº À Ñ Ö ÓÒØ Ò Ò Ó ÐÑ Ø Ý Ò Ø Ñ Ö Ò Þ Ñ ÖØ Ø Ø ÐØ ÓÖ Þ ÒØ ÓÒ ÓÐ Ó Ò Ð Ð ÔÙÒ Ý Ñ ÞÓÒÝ Ø Øº ¾º º¾º Ò º Ä Ý Ò H R 2 x Hº Þ { αv : α 0, v R 2, v = 1, {x i } i=1 H \ {x} x i x x i x } x i x v ÐÑ ÞØ H ÐÑ Þ x ÔÓÒØ Ð ÓÒØ Ò Ò Ò Ò Ú ÞÞ cont x (H)¹Ú Ð Ð Ð º ¾º º º Ì Ø Ð ÓÒØ Ò Ò Ø Ø Ð Ú Ø Ø Þ Ø µº ½ Á º Þ Ø º º Ì Ø Ð Ä Ý Ò H R 2 Ú Þ Ú Ø Þ Ð Ð Ø A 1 def = {(x, y) R 2 : x 0} A 2 def = {(x, y) R 2 : x 0} Ä Ý Ò ØÓÚ A 3 def = {(x, y) R 2 : x = 0}. ÓÖ λ(pr 1 (B)) = 0º B = {x H : cont x (H) {A 1, A 2, A 3 }}.

21 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ¾¼ ¾º ÞÓÒÝ Ø ¾º º½º Ä ÑÑ µº Γ Ö Ò Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ò Ý Ò ÓÒ¹ Ø Ò Ò ÔÓÒØÓ Ò ÓØØ Ð Þ Ö ÒØ ÓÐ ÓÒØ Ò Ò Ð Ý Ò Þ Þ A 3 Ó Ý Ò Þ Ñ ÒØ Ð ÐØ º Þ Ò ÔÓÒØÓ x¹ø Ò ÐÝÖ Ú ØØ Ú Ø Ð Ø ¾º º º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ú Ð Ò ÒÙÐÐÑ ÖØ òº ¾º º½º Ä ÑÑ Ö ÑÙØ ØÙÒ Ý ÖÑ ÞÓÒÝ Ø Ø Ñ ÐÝ Å Ùй Ò Ò ½ Þ Ö Ô Ðº ÀÓ Þ Ù Ý Ò Ñ ÒØ Þ Ú ÞÓÒØ Ò Þ ÐÐ Ñ Þ ÖØ Þ Ö Ø Ð Ú ÖØ ÞØ Þ Ð º Þ Þ Ò Ð Þ Î Ø Ð ¹ Ó ÐÑ Ö Î Ø Ð Ø Ø Ð Ö º Î Ð Þ Òò¹ Ð Ñ Ò ØØ Þ Ñ ÖØ Ý Ö ÞÐ Ø Ò Ò Ñ Ó Ð Ð ÓÞÙÒ Ú Ð º ¾º º º Ò º Ä Ý Ò H R n Ð Ý Ò V Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ Ð ÐÐ Ö Ò ¹ Þ Öº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý V Î Ø Ð ¹ H¹Ò Ñ Ò Ò x H Ñ Ò Ò δ > 0 Ø Ò Ð Ø Þ F V Ó Ý x F 0 < diam(f) < δº ¾º º º Ò º V ÓÖÐ ØÓ Ñ Ö Ø ÐÑ ÞÓ Ð ÐÐ R n ¹ Ð ÐÑ Þ¹ Ö Ò Þ ÖØ Ö ÙÐ Ö Ò Ò Ú ÞÞ Ð Ø Þ C > 0 ÓÒ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò V V Ø Ò diam(v ) n Cλ n (V ). ¾º º º Å ÝÞ º Þ Ó Ý Ý ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ö ÙÐ Ö ÞØ Ð ÒØ Ø Ø Ó Ý ÒÒ Ð Ú ÐÑ ÞÓ Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ö Ò Ñ Ð ÔÓ Ó ØÒ Ðº Ì Ø ÓÒÐ ÐÑ ÞÓ Ð ÐÐ Ö Ò Þ Ö Ô Ð ÙÐ Ö ÙÐ Ö ÓÒ Ú ÞÓÒØ Þ Þ Ø Ð Ð Ô Ð ÐÐ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Þº ¾º º º Ì Ø Ð Î Ø Ð Ø Ø Ð µº Ä Ý Ò H R n Ð Ý Ò V ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞÓ Ð ÐÐ Ö ÙÐ Ö ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ñ ÐÝ Î Ø Ð ¹ H¹Ò º ÓÖ Ð Ø Þ F 1, F 2,... V Ú Ú Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ò Ô ÖÓÒ ÒØ Þ¹ ÙÒ Ø ÐÑ ÞÓ Ð ÐÐ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ λ n (H \ i F i) = 0º ¾º º º Å ÝÞ º ½µ Å Ý ÞÞ Ó Ý ÑÑ Ú Ð Ñ Þ Ø Ø ÐØ ÒÒ H¹Ö к ËÓ ÞÓÖ Ñ Ö Ø Ú Ý Ú Ð Ñ ÖØ ò Ú Ý ÓÖÐ ØÓ H¹Ö ÑÓÒ Ø Ø ÐØ Þ Ý Ñ Þ º ¾µ Å ÒÒ Ø Ø ÐÒ ÞØ Ô Ð Ø Ø Ó Ù ÞÒ ÐÒ Ñ ÓÖ n = 1 V ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ð ÐÐ Ö Ò Þ Öº Ø Ø ÐØ Ý ÒØ ÔÓÒØ ÖÖ Þ ØÖ ÞÓÒÝ ØÓØØ Ö Ø Ð Î Ø Ð ½ ¼ ¹ Òº º ÞÓÒÝ Ø ¾º º½º Ä ÑÑ µº  РРL¹Ð Ð Γ Ö Ó Þ Ø Ð Ý Ò V def = pr 1 (E)º V ÐÑ Þ ÓÑÔ Ø Ø Ø Ñ Ö Ø Ú Ñ ÖØ òº Ì ¹ Ý Ð Ó Ý Þ ÐÐ Ø Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò λ(v ) > 0º Ä Ý Ò M def = 3L/λ(V )º

22 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ¾½ Ì ÒØ V def = {[x ε, x + ε] : x V, Ð Ø Þ y R, Ó Ý (x, y) Γ, Γ B((x, y), ε 1 + M 2 ) C((x, y), M) Γ S((x, y), ε 1 + M 2 ) } ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ Ò Þ ÖØ ÓÐ C((x, y), M) ÞØ ØØ ÔÓØ Ð Ð Ñ ÐÝÒ Þ (x, y) ÔÓÒØ Ø Ò ÐÝ ÓÒ Ø Ð Ð Ý Ò ¹ Ø ÖÓÐ Ý Ò ÓÒ Ø Ð ±M Ñ Ö ò Ý Ò ØÓÚ S((x, y), ε 1 + M 2 ) Þ (x, y) Þ ÔÔÓÒØ ε 1 + M 2 Ù Ö ÖÚÓÒ Ð Ú Ð B((x, y), ε 1 + M 2 ) Þ (x, y) Þ ÔÔÓÒØ ε 1 + M 2 Ù Ö Þ ÖØ ÖÐ Ôº à ÒÒÝò ÐÐ Ò Ö ÞÒ Ó Ý V Î Ø Ð ¹ V ¹Ò Ý Î Ø Ð Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ Ú Ú Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ò Ó Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø I i = [x i ε i, x i +ε i ] V ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ó Ý λ(v \ i I i) = 0º Þ ÖØ i λ(i i) λ(v ) Ø Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò k ÔÓÞ Ø Ú Þ Ó Ý k 2ε i = i=1 k i=1 λ(i i ) > 2 λ(v ). 3 ¾º½º Ö º

23 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ¾¾ Å Ò Ò i = 1, 2,..., k Ø Ò I i V Ý Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò y i Þ ÑÓ Ñ ¹ ÐÝ Ø Ð Ø V Ò Ò Ñ Ó ÐÑ ÞÓØØ ÐØ Ø Ð Ø Ñ Ð Ð I i ¹ Ö Ò ÞÚ Þ ÖØ Ú Ð ÞØ ØÙÒ ÓÐÝ Ò t i ¹Ø s i ¹Ø Ó Ý h(t i ) = (x i, y i ) h(s i ) S((x i, y i ), ε i 1 + M2 ) ØÓÚ h Þ s i t i Þ ØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ C((x i, y i ), M) B((x i, y i ), ε i 1 + M2 ) ÐÑ Þ Ô Þ ¾º½º Ö Ò Þ Ø ÐÑ ÞÓ Ø Ð ÐØ Ø ÖÓÞ Ðµº Þ s i t i ÔÓÒØÓ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ý L k h(s i ) h(t i ) = i=1 k ε i 1 + M2 > M i=1 k i=1 ε i > M λ(v ) 3 = L, Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ø Ø Ú Ð Ò λ(v ) = 0 Ó Ý ÐÐ ØÓØØÙ º ¾º º Ö Þ Öò ÐÑ ÞÓ C 1 ¹ Ö ÓÒÓ Ð Ú Ð Ú Ø Þ Ø Ø Ð ÞØ ÐÐ Ø Ó Ý Ý Ö Þ Öò ÐÑ Þ Ò Ñ C 1 ¹ Ú Ð Ò Ñ C 1 ¹ Ú ÒÝ Ö ÓÒ Ú Ð Ú ÞÓÒÝÐ Ð Ø º ¾º º½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò H R 2 Ø Ø Þ Ð Ö Þ Öò ÐÑ Þº ÓÖ Ð Ø ÞÒ g i : [a i, b i ] R i = 1, 2,...µ C 1 ¹ Ú ÒÝ Ó Ý ( λ (pr 1 H \ )) Gr(g i) = 0. i ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò h j : [0, 1] R 2 j = 1, 2,...µ ÓÐÝ Ò C 1 ¹ Ú Ó Ý H 1 (H \ j Γ j) = 0 ÓÐ Γ j Ð Ð h j Ô Øº Î Ø Ø ÓÖ Ò À Ù ÓÖ ¹Ñ ÖØ Ò Ñ Ò Ý λ(pr 1 (H \ j Γ j)) = 0º Þ ÖØ Ð Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò j¹ö Γ j ¹ Þ Ø Ð Ð Ø C 1 ¹ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ö ÓÒ ÞØ Ð Þ Þ Þ ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ö Þ Öò ÐÑ Þ ÐÝ ØØ Ð C 1 ¹ Ú Ö ÞÓÒÝ Ø Ò º Ä Ý Ò Ø Ø h = (ϕ 1, ϕ 2 ) : [0, 1] R 2 C 1 ¹ Ú Ð Ð Γ¹Ú Ð h Ô Øº Î Þ Ú Ø Þ Ð Ð Ø E def = {p Γ : Γ¹Ò Ð Þ Ö ÒØ p¹ Ò}. ¾º º½º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ λ(pr 1 (E)) = 0 Ý Ð Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Γ \ E Ð Ø Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó C 1 ¹ Ú ÒÝ Ö ÓÒ Ú Ðº À p Γ \ E ÓÖ Ð Ý Ò t p = h 1 (p) δ p > 0 ÓÐÝ Ò Ó Ý s t p δ p Ø Ò Γ Ö h(s)¹ Ð Ö ÒØ Ò Ñ Ö ÞÓÐ Ø ÖØ Ò

24 ¾º Â Ì ýðø Ð ÒÓ ØÙ Ò Ú Ð Ö Ø Ð Ø ÐÑ ÞÓ Ö Ð ¾ Ð Ð M p + 1 ÓÐ M p ¹Ú Ð h(t p )¹ Ð Ö ÒØ Ñ Ö Ø Ð Ð º Î Ð Ó Ó Ý ϕ 1(s) 0 s [t p δ p, t p + δ p ] def = J p º Ä Ý Ò ØÓÚ [a p, b p ] def = ϕ 1 (J p )º Þ Ú Ð Ó Ó Ý ϕ 1 Jp C 1 ¹ ÓÑÓÖ ÞÑÙ J p [a p, b p ] Þ Øغ Î Ð Ð Ý Ò g p : [a p, b p ] R u ϕ 2 (ϕ 1 1 J p (u)) Ñ Ò Ò p Γ\E¹Ö º Î Ð Ó Ó Ý g p ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø º ÞÞ Ð Ñ ÔØÙ Γ \ E ÐÑ Þ C 1 ¹ Ú ÒÝ Ö ÓÒ ÐØ Ð ¹ غ Ð Þ ÖØ Ð Ø Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ø Ú Ð ÞØ Ò Ñ ÖØ {J p } p Γ\E ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ Ò Þ Ö ÙÒ h 1 (Γ \ E) ÐÑ Þ ÒÒ Ò Ø Ø Ð ¹ Ø Þ {J pi } i N Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ö Þ Þ Þ Þ p i ¹ Þ Ø ÖØÓÞ g pi Ú ÒÝ Ö ÓÒ Ð Γ \ E¹Øº ¾º º¾º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ý H R 2 Ö Þ Öò ÐÑ ÞØ Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ð Ý Ò Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þº

25 º Þ Ø Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Þ Ò Þ Ø Ò Ñ ÖØ Ø ØØ Ö Ñ ÒÝ Å ÙÐ Ò Ò Ú Þ òþ Ò º Æ Ñ ÓÐÝ Ò Ö ÞÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ó Ð Ù Ý Ò Ñ ÒØ Ò Þ Ø Ò Ñ Ò Ñ Ø Ð Ð Ø Å ÙÐ Ò Ò ½ º º½º Ì Ö ÓÒ ÐÑ Ø Þ Ý Ý Ò Ð À (u, v) R 2 v 0 ÓÖ Ð Ð T (u,v) Þ (u, v) ÔÓÒØ Ð Þ x¹ø Ò ÐÝÖ Ø ÖØ Ò Ú Ø Ø Ø Þ Þ Ñ Ò Ò (x, y) ÔÓÒØÖ ÓÐ y v Ð Ý Ò T (u,v) (x, y) = z ÓÐÝ Ò Ó Ý Þ (x, y) (u, v) (z, 0) ÔÓÒØÓ Ý Ý Ò Ò Ú ÒÒ º Þ Ó Ý C Ý ÔÓÞ Ø Ú Ô Ð ÒØ ÞØ Ó Ý Ð Ø Þ w R Ý 0 < θ < π/2 Þ Ó Ý C ÞÓÒ p R 2 ÔÓÒØÓ Ð ÐÐ Ñ ÐÝ Ö p (0, w) Ú ØÓÖ ÔÓÞ Ø Ú y¹ø Ò ÐÝ ÐØ Ð Þ ÖØ Þ Ñ ÒØ θº º½º½º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý f : [a, b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø f (x) M Ñ Ò Ò x [a, b]¹ö º Ä Ý Ò ØÓÚ E [a, b] ÓÖ Ð Ñ ÐÝÖ λ(e) > 0 Ð Ð G¹Ú Ð f Ö ÓÒ Øº ÓÖ Ñ Ò Ò 0 < τ < 1 Ø Ò Ð Ø Þ C ÔÓÞ Ø Ú Ô Ó Ý (u, v) C ÓÖ λ(t (u,v) (G (E R)) [a, b]) > τλ(e)º ÞÓÒÝ Ø º À v > max f ÓÖ T (u,v) (x, f(x))¹ö ÔÐ Ø Ø T (u,v) (x, f(x)) = x f(x) u x v f(x). ¾

26 º Â Ì Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ¾ Ä Ý Ò g (u,v) (x) def = T (u,v) (x, f(x)) Ñ Ò Ò x [a, b]¹ö º ÓÖ g (u,v)(x) = 1 f (x)(u x) v f(x) + f(x) v f(x) f(x)f (x)(u x) (v f(x)) 2. À v Ñ Þ Ò u/v 0 ÓÖ g (u,v) (x) x¹ Ò Ý ÒÐ Ø Ò Ø ÖØ ½¹ Þº Ì Ø Ñ Ò Ò 0 < ε¹ö Ð Ø Þ C ÔÓÞ Ø Ú Ô Ó Ý (u, v) C Ø Ò 1 ε < g (u,v) (x) < 1 + ε Ñ Ò Ò x [a, b]¹ö Ô Ð Ò g (u,v) Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑòº Å Ú Ð v u/v 0 Ø Ò g (u,v) (a) a Ö Ú ÐØ Ð Ø ÞÒ ÐÚ C ÔÖ Ð Þ ÐØ Ø Ó Ý (u, v) C Ø Ò g (u,v) Þ [a (1 τ)λ(e)/4, b + (1 τ)λ(e)/4] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ô Þº Å λ(g (u,v) (E))¹Ö ÐÐ Ò Ð Ð Ø Ò º Þ ÒØ Ö ÐØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ø Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý ( ) 1 + τ λ(g (u,v) (E)) = 1 = g (u,v) (x)dx > λ(e), 2 g (u,v) (E) E g (u,v) (x) > (1 + τ)/2 Ñ Ò Ò x [a, b]¹ö º À Þ ÒØ Ö ÐØÖ Ò Þ ÓÖÑ ¹ Ø Ø Ð Ø ÒÝ ÐØ E¹Ö Ñ Ö Ó Ó Ó ØÙÒ Ú Ø Þ ÔÔ Òº µ(b) def = λ(g(b)) ÐÑ Þ Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ [a, b] ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ò Ñ ÖØ g ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ð Ú Ò ÓÖ ÐØ ÓÖ Ð Ú Þ Þ Ú Ð Ó Ó Ý µ Ñ ÖØ ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ ÓÒº ÆÝ ÐØ U¹ Ö ØÙ Ù Ó Ý µ(u) = U g (x)dx ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ö Ú Ð Ø Ö ÞØ Ô Ý ÖØ ÐÑò Ø Ø µ(b) = B g (x)dx ÒÒ¹ ÐÐ Ñ Ò Ò B ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÖ º Þ Ö Ú Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ó Ý Ð Ø Þ C ÔÓÞ Ø Ú Ô Ó Ý (u, v) C Ø Ò λ(t (u,v) (G (E R)) [a, b]) = λ(g (u,v) (E) [a, b]) > τλ(e). º½º¾º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò f i : [c, d] R i = 1,..., nµ C 1 ¹ Ú ÒÝ Ð Ý Ò E [c, d] ÓÖ Ð Ñ ÐÝÖ λ(e) > 0º Ä Ý Ò ØÓÚ G i = Gr(f i E ) i = 1,..., nµº ÓÖ Ð Ø Þ C ÔÓÞ Ø Ú Ô Ó Ý Ñ Ò Ò (u, v) C Ø Ò Ð Ø Þ (u, v)¹ò ØÑ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ñ Ø Þ Ñ Ò Ý G i ¹Øº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò Þ x ÔÓÒØ E¹Ò òöò ÔÓÒØ º Î Ý Ò Ý ÓÐÝ Ò x Þ ÔÔÓÒØ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ñ ÐÝÖ λ(e [a, b]) > ( ) n 1 n (b a)º º½º½º Ì Ø Ð Ð Ú Ø Þ Ó Ý Ð Ø Þ C ÔÓÞ Ø Ú Ô Ó Ý Ñ Ò Ò (u, v) C¹Ö Ñ Ò Ò i = 1,...,n¹Ö ( ) n 1 λ(t (u,v) (G i ) [a, b]) > (b a). n Ì Ø (u, v) C ÓÖ n i=1 T (u,v)(g i ) [a, b] Þ Ô ÔÓÒØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ú Ò (u, v)¹ò Ø Ð Ý Ò Ñ ÐÝ Ñ Ò Ý G i ¹Ø Ñ Ø Þ º

27 º Â Ì Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ¾ º¾º Ö Þ Öò n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ º¾º½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2 Þº Ì Ý Ð Ó Ý H R 2 ÐÑ Þ ÓÐÝ Ò Ó Ý Ñ Ò Ò Ö Þ ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ð Ø Þ Ý [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð Ø ÞÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø f i : [a, b] R i = 1,...,nµ Ú ÒÝ Ð Ø Þ Ý E [a, b] ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ý Ó Ý λ(e) > 0 Þ f i Ú ÒÝ E Ð ØØ Ö ÓÒ H¹Ò Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÐÑ Þ º ÓÖ H Ú Ý ÓÖÐ ØÓ Ú Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ð Ð n + 1 ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý H¹Ø Ý ØÐ Ò Ý Ò Ñ Ñ Ø Þ n¹ò Ð Ø ÔÓÒØ Òº  РРK r ¹Ö Ð Þ ÓÖ Þ ÔÔÓÒØ r Ù Ö ÖÚÓÒ Ð Øº Î Ý Ò Ý u K 1 Ú ØÓÖØ Ø ÒØ ÞØ Ö Þ ò ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ ÖØ Ñ Ðݹ Ò y¹ø Ò ÐÝ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ð Ý Ò u Ö ÒÝ Ò Þº Ø Ø Ð Ò ÐØ Ø Ð Þ Ö ÒØ ÒÒ ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ ÖÒ Þ x¹ø Ò ÐÝ Ò Ð Ø Þ [a, b] ÒØ ÖÚ Ð¹ ÐÙÑ ÞÓÒ f i ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ E [a, b] ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ó Ý Þ f i Ú ÒÝ Ö ÓÒ H¹Ò Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÐÑ Þ º Å Ú Ð ÐØ ØØ Ó Ý H¹Ø Ñ Ò Ò Ý Ò Ð Ð n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º½º¾º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ r u > 1 0 < θ u < π/4 Ó Ý H¹Ò Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ Ñ C u Ô Ñ ÐÝÒ r u u ÞÓÒ z ÔÓÒØÓ Ð ÐÐ Ñ ÐÝ Ö z r u u u Ú ØÓÖÓ ÐØ Ð Þ ÖØ Þ Ñ ÒØ θ u º Å Ò Ò u K 1 ¹Ö Ð Ý Ò A u K ru+1 ÖÚÓÒ ÐÒ ÞÓÒ Ñ Ü Ñ Ð ÒÝ ÐØ Ö Þ Ú Ñ ÐÝ C u ¹ º Þ A u Ú Ø Ú Ø Ø Ð Þ ÓÖ Ð K 1 Ö¹ ÚÓÒ ÐÖ Ý Ô Ù K 1 ¹Ò I u ÒÝ ÐØ Ú Ð ÐРغ Ð Ú Ð ÞÙÒ I u1,...,i um Ú Ö Þ Øº Î Ð Ó Ó Ý K maxi {r ui +1} ÖÚÓÒ Ð Ø Ø Ð¹ Þ Ò C ui ÔÓ º ÓÖ Ú ÞÓÒØ Ø Ð {z R 2 : z max i {r ui + 1}} Ö Ð Ø H Ø Ø Ú Ð Ò ÓÖÐ ØÓ º º¾º¾º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý H R 2 ÐÑ Þ H 1 ¹Ñ Ö Ø Ö Þ ¹ def Öò ØÓÚ H = {x : H x n} ÐÑ Þ ÔÓÞ Ø Ú Ä Ù ¹Ñ ÖØ òº ÓÖ Ð Ø Þ [c, d] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÞÓÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø f i : [c, d] R Ú ÒÝ i = 1,...,nµ Ý E [c, d] ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ó Ý Þ f i Ú ÒÝ E Ð ØØ Ö ÓÒ H¹Ò Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ö Þ¹ ÐÑ Þ º ÞÓÒÝ Ø º Ð Þ Ö Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ð Ó Ý H ÐÑ Þ H 1 ¹Ñ Ö Ø Ö Þ Öò Ñ Ö Ú Ø Þ Ó Ý H Ä Ù ¹Ñ Ö Ø º Ð H¹Ø H 1 ¹ ÒÙÐÐ ÐÑ Þ Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó C 1 ¹ Ö Ú Ð Ð Ð Ø g i ¹Ú к def H i = H g i ([0, 1]) Ð Ð Ð ÓÖ H Ð Ö Ø H = N i H i Ð Ò ÓÐ

28 º Â Ì Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ¾ N = H \ i H i H 1 (N) = 0 H 1 (H i ) < º Å Ú Ð H 1 Ð Ñ ÖØ ÓÖ Ð¹ Ö ÙÐ Ö Ð Ø ÞÒ B i ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ó Ý H i B i H 1 (H i ) = H 1 (B i ) Ú Ø Þ ÔÔ Ò H i ÐÑ Þ H 1 ¹Ñ Ö Ø Ñ ØØ H 1 (B i \ H i ) = 0 Ñ Ò Ò i¹ö º Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý H 1 (H B) = 0 ÓÐ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ö Ò Ø Ð Ð B def = i B i ÓÖ Ðº Ä Ý Ò M def = H Bº B def = {x : B x n} ÐÑ Þ Ò Ð Ø Ù Þ Ò C def = {(x, y 1,..., y n ) R n+1 : (x, y i ) B (i = 1,...,n), y 1 <... < y n } ÐÑ Þ ÓÖ Ð R n+1 ¹ Ò B Ô ÒÒ ÓÐÝØÓÒÓ Ô Þ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ú Ð Ú Ø Ø ÐØ Ðº B ÐÑ Þ Ø Ø Ñ Ö Ø Ý H Þ Ò B H pr 1 (B H) = pr 1 (M) ÙØ Ô ÒÙÐÐ ÐÑ Þº Î Ý ÞÖ Ó Ý Þ Y def = B \ pr 1 (M) = H \ pr 1 (M) ÔÓÒØÓ Ò ÞÓÒ x R ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö B x = H x B x = H x nº ÞØ ØÙ Ù Ó Ý Y Ñ Ö Ø λ(y ) = λ( B) = λ( H) > 0º Î Ý Ò Ý D Y ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞØ Ð Ý Ò B B (D R) Ñ ÐÝ Þ ÒØ Ò ÓÖ Ðº Ú Ø Þ ÐÐ Ø ÙÒ Þ Ó Ý Ð Ø Þ Ý T D ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ Ð Ø ÞÒ k i : T R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ i = 1,...,nµ Ó Ý Þ G i Ö ÓÒ B ¹Ò Ý H¹Ò µ Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÐÑ Þ º Â Ò ÓÚ¹ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒ ÙÒ ÓÖÑ Þ Ø Ø Ð ½ º½º Ì Ø Ð ÞØ ÑÓÒ Ó Ý Ñ Ò Ò A Ò Ð Ø Ù Ö Þ Ð¹ Ñ Þ ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ Ò f : pr 1 (A) R Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ñ Ö Ø Þ Ò Ð Ø Ù ÐÑ ÞÓ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ σ¹ Ð Ö Þ Ö ÒØ Ö ÓÒ A¹Ò Ö Þ ÐÑ Þ º Ì Ø Ñ Ú Ð B ÐÑ Þ Ò Ð Ø Ù Ø ÓÖ Ðµ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò g : D R Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ Gr(g) B Ñ ÐÝ Ñ Ö Ø Þ Ò Ð Ø Ù Ú ÒÝ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ σ¹ Ð Ö Ö º ËÔ Ð Ò Ä Ù ¹Ñ Ö Ø º ÄÙÞ Ò Ø Ø Ð Ø g¹ö Ð ÐÑ ÞÚ Ô Ù Ó Ý Ø Ø Þ Ð ε > 0 Ø Ò Ð Ø Þ K 1 D ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ h 1 : K 1 R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ó Ý λ(d\k 1 ) < ε g K1 = h 1 º ÞÙØ Ò Ø ÒØ B ÐÝ ØØ B \Gr(h 1 ) Þ ÒØ Ò ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝÒ D Ð ØØ Þ Ð Ø Ð Ð n 1 Ð Ñò Þ Ð Þ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ñ ØÐ ¹ Ú Ð Ú Ð ÞÙÒ ÓÐÝ Ò K 2 D ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞØ h 2 : K 2 R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝØ Ó Ý λ(d \ K 2 ) < ε Gr(h 2 ) B \ Gr(h 1 )º Þ Ð Ö Ø ÓÐÝØ Ø¹ Ú ÔÙÒ K 1,...,K n D ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞÓ Ø h i : K i R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ø Ó Ý λ(d \ K i ) < ε Ñ Ò Ò i = 1,...,n¹Ö h i Ú ¹ ÒÝ Ö ÓÒ B Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÐÑ Þ º À ε < λ(d)/n ÓÖ λ(k 1... K n ) > 0 Ý T def def = K 1... K n k i = h i T Ú Ð ÞØ Þ Þ T H ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ k i : T R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ¹ ÒÝ Ñ ÐÝ Ö k i Ú ÒÝ G i Ö ÓÒ H¹Ò Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÐÑ Þ i = 1,..., nµº def =

29 º Â Ì Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ¾ ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ñ Ò Ý G i Ö Þ Öò Þ Ò Ö Þ Öò H ÐÑ Þ¹ Ò Ö Þ ÐÑ Þ Þ ÖØ ¾º º½º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ò i = 1,...,n¹Ö Ð Ø ÞÒ g ij : [a ij, b ij ] R ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ó Ý ( ( λ pr 1 Gi \ Gr(g ij) )) = 0. j Å Ò Ý G i ÓÑÔ Ø Ý G i Gr(g ij ) Þº  РРpr 1 (G i Gr(g ij )) ÐÑ ÞØ E ij ¹Ú к ÞÞ Ð Ð Ð Ð Ø Ø Ñ Ò Ò i¹ö λ(t \ j E ij) = 0º Ð Ú Ð Ñ ÒØ Ð Ó Ý Þ E ij ¹ Ò Ñº Ѻ ÔÓÒØ òöò ÔÓÒØ Ú Ø Þ Ó Ý Ö Þ Ø ØØ i¹ö Ѻ Ѻ x T ¹ Þ Ð Ø Þ j Ó Ý x òöò ÔÓÒØ E ij ¹ Ò º Ã Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ð Ø Þ x T Ð Ø ÞÒ j 1,..., j n Ò Ü Ó Ý x òöò ÔÓÒØ E iji ¹Ò Ñ Ò Ò i = 1,...,n Ø Òº n i=1 [a ij i, b iji ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ú Ð ÞØ Ø Ù [c, d] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ g iji [c,d] ¹ Ø f i ¹Ò [c, d] n i=1 E ij i ÐÑ ÞØ Ô E¹Ò º Å Ö ÞØ ÐÐ Ð ØÒÙÒ Ó Ý λ(e) > 0 Þ Ú Ø Þ Ð Ó Ý x òöò ÔÓÒØ E iji ¹Ò Ñ Ò Ò i¹ö º ÞÞ Ð ÞÓÒÝ Ø Ø ÞØ º º¾º½º º¾º¾º Ì Ø Ð ÞÚ ØÐ Ò Ú Ø ÞÑ ÒÝ Þ Ð Ø Ø Ð º¾º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2 Þ Ð Ý Ò H R 2 n¹ôóòø ÐÑ Þº ÓÖ H Ò Ñ Ð Ø H 1 ¹Ñ Ö Ø Ö Þ Öò ÐÑ Þº º º Ý Ö Ø Å ÙÐ Ò ÞÖ Ú ØØ Ó Ý Ú Ø Þ ÓÑ ØÖ Ñ ÖØ ÐÑ Ð Ø Ø Ð ½¾ ¾ º ÓÐ Ð µ ÞÓÖÓ Ô ÓÐ Ø Ò Ú Ò Þ n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ø Ñ Ö Ú Ðº Ⱦµ Å Ò Ò Ð Ö Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø ½¹ ÐÑ Þ ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý ¹ Ò Ñ ÐÝ ÞØ Ð Ð ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º Æ Þ Ñ ÑÓÒ Ò Ó Ý Ñ ÒÒÝ Ö Ñ Ð ÔÓÞÓØØ Ø º Å Ò Ò ØÖ Þ Ð ÒÒ Þ ÞÞ Ð Ö Ò Ú Ð Ö Ú Ø ÞÑ ÒÒÝ Ð ÖÒ Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÖ Ð ¾¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ ÒØ ÞØ Ñ ÖÓ Ò Ð Ø Ù º ÒÒ Ø Ò Ú Ò Ý ÐØ Ð ÒÓ Ú ÐØÓÞ Ø Ènµ Å Ò Ò Ð Ö Ñ ÒØ ÓÑÔ Ø ½¹ ÐÑ Þ ÓÞ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý ¹ Ò Ñ ÐÝ ÞØ Ð Ð n + 1 ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º Ú Ø Þ Ø Ø Ð Ý Ð Þ Ù Ú Ø Ø Ø Ø Ð Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù º

30 º Â Ì Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ¾ º º½º Ì Ø Ðº º ÓÐ Ð Ä Ý Ò B R 2 Ö Þ Öò ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ H 1 (B) > 0º ÓÖ Ð Ð Ý Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Ò Ò ÓÖ Ò Ø Ð W Ý ¹ Ò Ø Ò λ(pr W (B)) > 0 ÓÐ pr W W Ý Ò Ö Ú Ð Ñ Ö Ð Ú Ø Ø Ø Ð Ð º Å Ý ÞÞ Ñ ÞØ Þ Ñ ÖØ Ø ÒÝØ Ó Ý Ø Ø Þ Ð Ò Ñ ÐØ Ø¹ Ð Ò Ð H 1 ¹Ñ Ö Ø Ú Ð Ñ ÖØ ò H R 2 Ð ÓÒØ Ø Ý Ö ¹ Þ Öò Ý Ö Ñ ÒØ ÐÑ Þ Þ ÙÒ Ø ÙÒ Ö Ø Ð ÓÒØ H 1 ¹ ÒÙÐÐ ÐÑ ÞØ Ð ÐØ ÒØÚ Ý ÖØ ÐÑò ½¾ ½ º º Ì Ø Ð º À H ÓÖ Ð ÓÖ Ö Þ Öò Ö Ñ ÒØ ÓÑÔÓÒ Ò Ú Ø ÓÖ ÐÒ º º º¾º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2 Ø Ý Ð Ó Ý (Pn) Þº Ä Ý Ò A R 2 Ò Ð Ø Ù ØÓÚ Ø Ý Ð Ó Ý H 1 (A) > 0 Ñ Ò Ò Ý Ò Ð Ð n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ A¹Øº ÓÖ A Ð Ö Ø A = N Ð Ò ÓÐ Ñ Ò Ò E i Ö Þ Öò ÓÑÔ Ø ½¹ ÐÑ Þ H 1 (N) = 0º ËÔ ¹ Ð Ò A Ö Þ Öòº ÞÓÒÝ Ø º Î Ð Ó Ó Ý Ñ Ò Ò E A ÓÑÔ Ø ½¹ ÐÑ Þ Ö Þ Öòº Ý ÐÝ Ò E Ù Ý Ò Ð ÓÑÐ Ý Ö Þ Öò Ý Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ ÙÒ Ö º À Ö Ñ ÒØ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ñ Ð ÒÒ H 1 ¹ÒÙÐÐÑ ÖØ ò ÓÖ ÞØ Ènµ Þ Ö ÒØ Ø Ñ ÒØ n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ Ò Ý Ý Ò Þ Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð º À Ø Ø Ð ÐÐ Ø Ò Ñ Ð ÒÒ Þ ÓÖ Þ ½º¾º½º Ì Ø ÐØ ÞÒ ÐÚ ØÖ Ò Þ Ò Ø Ö ÙÖÞ Ú Ð ÓÒ ØÖÙ Ð ØÒ Ò Ø Ñ ÒØ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó E α α < ω 1 µ Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ Ø A¹ Ò Ú ÓÑÔ Ø ½¹ ÐÑ Þغ ÌÙ Ù Ó Ý E α Ö Þ Öò Ø Ø º º½º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ý Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Ò Ò W ÓÖ Ò Ø Ð Ý Ò Ö λ(pr W (E α )) > 0º Î Ý Ò Ø Ð Ò Þ ÓÖ Ò Ø Ð Ý Ò Ø W 1 ¹ Ø W 2 ¹Øº À Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ó α Ú Ø Ð Ú Ð λ(pr W1 (E α )) = 0 ÓÖ Þ Ø Ñ ÒØ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ó Ú Ø Ð α W 2 ¹Ö Ò ÞÚ Ñ Ö Ò Ñ Ð Ø Ú Ø Ð º Ì ¹ Ø Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò W ÓÖ Ò Ø Ð Ý Ò Ó Ý λ(pr W (E α )) > 0 ÐÐ ÒÒ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ð Ø α¹ö º ÐØ Ø Ó Ý Þ Þ Ý Ò Þ x¹ø Ò ÐÝ pr W Ð Ð ÐÝ ØØ Ô ÞÒ Ð Ø Ù Ñ Ö Ñ ÞÓ ÓØØ pr 1 ¹ غ ÞØ ÐÐ Ø Ù Ó Ý Ð Ò Ý K Þ Ø Ò Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ð Ø α¹ö λ(pr 1 (E α ) [ K, K]) > 0º Î Ð Ò {α : λ(pr 1 (E α )) > 0} = {α : λ(pr 1 (E α [ K, K])) > 0}, K=1 i=1 E i

31 º Â Ì Ê Ø Ð Ø n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ ¼ Ý Ñ Ú Ð Ð ÓÐ Ð Ò Ñ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ó ÓÐ ÐÓÒ ÐÐ ÐÑ ÞÓ Þ ØØ Ú Ò Ò Ñ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø º Ë Ø ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ð Ø Þ c > 0 Ó Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ð Ø α¹ö λ(pr 1 (E α ) [ K, K]) > cº Î Ð Ó Ó Ý ÓÖ Ð Ø Þ x [ K, K] Ó Ý x pr 1 (E α ) n¹ò Ð Ø α¹ Ö Ø Ð Ðº Ã Ú Ø Þ ÔÔ Ò Þ x¹ Ò Ø Ð Ð Ý Ò A¹Ø n¹ò Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º º¾º º º º¾º Ì Ø Ð Ð ÞÓÒÒ Ð Ú Ø Þ Þ Ð Ø Ø Ð º º º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2º À (Pn) Þ ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Þ Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ Þº

32 º Þ Ø F σ ¹ ÐÑ ÞÓ º½º Ú ¾¹ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ Ò Ú Þ Ø Ò ÑÐ Ø ØØ Ó Ý Ú Ð Ø Þ Ø 2¹ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ Ò Ð Þ Ö Ä ÖÑ Ò ½½ Ú Þ ÐØ ÞÞ Ð ÑÓØ Ú Ú Ð Ó Ý Ñ ÑÙØ Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ñ ÐÝ F σ º ÀÓ Ý ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ø ÖØ Ò Ú Ð ØØ ÖÖ Ð Ñ Ò Ñ Þ ÐØ Ò º º½º½º Ò º Ý C R 2 ÐÑ ÞØ ÚÒ Ò Ú Þ Ò ÓÑ ÓÑÓÖ [0, 1] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÑ Ðº Ý C ÚÒ ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ò Ð Ù Ú ÔÓÒØ Ø Ð ÔÓÒع Ø Ý x C ÔÓÒØ Ð ÔÓÒØ C \ {x} Ò Ñ Þ Ú ÔÓÒØ Þ º À x y Ò Ø Ð Ò Þ ÔÓÒØ ÓÖ L(x, y)¹ò Ð Ð Ð Þ x¹ Ò y¹óò Ø Ð Ý Ò Øº Ò Ý Ý Ò ÓÑÔÐ Ñ Ò¹ Ø Ö Ø ÓÑÔÓÒ Ò Ö Þ Øº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ø ÔÓÒØ Þ Ý Ò Ò Ù Ý Ò ÞÓÒ Þ ÓÐ Ð Ò Ú Ò Ù Ý Ò Ò ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ú ÒÒ º Ú Þ Ø ÔÔ Ò ÙÒ Ý Ý Þ Öò ÞÓÒÝ Ø Ø ÖÖ Ó Ý Ý ¾¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ú Øº º½º¾º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý H R 2 ÐÑ ÞØ Ñ Ò Ò Ý Ò Ð Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ H Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý C Ú Øº ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ H¹Ø Ð Ð ÖÓÑ ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò f : [0, 1] C ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ð Ý Ò p = f(0) q = f(1) C Ú Ø Ú ÔÓÒØ º À C L(p, q) ÓÖ Ò Ò Ñ Ø ÞÓ¹ ÒÝ Ø Ò Ý ÒØ Ô Ð Ý Ò x C ÚÒ L(p, q)¹ø Ð Ý µ Ð Ø ÚÓÐ ÔÓÒØ Ð Ý Ò m Þ x¹ Ò Ø Ð L(p, q)¹ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò ½

33 º Â Ì F σ ¹ ÐÑ ÞÓ ¾ º½º Ö º º½º Ö µº à ÒÒÝ Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø Ó Ý Þ m Ý Ò x¹ Ò Ú Ð Ñ Ý ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ Ò C¹Ø ÓÖ Ý m¹ñ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ L(p, q)¹ ÓÞ Ø Þ Ð Ý Ò Ò Ð Ð Ò Ý Þ ÔÓÒØ Ð ÒÒ C¹Ú к ÐØ Ø Ø Ø Ó Ý m C = {x}º ÞØ ØÙ Ù Ó Ý m¹ò Ú Ò x¹ Ò Ú Ð Ñ Ý Þ ÔÓÒØ H¹Ú Ð Ò Ú ÞÞ ÞØ ÔÓÒØÓØ y¹ò º C ÚÒ p x Þ ØØ Ö Þ Ø Ð Ð C 1 ¹ Ý Ð q x Þ ØØ Ö Þ Ø C 2 ¹Ú к À y Þ {x+t(p q) : t > 0} Ð Ý Ò Ò Ú Ò ÓÖ L(y, q) Ñ Ø Þ C 1 ¹ Ø Ô Þ {x + t(p q) : t < 0} Ð Ý Ò Ò Ú Ò ÓÖ L(y, p) Ñ Ø Þ C 2 ¹Øº Å Ò Ø Ø Ò Ø Ð ÐØÙÒ Ø Ø Ý Ý Ò Ø Ñ ÐÝ Ð Ð ÖÓÑ ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ C¹Øº º½º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ý 2¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ú Øº º¾º Ú ¹ÔÓÒØ ÐÑ ÞÓ Ò Æ Ñ Ó Ð Ò Þ Þ Ñ Ó Ý Ý ¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ú Øº Ð Þ Ö Ý Ø Ø ÐØ ÞÓÒÝ ØÙÒ º º¾º½º Ä ÑÑ º Ì Ý Ð Ó Ý C Ú Ú ÔÓÒØ p q Ý l Ý Ò Ò Ù Ý Ò ÖÖ Þ ÓÐ Ð Ö Ò l Ð Ð ÖÓÑ ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ C¹Øº ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ C¹Ø Ð Ð Ò Ý ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º ÞÓÒÝ Ø º Ð Þ Ö ÐØ Ø Ó Ý l ÔÓÒØÓ Ò ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ C¹Ø Ð Ý Ò Þ a b c º¾º Ö µº Ä Ý Ò f : [0, 1] C ÓÑ ÓÑÓÖ ÞÑÙ Ó Ý p = f(0) a = f(x a ) b = f(x b ) c = f(x c ) q = f(1)º ÐØ Ø Ó Ý x a < x b < x c º C ÚÒ Þ Þ Ø ÔÓÒØ Ò Ý ÒÝ ÐØ Ö Þ ÚÖ ÓÒØ C¹Ø Ð Ð Þ Ø Ö Ò Ö C pa C ab C bc C cq ¹Ú к Â Ð Ð Þ l Ý Ò ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö Ø Ð ÓØ Ø Ð ÓÑÔÓÒ Ò Ø F 1 ¹ Ý Ð F 2 ¹Ú Ð Ø Ý Ð Ó Ý p, q F 1 º

34 º Â Ì F σ ¹ ÐÑ ÞÓ º¾º Ö º Î Ð Ó Ó Ý C pa F 1 C cq F 1 º À C ab C bc Þ Ð Þ Ð Ð Þ Ý F 1 ¹ ÓÖ Ý l¹ð Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ p¹ Þ Ø Þ Ð Ý Ò Ô C ab C bc F 2 ¹ ÓÖ Ô Ý p¹ø Ð Ø Ø ÚÓÐ Ý Ò Ñ Ø Þ C¹Ø Ð Ð Ò Ý ÔÓÒØ Òº º¾º¾º Ì Ø Ðº Ì Ý Ð Ó Ý H R 2 ÐÑ ÞØ Ñ Ò Ò Ý Ò Ð Ð ÖÓÑ ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ H Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý C Ú Øº ÓÖ Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ H¹Ø Ð Ð Ò Ý ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò f p q x m Ñ ÒØ º½º¾º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ ÒØ Þ Ö Ø Ù ÞØ Þ Ø Ø Ñ ÓÖ C L(p, q)º ÐØ Ø Ó Ý p = (0, 0) q = (1, 0) Ý x = (x 1, x 2 ) ÓÖ m = R {x 2 }º Ä Ý Ò a = (a 1, x 2 ) b = (b 1, x 2 ) Ø Ñ m¹ Ò Ú ÔÓÒØ H¹Ò Ø Ý Ð Ó Ý a 1 < b 1 º Ã Ø Ø Ø Ð Ò ÞØ Ø Ò Ñ ½º Þ m Ý Ò Ò x¹ò Ù Ý Ò ÞÓÒ Þ ÓÐ Ð Ò Ú Ò a b º Æ Ñ Ñ Ý Þ ÐØ Ð ÒÓ ÖÓÚ Ö ÐØ Þ Ó Ý b 1 < x 1 º Ä Ý Ò c (a 1, b 1 ) {x 2 } Ð Ð l c c¹ò Ø Ð L(a, q)¹ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò Øº º¾º½º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ ÐØ Ø Ó Ý l c Ð Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ C¹Ø Ý Ð Ø Þ λ = (λ 1, λ 2 ) l c (H \ C)º Þ Ò Þ Ø Ò Ð Ð ÖÓÑ Ø Ú Ò µ λ 2 < x 2 º ÓÖ Þ L(a, λ) Ý Ò ÐÚ Ð ÞØ x¹ Ø p¹ø Ð q¹ Ø Ð Þ ÖØ a¹ò λ¹ò Ú Ð Ñ Ø C¹ Ð ÔÓÒØÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þ º º Ö µº µ λ 2 = x 2 º ÓÖ m¹ Ò Ø Ð ÐØÙÒ Ò Ý H¹ Ð ÔÓÒØÓغ µ λ 2 > x 2 º Ò Þ Ø Ò L(b, λ) Ý Ò Ú Ð ÞØ Ð x¹ Ø p¹ Ø Ð q¹ø Ð Þ ÖØ ÑÓ Ø L(b, λ) Ñ Ø Þ H¹Ø Ð Ð Ò Ý ÔÓÒØ Ò º º Ö µº

35 º Â Ì F σ ¹ ÐÑ ÞÓ º º Ö º º º Ö º ¾º a 1 < x 1 < b 1 º Þ L(a, q) L(b, p) Ý Ò Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ò Ú ÞÞ α¹ò µ Þ x¹ø Ò ÐÝ Þ m Ý Ò ÞØ Ú Ò Þ º º Ö µº Ä Ý Ò m Ý ÓÐÝ Ò m¹ñ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò Ñ ÐÝ Þ ÓÖ Ò α m Þ ØØ Ú Òº º¾º½º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ ÐØ Ø Ó Ý m Ð Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ C¹Ø Ý Ð Ø Þ β m (H\C)º ËÞ ÑÑ ØÖ Ó Ó Ñ ØØ ÐØ Ø Ó Ý β x Þ L(p, b) Ý Ò Ò Ù Ý Ò ÖÖ Þ ÓÐ Ð Ö º ÓÖ Ú ÞÓÒØ Þ L(β, b) Ý Ò ÐÚ Ð ÞØ x¹ Ø p¹ø Ð q¹ø Ð Þ ÖØ C¹Ø Ñ Ø Þ Ð Ð Ø ÔÓÒØ Òº Å ÒØ Ñ Ú Ò Ò Ý ÔÓÒغ Å ÑÙØ ØØÙ Ø Ø Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ø Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ð Ð Ò Ý ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ H¹Øº º¾º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ý 3¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ú Øº

36 º Â Ì F σ ¹ ÐÑ ÞÓ º º Ö º º º Ú F σ ¹ ÐÑ ÞÓ Ò Ú Ø Þ Ð Ô ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ F σ ÓÖ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Øº ÑÓ Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ð Þ Ú Þ Ø Ò Ò ÒÝ Ð Ð Øº Ä Ý Ò ε > 0 Ö Þ Ø ØØ ÔÓÞ Ø Ú Ú Ð Þ Ñ H R 2 Ø Ø Þ Ð ÐÑ Þ n Nº Ä Ý Ò P ε n(h) def = {x R : H x = n (x, a), (x, b) H, a b, ÓÖ a b ε}. Þ y i : Pn ε (H) R 1 i nµ Ú ÒÝ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Ð Ù Þ y i Ú ÒÝ Ö ÓÒ Ò ÙÒ Ð Ý Ò (Pn(H) ε R) H Ñ Ò Ò x Pn ε(h) Ø Ò Ð Ý Ò y 1(x) < y 2 (x) <... < y n (x)º Î Ý ÞÖ Ó Ý Pn ε(h) Ò Ñ ØØ y i+1(x) y i (x) + ε Ñ Ò Ò i = 1,...,n 1¹Ö º º º½º Ä ÑÑ º Ä Ý Ò ε > 0 n N Ð Ý Ò F R 2 ÓÐÝ Ò ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò Ò Ð Ý Ò Ð Ð n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þº ÓÖ Pn ε(f) ÓÑÔ Ø y i : Pn ε (F) R ÓÐÝØÓÒÓ Ñ Ò Ò i = 1,...,n Ø Òº ÞÓÒÝ Ø º Þ ÐÐ Ø Ø n¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ù º À n = 1 ÓÖ P1 ε (F) ÐÑ Þ F ¹Ò Þ x¹ø Ò ÐÝÖ Ú ØØ Ñ Ö Ð Ú Ø Ð Ø Ý ÓÑÔ Øº Å Ö ÞØ Ð Ý Ò x P1(F) ε (x m ) m N ÓÐÝ Ò P1(F)¹ Ò ε Ð ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ x¹ Þ ÓÒÚ Ö Ðº Þ (y 1 (x m )) m N ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ F ÓÖÐ ØÓ Ñ ØØ Ý lim sup m y 1 (x m ) = a lim inf m y 1 (x m ) = b Ú º Å Ú Ð F Þ ÖØ (x, a) (x, b) Ð Ñ F ¹Ò Ñ Ý Ð Ø Ó Ý a = b Þ ÔÔ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý y i ÓÐÝØÓÒÓ Þ x ÔÓÒØ Òº Þ n = 1 ØØ Ð Ø Ø Þ Ò Ú ÝÙÒ º

37 º Â Ì F σ ¹ ÐÑ ÞÓ Ì Ý Ð ÑÓ Ø Ó Ý Þ ÐÐ Ø Þ Ú Ð Ñ ÐÝ n 1¹Ö Ú Ý Ò Ý F ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò Ò Ð Ý Ò Ð Ð n+1 ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þº Ä Ý Ò (x m ) m N Ý G def = Pn+1 ε (F)¹ Ò Ð ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ ÓÒÚ Ö Ð Ý x R ÔÓÒØ ÓÞº Ä Ý Ò ØÓÚ lim inf m y n+1 (x m ) = bº Î Ý ÞÖ Ó Ý (x, b) F º Þ (x m ) m N ÓÖÓÞ ØÒ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò (x mj ) j N Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý y n+1 (x mj ) b < ε/2 Ø Ð Ð Ñ Ò Ò j N¹Ö lim y n+1(x mj ) = b. j Ò Ð Ù Ú Ø Þ ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞØ Å Ú Ð F def = F ( ({x} {x mj : j N}) (, b ε/2] ). b ε/2 < y n+1 (x mj ) < b + ε/2, Ñ Ò Ò j N¹Ö (x mj, y n+1 (x mj )) / F (x mj, y n (x mj )) F º Ã Ú Ø Þ ¹ ÔÔ Ò Ñ Ò Ò j N¹Ö F xmj = n Ñ Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý xmj P ε n(f )º Î Ý ÞÖ Ó Ý (x, b) F \ F Ý F x n Ø Ø F ¹Ò Ñ Ò Ò ¹ Ð Þ Ð Ø Ð Ð n Ð Ñòº Þ ÖØ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Þ Ò Ù ÐØ Ú Ø Ñ Þ Ö ÒØ P ε n (F ) ÓÑÔ Ø Ñ ØØ x P ε n (F )º Í Ý Ò Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ lim j y n(x mj ) = y n (x), Ý b y n (x) ε, Þ Ò Ñ Ò Ò j¹ö y n+1 (x mj ) y n (x mj ) ε lim j y n+1 (x mj ) = bº à ¹ Ú Ø Þ ÔÔ Ò x Gº ÞÞ Ð Ñ ÑÙØ ØØÙ Ó Ý G ÓÑÔ Øº G ÓÑÔ Ø Ø Ð Ò Ò Ý ÞÓÒÝ Ø ØØÙ ÚÓÐÒ Ó Ý Ø Òع {(x, y 1,...,y n+1 ) R n+2 : x R, (x, y i ) F Ñ Ò Ò i = 1,..., n + 1¹Ö y i+1 y i ε Ñ Ò Ò i = 1,...,n¹Ö } ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ Þ ÖØ Ñ ÖØ ÙÔ Þ ÖØ ÐØ Ø ÐÐ Ð ØÙ Ñ ÓÖÐ ØÓ Ø Ø ÓÑÔ Ø G ÐÑ Þ Ô ÔÓÒØ ÒÒ ÓÑÔ Ø ÐÑ ÞÒ Þ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ú ØØ Ú Ø Ð Ø º ÞÓÒ Ò ÒØ Þ ÓÒÐ Ó Ó Ó Ö ÓÖ Þ Ð ÒÒ Þ y i Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò ÞÓÐ ÓÞºµ

38 º Â Ì F σ ¹ ÐÑ ÞÓ Ä Ý Ò lim sup m y n+1 (x m ) = a Ø Ý Ð Ó Ý a > bº ÓÖ (x, a) (x, b) Ð Ñ F ¹Ò ØÓÚ a > b > y n (x) >... > y 1 (x) Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÒÒ Ó Ý F ¹Ò Ñ Ò Ò Ð Þ Ð Ø Ð Ð n + 1 Ð Ñòº Þ ÖØ a = b Ø Ø y n+1 ÓÐÝØÓÒÓ º Ì ÒØ Þ F def = {(x, y) (G R) F : y y n+1 (x) ε} ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ y n+1 ÓÐÝØÓÒÓ Ð Ú Ø Þ Ò ÓÑÔ Øº Î Ð Ó Ó Ý F Ð Ø Þ ÔÔ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ð ÑÑ ÐØ Ø Ð Ø n¹ö ØÓÚ P ε n(f ) = P ε n+1 (F ) = G Þ F ¹Ö ÐÐ ØÚ F ¹Ö Ò ÐØ y 1,...,y n Ú ÒÝ Ý ¹ Ò º Þ Ò Ù ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Ø Ø y 1,...,y n ÓÐÝØÓÒÓ Þ Ò Ú ÝÙÒ º º º¾º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò H Ò Ý F σ ¹Ö Þ ÐÑ Þ Ð Ý Ò n N ÓÐÝ Ò Ó Ý H¹Ò Ñ Ò Ò Ð Þ Ð Ø ÔÓÒØÓ Ò n Ð Ñòº ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ð ÙÐ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð Ø ÞÒ Þ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ f 1 < f 2 <... < f n ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ý Ó Ý H Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ò Ý f i ¹Ò Ö ÓÒ Øº ËÔ Ð Ò H Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Øº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò H = i=1 F i ÓÐ F 1 F 2... Ñ Ò Ý F i ÓÑÔ Øº Å Ò Ò i N¹Ö Ò Ð Ù Ú Ø Þ ÐÑ ÞØ H i def = {x R : (F i ) x = n, (x, a), (x, b) F i, a b, ÓÖ a b 1/i}. º º½º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ H i ÓÑÔ Ø Ñ Ò Ò i N Ø Òº Î Ý ÞÖ Ó Ý i=1 H i = R Ý Ö Ã Ø Ö Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ i 0 N Ó Ý H i0 Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý Ò Ñ Ð ÙÐ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓغ Å ÒØ º º½º Ä ÑÑ Þ Ö ÒØ H i0 ¹ ÓÞ Ø ÖØÓÞ y k [a,b] Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ 1 k nµ Þ Ò Ú ÒÝ Ö ÓÒ H¹ Ò Þ Ò º º º º Ì Ø Ðº Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ò Ñ Ð Ø F σ n = 2, 3º ÞÓÒÝ Ø º À ÞÒ Ð Ù º½º º º¾º º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ø º º¾º Ì ¹ Ø Ðغ º º º Å ÝÞ º º¾º¾º Ì Ø Ð ÞÓÒÝ Ø ÓÙ Ö ØÖ Ú Ò Å ÐÐ Ò Ú Þ òþ º Í Ý Ò Ò Ò Þ Ö Ô Ð º º½º Ä ÑÑ º º¾º Ì Ø Ð Þ ÖÞ Ñ ÝÞ Ó Ý ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ø Ð Ò Ñ Å ÙÐ ÒØ Ð Þ ÖÑ Þ º

39 º Â Ì F σ ¹ ÐÑ ÞÓ º º Æ Ñ Ð Ø Þ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ñ ÐÝ F σ À n 4 ÓÖ ÒØ Ñ Þ ÖÖ Ð Ò Ñ Ð Ø Ð ØÒ Ó Ý Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ò Ñ Ð Ø F σ Ù Ý Ò Ñ Ö Ý ¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø Ú Ø Ñ ÒØ ÞØ Þ º Þ Ø Ò Ñ Ð Ø Ù º Ì Ø Ñ Ñ Þ ÖØ ÐÐ Ö Ò Ò º Þ Þ Þ Ó Ý Ý ÐØ Ð Ò Ò Ñ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ñ Ö Ñ Ò Ò Ö ÞÐ Ø Ö Ò Ð Þ Ò Ö ÐÐ ÓÞ Ó Ý Ý ÞÓÒÝ Ø Ø Þ ¹ Ö ÙÒ º Å Ú Ð Þ Ø Ö Ý ÐØ Ö Ñ ÒÝ Ò Ú Ð Ý ÓÖÐ Ø Ð ÑÑ ÐÝ Ò Ø Ø Ð Ú Ý Ð ÑÑ Ò Ñ Þ Å ÙÐ Ò ÓÙ Ö ØÖ ÞØ ÞÓ¹ ÒÝ Ø Ø Ý Ú Þ Ø Ð Ú Ø ÓÞ Ó Ð Ý ØØ Ñ Ð ÓÐ Ð Ò Þ ÐØ º Ñ ÞÓÒÝ Ø º º½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2º ÓÖ Ò Ñ Ð Ø Þ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ò F σ ¹Ö Þ ÐÑ Þ º ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý A Ý F σ n¹ôóòø ÐÑ Þº Î Ý Ò Ý Ø Ø Þ ¹ Ð Ö Þ ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖØ ÓÒº º º¾º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ Ý Ò Ñ Ð ÙÐ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð Ø ÞÒ [a, b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ f 1 < f 2 <... < f n ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ý Ó Ý Þ Ò Ú ÒÝ G i Ö ¹ ÓÒ A¹Ò Ö Þ ÐÑ Þ º G i ÐÑ ÞÓ Ø Ñ Ò Ý Ú Þ Þ ÒØ Ý Ò Ð Ð n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ Þ ÖØ Ò ÁÒ ØÖ Ü Ì Ø Ð ½ º½ º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ f i Ú ÒÝ ÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ º ÃÓÒ Ö Ø Ò f i Ø Ð Ú ÐØÓÞ Ð Ð n(m m) ÓÐ m M Þ f i Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ð Ð º Î Ð Ò ÓÐÝ Ò Ô Ð Ø Ò Ð ÐÑ ÞÞÙÒ Ò ÁÒ ØÖ Ü Ì Ø ÐØ Ó Ý Þ ÐÐ Ø ÙÒ Ø Ð Ú ÐØÓÞ Ò Ø Ð ÖÚ Ý ÓÖÐ Ø Ð ÞÓÒ¹ Ò Ð Ð Ø Þ ºµ ¾º½º º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Ð Ø ÞÒ g i ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ð Ø Þ Ý C [a, b] ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ Ó Ý f i C = g i C Ñ Ò Ò i¹ö º Å Ú Ð ÐÝ Ò ØÙÐ ÓÒ C ÐÑ Þ g i Ú ÒÝ Ñ Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ð Ø ÞÒ º¾º½º Ì Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ A ÐÑ Þ Ú Ý ÓÖÐ ØÓ Ú Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ð Ð n + 1 ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ Ú ÞÓÒØ Ý ØÙÐ ÓÒ Ð Ñ Ö Ò Ð Þ Øº

40 º Þ Ø ÐÐ ÒÔ Ð ÓÒ ØÖÙ º½º ¾¹ Ñ ÒÞ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø Þ Þ ½º¾º º Ì Ø Ð Ò Ñ ÑÙØ ØØÙ Ó Ý Ý Ò Ð Ø Ù n¹ôóòø ÐÑ Þ À Ù ¹ ÓÖ ¹ Ñ ÒÞ ½º ýðø Ð ÒÓ Ò ÞÓÒ Ò Þ Ò Ñ Þº º½º½º Ì Ø Ðº À n 2 ÓÖ Ð Ø Þ H n¹ôóòø ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ dim(h) = 2 Ø H 2 (H) > 0º ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º½º¾º ýðð Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ Ó Ø Ú Ð ØÖ Ò Þ Ò Ø Ö ¹ ÙÖÞ Ú Ð ÓÒ ØÖÙ ÐÙÒ ÐÝ Ò ÐÑ Þغ Ä Ý Ò κ Ñ ÒØ Ð ÓÒØ ÒÙ¹ ÙÑ Þ ÑÓ Ö Ò Þ Ñ Ú Ý Ý Ò Ò Ý {l α : α < κ} ÐÖ Ò Þ Øº ÌÓÚ Þ Ø Ð ÓÖ Ð H 2 ¹ÒÙÐÐ ÐÑ Þ Ò Þ¹ Þ Ð Ä Ù ¹Ñ ÖØ Þ Ö ÒØ ÒÙÐÐÑ ÖØ ò ÓÖ Ð¹ ÐÑ ÞÓ Ò µ Ý {B α : 0 < α < κ} Ð ÓÖÓРغ Å Ò Ò α¹ö Ò ÐÙÒ Ý ÓÒØ ÒÙÙÑÒ Ð Þ ÑÓ H α й Ñ Þغ Ä Ý Ò H 0 = º À α = β + 1 ÓÖ H α Ð Ý Ò H β Ò ÒÝ l α ¹Ò Ú ÔÓÒØ Ý Ø ÓÐ Ú Ó ÓÞÞ Ú ØØ ÔÓÒØÓØ l α ¹Ò Ý Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ó Ý Ý Ò ÓÐÝ Ò l α ¹Ø Ð Ð Ò Þ Ý Ò Ö Ñ ÐÝ Ò H β ¹Ò Ð Ð ¾ ÔÓÒØ Ú Òº ÒÒÝ ÔÓÒØÓØ Ú Ð ÞØÙÒ Ó Ý H α l α = n Ð Ý Òº ÞØ Ó Ý ÞØ Ñ Ð Ø Ò ÐÒ Ñ Ö Ð ØØÙ Þ ½º½º¾º ýðð Ø ÞÓ¹ ÒÝ Ø Òº H α¹ Ð Ý Ô Ù H α ¹Ø Ó Ý ÓÞÞ Ú Þ Ò Ý B α ¹Ò Ú Ð ÔÓÒØÓØ Ó Ý H α ¹Ö Ñ Ñ Ò Þ Ð Ý Ò Ó Ý Ñ Ò Ò Ý Ò Ð Ð n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ º ÓÞ Ó Ý Þ Ð Ø ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý H α¹ Ð ÔÓÒØÔ ÖÓ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÓÒØ ÒÙÙÑÒ Ð Ú µ Ý Ò Ò Ñ Ø Ð B α ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Øº

41 º Â Ì ÐÐ ÒÔ Ð ÓÒ ØÖÙ ¼ Î Ò ÓÐÝ Ò Ö ÒÝ Ñ ÐÝ Ò Ò H α¹ Ð ÔÓÒØÔ ÖÓ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ö ¹ ÒÝÓ Þ ØØ ÔÓÒØÓ Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÐÝ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ý Ò Ñ Ò Ý Ð Ð Ý ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ H α¹øº Ð ÐÑ ÞÚ Ò Þ Ö Òݹ Ò Ù Ò ¹Ø Ø ÐØ B α ÐÑ ÞÖ Þ Ó Ý Ú Ò ÐÝ Ò Ö ÒÝ Ý ¹ Ò Ñ ÐÝÒ B α ¹Ú Ð Ú ØØ Ñ Ø Þ Ø H 1 ¹ÒÙÐÐÑ ÖØ ò Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ý Ý Ò ÐÝ Òµº Ð Ø Ø ÞØ ÞÓÐÒÙÒ Ó Ý Þ Ñ Ý Ò Ò Ý ÔÓÞ Ø Ú Ä Ù ¹Ñ ÖØ ò ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ ÓÒØ ÒÙÙÑ Þ ÑÓ º Þ Ô Ú Ø ¹ Þ Ð Ó Ý Ý ÐÝ Ò ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ò Þ ÖØ ÐÑ ÞØ Ñ Ñ ÒØ Þ Ñ Ý Ò Ñ Ò Ò Ò Ñ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Þ ÖØ Ö Þ ÐÑ ¹ Þ Ð Ö Ø Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ý Ò Ñ Ö Ô Ö Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑ Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ý Ø Òغ À α Ð Ñ ÞÖ Ò Þ Ñ ÓÖ Ù Ý Ò ÞØ Ò Ð Ù Ñ ÙØ Ò Ú ØØ Þ α¹ò Ð Ò Üò ÐÑ ÞÓ Ý Ø Øº Î Ð Ð Ý Ò H = β<κh β. Þ ÞÓÖÙÐ Ò Ñ Ñ Ý Ö Þ ØÖ Ó Ý H 2 (H) > 0º À Ù Ý Ò H 2 (H) = 0 Ð ÒÒ ÓÖ H 2 ÓÖ Ð¹Ö ÙÐ Ö Ø Þ Ö ÒØ Ð Ø ÞÒ B ÓÖ Ð¹ ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ H B H 2 (B) = 0º Þ Ú ÞÓÒØ Ð Ø ØÐ Ò Ñ ÖØ B Þ Ö Ô ÐØ B α ¹ Þ ØØ Ø Ø H¹Ò Ú Ò B¹Ò Ú Ð ÔÓÒØ º Þ Ø ØÓÚ Ö Þ Ò Þ Ö ÔÐ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ö Ý ÓÖÐ Ø Ð Ù Ý Ò Þ Ö ÔØ Ñò ÐÖ Ò ÞÞ Þ Ý Ò Ø Ñ Ð Ð Ñ ÓÒ Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ú Ð ÞØÙÒ Ò ÒÝ ÔÓÒØÓصº Þ ÖØ Þ ÒØ Ð Ò Ñ Ó Ù ÒÒÝ Ö Ö ÞÐ Ø ÞÒ ÞÓÒÝ Ø Ó Ø Ð ÒÝ Ð Ñ Ö Ð Þ Ð Ò º º¾º À ÐÑ ÞÓ Ø Ö ÞØ n¹ôóòø ÐÑ ÞÞ º¾º½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2 k n + 2 Ð Ý Ò H R 2 ÓÐÝ Ò ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ø Ñ Ò Ò Ý Ò Ð Ð n ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þº ÓÖ Ð Ø Þ H k¹ôóòø ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ H Hº ÞÓÒÝ Ø º Å ÒØ ÑÓÒ ØÙ ÞÓÒÝ Ø Þ ÒØ Þ Þ Ö ÒØ Ù Ý Ò Ý Ø ÖØ ¹ Ò Ñ ÒØ Þ n¹ôóòø ÐÑ ÞÓ Ð Ø Þ Ò ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Þ ½º½º¾º ýðð Ø ¹ Òº ÒÒÝ Ø ÝÞ Ò Ñ Ó Ý ÞÓÒ Ñ Ð ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ñ Ò Ò Ð Ô Ò ÓÒØ ÒÙÙÑÒ Ð Ú Ý Ò Ð Þ Ñ ÐÝ k ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ Þ ØÙ Ð ÐÑ ÞÙÒ Ø Ý ÞÓÒ Þ Ý Ò Ò Ñ ÐÝ Ò ÔÔ Ò ÔÓÒØÓ Ø Ú Ð ÞØÙÒ Ñ Ò ÓÒØ ÒÙÙÑÒ Ð Ú Ø ÐØÓØØ ÔÓÒØ Ð Þº

42 º Â Ì ÐÐ ÒÔ Ð ÓÒ ØÖÙ ½ º¾º¾º Å ÝÞ º Ø Ø Ð Ò Ñ Þ k = n + 1¹Ö º À Ù Ý Ò H Ý n¹ôóòø ÐÑ Þ H Ý n+1¹ ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ H H ÓÖ H \H Ý ½¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ ÐÝ Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ò Ñ Ð Ø Þ º º¾º º Å ÝÞ º Ø Ø Ð ÓÙ Ö ØÖ Ú Ò Å ÐÐ ÞÖ Ú Ø Ð º º¾º º Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Å Ò Ò k 4 Ø Ò Ð Ø Þ ¹ÔÓÒØ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ø ÖØ ÐÑ Þ Öغ º º ËòÖò ÓÐ Ñ òöò n¹ôóòø ÐÑ Þ Ð Ø ¹ Þ º º½º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2º ÓÒº ÓÖ Ð Ø Þ n¹ôóòø ÐÑ Þ Ñ ÐÝ òöò ÞÓÒÝ Ø º Ý ÓÖÐ Ø Ð Ù Ý Ò ÞØ ÐÐ Ò ÐÒ Ñ ÒØ Þ º½º½º ÞÓÒÝ Ø ¹ Òº ÃÓÒØ ÒÙÙÑ Ó Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ú Ò Ú Ý Þ Ý ÐÖ Ò¹ Þ Øº Å Ò Ò Ð Ô Ò Ú Ý Ò ÒÒÝ ÔÓÒØÓØ Þ ØÙ Ð Ý Ò Ö Ð Ñ ÒÒÝ ÒÝÞ ÓÞ Ó Ý n Ð Ý Ò Ö Ø Ñ Ú Ý Ò Ñ Ý ÓÐÝ Ò ÔÓÒØÓØ Ñ ÐÝ ÒÒ Þ ØÙ Ð ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ò Ú Ø Ð Ú Ð Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ý Ò Ñ ÐÝ Ò n¹ò Ð Ø ÔÓÒØ Ð Þº ÞØ Þ ÖØ Ø ¹ Ø Ñ Ñ ÖØ Ý Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞØ Ò Ñ Ø Ð ÓÒØ ÒÙÙÑÒ Ð Ú Ý Ò º Î Ð Ò Ð Ý Ò U Ò Ñ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ð Ý Ò L ÓÒØ ÒÙÙÑÒ Ð ¹ Ú Ý Ò Ð ÐÐ ÐÑ Þº Î Ý Ò Ý ÓÐÝ Ò l Ý Ò Ø Ñ ÐÝ Ò Ñ Ô Ö ÙÞ ÑÓ Þ L¹ Ð Ý Ò Ý Ú Ð Ñ U¹Ú Ð Ú Ò Þ ÔÓÒØ º Þ l U Ñ Ø Þ Ø ÓÒØ ÒÙÙÑ Þ ÑÓ ØÓÚ l Ñ Ò Ò L¹ Ð Ý Ò Ø ÔÓÒØÓ Ò Ý ÔÓÒØ Ò Ñ Ø Þ Þ ÖØ l U¹ Ò Ú Ð Ò Ð Þ ÓÐÝ Ò ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ø Ö Ø Ò º Þ ½º º º Ì Ø Ð Ò Ð ØØÙ Ó Ý Ý G δ n¹ôóòø ÐÑ Þ ÓÐ Ñ òöòº ÐÑ Ö Ð Ö Ó Ý Ð Ø Þ Ø¹ Ý ÐØ Ð Ò ÓÐ Ñ òöò n¹ôóòø ÐÑ Þº Ë ÒÓ Òº º º¾º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò n 2º ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐ Ñ òöò n¹ôóòø ÐÑ Þº ÞÓÒÝ Ø º Þ Ø Ø Ð Ò Ñ Ò Ý Ö ÒÝ ØÓØØÙ ØÖ Ò Þ Ò Ø Ö ÙÖ¹ Þ Ø Ó Ý ÐÑ ÞÙÒ Ð Ø Ö Þ Ò Ð Ý Ò Ò Ý Ñ ÒÞ Ð Ý Ò òöò Ú Ý ÔÔ Ò Ð ÖØÙÒ Ý ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Ðк ÅÓ Ø Ò¹ Ò ÔÓÒØ ÓÖ ØÓØØ Ø Ò Ð Ù Ý Ø ÖØ Ù ÓÖ Ò ÐÑ ÞÙÒ Ø Ó Ý Ý Ö Þ ÐÑ Þ Ð Ò Ò ÔÓÒØÓ Ø Ú Ð ÞØ Ò º