Þ Á ØÚ Ò Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃ Ë Äà ÄÅ ýë Áà ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö

Átírás

1 Þ Á ØÚ Ò Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃ Ë Äà ÄÅ ýë Áà ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö

2

3 Þ Á ØÚ Ò Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃ Ë Äà ÄÅ ýë ÁÃ

4 ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö ËÇÊÇ ÌË ÊÃ Ë Ì Þ Á ØÚ Ò

5 Þ Á ØÚ Ò Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃ Ë Äà ÄÅ ýë ÁÃ Ý Ø Ñ ÝÞ Ø ÈÖÓ Ö ÑØ ÖÚ Þ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ø Ñ Ø Ù Ó Ö Þ Ö Ð ÞØ Ð ØØ ÐÐ Ú ÐØÓÞ Ø ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ã Ö

6 Ä ØÓÖ Á Ô ÒÝ Å ÖØÓÒ Ö Ò Ý Ø Ñ Ä ØÓÖ Ð Ð ØØ ÓÔÝÖ Ø Þ Á ØÚ Ò ¾¼¼ ÓÔÝÖ Ø Ð ØÖÓÒ Ù ÞÐ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö ¾¼¼ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ã Ö ¼½¼ Ö Ò È º ½¾ ØØÔ»»ÑÓ º Ò ºÙÒ º Ù Ñò Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ð Ö Þ ÓÒ Ð Ø ÐØ Ø º Å Ò Ò Ý Ð ÞÒ Ð Þ ÖÞ Ð Þ Ø Ö Ð Ò ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò Øº Ñò ÑÓ ÁýÃ Ò Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ÁÃÌ ÇÅ ¹¼¼»¾¼¼ µ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÞÓ ØÚ Ö ÁÌ Å ¼»¾¼¼ µ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ò Þ Ðغ

7 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Áº Þ Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Öò Å Ö ÓڹРÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ó ÐÑ º ýøñ Ò ØÚ Ð Þ Òò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ó ÞØ ÐÝÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Þ Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Î Þ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ö Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËØ ÓÒ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Å ØÖÓÔÓÐ ¹À Ø Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÁÁº Å Ö ÓڹРÒÓ Ø Ø ÞØ Ú Þ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Å Ö ÓڹРÒÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó ÔÖ Å Ö ÓڹРÒÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ì Ö ÝÑÙØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

8

9 Áº Þ Ø Þ Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Öò Å Ö ÓڹРÒÓ

10 ½¼ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ½º Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ó ÐÑ º ýøñ Ò ØÚ Ð Þ Òò ½º½º Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ò Ò Þ Ø Ò ÓÐÝ Ò (ξ t, t T) ÞØÓ ÞØ Ù ÓÐÝ Ñ ØÓ Ø Ú Þ ÐÙÒ Ñ ¹ ÐÝ Ò Ñ Ò Ô Ö Ñ Ø ÖØ ÖØÓÑ ÒÝ Ñ Ò Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ñ Þ ÑÐ Ð Ø º ýðø Ð Ò Ô Ö Ñ Ø ÖØ ÖØÓÑ ÒÝ ÒØ T = {0, 1, 2,... } ÐÑ ÞØ Ø ÒØ Ñ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ø I¹Ú Ð Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ø Ñ Ù Ø Ô i, j, k, l ØòÚ Ð ÐÐ ØÚ Þ Ò Ü ÐØ Ú ÐØÓÞ Ø Ú Ð Ð Ð º Å Ý ÞÞ Ó Ý Ð Ò Þ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÚÓÐØ Ö ÙØ Ðº (ξ t, t T) ÓÐÝ Ñ ØÓØ Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ò Ò Ú ÞÞ ÓÐÝ Ñ Ø Ñ ÐØ Ð Ò Ð ÐÐ ÔÓØÓÒ Ö ÞØ Ð Ø ÓÐÝ Ñ Ø Ú Ö º ½º½º Ô Ð Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Þ Ñ Ý Ò Òµº Ý Ö Þ Ù Ö Ð Þ Ñ¹ Ý Ò Þ ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒØ Ò ξ t Ð Ð Ö Þ ÐÝÞ Ø Ø t Ô ÐÐ Ò Ø Òº t = 0 Ô ÐÐ Ò Ø Ò Þ ÓÖ Ò Ø ÖØ Þ Ó Ñ Ò Ò Ý t = 1, 2,... Ô ÐÐ Ò Ø Ò 1 Ð Ô Ø Ø Þ Ú Ý Ó Ö Ú Ý ÐÖ Ú Ð ØÐ Ò Þ Öò Òº Ð Ô Ö ÒÝ Ø Ñ Ò Ò Ø Ò Ô ÒÞ Ð Ó Ð Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ø Ò Ó Ö Ö Ø Ò ÐÖ Ð Ôº À Þ ÐÝÓ ÖÑ Ø ÞÒ ÐÙÒ ÓÖ Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÐÝÓÒ Ø Ô Ù Þ Þ p = 1 2, ÐÐ ØÚ q = 1 2 Ú Ð Þ Òò Ð Ð Ô Ó Ö ÐÐ ØÚ ÐÖ µ Ñ Þ ÐÝØ Ð Ò Ô ÒÞ ÖÑ Ø ÞÒ ÐÚ Ò Ñ Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÐÝÓÒ Ø Ô Ù º Ñ ÒÒÝ Ò Ñ Ö Ö Þ t ÔÓÒØ Ð ÐÝÞ Ø Ø ÓÖ Ö Þ t + 1 ÔÓÒØ Ð ÐÝÞ Ø Ö ÑÑ ÐÝ Ò ØÓÚ Ð Ð Ò Ñ ÞÓÐ Ð Ö Þ t 1, t 2,... ÔÓÒØ Ð ÐÝÞ Ø Ò Ñ Ö Ø º ½º½º Ò º ξ 0, ξ 1, ξ 2,... Þ Ö Ø Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ð ÐÐ ÓÖÓÞ ØÓØ Þ Ö Ø ò Å Ö ÓڹРÒÒ Ò Ú ÞÞ P (ξ n = i n ξ n 1 = i n 1, ξ n 2 = i n 2,...,ξ 0 = i 0 ) = P (ξ n = i n ξ n 1 = i n 1 ) ½º½µ Ø Ð Ð Ñ Ò Ò n¹ö Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò i 0, i 1,...,i n ÐÐ ÔÓØÓ Ö Ñ ÐÝ Ö ÐØ Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ñ ÒÝ Ú Ð Þ Òò ÔÓÞ Ø Úº Þ ½º½µ Òº Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Þ ÞØ Ó Ý ÓÐÝ Ñ Ø Ú Ð Ò Ò Ö ÞØ Ð Ñ ÐØØ Ðº Þ ØÙÐ ÓÒ Ý ÐØ Ð ÒÓ ÓÖÑ Ò Ø Ð Ðº Ò Þ Ø Ò ÐØ Ø Ð Ò Þ Ö ÔÐ Ñ ÒÝ Ñ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ú Ð Þ Òò ò ÖÖ ØÓÚ Ò Ð Ò Ò Ñ ÙØ ÐÙÒ º ½º½º ÐÐ Ø º ξ 0, ξ 1, ξ 2,... ÓÖ ÓÖ Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Þ Ð Ú Ú Ð Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ð Ð ½º P ( ) ξ tn = i n ξ tn 1 = i n 1, ξ tn 2 = i n 2,...,ξ t1 = i 1 = = P ( ) ξ tn = i n ξ tn 1 = i n 1 ½º¾µ ¾º Ñ Ò Ò n 2¹Ö Ñ Ò Ò 0 t 1 < < t n ÔÓÒØÓ Ö i 1,...i n ÐÐ ÔÓØÖ º P (ξ tν = i ν, n ν n + m ξ tν = i ν, 1 ν n 1) = ½º µ = P ( ) ξ tν = i ν, n ν n + m ξ tn 1 = i n 1

11 ½º Å ÊÃÇιÄýÆ Ç ÄÅ º ýìå Æ ÌÎ Ä Ë ÆæË Ã ½½ º Ñ Ò Ò m 0, n 2 ÞÖ 0 t 1 < < t n+m ÔÓÒØÓ Ö i 1,...,i n+m ÐÐ ÔÓØÓ Ö º P (A ξ tν = i ν, 1 ν n 1) = P ( A ξ tn 1 = i n 1 ) ½º µ Ñ Ò Ò n 2 ÞÖ Ñ Ò Ò 0 t 1 < < t n ÔÓÒØÖ i 1,...i n 1 ÐÐ ÔÓØÖ A σ {ξ t t > t n 1 } Ú Ò Ñ ÒÝÖ º ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º µ= ½º µ= ½º¾µ= ½º½µ ÑÔÐ ÓÖÓÞ Ø ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ð Ú Ò Þ ØÙÐ ÓÒ Ó ÝÑ Ô Ð Ø º ½º½µ= ½º¾µ ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ò Ð Ô Ò ½º½µ¹ Ð P (ξ n = i n, ξ n 1 = i n 1,...,ξ 0 = i 0 ) = = P (ξ n = i n ξ n 1 = i n 1 ) P (ξ n 1 = i n 1,...,ξ 0 = i 0 ). ½º µ 0, 1,..., n 2 ÔÓÒØÓ Þ Ð Ø Ø Þ Ð Ó Ø Ú Ð ÞØÚ Þ Ø Ò Ñ Ò Ò Ð¹ Ð ÔÓØÖ Þ ÞÚ ½º µ Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ø Ñ Ú Þ Ð ØÚ ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò P (ξ n = i n ξ n 1 = i n 1, ξ n s1 = i n s1,...) = P (ξ n = i n ξ n 1 = i n 1 ) ½º µ º Þ Þ ½º½µ Ð ÓÐ Ð Ò Ø Ø Þ Ð Ó ÔÓÒØ ÐØ ÒØ Ø Ø 0, 1,..., n 2 Þ Ðº ÞÓÒ Ò Ð Ò Ú Þ ØØ Þ Ù Ö Ñ Ý Ý ÒÝ n 1¹Ö Ð n¹ö µº ÑÔ Þ ½º¾µ Ð ÓÐ Ð Ö t n 1 t n Þ ØØ Þ ÔÓÒØÓØ Ø Ð Ú Ð ¹ Þ Òò Ø Ø Ð Ø Ú Ð ÞÒ Ð Ù ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ñ ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ø Ñ Ú Ð Ð Ö Ó Ý ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ò Ð Ò Ú Þ ØØ Ñ Ò Ý Ý ÒÝ Ù Ö Ð Ý Òµ Ñ Ø ÒØ Ð t n 1 Ð ØØ ÔÓÒØÓ Ø ½º µ Ð ÐÑ Þ Ú Ð P ( ) ξ tn = i n ξ tn 1 = i n 1,..., ξ t1 = i 1 = ½º µ = P ( ) ξ tn = i n, ξ tn 1 = j 1,..., ξ tn 1 +1 = j s, ξ tn 1 = i n 1,...,ξ t1 = i 1 P ( ) = ξ j 1 I j tn 1 = i n 1,...,ξ t1 = i 1 s I = P ( ) ξ tn = i n ξ tn 1 = j 1,...,ξ tn 1 +1 = j s, ξ tn 1 = i n 1,..., ξ t1 = i 1 j 1 I j s I... P ( ) ξ tn 1 +1 = j s ξ tn 1 = i n 1,...,ξ t1 = i 1 = = P ( ) ξ tn = i n ξ tn 1 = j 1,...,ξ tn 1 = i n 1... j 1 I j s I P ( ξ tn 1 +1 = j s ξ tn 1 = i n 1 ). Ð ÙØÓÐ Ø Ð Ø Ú Ø Ð Ú Ð Ø Ø Ú Þ Ð ÐÚ ÞÚ ½º µ¹ Ò Ô Ù ½º¾µ¹Øº ½º¾µ= ½º µ m = 0 Ø Ò ½º µ ÔÔ Ò ½º¾µ¹Ö Ö Ù Ð º Ð ÐÑ ÞÞÙÒ Ø Ð Ò Ù Ø m¹ö ½º µ= ½º µ Þ ½º µ Ý ÒÐ Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ò Ú Ð Þ Òò Ñ ÖØ Ðк ½º µ Þ Ö ÒØ Ø Ú Ð Þ Òò Ñ Ý Þ Þ A = {ξ tν = i ν : n ν n + m} Ð ¹ Ñ ÒÝ Ò Ý Þ A σ { ξ tn, ξ tn+1,...,ξ tn+m } Ñ ÒÝ Ò º Þ ÙØ Ø ÔÙ ¹ Ñ ÒÝ Þ Þ Þ t n 1 ¹Ò Ð Ò ÝÓ t n,...,t n+m ÔÓÒØÓ Ö Ø ÒØÚ µ й Ñ Þ Ð Ö Ø Ð ÓØ Ñ ÐÝ Ò Ö Ð σ {ξ t t > t n 1 }¹ غ Å Ú Ð Ý Ú Ð Þ Òò Ñ ÖØ

12 ½¾ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ÐÑ Þ Ð Ö Ò ÐÚ ØØ ÖØ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ Ò Ö ÐØ σ¹ Ð Ö Ò Ð¹ Ú ØØ ÖØ Ø Ý Þ Ò Ú ÝÙÒ º ½º¾º ÐÐ Ø º Þ Ð Ú Ú Ð Ò º ½µ ξ 0, ξ 1,... Å Ö ÓڹРҺ ¾µ Ì Ð Ð ØÓÐ Ð Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Þ Þ ÓÐÝ Ñ Ø Ñ ÐØ Ú Ð ÒÖ Ò ÞÚ ÐØ Ø Ð Ò ØÐ Òµ P ( ξ tν = i ν, 1 ν n + m, ν n 1 ξ tn 1 = i n 1 ) = = P ( ξ tν = i ν, 1 ν n 2 ξ tn 1 = i n 1 ) P ( ξ tν = i ν, n ν n + m ξ tn 1 = i n 1 ) Ñ Ò Ò m, n 1, 0 t 1 < < t n+m m 0 n > 2 i 1,...,i n+m I Ø Òº µ Ì Ð Ð ÓÖ ØÓØØ Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ P ( ) ξ tn = i n ξ tn 1 = i n 1,...,ξ t1 = i 1 = = P ( ) ξ tn = i n ξ tn 1 = i n 1 Ñ Ò Ò n 2¹Ö 0 t n < < t 1 ÔÓÒØÓ Ö i 1,...,i n ÐÐ ÔÓØÓ Ö º ÞÓÒÝ Ø º Ñ ½º µ Ð ½µ ¾µ ½º µ Ð P(A BC) = P(A B), P(AC B) = P(A B)P(C B), ½º µ ½º µ ÓÐ A, B, C Ñ Ð Ð Ú ¹ Ð Ò¹ Ðк Ñ ÐØ Ð Ñ ÒÝ º Þ Ò Ø Ý ÒÐ Ú Ú Ð Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º ¾µ µ ½º µ¹ Ò Ñ ÐØ Ú Þ Ö Ô Ð Ö Ð Ø º Ì Ø ¾µ µ ¹ ÞÓÐ Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ ¾µ ½µ ÞÓÐ º ½º¾º ýøñ Ò ØÚ Ð Þ Òò ½º¾º Ò º ξ 0, ξ 1,... Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ø Ò p (n) ij (t) = P (ξ t+n = j ξ t = i), i, j I, ½º½¼µ Ñ ÒÒÝ Ø Ð Ò n¹ð Ô ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ò Ò Ú ÞÞ º p ij (t) = p (1) ij (t) ÝÐ Ô ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ø Ý Þ Öò Ò ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ò Ó Ù Ò ¹ Ú ÞÒ º À p ij = p ij (t) Ò ÙÐ t ÔÓÒØØ Ð ØÐ Ò ÓÖ Ð ÒÓØ ÓÑÓ ÒÒ Ò Ú ÞÞ º Ý Ð Ñ ØÓÚ Ò Þ ÐÐ Ò Þ Ø Ò Ñ Ð ÞÞ ÓÑÓ Ò Å Ö ÓÚ¹ Ð ÒÓ Þ Ö Ô ÐÒ º P = (p ij ) i,j I Ñ ØÖ ÜÓØ Ð Ò ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ú ÞÞ º ÑÐ ÞØ Ø Ò Ó Ý Þ I Þ Ø Ö Ø Ñ Ò Ø ÒØ Ø Þ Þ Þ ÑÓ Ý Ö Þ ÐÑ Þ Ò ºµ P Ú Ò ÝÞ Ø Ú Ý ØÐ Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Òµ Ø ÔÙ Ñ ØÖ Üº P ÞØÓ ÞØ Ù Ñ ØÖ Ü Þ Þ Ð Ñ Ò ÑÒ Ø Ú ÓÖ Þ ½¹ Ý Ð Ý Ò¹ Ð º À Ñ Þ Ó ÞÐÓÔ Þ 1¹ Ý Ð Ý ÒÐ ÓÖ ÙÔÐ Ò ÞØÓ ÞØ Ù Ò

13 ½º Å ÊÃÇιÄýÆ Ç ÄÅ º ýìå Æ ÌÎ Ä Ë ÆæË Ã ½ Ò Ú ÞÞ Ñ ØÖ ÜÓغµ q i = P (ξ 0 = i), i I Þ Ö Ø ÐÓ ÞÐ Ø Ð Ò Þ Ø ÐÓ Þ¹ Ð Ò Ò Ú ÞÞ º ½º¾º Ô Ð ÓÐÝÓÒ Ó µº ½º Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò ÓÖÐ ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ ØÑ Ò Ø Ú Ð Þ Òò p i,i+1 = p, p i,i 1 = q, p ij = 0, j i + 1, i 1. ÓÐÝÓÒ ÔÓÒØ p Ú Ð Þ Òò Ð Ð Ô Ó Ö q Ú Ð Þ Òò Ð ÐÖ p + q = 1.µ ¾º Ð Ù ÓÐÝÓÒ n ÔÓÒØÓÒº Ö Þ Ý Ö Ö Ð Ø Ò Ð ÐÝ Þ 1, 2,..., n¹ò Ð Ð ÐØ ÔÓÒØÓ ÓÒ ÓÐÝÓÒ º Ä Ý Ò p 0, q 0, p + q = 1º p ij = p, j i + 1 (mod n), q, j i 1 (mod n), 0, Ý Òغ º ÓÐÝÓÒ Ø ÐÒÝ Ð Ú Ý Ú Þ Ú Ö Ø Ö Ð Ø ÐÝ Þ Ø Ò Ð Ó Ö Ð»Ú Ý ÐÖ Ðº À Ô Ð ÙÐ 0¹ Ú Þ Ú Ö Þ n(> 0)¹ ÐÒÝ Ð Ø Ö Ð Ø ÐÝ Þ Ò Ð ÓÖ p ij Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ ÓÖÐ ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Ø Ò i = 2,..., n 1; ÞÓÒ Ò p 11 = q, p 12 = p, p nn = 1 Ø ÖØ 0µº ½º º Ò º (ξ t1,...,ξ tn ) n¹ Ñ ÒÞ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÐÓ ÞÐ Ø ÓÐ t 1, t 2,...,t n T, n = 1, 2,... µ Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ Ò Ò Ú ÞÞ º Þ Þ Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ Ó Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Þ ξ t Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÐÓ ÞÐ Ø Þ Þ ξ t, ξ s Ý ØØ ÐÓ ÞÐ Ø Ø º Þ Ö Ø Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ö Ð Ð Ú Ò Þ Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ Ó Ñ Ú Ú Ð Ò P (ξ t1 = i 1,...,ξ tn = i n ) ½º½½µ 0 t 1 < < t n, i 1,..., i n I, n 1 Þ ÑÓ Ñ Ú Ðº Ë Ø Þ Þ ÑÓ Ñ Ô Ø Þ Ð ÐÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Ñ Ý Þ Öò Ø ÔÙ Ñ ÒÒÝ Ð Ð¹ Ñ Þ Òغ ½º º ÐÐ Ø º ξ 0, ξ 1,... ÓÖÓÞ Ø ÓÖ ÓÖ ÓÑÓ Òµ Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò P = (p ij ) i,j I ÞØÓ ÞØ Ù Ñ ØÖ Ü q = (q i ) i I Þ Ö Ø ÐÓ ÞÐ Ó Ý P (ξ 0 = i 0, ξ 1 = i 1,...,ξ n = i n ) = q i0 p i0 i 1 p i1 i 2 p in 1 i n Ñ Ò Ò i 0,...,i n I n 0¹Ö º ½º½¾µ ÞÓÒÝ Ø º ½µ À ξ 0, ξ 1,... ÓÑÓ Ò Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÓÖ P ¹Ø Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü¹ Ò q¹ø Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ò Ú Ð ÞØÚ ½º½µ Þ ½º Ð Ø Ð ÐÑ Þ Ú Ð ½º½¾µº ¾µ Å ÓÖ ØÚ ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ò Ð Ô Ò ½º½¾µ¹ Ð Ð P (ξ n = i n ξ n 1 = i n 1,...,ξ 0 = i 0 ) = p in 1 i n. P (ξ n = i n, ξ n 1 = i n 1,...,ξ 0 = i 0 ) = p in 1 i n P (ξ n 1 = i n 1,...,ξ 0 = i 0 ). Ò Þ Ý ÒÐ Ò Þ ÞÚ i 0,..., i n 2 I¹Ö P (ξ n = i n, ξ n 1 = i n 1 ) = p in 1 i n P (ξ n 1 = i n 1 ) Ñ ½º½ µ¹ñ Ð Ý ØØ ÞÓÒÝ Ø Þ ÐÐ Ø ÙÒ Øº ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ

14 ½ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ½º½º Ø Ø Ð Å Ö ÓڹРÒÓ Þ ÞØ Ò Ø Ø Ð µº Ä Ý Ò ÓØØ Ý q Þ Ö Ø ÐÓ ÞÐ Ý P ÞØÓ ÞØ Ù Ñ ØÖ Üº ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò ÓÑÓ Ò Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ñ ÐÝÒ q Þ Ø ÐÓ ÞÐ P Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü º ÞÓÒÝ Ø º ½º½¾µ Ð Ô Ò Ñ Ø Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ Ó º Ð ÐÑ Þ Ø ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ Ð Ð ÔØ Ø Ð Ð Ð µ Ñ Ú Ð Ø Ð ÐÒ ÓÑÔ Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð ÞØ P ÞØÓ ÞØ Ù Ñ ØÖ Ü ÚÓÐØ Ö ÒØ Ð µº Ì Ø Ð Ø Þ ÒØ Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ Ó Ð Ö Ò Ð Þ ÞØÓ ÞØ Ù ÓÐÝ Ñ Ø Ñ ÐÝ Þ ½º º ÐÐ Ø Ð Ô Ò ÔÔ Ò Ú ÒØ Å Ö ÓڹРҺ ½º º ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ Ý ÒÐ Ø ½º¾º Ø Ø Ðº À Þ ÝÐ Ô ØÑ Ò Ø Ú Ð Þ Òò t¹ø Ð ØÐ Ò Þ Þ p (1) ij (t) = p ij Ñ Ò Ò i, j I t = 0, 1, 2,... ¹Ö ÓÖ Þ n¹ð Ô ØÑ Ò Ø Ú Ð Þ Òò ØÐ Ò t¹ø Ð p (n) ij (t) = p(n) ij Ñ Ò Ò i, j I n, t = 0, 1, 2,... Ø Òº ÌÓÚ p (n+m) ij = k I Ñ Ò Ò i, j I n, m = 0, 1, 2,... Ø Òº ÞÓÒÝ Ø º p (n) ik p(m) kj Ä Ú Ò {ξ t+n = k}, k I Ø Ð Ñ ÒÝÖ Ò Þ Ö P (ξ t+n+m = j ξ t = i) = k I ½º½ µ P (ξ t+n+m = j ξ t+n = k, ξ t = i) P (ξ t+n = k ξ t = i). Ð Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ð Ô Ò p (n+m) ij (t) = k I p (n) ik (t) p(m) kj (t + n). ½º½ µ Ò ÔÐ Ø Ò m = 1¹ Ø Ú Ð ÞØÚ n Þ Ö ÒØ Ø Ð Ò Ù Ú Ð p (n) ij (t)¹ò t¹ø Ð Ú Ð ØÐ Ò º Ý ½º½ µ ÔÔ Ò ½º½ µ¹óø º ½º½º Ñ ÝÞ º Þ n¹ð Ô ØÑ Ò Ø Ú Ð Þ Òò Ð ÐÐ P (n) Ñ ØÖ ÜÓØ Ð Ò n¹ð Ô ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ú ÞÞ º P (0) ¹Ø Þ Ý Ñ ØÖ ÜÒ Ú Ð ÞØ Ù ºµ ÓÖ ½º½ µ Ñ ØÖ ÜÓ Ð P (n+m) = P (n) P (m) º Þ ½º½ µ Ý ÒÐ Ø Ø Ò Ú ÞÞ ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ Ý ÒÐ Ø Ò º ½º½ µ Ð Ò¹ Ø i¹ Ð j¹ n + m Ð Ô Ð Ý Ñ Ø Ò Ð Ó Ý n Ð Ô Ð ÐÑ Ý Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Þ Ð k ÐÐ ÔÓØ ÓÒÒ Ò m Ð Ô Ð j¹ º ½º º Ò º ξ n ÐÓ ÞÐ Ø Ð Ò ÞÓÐ Ø Ú Ð Þ Òò Ò Ò Ú ÞÞ (  РРq (n) = q (n) i Ú Ð Þ Òò Ø Ø Ð Ð ) i I q (n) i = P (ξ n = i), i I. Þ ÞÓÐ Ø Ú Ð Þ Òò Ð ÐÐ ÓÖÚ ØÓÖغ ÓÖ Ø Ð q (n) = qp (n), ÓÐ q = q (0) Ð Ò Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÖÚ ØÓÖº

15 ½º Á ÞÞ Ð ½º Å ÊÃÇιÄýÆ Ç ÄÅ º ýìå Æ ÌÎ Ä Ë ÆæË Ã ½ Ð ØÓ P(A n A n 1 A 1 ) = P(A n A n 1 A 1 ) P(A n 1 A n 2 A 1 ) P(A 2 A 1 )P(A 1 ) Þ ÞÓÒÝ Ø Ø ¾º Ø Ö ÞÐ Ø Ò Þ ½º½º ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ø º Î ÞÞ Ð Þ ½º¾µ= ½º µ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Þ Ø Ð Ò Ù Ø Ì Öع Ù ÑÐ Þ Ø Ò Ò Ó Ý ½º¾µ Ð ÒÝ Ó Ý ÐØ Ø Ð Ð Ø Ø Þ Ð Þ Ñ Ñ ÐØ Ð Ô ÐÐ Ò ØÓØ Ø Ö Ð Ø Ò µ º Ê ÞÐ Ø ÞÞ Þ ½º¾º ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ø º Á ÞÓÐ Ù Ó Ý Þ Ð Ú Ú Ð Ò Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ð P(A ξ tn = i n, C) = P(A ξ tn = i n ) Ñ Ò Ò t n ÔÓÒØ i n I, A σ{ξ t, t > t n } C σ{ξ t, t < t n } Ø Òº Ä ½º µ= ½º µ ÞÓÒÝ Ø Øºµ Ì Ø Ú Ò A Ñ ÐØ Ð C Ñ ÒÝ ÐØ Ð ÒÓ Ð Ø Ð Ò Ð ÙÔ Ò B = {ξ tn = i n } Ð º Ó ÐÑ ÞÞÙ Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù Ñ Ð Ð ÐÐ Ø Ø ØÓÐ Ð ÓÖ ØÓØØ Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ø Ò º Ö Ù Ð Ð Ò Þ Ø ÔÙ ÓÐÝÓÒ Ó ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ø º Ø Ö ÞÐ Ø Ò Þ ½º½º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ø º Á ÞÓÐ Ù Ó Ý P (n) = P n Þ Þ Þ n¹ð Ô ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Þ ÝÐ Ô n¹ ØÚ ÒÝ µ º Á ÞÓÐ Ù Ó Ý q (n) = q (0) P (n) º ½¼ º  РРξ n, n = 0, 1,... Ò Ñ Þ ÑÑ ØÖ Ù ( p 2) 1 ÓÖÐ ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Øº Á ¹ ÞÓÐ Ù Ó Ý P(ξ n = 0 Ú Ø Ð Ò Ó n¹ö ) = 0º ØÑÙØ Ø º ËÞ Ñ Ø Ù P(ξ 2n = 0)¹Ø Ð ÐÑ ÞÞÙ ËØ ÖÐ Ò ¹ ÓÖÑÙÐ Ø Ñ ÓÖ Ð¹ ÒØ ÐÐ ¹Ð ÑÑ Ø ËØ ÖÐ Ò ¹ ÓÖÑÙÐ n! 2πn ( n nº e) ½½ º Á ÞÓÐ Ù Ó Ý Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÖÐ ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Ø Ò P(ξ n = 0 Ú Ø Ð Ò Ó n¹ö ) = 1. ØÑÙØ Ø º ÒØÖ Ð Ø Ö ÐÓ ÞÐ ¹Ø Ø Ð Ð ( P lim sup ξ ) ( ) n ξn > c lim sup P > c > 0 c > 0¹Ö. n n Ý ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ Ð 0 Ú Ý 1 Ø ÖÚ ÒÝ Ð ( P lim sup ξ ) n ξ n > c, lim inf < c n n = 1. Ý Ñ Ñ Þ Ö Þ Ø Ö ÐØÐÓ Ö ØÑÙ ¹Ø Ø Ð ÞÚ ØÐ Ò Ð ÐÑ Þ º ½¾º Á ÞÓÐ Ù Ó Ý ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ µ Þ ÖØ Ø ÐÚ Ú Ú Ð Þ Òò¹ Ú ÐØÓÞ Ö ÞÐ Ø Þ ÓÑÓ Òµ Å Ö ÓڹРÒÓØ Ð ÓØÒ

16 ½ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ¾º Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ý Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ñò Ò Ò Ð ÓÐÝ Ø Ú Þ ÐÚ Þ Ý ÐÐ ÔÓØÓ Ö Ð Ò Þ Ø ÔÙ Ú Ð Ð ØÒ ÐÐ ÑÞ º Þ ÝÑ Ð ÞÓÖÓ Ô ÓРع Ò Ð Ú ÐÐ ÔÓØÓ Ú Ð ÓÒÐ Ý Þ Ò Ú Þ Ý Ó ÞØ ÐÝ ÓÖÓÐ º ÞÓÒ ÐÐ ÔÓØÓ Ø Ó Ù Ý Ó ÞØ ÐÝ ÓÖÓÐÒ Ñ ÐÝ ÝÑ Ð Ð Ò Ò Ð Ö ¹ Ø Ú Ð ÒÝ Ð Ô Ðº ¾º½º Ò º j ÐÐ ÔÓØÓØ Þ i ÐÐ ÔÓØ Ð Ð Ö Ø Ò Ò Ú ÞÞ Ð Ð Ò i jµ Ú Ð Ñ ÐÝ n > 0¹Ö p (n) ij > 0º Þ i j ÐÐ ÔÓØÓ Ø Ð Ò Ò Ð Ö Ø Ò Ò Ú ÞÞ Ð Ð Ò i jµ i j j i. p (n) ij Ö Ð ØÖ ÒÞ Ø Úº Í Ý Ò i j, j k Ø Ò Ð Ø Þ n, m ÔÓÞ Ø Ú Þ Ó Ý > 0, p (m) jk > 0º Î ÞÓÒØ ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò p (n+m) ik p (n) ij p(m) jk > 0, Ý i kº Ö Ð ÒÝ ÐÚ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù ÞÓÒ Ò Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ö Ü Úº Ì ÒØ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö ÞÓÒ Ð Ñ Ø Ñ ÐÝ ÑÑ ÐÝ Ò ÐÐ ÔÓØ Ð Ñ ÒÑ Ù ¹ е Ñ Ö Ø Ð Ð Ò Òº Þ Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ý Ò ÒØ Ð Ó Ò Ý¹ Ý Ð Ò Ó ÞØ ÐÝغ Ø ÐÐ ÔÓØÓÒ Ñ Ö Ö Ü Ú Ý Ú Ú Ð Ò Ö Ð º Þ ¹ Ö ÒØ Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ò Ð Ø Ø Þ ÝÑ Ð Ð Ò Ò Ð Ö Ø ÐÐ ÔÓØÓ Ö ÐÒ Ý Ó ÞØ ÐÝ º ¾º¾º Ò º Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ú Ð Ñ ÐÝ ØÙÐ ÓÒ Ø Ó ÞØ ÐÝØÙÐ ÓÒ Ò Ò Ú ÞÞ Ý Ó ÞØ ÐÝÓÒ Ð Ð Ú Ý Ñ Ò Ò ÐÐ ÔÓØ Ö Ò Ð Þ Ú Ð Ú Ý Ý Ñº Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ó ÞØ ÐÝ ÓÖÓÐ Ø ÓÒ Ö Ø ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ø Ò Ñ ÒÒÝ Ø Þ ÐÐ ÔÓØÓ Þ ØØ ØÑ Ò Ø ÒÝ Ð Ð Ø ÖØ Ò Þ ÑÐ ÐØ Ø º ¾º º Ò º Ý i ÐÐ ÔÓØÓØ Ð ÒÝ Ò Ò Ú Þ Ò Þ i¹ Ð Ð Ö Ø ÐÐ ÔÓØÓ Ð Ú Þ Ð Ø Ø ÖÒ i¹ Þ Þ i j Ñ ÙØ Ò ÚÓÒ Ó Ý j iµº ÐÐ Ò Þ Ø Ò i¹ø Ð ÒÝ Ø Ð ÒÒ Ò Ú ÞÞ º ¾º½º ÐÐ Ø º Ð ÒÝ Ð ÒÝ Ø Ð Ò ØÙÐ ÓÒ Ó Ó ÞØ ÐÝØÙÐ ÓÒ Ó º ÞÓÒÝ Ø º Ð Ò Ð ØÒ Ó Ý Ð ÒÝ ÐÐ ÔÓØ Ð Ð ÒÝ ÐÐ ÔÓØ Ö Ø Ðº Ä Ý Ò Ø Ø i Ð ÒÝ i jº Ä Ý Ò k j¹ Ð Ð Ö Ø Ø Ø Þ Ð ÐÐ ÔÓØ j kº Å Ú Ð i Ð ÒÝ i j k Ý k iº ÓÖ k¹ Ð Ú Þ Ø Ö Ø Ò j¹ k i j ØÓÒ Þ Þ j Ø ÒÝÐ Ð ÒÝ ÐÐ ÔÓغ À Ý Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÐÐ ÔÓØ Ø Ý Ö Ò ÞÞ ÓÖ Ó Ý Ð ÒÝ ÐÐ ÔÓØÓ Ö Ð Ò Ð Ö Þ Ò Ð Ð Þ Ý Ó ÞØ ÐÝ Ø ÖØÓÞ ÝÑ Ñ ÐÐ ÓÖ Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ø Þ Ð Ð Þ P = P 1 P 2 º ºº R.

17 ¾º ýää ÈÇÌÇà ÇË ÌýÄ Ç ýë ½ ÁØØ P i Þ i¹ Ð ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÞØÓ ÞØ Ù µ Ñ ØÖ Ü P i ¹ P ØÐ Ñ ÒØ Ò ÐÝ Þ Ò Ð Ñ R Ð ÒÝ Ø Ð Ò ÐÐ ÔÓØÓ ÓÞ Ø ÖØÓÞ ÐÓ º ýðð ÔÓØÓ Ý ÐÑ Þ Ø Þ ÖØÒ Ò Ú ÞÞ Ò Ñ Ð Ø Ð Ð ÙØÒ º ÓÖÑ Ð Ò Þ Ð Ò Ø Ù º ¾º º Ò º ýðð ÔÓØÓ Ý A ÐÑ Þ Ø Þ ÖØÒ Ò Ú ÞÞ ÖÑ ÐÝ i A Ø Ò p ij = 1. j A Ý Þ ÖØ ÐÑ ÞØ Ñ Ò Ñ Ð Ò ÑÓÒ ÙÒ Ò Ò Ú Ð Þ ÖØ Ö Þ ÐÑ Þ º Þ ÖØ Ò Ð ÞÓÒÒ Ð Ð Ø Ø Ó Ý Þ ÖØ Ó ÞØ ÐÝ Ð Ò Ñ Ý Ð Ô Ð Ò Ñ Ö ÒÝ Ð Ô Ð Ñ Ð Ø ÙØÒ º Þ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö ÒÝ ÐÚ Ò Þ ÖØ ÐÑ Þº Ý Ð ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ô Ñ Ò Ñ Ð Þ ÖØ ÐÑ Þº ¾º º Ò º Ý Å Ö ÓڹРÒÓØ ÖÖ ÙÙ Ð Ò Ò Ú Þ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ ÖØ ÐÑ Þº Ø Ð ÐÐ ÔÓØØ Ö ¾º½º Ø Ø Ðº Ý Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÓÖ ÓÖ ÖÖ Ù Ð Þ Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ý ØÐ Ò Ð ÒÝ Ó ÞØ ÐÝØ Ð ÓØ Þ Þ Ñ Ò Ò ÐÐ ÔÓØ Ð Ö Ø Ñ Ò Ò ÐÐ ÔÓØ Ðµº ÞÓÒÝ Ø º Ý Ð ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ ÖØ ÐÑ Þº Å Ö ÞØ Ð ÒÝ Ø ¹ Ð Ò ÐÐ ÔÓØ Ò Ñ Ð Ø Ñ Ò Ñ Ð Þ ÖØ Ó ÞØ ÐÝÒ Ð Ñ Þ Ò Ý i Ð ÒÝ Ø Ð Ò ÐÐ ÔÓع Ð Ð Ø Ý ÙØÒ Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Ú Þ Ø ÖÒ º Ä Ý Ò ÐÝ Ò i¹ Ð Ð Ö Ø j ÐÐ ÔÓغ j¹ Ð Ð Ö Ø ÐÐ ÔÓØÓ Þ ÖØ ÐÑ ÞØ Ð ÓØÒ Ò Ò Ò ÒÒ i Ð º Рصº ¾º½º Ô Ð º ÓÖÐ ØÐ Ò Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ 0 < p < 1 Ø Òµ ÖÖ Ù Ð Å Ö ÓÚ¹ Ð Òº Ý Ð Ñ Ó Ý Ò Ð Ò Ò ÖÑ ÐÝ ÐÐ ÔÓØ Ô ÖÓ Þ Ñ Ð Ô Ð ØÙ ÙÒ Ú Þ Ø ÖÒ º ÞØ Ó Ù ÑÓÒ Ò Ó Ý Ð Ò Ô Ö Ù 2º ¾º º Ò º Þ i ÐÐ ÔÓØ Ô Ö Ù Ò ÞÓÒ n Þ ÑÓ Ð Ò ÝÓ Þ Ó ÞØ Ø Ò Ú ÞÞ Ñ ÐÝ Ö p (n) ii > 0º Þ i Ô Ö Ù Ø d i ¹Ú Ð Ð Ð º d i = 1 Ø Ò Þ i ÐÐ ÔÓØÓØ Ô Ö Ó Ù Ò Ò Ú ÞÞ º ¾º¾º Ø Ø Ðº d¹ô Ö Ù Ó ÞØ ÐÝØÙÐ ÓÒ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò i j Ý ÞÓÒ Ó ÞØ ÐÝ Ò Ý Ð Ø Þ m, n Ó Ý p (m) ij 0º Ä Ý Ò s Ø Ø Þ Ð ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ ÐÝÖ p (s) ii Ð Ô Ò À ÓÒÐ Ò p (n+s+m) jj > 0º ÓÖ p (2s) ii p (n) ji p(s) ii p(m) ij > 0 p (n+s+m) jj > 0. > 0, p (n) ji > > 0 Þº Å Ö ÞØ p (n+2s+m) jj > 0 Þº Þ Ð d j n+s+m d j n+2s+m Ñ Ð d j sº Ý d j Ó ÞØ Þ Þ ÓÐÝ Ò s¹ò Ñ ÐÝÖ p (s) ii > 0 Þ Þ d j Ó ÞØ Þ ÐÝ Ò s¹ Ð Ò ÝÓ Þ Ó ÞØ Ò Ø Ø d j d i º Å Ö ÞØ i j Þ Ö Ô Ò Ð Ö Ð Ú Ð d i d j º Ì Ø d i = d j º

18 ½ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ÓÖÐ ØÐ Ò Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Ø Ò Ô ÖÓ ÓÖ Þ Ñ ÐÐ ÔÓØ Ð Ñ Ò Ô Ö ØÐ Ò ÓÖ Þ Ñ Ö Ù ÖÙÒ Ñ Ö Ô ÖÓ Ö º À ÓÒÐ Þ ÐÝ Þ Öò ÖÚ ÒÝ Ñ Ò Ò Ô Ö ¹ Ó Ù Ó ÞØ ÐÝ Òº ÒÒ Ð Ö Ô Ö Ó Ù Ó ÞØ ÐÝ Ð ÐÑ ÓÔÓÖØÓ Ö ÓÒØ Ú Ð Ö Ø Ðº ¾º º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò A Ý d Ô Ö Ù Ð ÒÝ Ó ÞØ Ðݺ ÓÖ A Þ ÙÒ Ø G 0, G 1,......,G d 1 ÓÔÓÖØÓ Ö ÓÒØ Ø Ý Ó Ý Ð Ò Ý Ð Ô Ð G k ¹ Ð G k+1 ¹ ÙØ (mod d)º Þ Ð ÓÒØ Ð ÒÝ Ò Ý ÖØ ÐÑòº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò i A Ö Þ Ø Øغ  РРG k, k = 0, 1,..., d 1 ÞÓÒ ÐÐ ÔÓØÓ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝ i¹ Ð k Ð Ô Ð Ð Ö Ø (mod d)º ÓÖ G 0,...,G d 1 ÐÑ ÞÓ Þ ÙÒ Ø ÙÒ Ù ÔÔ Ò Aº À Ý ÐÐ ÔÓØ G k ¹ Ð Ý Ð Ô Ð Ð Ö Ø ÓÖ Þ Þ ÐÐ ÔÓØ i¹ Ð (k + 1) Ð Ô Ð Ö Ø Ð (mod d) Þ Þ G k+1 ¹ Ò Ú Òº Þ Ø ÒÝ Ó Ý Ý Ð Ô Ð Ð Ò G k ¹ Ð G k+1 ¹ ÙØ ÞØ Ñ ÙØ Ò ÚÓÒ Ó Ý ÓÔÓÖØÓ ØÐ Ò Þ i Þ ÐÐ ÔÓØ Ö Þ Ø Ø Ð i Ð Ð Þ Ò Ü Ø Ø ÖÓÞÞ Ñ G¹ Þ ØØ Ö Ò Ö Ò µº ÒØ Ø Ò Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ð 0 P P 2 0 P = ººº 0 P. d 1 P Ð ØÓ ½º Ç ÞØ ÐÝÓÞÞÙ Ð Ò Þ Ø ÔÙ ÓÐÝÓÒ Ó ÐÐ ÔÓØ Ø Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ô Ö Ù Ù Ø ¾º Ä Ý Ò Ý Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü p 1 p 2 p ººº ý Ö ÞÓÐ Ù Þ ÐÐ ÔÓØÓ Þ ØØ ØÑ Ò Ø Ø Ö ÑÓÒ Å ÐÝ Ò p i ¹ Ø Ò Ð Þ Ð Ò ÖÖ Ù Ð ÐÐ ØÚ Ô Ö Ó Ù º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ý Ö Þ Ø ØØ ÐÐ ÔÓØ Ð Ð Ö Ø Þ ÐÐ ÔÓØ Þ ÖØ Ð¹ Ñ ÞØ Ð ÓØ º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ú Ó Ð ÒÝ Ø Ð Ò Ó ÞØ ÐÝ ÙÒ Ò Ñ Ð Ø Þ ÖØ ¹ ÙÒ Ô Ð Ø ÖÖ Ó Ý Ú Ø Ð Ò Ó Ð ÒÝ Ø Ð Ò Ó ÞØ ÐÝ ÙÒ Ð Ø Þ ÖØ º Ê ÞÐ Ø ÞÞ ¾º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ø Á Þ¹ Ø Ø Ð Ð ÒÝ Ø Ð Ò Ó ÞØ ÐÝÓ ¹ Ø Ò º Ý d Ô Ö Ù ÖÖ Ù Ð Ð Ò ÐÐ ÔÓØ Ø Ö Ò ÞÞ ÓÖ G 0, G 1,...,G d 1 ÓÔÓÖØÓ Ò Ñ Ð Ð Òº Å ÐÝ Ò Ð Ð Þ Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü º ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý Ý Ú ÐÐ ÔÓØØ Öò ÖÖ Ù Ð Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÓÖ ÓÖ Ô Ö Ó Ù Ð Ø Þ n ÔÓÞ Ø Ú Þ Ó Ý p (n) ij > 0 Ñ Ò Ò i, j

19 º Ê Ë Å ÊÃÇιÌÍÄ Â ÇÆËý ½ ÐÐ ÔÓØÖ ØÑÙØ Ø º Ê Ð Ø Ú ÔÖ Ñ Ð ÖÑ ÐÝ Þ Þ Ñ Ð ÐÐ Ø Ø Þ Ý ØØ Ø Ð Ò Ö ÓÑ Ò Òغµ º Ä Ý Ò ( ) 1 a a P = b 1 b Ý ÞØÓ ÞØ Ù Ñ ØÖ Üº Ä Ù Ó Ý P n = 1 ( ) b a (1 a b)n + a + b b a a + b Î Þ Ð Ù P n Ú Ð Ø n Ø Ò ( a a b b ). º Þ Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ä Ý Ò ξ 0, ξ 1,... Å Ö ÓÚ¹Ð Ò τ Ô Ý Ú Ð ØÐ Ò Þ Þ ÓÐÝ Ò Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ñ ÐÝÒ ÖØ 0, 1, 2,..., º  РРσ {ξ 0, ξ 1,...,ξ n } ξ 0, ξ 1,...,ξ n ÐØ Ð Ò Ö ÐØ σ¹ Ð Ö Øº Þ Þ ξ 0, ξ 1,...,ξ n ¹Ò Ð Ô ÓÐ ØÓ Ñ ÒÝ Þ Øº º½º Ò º τ¹ø Ñ ÐÐ Ò Å Ö ÓÚ¹Ô ÐÐ Ò ØÒ µ Ò Ú ÞÞ {τ = n} σ {ξ 0, ξ 1,...,ξ n }, n = 0, 1,.... Þ Þ ÞØ Ó Ý {τ = n} Ñ ÒÝ Ú Ø Þ ¹ Ð ØÙ Ù ÒØ Ò ξ 0, ξ 1,...,ξ n Ñ Ý Ð Ð Ô Òº Å Þ Ú Ð τ Ò Ñ Ú Ø Ðº º¾º Ò º Ä Ý Ò τ Ñ ÐÐ º F τ Ð Ð τ Ð ØØ Ñ ÒÝ Ø A F τ A {τ = n} σ {ξ 0, ξ 1,..., ξ n }, n. Î Ý τ = n ÓÖ ξ 0, ξ 1,..., ξ n Ñ Ý Ð µ Ð Ô Ò Ñ ØÙ Ù ÐÐ Ô Ø Ò Ó Ý A Ú Ø Þ Øع º º½º Ô Ð º Ý ÐÐ ÔÓØ Ð Ð Ö Å Ö ÓÚ¹Ô ÐÐ Ò Øº Ä Ý Ò T = T i (1) Þ i Ð Ð Ö Ú Þ Ø Ö µ º {T = n} = {ξ 1 i, ξ 2 i,..., ξ n 1 i, ξ n = i}, n. {T = n} Ñ ÒÝ ÒÝ ÐÚ Ò T Ð ØØ Ñ Òݺ Þ Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Å Ö ÓÚ¹Ô ÐÐ Ò ØÓ Ö Ø Ð Ð Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÔÓÒØÓ Ö º º½º ÐÐ Ø º Ä Ý Ò ξ 0, ξ 1,... ÓÑÓ Ò Å Ö ÓÚ¹Ð Ò τ Å Ö ÓÚ¹Ô ÐÐ Ò Ø A τ Ð ØØ Ñ Òݺ ÓÖ P(A {ξ τ = i 0, ξ τ+1 = i 1,..., ξ τ+k = i k }) = P(A {ξ τ = i 0 })p i0 i 1 p i1 i 2 p ik 1 i k. º½µ

20 ¾¼ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ÞÓÒÝ Ø º ÒØ Ý ÒÐ Ð ÓÐ Ð P(A {τ = n, ξ n = i 0, ξ n+1 = i 1,...,ξ n+k = i k }) = n=0 = = P(A {τ = n, ξ n = i 0 })P(ξ n+1 = i 1,..., ξ n+k = i k A {τ = n, ξ n = i 0 }) }{{} A {τ=n} {ξ n=i 0 } P(A {τ = n, ξ n = i 0 }) P(ξ n+1 = i 1,...,ξ n+k = i k ξ n = i 0 ) = }{{} p i0 i 1 p i1 i 2 p ik 1 i k n=0 n=0 = P(A {ξ τ = i 0 })p i0 i 1 p i1 i 2 p ik 1 i k. º½º Ñ ÝÞ º ÒÒ Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ ÓØ P(B {ξ n = i 0 }C) = P(B ξ n = i 0 ) Ð Ò ÞÒ ÐØÙ ÓÐ B Ú Ð C Ô ÓÐÝ Ò Ñ ÐØ Ð Ñ ÒÝ Ñ ÐÝ Ð ÒØ Ð C σ {ξ 0,...,ξ n }º ÓÖ C ÞÓÒÝÓ {ξ 0 = j 0,..., ξ n = j n } Ð Ñ ÒÝ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÙÒ º ÒØ Ý ÒÐ Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ P(B {ξ n = i 0 }C) = P(B ξ n = i 0 )P({ξ n = i 0 }C). Þ Ø Ð Ð C Ñ Ò Ò Ð ÐÞ ØØ Þ Ø Ú Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ñ Øص Ý Ø Ð Ð C¹Ö º º½º Ø Ø Ð Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ µº Ä Ý Ò τ Å Ö ÓÚ¹Ô ÐÐ Ò Øº ÓÖ ½º ÖÑ ÐÝ i 0, i 1,...,i k ÐÐ ÔÓØÓ Ö P(ξ τ+1 = i 1,...,ξ τ+k = i k ξ τ = i 0 ) = p i0 i 1 p i1 i 2 p ik 1 i k ; ¾º ÖÑ ÐÝ i 0, i 1,...,i k ÐÐ ÔÓØÓ Ö P(ξ τ+1 = i 1,...,ξ τ+k = i k A {ξ τ = i 0 }) = P(ξ τ+1 = i 1,...,ξ τ+k = i k ξ τ = i 0 ), ÞÓÒÝ Ø º ÓÐ A τ Ð ØØ Ñ Òݺ ½º º½µ¹ Ò Ð Ý Ò A = Ω ÙØ Ò Ó ÞÙÒ P {ξ τ = i 0 }¹Ð к ¾º Ç ÞÙÒ º½µ¹ Ò P(A {ξ τ = i 0 })¹Ð Ð Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ Ð ÔÓÒØÓغ Þ Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Þ Ö ÒØ {ξ τ = i 0 } Ð Ö ÙØ Ò Ð Ò Ý Ð Ñ ÒØ {ξ 0 = i 0 }¹ Ð Ò ÙÐÒ º ØÓÐ Ð Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ö Ú ÐØÓÞ Ø Þ Ð º τ¹ ÓÞ Ô Ø Ñ ÐØ Ð τ¹ ÓÞ Ô Ø Ú Ð Ñ ÒÝ ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò {ξ τ = i 0 } ÐØ Ø ÐÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Òº º¾º ÐÐ Ø º Ä Ý Ò τ Å Ö ÓÚ¹Ô ÐÐ Ò Øº Ä Ý Ò A τ Ð ØØ Ñ ÒÝ B Ô τ¹ Ú Ð Ñ Òݺ ÓÖ P(AB ξ τ = i 0 ) = P(A ξ τ = i 0 )P(B ξ τ = i 0 ). º¾µ Þ Þ Ö ØÓÐ Ð Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ º

21 º ÎÁËË Ì Ê Ë ¾½ ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð B τ¹ Ú Ð Ñ ÒÝ Ý B Ð { B = (ξ τ+1, ξ τ+2,...,ξ τ+k ) B } Ð º ÓÖ º½µ¹ Ò Þ ÞÚ ÁØØ A = Ω¹Ø Ú Ú P(A {ξ τ = i 0 } B) = P(A {ξ τ = i 0 } P(B ξ τ = i 0 ) = (i 1,...,i k ) e B (i 1,...,i k ) e B p i0 i 1 p ik 1 i k. p i0 i 1 p ik 1 i k. º µ ÅÓ Ø º µ¹ Ò P(ξ τ = i 0 )¹Ð Ð Ó ÞØÚ ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ù º¾µ Þ Øº À ÑÓ Ø T k ÐÐ ÔÓØ Ð Ö P(T < ) = 1 Þ Þ k Ú Þ Ø Ö ÐÐ ÔÓØ ÓÖ {ξ T = k} ÞØÓ Ñ ÒÝ Ú Ý {ξ T = k} ÐØ Ø ÐÖ Ú ØØ ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ö Ò Ú Ð Þ Òò º Ý A B ØÐ Ò A T Ð ØØ B Ô T ÙØ Ò Ñ Òݺ Ä Ý Ò T k (1), T k (2),... k ÐÐ ÔÓØ ÝÑ ÙØ Ò Ú Þ Ø Ö º Ì Ý Ð Ó Ý k Ú Þ Ø Ö ÐÐ ÔÓغ ÓÖ 0, T k (1), T k (2),... Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Þ ØØ ÒØ ÖÚ Ð¹ ÐÙÑÓ Ñ Ý Ð Ø Ð Ñ ÒÝ ØÐ Ò º ËÔ Ð Ò Þ U k (1) = T k (1), U k (2) = T k (2) T k (1), U k (3) = T k (3) T k (2),... Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ø Ð ¹ Òµ ØÐ Ò º Ë Ø U k (2), U k (3),... ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ º º Î Þ Ø Ö Ä Ý Ò T = T k (1) k ÐÐ ÔÓØ Ú Ð Ð Ú Þ Ø Ö º  РРf (n) kk Ð Ø Þ Þ f (n) kk = P(T = n ξ 0 = k), n = 1, 2,.... T ÐÓ Þ¹ Þ Þ f (n) kk ÒÒ Ú Ð Þ Òò Ó Ý Ð Þ Ö Þ n > 0 Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ð Þ Ð Ò k¹ Ò ÐØ Ú Ó Ý k¹ Ð Ò ÙÐØ º ýðø Ð Ò T k (l) Ð Ð k¹ Ú Ð l¹ Ú Þ Ø Ö Øº  РРU k (i) Ø k¹ð ØÓ Ø Þ ØØ Ø U k (i) = T k (i) T k (i 1). º½º Ò º k ÐÐ ÔÓØÓØ Ú Þ Ø Ö Ò Ò Ú ÞÞ Ð Ò 1 Ú Ð Þ Òò Ð Ú Þ Ø Ö k¹ kk = 1. n=1 f(n) Þ ÔÔ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý T ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Þ 1 Þ òµº À k Ò Ñ Ú Þ Ø Ö ÓÖ ØÑ Ò Ø ÐÐ ÔÓØÒ Ò Ú ÞÞ º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý 1¹Ò Ð Ú Ð Þ Òò Ð Ø Ö k¹ Ú Þ kk < 1. n=1 f(n) Þ Þ P(T = ) > 0º ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò ET = º

22 ¾¾ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà º½º Ú Þ Ø Ö Ö Ø Ö ÙÑ º½º Ø Ø Ðº k Ú Þ Ø Ö n=1 p(n) kk = º ÞÓÒÝ Ø º ÓÖ Ä Ý Ò M k¹ Ú Ð Ú Þ Ø Ö Þ Ñ M = n=1 1 {ξ n=k}. P(M l ξ 0 = k) = P(U k (l) <,..., U k (1) < ξ 0 = k) = f l kk, ÓÐ f kk k¹ Ú Ð Ú Þ Ø Ö Ú Ð Þ Òò ÒÒ ÞÓÐ Ô Ð ÙÐ l = 2¹Ö P(U k (1) < ξ 0 = k) = f kk. P(U k (2) <, U k (1) < ξ 0 = k) = = P(U k (2) <, U k (1) = n ξ 0 = k) = = n=1 P(U k (2) < ξ n = k, ξ t k, 1 t < n, ξ 0 = k) n=1 P(ξ n = k, ξ t k, 1 t < n, ξ 0 = k) = = f kk P(ξ n = k, ξ t k, 1 t < n, ξ 0 = k) = f kk f kk. n=1 ÔÓÞ Ø Ú Þ ÖØ ò Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ú Ö Ø ÖØ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ ÖØ Þ ¹ Ð Ô Ò E(M ξ 0 = k) = P(M l ξ 0 = k) = fkk. l l=1 µ À ÑÓ Ø k Ò Ñ Ú Þ Ø Ö ÓÖ f kk < 1 Þ Þ ÒØ Ñ ÖØ Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ø E(M ξ 0 = k) <. ÓÖ > E(M ξ 0 = k) = E ( 1 {ξn=k} ξ 0 = k ) = = n=1 P(ξ n = k ξ 0 = k) = n=1 n=1 l=1 p (n) kk. µ À Ú ÞÓÒØ k Ú Þ Ø Ö ÓÖ P(M l ξ 0 = k) = fkk l = 1 Ñ Ò Ò l¹ö º Þ Þ Ú Ð Þ Òò ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ P(M = ξ 0 = k) = 1º Ì Ø ÞØ ÔØÙ Ó Ý k Ú Þ Ø Ö ÓÖ 1 Ú Ð Þ Òò Ð Ú Ø Ð Ò Ó ÞÓÖ Ú Þ Ø Ö Ð Ò k¹ º ýñ ÓÖ = E(M ξ 0 = k) = p (n) kk. n=1

23 º½º ÐÐ Ø º Ú Þ Ø Ö Ó ÞØ ÐÝØÙÐ ÓÒ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò k Ú Þ Ø Ö i kº ÓÖ º ÎÁËË Ì Ê Ë ¾ p (s+n+t) ii p (s) ik p(n) kk p(t) ki Ñ ØØ k¹ö Ø Ð Ð Ú Þ Ø Ö Ö Ø Ö ÙÑ ÓÖ i¹ö º º½º Ñ ÝÞ º Ý Ð ÒÝ Ø Ð Ò ÐÐ ÔÓØ Ò Ñ Ð Ø Ú Þ Ø Ö º º½º Ô Ð º ÓÖÐ ØÐ Ò Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Þ Ñ Ý Ò Ò ÓÖ ÓÖ Ú Þ ¹ Ø Ö Þ ÑÑ ØÖ Ù Þ Þ p = 1 µº Å Ú Ð p(l) 2 00 = 0 l Ô Ö ØÐ Ò Þ ÖØ n=1 p(2n) 00 ÓÖØ ÐÐ Ú Þ ÐÒ º ËØ ÖÐ Ò ¹ ÓÖÑÙÐ n! ( n ) n 2πn. e Þ Ð Ô Ò ( ) 2n 00 = P(ξ 2n = 0 ξ 0 = 0) = p n (1 p) n n {( 2n ) 2n } e 2π2n ) n ] 2 p n (1 p) n = 2πn p (2n) [( n e = 1 π 1 n [4p(1 p)] n = = 1 π 1 n t n, ÓÐ t = 4p(1 p) < 1 p 2 1 t = 1 p = 1º Ì Ø 2 p (2n) 00 = p = 1 2. n=1 Ú Þ Ø Ö Ö Ø Ö ÙÑ Þ Ö ÒØ Ð Ò ÓÖ ÓÖ Ú Þ Ø Ö p = 1 2 º º¾º Ñ ÝÞ º Þ ÑÑ ØÖ Ù Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ d¹ Ñ ÒÞ Ø Ö Ö ÔÓÒØ Ò ÓÖ ÓÖ Ú Þ Ø Ö d 2º º¾º Ô Ð º Þ Ñ Ý Ò Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ Ø Ò Þ ØÐ Ó Ú Þ Ø Ö Ú Ø Ð Ò µ 0 = nf (n) 00 = 2nf (2n) 00 =. ÁÒ ÙÐ ÙÒ Þ n=1 n=1 f (2n) 00 = P(2n¹ Ð Ô Ò Ø Ö Ú Þ Ð Þ Ö ξ 2n = 0)P(ξ 2n = 0) º½µ Þ Ð Ð Ú ÐØ Þ Ó Ý 0¹ Ð Ò ÙÐ Ð Òµº ( ) ( ) n 2n 1 P(ξ 2n = 0) =. n 2

24 ¾ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà º½µ¹ Ò ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ø Ð Þ Ù ( Ò Ñ ÐØ Ø Ð µ Ú Ð Þ Òò ÒØ Þ Ñ Ø Ø Ù º Þ Þ Ø Þ Ñ 2n ) n º Ú Þ Ø Þ Ñ (0, 0)¹ Ð (2n, 0)¹ Ú Ú Ø Ò ÐÝØ Ò Ñ Ñ Ø Þ ØÖ Ø Ö Þ Ñ º [ Ø Ò ÐÝ Ð ØØ Ú Þ ØÖ Ø Ö Þ Ñ ] = = [(1, 1)¹ Ð (2n 1, 1)¹ Ú Þ Ø Þ ØÖ Ø Ö Þ Ñ ] [(1, 1)¹ Ð (2n 1, 1)¹ Ú Þ Ø Ø Ò ÐÝØ Ñ Ø Þ ØÖ Ø Ö Þ Ñ ] = ( ) ( ) 2n 2 2n 2 =. n 1 n ( ) 2n 2 n ÔÐ Ø Ø Ö Þ ÐÚ Ð Ô Ò º Í Ý Ò [(1, 1)¹ Ð (2n 1, 1)¹ Ú Þ Ø Ø Ò ÐÝØ Ñ Ø Þ ØÖ Ø Ö Þ Ñ ] = = [(1, 1)¹ Ð (2n 1, 1)¹ Ú Þ Ø ØÖ Ø Ö Þ Ñ ]. Ì Ø Ú Þ Ø Þ Ñ [( ) ( )] 2n 2 2n 2 2 = n 1 n [ ] (2n 2)! (2n 2)! = 2 = (n 1)!(n 1)! n!(n 2)! (2n 2)! = 2 [n (n 1)] = n!(n 1)! = 1 ( ) 2n. 2n 1 n º½µ¹ Ò ÐØ Ø Ð Ú Ð Þ Òò ËØ ÖÐ Ò ¹ ÓÖÑÙÐ Ð Ô Ò f (2n) 00 = 1. Ý 2n 1 1 2n 1 ( 2n n ) ( 1 2 2nf (2n) 00 1 π 1 n. ) n. Ì Ø µ 0 = n=1 2nf (2n) 00 =. º Ö Ó Ø Ý Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ñ Ò Ò Ý i ÐÐ ÔÓØ Ö ÖØ ÐÑ ÞÞ T Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ÒØ Þ ÓØØ i ÐÐ ÔÓØ Ú Ð Ð Ú Þ Ø Ö Øº Þ Ó Ý Ý i ÐÐ ÔÓØ Ú Þ Ø Ö ÑÓ Ø ÞØ Ð ÒØ Ó Ý T Ú ÐØÓÞ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Þ P(T < ξ 0 = i) = 1º Þ m ii = E(T ξ 0 = i) Ú Ö Ø ÖØ Ñ Þ ÙØ Ø Ò Ð Ø Ú Ø Ð Òº m ii ¹Ø ØÐ Ó Ú Þ Ø Ö Ò Ò Ú ÞÞ º

25 º Ê Ç Á ÁÌýË ¾ º½º Ò º Þ i ÐÐ ÔÓØÓØ Ö Ó Ù Ò Ñ Þ Ú Ð ÔÓÞ Ø ÚÒ m ii = k f (k) ii <. k=1 ÒÙÐÐ ÐÐ ÔÓØÒ Ò Ú ÞÞ m ii = º Ò Ú ÞÞ Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ Ø Ý Ð Ó Ý Þ i ÐÐ ÔÓØ Ô Ö Ó Ù Þ Þ Ó Ý d i = 1º lim n p (n) ij Ø Ö ÖØ Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ ÓÖ Ð ÔÚ Ø Þ Ö Ô Ø Ø Þ Þ Ð Ø Ø Ðº º½º Ø Ø Ðº Ì Ø Þ Ð Ú Þ Ø Ö Ô Ö Ó Ù ÐÐ ÔÓØÖ ÓÐ 1/ Ð ØØ ¼¹Ø ÖØ Ò µº lim n p(n) ii = 1, m ii Ø Ø Ð ÐÐ Ø Þ Òº Þ Ö Ø Ð Ø ÓÐÝ Ñ ØÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð Û ÐÐ¹Ø Ø ÐÐ Ð Ú Ú Ð Ò º ÞÓÒÝ Ø Ñ Ø Ð Ð Ø Ïº ÐÐ Ö Ú Þ Ø Ú Ð Þ Òò Þ Ñ Ø Ð ÐÑ Þ Åò Þ Ã ÒÝÚ Ù Ô Ø ½ µ º ÒÝÚ ½¾¼ ½¾¾º ÓÐ Ð Òº Å Þ Ö Ñ ÒÝ Þ Ð º Ä Ý Ò ÓØØ Ò ÑÒ Ø Ú Þ ÑÓ Ý f 1, f 2,... ÓÖÓÞ Ø º p 0, p 1,... Þ Ñ ÓÖÓÞ ¹ ØÓØ Þ Ð Ö ÙÖÞ Ú Ñ ÓÒ Ò Ð Ù º Ä Ý Ò p 0 = 1 n 1¹Ö p n = n ν=1 f νp n ν º ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ð µ Þ Ö Ø Ð Ø Ý ÒÐ ØÒ Ò Ú ÞÞ º º¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò ν=1 f ν = 1 Ð Ý Ò ½¹ Ý Ð Ý ÒÐ ÞÓÒ ν¹ Ð Ò ÝÓ Þ Ó ÞØ Ñ ÐÝ Ö f ν > 0º Ä Ý Ò m = n=1 nf nº ÓÖ ÒØ Ò ÐØ p n ÓÖÓÞ ØÖ ÓÐ 1/ Ð ØØ ¼¹Ø ÖØ Ò º lim n p n = 1 m, ÞØ Þ º½º Ø Ø Ð ÞÓÐ Ö p n = p (n) ii f ν = f (ν) ii Ú Ð ÞØ Ð ÞÒ Ð Ø Ù º Å ÐÐ Ñ Ý ÞÒ Ó Ý Ð Ò Ô Ö Ù d ÓÖ d¹ú Ð Ý ÒÐ ÞÓÒ ν¹ Ð Ò ÝÓ Þ Ó ÞØ Ñ ÐÝ Ö f (ν) ii > 0º º½º Ú Ø ÞÑ Òݺ À i j j Ú Þ Ø Ö Ô Ö Ó Ù ÓÖ lim n p(n) ij = 1. m jj º º Ø Ø Ðº Þ Ö Ó Ø Ó ÞØ ÐÝØÙÐ ÓÒ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò i j p (m) ij p (m+ν+n) ii p (n+ν+m) jj > 0 p (n) ji > 0º ÓÖ p (m) ij p (ν) jj p(n) ji, p (n) ji p(ν) ii p (m) ij. Þ Ð Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ð Ø Ø Ó Ý lim n p (n) ii lim n p (n) jj Ø Ö ÖØ Ú Ý Ñ Ò Þ ÖÙ Ú Ý Ñ Ò ØØ ÔÓÞ Ø Úº º º Ø Ø Ðº À Ý ÓÑÓ Ò Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ô Ö Ó Ù ÓÖ

26 ¾ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà α) ÖÑ ÐÝ Ò Ñ Ú Þ Ø Ö j ÐÐ ÔÓØÖ Ø Ø Þ Ð Ò ÙÐ i ÐÐ ÔÓØ Ø Ò lim n p(n) ij = 0; β) i j Ø Ð Ò Þ Ð ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ø ÖØÓÞ ÐÐ ÔÓØÓ ÓÖ p (n) ij = 0 Ñ Ò Ò n 0¹Ö ; γ) i j Ý Ú Þ Ø Ö Ó ÞØ ÐÝ Ø ÐÐ ÔÓØ ÓÖ lim n p(n) ij = 1 ; m jj δ) i Ð ÒÝ Ø Ð Ò j Ú ÞÓÒØ Ú Þ Ø Ö ÐÐ ÔÓØ ÓÖ lim n p(n) ij = fij 1. m jj Þ Ð Þ Ö Ñ ÒÝ Ò Ô Ö Ó Ù Å Ö ÓڹРÒÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞÒ º Ý ÓÖ¹ Ð Ø Ð ÐÑ Þ Ó Ø Ø ÒØÚ Þ Þ Ö Ñ ÒÝ Þ Ø Ø ÐÒÝÓÑ Ø Ò Ð ¹ Ò ÐÑ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú Þ Ð Ø ÓÞº À ÐØ ÒØ Ò Þ Ô Ö Ó Ø ÐØ ¹ Ø Ð Þ Ø Ð ÓÖ º º Ø Ø Ð ÐÐ Ø ÞÓÒÝÓ Ñ Ó Ø Ó Ö ÞÓÖÙÐÒ º Ø Ð Ú ÖØ Þ Ð Ò Ñ ÖØ Ø Þ Ø Ñ Ó Ø Ó Ø Ò Ð Ð Ó Ý Þ Ö ¹ ÞÐ Ø ÞÓÐ Ö Ø ÖÒ Ò º Ä Ý Ò A Ý Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÐÐ ÔÓØ Ò ÞÓÒÝÓ Ð ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ A Ñ Ò Ò Ð Ñ ÞÓÒÓ Ô Ö Ó Ø º Â Ð Ð Þ Ô Ö Ù Ø d¹ú к d > 1 Ø Ò Þ A Ó ÞØ ÐÝ Ð ÓÒØ Ø Þ ÙÒ Ø C 1, C 2,...,C d Ö Þ ÐÑ ÞÓ Òº Ð Ù ÐÓ ÞØ ÐÝÓ Þ Ö A = d r=1 ÓÐÝ Ñ ÓÒ Ó Ý i C r j C s Ø Ò p (n) ij > 0 ÓÖ n s r mod (d)º Ê Þ Ø ÑÓ Ø Þ A Ó ÞØ ÐÝ Ø ÐÐ ÔÓØ Ø i¹ø j¹øº Î Ð Ó Ó Ý ÞÓÒÝÓ n = kd + r 1 r < d k 0 Ñ ÐÐ ØØ p (n) ij > 0 ÓÖ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ m 0¹Ö p (m) ij > 0 ÓÖ Ð Ø m n mod (d)º Þ ÖÖ Ò Ú Ø ÞØ ØÒ Ó Ý Ô Ö Ó Ù Ø Ò lim n p (n) ij Ø Ö ÖØ Ò Ñ Ð Ø ÞÒ º ÐÝ ØØ C r lim n p(nd+r) ij Ø ÔÙ Ø Ö ÖØ Ö Ð Þ Ð Ø Ò ÓÐ i C u j C s Ø Ò r s u mod (d)º ÈÓÒØÓ Ò Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÐÐ ÔÓØØ Ö Ô Ö Ó Ù Ó ÞØ ÐÝÓ Ö ÓÑÐ ÓÖ Þ º º Ø Ø Ð γ) ÐÐ ØÚ δ) ÐÐ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ñ Ó ÙÐÒ º º½º Ñ ÝÞ º γ ) Ä Ý Ò i j Ý d > 1 Ô Ö Ù Ú Þ Ø Ö Ó ÞØ ÐÝ Ø Ð¹ Ð ÔÓØ º ÓÖ i C u j C s r Þ ½ d Þ ÞÓÒ Þ Þ Ñ Ñ ÐÝÖ r s u mod (d) ÓÖ lim n p(nd+r) ij = d. m jj

27 º ËÌ ÁÇÆ ÊÁÌýË ¾ δ ) À i Ð ÒÝ Ø Ð Ò ÐÐ ÔÓØ j Ú ÞÓÒØ d > 1 Ô Ö Ù Ú Þ Ø Ö ÐÐ ÔÓØ ÓÖ ÖÑ ÐÝ r 0¹Ö lim n p(nd+r) ij = fij(r) d, m jj ÓÐ f ij(r) = k=0 f (kd+r) ij, i C u, j C s, r s u mod (d). Þ Ð ÐÑ Þ Ó Ø Ò Ø ÒØ Ò Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ú Ð Þ Ø Ð Ð Ó Ý Ð Ò Þ Ø Ö Ñ Ò Ñ Ð Þ ÖØ ÐÑ ÞØ Ð ÓØ Þ Þ Ó Ý Ð Ò ÖÖ ¹ Ù Ð º Þ Ø Ò Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö ÒÑ Ð ÓØ Ý Ð ÒÝ Ó ÞØ ÐÝغ º º Ø Ø Ðº À Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÖÖ Ù Ð Ô Ö Ó Ù ÓÖ Ø Ø Ð Ø µ Ú Ý Ñ Ò Ò i j Ð ÑÔ ÖÖ lim n p(n) ij = 0; µ Ú Ý Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ö Ó Ù Þ Þ Ø Ø Þ Ð i j¹ö Ò ÙÐ i ÐÐ ÔÓØØ Ð ØÐ Ò Ð lim n p(n) ij = u j > 0. º½µ º ËØ ÓÒ Ö Ø À Ð ÒÓØ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ Ð Ò Ø Ù ÓÖ Ñ Ò Ò Ð Ô Ò Ò Þ ÐÓ ÞÐ Ò Ð Þº ÐÙÒ Ó Ý Ñ ÑÙØ Ù Ý Ö Ó Ù Å Ö ÓڹРÒÒ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ Ð Ò Ñò ÓÖ Ò Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º º½º Ò º π = (π i ) ÐÓ ÞÐ Ø Ð Ò Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ Ò Ò Ú ÞÞ π i = k π k p ki i. Þ Þ ξ 0 ÐÓ ÞÐ (π i ) ÓÖ ξ 1 ÐÓ ÞÐ Ù Ý Ò Þº ÌÓÚ ξ 2, ξ 3,... й Ó ÞÐ º Ë Ø ξ 0 ÐÓ ÞÐ Ø ÓÒ Ö Ù ÓÖ Ð Ò Ö Ò Ø ÓÒ Ö Ù ÓÖÓÞ Ø ÐØ Ø Ð ÞÞ ÓÑÓ Ò Ø Øµº Í Ý Ò Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ Ó P(ξ 0 = i 0, ξ 1 = i 1,...,ξ n = i n ) = π i0 p i0 i 1 p in 1 i n, Ù Ý Ò Þ ξ k, ξ k+1,...,ξ k+n ÐÓ ÞÐ º ( º½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò Ð Ò ÖÖ Ù Ð Ô Ö Ó Ù º À Ð Ò ÔÓÞ Ø Ú ÓÖ (π j ) = 1 Ý ÖØ ÐÑò Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º À Ð Ò ÐÐ ÔÓØ ÒÙÐÐ ÐÐ ÔÓØÓ ÓÖ Ò Ò µ j ) Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º ÞÓÒÝ Ø º Ð Ò ÖÖ Ù Ð Ô Ö Ó Ù ÚÓÐØ Ñ ØØ lim n p(n) ij = π j.

28 ¾ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ΠÞÓÒØ j I p(n) ij = 1 Ñ ØØ j I 0 p (n) ij Ñ Þ Ö º Ð j I 0 π j 1 Ú Ø Þ º Ý Å Ö ÞØ Ý ÒÐ Ø Ò n Ø Ò p (n+1) ij 1 Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ø Ø Þ Ð Ú I 0 Ö Þ Ð¹ j I π j 1. = k I p(n) ik p kj π j = k I π kp kj, j. Þ Ò Ø Ö ØÑ Ò Ø Ó Ó Ø Þ Ð ÞÓÒÝ Ø º ÖÑ ÐÝ I ε Ú ÐÐ ÔÓØ Ð¹ Ñ ÞÖ p (n+1) ij p (n) k I ik p kj. ε n Ø Ò ÓÖ Þ ÞÚ j¹ö j I π j j I π j k I ε π k p kj, π j k I π kp kj k I π kp kj = k I π k j. j I p kj }{{} 1 Þ Þ Ý ÒÐ ÐÐ ÒÒº Ì Ø Ñ Ò Ò j¹ö Ý ÒÐ Ø Ð Ð = k I π k, π j = k I π kp kj j. Ä Ý Ò Ð Ò ÔÓÞ Ø Úº ÓÖ Þ ÙØÓÐ Ý ÒÐ Ð Ô Ò (π j / i π i) Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ Ø Ø Ð Ø Þ µº Ä Ý Ò ÑÓ Ø (x j ) Ø Ø Þ Ð Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º ÓÖ x j = k I x kp (n) kj, n. À n ÓÑ Ò ÐØ ÓÒÚ Ö Ò ¹Ø Ø Ð Ð Ô Òµ x j = k I x kπ j = π j. ( Þ ÔÓÞ Ø Ú Ø Ò ÞØ ÞÓÐ Ó Ý Ð Ø Þ µ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ ÔÔ Ò (π j ) = 1 µ j )º Î ÞÓÒØ ÒÙÐÐ ÐÐ ÔÓØÓ Ø Ò x i = π j = 0 j º Þ Þ Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÖ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º º½º Ú Ø ÞÑ Òݺ Î ÐÐ ÔÓØØ Öò ÖÖ Ù Ð Ô Ö Ó Ù Å Ö ÓڹРÒÒ Ñ Ò¹ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º À Þ Ò ÓÖ Ð Ò ÔÓÞ Ø Ú π j = 0, j Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð µº

29 º ËÌ ÁÇÆ ÊÁÌýË ¾ º¾º Ú Ø ÞÑ Òݺ ÁÖÖ Ù Ð Ô Ö Ó Ù ÔÓÞ Ø Ú Ð Ò Ø Ò ξ n ÐÓ ÞÐ Ø ÖØ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ ÓÞº À Þ Ò p (n) j = i I q ip (n) ij i I q iπ j = π j. º½º Ñ ÝÞ º Ø ÓÒ Ö Ø Ð Ý Ò ÖØ ò π jp ji = p ijπ i, j, i I i I ÝÒ Ú Þ ØØ Ø Ð Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø ÙÐÐ Ð Ò µº Í Ý Ò Ð ÓÐ Ð ÒÝ ÐÚ Ò π j º Þ ÐÒ Ú Þ Ò Ú Ø Þ Ñ Ý Ö Þ Ø º Ý Ö Þ ÑÓÞ Ø Ö Ð Ð Òº Þ Ñ ÐØ Ò Ó Ð ÒÓØ Ý Þ ÖÖ º ÓÖ Ð ÓÐ Ð j ÐÐ ÔÓØ Ð Ö ÑÐ Ö Þ ¹ Ñ Ó ÓÐ Ð j ÐÐ ÔÓØ Ö ÑÐ Ö Þ Þ Ñ Ú Ð Ö ÒÝÓ º º¾º Ñ ÝÞ º Á Ñ Ö Ø Ó Ý Å Ö ÓڹРÒÓ Ö Ø Ð Ð ÓÖ ØÓØØ Å Ö ÓÚ¹ ØÙÐ ÓÒ º Ð ÒÓØ Ò Ú Þ Ð Þ Ñ ÐØ ØÚ Þ ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ý ¹ ÓÖÑÙÐ Ð Ô Òµ P(ξ 1 = j ξ 0 = i) = P(ξ 0 = i ξ 1 = j)p(ξ 1 = j)/p(ξ 0 = i). Þ Þ ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ò Ñ ÞØÓ Ó Ý Ñ Ý Þ p ij ¹Ú к Ã Ú Ø Ð ÞØ Ñ Ð Ò Ø ÓÒ Ö Ù Ø Ò Þ Ú Ø Þ p ij = p ji π j /π i, Þ Þ π i p ij = π j p ji, i, j. Þ Ö ÞÐ Ø Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ð Ò µº Þ ÞØ Þ Ó Ý Þ i¹ Ð j¹ Ö ÑÐ Ý ÒÐ j¹ Ð i¹ Ö ÑРк Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ò Ð Ú Þ ÖØ Ñ Ò Ö Ò Þ Ö Ö Ò Ð ÞÒ ÞÞ Ð ØÙÐ ÓÒ Ðº º¾º Ø Ø Ðº À (π j ) ÐÓ ÞÐ Ö Ø Ð Ð Ö ÞÐ Ø Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø ÓÖ (π j ) Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º ÞÓÒÝ Ø º ËÞÙÑ ÞÞÙÒ i¹ö º½º Ô Ð º Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Þ Ð Ø Ð ÓÐÝ Ñ Øº Ä Ý Ò Þ ÐÐ ÔÓع Ø Ö 0, 1, 2,... º ξ n = i ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ n Ô ÐÐ Ò Ø Ò ÔÓÔÙÐ Ð Ð Þ Ñ iº Ð Ø ÐÐ ÔÓØÚ ÐØÓÞ Ó i i+1 Ý Þ Ð Ø ÒÒ Ú Ð Þ Òò p i µ i i 1 Ý Ð Ð ÐÓÞ ÒÒ Ú Ð Þ Òò q i µ i i Ò Ò Ú ÐØÓÞ ÒÒ Ú Ð Þ Òò r i µº Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü r 0 p q P = 1 r 1 p q 2 r 2 p 2. º ººº Ì Ý Ð Ó Ý p i > 0 q i > 0 iº ÓÖ Ð Ò ÖÖ Ù Ð º Ö ÞÐ Ø Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø π i p ij = p ji π j. Þ i = 0 j = 1 Ø Ò π 0 p 0 = q 1 π 1,

30 ¼ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃ Þ Þ ÅÓ Ø i j = i + 1 Ø Ò Þ Þ ÁÒÒ Ò Ò Ù Ú Ð Ø Ð Þ Þ Þ π 1 = π 0 p 0 q 1. π i p i = q i+1 π i+1. π i+1 = π i p i q i+1. π i = π 0 p 0 q 1 p 1 q 2 pi 1 q i, 1 = π i = π 0 i=0 i=0 i l=1 i=0 i l=1 i. p l 1 q l. º½µ p l 1 q l <, º¾µ ÓÖ ÒØ Ý ÒÐ Ø Ð π 0 Þ Ø Ý π 0, π 1, π 2,... Ñ Ô Ø º Ö ÞÐ Ø Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø i = j Ø Ò Ñ Ò Ò Ð ÒÖ Ø Ð Ð (π i p ii = p ii π i )º ÌÓÚ ¹ Ø Ò Ò i j Ø ÚÓÐ 1¹Ò Ð Ò ÝÓ ÓÖ 0 = 0¹ Ñ Ý Øº À Ú ÞÓÒØ j = i 1 ÓÖ ÔÔ Ò Þ Ð Þ Ò Ñ Ö Ú Þ ÐØ Ö Ñ ÒÝØ Ô Ù Þ ÓÐ Ð Þ ¹ Ö Ô Ö Ð Ðµº Ì Ø ÒØ º¾µ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ø Ò Ñ Ò Ò i, j¹ö Ø Ð Ð Ö ÞÐ Ø Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Ý π 0, π 1,... Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º º¾º Ô Ð º Î Þ Ú Ö Ø Ö Ð Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ º ÒØ Ô Ù º 1 ¹ Ò Ú Þ Ú Ö Ð Ú Òº 2 q p 0 0 q 0 p 0 P = 0 q 0 p. º ººº Þ Ð Þ º½µ Ý ÒÐ Ø ( ) i p 1 1 = π i = π 0 = π 0 q 1 p q i=0 p q < 1 Þ Þ p < 1 2 º Ì Ø p < 1 2 Ø Ò π 0 Þ Ø i=0 = π 0 1 p 1 2p, Þ Ð Þ Ô Ð Ø ¹ π 0 = 1 2p 1 p. ( ) p ÓÖ π i = π 0 1 p i i = 0, 1,... Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º p 1 Ø Ò Ð Ò Ó Ö 2 Ú Ø Ð Ò ÓÖ Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ µº

31 º Å ÌÊÇÈÇÄÁ˹À ËÌÁÆ Ë¹ Ä ÇÊÁÌÅÍË ½ º º Ô Ð º Þ Ö Ò Ø¹ Ð ÑÓ ÐÐ º Ã Ø ÝÑ Ø Ð Ø Ö ÞØ ÐÐ Ð ÐÚ Ð ÞØÓØØ Ø ÖØ ÐÝ Ò Ú Ò Þ Ò N Ö ÑÓÐ ÙÐ º Å Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ý Ú Ð ØÐ Ò Þ Öò Ò Ú Ð ÞØÓØØ ÑÓÐ ÙÐ Ø Ö Ð Ñ Ø ÖØ ÐÝ º Ö Ò Þ Ö ÐÐ ÔÓØ Ø Þ Ð Ø ÖØ ÐÝ Ð ÑÓÐ ÙÐ Þ Ñ Ú Ð Ö Ù Ð º Ý Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö 0, 1, 2,..., N 1, Nº Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü N N N 2 N 2 P = 0 0 N N º ººº. 1 0 Þ Ý ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÓÐÝÓÒ º Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ Þ ÔÐ Ø Ð π j = π 0 N/N 1/N (N 1)/N 2/N (N j 1)/N j/n 1 = N j=0 π j π 0 = 2 N = π 0 ( N j º Ì Ø Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ ( ) ( ) N N 1 π j =, j = 0, 1,..., N, j 2 Þ Þ 1 2 Ô Ö Ñ Ø Öò ÒÓÑ Ð ÐÓ ÞÐ º ), j = 0, 1,..., N. º Å ØÖÓÔÓÐ ¹À Ø Ò ¹ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð ÖÙÒ ÐÐ Ø Ò Ý ÓÐÝ Ò ξ n Å Ö ÓڹРÒÓØ Ñ ÐÝÒ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ πº Î ÞÓÒØ π Ò Ñ Ñ Ö Ø ÙÔ Ò πx π y ÒÝ Ó Ó Ø ØÙ Ù ÞÚ ØÐ Ò Ð Þ ÑÓÐÒ º Ä Ý Ò q xy Ý Ø Ø Þ Ð ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ η n Å Ö ÓڹРÒÓØ Ò ¹ Ö ÐÒ ØÙ Ò Ò Þ Ñ Ø Ô Òº ÒÒ Ø Ú Ð ÐÐ Ø Ù Ð Ú ÒØ Ð ÒÓغ À ξ n = x ÓÖ q xy Ú Ð Þ Òò Þ Ö ÒØ Ò Ö Ð Ù Þ y ÔÓÒØÓغ ÞØ ÔÓÒØÓØ { α(x, y) = min 1, π } y q yx π x q xy Ú Ð Þ Òò Ð Ó Ù Ðº Þ Ð Ó Ø Ò Ñ Ú Ð Ø Ò Ö Ð ÙÒ (0, 1)¹ Ò Ý ÒÐ Ø Ú Ð ØÐ Ò Þ ÑÓØ Þ (0, α(x, y)) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÓÖ y Ñ ÐÐ ØØ ÒØ Ò ºµ Þ Ò Ø Ò ξ n+1 = y Ð Þº ÐÐ Ò Þ Ø Ò ξ n+1 = x Þ Þ Ð Ò Ñ Ö ÓÖ ÐÐ ÔÓØ Òº Þ Ý Ð ÐÐ ØÓØØ Ð Ò ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò º À x y ÓÖ p xy = P(ξ n+1 = y ξ n = x) = q xy α(x, y).

32 ¾ Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà À x = y ÓÖ Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ø Ø Ð Ñ ØØ p xy = P(ξ n+1 = y ξ n = x) = = P(ξ n+1 = x ξ n = x, η n+1 = z)p(η n+1 = z ξ n = x) = z = P(η n+1 = x ξ n = x) + α(x, z)]p(η n+1 = z ξ n = x) = z x[1 = q xx + z x[1 α(x, z)]q xz, Þ Ò ξ n = x η n+1 = x Ø Ò ξ Ð Ò Ñ Ò Ò ÔÔ Þ x ÐÐ ÔÓØ Ö Ð ξ n = x, η n+1 = z x Ø Ò [1 α(x, z)] Ú Ð Þ Òò Ð Ñ Ö Þ x¹ Òº Þ Ó Ð Ð Ð Ð Ð { p xy = 1 {x =y} q xy α(x, y) + 1 {x=y} q xx + } [1 α(x, z)]q xz = z x = q xy α(x, y) + 1 {x=y} [1 α(x, z)]q xz = = q xy α(x, y) + 1 {x=y} [ z 1 z α(x, z)q xz ] Þ Ò 1 {x=y} q xx α(x, x)¹ Ø Ø Ø Þ ØØ Ø ÓÔÓÖØÓ Ø Ù º º½º ÐÐ Ø º ÒØ Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ π x º ÞÓÒÝ Ø º ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ö ÞÐ Ø Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø Ø Þ x = y Ø Ò Ñ Ò Ø Ð Ðº y x¹ö Ø Ò Ò π x q xy min π x p? xy = π y p yx, x y. { 1, π } y q yx? = π y q yx min π x q xy { 1, π x π y q xy q yx Þ x¹ Ò y¹ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù º Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ý 1º Ä Ý Ò Þ ÑÓ Ø Ð ÓÐ Ð º ÓÖ π x q? π x q xy xy = π y q yx. π y q yx Þ Ô ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð Ðº, }. º Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ Ä Ý Ò N k (n) = n i=1 k ÐÐ ÔÓØ Ò ÐØ ÐØ ØØ Þ n¹ Ð Ô º χ {ξi =k}

33 º Æ Ë ýåçã Ì ÊÎ Æ º½º ÐÐ Ø º À k Ú Þ Ø Ö Ô Ö Ó Ù ÐÐ ÔÓØ ÓÖ Ø Ø Þ Ð j, j k ÐÐ ÔÓØÖ { lim E Nk (n) } ξ 0 = j = 1. n n µ k ÞÓÒÝ Ø º E {N k (n) ξ 0 = j} = n i=1 p (i) jk 1 µ k, i. Ý E {N k (n) ξ 0 = j} 1, n. n µ k º½º Ø Ø Ðº Æ Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ k ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Ð Ø ÖØ Þ Ó Ö º Ý ÖÖ Ù Ð Ô Ö Ó Ù ÔÓÞ Ø Ú Ú Þ Ø Ö Ð Ò Ø Ò Ø Ø Þ Ð Þ Ø ÐÓ Þ¹ Ð Ø Ú Þ ÐÚ N k (n) lim n n p (i) jk = 1 µ k ½ Ú Ð Þ Òò Ð. ÞÓÒÝ Ø º Ð Ø Ù Ó Ý Ø Ø Þ Ð j Ò ÙÐ ÐÐ ÔÓØ Ø Ò N k(n) µ n k 1 Ú Ð ¹ Þ Òò к Ð Ð Ú Ò {ξ 0 = j} j I Ø Ð Ñ ÒÝÖ Ò Þ Ö Ñ Ò Ñ Ò Ò Ø Ò 1 Ú Ð Þ Òò Ð ÖÚ ÒÝ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ð Ú Ð Þ Òò Ø Ø Ð Ñ ØØ Ú Ø Þ Þ ÐÐ Ø ºµ Ä Ý Ò Ð Þ Ö k Þ Ø ÐÐ ÔÓغ Ä Ý Ò U 1, U 2,... k ÐÐ ÔÓØ Ñ Ð ØÓ Ø Þ ØØ ÐØ ÐØ º Þ Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ñ ØØ U 1, U 2,... ØÐ Ò º Ð Ò ÓÑÓ Ò Ø Ñ ØØ ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ º Þ Ú Ö Ø ÖØ µ k º Ì Ø Ò Ý Þ ÑÓ Ö Ø ÖÚ ÒÝ Ñ ØØ U U r lim = 1 r r µ k ½ Ú Ð Þ Òò Ð. Ä Ý Ò T(r) = U U r k ÐÐ ÔÓØ r¹ Ñ Ð ØÓ Ø Ò º ÁÒÒ Ò N k (n) n N k (n) + 1 n T (N k (n)) n T (N k (n) + 1). N k(n) T (N k (n)) 1 µ k N k(n) + 1 T (N k (n) + 1) 1 µ k ½ Ú Ð Þ Òò Ð, ½ Ú Ð Þ Òò Ð. Þ Ð N k (n) 1 ½ Ú Ð Þ Òò Ð. n µ k S Ð ÞÒ ÐØÙ Ó Ý lim nn n µ 1 Ú Ð Þ Òò Ð α n 1 Ú Ð Þ Òò ¹ S Ð ÓÖ lim αn n α n µ 1 Ú Ð Þ Òò кµ

34 Áº ÁË ÃÊ Ì È Ê Å Ì Êæ Å ÊÃÇιÄýÆ Çà À Ð Ò Ò Ñ k¹ Ð Ò ÙÐ ÓÖ ÒØ Ð Ú Þ Ø ÞÞ Ð Ú ÐØÓÞ Ð ÖÚ ÒÝ Ó Ý U 1 j¹ Ð k¹ ÙØ º Þ 1 Ú Ð Þ Òò Ð Ú Ø Ø U 1 lim n n = 0 ½ Ú Ð Þ Òò Ð.

35 ÁÁº Þ Ø Å Ö ÓڹРÒÓ Ø Ø ÞØ Ú Þ Ð Ø

36 ÁÁº Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ËÌ ÌÁË ÌÁà Á ÎÁ Ë ýä Ì ½º Å Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Å Ö ÓڹРÒÓ Ö Æ Ñ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Þ Ð Ø Ø Ø Ö Ý ÐÙÒ Þ ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ø Ð Ò ¹ Ñ Ö ØÐ Ò Ò Ñ Ô Ñ ÖØ ÐÓ ÞÐ Ø Ð ÓØÒ Ñ ÐÝÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ò Ñ Ñ Ö º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ø Ð ÐÑ ÞÞÙ º Ä Ý Ò ξ 0, ξ 1,...,ξ n Ð Ò ÒÒ Ñ Ý Ð x 0, x 1,...,x n º (q i ) Þ Ø ÐÓ ÞÐ (p ij ) = P ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ò Ñ Ñ Öغ Å Ú Ð Ý ØÐ Ò Ñ Ý Ð ¹ ÓÖÓÞ ØÙÒ Ú Ò Ý (q i )¹Ö Ò Ñ ØÙ ÙÒ Ð Ø Ò º Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ L = q x0 n i=1 p xi 1 x i = q x0 i j p n ij ij = q x0 L i, ÓÐ n ij Þ i¹ Ð j¹ Ú Ð ØÑ Ò Ø Þ Ñ N ij (n) Ð Ð ÞØ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ø n ij ÒÒ Ö Ð Þ µº L i = j pn ij ij P ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ø Ð P i ¹Ø е º ÐÓ Ð Ð ÓÓ Ú ÒÝ l = log L = log q x0 + i log L }{{} i. l i ÒÒ Ñ Ü Ñ Ð Þ Ð Ñ Ò Ò l i ¹Ö Ð Ò Ø ÖØ Ò Øº Å Ú Ð j p ij = 1 Þ ÖØ Ä Ö Ò ¹ Ð ÑÙÐØ ÔÐ ØÓÖØ Ð ÐÑ ÞÙÒ º ( ) l i λ p ij 1 = ( ) n ij log p ij λ p ij 1. j j j Ö Ú ÐÚ p ij λ Þ Ö ÒØ 0 = n ij λ, p ij 0 = j p ij 1. j, i ÁÒÒ Ò λ = j n ij p ij = n ij λ º Ì Ø n i ¹Ú Ð Ð ÐÚ j n ij Ñ ÒÒÝ Ø p ij = n ij n i Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð º ÒÒ Þ ÑÐ Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ i ÐÐ ÔÓØ Ð Ò ÙÐ ØÑ Ò Ø Þ ØØ j¹ Ú Ð Ð Ô Ö Ð Ø Ú Ý ÓÖ º ÐØ Þ Ó Ý n i > 0ºµ À ÓÒÐ Ò Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ð q i = 1 {i=x0 }. Þ ÞÓÒ Ò Þ Ý ØÐ Ò Ñ Ý Ð Þ Ø ÖØÓÞ ØÖ Ú Ð Ð º Þ Ø ÐÐ ÔÓØÖ ξ 0 = x 0 ¹Ö µ Ú ØØ ÐØ Ø Ð Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ñ ¹ Ý Þ Þ Ð Þ p ij ¹Ú к q i Ò Ñ ÓÖºµ

37 ½º Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ ËÄ Ë Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃÊ Î Ó Ñ Ý Ð Ð Ú Ó ÐÐ ÔÓØÖ ØÙ ÙÒ Ð Ø Ò º À й Ø Þ Ó Ý Þ n¹ Ð Ô Ò ÓÐÝ Ò ÐÐ ÔÓØÓØ Ð ØÓ ØØÙÒ Ñ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ö Ó¹ Ö Ò ÚÓÐØÙÒ ÓÖ Ñ Ò Ò Ñ Ð ØÓ ØÓØØ i ÐÐ ÔÓØ Ø Ò Ñ ØÙ Ù Ò p ij Рغ Ñ Ð ØÓ ØÓØØ ÐÐ ÔÓØÓØ Ŝ Ó ÞØ ÐÝ p ij ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ð Þ ÖØ Ó ÞØ ÐÝØ Ð Óغ ½º½º Ò º ξ i Å Ö ÓÚ¹Ð Ò ÓÞ Ø ÖØÓÞ ØÐ Ô Ð Ò η n = (ξ n, ξ n+1 ) Ø ¹ Ñ ÒÞ Ð Òº η n Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÐÐ ÔÓØØ Öò ÐÐ ÔÓØ Þ (i, j) Ô ÖÓ º ½º½º ÐÐ Ø º ØÐ Ô Ð Ò ÐÐ ÔÓØØ Ö {(i, j) : p ij > 0}. ØÐ Ô Ð Ò Å Ö ÓÚº ýøñ Ò ØÚ Ð Þ Òò p kl,ij = 1 {i=l} p ij. À ξ n Ð Ò Ø Ò p (n) ij π j (n ) ÓÖ Þ η n Ð Ò Ø Ò p (n) kl,ij π ip ij (n )º À ξ n Ð Ò Ö Ó Ù ÓÖ Þ η n Ð Ò Þº ÞÓÒÝ Ø º l = i Ø Ò η¹ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ P((η n = (i, j) η n 1 = (k, l),...,η 0 = (k 0, l 0 )) = = P(ξ n+1 = j, ξ n = i ξ n = l, ξ n 1 = k,...) = 0, l i; P((η n = (i, j) η n 1 = (k, l),...,η 0 = (k 0, l 0 )) = = P(ξ n+1 = j ξ n = i, ξ n 1 = k,...) = = P(ξ n+1 = j ξ n = i) = = p ij, Þ Ò Þ Ö Ø Ð Ò Å Ö ÓÚº Ì Ø Þ η n Ð Ò Å Ö ÓÚ ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò p kl,ij = 1 {i=l} p ij. p (2) kl,ij = ØÐ Ô ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò = = P(ξ 3 = j, ξ 2 = i ξ 0 = k, ξ 1 = l) = = P(ξ 3 = j ξ 2 = i)p(ξ 2 = i ξ 1 = l) = = p li p ij. À p (n) ij π j n µ ÓÖ p (n) kl,ij = Þ n¹ð Ô ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò = = P(ξ n+1 = j, ξ n = i ξ 0 = k, ξ 1 = l) = = p (n 1) li p ij. π ij = lim p (n) n kl,ij = lim n p(n 1) li p ij = π i p ij. Ì Ø ξ n Ð Ò Ö Ó Ù ÓÖ Þ η n Ð Ò Þº

38 ÁÁº Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ËÌ ÌÁË ÌÁà Á ÎÁ Ë ýä Ì ½º½º Ø Ø Ðº Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð ÓÒÞ ÞØ Ò º Ð Ò ÓÖ Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ö À ξ n Ö Ó Ù p ij p ij Ñ Ò Ò i, j ÐÐ ÔÓØÖ ÖÑ ÐÝ Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ö Ñ ÒÒÝ Ò Ñ Ý Ð Þ Ñ Ø ÖØ Ú Ø Ð Ò Þº ÞÓÒÝ Ø º p ij = 0 Ø Ò ÒÝ ÐÚ Ò p ij = 0 Ø Ð Ð ½ Ú Ð Þ Òò к Ì Ø p ij > 0 ØÖ ÐÐ ÓÒ ÒØÖ ÐÒÙÒ º Ý Ð ÐÑ Þ Ø Ù ØÐ Ô Ð ÒÓغ Þ i¹ Ð j¹ Ú Ð ØÑ Ò Ø Þ Ñ n N ij (n) = 1 {ηk =(i,j)}, k=1 Þ Þ Þ η n Ð Ò Ø Ò Þ ÔÔ Ò Þ (i, j) ÐÐ ÔÓØ Ð Ø ÖØ Þ Ó Ó Þ Ñ º Å Ú Ð ξ n Ð Ò Ö Ó Ø Ñ ØØ Þ η n Ð Ò Ö Ó Ù Ý Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ Ð Ô Ò N ij (n) π i p ij ½ Ú Ð Þ Òò Ð n n Þ Ò Þ Ö Ó Ù ÐÓ ÞÐ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ðº À ÓÒÐ Ò N i (n) n ξ n Ð Ò Òº p ij Ð n Ñ Ý Ð Ð ½ Ú Ð Þ Òò к ½º¾º Ò º Ä Ý Ò π i ½ Ú Ð Þ Òò Ð p ij (n) = N ij(n) N i (n) π ip ij π i W (m) i = ξ Ti (m)+1 = p ij ÞÓÒ Þ i ÐÐ ÔÓØ Ú Ð m¹ Ú Þ Ø Ö ÙØ Ò ÐÐ ÔÓغ Ä Ý Ò Q ij (n) = [nπ i ] m=1 1 n o W (m) i =j ÒÒ Ý ÓÖ Ó Ý Þ i¹ ÐÐ ÔÓØ Ø ÖØ ÒØ [nπ i ]¹ Ú Þ Ø Ö +1 Ð Ô Ñ Ý ÐÚ Ð ÒÓØ i ÙØ Ò ÒÝ ÞÓÖ Ú Ø Þ ØØ j ÐÐ ÔÓغ ½º¾º ÐÐ Ø º Ì Ø Þ Ð i¹ö (Q ij (n)) j Ú ØÓÖ Þ Þ (Q ij (n)) i¹ ÓÖ µ ÑÙÐØ ¹ ÒÓÑ Ð ÐÓ ÞÐ [nπ i ] (p ij ) j Ô Ö Ñ Ø Ö Ðº ÁØØ (p ij ) j (p ij ) ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ø Ð Ð ºµ ÞÓÒÝ Ø º Þ Ö Å Ö ÓÚ¹ØÙÐ ÓÒ Ð Ô Ò Ñ Ò Ò i¹ Ú Ð Ú Þ Ø Ö ÙØ Ò Ð Ò Ý Ñò Ñ ÒØ ÔÔ Ò i¹ Ð Ò ÙÐØ ÚÓÐÒ º Ý [nπ i ]¹ Þ Ö Ñ Ø Ð Ò Ý ÖÐ Ø Ø Ñ ÐÝÒ Ð Ø Ñ Ò Ø Ð Ò Ú Ð Þ Òò (p ij ) j Þ Þ Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ º ÁØØ Ú Ð Ò [nπ i ] ÓÒ Ö Ø Ð Ñ Ò Ñ Ø Þ Þ Ö Ô Øºµ

39 ½º Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ ËÄ Ë Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃÊ ½º¾º Ø Ø Ðº Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Þ ÑÔØÓØ Ù ÒÓÖÑ Ð Ø º Ä Ý Ò Ð Ò Ö Ó Ù º ÓÖ Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ø Ð ØÐ Ò Ð ( Ni (n)( p ij (n) p ij )) = N(0, Σ) (i,j) I I ÐÓ ÞÐ Ò n µ ÓÐ Σ Þ Ö Ñ ØÖ Ü p ij (1 p ij ), (i, j) = (k, l) Σ (i,j),(k,l) = p ij p il, i = k, j l ¼ Ý Òغ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò (π i ) Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ º Ni (n) ( p ij (n) p ij ) = ) Nij (n) N i (n)( N i (n) p ij = ÌÙ Ù Ó Ý nπi N i (n) 1 Ñ Ò Ñ ÞØÓ Ò. nπi N ij (n) N i (n)p ij. N i (n) nπi ÐÐ Ð ØÒ Ó Ý Ñ Ó Ø ÒÝ Þ ÓÒÚ Ö Ðº Ð Ò Ö Ó Ù Ý Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ ÓÞ ÓÒÚ Ö Ðº Ì Ø n Ð Ô Ð ØØ Ö Ð Ð Ð nπ i ¹ Þ Ö Ú Ò Þ i ÐÐ ÔÓØ Òº Ì Ø ÌÓÚ N i (n) = [nπ i ]. N ij (n) = Q ij (n). Ý ÐÐ Ð ØÒ Ó Ý Þ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÖÚ ÒÝ N ij (n) N i (n)p ij nπi = Q ij (n) [nπ i ]p ij nπi = N(0, Σ). Ö Þ Ø ØØ i Ø Ö ÞÓÒÝ ØÙÒ º ÐØ Ø Ó Ý Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö Ú Ò Ñ Ú Ø ÖÖ Ú Þ Ú Þ Ø Ø µº Ð ÞÒ Ð Ù Ó Ý Þ X Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ n p = (p 1,...,p l ) Ô Ö Ñ Ø Öò ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ÐÓ ÞÐ ÓÖ EX = np ÓÚ (X) = S, X EX n = N(0, S), ÓÐ Å Ú Ð (Q ij (n)) j º p 1 (1 p 1 ) p 1 p 2 S = p 2 p 1 p 2 (1 p 2 ). º ººº [nπ i ] (p ij ) j Ô Ö Ñ Ø Öò ÔÓÐ ÒÓÑ Ð ØØ i Ö Þ Ø Øص Þ Ö Ñ ÒÝ

40 ¼ ÁÁº Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ËÌ ÌÁË ÌÁà Á ÎÁ Ë ýä Ì ¾º Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó ÔÖ Å Ö ÓڹРÒÓ Ö ¾º½º Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó Ø Ø ÞØ Þ ÑÔØÓØ Ù Ú Ð Þ Ò Ð Þ Ø Ò Ú ÐÐ ÔÓØØ Ö Ø Ø Ø Ð Þ Ò Ðº Ì Ý Ð Ó Ý p ij Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ý Ø Ð Ò Ñ Ö ØÐ Ò Ú Ý Ò Þ Ñ Ö ØÐ Ò ϑ Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ð ÓÐ ϑ Θ R r Θ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þº ÐØ Ø Ð ½µ D = {(i, j) : p ij (ϑ) > 0} ϑ¹ø Ð ØÐ Òº d Ð Ý Ò D Þ ÑÓ º ¾µ p ij ( (ϑ) ÖÓÑ ÞÓÖ ) ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ò i, j¹ö º µ pij (ϑ) ϑ k Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝ r d Ñ Ö Øòµ Ö Ò rº µ Ð Ò ÖÖ Ù Ð Ô Ö Ó Ù º  РРl( ) ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝØ P Þ ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò Ò Ñ¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Øº Ä Ý Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÑÓ ÐÐ Òµ H 0 : ϑ = ϑ 0.  РРH 0 ÞØ Ó Ý p ij (ϑ), ϑ Θ Ô Ö Ñ Ø Ö ÑÓ ÐÐ ÖÚ ÒÝ ϑ Ô ϑ Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ø Þ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÑÓ ÐÐ Òº ¾º½º Ø Ø Ðº Þ ½µ µ ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Ø Ò ÐØ Ú Ó Ý ϑ 0 Θµ ( ) 2 l( ϑ) l(ϑ 0 ) = χ 2 r, H 0 Þ 2(l( P) l( ϑ)) = χ 2 d(d 1) r, H 0 Þº ÒØ Ø Ø Ø ÞØ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò ØÐ Ò H 0 Þº ¾º¾º ØÐ Ò Ú Þ Ð Ø Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó ÔÖ Ú Ð Ì Ý Ð Ó Ý Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö K+1 Ð Ñò {0, 1,..., K}º Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý ξ 0,..., ξ n Å Ö ÓÚ¹Ð Ò Ñ Ö ØÐ Òµ p ij ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò к ÓÖ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ñ K(K + 1) Þ Ò j p ij = 1 Ñ ØØ P ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Ñ Ò Ò ÓÖ Ð K Ô Ö Ñ Ø ÖØ ÐÐ Ñ ÐÒ º Î Þ Ð Ù H 0 : ξ 0,...,ξ n ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Øº Å Ú Ð ÐØ Ø Ð ÐÓ ÞÐ Ð Ð ÓÓ Ú Òݵ Ý ÒÒ Ô Ð Ø H 0 ÁØØ ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ L = P(ξ n = i n,...,ξ 1 = i 1 ξ 0 = i 0 ) = p i0 i 1 p in+1 i n, L = P(ξ n = i n,...,ξ 1 = i 1 ξ 0 = i 0 ) = ϑ i1 ϑ in. P(ξ k = i) = ϑ i, i = 0, 1,..., K, k. Þ Þ K Ñ Ö ØÐ Ò Ô Ö Ñ Ø ÖØ ÐÐ Ñ ÐÒ Þ Ò K i=0 ϑ i = 1µº

41 ¾º ÄÁà ÄÁÀÇÇ ¹ÀýÆ ÇË ÈÊ Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃÊ ½ Å Ö ÓÚ¹ Ø Ò ÐÓ Ð Ð ÓÓ Ú ÒÝ l(p) = i,j n ij log p ij, ÓÐ n ij Þ i j ØÑ Ò Ø Þ Ñ º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð p ij = n ij n i, ÓÐ n i = j n ijµº ÐÓ Ð Ð ÓÓ Ú ÒÝ ÐØ ÐÝ Ò l( P) = i,j n ij log n ij n i. Þ ÐÐ ÔÓØØ Ö (K + 1) Ð Ñò Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ñ K(K + 1)º ØÐ Ò ÑÓ ÐÐ Ô Ö Ñ Ø Ö ÁØØ Ð p ij (ϑ) = ϑ j i, j Ø Òº ϑ = (ϑ 0,...,ϑ k ) R K+1. { p ij (ϑ) 1, j = k = ϑ k 0, j k. ØÐ Ò Ø Ò Þ Þ H 0 Ø Òµ ÐÓ Ð Ð ÓÓ Ú ÒÝ l(ϑ) = j log ϑ n. j j, ÓÐ n. j = i n ij, j ÐÐ ÔÓØ Ý ÓÖ º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð ØÐ Ò Ø Ò Ö Ð Ø Ú Ý ÓÖ ϑ j = n. j n. Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó Ø Ø ÞØ 2 ( l( P) ) l( ϑ) = 2 i,j n ij log ( ) nij /n i. n. j/n Þ H 0 Ø Ò Þ ÑÔØÓØ Ù Ò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ K(K + 1) K = K 2 Þ Ó Ðº Ì Ø ÞÞ Ð Ø Ø ÞØ Ú Ð Ð Ø H 0 ¹ Ø Ø ÞØ ÐÒ º À ( 2 l( P) ) l( ϑ) > χ 2 α, ÓÖ H 0 ¹ Ø α Þ ÒØ Ò ÐÚ Ø º ÁØØ χ 2 α K 2 Þ Ó χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ α Þ ÒØ Þ Ø ÖØÓÞ Ö Ø Ù ÖØ º

42 ¾ ÁÁº Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ËÌ ÌÁË ÌÁà Á ÎÁ Ë ýä Ì ¾º º ØÐ Ò Ú Þ Ð Ø χ 2 ¹ÔÖ Ú Ð Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó Ø Ø ÞØ Ð A = 2 ( ) nij /n i n ij log = 2 i,j n. j/n t ( ) nt n t log, np t ÓÐ ØØ Ô n t = n ij, p t = n. jn i, n 2 n t = n p t = 1. Ø ÐÓ Ö ØÑÙ Ú ÒÝØ Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖ t log(1 + x) x x2 2, Ñ Ö Ø ÓØ Ð ÒÝ ÓÐ Ù º Þ Ö Ð Þ Ò 1 + x = nt np t n ºµ Ý Ð Ø Ù Ó Ý A B t A 2 t {( 2 n2 t { n t ( nt np t 1 A B = t n3 t ) t n t 2 (n t np t ) 2 np t. ( ) } 2 nt 1. np t Ð Ð Ð x 0 ) ( )} + 2 n2 t n 2 n t t 2n t + np t = np t np t 2n t np t n 2 p 2 t = ( ) 3n 2 t n t n3 t np np t t n 2 p 2 t. t Å Ú Ð n t = n np t = n Ý 2n t Ð ÚÓÒ Ý Ò 2np t ÓÞÞ Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Øº Ì Ø Ý A B t A B t [ (n t np t ) 3 ] (np t ) 2. (n t np t ) 2 n t np t, np t np }{{ t } 1 n t np t nt np t 1 n Ý A B << B Þ Þ A Bº Ì Ø Ú ÒÝÚ Þ Ð Ø Ñ Ú Ð Ø Ø χ 2 ÔÖ Ú Ð i,j ( nij n i n. j n n i n. j n ÔÖ Ø Ø ÞØ º ÒÒ H 0 Ø Ò χ 2 K 2 Þ Þ ÑÔØÓØ Ù ÐÓ ÞÐ º ) 2

43 ¾º ÄÁà ÄÁÀÇÇ ¹ÀýÆ ÇË ÈÊ Å ÊÃÇιÄýÆ ÇÃÊ ¾º½º Ñ ÝÞ º ÒØ Ð Ú Þ Ø Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò H 0 Ø Ò ÖÚ ÒÝ Ñ ÓÖ p ij ( ϑ) p ij (ϑ) ÓÐ ϑ Θ Þ Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ò Ñ Ý Ð Þ Ñ Ø ÖØ Ú Ø Ð Ò Þµ Þ Ò ÓÖ npt n i = p ij ( ϑ) p ij º Ì Ø ( ) 2 n ij n i p ij ( ϑ) = χ 2 d(d 1) r n i p ij ( ϑ), H 0 Ø Ð Ðº i,j ¾º½º Ô Ð º Å Ö ÓÚ ½ ¾ µ Å Ö ÓÚ Ñ Ú Þ ÐØ ÈÙ Ò Â Ú ÒÝ ÒÝ Ò Ñò ÑòÚ Ò ¾¼º¼¼¼ ÝÑ ÙØ Ò Øò غ Å Ò Ò Þ Å Ð Ò Þ Σ Ú Ø µ Ú Ø µ Å Ò Ò Þ Ñ Ð Þ µ ½½¼ ¾ Å Ð Ò Þ Ñ Ð Þ µ ¾ ½½ ¾ Σ ½½ ½ ¾¼¼¼¼ Þ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü P = ( ) 1 p01 p 01. p 10 1 p 10 Ñ Ò Ò Þ Ñ Ð Ò Þ µ Ú ÐØ Ö Ð Ø Ú Ý ÓÖ p 01 = , Ñ Ð Ò Þ Ñ Ò Ò Þ µ Ú ÐØ Ö Ð Ø Ú Ý ÓÖ Ô p 10 = Ý Ý Þ Öò ÝÔ Ö Ñ Ø Ö ÑÓ ÐÐ H 0 : p 01 = p 10, Þ Þ Ú ÐØ ÞÓÒÓ Ú Ð Þ Òò ò Ñ Ò Ñ Ò Ò Þ Ñ Ð Ò Þ µ Ñ Ò Ñ ¹ Ð Ò Þ Ñ Ò Ò Þ µ Ú ÐØ Ø Òº Ú ÐØ ÐØ Ø Ð Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ö Ð Ø Ú Ý ÓÖ p = = = ÒØ ÑÓ ÐÐ Ø Ø Ò Ñ ØòÒ Ö Ð ÞØ Ù Ò º ÅÓ Ø Ñ Ú Þ Ð Ù Ñ Ò¹ Ñ Ð Ò Þ Ú ÐØ ÓÞ Ò ØÐ Ò Ø χ 2 ¹ ÔÖ Ú Ðº ( ) =

44 ÁÁº Å ÊÃÇιÄýÆ Çà ËÌ ÌÁË ÌÁà Á ÎÁ Ë ýä Ì ØÐ Ò Ø Ò Þ χ 2 1¹ ÐÓ ÞÐ Ð ÒÒ º ØÐ Ò ÔÓØ Þ Øº Å Ò Ò ÞÒ Ð ØÓ Þ ÒØ Ò ÐÚ Ø

45 Ì Ö ÝÑÙØ Ø χ 2 ÔÖ ¾ d i ½ i j ½ i j ½ n Ð Ô ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü ½ ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ò Ø ¾½ Ô Ö Ó Ù ½ Ð Ö Ø ½ Ö Ó Ù ¾ Ð ÒÝ ½ Ð ÒÝ Ø Ð Ò ½ ÔÓÞ Ø Ú ¾ Ú Þ Ø Ö ¾½ ÐÐ ÔÓØ Ô Ö Ù ½ ÐÐ ÔÓØÓ Ð Ò Ò Ð Ö Ø ½ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Þ Ð Ø Ð ÓÐÝ Ñ Ø ¾ ØÐ Ó Ú Þ Ø Ö ¾ ØÑ Ò Ø ÐÐ ÔÓØ ¾½ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü n Ð Ô ½ ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò ½¾ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ð ÞÓÐ Ø Ú Ð Þ Òò ½ Ô Ö Ó Ù ÐÐ ÔÓØ ½ ÓÐÝÓÒ Ð Ù ½ ÐÒÝ Ð Ø Ö Ð ½ Þ ÑÑ ØÖ Ù ½¼ Ú Þ Ú Ö Ø Ö Ð ½ ÔÑ Ò ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ý ÒÐ Ø ½ Ð Ù ÓÐÝÓÒ ½ Þ Ö Ò Ø Ð ÑÓ ÐÐ ½ Þ Ö Ø Ð Ø Ý ÒÐ Ø ¾ Þ Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Öò Å Ö ÓÚ Ð Ò Ö Ò Ø Ð ÑÓ ÐÐ ½ Ð Ö Ø ÐÐ ÔÓØ ½ Ð Ð Ö ½ Ð Ú Þ Ø Ö ¾½ ¾ Ö ØÓÐ Ð Å Ö ÓÚ ØÙÐ ÓÒ ¾¼ Ö Å Ö ÓÚ ØÙÐ ÓÒ ½ ¾¼ Ö Ó Ù ÐÐ ÔÓØ ¾ ØÐ Ò Ú Þ Ð Ø ¼ ¾ ÓÖ ØÓØØ Å Ö ÓÚ ØÙÐ ÓÒ ¾ ÓÑÓ Ò Å Ö ÓÚ Ð Ò ½¾ ÖÖ ÙÙ Ð Å Ö ÓÚ Ð Ò ½ Ð Ò Ò Ð Ö Ø ÐÐ ÔÓØÓ ½ ØÐ Ô Å Ö ÓÚ Ð Ò Þ Ø ÐÓ ÞÐ ½ Ð ÒÝ ÐÐ ÔÓØ ½ Ð ÒÝ Ø Ð Ò ÐÐ ÔÓØ ½ Ð Ð ÓÓ ÒÝ Ó ÔÖ ¼ Å Ö ÓÚ ØÙÐ ÓÒ ½¼ Å Ö ÓÚ Ð Ò ½¼ ØÑ Ò Ø Ñ ØÖ Ü ½¾ ØÑ Ò ØÚ Ð Þ Òò ½¾ ÞÓÐ Ø Ú Ð Þ Òò ½ Þ Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Öò ÓÑÓ Ò ½¾ ÖÖ Ù Ð ¾ ÖÖ ÙÙ Ð ½ Þ Ø ÐÓ ÞÐ ½ ½ Ô Ö Ó Ù ¾ Ø Ø ÞØ Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ ½ Å Ö ÓÚ Ð ÒÓ Þ ÞØ Ò Ø Ø Ð ½ Å Ö ÓÚ Ô ÐÐ Ò ØÒ ½ Å Ö ÓÚ ØÙÐ ÓÒ

46 ÌýÊ ÅÍÌ Ì Ö ØÓÐ Ð ¾¼ ÓÖ ØÓØØ ½¾ ØÓÐ Ð ½¾ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ð Þ ÑÔØÓØ Ù ÒÓÖÑ Ð Ø ÓÒÞ ÞØ Ò Ñ ÐÐ ½ Å ØÖÓÔÓÐ À Ø Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ½ Ñ Ò Ñ Ð Þ ÖØ ÐÑ Þ ½ Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ ¾ ÒÙÐÐ ÐÐ ÔÓØ ¾ Ó ÞØ ÐÝØÙÐ ÓÒ ½ Ô Ö Ù ½ ÔÓÞ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ ¾ Ö ÞÐ Ø Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø ¾ Ø ÓÒ Ö Ù ÐÓ ÞÐ ¾ Ø Ø ÞØ Þ Ð Ø Ð ÓÐÝ Ñ Ø ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ¾ Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÐÝÓÒ ½¼ ÞØÓ ÞØ Ù Ñ ØÖ Ü ½¾ Ø Ð Ý Ò ÐÝ Ý ÒÐ Ø ¾ Ú Ñ ÒÞ ÐÓ ÞÐ Ó ½ Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ ½¼ ½ ¾ Ú Þ Ú Ö Ø Ö Ð ¼ Ú Þ Ø Ö ¾ Ú Þ Ø Ö ÐÐ ÔÓØ ¾½ Ú Þ Ø Ö Ö Ø Ö ÙÑ ¾¾ Ú Þ Ú Ö Ø Ö Ð Ú Ð ØÐ Ò ÓÐÝÓÒ ¼ Þ ÖØ ÐÑ Þ ½