Átírás

1 Þ Á ØÚ Ò ËÌ ÌÁË ÌÁÃ ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö

2

3 Þ Á ØÚ Ò ËÌ ÌÁË ÌÁÃ

4 ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö ËÇÊÇ ÌË ÊÃ Ë Ì Þ Á ØÚ Ò

5 Þ Á ØÚ Ò ËÌ ÌÁË ÌÁÃ Ý Ø Ñ ÝÞ Ø ÈÖÓ Ö ÑØ ÖÚ Þ Ð ÐÑ ÞÓØØ Ñ Ø Ñ Ø Ù Ó Ö Þ Ö Ð ÞØ Ð ØØ ÐÐ Ú ÐØÓÞ Ø ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒØ Þ Ø

6 Ä ØÓÖ Æ Ý Å ÖØ Ö Ò Ý Ø Ñ Ä ØÓÖ Ð Ð ØØ ÓÔÝÖ Ø Þ Á ØÚ Ò ¾¼¼ ÓÔÝÖ Ø Ð ØÖÓÒ Ù ÞÐ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö ¾¼¼ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ã Ö ¼½¼ Ö Ò È º ½¾ ØØÔ»»ÑÓ º Ò ºÙÒ º Ù Ñò Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ð Ö Þ ÓÒ Ð Ø ÐØ Ø º Å Ò Ò Ý Ð ÞÒ Ð Þ ÖÞ Ð Þ Ø Ö Ð Ò ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò Øº Ñò ÑÓ ÁýÃ Ò Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ÁÃÌ ÇÅ ¹¼¼»¾¼¼ µ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÞÓ ØÚ Ö ÁÌ Å ¼»¾¼¼ µ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ò Þ Ðغ

7 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Áº ËÞ Ö Ò Ð Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ã Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ ÒØ Ö Ò Ð Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Þ ÒØ Ö Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÁÁº Ê Ö Þ Ò Ð Þ Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁº Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó ÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Áκ Æ Ñ¹Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º ÀÓ Ò ¹ Ð U¹ Ø Ø ÞØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Å ÒÒ¹Ï ØÒ Ý¹ Ð U¹ÔÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Ö ÝÑÙØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

8

9 Áº Þ Ø ËÞ Ö Ò Ð Þ

10 ½¼ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË ½º Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Þ Ö Ò Ð Þ Ð ÔÚ Ø Ø Ø Ð Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Ø Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ø º Ò Þ Ø Ò Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø ÐÒ Ò Ñ¹ ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Ó Ø Þ Ð Ð Ø ÞÓÐ Ù º Þ Ð Ô Ò ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ø Ñ Þ Ö Ð ÓÒØ Ò Þ Ö ÔÐ Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ ÐÓ ÞÐ º Ä Ò Ö Ð Ö Ñ Ö Ø Ð Þ Ò Þ Ò Ñ Ò Ò Þ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÜÓ Ð Ø ÖØ Ò ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÓÒ Ó Ñ ÐÒ º ½º½º ÃÚ Ö Ø Ù ÓÖÑ Ö Ò Þ Ó ½º½º Ò º Ä Ý Ò x = (x 1,...,x n ) n¹ Ñ ÒÞ Ú ØÓÖ A = (a ij ) Ô n n¹ Ú Ð µ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ñ ØÖ Üº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý n n Q = Q(x) = x Ax = a ij x i x j Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ö Ò k A Ö Ò kº ½º¾º Ò º Ä Ý Ò b 1,...,b m Ý m Ø Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö R n ¹ Ò y i = b i x i = 1,...,m ÓÐ x R n º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Q = m yi 2 = m ( b i x )2 Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Þ Ó k b 1,...,b m Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ö Ò kº ½º½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò Q ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ º ÓÖ Q Ö Ò Ñ ¹ Ý Þ Þ Ó Ú Ðº ÞÓÒÝ Ø º ½º Ä Ý Ò Q = x Ax ÓÐ A Þ ÑÑ ØÖ Ù ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ Ò Ø n n¹ Ñ ØÖ Üº Þ Ó Ý Q Ö Ò k Ò Þ Ö ÒØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý A Ö Ò kº ÓÖ A¹Ò k ÔÓÞ Ø Ú Ø ÖØ Ú Ò λ 1,...,λ k Ø Ø ÖØ 0º Þ A Ñ ØÖ Ü Ð ÐÐ A = U ΛU Ð Ò ÓÐ Þ U ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü ÓÖ Þ A ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ ØÚ ØÓÖ Λ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü ØÐ Ò Ô Þ A Ø ÖØ ÐÐÒ λ 1 ººº Λ = λ k 0 º. ºº 0 ÓÖ b i = λ i u i i = 1,..., k Ú Ð ÞØ Ð ÓÐ u i Þ U Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖÚ ØÓÖ µ k ( Q = x Ax = x U ΛUx = λ i u i x ) k 2 ( = b i x) 2 k = yi 2. ÁØØ b 1 = λ 1 u 1,...,b k = λ k u k Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ö Ò k Þ Ò Þ u 1,...,u k Ú ¹ ØÓÖÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØÒ λ 1 0,..., λ k 0º ¾º Å ÓÖ ØÚ Ø Ý Ð Ó Ý b 1,...,b m Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ö Ò k ( m m m ) Q = (b i x)2 = x b i b i x = x b i b i x. j=1

11 ½º ÁËÀ ʹ Ç ÀÊ Æ¹Ì Ì Ä ½½ ÐÐ Ð ØÒÙÒ Ó Ý m b ib i n n¹ Ñ ØÖ Ü Ö Ò kº Ä Ý Ò b 1,..., b m Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð Þ Ø ØØ ÐØ Ö Lº Þ Ò ÐØ Ö k¹ Ñ ÒÞ º Ð Ø Ù Ó Ý ( m b ) ib i Òº Þ µ Ñ ØÖ Ü ÔØ Ö ÔÔ Ò Lº Å Ú Ð Ø Ø¹ Þ Ð x Ú ØÓÖÖ ( m ) m ( b i b i x = b i b i x) L, Ý ( m b ib i Ú Ð º ÓÖ ) ÔØ Ö ÒÒ Ú Ò L¹ Òº Ä Ý Ò ÑÓ Ø v ( m b ib i ( m ) 0 = v b i b i v = m ( b i v) 2 ) ÒÙÐÐØ Ö Ð Ñ ØØ v b i Ñ Ò Ò i¹ö º Ì Ø v Ð Ñ L ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò º Î ¹ ÞÓÒØ Ñ Ò ÔØ Ö ÒÙÐÐØ Ö Ñ ÒÞ Ò Þ Ñ Ò Þ ÐØ Ö ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ñ ÒÞ Ò Þ nº Þ Þ ( m b ) ib i ÔØ Ö ÔÔ Ò Lº ½º½º Ñ ÝÞ º Å Ú Ð Ý Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ Þ Ñ¹ Ñ ØÖ Ù Ñ ØÖ Ü Ø Ý Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ö Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ò Ðغ Î ÞÓÒØ Ý Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ø Ð ÔÔ Ò Ð ÐÐ Ø Ø Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò ÝÞ Ø Þ Òغ Ì Ø Þ Ó Ý ÖØ ÐÑò Ø Ò Ñ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ò Ð Ò Ñ Þ ¹ Ó Ö Ò Ý ÒÐ Ø ÑÓÒ Ø Ø Ð Ð ÓÐÚ Ø Ù º ½º½º Ô Ð º Q = Q(x) = x Ax = (x 1, x 2 ) ( ) ( ) 2 1 x1 = 2x 1 1 x x 1x 2 + x Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ö Ò ¾ Ñ Ú Ð Ñ ØÖ Ü Ò Ö Ò ¾º ýðð Ø Ù Ð Q¹Ø Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò ÝÞ Ø Þ ÒØ Ø Ð Ñ ÓÒº Ä Ý Ò Ð Þ Ö b 1 = (1, 1) b 2 = (1, 0) º ÆÝ ÐÚ Ò ( b 1 x ) 2 ( + b 2 x ) 2 = (x1 + x 2 ) 2 + x 2 1 = Q(x). Å Ö ÞØ c 1 = ( 2, 1/ 2) c 2 = (0, 1/ 2) Ú Ð ÞØ Ð ( c 1 x ) 2 + ( c 2 x ) 2 = ( 2x1 + x 2 / 2) 2 + (x 2 / 2) 2 = Q(x). Å Ò b 1 b 2 Ñ Ò c 1 c 2 Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö Ö Ò ¾º ½º¾º Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ò ÝÞ Ø Þ Ð ½º¾º Ñ ÝÞ º Ì Ý Ð Ó Ý Q Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ð ÐÐ Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò Ý¹ Þ Ø Þ ÒØ Q = ( b 1 y ) 2 ( + + b s y ) 2 Q = ( c 1 y ) 2 ( + + c r y ) 2 Ð Ò º ÓÖ b 1,..., b s Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð Þ Ø ØØ ÐØ Ö Ñ Ý Þ c 1,..., c r Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð Þ Ø ØØ Ðº

12 ½¾ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ö Ø ÒØ Q = y ( s b ) ib ( i y Q = y r c ) ic i y Ð ÐÐ Ø Ó Øº Þ Ò Ñ ØÖ Ü Ñ Ý Þ º Ì Ø s b ib i = r c ic i º Î ÞÓÒØ Þ Ð Ñ ØÖ Ü ÔØ Ö b 1,...,b s Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð Þ Ø ØØ ÐØ Ö Ñ Ñ Ó c 1,...,c r Ú ØÓÖÖ Ò Þ Ö ÐØ Ð Þ Ø Øغ ½º¾º Ô Ð º ýðð Ø Ù Ð Þ y 2 1 +y2 2 Ò ÝÞ Ø Þ Ø Ø Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Þ ÒØ y y 2 2 = Q 1 + Q 2 = 1 2 (y 1 + y 2 ) (y 1 y 2 ) 2. ÁØØ Q 1 = (y 1 / 2 + y 2 / 2) 2 Q 2 = (y 1 / 2 y 2 / 2) 2 º Q 1 Q 2 Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Þ y = (y 1, y 2 ) Ú ØÓÖ Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò Ò ÝÞ Ø Þ z = (z 1, z 2 ) Ú ØÓÖÖ Q 1 = z 2 1, ÓÐ z 1 = (1/ 2, 1/ 2) (y 1, y 2 ) = b 1 y, Q 2 = z 2 2, ÓÐ z 2 = (1/ 2, 1/ 2) (y 1, y 2 ) = b 2 y. z = Ay = ( ) ( ) 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ y1, 2 y 2 Ø Ø Þ z 1 z 2 Ú ÐØÓÞ Ø Ö y 1 y 2 Ú ÐØÓÞ Ð Þ A ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ú Ð ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ú Ð Ô Ù Ñ º ÒØ Ø ÒÝ Ó Ð ÐØ Ð ÒÓ Ò ÖÚ ÒÝ º ½º½º Ð ÑÑ º Ä Ý Ò y = (y 1,...,y n ) º Ä Ý Ò Q 1,...,Q s Þ y 1,...,y n Ú ÐØÓÞ Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ º Ì Ý Ð Ó Ý Ö Ò (Q i ) = n i i = 1,...,s n yi 2 = Q Q s. ÓÖ ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò A ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝÖ z = Ay z = (z 1,..., z n ) Ð Ð Ð Q 1 = z z2 n 1, Q 2 = z 2 n z2 n 1 +n 2,..., Ø Ð Ð n 1 + n n s = nº Q s = z 2 n 1 + +n s z 2 n 1 + +n s ÞÓÒÝ Ø º ½º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ø Þ ÒØ A Ñ ØÖ Üº ÓÖ A A = I Ñ ØØ n n s n 1 + +n zi 2 = z z = y A Ay = y y = yi 2 = s Q j = Ñ Ò Ò z R n ¹Ö º Þ ÖØ n = n n s º ¾º Ì Ý Ð Ó Ý n n s = nº Å Ú Ð Q 1 n 1 Ö Ò Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ý Ø Ð Ò ÝÞ ØØ Ð Ø Ò n 1 Ð Ò Ö ÓÖÑ Þ Ö Ô Ð Q 1 = n 1 δ iz 2 i, j=1 z 2 i

13 ½º ÁËÀ ʹ Ç ÀÊ Æ¹Ì Ì Ä ½ ÓÐ δ i = ±1 z i = b i y i = 1,..., n 1º À ÓÒÐ Þ Q 2,..., Q s ¹Ö º Å Ú Ð n n s = n Ý Q i Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ð ÐÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ b j n¹ Ñ ÒÞ ÓÖÚ ØÓÖÓ Ø Ñ Ò ÝÑ Ð ÖÚ Ý n n¹ Ñ ØÖ ÜÓØ ÔÙÒ b 1º A = b n 1. º  РРÑÓ Ø D δ i ÓÒ Ð Ð Ñ Ð ÐÐ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÜÓØ δ i ¹ Ø Ù Ý ÒÓÐÝ Ò ÓÖÖ Ò Ò Ö Ù Ð Ñ ÒØ Ñ Ð Ð b i Ú ØÓÖÓ Ø Þ A Ñ ØÖ Ü Òµº ÓÖ n s n y A DAy = z Dz = δ i zi 2 = Q j = yi 2 = y y Ñ Ò Ò y R n ¹Ö º Å Ú Ð Ý Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ñ ØÖ Ü Ø Þ ÖØ A DA = Iº Ð Ó Ý A ÒÚ ÖØ Ð Ø D = (A ) 1 A 1 = (A 1 ) A 1 º Ì Ø D Ý ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ Ò Ø Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ý ÒÐ Ñ Ð Ô Ò ØÐ Ò Þ ¹ Ö ÔÐ δ i ¹ Ý Ñ Ð Ø 1 Þ Þ D = Iº ÓÖ A A = I Þ Þ A ÓÖØÓ ÓÒ Ð º ÌÓÚ Q 1 = n 1 z2 i, ÓÒÐ ÐÐ ÒÒ Ø Q j ¹Ö º b n j=1 ½º º Ò Ñ¹ ÒØÖ ÐØ ¹Ò ÝÞ Ø ÐÓ ÞÐ χ 2 20 χ 2 20 (5) Ö ½º½º χ 2 20 χ 2 20(5) òöò Ú ÒÝ ½º º Ò º Ä Ý Ò ξ 1,...,ξ n ØÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ξ i N(a i, 1) i = 1,...,nº ÓÖ ½º½µ ζ n = ξ ξ2 n

14 ½ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ø n Þ Ó λ = n a2 i Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Öò Ò Ñ¹ ÒØÖ ÐØ ¹Ò ÝÞ Ø ÐÓ ÞÐ Ò Ò Ú ÞÞ º  РРχ 2 n (λ)º Ò Ñ¹ ÒØÖ ÐØ ¹Ò ÝÞ Ø ÐÓ ÞÐ Ò Ô Ð Ø Ò Ñ ÓÖ Ò ÙÐ ξ i Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ 0 Ú Ö Ø ÖØ ò ÔÔ Ò ÓÖ Ò Ñ Ñ ÖØ ÒØÖ Ðص ¹Ò ÝÞ Ø ÐÓ ÞÐ º Þ Þ χ 2 n (0) χ2 nº χ 2 20 χ 2 20 (5) òöò Ú ÒÝ ½º½º Ö Ò Ð Ø Ø º Ú Ø Þ ÐÐ Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Ò Ñ ÐÐ ξ i ¹ a i Ú Ö Ø ÖØ Ø Ð Ò¹ Ð Ò Ñ ÖÒ Þ ÐÓ ÞÐ λ = n a2 i Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ð º ½º½º ÐÐ Ø º Ä Ý Ò τ 1,...,τ n ØÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ τ 1 N( λ, 1) τ 2 N(0, 1),..., τ n N(0, 1) ÓÐ λ 0º ÓÖ ½º¾µ τ τ2 n ÐÓ ÞÐ Ñ Ý Þ Þ ½º½µ¹ Ò ÓØØ ζ n ÐÓ ÞÐ Ú Ð ÖÑ ÐÝ Ò λ = n a2 i ÐØ Ø ÐØ Ð Ø a 1,...,a n Þ ÑÓ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò B = (b ij ) n n¹ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ð ÓÖ b 11 = a 1 / λ,..., b 1n = a n / λ. ÁÐÝ Ò B Ñ ØÖ Ü Ð Ø Þ Þ Þ Ð ÓÖÖ Ð ÖØ Ú ØÓÖ Ý ÒÝ Ó Þ Þ ¹ Þ Ø Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ B ÓÖ Þ Ú ØÓÖÓ Ð ÞÒ º Ä Ý Ò ξ = (ξ 1,...,ξ n ) ÓÐ ξ 1,...,ξ n ½º º Ò Ð º Ä Ý Ò τ = Bξº Å Ú Ð ξ ÐÓ ÞÐ N n (m, I) ÓÐ m = (a 1,...,a n ) Ý τ N n (Bm, I)º Þ ÖØ τ ÓÓÖ Ò Ø τ 1,..., τ n Ý ØØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ ÓÖÖ Ð Ð ØÐ Ò Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ º Ý ØÐ Ò º Ú Ö Ø ÖØ Ô Bm Ú ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø º Þ Þ Eτ i = b i m i = 1,..., n ÓÐ b i B Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ º b 1 = λ 1 2m ØÓÚ b 2,...,b n ÖÖ Ñ Ö Ð º Þ ÖØ n Eτ 1 = λ 1 2 m m = λ 1 2 a 2 i = λ 1 2 λ = λ. Eτ i = b i b 1 λ = 0, i = 2,...,n. Ì Ø τ 1,...,τ n Ð Ø Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Øº Å Ö ÞØ n ξ2 i = ξ ξ = ξ B Bξ = τ τ = n τ2 i. Ì Ø Þ ½º¾µ Ð ÐÐ Ø Ø Ð Ðº ½º¾º ÐÐ Ø º Ò Ñ¹ ÒØÖ ÐØ χ 2 n (λ) ¹Ò ÝÞ Ø ÐÓ ÞÐ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Ú Ö Ø ÖØ Þ Ö Ò ÝÞ Ø Ö ϕ(t) = (1 2it) n/2 exp[itλ(1 2it) 1 ]; Eζ n = n + λ; D 2 ζ n = 2(n + 2λ); β 1 (ζ n ) = 8(n + 3λ) (n + 2λ) 3/2 ;

15 Ð ÔÙÐØ ÞÓÒÝ Ø º = + ½º ÁËÀ ʹ Ç ÀÊ Æ¹Ì Ì Ä ½ β 2 (ζ n ) = 12(n + 4λ) (n + 2λ) 2. Ä Ý Ò ξ N(m, 1)º ÓÖ ξ 2 Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ ϕ ξ 2(t) = + { 1 exp 1 ( x 1 2it 2π 2 = e itx2 1 2π e (x m)2 2 dx = ) } 2 { m itm 2 dx exp 1 2it 1 2it { } 1 itm 2 exp, 1 2it 1 2it } = ÓÐ Þ ÙØÓÐ Ð Ô Ò Þ y = x m 1 2it 1 2it ÐÝ ØØ Ø Ø Ú ÞØ Ðº Þ Ý ÔÓØØ Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ Ð ÞÓÖÞ Ð χ 2 n(λ) Ö Ø Ö ÞØ Ù Ú ÒÝ º À ξ N(m, σ 2 ) ÓÖ Eξ 2 = σ 2 + m 2, D 2 ξ 2 = 2σ 4 + 4σ 2 m 2 Þ ÙØ Ø Ø Ò Ö ÒÓÖÑ Ð Ö Ú Þ Ú Þ ØÚ Ô Ø Ù µº ÞÙØ Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ χ 2 n (λ) Ò Ø ½º¾º Ø Ø Ðº χ 2 Ø Ø Ðºµ Ä Ý Ò η n η m ØÐ Ò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ n Ðк m Þ Ó Ð Ú Ð Ñ ÒØ λ 1 Ðк λ 2 Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø ÖÖ Ðº ÓÖ Þ η n + η m Ú ÐØÓÞ n + m Þ Ó λ 1 + λ 2 Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Öò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ º Ø Ø Ð Þ Ú Ò ÞÚ ØÐ Ò χ 2 ¹ Þ χ 2 Þ Ó Ó Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Þ Ò º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò ξ 1,...,ξ n+m ØÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ ξ i N(a i, 1) i = 1,..., n+mº η n ¹ Ø ξ ξ 2 n¹ ÒØ η m ¹ Ø Ô ξ 2 n+1+ +ξ 2 n+m¹ ÒØ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÚ η n + η m = ξ ξn+m 2 Þ Ô n+m Þ Ó λ 1 +λ 2 Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Öò ¹Ò ÝÞ Ø ÐÓ ÞÐ º ½º º Ò º Ä Ý Ò ξ η ØÐ Ò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ξ i χ 2 n (λ) η i χ 2 mº ÓÖ ξ η ½º µ n/ m Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ø n m Þ Ó λ Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Öò Ò Ñ¹ ÒØÖ ÐØ F¹ ÐÓ ÞÐ Ò Ò Ú ÞÞ º Ò Ñ¹ ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ Ò Ô Ð Ø Ò Ñ ÓÖ Ò ÙÐ ξ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÒØÖ ÐØ ÔÔ Ò ÓÖ Ò Ñ Ñ ÖØ ÒØÖ Ðص F ¹ ÐÓ ÞÐ º

16 ½ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË ½º º Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð ½º º Ø Ø Ðº Ö¹ Ó Ö Òº Ä Ý Ò ξ 1,...,ξ n ØÐ Ò Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ξ i N(a i, 1) i = 1,..., nº Ä Ý Ò Q 1,...,Q s ξ 1,..., ξ n Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ö Ò (Q i ) = n i i = 1,..., sº Ì Ý Ð Ó Ý ξ ξ2 n = Q Q s. ÓÖ Q 1,..., Q s ÓÖ ÓÖ ØÐ Ò χ 2 n 1,...,χ 2 n s ÐÓ ÞÐ n n s = nº Ò Þ Ø Ò Q i Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Q i (a) ÓÐ a = (a 1,...,a n ) º ÞÓÒÝ Ø º ½º Ä Ý Ò Q 1,...,Q s ØÐ Ò Q i ÐÓ ÞÐ χ 2 n i i = 1,..., sº ÓÖ χ 2 ¹ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Q 1 + +Q s ÐÓ ÞÐ χ 2 n 1 + +n s º Q 1 + +Q s = ξ ξ 2 n Ñ Ò Þ ÐÓ ÞÐ Ò Þ Ö ÒØ χ 2 nº Ì Ø n n s = nº Å Ý ÞÞ Ó Ý ØØ Ò Ñ ÚÓÐØ Ð Ò Þ Ö Ò (Q i ) = n i ÐØ Ø ÐÖ º ¾º Ä Ý Ò ÑÓ Ø n 1 + +n s = nº Þ ½º½º Ð ÑÑ Ñ ØØ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò A ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ó Ý Þ η = Aξ¹Ö ÓÐ η = (η 1,...,η n ) ξ = (ξ 1,...,ξ n ) ) Q 1 = η η 2 n 1, Q 2 = η 2 n η 2 n 1 +n 2,..., Q s = η 2 n 1 + +n s η2 n 1 + +n s. Î ÞÓÒØ ξ N n (a, I) Þ ÖØ η = Aξ N n (Aa, AA ) = N n (Aa, I) Þ Ò A ÓÖØÓ¹ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Üº Ì Ø η ÓÓÖ Ò Ø ØÐ Ò ½ Þ Ö ÒÓÖÑ Ð º Q i Ô n i ÐÝ ÒÒ Ò ÝÞ Ø Þ Ø Ø χ 2 n i ÐÓ ÞÐ º Å Ú Ð Ð Ò Þ Q i ¹ Ð ÐÐ Ø Ò ÞÓÒÓ η j ¹ Ò Ñ Ú ÞÒ Ö ÞØ Ý Q i ¹ ØÐ Ò º º Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Öº Ð ÑÑ Ò ÓØØ Ð ÐÐ Ø Q 1 = z z 2 n 1 Ö ÞÐ Ø Ò ÖÚ Q 1 (y) = (b 1 y) (b n 1 y) 2, y R n, ÓÐ b 1,...,b n Þ A Ñ ØÖ Ü ÓÖÚ ØÓÖ º ÞØ ξ Ú Ö Ø ÖØ Ú ØÓÖ Þ Þ y = a ÐÝ Ò Ú Ú Q 1 (a) = (b 1 a)2 + + (b n 1 a) 2 = (Eη 1 ) (Eη n1 ) 2. Þ ÙØ Ô Q 1 = η η2 n 1 Ð Ô Ò ÔÔ Ò Q 1 Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö º À ÓÒÐ ÐÐ Q 2,...,Q s ¹Ö º ½º º Ñ ÝÞ º ÒØ ÞÓÒÝ Ø Ð Ö ÐØ Ó Ý Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ò ξ ξ2 n Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ Ð ÐÐ ξ 1,...,ξ n Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò ÝÞ Ø¹ Þ ÒØ ξ ξ2 n = (b 1 ξ)2 + + (b n ξ)2, ÓÐ Þ η i = b i ξ i = 1,..., n Ð Ò Ö ÓÖÑ ØÐ Ò η i N(b i a, 1)º Ë Ø Q j Þ Þ Ð Þ Ð n 1 Q 2 Ú Ø Þ n 2 º º º Ò ÝÞ Ø Þ º À Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð ÐØ ØÐ Ñ ÐÐ ØØ Ð Ø Þ Q i Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ò Ú Ð ¹ Ñ ÐÝ Ò Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò ÝÞ Ø Þ ÒØ Ø ÖØ Ò Ð ÐÐ Ø ÓÖ Ð Ò Þ Q i ¹ Ð ÐÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ ÓÖÑ ØÐ Ò º

17 ½º ÁËÀ ʹ Ç ÀÊ Æ¹Ì Ì Ä ½ ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ù ÖÖ Þ ØÖ Q 1 Ð ÐÐ Q 1 = (b 1 ξ)2 + + (b n 1 ξ) 2 Ñ ÐÐ ØØ Q 1 = (c 1 ξ)2 + + (c m ξ)2 Ð Ò º Ý Ð Þ Ñ ÝÞ Þ Ö ÒØ c 1,...,c m ÐØ Ð Þ Ø ØØ ÐØ Ö Ñ Ý Þ b 1,...,b n1 ÐØ Ð Þ Ø ØØ Ðº Þ ÙØ ÓÖØÓ ÓÒ Ð b n1 +1,...,b n ÐØ Ð Þ Ø ØØ ÐØ ÖÖ º Þ ÖØ c i b j = 0 Ñ Ð ÓÚ (c i ξ, b j ξ) = c i Ib j = c i b j = 0, 1 i m n j nº (c 1 ξ,...,c m ξ) (b n 1 +1 ξ,...,b n ξ) Ú ØÓÖÓ Ý ØØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ ÓÖÖ Ð Ð ØÐ ÒÓ Ø Ø ØÐ Ò º Þ ÖØ Ôк c 1 ξ Q 2 ØÐ Òº

18 ½ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË ¾º Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ò Þ Þ Ò Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø ÐØ Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ö º ¾º½º Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ð Ø Þ Ö Ò Ð Þ ÆÇÎ Æ ÐÝ Ç Î Ö Ò µ Ð Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ø Ò Ú Ö Ø ÖØ Ý ÒÐ ¹ º Ð ÔÚ Ø ÐØ Ø Ð Ñ ÒØ ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ð Þ ÖÑ ÞÒ Þ Ö Ý ÒÐ Ì Ø Ñ ÒØ Þ ØØ Ú Ö Ø ÖØ Ò Ð Ø ÐØ Ö º Ð Ý Þ Öò Þ Ö Ò Ð Þ Ð ÑÓ ÐÐ Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ ÓÒ ¹Û Ý Ð ¹ Ø ÓÒ ÓÒ ¹Û Ý Ð ÝÓÙصº ÁØØ Ý ØÐ Ò Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Ø ÐÐ Þ ÓÒÐ Ø Ò º Å Ú Ð Ñ Ý Ð Ö Ñ ÒÝ Ø Ø ÒÝ Þ Ò ÒØ Ý¹ Ý Ó ÞÐÓÔ Ò ÞÓ Ø Ð ÐÝ ÞÒ Ø ÒÝ ¹ Þ Þ ÒØ Ò Ø Ø Ó ÞÐÓÔ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º È Ð ÒØ Ø ÒØ Ò Ý Ó Ý Ö ÖÐ Ø Øº Ø Ø ÒÝ Þ ½º Ø ¾º Ø º Ø º ¼ ¾¾º ½ º º ½ º ¾ ½ º º ½½º¼ ½ º ½½º ¾ ½ º ¾ ½ º¾ ½½º ½ º ½ º ¼ ½¾º½¾ ¾ º¾¼ ½ º ¾ ½½º ½ º¾¼ º ¼ ½ º ¾ ½ º ¾º½º Ô Ð º À ÖÓÑ Ð Ò Þ Ø Ø Ø Ñ ÖØ Ðк ÖÐ Ø Ð ÒÝÓÒº ÁØØ Þ Ý ØÐ Ò Ø ÒÝ Þ Ø ÒÒ Þ ÒØ Ú Òº Ø Ø Ö ÐÝÚ ÞØ Ø ÒØ Ø Ð Þ Ø ÑÙØ Ø º Î Þ Ð Ù Ñ ÞØ ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ó Ý Ø ÐØ Ð Ó ÓÞÓØØ ÐÝÚ ÞØ Ú Ö Ø ÖØ Ý ÒÐ Ñ Ý Ð Y ij j = 1,...,n i i = 1,..., pº Y ij Þ i¹ Þ ÒØ Ò Ú Þ ØØ j¹ Ñ Ý Ð º Þ Ý Þ ÒØ Ò Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò ÐÐ ÞÓÒÓ Þ Ñ Ñ Ö Ø Ú ÞÒ º ÐØ Þ Ó Ý Y ij N(µ + α i, σ 2 ) Y ij ¹ ØÐ Ò º Ð Ö Ø Ó Ý p n i α i = 0 Ð Ý Òº Î Þ Þ n = n n p РРغ Î Þ Ð Ù H 0 : α 1 = α 2 = = α p = 0 ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ð Ð Ø H 0 ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ Ý Þ ÒØ Ò Ò Ò Ø º

19 ¾º Ë Ê Ë ÇË ÌýÄ Ç ýë ½ ËØ Ò Ö¹ ÓÖÑÙÐ Ð Ô Ò Þ n Y ij Ò ÝÞ Ø Þ Ð ÐÐ Ð Ò ÓÐ Y p n i p j=1 = 1 n i n j=1 Y 2 ij = p n i j=1 Y ij Ø Ð ØÐ º ( Yij Y ) 2 + ny 2 Ò ÝÞ Ø Þ Ð Ð Q ÐÒ Ú Þ Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ º Q Ð ÐÐ Ð Ò ÓÐ Y i = 1 n i Q = Q 1 + Q 2 = n i j=1 ÒØ Ð ÓÒØ Ò Þ Ö ÔÐ Ð p n i ( 2 p n i ( 2 Yi Y ) + Yij Y i ) j=1 Y ij Þ i¹ Þ ÒØ ØÐ º Q 1 Ñ Ö Þ ÒØ Þ ØØ Þ Ö Ø Q 2 Ô Þ ÒØ Ò Ð Ð Þ Ö Ø Þ Þ Ú Ð ØÐ Ò Øµº H 0 ¹ Ø ÓÖ Ú Ø Ð Q 1 Ø Ð Ó Ò Ò Ý Q 2 ¹ Þ Ô Øº ¾º¾º Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ö ÔÖ ÓÒ ØÖÙ Ð Ö ÞÒ Ð Ù Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ðغ Ì ÒØ Ø Ð Ð¹ ÓÒØ Ø p n i Yij 2 = Q 1 + Q 2 + ny 2. j=1 ¾º½º ÐÐ Ø º Q 1 Þ Ó p 1 Q 2 Þ Ó n p ny 2 Þ Ó 1º ÞÓÒÝ Ø º Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ ØØ Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò ÝÞ Ø Þ ÒØ Ú ÒÒ Ð Ð ÐÐ ØÚ º Ê Ò ÞÞ Ð Ò Ö ÓÖÑ Ý ØØ Ø Ø j=1 Y 11,..., Y 1n1, Y 21,..., Y 2n2,..., Y p1,..., Y pnp Þ Ö Òغ ÓÖ Q 1 ¹ Þ Ø ÖØÓÞ Ý ØØ Ø Ñ ØÖ Ü Ú Ð Ò Þ ÞÓÒÓ ÓÖÓ Þ Ð 1 1¹ Ø Ñ Ø ÖØÚ µ 1 n n n n n n n n n n n n n n n n º º º n n n n n p n n p 1 n Þ Ò p ÓÖ Ð Ò Ö Ò Þ n 1,...,n p Ý ØØ Ø Ð Ð Ð ¼ ÓÑ Ò Ð Ø º Þ Ð Ø ÚÓÒÚ Þ Þ Ø Ð p 1 Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò ÓÖØ ÔÙÒ º Þ Þ Q 1 Þ Ó p 1º

20 ¾¼ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË Q 2 ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ò Ö ÓÖÑ Ý ØØ Ø ÓÐÝ Ò D = D 1 ººº Ñ ØÖ ÜÓØ Ð ÓØÒ Ñ ÐÝ Ò ÓÒ Ð ÓÒ Ú D 1,...,D p ÐÓ Ó ÓÒ Ú Ð Ð Ñ ¼¹ º D i ÐÓ 1 1 n i 1 n i... 1 n i 1 n D i = i 1 1 n i... 1 n i º º. 1 n i 1 n i n i Þ Þ n i n i Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü n i 1 Ö Ò º Í Ý Ò ÓÖ Ò Þ ¼ Þ Ð ÓÖØ Þ Þ Ø Ð ÚÓÒÚ n i 1 Ð Ò Ö Ò ØÐ Ò ÓÖØ ÔÙÒ º Þ Ð Ô Ò Q 2 Þ Ó (n 1 1) + + (n p 1) = n pº ny 2 Þ Ó ÒÝ ÐÚ Ò ½º 1 ¾º¾º ÐÐ Ø º Q 1 Q 2 ØÐ Ò º Q σ 2 1 χ 2 p 1 (λ 1 1) Q σ 2 2 χ 2 n p (0) ÓÐ λ 1 = 1 σ 2 p n i αi 2 º 1 D p Q σ 2 1 ÓÖ ÓÖ ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ H 0 : α 1 = α 2 = = α p = 0 ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º Þ Ð Þ ÐÐ Ø Ñ ØØ Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Þ Ò Ö Ò Ó Þ (p 1) + (n p) + 1 = nº Ý Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ ØÐ Ò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ º Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ý Ô Ù Ó Ý Ú Ö Ø ÖØ Ø Ö Ù Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ º Å Ú Ð E(Y ij Y i )=0 Ý Q 2 Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ¼º Î ÞÓÒØ E(Y i Y ) = α i Þ ÖØ 1 σ 2 Q 1 λ 1 = 1 σ 2 p n iα 2 i º ¾º º Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ¾º¾º ÐÐ Ø Ð Ô Ò Q 2 Ú Ð ØÐ Ò Ð Ö ÞÓÖÓ µ Ñ Ò ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Q 1 Ð Ö ÞÓÖÓ µ Ú ÞÓÒØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ H 0 Ø Ð Ðº ¾º º ÐÐ Ø º Þ F = Q / 1 Q2 p 1 n p Ø Ø ÞØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ p 1 n p Þ Ó ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ð Ðº H 0 : α 1 = α 2 = = α p = 0 ÞÓÒÝ Ø º Þ ¾º¾º ÐÐ Ø Þ Ö ÒØ F Ø ØÐ Ò Þ Ó Ú Ð ÐÓ ÞØÓØØ H 0 Ø Ò ÒØÖ Ðص χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÒÝ Ó º Þ ÖØ Þ F ¹ ÐÓ ÞÐ Ò Ð Ô Ò ÒÒ ÐÓ ÞÐ H 0 Ø Ò ÒØÖ Ðص F ¹ ÐÓ ÞÐ p 1 n p Þ ¹ Ó Ó Ðº

21 ¾º Ë Ê Ë ÇË ÌýÄ Ç ýë ¾½ Þ Ð Ô Ò Þ Ð Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ ØÓØ Ø Ù Ñ Þ ÝØ ÒÝ Þ Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ö º Þ Ö ËÞ Æ ÝÞ Ø¹ Æ ÝÞ Ø¹ F ¹ ÒÝ Ó ÓÖÖ Ó Ó Þ ØÐ Ó Ê Þ Ó Ó Þ ÒØ µ Þ ØØ p 1 Q 1 Q 1 ÐØ Ö ËÞ ÒØ Ò Ð Ð p 1 ÐØ Ö n p Q 2 Q 2 n p Ú Ð ØÐ Ò µ Ì Ð n 1 Q 1 + Q 2 ËÞ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø Þ ÝØ ÒÝ Þ Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ö F = n p p 1 Q1 Q 2 H 0 ¹ Ø 1 α Þ ÒØ Ò ÐÚ Ø ÔÓØØ F ¹ Ø Ø ÞØ ÖØ Ò ÝÓ Ñ ÒØ F [p 1,n p;α] Þ Þ Ñ Ð Ð Þ Ó ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ Ø Ð Þ Ø Ð Ö ØØ Ð µ Ö ¹ Ø Ù ÖØ º ¾º¾º Ô Ð º ¾º½º Ô Ð ÓÐÝØ Ø ºµ Þ Ñ Ø Ô µ Ö Ñ ÒÝØ Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÆÇÎ Ì Ð ËÓÙÖ ËË ÅË ÓÐÙÑÒ ¾ ½ º ½ º ¼ ½ º ½ ÖÖÓÖ ¾¼ ¾ º ½½º ÌÓØ Ð ¾¾ º Þ ÐÒ Ú Þ Ñ Ý Ö Þ Ø º ËÓÙÖ Þ Ö ÓÖÖ ÓÐÙÑÒ Ó ÞÐÓÔ Ø Þ ÒØ Þ ØØ ÐØ Ö µ ÖÖÓÖ Ú Ð ØÐ Ò ÌÓØ Ð Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ Ö Ó Ö Óѵ Þ Ó ËË ËÙÑ Ó ËÕÙ Ö µ Ò ÝÞ Ø Þ ÅË Å Ò ËÕÙ Ö µ Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö Ò ÝÞ Ø Ò ÝÞ Ø ØÐ µ F ¹ Ø Ø ÞØ º ÒÒ Ö Ö Ð Ó Ý Ø ÖÓÑ Þ ÒØ Ò Ú Ò¹ Ø Þ Ð ØØ Ñ ÒÒÝ Ð Ô Ò ÒØ Ò º Ñ ÒÒÝ Ò H 0 Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Ò Ò Ò Ø ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ð Ð Þ Ð ØØ Ø Ø ÞØ ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ Ð ÒÐ ¾ ¾¼µ Þ Ó Ðµº Þ Ð Ô Ò Ø ÖÓÞ Ø Ñ ÔÖ ÔÓÒØÓ Ø Ö ÐÑ pº È Ð Ò Ò p = ÖØ ÓØØ Þ Þ Ñ Ò Ò ÞÒ Ð ØÓ Þ ÒØ Ò ÐÚ Ø Ø Ý ÓÖÑ Ø Øº ÝÓÑ ÒÝÓ Ø Ð Þ ØÓ µ ÖØ Ð Ù Ý Ò ÖÖ Ú Ø ÞØ Ø Ö Ú Þ Øº F ÖØ Ø Þ ÓÒÐ ØÚ ¾ ¾¼µ Þ Ó ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ F [2,20;0.05] = 3.49 Ö Ø Ù ÖØ Ú Ð ÞØ Ô Ù Ó Ý H 0 ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø ±¹Ó Þ ÒØ Ò Ð ÐÐ Ú ØÒ º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ø Ø ÒÝ Þ Ð Ò Þ Þ ÒØ Ò Ú Ò Ø Ù ÐÝ Ò Ö º Å Ý ÞÞ Ó Ý Þ Ð Ö Ø ÓÖÑ Ð Ò Ú Ö ØÓØØÙ ÞÓÒ Ò Þ Ð Ô ÐØ Ú Ò Ñ Ø Ð ÐÒ º È Ð Ò Ò Ñ Þ Ö Ó Ò Ñ Ý ÒÐ Ñ ÒÓÖÑ Ð Ø Ò Ñ Þ Þ ÙØ Ö Ù Ð Ö Ó Þ Þ ÞØÓ Ö Ñ Ù ¹Ô Ô Ö Ð Ô Ò ÓØصº ÌÖ Ò Þ¹ ÓÖÑ Ð ÐÓ Ö ØÑÙ ÐÐ ØÚ Ø ÖØ Ø Ú ØÚ ÒÝ Ú Ø Ð µ Ö ÞÐ ÚÙÐ Ø Ö ÐØ Ð ÖÒ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐÚ Þ Ø Þ ÓÐÚ Ö ÞÞÙ º

22 ¾¾ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË ¾º º ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ú Ö Ø ÖØ Ö Ñ ÒÒÝ Ò H 0 : α 1 = α 2 = = α p = 0 ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø ÐÚ Ø Ý ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ ÐÐ Þ Ö ÞØ Ò Ò Ð Ò Þ µ Ú Ö Ø ÖØ Ö º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ø Ò Ó Ý Ò Ð Ø ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Þ Ö ÞØ Ò Ú Ö Ø ÖØ Ö Ðк ÞÓ Ð Ò Ö º Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ Ð ÓÒØ Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ò Ö ÓÖÑ ØÐ Ò º Ý ( Yi Y, Y j Y ), Q2, Y ØÐ Ò ØØ ¹ ÐÐ ØÚ Ý¹ Ý Ñ ÒÞ µ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ i jµº Ñ ØØ Y i Q 2 ØÐ Ò º Þ ÐÓ ÞÐ ) Y i N (µ + α i, σ2 1, σ 2Q 2 χ 2 n p (0). n i Ý ( ni Yi (µ + α i ) ) / Q 2 /(n p) t n p. Þ Ð Ô Ò H 0 ¹ Ø ÐÚ Ø µ Ð Ø ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Þ Ö ÞØ Ò (µ+α i )¹Ö º Å Ö ÞØ ÒØ Ð Ô Ò ( ( 1 Y i Y N α i, 1 ) ) σ 2, n i n ÓÐ Y i Y Þ Ö Ð Ò Ö ÓÖÑ Ý ØØ Ø Ð Ô Ò ÓØغ Ì Ø Ð Ð Ò Ö ÓÖÑ Ð Q 2 Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ Ð Ð Ø α i ¹Ö ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Þ Ö ÞØ Ò t n p ¹ ÐÓ ÞÐ Ð Ô Òº ÅÓ Ø Þ Ö Þ Ò ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Ú Ö Ø ÖØ Ð Ò Ö º ØÐ Ò º ÌÓÚ Y i Y j Q 2 ( )) Y i Y j N (α i α j, σ 2 + 1ni 1nj. Ð Q 2 ¹ Ð (α i α j )¹Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ Þ Ö ÞØ Ò Þ Ò ni n j n i + n j ( Yi Y j (α i α j ) ) / Q 2 /(n p) t n p.

23 º à ÌË Ê Ë ÇË ÌýÄ Ç ýë ÁÆÌ Ê Ã Á Æ ÄÃÄ ¾ º Ã Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ ÒØ Ö Ò Ð Ð º½º Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ð Ø º½º Ô Ð º Ý Þ Ñ Ò Ô Ò ¹ Ð ÒÝ Ð Ý ÖØ Ù Ý Ò ÞØ Ø ÖÑ Øº  РРY Ø ÖÑ Ý ÐÐ ÑÞ Øº ÞÓÒÓ Ò Ø ÒØ Ø ¹ Y Ð Ò Þ Ô Ò Ð Ò Þ ÒÝ Ó Ð Þ Ø ØØ Ø ÖÑ Ø Ò Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ø Ø ÒÝ Þ ÓÐÝ ÓÐ ÖÐ Ø Ö ¹ Ñ ÒÝ Øº Þ Ø Ð Ð A Bº Ì Ý Ð Ó Ý Þ A Ø ÒÝ Þ Ò I B Ø ÒÝ Þ Ò Ô J Ð Ò Þ Þ ÒØ Ú Òº ÒØ Ô Ð Ò Ò A Ô ÒÒ Þ ÒØ Þ Ô Ñ º B Ô Þ ÒÝ Þ Ò Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ ¹ Ð ÒÝ º Ø Ø ÒÝ Þ Ò Ñ Ò Ò Þ ÒØ ÓÑ Ò Ö Ú Þ Ò Ñ Ý Ð Ø Ñ Ö Ö Ñ ÒÝ Ø Ñ ØÖ Ü Ö Ò ÞÞ º Þ Ý Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ø Ñ Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Þ Ó ÞÐÓÔ Ø Ð Ð º Þ ÖØ Þ Ý Ø ÒÝ Þ Ø ÓÖ Ø Ò Ñ Ø Ó ÞÐÓÔ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º Ý Þ ÒØ Ð ÖÐ ØÒ Ð Ø ÒÝÐ Ô Ö ÐÐ Ý ÐÝ Þ ØÒ Ðºµ Ø Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ ÓÑ Ò Ò Þ Ñ Þ Þ ÐÐ Þ Ñ IJº Þ Ð ÒØ Ø Ö Ý Ð Ò ÑÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ Ø Ð ÞÞ Ó Ý Ø ÒÝ Þ Ò Ý ØØ Ø ÒØ Ö ¹ µ Ò Ò º ÓÖ Ð Ò ÐÐ Ò ÒØ Ý Ñ Ý Ð Ø Ú ÞÒ º Ä Ý Ò Þ (i, j)¹ ÐÐ Ò Ú Þ ØØ ÖÐ Ø Ö Ñ ÒÝ Y ij i = 1, 2,..., I j = 1, 2,..., Jµº Ì Ý Ð Ó Ý º½µ Y ij = µ + α i + β j + ε ij, i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J, ÓÐ α i Þ i¹ ÓÖ Ø β j Ô j¹ Ó ÞÐÓÔ Ø ØÓÚ Þ ε ij i = 1, 2,..., I j = 1, 2,..., J Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ ε ij N(0, σ 2 ). ÓÒØÓ Ø ÒÝÐ ØÓ Ø Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ò µ Ó Ý Ñ Ý Ð ØÐ Ò ÞÓÒÓ Þ Ö ÒÓÖÑ Ð º Þ Ý Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Ñ Ý Ð Ú Ö Ø ÖØ Ø ÓÐÝ ÓÐ º Ð Ö Ø Ó Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð Ø º¾µ I α i = 0, J j=1 β j = 0. Ú Þ Ð Ò ÔÓØ Þ H A : α 1 = α 2 = = α I = 0, H B : β 1 = β 2 = = β J = 0, Þ Þ Ò Ò A¹ Ø Ðк Ò Ò B¹ Ø º

24 ¾ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË Î Þ ÞÓ Ó Ð Ð Ø Y i = 1 J Y j = 1 I Y = 1 IJ Q 1 = Q 3 = I I J Y ij, i = 1, 2,..., I; j=1 I Y ij, j = 1, 2,..., J; I J Y ij, j=1 J (Y i Y ) 2, Q 2 = j=1 I J (Y j Y ) 2, j=1 J (Y ij Y i Y j + Y ) 2, Q = j=1 I J (Y ij Y ) 2. ÁØØ Q Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ Q 1 Þ A Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Þ ØØ ÐØ Ö Ò ÝÞ Ø Þ Q 2 B Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Þ ØØ ÐØ Ö Ò ÝÞ Ø Þ Ú Ð Q 3 Ø º Ð Ñ Þ ÑÓÐ Ð Ñ ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Q Ð ÓÒØ Ø Q 1 Q 2 Q 3 Þ Ö º º¾º Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ö Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Þ ÑÔÓÒØ Ð ÔÖ Ø Ù Þ Ð Ð ÓÒ¹ Ø Ð Ò ÙÐÒ º j=1 I J j=1 Y 2 ij = Q 1 + Q 2 + Q 3 + IJ Y 2. º½º ÐÐ Ø º Q 1 Þ Ó I 1 Q 2 Þ Ó J 1 Q 3 Þ Ó (I 1)(J 1) IJ Y 2 Þ Ó Ô 1º º¾º ÐÐ Ø º µ Q 1 Q 2 Q 3 ØÐ Ò µ Q 3 /σ 2 Ñ Ò ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ (I 1)(J 1) Þ Ó Ð µ 1 Q σ 2 1 χ 2 I 1 (λ 1) ÓÐ λ 1 = J I σ 2 α2 i µ 1 Q σ 2 2 χ 2 J 1 (λ 2) ÓÐ λ 2 = I J σ 2 j=1 β2 j µ 1 Q σ 2 1 ÓÖ ÓÖ ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ H A Ø Ð Ð µ 1 Q σ 2 2 ÓÖ ÓÖ ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ H B Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º Þ Ð Þ ÐÐ Ø Ñ ØØ Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Þ Ò Ö Ò Ó Þ (I 1)+(J 1)+(I 1)(J 1)+1 = IJº Þ ÖØ Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ ØÐ Ò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ º Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ý Ô Ù Ó Ý Ú Ö Ø ÖØ Ø Ö Ù Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ º

25 º à ÌË Ê Ë ÇË ÌýÄ Ç ýë ÁÆÌ Ê Ã Á Æ ÄÃÄ ¾ º º Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø º¾º ÐÐ Ø Ð Ô Ò Q 3 Ú Ð ØÐ Ò Ð Ö ÞÓÖÓ µ Ñ Ò ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Q 1 Q 2 Ð Ö ÞÓÖÓ µ Ú ÞÓÒØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ H A Ðк H B Ø Ð Ðº º º ÐÐ Ø º Þ F A = Q / 1 I 1 Q 3 (I 1)(J 1) Ø Ø ÞØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ I 1 (I 1)(J 1) Þ Ó ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ H A : α 1 = α 2 = = α I = 0 ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ð Ðº Þ F B = Q / 2 Q 3 J 1 (I 1)(J 1) Ø Ø ÞØ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ J 1 (I 1)(J 1) Þ Ó ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ H B : β 1 = β 2 = = β J = 0 ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º º¾º ÐÐ Ø Þ Ö ÒØ F A Ø ØÐ Ò Þ Ó Ú Ð ÐÓ ÞØÓØØ H 0 Ø Ò ÒØÖ Ðص χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÒÝ Ó º Þ ÖØ Þ F ¹ ÐÓ ÞÐ Ò Ð Ô Ò ÒÒ ÐÓ ÞÐ H 0 Ø Ò ÒØÖ Ðص F ¹ ÐÓ ÞÐ I 1 (I 1)(J 1) Þ Ó Ó Ðº ÒØ Ð Ô Ò ØØ ÒÝ Þ ÒØ Ö Ò Ð Ð µ ÑÓ ÐÐ Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø Þ Ð º Þ Ö ËÞ Æ ÝÞ Ø¹ Æ ÝÞ Ø¹ F ÓÖÖ Ó Ó Þ ØÐ Ó ÒÝ Ó Ó ËÓÖÓ Þ ØØ ÐØ Ö I 1 Q 1 S 1 = Q 1 A Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ µ Ç ÞÐÓÔÓ Þ ØØ ÐØ Ö J 1 Q 2 S 2 = Q 2 B Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ µ Î Ð ØÐ Ò (I 1)(J 1) Q 3 S 3 = Ì Ð IJ 1 Q I 1 J 1 Q 3 (I 1)(J 1) ØØ ÒÝ Þ ÒØ Ö Ò Ð Ð µ ÑÓ ÐÐ Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø H A ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø 1 α Þ ÒØ Ò ÐÚ Ø S 1 /S 3 F [I 1,(I 1)(J 1); α], Ñ H B ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø 1 α Þ ÒØ Ò ÐÚ Ø S 2 /S 3 F [J 1,(I 1)(J 1); α], S 1 S 3 S 2 S 3

26 ¾ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË ÓÐ Þ F [l, m; α] Þ (l, m) Þ Ó ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ 1 α Þ ÒØ Þ Ø ÖØÓÞ Ð µ Ö Ø Ù ÖØ º º º ÃÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ú Ö Ø ÖØ Ö ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ ÐÙØ Ø Ø Ò Þ ÝØ ÒÝ Þ ÑÓ ÐÐÒ Ð ÑÓÒ ÓØØ ÓÞ ÓÒ¹ Ð Ò Ð Ø Þ Ñ Ö ØÐ Ò α i β j Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ð Ò Ø σ 2 ¹ غ Å Ú Ð Q 3 /σ 2 Ñ Ò ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ (I 1)(J 1) Þ Ó Ð Þ ÖØ σ 2 Q 3 º (I 1)(J 1) ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð S 3 = ( Ð Ø Ø Ó Ý Y i Y i N α i α i, 2σ2 J ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Þ α i α i Ð Ò Ö ÓÐ i i µ º µ (Y i Y i ) t [(I 1)(J 1); α/2] 2S3 /J, ) º Þ ÖØ 1 α Ñ Þ Ø Þ ÒØò ÓÐ t [(I 1)(J 1); α/2] Þ 1 α Þ ÒØò ØÓÐ Ð t¹ôö Ö Ø Ù ÖØ º ÌÓÚ Y i Y ÐÓ ÞÐ ( º µ N (α i, σ2 1 1 )), J I ÓÐ Þ Ö Ð Ò Ö ÓÖÑ Ý ØØ Ø Ð Ô Ò ÓØغ Þ ÖØ Þ 1 α Þ ÒØò ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ α i ¹Ö Ú Ø Þ ( S 3 (Y i Y ) t [(I 1)(J 1); α/2] 1 1 ). J I À ÓÒÐ Ñ ÓÒ ØÙÒ ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ β j β j Ð Ò Ö β j ¹Ö º º º Ð ØÓ ½º º½µ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ñ ÒÒÝ Ð Ò Ð Ù Þ Ð Ñ ÒÒÝ Øº µ = µ+α+β α i = α i α βj = β j β ÓÐ α = (1/I) I α i β = (1/J) J j=1 β jº Ä Ù Ó Ý Ñ Ò Ò i j Ø Ò µ + α i + β j = µ + α i + β j ¹Ñ Ð Ð ÐØ Ñ ÒÒÝ Ñ Ö Ø Ð Ø º¾µ ÐØ Ø Ð Ø ¾º Ä Ù Ó Ý º½µ ÑÓ ÐÐ Ø Ò i i ) Y i Y i N (α i α i, 2σ2, J 1 Q σ 2 3 χ 2 (I 1)(J 1) Þ ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò º Þ Ð Ô Ò ÞÓÐ Ù º µ¹ Ø º Á ÞÓÐ Ù º µ¹ Ø

27 º à ÌË Ê Ë ÇË ÌýÄ Ç ýë ÁÆÌ Ê Ã Á Á Ä Å Î Ì Ä Î Ä ¾ º Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Þ ÒØ Ö Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð º½º ÑÓ ÐÐ ÅÓ Ø Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ö Ð ÞØ Ù Ø Ø Ø ÒØ Ø Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ø ÒØ Ö Ú Ðº Ä Ý Ò Þ A Ø ÒÝ Þ Ò I Þ ÒØ B Ø ÒÝ Þ Ò J Þ ÒØ º Ì Ø Ð ÞÞ Ð Ø Ø ÞØ Ó Ý Ø Ø ÒÝ Þ Ý ØØ Ø ÒØ Ö µ ÓÐÝ ÓÐ Ø ÖÐ Ø Ö Ñ ÒÝ Øº ÁÐÝ Ò ÓÖ ÐÐ Ò ÒØ Ø Ñ Ý Ð Ø ÐÐ Ú ÞÒ Ò º Î ÞÞ Ò Ø Ø ÒÝ Þ IJ Þ Ñ Þ ÒØ ÓÑ Ò Ò Ñ Ò Ý Ö K(> 1) Þ Ñ ØÐ Ò Ñ Ý Ð Øº ÐÐ Ò ÒØ Ý ÒÐ Þ Ñ Ñ Ý Ð ÖÐ Ø Ð¹ Ö Ò Þ Ø Ý Ò ÐÝÓÞÓØØ ÐÖ Ò Þ Ò Ò Ú ÞÞ º K¹Ø Ñ ØÐ Þ ÑÒ ÑÓÒ ¹ Ù º  РРY ijk Þ (i, j)¹ ÐÐ Ò k¹ Ñ Ý Ð Ö Ñ ÒÝ Ø (k = 1,..., K)º Ì Ý Ð Ó Ý º½µ Y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk, ÓÐ Þ ε ijk Ú Ð ØÐ Ò ØÐ Ò ¼ σ 2 Ô Ö Ñ Ø Öò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ º Ú Þ Ð Ò ÔÓØ Þ H A : α 1 = α 2 = = α I = 0, H B : β 1 = β 2 = = β J = 0, H AB : Ñ Ò Ò i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J¹Ö γ ij = 0. Þ Þ Ò Ò A¹ Ø Ò Ò B¹ Ø ÐÐ ØÚ Ò Ò AB ÒØ Ö º Ð Ö Ø Ó Ý Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð Ø º¾µ I J α i = 0, β j = 0, j=1 I γ ij = 0 (j = 1, 2,..., J), J γ ij = 0 j=1 (i = 1, 2,..., I). ÓÖ Þ Ñ Ö ØÐ Ò µ α i β j γ ij Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ò ÝÞ Ø Ð Þ Ð Ð º Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ð Ù Ý Ò Þ ºµ º µ µ = Y, α i = Y i Y, β j = Y j Y, γ ij = Y ij Y i Y j + Y,

28 ¾ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË ÓÐ Y = 1 IJK Y i = 1 JK Y j = 1 IK Y ij = 1 K I J J j=1 k=1 I K k=1 j=1 k=1 K Y ijk, K Y ijk, k=1 Y ijk K Y ijk, Ñ Ò Ò i = 1, 2,..., I j = 1, 2,..., J Ø Òº Þ Ø Ú Ð Ø Ù Ñ Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ Ð ÓÒØ Øº Þ Ð ÑÞ Þ Ð Ò ÝÞ Ø Þ Ò Ó Ð ÔÙÐÒ º I Q 1 = JK (Y i Y ) 2, Q 2 = IK Q 3 = K Q 4 = Q = I I J (Y j Y ) 2, j=1 I J J (Y ij Y i Y j + Y ) 2, j=1 j=1 k=1 J j=1 k=1 K (Y ijk Y ij ) 2, K (Y ijk Y ) 2. Q 1 Þ Ð Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Þ ØØ ÐØ Ö Ø Q 2 Ñ Ó Ø ÒÝ Þ Þ ÒØ Þ ØØ ÐØ Ö Ø Q 3 Ô Ø Ø ÒÝ Þ Ý ØØ Ø Ø Ö Ð º Q 4 Ú Ð ØÐ Ò Ò Ý¹ Þ Ø Þ Ñ Q Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ º Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ Ð ÓÒØ Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4. Þ ÓÖÑÙÐ Ø Þ Ö ÞÓÖÞ ØÓ ¼ ÚÓÐØ Ñ ØØ Þº º¾º Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Ð ÐÑ Þ Þ ÑÔÓÒØ Ð ÔÖ Ø Ù Þ Ð Ð ÓÒ¹ Ø Ð Ò ÙÐÒ º º µ I J j=1 K k=1 Y 2 ijk = Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 + IJK Y 2.

29 º à ÌË Ê Ë ÇË ÌýÄ Ç ýë ÁÆÌ Ê Ã Á Á Ä Å Î Ì Ä Î Ä ¾ Q 1 Þ Ó I 1 Q 2 Þ Ó J 1 Q 3 Þ Ó (I 1)(J 1) Q 4 Þ Ó IJ(K 1) IJK Y 2 Þ Ó Ô 1º º½º ÐÐ Ø º Þ º½µ ÑÓ ÐÐ Ø Ò µ Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 ØÐ Ò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð ÒØÖ ÐØ µ 1 Q σ 2 4 Ñ Ò ÒØÖ ÐØ χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ IJ(K 1) Þ Ó Ð µ 1 Q σ 2 1 ÓÖ ÓÖ ÒØÖ ÐØ χ 2 I 1¹ ÐÓ ÞÐ H A Ø Ð Ð µ 1 Q σ 2 2 ÓÖ ÓÖ ÒØÖ ÐØ χ 2 J 1 ¹ ÐÓ ÞÐ H B Ø Ð Ð µ 1 Q σ 2 3 ÓÖ ÓÖ ÒØÖ ÐØ χ 2 (I 1)(J 1) ¹ ÐÓ ÞÐ H AB Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º º µ Ð ÐÐ Ø Ò Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð Ð Þ Ò Ö Ò Ó Þ (I 1) + (J 1) + (I 1)(J 1) + IJ(K 1) + 1 = IJKº Þ ÖØ Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ ØÐ Ò χ 2 ¹ ÐÓ ÞÐ º Ò Ñ¹ ÒØÖ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ý Ô Ù Ó Ý Ú Ö Ø ÖØ Ø Ö Ù Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ º º º Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø ÒØ Ð Ô Ò ØØ ÒÝ Þ ÒØ Ö Ø Ý Ð Ñ Ú Ú µ ÑÓ ÐÐ Þ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø Þ Ð º Þ Ö ËÞ Æ ÝÞ Ø¹ Æ ÝÞ Ø¹ F ¹ ÓÖÖ Ó Ó Þ ØÐ Ó ÒÝ Ó Ó A Ø ÒÝ Þ I 1 Q 1 S 1 = Q 1 I 1 S 1 /S 4 B Ø ÒÝ Þ J 1 Q 2 S 2 = Q 2 J 1 S 2 /S 4 Q AB ÒØ Ö (I 1)(J 1) Q 3 S 3 = 3 (I 1)(J 1) S 3 /S 4 Î Ð ØÐ Ò IJ(K 1) Q 4 S 4 = Q 4 IJ(K 1) Ì Ð IJK 1 Q ËÞ Ö Ð ÓÒØ Ø Ð Þ Ø ØØ ÒÝ Þ ÒØ Ö Ø Ý Ð Ñ Ú Ú µ ÑÓ ÐÐÖ Ð Ò Þ ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ F ¹ÔÖ Ø Ù Ý Ò Ý Ø Ù Ú Ö Ñ ÒØ Þ Ð Þ ÑÓ¹ ÐÐ Ò Ðº Ð ÒØ H AB ÔÓØ Þ Ø Ú Þ Ð Ù º º½º Ô Ð º Ã Ø Ð Ú Fe 2+ Fe 3+ µ Þ ÖÚ Þ Ø Ð Ú Ð Ö Ð Ø Ú Þ Ð Ù º Å Ò ¹ Ø Ú Ø Ð ½¼º¾ ½º¾ ¼º Ñ ÐÐ Ñ ÐÓ ÓÒ ÒØÖ Ø ÙÒ ½ ¹½ Ý Ò º Ð ÒØ Ñ ØÖ Ü Ð Ó ÞÐÓÔ Fe 2+ ÖÓÑ Ð Ò Þ Ñ ÒÒÝ Ø Ò Þ Ö¹ Ú Þ Ø Ò Ñ Ö Ø Þ Þ Ð Ó Ö ÒÝØ ÑÙØ Ø ½ ¹½ Ý Ø Òº À ÓÒÐ Ñ ØÖ Ü ØÓÚ Ó ÞÐÓÔ º Ð Ò Þ Ú ¹Ñ ÒÒÝ Þ Ó ÞÐÓÔ Ø º Ú ¾ Ñ Ò ÓÖ Ø º Î Ð ½ Þ Ñ ØÐ Þ Ñº Ì Ø Ý Ý Ò ÐÝÓÞÓØØ ÐÖ Ò Þ òò Ú Òº Å ÖØ Ò Ñ Ú ÞØ Ð Ñ Ñ Þ ÆÇÎ Ð Ö Ø Þ Ö Þ ØÓ Ö Å ÖØ Ñ ÒØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ò ÐÐ Ð ÒÒ ÞÓÒÓ Þ Ö Ð Î ÞÓÒØ Þ ÑÔ Ö Ù Þ Ö Ò ÝÞ Ø Þ ÑÙØ ØØ Ó Ý ÐÐ Ò ÒØ Ú ØØ ½ ¹½ Ð Ñò Ñ ÒØ Þ Ö Ò ÝÓÒ ÐØ ÖÒ º Í Ý Ò Þ Ò Ñ ÒØ Ö ÞØÓ Ö Ñ Ö Ò Ö Ø Ð Ò Ý ÐØ Ö ÑÙØ ØÓØØ Ù Ý Ò Ý Ù ¹Ô Ô Ö Þ Ý Ò Ø Ð Ø Ø ÒÓÖÑ Ð Ø Ñ ÐÐ ÒÒº ÈÖ Ð ÓÞÞÙÒ Ñ ÒØ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ð Ú Ð ÐÓ Ö ØÑÙ Ú Ø Ð Ð ÒØ ÚÙÐ Ø ÓÞÓØØ Ñ Ò ÒÓÖÑ ¹ Ð Ø Ò Ñ Ò Þ Ö Ó Ý ÒÐ Òº Å Ý ÞÞ Ó Ý ÒÓÖÑ Ð Ø Ø ½ Ð Ñò

30 ¼ Áº Ë ÊýË Æ Ä ÁË Ñ ÒØ Ð Ò Ñ Þ Ò Ð Ø Ð Ø ÞØ ÐÒ º Ñ Þ ÖØ Ø ÒØÚ ÒÓÖÑ Ð Ø Ø Ë Ô ÖÓ¹ Ï Ð ¹ÔÖ Ú Ð Þ Ö Ó ÞÓÒÓ Ø Ý ÖØÐ ØعÔÖ Ú Ð ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ö ÞÒ ºµ ½¼º¾ ½º¾ ¼º ½¼º¾ ½º¾ ¼º ¼º ½ ¾º¾¼ ¾º¾ ¾º¾¼ º¼ ¾º ½ ½º ¾º º ¾º º½ º ¾º¼½ º¼ º¼ º º ¾ º ¾º½ º º ¾ º º º ¾º ¾ º½½ º º º º ¾ ¾º ¾ º º º¼ º º¼ ¾º º½ º ¼ º¾ º º ¾º ¼ º º º º¾ ½¼º¼½ º ½ º º º ¾ º ½¼º¼ º º¾ ½¼º ¾ º½ º¼ ½¼º ¾ º º¾ ½ º º¾¾ º ½ º ¼ º º ¼ ½ º º º¾ ½ º º º ½ º º º ½ º ¼ º ¼ ½½º ½ º ½ º º ½ ½ º¾ º¼ ½ º ½ º º ¾ ½ º ½ º ¾ º¾ ½ º ½ º º ½ º ½ º º½ ½ º ¾¾º ¾ ½½º ¾ º ¾½º ¼ º¾ ½ º ¾ º½ ½¾º ¾ º ¾¾º¾ Þ ØÓ ÐÓ Ö ØÑÙ Ö Þ Ð ÞÓÖ Ð ÓÒØ Ø Ð Þ ØÓØ ÔØÙ ÆÇÎ Ì Ð ËÓÙÖ ËË ÅË ÓÐÙÑÒ ½ º ¾ º ¾¾º ¾ ÊÓÛ ¾º¼ ½ ¾º¼ º¼½ ÁÒØ Ö Ø ÓÒ ¼º ¼ ¾ ¼º ¼ ½º ¾ ÖÖÓÖ º ½¼¾ ¼º ÌÓØ Ð º ½¼ ÞÓ Ó H A H B H AB ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ø Ò Ñ Ð Ð F ¹ÔÖ ÔÓÒØÓ Ø Ö¹ ÐÑ Ö Ú Ø Þ Ø ÔØÙ º Þ Ò p ÖØ Ð Ô Ò Ð ÐÐ Ú ØÒ Ó Ý H A Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ø H B Ò Ò ÓÖ Ø Ð ÐÐ Ó Ò Ó Ý H AB Ò Ò ÒØ Ö º Å Ý Ö Þ Øº ËË Ó ÞÐÓÔ Ò Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ Ð ÓÒØ Ú Ò Ó ÞÐÓÔ Ø Ö ÓÖ Ø Ö ÒØ Ö Ö Ú Ð ØÐ Ò Ö º Ð ØØ Þ Þ Ó Ðк ÅË Ð ØØ ËË ÒÝ Ó º Ô Ñ Ð Ð Ø ÅË ÖØ Ò Ú Ð ØÐ Ò ÅË ÖØ Ò ÒÝ Ó º À Ú Ð Ñ ÐÝ Ø Ú Ð ØÐ Ò ÓÞ Ô Ø Ø Ð Ò Ý ÓÖ ÐÚ Ø Þ ÞÓÒ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Øº (p 1, p 2, p 3 ) = ( , 0.015, 0.314) Ú ØÓÖ i¹ ÓÑÔÓÒ Ò ÒÒ Þ ÖØ Ø Ó Ý ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Þ ÚÓÐØ Ø Ò Ñ ÐÝ Ò Ú Ð Þ Òò Ð Ð ØÒ ÒØÖ ÐØ F ¹ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò

31 º à ÌË Ê Ë ÇË ÌýÄ Ç ýë ÁÆÌ Ê Ã Á Á Ä Å Î Ì Ä Î Ä ½ Ú ÐØÓÞ Ð Ð ÓÐÝ Ò Ò Ý Ñ ÒØ ÔÓØØ ÖØ º Ý p i Ø Ò ÐÚ Ø ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Øº p i ÖØ Ø F ¹ ÐÓ ÞÐ Ð Ô Ò Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ Ó ÞÐÓÔ Ò Ð Ú Ø Ø ÞØ Ñ Ò F ¹ ÐÓ ÞÐ Ñ Ð Ð ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ ÒÒ ÐÐ Ø Ò ÒØÖ Ð¹ Ø Ú ÞÓÒØ ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ Ò Ñ Þ ÓÖ Ò Ñ ÒØÖ ÐØ º Å Ý ÞÞ Ó Ý Ø ÒØ Þ Ö Ò Ð Þ Ð Ô Ð Ò Å ÌÄ Ë Ë ÙØ Ö Ñ ÒÝ Ø Ð Ò Ñ Ý Þ Øغµ º º Ð ØÓ ½º º½µ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ñ ÒÒÝ Ð Ò Ð Ù Þ Ð Ñ ÒÒÝ Øº µ = µ + α + β + γ α i = α i α + γ i γ βj = β j β + γ j γ γ ij = γ ij γ i γ j +γ ÓÐ α = (1/I) I α i β = (1/J) J j=1 β j γ i = (1/J) J j=1 γ ij γ j = (1/I) I γ ij γ = (1/IJ) I J j=1 γ ijº Ä Ù Ó Ý Ñ Ò Ò i j Ø Ò µ + α i + β j + γ ij = µ + α i + β j + γ ij ¹Ñ Ð Ð ÐØ Ñ ÒÒÝ Ñ Ö Ø Ð Ø º¾µ ÐØ Ø Ð Ø ¾º º½µ ÑÓ ÐÐ Ò Ð Ò ÝÞ Ø Ð Þ Þ Ò ÝÞ Ø Þ Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð º µ I J j=1 K k=1 ( ) 2 Y ijk (µ + α i + β j + γ ij ) Ú ÒÝ Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ð ÒØ µ α i β j γ ij Þ Ö Òغ Ä Ù Ó Ý Ñ Ò ÑÙÑ º µ ÔÐ Ø Ò ÖØ Ò Ð Þ ÞÒ Ð Ù Ñ Ò ÑÙÑ Ö Ú ÐØ Ð Ø ÖØ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Øº ÔÓØØ Ð Ò Ö Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ñ ÓÐ ÓÖ Ú Ý Ý Ð Ñ º¾µ¹Óغ

32

33 ÁÁº Þ Ø Ê Ö Þ Ò Ð Þ Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ

34 ÁÁº Ê Ê ËË Á Æ Ä ÁË Ë ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ ½º Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ ½º½º Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò ½º½µ Y = Xβ + ε Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ ÓÐ Y n¹ Ñ ÒÞ Ñ Ý Ð Ú ØÓÖ X n p Ñ Ö Øò Ò Ñ Ú Ð ØÐ Ò Ñ Ý ÐØ Ñ ØÖ Ü Ñ Ý Ö Þ Ú ÐØÓÞ Ñ ØÖ Ü µ β p¹ Ñ ÒÞ Ñ Ö ØÐ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ε Ò Ñ Ñ Ý Ð Ø n¹ Ñ ÒÞ Ú Ð ØÐ Ò Ú ØÓÖ µº ýðø Ð Ò n p ÞØ Þ Ø Ò Ð Ó Ù Ø ÒÒ º Ý ÓÖÐ Ø Ò p Ñ Ý Ö Þ Ú ÐØÓÞ Þ Ñ n Ô Ñ Ý ÐØ Ó ØÙÑÓ Þ Ñ Ø Ø n p Þ Öò ÐØ Ø Ðº ½º½º Ô Ð º ½º¾º Ð Ò ÝÞ Ø Ñ Þ Ö À Eε = 0 Ú Öε = σ 2 I σ 2 Ñ Ö ØÐ Ò Ô Ö Ñ Ø Öµ ÓÖ ÓÑÓ Þ ÞØ Ù ØÖ Ð Þ Ð Ò º ÓÖ Ð Ò ÝÞ Ø Ð Ø ÇÄË ÇÖ Ò ÖÝ Ä Ø ËÕÙ Ö µ Ð ÐÑ ÞÞÙ β¹ö Þ Ð Þ βº Ä Ý Ò Ø Ø β Þ Y Xβ 2 ¹ Ø Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ú ØÓÖº ÁØØ. ÒÓÖÑ R n ¹ Òºµ  РРP F Þ X Ó ÞÐÓÔ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ F ÐØ ÖÖ Ú Ð Ñ Ö Ð Ú Ø Ø Øº ½º½º ÐÐ Ø º ½º β Ð Ò ÝÞ Ø Ð X β = P F Y. ¾º β Ð Ò ÝÞ Ø Ð β Þ ÒÓÖÑ Ð Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ º X Y = X Xβ ÞÓÒÝ Ø º ½º Y ¹ ÓÞ Þ X Ó ÞÐÓÔ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ ÐØ Ö Ñ ÐÝ Xβ Ð Ñ Ð Þ Ð Þ Ð ÔÔ Ò Þ Y Ú Ø Ð Ø Þ Þ P F Y º Ý X β = P F Y º ¾º Y Xβ 2 Ñ ÓÖ Ð À Y Xβ ÔÔ Ò Þ Y ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔ¹ Ð Ñ ÒØ Ö Þ F ÐØ ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Òº Þ Þ Y Xβ Ñ Ö Ð X Ñ Ò Ò Ó ÞÐÓÔ Ö Ø Ø X Y X Xβ = 0, Ú Ý X X β = X Y. ½º½º Ñ ÝÞ º X X ÒÚ ÖØ Ð Ø Ö Ò X = p º

35 ½º ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ ÞÓÒÝ Ø º ½º À X X ÒÚ ÖØ Ð Ø ÓÖ X Xa = 0 Ø Ò a=0º Þ ÖØ Xa ÓÖ Ð Ø 0 a = 0º Þ Þ X Ó ÞÐÓÔ Ò ¼ Ý ØØ Ø Ð Ú Ð Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ý ÒÐ 0¹Ú Ð Ø Ø X Ö Ò Ý ÒÐ Þ Ó ÞÐÓÔ Þ Ñ Ú Ð Ú Ý p¹ú к ¾º À Ö Ò X = p ÓÖ Xa 0 Ø Ø Þ Ð a 0 Ø Ò Ý a X Xa = Xa 2 0º Î ÞÓÒØ X X Ò Ñ Ð ÒÒ ÒÚ ÖØ Ð Ø ÓÖ Ú Ð ÔÞ ØØ Ú Ö Ø Ù ÓÖÑ 0 Ð ÒÒ Ú Ð Ñ ÐÝ a 0 Ú ØÓÖÖ º ½º¾º Ñ ÝÞ º À Ö Ò X = p ÓÖ β = (X X) 1 X Y. Þ ÔÔ Ò ÒÓÖÑ Ð Ý ÒÐ ØØ Ð Ú Ú Ð Ò (X X) ÒÚ ÖØ Ð Ø º ½º¾º ÐÐ Ø º Ä Ý Ò Eε = 0 Ú Ö ε = σ 2 I Ö Ò X = pº ÓÖ β = (X X) 1 X Y ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð β¹ò ØÓÚ Ú Ö β = σ 2 (X X) 1 º À ε N n (0, σ 2 I) ÓÖ β N p (β, σ 2 (X X) 1 )º ÞÓÒÝ Ø º À Ö Ò X = p ÓÖ (X X) ÒÚ ÖØ Ð Ø º ÓÖ Þ Ò EY = Xβº Å Ö ÞØ E β = (X X) 1 X EY = β, Ú Ö( β) = (X X) 1 X ( Ú Ö(Y ))X(X X) 1 = σ 2 (X X) 1, Ù Ý Ò Ú Ö(Y ) = Ú Ö(ε) = σ 2 Iº À ε N n (0, σ 2 I) ÓÖ Y N n (Xβ, σ 2 I) Ý β Ð Ú Ò Y Ð Ò Ö Ú ÒÝ Ñ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ º ½º º Ù ¹Å Ö ÓÚ¹Ø Ø Ð Ð Ý Þ Öò Ð ÓÑÓ Þ ÞØ Ù Ø Ò β = (X X) 1 X Y Ð Ò ÝÞ Ø Ð Ð Ó Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð ÄÍ Ø Ä Ò Ö ÍÒ Ø Ñ ØÓÖµº ÞØ ÑÓÒ Ù ¹Å Ö ÓÚ¹Ø Ø Ð Ð Ý Þ Öò Ð º ½º½º Ø Ø Ðº Ù ¹Å Ö ÓÚºµ À Eε = 0 Ú Öε = σ 2 I Ö Ò X = p ÓÖ β = (X X) 1 X Y β Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ØÓÖ Ð Ó Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð º ÞÓÒÝ Ø º β Þ Y Ú ØÓÖ Ð Ò Ö Ú ÒÝ (X X) 1 X Ñ ØÖ Ü Þ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ø µ Þ Þ β Ð Ò Ö Ð º ÌÓÚ E β = β Ø Ø ØÓÖÞ Ø ØÐ Òº Ä Ý Ò CY β¹ò Ý Ñ Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð º ÐÐ Ð ØÒÙÒ Ó Ý CY Þ Ö Ñ ØÖ Ü Ò ÝÓ β Þ Ö Ñ ØÖ Ü Ò Ð Þ Þ Ú Ö(CY ) Ú Ö( β) ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ Ò Øº CY ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð β = ECY = CE(Xβ + ε) = CXβ β.

36 ÁÁº Ê Ê ËË Á Æ Ä ÁË Ë ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ Ì Ø CX = Iº Þ Ò Ú Ö(CY ) = E(CY β)(cy β) = = E(CY β + β β)(cy β + β β) = = E(CY β)(cy β) + E(CY β)( β β) + E( β β)(cy β) + E( β β)( β β) E( β β)( β β) = Ú Ö( β), E(CY β)(cy β) ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ Ò Ø E(CY β)( β β) = 0 ÞØ ÙØ Ø Ð Ñ ÑÙØ Ø Ù µº Ý Ú Ö (CY ) Ú Ö ( β) Þ Þ β Ð Ó Ð Þ Ö µº Ý Ð Ñ Ó Ý CY β= }{{} CX β + Cε (X X) 1 X Xβ (X X) 1 X ε I =[C (X X) 1 X ]ε β β = (X X) 1 X ε ÓÒÒ Ò E(CY β)( β β) =[C (X X) 1 X ] E(εε ) X(X X) 1 = }{{} σ 2 I =σ 2[ }{{} CX(X X) 1 (X X) 1 X X(X X) 1] =0. }{{} I I ½º º Å ØÖ ÜÓ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÒÚ ÖÞ ½º½º Ò º Þ A n n¹ Ñ ØÖ Ü ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÒÚ ÖÞ Þ Þ A Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝÖ AA A = A. n n¹ ½º º Ñ ÝÞ º À A ÒÚ ÖØ Ð Ø ÓÖ A Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ A = A 1 º Í Ý Ò ÓÖ AA 1 A = A Þ Þ A 1 Ð Ø A Ò Øº Å Ö ÞØ Þ AA A = A Ý ÒÐ Ø Ø Ó Ö Ð ÐÖ Ð Ñ ÞÓÖÓÞÚ A 1 ¹ Ý Ð A = A 1 ¹ Ø Ô Ù º ½º º ÐÐ Ø º À A Þ ÑÑ ØÖ Ù ÓÖ Ð Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ ÒÚ ÖÞ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò λ 1,...,λ k Þ A Ò Ñ Þ ÖÙ Ø ÖØ u 1,...,u n Ô Þ A ØÚ ØÓÖ Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Ö Ò Þ Ö º Ä Ý Ò U Þ u 1,...,u n ¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÖØÓ¹ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Λ = λ 1 1 ºº º λ 1 k 0 ººº 0 λ 1, Λ = ºº º λ k 0 ººº 0

37 ½º ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ n n¹ ÓÒ Ð Ñ ØÖ ÜÓ º ÓÖ A = UΛ U Ø Ð Ø ÐØ Ø Ð Ø AA A = (UΛU )(UΛ U )(UΛU ) = UΛU = A. ½º º Ñ ÝÞ º ÖÖ Ô Ð A ¹Ö A AA = A (A ) = A Ø Ð Ðº ½º º ÐÐ Ø º X(X X) X ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ Þ X Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ F ÐØ ÖÖ º ÞÓÒÝ Ø º À w F ÓÖ X w = 0 Ý X(X X) X w = 0º ÓÞ Ó Ý X(X X) X Þ F ¹ Ð Ú ØÓÖÓ Ø ÒÑ Ù Ú Þ Ð Ð ØÒ Ó Ý X(X X) X X = Xº Þ Ú ÞÓÒØ Þ Ñ ÖØ Ø Ø Þ Ð v Ú ØÓÖ v = v 1 +Xv 2 Ð Ö Ø ÓÐ v 1 F º Þ ÖØ v X(X X) X X = v 1 X(X X) X X + v 2 X X(X X) X X = = 0 + v 2 (X X) = v X. ½º º Ù ¹Å Ö ÓÚ¹Ø Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ð ½º º Ñ ÝÞ º β = (X X) X Y Ñ Ò º À Þ Ò ÓÖ Þ X β = P F Y Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ðº Í Ý Ò X(X X) X ÔÔ Ò P F Ú Ø Ø Ð Ý ÒÐ º ½º º Ñ ÝÞ º À X Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ Ð Ò Ö Ò ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ñ Ý Ö Þ Ú ÐØÓÞ Þ ØØ ÓÐÐ Ò Ö Ø ÐÐ ÒÒº ÓÖ Þ Þ Ö Ò X < p β Ú ØÓÖÒ ÙÔ Ò ÞÓÒÝÓ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÐÐ ØÚ ÞÓ Ð Ò Ö Ú ÒÝ Ø ØÙ Ù ÐÒ Ø Ð β¹ø Ò Ñº ½º¾º Ò º β Ô Ö Ñ Ø Ö c β Ð Ò Ö Ú ÒÝ Ø Ð Ò Ö Ò ØÓÖÞ Ø ØÐ ÒÙе Ð Ø Ò Ò Ú ÞÞ Ú Ò Y ¹Ò ÓÐÝ Ò b Y Ð Ò Ö Ú ÒÝ Ñ ÐÝÖ Eb Y = c β β R p. ÁØØ c R p b R n ºµ ÁÐÝ Ò ÓÖ Ö Ú Ò ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý c Ð Ø º Ñ ÓÖ Ö Ò X = p ÓÖ Ø Ð β Ú ØÓÖ Ð Ø º Þ Ð Þ Ò Þ Ó Ý β Ð Ó Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð ÞØ Ð ÒØ ØØ Ó Ý β Þ Ö Ñ ØÖ Ü Ð Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Þ Ö Ñ ØÖ Ü Þ Øغ Ö Ò Þ Ø D 1 D 2 D 1 D 2 ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ Ò Ø Ð Ô Ò Ö Ø ÐÑ ÞÞ ºµ Ì Ø c β Þ Ö Ð c β Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Þ Ö Þ ØØ (c R p )º Þ Ø ÒÝ Ù ¹Å Ö ÓÚ¹Ø Ø Ð ÐØ Ð ÒÓ Ú ÐØÓÞ Ø Ò Ð ÒÝ º ½º¾º Ø Ø Ðº Ù ¹Å Ö ÓÚºµ ½º c β Ð Ø c = X b Ú Ð Ñ ÐÝ b R n ¹ Ö º ¾º c β Ñ Ò Ò Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò b Y Ð Ö P F b = b ÓÐ b b¹ø Ð Ò Ñ µ ÐÐ Ò Ú ØÓÖº ÁØØ P F = X(X X) X Þ X Ó ÞÐÓÔ ÐØ Ö Ö Ú Ð Ú Ø Ø º º b Y Ð Þ Ö Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Øº º b Y = c βº

38 ÁÁº Ê Ê ËË Á Æ Ä ÁË Ë ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ ÞÓÒÝ Ø º ½º Ä Ý Ò c β Ð Ø º ÓÖ c β = E(b Y ) Ú Ð Ñ ÐÝ b¹ö º Þ Þ c β = b Xβ βº Ì Ø c = b Xº Å ÓÖ ØÚ c β = b Xβ Ð Ø b Y ¹Ò к ¾º Ä Ý Ò b Y c β Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð º ÓÖ Ø ÒØ b = (b P F b) + P F b ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ð ÓÒØ Øº ÞØ Y ¹Ò Ð Ó Ö Ð ÞÓÖÓÞÚ Ú Ö Ø ÖØ Ø Ú Ú Eb Y = (b P F b) Xβ + E(P F b) Y. Å Ú Ð b P F b Xβ ÝÑ Ö Ñ Ö Ð Eb Y = c β Ý c β = Eb Y ÓÐ b = P F bº Ä Ý Ò ÑÓ Ø b 1 Y c β Ý Ñ Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð º ÓÖ 0 = c β c β = Eb Y Eb 1 Y = ( ) b b 1 Xβ β. Þ Þ b b 1 Ñ Ö Ð X Ó ÞÐÓÔ Ö º Ì Ø b 1 = b + (b 1 b ) Ñ Ö Ð Ð ÓÒØ Þ Þ b b 1 ¹Ò Ú Ø Ð Ø º º Þ Ð Þ Ò ÔØÙ Ó Ý Eb Y = c β Þ Þ b Y Ð Ò Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð º Þ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø Ð Ô Ò D 2 b Y = σ 2 b b = σ 2 [ b b + (b b ) (b b ) ] σ 2 b b = D 2 (b Y ). Ì Ø b Y Þ Ö Ð º º Å Ú Ð X β = P F Y Ý Y X β Ñ Ö Ð X Ó ÞÐÓÔ ÐØ Ö Ö º Î ÞÓÒØ b ÒÒ Ú Ò Ò Þ ÐØ Ö Òº Ì Ø b (Y X β) = 0º Þ Þ b Y = b X β = c β, Ñ ÖØ c = X b X b = X b Ð Ú Ò b b Ú Ø Ð Ø X Ó ÞÐÓÔ ÐØ Ö Ö º

39 ¾º ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ ÆÇÊÅýÄÁË ÄÇË ÄýË Ë Ì Æ ¾º Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ø Ò ¾º½º Å Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð ¾º½º Ø Ø Ðº À ε N n (0, σ 2 I) ÓÖ β Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð β σ 2 Ñ Ü ÑÙѹ Ð Ð ÓÓ Ð Ô 1 n Y X β 2 º ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð Y N n (Xβ, σ 2 I) Ý Y òöò Ú ÒÝ { f(y) = (2π) n/2 (σ 2 ) n/2 exp 1 } y Xβ 2. 2σ2 ÒÒ β Þ Ö ÒØ Ñ Ü ÑÙÑ Þ ÜÔÓÒ Ò Ò Ð Ú Þ Ò Ú Þ Ø Ò Y Xβ 2 Ñ Ò ÑÙÑ ÐÝ Ò Ú Ò Þ Þ β¹ Òº σ 2 Þ Ö ÒØ Ñ Ò ÑÙÑ ÓÞ 0 = log f σ 2 = n 2 ÁÒÒ Ò σ 2 = 1 n Y X β 2 º 1 σ (σ 2 ) 2 Y X β 2. ¾º½º Ñ ÝÞ º σ 2 = 1 Y X β 2 ÐØ β Ø Ò Ñ Ö Ò ÝÞ Ø Þ n ÊËË Ê Ù Ð ËÙÑ Ó ËÕÙ Ö µ Þ Þ Y X β 2 n¹ Ö Þ º ¾º½º Ð ÑÑ º Ä Ý Ò V Ý s¹ Ñ ÒÞ ÐØ ÖÖ Ú Ð Ñ Ö Ð Ú Ø Ø Ñ ØÖ Ü η N n (m, I)º ÓÖ V η (I V )η ØÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ º ÌÓÚ V (η m) 2 χ 2 s. ( ) ( ) V η V ÞÓÒÝ Ø º ÆÝ ÐÚ Ò = η Þ Þ ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ú ØÓÖ (I V )η I V Ð Ò Ö ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Ø Ø ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ º Å Ö ÞØ ÓÚ (V η, (I V )η) = V I(I V ) = 0, Þ Þ ÓÖÖ Ð Ð ØÐ ÒÓ Ø Ø ØÐ Ò º Ä Ý Ò e 1,..., e s Þ s¹ Ñ ÒÞ ÐØ Ö Ò ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ º ÞØ Þ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐØ Þ e 1,...,e n º Þ Ò Ú ØÓÖÓ Ø Ó Ð Ð Ù Þ U ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü º ÓÖ V = UΛU ÓÐ Λ ÓÐÝ Ò ÓÒ Ð Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝÒ Ð s ØÐ Ð Ñ ½ Ø ¼º V (η m) 2 = UΛU (η m) 2 = UΛξ 2 = ξ ΛU UΛξ, ÓÐ ξ N n (0, I)º U U = I ΛΛ = Λ Ø Ø V (η m) 2 = ξ ξ 2 s χ 2 s. ¾º¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò Y N n (Xβ, σ 2 I) r = Ö Ò Xº ÓÖ 1 σ 2 Y X β 2 χ 2 n r Y X b β 2 n r σ 2 Ô Ö Ñ Ø Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð º

40 ¼ ÁÁº Ê Ê ËË Á Æ Ä ÁË Ë ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ ÞÓÒÝ Ø º ÑÐ ÞØ Ø Ò Ó Ý F Þ X Ó ÞÐÓÔÚ ØÓÖ ÐØ Ð Þ Ø ØØ ÐØ Ö P F Ô Þ F ¹Ö Ñ Ö Ð Ú Ø Ø º Y X β = Y P F Y = (I P F )Y º Å Ú Ð I P F Þ F ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ö Ú Ð Ñ Ö Ð Ú Ø Ø Ý E(Y X β) = (I P F )EY = (I P F )Xβ = 0º Ì Ø Y X β N n (0, σ 2 (I P F ))º ÌÙ Ù Ó Ý (I P F )(Y EY ) = (I P F )Y = Y X βº Þ ¾º½º Ð ÑÑ Ñ ØØ Þ Þ Ð Ð Ð Ó ÞÒ ÝÞ Ø Ò 1/σ 2 ¹ Þ Ö χ 2 n r ÐÓ ÞÐ Ý 1 Y X β 2 χ 2 σ n rº 2 Å Ú Ð Eχ 2 n r = n r Þ ÖØ E Y X β b 2 = σ 2 º n r ¾º¾º Ñ ÝÞ º Y X β X β ØÐ Ò º Í Ý Ò Y X β = (I P F )Y X β = P F Y º ¾º¾º À ÔÓØ Þ Ú Þ Ð Ø Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ä Ý Ò Y = Xβ + ε ÓÐ ε N n (0, σ 2 I)º ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ H 0 : Bβ = 0, ÓÐ B Ñ ØÖ Ü Ñ ÖØ ÓÖ Ð Ø º ¾º º Ñ ÝÞ º Ä Ý Ò Þ X Ó ÞÐÓÔ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ ÐØ Ö F º Ä Ý Ò B ÓÖ Ð Ø º ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò F 0 ÐØ Ö F ¹Ò Ó Ý Bβ = 0 Xβ F 0 º ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ö Ñ Ý ÞÞ Ó Ý B ÓÖ Ð Ø B = B X Ú Ð Ñ ÐÝ B Ñ ØÖ ÜÖ º Þ ÖØ Bβ = 0 B Xβ = 0 Xβ B Ñ ØÖ Ü ÒÙÐÐØ Ö Ò Ú Ò Þ Þ Xβ F 0 ÓÐ F 0 B F ÒÙÐÐØ Ö º ¾º º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò S 2 B = min β : Bβ=0 Y Xβ 2, Se 2 = min Y Xβ 2 β Ò ÝÞ Ø Þ ÐØ Ø Ð ÐÐ ØÚ ÐØ Ø Ð Ò Ð Ð Ñ Ò ÑÙÑ º Ä Ý Ò Ö Ò X = r Ö Ò (F F 0 ) = qº ÁØØ F F 0 Þ F 0 ÐØ ÖÒ Þ F ÐØ ÖÖ Ú ØØ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ÓÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ö Ø Ð Ð ºµ ÓÖ SB 2 S2 e S e : q n r F q,n r ÓÖ ÓÖ H 0 Þº ÞÓÒÝ Ø º Ì ÒØ Þ Y P F0 Y = (Y P F Y ) + (P F Y P F0 Y ) Ð ÓÒØ Øº Å Ú Ð F 0 F Ý P F Y P F0 Y ÒÒ Ú Ò F ¹ Òº Y P F Y Ú ÞÓÒØ Ñ Ö Ð F ¹Ö º Ì Ø ÒØ Ð ÓÒØ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ð ÓÒØ º Þ ÖØ Å Ö ÞØ Y P F0 Y 2 = Y P F Y 2 + P F Y P F0 Y 2. S 2 B = min β: Bβ=0 Y Xβ 2 = min β : Xβ F 0 Y Xβ 2 = Y P F0 Y 2

41 ¾º ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ ÆÇÊÅýÄÁË ÄÇË ÄýË Ë Ì Æ ½ Ý S 2 e = min β Y Xβ 2 = Y P F Y 2 = (I P F )Y 2. S 2 B S2 e = P FY P F0 Y 2 = (P F P F0 )Y 2. Ì Ø Þ S 2 B S2 e¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ð Ò Ö Þ (P F P F0 )Y Þ S 2 e¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ô (I P F )Y º Þ Ý ØØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ º ÃÓÖÖ Ð Ð ØÐ ÒÓ Ñ ÖØ (I P F )(P F P F0 ) = 0º Þ ÖØ ØÐ Ò º Ñ Ò Ø Ð Ðº Î ÞÓÒØ E(I P F )Y = (I P F )Xβ = 0 E(P F P F0 )Y = P F Xβ P F0 Xβ = Xβ P F0 Xβ = 0 Bβ = 0, Ñ Ú Ð Þ ÙØ Xβ F 0 ¹Ð Ð Ú Ú Ð Ò º Ì Ø 1 S 2 σ 2 e χ2 n r ÓÐ r Þ X Ö Ò µ Þ Ò I P F (n r)¹ Ñ ÒÞ ÐØ Ö Ú Ø Øº À H 0 : Bβ = 0 Ø Ð Ð ÓÖ 1 (S 2 σ 2 B S2 e) χ 2 q Þ Ò P F P F0 q¹ Ñ ÒÞ ÐØ Ö Ú Ø Øº ¾º º Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ñ ÒØ Ô Ð Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ð Ô Ò ÐÚ ÞÞ Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ð ÑÞ Øº ¾º½º Ô Ð º Ä Ý Ò Y ij = a i + ε ij j = 1,..., n i i = 1,...,p ÓÐ ε ij N(0, σ 2 ) ε ij Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò º ÓÖ Y = Xa + ε ÑÓ ÐÐ ÓÐ Y = Y 11 º Y 1n1 Y 21 º Y 2n2 º Y pnp º º º , X = º º º, ε = º º 0 1 ε 11 º ε 1n1 ε 21 º ε 2n2 º ε pnp, a = ÁØØ Y ε n¹ Ñ ÒÞ Ú ØÓÖÓ X Ô n p Ñ Ö Øò Ñ ØÖ Ü ÓÐ n = n 1 + +n p º H : a 1 = a 2 = = a p ÒÙÐÐ ÔÓØ Þ ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð Ba = 0 ÓÐ ( ) B = ººº º a 1 º a p.

42 ¾ ÁÁº Ê Ê ËË Á Æ Ä ÁË Ë ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ (p 1) p Ø ÔÙ Ñ ØÖ Üº B ÓÖ Ð Ø Þ Ò B = B X ÓÐ B = 0... º p n i Se 2 = min a Xa 2 = min a (Y ij a i ) 2. ÒÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÐÝ Ö Ú Ð Ð Ñ Ø ÖÓÞÚ µ â i = Y i Þ Þ Þ i¹ Þ ÒØ Ò Ú ØØ ØÐ º Ý Se 2 = (Y ij Y i ) 2 º Þ ÔÔ Ò Q 2 Ò ÝÞ Ø Þ º ÒÒ Þ i j Ó ¾º¾º Ø Ø Ð Ð Ô Ò n p Ñ Ú Ð X Ö Ò pº SB 2 = min (Y ij a i ) 2. a: Ba=0 ÅÙÐØ ÔÐ ØÓÖÓ Ð ÓÐ ÓÞÙÒ º λ 1,...,λ p ÑÙÐØ ÔÐ ØÓÖÓ º Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ i p 1 (Y ij a i ) 2 + λ i (a i a p ) a i = a p, i = 1,..., p 1. i j a i Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐÚ ÒØ Ú ÒÝØ Þ Ø Þ Ú 2 j p 1 j j=1 (Y ij a i ) + λ i = 0, i = 1,...,p 1, 2 j n i j=1 p 1 (Y pj a p ) λ i = 0. n p (Y ij a i ) + (Y pj a p ) = 0. Ð ÞÒ ÐÚ Þ a i = a p (i = 1,..., p 1) ÐØ Ø ÐØ a p = 1 Y n ij = Y Þ Þ Ñ Ò Ò a i Ð ÑÓ Ø Þ Y j=1 Ø Ð ØÐ º Ì Ø SB 2 = (Y ij Y ) 2 = Q i j Ø Ð Ò ÝÞ Ø Þ º SB 2 Se 2 = (Y ij Y ) 2 (Y ij Y i ) 2 = i j i j = Q Q 2 = Q 1 = (Y i Y ) 2. i j Þ Þ SB 2 S2 e = Q 1 Þ ÒØ Þ ØØ ÐØ Ö Ø Ñ Ö Ò ÝÞ Ø Þ º B F ÒÙÐÐØ Ö Þ ÞÓÒÓ ÓÓÖ Ò Ø Ú ØÓÖÓ Ð ÐÐ Ñ Ý Ñ ÒÞ º F Þ X Ó ÞÐÓÔ ÐØ Ð Ò Ö ÐØ ÐØ Öº Þ ÖØ F p¹ Ñ ÒÞ º Ý Ö Ò (F F 0 ) = p 1º i j

43 ¾º ÄÁÆ ýêáë ÅÇ ÄÄ ÆÇÊÅýÄÁË ÄÇË ÄýË Ë Ì Æ Ì Ø Þ Ý Þ Ö Ó ÞØ ÐÝÓÞ Ð Ñ Þ Ø Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ø Ú Ðº ¾º º Ø Ø Ð Ð Ô Ò F ¹ÔÖ Ù Ý Ò Þ Ð Þ Ñ ÒØ ÓÖ Ò Ö¹ Ó Ö Ò¹Ø Ø Ð Ð Ô Ò ÔÓØØ F ¹ÔÖ º

44

45 ÁÁÁº Þ Ø Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ñ Þ Ö

46 ÁÁÁº Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ Å Ë Ê ½º Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò ½º½º Ð Ð ÓÓ ¹ ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú Òݺ Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ð ÓÖÓÐ Ù ÞÓ Ø Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ø Ñ ÐÝ Ø Ò Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ý Ò¹ Ð ØÐ Ò Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ó Ù º Ä Ý Ò Θ Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ö ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ R k ¹ Òº Ä Ý Ò ϑ = (ϑ 1,...,ϑ k ) Θº Ä Ý Ò X Ñ ÒØ ÐØ Ð ÒÓ ÖØ Ð Ñ Òµº Ä Ý Ò f(x, ϑ) Ñ ÒØ òöò Ú ÒÝ ÐØ Ð ÒÓ ÖØ Ð Ñ Ò Þ Þ Ý ν ÓÑ Ò Ð Ñ ÖØ Ö Ò ÞÚ µº Ì Ý Ð Ó Ý Þ f(x, ϑ) Ú ÒÝ ϑ Þ Ö ÒØ Ø Þ Ö Ö Ò Ð Ø Þ f(x, ϑ)dν(x) = 1 Þ Ò ϑ Þ Ö ÒØ Ð Ñ Ó Ö Ú Ð Þ ÒØ Ö Ð ÓÖÖ Ò Ð Ö Ð¹ Ø º ÓÖ f(x, ϑ) ½º½µ dν(x) = 0, i = 1,...,k, ϑ i ½º¾µ ½º µ ÓÖ ½º µ Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ñ Ò Ò i, j = 1,..., k Ø Òº 2 f(x, ϑ) ϑ i ϑ j dν(x) = 0, i, j = 1,...,k. ( ) 2 log f(x, ϑ) E <, i = 1,...,k. ϑ i [ log f(x, ϑ) I ij (ϑ) = E, ϑ i ] log f(x, ϑ) ϑ j ½º½º Ò º Þ ( ) k I(ϑ) = I ij (ϑ) i,j=1 Ñ ØÖ ÜÓØ Ö¹ Ð Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ ÜÒ Ò Ú ÞÞ º Þ f(x, ϑ) Ú ÒÝØ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝÒ Ú Ù Þ lnf(x, ϑ) Ú ÒÝØ Ô ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝÒ º ½º µ log f(x, ϑ) ϑ = ( log f(x, ϑ) ϑ 1,..., Ú Ð Þ Òò Ú ØÓÖÚ ÐØÓÞ Þ Òº ÓÖ Ú ØÓÖº ) log f(x, ϑ) ϑ k

47 ½º Ê Ç¹ Ê Å Ê¹ Ä ÆÄ ÌÄ ÆË ÒØ ÐØ Ø Ð Ø Ò ÓÖ Ú ØÓÖ Ú Ö Ø ÖØ 0º Í Ý Ò log f(x, ϑ) 1 f(x, ϑ) ½º µ E = f(x, ϑ)dν(x) = 0 ϑ f(x, ϑ) ϑ Þ ½º½µ ÐØ Ø Ð Ñ Øغ Æ Ø Ú Þ Þ Ñ Ð Ð Ó Ý Ú Ö Ø ÖØ E Ð ÙØ Ò Þ X Ú Ð ØÐ Ò Ñ ÒÒÝ Þ Ö Ô Ð Þ ØÙ Ð Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÖ Ú ÞÓÒØ Þ ÒØ Ö ÐÖ Ø Ö Ò ÓÖ Ô Þ x Ú ÐØÓÞ Þ Ö Ô Ð Ù Ý Ò Ò Ú ÒÝ Òº Ì ÖÑ Þ Ø Ò Þ ÙØ Ø Ò Þ f òöò Ú ÒÒÝ Ð ÞÓÖÓÞÒÙÒ ÐÐ Ñ Ð ØØ ν Ñ ÖØ Þ Ö ÒØ ÒØ Ö ÐÒ Ò ºµ ½º½º Ñ ÝÞ º Þ Ð Þ Ð ÞÓÒÒ Ð Ó Ý Þ I(ϑ) Ö¹ Ð Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ü ÔÔ Ò ÓÖ Ú ØÓÖ Þ Ö ØÖ Ü ( ) log f(x, ϑ) ½º µ I(ϑ) = Ú Ö. ϑ Å Ö ÞØ Ö¹ Ð Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ú ØÓÖ Ø Ú Ð Ð ÐÐ Þ [ ] 2 log f(x, ϑ) ½º µ I ij (ϑ) = E ϑ i ϑ j Þ Ö ÒØ º Î Ð Ò ½º¾µ Ð ÞÒ Ð Ú Ð E 2 log f(x, ϑ) = E ( 1 ϑ i ϑ j ϑ j f, f ) = E ϑ i [ 1 f 2 f 1 ] f f = ϑ i ϑ j f 2 ϑ i ϑ j 2 f(x, ϑ) = dν(x) E 1 ϑ i ϑ j f f 1 ϑ i f f ϑ j = 0 I ij (ϑ). ÓÐÝØ Ø Ù Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò ÐØ Ø Ð Ò Ð ÓÖÓРغ ÐØ Þ Ó Ý I(ϑ) ÒÚ ÖØ Ð Ø º Ä Ý Ò g : Θ R r Ö Ò Ð Ø Ú Òݺ Ä Ý Ò T r¹ Ñ ÒÞ Ø Ø ÞØ g(ϑ) ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð ½º µ T(x)f(x, ϑ)dν(x) = g(ϑ). Ì Ý Ð Ó Ý Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ò ϑ Þ Ö ÒØ Ö Ò Ð Þ ÒØ Ö Ð ÓÖ¹ Ö Ò Ð Ö Ð Ø f(x, ϑ) ½º½¼µ T(x) dν(x) = g(ϑ), i = 1,...,k. ϑ i ϑ i ½º¾º Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ð Ý ÒÐ ØÐ Ò ÞØ ÐÐ Ø Ó Ý Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Þ Ö Ò Ñ Ð Ø ÖÑ ÐÝ Ò º Ý ÞÓРص Ð Ø Ö Ø Ö¹ Ð Ò ÓÖÑ Ø Ú Ðº ½º½º Ø Ø Ð Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µº ÒØ Ö ÙÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Ø Ò ½º½½µ Ú Ö(T) GI 1 (ϑ)g,

48 ÓÐ G = ( ) g(ϑ) º ϑ ÞÓÒÝ Ø º Ì ÒØ ( ½º½¾µ T 1 (X),...,T r (X), ÁÁÁº Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ Å Ë Ê log f(x, ϑ) ϑ 1,..., ) log f(x, ϑ) ϑ k (r + k) Ñ ÒÞ Ø Ø ÞØ ØÖ Ò ÞÔÓÒ ÐØ Øº ÒÒ Þ Ö Ñ ØÖ Ü Þ Ð Þ Þ Ö ÒØ ( ) V G ½º½ µ G, I(ϑ) ( ) ÓÐ T Þ Ö Ñ ØÖ Ü V G = g(ϑ) Ô r k Ø ÔÙ Ñ ØÖ Üº Å Ú Ð Þ ½º½ µ ϑ Þ Ö Ñ ØÖ Ü Ý Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ Ò Ø Úº Þ ÖØ ( E GI 1 ) ( ) (ϑ) V G 0 det 0 I 1 det (ϑ) G = I(ϑ) ( V GI 1 (ϑ)g ) 0 = det I 1 (ϑ)g = det(v GI 1 (ϑ)g ), E ÓÐ E ¼ Ð ÐÑ Ñ Ö Øò Ý ¹ ÐÐ ØÚ ÒÙÐÐÑ ØÖ ÜÓØ Ð Ðº Þ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Þ ÓÖ ÙÔ Ò T Ú ØÓÖ Ò ÒÝ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ø ÒØ º Þ ÖØ (V GI 1 (ϑ)g ) Ñ ØÖ Ü Ñ Ò Ò ØÐ Ö Þ ÑÑ ØÖ Ù Ò Ð ¹ ÐÝ Þ Ö ÞÑ ØÖ Ü Ò Ò Ñ Ò Ø Ú Ø ÖÑ Ò Ò º Ì Ø (V GI 1 (ϑ)g ) ÔÓÞ Ø Ú Þ Ñ Ò Øº ÞÞ Ð Ð ØØÙ Ø Ø Ðغ ½º½º Рغ Ä Ý Ò ξ 1,...,ξ n Ñ ÒØ N(µ, σ 2 )¹ к Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ñ ÒÞ ϑ = (µ, σ 2 ) º Ä Ù Þ Ð Øº µ Ö¹ Ð Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ü ( n ) ( ) 0 σ 2 σ ½º½ µ I(ϑ) = 2 n, I 1 0 n (ϑ) =. 0 2σ 2σ n µ ξ s 2 n ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð (µ, σ 2 )¹Ö º Ð Þ Ö Ñ ØÖ Ü ( ) ( ) ξ σ 2 ½º½ µ D 2 0 n s 2 =. 2σ n 0 4 n 1 µ Ö Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ð Ð Ø Ö Ò Ñ Ö Ø Ð s 2 n Ñ Ð Þ Ö ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð σ 2 ¹Ö º Å ÓÐ º µ Ä Ý Ò t ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð σ 2 ¹Ö Et = σ 2 º Ä Ý Ò u = t s 2 ÓÒÒ Ò t = u s 2 n º Î ÞÓÒØ t s 2 n Ú Ö Ø ÖØ σ 2 Ý u Ú Ö Ø ÖØ ¼º Ñ ÒØ Ý ØØ òöò Ú ÒÝ Ð Ô Ò P 1 ½º½ µ 0 = Eu = u(x) f(x)dx = u(x) e (xi µ) 2 (σ 2 2π) n 2σ 2 dx, 2 n

49 ½º Ê Ç¹ Ê Å Ê¹ Ä ÆÄ ÌÄ ÆË ÓÐ x = (x 1...,x n ) º µ Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐÚ Ø Þ Ö Þ Ò ½º½ µ¹óø Ñ Ý Þ Ö ÞÒ ÐÚ µ ( ) ( ) 2 n P 1 ½º½ µ (xi µ) u(x) }{{} σ e (xi µ) 2 2σ 2 dx = 0. 2π (n( x µ)) 2 σ 2 Þ Ö ÒØ Ö Ú ÐÚ ½º½ µ¹óø Þ Ò ½º½ µ¹óø Ñ Ý Þ Ö ÞÒ ÐÚ µ (xi P ½º½ µ µ) 2 1 (xi µ) 2 u(x) (2π) n/2e 2σ 2 dx = 0. Î ÞÓÒØ ËØ Ò Ö¹ ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ (n 1)s 2 n = (x i µ) 2 n( x µ) 2 Ý Þ Ð Þ Ø Ý ÒÐ Ø Ñ ØØ u s 2 n ÓÖÖ Ð Ð ØÐ Òº Þ ÖØ D 2 (t) = D 2 (u) + D 2 (s 2 n ) D2 (s 2 n ).

50 ¼ ÁÁÁº Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ Å Ë Ê ¾º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð ¾º½º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ò ¾º½º Ò º Ä Ý Ò X Ñ ÒØ ÐØ Ð ÒÓ ÖØ Ð Ñ Òµ x Ñ ÒØ Ö Ð Þ Θ Ô Ö Ñ Ø ÖØ Öº Ä Ý Ò ν Ñ ÖØ Ñ ÒØ Ø Ö Ò Ø Ý Ð Ó Ý Ñ ÒØ ÐÓ ÞÐ ¹ ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ ν¹ö Ò ÞÚ Ð Ð l(x, ϑ) òöò Ú ÒÝغ l(x, ϑ)¹ø Ñ ÒØ ϑ Θ Ú ÒÝ Ø Ø ÒØÚ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝÒ Ò Ú ÞÞ º ¾º¾º Ò º ϑ Ô Ö Ñ Ø Ö Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ò ÞØ ϑ = ϑ(x) Ø Ø ÞØ Ø Ò Ú ÞÞ Ñ ÐÝÖ ¾º½µ l(x, ϑ) = sup l(x, ϑ). ϑ Θ ¾º½º Ñ ÝÞ º À Ð Ø Þ T(x) Ð Ø Ø ÞØ ÓÖ Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð ÒÒ Ú ÒÝ º Î Ð Ò Æ ÝÑ Ò¹ Ö¹ Ð ØÓÖ Þ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ l(x, ϑ) = h(x)g(t(x), ϑ), Ý Ñ Ü ÑÙÑ ÐÝ T(x)¹Ø Ð º ÒØ ÐÐ Ø Ñ ÓÖ Ø Ò Ñ Þ Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ò Ñ Ñ Ò Ð Ø Ø ÞØ º ¾º º Ò º Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ ÐÓ Ö ØÑÙ Ø ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝÒ Ò Ú Þ¹ Þ ¾º¾µ L(x, ϑ) = log l(x, ϑ). À Θ R k ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ l(x, ϑ) ϑ Þ Ö ÒØ Ö Ò Ð Ø ÓÖ L(x, ϑ) Ñ Ü ¹ ÑÙÑ ÐÝ Ò ϑ Þ Ö ÒØ Ô Ö Ð Ö Ú ÐØ ÐØ ÒÒ º ¾º º Ò º ¾º µ L(x, ϑ) ϑ i = 0, i = 1,...,k, Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ð ÓÓ ¹ Ý ÒÐ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º ¾º¾º Ñ ÝÞ º À x ØÐ Ò Ú Ð Þ Ò Ú ÐØÓÞ Ð ÐÐ Ú ØÓÖ ÓÖ ÐÓ Ð ¹ Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ n ¾º µ L n = L(x, ϑ) = log f i (x i, ϑ), ÓÐ f i (x i, ϑ) Þ x Ú ØÓÖ i¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò òöò Ú ÒÝ º ¾º¾º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ñ Þ Ö ÓÖÐ Ø ¾º º Ñ ÝÞ º Ä Ø Ó Ý Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ð ÐÖ Ð Þ Þ Ò Ñ Ð Ø Þ Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð º

51 ¾º Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ ËÄ Ë ½ ¾º º Ñ ÝÞ º Ä Ø Ó Ý Ð Ð ÓÓ ¹ Ý ÒÐ Ø Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò Ý Ñ ÐÝ Ò Ñ ÓÒÞ ÞØ Ò Ð Ô Ö Ñ Ø ÖÒ º ÞØ Þ Ð Ô Ð ÑÙØ Ø º ¾º½º Ô Ð º Ä Ý Ò X 1,...,X n Ñ ÒØ N(ϑ, c 2 ϑ 2 ) ÐÓ ÞÐ Ð ÓÐ c 0 Ñ ÖØ ϑ Ñ Ö ØÐ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö (ϑ 0)º ÓÖ ÐÓ Ð Ð ÓÓ Ú ÒÝ L n (ϑ) = n log 1 2π(cϑ) n (x i ϑ) 2 2c 2 ϑ 2. Ð Ô Ò L n (ϑ) ϑ L n (ϑ) ϑ = nϑ c 2 = 0 n [ 2(xi ϑ)ϑ 2 + (x i ϑ) 2 2ϑ 3]. ÁÒÒ Ò nc 2 ϑ 2 + ϑ n x i n x2 i = 0. ϑ 12 = n X ( n i ± X ) 2 i + 4nc 2 n X2 i 2nc 2 Ñ ÓÐ º Þ Ò Ø Ø ÞØ Ø Ö ÖØ Ø n Ø Ò Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ Ð Ô Ò Ø ÖÓÞÞÙ Ñ n X n i ϑ X2 i ϑ 2 (c 2 + 1). n n Ý ϑ 1 ϑ ϑ 2 ϑ ( c 2 ) º Ì Ø ϑ 1 Ð Ð ÓÓ ¹ Ý ÒÐ ØÒ ÓÒÞ Ò ÞØ Ò Ý ϑ 2 Ô Ò Ñ ÓÒÞ ÞØ Ò Ý º ¾º º Ñ ÝÞ º Ä Ø Ó Ý Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ò Ñ ÓÒÞ ÞØ Ò º ÖÖ ÙØ Ð Þ Ð Ô Ð º ( ) ( ) Y1 Xn ¾º¾º Ô Ð º Ä Ý Ò,..., ØÐ Ò Ø Ñ ÒÞ Ú Ð ØÐ Ò Ú ØÓÖÓ Y 1 Y n ( ) (( ) ( )) Xi µi σ 2 0 N, Y i µ i 0 σ 2, i = 1,...,n. ÓÖ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ n 1 e (x i µ i )2 1 2σ 2 e (y i µ i )2 2σ 2. 2π σ 2π σ

52 ¾ ÁÁÁº Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ Å Ë Ê ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ ÓÒÒ Ò µ i = X i+y i 2 º L = 2n log( 2πσ) 1 2σ 2 n [ (xi µ i ) 2 + (y i µ i ) 2]. L µ i = 1 σ 2 [(x i µ i ) + (y i µ i )], L 2σ 2 = n(σ2 ) 1 + (σ 2 ) 21 2 n [ (xi µ i ) 2 + (y i µ i ) 2]. ÁÒÒ Ò σ 2 = 1 n [ (Xi µ i ) 2 + (Y i µ i ) 2] = 1 n ( ) 2 Xi Y i. 2n n 2 ÁØØ E ( ) X i Y i 2 2 = σ 2 σ2 ÓÒÒ Ò Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ ÖØ ÐÑ Ò σ (n ) 2 2 Þ Þ Ð Ò Ñ ÓÒÞ ÞØ Ò º Å Ý ÞÞ Ó Ý Ô Ð Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ñ Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ n º ¾º º Ñ ÝÞ º Ä Ø Ó Ý Ð Ð ÓÓ ¹ Ý ÒÐ Ø Ý Ò Ñ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ Ñ Ü ÑÙÑ ÐÝ Ø ÞÓÐ ÐØ Ø º ¾º º Ý ÓÒÞ ÞØ Ò Ø Ø Ð Þ Ð Ò ÐØ Þ Ó Ý Ñ ÒØ Ð Ñ ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ º Ì Ý Ð Ó Ý Ð Ò Þ Ô Ö Ñ Ø Ö ÖØ Þ Ð Ò Þ ÐÓ ÞÐ Ó Ø ÖØÓÞÒ º  РРP ϑ ÐÐ ØÚ E ϑ ϑ Ô Ö Ñ Ø ÖÒ Ñ Ð Ð ÐÓ ÞÐ Ø ÐÐ ØÚ Ú Ö Ø ÖØ Øº  РРf(x, ϑ) Ý Ñ ÒØ Ð Ñ òöò Ú ÒÝ Øº  РРϑ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ð ÖØ Øº ¾º½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò Θ R Ð Ý Ò f(x, ϑ) Ö Ú Ð Ø ϑ Þ Ö ÒØ Ý ÓÐÝ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙ¹ ÑÓÒ Ñ ÐÝ ϑ ¹ÓØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ÓÖ Ð Ð ÓÓ ¹ Ý ÒÐ ØÒ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ý Ñ ÐÝ n Ø Ò ϑ ¹ ÓÞ Ø ÖØ P ϑ Þ Ö Òص 1 Ú Ð Þ Òò к ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý log f(x, ϑ) Ö Ú Ð Ø (ϑ δ, ϑ +δ) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒº Á Ñ Ö Ø Ó Ý log t t 1º ÁØØ t ÐÝ Ö f(x,ϑ δ) ¹ÓØ ÐÝ ØØ ØÚ f(x,ϑ ) f(x, ϑ ) log f(x, ϑ δ) dν(x) < 0, f(x, ϑ ) Þ Þ f(x, ϑ ) log f(x, ϑ + δ) dν(x) < 0. f(x, ϑ ) E ϑ log f(x, ϑ δ) < E ϑ log f(x, ϑ ), E ϑ log f(x, ϑ + δ) < E ϑ log f(x, ϑ ).

53 ¾º Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ ËÄ Ë Å Ú Ð L n ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Þ Þ Þ n L n (X 1,...,X n, ϑ) = log f(x i, ϑ), Ý Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ Ð ÐÑ Þ Ø º Ì Ø 1 lim n n L n(x 1,...,X n, ϑ 1 + δ) < lim n n L n(x 1,...,X n, ϑ ), 1 lim n n L n(x 1,...,X n, ϑ δ) < lim n L n(x 1,...,X n, ϑ ) P ϑ Þ Ö ÒØ ½ Ú Ð Þ Òò к Þ ÖØ Ð Ò Ý n¹ö L n ÖØ (ϑ δ, ϑ + δ) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ú ÔÓÒØ Ò Ñ ÒØ ϑ ¹ Òº Ý L n ¹Ò Ú Ò (ϑ δ, ϑ + δ)¹ Ò ÐÓ Ð Ñ Ü ÑÙÑ º Å Ú Ð δ > 0 Ø Ø Þ Ð Ý Ú Ò ½ Ú Ð Þ Òò Ð ÓÒÚ Ö Ò Ý º n 1 ¾º º Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Þ ÑÔØÓØ ÙÖ ÞØ Ù Ñ Ý Ö Þ ØØ Ð Ä Ý Ò ϑ Θ R k Ô Ö Ñ Ø Ö ϑ Ô ÒÒ Ú Ð ÖØ º Þ X 1,..., X n ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ò ÐÓ Ð Ð ÓÓ Ú ÒÝ ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ø Ó Þ n ¾º µ L n (ϑ) = log f(x i, ϑ), ÓÐ f Þ òöò Ú Òݺ Ý ÓÖ Ú ØÓÖ ¾º µ L n (ϑ) ϑ = n log f(x i, ϑ). ϑ ÁØØ Þ Þ Ò ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ 0 Ú Ö Ø ÖØ ò I(ϑ) Þ Ö Ñ ØÖ Ü Ú ÐØÓÞ º ÁØØ I(ϑ) Ý ØÐ Ò Ñ Ý Ð Ø Ò Ö¹ Ð Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Üºµ ÞÔÓÒØ Ø Ö ÐÓ ÞÐ Ø Ø Ð Ñ ØØ n Ø Ò ¾º µ 1 n L n (ϑ) ϑ = b, ÓÐ b N k (0, I(ϑ)). Å Ö ÞØ ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ Ñ Ó Ö Ú ÐØ Ð ÐÐ Ñ ØÖ Ü ¾º µ 2 L n (ϑ) ϑ ϑ = n 2 log f(x i, ϑ). ϑ ϑ Þ ØÐ Ò I(ϑ) Ú Ö Ø ÖØ ò Ø Ó Ð ÐÐ Ý Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ Ñ ØØ ¾º µ Ñ Ò Ñ ÞØÓ Òº 1 2 L n (ϑ) n ϑ ϑ I(ϑ)

54 ÁÁÁº Å ÁÅÍŹÄÁà ÄÁÀÇÇ Å Ë Ê Ø Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖ ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝØ ϑ Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ð L n (ϑ) L n (ϑ ) + 1 L n (ϑ ) n(ϑ ϑ )+ n ϑ + 1 [ 1 n(ϑ ϑ ) 2 L n (ϑ ] ) n(ϑ ¾º½¼µ ϑ ). 2 n ϑ ϑ Ñ Ö Ø ÓØ Ð ÝØÙ Þ n n ÞÓÖÞ Ø ÙØ Ð ÖØÙ º Þ Ð Þ Ð Ô Ò ÞÔÓÒØ Ø Ö ÐÓ ÞÐ Ø Ø Ð Ò Ý Þ ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ Ð ÐÑ Þ Ø º Þ ÖØ ¾º½¼µ Þ ÑÔØÓØ Ù Ò ¾º½½µ L n (ϑ) c + b y 1 2 y I(ϑ )y, ÓÐ y = n(ϑ ϑ ) b N k (0, I(ϑ )) c = L n (ϑ )º ¾º½½µ Þ Ñ Ð Ò L n (ϑ) c b I 1 (ϑ )b 1 ( ) ( ) I 1 2 (ϑ )y I 1 2 (ϑ )b I 1 2 (ϑ )y I 1 2 (ϑ )b. 2 Þ Ò Þ Ñ Ü ÑÙÑ Þ y = I 1 (ϑ )b ÔÓÒØ Ò Ú Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÖØ Ô c b I 1 (ϑ )bº Ì Ø ϑ n Ñ Ü ÑÙѹРРÓÓ Ð Ö ¾º½¾µ n( ϑn ϑ ) I 1 (ϑ )N k (0, I(ϑ )) = N k (0, I 1 (ϑ )), Þ Þ ϑ n Þ ÑÔØÓØ Ù Ò ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ º ÁÒÒ Ò ¾º½ µ ϑn ϑ N k (0, (ni(ϑ )) 1 ). Ð Ð Ø Þ Ó Ý ϑ n Þ Ö 0¹ ÓÞ Ø ÖØ Ú Ö Ø ÖØ Ú ÞÓÒØ ϑ ¹ ÓÞ Ø Ø ÓÒ¹ Þ ÞØ Ò Ð º Å Ö ÞØ ϑ n Þ ÑÔØÓØ Ù Ò Ð Þ Ö Þ Ê Ó¹ Ö Ñ Ö¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ ØÓÖÞ Ø ØÐ Òµ Ð Þ Ö Ò Ð Ø Ö (ni(ϑ )) 1 º ÁØØ ÞÒ ÐØÙ Ó Ý n ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ñ Ý Ð Þ Ø ÖØÓÞ Ö¹ Ò ÓÖÑ Þ ½ Ñ Ý Ð Þ Ø ÖØÓÞ Ò n¹ Þ Ö ºµ ÐÓ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ Þ ÑÔØÓØ ¾º½ µ max 2 [L n (ϑ) L n (ϑ )] b I 1 (ϑ )b = ϑ [ ] [ ] I 1 2 (ϑ )b I 1 2 (ϑ )b. Å Ú Ð I 1 2(ϑ )b N k (0, E) Ø Ø ÒØ Þ Ø Ö ÐÓ ÞÐ χ 2 k º Þ Ò Ó Ð ÔÙÐÒ Ð Ð ÓÓ ¹ ÒÝ Ó ÔÖ Ø Ö ÐÓ ÞÐ º ¾º º Ñ ÝÞ º Ð Ð ÓÓ Ý ÒÐ Ø Ð Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖ Ø Ð Þ Þ ÑÔ¹ ØÓØ ¾º½ µ 0 = 1 L n ( ϑ n ) 1 L n (ϑ ) L n (ϑ ) n( ϑn ϑ ). n ϑ n ϑ n ϑ ϑ }{{}}{{} N k (0, I(ϑ )) Ì Ø n Ø Ò n( ϑ n ϑ ) N k (0, I 1 (ϑ ))º I(ϑ )