Átírás

1 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ Áº ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö

2

3 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ Áº

4 ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö ËÇÊÇ ÌË ÊÃ Ë Ì Þ Á ØÚ Ò

5 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ Áº Ý Ø Ñ ÝÞ Ø ÖÑ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ Å Ø Ñ Ø ÁÒØ Þ Ø

6 Ä ØÓÖ Þ Á ØÚ Ò ÄÓ ÓÒÞ Ä ÞÐ ÓÔÝÖ Ø Ä Ã ÖÓÐÝ ¾¼¼ ÓÔÝÖ Ø Ð ØÖÓÒ Ù ÞÐ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö ¾¼¼ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒØ Þ Ø ¼½¼ Ö Ò È º ½¾ ØØÔ»»ÑÓ º Ò ºÙÒ º Ù Ñò Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ð Ö Þ ÓÒ Ð Ø ÐØ Ø º Å Ò Ò Ý Ð¹ ÞÒ Ð Þ ÖÞ Ð Þ Ø Ö Ð Ò ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò Øº Ñò ÑÓ ÁýÃ Ò Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ÁÃÌ ÇÅ ¹¼¼»¾¼¼ µ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÞÓ ØÚ Ö ÁÌ Å ¼»¾¼¼ µ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ò Þ Ðغ

7 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Áº À ÐÑ ÞÓ Ö Ð Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º  РРº º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º À ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ê Ð Ð Ô Þ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÁº ËÞ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ Ú Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½º Ú Ð Þ ÑÓ Ü Ñ Ö Ò Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º Ã Þ Ø Ú Ð Þ Ñ Ó ÐÓÑ ÓÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ º ËÞ Ñµ ÐÑ ÞÓ Þ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º R ØÓÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁº ËÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ô Ó ÐÑ Ô ÓÐ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ËÓÖÓÞ ØÓ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ê Þ ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ٠ݹ ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ú Þ Ø ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Áκ ËÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ô Ó ÐÑ Ð ÔØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÃÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÅòÚ Ð Ø ÓÖÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Þ Ø ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º κ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ð Ô Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÓÐÝØÓÒÓ Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÝØÓÒÓ ÑòÚ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÝØÓÒÓ ØÓÔÓÐÓ Ù Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

8 Ì ÊÌ ÄÇÅ à ÎÁº Ú ÒÝ Ø Ö ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ð Ô Ó ÐÑ Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º À Ø Ö ÖØ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ý ÒÐ ØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ö ÖØ ÓÐÝØÓÒÓ Ô ÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓÒÓØÓÒ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÁÁº Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖÓ Ð Ñ Ú ÒÝ ½ ½º Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖÓ ÓÒÚ Ö Ò º º º º º º º º º º º º ½ ¾º À ØÚ ÒÝ ÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ñ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÁÁÁº Ö Ò Ð Þ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Î Ð Ú ÒÝ Ö Ò Ð ÒÝ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ö Ò Ð Ø ÓÐÝØÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ò Ð Ø Ð Ò Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ò Ð Ø ÑòÚ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À ØÚ ÒÝ ÓÖÓ Ö Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ñ Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼½ º sin cos Ú ÒÝ ØÓÚ ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º ÌÓÚ Ð Ñ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Å Ö Ò ò Ö Ú ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½¼º Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ú Þ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾½ Æ Ú ÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ì Ö ÝÑÙØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾

9 Áº Þ Ø À ÐÑ ÞÓ Ö Ð Ú ÒÝ Â Ð Ð ÁØØ Ò µ Ò ÐÐ Ø Ó ÞÓÒÝ Ø Ó Ø Ñ Ö Ð ¹ Ö Ö ÞÒ Ð Ù Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Þ Ô ÓÐ Ð Ñ Öص РРغ Ý ÒÒ Ð Ö Ö Ó Ý Þ A Ð ÒØ Ð Ú Ø Þ B Ð ÒØ Þ A = B Þ A Ð ÒØ Ý Ò ÖØ ò B Ð ÒØ Ð A ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð B µ Þ A B Ú Ò ÓÐÝ Ò Ð Ø Þ µ Ð ÒØ Ö Ñ Ò Ò ÖÑ ÐÝ µ Ð ÒØ Ö Ò Þ Ö ÒØ Ý ÒÐ Ð ÒØ Ö. = Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø ÞÒ Ð Ù º ½º À ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ð Ô Ó ÐÑ Ò Ö Þ Ò Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ò Ú ÐÑ Þ ÐÑ Ð Ø Ð ÓÒØÓ Ó Ð¹ Ñ Ø Ø Ö Ý Ð Ù º ÐÑ Þ ÐÑ Þ Ð Ñ Ó ÐÑ Ø ÓØØÒ Ñ Ø Ñ Ø ÞØÖ ¹ Ò µ Ø ÒØ º ÐÑ ÞÓ Ø ÐØ Ð Ò Ò Ý Øò Ð A,B,C,... ; X,Y,Z,... ; A,A 2,...µ Ð Ñ Ø Øò Ð a,b,c,... ; x,y,z,... ; a,a 2,... µ Ð Ð º ÞØ Ô Ð ÙÐ Ó Ý a Ð Ñ Þ A ÐÑ ÞÒ Þ a A Ñ ÞØ Ó Ý a Ò Ñ Ð Ñ Þ A ÐÑ ÞÒ Þ a / A Þ Ñ ÐÙÑÑ Ð Ð Ð º Ý ÐÑ Þ ÓØØ Ñ Ò Ò ÓÐÓ Ö Ð Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð ØÙ Ù ÒØ Ò Ó Ý Ð Ñ Ú Ý Ñº ÐÑ ÞÓ Ø Ñ Ø Ù Þ Ð Ñ Ð ÓÖÓÐ Ú Ð {a,b,c,x,y,z, α,β} Ú Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ ÖØ ÐÑ Þ Ð Ñ Ö Ú Ð T ØÙÐ ÓÒ ÐÐ Ø µ Ø Ú Ð Þ {x x T ØÙÐ ÓÒ } {x T(x)} {x A T(x)} Ð Ð ¹ к

10 ½¼ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã ½º Ò º ÞØ ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝÒ Ý ØÐ Ò Ð Ñ Ò Ö Ð¹ Ñ ÞÒ Ò Ú ÞÞ Þ Ñ ÐÙÑÑ Ð Ð Ð º ¾º Ò º Þ A B ÐÑ ÞÓ Ý ÒÐ Ð Ñ Ù Ý Ò ÞÓ Þ Þ x A x Bº ÞØ A = B Ø Ø A B Ñ ÓÒ Ð Ð º È Ð º ½º À A = {a,b,c,d} B = {d,b,c,a} ÓÖ A = Bº ¾º À A = {a,b,c,d} B = {b,c,e} ÓÖ A Bº ½º Ñ ÝÞ º ¾º Ò Ó Ý Ý Ö ÐÑ Þ Ð Ø Þ º º Ò º Þ A ÐÑ Þ Ö Þ ÐÑ Þ Ö Þ µ B ÐÑ ÞÒ Ñ Ò Ò x A Ø Ò x B Ø Ð Ð Þ Þ x A = x Bµº ÒÒ Ð Ð A B Ú Ý B Aº È Ð º À A = {α,β,γ} B = {α,β,γ,δ} ÓÖ A Bº º Ò º Þ A ÐÑ Þ Ú Ð Ö Þ B ÐÑ ÞÒ A B A Bº È Ð º À A = {α,β,γ} B = {β,γ,α} ÓÖ A B A Ò Ñ Ú Ð Ö Þ ÐÑ Þ B¹Ò Ñ ÖØ A = Bº ¾º Ñ ÝÞ º A = B A B B Aº º Ñ ÝÞ º ËÞÓ Ó Þ Ó Ý A B ÐÐ ØÚ B A ÞØ Ð Ð Ó Ý A Ú Ð Ö Þ B¹Ò ÐÝ Ò ÓÖ ÞØ Ó Ý A Ö Þ ÐÑ Þ B¹Ò A B Ú Ý B A Ð Ð º º Ò º À ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ú Ý ÐÑ Þ Ð µ Ð ØØ ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ö ÐÑ ÞØ ÖØ Ò Ñ ÐÝÒ Ð Ñ ÐÑ ÞÓ º º Ò º Ý A ÐÑ Þ Þ Ö Þ ÐÑ Þ Ð ÐÐ ÐÑ ÞØ Þ A ع Ú ÒÝ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ 2 A ¹Ú Ð Ð Ð º º Ò º À I Ý ÝÒ Ú Þ Øص Ò Ü ÐÑ Þ ÖÑ ÐÝ i I Ø Ò ÓØØ Ý A i ÐÑ Þ ÓÖ Þ {A i i I} Ñ ÓÒ Ð ÐØ ÐÑ ÞØ I¹Ú Ð Ò Ü ÐØ ÐÑ ÞÖ Ò Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ º º Ò º Þ A B ÐÑ ÞÓ Ý Ø Ò ÙÒ Òµ ÞØ Þ A B¹ Ú Ð Ð ÐØ ÐÑ ÞØ ÖØ Ñ ÐÝ Ñ Ò ÞÓ Ð Þ Ð Ñ Ð ÐÐ Ñ ÐÝ Þ A B ÐÑ ÞÓ Þ Ð Ð Ð Þ Ý Þ ÓÞÞ Ø ÖØÓÞÒ º Þ A B ÐÑ ÞÓ Þ Ö Þ Ò Ñ Ø Þ Ø Òµ ÞØ Þ A B¹Ú Ð Ð ÐØ ÐÑ ÞØ ÖØ Ñ ÐÝ Ñ Ò ÞÓ Ð Þ Ð Ñ Ð ÐÐ Ñ ÐÝ Ñ Ò Þ A Ñ Ò B ÐÑ ÞÒ Ð Ñ º

11 ½º À ÄÅ ÄÅ Ä ÌÁ Ä È Ç ÄÅ Ã ½½ Þ A B ÐÑ ÞÓ Ð Ò Ò ÞØ Þ A\B¹Ú Ð Ð ÐØ ÐÑ ÞØ ÖØ Ñ ÐÝ Þ A ÐÑ Þ ÞÓÒ Ð Ñ Ð ÐÐ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ñ B ÐÑ ÞÒ º Ì Ñ Ö Ö Ñ Ò A B. = {x x A Ú Ý x B}, A B. = {x x A x B}, A \ B. = {x x A x / B} ÐÑ ÞÓ Þ ØØ ÑòÚ Ð Ø Ö Ð Ð Þ ÑÐ ÐØ Ø Ø ÝÒ Ú ¹ Þ ØØ Î ÒÒ¹ Ö ÑÓ Ðº A B A B ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ A B A B A B A B A \ B ½º½º Ö º Î ÒÒ¹ Ö ÑÓ A B Ý R ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ý Ø Ò ÐÐ ØÚ Þ Ö Þ Ò Þ R. = {a A R, a A}, R. = {a A R¹Ö a A} ÐÑ ÞÓ Ø ÖØ º À R = {A i i I} Ý Ò Ü ÐØ ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö ÓÖ Ý Ø Ø ÐÐ ØÚ Þ Ö Þ Ø Þ A i ÐÐ ØÚ A i Þ Ñ ÐÙÑÓ Ð Ð Ð º i I È Ð º À A = {a,α,β,b,c} B = {a,α,b,d,e} ÓÖ i I A B = {a,α,β,b,c,d,e}, A B = {a,α,b}, A \ B = {β}, B \ A = {d,e}. ½º Ø Ø Ðº À A,B,C Ø Ø Þ Ð ÐÑ ÞÓ ÓÖ A B = B A, A B = B A

12 ½¾ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø µ (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) ÞÓ Ø Ú Ø µ A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) ÞØÖ ÙØ Ú Ø µ A\B = A\(A B), A\(B C) = (A\B) (A\C), (A\B) C = (A C)\B, A\(B C) = (A\B) (A\C), A B = B A B, A B = B A B, A\B = A B. ÞÓÒÝ Ø º Ò Ð ÞÚ ØÐ Ò Ð º Ö ÑÑ Ð ËÞ ÑÐ ÐØ Î ÒÒ¹ ¹ º Ò º Þ A B ÐÑ ÞÓ Þ ÙÒ Ø Ò µ A B = º À Ý R ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö ÖÑ ÐÝ Ø Ð Ò Þ ÐÑ Þ Þ ÙÒ Ø ÓÖ Ô ÖÓÒ ÒØ Þ ÙÒ ØÒ Ò Ú ÞÞ º È Ð º ½º À A = {α,β,a,b}, B = {γ,δ,e} ÓÖ A B = Ý A B Þ¹ ÙÒ Ø º ¾º À A = {α,β,b}, B = {a,β,d} ÓÖ A B = {β} Ý A B Ò Ñ Þ ÙÒ Ø º ½¼º Ò º À X ÓØØ ÐÑ Þ A X ÓÖ C X A(= A c = A = CA). = X \ A ÐÑ ÞØ Þ A ÐÑ Þ X ÐÑ ÞÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò ¹ Ú ÞÞ º È Ð º À X = {a,b,c,α,β,γ}, A = {a,β,γ} ÓÖ C X A = {b,c,α}º ¾º Ø Ø Ðº À A,B X ÓÖ A A = X, A A =, = X, X = A = A, A B = A B, A B = A B. Þ Ð Þ Ø Þ Ø ÅÓÖ Ò¹ Ð ÞÓÒÓ Ò Ò Ú ÞÞ º ÅÓÖ Ò¹ Ð ÞÓÒÓ Ó ÖÚ ÒÝ Ø Ø Þ Ð Ò Ó ÐÑ Þ Ø Ò A γ A γ. γ Γ A γ = γ Γ γ Γ A γ = γ Γ

13 ¾º Ê Äý Á Ã Ä Ã È Ë Ãµ ½ ÞÓÒÝ Ø º Ò Ð ÞÚ ØÐ Ò Ð º Ö ÑÑ Ð ËÞ ÑÐ ÐØ Î ÒÒ¹ ¹ ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ A B A B ½º¾º A B A B Ö º ÅÓÖ Ò¹ ÞÓÒÓ Î ÒÒ¹ Ö ÑÓ Ð ¾º Ê Ð Ð Ô Þ µ ½º Ò º Þ a b Ð Ñ Ð Þ Ø ØØ Ö Ò Þ ØØ Ð ÑÔ ÖÓÒ Ý (a,b) Þ Ñ ÐÙÑÓØ ÖØ Ò Ñ ÐÝÖ Þ Ó Ý (a,b) = (c,d) a = c b = dº ½º Ñ ÝÞ º Þ (a,b). = {{a}, {a,b}} Ò Ð Ø º ÓÖ ¹ ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý Ø Ð Ð (a,b) = (c,d) a = c b = dº ¾º Ò º Þ A B ÐÑ ÞÓ ÖØ ¹ ÞÓÖÞ Ø Ò Þ ÐÑ ÞØ ÖØ º A B. = {(a,b) a A, b B} È Ð º À A = {,2,3,4}, B = {x,y,z} ÓÖ Þ x y z x (, x) (2, x) (3, x) (4, x) y (, y) (2, y) (3, y) (4, y) (x, ) (y, ) (z, ) 2 (x, 2) (y, 2) (z, 2) z (, z) (2, z) (3, z) (4, z) 3 (x, 3) (y, 3) (z, 3) 4 (x, 4) (y, 4) (z, 4) Ø Ð Þ ØÓ ÑÙØ Ø Ó Ý A B = {(,x),(,y),(,z),(2, x),(2, y),(2,z), (3,x),(3,y),(3,z),(4, x),(4,y),(4,z) }; B A = {(x,),(x,2),(x,3),(x,4),(y, ),(y, 2), (y,3), (y,4), (z,),(z,2),(z,3),(z,4) }. ½º Ø Ø Ðº À A, B C Ø Ø Þ Ð ÐÑ ÞÓ ÓÖ µ A B = A = Ú Ý B =,

14 ½ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã µ (A B) C = (A C) (B C), µ A (B C) = (A B) (A C), µ (A B) C = (A C) (B C), µ A (B C) = (A B) (A C), µ (A\B) C = (A C)\(B C), µ A (B\C) = (A B)\(A C), µ B C = A B A C. ¾º Ñ ÝÞ º A B ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ý ÒÐ B A Ó Ý ÞØ ¾º Ò ÙØ Ò Ô Ð ÑÙØ Ø º º Ò º Þ A B ÐÑ Þ Ý F Ö Þ ÐÑ Þ Ø A B Þ ØØ Ò Öµ Ö Ð Ò Ú Ý Ñ Þ Ú Ð A¹ Ð B¹ Ú Ð Ð Ô Þ Ò Ò Ú ÞÞ º À A = B ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý F Ö Ð A¹Òº È Ð º À A = {,2,3,4}, B = {x,y,z} ÓÖ Ò Ö Ö Ð A B Þ ØØ Ò Ö Ö Ð B A Þ Øغ F = {(,x),(,y),(2,z), (3,y), (3, z)} A B G = {(x,3),(y,),(z,),(z,3)} B A º Ñ ÝÞ º Þ (a,b) F Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÞÓ afb¹ú Ð Ð ÐÒ Ý ÓÐÚ Ù a Þ F Ö Ð Ò Ú Ò b¹ú Ð Ú Ý F a¹ ÓÞ b¹ø Ö Ò Ð µº º Ò º D F. = {x A y B, (x,y) F }, RF. = {y B x A, (x,y) F } ÐÑ ÞÓ Ø Þ F Ö Ð Ð Ô Þ µ ÖØ ÐÑ Þ ¹µ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ð¹ Ð ØÚ ÖØ ÞÐ Ø Ò ÔØ ÖØÓÑ ÒÝ Ò µ Ò Ú ÞÞ º È Ð º Þ Ð F G Ö Ð Ö D F = {,2,3} A, R F = {x,y,z} = B, D G = {x,y,z} = B, R G = {,3} A. º Ñ ÝÞ º À D F = A Ý A¹Ò B¹ R F = B Ý A¹ Ð B¹Ö D F = A R F = B Ý A¹Ò B¹Ö Ú Ð Ð Ô Þ Ö Ð Þ Ð Ò º È Ð º Þ Ð F Ð Ô Þ A¹ Ð B¹Ö Ú Ð Ð Ô Þ Ñ G Ð Ô Þ B¹Ò A¹ Ú Ð Ð Ô Þ º

15 ¾º Ê Äý Á Ã Ä Ã È Ë Ãµ ½ º Ò º À F A B ÓØØ Ö Ð C A ÓÖ Þ F(C). = {y B x C, (x,y) F } ÐÑ ÞØ C ÐÑ Þ F ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ô Ò Ò Ú ÞÞ º Þ Ý Ð Ñò {x} A (x A) ÐÑ Þ Ô Ø Ð Ð F(x) Þ Þ (x,y) F ÓÖ Þ y = F(x) Ð Ð Ð Ø º ÓÖ F(x)¹ Ø F x¹ Ð ÖØ Ò Ò Ú ÞÞ º F(x) Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØØ µ È Ð º À A B F Þ Ð ØÓÚ C = {,3} A ÓÖ F(C) = {x,y,z} = B = R F C F ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ô º (,x) F Ý x = F() Þ F ¹ Ð Ô (,y) F Ý y = F() Þ F ¹ Ð Ô Þ Þ F() Ò Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ º Ò º À F A B ÓØØ Ö Ð Ð Ô Þ µ C D F ÓÖ F C. = {(x,y) F x C} Þ F Ö Ð Ð Ô Þ µ C¹Ö Ú Ð Ð Þò Ø º È Ð º À A,B,C F Þ Ð Ý C D F Þ F C¹Ö Ú Ð Ð Þò Ø º F C = {(,x),(,y),(3,y),(3,z)} º Ò º Þ F A B Ö Ð Ð Ô Þ µ ÒÚ ÖÞ Ò Þ ÐÑ ÞØ ÖØ º È Ð º À A,B,F Þ Ð Ý F. = {(y,x) B A (x,y) F } F = {(x,),(y,),(y,3),(z, 2),(z,3)} B A. º Ñ ÝÞ º Ò Ð ÒÒÝ Ò Ú Ø Þ Ó Ý D F = R F, R F = D F, (F ) = F, F (B) = D F. È Ð º Þ Ð Ô Ð Ð Ô Ò D F = {x,y,z} = R F, R F = {,2,3} = D F, (F ) = {(,x),(,y),(2,z),(3, y),(3,z)} = F, F (B) = {,2,3} = D F. º Ò º Ä Ý Ò A, B, C ÓØØ ÐÑ ÞÓ F A B G B C ÓØØ Ö Ð º F G ÓÑÔÓÞ Ò Þ Ø Ø Ð Òµ G F. = {(x,z) y B, (x,y) F, (y,z) G} Ö Ð Ø ÖØ º ÆÝ ÐÚ Ò G F A C Þ ØØ Ö Ð ºµ

16 ½ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã È Ð º À A = {,2,3}, B = {y,z}, C = {α,β} ØÓÚ F = {(,y),(,z),(3,y)} A B G = {(y,α),(z,α),(z,β)} B C Ö Ð ÓÖ G F = {(,α),(,β),(3, α)} A C Ö Ð Þ F G ÓÑÔÓÞ º ¾º Ø Ø Ðº º Ò Ð Ð Ñ ÐÐ ØØ (G F) = F G º À H C D Ý ÖÑ Ö Ð D Ø Ø Þ Ð ÐÑ Þµ ÓÖ H (G F) = (H G) F. È Ð º Þ Ð Ô Ð ÐÑ Þ Ø Ö Ð Ø Ø ÒØÚ (G F) = {(α,),(α,3),(β,)} ØÓÚ F = {(y,),(y,3),(z,)} G = {(α,y),(α,z),(β,z)} Ñ ØØ F G = {(α,),(α,3),(β, )}º Ý (G F) = F G º Ö Ò Þ Ö Ð Þ ÑÓ Þ ØØ Ú Ý Ý ÒÐ Ú ÞÓÒÝ ÐÚÓÒØ Ñ Ó ÐÑ Þ º º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ Þ A ÐÑ Þº Þ R A A Ö Ð Ø Ö Ò Þ Ö Ð Ò Ú Ý Ö Ò Þ Ò Ò Ú ÞÞ Þ A ÐÑ ÞÓÒ x,y,z A Ø Ò µ xrx Ú Ý (x,x) R) Ö Ü Úµ µ xry yrx ÓÖ x = y ÒØ Þ ÑÑ ØÖ Ù µ µ xry yrz ÓÖ xrz ØÖ ÒÞ Ø Úµ µ xry Ú Ý yrx Ø Ð Ð Ð Ò Ö Ú Ý Ø Ð µº ÓÖ Þ (A,R) Ô ÖØ Ú Ý Þ A ÐÑ ÞØ Ö Ò Þ ØØ ÐÑ ÞÒ Ò Ú ÞÞ º À µ µ µ Ø Ð Ð ÓÖ R¹Ø Ô Ö Ð Ö Ò Þ Ò Ò Ú ÞÞ º R¹Ø ÐØ Ð Ò ¹Ú Ð Ð Ð Ôк Þ x y¹ø Ý ÓÐÚ Ù Ó Ý x Ú Ý Ý ÒÐ Ñ ÒØ yº À x y x y ÓÖ ÞØ Ý Ð Ð Ó Ý x < y x Ñ ÒØ yµº < Ö Ð Ò Ñ Ö Ò Þ º ËÞÓ Ó Ñ x y ÐÐ ØÚ x < y ÐÝ ØØ Þ y x, y > x Ð Ð Ø ÞÒ ÐÒ º È Ð º À A = {,2,3} ÓÖ A A = {(,),(,2),(,3),(2,), (2, 2),(2,3),(3, ),(3,2),(3, 3)}. R = {(,),(,2),(2,2),(3,3)} A A Ô Ö Ð Ö Ò Þ A¹Òº R 2 = {(,),(,2),(,3),(2,2), (2, 3),(3,3)} A A Ø Ò (A,R 2 ) ÐÐ ØÚ A Ö Ò Þ ØØ ÐÑ Þº ½¼º Ò º Ä Ý Ò A Ý Ö Ò Þ ØØ ÐÑ Þº Ý B A Ö Þ ÐÑ ÞØ Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ò Ò Ú Þ Ò a A Ó Ý b B Ø Ò b aº Þ

17 º Î Æ Ã ½ a¹ø B ÐÑ Þ Ð ÓÖÐ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º À ÓÒÐ Ò Ò Ð Ø Þ ÐÙй Ö Ð ÓÖÐ ØÓ ÐÑ Þ ÐÐ ØÚ Þ Ð ÓÖÐ Ø º Ý ÐÑ ÞØ ÓÖÐ ØÓ Ò Ò Ú Þ Ò ÐÙÐÖ Ð Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ º Ý α A Ð Ñ Ø B ÐÑ Þ ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø Ò Ò Ú Þ Ò α Ð ÓÖÐ Ø B¹Ò B ÐÑ Þ ÖÑ ÐÝ β Ð ÓÖÐ Ø Ö α β Ø Ð Ðº À Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø B¹Ò Ý ÞØ supb¹ú Ð Ð Ð ÙÔÖ ÑÙÑ Bµº À ÓÒÐ Ò ÖØ ÐÑ Þ Ø ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø º È Ð º Þ Ð Ô Ð Þ Ö ÒØ A R 2 ¹Ú Ð Ö Ò Þ ØØ ÐÑ Þº B = {,2} A ÐÑ ÞÒ ¾ Ð Ñ ½ Ð ÓÖÐ Ø º B ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø ¾ ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø ½º ½½º Ò º Ý ÓÐÝ Ò Ö Ò Þ ØØ ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò Ò Ñ Ö ¹ Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ö Þ ÐÑ ÞÒ Ú Ò ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø Ø Ð Ò Ò Ú ÞÞ º È Ð º Þ Ð A ÐÑ ÞÖ Þ R 2 Ö Ò Þ Ð ÒÝ ÐÚ Ò Ø Ð Ð Ó Ý Ñ Ò Ò Ò Ñ Ö B Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ú Ò ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø Ý A Ø Ð º º Ú ÒÝ Ú ÒÝ Ó ÐÑ Ò Ð Ø Ø Þ ÑÓØ Ú Ð Ó Ý Ø ÖØ ò Ú ÒÝ Ò Ò Þ º ½º Ò º Ä Ý Ò A B ÓØØ ÐÑ ÞÓ º Þ f A B Ö Ð Ø Ú ÒÝÒ Ò Ú ÞÞ (x,y) f (x,z) f Ø Ò y = z Ø Ð Ð Þ Þ x A Ø Ò Ð Ð Ý ÓÐÝ Ò y B Ð Ø Þ Ñ ÐÝÖ (x,y) fµº È Ð º À A = {,2,3,4}, B = {x,y,z} ÓÖ ½º Þ f = {(,x),(,y),(2,z),(3,y), (3,z)} A B Ö Ð Ò Ñ Ú ÒÝ Ñ ÖØ (,x) f (,y) f x y ¾º Þ f = {(,x),(2,z),(3,y)} A B Ö Ð Ú Òݺ ½º Ñ ÝÞ º Å Ò Ò Ú ÒÝ Ö Ð Ý Þ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ö¹ Ø ÞÐ Ø Ô Ð Þò Ø Ò Ñ Ý Þ º º º Ò Ð Ð Ð Ú ÐØÓÞ ØÐ ÒÓ º ¾º Ñ ÝÞ º Ú ÒÝ Ò Ý Ñ Ó ÐÑ Þ Ø f A B Ö Ð Ú ÒÝ x D f Ø Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý y B Ð Ø Þ Ó Ý (x,y) fº

18 ½ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã º Ñ ÝÞ º À f Ð Ð Ú ÒÝØ ÓÖ (x,y) f Ø Ò y = f(x) Ð Ð Þ x Ð Ñ Ô Ø Ú Ý Þ f Ú ÒÝ x ÐÝ Ò ÐÚ ØØ ÖØ Ø ¹ ÐÝ ØØ Ø ÖØ Øµ f : A B ÞØ Ó Ý f A¹Ø B¹ Ô Þ Ñ {(x,f(x))} Þ f Ö Ø ÐÐ ØÚ Ñ Ø Ú ÒÝØ µ Ð ÒØ º º Ñ ÝÞ º Ú ÒÝ Ñ Ò Ð ÞÓ Ó Þ Ð Ð Ð y = f(x), x A (x D f ) ; x f(x) x A (x D f ) ; f = {(x,f(x)) x D f }. ¾º Ò º Þ f A B Ú ÒÝ ÒÚ ÖØ Ð Ø Þ f Ö Ð Ú Òݺ ÓÖ f ¹ Ø Þ f ÒÚ ÖÞ Ú ÒÝ Ò ÒÚ ÖÞ Ò µ Ò Ú ÞÞ Þ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ú ÒÝØ Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ú Ý Ý¹ Ý ÖØ ÐÑò Ð ¹ Ô Þ Ò Ò Ú ÞÞ µº È Ð º Ä Ý Ò A = {,2,3,4}, B = {x,y,z} ÓÖ ½º Þ f = {(,x),(2,z),(3,y)} A B Ú ÒÝ Ø Ò f = {(x,),(z,2),(y,3)} B A Ú ÒÝ Ý f ÒÚ ÖØ Ð Ø º ¾º g = {(,x),(2,z),(3,x)} A B Ú ÒÝ Ø Ò g = {(x,),(z,2),(x,3)} B A Ò Ñ Ú ÒÝ Ñ ÖØ (x,) g (x,3) g 3 Ý g Ò Ñ ÒÚ ÖØ Ð Ø º ½º Ø Ø Ðº Þ f : A B Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ Ò Ò x,y A, x y Ø Ò f(x) f(y) Ú Ý x,y A Ø Ò f(x) = f(y) = x = yµº ÞÓÒÝ Ø º Ý ÓÖÐ ØÓÒ Ð Øµº Þ Þ Ø ØØ Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ Þ Ð ÒÝ Ú Ø Þ ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f A B g B C Ú ÒÝ º ÓÖ g f Ú ÒÝ x D g f ¹Ö (g f)(x) = g(f(x))º È Ð º Ä Ý Ò ÓØØ Þ A = {,2,3}, B = {x,y}, C = {u,v} й Ñ ÞÓ Þ f = {(,x),(2,x),(3,y)} A B, g = {(x,u),(y,u)} B C Ú ÒÝ º ÓÖ g f = {(,u),(2,u),(3,u)} Ú ÒÝ Ô Ð ÙÐ (g f)() = u, g(f()) = g(x) = u = (g f)() = g(f())º º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ Þ f g Ú Òݺ g f Ú ÒÝØ Þ Ø ØØ Ú ÒÝÒ Þ f¹ Ø Ð g¹ø Ð Ú ÒÝÒ Ò Ú ÞÞ º º Ñ ÝÞ º Ò Ó Ý D g f D f ; D g f = D f R f D g ; g f = R f D g =.

19 È Ð º ¾º Ø Ø ÐØ Ú Ø Ô Ð Ò º Î Æ Ã ½ D g f = {,2,3} = D f = D g f D f Þº R f = {x,y} D g = {x,y}) = D g f = D f. º Ò º Þ A ÐÑ Þ ÒØ Ù Ú ÒÝ Ò Þ Ú ÒÝØ ÖØ º id A : A A, id A (x) = x Ã Ø ÐÑ ÞÖ Ð Ð ØÙ Ù ÒØ Ò ÞØ Ó Ý Ð Ñ Þ Ñ Ý ÒÐ ¹ Ø ÐÑ Þ Ð Ñ Ø Ô Ö ÐÐ Ø Ù º Þ ÓÒ ÓÐ Ø ÑÓØ Ú ÐØ ÐÑ ÞÓ Ú Ú Ð Ò Ò Ó ÐÑ Øº º Ò º Þ M N ÐÑ ÞÓ Ú Ú Ð Ò f : M N M¹ Ø N¹Ö Ô Þ µ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ú Òݺ º Ò º Ä Ý Ò A Ø Ø Þ Ð ÐÑ Þº Ý f : A A A Ú ÒÝØ Ò Öµ ÑòÚ Ð ØÒ Ò Ú Þ Ò A¹ Òº

20

21 ÁÁº Þ Ø ËÞ ÑÓ Ú Þ Ø Þ ÓÐ Ò Ñ Ø ÒÙÐØÙ Þ ÑÓÐ Þ ÐÝ Ø Ñ Ñ ÖØ Þ ÑÓ ØÙÐ ÓÒ Ø º Þ Ð Ü Ñ Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Þ Ò ØÙÐ ÓÒ¹ Ó Þ Ð Ð ÓÒØÓ Ö Þ Ø º Ø Ø Ü Ñ Þ Þ ÞÓÖÞ Þ ÐÝ Ø Ö Ò Þ Ü Ñ Ö Ð ØÙÐ ÓÒ Ø Ö Þ Ø Ø Ð Ô Ú Ð Ñ ÓÐÝ Ñ Ø Þ Ó Ý Þ Ñ Ý Ò Ò Ñ ÐÝÙ º Þ Ü Ñ Ð ÒØ ÞÓÒ Ò Ñ Þ Ø ÐÒ Þ ÐÝÓ Ý Þ ¹ Ò Ö Þ Ø Òº Þ Ð Ü Ñ Ð Ù Ý Ò Ð Ú Þ Ø Ø Ñ Ò Ò Ñ Þ ÐÝ ØÙÐ ÓÒ º Ë Ø Ú Ð Ò Þ Ü Ñ Ø Ø Ð Ø Ó ØÙÑ Þ Ñ Ø Ú Ð Þ ÑÓ Ò Ò Ú Þ Ò º Þ Ø ØÓÚ Ö Þ Ò Þ Ü Ñ Ð Ð Ú Þ Ø Ú Ð Þ ÑÓ Ò ¹ ÒÝ ØÙÐ ÓÒ Øº Þ ÐÑ Ð Ø Ø Ð Ð Ô Ø Ö Ò Ñ Ú ÐÐ Ð ÓÞÙÒ Þ ÓÐÚ Ñ ÒÝÙ Ø Ø Ö Ð Þ ÞÞ Ó Ý Þ ÓÐ Ò Ø Þ Ø ÖØ Ö Ð Þ Ñ Ý Ò Ö Ð Ð ØÓØØ Ô Ñ Ð Ð Þ Ü Ñ ÓÒ ÒÝÙ Ú ÐÑ Ð ØÒ º ½º Ú Ð Þ ÑÓ Ü Ñ Ö Ò Þ Ö Þ R ÐÑ ÞØ Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ Ø Ð Ø Þ Ð Ü Ñ Øº Ì Ø Ü Ñ ÖØ ÐÑ ÞÚ Ú Ò R¹ Ò Ø ÑòÚ Ð Ø Þ f : R R R, f 2 : R R R, x + y =. f (x,y) Þ Þ x y =. f 2 (x,y) ÞÓÖÞ Ñ ÐÝ Ð Ø Ú Ø Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ø Ø Ü Ñ Ø ½µ x + y = y + x, x y = y x x,y R ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø µ ¾µ (x + y) + z = x + (y + z), (x y) z = x (y z) x,y,z R ÞÓ Ø Ú Ø µ µ x (y + z) = x y + x z x,y,z R ÞØÖ ÙØ Ú Ø µ ¾½

22 ¾¾ ÁÁº Ë ýåçã µ 0 R Ó Ý x + 0 = x x R Þ ÖÙ Ú Ý ÒÙÐРРѵ µ x R Ø Ò x R Ó Ý x + ( x) = 0 Ø Ú ÒÚ ÖÞµ µ R Ó Ý 0 x = x x R Ý Ð Ñµ µ x R, x 0 Ø Ò x R Ó Ý x x = ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞµº Ê Ò Þ Ü Ñ ÖØ ÐÑ ÞÚ Ú Ò Þ R Ø Ø Ò Ý R R Ö Ò Þ Ö Ð Þ Áº¾º º Ò Þ Ö ÒØ Ò Ý ØÙÐ ÓÒ Ðµ Ñ ÐÝ Ö Ø Ð Ð Ñ Ó Ý µ µ x,y R x y ÓÖ x + z y + z z R x,y R, 0 x 0 y ÓÖ 0 x y Þ Þ ÞÓÖÞ ÑÓÒÓØÓÒ Ø µº Ò Ú ÞÞ º ÓÖ R¹ Ø Ö Ò Þ ØØ Ø ØÒ Ì Ð Ü Ñ Þ R Ö Ò Þ ØØ Ø Ø Ñ ÒØ Ö Ò Þ ØØ ÐÑ Þµ Ø Ð Þ Þ R ÖÑ ÐÝ Ò Ñ Ö Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø º Þ Ó Ð ÐÚ Þ R ÐÑ ÞØ Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ R Ø Ð Ö Ò Þ ØØ Ø Øº Å ÝÞ º Å ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Ð Ø Þ ÐÝ Ò ÐÑ Þ ÞÓÒÝÓ ÖØ ¹ Ð Ñ Ò Ý ÖØ ÐÑòº Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ö Ð Ñ Ö Ú Ò Þ Ð Ò º ¾º Ã Þ Ø Ú Ð Þ Ñ Ó ÐÓÑ ÓÞ µ Ø Ø Ü Ñ ÓÒØÓ Ú Ø ÞÑ ÒÝ ØÓÚ Ò ÞÓÖÞ Ø Ð ÒØ ÔÓÒØÓØ Ò Ñ Ö Ù Þ ÐØ Ð Ò Ò Ñ Þ Ú Ö µ ØÓÚ Þ Þ ÞÓÖÞ ÞÓ Ø Ú Ø Ð Ø Ú Ø Þ Ó Ý (x+y)+z x+(y +z) ÐÝ ØØ x+y +z¹ø Ñ (xy)z x(yz) ÐÝ ØØ xyz¹ø Ö ÙÒ º ½º Ø Ø Ðº R¹ Ò ÐØ Ð Ò Ñ Ò Ò Ø Ø Òµ Þ ÖÙ Þ Ý Ð Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ ÞÓÒÝ Ø º À Ôк R¹ Ò 0 0 Þ ÖÙ Ð Ñ ÓÖ Þ ½º º Ø Ø Ü Ñ Ñ ØØ 0 = = = 0 Ø Ø 0 = 0 º À ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø ½ Ý ÖØ ÐÑò º

23 ¾º ÃÁ Ë Ì Ë Ã Î Ä Ë Ë ýå Ç ÄÇÅÀÇ ¾ ¾º Ø Ø Ðº À x,y,z R Ø Ò x + y = x + z ÓÖ y = z Ñ x 0 ÓÖ xy = xz = y = z Ý Þ Öò Ø Þ Ðݵº ÞÓÒÝ Ø º Ø Ø Ü Ñ Þ x + y = x + z ÐØ Ø Ð Ó Ý ÐÐ ØÚ y = 0 + y = ( x + x) + y = x + (x + y) = x + (x + z) = = ( x + x) + z = 0 + z = z, y = y = (x x) y = x (x y) = x (x z) = (x x) z = z = z, Ø Ø y = z Ñ Ò Ø Ø Òº º Ø Ø Ðº ÖÑ ÐÝ R¹ Ð Ð ÑÒ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ø Ú ÒÚ ÖÞ Ö¹ Ñ ÐÝ R¹ Ð ¼¹Ø Ð Ð Ò Þ Ð ÑÒ ÔÓÒØÓ Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞ Ú Òº ÞÓÒÝ Ø º À x¹ò y z Ø Ú Ú Ý x 0¹Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÒÚ ÖÞ Ý x + y = 0 = x + z ÐÐ ØÚ xy = = xz Þ Ð Ø Ø Ð Þ Ý Þ Öò Ø Þ Ðݵ Ó Ý y = z Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ø Ø Ø Ð ÐÐ Ø Þº º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò x,y R ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò Ý z R Ð Ø Þ Ó Ý y + z = x Ñ y 0 ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò Ý z 2 R Ð Ø Þ Ó Ý yz 2 = x ÚÓÒ ÐÐ ØÚ Ó ÞØ Ð Øµº ÞÓÒÝ Ø º z = x+( y) ÐÐ ØÚ z 2 = xy Ø Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý y+z = x, yz 2 = xº Þ Ý ÖØ ÐÑò Þ y + z = x = y + z ÐÐ ØÚ yz 2 = x = yz 2 Ý ÒÐ Ð ¾º Ø Ø Ð Ø Ú Ð Þ Ò z = z z 2 = z 2 Þº ½º Ò º º Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ z ÐÐ ØÚ z 2 Ú Ð Þ ¹ ÑÓ Ø Ñ ÐÝ Ö Ø Ø y + z = x ÐÐ ØÚ y 0 Ø Ò yz 2 = x Ø Ð Ðµ Þ x y Ú Ð Þ ÑÓ Ð Ò Ò ÐÐ ØÚ ÒÝ Ó Ò Ò Ú ÞÞ x y¹ò Ð ÐÐ ØÚ x y ¹Ò Ð Ð Ð º x ¹Ø Ò Ñ ÖØ ÐÑ ÞÞ º 0 Å ÝÞ º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý x y = x+( y) ÐÐ ØÚ x y = x y Þ Ò ÐÐ ØÚ y + (x + ( y)) = y + (( y) + x) = (y + ( y)) + x = 0 + x = x, y (x y ) = y (y x) = (y y ) x = x = x Ø Ð Ðº ËÔ Ð Ò y = y º

24 ¾ ÁÁº Ë ýåçã º Ø Ø Ðº ÖÑ ÐÝ x R Ø Ò ( x) = x, 0 x R Ø Ò ( x ) = x, Þ Þ x = x. ÞÓÒÝ Ø º Þ º Ø Ø Ü Ñ Ò x ÐÝ Ö x¹ Ø ÐÐ ØÚ º Ø Ø Ü Ñ Ò x ÐÝ Ö x ¹ Ø ÖÚ Ô Ù Ñ Ð Ð ÐÐ Ø Ó Øº º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò x,y Rº x y = 0 x = 0 Ú Ý y = 0º µ Ì ÖÑ Þ Ø Þ Ö ÓÒ Ð ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ñ ÒØ R Ö Þ ÐÑ Þ µ ½º Ò º Þ R ÞÓÒ N Ö Þ ÐÑ Þ Ø Ñ ÐÝÖ µ N µ n N ÓÖ n + N µ M N ÓÐÝ Ò Ó Ý M n M¹ Ð Ú Ø Þ Ó Ý n + M ÓÖ M = N Ø Ð Ð Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º Þ µ¹ µ¹ µ ØÙÐ ÓÒ Ó Ø Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ È ÒÓ¹ Ð Ü ¹ Ñ Ò Ò Ú ÞÞ º µ ÝÒ Ú Þ ØØ Ò Ù Ü Ñ ÞØÓ Ø Ø Ð Ò Ù ÞÓÒÝ Ø Ó Ð Ø Ó Ó ÙÐØ Øº ¾º Ò º Ý x R Þ ÑÓØ Þ Þ ÑÒ Ò Ú Þ Ò Ð Ø ÞÒ n,m N Ó Ý x = m nº Z = {m n n,m N} ÐÑ ÞØ Ô Þ Þ Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º ½º Ñ ÝÞ º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Z = N {0} {n n N} ÓÐ Þ {n n N} = N ÐÑ ÞØ Ò Ø Ú Þ Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º ¾º Ñ ÝÞ º x,y Z = x+y,x y,xy Zº Þ Þ Þ Þ Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ð Ò Ñ Ú Þ Ø Þ Þ ÚÓÒ ÞÓÖÞ º º Ò º Ä Ý Ò x R Ý x. = x, x n. = x n x (n N, n ) Þ Ö ÒØ Ò Ð Ù x Ø ÖÑ Þ Ø Ø Ú ò ØÚ ÒÝ Øº ÌÓÚ x 0. =, x n. = x n (x 0, n N) Þ Ö ÒØ ¼ ÐÐ ØÚ Ò Ø Ú Þ Ø Ú ò ØÚ ÒÝغ Ì Ð Ñ Þ Ò ÐÐ ØÚ ÞÓÖÞ Ò ÔÓÒØÓ Ò Þ Ð Ò Ð Ð Ú Ø Þ º

25 ¾º ÃÁ Ë Ì Ë Ã Î Ä Ë Ë ýå Ç ÄÇÅÀÇ ¾ º Ò º Ä Ý Ò n N a,...,a n Rº ÓÖ n. a i = a, n =, i= n. a i = a, n =, i= n a i = i= n a i = i= ( n ) a i + a n, n >, i= ( n i= a i ) a n, n >. º Ñ ÝÞ º Þ Ð n Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñ ÞÓÖÞ Ø n! = n Þ n! ( Ð Ð Ø ) Ò ØÓÖ Ð ¹Ò ÓÐÚ Ù µº 0! Ð ØØ ½¹ Ø ÖØ Ò º ( ) n.= n! n ÒÓÑ Ð Ý ØØ Ø n,k Nµº Þ Ð Ð Ø n k k!(n k)! k Ð ØØ k ¹Ò ÓÐÚ Ù º Ð Ø Ø Ó Ý x,y R n N Ø Ò ( ) ( ) ( ) n n n (x + y) n = y n + xy n + x 2 y n ( ) ( ) n n + x n y + x n = n n n ( ) n = x k y n k ÒÓÑ Ð Ø Ø Ðµº k k=0 º Ò º Ý x R Þ ÑÓØ Ö ÓÒ Ð Ò Ò Ú Þ Ò Ð Ø Þ p,q Z, q 0 Ó Ý x = p º ÐÐ Ò Þ Ø Ò x¹ Ø ÖÖ ÓÒ Ð Ò Ò ¹ q Ú ÞÞ º Q = { x x R p,q Z, q 0, Ó Ý x = p } q ÐÑ ÞØ Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Ñ Þ R\Q ÐÑ ÞØ Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ¹ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º º Ñ ÝÞ º ÓØØ x Ø Ò p q Ò Ñ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ À x,y Q ÓÖ x + y,x y,xy Q Ñ y 0 ÓÖ x y Q Ø Ð Ðº Þ Þ Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ð Ò Ñ Ú Þ Ø Ò Ý Ð ÔÑòÚ Ð Øº Q Ö Ò Þ ØØ Ø Øº Ð Ø Ø Ó Ý R\Q º Þ Þ Ú Ò ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñº

26 ¾ ÁÁº Ë ýåçã µ Ö Ò Þ Ü Ñ ÓÒØÓ Ú Ø ÞÑ ÒÝ º Ò º Ä Ý Ò x R Ø Ø Þ Ð º À 0 < x ÓÖ x¹ Ø ÔÓÞ Ø ÚÒ 0 x ÓÖ Ò Ñ Ò Ø ÚÒ x < 0 ÓÖ Ò Ø ÚÒ x 0 ÓÖ Ò Ñ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò Ú ÞÞ º Þ {x x > 0}, {x x 0}, {x x < 0} {x x 0} ÐÑ ÞÓ Ø Ô R¹ Ð ÔÓÞ Ø Ú Ò Ñ Ò Ø Ú Ò Ø Ú Ò Ñ ÔÓÞ Ø Ú Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º º Ø Ø Ðº À x,y,z,u,v R ÓÖ µ x < y = x + z < y + z ; µ 0 < x = x < 0 ; x < 0 = 0 < x ; µ 0 < x 0 < y = 0 < xy ; µ 0 x 2 ; 0 < ; µ 0 < x y < 0 = xy < 0 ; x < 0 y < 0 = 0 < xy ; µ 0 < xy 0 < x = 0 < y ; 0 < x = 0 < x µ x y z u = x + z y + u ; x < y z u = x + z < y + u ; (0 x 0 y = 0 x + y; 0 < x 0 y = 0 < x + y); µ x < y 0 < z = xz < yz; x < y z < 0 = yz < xz; µ 0 < y < x 0 < z < v = yz < xv ; µ 0 < x < y n N = 0 < x n < y n ; µ 0 < x < y = 0 < y < x ; е n N = n ; ѵ k Z Ø Ò l Z, Ó Ý k < l < k +. º Ò º Þ x R ÞÓÐ Ø ÖØ Ò Þ { x =. x, 0 x, x, x < 0 Ò Ñ Ò Ø Ú Þ ÑÓØ ÖØ º º Ø Ø Ðº À x,y R ÓÖ µ x = x ; µ xy = x y ; µ x y = x (y 0) ; y µ x + y x + y ; µ x y x y.

27 ¾º ÃÁ Ë Ì Ë Ã Î Ä Ë Ë ýå Ç ÄÇÅÀÇ ¾ ÞÓÒÝ Ø º µ µ µ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º µ Þ ÞÓÐ Ø ÖØ Ò Ñ ØØ x x, y y, x x, y y, Ý x + y x + y, x y x + y, Ñ Ð x + y x + y º µ µ ÐÐ Ø Ñ ØØ Ý Ñ Þ ÐÐ Ø Øº x = x y + y x y + y, y = y x + x y x + x = x y + x, x y x y y x x y, º Ò º À x,y R ÓÖ d(x,y). = x y Þ ÑÓØ Þ x y Ø ÚÓÐ Ò Ò Ú ÞÞ º Þ Þ d : R R R Ú ÒÝ Ø ÚÓÐ Ñ ØÖ µ R¹ Òº º Ø Ø Ðº À x,y,z R ÓÖ ½µ d(x,y) 0, d(x,y) = 0 x = y ; ¾µ d(x,y) = d(y,x) ( Þ ÑÑ ØÖ Ù ); µ d(x,y) d(x,z) + d(y,z) ( ÖÓÑ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ). ÞÓÒÝ Ø º Þ ÞÓÐ Ø ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ð Ô Ò Ò Ý Þ Öòº º Ò º Ä Ý Ò a,b Rº Þ ]a,b[. = {x a < x < b} ; [a,b]. = {x a x b}; ]a,b]. = {x a < x b}; [a,b[. = {x a x < b} ÐÑ ÞÓ Ø ÒÝ ÐØ Þ ÖØ Ð ÒÝ ÐØ Þ Öص ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ò Ò Ú ÞÞ R¹ Òº ½¼º Ò º Þ a R Ú Ð Þ Ñ r (> 0) Ù Ö ÒÝ ÐØ Ñ ÖÒÝ Þ Ø Ò K(a,r). = {x R d(x,a) < r} ÐÑ ÞØ ÖØ º Î Ð Ò K(a,r) Þ a Þ ÔÔÓÒØ 2r Ó Þ ÒÝ ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Þ Þ K(a,r) =]a r,a + r [º

28 ¾ ÁÁº Ë ýåçã µ Ø Ð Ü Ñ ÓÒØÓ Ú Ø ÞÑ ÒÝ ½¼º Ø Ø Ðº Þ N R Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ ÐÑ Þ µ Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ º ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý N Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Þ R Ö Ò Þ ØØ ÐÑ Þ Òº ÓÖ Ø Ð Ü Ñ Ñ ØØ α = sup Nº Ý α (< α) Ò Ñ Ð ÓÖÐ Ø N¹Ò Þ Þ n N Ó Ý α < n Ñ Ð α < n + Ú Ø Þ º Í Ý Ò ÓÖ n+ N Ñ ØØ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý α Ò Ñ Ð ÓÖÐ Ø N¹Ò Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º ½½º Ø Ø Ðº ÖÑ ÐÝ x R Ø Ò Ð Ø Þ l Z Ó Ý l x < l + º Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÓØغ ½¾º Ø Ø Ð Ö Ñ ØÙÐ ÓÒ µº ÖÑ ÐÝ x R + y R Ø Ò Ð Ø Þ n N Ó Ý y < nxº ÞÓÒÝ Ø º Þ ½¼º Ø Ø Ð Ñ ØØ n N Ó Ý y x < n Þ Ò y Ñ Ð Ø x Ð ÓÖÐ Ø N¹Ò µ Ñ Ó Ý y < nxº ½½º Ò º Ä Ý Ò I = {[a i,b i ] R i N} Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÓÐÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ñ ÐÝÖ a i a i+ b i+ b i i N Þ Þ [a i+,b i+ ] [a i,b i ]µ ÓÖ ÞØ ÝÑ ØÙÐÝ ÞÓØØ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ö Ò Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ º ½ º Ø Ø Ð ÒØÓÖ¹ Ð Ñ Ø Þ ØØ Ø Ðµº Ä Ý Ò I = {[a i,b i ] R i N} ÝÑ ØÙÐÝ ÞÓØØ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ö Ò Þ Ö º ÓÖ I = [a i,b i ]. i= ÞÓÒÝ Ø º Þ ÝÑ ØÙÐÝ ÞÓØØ Ó Ý i,j N¹Ö a i b j Ý j N¹Ö b j Þ A =. {a i i N} ÐÑ ÞÒ Ð ÓÖÐ Ø Ñ ÐÝÖ α = supa b j Ø Ð Ðº Ý α Ð ÓÖÐ Ø B = {b i i N} ÐÑ ÞÒ Þ ÖØ α inf B = βº Å Ú Ð [α,β] [a i,b i ] i N¹Ö Þ ÖØ I = [a i,b i ] [α,β] Ñ Þ ÐÐ Ø Øº Ì Ø Ð Ò Ø Ø ÞØ ÐÐ Ø Ó Ý ÝÑ ØÙÐÝ ÞÓØØ Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙ¹ ÑÓ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö º Å ÝÞ º ËÞÓ Ó Þ Ó Ý ÒØÓÖ¹Ø Ø ÐØ Ú Ð ÞØ Ø Ð Ü ¹ Ñ Ò º ÓÖ Ñ Ø Ð Ü Ñ Ò Ø ÐÐ ÞÓÒÝ Ø Ò º ½¾º Ò º H R ÐÑ ÞØ R¹ Ò Ñ Ò Ò ØØ òöòò Ò Ú ÞÞ ÖÑ ÐÝ x,y R, x < y Ø Ò Ð Ø Þ h H Ñ ÐÝÖ x < h < y Ø Ð Ðº i= l

29 ¾º ÃÁ Ë Ì Ë Ã Î Ä Ë Ë ýå Ç ÄÇÅÀÇ ¾ ½ º Ø Ø Ðº Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ Q ÐÑ Þ òöò R¹ Òº Þ Þ ÖÑ ÐÝ Ø Ú Ð Þ Ñ Þ ØØ Ú Ò Ö ÓÒ Ð Þ Ñº Å ÝÞ º Ð Ø Ø Ó Ý R\Q Þ ÖÖ ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ µ òöò R¹ Òº ½ º Ø Ø Ðº ÖÑ ÐÝ x Ò Ñ Ò Ø Ú Ú Ð Þ Ñ n N Ø Ò ÔÓÒØÓ Ò Ý ÓÐÝ Ò y Ò Ñ Ò Ø Ú Ú Ð Þ Ñ Ð Ø Þ Ñ ÐÝÖ y n = xº ½ º Ò º Ä Ý Ò x R Ò Ñ Ò Ø Ú n Nº ÞØ Þ Ð Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð Ø Þ µ y R Ò Ñ Ò Ø Ú Þ ÑÓØ Ñ ÐÝÖ y n = x Ø Ð Ð Þ x Þ Ñ n¹ Ý Ò Ò Ú ÞÞ Ö Þ n x Ú Ý x n Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù 2 x ÐÝ ØØ x¹ Ø ÖÙÒ µº ½ º Ò º À n Ô Ö ØÐ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ Ñ x R, x < 0 ÓÖ n.. x = x n = n xº ÖÖ Ø Ð Ð Ó Ý ( n x) n = xºµ ½ º Ò º Ä Ý Ò x R +, r Q r = m n ÓÖ x r¹ ØÚ ÒÝ x r. m. = x n = n x m º ÓÐ m Z n Nµº Å ÝÞ º ½º Ö ÓÒ Ð Ø Ú ò ØÚ ÒÝ ÖØ ØÐ Ò Þ r Ð ÐÐ Ø Ø Ðº ¾º ØÚ ÒÝÓÞ ÞÓÒÓ Ö ÓÒ Ð Ø Ú ò ØÚ ÒÝÓ Ö ÞÓÐ ¹ Ø º µ Ú Ø ØØ Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ ½ º Ò º À S R Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ÓÖ Ð Ý Ò sups = + º À S R ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ÓÖ Ð Ý Ò inf S = º Þ R b = R {+ } { } ÐÑ ÞØ Ú Ø ØØ Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º Å ÝÞ º ½º Å Ö Ù Ö ÞÒ R b ¹ Ò R Ö Ø Ö Ò Þ Ø Þ ÖØ Ð Ý Ò < x < + x R Ø Òº ¾º ÓÖ + Ð ÓÖÐ Ø R b ÖÑ ÐÝ Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ñ Ò Ò Ò Ñ Ö Ö Þ ÐÑ ÞÒ Ú Ò R b ¹ Ò ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø º ÁÐÝ Ò Ñ ÝÞ òþ Ø Þ Ð ÓÖÐ ØÓ ÓÞ º º R b Ò Ñ Ø Øº

30 ¼ ÁÁº Ë ýåçã º Å ÐÐ ÔÓ ÙÒ Þ Ð Ò x R Ø Ò x + (+ ) = + ; x (+ ) = ; x + = x = 0 ; 0 < x R Ø Ò x (+ ) = + ; x ( ) = ; y R, y < 0 Ø Ò y (+ ) = ; y ( ) = + ; ØÓÚ (+ ) (+ ) = + ; (+ ) ( ) = ; ( ) ( ) = +. Æ Ñ ÖØ ÐÑ ÞÞ Ù Ý Ò ÓÖ Ú Ø Þ Ø 0 (+ ) ; 0 ( ) ; (+ ) (+ ) ; ( ) ( ). µ Ú Ð Þ ÑÓ Ý ÑÓ ÐÐ Þ Ñ Ý Ò Ì ÒØ Ò Ò Ý Ý Ò Ø Ö Ø 0 ÔÓÒØÓØ Ñ 0 ÐØ Ð ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ý Ð Ý Ò Ò Þ ½ ÔÓÒØÓغ 0¹ Ð ½¹ Ú Þ Ø Þ ÞØ ½¹ Ð Ò ÙÐÚ Ñ Ö Ð Ò Þ Ö ÒÝ Ò Ñ ÔÓØØ ÔÓÒØ Ð ÓÐÝØ Ù Þ Ð Ö Øº 0 Þ Þ n¹ Þ Ö ÐÚ Ø Ð ÙØ Ò ÔÓØØ ÔÓÒØ ÓÞ Ö Ò Ð Þ n N Þ ÑÓØ n N Ø Ò Ý Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ Ø Þ Ý Ò ÞÓÒÝÓ ÔÓÒØ ÒØ Ö ÞÓÐ Ù º Þ Ð Ö Ø ¼¹ Ð ÐÐ Ò Þ Ö ÒÝ Ò ÐÚ ÞÚ Ð ÐÝ ÞÞ Ö ÞÓÐ Ù µ, 2,..., n,... (n N) Ò Ø Ú Þ Ø º n n ¾º½º Ö º Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ Ð ÐÝ Þ Þ Ñ Ý Ò Ò À m Z n N ÓÖ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø Ý x ÔÓÒØ Þ Ý Ò Ò Ó Ý 0¹ Ð x¹ Ú Þ Ø Þ ÞØ n¹ Þ Ö ÐÑ ÖÚ ÔÔ Ò Þ m ÔÓÒØÓØ Ô Ù Ý Þ Öò ØÚ x, nx = mµº Þ Ý ÒÝ ÖØ Þ Ö ÞØ Øص x ÔÓÒØ ÓÞ Þ m n Q Þ ÑÓØ Ö Ò Ð º ÞÞ Ð Ñ Ò Ñ Ö Ò ÐØ Ò Ú Ð Þ ÑÓØ Þ Ý Ò Ñ Ò Ò ÔÓÒØ ÓÞº À Ô Ð ÙÐ 0 Þ ÞØ Ý Ò ÝÞ Ø ÓÐ Ð Ò Ø ÒØ ÒÒ ØÐ Ø ÐÑ Ö ¼¹ Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ö ÒÝ Ò ÔÓØØ ÔÓÒØ Ò Ò Ò Ö ÓÒ Ð Þ Ñ Þ ÓÐÝ Ò c Þ Ñ Ñ ÐÝÖ c 2 = 2 Þ Þ c = 2 Ú Ý c = 2 Ñ ÐÝ Ò Ñ Ö ÓÒ Ð µº

31 ¾º ÃÁ Ë Ì Ë Ã Î Ä Ë Ë ýå Ç ÄÇÅÀÇ ½ Þ Ý Ò Þ Ñ Ñ Ñ Ö ÔÓÒØ ÓÞ Ö Ò ÐØ Þ ÑÓ Þ ÖÖ ¹ ÓÒ Ð Þ ÑÓ º ÞØ Ó Ý Þ Þ Ý Ò Ñ ÒØ Þ Ñ Ý Ò Ò Ñ ÐÝÙ Ø Ð Ü Ñ Ú Ý ÒØÓÖ¹ Ð Ñ Ø Þ ØØ Ø Ð ÞØÓ Ø º Å Ø ÑòÚ Ð Ø ÓÑ ØÖ Ð ÒØ Ú Þ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ¹ Ú Þ Ø Ø Ö Ò Þ ÞÓÒÝ Ø Ø ÒÒ ØÙÐ ÓÒ º ËÞ Ñ¹ Ð Ð Ø Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÞÓÐ Ø ÖØ Ø ÚÓÐ Ó ÐÑ º ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý R Þ Ý Ò ÔÓÒØ Þ ØØ Ð Ò Ò Ý Ö¹ Ø ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø Þ ÞØ ÞØÓ Ø Ð ÒÝ Ò Ý ÖØ ÐÑòº µ Æ Ú Þ Ø Ý ÒÐ ØÐ Ò ½ º Ø Ø Ð ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µº À n N, x R x ÓÖ ( + x) n + nx. Ý ÒÐ ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð n = Ú Ý x = 0º ÞÓÒÝ Ø º Ì Ð Ò Ù Ú Ðº n = ¹Ö Þ ÐÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Þº À n¹ö Þ ÓÖ + x 0 Ñ ØØ ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + nx + x + nx 2 + (n + )x, Ý Þ ÐÐ Ø Ñ Ò Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÖ Þº ½ º Ò º Ä Ý Ò n N ; x,...,x n Rº ÓÖ n x i i=. x + + x n. A n = = ; n n ÌÓÚ x 0,...,x n 0 Ø Ò. G n = n. x x n = n n x i. Þ A n G n Þ ÑÓ Ø Þ x,...,x n Þ ÑÓ Þ ÑØ Ò Ö ØÑ Ø µ ÐÐ ØÚ Ñ ÖØ Ò ÓÑ ØÖ µ Þ Ô Ò Ò Ú ÞÞ º Þ ÑØ Ò Ñ ÖØ Ò Þ Ô Þ ØØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ð º ½ º Ø Ø Ð Ù Ýµº À n N x,...,x n 0 ÓÖ G n A n, Ý ÒÐ ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð x = x 2 = = x n º i=

32 ¾ ÁÁº Ë ýåçã ½ º Ø Ø Ð Ù Ý¹ ÙÒÝ ÓÚ Þ ¹Ë Û ÖÞ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µº Ä Ý Ò x,...,x n,y,...,y n R ÓÖ ( n ) 2 ( n )( n x i y i x 2 i yi 2 i= i= i= ½ º Ø Ø Ð Å Ò ÓÛ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µº Ä Ý Ò x,...,x n,y,...,y n R ÓÖ n (x i + y i ) 2 n x 2 i + n yi 2. i= i= i= ÞÓÒÝ Ø º ٠ݹ ÙÒÝ ÓÚ Þ ¹Ë Û ÖÞ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ô Òº ). º ËÞ Ñµ ÐÑ ÞÓ Þ ÑÓ ½º Ò º Þ A B ÐÑ ÞÓ Ý ÒÐ Þ ÑÓ Ú Ú ¹ Ð Ò Þ Þ f : A B ÒÚ ÖØ Ð Ø Ú ÒÝ Ó Ý B = f(a) Ø Ø f : A B µº Þ A ÐÑ Þ Þ ÑÓ Ò ÝÓ Ñ ÒØ B ÐÑ Þ Þ ÑÓ A B Ò Ñ Ý ÒÐ Þ ÑÓ C A Ó Ý C B Þ ÑÓ Ñ Ý Þ º ¾º Ò º Þ A ÐÑ Þ Ú Þ ÑÓ µ A = Ú Ý n N Ó Ý A Ú Ú Ð Ò Þ {,2,...,n} ÐÑ ÞÞ Ðº Þ A ÐÑ Þ Ú Ø Ð Ò Þ ¹ ÑÓ µ Ò Ñ Ú º Þ A ÐÑ Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ò Þ ¹ ÑÓ µ Ú Ú Ð Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ú Ðº Þ A ÐÑ Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ú Ú Ý Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Òº Å ÝÞ º ½º N N Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ò Ñ ÖØ Þ f : N N N, f((m,n)) = 2 m (2n ) Ú ÒÝ º ¾º À {A γ γ Γ} ÓÐÝ Ò ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ó Ý Γ Ò Ñ Ö Ñ Þ ÑРй Ø A γ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø ÓÖ Þ A γ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø º ½º Ø Ø Ðº Ö ÓÒ Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Òº. m ÞÓÒÝ Ø º À n N¹Ö A n = { n m Z} Ý A n = Qº Å Ö ÞØ n= Z Ý A n Ñ Þ ÑÐ Ð Ø Ò Ú Ø Ð Ò ÓÖ Þ Ð Ñ ÝÞ ¾º Ö Þ Ñ Øص Q Þº γ Γ

33 º R ÌÇÈÇÄ Áý ¾º Ø Ø Ðº Ú Ð Þ ÑÓ Þ ÑÓ Ò ÝÓ Ñ ÒØ N Þ ÑÓ º ÞÓÒÝ Ø º Рغ º Ò º Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ Ø Ú Ð Ú Ú Ð Ò ÐÑ ÞÓ Ø ÓÒ¹ Ø ÒÙÙÑ Þ ÑÓ ÐÑ ÞÓ Ò Ò Ú ÞÞ º º R ØÓÔÓÐ ½º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ Þ E R ÐÑ Þº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý x E Ð ÔÓÒØ E¹Ò K(x,r) Ó Ý K(x,r) E x R Ð ÔÓÒØ E¹Ò Ð ÔÓÒØ E ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò CE¹Ò Þ Þ K(x,r), K(x,r) E = µ x R Ø ÖÔÓÒØ E¹Ò Ò Ñ Ð Ò Ñ Ð ÔÓÒØ Þ Þ K(x,r)¹Ö K(x,r) E K(x,r) CE µº E Ð ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Ø E Ð Ò Ø ÖÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Ø E Ø Ö Ò Ò Ú ÞÞ º E Ð Ø E Ð Ð º È Ð º Ä Ý Ò E =]0,[ Rº x = 2 Ð ÔÓÒØ E¹Ò Ñ ÖØ K( 2, 2 ) =]0,[ Eº x = 5 Ð ÔÓÒØ E¹Ò Ñ ÖØ K(5,) =]4,6[ CE Ñ ØØ Ð ÔÓÒØ CE¹Ò º x = Ø ÖÔÓÒØ E¹Ò Ñ ÖØ K(,r) E Ñ ØØ Ò Ñ Ð ÔÓÒØ K(,r) CE Ñ ØØ Ò Ñ Ð ÔÓÒØ E¹Ò º ¾º Ò º Þ E R ÐÑ ÞØ ÒÝ ÐØÒ Ò Ú ÞÞ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð ÔÓÒØ Þ ÖØÒ Ò Ú ÞÞ CE ÒÝ Ðغ È Ð º ½º E =]0,[ R ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ ÖØ x ]0,[ Ø Ò K(x,r) ]0,[ r = inf{x, x} Þ Þ E Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð ÔÓÒغ ¾º E = [0,+ [ R Þ ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÖØ CE =],0[ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Þ Ò x CE Ø Ò K(x, x ) CE Þ Þ CE Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð ÔÓÒغ ½º Ø Ø Ðº R¹ Ò Þ Ú Ø Þ ½µ R ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ ¾µ Ø Ø Þ Ð Ò Ó ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ý Ø ÒÝ ÐØ µ Ú Ó ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø ÒÝ ÐØ ÐÐ ØÚ

34 ÁÁº Ë ýåçã µ R Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ µ Ø Ø Þ Ð Ò Ó Þ ÖØ ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø Þ ÖØ µ Ú Ó Þ ÖØ ÐÑ Þ Ý Ø Þ Öغ ÞÓÒÝ Ø º ½µ µ Ò Ð Ô Ò ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º ¾µ Þ Ñ ÖØ E γ (γ Γ) ÒÝ ÐØ = ÖÑ ÐÝ x E γ ¹Ö Ð Ø Þ γ 0 γ Γ Ñ ÐÝÖ x E γ0 = K(x,r) E γ0 = K(x,r) E γ = ÒÝ Ðغ µ Þ Ñ ÖØ E i (i =,...,n) ÒÝ ÐØ ÓÖ x γ Γ n i= E γ γ Γ E i = x E i (i =,...,n) = K(x,r i ) E i (i =,...,n) = 0 < r < r i (i =,...,n)¹ö K(x,r) E i (i =,...,n) = K(x,r) n E i = x n E i Ð ÔÓÒØ = i= µ µ n i= E i ÒÝ Ðغ C γ ΓE γ = γ ΓCE γ C ( n ) E i = i= i= n CE i ¹ÅÓÖ Ò¹ ÞÓÒÓ Ó Ð Ò Þ ÖØ Ò ÐÐ ØÚ ¾µ µ Ø Ð ¹ Ð Ñ Øغ º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ Þ E R ÐÑ Þº Þ x 0 R ÔÓÒØÓØ Þ E ÐÑ Þ ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ò Ò Ú ÞÞ ÖÑ ÐÝ r > 0 Ø Ò K(x 0,r) ÖÒÝ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ x 0 ¹Ø Ð Ð Ò Þ E¹ Ð ÔÓÒØÓØ Þ Þ (K(x 0,r)\{x 0 }) E º x 0 E ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ E¹Ò Ò Ñ ØÓÖÐ ÔÓÒØ Þ Þ Ð Ø Þ r > 0 Ó Ý (K(x 0,r)\{x 0 }) E = º E ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Ø E ¹Ú Ð Ð Ð º È Ð º ½º Þ E = { n n N} R ÐÑ ÞÒ 0 R (0 / E) ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ñ ÖØ ÖÑ ÐÝ K(0,r) ÖÒÝ Þ Ø Ò Ú Ò Ð Ñ E¹Ò Þ Ò r R + ¹Ö Ñ ÖØ N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ n N Ó Ý n > r Þ Þ 0 < n < rº ¾º Þ E = N R ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ñ ÖØ n N¹Ö (K(n,) \ {n}) E = º ¾º Ø Ø Ðº Þ E R ÐÑ Þ ÓÖ ÓÖ Þ ÖØ E E Þ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ Ò Ò ØÓÖÐ ÔÓÒØ Øµº i=

35 º R ÌÇÈÇÄ Áý ÞÓÒÝ Ø º µ E Þ ÖØ = CE ÒÝ ÐØ = x CE K(x,r) CE = x CE¹Ö x / E = E Eº µ Ä Ý Ò E Eº x / E = x / E = K(x,r), Ñ ÐÝÖ (K(x,r)\{x}) E = º Å Ö ÞØ x / E Ñ ØØ {x} E = º Ì Ø x / E = K(x,r) CEº Þ Þ CE ÒÝ ÐØ Ý E Þ Öغ Å ÝÞ º R b ¹ Ò + ÖÒÝ Þ Ø Ò Þ (r,+ ) (,r) (r R) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ø ÖØ º Ý Ò Ð Ø Þ Ó Ý + Ñ ÓÖ ØÓÖÐ ÔÓÒغ º Ø Ø Ð ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö ØÖ µº ÖÑ ÐÝ S R ÓÖÐ ØÓ Ú Ø Ð Ò Ð¹ Ñ ÞÒ Ð Ø Þ ØÓÖÐ ÔÓÒØ º ÞÓÒÝ Ø º S ÓÖÐ ØÓ = [a,b] R, S [a,b], Ò Ð Ù Þ I n (n N) Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÝÑ ØÙÐÝ ÞÓØØ Ö Ò ¹ Þ Ö Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒº Ä Ý Ò [. I = [a,b ] =. a, a + b ] [, a, a + b ] S Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þ 2 2 [ ] [ ] a + b a + b 2,b, 2,b S Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þº À I n = [a n,b n ] ÐÑ Þ ÓØØ ÓÖ Ð Ý Ò. I n+ = [an+,b n+ ] =. [ a. n, a n + b n = [ 2 an + b n 2 ],,b n ], [ a n, a ] n + b n S Ú Ø Ð Ò [ 2 ] an + b n,b n S Ú Ø Ð Òº 2 ÓÖ Ñ Ò Ò n N¹Ö I n S Ú Ø Ð Ò b n a n = b a 2 n º ÒØÓÖ¹Ø Ø Ð Ñ ØØ I n = [α,β] ØÓÚ n= 0 β α b n a n = b a 2 n < b a n (n N), Ñ Þ Ö Ñ ØÙÐ ÓÒ Ñ ØØ α = β = x 0 Ø Ò Ð Ø ØÓÚ x 0 I n ( n N)º

36 ÁÁº Ë ýåçã r > 0 Ø Ò Þ Ö Ñ ØÙÐ ÓÒ Ñ Øص n N, b a r < n = n N, b a n < r = = b n a n = b a 2 n < b a n < r = = I n K(x 0,r) = (I n ÓÒ ØÖÙ Ñ Øص K(x 0,r) Ú Ø Ð Ò Ó S¹ Ð Ð Ñ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ = x 0 ØÓÖÐ ÔÓÒØ S¹Ò º º Ò º ÆÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ý O Ö Ò Þ Ö Þ S R ÐÑ ÞÒ Ý ÒÝ ÐØ Ð S Oº È Ð º Þ N ÐÑ ÞÒ {K(n,) n N} ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ý ÒÝ ÐØ Ð Þ Ò n N¹Ö n K(n,) Ý n K(i,) ØÓÚ K(i,) ÒÝ ÐØ ÐÑ Þº º Ò º K R ÐÑ ÞØ ÓÑÔ ØÒ Ò Ú ÞÞ Ñ Ò Ò ÒÝ ÐØ Ð Ð Ú Ð ÞØ Ø Ú Ó ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ð K¹Øº È Ð º ½º N Ò Ñ ÓÑÔ Ø Ñ ÖØ K(n,) Ð Ý Ú Ð Þ n N¹Ø Ñ Ö ÐÑ ÞÓ Ò Ñ Ð Ý Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐØ Ð N¹Ò Ñ ÐÝ Ð Ò Ñ Ú Ð ÞØ Ø Ú Ð º ¾º K = {,2,3,4,5} R ÓÑÔ Ø Ñ ÖØ O ÒÝ ÐØ Ð Ö Ò Þ Ö Ø Ò K O Ñ ØØ Þ,2,3,4,5 Ð Ñ Þ Ð Ø ÞÒ O,O 2,O 3,O 4,O 5 ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ó Ý i O i, i =,2,3,4,5 Ý K Ð Ð Ú Ð ÞØ Ø Ú Ð º i= 5 i= O i Þ Þ O º Ø Ø Ð À Ò ¹ ÓÖ Ðµº Ý K R ÐÑ Þ ÓÖ ÓÖ ÓÑÔ Ø ÓÖÐ ØÓ Þ Öغ È Ð º ½º {,2,3,4,5} R ÓÑÔ Ø Ú Ð Ñ ÒØ ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ º ¾º N Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ò Ñ ÓÑÔ Ø ÐÑ Þº

37 ÁÁÁº Þ Ø ËÓÖÓÞ ØÓ ½º Ð Ô Ó ÐÑ Ô ÓÐ ØÙ ½º Ò º Ý f : N R Ú ÒÝØ R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÒ Ò Ú Þ Ò º f(n)¹ Ø ÓÖÓÞ Ø n¹ Ð Ñ Ò Ò Ú ÞÞ º ÓÖÓÞ Ø n¹ Ð Ñ Ø f(n) = a n Ú Ý f(n) = x n Ð Ð º ÓÖÓÞ Ø Ð Ñ ¹ Ò ÐÑ Þ Ö Þ {a n } Ú Ý {x n } Ð Ð Ø ÞÒ ÐÙÒ º Å Ø ÓÖÓÞ ØÓØ Þ f. = a n Ú Ý f. = x n Þ Ñ ÐÙÑÑ Ð Ð Ð º È Ð º n, n ÓÖÓÞ ØÓ R¹ Ò n¹ Ø Ù n ÐÐ ØÚ n Ð Ñ Ð¹ Ñ Þ { n n N} ÐÐ ØÚ Nº ¾º Ò ÓÖÐ ØÓ µº Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓØ ÓÖÐ ØÓ Ò Ò Ú Þ¹ Þ {x n } ÓÖÐ ØÓ º Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÐÙÐÖ Ð Ð ÐÖ Ðµ ÓÖÐ ØÓ {x n } ÐÙÐÖ Ð Ð ÐÖ Ðµ ÓÖÐ ØÓ º È Ð º ½º Þ n ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ ÝÖ ÞØ 0 < n n N Ý ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ñ Ö ÞØ n Ñ ØØ n n N Ø Ò Ý Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ º ¾º Þ n ÓÖÓÞ Ø ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ 0 < n n N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ {n} = N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ý n Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ º º Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ø µº Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ¹ Ú Ò Ò Ò µ Ò Ú ÞÞ ÖÑ ÐÝ n N¹Ö x n x n+ (x n x n+ ) Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ò µ n N¹Ö x n < x n+ (x n > x n+ ) Ø Ð Ðº È Ð º ½º n Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ñ ÖØ 0 < n < n + Ñ ØØ n+ < n n Nº ¾º n Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ñ ÖØ n < n + n Nº º ( ) n n Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ñ ÖØ a = < 2 = a 2 a 2 = 2 > 3 = a 3 º À ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒ Ò º

38 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà РÙÐÙ Ð Þ Þ Ø Ö Ò Ð ÒÝ Ó Ø Þ ÒØ Ö ÐØ Ø Ö ÖØ Ø Ú Ð Ò Ð º Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ ÒØ ÓÐÝ Ø Þ ÑÓØ Þ Ö ØÒ Ò ÖØ Ò Ñ ÐÝ Ø ÓÖÓÞ Ø Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØÓ Ð Ñ Þ Ð Ø º º Ò ÓÒÚ Ö Ò µº Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓØ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ò Ú ÞÞ Ð Ø Þ x R Ó Ý ÖÑ ÐÝ ε > 0 Ø Ò Ð Ø Þ n(ε) N Ó Ý ÖÑ ÐÝ n n(ε)¹ö d(x,x n ) < ε Ø Ð Ðº Þ x R Þ ÑÓØ x n Ø Ö ÖØ Ò Ò Ú ÞÞ º ÞØ Ó Ý x n ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ x Ý Ð Ð lim n x n = x Ú Ý x n xº È Ð º ½º c ÓÒ Ø Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ c Ñ ÖØ ε > 0¹Ö n(ε) N Ø Ò n n(ε)¹ö d(c,c) = 0 < εº ¾º Þ n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ ¼ Ñ ÖØ ε > 0¹Ö Ñ Ú Ð N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ µ n(ε) N Ó Ý n(ε) > ε Þ Þ n(ε) < ε Ý n n(ε)¹ö 0 < n < n(ε) < ε Ø Ø d(0, n ) < εº Å ÝÞ º ½º ÖÒÝ Þ Ø Ó ÐÑ Ø Ð ÞÒ ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Òº ÖÒÝ Þ Ø ¹ Ò Ø Ô Ù Þ x n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò x R Ó Ý K(x,ε)¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý n n(ε)¹ö x n K(x,ε) Ø Ð Ðº ¾º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý x n x K(x,ε)¹Ö x n K(x,ε) Ð Ð Ú Ó n N Ú Ø Ð Ú Ðº º À x n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý x n 0 ÓÖ ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ ØÒ Ò Ú ÞÞ º º Ò Ú Ö Ò µº Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓØ Ú Ö Ò Ò Ò ¹ Ú ÞÞ Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º Þ Þ ÖÑ ÐÝ x R Ø Ò Ð Ø Þ ε > 0 (Ú Ý K(x,ε)) Ó Ý ÖÑ ÐÝ n(ε) N¹Ö Ð Ø Þ n n(ε) Ó Ý d(x,x n ) ε (Ú Ý x n / K(x,ε))º È Ð º ( ) n Ú Ö Ò º x = + x = Ò Ñ Ð Ø Ø Ö ÖØ Ñ ÖØ ε = Ú Ð ÞØ Ð ( ) n / K(,) n Ô Ö ØÐ Ò ( ) n / K(,) n Ô ÖÓ º À x + x Ø Ð Ð ÓÖ ε = inf{d(x,),d(x, )} Ø Ò x n / K(x,ε) n Nº Ý Ò Þ ÐÐ Ø Øº º Ò º Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø + ¹ Þ ÐÐ ØÚ ¹ Þµ ÓÒÚ Ö Ð M R¹ Þ n(m) N Ó Ý n n(m)¹ö x n > M ÐÐ ØÚ x n < Mµ Ø Ð Ðº

39 ½º Ä È Ç ÄÅ Ã Ë Ã È ËÇÄ ÌÍÃ È Ð º ½º Þ n ÓÖÓÞ Ø + ¹ Þ ÓÒÚ Ö Ð Ñ ÖØ M R¹Ö Ñ Ú Ð N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ µ n(m) N Ó Ý n(m) > M Ý n n(m)¹ö n > M Ñ Ò Ø Ð Ð Øº ¾º n ÓÖÓÞ Ø ¹ Þ ÓÒÚ Ö Ð Ñ ÖØ M R¹Ö Ñ Ú Ð { n} ÐÙÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ µ n(m) N Ó Ý n(m) < M Ý n n(m)¹ö n n(m) Ñ n(m) < M Ñ Øص Ó Ý n < M Þ Þ Ø Ð Ð Ò º ½º Ø Ø Ð Ø Ö ÖØ Ý ÖØ ÐÑò µº À x n R¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÖ Ý Ø Ö ÖØ Ú Ò Þ Þ x n a x n b Ø Ò a = bµº ÞÓÒÝ Ø º Ì Ý Ð Ó Ý x n a x n b a bº ÓÖ a b Ñ ØØ ( K a, d(a,b) ) ( K b, d(a,b) ) =. 2 2 ÌÓÚ ( Þ x n ) a x n ( b Ñ ØØ ) n(ε) Ó Ý n > n(ε)¹ö x n K x n K Ñ Ð Ø ØÐ Òº Ì Ø a = bº a, d(a,b) 2 b, d(a,b) 2 Å ÝÞ º Ø Ø Ð ÓÖ Þ x n + Ú Ý x n µº ¾º Ø Ø Ð ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÐ ØÓ µº À Þ x n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ ÓÖÐ ØÓ º ÞÓÒÝ Ø º À x n x ε > 0 ÓØØ ÓÖ n(ε) N, Ó Ý n n(ε)¹ Ö d(x,x n ) < εº Ä Ý Ò r = sup{ε, d(x,x ),...,d(x,x n(ε) )}º ÓÖ n N¹Ö d(x,x n ) r, Ý {x n } ÓÖÐ ØÓ = x n ÓÖÐ ØÓ º Å ÝÞ º Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Ð ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ú Ø Þ ÓÒ¹ Ú Ö Ò º È Ð º ( ) n ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ ( ) n Ø Ð Ð n N¹ Ö Þ Þ ÐÙÐÖ Ð Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ µ Ó Ý ÞØ Ñ Ö ÞÓÒÝ ØÓØØÙ Ò Ñ ÓÚ Ö Ò º º Ø Ø Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ø ÓÒÚ Ö Ò µº À Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÐÐ ØÚ Ò µ Ð ÐÖ Ð ÐÐ ØÚ ÐÙÐÖ Ðµ ÓÖÐ ØÓ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò x n sup{x n } ÐÐ ØÚ x n inf{x n }µº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò x n ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ º ÓÖ x = sup{x n } ÞÙÔÖ ÒÙÑ Ò Ñ ØØ ε > 0¹Ö n(ε) N, Ó Ý x n(ε) > x ε Þ Þ x n(ε) K(x,ε)º ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ñ ØØ n n(ε) Ø Ò

40 ¼ ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà x n(ε) x n < x. Ì Ø x n K(x,ε) Ý x n xº Ñ Ø x n ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ µ ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ñ ÓÒ Ø ÖØ Ò º È Ð º Þ n ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Þ Ð Ñ Øغ n < n+ n < n+ n > n+ n < n+º Þ ÙØÓÐ Ý ÒÐ Ø Ð Ð n N¹Ö º ÓÖÓÞ Ø Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ n < n < 0 n > 0 Ñ Þº Ý n ÓÒÚ Ö Ò º sup{ n } = Ù Ý Ò β = ε < (ε > 0) Ò Ñ Ð Ø Ð ÓÖÐ Ø Ñ ÖØ ÓÖ n N¹Ö n ε Ø Ð ÐÒ Ñ Ú Ú Ð Ò n ε ÐÐ ØÚ n ε Ú Ð Þ n ε Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð n N¹Ö Ñ N Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ø Ð ÒØ Ò Þ ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ý Þ { n } ÐÑ Þ β Ð ÓÖÐ Ø Ö β Ø Ð Ð Þ ÖØ Þ ½ Ð ÓÖÐ Ø ÔÓÒØÓ Ð ÓÖРغ Ì Ø n º ¾º ËÓÖÓÞ ØÓ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ Ò º À x n y n R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ λ R Ø Ø Þ Ð ÓÖ Þ x n + y n. = x n + y n ; λ x n. = λx n Þ Ö ÒØ Ò ÐØ ÓÖÓÞ ØÓ Ø Þ ÓØØ ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ò ÐÐ ØÚ λ¹ ÞÓÖÓ¹ Ò Ò Ú ÞÞ º À x n y n R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ ÓÖ Þ x n y n. = x n y n ; x n y n. = xn y n (y n 0) Þ Ö ÒØ Ò ÐØ ÓÖÓÞ ØÓ Ø Þ ÓØØ ÓÖÓÞ ØÓ ÞÓÖÞ Ø Ò ÐÐ ØÚ ¹ ÒÝ Ó Ò Ò Ú ÞÞ º Þ Ð Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ò Ý Ð ÔÑòÚ Ð Ø Ø Ö ÖØ ÔÞ ÓÖ¹ Ö Ò Ð Ö Ð Ø ½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò x n y n R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø λ R Ø Ø Þ Ð Ý Ó Ý x n x y n yº ÓÖ x n + y n λ x n ÓÒÚ Ö Ò x n + y n x + y, λx n λxº

41 ¾º ËÇÊÇ ÌÇÃ Ë ÅæÎ Ä Ì Ã ÁÄÄ ÌÎ Ê Æ Ë ½ ÞÓÒÝ Ø º µ À x n x y n y Ý ε > 0¹Ö ε ( ε ) 2 ¹ Þ n N Ó Ý n ( 2 ε n 2) Ø Ò d(x,x n ) < ε 2 d(y,y n) < ε ( ε ) 2 º Þ ÖØ n n ¹Ö 2 d(x + y,x n + y n ) = (x + y) (x n + y n ) = (x x n ) + (y y n ) x x n + y y n = d(x,x n ) + d(y,y n ) < ε, Þ Þ x n + y n x + yº µ À λ = 0 ÓÖ λ x n = λx n = 0 ÓÒÚ Ö Ò λx n = 0 0 Rº À λ 0 ÓÖ ε > 0¹Ö ε ( ) ε λ > 0¹ ÓÞ n N, Ó Ý n ( ) λ ε n λ Ø Ò d(x,x n ) < ε λ. ÓÖ n n ( ) ε ¹Ö λ d(λx,λx n ) = λx λx n = λ x x n = λ d(x,x n ) < λ ε λ = ε, Þ Þ λx n λxº È Ð º ½º Þ + n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÖØ Þ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö¹ ÖØ ½ Þ n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ ¼ Ý Ø Ø Ð Ñ ØØ ÓÖÓÞ ØÙÒ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ + 0 = º ¾º Þ 5 n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ ¼ Ñ ÖØ n 0 Ñ ØØ 5 n = 5 n 5 0 = 0º ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò x n y n ÓÐÝ Ò R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ó Ý x n x y n yº ÓÖ x n y n y,y n 0 (n N) ÓÖ x n ÓÒÚ Ö Ò y n x n x n y n x y, x y n y. È Ð º ½º Þ n 2 ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ ¼ Ñ ÖØ n 0 Ý n = 0º n 2 = n n

42 ¾ ¾º 3 + n 2 + n 2 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ 3 2 Ñ ÖØ 3 + n 3, 2 + n 2 2 Ý 3 + n n º º Ø Ø Ðº À x n ÓÖÐ ØÓ y n Ô ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ Ø R¹ Ò ÓÖ x n y n ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ Ø (x n y n 0)º È Ð º ( ) n n ÓÖÓÞ Ø ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÖØ ( )n n = ( )n n ØÓ¹ Ú ( ) n ÓÖÐ ØÓ n Ô ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ Øº º Ø Ø Ðº À x n ÓÐÝ Ò R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø Ó Ý µ x n + x n 0 n N ÓÖ 0 x n µ x n 0, x n 0 n N ÓÖ º È Ð º ½º n 2 + ÓÒÚ Ö Ð + ¹ Þ Ñ ÖØ M < Ý n 2 + > > M n N Ñ M ÓÖ n + Ñ Øص M ¹ Þ n(m) N Ó Ý n n(m)¹ö n > M n 2 > M n 2 + > Mº Ý Ø Ø Ð µ Ö Þ Ñ ØØ n 2 + 0º ¾º n 2 n + 2 = n + n Ý Ø Ø Ð µ Ö Þ Ñ ØØ n2 n2 n 2 x n n º º Ø Ø Ðº À x n y n ÓÐÝ Ò R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ó Ý x n x y n y µ N 0 N Ó Ý x n y n Ú Ý x n < y n µ n > N 0 ¹Ö ÓÖ x y µ x < y ÓÖ N 0 N Ó Ý n > N 0 ¹Ö x n < y n º ÞÓÒÝ Ø º x y µ Ì Ý Ð Ó Ý x > y Ð Ý Ò ε = > 0º ÓÖ n (ε) N 2 n 2 (ε) Ó Ý x n K(x,ε) n n (ε) y n K(y,ε) n n 2 (ε)º K(x,ε) K(y,ε) = Ñ ØØ Ð Ó Ý y n < x n n > n(ε) = sup{n (ε),n 2 (ε)}º Þ Ô ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý x y Ð Ø º x y µ ε = > 0¹Ö n (ε) N n 2 (ε) N Ó Ý x n K(x,ε) 2 n n (ε) Ú Ð Ñ ÒØ y n K(y,ε) n n 2 (ε)º Ý K(x,ε) K(y,ε) = Ñ ØØ x n < y n n > N 0 = sup{n (ε),n 2 (ε)}º

43 º Ê Ë ËÇÊÇ ÌÇà º Ø Ø Ð Ö Ò Ö¹Ø Ø Ðµº À x n, y n, z n ÓÐÝ Ò R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ó Ý x n x y n x x n z n y n ÓÖ z n xº ÞÓÒÝ Ø º ÐØ Ø Ð Ñ ØØ ε > 0¹ ÓÞ n (ε) N n 2 (ε) N Ó Ý x n K(x,ε) n n (ε) y n K(x,ε) n n 2 (ε)º Ý x n,y n K(x,ε) n n(ε) = sup{n,n 2 } Þ ÖØ Þ x n z n y n ÐØ Ø Ð Ð z n K(x,ε) n n(ε)º Ì Ø z n xº È Ð º 0 < n + n 3 + < n + n 3 n + n 3 + 0º 2n n 3 = 2 Ñ ØØ Ø Ø Ð Ó Ý n2 º Ê Þ ÓÖÓÞ ØÓ ½º Ò º Ä Ý Ò a n R¹ Ð ÓÖÓÞ Øº À ϕ : N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú b n = a ϕ(n) ÓÖ b n ¹Ø Þ a n Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º È Ð º Þ ÓÖÓÞ Ø Þ 2n n 2 ÓÖÓÞ Ø Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Þ + 2 n ÓÖÓÞ ØÒ º ½º Ø Ø Ðº À Þ a n ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ a ÓÖ b n Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ö b n a Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º À b n = a ϕ(n), ϕ : N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÓÖ Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ô Ù Ó Ý ϕ(n) n (n N)º Ä Ý Ò ε > 0 ÓØØ ÓÖ a n a Ñ ØØ n(ε) N, Ó Ý n n(ε)¹ö a n K(a,ε)º Ý ϕ(n) n Ñ ØØ b n K(a,ε) n n(ε) Þ Þ b n aº È Ð º Ø Ø Ð Þ ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ Ø ÚÓÐØ Ñ ØØ Þ n ÓÖÓÞ ØÓ ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ ØÓ º 2n Þ n Å ÝÞ º Ø Ø Ð Ñ ÓÖ Ø Ò Ñ Þ Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÓÖÓÞ ØÖ ÓÒØ Ø Ñ ÐÝ Ø Ö ÖØ Ù Ý Ò Þ ÓÖ Þ ÓÖÓÞ ØÒ Ø Ö ÖØ º ¾º Ø Ø Ð ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö ØÖ ¹ Ð Ú Ð ÞØ Ø Ø Ðµº À Þ a n R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ ÓÖ Ð Ø Þ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø º ÞÓÒÝ Ø º À a n ÖØ ÞÐ Ø Ú ÓÖ a R Ó Ý a n = a Ú Ø Ð Ò Ó Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÖ Ý Þ A = {n N a n = a} ÐÑ Þ Ñ Þ ÑÐ Ð ¹ Ø Ò Ú Ø Ð Ò Ý ϕ : N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÒ

44 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ÖØ ÞÐ Ø Aº Å Ú Ð a ϕ(n) = a n N Ø Ø a ϕ(n) ÓÒÚ Ö Ò º À {a n } Ú Ø Ð Ò ÐÑ Þ Ñ ÐÝ ÓÖÐ ØÓ ÓÖ ÁÁº º º Ø Ø Ð Ñ ØØ a R ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ý ϕ() N Ó Ý a ϕ() K(a,)º À ϕ(n)¹ø Ñ ¹ Ø ÖÓÞØÙ n ( N¹Ö ÓÖ ) ϕ(n + ) N Ñ ÐÝÖ ϕ(n + ) > ϕ(n) a ϕ(n+) K a, º ϕ : N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú ( n + b n = a ϕ(n) K a, ) n N Þ Þ d(a,a n ϕ(n) ) = d(a,b n ) < n n Nº Ä Ý Ò ε > 0 Ø Ø Þ Ð ÓÖ n 0 Ñ Øص n(ε), n n(ε) (n N)¹Ö n < ε Ý d(a,b n) < εº Ì Ø b n aº ¾º Ò º Ä Ý Ò A Þ a n ÓÖÐ ØÓ R¹ Ð µ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ Ó¹ ÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Ò ÐÑ Þ º sup{a} inf{a} Ð Ø Þ µ Þ ÑÓ Ø Þ a n Ð ÐÐ ØÚ Ð Ø Ö ÖØ Ò Ú Ý Ð Ñ Þ ÞÙÔ Ö ÓÖ Ò ÐÐ ØÚ Ð Ñ Þ Ò Ö ÓÖ Ò Ò Ú ÞÞ º  РРlim a n, lim a n Ð Ñ ÙÔ a n Ð Ñ Ò a n µº À a n Ð ÐÖ Ð Ú Ý ÐÙÐÖ Ðµ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ÓÖ lim a n = + ÐÐ ØÚ lim a n = µº È Ð º Þ a n = ( ) n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø b n = b n = ÓÒ Ø Ò ÓÖÓÞ ØÓ ÐÐ ØÚ ÞÓÒ b n ÓÖÓÞ ØÓ Ñ ÐÝ Ò b n = Ú Ó n Ú Ø Ð Ú Ð Ú Ý b n = Ú Ó n Ú Ø Ð Ú Ðº Þ Ø Ö ÖØ ½ Ú Ý Ý lim a n =, lim a n = º Å ÝÞ º ½º sup{a}, inf{a} A º ¾º À lim a n = lim a n = a ÓÖ a n aº º ٠ݹ ÓÖÓÞ ØÓ ½º Ò º Þ a n R¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓØ Ù Ý¹ ÓÖÓÞ ØÒ Ò Ú ÞÞ ε > 0 Ø Ò n(ε) N Ó Ý p,q n(ε) (p,q N) Ø Ò d(a p,a q ) < εº Ø Ö ÖØ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Þ Ð Ö ÐÒ Ø Ö ÖØ Þº ٠ݹØÙÐ ÓÒ Ú ÞÓÒØ ÞØ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Þ Ð Ö ÐÒ ÝÑ ÓÞº ½º Ø Ø Ð Ù Ý¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö Ùѵº Þ x n R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Øº

45 º Í À ¹ËÇÊÇ ÌÇà ÞÓÒÝ Ø º µ À x n ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ x R Ó Ý ε > 0 Ø Ò ε ( ε ) 2 ¹Ö n N ( 2 ε Ý Ó Ý p,q n ¹Ö d(x,x p ) < 2) ε 2 d(x,x q) < ε º Ý p,q ( 2 ε n ¹Ö 2) d(x p,x q ) d(x,x p ) + d(x,x q ) < ε, Þ Þ Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Øº µ Ä Ý Ò x n ٠ݹ ÓÖÓÞ Ø R¹ Òº x n ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ ε = ¹ Þ n() N Ó Ý p,q n()¹ö d(x p,x q ) < º Ä Ý Ò q n() Ö Þ Ø ØØ p n() Ø Ø Þ Ð ÓÖ d(0,x p ) d(0,x q ) + d(x p,x q ) < d(0,x q ) +, Ý r > sup{d(0,x ),...,d(0,x n() ),d(0,x q ) + } ÓÖ d(0,x n ) < r n Nº Å Ú Ð x n ÓÖÐ ØÓ Ý x ϕ(n) ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ð ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö ØÖ ¹ Ð Ú Ð ÞØ Ø Ø Ðصº Ä Ý Ò x = lim x ϕ(n) ε > 0 Ø Ø Þ Ð ÓÖ ε ( ε ) n 2 ¹ Þ n ( 2 ε ) N Ó Ý ϕ(n) n (n N) Ø Ò d(x 2 ϕ(n),x) < ε ) 2 º ( ε Å Ö ÞØ x n ٠ݹ ÓÖÓÞ Ø Ý n 2 ) 2 ¹Ö d(x p,x q ) < ε 2 º Þ ÖØ n n(ε) = sup{n ( ε n 2 2 Ö N, Ó Ý p,q ( ε ( ε ),n 2 }¹ 2) 2 ϕ(n) n d(x n,x) d(x n,x ϕ(n) ) + d(x ϕ(n),x) < ε, Þ Þ x n xº Å ÝÞ º ½º Ø Ø Ð Ø Ú Ð Ð ÒØ Ø Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ Ñ Ö Ø Ò Ð Ð Ú Ö Ò Ø Ô ÞÓÒÝÓ Ø Ò ÒÒÝ Ò ØÙ Ù ÞÓÒÝ Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ð Ô Òº ¾º ËÞÓ Ù Ý¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑÓØ Ø Ð Ü Ñ Ò Ú ¹ Ð ÞØ Ò Ñ Ù Ý Ò ÞØÓ Ø Ó Ý Þ Ñ Ý Ò Ò Ñ ÐÝÙ µ ÓÖ Þ ÐØ ÐÙÒ ÓØØ Ø Ð Ü Ñ Ø Ø Ð Ð Þº

46 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇÃ È Ð º ½º Þ n 2 ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò º À p,q N Ô Ð ÙÐ p > q ÓÖ a p a q = (q + ) 2 + (q + 2) p 2 < < q(q + ) + (q + )(q + 2) + + (p )p = = q q + + q + q p p = = q p < q Þ Ö Ñ Þ Ü Ñ Ò Úò Ø Ø Ð Ñ ØØ ε > 0¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý n(ε) < ε ÓÖ q N, q n(ε)¹ö < ε Ý q n(ε) q p Nµ Ø Ò a p a q < < ε Ñ ÞØ Ó Ý p,q q n(ε)¹ö a p a q < ε Þ Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Ð Ø Ù Ý¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑÓØ Þ ÖØ ÓÒÚ Ö Ò º ¾º Þ ÓÖÓÞ Ø Ú Ö Ò º n Í Ý Ò n N¹Ö a 2n a n = n n > n 2n = 2 Ý ε = 2 ¹ Þ Ý ØÐ Ò n(ε) Þ Þ Ñ Ñ Þ ÖØ ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ Ø Ð Ø Ù Ý¹ Ð Ö Ø Ö ÙÑ ÐØ Ø Ð Øº º Æ Ú Þ Ø ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ø Ã Ð ÙÐÙ Áº Ô Ð Ø Ö Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò a R, a n = a n º ÓÖ ½º a < Ø Ò a n 0 ¾º a > Ø Ò a n Ú Ö Ò a > ¹Ö a n + º a = Ø Ò a n a = Ø Ò a n Ú Ö Ò º ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò k N Ö Þ Ø ØØ ÓÖ n k +, k n + n p + p = k (k,l N)º l

47 º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò a R, a > 0º ÓÖ n a º º Ø Ø Ðº n n º º Ø Ø Ðº À a R, a > ÓÖ a n = an n! 0 º º Ø Ø Ðº n n! + º º Ø Ø Ðº À a > ÓÖ nk a ( º Ø Ø Ðº Þ + ) n n ºµ º Æ Î Ì Ë ËÇÊÇ ÌÇà n 0 k N Ö Þ Ø ØØ Þ ÑÖ º ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò º À Ø Ö ÖØ Ø e¹ú РРй

48

49 Áκ Þ Ø ËÓÖÓ ½º Ð Ô Ó ÐÑ Ð ÔØ Ø Ð Ý a n ÓÖÓÞ Ø Ø Þ Ú Ð ÓÖÑ Ð Ò Ð Ö Ø Ù a n n= Ú Ø Ð Ò Ó Ø Þ Øº Þ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ñ ÓÖ Ð ÒØ Ý Þ ÑÓØ ÖÖ Ö Ö n a k Ö ÞÐ Ø Þ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ú Ð Ó ÙÒ k= Ú Ð ÞÓÐÒ º Ã Ó Þ Ö ÐÒ Ó Ý Ø ÒÝÐ ÒÙÑ Ö Ù Þ Ñ Ø Ô µ Þ Ñ Ø Ó Ý Ö Ò ÐÝ Ò ÓÖÓ Ð Ô Ò Ò Þ Ð Ø µ ÖØ Ø ÓÒ Ö Ø Ð ØÓ Ñ ÓÐ Ö º ½º Ò º À ÓØØ Ý a n R¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÖ ÞØ Þ S n ÓÖÓÞ ØÓØ. n Ñ ÐÝÒ Ð S n = a k Ú Ø Ð Ò ÓÖÒ Ò Ú ÞÞ a n Ú Ý a n ¹Ò Ð k= Ð Ð º S n ¹Ø ÓÖ n¹ Ö ÞÐ Ø Þ Ò a n ¹Ø ÓÖ n¹ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º À ÓØØ Ñ Þ a 0 R Þ Ñ Ý ÞØ Þ S n ÓÖÓÞ ØÓØ Ñ ÐÝÒ Ð S n = ÞÒ Ð Ù º n k=0 a k Ú Ø Ð Ò ÓÖÒ Ò Ú ÞÞ Ö n=0 n= a n Ð Ð Ø ¾º Ò º a n ÓÖØ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÑÓÒ Ù S n ÓÒÚ Ö Ò lim S n = S Þ ÑÓØ ÓÖ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º n Þ Ò Þ Ø Ð Ð Ø a n ÐÐ ØÚ a n Þ Þ Þ a 0 ¹Ø Ð Ò ÙÐ ÓÖ a n µ Þ Ñ ÐÙÑ º n=0 n= a n ÓÖ Ú Ö Ò Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º

50 ¼ Áκ ËÇÊÇÃ È Ð º ½º n(n + ) ÓÖÒ Ð n N¹Ö S n = n (n + ) = ( = ) ( ) ( n ) = n + = n +, Ý ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Þ ½º ¾º Ä Ý Ò q R, q < ÓÖ q n ÝÒ Ú Þ ØØ Ñ ÖØ Ò Ú Ý ÓÑ Ø¹ Ö µ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÖØ Ý Þ º n n=0 S n = + q + + q n = qn+ q q º q, ÝÒ Ú Þ ØØ ÖÑÓÒ Ù ÓÖ Ú Ö Ò Ñ ÖØ S n = , n ÓÖ Ò Ð ØØÙ Ó Ý Þ n ÓÖÓÞ Ø Ú Ö Ò º Å ÝÞ º a n ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ÔÔ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý S R Ó Ý ε > 0¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý n n(ε) Ø Ò S n S < εº ½º Ø Ø Ð Ù Ý¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑ ÓÖÓ Ö µº a n ÓÖ ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ε > 0¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý n,m N, n > m n(ε) Ø Ò a m+ + a m a n < ε. ÞÓÒÝ Ø º a n ÓÖ ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ò Þ Ö Òص S n ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÓÖÓÞ ØÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ù Ý¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Øص ÓÖ ÓÖ Þ ε > 0¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý n,m n(ε) (n > m) Ø Ò Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐРغ ε > S n S m = a m+ + a m a n.

51 ½º Ä È Ç ÄÅ Ã Ë Ä ÈÌ Ì Ä Ã ½ ½º Ú Ø ÞÑ Òݺ a n ÓÖ ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò ε > 0¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý m n(ε) p N Ø Ò a m+ + a m a m+p < ε. ÞÓÒÝ Ø º Å ÒØ Þ Ð n = m + p > m n(ε) Ú Ð ÞØ Ðº ¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ò Þ ÐØ Ø Ð µº À a n ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ a n 0 º ÞÓÒÝ Ø º À Þ ½º Ø Ø Ð Ò m = n Ý ÞØ Ô Ù Ó Ý ε > 0¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý n n(ε) (n N) Ø Ò a n < ε Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý a n 0 º È Ð º ½º n ÓÖÒ Ð a n = n ÓÒÚ Ö Ò º 0 Ó Ý ÞØ Ð ØØÙ µ ÓÖ Ñ Ò Ñ ¾º n 2 ÓÖÒ Ð a n = 0 Ñ ÒØ ÞØ Ð ØØÙ µ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º n2 º Ò º a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò a n ÓÒÚ Ö Ò º a n ÐØ Ø Ð Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÒÚ Ö Ò Ò Ñ ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º ¾º Ø Ø Ðº Ý ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º a n ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ ε > 0¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý m,n N, n > m n(ε)¹ö n n n n a k < ε Ý a k a k = a k < ε, k=m+ k=m+ k=m+ k=m+ Ñ Þ ½º Ø Ø Ð Ñ ØØ a n ÓÒÚ Ö Ò Øº º Ø Ø Ðº À a n b n ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓ λ,µ R Ø Ø Þ Ð ÓÖ (λa n + µb n ) ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Þ λ a n + µ b n º ÞÓÒÝ Ø º n= n= n (λa k + µb k ) = λ n a k + µ n b k Ñ ØØ (λa n + µb n ) ÓÖ k= k= n¹ Ö ÞÐ Ø Þ a n b n ÓÖÓ n¹ Ö ÞÐ Ø Þ Ò λ,µ Þ ÑÓ Ð ÔÞ ØØ Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ý ÓÖÓÞ ØÓ ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ¹ Ñ ØØ Ò Þ ÐÐ Ø º k=

52 ¾ Áκ ËÇÊÇà ¾º ÃÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑÓ ½º Ø Ø Ð Ò ÑÒ Ø Ú Ø ÓÖÓ Ö µº Ä Ý Ò a n Ò ÑÒ Ø Ú Ø Ó Ð ÐÐ ÓÖº an ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ö ÞÐ Ø Þ Ò S n ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ º ÞÓÒÝ Ø º µ S n+ S n = a n+ 0 n N Ð Ô Ò S n ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú º À Ñ ÓÖÐ ØÓ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ý a n ÓÒÚ Ö Ò º µ a n ÓÒÚ Ö Ò = S n ÓÒÚ Ö Ò = S n ÓÖÐ ØÓ º È Ð º n 2 Ò Ñ Ò Ø Ú Ø ÓÖ Ø Ò n N¹Ö S n = n 2 < (n ) n = = n n = 2 n < 2, Þ Þ S n ÓÖÐ ØÓ Ý ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º ¾º Ø Ø Ð Þ ÓÒÐ Ø Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò a n Ý ÓÖ b n Ý Ò ÑÒ Ø Ú Ø ÓÖº µ À a n b n n n 0 N Ø Ò b n ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÓÖ Ò Ö Ø Ö Ùѵº µ À a n b n n n 0 N Ø Ò b n Ú Ö Ò ÓÖ a n Ò Ñ ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÒÓÖ Ò Ö Ø Ö Ùѵº ÞÓÒÝ Ø º µ b n ÓÒÚ Ö Ò Ñ ØØ ε > 0¹ ÓÞ n(ε) n 0, n(ε) N Ó Ý n,m n(ε) (n > m) Ø Ò Ý b m+ + b m b n < ε, a m+ + a m a n = a m+ + a m a n b m+ + b m b n = b m+ + b m b n < ε Þº Ì Ø Ù Ý¹ Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Øص a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º µ À a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ð ÒÒ ÓÖ Þ µ Ö Þ Ñ ØØ b n ÓÒ¹ Ú Ö Ò Ð ÒÒ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý a n Ò Ñ ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º È Ð º ½º n ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÖØ n < n 2 n N n 2 ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º

53 ¾º n ÓÖ Ú Ö Ò Ñ ÖØ ¾º ÃÇÆÎ Ê Æ Á ÃÊÁÌ ÊÁÍÅÇà n n n N n ÓÖ Ú Ö Ò º º Ø Ø Ð Ä Ò Þ¹ Ð Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò a n > 0 (n N) Þ a n ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò Ø ÖØ ÓÒ ¼¹ ÓÞº ÓÖ ( ) n+ a n ݹ Ò Ú Þ ØØ ÐÚ ÐØ Ú Ý ÐØ ÖÒ Ð µ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º È Ð º ( ) n+ n ÝÒ Ú Þ ØØ Ä Ò Þ¹ Ð ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÖØ a n = n > 0 (n N), n ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò Ø ÖØ ¼¹ ÓÞº º Ø Ø Ð Ù Ý¹ Ð Ý Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò a n Ý ÓÖº µ À 0 < q < n 0 N Ó Ý n n 0 ¹Ö n a n q ÓÖ a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º µ À Ú Ð Ñ ÐÝ n 0 N Ø Ò n n 0 ¹Ö n a n ÓÖ a n Ú Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º µ À n n 0 ¹Ö n a n q < ÓÖ a n q n (n n 0 )º Ý bn = a a n0 + n=n 0 q n ÓÖÖ Ñ ÐÝ q < Ñ ØØ ÓÒÚ Ö Ò Ø Ð Ð Ó Ý a n b n º Ì Ø Þ Þ ÓÒÐ Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Øص a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º n µ n n 0 ¹Ö a n = a n = a n Ò Ñ Ø ÖØ ¼¹ ÓÞ = a n Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º È Ð º n ] [ 3 n ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÖØ n n Ñ ØØ q 3, Ø Ò n 0 N Ó Ý n n 0 ¹Ö n n 3 n = n n 3 < q < º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ù Ý¹ Ð Ý Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ó ÐÑ Þ µº Ä Ý Ò a n Ý ÓÖº µ À lim n a n = A < ÓÖ a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º µ À lim n a n = A > ÓÖ a n Ú Ö Ò º È Ð º Þ Ð ÓÖÖ Ý ÓÒÚ Ö Ò º lim n a n = lim n n 3 n = lim n n 3 = 3 <,

54 Áκ ËÇÊÇà º Ø Ø Ð ³ Ð Ñ Öع Ð ÒÝ Ó Ö Ø Ö Ùѵº Ä Ý Ò a n Ý ÓÖ Ñ ÐÝÖ a n 0º µ À 0 < q < n 0 N Ó Ý n n 0 ¹Ö a n+ a n q ÓÖ a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º µ À n 0 N Ó Ý n n 0 ¹Ö a n+ a n ÓÖ a n ÓÖ Ú Ö Ò º ÞÓÒÝ Ø º µ n n 0 ¹Ö a n+ a n q = m N¹Ö a n 0 +m a n0 q m = = b n = n 0 a k + a n0 q k n 0 ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÖ a n b n = k= k=n 0 + Þ Þ ÓÒÐ Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Øص a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò º µ n n 0 ¹Ö a n+ a n = a n+ a n (n n 0 ) = a n a n0 > 0 ( n n 0 ) = a n Ò Ñ Ø ÖØ ¼¹ ÓÞ = a n Ò Ñ Ø ÖØ ¼¹ ÓÞ = a n Ú Ö Ò º È Ð º n=0 2 n n! ÓÖÖ a n+ a n = 2 n+ (n + )! 2 n n! = 2 n + n N¹Ö 2 Ñ n + 0 Ñ ØØ Ó Ý 0 < q < Ø Ò n 0 Ó Ý n n 0 ¹Ö a n+ a n < q < Ý ÒÝ Ó Ö Ø Ö ÙÑ Ñ ØØ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º À ÓÒÐ Ò Ð Ø Ø Ó Ý x n ÓÖ x R Ø Ò ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò n=0 n! Ñ ÖØ ÓÖ a n+ a n = x n + 0º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ ³ Ð Ñ Öع Ð ÒÝ Ó Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ó ÐÑ ¹ Þ µº À a n Ý ÓÖ Ñ ÐÝÖ a n 0 (n N) ÓÖ µ lim a n+ a n < = a n ÞÓÐ Ø ÓÒÚ Ö Ò

55 ¾º ÃÇÆÎ Ê Æ Á ÃÊÁÌ ÊÁÍÅÇà µ lim a n+ a n > = a n Ú Ö Ò º Å ÝÞ º ½º n ÓÖÓ Ò Ð Ò Ñ Ð ÐÑ Þ Ø º º Ø Ø Ðº n2 n ÓÖ Ú Ö Ò º n n < n > 2 Ý Ý Ö Ø Ö ÙÑ µ Ö Þ µ Ò Ñ ÞÒ Ð Ø º Å Ö ÞØ n+ / n < Þ Þ ÒÝ Ó Ö Ø Ö ÙÑ µ Ö Þ µ Ñ Ð ÐÑ Þ Ø º n 2 ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò º n Ý Ý Ö Ø Ö ÙÑ n µ Ö Þ µ 2 Ò Ñ Ð ÐÑ Þ Ø º Å Ö ÞØ / Ý ÒÝ Ó Ö Ø Ö ÙÑ (n+) 2 n 2 µ Ö Þ µ Ñ Ð ÐÑ Þ Ø º ¾º ٠ݹ Ð Ý Ö Ø Ö ÙÑ Ö Ñ ÒØ ³ Ð Ñ Öع Ð ÒÝ Ó ¹ Ö Ø Ö ÙÑ Þ Þ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ý Ú Ö Ò Þ ÙØ Ú Ð Ð Òع Ø ÓÖ Þ Ð Ú Ð Ñ Ø ÓÐÝ Ò ÓÖ Ñ ÐÝÒ ÓÒÚ Ö Ò¹ ٠ݹ Ð Ý Ö Ø Ö ÙÑÑ Ð Ð ÒØ Ø ³ Ð Ñ Öع Ð ÒÝ Ó Ö Ø Ö ÙÑÑ Ð Ò Ñº È Ð ÙÐ an, a n = { 5 n n Ô Ö ØÐ Ò, 2 n n Ô ÖÓ. º Ø Ø Ð Ù Ý¹ Ð ÓÒ ÒÞ Ø Ø Ðµº Ä Ý Ò a n Ý ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ò ÑÒ Ø Ú Ø ÓÖÓÞ Øº a n ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò 2 n a 2 n ÓÒÚ Ö Ò º È Ð º ÓÖ ÓÐ p > 0 ܵ ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò np p > º Þ ÖØ Ô Ð ÙÐ n ÖÑÓÒ Ù ÓÖ Ú Ö Ò ºµ À p > 0 ÓÖ n p ÓÖ Ò ÑÒ Ø Ú Ø n p ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ý º º Ø Ø Ð Ñ ØØ ÓÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò 2 n (2 n ) p Þ Þ ( ) n 2 p ÓÑ ØÖ ÓÖ ÓÒÚ Ö Ò Ñ ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð < 2p Þ Þ p > º