Átírás

1 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö

2

3 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº

4 ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö ËÇÊÇ ÌË ÊÃ Ë Ì Þ Á ØÚ Ò

5 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ ÁÁº Ý Ø Ñ ÝÞ Ø ÖÑ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ Å Ø Ñ Ø ÁÒØ Þ Ø

6 Ä ØÓÖ Þ Á ØÚ Ò ÄÓ ÓÒÞ Ä ÞÐ ÓÔÝÖ Ø Ä Ã ÖÓÐÝ ¾¼¼ ÓÔÝÖ Ø Ð ØÖÓÒ Ù ÞÐ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö ¾¼¼ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒØ Þ Ø ¼½¼ Ö Ò È º ½¾ ØØÔ»»ÑÓ ºÙÒ º Ù Ñò Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ð Ö Þ ÓÒ Ð Ø ÐØ Ø º Å Ò Ò Ý Ð¹ ÞÒ Ð Þ ÖÞ Ð Þ Ø Ö Ð Ò ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò Øº Ñò ÑÓ ÁýÃ Ò Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ÁÃÌ ÇÅ ¹¼¼»¾¼¼ µ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÞÓ ØÚ Ö ÁÌ Å ¼»¾¼¼ µ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ò Þ Ðغ

7 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Áº ÁÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º ÈÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ð Ò ÐØ Ø Ð º º º º ¾¾ º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÖ º º º º º º º º ¾ º Þ ÒØ Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ö Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Æ ÛØÓÒ¹Ä Ò Þ ÓÖÑÙÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º È Ö Ð ÐÝ ØØ Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ½¼º Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖÓ Ø ÓÒ ÒØ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½º ÁÑÔÖÓÔÖ Ù Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁº Î ÓØÓÖØ Ö Ù Ð Þ Ø Ö Ñ ØÖ Ù Ø Ö º º º º º º º º º º º Ú Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Î ØÓÖØ Ö Ù Ð Þ Ø Ö Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Þ R n Ù Ð Þ Ø Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º R n ØÓÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÌÓÚ Ð Ò Ö Ð Ö Ð Ñ Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁº ËÓÖÓÞ ØÓ R k ¹ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ô Ó ÐÑ Ô ÓÐ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ËÓÖÓÞ ØÓ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Þ ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ٠ݹ ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Áκ Ì Ú ÐØÓÞ Ú ØÓÖ ÖØ ò Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ø Ö ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Ð Ô Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÓÐÝØÓÒÓ Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

8 Ì ÊÌ ÄÇÅ à º ÓÐÝØÓÒÓ ÑòÚ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÓÐÝØÓÒÓ ØÓÔÓÐÓ Ù Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ø Ö ÖØ Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º À Ø Ö ÖØ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ý ÒÐ ØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø Ö ÖØ ÓÐÝØÓÒÓ Ô ÓÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º κ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÐØ Ð ÒÓ Ø Ð ÐÑ Þ º º º º º º º Ú Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÃÓÖÐ ØÓ Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ËØ ÐØ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º Ö Ú Ó Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ñ ÒØ ¹ ÒØ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÁº Ì Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ö Ò Ð Þ Ñ Ø º º º º º º º º º º ½ ½º Ö Ò Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÁÖ ÒÝÑ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ú ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ò Ð Þ ÐÝÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ã Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å Ö Ò ò Ö Ú ÐØ ÓÙÒ Ì ÝÐÓÖ Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÄÓ Ð Þ Ð ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÒÚ ÖÞ Ú ÒÝ¹Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÑÔÐ Ø Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼¾ º ÐØ Ø Ð Þ Ð ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÎÁÁº Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð R n ¹ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ú Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÓÖÐ ØÓ R n ¹ Ð ÐÑ ÞÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÂÓÖ Ò¹Ñ Ö Ø ÐÑ ÞÓ R n ¹ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º ÁÒØ Ö ÐØÖ Ò Þ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾¾ ÎÁÁÁº Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ú Þ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ¾º Ã Þ Ø ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ý Ù Ý¹ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ º Ð Ñ ØÓÒ Ñ ÓÐ Ø Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø¹Ø ÔÙ Ó º º º º º º º º º º º º º ½ º Þ ÞØ Ò ¹Ø Ø Ð Ù Ý¹ Ð ØÓ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Å Ö Ò ò Ð Ò Ö Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼ ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½

9 Ì ÊÌ ÄÇÅÂ Ã Æ Ú ÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ì Ö ÝÑÙØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

10

11 Áº Þ Ø ÁÒØ Ö Ð Þ Ñ Ø ½º ÈÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Á Ñ Ö Ø Ó Ý Ý f :,b R Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Þ ÓÞÞ Ö Ò Ð¹ Ø Þ f :,b R Ú Òݺ È Ð º À f(x) = x 2 (x R) Ý Ð Ø Þ f (x) = 2x (x R)º Ã Ö f :,b R¹ Þ Ð Ø Þ ¹ F :,b R Ó Ý F = f È Ð º À f(x) = sin(x) (x R) ÓÖ F(x) = cos(x) (x R) Ø Ò F (x) = sin(x) = f(x) (x R) Ø Ð Ðº ½º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ Þ f :,b R Ú Òݺ F :,b R Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝØ Þ f ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ò Ú Ý Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ò Ú ÞÞ F = fº Þ F Ú ÒÝÖ Þ f Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù º f Ñ Ø ÖÓÞ Ø ÒØ Ö Ð ¹ Ò ÑÓÒ Ù º Þ F = f Ú ÒÝ x ÐÝ Ò ÐÚ ØØ ÖØ Ø F(x) = f(x)dx Ú Ý ( f)(x) Ð Ð Ñ Ý Ö Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝØ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ðص Ð ÒØ º ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ðµ ÖØ ÐÑ Þ Ø f : H R ¹ Ú ÒÝÖ ÓÐ H ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ý Ø º È Ð º Þ f(x) = sh(x) (x R) Ú ÒÝ Ø Ò F(x) = ch(x) (x R) Ú ÒÝ Ø Ð Ø Ó Ý F (x) = f(x) Ý F(x) = sh(x)dxº ½º Ø Ø Ðº À f,f :,b R, F = f (F = f) Ý G :,b R ÓÖ ÓÖ ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð µ f ¹Ò C R Ó Ý G(x) = F(x) + Cº ÞÓÒÝ Ø º µ À G(x) = F(x) + C ÓÖ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ G (x) = F (x) = f(x) (x,b ) Ý Ò Þ Ö ÒØ G ÔÖ Ñ Ø Ú Ú Òݺ µ À G = f Þ Þ G ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f¹ò ÓÖ G (x) = F (x) (x,b ) Ñ Ú Ú Ð Ò ÞÞ Ð Ó Ý [G(x) F(x)] = 0 (x,b ) Ý ½½

12 ½¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ö Ò Ð Þ Ñ Ø Ò Ø ÒÙÐØ Þ Ö ÒØ G(x) F(x) = C (x,b ) Þ Þ G(x) = F(x) + Cº Å ÝÞ º À Þ f Ú ÒÝ ÖØ ÐÑ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÓÖ Þ ÐÐ Ø Ò Ñ Þº Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ 1 x dx = { ln(x) + C 1 (x > 0) ln( x) + C 2 (x < 0) x µ dx = xµ+1 µ C (x R +, µ 1) x dx = x + C ln (x R, > 0, 1) sin(x) dx = cos(x) + C (x R) cos(x) dx = sin(x) + C (x R) 1 dx = rcsin(x) + C (x ( 1,1)) 1 x 2 1 dx = rctg(x) + C (x R) 1 + x2 sh(x) dx = ch(x) + C (x R) ch(x) dx = sh(x) + C (x R) 1 x dx = rsh(x) + C = ln(x + x 2 + 1) + C (x R) 1 x 2 1 dx = rch(x) + C = ln(x + x 2 1) + C (x (1, )) 1 sin 2 (x) dx = ctg(x) + C k (x (kπ,(k + 1)π), k Z) 1 cos 2 (x) dx = tg(x) + C k (x (kπ π 2,kπ + π ), k Z) 2 ( n x )dx n x n+1 = n n C (x (, )) n=0 n=0

13 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f,g :,b R ÓÐÝ Ò Ó Ý Ð Ø Þ f g p,q R Ø Ø Þ Ð ÓÖ Ð Ø Þ (pf + qg) C R Ó Ý [pf(x) + qg(x)] dx = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x,b ). ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò F = f, G = g ÓÖ F, G Ð Ø Þ Ñ ØØ Ð Ø Þ (pf + qg) (pf + qg) (x) = pf (x) + qg (x) = pf(x) + qg(x) (x,b ), Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ð Ø Þ (pf(x)+qg(x)) dx = pf(x)+qg(x)+c = p f(x) dx + q g(x) dx + C (x,b )º È Ð º À f(x) = x 3 (x R), g(x) = cos(x) (x R) ÓÖ Ð Ø ¹ Þ x 3 dx cos(x)dx Ð Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ µ Ý Ø Ø Ð Ò Þ Ö ÒØ Ð Ø Þ (2x 3 + 3cos(x))dx Ð Ø Þ C R Ó Ý (2x 3 + 3cos(x))dx = 2 x sin(x) + C. º Ø Ø Ð Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð µº À Þ f,g :,b R Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø,b ¹Ò Ð Ø Þ f g ÓÖ Ð Ø Þ fg Ú Ò ÓÐÝ Ò C R Ó Ý Èµ f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx + C (x,b ). ÞÓÒÝ Ø º ÐØ Ø Ð Ñ ØØ Þ f g f g Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø [ f(x)g(x) f (x)g(x) dx] = f (x)g(x) + f(x)g (x) f (x)g(x) = = f(x)g (x), Ñ Ø ÖÓÞ ØÐ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ñ ØØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ð Ø Þ fg Ø Ð Ð Èµº È Ð º ½º Ä Ý Ò f(x) = x, g(x) = e x (x R)º f g Ö Ò Ð Ø f (x) = 1, g (x) = e x (x R) ØÓÚ Ð Ø Þ f (x)g(x)dx = = 1 e x dx = e x dx Ð Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ µ Ý Ø Ø Ð Ñ ØØ Ð Ø Þ xe x dx C R Ó Ý xe x dx = xe x 1 e x dx + C = xe x e x + C (x R).

14 ½ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ¾º Ä Ý Ò f(x) = ln(x), g(x) = x (x R)º f g Ö Ò Ð Ø f (x) = 1 x, g (x) = 1 (x R + ) ØÓÚ Ð Ø Þ f (x)g(x)dx = 1 x xdx = 1dx (x R + ) Ð Ð Ô ÒØ Ö ÐÓ µ Ý Ø Ø Ð Ñ ØØ Ð Ø Þ ln(x)dx = 1 ln(x)dx C R Ó Ý ln(x)dx = 1 1 ln(x)dx = x ln(x) x xdx + C = = x ln(x) x + C (x R + ). Å ÝÞ º À P n (x) Ý n¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ Ý Þ Ð ÒØ Ö ÐÓ Ô Ö Ð ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð Ú Ð Ñ Ø ÖÓÞ Ø P n (x)e x (x) dx, P n (x)sin(x)dx, P n (x)rcsin(x)dx, P n (x)ln(x)dx, P n (x)cos(x)dx, P n (x)rccos(x)dx, P n (x)sh(x) dx, P n (x)rctg(x)dx, P n (x)ch(x)dx, P n (x)rcctg(x)dx. º Ø Ø Ð ÐÝ ØØ Ø ÒØ Ö Ð Ø Ø Ð µº À f :,b R, g : c,d,b ÓÐÝ ÒÓ Ó Ý Ð Ø Þ g : c,d R Ð Ø Þ f ÓÖ Ð Ø Þ (f g) g Ú Ò ÓÐÝ Ò C R Ó Ý (( ) ) Àµ f(g(x)) g (x)dx = f g (x) + C = f(t)dt t=g(x) +C (x c,d )º ÞÓÒÝ Ø º ÐØ Ø Ð Ñ ØØ Ð Ø Þ [( f) g] [( ) f g] (x) = f(g(x)) g (x) (x c,d ), Ñ ÔÔ Ò ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ð Ø Þ (f g)g Ø Ð Ð Àµº Å ÝÞ º À ÒØ Ò Ø Ðµ Ð Ø Þ g 1 ÓÖ Àµ Ú Ø Þ Ð Ö Ø À³µ f(x) dx = (( (f g)g ) g 1 )(x)+c = f(g(t))g (t)dt t=g 1 (x)+c (x c,d )º

15 ½º ÈÊÁÅÁÌ Î Î Æ À ÌýÊÇ ÌÄ Æ ÁÆÌ ÊýÄ ½ È Ð º ½º 2xsin(x 2 )dx =? Ä Ý Ò f(x) = sin(x), g(x) = x 2 (x R)º ÓÖ g : R R + R ØÓÚ Ð Ø Þ g (x) = 2x (x R) f = sin(x)dx Ð Ð Ô ÒØ ¹ Ö ÐÓ µ Ý Ø Ø Ð Ñ ØØ Ð Ø Þ 2xsin(x 2 )dx C R Ó Ý 2xsin(x 2 )dx = sin(t)dt t=x 2 +C = cos(x 2 ) + C. ¾º ch(2x + 3)dx =? (x R) Ð Ø Ø Ó Ý Þ f(x) = ch(2x + 3) (x R) Ú ÒÝÒ Ð Ø Þ ÔÖ ¹ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ º Ä Ý Ò g(t) = t 3 2 ÓÖ g (t) = 2 1 ØÓÚ Ð Ø Þ g 1 (x) = 2x + 3 (x R) Ý Ñ ÝÞ Ñ ØØ ( ch(2x + 3)dx = ch 2 t 3 ) dt t=2x+3 +C = = 1 ch t dt 2 t=2x+3 +C = 1 sh(2x + 3) + C. 2 3 º x 1 dx =? (x > 1) Ä Ý Ò g(t) = t + 1 ÓÖ g (t) = 1 Ð Ø Þ g 1 (x) = x 1 Ý 3 x 1 dx = 3 t dt t=x 1 +C = 1 = 3 t dt t=x 1 +C = 3ln(x 1) + C. 5 º x 2 +2x+2 dx =? Ä Ý Ò g(t) = t 1 ÓÖ g (t) = 1 Ð Ø Þ g 1 (x) = x + 1 Ý 5 x 2 + 2x + 2 dx = 5 (x + 1) dx = 1 = 5 t dt t=x+1 +C = 5rctg(x + 1) + C. Å ÝÞ º ½º 1 x 2 dx Ø Ò g(t) = sin(t) (t ( π 2, π 2 )) ¾º R(sin(x),cos(x)) dx Ø Ò ÓÐ R(u,v) Ö ÓÒ Ð Þ u,v¹ò x ( π,π)µ º g(t) = 2rctg t (t R) ( Ðк tg x 2 = t = g 1 (x) (x ( π,π)), ) x + b x + b R (x, n dx Ø Ò t = n cx + d cx + d = g 1 (x), g(t) = dtn b ct n

16 ½ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË º R(x, x 2 + bx + c) dx Ø Ò Þ ÙÐ Ö¹ Ð Ú Ý ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ù sinµ ÐÐ ØÚ Ô Ö ÓÐ Ù Þ sh, chµ Ú ÒÝ µ ÐÝ ØØ Ø Ø Ð ÐÑ ÞÞÙ Ê ÓÒ Ð Ø ÖØ Ú ÒÝ ÒØ Ö Ð º Ô Ö Ð Ø ÖØ Ö ÓÒØ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ñ Ò Ò Pn(x) Q m(x) Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ ¹ Ú ÒÝ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ð ÐÐ Ý ÔÓÐ ÒÓÑ (x b) j, px + q (x 2 + rx + s) k (j,k N +, r 2 4s < 0) Ð Ø ÖØ ÞÓÒÝÓ ØØ Ò Ñ Ö ÞÐ Ø Þ Øص Þ ÒØ ÓÐ (x b) j (x 2 + rx + s) k Q m (x) Ó ÞØ º Ý P n(x) Q m(x) Ñ Ø ÖÓÞ Ú Þ Ú Þ Ø Ø Þ px + q dx (x b) j (x 2 + rx + s) k dx Ñ Ø ÖÓÞ Ö º Å ÝÞ º ½º Þ ÙØ Ø ÒØ Ö ÐØ ÔÙ Ø Ý ÓÖÐ ØÓÒ Ú Þ Ð Ù Þ Ð Þ Ð ÞÓÒ¹ Ò Ð Ð Ø Ø µº ¾º º Ø Ø Ð ÙØ Ò ¾µ µ µ Ô Ð Ø Ò Þ ÒØ Ö Ð Ö ÓÒ Ð Ø ÖØ ¹ Ú ÒÝ ÒØ Ö Ð Ö Ú Þ Ø Ø Ú Þ º º ÌÓÚ Òº Ö ÓÒ Ð Þ Ð ÐÝ ØØ Ø Ú Þ Ð Ø Ôк R(e x ) dx ÒÓÑ ÒØ Ö ÐÓ µº ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ó ÐÑ Ð Þ Ö Ý Ð ØÓÒ ÑÙØ Ø Ù Þ Ø Ñ Ò ÐÞ ØØ Ó ÐÓÑ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ØØ Ö Ø ÓÑ ØÖ Ø ÖØ ÐÑ Ø µº À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Þ f(x) = x 2 (x [0,1]) Ú ÒÝ Ö Þ x¹ø Ò ÐÝ [0,1] Þ Þ Þ x = 1 Ý ÒÐ Øò Ý Ò ÐØ Ð Ø ÖÓÐØ ÓÑ Ø Ö Ð Ø Øº Ö ØØ T Ø Ö Ð Ø Ø ÓÖÐ ØÓ Þ ÞÓÖ Ø Ù º Þ Ó ÞÙ Ð [0,1] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓØ 0 = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n 1 < x n = 1 Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ðº T Ð Ð Ø Ý Ô Ù Þ [x i 1,x i ] Þ ÞÖ f(x i ) = x 2 i Ñ Ø Ð Ð ÔÓØ Ñ Ð Ò i = 1,...,nµ Ú Þ Þ Ø Ö Ð Ø Ò S = n x 2 i (x i x i 1 ) i=1

17 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄÀ Ì Ëý Ç ÄÅ ½ Þ Øº ÆÝ ÐÚ Ò T S Ñ ÖØ Ú ÒÝ Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ñ ØØ x 2 x 2 i Ø Ð Ð Þ [x i 1,x i ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý ÔÓØØ Ø Ð Ð ÔÓ Ú Þ ÐØ ÓÑÓØ Þ ÖØ Ø Ö Ð Ø Þ Ð Ð T º À ÓÒÐ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ó Ý Þ [x i 1,x i ] Þ ÞÖ f(x i 1 ) = x 2 i 1 Ñ Ø Ð Ð ÔÓØ Ñ Ð Ò i = 1,...,nµ ÓÖ Þ Ý ÔÓØØ Ø Ð Ð ÔÓ Ø Ö Ð Ø Ò n s = x 2 i 1 (x i x i 1 ) i=1 Þ Ö s T Ø Ð Ð Ñ ÖØ Ñ Ò Ò Ø Ð Ð Ô T Ø Ö Ð Øò ÓÑ Ö Þ Ò Ñ ÒÝ ÐÒ ÝÑ º y y 0 x 1 x 2 1 x 0 x 1 x 2 1 À Þ Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ø x i = i n (i = 0,...,n) Ñ ÓÒ Ú Ð ÞØ Ù Ý n ( ) i 2 1 S = n n = 1 n 3( n 2 n(n + 1)(2n + 1) ) = 6n 3 = i=1 = 2n2 + 3n + 1 6n 2, n ( i 1 s = n i=1 ) 2 1 n = 1 n 3( (n 1) 2 ) = = 2n2 3n + 1 6n 2, Ý 2n 2 3n + 1 6n 2 T 2n2 + 3n + 1 6n 2, Ñ Ð Þ Ð Ø Ð Ø T ¹Ö Ø 2n 2 3n + 1 6n n 2 + 3n + 1 6n x (n 1)n(2n 1) 6n 3 =

18 ½ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË Ñ ØØ Ð Ø Ø Ø Þ Ð ÔÓÒØÓ Ò Ø ÒØ Ø ÞÞ Ð Ú Ø Þ¹ Ø Ø Ð Ó Ý Ö ØØ Ø Ö Ð Ø T = 1 3 º È Ö Þ Þ Ð ÓÖ ÒÝÙ Ó ØÒ Ò Ñ Þ Ò Ñ Ô Ð Ò Ñ Ø Ø Þ Ð ÐÓ ÞØ ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Øµ Ø Ò Ò º Ñ Þ Ö ÞÒ Ð ØÞ ÐØ Ð ÒÓ Ò Ý f : [,b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ú Ý ÓÖÐ ØÓ µ Ò ÑÒ Ø Ú Ú ÒÝ Ö Þ [,b] Þ Þ Þ x = Þ x = b Ý Ò ÐØ Ð Ø ÖÓÐØ ÓÑ Ø Ö Ð Ø Ò Þ Ð Ø Ö ØÐ ÔÓÒØÓ Ñ Ö º y 0 b x À Ñ ÞØ Ñ Ø Þ Ð Ó Ý f Ò ÑÒ Ø Ú Ý Ð ÙØÙÒ Ê Ñ ÒÒ Ò ¹ Ú Ú Ð ÒÝ ÐÞ ØØ ÒØ Ö Ð Ó ÐÑ ÓÞ Ñ ÐÝÒ ÓÑ ØÖ Ø ÖØ ÐÑ Ô Ð ÙÐ Ò ÑÒ Ø Ú ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ö ÔÔ Ò Ö Ð ØØ ÓÑ Ø Ö Ð Ø Ð Þº Ä Ý Ò [,b] R Þ ÖØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙѺ ØÓÚ Ò f : [,b] R Ø ÔÙ ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º ½º Ò º P = {x i = x 0 < x 1 < < x i < < x n = b} [,b] ÐÑ ÞØ Þ [,b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ý ÐÓ ÞØ Ò Þ x i ÔÓÒØÓ Ø ÐÓ Þ¹ Ø Ó ÞØ ÔÓÒØ Ò Þ [x i 1,x i ] (i = 1,...,n) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ø ÐÓ Þ¹ Ø Ö Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ñ x i = x i x i 1 Ñ ÐÐ ØØ P. = sup{ x i i = 1,...,n} Þ ÑÓØ ÐÓ ÞØ ÒÓÑ Ò Ò Ú ÞÞ º ¾º Ò º Ä Ý Ò P 1 P 2 [,b] Ø ÐÓ ÞØ º P 2 ÒÓÑ Ø ØÓÚ ¹ Ó ÞØ µ P 1 ÐÓ ÞØ Ò P 1 P 2 º P. = P 1 P 2 ÐÑ ÞØ P 1 P 2 Ý Ø Ò Ò Ú ÞÞ º

19 ¾º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄÀ Ì Ëý Ç ÄÅ ½ º Ò º P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø [,b]¹ò lim k P k = = 0 Ø Ð Ðº º Ò º Ä Ý Ò f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ P Ý ÐÓ ÞØ [,b]¹ò º M i. =. sup f(x), m i = inf f(x) (M i,m i R) x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i ] º Ò º Ä Ý Ò f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ P Ý ÐÓ ÞØ [,b]¹ò º Þ s(f,p) = n m i x i, S(f,P) = i=1 n M i x i, O(f,P) = i=1 n (M i m i ) x i Þ ÑÓ Ø Þ f Ú ÒÝ P ÐÓ ÞØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ð Ð ÐÐ ØÚ Ó Þ Ð¹ Ð Þ Ò Ñ t i [x i 1,x i ] Ø Ò σ(f,p) = n f(t i ) x i i=1 Þ ÑÓØ Þ f Ú ÒÝ P ÐÓ ÞØ ÓÞ t 1,...,t n ¹ Þ Ø ÖØÓÞ ÒØ Ö Ð Þ ¹ Ð Ø Þ Ò Ò Ú ÞÞ º Þ ÓÑ ØÖ Ð ÞÓÒÝÓ Ø Ö Ð Ø ºµ ½º Ø Ø Ðº À f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ µ ÖÑ ÐÝ P σ(f,p)¹ö : s(f,p) σ(f,p) S(f,P); µ ÖÑ ÐÝ P 1 P 2 ¹Ö : s(f,p 1 ) s(f,p 2 ), S(f,P 2 ) S(f,P 1 ); µ ÖÑ ÐÝ P 1,P 2 ¹Ö : s(f,p 1 ) S(f,P 2 ). ÞÓÒÝ Ø º µ À P = {x 0,x 1,...,x n }, t i [x i 1,x i ] Ø Ø Þ Ð ÓÖ m i f(t i ) M i Ñ ÐÝ Ð x i > 0 Ñ ØØ m i x i f(t i ) x i M i x i (i = 1,...,n) ÐÐ ØÚ Þ Þ Ð n n n m i x i f(t i ) x i M i x i i=1 i=1 Ú Ø Þ Ñ Þ ÐÐ Ø º µ Ä Ý Ò P 1 = {x 0,...,x n }, P 2 = {y 0,...,y m }, P 1 P 2 ÓÖ ÖÑ ÐÝ [x i 1,x i ]¹Ö Ð Ø Þ j,k Ó Ý [x i 1,x i ] = [y j 1,y j ] [y k 1,y k ] (x i 1 = y j 1, x i = y k ). i=1 i=1

20 ¾¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË À m (1) i P 1, m (2) i P 2 ¹ Þ Ø ÖØÓÞ Ò ÑÙÑÓ ÓÖ m (1) i m (2) j,...,m (2) Ý m (1) i x i = m (1) i y j + + m (1) i y k m (2) j y j + + m (2) k y k ÖÑ ÐÝ i = 1,...,n¹Ö Ñ Ð Þ Þ ÙØ Ò Ò µ Ð Ð º Ñ Ó ÓÒÐ Ò Ú Ø Þ º µ À P 1, P 2 Ø Ø Þ Ð ÐÓ ÞØ Ó ÓÖ P 1,P 2 P 1 P 2 Ý µ µ Ñ ØØ s(f,p 1 ) s(f,p 1 P 2 ) S(f,P 1 P 2 ) S(f,P 2 ), Ñ Þ ÐÐ Ø Øº º Ò º Ä Ý Ò f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú Òݺ Þ b Á = f =. sup{s(f,p)}, Ī = P b f. = inf P {S(f,P)} Þ ÑÓ Ø Þ f Ú ÒÝ [,b] Ð ØØ Ð ÐÐ ØÚ Ð Ö ÓÙܹ ÒØ Ö Ð ¹ Ò Ò Ú ÞÞ º ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ Á,Ī R Á Ī Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º Þ ½º Ø Ø Ð µ Ö Þ Ñ ØØ ÖÑ ÐÝ P 1 ¹Ö s(f,p 1 ) S(f,P) Ö¹ Ñ ÐÝ P Ø Ò Ý Ð Ø Þ Ī R ØÓÚ s(f,p 1) Ī Ñ Ó Ý Ð Ø Þ Á R Á Īº Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ ÖÑ ÐÝ P ¹Ö s(f,p) Á Ī S(f,P) Ñ Ó Ý 0 Ī Á O(f,P)º È Ð º ½º À f(x) = c (x [,b]) ÓÖ I = Ī Ñ ÖØ [,b] ÖÑ ÐÝ P ÐÓ ÞØ Ö m i = M i = c Ý s(f,p) = S(f,P) = n c x i = x n x i = c(b ) Ø Ø Á = Ī = c(b )º ¾º Ä Ø Þ f Ó Ý Á Īº Ä Ý Ò { 1 x [,b] Q, f(x) = 0 x [,b] \ ([,b] Q), Þ Þ Ö Ð Ø¹ Ð Ú ÒÝ Ð Þò Ø Þ [,b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ µº Ä Ý Ò P Ø Ø Þ Ð ÐÓ ÞØ [,b]¹ò º Á Ñ Ö Ø Ó Ý ÖÑ ÐÝ Ø Ú Ð i=1 i=1 k

21 º Ê ÇÍ ¹Ì Ì Ä Ë Ã Î ÌÃ Å Æ Á ¾½ Þ Ñ Þ ØØ Ú Ò Ö ÓÒ Ð ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñ Ý m i = 0, M i = 1 ÐÓ ÞØ ÖÑ ÐÝ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ñ Ó Ý n n s(f,p) = 0 x i = 0, S(f,P) = 1 x i = b, i=1 Ý Á = 0 b = Īº º Ò º Þ f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò Á = Īº ÞØ Þ ÖØ Ø Þ f [,b] Ð ØØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð¹ Ò Ò Ú ÞÞ Ö Þ b I, f Ú Ý b f(x) dx Ð Ð Ø ÞÒ Ð Ù º À [c,d] [,b] f [c,d]¹ö Ú Ð Ð Þò Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [c,d]¹ò ¹ d ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [c,d]¹òº f Þ f : [,b] R Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ð Ð [c,d]¹òº À f [c,d] = g ÓÖ d f =. d gº Å ÝÞ º ½º Þ Ð Ô Ð ÑÙØ Ø Ó Ý Þ f(x) = c (x [,b]) Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø b cdx = c(b ) Ñ Ö Ð Ø¹ Ð Ú ÒÝ Ò Ñ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹òº ¾º À f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ò ÑÒ Ø Ú Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ ÓÖ Þ b Þ Ñ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð [,b]¹òµ ÓÑ ØÖ Ø ÖØ ÐÑ Ð ¹ Ý Ò Þ f Ö Ð ØØ ÓÑ Ø Ö Ð Ø º i=1 º Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ð Ð Þ Ý Ø Ø Ö ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ø ÑÙØ Ø Þ Ð Ö Ñ Òݺ ½º Ø Ø Ð Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ðµº À f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ ÖÑ ÐÝ ε¹ ÓÞ Ð Ø Þ δ(ε) > 0 Ó Ý [,b] ÖÑ ÐÝ P ÐÓ ÞØ Ö Ñ ÐÝÖ P < δ(ε) µ S(f,P) Ī < ε Á s(f,p) < ε Ø Ð Ðº ¾º Ø Ø Ð Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ µº À f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ c c c

22 ¾¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË µ [,b] ÖÑ ÐÝ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø Ö Ð Ø Þ lim s(f,p k) = Á, k lim S(f,P k) = Ī, lim O(f,P k) = Ī Á k k ; µ [,b] ÖÑ ÐÝ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø Ö Ð Ø Þ σ 1 (f,p k ) σ 2 (f,p k ) ÒØ Ö Ð Þ Ð Ø Þ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý Ð Ø Þ lim k σ1 (f,p k ) = Á ÐÐ ØÚ lim k σ2 (f,p k ) = Ī. Å ÝÞ º Á Ī Ø Ø Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ý Ô Ð ÒÓÖÑ Ð ÐÓ Þ¹ Ø ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ s(f,p k ) ÐÐ ØÚ S(f,P k ) ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Òغ Ý Ñ Ö Ú Þ ÐØ f(x) = x 2 (x [0,1]) Ú ÒÝÖ Á = Ī = 1 3 Ý Þ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ø Ö ÙÑ Ð Ò ÐØ Ø Ð ½º Ø Ø Ðº Þ f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ Ê ¹ Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò Ð Ø Þ I R Ó Ý ÖÑ ÐÝ ε > 0¹ ÓÞ Ð Ø ¹ Þ δ(ε) > 0 Ó Ý ÖÑ ÐÝ ÓÐÝ Ò P ÐÓ ÞØ Ö [,b]¹ò Ñ ÐÝÖ P < δ(ε), σ(f,p) I < ε Ø Ð Ð ÖÑ ÐÝ σ(f,p)¹ö º ¾º Ø Ø Ðº Þ f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò [,b] ÖÑ ÐÝ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ø Ö¹ ØÓÞ ÖÑ ÐÝ σ(f,p k ) ÒØ Ö Ð Þ Ð Ø Þ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò º º Ø Ø Ð Ê Ñ ÒÒ¹ Ö Ø Ö Ùѵº Þ f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò ÖÑ ÐÝ ε > 0 Ø Ò Ð Ø Þ P ÐÓ ÞØ [,b]¹ò Ó Ý O(f,P) = S(f,P) s(f,p) < ε. ÞÓÒÝ Ø º µ Ä Ý Ò f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Þ Þ Á = Ī = I ε > 0 ÓØغ Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ð Ñ ØØ ε ¹ Þ δ(ε) > 0 Ó Ý P ÓÐÝ Ò ÐÓ ÞØ [,b]¹ 2 Ò Ñ ÐÝÖ P < δ( ε ) ÓÖ 2 I s(f,p) < ε 2 S(f,P) I < ε 2, Ñ Ó Ý O(f,P) = S(f,P) s(f,p) < εº

23 º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄÀ Ì Ëý ÃÊÁÌ ÊÁÍÅ Á Ë Ä Æ ÄÌ Ì Ä Á¾ µ Ì Ý Ð Ó Ý ε > 0¹Ö P Ó Ý O(f,P) = S(f,P) s(f,p) < εº ÓÖ 0 Ī Á S(f,P) s(f,p) = O(f,P) < ε Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý Á = Ī Þ Þ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º º Ø Ø Ðº Þ f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò Þ [,b] ÖÑ ÐÝ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø ¹ Ø Ò O(f,P k ) ÒÙÐÐ ÓÖÓÞ Øº º Ø Ø Ðº f : [,b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º ÞÓÒÝ Ø º ÖÑ ÐÝ P ¹Ö Ī Á O(f,P) Ý Ð Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ö¹ Ñ ÐÝ ε > 0¹ ÓÞ Ð Ø Þ P ÐÓ ÞØ [,b]¹ò Ó Ý O(f,P) < ε Ñ ÖØ ÓÖ ε Á = Īµ f ÓÐÝØÓÒÓ Ý ÒÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ Ø [,b]¹ò Ý b ¹ ÓÞ Ð Ø Þ δ(ε) Ó Ý x,x [,b], x x < δ(ε) Ø Ò f(x ) f(x ) < ε b. Ä Ý Ò P ÓÐÝ Ò Ó Ý P < δ(ε) ÓÖ n n Ī Á O(f,P) = (M i m i ) x i = (f(x i) f(x i )) x i < ε. i=1 ÁØØ Ð ÞÒ ÐØÙ Ó Ý f ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ x i,x i [x i 1,x i ] Ó Ý M i = f(x i ), m i = f(x i )ºµ º Ø Ø Ðº Ý f : [,b] R ÑÓÒÓØÓÒ Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º ÞÓÒÝ Ø º µ À f() = f(b) = f(x) C = Þ ÐÐ Ø Þº ε µ À f() f(b) ÓÖ ε > 0 Ø Ò ÓÐÝ Ò P ¹Ö Ó Ý P < f(b) f() Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ð ÙÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú f Ú ÒÝ Ø Ò Ó Ý m i = f(x i 1 ), M i = f(x i )µ Ô Ù Ó Ý n n Ī Á O(f,P) = (M i m i ) x i = [f(x i ) f(x i 1 )] x i < < i=1 ε f(b) f() i=1 i=1 n [f(x i ) f(x i 1 )] = ε, i=1 Ñ Ó Ý Á = Ī Þ Þ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º È Ð º Ì ÒØ Þ f(x) = [x], x [ 1,2] Ú ÒÝØ Þ ÞÖ Þ ¹ Ú ÒÝ Ð Þò Ø Ø [ 1,2] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ µº Þ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ý Ø Ø ¹ Ð Ò Ñ ØØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [ 1,2]¹Ò Ò Ñ ÓÐÝØÓÒÓ µº

24 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË º Ø Ø Ðº À f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò [c,d] [,b] ÓÖ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [c,d]¹ò º º Ø Ø Ð Þ ÒØ Ö Ð ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð ØØ Ø Ú Ø µº Ä Ý Ò f : [,b] R, c (,b), f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,c]¹ò [c,b]¹ò ÓÖ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò b f = c f + Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ Ä Ý Ò f : [,b] R P = { = 0, 1,..., n 1, n = b} Ý ÐÓ ÞØ [,b]¹ò º À f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÖÑ ÐÝ [ i 1, i ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò b f(x) dx = n i=1 b c i f. i 1 f(x) dx ÞÓÒÝ Ø º º Ø Ø Ð Ð ÞÒ Ð Ú Ð Ø Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÒ Ð Ô Ù Þ ÐÐ Ø Øº º Ø Ø Ð Ä Ù ¹ Ö Ø Ö Ùѵº Þ f : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ý Ä Ù Þ Ö ÒØ ÒÙÐÐÑ ÖØ ò ÐÑ ÞØ Ð ÐØ ÒØÚ ÓÐÝØÓÒÓ º H R Ä Ù Þ Ö ÒØ ÒÙÐÐÑ ÖØ ò ÖÑ ÐÝ ε > 0¹ ÓÞ Ð Ø Þ {( n,b n ) n N} ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ Ò Þ Ö Ó Ý H ( n,b n ) (b n n ) < εºµ n=1 n=1 Å ÝÞ º ½º À f : [,b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ º Ø Ø Ð Ñ ØØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Þ Þ Á = Īº Þ [,b] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ý ÒÐ Ö Þ Ö Ó ÞØ Ú Ð ÒÝ ÖØ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÖØ P k = b 0º Ý Ö ÓÙÜ¹Ø Ø Ð k Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ lim s(f,p k) = Á = Ī = lim S(f,P k), k k Þ ÖØ Þ Ô ÓÐ Ò ÓØØ ÒØ Ö Ð Ò Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÐ Ð Ñ ¹ Ý Þ Ö Ñ ÒÝØ º ¾º Ì Ø Ð Ò Ð Ô Ò Ý Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð¹ Ø ÖÑ ÐÝ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø ÓÞ Ø ÖØÓÞ s(f,p k ) S(f,P k ), Ú Ý σ(f,p k ) ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Ñ º

25 º ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ÅæÎ Ä ÌÁ ÌÍÄ Â ÇÆËý Á ¾ º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ ½º Ø Ø Ðº À f,g : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø p,q R ÓÖ (p f + q g) : [,b] R Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø b b (p f + q g) = p b f + q ÞÓÒÝ Ø º ÖÑ ÐÝ P k ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ ØÖ σ(p f + q g,p k ) = p σ(f,p k ) + q σ(g,p k ), Ñ f g Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ø ¹ Ö ÙÑ ÁÁº º¾º Ø Ø Ðµ Ñ ØØ Þ ÐÐ Ø Øº Å ÝÞ º Ø Ø Ð Ð Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ f i : [,b] R Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø λ i R (i = 1,...,n) ÓÖ n λ i f i Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø i=1 b n λ i f i = i=1 ¾º Ø Ø Ðº À f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÓÖ f 2 ØÓÚ n i=1 λ i b f i. Ð Ø Þ c > 0 Ó Ý f(x) c ÖÑ ÐÝ x [,b] ÓÖ 1 f ÒØ Ö Ð Ø º g Ê Ñ ÒÒ¹ º Ø Ø Ðº À Þ f,g : [,b] R Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÓÖ f g ØÓÚ Ð Ø Þ c > 0 Ó Ý g(x) > c ÖÑ ÐÝ x [,b]¹ö Ý f g Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º ÞÓÒÝ Ø º Þ f g = 1 4 [(f + g)2 (f g) 2 f ] g = f 1 g Ý ÒÐ Þ Ð Ø Ø Ø Ð Ð ÞÒ Ð Ú Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Þ ÐÐ Ø Øº Å ÝÞ º ½º º Ø Ø Ð Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ó Ý Ú Ó Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ ÞÓÖÞ Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º ¾º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ ÓÑÔÓÞ ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º

26 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË º Ä Ý Ò f : [,b] R, g : [c,d] R R f [c,d]º À f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø g ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖ g f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º º Ø Ø Ðº À f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú ÒÝ ÓÖ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º º Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÖ ½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f,g : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø f g ÓÖ b f b gº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò P k Ø Ø Þ Ð ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø [,b]¹ò t k i [x k i 1,xk i ] Ø Ø Þ Ð ÓÖ f(tk i ) g(tk i ) Ñ ØØ σ(f,p k) σ(g,p k ) Ñ Þ ÐÐ Ø Øº Å ÝÞ º À f,g : [,b] R ÓÖÐ ØÓ Ú ÒÝ f g ÓÖ b f b g b f ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÓÖ b b f f. ÞÓÒÝ Ø º f Þ º º Ø Ø Ð Ñ ØØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ý f f f Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Þ ½º Ø Ø Ð Ñ ØØ f f f Ñ Þ ÐÐ Ø Øº º Ø Ø Ð Þ Ô ÖØ Ø Ø Ðµº Ä Ý Ò f,g : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð¹ Ø ØÓÚ b g. m f(x) M, 0 g(x) (x [,b]), ÓÖ b b b m g f g M g.

27 º ÁÆÌ ÊýÄ ÅÁÆÌ ÄË À ÌýÊ Î Æ ¾ ÞÓÒÝ Ø º m g, f g, M g Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø m g f g M g [,b]¹ò Ñ ÐÝ Ð Þ ½º Ø Ø Ð Ñ ØØ Ò Þ ÐÐ Ø º Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ º ½º Ä Ý Ò f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø m f M ÓÖ m 1 b f M. b ÞÓÒÝ Ø º º Ø Ø Ð Ð g(x) = 1 Ú Ð ÞØ Ð Ô Ù Þ ÐÐ Ø Øº ¾º À f : [,b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ ÓÖ Ð Ø Þ c [,b] Ó Ý f(c) = 1 b f. b ÞÓÒÝ Ø º f ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ m = inf f([,b]), M = supf([,b]) 1 Ú ÒÝ ÖØ Þ ½º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ b f [m,m] Ý Óй b Þ ÒÓ Ø Ø Ð Ñ ØØ Ð Ø Þ c Ó Ý f(c) = 1 b f Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò Ð¹ b Ð Øغ º Þ ÒØ Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ö Ú ÒÝ ½º Ò º Ä Ý Ò f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÓÖ f. = 0, b. b = ¾º Ò º Ä Ý Ò f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÓÖ Þ Á¹ µ F : [,b] R, F(x). = x f(t)dt Þ Ö ÒØ Ò ÐØ F Ú ÒÝØ f ÒØ Ö Ð Ò Ñ ÒØ Ð Ø Ö Ú ¹ ÒÝ Ò Ò Ú ÞÞ º ÞØ ÞÓ Ø Ö Ð ØÑ Ö Ú ÒÝÒ Ú Ý f ÒØ Ö Ð¹ Ú ÒÝ Ò Ò Ú ÞÒ º

28 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ½º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÓÖ F f ÒØ Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ö Ú ÒÝ µ ÓÐÝØÓÒÓ [,b]¹òº ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f : [,b] R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ÓÐÝØÓÒÓ Þ x [,b] ÔÓÒØ Ò ÓÖ Þ F f ÒØ Ö Ð Ñ ÒØ Ð Ø Ö Ú ÒÝ µ ¹ Ö Ò Ð Ø x¹ Ò F (x) = f(x)º Ì Ø f ÖÑ ÐÝ x [,b]¹ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ý F Ý ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f ¹Ò ºµ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò ε > 0 Ø Ø Þ Ð ÓÖ f x¹ Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ñ ØØ Ð Ø Þ δ(ε) > 0 Ó Ý t [,b], t x < δ(ε) = f(t) f(x) < ε. Ä Ý Ò h ÓÐÝ Ò Ó Ý x + h [,b] h < δ(ε) ÓÖ Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý x+h f(x)dt = hf(x) Ò x x+h F(x + h) F(x) f(x) h = 1 f(t)dt h x+h x+h = 1 f(t)dt f(x)dt h = 1 h x 1 x+h h sign(h) f(t) f(x) dt < 1 h Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ð Ø Þ x x F (x) = lim h 0 F(x + h) F(x) h x x+h x x+h x x+h f(t)dt f(x)dt = x (f(t) f(x))dt εdt = 1 h hε = ε, = f(x), Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ À f : [,b] R ÓÐÝØÓÒÓ Ý Þ Þ ÖÑ ÐÝ x [,b] Ø Ò Þ Þ F (x) = f(x) (x [,b]) Ø Ø F Ý ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f¹ò º Ì Ø Ñ Ò Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÖØ ÐÑ Þ Øص ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝÒ Ú Ò ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ º

29 º Æ ÏÌÇÆ¹Ä Á ÆÁ ÇÊÅÍÄ ¾ º Æ ÛØÓÒ¹Ä Ò Þ ÓÖÑÙÐ ½º Ø Ø Ð Æ ÛØÓÒ¹Ä Ò Þ ÓÖÑÙÐ µº Ä Ý Ò f,f : [,b] R ÓÐÝ Ò Ó Ý f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø F ÓÐÝØÓÒÓ [,b]¹ò Ö Ò Ð Ø (,b)¹ò ØÓ¹ Ú F (x) = f(x) (x (,b)) ÓÖ b f = F(b) F() Þ F(b) F() Þ ÑÓØ ÞÓ [F(x)] b Ñ ÓÒ Ð ÐÒ ºµ ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò P k = {x k i i = 0,1,...,n k } Ø Ø Þ Ð ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞØ ÓÖÓÞ Ø [,b]¹ò º F Ø Ð Ø Ä Ö Ò ¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø ÖÑ ÐÝ [x k i 1,xk i ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ý tk i (xk i 1,xk i ) Ó Ý F(x k i ) F(x k i 1) = F (t k i ) x k i = f(t k i ) x k i i = 0,1,...,n k Ø Òº Þ Ø Þ ÞÚ Ô n k F(b) F() = (F(x k i ) F(x k i 1)) = f(t k i ) x k i = σ(f,p k ) n k i=1 i=1 Ú Ø Þ k¹ö Ý k Ø Ò f ÒØ Ö Ð Ø Ñ Øص b F(b) F() = σ(f,p k ) f, Þ Þ F(b) F() = ÞÓÒÝ Ø Ò º b f Ñ ÖØ σ(f,p k ) ÓÒ Ø Ò ÓÖÓÞ Øµ ÞØ ÐÐ ØØ Å ÝÞ º À F Ö Ò Ð Ø [,b]¹ò F = f Þ Þ F ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ f¹ò ÓÖ F ¹ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Þ Áº½º Þ Ø Ò Ø ÒÙÐØ Þ Ö ÒØ ¹ Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ñ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Ø Ø Ð Ò Øº È Ð º ½º ËÞ Ñ Ø Þ 2 [x]dx Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐØ Ð Ø Þ µº 1 Þ f(x) = [x], x [1,2] Ú ÒÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Þ ÖØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º F(x) = x, x [1,2] Ú ÒÝ Ö Ò Ð Ø ØÓÚ

30 ¼ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË F (x) = 1 = [x] x [1,2[º Ì Ð ÐÒ Ø Ø Ø Ø Ð Ò ÐØ Ø Ð Ý 2 1 [x]dx = F(2) F(1) = 2 1 = 1. ¾º ËÞ Ñ Ø Þ π sin(x)dx Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐØ Ð Ø Þ µº 1 Þ f(x) = sin(x), x [0,π] ÓÐÝØÓÒÓ Þ ÖØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø º Á ¹ Ñ Ö Ø Ó Ý sin(x)dx = cos(x) + C (x R) Ý F(x) = cos(x), (x [0,π]) Þ f ÔÖ Ñ Ø Ú Ú ÒÝ Þ Þ F (x) = f(x)µ [0,π]¹Ò Þ ÖØ Ø Ø Ð Ò Ñ ÝÞ Ñ ØØ π 1 sin(x)dx = [ cos(x) ] π 0 = = 2. º È Ö Ð ÐÝ ØØ Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÓ ½º Ø Ø Ð Ô Ö Ð Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð µº À Þ f,g : [,b] R ¹ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø ÓÖ b fg = f(b)g(b) f()g() ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò F : [,b] R, F(t) = ÓÖ t [,b]¹ö F (t) t b f g. fg t + f g+f()g() f(t)g(t) F (t) = f(t)g (t) + f (t)g(t) [f(t)g(t)] = 0 ( t [,b]), Ý F(t) c ÐÐ ØÚ F() =. 0 Ñ ØØ c = 0 Þ ÖØ F(b) = 0 Ñ F Ò Ð Þ ÐÐ Ø Øº È Ð º ËÞ Ñ Ø Ù Þ π xsin(x)dx Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐØ Ð Ø Þ µº 0 Þ f(x) = x, g(x) = cos(x) (x [0,π]) ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ñ ÖØ Ð Ø Þ f (x) = 1, g (x) = sin(x) (x [0,π]) Þ f,g : [0,π] R

31 º È Ê ÁýÄÁË Ë À Ä ÌÌ Ë Ì Ë Ë ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄÇà ½ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ º Þ ÖØ Ø Ø Ð Ò Æ ÛØÓÒ¹Ä Ò Þ ÓÖÑÙÐ Þ Ö ÒØ π 0 xsin(x)dx = π( cos(π)) 0 ( cos(0)) π = π + 0 π cos(x)dx = π + [ sin(x) ] π 0 = π. 0 1 ( cos(x))dx = ¾º Ø Ø Ð ÐÝ ØØ Ø Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð µº À g : [,b] [c,d] ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø f : [c,d] R ÓÐÝØÓÒÓ ÓÖ À¹Êµ b f(g(x))g (x) dx = g(b) g() ÞÓÒÝ Ø º Ä Ý Ò H : [c,d] R, H(u). = f(x) dx. u g() f(x)dx ÓÖ H Ö Ò¹ Ð Ø H (x) = f(x) (x [c,d])º Ä Ý Ò ØÓÚ G : [c,d] R G(t) = t f(g(x))g (x) dx g(t) g() f(x) dx, ÓÖ G (t) = f(g(t))g (t) H (g(t))g (t) = 0 Ý G(t) cº ÓÖ G() = 0 Ñ ØØ c = 0 Ý G(b) = 0 Ñ G Ò Ñ ØØ Þ ÐÐ Ø Øº Å ÝÞ º ½º À¹Êµ¹ Ò x ÐÝ ØØ Ö ØÙÒ t Ú ÐØÓÞ Ø ÐÓÐ ÐÓÒ ÓÖ Þ À ¹Êµ g(b) g() f(x) dx = b f(g(t))g (t) dt. Ð Ò Ö Ø º ¾º À¹Êµ¹Ø ÓÖ ÞÒ Ð Ù ÞÖ Ú Þ Ó Ý Þ Ñ Ø Ò ÒØ ¹ Ö ÐÙÒ ÒØ Ö Ò Ù f(g(x)) g (x) Ð Ñ À ¹Êµ¹Ø ÓÖ Þ x = g(t) (t [,b]) ÐÝ ØØ Ø Ð Ö Ù ØÙ Ù µ Þ Ñ Ø Ò Þ g(b) f(x)dx ÒØ Ö Ðغ g()

32 ¾ Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË È Ð º ½º ËÞ Ñ Ø Ù Þ I = ÆÝ ÐÚ Ò π 2 π 4 1 x 2 sin ( 1 x) dx Ý ÒØ Ð Ø Þ µ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ðغ I = π 2 π 4 1 ( ) 1 x 2 sin dx, x ], g(x) = 1 ØÓÚ Ð Ø Ø Ó Ý g : [ π 4, π [ 2] 2 π, 4 π x ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Þ f : [ 2 π, π] 4 R, f(x) = sin(x) ÓÐÝØÓÒÓ Ú ÒÝ Ø Ð Ø Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ý À¹Êµ Ò ÒÝ ÓÖ Ö Ñ ÒÝ Þ Ö ÒØ π 2 π 4 1 x 2 sin ¾º ËÞ Ñ Ø Þ 1 ( ) 1 dx = x 0 = 2 π 4 π π 2 π 4 1 ( ) 1 x 2 sin dx = x sin(x)dx = cos e x 1+e 2x dx Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ðغ 2 π 4 π sin(x)dx = ( ) ( ) 2 4 cos π π Þ f(x) = ex (x [0,1]) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ º 1+e 2x Ä Ý Ò g(t) = log t (t [1,e]) ÓÖ g([1,e]) = [0,1], 0 = g(1), 1 = g(e) g g (t) = 1 t Ñ Øص ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Þ ÖØ À ¹Êµ Þ Ö ÒØ 1 0 e x dx = 1 + e2x log e log 1 e x dx = 1 + e2x e = [ rctg t ] e 1 = rctg e π 4. 1 e log t 1 e 1 + e 2log t t dt = t 2 dt = 1.

33 ½½º ÁÅÈÊÇÈÊÁÍË ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ ½¼º Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖÓ Ø ÓÒ ÒØ ÒØ Ö Ð Ø Ö Ò Ð Ø ½º Ø Ø Ðº À Þ f n : [,b] R (n = 1,2,... ) Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ¹ Ø [,b]¹ò Þ f n Ú ÒÝ ÓÖÓÞ Ø Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ð Þ f : [,b] R Ú ÒÝ Þ [,b]¹ò ÓÖ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò ½µ Ø Ð Ðº b f = lim n b f n Ã Ú Ø ÞÑ Òݺ À Þ f n : [,b] R Ú ÒÝ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò f n Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ð [,b]¹ò Þ f : [,b] R Ú ÒÝ Þ b ÓÖ f Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø [,b]¹ò f = b f n º n=1 ÞÓÒÝ Ø º f n Ú ÒÝ ÓÖ S n Ö ÞÐ Ø Þ ÓÖÓÞ Ø Ö Ð ÐÑ ÞÞÙ Þ ½º Ø Ø Ðغ ¾º Ø Ø Ðº À Þ f n : [,b] R (n = 1,2,... ) Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ Ò ¹ Ö Ò Ð Ø [,b]¹ò Ú Ð Ñ ÐÝ x 0 [,b] Ø Ò f n (x 0 ) ÓÒÚ Ö Ò ØÓÚ f n Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò [,b]¹ò ÓÖ f n Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ð Ý f : [,b] R Ú ÒÝ Þ [,b]¹ò Ð Ø Þ f µ f (x) = lim n f n(x) (x [,b]) Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ º ½º À f n : [,b] R (n = 1,2,... ) ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Ð Ø Þ x 0 [,b] Ó Ý f n (x 0 ) ÓÒÚ Ö Ò f n Ý ÒÐ Ø Ò ÓÒÚ Ö Ò n=1 [,b]¹ò ÓÖ f n = f Ð Ø Þ f = f nº ¾º Ø Ø Ð Ô Ð Ø ØÚ ÒÝ ÓÖÓ Ö Ò Ð Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Þ Ò ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ø Ð ÐÒ µº ½½º ÁÑÔÖÓÔÖ Ù Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð ½º Ò º Ä Ý Ò R, < b +, f : [,b) R Ñ Ò Ò [,t] [,b) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ú Òݺ Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý b = + Ú Ý ε > 0 Ó Ý f Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ [b ε,b)

34 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Òº À Ð Ø Þ ½µ t lim t b 0 Ú Ø Ö ÖØ ÓÖ ÞØ Þ f Ú ÒÝ ÑÔÖÓÔÖ Ù Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð¹ Ò Ò Ú ÞÞ [,b)¹òº ÁÐÝ Ò ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ b f ÑÔÖÓÔÖ Ù f. = ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò º À ½µ Ò Ñ Ð Ø Þ ÓÖ Þ ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö ÐØ Ú Ö Ò Ò ÑÓÒ Ù º ¾º Ò º À R, c <, f : (c,] R Ñ Ò Ò [t,] (c,] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø c = Ú Ý ε > 0 Ó Ý f Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ (c,c + ε]¹óòº À Ð Ø Þ ¾µ lim t c+0 t f. = Ú Ø Ö ÖØ ÓÖ ÞØ Þ f ÑÔÖÓÔÖ Ù Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ò ¹ Ú ÞÞ (c,]¹òº ÓÒÚ Ö Ò ÐÐ ØÚ Ú Ö Ò Þ Ð Þ Þ ÓÒÐ ºµ º Ò º Ä Ý Ò < b +,f : (,b) R [x,y] (,b) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø ØÓÚ = Ú Ý b = + Ú Ý Ñ Ò ØØ µ Ú Ý Ð Ø Þ ε > 0 Ó Ý f Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Þ (, + ε] [b ε,b) ÒØ ÖÚ ÐÐÑÓÒº ÓÖ lim x +0 y b 0 y x Ú Ø Ö ÖØ Ø Ð Ø Þ µ f (,b) Ð ØØ ÑÔÖÓÔÖ Ù Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ò Ò Ú ÞÞ º È Ð º ½º ÃÓÒÚ Ö Ò ¹ Þ + x α dx ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö Ð ÓÐ α R Ö Þ Ø ØØ 1 f. = Ä Ý Ò = 1, b = + ÓÖ Þ f : [1,+ ] R, f(x) = x α Ú ÒÝ ÖÑ ÐÝ [1,t] [1,+ ] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Þ Ò ÓÐÝØÓÒÓ µ [ ] t x α+1 t = 1 x α dx = α α + 1 (tα+1 1) α 1 1 [ ] t ln α = lnt α = 1º 1 b c b f f f

35 ÌÓÚ lim t + tα+1 = ½½º ÁÅÈÊÇÈÊÁÍË ÊÁ Å ÆƹÁÆÌ ÊýÄ { 0 α < 1 + α > 1 lim ln t = +. t + Þ ÖØ Þ ½º Ò Þ Ö ÒØ + 1 lim x α t + dx = α + 1 (tα+1 1) = 1 α < 1 α α 1 Ú Ö Ò µº ¾º ÃÓÒÚ Ö Ò ¹ Þ + 0 e αx dx ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö Ð ÓÐ α R Ö Þ Ø ØØ Ä Ý Ò = 0, b = + ÓÐ Þ f : [0,+ [ R, f(x) = e αx Ú ÒÝ ÖÑ ÐÝ [0,t] [0,+ [ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ ÓÖÐ ØÓ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÖØ ÓÐÝØÓÒÓ ÐÐ ØÚ Å Ú Ð Ý t 0 lim t + eαt = e αx dx = [ ] 1 t α eαx = 1 0 α (eαt 1) α 0 t 0 e 0x dx = t { 0 α < 0, + α > dx = t. e αx 1 α < 0, dx = α + α 0. lim t + t = +, ½º Ø Ø Ðº b b À Þ f, g ÑÔÖÓÔÖ Ù Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÓ ÓÒÚ Ö Ò λ 1,λ 2 b R ÓÖ (λ 1 f + λ 2 g) ÓÒÚ Ö Ò b b (λ 1 f + λ 2 g) = λ 1 b f + λ 2 g.

36 Áº ÁÆÌ ÊýÄË ýå ÌýË ÞÓÒÝ Ø º È Ð ÙÐ t ¹Ö Þ Ñ t b 0¹Ú Ð Ò Þ ÐÐ Ø º ¾º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò f,g : [,b) R, m f M, g 0, Ð Ø Þ ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö ÐÓ ÓÖ b m g b b fg M ÐÐ ØÚ f ÓÐÝØÓÒÓ Ý Ð Ø Þ ξ [,b) Ó Ý b fg = f(ξ) ÞÓÒÝ Ø º Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö ÐÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð Ð Ô Òº º Ø Ø Ðº Ä Ý Ò R, b R b, < b, f : [,b) R Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø b g. ÖÑ ÐÝ [,c] [,b) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ d [,b)º b ÒØ Ö Ð ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ Þ f Þ ØÓÚ d b f = d f + b f g, À Þ b g, b fg b f ÑÔÖÓÔÖ Ù d d b ÓÐ f f [,d] Ð ØØ Ê Ñ ÒÒ¹ ÒØ Ö Ð Ø Ñ f f [d,b)¹ö Ú Ð Ð Þò¹ d Ø Ò ÑÔÖÓÔÖ Ù ÒØ Ö Ð Ø Ð Ð ºµ ÞÓÒÝ Ø º Å Ú Ð x (d,b)¹ö x Ð Ú Ø Þ Þ ÐÐ Ø º f(t)dt = d x f(x) dx + d f(t)dt,

37 ÁÁº Þ Ø Î ÓØÓÖØ Ö Ù Ð Þ Ø Ö Ñ ØÖ ¹ Ù Ø Ö Ú Þ Ø ÁØØ Þ Ó Ð Ð Ù ÞÓ Ø Ø Ú ÐØÓÞ Ú ÒÝ Ú Þ Ð Ø Ò Ð ÓÒ¹ ØÓ Ð Ò Ö Ð Ö Ó ÐÑ Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Ñ ÐÝ Ø Þ Ö Ø Ñ ¹ Ø Ñ Ø Ø Ö Ý Ò Ø ÒÙÐØ Ø ÒÙÐÒ Ú ØÓÖØ Ö Ù Ð Þ Ø Ö Ñ ØÖ ÜÓ Ø ÖÑ Ò Ò Ó µº Í Ý Ò ÓÖ Ð ÓÖ Ò º Þ Ø Ò Ö Þ Ò Ñ ÓÐ µ Þ Ø¹ Þ Ø ÞÓ Ð Þ Ð ÔÚ Ø ØÓÔÓÐ Ó ÐÑ Ð Ø Ø Ð Ð Ñ ÐÝ ÝÖ ÞØ Þ R ØÓÔÓÐ Ö Ð Ø ÒÙÐØ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ñ Ö ÞØ Ù Ý Ò ÓÒØÓ Þ Ö Ô Ø Ø Þ Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝ Ò Ò ÖÒÝ Þ Ø ÒÝ ÐØ Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ ØÓÖÐ ÔÓÒØ ÓÑÔ Ø Þ ÐÑ ÞÓ µº ½º Î ØÓÖØ Ö Ù Ð Þ Ø Ö Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ó ÐÑ ½º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ Ý V ÐÑ Þ Ð Ñ Ø Ú ØÓÖÓ Ò Ò Ú ÞÞ µº Ì Ý Ð Ó Ý ÖØ ÐÑ ÞÚ Ú Ò Ø ÑòÚ Ð Ø Ú ØÓÖÓ Þ Ñ ÐÝ Ø x,y V ¹Ö x + y Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ñ ÐÝ Ø x V λ R Ø Ò λx Рк V ¹Ø Ø ÑòÚ Ð ØØ Ð Ú ØÓÖØ ÖÒ Ú Ý Ð Ò Ö Ø ÖÒ µ Ò Ú ÞÞ ÖÑ ÐÝ x,y,z V, λ,µ R Ø Ò ½µ x + y = y + x ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø µ ¾µ x + (y + z) = (x + y) + z ÞÓ Ø Ú Ø µ µ 0 V, x + 0 = x ÒÙÐÐ Ð Ñ Ð Ø Þ µ µ x V, x V, x + ( x) = 0 ÒÚ ÖÞ Ð Ñ Ð Ø Þ µ µ 1 x = x µ λ(µx) = (λµ)x µ (λ + µ)x = λx + µx, λ(x + y) = λx + λy ÞØÖ ÙØ Ú Ø µº

38 ÁÁº Î ÃÇÌÇÊÌ Ê Ã ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê Ã Å ÌÊÁÃÍË Ì Ê Ã ¾º Ò º À V Ý Ú ØÓÖØ Ö ÓÖ, : V V R Ú ÒÝØ Ð Ö Ú Ý Ð ÞÓÖÞ ØÒ Ò Ú ÞÞ x,y,z V λ,µ R Ø Ò ½µ x,y = y,x ¾µ x + y,z = x,z + y,z, µ λx,y = λ x,y, µ x,x 0, x,x = 0 x = 0 Ø Ð Ðº º Ò º Ý V Ú ØÓÖØ Ö Ø Ö Ø Ý Ð Ö Ú Ý Ð µ ÞÓÖÞ ØØ Ð Ð ÞÓÖÞ ØØ ÖÒ Ú Ý Ò Ú Ð ÖØ ò Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ø Òµ Ù Ð Þ Ø ÖÒ Ò Ú Þ Ò º º Ò º À V Ð ÞÓÖÞ ØØ Ö ÓÖ Þ x V Ú ØÓÖ Ó Þ Ò Ú Ý Ù Ð Þ ÒÓÖÑ Ò Þ x. = x,x Þ ÑÓØ ÖØ º ½º Ø Ø Ðº Þ Ù Ð Þ ÒÓÖÑ Ö Ø Ð Ð ½µ x 0, x = 0 x = 0, x V, ¾µ λx = λ x x V, λ R, µ x,y 2 x 2 y 2, µ x + y x + y x,y V. ÞÓÒÝ Ø º ½µ ÞÓÒÒ Ð Ú Ø Þ Ð Ó Ý x 2 = x,x 0 ÓÖ ÓÖ = 0 x = 0º ¾µ λx = λx,λx = λ 2 x,x = λ x,x = λ x Ð ÞÒ ÐÚ ÒÓÖÑ Ò Ø Ð ÞÓÖÞ Ø Ò ÝÞ Ø Ý ØÙ¹ Ð ÓÒ Øµº µ 0 x + λy 2 = x + λy,x + λy = x,x + 2λ x,y + λ 2 y,y = = λ 2 y 2 + 2λ x,y + x 2 ( x,y V, λ R) Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ Ó Ó Ú ÒÝ Ñ ÖØ ØÙÐ ÓÒ µ Þ ÐÐ Ø Ø y 2 > 0 y = 0 Ý Þ ÐÐ Ø ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Þ x,0 = 0 y = 0 Ñ Øغ µ 0 x + y 2 = x + y,x + y = x 2 + y x,y x 2 + y x,y x 2 + y x y = ( x + y ) 2 Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ÖØ ØÙÐ ÓÒ Þ ÐÐ Ø Øº Å ÝÞ º Å Ò Ò Þ ½µ¹ µ ØÙÐ ÓÒ ÓØ Ø Ð Ø. : V R ¹ Ú ÒÝØ ÒÓÖÑ Ò Ò Ú Þ Ò V ¹Òº

39 ¾º R n ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê º Ò º À V Ð ÞÓÖÞ ØØ Ö Ú Ý Ù Ð Þ Ø Öµ ÓÖ Þ x,y V Ú ØÓÖÓ Ù Ð Þ Ø ÚÓÐ Ò d(x,y). = x y Þ ÑÓØ ÖØ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý d : V V R Ú ÒÝ Ø ÚÓÐ Ú Ý Ñ ØÖ V ¹ Òº ¾º Ø Ø Ðº V ¹ Ð Ù Ð Þ Ø ÚÓÐ Ö Ø Ð Ð ½µ d(x,y) 0, d(x,y) = 0 x = y, x,y V, ¾µ d(x,y) = d(y,x) x,y V, µ d(x,z) d(x,y) + d(y,z) x,y,z V. ÞÓÒÝ Ø º ½µ d(x,y) = x y 0 d(x,y) = 0 = 0, x = y; ¾µ d(x,y) = x y = (y x) = y x = d(y,x) µ d(x,z) = x z = (x y) + (y z) x y + y z = = d(x,y) + d(y,z)º º Ò º Ä Ý Ò X Ý Ò Ñ Ö ÐÑ Þº À ÖØ ÐÑ ÞÚ Ú Ò Ý d : X X R Ú ÒÝ Þ ½µ d(x,y) 0, d(x,y) = 0 x = y, x,y X, ¾µ d(x,y) = d(y,x) x,y X, µ d(x,z) d(x,y) + d(y,z) x,y,z X ØÙÐ ÓÒ Ó Ð ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý d Ñ ØÖ X¹ Ò X¹ Ø Ñ Ø¹ Ö Ù Ø ÖÒ Ò Ú ÞÞ º  РР(X,d)º Å ÝÞ º R d(x,y). = x y Ñ V Ù Ð Þ Ø Ö d(x,y). = x y Ñ ØÖ Ú Ð Ñ ØÖ Ù Ø Öº º Ò º Ä Ý Ò (X,d) Ñ ØÖ Ù Ø Öº Þ X r (> 0) Ù Ö ÒÝ ÐØ Ñ ÖÒÝ Þ Ø Ò K(,r). = {x X d(x,) < r} ÐÑ ÞØ ÖØ º º Ò º Ä Ý Ò (X,d) Ñ ØÖ Ù Ø Öº H X ÓÖÐ ØÓ H = Ú Ý H Ø Ò r R Ó Ý x,y H¹Ö d(x,y) rº ÓÖ dim H. = sup{d(x,y) x,y H} Þ ÑÓØ H ØÑ Ö Ò Ò Ú ÞÞ º Å ÝÞ º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý H X (H ) ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ ÓÖÐ ØÓ X r R Ó Ý d(x,) < r x H Ø Òº ¾º Þ R n Ù Ð Þ Ø Ö ½º Ò º Ä Ý Ò R 1. = R n N¹Ö Ñ Ö R n ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÓÖ R n+1. = R n Rº R n Ð Ñ Ø (x 1,...,x n )¹Ò Ð Ð Ð Ö Ò Þ ØØ Ú Ð Þ Ñ n¹ Ò Ò Ú ÞÞ ÓÐ (x 1,...,x n ) = (y 1,...,y n ) x 1 = y 1,...,x n = y n.

40 ¼ ÁÁº Î ÃÇÌÇÊÌ Ê Ã ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê Ã Å ÌÊÁÃÍË Ì Ê Ã À x. = (x 1,...,x n ) R n ÓÖ Þ x i ¹ Ø Þ x ÓÓÖ Ò Ø Ò R n Ð Ñ Ø ÔÓÒØÓ Ò Ú Ý Ú ØÓÖÓ Ò Ò Ú ÞÞ º ËÞÓ Ó Þ R n. = 1 R n R Ð Ð ÞØ ÑÓÒ Ù Þ R n R ÒÑ Ú Ð Ú ØØ n¹ Þ Ö ÖØ ¹ ÞÓÖÞ Ø º Å ÝÞ º R 2 = R R Ý ÑÓ ÐÐ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Øµ Ñ Ö Ã Ð ÙÐÙ Áº κ½º Þ Ø Ò Ñ ØÙ Ñ ÒØ Ð ÖØ ¹ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ¹ Þ Öغ R 3 = R R R Ý ÑÓ ÐÐ Ö ÔÖ Þ ÒØ µ Þ Ð Ñ ÓÒ Ú ¹ Þ Ø ØØ Ø Ö Ð ÖØ ¹ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Öº À ÓØØ Ð ÖØ ¹ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ý ÒÒ (0,0) ÓÓÖ Ò Ø ÔÓÒØ Ò ÐÐ Ø ÙÒ Ñ Ö Ð Ý Ò Ø Ñ ÐÝ Ý ÓÐÝ Ò Þ Ñ¹ Ý Ò Ñ ÐÝÒ ¼ ÔÓÒØ (0,0) ÔÓÒØ Þ Ý Ø Ô Ý Ð Ð Ó Ý ÓÒÒ Ò Ö Ò ÞÚ Þ y¹ø Ò ÐÝ ÔÓÞ Ø Ú ÓÖ Ð Ú Ø Ø Þ x¹ø Ò ÐÝ º Þ Ø Ò ÐÝØ z¹ø Ò ÐÝÒ Ò Ú Þ Ø º z 1 P(x, y, z) y x P (x, y) Ø Ö ÔÓÒØ ÓÞ Þ (x,y,z) R 3 Ö Ò Þ ØØ Þ Ñ ÖÑ Ó Ø Ø Ú Ò Ð Ø ÓÞÞ Ö Ò ÐÒ Ý Ó Ý Ý P ÔÓÒØ ÓÞ Ö Ò ÐØ z ÓÓÖ Ò Ø P ¹ Ð z Ø Ò ÐÝÖ Ó ØÓØØ Ñ Ö Ð Ø ÐÔÔÓÒØ Ò Ñ Ð Ð Þ Ñ z Þ Ñ Ý Ò Ò Ñ P P ÔÓÒØ Ñ Ö Ð Ú Ø Ð Ø Ö Ý x y P ÓÓÖ Ò Ø Ð ÖØ ¹ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Òº ÓÖ Ø Ö ÔÓÒØ Ú Ð Þ Ñ ÖÑ Ó Ð R 3 Ð Ñ Ú Ð ÐÐ Ñ Þ Ø ÓÖ ØÚ º

41 ¾º R n ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê ½ ¾º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ Þ R n ÐÑ Þ ÖØ ÐÑ ÞÞ ÒÒ Þ Þ ¹ Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ ÑòÚ Ð Ø Ø x + y. = (x 1 + y 1,...,x n + y n ), ÐÐ ØÚ λx. = (λx 1,...,λx n ) Þ Ö ÒØ x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n λ R. ½º Ø Ø Ðº R n ÑÓ Ø ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ø ÑòÚ Ð ØØ Ð Ú ØÓÖØ Ö Ú Ý Ð Ò Ö Ø Öµº ÞÓÒÝ Ø º Ú ØÓÖØ Ö ½µ¹ µ ØÙÐ ÓÒ Ý Þ Öò Ò ÐÐ Ò Ö Þ Ø º ÒÙÐÐ Ð Ñ 0. = ( 1 0,..., n 0). ¾º Ø Ø Ðº À x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n Ý Ð Ö Ú Ý Ð µ ÞÓÖÞ Ø R n ¹ Òº x,y. = x 1 y x n y n ÞÓÒÝ Ø º Ð ÞÓÖÞ Ø ½µ¹ µ ØÙÐ ÓÒ Ò ÐÐ Ò ÖÞ Ú Ðº º Ø Ø Ðº À x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y n ) R n ÓÖ Þ x =. x,x =. n x 2 i, ÐÐ ØÚ d(x,y) =. x y =. n (x i y i ) 2 i=1 Þ Ö ÒØ Ò ÐØ ÒÓÖÑ ÐÐ ØÚ Ø ÚÓÐ Ñ ØÖ µ Ø Ð Ø ÒÓÖÑ ÐÐ ØÚ Ñ ØÖ ØÙÐ ÓÒ Øº ÞÓÒÝ Ø º Ý Þ Öò Рصº Å ÝÞ º ½º ¾º º Ø Ø Ð Ò Ò ÐØ Ð Ö Ð µ ÞÓÖÞ ØØ Ð ÒÓÖÑ Ú Ð ÐÐ ØÚ Ø ÚÓÐ Ð Ñ ØÖ Ú Ðµ R n Ù Ð Þ Ø Ö Ù Ð Þ ÒÓÖÑ Ú Ð Ñ ØÖ ¹ Ú Ðº (R n,d)¹ø n¹ Ñ ÒÞ Ù Ð Þ Ø ÖÒ Ò Ú Þ º ¾º À n = 1 Ý d(x,y). = x y (x,y R) Ø ÚÓÐ Ð (R 1,d) = (R,d) Ñ ØÖ Ù Ø Ö Þ Ò d Ø Ð Ø Ñ ØÖ ØÙÐ ÓÒ Øº º Þ R n ÔÓÒØ Ú ØÓÖµ r Ù Ö ÒÝ ÐØ Ñ ÖÒÝ Þ Ø K(,r). = {x R n d(x,) < r} ÐÑ Þ ÓÐ d Þ R n ¹ Ð Ù Ð Þ Ø ÚÓÐ º º ÓÖÐ ØÓ Þ ØÑ Ö Ó ÐÑ (R n,d)¹ Ò Ù Ý Ò Þ Ñ ÒØ (X,d)¹ Òº Á Þ ØÓÚ Ó Ý H (R n,d) ÓÖÐ ØÓ r R, H K(0,r) Þ Þ x < r x Hµº i=1

42 ¾ ÁÁº Î ÃÇÌÇÊÌ Ê Ã ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê Ã Å ÌÊÁÃÍË Ì Ê Ã º R n ØÓÔÓÐ Þ (R n,d) Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ò Ý R n Ú ØÓÖ ÔÓÒØ Ú Ý Ð Ñ r > 0 Ù Ö ÒÝ ÐØ Ñ ÖÒÝ Þ Ø Ò K(,r) = {x R n d(x,) < r} ÐÑ ÞØ ÖØ ØØ ÓÐ d(x,) =. n (x i i ) 2 R n ¹ Ð Ñ ØÖ Þ Ö Ô Ðº À Þ Ñ Ð Ò ÞØ Ø ÓÖ ÞÓ d R n Ð Ð Þ R n ¹ Ð Ø ÚÓÐ Ö Ñ ØÖ Ö µº i=1 ½º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ E (R n,d) ÐÑ Þº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý x E Ð ÔÓÒØ E¹Ò K(x,r) Ó Ý K(x,r) E x R n Ð ÔÓÒØ E¹Ò Ð ÔÓÒØ CE¹Ò Þ Þ K(x,r), K(x,r) E = µ x R n Ø ÖÔÓÒØ E¹Ò Ò Ñ Ð Ò Ñ Ð ÔÓÒØ Þ Þ K(x,r)¹Ö K(x,r) E K(x,r) CE µº Ð ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ø E Ð Ò Ø ÖÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ø E Ø Ö ¹ Ò Ò Ú ÞÞ º È Ð º Ä Ý Ò E =]0,1[ ]0,1[ R 2 º ( 1 2, 1 2 ) Ð ÔÓÒØ E¹Ò Ñ ÖØ Ô Ð ÙÐ K((1 2, 1 2 ), 1 4 ) Þ (1 2, 1 2 ) ÔÓÒØ 1 4 Ù Ö ÖÒÝ Þ Ø µ Ø Ð Ø Ó Ý K(( 1 2, 1 2 ), 1 4 ) ]0,1[ ]0,1[º (3,0) Ð ÔÓÒØ E¹Ò Ñ ÖØ K((3,0),1) E = Ñ ØØ K((3,0),1) C R 2E Þ Þ (3,0) Ð ÔÓÒØ C R 2E¹Ò º (1,0) Ø ÖÔÓÒØ E¹Ò Ñ ÖØ r > 0 Ø Ò K((1,0),r) E Þ Ò (1+ r 2,0) K((1,0),r) (1+ r 2,0) / Eµ Ñ ØØ Ò Ñ Ð K((1,0),r) CE Þ Ò (1 r 2,0) Eµ Ñ ØØ Ò Ñ Ð ÔÓÒØ E¹Ò º ¾º Ò º Þ E (R n,d) ÐÑ ÞØ ÒÝ ÐØÒ Ò Ú ÞÞ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ð ÔÓÒØ Þ ÖØÒ Ò Ú ÞÞ CE ÒÝ Ðغ È Ð º ½º E =]0,1[ ]0,1[ R ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ ÖØ (x,y) E Ø Ò r = min{x,1 x,y,1 y} ÓÖ K((x,y),r) Eº ¾º E = [0,+ [ ],+ [ Þ ÖØ ÐÑ Þ Ñ ÖØ (x,y) CE Ø Ò r = x x 2 ÓÖ K((x,y), 2 ) CE Þ Þ (x,y) Ð ÔÓÒØ Ý CE ÒÝ ÐØ Ø Ø E Þ Öغ

43 º R n ÌÇÈÇÄ Áý ½º Ø Ø Ðº Þ (R n,d) Ñ ØÖ Ù Ø Ö Ò Þ Ú Ø Þ ÐÐ ØÚ ½µ R n ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ ¾µ ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ý Ø ÒÝ ÐØ µ Ú Ó ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ Ø Þ Ø ÒÝ ÐØ ½µ R n Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ ¾µ Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ Ñ Ø Þ Ø Þ ÖØ µ Ú Ó Þ ÖØ ÐÑ Þ Ý Ø Þ Öغ º Ò º Ä Ý Ò ÓØØ E (R n,d)º Þ x 0 R n ÔÓÒØÓØ Þ E ÐÑ Þ ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ò Ò Ú ÞÞ K(x 0,r) (R n ¹ Ð µ ÖÒÝ Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ x 0 ¹Ø Ð Ð Ò Þ E¹ Ð ÔÓÒØÓØ Þ Þ (K(x 0,r)\{x 0 }) E º x 0 E ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ E¹Ò Ò Ñ ØÓÖÐ ÔÓÒØ Þ Þ K(x 0,r) Ó Ý (K(x 0,r)\{x 0 }) E = º E ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Ø ÞÓ E ¹Ú Ð Ð ÐÒ º È Ð º ½º Þ E = {( 1 n,0) n N} R2 ÐÑ ÞÒ (0,0) ÔÓÒØ ØÓÖÐ ÔÓÒØ (0,0) / Eµ Ñ ÖØ K((0,0),r)¹ Ò Ú Ò Ð Ñ E¹Ò Þ Ò r > 0¹Ö Ñ ÖØ N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ n N Ó Ý n > 1 r Þ Þ 0 < 1 n < r Ý (0, 1 n ) K((0,0),r)º ¾º Þ E = N N = {(n,n) n N} R 2 ÐÑ Þ Ñ Ò Ò ÔÓÒØ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ñ ÖØ n N¹Ö (K((n,n),1) \ (n,n)) E = º ¾º Ø Ø Ðº Þ E (R n,d) ÓÖ ÓÖ Þ ÖØ E E Þ Þ Ø ÖØ Ð¹ Ñ ÞÞ Ñ Ò Ò ØÓÖÐ ÔÓÒØ Øµº º Ø Ø Ð ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö ØÖ µº ÖÑ ÐÝ S R n ÓÖÐ ØÓ Ú Ø Ð Ò Ð¹ Ñ ÞÒ Ð Ø Þ ØÓÖÐ ÔÓÒØ º º Ò º ÆÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ý {o ν } Ö Ò Þ Ö Þ S R n ÐÑ ÞÒ Ý ÒÝ ÐØ Ð S o ν º ν È Ð º Þ E = N N R 2 ÐÑ ÞÒ {K((n,n),1) n N} ÐÑ Þ¹ Ö Ò Þ Ö Ý ÒÝ ÐØ Ð Ñ ÖØ ÖÑ ÐÝ n N¹Ö (n,n) K((n,n),1) Ý (n,n) K((i,i),1) Þ Þ E K((i,i),1)º i=1 i=1 º Ò º K R n ÐÑ Þ ÓÑÔ Ø Ñ Ò Ò ÒÝ ÐØ Ð Ð Ú Ð ÞØ Ø Ú Ó ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ð K¹Øº

44 ÁÁº Î ÃÇÌÇÊÌ Ê Ã ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê Ã Å ÌÊÁÃÍË Ì Ê Ã È Ð º ½º E = N N Ò Ñ ÓÑÔ Ø Ñ ÖØ ÖÑ ÐÝ K((n,n),1) Ð Ý Ú Ð Þ Ð Ò ÓØØ ÒÝ ÐØ Ð Ñ Ö ÐÑ Þ Ñ Ö Ò Ñ Ð E¹Ø Ý Þ Ð Ú Ó Ñ Ø Ð º ¾º K = {(1,1),(2,2),(3,3),(4, 4)} ÓÑÔ Ø ÐÑ Þ Ñ ÖØ K ÖÑ ÐÝ o ÒÝ ÐØ Ð Ø Ò K o Ñ ØØ Ð Ø Þ o 1, o 2, o 3, o 4 ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ o¹ Ð Ó Ý (i,i) o i (i = 1,2,3,4) Ý K Ú Ð ÞØ Ø Ú Ð º 4 i=1 o i Þ Þ ÖÑ ÐÝ o¹ Ð º Ø Ø Ð À Ò ¹ ÓÖ Ðµº Ý K R n ÐÑ Þ ÓÖ ÓÖ ÓÑÔ Ø ÓÖÐ ØÓ Þ Öغ È Ð º ½º K = {(1,1),(2,2),(3, 3),(4,4)} ÐÑ Þ ÓÑÔ Ø Ñ ÖØ ÓÖÐ ØÓ Ô Ð¹ ÙÐ K K((0,0),10)µ Þ ÖØ Ñ ÖØ Ò Ò ØÓÖÐ ÔÓÒØ µº ¾º E = N N Ò Ñ ÓÑÔ Ø Ñ ÖØ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ù Ý Ò d((1,1),(n,n)) = (n 1) 2 N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ñ ØØ Ò Ñ Ð Ø Þ r > 0 Ó Ý d((i,i),(j,j)) < r Ø Ð ÐÒ ÖÑ ÐÝ i,j N¹Ö º º Ò º Þ (X,d) Ñ ØÖ Ù Ø Ö Þ Ò Ñ Ð Ø Þ X¹Ò ÓÐÝ Ò Ò Ñ Ö o 1, o 2 ÒÝ ÐØ Ö Þ ÐÑ Þ Ó Ý o 1 o 2 = o 1 o 2 = Xº H ( ) X Þ X¹ Ò (H,d) Þ Ñ ØÖ Ù Ø Öº d Ñ ØÖ H H¹Ö Ú Ð Ð Þò Ø Ø d¹ú Ð Ð Ð (H,d) Ú Ð Ò Ñ ØÖ Ù Ø Öºµ º Ø Ø Ðº (R n,d) Þ º º ÌÓÚ Ð Ò Ö Ð Ö Ð Ñ Ö Ø Þ Ð Þ Ò Ò ÐØÙ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð Ö ÞÓÖÞ ØÓØ Ú ØÓÖÓ Ù Ð Þ ÒÓÖÑ Ø Ú ØÓÖÓ Ù Ð Þ Ø ÚÓÐ Ø ÐÐ ØÚ Þ Þ Ô Ó¹ Ð Ú Ô Ð Ò Þ R n Ù Ð Þ Ø Ö Øº Ú Ø Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ö Ò ÒÝ ÓÐÝ Ò Þ Ö Ø Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ñò Ø Ö Ý Ò Ö ÞÐ Ø Ò Ú Þ Ðص Ó ÐÑ Ø Ú Þ Ø Ñ ÐÝ Ö Ò Þ Ò Ð º ½º Ò º n¹ Þ Ö m Þ Ñ Ý m A = º º n1... nm = ( ij ) n m

45 º ÌÇÎý Á ÄÁÆ ýêáë Ä Ê Á Ä ÁËÅ Ê Ì Ã Ð ÐÖ Ò Þ Ø n m¹ Ñ ØÖ ÜÒ Þ ij Þ ÑÓ Ø Ñ ØÖ Ü Ð ¹ Ñ Ò Ò Ú ÞÞ º À n = m ÓÖ Ò ÝÞ Ø Ú Ö Ø Ù µ Ñ ØÖ ÜÖ Ð Þ Ð Ò º Þ n m Ø ÔÙ Ñ ØÖ Ü Ò Þ ÑÓ Ø n ÓÖ m Ó ÞÐÓÔ ÐÝ ÞØ Ðº ÞØ Ø ÒÝØ Ó Ý Ý Þ Ñ Þ A Ñ ØÖ Ü i¹ ÓÖ Ò j¹ Ó Þ¹ ÐÓÔ Ò Ú Ò Þ Ò Ü Þ Ý ij Ð Ð Þ Ð ÓÖ¹ Ñ Ó Þ Ó ÞÓÐÔ Ò Üµº Ã Ø Ñ ØÖ Ü ÞÓÒÓ Ø ÔÙ ÓÖ Ó ÞÐÓÔ Þ Ñ Ñ Ý Þ º Ã Ø Ñ ØÖ Ü Ý ÒÐ ÞÓÒÓ Ø ÔÙ Þ ÝÑ Ò Ñ Ð Ð ÐÝ Ò Ð Ú Ð Ñ Ý ÒÐ º Å ÝÞ º ½º Þ A = º º Ñ ØÖ ÜÓØ ÒÙÐÐ¹Ñ ØÖ ÜÒ Ò Ú ÞÞ Þ Þ ij = 0µº ¾º Þ n1 A = º º 1m... nm Ñ ØÖ ÜÓØ Þ A Ñ ØÖ Ü ØÖ Ò ÞÔÓÒ ÐØ Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ú ÞÞ º A Ó ÞÐÓÔ Þ A ÓÖ A ÓÖ A Ó ÞÐÓÔ ºµ º À A Ú ØÖ Ø Ù Ñ ØÖ Ü ÓÖ Þ 11,..., nn Þ ÑÓ A ÓÒ ¹ Ð Ø Ð ÓØ º º À Ú Ö Ø Ù Ñ ØÖ Ü ÓÒ Ð Ò ÙÔ ½ ÐÐ Ø Ð Ñ Ô ÒÙÐÐ ÓÖ Ý Ñ ØÖ ÜÖ Ð Þ Ð Ò E = º º ºº º ¾º Ò º À A = ( ij ) n m, B = (b ij ) n m ÓØØ Ñ ØÖ ÜÓ ÓÖ ÞÓ Þ Þ C n n¹ Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝÖ C. = A + B. = ( ij + b ij ) n m = (c ij ) n m. Þ A = ( ij ) n m Ñ ØÖ Ü λ R Ð ÖÖ Ð Ú Ð ÞÓÖÞ Ø λa. = (λ ij ) n m

46 ÁÁº Î ÃÇÌÇÊÌ Ê Ã ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê Ã Å ÌÊÁÃÍË Ì Ê Ã Ñ ØÖ Üº Þ n m¹ Ñ ØÖ ÜÓ Ø ÑòÚ Ð ØÖ Ò ÞÚ Ú ØÓÖØ Ö Ø Ð ÓØÒ º È Ð º À ÓÖ A = ( ) 1 3 4, B = ( ) 0 1 3, λ = 5, ( ) ( ) A + B = =, ( ) ( ) A = = º Ò º Þ A = ( ik ) n m B = (b kj ) m p Ñ ØÖ ÜÓ ÞÓÖÞ Ø Þ C n p Ø ÔÙ Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝ Ò m c ij = ik b kj, Þ Þ È Ð º À ÓÖ A B = k=1 ( A B =. C =. m ). (c ij ) n p = ik b kj A = k=1 n p ( ) 2 1 3, B = , ( ) = ½º Ø Ø Ðº Ñ ØÖ Ü ÞÓÖÞ ÓÒØÓ ØÙÐ ÓÒ A (B C) = (A B) C,. ( ) A (B + C) = A B + A C, (A + B) C = A C + B C, (λa) B = λ(a B) = A (λb), ÐØ Ð Ò A B B Aµº Å ÝÞ º Þ 1 n Ø ÔÙ Ñ ØÖ ÜÓØ ÓÖÑ ØÖ ÜÒ Ñ Þ n 1 Ø ÔÙ Ø Ó ÞÐÓÔÑ ØÖ ÜÒ Ò Ú ÞÞ º Þ (x 1,...,x n ) (x 1... x n )

47 º ÌÇÎý Á ÄÁÆ ýêáë Ä Ê Á Ä ÁËÅ Ê Ì Ã x 1 (x 1,...,x n ) º Ð Ò Ò Ý ÖØ ÐÑò Ñ Ð ÐØ Ø Ð Ò Ö ÞÓÑÓÖ Ø Ò R n Ú Ð ¹ Ñ ÒØ Þ 1 n ÐÐ ØÚ n 1 Ø ÔÙ Ñ ØÖ ÜÓ Ú ØÓÖØ Ö Þ Øغ Ú Ø Þ ¹ Ò R n Ð Ñ Ø Ñ Ø Ò Ñ ÑÓÒ ÙÒ Ó ÞÐÓÔÑ ØÖ ÜÓ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ù º º Ò º Þ A Ú Ö Ø Ù Ñ ØÖ Ü ÒÚ ÖØ Ð Ø Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò X Ñ ØÖ Ü Ñ ÐÝÖ x n AX = X A = E A n n Ø ÔÙ ÓÖ Ð Ø Þ n n Ø ÔÙ Ý Ñ ØÖ Üµº X¹ Ø Þ A ÒÚ ÖÞ Ñ ØÖ Ü Ò Ò Ú ÞÞ º ¾º Ø Ø Ðº À A ÒÚ ÖØ Ð Ø ÓÖ Ý ÒÚ ÖÞ Ú Òº À A ÒÚ ÖØ Ð¹ Ø Ý ÒÚ ÖÞ Ø A 1 Ð Ð ÖÖ AA 1 = A 1 A = E Ø Ð Ðºµ À A ÒÚ ÖØ Ð Ø Ý ÒÚ ÖÞ Þ (A 1 ) 1 = Aº À A B ÒÚ ÖØ Ð Ø ÓÖ (AB) 1 = B 1 A 1 º À A ÒÚ ÖØ Ð Ø Ý (A ) 1 = (A 1 ) º º Ò º Ý A = ( ij ) n n Ú Ö Ø Ù Ñ ØÖ Ü ÓÞ Ö Ò Ð Ò ÓÞÞ Ý Ú Ð Þ ÑÓØ Ý Ó Ý Ñ Ò Ò ÓÖ Ð Ú Ð ÞØÙÒ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ð Ñ Ø Ý Ó Ý Ñ Ò Ò Ó Þ¹ ÐÓÔ Ð Ð Ý Ò Ú Ð ÞØÚ ÔÓÒØÓ Ò Ý Ð Ñ Þ Ò Ð Ñ Ø Þ ÞÓÖÓÞÞÙ ÔÓÞ Ø Ú Ú Ý Ò Ø Ú Ð ÐÐ Ð Ð Ø Ù Ð Þ Ö ÒØ Ó Ý Ú Ð ÞØÓØØ Ð Ñ Ñ ÒÒÝ Ò ÓÖ Ò Ü Ø ÖÑ Þ Ø ÓÖÖ Ò Ò Ú ÒÒ µ Ó ÞÐÓÔ Ò Ü Ò Ô ÖÑÙØ Ò Þ ÒÚ ÖÞ Ð¹ Ö ÐØ Ð Ñ µ Þ Ñ Ô ÖÓ Ú Ý Ô Ö ØÐ Òº Ø Ó Ø Ñ Ò Ò Ð Ø Ñ ÓÒ Ô ÞÚ Þ Ù º Þ Ý ÔÓØØ D Þ ÑÓØ Þ ( ij ) n n Ñ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ò Ú ÞÞ n D = º º = A n1... nn Ð Ð n¹ Ö Ò ò Ø ÖÑ Ò Ò µº È Ð º ½º D = ( 1) I 1k1 nkn ÓÐ I k 1,...,k n Ô ÖÑÙØ Ò Ð Ú k 1,...,k n ÒÚ ÖÞ Þ Ñ º Þ Þ n! Ø ÓØ Ø ÖØ ÐÑ Þº

48 ÁÁº Î ÃÇÌÇÊÌ Ê Ã ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê Ã Å ÌÊÁÃÍË Ì Ê Ã ¾º Ò Ð Ô Ò = , ØÓÚ = ( ). º Ý Ø ÖÑ Ò Ò ik Ð Ñ Þ Ø ÖØÓÞ ÙÒ ÐØ Ð Ö Ð Ø ÖÑ ¹ Ò Ò ÓÒ ÞØ Þ A ik n 1¹ Ö Ò ò Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÖØ Ñ ÐÝ Þ Ö Ø Ð Þ i¹ ÓÖ k¹ Ó ÞÐÓÔ Ð Ý Ú Ð ÐÐ ØÚ ( 1) i+k Ð ¹ ÐРк È Ð ÙÐ Ø ÖÑ Ò Ò Ø Ò A 21 = ( 1) = ( ) = 6. º Ø Ø Ðº Ý A = ( ij ) n n Ñ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ò Ð Þ Þ Ð ØÙ¹ Ð ÓÒ Ó Ð ½º À Ú Ð Ñ ÐÝ ÓÖ Ò Ó ÞÐÓÔ Òµ ÙÔ ¼ Ú Ò ÓÖ D = 0º ¾º n º º n λ i1... λ in = λ º º º º n1... nn n1... nn º n n n º º º º º º i1 + b i1... in + b in = i1... in + b i1... b in º º º º º º n1... nn n1... nn n1... nn º À Ø ÓÖ Ø Ð Ö Ð ÖØ ( 1)¹ Þ Ö Ö Ú ÐØÓÞ º

49 º ÌÇÎý Á ÄÁÆ ýêáë Ä Ê Á Ä ÁËÅ Ê Ì Ã º À Ø ÓÖ Ñ Ý Þ ÖØ ¼º º ÖØ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ý ÓÖ ÓÞ ÓÞÞ Ù Ý Ñ ÓÖ Ø Ú Ý ÒÒ Ø Þ Ö Øº º ÖØ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ ÓÖ Ø Ó ÞÓÐÔ Ø Ð Ö Ð º º D = n ik A ik Ø Ø Ø Ðµº k=1 Å Ò Þ Ñ Ó ÐÑ Þ Ø ÓÖÓ ÐÝ ØØ Ó ÞÐÓÔÓ Ö º ÞÓÒÝ Ø º Ò Ð Ô Òº È Ð º D = Ø ÖÑ Ò Ò Þ Ñ Ø Ò Ð Ð Þ Öò Þ ÙØÓÐ Ó ÞÐÓÔ Þ Ö ÒØ Ð Óй ÓÞÒ Ñ ÖØ ÓÖ Ø 3 3¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÐÐ Þ ÑÓÐÒ Ñ ÖØ D = 0 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = º Ø Ø Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÞÓÖÞ Ø Ø Ð µº Ã Ø Ù Ý ÒÓÐÝ Ò Ö Ò ò Ú Ö ¹ Ø Ù Ñ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò Ò ÞÓÖÞ Ø Ý ÒÐ ÞÓÖÞ ØÑ ØÖ Ü Ø ÖÑ Ò Ò¹ Ú Ð A B = A B ÞÓÒÝ Ø º Å Ø Ð Ð Ø Þ Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø ÝÞ Ø Òº º Ø Ø Ðº À Þ A Ú Ö Ø Ù Ñ ØÖ Ü ÒÚ Ø Ð Ø ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ ¼ Þ Þ A Ö ÙÐ Ö Ñ ØÖ Üµº ÞÓÒÝ Ø º A ÒÚ ÖØ Ð Ø Ý Ð Ø Þ Þ A 1 ÒÚ ÖÞ Ñ ÐÝÖ A A 1 = Eº Ý ÞÓÖÞ Ø Ø Ð Ñ ØØ 1 = E = A A 1 = A A 1, Ñ Ð A 0 Ú Ø Þ º

50 ¼ ÁÁº Î ÃÇÌÇÊÌ Ê Ã ÍÃÄÁ Ë Á Ì Ê Ã Å ÌÊÁÃÍË Ì Ê Ã º Ø Ø Ðº À A ÓÐÝ Ò Ú Ö Ø Ù Ñ ØÖ Ü Ó Ý A 0 Þ Þ A Ö ÙÐ Ö µ ÓÖ A ÒÚ ÖØ Ð Ø A 1 ÒÚ ÖÞ Ö A 11 A A n1 A 1 = 1 A 12 A A n2 A º º = 1 A (A ji) n n A 1n A 2n... A nn Ø Ð Ð ÓÐ A ji Þ A = ( ji ) n n Ñ ØÖ Ü ij Ð Ñ Þ Ø ÖØÓÞ ÙÒ ÐØ Ð Ö Ð Ø ÖÑ Ò Ò º ÞÓÒÝ Ø º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý n js A is = δ ij A, ÓÐ δ ij = ÞÙØ Ò Ñ Ö s=1 AA 1 = 1 A n ij A kj j=1 n n { 1, j = i, 0, j i. = 1 A (δ ik A ) = (δ ik ) n n = E Ú Ø Þ Þ Þ A 1 Þ A ÒÚ ÖÞ º ( ) 1 2 È Ð º Ä Ý Ò A = ÓÖ A = 2 0 Ý Ð Ø Þ A A 11 = ( 1) = 4, A 21 = ( 1) = 2, A 12 = ( 1) = 4, A 22 = ( 1) = 1 Ñ ØØ A 1 = 1 ( ) ( ) = , 2 ( ) AA = 0 1 Ú Ð Ò Ø Ð Ðº º Ò º Þ A : R n R m Ð Ô Þ Ø ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Øµ Ð Ò Ö Ò Ò Ú ÞÞ A(x + y) = A(x) + A(y), x,y R n, A(λx) = λa(x), x R n, λ R Ø Ð Ðº Þ A : R n R m Ð Ò Ö Ð Ô Þ Þ Ø ÞÓ L(R n, R m )¹Ñ Ð Ð ÐÒ º

51 º ÌÇÎý Á ÄÁÆ ýêáë Ä Ê Á Ä ÁËÅ Ê Ì Ã ½ Å ÝÞ º Ä Ý Ò A m n¹ Ñ ØÖ Ü Ý Þ A(x). = A x (x R n ) Þ Ö ÒØ ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ð Ô Þ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ µ A : R n R m Ø ÔÙ Ð Ò Ö Ð Ô Þ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ µº Å Ö ÞØ ÖÑ ÐÝ A : R n R m Ð Ò Ö Ð Ô Þ A(x) = A x (x R n, A m n¹ Ñ ØÖ Ü) Ð Ö Ø º Ý ÖÑ ÐÝ A : R n R m Ð Ò Ö Ð Ô Þ ÞÓÒÓ Ø Ø Ý A m n¹ Ñ ØÖ Ü Þ Ðº º Ò º À A L(R n, R m ) ÓÖ Þ A =. sup { Ax } x 1 Þ ÑÓØ Þ A Ð Ò Ö Ð Ô Þ ÒÓÖÑ Ò Ò Ú ÞÞ º º Ø Ø Ðº ÒÓÖÑ ÓÒØÓ ØÙÐ ÓÒ Ax A x ; A + B A + B ; A < + ; λa = λ A ; BA B A ; (A L(R n, R m ), B L(R m, R k )).

52

53 ÁÁÁº Þ Ø ËÓÖÓÞ ØÓ R k ¹ Ò Þ Ø Ó ÐÑ Ö Ñ ÒÝ ÞÓÖÓ Ò Ð Ø ÑÙØ ØÒ Þ Ñ ÓÖÓ¹ Þ ØÓ Ò Ð Ø ÒÙÐØ Ð Ð Ã Ð ÙÐÙ Áº ÁÁÁº Þ Øµº ½º Ð Ô Ó ÐÑ Ô ÓÐ ØÙ ½º Ò º Ý f : N R k Ú ÒÝØ R k ¹ Ð ÓÖÓÞ ØÒ Ò Ú Þ Ò º ÓÖÓÞ Ø n¹ Ð Ñ Ø f(n), n, x n Ú Ý Ñ µ Ð Ð º ÓÖÓÞ Ø Ð Ñ Ò ÐÑ Þ Ö Þ { n } Ú Ý {x n } Ú Ý Ñ µ Ð Ð Ø ÞÒ ÐÙÒ º Å Ø ÓÖÓÞ ØÓØ Þ f =. n Ú Ý f =. x n Ú Ý Ñ µ Þ Ñ ÐÙÑÑ Ð Ð Ð º È Ð º Þ ( 1 n,1 + 2 ) n R 2 ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø n¹ Ø ( 1 n,1 + n) 2 Þ Ð Ñ ¹ Ò ÐÑ Þ {( 1 n,1 + n) 2 } n N º ¾º Ò ÓÖÐ ØÓ µº Þ x n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ {x n } ÓÖÐ ØÓ º È Ð º Þ ( 1 {( n,1 + n) 2 R 2 ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ Ð Ñ Ò 1 n,1 + 2 ) } n n N ÐÑ Þ ÓÖÐ ØÓ º ÓÖ ÁÁº ¾º º Ñ ÝÞ Ñ Øص Ð Ò Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ð Ø Þ r > 0 Ó Ý ÖÑ ÐÝ n N¹Ö ( ( 1 d R 2 (0,0), n,1 + 2 )) ( 1 = n n n) 2 2 n = 2 + 4n + 5 n 2 < r. Å Ú Ð n 2 + 4n + 5 2n n 2 < 2 + 8n + 8 n 2 = 2 n , n Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø ÖÑ ÐÝ n N¹Ö Ý r = 3 2 Ð Þº º Ò ÓÒÚ Ö Ò µº Þ x n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò x R k Ó Ý ε > 0 Ø Ò n(ε) N Ó Ý n n(ε)¹ö n Nµ d(x,x n ) = x x n < ε Ø Ð Ðº Þ x R k Þ ÑÓØ Ú ØÓÖØ Ð Ñ Øµ x n Ø Ö ÖØ Ò Ò Ú ÞÞ º ÞØ Ó Ý x n ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ x Ý Ð Ð lim x n = x Ú Ý x n xº n

54 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà R k ¹ Æ È Ð º Þ ( 1 n,1) R 2 ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ (0,1) R 2 º ÓÖ ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý ÖÑ ÐÝ ε > 0¹ ÓÞ Ð Ø Þ n(ε) N Ó Ý ÖÑ ÐÝ n n(ε) (n N) Ø Ò d R 2 (( ) ) 1 n,1,(0,1) = (1 ) 2 n 0 + (1 1) 2 = 1 n < ε. Þ Ô Þ Þ 1 n Ú Ð Þ Ñ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ñ Øغ Å ÝÞ º ½º ÖÒÝ Þ Ø Ó ÐÑ Ø Ð ÞÒ ÐÚ ÓÒÚ Ö Ò Òº ÖÒÝ Þ Ø ¹ Ò Ø Ô Ù Þ x n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò x R k Ó Ý K(x,ε)¹ ÓÞ n(ε) N Ó Ý n n(ε)¹ö x n K(x,ε) Ø Ð Ðº ¾º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý x n x K(x,ε)¹Ö x n K(x,ε) Ð Ð Ú Ó n N Ú Ø Ð Ú Ðº º Ò Ú Ö Ò µº Þ x n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø Ú Ö Ò Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò Þ Þ x Ø Ò ε > 0 ( K(x,ε)) Ó Ý n(ε) N¹Ö n n(ε) Ó Ý d(x,x n ) ε ( x n / K(x,ε))º È Ð º Þ (n,0) R 2 ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø Ú Ö Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ÖÑ ÐÝ (x,y) R 2 Ø Ò Ð Ø Þ K((x,y),ε) Ó Ý ÖÑ ÐÝ n(ε) N¹Ö Ð Ø Þ n n(ε) Ó Ý (n,0) / K((x,y),ε)º À (x,y) R 2 ( ) Ó Ý y 0 ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò ε = y 2 ¹Ö K (x,y), y 2 Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ØÐ Ò Ð Ñ Ø Ñ (0,n) ÓÖÓÞ Ø Ð Ñ ÖØ ÖÒÝ Þ Ø Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ Ø Þ Ø Ö µº À (x,y) = (x,0) ÓÖ ε = 1 Ø Ò n x + 1¹Ö (n,0) / K((x,0),1)º ½º Ø Ø Ð Ø Ö ÖØ Ý ÖØ ÐÑò µº À x n R k ¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÓÞ Ø ÓÖ Ý Ø Ö ÖØ Ú Ò Þ Þ x n x n b = = bµº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ã Ð ÙÐÙ Áº ÁÁÁº½º ½º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º ¾º Ø Ø Ð ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÐ ØÓ µº À Þ x n (R k ¹ Ð µ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò ÓÖ ÓÖÐ ØÓ º ÞÓÒÝ Ø º Ä Ã Ð ÙÐÙ Áº ÁÁÁº½º ¾º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º º Ø Ø Ðº Þ x n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ x R k x n = (x 1n,...,x kn ) Ð Ð Ð Þ x 1n,..., x kn ÝÒ Ú Þ ØØ ÓÓÖ Ò Ø µ ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Þ x = (x 1,...,x k ) Ð Ð Ð x in x i (i = 1,...,k)º

55 º Ê Ë ËÇÊÇ ÌÇÃ È Ð º À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ ( ) n + 1 3n + 2, 1 n R 2 ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Ø ÃÓÖ Ø ÒÙÐÑ ÒÝ Ò Ð Ô Ò n + 1 3n , 1 n , Ý Ø Ø Ð Ò Ó Ý ( ) ( ) n + 1 3n + 2, 1 1 n ,0. ¾º ËÓÖÓÞ ØÓ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ Ò º À x n y n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ ØÓ λ R Ø Ø Þ Ð ÓÖ Þ x n + y n. = x n + y n ; λ x n. = λx n Þ Ö ÒØ Ò ÐØ ÓÖÓÞ ØÓ Ø Þ ÓØØ ÓÖÓÞ ØÓ Þ Ò ÐÐ ØÚ λ¹ ÞÓÖÓ¹ Ò Ò Ú ÞÞ º Ì Ø Ðº Ä Ý Ò x n y n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø λ R Ø Ø Þ Ð Ó Ý x n x y n y ÓÖ x n + y n λ x n ÓÒÚ Ö Ò x n + y n x + y λx n λxº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ã Ð ÙÐÙ Áº ÁÁÁº¾º ½º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Þ µ Ö Þ Ò Þ ÞÓÐ Ø ÖØ ÐÝ ØØ R k ¹ Ð Ù Ð Þ ÒÓÖÑ Ø ÐÐ ÖÒ µº º Ê Þ ÓÖÓÞ ØÓ Ò º Ä Ý Ò n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ Øº À ϕ : N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú b n = ϕ(n) ÓÖ b n ¹Ø Þ n Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ò Ò Ú ÞÞ º ½º Ø Ø Ðº À Þ n ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ ÓÖ b n Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ö b n Ø Ð Ðº ÞÓÒÝ Ø º Ä Ã Ð ÙÐÙ Áº ÁÁÁº º ½º Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø º Å ÝÞ º Ø Ø Ð Ñ ÓÖ Ø Ò Ñ Þ Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÓÖÓÞ ØÖ ÓÒØ Ø Ñ ÐÝ Ø Ö ÖØ Ù Ý Ò Þ ÓÖ Þ ÓÖÓÞ ØÒ Ø Ö ÖØ º ¾º Ø Ø Ð ÓÐÞ ÒÓ¹Ï Ö ØÖ ¹ Ð Ú Ð ÞØ Ø Ø Ðµº À Þ n R k ¹ Ð ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ ÓÖ Ð Ø Þ ÓÒÚ Ö Ò Ö Þ ÓÖÓÞ Ø º