ËÞ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Ö ÝÞ Ø Ð Öº Þ ÓÐØ ÍØÓÐ Ñ Ó Ø ¾¼¼ º ÒÙ Ö ¾ º

Átírás

1 ËÞ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Ö ÝÞ Ø Ð Öº Þ ÓÐØ ÍØÓÐ Ñ Ó Ø ¾¼¼ º ÒÙ Ö ¾ º

2 ¾

3 Ð Þ Þ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ú Ð Ö ÝÞ Ø Þ ÄÌ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ã Ö Ò ¾¼¼ ¹ ¾¼¼ ¹ Þ Þ Ñ ÞØ Ö Ò Ø ÖØÓØØ ËÞ Ñ Ø ÐÑ Ð Ø Ñò ÙÖÞÙ ÒÝ Ø Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÞ º Þ ÐØ Ð Ø Ø ÒÝ Ø Ø ÙÖÞÙ Ó Ñ ÖØ Þ Ú Þ Ö Ú Ð Ð Þ Ð Þº Þ Ð Ð Ó Ý Ø ÒØ Ø ÒÝ Ø ÓÒ Þ ÐÑ Ð Ø Þ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ Ð Ø Ö Ð Ø Ö Ã Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Å ÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ Ø Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ù¹ Ò ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø Þ Ð ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð Ñ ÐÝ Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ý ÞÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÐÝ Þ Ö ÓÖÖ Ó Ø Ö µ Ð ÞÒ Ð Þ ÑÔÓÒØ Ð Ò Ñ Ø ÓÒÝ ÙØÓÑ Ø ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ ÐÑ Ð Ø Ð ÔÙÐ ÞÓÐ Ð ÒØ Ø Ø Ö Ð Ø Þ Þ Ò ÓÖÑ Ø Ñ Ø Ö Ð Ø Ò ÞÒÓ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ö ÑÓ Ø ÖÑ Þ Ø ÒÝ ÐÚ Ð ÓÐ ÓÞ ÐÓ Ø ºµº Å ÖØ ÞÒÓ Þ Ø ÓÐ Ó Ø Ñ ÖÒ Ì Þ ØØ Þ ÖØ Ñ ÖØ Ò Ñ Þ Ò Ð Ñ ÓÐ Ò Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØÙ Ù Ó Ý Ñ ÓÐ Ø ØÐ Òº Ñ ÖØ Ó Ý Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÖØ Ò Þ Ò Ñ ÓÐ Ø ÓÖ Ñ ¹ Ó ØÚ Ò Þ Ø Ó ÓÞ Ö ÞØ ØÐ Ý ÒÒÝ Ò Ñ ÓÐ Ø ÐÒ Ñ Ñ Ð Ð µ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÔÙÒ º À ØÙ Ù Ó Ý ÔÓÒØÓ Ñ ÓÐ Ñ Ø Ð Ð Ò Þ Ð Ø ÓÖ Ø¹ Ð Ñ Ð Þ Ò Þ Ð Ø Ñ ÓÐ Ó Ö Ú Ðº

4

5 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ½º½º Ð Ô Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ö Ú Ø ÖØ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º ½º º ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð ØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ½º º Þ Ð Ð Ô Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ð Ô Ñ Ö Ø ½ ¾º½º ÆÝ ÐÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½º½º ÆÝ ÐÚØ ÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º ÂÓ Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º½º Î ÙØÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º¾º Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º ½ ¾º¾º º Ê ÙÐ Ö Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¾º¾º º Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð ÒØ Ø Ö¹ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ¾º º à ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º½º Î Ö Ñ ÙØÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º º¾º ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ ØÙÐ ÓÒ º º º ¾ ¾º º º ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð ÒØ Ø ¹ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð Ô ½ º½º ÌÙÖ Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ã Ð Ò Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú ÐØÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º

6 Ì ÊÌ ÄÇÅ à º¾º½º Ì Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾º ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð Ð º º º º º º º¾º º Æ Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô º º º º º º º º º º º º º º º ÙÖ ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½º Ì Ú ÖÑ ÙØÓÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º¾º ËÞ ÑÐ Ð Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à ÞÚ ØÐ Ò ÓÞÞ Ö ò Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º Ý Ò Ñ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø ÒÝ ÐÚ º º º º º º º º º º º º º º Ý Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò Ñ Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ º º º ¼ º º ÌÓÚ Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º Ê Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Þ Ø ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø º½º NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½º½º Ë Ø NP¹Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½º¾º ÌÓÚ NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º½º º À Ñ ÐØÓÒ¹ ØØ Ð Ô ÓÐ ØÓ NP¹Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ º º º º º

7 ½º Þ Ø Ú Þ Ø Ò Þ Ø Ò Ñ Ñ Ö Ò Ø ÒØ Ö Ý Ð Ô Ó ÐÑ Ú Ð Ú Ð Ñ ÒØ Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ö Ú Ø ÖØ Ò Ø Ú Ðº Å Ø Ò Ô Ö Þ Ø ÖÖ Ð Ó Ý Ñ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ Þ Ð Ñ Ø Ñ Ö ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Øº Þ Ø Ú Ò Þ Ó Ð Ð Ù Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Ø Ñ Ø Ð Ð Ð Þ Ð ÒÝ º ½º½º Ð Ô Ó ÐÑ ËÞ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ú Þ Ò Ý ÓÐÝ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ó ÐÑ ¹ ÞÓØØ Ö Ø Ñ Ö Þ Ñ Ø ÔÔ Ð Þ Ö ØÒ Ò Ñ Ò Ú Ð Þغ Ý ÓÖÐ Ø Ð Ø Þ ÒØ Ñ Ò Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÞ Ö Ò Ð Ø Ñ Ð Ð ÞØÖ Ø ÞÒ ÐÚ Ý Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ º È Ð Ì ÒØ Ú Ø Þ Ú Ð Ð Ø Ð Ú ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ì Ý Ð Ó Ý Ú Ò Ø ÞÓÒÓ Ñ Ð Ò Þ Ñ Ö Øò ÓÖ Ò Ñ ÐÝ Ø Ð Þ Ö ØÒ Ò Þ ÐÐ Ø Ò Ú Ð ÓÚ º Ö Ó Ý Ò ÐÝ ÞÞ Ð Ø Ö ÙØ Ò ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ý Ó Ý Ñ Ò Ð Ò ÝÓ Ð Ý Ò ÓÖ Ý ØØ òöø ÖØ ÐÑ º Þ Þ Ð Ø ÓÞ Ö Ò Ð Ø Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ý Ò ÐÝ Þ Ø Ò Ð Ý Ø Ð Ð Ô Ò Ð Ò Þ Ù Ö Ö Ø Ý Ó Ý Ø Ð Ð ÔÒ Ñ Ò Ð Ò ÝÓ Ö Þ Ø Ð Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÞÞ Ø ÖØÓÞ ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØ ØØ Ð Ý ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ò Ò Ú ÞÞ º ÒØ Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Þ Ñ ÓÖ Ñ Ù Ø Ð Ð Ô Ö ÓÒ Ö Ø Ñ Ö Ø Øº ËÔ Ð Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÐÝ Ò ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð Ô ÓÐ ØÓ Ö Ý Ð ÒØ Ò Ö Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ö Ú Ð Þ Ò Ú Ý Ò Ñ Ð Þº ÁÐÝ Ò Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò ÐÙÒ º ÓØØ Ý φ Þ ÖÙ Ö Ò ò Ø Ð Ø Ð ÙÐÙ Ð µ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖ¹

8 ½º  ̺ Î Ì Ë Ñ º Ö Þ Ó Ý Ð Ø Ø ¹ φº Ì Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ú Ð Þ Ò φ Ð Ø Ø Ò Ñ Ý Òغ Ý Þ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ø Ý f : A B Ô Ö Ð Ú ÒÒÝ Ðº Þ A ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ø ÐÐ ÑÞ Ò Ý Ñ Ð Ð Ð ØØ Þ Ò Ð ÓÐÚ Ñ B ÐÑ Þ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ý Ô Ð ÒÝÓ Ö Ú ÒÝ ÐØ Ð ÓØØ ÖØ Ø Þ ÒØ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ð ÐÑ Ð ØØ Þ Ò Ð ÓÐÚ º ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ú Ò Þ ÓÖ Þ f Ö¹ Ø ÞÐ Ø Ú Ý B Ý Ø Ð Ñò ÐÑ Þ { Ò Ò Ñ} {1,0} Ø º Þ f Þ ÖØ Ô Ö Ð Ú ÒÝ Ñ ÖØ Þ f ÐØ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø ÓÐÝ Ò Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ô Ð ÒÝ Ö Ò Ñ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Þ Ñ Ø Ò Ú Ð Þغ Ý f : A B Ú ÒÝØ Þ Ñ Ø Ø Ò Ò Ú Þ Ò Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ Ø¹ ÑÙ Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò x A Ð ÑÖ Ú Ó Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Þ f(x) B ÖØ Ø Ø Ø f Ø Ð Ò Ò ÐØ Þ Þ ØÓØ Ð Ú Òݵº Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ñ ÓÐ Ø Þ ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ú ÒÝ Þ Ñ Ø Ø º À Ý Ð Ò¹ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ Ø ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø º Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø Þ ÒÒÝ Ò Ø Ý Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ð ÒØ ÞØ Ó Ý Ý φ ÓÖÑÙÐ Ð Ø Ø ¹ º Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ñ Ò Ð Ñ Ø Ñ ÒØ φ¹ Ò Þ Ö ÔÐ Ú ÐØÓÞ Ò ÐÓ ÖØ Ø Þ Þ Ð Ø Ñ ÓÒ Ñ Ö Ò Ö ÖØ Ð ÓÖÑÙРغ Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ ÓÖ Ð ÒØ Ø Ò Ò Ú Þ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÞÓÒÝÓ Ô Ð ÒÝ Ö Þ Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Þ Þ Ó Ùغ Ð ÒÝ Þ Ó Ý Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú Ó Ð Ô ÙØ Ò Ñ ÐÐ ÓÒº Ì ÒØ Ô Ð ÙÐ Ö Þ Ð ÒØ Ø Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ Øº ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ö ÒØ Ð ÖØ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖÑÙÐ Ú ÐØÓ¹ Þ Þ Ñ Ò Ú ÒÝ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð Ð Ô Þ Ñ º Þ Ô Ý ÓÖÐ Ø Ò Ð Ð Ó Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ ÓÖÑÙÐ Ö ÞÒ Ð Ø ØÐ Òº ÀÓ Ý ÞØ Ð Ù Ø ÒØ Ò Ý ½¼¼ Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ φ ÓÒ ÙÒ Ø Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Øº ÌÙ Ù Ó Ý φ Ð Ø Ø Ò Þ Ð ÒØ Þ ÐØ Ð Ò ÖØ Ð Þ º Þ ÓÖ Þ Ñ Ó Ý Ý Ñ Ó Ô Ö Ò ÒØ ÑòÚ Ð ØÖ Ô Þ Ñ Ø Ô Ö Ð¹ Ð Ð Ú ÓÐ ÓÞÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ô Ø Ñ ÒØ Þ ÙÒ Ú ÖÞÙÑ Ð ÒÐ Ð Ø ÓÖ º Å Ò ÞÓÒ ÐØ Ð Ë Ø Ú Ð Ò Ò Ð Ñ Ó Ð ÓÒÝÓÐÙÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ñ Ð ÒØ Ø º ÐÑ Ö Ð Ø Ø Ö Ó Ý Ú Ò¹ Ý ÐØ Ð Ò ÓÐÝ Ò ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ñ Ò Ñ ÒØ Ø Ðº à РØÒ Ó Ù Ó Ý ÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ø Þ º Ý Ð ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÒØ Ø Ý Ñ ÒØ Ý ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚº ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ð ÒÝ Ø Ð ÓÐ Ù Ý Ñ Ð Ð Ð ØØ Þ Ú Òº Þ ÙØ Ò Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÞÓÒÓ Ø Ù ÞÞ Ð ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚÚ Ð Ñ ÐÝ ÞÓ Ø Þ Ú Ø Ø Ö¹ Ø ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ô Ð ÒÝ Ø ÓÐ Ú Ý ÞÓ Ø Ô Ð ¹ ÒÝÓ Ø Ñ ÐÝ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ú Ð ÞØ º Þ Ý ÔÓØØ ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ø ÐØ Ð Ò Ù Ý Ò Ý Ò Ú ÞÞ Ñ ÒØ Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ì Ø Ô Ð ÙÐ Ë Ø Ð ÒØ Ø ÒØ Ò ÐØ Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÞØ ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ø Ñ ÐÝ Þ Ú Ð Ø Ø Þ ÖÙ Ö Ò ò ÓÖÑÙÐ Ø ÓÐ º ÓÞ Ó Ý Ý Ð ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Ñ ÓÐ ÙÒ Ð Ò Þ

9 ½º¾º ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ê ÎÁ Ì ÊÌ Æ Ì Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÐÑ Ò Ý ÒØÙ Ø Ú Ò ÍØ Ø Ó Ð Ò ÐØ Ú ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ Ø Ú Ö ØÚ Ñ ÓÐ Ø Ý ÓØØ Ð Ø ÔÖÓ Ð Ñ µº Þ Þ ÒØÙ Ø Ú Ò Ð Ð Ø ÓÞ Ó Ý Ñ ÓÐ ÙÒ Ý ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ð ¹ Ñ Ø Ò Ñ Ð ÓÞ Ó Ý Ñ ÑÙØ Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð ÞØ Ó Ý Ð ÓÖ Ø¹ Ñ Ù Ò Ð ÒØ Ø ØÐ Ò Ø ÔÓÒØÓ Ò Ò Ð Ð ÞØ Ñ Ð Ø Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ý ÐØ Ð Ò Ð Ø Þ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ µº Ú Ø Þ Ò Ö Ú Ò ØØ ÒØ Ó Ý Ñ ÐÝ ÚÓÐØ ÞÓ Ñ ¹ ÒÝ Ñ ÐÝ Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð ÙÐ ÓÞ ÞÞ Ð Ý ØØ Þ Ð Ó¹ Ö ØÑÙ Ñ Ø Ñ Ø Ð ÔÖ Þ Ò ÓÞ Ú Þ ØØ º ½º¾º Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ö Ú Ø ÖØ Ò Ø ½ ¼¼¹ Ò Þ Þ ÓÖ ÙÐ Ð ÐÑ Ð Ú À Ð ÖØ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ù ¾ Ñ Ú Ð ÞÓÐ ØÐ Ò Ö Ø ÒØ Þ ØØ ÓÖ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÓÞº Þ Þ Ð Ò ÒÝ Ñ ÒØ Ó Ý Þ Ö ÐØ Ò Ý Ø Ð ÚÓÐØ Ù Þ Þ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò Ò Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð Ö º Þ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð ½¼¹ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Þ Ðغ ÓØØ Ý p Þ Ý Øع Ø ÔÓÐ ÒÓѺ Ö Þ Ó Ý ØÙ ÙÒ ¹ p Ú ÐØÓÞ ÓÐÝ Ò Þ Þ ÑÓ Ø ÐÝ ØØ Ø Ò Ó Ý p ÖØ ¼ Ð Ý Ò Ä Ý Ò Ô Ð ÙÐ p = 2x 2 3xy + 2zº ¹ ÓÖ x y z ÐÝ Ö Ò Ö 2¹Ø 1¹ Ø 1¹ Ø ÐÝ ØØ Ø Ò ÓÖ p ÖØ 0 Ð Þº Ì Ø ÒÒ ÓÒ Ö Ø ÔÓÐ ÒÓÑÒ Þ Ø Ò Ò Ú Ð Þ Ö Ö º À Ð ÖØ ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ØØ Ñ Ø Ø Þ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ø Ò Ò Ú Ý Ò Ñ Ú Ð ÞØ º Ý ÓÒ ÓÐØ Ó Ý Ò Ò Ð ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÚÓÐØ Ý Þ Ú Ö Ð Ó Ý ½¼¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ð Ð ÓÖ ØÑ٠к ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Ð Å Ø Ú ÓÐ ÓØØ Ñ ½ ¼¹ Òº Å ÑÙØ ØØ Ó Ý À Ð ÖØ ½¼¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Ð ÒØ Ø ØÐ Òº À Ð ÖØ Þ ½ ¾¼¹ Ú Ò Ñ Ö ØØ Ò ÝÖ Ø Ö ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ñ ÐÝÒ Ð ÒÝ ¹ Þ ÚÓÐØ Ó Ý ÓÖÑ Ð Þ ÐÒ ÐÐ Ò Ñ Ø Ñ Ø Þ ÐÑ Ð Ø Ø Ý Ú Ü Ñ Ö Ò Þ ÖÖ Ð Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Þ Þ Ü Ñ Ö Ò Þ Ö ÓÒÞ ÞØ Ò Ò Ñ Ú Þ Ø Ø Ð Ð Ð ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ Þ Ý ÐÐ Ø ÒÒ Ø µº À Ð ÖØ ÔÖÓ Ö Ñ Ò Ö Þ ÚÓÐØ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ý Ö¹ Ö Ð ÒØ Ø ÈÖÓ Ð Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ø µ Ñ ÐÝ Ý ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ¹ Ø ØòÞØ ÐÙÐ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø Þ Ð ÐÐ Ø Ö Ð Ð ÒØ Ó Ý Þ Þ Ú Ý Ñ º ½ ½¹ Ò ÃÙÖØ Ð ÞÓÒÝ ØÓØØ Þ Òº Ð Ò ÑØ Ð Ø Ø Ð Ø Å Ò Ò ÓÐÝ Ò Ñ Ò Ù Ò Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ Ð Ñ Ö ØÑ ¹ Ø Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò ÐÐ Ø Ó Ý Þ ÓØØ ÐÑ Ð Ø Ò Ñ Þ ÐÐ Ø Ñ ÒÒ Ø ¹ Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ø º Ì Ø Ñ Ò Ò ÐÝ Ò ÐÑ Ð Ø Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò ÐÐ Ø Ñ Þ Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ø º Ð Ø Ø Ð Ð Ñ Ö Ú Ø Þ Ó Ý À Ð ÖØ ÔÖÓ ¹ Ö Ñ Ò Ð ÔÚ Ø Ð ØòÞ Ñ Ú Ð Ø Ø ØÐ ÒÓ º ÞØ Ú ÞÓÒØ Ø Ø Ð Ñ

10 ½¼ ½º  ̺ Î Ì Ë ÐÚ Ð Ò Ñ Þ ÖØ Ó Ý Ð Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ð ÒØ Ñ Ø Ñ Ø Þ ÐÐ Ø Ø Ñ Ú Ð Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ò Ñ Ð Ø Þ ØØ ÓÖº Þ Ð¹ ÒØ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø Ú Ú Ð ÞØ ÐÓÒÞÓ ÙÖ Ð Ò ÌÙÖ Ò Ø Ñ ÝÑ Ø Ð ØÐ Ò Ð Ò Ý Ð Ý Ò ½ ¹ Òº Þ Ú ÞÓÒØ Þ ÐÐ ØØ Ó Ý Ú Þ Ø Ö Ö Ð Ò ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ÑÓ ÐÐ Ñ ÐÝ Ö Ð Ö Ð Ó Ý ÝÑ Ð Ñ Ý Þ Þ Ñ Ø Ö Ú Ð Ö Ò Ð ÞÒ Ð ½ ½¹ Ò Ú Þ Ø ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÙÖÞ Ú Ú ÒÝ Øº ½ ¹ Ò Ý Ð ¹ ÓÒ À Ö Ö Ò Ú Ð Ø Ö Ò Ð Þ ÐØ Ð ÒÓ Ö ÙÖÞ Ú Ú ¹ ÒÝ Ø Ñ Ó ÐÑ ÞÞ ÞØ Ò Þ Ø Ø Ó Ý Þ Ú ÒÝ Ñ Ð ÐÒ Ñ Ò Ù Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ò º ÙÖ Þ ½ ¼¹ Ú Ð Ò Ø Ò ØÚ ÒÝ Ú Ð ÃÐ Ò ÊÓ Öµ Ñ Ð ÓØ λ¹ Ð ÙÐÙ Ø Ý ÓÖÑ Ð Ö Ò Þ ÖØ Ñ Ú ÒÝ Ó ÐÑ Ò ¹ Ú ÒÝ Ò Ú ÐØÓÞ ÖØ Ö Ú Ð Ð ÐÑ Þ Ò Ð Ô Þ º Þ Ò Ð Ð Ñ Ð ÓØ λ¹ Ò Ð Ø Ú ÒÝ Øº à ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ Ú Ú Ð Ò Ö ÙÖÞ Ú Ú ÒÝ Ðº ÌÙÖ Ò ½ ¹Ó Ò Ò Ð Ö Ð ÐÒ Ú Þ ØØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ó ÐÑ ÞÞ ÞØ Ò Þ Ø Ø Ó Ý ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Þ Ñ Ø Ø Ú ¹ ÒÝ Ñ Ý ÞÒ Þ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ðº Ú Ò Ú ÞÓÐ ÒÒ ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý λ¹ Ò Ð Ø Ú Ð Ñ Ø ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ñ Ý ÞÒ º ÙÖ Þ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ¹Ö Ý ÓØØ Ò Ø Ú Ú Ð ÞØ Ó Ý Ñ ÑÙ¹ Ø ØØ Ò Ò ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ñ Ø λ¹ Ð ÙÐÙ Ð Þ Ö Ð Ð¹ ÒØ Ó Ý Ú Ú Ð Ò ¹ º ÌÙÖ Ò Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÓÒ ÓÐ Ó ÓØغ Ð Þ Ö Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø ØÐ Òº ÍØ Ò Ô Ñ Ó ÐÑ ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Òغ Ð Ñ Ö Ú Ø ¹ Þ ØØ Ó Ý Ò Ñ Ð Ø Þ Ø ÓÐÝ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ð ÒØ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÐÐ Ø Ó Þ ÖØ Øº à ØÓÚ ÑÓ ÐÐ Ø Ò ÐØ Ôк Ê Å Ô ÈÓ Ø¹ Ô Å Ö ÓÚ¹ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó µ Ñ Ò Ö Ð Ö ÐØ Ó Ý Ò Ñ Ö Ò Ð ÞÒ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÒ Ð Ò ¹ ÝÓ Þ Ñ Ø Ö Ú Ðº Þ Þ Ö Ñ ÒÝ Ð Ø Ñ ÞØ Þ Òº ÙÖ ¹ ÌÙÖ Ò Ø Þ Ø Þ Ñ Ø Ø Ð Ò Þ Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ñ Ò Þ ¹ Ø Ú Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ò Ð º ½º º ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð ØÖ Ð Ñ Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð ÔÚ Ø Ò ÞÞ Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ó Ý Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÐ Ø ¹ Ð ÒØ Ø ¹ µ ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø ÞØ Ú Þ Ð Ó Ý Þ

11 ½º º Ä ýë Ä È Ì Ë ½½ Ð ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð Ñ ÐÝ Ñ ÐÝ Ò Ø ÓÒÝ Ò ÒÒ Ð ÓÒØÓ Ö ÓÖÖ Ó Ð Þ Ú Ð Ø ÖÖ Ðº Ì ÒØ Ô Ð ÙÐ ÞÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ ÐÝ Ð ÒØ Ö Ñ ÖØ ÔÓÐ ÒÓÑ ¹ ÒÝò Ð ÓÖ ØÑÙ ØØ ÑÓ Ø Ù ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ Ð Ô Ò ÑÓÒ ØÒ Ò ÌÙ¹ Ö Ô Ø µº Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓØ P ÓÒÝÓÐÙÐØ Ó ÞØ ÐÝغ Î ÒÒ ÞÓÒ Ò ÓÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÐÝ Ð ÒØ Ö Ò Ñ Ñ ÖØ ÔÓÐ ÒÓÑ ÒÝò Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ôµ Ú ÞÓÒØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ø Ö ÞØ Ú Ð Ò Ñ¹ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Ñ Ö ÔÓÐ ÒÓÑ Ò Ð ÒØ Ø º ÁÐÝ Ò Ô Ð ÙÐ ÓÖ Ò Ð ØÓØØ Ë Ø ÔÖÓ Ð Ñ º Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÓØ Þ NP ÓÒÝÓ¹ ÐÙÐØ Ó ÞØ ÐÝغ ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø Ý Ð ÓÒØÓ Ø Ñ Ö P NP ÒÝ ÐÚÓ ÞØ ÐÝÓ Þ ØØ Ø Ö Ú Þ Ð Ø º Þ Ó Ý P NP ÒÒÝ Ò Ú Ø Þ Ð Ó Ý Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ô Ð Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô º ÓÒÝÓÐÙÐØ ÐÑ Ð Ø Ý Ð Ò ÝÓ Ú Ý Ò Ù¹ Ö µ Ó Ý Ò Ñ Ö ÐØ ÞÓÒÝ Ø Ò ÞØ Ó Ý ÒØ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ú Ð º Þ Ð ÓÒ Þ Ð Ö Ð Ñ Ú Þ Ð Ù Þ Ð ÑÐ Ø ØØ P NP Ó ÞØ ÐÝÓ Ô ÓÐ Ø Ø Ñ Ò Þ Ò Ò ÒÝ ÓÒØÓ Ø Ö ÓÒÝÓÐÙÐØ Ó ÞØ ÐÝØ º ½º º Þ Ð Ð Ô Ø Þ Ð Þ Ð Ø Ñ Ö Ö ÓÒØ Ø º ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ð Ô Ñ Ö Ø ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÑ Ý¹ Ö Ö Ö ÙÐ Ö ÒÝ ÐÚ ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Þ Ð¹ ÒØ Ø ØÙÐ ÓÒ º ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÐØ Ð Ð ÒØ Ø Ö ÙÖÞ Úµ Ð Ñ Ö¹ Ø Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø µ ÒÝ ÐÚ º ÌÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ ÑÓ ÐÐ Þ Ú Ú Ð Ò º ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÒÝ Ð ÓÖ ØÑ Ù Ò Ð¹ ÒØ Ø ØÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º Á ÓÒÝÓÐÙÐØ Ó ÞØ ÐÝÓ P NPº Ò Þ Ò Ñ ÓÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ NP Ø Ð Ú Þ Ú Þ Ø º Ì Ö ÓÒÝÓÐÙÐØ Ó ÞØ ÐÝÓ º

12 ½¾ ½º  ̺ Î Ì Ë

13 ¾º Þ Ø ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ Ð Ô Ñ Ö Ø ¾º½º ÆÝ ÐÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ä Ý Ò Σ Ý Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þº Σ¹Ø Ò Þ Ð Ñ Ø Ô Øò Ò Ò Ú ÞÞ º Σ Øò Ò Ý Ø Ø Þ Ð Ú Ö Ö µ ÓÖÓÞ Ø Ø Σ¹ Ð ØØ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º Σ Ð Ð Þ Þ Σ¹ Ð ØØ Þ Ø Σ + Σ {ε} ÐÑ ÞØ l(u) Þ u Σ Þ Ó Þ Ø l a (u) Ô Þ u¹ Ð a Øò Þ Ñ Øº 0 Ó Þ Þ Ø Ö Þ Ò Ò Ú ÞÞ Ð εµº Σ¹ Ð ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Σ Ý Ö Þ ÐÑ Þ Ø ÖØ º È Ð Ä Ý Ò Σ = {0,1}º ÓÖ Σ = {ε,0,1,00,01,10,11,...}º Þ Ð ÒÝ ÐÚ Ô Ñ Ò Σ Ö Þ ÐÑ Þ, {0,111,0 5,1 10 }, {ε}, {ε,0,1,10,11} {(01) n : n 0}, {0 n 1 n : n 0}, {u Σ : l 0 (u) = l 1 (u)}. Å Ú Ð Ý ÒÝ ÐÚ ÐØ Ð Ò Ú Ø Ð Ò ÐÐ Ø Ð ÐÒ Ý Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÒÝ ÐÚÒ º ÀÓ Ý Ò Ð Ø Ñ Ò Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ñ Þ ÒÔÙØ Ö ÓØØ u Σ Þ Ö Ò ¹Ò Ð ÐÐ Ñ u L Ò Ñ ¹Ñ Ð u Lº Þ ÐÝ Ñ ÓÒ Ñ Ø ÒÝ ÐÚ Ø Ò Ú ÞÞ Ð ÒØ Ø Ò Ú Ý Ö ÙÖÞ ÚÒ º Ð Ö Ð Ñ Þ ÒÔÙØ Ö ÓØØ u Σ Þ Ö Ò ¹Ò Ð ÐÐ Ñ u L Ú Ý Ò Ñ ÐÐ Ñ Ú Ý Ò Ñ ¹Ñ Ð ÐÐ Ñ u Lº Þ ÐÝ Ñ ÓÒ Ñ Ø ÒÝ ÐÚ Ø Ò Ú ÞÞ ÌÙÖ Ò Ð Ñ Ö Ø Ò Ú Ý Ö ÙÖ¹ Þ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò º Å ÝÞÞ Ó Ý ÙÖ ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ ÖØ ÐÑ Ò ÒØ Ò Ò Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ð Ö Ó ÐÑ ÐÝ ØØ Ö ØØÙÒ ÚÓÐÒ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø º ½

14 ½ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã Þ Ò Ð Ð Ø Þ Ó Ý Ñ Ò Ò Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ Ð Ñ Ö Ø º ÓÖ ØÓØØ ÐÐ Ø Ö Ð Ú ÞÓÒØ Ð ØÒ Ó Ù Ó Ý Ò Ñ ÐÐ ÒÒº ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ ØÓÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ø Þ ØØ ÒÝ ÐÚØ ÒÓ Ð Ò Þ Ú Ó ÐÐ ÔÓØØ Ð Ö Ò Ð Þ Ô º Ú Ø Þ Ö Þ Ò Þ Ø Þ Þ Þ Ø Ñ ÖØ Ø º ¾º½º½º ÆÝ ÐÚØ ÒÓ ÒÝ ÐÚØ ÒÓ Ú Þ Ø Ò ÑÓØ Ú Ì ÖÑ Þ Ø ÒÝ ÐÚ Þ Ö Þ Ø Ò ÑÓ ÐÐ Þ ÓÑ Ý ½ µ ÈÖÓ Ö ÑÓÞ ÒÝ ÐÚ Þ ÒØ Ø Ò Ñ Æ ¹ Ä ÇÄ Ô ¹ ½ ¼µ Ò ÆÝ ÐÚØ ÒÒ Ò Ú Þ Ò Ý ÓÐÝ Ò G = (V,Σ,R,S) Ö Ò Þ ÖØ ÓÐ V Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þ Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ó ÐÑ Þ Σ Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þ Ø ÖÑ Ò Ð Ó ÐÑ Þ V Σ = µ S Ý Ø ÒØ Ø ØØ Þ Ñ ÐÙÑ V ¹ Ð Ñ Ø Þ Þ Ñ ÐÙÑÒ Ò Ú Þ Ò R Ô u v Ð Þ ÐÝÓ Ú ÐÑ Þ ÓÐ u,v (V Σ) u Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ð Ý Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Øº ÅÓ Ø Ñ Ò ÞÞ Ó Ý Ó Ý Ò Ð Ø ÒÝ ÐÚØ ÒØ Þ Ú Ò Ö Ð Ö Ð ÞÒ Ð¹ Ò º À ÞØ ØÙ Ù ÓÖ Ò ÐÒ ØÙ Ù Ó Ý Ñ Ø ÖØ Ò Ý ÒÝ ÐÚØ Ò ÐØ Ð Ò Ö ÐØ ÒÝ ÐÚ Òº Ò Ä Ý Ò G = (V,Σ,R,S) Ý ÒÝ ÐÚØ Òº G ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ú Þ Ø Ö Ð Ø Ð µ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Ð Ù º Ä Ý Ò u,v (V Σ) º u v ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò x,y,y,z (V Σ) Ñ ÐÝÖ u = xyz,v = xy z y y Rº G ÐØ Ð Ñ Ø ÖÓÞÓØØ Ð Ú Þ Ø Ö Ð Ð µ Ô Ú Ø Þ ÔÔ Ò º u v ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ u Ñ Ô Ø v¹ Ð ÞÚ ØÐ Ò Ð Ú Þ Ø Ö Ð Ú Ó Ö ¼µ Þ Ñ Ð ÐÑ Þ Ú Ðº ÓÖÑ Ð Ò u v Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò n 0 w 0,w 1,...,w n (V Σ) Ó Ý u = w 0 Ñ Ò Ò 0 i n 1¹Ö w i w i+1 w n = vº G ÐØ Ð Ò Ö ÐØ ÒÝ ÐÚ Ð L(G)µ ÞÓÒ Σ ¹ Ð Þ Ú ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ñ ¹ Ô Ø Ð Ú Þ Ø Ø µ Þ Þ Ñ ÐÙÑ Ð Ð Ú Þ Ø Ö Ð Ð ÐÑ Þ ¹ Ú Ð L(G) = {u Σ : S u}. È Ð

15 ¾º½º Æ ÄÎ Ã Ë Î Ë Ê ÈÊ ÆÌý Á Áà ½ Ä Ý Ò G = (V,Σ,R,S) ÓÐ V = {S} Σ = {0,1} R = {S 01S,S ε} È Ð ÙÐ S 01S 0101S 0101 Ú Ý S 0101º L(G)º G ÐØ Ð Ò Ö ÐØ ÒÝ ÐÚ L(G) = {(01) n : n 0}º Ì Ø 0101 Ä Ý Ò G = (V,Σ,R,S) ÓÐ V = {S} Σ = {0,1} R = {S 0S1,S ε} È Ð ÙÐ S 0S1 00S Ú Ý S 0011º L(G)º G ÐØ Ð Ò Ö ÐØ ÒÝ ÐÚ L(G) = {0 n 1 n : n 0}º Ì Ø 0011 ÒÝ ÐÚØ ÒÓ Ò Ò Ý Ø ÔÙ Ø Ð Ò ÞØ Ø Ñ º Ä Ý Ò G = (V,Σ,R,S) Ý ÒÝ ÐÚØ Òº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý G ÂÓ Ð Ò Ö 3¹ Ø ÔÙ µ ÒÝ ÐÚØ Ò R¹ Ò Ñ Ò Ò Þ ÐÝ A ub Ú Ý A u Ð ÓÐ A,B V u Σ º à ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò 2¹ Ø ÔÙ µ ÒÝ ÐÚØ Ò R¹ Ò Ñ Ò Ò Þ ÐÝ A u Ð ÓÐ u (V Σ) º à ÖÒÝ Þ Ø 1¹ Ø ÔÙ µ ÒÝ ÐÚØ Ò R¹ Ò Ñ Ò Ò Þ ÐÝ αaβ αγβ Ð ÓÐ α,β,γ (V Σ) γ ε Ú Ú Þ S ε Þ ÐÝØ Þ Ø Ò S Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð Þ ÐÝ Ó ÓÐ Ð Òµº ýðø Ð ÒÓ 0¹ Ø ÔÙ µ ÒÝ ÐÚØ Ò Þ ÐÝÓ Ö ÑÑ ÐÝ Ò Ñ Ø Ò Ò Òº À L Ý i¹ø ÔÙ 0 i 3µ ÒÝ ÐÚØ ÒÒ Ð Ò Ö Ð Ø ÒÝ ÐÚ ÓÖ L¹ Ø i¹ø ÔÙ ÒÝ ÐÚÒ Ò Ú ÞÞ º Þ Þ i¹ø ÔÙ ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ø L i ¹Ú Ð Ð Ð º Þ L 0, L 1, L 2 L 3 ÒÝ ÐÚÓ ÞØ ÐÝÓ Ð ÓØ ÓÑ Ý¹ Ð Ö Ö Øº Þ Ú ¹ Ð Ó Ó Ý L 3 L 2 L 0 L 1 L 0 º Þ Ó Ý L 2 L 1 ÒÒ ÐÐ Ð Ú Ø Þ Ó Ý Ñ Ò Ò ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚØ Ò ÓÞ Ñ Ø Ý Ú Ð Ú Ú Ð Ò Ù Ý Ò ÞØ ÒÝ ÐÚ Ø Ò Ö Ð µ ÝÒ Ú Þ ØØ ε¹ñ ÒØ ÒÝ ÐÚØ Ò Ñ ÐÝ Ý Ò ÖÒÝ Þ Ø ÒÝ ÐÚØ Ò º Á Þ ØÓÚ Ó Ý Þ Þ ÒØ Ø ÖØ ÐÑ ¹ Þ Ú Ð Ú Ý Ú Ø Þ Ø Ø Ðº Ì Ø Ð ÓÑ Ý¹ Ð Ö Ö µ L 3 L 2 L 1 L 0 º Á Ñ ÖØ Ó Ý Ñ Ò Ò L 1 ¹ Ð ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø L 0 Ô Ñ Ý Þ Ð ¹ Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ú Ðº

16 ½ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã ¾º¾º ÂÓ Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚ ÂÓ Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚÒ Ò Ú Þ Ò Ý ÒÝ ÐÚ Ø Þ Ð Ñ Þ L 3 Ó ÞØ ÐÝÒ º ØÓÚ Ò Ñ Ò ÞÞ Ó Ý Þ Ø ÒÝ ÐÚ Ø ÒÝ ÐÚØ ÒÓ ÓÒ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ú Þ Þ Ð Ð Ø Ñ Ñ Ò º ¾º¾º½º Î ÙØÓÑ Ø Ò Ö Þ Ò Ú ÙØÓÑ Ø Ø Ú Þ Ð Ù Ñ Þ Ð Ö Ðº Ú ÙØÓÑ Ø ÓÐÝ Ò Ý Þ Öò Ú Ó ÐÐ ÔÓØØ Ð Ö Ò Ð Þ Ô Ñ ÐÝ ÑÓ ÐÐ Ñ Ò ÒÒ Ô Ò Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ý Þ Öò Ô Ò Ð Ø Ð ØÖÓÑÓ Ø Ð ØÖÓÒ Ù Ø ÖÑÓ ÞØ ØÓ Ú Þ ÖÐ Ý Ò º Þ Ð Þ Þ Þ Ð ÔÓÒØÓ Ò Þ L 3 ¹ Ð ÒÝ ÐÚ Ø Ð Ø Ð Ñ ÖÒ Ð ÒØ Ò µº Ò ÓÖÑ Ð Ò Ú ÙØÓÑ Ø µ Ý (Q,Σ,δ,q 0,F) Ö Ò Þ Ö ÓÐ Q Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þ Σ : Ý Ñ Ò Ð Øò µ Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þ δ : Q Σ Q Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ q 0 Q : Þ ÐÐ ÔÓØ F Q Ô Ú ÐÐ ÔÓØÓ ÐÑ Þ º Ý M = (Q,Σ,δ,q 0,F) Ú ÙØÓÑ Ø Ñò Ø Ý u = a 1...a n Σ Þ Ò a 1,...,a n Σµ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ö Ø Ð º M Þ Ø Ò q 0 Þ ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Ò Ñ Ñ ÙØ Ò ÐÓÐÚ Ø Þ a 1 ØòØ ¹ Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ð Ô Ò ¹ ØÑ Ý Ý q 1 ÐÐ ÔÓØ º ÞÙØ Ò ÐÓÐÚ Þ a 2 ØòØ ØÑ Ý Ý q 2 ÐÐ ÔÓØ º ÞØ ÓÐÝØ Ø Ñ Ð Ò Ñ Ö Þ ÙØÓÐ ØòØ Ñ Ø ÐÓÐÚ Ú ØÑ Ý Ý q n ÐÐ ÔÓØ º À q n F ÓÖ M Ð Ó Þ u Þ Ø Ý ÒØ Ô ÐÙØ Ø º Þ M ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ ÞÓÒ Σ ¹ Ð Þ Ú ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ø M Ð Ó º ÓÖÑ Ð Ò ÒØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ö Ø Ð º Ò Ä Ý Ò M = (Q,Σ,δ,q 0,F) Ý Ú ÙØÓÑ Ø u = a 1...a n Σ a 1,...,a n Σµº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M Ð Ó u¹ø Ú Ò ÓÐÝ Ò q 0,q 1,...,q n ÐÐ ÔÓØ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò 1 i n¹ö q i = δ(q i 1,a i ) q n F º Þ M ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ L(M) = {u Σ : M Ð Ó u¹ø}º È Ð Ä Ý Ò M 1 = ({q 0,q 1,q 2 }, {0,1},δ, {q 0 }) ÓÐ

17 ¾º¾º ÂÇ ÄÁÆ ýêáë Æ ÄÎ Ã ½ δ : 0 1 q 0 q 1 q 2 q 1 q 2 q 0 q 2 q 2 q 2 M 1 : 0 q 0 q q 2 à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý L(M 1 ) = {(01) n : n 0}º 0, 1 È Ð Ä Ý Ò M 2 = ({q 0,q 1,q 2,q 3 }, {0,1},δ, {q 0 }) ÓÐ δ : 0 1 q 0 q 3 q 1 q 1 q 2 q 0 q 2 q 1 q 3 q 3 q 0 q 2 M 2 : q 0 q q 2 q 2 1 Ä Ø Ø Ó Ý L(M 2 ) ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Ø Þ u Σ Þ Ú Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ ¹ Ò Ô ÖÓ Þ Ñ 1¹ Ô ÖÓ Ó 0 Ú Òº Ú ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ò Ò ¹ Ú ÞÞ º Ä Ø Þ Ú ÙØÓÑ Ø Ò Ý ÐØ Ð ÒÓ Ú ÖÞ º Þ Ú Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÙØÓÑ Ø º Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞÑÙ ØØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ ÙØÓÑ Ø Þ ÓÐÚ Þ Ò Ý ÞÓÒÝÓ ÔÓÒØÓÒ ÝÒ Ð Ø ÐÐ ÔÓØ ØÑ Ø Ú Ý ÔÔ Ò Ò Ñ ØÙ ØÑ ÒÒ Ý ÐÐ ÔÓØ Ñº ÁÐÝ Ñ ÓÒ Þ ÙØÓ¹ Ñ Ø Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Þ Ò ÔÓÒØÓÒ Ø Ö ÞÖ Þ Ñ Ò Ò ÓÒ Ý Ð Ò Þ Ñ Ø Ò ÙÐ Þ ÙØÓÑ Ø Ò Ñ Ð Ò Ñ ÓÐÚ ÓØØ Ö Þ Þ Òº À Ú ¹ ÞÓÒØ Ò Ñ ØÙ Þ ÙØÓÑ Ø Þ ÓØØ ÔÓÒØÓÒ ØÑ ÒÒ Ý Ñ ÐÐ ÔÓØ ÓÖ Þ Ò ÓÖ ÓÒ Þ ÙØÓÑ Ø Þ Ñ Ø Þ Ú Ý ÞÓÒ Þ ÓÒ Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ð Ð º Ý Ú Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÙØÓÑ Ø ÓÖ Ó Ð Ý Þ Ø Þ Ò Þ Þ Ð Ø q 0 ¹ Ð Ò ÙÐ Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Þ Ð Ð Ð Ý Ú ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Þ º Ò ÓÖÑ Ð Ò Ú Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÙØÓÑ Ø Æ µ Ý M = (Q,Σ,δ,q 0,F) Ö Ò Þ Ö ÓÐ Q Σ q 0 F Ù Ý Ò ÞÓ Ñ ÒØ Ø Ò δ Ú ÞÓÒØ Ò Ñ Q¹ Ò Ñ Q Ö Þ ÐÑ Þ Ò ÐÑ Þ Ô Þ Þ Þ δ : Q Σ P(Q)º Ä Ý Ò u = a 1...a n Σ a 1,...,a n Σµ Ý Þ º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M Ð Ó u¹ø Ú Ò ÓÐÝ Ò q 0,q 1,...,q n ÐÐ ÔÓØ ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝÖ Ñ Ò Ò 1 i n¹ö q i δ(q i 1,a i ) q n F º Þ M ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ L(M) = {u Σ : M Ð Ó u¹ø}º 1

18 ½ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã È Ð Ä Ý Ò M 3 = ({q 0,q 1,q 2,q 3 }, {0,1},δ,q 0 {q 3 }) ÓÐ δ 0 1 q 0 {q 0 } {q 0,q 1 } q 1 {q 2 } {q 2 } 0,1 q 2 {q 3 } {q 3 } q 3 q 0 1 0,1 0,1 q 1 q 2 q 3 L(M 3 ) ÔÓÒØÓ Ò ÞÓ Ø Þ u Σ Þ Ú Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ Ò Þ Ú Ø Ð Þ ÑÓÐØ ÖÑ ÔÓÞ 1¹ º M 3 Ð Ò Þ Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Þ u = 1101 Þ Ò Ú Ø Þ Ú Ð Þ ÑРй Ø Ø Ø º q 0 0 q 0 1 q 0 q 1 q q 2 q 0 q 1 1 q q q 3 q 3 Þ Æ Ò Ð Ð Ø Þ Ó Ý Þ ÐÝ Ò ÙØÓÑ Ø ÞØ Ñ Ø Ø Ó Ý Ý ÞÓÒÝÓ ÐÐ ÔÓØ Ò Þ ÓØØ Øò ÓÐÚ ÓÖ Ò Ñ Ñ Ý Ø ÑÑ ÐÝ Ò ÐÐ ÔÓØ º Ä Ø Þ ØÓÚ Ó Ý Ñ Ò Ò Ý Ò Ô Ð Æ Ø Ø Ñ Ò Ò ÒÝ ÐÚ Ñ Ð Ñ Ö Ø ¹Ú Ð Þ Ð Ñ Ö Ø Æ ¹Ú Ð º Ñ Ð Ô Ò Þ Ð Ø Ó Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞÑÙ Ò Ñ ÒÝ Ø ÔÐÙ Þ Þ Ñ Ø Ö Ø Þ ÙØÓÑ Ø Ò º ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ð Þ Ð Þ Ð Ø Ø Ðغ Ì Ø Ð Ú Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ñ Ý Þ¹ Ò Ú Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù µ ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ðº ÅÓ Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Ú ÙØÓÑ Ø Ù Ý Ò ÓÖ Þ Ñ Ø Ö Ú Ð Ö Ò Ð ÞÒ Ñ ÒØ 3¹ Ø ÔÙ Þ Þ Ó ÐÐ Ò Ö ÒÝ ÐÚØ ÒÓ º Ì Ø Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ý Þ Þ L 3 Ó ÞØ ÐÐÝ Ðº ÞÓÒÝ Ø Ú ÞРص Þ Ý Ö ÒÝØ ÞÓÒÝ Ø Ù Ò Ú Þ Ø Ò Ó Ý Ñ Ò Ò Ó Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚØ ÒÒ Ð Ò Ö Ð Ø L ÒÝ ÐÚ Þ Ñ Ø ÓÐÝ Ò Ñ L¹ Ø Ñ Ö Ðº ÓÖ ØÓØØ Ö ÒÝ ÐÐ Ø ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º Ä Ý Ò L L 3 º ÓÖ Ú Ò Ý ÓÐÝ Ò G = (V,Σ,R,S) Ó Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚØ Ò Ó Ý L = L(G)º Ð ÒÝ ÐÚØ Ò Ð Ñ ÓÒ ØÖÙ ÐÙÒ Ý M Æ ¹Ø Ý Ó Ý L(M) = L Ø Ð Ð Òº Þ Ð Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ð Þ Æ ¹ Ð Ñ Ö Ñ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ý Ñ Þ ÒØ Ò L¹ Ø Ñ Ö Ðº Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÖØ Ò Ð Ð ÐØ Ø Ó Ý R¹ Ò Ñ Ò Ò Þ ÐÝ A ab ÐÐ ØÚ A ε Ð ÓÐ a Σ Ð Ñ Ò ÐÒ ÐÐ Þ Òº Ð Ò Þ ÐÝÓ Ø Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ó Ú Þ Ø Ú Ð Ð ÐÐ Ø ÖÒ Ó Þ Þ Ú Ø Þ ÐÝÓ

19 ¾º¾º ÂÇ ÄÁÆ ýêáë Æ ÄÎ Ã ½ Ó ÓÐ Ð Òµº Ä Ý Ò M = (Q,Σ,δ,q 0,F) Þ Þ Æ ÓÐ Q = V q 0 = S F = {A V A ε R} δ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ú Ò Ò ÐÚ º Å Ò Ò A V ¹Ö a Σ¹Ö δ(a,a) = {B V A ab R}º Æ Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý Ò Þ Ø Ò Ñ Ò Ò u Σ Þ Ö u L(G) ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð u L(M) Ø Ð Ð Ò Ù Ú Ð Þ u Ó Þ Þ Ö Òصº ÞØ ÔØÙ Ø Ø Ó Ý L = L(M) Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÖØÙÒ º ¾º¾º¾º Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ä Ý Ò L 1 L 2 Ø ÒÝ ÐÚº Þ ÓÒ Ø Ò Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò ¹ Ð Ù L 1 L 2 = {uv : u L 1,v L 2 }º L 1 L 2 ÐÝ ØØ ÐØ Ð Ò L 1 L 2 ¹Ø ÖÙÒ º L 1 ÃÐ Ò µ Ø Ö ÐØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò L 1 = {u 1...u n : n 0,u 1,...,u n L 1 }º Þ ÑòÚ Ð Ø Þ ÙÒ Ú Ð Ý ØØ Ð ÓØ Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Øº Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ý Ð ÔÚ Ø ØÙÐ ÓÒ Ó Ý Þ ÖØ ÓÓÐ ¹ Ð ÑòÚ Ð Ø Ö ÙÒ Ñ Ø Þ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÞ µ Ú Ð Ñ Ø ÒØ ÑÐ Ø ØØ Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Ö º Ð Þ Ö ÓÓÐ ¹ÑòÚ Ð Ø Ö Ú Ð Þ ÖØ ÓØ ÞÓÒÝ Ø Ù º Ì Ø Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ ÓÓÐ ¹ Ð ÑòÚ Ð Ø Ö º ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò L 1 L 2 Ø Σ Ð ØØ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚº ÓÖ Ú ÒÒ ÓÐÝ Ò M 1 = (Q 1,Σ,δ 1,q 1,F 1 ) M 2 = (Q 2,Σ,δ 2,q 2,F 2 ) Ú ÙØÓÑ Ø Ó Ý L 1 = L(M 1 ) L 2 = L(M 2 )º Ä Ý Ò M = (Q,Σ,δ,q 0,F) ÓÐ Q = Q 1 Q 2 q 0 = (q 1,q 2 ) δ : Q Σ Q Ú ÒÝ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ú Ò Ò ÐÚ º Å Ò Ò p 1 Q 1,p 2 Q 2 ÐÐ ÔÓØÓ Ö a Σ¹Ö δ((p 1,p 2 ),a) = (δ 1 (p 1,a),δ 2 (p 2,a))º Æ Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý F ¹ Ø F 1 Q 2 Q 1 F 2 ¹Ò Ò Ð Ù ÓÖ Ý ÓÐÝ Ò ÙØÓÑ Ø Ø ÔÙÒ Ñ Þ L 1 L 2 ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº Å Ö ÞØ F ¹ Ø F 1 F 2 ¹Ò Ò Ð Ù ÓÖ Ý L 1 L 2 ¹Ø Ð Ñ Ö ÙØÓÑ Ø Ø ÔÙÒ º Ä Ý Ò ØÓÚ M = (Q 1,Σ,δ 1,q 1, F) ÓÐ F = Q 1 F º à ÒÒÝò Ð ØÒ Ó Ý M Þ L 1 ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº ÅÓ Ø Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Ö º Ì Ø Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Ö º ÞÓÒÝ Ø Ú ÞРص Ä Ý Ò L 1 L 2 Ø Σ Ð ØØ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚº ÞØ Ó Ý L 1 L 2 Ð Ñ Ö Ø Ñ Ö Ð ØØÙ º Ä ØØÙ ÞØ Ó Ý Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ò Ö Ð Ø Ó Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚØ ÒÒ Ðº Ä Ý Ò Ø Ø G 1 = (V 1,Σ,R 1,S 1 ) G 2 = (V 2,Σ,R 2,S 2 ) Ø Ó Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚØ Ò Ñ ÐÝ Ö L 1 = L(G 1 ) L 2 = L(G 2 )º ÐØ Ø Ó Ý V 1 V 2 Þ ÙÒ Ø º Ø ÒÝ ÐÚ ÓÒ Ø Ò Ø Þ G = (V,Σ,R,S 1 ) ÒÝ ÐÚØ Ò Ò Ö Ð Ñ ÐÝ Ò V = V 1 V 2 R¹ Ø Ô Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ô Ù º R Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ G 2 Þ Þ ÐÝ Ø Ú Ð Ñ ÒØ G 1 ÞÓÒ Þ ÐÝ Ø Ñ ÐÝ Ó ÓÐ Ð Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ð Ú Þ Ò º ÌÓÚ G 1 Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò u v Þ ÐÝ Ö Ñ ÐÝÖ v Σ G¹ ÐÚ Þ Þ u vs 2

20 ¾¼ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã Þ ÐÝغ L 1 Ø Ö ÐØ Ø Þ G = (V 1 {S},Σ,R 1,S) ÒÝ ÐÚØ Ò Ò Ö Ð ÓÐ R 1 ¹ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ô Ù º R 1 Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ R 1¹ Ð Þ ÐÝÓ Ø ÔÐÙ Þ Þ S ε Þ S S 1 Þ ÐÝغ ÌÓÚ G 1 Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò u v Þ ÐÝ Ö Ñ ÐÝÖ v Σ G¹ ÐÚ Þ Þ u vs 1 Þ ÐÝغ Ý Σ = {a 1,...,a n } (n 1) Ð ØØ ÒÝ ÐÚ Ø Ö ÙÐ Ö Ò Ò Ú ÞÞ Ñ Ô Ø Þ ÐÐ ØÚ Þ {a 1 },...,{a n } ÒÝ ÐÚ Ð Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Ú ¹ Þ Ñ Ð ÐÑ Þ Ú Ðº à РØÒ Ó Ù Ó Ý Ö ÙÐ Ö ÒÝ ÐÚ Ñ ¹ Ý ÞÒ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ðº ¾º¾º º Ê ÙÐ Ö Þ Þ Ð Ò Ö Ú Ò Ñ ÖØ Ø Ö ÙÐ Ö Þ Øº Å ÒØ Ð ØÒ Ó Ù Þ Þ ÔÔ Ò Ö ÙÐ Ö ÒÝ ÐÚ Ð Ð Ö ÞÓÐ ÐÒ º Ò Ä Ý Ò Σ Ý º Σ Ð ØØ µ Ö ÙÐ Ö Þ REG ÐÑ Þ Ð Þò ÓÐÝ Ò ÐÑ Þ Ñ ÐÝÖ Ø Ð ÐÒ Ú Ø Þ ÐÐ Ø Ó º ½º,ε REGº ¾º Å Ò Ò a Σ¹Ö a REGº º À R 1,R 2 REG ÓÖ (R 1 + R 2 ),(R 1 R 2 ),(R 1) REGº º REG Ñ Ò Ò Ð Ñ Ñ Ô Ø ÒØ Þ ÐÝÓ Ú Þ Ñ Ð ÐÑ ¹ Þ Ú Ðº Þ R Ö ÙÐ Ö Þ ÐØ Ð Ð ÐØ ÒÝ ÐÚ Ø R ¹ Ð Ð Ð º ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò ½º R = a Ú Ð Ñ ÐÝ a Σ¹Ö ÓÖ R = {a} ¾º R = ε ÓÖ R = {ε} º R = ÓÖ R = º R = (R 1 + R 2 ) Ú Ð Ñ ÐÝ R 1,R 2 REG¹Ö ÓÖ R = R 1 R 2 º R = (R 1 R 2 ) Ú Ð Ñ ÐÝ R 1,R 2 REG¹Ö ÓÖ R = R 1 R 2 º R = (R 1) Ú Ð Ñ ÐÝ R 1 REG¹Ö ÓÖ R = R 1 º Ö ÙÐ Ö Þ ÒÒÝ ÓÐÚ Ø Ö Ò Ð Þ Ö ØÒ Ò Ý¹ Ò Þ Ð ÞÓÒÝÓ Þ Ö Ð Ø Þ ÖØ Ñ Ý Þ Ò Ò Ó Ý Ð Ö ÔÖ Ò Ö ÙÐ Ö Þ Ð ÑòÚ Ð Ø Ð ÙØ Ò Ò Ú Ð + к ÌÓÚ Ð Ø ÐØ Ð Ò Ð Ý Ù º È Ð Ä Ý Ò Σ = {0,1} Ø ÒØ Þ Ð Σ Ð ØØ Ö ÙÐ Ö Þ Ø Þ ÐØ ÐÙ Ð ÐØ ÒÝ ÐÚ Øº

21 ¾º¾º ÂÇ ÄÁÆ ýêáë Æ ÄÎ Ã ¾½ ½º (0 + ε)(1 + ε) = {ε,0,1,01} ¾º (0 + 1)(0 + 1)(0 + 1)(0 + 1) = {u Σ l(u) 3} º (ε + 1)(01) (ε + 0) ÒÝ ÐÚ ÞÓ Ø Σ Ð ØØ Þ Ú Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ¹ ÐÝ Ò 0¹ 1¹ ÝÑ Ø Ú ÐØÓ Ø º ((0 + 1)1) ÒÝ ÐÚ ÞÓ Ø Þ Ú Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ò Ñ Ó ÔÓÞ 1¹ º à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ðº Ì Ø Ð Ä Ý Ò Σ Ý º Ý L Σ ÒÝ ÐÚ ÓÖ ÓÖ Ö ÙÐ Ö Ú Ò ÓÐÝ Ò R Σ Ð ØØ Ö ÙÐ Ö Þ Ñ ÐÝÖ R = Lº ÃÐ Ò Ø Ø Ð ÒØ Ø ÖØ Ù Þ ÑÓÒ Þ Ð ÐÐ Ø Øº Ì Ø Ð Ý ÒÝ ÐÚ ÓÖ ÓÖ Ö ÙÐ Ö Ð Ñ Ö Ø Ú ÙØÓÑ ¹ Ø Ú Ðº ÞÓÒÝ Ø Ú ÞРص Þ Ó Ý Ý Σ Ð ØØ Ö ÙÐ Ö Ø Ð Ð ÐØ ÒÝ ÐÚ Ð ¹ Ñ Ö Ø ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ñ ÓÒ ÓÐ Ù Ó Ý Þ Ñ Ò Ò a Σ¹Ö Þ {a} Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ º ÌÓÚ Ñ ÒØ ÞØ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙ Ð Ñ Ö¹ Ø ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Ö º Å Ö ÞØ Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ð Ñ Ö Ø ÓÖ Þ Ø Ð Ñ Ö ÙØÓÑ Ø Ð Ñ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ý Ö ÙÐ Ö Þ Ñ ÐÝ L¹ Ø Ð Ð Ò Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù µº Þ ÓÖ Ò Ñ Ñ ÖØ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ ÖÓÑ Ð Ò Þ ÐРѹ Þ Øº à ÑÓÒ Ø Ù Ø Ø Þ Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝغ Ã Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ä Ý Ò L Ý Ø Ø Þ Ð Σ Ð ØØ ÒÝ ÐÚº ÓÖ Ú Ø¹ Þ ÖÓÑ ÐÐ Ø Ú Ú Ð Ò º ½º L Ð Ñ Ö Ø º ¾º L Ò Ö Ð Ø 3¹ Ø ÔÙ ÒÝ ÐÚØ ÒÒ Ðº º L Ð Ð Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Σ Ð ØØ Ö ÙÐ Ö Þ Ðº ¾º¾º º Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð ÒØ Ø Ö Þ Ð Ò ÑÙØ ØÙÒ Ò ÒÝ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð¹ ÒØ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Øº Þ Ð ÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ý Þ Ðº ÓØØ Ý L Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚº Ì ÖØ ÐÑ Þ¹ Þ L Ð Ð Ý Þ Ø Ð ÐÐ Ö Ý Ø ÙÖ Ð Ø ÞØ Ö Ø ÐØ ÒÒ Þ Ý ÒÝ ÐÚ ÔÓÒØÓ¹ Ò ÓÖ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ð Ð Ý Þ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ñ Þ Ö ÐÑ Þº Ñ ÒØ ÞØ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙ ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚ ÐØ Ð Ò Ú Ø Ð Ò Ð Ñ Þ Ñ

22 ¾¾ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã ÒÝ ÐÚ ÐÝ Ñ ÓÒ Ý ÒÝ ÐÚ ÐØ Ð Ò Ò Ñ Þ Ð Ñ ÜÔÐ Ø Ð ÓÖÓÐ ¹ Ú Ð Ò Ñ Ò ÒÝ ÐÚ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ð ÓØغ Å ÒØ ÞØ ÓÖ Ò Ð ØØÙ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ØÒ Ô Ð ÙÐ Ó Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚØ ÒÓ Ú ÙØÓÑ Ø Ú Ý Ö ÙÐ Ö Þ º Ì Ø Ñ ÓÖ Ð ÖÙÒ ÒØ Ò Ý ÓÖÑ Ð ÒÝ ÐÚÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖ ÐØ Þ Ó Ý ÒÝ ÐÚ Ú Ð Ñ ÐÝ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ð ÓØغ Ì Ø Ð Ä Ý Ò L Ý M Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚº Ð ÒØ Ø Ó Ý L Þ Ö ÐÑ Þ¹ Ú Ý Ñº ÞÓÒÝ Ø Ì Ý Ð Ó Ý Þ L Ý M Ú ÙØÓÑ Ø Ú Ð ÓØغ ËÞ ÑÓÐ Ù Ó Ý M Ñ ÐÝ ÐÐ ÔÓØ Ö Ø Ð Þ ÐÐ ÔÓØ Ð Ý ÐÐ ÔÓØ Ð Ö Ø Ú Ò ÓÐÝ Ò ÒÔÙØ Þ Ñ ÐÝÒ Þ ÐÓÐÚ ÙØ Ò Þ ÙØÓÑ Ø Þ ÓØØ ÐÐ ÔÓØ Ö Ðµº Ä Ý Ò Þ Ý ÔÓØØ ÐÑ Þ Dº Þ ÙØ Ò D Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ØÐ Ò Ú ÐÐ ÔÓØÓØ Ñ ÓÖ L = Ý ÒØ Ô L º Å ÝÞ D ÐÑ Þ Þ ÑÓÐ Þ M ÙØÓÑ Ø Ñ Ö Ø Ò Ú ÒÝ Ò Ò ÝÞ Ø ÒÝòº Ì Ø M n Ö ÐÐ ÔÓØØ Ð Ö Ò Ð Þ ÓÖ D Þ ÑÓÐ Ò Ý Ö Ò Ð n 2 Ð Ô Ø Ú Þ ÒÝ º Å ÒØ ÞØ ÞÓÒÝÓ Ø Ò Ð ØØÙ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ð Ò Þ Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ ÝÑ Ð Ø Ø º Ý Ô Ð ÙÐ ÒÝ ÐÚ Ò Ò Ñ Ú ÙØÓÑ ¹ Ø Ú Ð ÓØØ Ñ Ú ÙØÓÑ Ø Ö Ñ Ö Þ ÓØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ó Ý Ø Ð Ø Ù Þ ÓØØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ò Ñ¹ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÙØÓÑ Ø Ø Ö ÙÐ Ö Þ Ø Ú Ý ÒÝ ÐÚØ Òص Ú ÙØÓÑ ¹ Ø Ú º Å ÐÐ ÞÓÒ Ò Ý ÞÒ Ó Ý Ò Þ Ø Ò Ö Ð ÒØ Ò Þ ÒÝ Þ ÓÞÞ ÐÐ Ú ÒÒ Þ ÓØØ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ð Ø Ò ÒÝ Ø º È Ö Þ Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Þ Ý ÒÝ ÐÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ø Ð Ø Ò º ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ô Ð ÙÐ ÓÖ Ð ØÙ Ù ÒØ Ò ÒÝ ÐÚ Ý Ö ÙÐ Ö Þ Ð ÓØغ Ð Ø ÀÓ Ý Ò Ð ØÒ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ð ÒØ Ò Ó Ý Ý R Ö ÙÐ Ö Þ Ð ÓØØ L ÒÝ ÐÚ Þ Ö ÐÑ Þ¹ Ú Ý Ñ Ú Ø Þ Ð Ø ÒÒ Ð ÒØ Ó Ý Ý L ÒÝ ÐÚ Ø ÖØ ÐÑ Þ¹ Ý ÓØØ u Þ Øº Ì Ø Ð Ä Ý Ò L Ý Σ Ð ØØ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ð Ý Ò u Σ Ý Þ º Ð ÒØ Ø Ó Ý u Ð Ñ ¹ L¹Ò º ÞÓÒÝ Ø Ì Ý Ð Ó Ý Þ L Þ M Ú ÙØÓÑ Ø Ú Ð ÓØغ Ý Þ Öò Ò ÓÐÚ Ø Ù Ð M¹ Ð u¹øº À Þ ÙØ Ò M Ú ÐÐ ÔÓØ Ö Ð ÓÖ u Ð Ñ L¹ Ò Ý ÒØ Ô Ò Ñº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ò Þ ÒÝ Þ u Ñ Ö Ø Ú Ð Ð Ò Ö Ò Ö ÒÝÓ º ÅÓ Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Ò Ð Ø Ð ÒØ Ò ÞØ Ó Ý Ý L Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ú Ø Ð Ò¹ º Ì Ø Ð Ä Ý Ò L Ý Σ Ð ØØ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚº Ð ÒØ Ø Ó Ý L Ú Ø Ð Ò¹ º

23 ¾º º à ÊÆ Ì ÌÄ Æ Æ ÄÎ Ã ¾ ÞÓÒÝ Ø Ì Ý Ð Ó Ý Þ L Þ M Ú ÙØÓÑ Ø Ú Ð ÓØغ Ä Ý Ò Þ ÙØÓÑ Ø ÐÐ ÔÓØ Þ Ñ nº Î Þ Ð Ù Ñ Ó Ý Ú Ò¹ ÓÐÝ Ò u L Þ Ñ ÐÝÖ n l(u) 2n Ø Ð Ðº ÞØ ÒÒÝ Ò Ñ ØÙ Ù Ò ÐÒ Ý Ó Ý Ý Þ Öò Ò Ð ÓÖÓÐ Ù Σ Ð Ð n Ó Þ 2n¹Ò Ð Ö Ú Ð Ñ Ø Ð ÒØ Ó Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Þ Þ Þ Ð Ð Ñ ¹ L¹Ò ÓÖ Ò Ð ØØÙ Ó Ý Þ Ð ÒØ ¹ Ø µº À Ú Þ Ð Ø ÔÓÞ Ø Ú Ö Ñ ÒÒÝ Ð Þ ÖÙÐ ÓÖ L Ú Ø Ð Ò Ð Ñ Þ Ñ Ý ÒØ Ô Ò Ñº Ã Ø Ú ÙØÓÑ Ø Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ò Ú Þ Ò Ó Ý Ñ Ò ØØ Ò Ù Ý Ò ÞØ ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº ÅÓ Ø Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý Ú ÙØÓÑ Ø Ú Ú Ð Ò ¹ ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÒØ Ø º Ý Þ Ð ÒØ Ø Ð Þ Ó Ý Ø Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ñ Ý Þ ¹ º Ì Ø Ð Ä Ý Ò M 1 M 2 Ø Ú ÙØÓÑ Ø º Ð ÒØ Ø Ó Ý L(M 1 ) = L(M 2 ) ÒÒ Ðй º ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò M = (Q 1 Q 2,Σ,δ,(q 1,q 2 ),F) Þ Ú ÙØÓÑ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ ÙÒ Ö Ñ Ø Þ ØÖ Ú Ð Þ ÖØ Ò ÞÓÒÝ Ø ÓÖ ÓÒ Ø¹ ÖÙ ÐØÙÒ º Æ Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý F ¹Ò Þ F 1 (Q 2 F 2 ) (Q 1 F 1 ) F 2 ÐÑ ÞØ Ú Ð ÞØ Ù ÓÖ M Þ (L(M 1 ) L(M 2 )) (L(M 2 ) L(M 1 )) ÐÑ ÞØ Ñ Ö Ðº Î Ð Ó Þ Ó Ý L(M 1 ) = L(M 2 ) ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð L(M) = º ÞØ Ú ÞÓÒØ Ð ØØÙ Ó Ý Þ Þ ÙØ Ý ÒÐ Ð ÒØ Ø Ñ Ð Ú Ø Þ Ó Ý L(M 1 ) = L(M 2 ) Ð ÒØ Ø º ¾º º à ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ý ÒÝ ÐÚ ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò µ Ú Ò Ø Ò Ö Ð ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ¹ Ø Òº Ò Ö Þ Ò Ò Ð Ù Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ø Ñ ÐÝ ÓÐÝ Ò Ú ÙØÓÑ Ø Ò Ð Ö Þ Ñ Ø Ö Ú Ð Ö Ò Ð Þ Ô Ñ ÐÝ ÔÓÒØÓ Ò ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº Å Ú Þ Ð Ù ØÓÚ ÒÝ ÐÚ Ò ÒÝ Þ ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ò ÒÝ ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð¹ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ñ Ò Þ a b a b b a b a a b b b a Î Ó ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ÖÐ γ 2 γ 1 γ 1 γ 2 γ 1 Î Ö Ñ

24 ¾ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã ¾º º½º Î Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø ÒÒÝ Ú Ð ØÙ Ò Ø Ø Ú ÙØÓÑ Ø Ò Ð Ó Ý Þ ¹ Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ð ÞÒ Ð ØÒ Ý ÔÓØ Ò Ð Ò Ú Ø Ð Ò Ú ÖÑ Ø º ÞÞ Ð Ô Ð ÐÚ ÖØ ÞÚ Ñ Ö Ð ÐÑ ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐÚ Ð Ñ Ö Ö Ñ ¹ ÐÝ Ø Ú ÙØÓÑ Ø ÔØ Ð Ò Ð Ñ ÖÒ º Ì ÒØ Ô Ð ÙÐ ÓÖ Ò Ð ØÓØØ ½ º ÓРе L = {0 n 1 n n 0} ÒÝ ÐÚ Ø Þ Ø Ò Ö Ð ÒÝ ÐÚØ Òغ Ä Ø ¹ Ø Ó Ý Þ L¹ Ø Ò Ö Ð ÒÝ ÐÚØ Ò ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Òº Þ ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ú ÞÓÒØ Ó Ý Þ ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ð Ñ Ö Ø º Ä Ý Ò Ù Ý Ò M Ý ÙØÓÑ Ø Ñ Ö Ð ÐØ Þ Ó Ý Ð Ñ Ö L¹ غ Ä Ý Ò N Þ ÙØÓÑ Ø ÐÐ ÔÓØ Þ Ñ º ÆÝ ÐÚ Ò ÓÖ M Ð Ó Þ u = 0 N 1 N Þ Ø º ÌÓÚ ÒÒÝ Ò Ñ ÓÒ Óй Ø Ó Ý Þ u Ð Ö Ø xyz1 N Ð Ò x,y,z {a} µ Ý Ó Ý l(y) 0 Þ x Ú Ð Ñ ÒØ Þ xy Ö Þ Þ ÐÓÐÚ ÙØ Ò M Ù Ý Ò Ò Þ ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Òº Æ Ñ Ò Þ Ð ØÒ ÞØ Ñ Ó Ý Þ Ø Ò M¹Ò Ð ÐÐ Ó Ò Þ Þ xy i z1 N i 0µ Ð Þ Ø Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º Ì Ø Þ L ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Ð Ø Ð Ñ Ö Ø º M Ù Ö Ò Þ Ó Þ Ó Ý Ñ Ú Ð Ò Ú Þ Ñ ÐÐ ÔÓØ Ú Ò Þ ÖØ Ú Þ Ñ 0¹Ø ØÙ Ñ Ý ÞÒ Ñ Þ ÑÓÐÒ µ Þ ÐÐ ÔÓØ Ò Ò Ú ¹ Þ Ø Ò Ð Ð ÒÒÝ Ø ÒÝ ÐÐ ÔÓØ Ú Ò Þ ÐÐ ÔÓØÓÒ Ú Ðµº Ý Ú ÞÓÒØ Ú Þ Ð Ò Þ Ò Ø Ð Ó Þ 0 ÓÖ Þ ÙØÓÑ Ø Ò Ñ ØÙ Ð ÐÐ Ò Ö ÞÒ ÞØ Ó Ý 0¹ ÐÐ ØÚ 1¹ Þ Ñ Ñ Ý Þ ¹ º ÞÞ Ð Þ Ñ Ò Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ô ÖÖ Ó Ý Þ L¹ Ð Þ Ú Ø Ð Ñ Ö Ý Ó Ý Ð Þ Ö Þ Þ 0¹Ø Ð Ö Ý Ú Ö Ñ Ñ Ñ Ò Ò Ý 1¹ ÐÓÐÚ ÓÖ ¹ Ú Þ Ý 0¹Ø Ú Ö Ñ Ðº À Ý Þ ÖÖ Ó Ý Ð Ñ Ò Þ Ñ ÐÓÐÚ ØÐ Ò Ö Þ ÐÐ ØÚ Ö Ð Ú Ö Ñ ÓÖ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ð Ó Ñ Ò Þ Øº Ò ÓÖÑ Ð Ò Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ý P = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) Ö Ò Þ Ö ÓÐ Q,Σ,q 0 F Ù Ý Ò ÞÓ Ñ ÒØ Ú ÙØÓÑ Ø Ø Ò Γ Ú Ö Ñ ¹ Ð Z 0 Ú Ö Ñ Þ Þ Ñ ÐÙÑ δ : Q Σ ε Γ P(Q Γ ) Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ ØØ Σ ε Σ {ε} ÐÑ ÞØ Ð Ð µº P Ñò Ò Ô ÐÐ Ò Ø ÐÚ Ø Ð Ø Ý ÓØØ u Σ Þ Ò ÓÒ ÙÖ Ò Ò Ú Þ¹ Þ º Ý ÓÒ ÙÖ ÖÓÑ ÓÐÓ Ö Ð Ò ÓÖÑ Ø Ñ ÐÝ Ò ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Ò Ô Ñ Þ Ñ Ø Ñ Ò Ñ ÓÐÚ ÓØØ Ð Ñ Ò Þ Ð Ñ Ú Ò Ú Ö Ñ Òº ÓÖÑ Ð Ò Ý ÓÒ ÙÖ Ý (q,w,γ) ÖÑ ÓÐ q Q w Σ γ Γ º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý P ÓÖ Ñ Ø Ø Ý ÓÒ ÙÖ Ð Ý Ñ ÞØ Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ñ Ò º ÒÒ Ð Ô Ò P Ý ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò ¹ Ø Ø Ð µ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Ð Ù º Ä Ý Ò (q,vw,xβ) (p,w,αβ) Ø ÓÒ ÙÖ P ¹Ò ÓÐ v Σ ε X Γº ÓÖ (q,vw,xβ) (p,w,αβ) ÐØ Ú Ó Ý (p,α) Ð Ñ δ(q,v,x)¹ò º Ä Ý Ò C C P Ø ÓÒ ÙÖ º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý P Ú Ó Ð Ô Ò Ð ÙØ C¹ Ð C ¹ Ð C 1 C n µ Ú Ò ÓÐÝ Ò n 0 C 1,...,C n ÓÒ ÙÖ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý C 1 = C C = C n Ñ Ò Ò 1 i n¹ö C i C i+1 º P ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ø Ø Ñ ÓÒ Ò Ð Ù º P ÐØ Ð Ú ÐÐ ÔÓØØ Ð

25 ¾º º à ÊÆ Ì ÌÄ Æ Æ ÄÎ Ã ¾ Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ L f (P) = {u Σ (q 0,u,Z 0 ) (q,ε,α)} ÓÐ q F º P ÐØ Ð Ö Ú Ö ÑÑ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ L (P) = {u Σ (q 0,u,Z 0 ) (q,ε,ε)} ÓÐ q Q Ø Ø Þ ÙØÓÑ Ø Ò Ò Ñ ÐÐ ÐØ ØÐ Ò Ð Ú ÐÐ ÔÓØ Ö ÞÒ Ú ÖÑ Ø ÐÐ Ö Ø Ò º Å Ú Ð Ö Ú Ö ÑÑ Ð Ø ÖØ Ò Ð Ñ Ö ÓÖ Þ ÙØÓ¹ Ñ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ ÐÑ Þ Ò Ò Ò Þ Ö Ô Ý ÞØ ÐÑ ÞØ ÐÝ Ò ÓÖ Ò Ñ ÐÐ Ñ Ò º È Ð Ì ÒØ Ñ ÒØ Þ L = {0 n 1 n n 0} ÒÝ ÐÚ Øº L¹ Ø Ú Ø Þ P Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ñ Ö Ð Ú ÐÐ ÔÓØØ Ðµº 0, 0/00 q 0 0,Z 0 /0Z 0 q 1 ε,z 0 /ε 1,0/ε q 2 1,0/ε Å Ý ÞÞ Ó Ý L (P) = L {ε} Ñ Ú Ð Þ Ö Þ Ò Ñ ÒØ Ñ Ò Ø Ò P Ò Ñ ØÙ Ö Ø Ò Ú ÖÑ Ø Þ ÐØ Ð Ö Ú Ö ÑÑ Ð Ò Ñ ØÙ Ð Ñ ÖÒ ε¹øº Ö ÒØ Ò Ò Ø Ð Ò Þ Ñ ÓÒ Ò ÐØÙ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ð¹ Ø Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ø Ñ ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Þ Ò Ñ Ð ÒØ Ð Ò Ø Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ø ÒØÚ º ÞÓÒÝ Ø Ø Þ Ð Ø Ø Ðº Ì Ø Ð Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ð Ú ÐÐ ÔÓØØ Ð Ð Ñ Ö Ø ÐÐ ØÚ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ ¹ Ø Ð Ö Ú Ö ÑÑ Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ý Þ º Ñ ÒØ Þ ÒØ Ò Ð Ð Ø Þ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ý Ò Ñ Ø ÖÑ ¹ Ò ÞØ Ù ÑÓ ÐÐ Ý Ñ ÒØ Ú Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÙØÓÑ Ø º ÁÒ¹ ÓÖÑ Ð Ò Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Þ ØÙ Ð ÓÒ ÙÖ Ð Ñ Ò¹ Ð Ð Ý Ú Ø Þ ÓÒ ÙÖ Ð Ô Øº ÓÖÑ Ð Ò Ý P = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ ¹ Ö Þ Ð Ø ÐØ Ø Ð Ø Ð Ðº Ä Ý Ò q Qº ½º Å Ò Ò a Σ ε,b Γ ØòÖ δ(q,a,b) 1º ¾º Å Ò Ò a Σ,b Γ ØòÖ δ(q,a,b) ÓÖ δ(q,ε,b) = º

26 ¾ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã Ñ Ú ÙØÓÑ Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ò Ñ Ð ÒØ ØØ Ð Ñ Ø Ø Þ ÙØÓÑ Ø Ð Ñ Ö Ö Ö Ò ÞÚ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ø ÖÓÞÓØØ Ò Ú ÒÝ ÐÚ Ø Ô Ð Ñ ÖÒ Ñ ÒØ Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù º Ä Ý Ò Ô Ð ÙÐ L = {uu 1 u {0,1}} ÓÐ w 1 Þ w Ñ ÓÖ Ø Ø Ð Ð º Þ ÒÝ ÐÚ Ð Ñ Ö Ø Þ Ð Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù µ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ú Ð ÓÐ Þ ØÑ Ò Ø Ò Þ x Ø Ø Þ Ð {0,1} y Ô {0,1,Z 0 } ÐÑ Þ Ð Ð Ñº x, y/xy 0,0/ε 1,1/ε q 0 q 1 q 2 ε,y/y ε,z 0 /ε Å Ö ÞØ ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý L Ò Ñ Ñ Ö Ø Ð Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ú Ö Ñ Ù¹ ØÓÑ Ø Ú Ðº Ø Ø Ú Ø Þ Ø Ø Ðº Ì Ø Ð Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ú Ð ¹ Ö Þ ÐÑ Þ Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù µ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ò º ÅÓ Ø Ö Ø Ö Ò ÒÝ ÐÚ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Þ ØØ Ô ÓÐ Ø Ú Þ Ð Ø Ö º Æ ÝÓÒ ÓÒØÓ Þ Ð Ø Ø Ðº Ì Ø Ð ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ñ Ý Þ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ó ÞØ ÐÝ Ú Ðº ÞÓÒÝ Ø Ú ÞРص Þ Ý Ö ÒÝ ÞÓÒÝ Ø Ù Ò Ú Þ Ø Ò ÞØ Ó Ý Ó¹ Ý Ò Ð Ø Ý L ÒÝ ÐÚ Þ Ñ Ò Ý ÓÐÝ Ò Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ø Ø Ñ ÔÓÒØ L¹ Ø Ñ Ö Ðº Å Ú Ð L Ý ÒÝ ÐÚ Ú Ò ÓÐÝ Ò G = (V,Σ,R,S) ÖÒÝ Þ Ø ¹ ØÐ Ò ÒÝ ÐÚØ Ò Ñ ÐÝÖ L(G) = Lº Å ÙÒ Ý P Ö Ú Ö ÑÑ Ð Ð Ñ Ö Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ø Ñ G ÓÐÝ Ò Ð Ú Þ Ø Ø Þ ÑÙÐ Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ò Ð¹ Ö Ð Ð Ð Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ú Ò ÐÝ ØØ ØÚ Þ ÐÝ Ò Ð Ú Þ Ø Ø Ú Ù ÐÓÐ Ð Ð Ú Þ Ø Ò µº ÓÖÑ Ð Ò P Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ò Ð Ø º Ä Ý Ò P = ({q},σ,v Σ,δ,q,S) ÓÐ δ Ú Ø Þ Ú Òݺ Å Ò Ò A V ¹Ö δ(q,ε,a) = {(q,β) A β R}º ÌÓÚ Ñ Ò Ò a Σ¹Ö δ(q,a,a) = {(q,ε)}º Ð Ø Ø Ó Ý Ý u Σ Þ Ø ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ñ Ö Ð P u Ð Ú Þ Ø Ø S¹ к È Ð Ì ÒØ Ñ Ø Þ L = {0 n 1 n : n 0} ÒÝ ÐÚ Ø Þ Ø Ò Ö Ð G = ({S}, {0,1}, {S 01S,S ε},s) ÒÝ ÐÚØ Òغ Ð ÒÝ ÐÚØ Ò Ð ÒØ Ø Ø Ð ÞÓÒÝ Ø Ð Ô Ò Þ Ð L¹ Ø Ð Ñ Ö Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ñ º q 0 ε,s/0s1 ε,s/ε 0,0/ε 1,1/ε

27 ¾º º à ÊÆ Ì ÌÄ Æ Æ ÄÎ Ã ¾ ¾º º¾º ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ ØÙÐ ÓÒ ÅÓ Ø ÞÓÒÝ ØÙÒ Ò ÒÝ ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Þ ÖØ ØÙÐ ÓÒ Óغ Ì Ø Ð ÒÝ ÐÚ Þ ÖØ Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Ö Ò Ñ Þ ÖØ Ñ Ø Þ Ø ÓÑÔÐ Ñ Ò ÔÞ Ö º ÞÓÒÝ Ø Ö ÙÐ Ö ÑòÚ Ð Ø Ö Ú Ð Þ ÖØ Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÞÓÒÝ Ø ¹ Ø º Ä Ý Ò L 1 L 2 Ø ÒÝ ÐÚ G 1 = (V 1,Σ,R 1,S 1 ) G 2 = (V 2,Σ,R 2,S 2 ) Ø ÒÝ ÐÚØ Ò Ñ ÐÝ Ö L 1 = L(G 1 ) L 2 = L(G 2 )º ÐØ Ø Ó Ý V 1 V 2 = º G 1 ¹ Ð G 2 ¹ Ð Ñ ÓÒ ØÖÙ Ð Ù Þ L 1 L 2 L 1 L 2 ÐÐ ØÚ L 1 ÒÝ ÐÚ Ø Ò Ö Ð ÒÝ ÐÚØ ÒÓ Ø Þ Ð Ñ ÓÒº Ð Þ Ö Ú Ý Ò Ý ÓÐÝ Ò S Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ø Ñ Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ð V 1 V 2 ¹ Òº ÞÙØ Ò Ð Ý Ò G = (V 1 V 2,Σ,R 1 R 2 {S S 1,S S 2 },S) G konk = (V 1 V 2,Σ,R 1 R 2 {S S 1 S 2 },S) G iter = (V 1,Σ,R 1 {S SS 1,S ε},s)º Þ Ó Ý ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Þ ÖØ Ñ Ø Þ Ø ÔÞ Ö Ú Ø Þ Ð Ó Ý Þ L = {a n b n c n n 1} ÒÝ ÐÚ Ò Ñ ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò L Ð Ö Ø Ø ÒÝ ÐÚ Ñ Ø Þ Ø ÒØ L = L 1 L 2 ÓÐ L 1 = {a n b n c i n 1,i 1} L 1 = {a i b n c n n 1,i 1}º Þ ÙØ Ò Þ Ó Ý ÒÝ ÐÚ Ò Ñ Þ ÖØ ÓÑÔÐ Ñ Ò ÔÞ Ö Ñ Ö ØÖ Ú Ð º ¾º º º ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð Òع Ø Ö Ò Ö Þ Ò Ñ Ú Þ ÐÙÒ Ò ÒÝ ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð ÒØ Ø ¹ Ö Øº Ì Ø Ð Ð ÒØ Ø Ó Ý Ý L ÒÝ ÐÚ Ö ¹ º ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò L Ý ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ø Ý Ð Ó Ý L Ý G = (V,Σ,R,S) ÒÝ ÐÚØ ÒÒ Ð ÓØØ Þ Þ L = L(G)º Æ Ú ÞÞ G Ý A Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ø Ø ÖÑ Ò Ð Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò u Σ Þ Ó Ý A u Ø Ð ¹ к Ú Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Þ Ñ Ø Ù G Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ò V t ÐÑ Þ Øº ½º Ä Ý Ò V 1 = {A V Ú Ò A x Þ ÐÝ R¹ Ò Ý Ó Ý x Σ } Ä Ý Ò i = 1 ¾º Ä Ý Ò V i+1 = V i {A V Ú Ò A α Þ ÐÝ R¹ Ò Ý Ó Ý α (V i Σ) }

28 ¾ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã º À V i+1 = V i ÓÖ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ÐÐ Ý ÒØ Ð Ý Ò i = i + 1 Ù Ö ¾¹Ö à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò i 0 1 Þ Ñ Ó Ý V i0 = V i0+1º ÞØ Ñ Ò Þ Ð ØÒ Ó Ý ÓÖ V t = V i0 º Þ ÙØ Ò L = ÓÖ ÓÖ Ø Ð Ð S V t º Å Ý ÞÞ Ó Ý ÒØ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙØ Ò ÒÝ G Ñ Ö Ø Ú Ð Ò Ý¹ Þ Ø Ò Ö ÒÝÓ ØØ ÑÓ Ø Ñ Ö Ø Ð ØØ V Þ ÑÓ Ø ÖØ µº ÅÓ Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ù Ñ Ó Ý Ó Ý Ò ÒØ Ø Ð Ø ÖØ ÐÑ Þ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÝ ÐÚ Ø Òº Þ Ð Þ Ö Ò ÐÙÒ Ý ÒÝ ÐÚØ ÒÓ ÓÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ø ÓÑ Ý ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Øº Ò Ä Ý Ò G = (V,Σ,R,S) Ý ÒÝ ÐÚØ Òº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý G ÓÑ Ý ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò Ú Ò Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð Ø Ð ÐÒ º R¹ Ò Ñ Ò Ò Þ ÐÝ A BC Ú Ý A a Ð ÓÐ A B C Ò ÑØ ÖÑ Ò Ð Ó a Ô Ý Ø ÖÑ Ò Ð º Þ Ò ÐØ Ø Ð Ð Ð Þ S ε Þ ÐÝ Ð Ø Ú Ø Ð Þ Ø Ò S Ò Ñ ÓÖ ÙÐ Ø Ð Þ ÐÝ Ó ÓÐ Ð Òº Ì Ø Ð Å Ò Ò ÒÝ ÐÚØ Ò ÓÞ Ñ Ø Ý Ú Ð Ú Ú Ð Ò ÓÑ Ý ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÓÖÑ Ò Ð Ú ÒÝ ÐÚØ Òº Æ ÞÞ Ó Ý Þ ÙØ Ò Ó Ý Ò Ð Ø Ð ÒØ Ò Ø ÖØ ÐÑ Þ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ý ÒÝ ÐÚØ Ò Ø Òº Ì Ø Ð Ä Ý Ò L Σ Ý ÒÝ ÐÚØ Ò u Σ Ý Þ º Ð ÒØ Ø Ó Ý u L ÒÒ Ðй º ÞÓÒÝ Ø Ì Ý Ð Ó Ý L Ý G = (V,Σ,R,S) ÓÑ Ý ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò Ð Ú ÒÝ ÐÚØ ÒÒ Ð ÓØغ À u = ε ÓÖ u L ÓÖ ÓÖ S ε Ð Ñ Þ R¹Ò º Þ ÙØ Ð ÒØ Ø Ø Ø u L Ð ÒØ Ø º Ý ÒØ Ô Ð Ý Ò n > 0 Þ u Þ Ó Þ º Æ Ñ Ò Þ Ð ØÒ n Þ Ö ÒØ Ø Ð Ò Ù Ú Ðµ Ó Ý S u ÓÖ Ð Ú Þ Ø Ó Þ 2n 1 ØØ ÑÓ Ø Ð Ú Þ Ø Ó Þ Ò ÞØ Þ ÑÓØ ÖØ ÒÝ ÞÓÖ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ú Þ Ø Ö Ð Ð ÐÑ Þ Ö Ö ÐØ Ð Ú Þ Ø Òµº Þ ÙØ Ò ÓÞ Ó Ý Ð ÒØ Ú ÓÒ u L ÒÒ Ðй Ð Ñ Ú Þ ÐÒ G S¹ Ð Ò ÙÐ 2n 1 Ó Þ Ð Ú Þ Ø Øº ÁÐÝ Ò Ð Ú Þ Ø Ô Ú Ó Ú Òº Å Ý ÞÞ Ó Ý Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ n Ú ÒÝ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð Ø Ø Ý ¹ ÓÖÐ Ø Ò Ò Ñ Þ Ò Ð ÐÑ Þ Ø º Î Ò ÞÓÒ Ò Ö Ð ÒØ Ö ÔÓÐ ÒÓÑ ò Ð ÓÖ ØÑÙ ÐÝ Ò Ô Ð ÙÐ Þ Òº à РÓÖ ØÑÙ Ñ ÐÝ O(n 3 ) Ò Ô Ð ÒØ Ò ÞØ ÔÖÓ Ð Ñ Øº Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò ÒÝ ÐÚ Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ñ Ö Ñ Ð ¹ Ô Ò Ú Ö ÒØ Ø Ðº Þ Ð Ð ÓÖÓÐØ ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ð Ô Ð ÙÐ Ý Ñ Ð ÒØ Ø º ½º Ö ¹ Ø ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ Ñ Ø Þ Ø

29 ¾º º à ÊÆ Ì ÌÄ Æ Æ ÄÎ Ã ¾ ¾º Å Ý Þ ¹ Ø ÖÒÝ Þ Ø ØÐ Ò ÒÝ ÐÚ º Å Ý Þ ¹ Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Σ ¹ Ð

30 ¼ ¾º  ̺ ÇÊÅýÄÁË Æ ÄÎÁ Ä ÈÁËÅ Ê Ì Ã

31 º Þ Ø Þ Ñ Ø Ø ÐÑ Ð Ø Ð Ô ÅÓ Ø ØØ Ö Ò ÒÒ Ú Þ Ð Ø Ö Ó Ý Ñ ÐÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ð Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ò Þ Ñ Ø Ò Ñ ÐÝ Ø Ò Ñº Þ Ú Þ Ø Ò Ý Þ ÞØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ ÐÝ Þ ÒÝ ÐÚ Ø Ð Ñ Ö Þ Þ Ò Þ Ð Ð Ò ÝÓ Þ Ñ Ø Ö Ú Ð Ö Ò Ð Þ º Ñ ÒØ ÖÖ Ð Ú Þ Ø Ò Þ ÚÓÐØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ý Ð ÐØ Ð ÒÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÑÓ Ðк Ò Ö Þ Ò Ñ Ú Þ Ð Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Ò Þ Ú ÐØÓÞ Ø Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú Ú Ð Ò Ø Ò ÒÝ Ñ Ð Ó¹ Ö ØÑÙ ÑÓ ÐРк ÞÙØ Ò Ö Ø Ö Ò Þ Ð ÒØ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Þ ØØ Ô ÓÐ Ø Ú Þ Ð Ø Ö º Ò Ñ ÞØ Ú Þ ÐÒ Ó Ù Ó Ý Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÒÒÝ Ð Ô ¹ Ò ÐÐ ØÚ Ñ ÓÖ Ø Ö Ð ÞÒ Ð Ú Ð Ó Ð Ý Ñ Ò Þ Ø Þ Ó Þ ¹ Ò Ú ÒÝ Òº Á Þ Ð Ò Ñ ÔÓÒØÓ ¹ Ø Ö ÒÝÖ Ð Þ Ñ Þ ¹ Ò Ò Ñ Þ Ò Ý Ö Ò Ö Þ ÖØ Ú Þ Ø Ú Ø Þ Ó ÐÑ Øº Ò Ä Ý Ò f,g : N R + Ú ÒÝ ÓÐ N Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ R + Ô Ò ÑÒ Ø Ú Ú Ð Þ ÑÓ ÐÑ Þ º ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý f Ð Ð ÓÐÝ Ò ÝÓÖ Ò Ò Ñ ÒØ g Ð Ð f(n) = O(g(n))µ Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò c > 0 Þ Ñ n 0 N Ó Ý f(n) c g(n) Ñ Ò Ò n n 0 Þ ÑÖ º È Ð 3n 3 + 5n = O(n 3 ) 123n = O(n 2 ) n k = O(2 n ) Ñ Ò Ò k 0¹Ö log 2 n = O(n) log log n = O(log n)º º½º ÌÙÖ Ò ¹ Ô À ÓÒÐ Ò Ú ÙØÓÑ Ø ÓÞ Ú Ý Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø ÓÞ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ú Ó ÐÐ ÔÓØØ Ð Ö Ò Ð Þ Þ Þº ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý Ý Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ ÓÐ ÓÞ º Þ Ð ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ô ÓÖÐ ØÐ Òµ Ñ Ñ Ö º à ޹ ½

32 ¾ º  ̺ ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á Ø Ò Þ Ð ÓÒ Ñ Ò Þ Ú Ò Ñ ÐÝ Þ Ð Ð Ú Ò ÐÝ Þ Ðº Ô Òº Ö ¹ÓÐÚ Ñ Ò Þ Ð Øò Ò ÐÐ Ô Þ ÐÐ ¹ ÔÓØ Ò Ú Òº Þ Ð Ñ Ò Þ Ò Ú Ð Ö Þ Ö µ Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þº Ô Þ Ö ¹ÓÐÚ Ø Ø Ø Þ Ð Ò Ô ÑÓÞ ØÒ Þ Ð ÓÒ Ø ÒÒÝ Ó Ý Ò Ñ Ø Ð Þ Ð Ð ÓÐ Ð Ò Þ Þ Þ Ð Ð Ð Ò Ú Ò ÓÖ Ô Ò Ñ ØÙ Ø ÐÖ Ð ÔØ ØÒ º Ô Ô ØÓÚ ÔÓÞ Ò Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ Ø ÓÐÚ Ò Ø ÖÒ º ÔÒ Ú Ò Ø Ø ÒØ Ø ØØ ÐÐ ÔÓØ q i q n ÐÐ ÔÓØÓ º À Þ Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ö Ð Ô ÓÖ Ö Ò Ö Ð Ó ÐÐ ØÚ ÐÙØ Ø Ñ Ò Þ Øº ÓÖÑ Ð Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ò Ð Ù º Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý ÓÐÝ Ò M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,q i,q n ) Ö Ò Þ Ö ÓÐ Q Þ ÐÐ ÔÓØÓ Ú Ò Ñ Ö ÐÑ Þ q 0,q i,q n Q q 0 Þ ¹ q i Þ Ð Ó q n Þ ÐÙØ Ø ÐÐ ÔÓØ Σ Γ Ñ Ò Ð ÐÐ ØÚ Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ Ý Ó Ý Σ Γ Γ Σ Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý Ô Ð Þ Ñ ÐÙÑÓØ δ : (Q {q i,q n }) Γ Q Γ {L,R} Þ ØÑ Ò Ø Ú Òݺ Ý Ñ ÒØ Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ø Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñò Ò Þ Ø Ô ÓÒ ÙÖ Ú Ð Ö Ù Ð º ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÒ ÙÖ Ý uqv Þ ÓÐ q Q u,v Γ v εº Þ ÓÒ ÙÖ Ô ÞÓÒ ÐÐ ÔÓØ Ø Ø Ö Þ Ñ ÓÖ Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ uv uv ÙØ Ò Þ Ð ÓÒ Ñ Ö Ú Òµ Ô q ÐÐ ÔÓØ Ò Ú Ò Ô Ö ¹ÓÐÚ v Ð Øò Ö ÑÙØ Øº Ô Þ ÓÒ ÙÖ Ý ÓÐÝ Ò q 0 u Þ ÓÐ u Σ Ð Øò Ø Ø ÖØ ÐÑ Þº Ý ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø Ø Þ Ð Þ Ö ÒØ Ò Ð Ù º Ò Ä Ý Ò uqav Ý ÓÒ ÙÖ ÓÐ a Γ u,v Γ º À δ(q,a) = (r,b,r) ÓÖ uqav ubrv ÓÐ v = v v ε Ð Ò Ò v = º ÅÓ Ø Ø Ý Ð ÞØ Ó Ý δ(q,a) = (r,b,l)º Ò Þ Ø Ò u ε ÓÖ uqav u rcbv ÓÐ c Γ u c = u Ý ÒØ Ô uqav urbvº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M Ú Ó Ð Ô Ò Ð ÙØ C ÓÒ ÙÖ Ð C ÓÒ ¹ ÙÖ Ð C C µ Ú Ò ÓÐÝ Ò n 0 C 1,...,C n ÓÒ ÙÖ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý C 1 = C C = C n Ñ Ò Ò 1 i < n¹ö C i C i+1 º À q {q i,q n } ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ uqv ÓÒ ÙÖ Ý Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ º q = q i Ø Ò Ð Ó Ñ q = q n Ø Ò ÐÙØ Ø ÓÒ Ù¹ Ö Ö Ð Þ Ð Ò º Þ M ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ñ Ø L(M)¹Ñ Ð Ð Ð Ò µ ÞÓ Ò Þ u Σ Þ ¹ Ú Ò ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ö Þ Ó Ý q 0 u xq i y Ú Ð Ñ ÐÝ x,y Γ,y ε Þ Ú Ö º È Ð Ì ÒØ Þ L = {u#u u {0,1} + } ÒÝ ÐÚ Øº Þ L Ð Ñ Ö Ø Ý ÓÐÝ Ò ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Ñ ÐÝ Ú Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ö ÒØ Ñò º

33 º½º ÌÍÊÁÆ ¹ È Ã ½º Î ÓÐÚ Ú Þ ÒÔÙØÓØ ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ð Ó Ý Þ ÔÓÒØÓ Ò Ý #¹Ø Ø ÖØ Ð¹ Ñ Þ¹ º À Ò Ñ ÓÖ ÐÙØ Ø Ù Ñ Ò Ø Øº Ý Ð Ñ Ñ Þ Ð Ð Ô Ò Ñ ÐÐ Ð ÐÒ Þ ÒÔÙØ Ð Øò Ø Ð Ò Ò Ô Ò Ñ Ó ØÙ Ò Ñ ÓÖ ÖØ Ú Þ Þ Ð Ö º Ø Ò Ò Þ Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý Ø Ö Ù Þ Ð ØòØ ¹Ö Ý ÐÐ ÔÓØ Ò Ñ Ý ÞÞ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò Þ Ñ ÐÙÑÓØ Ø Ö ÐØ Ò º ¾º Þ Ð ÓÒ Ó ¹Ú Þ Ð Ú ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ð Ó Ý # Ó Ð ÓÐ ¹ Ð Ò Þ ÝÑ Ò Ñ Ð Ð ÔÓÞ ÓÒ Ù Ý Ò ÞÓ Þ Ñ ÐÙÑÓ Þ Ö ¹ Ô ÐÒ ¹ º Þ Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý Ð Þ Ö # Ð ÓÐ Ð Ò Ø Ö Ù ÓÖÓÒ Ú Ø Þ ØòØ x¹ö Ô Þ ÐÐ ÔÓØ Ò Ñ ÝÞ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò ØòØ ÖØ Ø ÐÝ Ò ØòØ Ó Ö Ò # Ó ÓÐ Ð Òº À Ø Ð Ð ÐÝ Ø ÓÖ Ø Ö x¹ö Ý ÒØ Ô ÐÙØ Ø Ñ Ò Ø Øº ÞÙØ Ò Ô Ú Þ Ñ Ý Þ Ð Ö Þ Ö ÑÓ Ø Ú ÞÓÐØ ÑòÚ Ð Ø Øº º À # Ð ÓÐ Ð Ò Ñ Ò Ò Þ Ñ ÐÙÑ Ø Ö ÓØØ x¹ö ÓÖ Ð ÐÐ Ò Ö ÞÞ Ó Ý # Ó ÓÐ Ð Ò Ú Ò¹ Ñ Ð ÓÐ ÓÞ ØÐ Ò Øò ÓÐÝ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ø ÖÚ x¹ö µº À Ò ÓÖ ÐÙØ Ø Ù Ñ Ò Ø Ø Ý ÒØ Ô Ð Ó Ù º Þ Ð Ö Ò Þ L¹ Ø Ð Ñ Ö ÌÙÖ Ò ¹ Ô δ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ð Ø Ø Ô ÐÐ ÔÓØ ÐÑ Þ Ñ Ò ¹ ÐÐ ØÚ Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Ð ÓÐÚ Ø Þ Ö Ö Ð Ô Þ ÐÐ ÔÓØ q 1 ÐÐ ÔÓصº Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ý Ö Ð Ú Ò Ñ Ú Ñ Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ ÐÐ ÖØ ÐÑ ÞÒ º Ä Ý Ò q p Ô Ø ÐÐ ÔÓØ a,b Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ D Ô Ý {L,R}¹ Ð Ö Òݺ ÓÖ Þ Ö Ò Ý q¹ Ð p¹ Ú Þ Ø Ð a/b,d Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý δ(q,a) = (p,b,r)º Ô Ò Ñ Ö ÞÓÐØ ØÑ Ò Ø δ Ò Þ Ö ÒØ ØÓØ Ð Ú ÒÝ ÐÐ Ó Ý Ð Ý Òµ q n ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ØÒ º 0/x, R 0/0, R 1/1, R 0/0, R 1/1, R 0/0, L 1/1, L #/#, L 0/0, R 1/1, R x/x, R #/#, R /, L /, R #/#, R q 3 q 5 q 7 q 9 q 11 1/, R 0/x, L 0/0, L 1/1, L q 1 q 12 x/x, L 1/x, L 0/, R #/#, R /, L /, R #/#, R #/#, L q 2 q 4 q 6 q 8 q 10 /, R q 13 0/0, R 1/1, R 0/0, R 1/1, R 0/0, L 1/1, L #/#, L 0/0, R 1/1, R x/x, R x/x, R 1/x, R q 14 #/#, R /, R x/x, R q i

34 º  ̺ ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á Ô Þ Ñ Ø Ø 01#01 Þ Ò Ú Ø Þ ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø Ð Ð Ø Ð ¹ ÖÒ º q 1 01#01 q 2 1#01 1q 2 #01 1#q #01q 4 1#0q q 6 1#01 q 8 1#01 1q 8 #01 1#q q 12 #x1 2 q 12 1#x1 q 13 1#x1 xq 9 #x1 x#xx q i. Ì Ø Ô ÐÝ Ò Ð Ó 01#01 Þ Øº Å ÝÞ ËÞÓ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ý Ò ÐÒ Ó Ý Ô Ö ¹ÓÐÚ Ô Ý ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ñ Ö Ò º Æ Ñ Ò Þ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý Ý ÐÝ Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ ÑÙÐ Ð Ø Ý ÓÐÝ ÒÒ Ð Ñ Ó Ö Ú Ý ÐÖ Ð Ô Øº ÅÓ Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ú Ð Ò Ð Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø ÐÐ ØÚ Þ Ð¹ ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ Øº Á Þ Ó Ý ÓÖ Ò Ñ Ö Ò ÐØÙ Þ Ø ÒÝ ÐÚÓ ÞØ ¹ ÐÝÓ Ø ½ ¹ ÓÐ ÐÓÒµ Ò Ñ Ö Ð Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ ÞÞ Ð Ò Ú Ð Ñ ÓÒ ÓÐ Ù Ó Ý ÙÖ ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ ÖØ ÐÑ Ò Ñ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ø ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº Ò Ý L Σ ÒÝ ÐÚ ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø L = L(M) Ú Ð Ñ ÐÝ M ÌÙÖ Ò ¹ ÔÖ º ÌÓÚ Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø Ð Ø Þ ÓÐÝ Ò M ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ ÐÝ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ ÙØ Ð Ñ Ö Þ L¹ غ ÌÙÖ Ò ¹ Ð Ñ Ö Ø ÒÝ ÐÚ Ø ÞÓ Ö ÙÖÞ Ú Ò Ð ÓÖÓÐ Ø Ò Þ Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚ Ø Ô Ö ÙÖÞ ÚÒ Ò Ú ÞÒ º Å Ý ÞÞ Ó Ý ÒØ Ô Ð Ò Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò Ñ Ð Ñ Ö Ò Ñ Ð ÒØ Þ L ÒÝ ÐÚ Øº ÅÓ Ø Ò Ð Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÙØ Ò ÒÝ Øº Ò Ì ÒØ Ò Ý M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,q i,q n ) ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø ÒÒ Ý u Σ Ñ Ò Þ Ú Øº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M ÙØ ÒÝ µ Þ u Þ Ò n n 0µ M q 0 u Þ ÓÒ ÙÖ Ð n Ð Ô Ò Ð ØÙ ÙØÒ Ý Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ º À Ò Ò ÐÝ Ò Þ Ñ ÓÖ M ÙØ Þ u¹ò Ú Ø Ð Òº Ä Ý Ò f : N N Ý Ú Òݺ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý M ÒÝ f(n) Ú Ý Ó Ý M Ý f(n) ÓÖÐ ØÓ Ôµ Ñ Ò Ò u Σ ÒÔÙØ Þ Ö M ÒÝ Þ u Þ Ò Ð Ð f(l(u))º È Ð Ì ÒØ Ö ÒØ Ô Ð Ò Ð Ø Ø L ÒÝ ÐÚ Ø Þ Ø Ð ÒØ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Øº à ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ô ÒÝ Ý u#u n Ó Þ Þ Ò Ú Ø¹ Þ ÔÔ Ò Ð Ùк Þ ÒÔÙØ Ð ÐÐ Ò ÖÞ 2n Ð Ô º Ý Øò Ô Ö Þ ÓÒÐ Ø Ñ Ò ÑÙÑ 2( n 2 +1) n 2 Þ n 2 Þ Ö Þ Ø Ð Ð µ Ñ Ü ÑÙÑ 2n Ð Ô ØØ Ð Ò Ó Ý Ñ ÐÝ ÔÓÞ Ò Ð Ø ÖØÙÒ Þ Þ ÓÒÐ Ø Òµº

35 º¾º ÃÄ Æ ÌÍÊÁÆ ¹ È ÎýÄÌÇ ÌÇÃ Þ Ð Ð ÖØ ÐÐ Ò ÖÞ Ø Ô n 2 Ø Ò ÐÐ Ú Ö Ø Ò º Ì Ø Ô Þ Ñ Ø Þ u#u Þ Ò Ò Ý Ö Ò Ð 2n + n 2 2n Þ Þ n2 + 2n Ð Ô Ð Ðк À Ô Þ Ð Ò ÓÐÝ Ò u Þ Ø Ô Ñ Ò Ø ÒØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ñ L¹Ò ÓÖ Øò Ô ÖÓ Ð ÐÐ Ò ÖÞ n 2 ¹Ò Ð Ú Þ Ö Ø Ú Ö º Å Ò Þ Ð Ú Ø Þ Ó Ý Þ L ÒÝ ÐÚ Ð ÒØ Ø Ý O(n 2 ) ÓÖ¹ Ð ØÓ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº º¾º Ã Ð Ò Þ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú ÐØÓÞ ØÓ Ò Þ Ø Ò Ñ Ú Þ ÐÙÒ Ò ÒÝ Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð Ò Þ Ú ÐØÓÞ Ø Þ Ðº Þ Ô Ö ÐØ Ð ÒÓ Ò Ú ÒÒ Ò ÐÚ Ñ Ø Ñ ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ð Ò Ñ Ò Ú Ú Ð Ò Ú Ð º º¾º½º Ì Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò ÝÒ Ð Ø Þ Ð Ð Ö Ò Ð Þ¹ Ò º Å Ò Ý Þ Ð ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ý Ö ¹ÓÐÚ Ñ ÐÝ ÝÑ Ø Ð ¹ ØÐ Ò Ð Ô ÑÓÞÓ Ò Ó Ö ÐÖ Ú Ð Ñ ÒØ Ô ÖÖ Ó Ý Ý ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ñ Ö Ò º Ò Ä Ý Ò k > 1º Ý k¹ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ý ÓÐÝ Ò M = (Q,Σ,Γ,δ, q 0,q i,q n ) Ö Ò Þ Ö ÓÐ ÓÑÔÓÒ Ò δ Ú Ø Ð Ú Ð Ñ Ý ÞÒ Þ Ý¹ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÑÔÓÒ Ò Ú Ð δ Ô Ú Ø Þ ÔÔ Ò º δ : (Q {q i,q n }) Γ k Q Γ k {L,R,S} k º ÁØØ Þ S Þ Ñ ÐÙÑ ÞØ Þ ¹ Ø Ø Ð Ð Ñ ÓÖ Þ Ö ¹ÓÐÚ ÐÝ Ò Ñ Ö º Ä Ý Ò q,p Q¹ Ð ÐÐ ÔÓ¹ ØÓ a 1,...,a k,b 1,...,b k Γ¹ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ D 1,...,D k Ô {L,R,S}¹ Ð Ö ÒÝÓ º À δ(q,a 1,...,a k ) = (p,b 1,...,b k,d 1,...,D k ) ÓÖ Ô q ÐÐ ¹ ÔÓØ Ð Þ Ð Ò Ö Ò Ö Þ a 1,...,a k Øò Ø ÓÐÚ Ø ØÙ Ñ ÒÒ p ÐÐ ÔÓØ Ñ Þ Ò Þ a 1,...,a k Øò Ø Ø Ö b 1,...,b k Øò Ö Þ Ð ¹ Ó ÓÒ Ø D 1,...,D k Ö ÒÝÓ ÑÓÞ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ 1 i k Ø Ò D i = S ÓÖ Þ i¹ Þ Ð ÓÒ ÐÝ Ò Ñ Ö µº Ö Þ Ý Þ Ð Ó Ø Ò Ò Ñ ÑÓÞ ÙÐÒ ÐÖ Þ Ð Ð Ð Ò ÐÐÒ º Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÒ ÙÖ ÓÒ ÙÖ ØÑ Ò Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ð Ñ ÖØ ÐÐ ØÚ Ð ÒØ ØØ ÒÝ ÐÚ Ò Þ Ý Þ Ð Ó Ø ÖØ Ð Ñ Þ Öò ÐØ ¹ Ð ÒÓ Ø º Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÑÓ ÐÐ ÒÝ Ø Þ Ý Þ Ð Ó ÓÞ ÓÒÐ Ò Ò Ð Ù º ØÓÚ Ò Ý L ÒÝ ÐÚ Ø f(n) Ò Ð ÒØ Ø Ò Ò Ú Þ Ò Ð Òع Ø Ý f(n) ÓÖÐ ØÓ Ö Ø Þ Ð Ó µ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº È Ð Ì ÒØ Ö Þ L = {u#u u {0,1} + } ÒÝ ÐÚ Øº Þ Ð Ø Þ ¹ Ð Ó Ô Þ ÒØ Ò L¹ Ø ÒØ Ðº Ô δ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ú Ø Þ Ñ ÓÒ ÓÐÚ Ø Þ Ö Ðº Ä Ý Ò q p Ô Ø ÐÐ ÔÓØ a 1,a 2,b 1 b 2 Þ ¹ Ð Þ Ñ ÐÙÑÓ D 1 D 2 Ô {L,R,S}¹ Ð Ö ÒÝÓ º À Þ Ö Ò Ú Þ Ø

36 º  ̺ ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á q 0 0, /0, #, S, R 1, /1, #, S, R 0, /0, 0, R, R 0, /0,, R, S 1, /1, 1, R, R 1, /1,, R, S q 2 #, /#,, R, S, /,, L, L q 3 0, 0/0, 0, L, L 1, 1/1, 1, L, L q 4 #, #/#,#, S, S q i Ð q¹ Ð p¹ Þ Ð Ñ a 1,a 2 /b 1,b 2,D 1,D 2 ÓÖ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý δ(q,a 1,a 2 ) = (p,b 1,b 2,D 1,D 2 )º Ô Ò Ñ Ö ÞÓÐØ ØÑ Ò Ø ØØ q n ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ØÒ º Ô Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ñò º Ð Þ Ö Ö Ý # Þ Ñ ÐÙÑÓØ Ñ Ó Þ Ð Ö Ñ Ð ÐÚ ÞÞ Ð 2¹ Þ Ð ÓÒ Þ Ð Øº ÞÙØ Ò ØÑ ÓÐ # ÐÓÐ Ð Ò Ð Ú Þ Ø 2¹ Þ Ð Ö º Å ÐÑ Ý Þ Ð Þ Ð ÓÒ Þ Ú Ö Ñ Ò Ø Þ Ð ÓÒ Þ ÙØÓÐ Ò Ñ Þ Ñ ÐÙÑÖ Ðк Î Ð Ñ Ò Ø Þ Ð ÓÒ ÐÖ Ð Ô Ú Þ ÓÒÐ Ø Þ Ð Þ Ð ÓÒ #¹Ø Ð Ó Ö Ð Ú Þ Ø 2¹ Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Ú Ðº À Ø Þ Ð ÓÒ Ý Þ ÖÖ ÓÐÚ Ò #¹Ø ÓÖ Ô Ð Ó Ð Ò Ò ÐÙØ Øº Ô ÒÝ Ø Ý n Ó Þ Þ Ò ÒÒÝò Þ ÑÓÐÒ Þ Ð Ð n 2 +n+1 Ð Ô º Ì Ø L Ý O(n) Ú Ý Ð Ò Ö Ò Ð ÒØ Ø ÒÝ ÐÚº Ö ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Þ Ð Ð Ý Þ Öò Ò Ô Ð Ñ ÖÒ Ý ÒÝ ÐÚ Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Þ Ñ Ø Ö Ò Ñ Ò Þ ÐØ Ð Ó Ý ÞØ Þ Ð Ø Ø Ð ÞÓÒÝ ¹ Ø Ò Ð ØÒ Ó Ù º Ã Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ú Ú Ð Ò Ò Ò Ú Þ Ò Ù Ý Ò ÞØ ÒÝ ÐÚ Ø Ñ Ö Ðº Ì Ø Ð Å Ò Ò k¹ Þ Ð Ó f(n) ÓÖÐ ØÓ ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ú Ò Ú Ð Ú Ú Ð Ò Ý Þ Ð Ó O(f(n) 2 ) ÓÖÐ ØÓ ÌÙÖ Ò ¹ Ôº ÞÓÒÝ Ø Î ÞРص Ä Ý Ò M Ý k¹ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú Ð Ñ ÐÝ k 2¹Ö º Å ÙÒ Ý M Ý Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ô Þ ÑÙÐ ÐÒ M Ñò غ Þ ÑÙÐ ØÐ Ø Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º M ÝÑ ÙØ Ò Ø ÖÓÐ Þ Ð Ò M Þ Ð Ò Ø ÖØ ÐÑ Øº Ð Ò Þ Þ Ð Ó Ø # ÐÐ Ð Ú Ð ÞØ Ð ÝÑ Ø Ðº ÞØ Ó Ý M Þ Ð Ò Ñ ÐÝ Þ Ñ ÐÙÑÓ Ö ÑÙØ ØÒ M Ý Ø ÖØ Þ ÑÓÒ Ó Ý Ö Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø Ñ Ð Ð Ý ˆ ÐРк Ì Ø M Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Þ ØØ Þ M Þ Ð Þ Ñ ¹ ÐÙÑ Ñ ÐÐ ØØ ÓØØ Ú Ò Ñ # Þ Ñ ÐÙÑ Ú Ð Ñ ÒØ M Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Ò Ý ˆ¹Ô Ð Ñ Ð ÐØ Ú ÐØÓÞ Ø º Þ ÑÙÐ Ð Ô Ú Ø Þ º Ä Ý Ò w = a 1...a n M Ý Ñ Ò Þ Ú º ½º M Ð Þ Ö Ð ÐÐ Ø Þ Ð Ò M Þ ÓÒ ÙÖ Ø #â 1 a 2...a n #ˆ #ˆ...#º ¾º M Ý Ð Ô Ò Þ ÑÙÐ Ð ÓÞ M Ú ÓÐÚ Þ Ð Ø Þ Ð #¹Ø Ð

37 º¾º ÃÄ Æ ÌÍÊÁÆ ¹ È ÎýÄÌÇ ÌÇà M a a M # ˆ # 1 1 ˆ0 1 # a â # Þ Ú Þ ÙØÓÐ k+1¹ µ #¹ º Þ Ò Þ ÐÐ ÔÓØ Ò ÐØ ÖÓÐ ÔÓÒØØ Ð Ñ Ð ÐØ Þ Ñ ÐÙÑÓ ÔÓÒØ Ò Ð Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ø M ÐÐ ÔÓØ Ý Ú ÒÒ Ò ÐÚ Ó Ý Ñ Ò Ý Ô Ø ÖÓÐÒ M k Ö Þ Ð Þ Ñ ÐÙÑ Øµº º M ÞÙØ Ò Þ ÐÐ ÔÓØ Ò ÐØ ÖÓÐØ ØÓ M ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ð Ô Ò Ú Ö Ø Ø Þ Ð Ò ÞÓ Ø Ñ Ó Ø Ó Ø Ñ ÐÝ Ø M Ú Þ Þ Ð Òº º À M Ú Ð Ñ ÐÝ Þ Ð Ò Þ ÙØÓÐ Ò Ñ Þ Ñ ÐÙÑ ÓÐÚ ÙØ Ò Ó Ö Ð Ô ÓÖ M Ñ Ð Ð #¹Ø Ð Þ Ú Ó Ö ÑÓÞ Ø Ý ÔÓ¹ Þ Ú Ð Þ Ð Ò Ø ÖØ ÐÑ Ø Ð Þ ÙÐØ ÐÝÖ Þ Ö Ý ˆ Þ Ñ ÐÙÑÓغ º À M Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ð Ó Ú Ý ÐÙØ Ø µ Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ ¹ Ö Ð ÓÖ M Ñ Ð Ð Ñ ÐÐ ÓÒ ÙÖ Ð Ôº Ý ÒØ M ÓÐÝØ Ø M Ð Ô Ò Þ ÑÙÐ Ð Ø ¾º ÔÓÒØØ Ðº Ä Ø Ø Ó Ý M ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ð Ô Ð Ó ÐÐ ÔÓØ Ñ ÓÖ M Ø Ø L(M) = L(M )º ÌÓÚ Ò Ñ Ò Þ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý M f(n) ÓÖ¹ Ð ØÓ ÓÖ M O(f(n) 2 ) ÓÖÐ ØÓ º º¾º¾º ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð Ð ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò Ð Ø Ý Ó Ý Ò Ñ Ý Ý Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ¹ ÓÒ Ò Ñ Ý Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Ò ÓÐ ÓÞ º ÓÖ ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÖÐ ØÐ ÒÙÐ Ð Ô Ø Ó Ö ÐÐ ØÚ ÐÖ Þ Ð Ò Ñ ÒØ Þ Ú Ö Ø Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð Ð Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ñ Ø Ö Ñ Ò ÝÓ Ñ ÒØ Þ Ý Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ô º

38 º  ̺ ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á Ì Ø Ð Å Ò Ò Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ Ú Ò Ú Ð Ú Ú Ð Ò ÌÙÖ Ò ¹ Ôº ÞÓÒÝ Ø Ú ÞÐ Ø Ú Ø Þ º Ä Ý Ò M Ý Ø Ö ÒÝ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ñò ÌÙÖ Ò ¹ Ôº Ð M¹ Þ Ñ ÓÒ ØÖÙ ÐÒ Ý Ú Ú Ð Ò M Ø Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ ÖØ ÞØ Ñ Ö ØÙ Ù Ó Ý M ¹ Þ Ñ Ø Ý Ú Ð Ú Ú Ð Ò Ý Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ôº M Ñò Ò Þ Ð Ô ØÐ Ø Ú Ø Þ º M Ø Þ Ð Ð Ö Ò Ö Þ Ð¹ ÐÐ ØÚ Ñ Ó Þ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð M Þ Ð Ò ÞÓÒ Ö Þ Ø Ñ ÐÝ M Þ ÓÒ ÙÖ Ò Ø Ð Ó Ö ÐÐ ØÚ ÐÖ Þ Ö Ô Ðº Ñ ÓÖ M Þ ÔÓÞ ÓÞ Ô Ø Ó Ö ÓÐ ÓÞ ÓÖ M Þ Ð Þ Ð ÓÒ Ð Ñ ÓÐ M Ñò غ Ñ ÓÖ M Þ ÔÓÞ Ø Ð Ý Ø ÐÖ Ð Ô ÓÖ M Ñ Ó Þ Ð Ò Þ Ð ÓÐ ÓÞÒ Ý Ó Ý M Ñ Ò Ò Ý ÓÐÝ Ò Ð Ô Ø Ñ ÐÝ Þ ÔÓÞ Ø Ð ÐÖ Ð Ú Þ Ð Ö Þ Ò ÓÐ ÓÞ Ý Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ø ÖØ Ò ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ Ð Ô Ð Þ ÑÙÐ Ð º À Ý Þ Ö Ö Þ ÔÓÞ Ø Ð Ó Ö Ð Ú Þ Ð Ö Þ Ò Þ Ð ÓÐ ÓÞÒ ÓÖ M Ö Þ Ð Þ Ð Ò Þ Ð Þ ÑÙÐ ÐÒ M Ñò غ Å Ò Þ Ò M ÐÐ ÔÓØ Ø ¹ ÖÓÐ M ÐÐ ÔÓØ Ø ÔÐÙ Þ Ñ ÞØ Þ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ý M ¹Ò Þ Ð Þ Ð ÓÒ Ú Ý Ñ Ó ÓÒ Ðй ÓÐ ÓÞÒ º º¾º º Æ Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ì ÖÑ Þ Ø Ò ÌÙÖ Ò ¹ ÔÒ Ð Ø Þ Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ú ÖÞ º Ò Þ Ð Þ Ø Ò Þ Ð Ô Ð Ñ Ö Ò Ñ º Ý M Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ ¹ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ δ : (Q {q i,q n }) Γ P(Q Γ {L,R}) Ð º Ì Ø M Ñ Ò Ò ÓÒ ÙÖ Ð Ò ÒÝ ØÐ ÒÙÐÐ µ Ð Ò Þ ÓÒ ÙÖ Ñ Ø Øº ÁÐÝ Ñ ÓÒ M Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ý u Þ Ò Ý Ú Ð Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð Ø º M Þ ÓÒ ÙÖ Þ ÔÓÒØ Ô M ÓÒ ÙÖ º Ñ Ò Ò Ð Ú Ð Ñ Ð Ð M Ý Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ò Þ u¹òº Î Ð M ÓÖ Ó Ð u¹ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ð Ú Ð Ð Ó ÓÒ ÙÖ º Æ Ú ÞÞ ÞØ ÑÓ Ø Ð ÖØ Ø M Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Þ Ñ Ø Ò Þ u¹òº Þ M ÐØ Ð Ð Ñ ÖØ ÒÝ ÐÚ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ø Þ ÓÒÐ Ò Ò Ð Ø Ô ÐØ Ð Ð ÒØ ØØ ÒÝ ÐÚ Ô Ú Ø Þ ÔÔ Òº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ý Ò Ñ¹ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ð ÒØ Ý L Σ ÒÝ ÐÚ Ø Ð Ñ Ö Ñ Ò Ò u Σ Þ Ö M Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ú Ð Ó Ú Ý ÐÙØ Ø ÓÒ Ù¹ Ö Ú Þ ØÒ º Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ò ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ø Ö ÞØ Ø Ø Þ Ð Ó ØÖ º È Ð Þ Ð ÌÙÖ Ò ¹ Ô Þ L = {ww w {a,b}} ÒÝ ÐÚ Ø ÒØ Ð Ò Ñ Ð ÐØ ØÑ Ò Ø q n ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ØÒ µº Ô q 0 ÐÐ ÔÓØ Ò Ð Þ ÓÐÚ Ò Ñ Ò Þ Ø Ñ Ð Ð Þ Ð Ø Ñ q 1 ÐÐ ÔÓØ Ò ØÓÚ ÓÐÚ Þغ Å Ò Þ Ò ØÑ ÓÐ Þ Ñ Ö ÐÓÐÚ ÓØØ Ö Þ Ø Ñ Ó Þ Ð Ö º q 1 ¹ Ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ò ÒØ Ø Ý Ó Ý Ý Þ Ñ ÓÐ Ø ØÑ Ý q 2 ÐÐ ÔÓØ º ÁØØ ÐÑ Ý Þ Ð Þ Ð ÓÒ Þ Ú Ö Ñ Ó Þ Ð ÓÒ ÐÝ Ò Ñ Ö º À Þ Ú Ö ÖØ Þ Ð Þ Ð ÓÒ ÓÖ ØÑ Ý

39 º¾º ÃÄ Æ ÌÍÊÁÆ ¹ È ÎýÄÌÇ ÌÇà q 3 ¹ ÓÐ Ð Þ Þ ÓÒÐ Ø Ò Þ Ð Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Øº À Ý ÓÖÑ Ò Ø Ð Ð Ø ÓÖ Ð Ó Ñ Ò Ø Ø Ý ÒØ Ô ÐÙØ Ø º À Ñ Ò Þ Ð Ñ ÒÝ ÐÚÒ ÓÖ Ð Þ ÔÒ Ý ÓÐÝ Ò Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Þ Ð Ò Ð Ý Þ Ñ ÓÐ Ø Ò Þ Ø Ò Þ Ð Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ù Ý Ò Þ Þ Ð Þº Ì Ø Ô Ð Ó Ñ Ò Ø Ø Ø ÒØ Ø Ò Ð Ð ÖÖ Ó Ý Þ Ò Þ Þ Ø Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø ÖØ Ð Ò Ð Þº q 0 a, /, â, R, R b, /,ˆb, R, R a, /, a, R, R b, /, b, R, R a, /a,, R, S b, /b,, R, S a, /, a, R, S b, /, b, R, S q 1 q 2, /,, L, L a, a/a, a, L, L b, b/b, b, L, L q 3, /,, R, R q i, â/, â, R, R,ˆb/,ˆb, R, R q 4 a, â/a, â, L, S b,ˆb/b,ˆb, L, S Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÒÝ Ø Ú Ø Þ Ñ ÓÒ Ò Ð Ù º Ä Ý Ò f : N N Ý Ú ÒÝ M Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ôº ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Þ M ÒÝ f(n) Ý n Ó Þ Ñ Ò Ø Ò Ò Ò Ò M¹Ò n¹ò Ð Ó Þ Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø º Þ Ð Ô Ð Ò Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô O(n) Ò ÒØ Ð Þ L ÒÝ ÐÚ Øº ÅÓ Ø Ð Ø Ù Ó Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞÑÙ Ò Ñ Ð ÒØ ÔÐÙ Þ Þ Ñ Ø Ö Ø ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Òº Ì Ø Ð Å Ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ú Ú Ð Ò Ý Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ¹ к ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò M Ý Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù ÌÙÖ Ò ¹ Ôº Å ÙÒ Ý M ÖÓÑ Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ô Ø Ñ Ú Ú Ð Ò M ¹Ñ к ÞØ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙ Ó Ý M ¹ Þ Ñ Ø Ý Ú Ú Ð Ò Ý Þ Ð Ó ÌÙÖ Ò ¹ Ôº M Ð Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ u Ñ Ò Þ Øº Ñ Ó Þ Ð ÓÒ Ø ÖØ Ò Þ M Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ò Þ ÑÙÐ º Þ Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ M Ý ÓÒ Ö Ø Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ò Ð Ô Ò ÒØ Ö Ñ ÒÝ Øº ÖÑ Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Ð Ô Ò Þ ÑÙÐ Ð M Þ M Ý Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Øº Þ Ð ÓÒ ÔÓÞ ÑÙØ Ø ÞØ Ó Ý Ñ ÐÝ Ð Ô Ò Ð Ø ÖØ M Þ ÑÙÐ Òº ÖÑ Þ Ð ÓÒ ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Þ u¹ø Ð Ó ÓÒ ÙÖ Ý Þ Ð Ö Ø ÖØ Ò Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Þ Ñ Ø Òº M Ý ÓÒ ÙÖ Þ Ð Ö Ò Ð Ø Ø º

40 ¼ º  ̺ ÃÁË ýå ÌÀ Ì Ëý ÄÅ Ä Ì Ä È Á M a b a b Ñ Ò Ø x x a b Þ ÑÙÐ Þ Ð Þ ÑÙÐ Ð Ò Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Ä Ý Ò b Þ M ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ ÐØ Ð Ñ ÓØØ ÐÑ ÞÓ Þ Ð Ð Ò ÝÓ Ð Ñ Þ Ñ Ò Þ ÑÓ º Ì Ý Ð ØÓÚ Ó Ý Þ ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ ÐØ Ð Ñ ÓØØ ÐÑ ÞÓ Ò Þ Ð Ñ Ò Ú Ò Ý Ö Þ Ø ØØ ÓÖÖ Ò º Ý Þ u Ò Ñ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Þ Ñ Ø Ò Ñ Ò Ò Þ ÔÓÒØ ÓÞ ÓÞÞ Ö Ò Ð ¹ Ø Ò Ý Σ = {1,2,...,b} Ð ØØ Þ Øº È Ö Þ Ò Ñ ÐØ ØÐ Ò Ð Ñ Ò Ò Σ¹ Ð ØØ Þ Ó ÓØ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÒ Ò Þ Ò Ñ Ó ÓÞ Ñ ÓÒ Óغ Þ ÑÙÐ Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ø ÖØ Ò º ½º Ã Þ Ø Ò Þ 1¹ Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ w Ñ Ò Þ Ø ¾¹ ¹ Þ Ð Ó Ö º ¾º M Þ Ð Þ Ð Ø ÖØ ÐÑ Ø Ö Ñ ÓÐ Ñ Ó Þ Ð Ö º º M Þ ÑÙÐ Ð ¾¹ Þ Ð ÓÒ M Ý Þ Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø Øº Þ Ó Ý Ñ ¹ ÐÝ Ø ÐÐ Þ ÑÙÐ ÐÒ ¹ Þ Ð ÓÒ Ð Ú Þ Ø Ð º M Þ ÑÙÐ Ñ Ò Ò Ð Ô Ð ØØ Ñ Ò Þ ¹ Þ Ð Ò Ð Ú Þ Ú Ø Þ Øò Ø Øò Þ Ö ÒØ Ñ Ý Þ Ñ Σ¹ е Ú Ð ÞØ M ØÑ Ò Ø Ú ÒÝ Ò Ð Ø Þ Ðº À Ò Ò Ñ Ð Ð ÓÖ Þ Ñ Ú Ð ÞØ Ð Ø Ú Ý ¹ Þ Ð ÓÒ Ñ Ö Ò Ò Ø Øò ÓÖ Þ ÑÙÐ Ú Ø Ö Ù Ö ¹ Ð Ô Ö º À Ð Ô Þ ÑÙÐ Ð ÓÖ Ò M ÐÙØ Ø ÓÒ ÙÖ Ö Ð ÓÖ Þ Ò¹ Ø Ò Ù Ö ¹ Ð Ô Ö º Î Ð Ð Ó ÓÒ ÙÖ Ö Ð M ÓÖ M Ð Ó ÓÒ Ù¹ Ö Ö Ð Ñ Ðк º M Ö Ð ¹ Þ Ð Ò Ð Ú Þ Ø Þ ÞØ Ð Ø Ù Ò Ú Ø Þ Ö ¾¹ ÔÓÒØÖ Ù ÓÖÚ Ö Þ M Ñò Ò Þ ÑÙÐ Ð Ø Þ Ò Þ Ð Ô Òº Ä Ø Ø Ó Ý M ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ð Ð Ó ÐÐ ØÚ ÐÙØ Ø ÓÒ ÙÖ ¹ Ñ ÓÖ M M Ò Ñ ÐÐ Ñ Ñ Ò Þ Ò ÓÖ M Ñ ÐÐ Ñ º Ã Ú Ø Þ Ø Ø Ó Ý M M Ú Ú Ð Ò º Æ Ñ ÞÓÒÝ Ø Ù ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý M Ý f(n) ÒÝò ÌÙÖ Ò ¹ Ô ÓÖ M 2 O(f(n)) ÒÝòº ËÔ Ð Ò M ÔÓÐ ÒÓÑ ÒÝò ÓÖ M ÜÔÓÒ Ò Ð ÒÝò Ð Þº

41 º º ÀÍÊ À¹ÌÍÊÁÆ Ì ÁË ½ º º ÙÖ ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ Å ÒØ ÞØ Ñ Ö ÓÖ Ò Ð ØØÙ ÙÖ ¹ÌÙÖ Ò Ø Þ ÞØ ÑÓÒ Ó Ý ¹ Þ Ñ Ø Ø Ð Ò Þ Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ñ Ò Þ Ø Ú Ò Þ Ñ Ø Ø Ú ÒÝ Ó ÞØ ÐÝ Ø Ò Ð º Ø Þ Ø Ô Ö Þ ÓÖÑ Ð Ò Ò Ñ Ð Ø ÞÓÒÝ Ø ¹ Ò Þ Ò Þ Ó Ý Ú Ð Ñ Ø Ú Ò Þ Ñ Ø Ø Ý ÒØÙ Ø Ú Ó ÐÓѺ Ø Þ ÞÓÒÝ Ø Ú ÞÓÒØ Ø Þ ØØ Þ Ó Ý Ñ Ò Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ¹ÑÓ ÐÐÖ Ð ¹ Ö ÐØ Ó Ý Ú Ú Ð Ò ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ðº Ò Ö Þ Ò Ñ ÖØ Ø Ò Ò ÒÝ ÌÙÖ Ò ¹ ÔÔ Ð Ñ Ý Þ Þ Ñ Ø Ö Ú Ð Ö Þ Þغ º º½º Ì Ú ÖÑ ÙØÓÑ Ø Ø Ú ÖÑ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ý Ø ÐØ Ð ÒÓ Ø º Å Ò Ò k > 1 Þ ÑÖ k¹ú ÖÑ ÙØÓÑ Ø Ý ÓÐÝ Ò Ú ÐÐ ÔÓØØ Ð Ð Ñ Ö Ò Ñ¹ Ø ÖÑ Ò ÞØ Ù Ú Ö Ñ ÙØÓÑ Ø Ñ Ò ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò k Ö Ú ÖÑ Ú Òº Þ Ð Ö Ò Ý ¹Ú ÖÑ ÙØÓÑ Ø Ú ÞÐ Ø Ð Ø Ø Ñ Ò Þ a b a b b a b a a b b b a Î Ó ÐÐ ÔÓØ Ú Þ ÖÐ γ 2 γ 1 γ 1 γ 2 γ 1 γ 1 γ 2 γ 1 γ 2 γ 1 γ 1 γ 2 Î Ö Ñ½ Î Ö Ñ¾ Î Ö Ñ Ø Ú ÖÑ ÙØÓÑ Ø Ñ Ò Ò Ú ÖÑ Ù Ý Ò ÞØ Ú Ö Ñ Ø ÞÒ Ð º Þ ÙØÓÑ Ø ÓÒ ÙÖ ¹ ØÑ Ò Ø Þ ÔÔ Ò ÓÐÚ ÓØØ Ñ Ò Þ Ñ ÐÙÑØ Ð Þ Ð Ø ε µ Ú ÖÑ Ð Ø Ø Ò ÐÐ Þ Ñ ÐÙÑÓ Ø Ð Ú Ð Ñ ÒØ Þ ÙØÓÑ Ø ÐÐ ÔÓØ Ø Ðº