t 2 t 1 x(t + t) x(t). t v(t) = (v x (t), 0, 0)

Átírás

1 Å Ò ÒÝ Ð Ú Ð Þ ÐÐ Ø Ò Þ Ñ ÒÒÝ Ñ ÖØ Ý Þ Þ Ð ÒØ Ø ÖÑ Þ ØØ Ò Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ý º Þ Ø Ö Ý Ø Ô Þ Ø ÖÑ Þ Ø¹ Ò Ð ÓÖ ÙÐ Ñ Ö Ø Ö ÔÖÓ Ù Ð Ø Ð Ò Ý Ö Þ º ýðø Ð Ò Ò Ñ Ñ Ò Þ ÓÐÝ Ò Ð Ò Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ñ ÐÝ ÓÖ Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Þ ÒÝ Ó Ñ Þ Ø Ø Ð º Þ Ý Ð ÓÒØÓ¹ Ð Ñ Ñ Ö º Ñ Ö ÓÖ Ò Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ñ ÒÒÝ Ø Ôк Ó Þ ÓØ Ø Ñ Ø Ñ Ö Ð Ø Ø Ø º Ñ Ö Ò º Ñ ÖØ Þ Ñ ÖØ Þ ÓØØ Þ Ñ ÒÒÝ Ý Ò Òº Ø ÐÓÒÒ Ø Þ Ö Ú Ý ÒÝ º Ó Þ Ø ÐÓÒ Ñ Ø Ö Ø Ñ Ø ÐÓÒ ÐÓ Ö ÑѺ Þ Ø ÐÓÒ Þ ÓØØ Þ Ñ ÒÒÝ Ò Ý Ò ÒÝ Ò Ú Ð ÞØÓØØ Ý º Þ Ý Ú Ð ÞØ Ò ÞÓÒ Ò Ú ÒÒ Ý ÓÖÐ Ø Ð Ð Ñ Ò Ó Óй Ø ÐØ Ø Ð º Þ Ý Ò Ñ Ö¹ Þ Ð Ò ÐÐ Ð ÒÒ º Þ ÖØ Ôк Ó Þ Ý Ð Ò Ñ Ò Ó ÓÐØ Ñ Ø Ð Ò Ý ÓÞÑ Ù Ñ Ö Øòµ Ñ Ø Ð ÒÝ Ñ ÖÓ Þ ÓÔ Ù µ Ý Ø Ú Ð ÞØ Ò º Ú Ø Þ ÐØ Ø Ð Þ Ý ÖØ ÐÑò Ð ÐÐ Ø Ø Ñ ÐÝ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý ÐÐ Ñ Ö ØØ Ð Ö Ò Ð ÞÚ Ö ÔÓÒØÓ Ò Ð ØÙ ÐÐ Ø Ò Ñ Ø ÖØ ÐÓ Ö ÑÑÓغ º º º Ó Þ Ý Ø Ñ Ø ÖØ Ý ÐÐ ØÓØØ Ð Ó Ý Ð Ð Ö Ø Ú ØØ Ð ÔÙÐ ÒÒ Ó Þ Ø Ó ÞØÓØØ Ñ ÓÐÝ Ò Ý Ø Ò Ñ ÔØ Ñ ÐÝ Ñ Ø Ð ÒÝ Ñ Ø Ð Ò Ý Þ Ñ Ö Ñ Ö Ø Þ Ú ÞÓÒÝ ØÚ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ó Þ Ø Ñ Ö Ð ÔÓÒØÓ Ò Ñ ÖÒ ÐÐ Øغ ÐÓ Ö ÑÑ Ý Ð Ý Ñ Ø Ö Ø Ö Ó Ø +4 ¹Ó Ñ Ö¹ Ð Øò Ú Þ Ø Ñ Ø Ú Ð ÞØÓØØ º Þ Ý Ø Ð Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Ò Ô Ö Ù Ð Þ ÖÑ ÞØ ØØ º Þ Ñ ÒÒÝ Ý Ò ÑÓ ÖÒ ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ð ÐØ Ö º ÒÒ Ó Ó Ý Ð Ý ÒÐ Ø ¹ Ò Ó Þ Ø ÝÖ ¹ÔÓÒØÓ Ò ØÙ Ù Ñ ÖÒ Þ ÖØ Ñ ÖØ Ò ÐÐ Ò Ò Ú ÐØÓÞØ ØÒ ÐÐ Ò Ñ Ø Ö Ó Þ Øµº Ð Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Ò Ô Ö Ù Ô Ñ ÖØ Ò ÐÐ Ò Ò Ú ÐØÓÞ º Þ ÖØ Þ ÙØ ÚØ Þ Ò Þ Ñ ÒÒÝ Ø ÓÐÝ Ò Ø ÖÑ Þ Ø ÐÐ Ò Ð ÓÞØ Ô ÓÐ Ø Ñ ÐÝ Ð Ó ØÙ ÙÒ Þ Ö ÒØ Ò Ñ Ú ÐØÓÞÒ º Ó Þ Ý Ø ÒÝ Ð Þ Ø Ô Þ ÙÑ ØÓÑ ÐØ Ð Ó ØÓØØ Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÙÐÐ Ñ Ó Þ Ù ÖÞ Ô Ö Ù Ú Ð ÓÞØ Ô ÓÐ Ø º Å Ú Ð Þ Ñ ÒÒÝ Ñ Ö Þ Ð ÓÞÑ Ù Ò ÝÓÒ Ò Ýµ Ú Ý Ñ ÖÓ Þ ÓÔ Ù Ò ÝÓÒ ¹ Òݵ Ð Ò ÞÒ Ð ØÙ ÒÝ ÐÑ ØÐ Òº Þ ÖØ Þ Ñ ÒÒÝ Ñ ÖØ Ý Ø Ð Ø Ó Ð ÔÖ ¹ ÜÙÑÓ Ðµ Ð Ø Ù Ðº Þ Ð Ø Ó Ø Þ Ð Ò Þ ØÚ ÒÝ Ð Ò Ò Ú Ú Ò Ôк 10 3 à ÐÓ 10 6 Å Ì Ö º 10 3 Ñ ÐÐ 10 6 Ñ ÖÓ µµ 10 9 Ò ÒÓ Ô Óº Ð Ú Ö Þ Ð Ñ ÐØ Þ Ð Ø Ó ÞÓ Ó Ð Ð Ø Ã Å Ì Ñ µ Ò Ôº Ý Þ Ñ ÒÒÝ Ñ Ò Ø Ö Þ Ð ÐÐ Þ ËÁ Þ Ñ ÒÒÝ = Ñ Ö Þ Ñ Ñ ÖØ Ý Ñ ÐØ Ð ÒÓ Ò Ð Ó ÓØØ Ñ ÖØ Ý Ö Ò Þ Ö Þ ËÁ Ñ ÐÝ Ð Ô Þ Ø Ñ ÒÒÝ Ð Ðк Þ ËÁ¹Ø Ñ Ö Ò Þ ÖÒ Ò Ú Þ Ñ Ø Ö¹ ÐÓ Ö Ñѹ Þ ÙÒ Ùѹ ÑÔ Ö Þ Ú Þ Ø Ð Ô Òµº Þ Ð ÔÑ ÒÒÝ Ú Ø Þ Ð ÔÑ ÒÒÝ Ò Ú Ð Ñ ÖØ Ý Ñ ÖØ Ý Ð Ó Þ Ð Ñ Ø Ö Ñ Ø Ñ Ñ ÐÓ Ö ÑÑ Ø ÙÒ ÙÑ Ö Ñ Ö Á ÑÔ Ö Ñ Ö Ð Ø Ì ÐÚ Ò Ã ÒÝ Ñ ÒÒÝ Ò ÑÓÐ ÒÝ Ö Á V Ò ÐÐ ½

2 Þ Ø Ñ ÒÒÝ Þ Ø Ö Þ º Þ Ñ Ò Ú Ò Ö Ò Ò Þ Ö ÒØ α = Ú Ó Þ Ù Ö = r Ý ¼ Ö Ò Ò ÞÚ 2 r π r = 2π Ö º Ø Ö Þ Þ ÓÒÐ Ò Ω = Ñ Ð Ð Ø Ö Þ Ù Ö 2 = A r 2 Ø Ð Ø Ö Þ ¾¼ Ñ ÞØ Ö Ò Ò ÞÚ 4 r2 π r 2 = 4π غ Þ ÐÓ ÞØ Þ Ø Ö Ý Ø Ð ÔÚ Ø Ò Ø Ò Ý ÓÔÓÖØ Ó Ð Ð Ø Ù Þ Ð Ð Þ Ù Þ Ñ Ú ÒØÙÑ ¹ Þ º Ð Þ Ù Þ Ø ÖØÓÞ Ñ Ò Ø ÖÑÓ Ò Ñ Ø Ø ÞØ Ù Þ Ð ØÖÓ Ò Ñ Þ ÓÔØ Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø Ô Ð ÐØ Ð ÒÓ µº Ú ÒØÙÑ Þ ÓÞ ÓÖÓÐ Ù Þ Ú ÒØÙÑÑ Ò Ø Ú ÒØÙÑ Ð ØÖÓ Ò Ñ Ø Ñ Þ ÑÓ Ý Ø Ö Ð Ø Øº Æ ÒÝ Ý ÓÒØÓ ØÙ ÓÑ ÒÝØ Ö Ð Ø Þ Ò Ð Ð Ô ØÖÓ Þ Ô Þ Ò Ô Ð ÑÞ µ Ð Þ Ö Þ ÔÐ ÞÑ Þ Þ Ð Ö Ø Ø Þ º Þ ÙØ Ø Ð ÔÚ Ø Ò Ø Ö ÒÝ º ÝÖ ÞØ ÙØ Ø Ý Ö Þ Ñ Ö Ø Ò Ý ÖÐ Ø Ö Ø Ò Ð Ð Ý Ð Ò Ð ÑÞ Ð Ô Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø ÖÚ ÒÝ Þ Öò Ø Ñ ÖÒ Ð Ó ÐÑ ÞÒ Ñ º Å Ö ÞØ ÙØ Ø Ñ Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ ÐÚ Ð Ò ÙÐÚ ÓÐÝ Ò Ý Ð Ò Ø Ú Þ Ð Ñ ÐÝ ÖÐ Ø ÐÚ Þ Ò Þ Ö ÐÑ ÒÝ Ú Ý Ð Ø ØÐ Òº Þ Ñ Ö Þ ÞÚ ØÐ Ò Ð Ô ÓÐ ØÓ Ö Þ Þ Òº ÖÐ Ø Þ Ñ ÐÝÒ Ñ Þ Ö Þ Ò Ù º Þ Òº ÐÑ Ð Ø Þ Ô ÐØ Ð ÒÓ ÐÚ Ð Ò ÙÐÚ Ù Ö Ú Ò ÙØ Ð Þ Ý Ð Ò º Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ò Ø ÖÑ Þ ØØÙ ÓÑ ÒÝ Ð Ô º Ñ Ò Ø Ø ÑÓÞ Ú Ð Ö Ù Ø Ö ØÙÐ ÓÒ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ º Ñ Ò ÓÞ ÓÖÓÐ Ù Ñ ÓÐÝ Ó ÞÓ ÑÓÞ Ø ÖÓ¹ ÖÓ Ò Ñ µ Ò Ø ÒØ Ù ÞØ Øµ º Ñ Ò Ò Ñ Ø Ò Ø Ø Ø Ö Þ ÙÐÐ ÑÓ ÓÐÝ Ó ÞÓ Ö ÑÐ Ò Ø Ò Ð Ô Ö Ó Ý Ò ÑÓÞÓ Ø Ø Ñ ÐÝ Ò Ö Ø Ö ÑÓÞÓ Ø Ø Ñ ÐÝ Ò Ö Ø Ö Ñ Ö Ý Ò ÐÝ Ò Ó Ý ÑÓÞÓ Ý Ý Ò ÐÝ Ò Ð Ú Ö Ò Þ Ö Ý Ò ÐÝ Ø Ñ Þ Ú Ö Ù ¾

3 Ð Ô Ó ÐÑ Ø Ø ÑÓÞ Ø Ö Ò Ò Þ Ð º Æ ÛØÓÒ Ð Ð Ó Þ Ö ÒØ ÑÓÞ Þ ÞÓÐ Ø ÒÝÙ Ú Ø Ö Ò Þ Ð Ñ ÐÝ Ò Ò Ò Ø ÒØ Ø ØØ ÔÓÒØ ÓÑÓ Òµ Ñ Ø ÒØ Ø ØØ Ö ÒÝ ÞÓØÖ Ôµº Þ Ò Ò Ø ÒØ Ø ØØ ÔÓÒØ Þ Þ ÓÑÓ Ò ÓÐÝØÓÒÓ º Å Ú Ð Þ ÞÓÐ Ø ÒÝÙ Ú Ø Ö Ò Ñ ÖÞ Ð Ø Ú Ð ¹ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ µ Ø Ø ÑÓÞ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø Ø Þ Ú ÞÓÒÝ ØÚ Ø Ù Ñ º ÞØ Ø Ø Ø Ö Ö Ò Ø ØÒ Ò Ú ÞÞ º Ö Ö Ò Ø Ø Þ Ö Þ Ø ØØ ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ ÖØ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ º À ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ Ö ÖØ ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ Ö ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ò ÔÓÒع Ø Ý Þ Ñ ÖÑ Ð ÐÐ Ñ ÞÞ º Þ Ñ ÖÑ Ý Ò Ý r = (x, y, z) ÐÝÞ ØÚ ØÓÖØ Ñ Ø ÖÓÞº ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ ÓÓÖ Ò Ø ¹Ö Ò Þ Ö ÓÖ Ð Ú Þ ÐØ ÔÓÒØ ÑÙØ Ø Ö ÒÝ ØÓØØ Þ Þº ËÓ Ø Ò Ò Ñ Ó Ð Ð ÓÞÙÒ ÑÓÞ Ø Ø Ø Ö Ø Ðº ÓÖ ÐØ Ø Ð ÞÞ Ó Ý Ø Ø Ø Ö Ú Ð ÑÓÞ Ó Þ ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ØÚ º À Þ Þ ÓÖ ÑÓÞ Ø Ø Ø ÒÝ ÔÓÒØÒ Ø ÒØ º ÁÖ ÒÝ Ø Ù Þ r ÐÝÞ ØÚ ØÓÖØ Ñ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Þ ÒÝ ÔÓÒØ ÐØ Ð Ð Ó Ð ÐØ ÐÝÖ º ÓÖ ÐÝÞ Ø¹ Ú ØÓÖ Ú ÔÓÒØ Ò Ú ÐØÓÞ Ñ ÐÝÒ ÓÖ Ò Ú ÔÓÒØ Ô ÐÝ Ö Ø Ö Ð r = (x(t), y(t), z(t))º Ô ÐÝ ÔÓÒØ ÑÓÞ ÓÖ Ò Ð ÖØ Ö Ú Ý ÞÓÒ ÔÓÒØÓ ÐÑ Þ Ñ ÐÝ Ò Ú Þ ÐØ ÔÓÒØ ÑÓÞ ÓÖ Ò Ø Ð º Þ s Ø Ý Ö ÒÝ ÑÓÞ ÓÖ Ò Ô ÐÝ Ö Ó Þ º Ô ÐÝ Ö Ò Ñ ÐÐ ÑÞ Ð Ø Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÖØ Ø Ø Ð Ò Þ Ó ÞØ Ð Ñ ¹Ñ ÑÓÞ Ø Ú Ð Ø Ñ ÞÓÒÓ Ô ÐÝ Ö Òº Ô ÐÝ Ö Þ Ó ÞØ Ý ØØ Òº ØÖ Ø Ö Ø Ñ º ØÓÚ Ò Ý b Þ Ñ ÒÒÝ ØÐ Ø b ÓÖÑ Ò Ð Ð º Þ ØÐ Ó Ñ Ø Ñ Ø ¹ Ð Ý Òº Ð Ò Ú Ý Ö Ò ÒÝ Ó v(t) = r t = r(t 2) r(t 1 ) t 2 t 1 = r(t + t) r(t). t ËÔ Ð Ò Ý Ñ ÒÞ ÑÓÞ Ö r = (x(t), 0, 0) v x (t) = x(t 2) x(t 1 ) t 2 t 1 = x(t + t) x(t). t Ý Ñ ÒÞ ÑÓÞ ÓÖ Ò Ý ÖÓÑ Ñ ÒÞ Ú ØÓÖ Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ø ÒØ Ø v(t) = (v x (t), 0, 0) Ú ØÓÖ ÐÐ ò Þ Ñ ÒÒÝ Ñ ÖØ Ý Ñ» º Þ Ñ ÖØ Ð Ý ÒÐ Þ Ý ÒÝ Ð ØØ Ñ Ø ØØ ØØ Ðº Þ ØÐ Ó Þ r ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ Ý ÓØØ t ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø Ñ º Þ s Ø ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ý Þ Ñ r¹ö Ð Ò Ñ ÒÒ Ð Ò ÝÓ º Þ ØÐ Ó Ý Þ Ñ ÖØ Ð Ý Þ Ð Ñ Ö Ú Ð Ý Þ Ñ Þ Ò x/ t Ý Ö ÒÝØ Ò Ò ÒØ ÒØ ÖÔÖ Ø Ð Ø º Å Ò Ð Ö Ú Þ Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ ÒÒ Ð Ó Ò Þ Ð Ø Þ ØÐ Ó Ý ÓØØ ÔÓÒØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Þº Þ r ÐÝÞ ØÚ ØÓÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ò ÒÝ Ó Ø Ö ÖØ Ø Ô ÞÚ ÙØÙÒ Ð Ô ÐÐ Ò ØÒÝ Ó ÐÑ ÓÞ ( ) r(t + t) r(t) v(t) = Ð Ñ t 0 t = d r(t). d t Ñ Ò Ò Ò ÝÓÒ Ý Ö Ò Ý Þ Ñ ÒÒÝ Þ Ö ÒØ Ö Ò Ð¹ ÒÝ Ó Ø Ñ ÒÒÝ Ð ÖØ ÔÓÒØØ Ð Ð Ð d r(t) = ṙ (t). d t Ô ÐÐ Ò ØÒÝ Ò Ý Ý Ñ ÒÞ ÑÓÞ ÓÖ Ò ÓÓÖ Ò Ø ¹ Ú ÒÝ ÓØØ ÔÓÒع ÓÞ ÞÓØØ Ö ÒØ Ñ Ö Ú Ð Ý ÒÐ º ýðø Ð Ò Ô v = ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 º Ô ÐÐ Ò ØÒÝ Ö ÒÝ Ô ÐÝ ÓØØ ÔÓÒØ Ð Ö ÒØ º

4 Þ ØÐ Ó ÝÓÖ ÙÐ Ø Þ ÒØ Ò Ð Ò ÒÝ Ó ÒØ ÖØ ÐÑ ÞÞ a(t) = v t = v(t 2) v(t 1 ) t 2 t 1 ËÔ Ð Ò Ý Ñ ÒÞ ÑÓÞ Ö v = (v x, 0, 0) = v(t + t) v(t) t a x (t) = v x(t 2 ) v x (t 1 ) = v x(t + t) v x (t). t 2 t 1 t Ý Ñ ÒÞ ÑÓÞ ÓÖ Ò ÝÓÖ ÙÐ Ý ÖÓÑ Ñ ÒÞ Ú ØÓÖ Ý ÓÑÔÓÒ Ò Ò Ø ÒØ Ø a(t) = (a x (t), 0, 0). ÝÓÖ ÙÐ Ú ØÓÖ ÐÐ ò Þ Ñ ÒÒÝ Ñ ÖØ Ý Ñ/ 2 º Þ v Ú ØÓÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ò ÒÝ Ó Ø Ö ÖØ Ø Ô ÞÚ ÙØÙÒ Ð Ô ÐÐ Ò ØÒÝ ¹ Ó ÐÑ ÓÞ ( ) v(t + t) v(t) a(t) = Ð Ñ = d v(t) t 0 t d t Å Ú Ð Ø Ý ÖØ ÐÑ ÞØ Ñ ÒØ Þ r ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ Ö Ò Ð¹ ÒÝ Ó ÝÓÖ ÙÐ Ðݹ Þ ØÚ ØÓÖ Þ Ö ÒØ Ñ Ó Ö Ò Ð ÒÝ Ó a(t) = d2 r(t) d t 2 = r (t). Ô ÐÐ Ò ØÒÝ ÝÓÖ ÙÐ Þ Ñ ÖØ Ð ¹ Ú ÒÝ ÓØØ ÔÓÒØ ÓÞ ÞÓØØ Ö ÒØ Ñ Ö ¹ Ú Ð Ý Þ Ñ º Ò Ñ Ø Ý ÒÐ Ø Ò Ñ Ø Ð ØÓ Ò ÓÐ Ñ ÓÖ Ö Ö Ö Ú Ð Þغ Ú Ð ÞØ Ñ Ø Ñ Ø ÒÝ Ð¹ Ú Ò Ù Ñ Þ Þ x(t) ÔÓÞ v(t) Ú ÒÝ Ö Ø Òº Ò Ñ Ø Ð ØÓ Ý Ö Þ ÖÓÑ Ò Ñ Ø Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò Ñ ÓÐ Ø º Ú Ø Þ Ñ Ò Ñ Ø Ý ÒÐ Ø Ý Ò ÚÓÒ Ð ÐÐ Ò ÝÓÖ ÙÐ Ð Ú Ñ Ò ÑÓÞ Ó Ö ÖÚ ÒÝ º v(t) = v 0 + a t x(t) = x 0 + v 0 t + a 2 t2 v 2 = v a (x x 0 ) Þ x 0 v 0 Ð ÒØ t = 0 Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ø Ø ÐÝÞ Ø ÐÐ ØÚ º ÑÓÞ Ò Ñ Ø Ð Ö Þ Ò ØÓ Òº Þ Ø ÐØ Ø Ð µ Ñ Ö Ø Ò Ð Ø º ÓÒØÓ Ñ Ý ÞÒ Ò Ñ Ø Ý ÒÐ Ø Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ó Ý Þ Ð Ý ÒÐ Ø v t ÓÒ Ö ÞÓÐÚ Ý Ý Ò Ø Ñ Ñ ÐÝÒ Ñ Ö Þ a ÝÓÖ ÙÐ Ø Ò ÐÝÑ Ø Þ Ø Ô v 0 Þ Ø º Ñ Ó Ò Ñ Ø Ý ÒÐ Ø Ø x t ÓÒ Ö ÞÓÐÚ Ý Ð Ø Ò ÐÝò Ô Ö ÓÐ Ø ÔÙÒ º ËÔ Ð Ò Ôк ÝÓÖ ÙÐ Þ ÖÙ Þ Ô Ö ÓÐ Ý Ò Ùк ÓÖ Þ Ý Ò Ñ Ö v 0 Þ Ø Ø Ò ÐÝÑ Ø Þ Ø Þ x 0 Þ Ø ÔÓÞ º Ã Ò Ñ Ø Ò Ð Ý Þ Öò ÑÓÞ Ó Ý Ñ ÒÞ º ÓÖ Þ ÒÝ ÔÓÒØ ÐÝÞ Ø Ò ÐРѹ Þ Þ Ý ØÐ Ò Þ Ñ Ø Òº Þ Ó µ Þ x ÓÓÖ Ò Ø Ð Ò º Ò Ñ Ø ÐÐ ÑÞ Þ ÞÓÒ Ò Ø Ø v Ø Ñ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ø Òµ Ñ ÐÐ Ø ÖÓÞÒ º ÓÖ ÞØ ÑÓÒ Ù Ó Ý Ø Ø Ñ Ò ÐÐ ÔÓØ Ø x(t) v(t) Ú ÒÝ Ð Ð Ø Ò Ñ Ö º ýðø Ð Ó Ø Ò r(t) v(t) Ú ÒÝ Ñ Ö Ø Ö Ú Ò Þ º Þ ÖÓÑ Ö ÔÓÞ Ôк ÖØ ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ò x(t), y(t), z(t)µ ÖÓÑ Ö v x (t), v y (t), v z (t)µ Ú ÒÝ Ñ Ö Ø Ø Ú Ò Ñ º

5 È Ð Þ Ø Ú Ø Þ Ö ÓÒ Ø Ô Ù Ý Ñ ÒÞ ÑÓÞ Ó Ø Ð Ø ØÙÒ x x x x x 0 x x 0 x x 0 t 0 t t t t t t t 0 x x nullára fékezés t v álló test állandó gyorsulással mozgó test t t t t x f 0 x egyenes vonalú egyenletes mozgás v 0 t f t ½º Ö º x egyenes vonalú egyenletes mozgás távolodó test állandó gyorsulással mozgó test t x 0 v 0 v vv x f t 0 t t t 0 t f 0 x v egyenes vonalú egyenletes mozgás közeledõ test nullára fékezés t t Ë ÑÓÞ Ó ÖÑÓÞ ÖÑÓÞ ÑÓÞ Ó Ô Ð Ø º ÖÑÓÞ ÓÖ Ò Þ Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ Ò Ð Ú Þ Ø ØØ Ñ ÒÒÝ Þ ÓÒÐ Ò Ú Þ Ø Ø Ò Þ Ó ÐÑ Øº Ø Ø ÐÝÞ Ø Ø ϕ¹ú Ð Þ Òº Þ ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ú Ð r ÐÝÞ ØÚ ØÓÖÖ Ð ÐÐ Ñ Þ Ø º y körpálya helyzetvektor r ϕ kerületi sebesség v t test a n x y normál gyorsulás e t e n x ¾º Ö º Þ ØÐ Ó Ð Ö µ Þ Þ Ñ ÖØ Ð Ý ÒÐ Þ ÓÓÖ Ò Ø Ý ÒÝ Ð ØØ Ñ Ú Ð¹ ØÓÞ Ú Ð ω = ϕ t = ϕ(t 2) ϕ(t 1 ) = t 2 t 1 ϕ(t + t) ϕ(t). t Þ Ñ ÖØ Ý Ö / º Ô ÐÐ Ò ØÒÝ Þ Ø Ö ÖØ Ö Ò Ð ÒÝ Ó

6 ( ) ϕ(t + t) ϕ(t) ω(t) = Ð Ñ = d ϕ(t) = ϕ. t 0 t d t Þ ØÐ Ó Ð Ö µ Þ ÝÓÖ ÙÐ Þ Ñ ÖØ Ð Þ Ý ÒÝ Ð ØØ Ú Ø Þ Ñ ¹ Ú ÐØÓÞ Ú Ð Ý ÒÐ º β = ω t = ω(t 2) ω(t 1 ) t 2 t 1 Þ ÝÓÖ ÙÐ Ñ ÖØ Ý Ö / 2 º = ω(t + t) ω(t). t Þ ÝÓÖ ÙÐ Ñ Ø Ñ Ö Ð Ð Ò ( ) ω(t + t) ω(t) β(t) = Ð Ñ t 0 t = d ω(t). d t β(t) = dω(t) dt = ω, β(t) = d2 ϕ(t) d t 2 = ϕ. Ý ÒÐ Ø ÖÑÓÞ ÓÖ Ò Ý Ø Ø ÐÐ Ò ω Þ Ð Ö Ò Ý r Ù Ö Ô ÐÝ Òº Å ÑÙ¹ Ø Ø Ø Ó Ý ÖÑÓÞ Ø Ú Þ Ø Ø Ö Ð Ø Ñ Ö Ð Ù ÖÖ Ö ÒÝ ÑÓÞ Ö ÒÝ ÑÙØ Ø v = r ω e t, ÓÐ e t Ô ÐÝ Ö ÒØ Ò Ö ÒÝ ÑÙØ Ø Ý ÒÝ Ó Þ Ú ØÓÖº Þ Ý ÒÐ Ø ÖÑÓÞ ÝÓÖ ÙÐ ÑÓÞ Ù Ý Ò Ö Ð Ø Ú ØÓÖ Ö ÒÝ Ñ Ò Ò Ô ÐÐ ¹ Ò Ø Ò Ñ Ñ º Ý ÖÑÓÞ Ø Ú Þ Ø Ø ÑÔÙÐÞÙ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ú ÐØÓÞ Ñ ÐÝ Þ Æ ÛØÓÒ Ñ Ó Ø ÖÚ ÒÝ ÖØ ÐÑ Ò Ö Þ º à ÑÙØ Ø Ø Ó Ý ÝÓÖ ÙÐ Ò Ý ÖÔ ÐÝ Þ Ô¹ ÔÓÒØ Ð Ö ÒÝÙÐ ÒÓÖÑ Ð ÝÓÖ ÙÐ µ a n = r ω 2 e n = v2 r e n, ÓÐ e n ÖÔ ÐÝ Þ ÔÔÓÒØ Ö ÒÝÙÐ Ý ÒÝ Ó Þ Ú ØÓÖº À ÖÔ ÐÝ Ò ÑÓÞ Ø Ø Ò Ò Ý Ú ÐØÓÞ Ý Ö ÒØ Ö ÒÝ ÝÓÖ ÙÐ ÐÐ Ô a t = r β e t. ÓÖ Þ Ö ÝÓÖ ÙÐ Ú ØÓÖØ Ú ØÓÖ Þ Þ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ô Ù Ñ Ñ ÐÝÒ Ò Ý a = (a n ) 2 + (a t ) 2 = (r ω 2 ) 2 + (r β) 2 Ì Ö ÓÖ º Ì ÒØ Ò Ý ÐÝØ Ð Ò R Ù Ö Ø Ö ÓÖ Ø Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ðº Ø Ö ÓÖÓ ÓÒ ÐÐ Ò ω Þ Ðº Ø Ö Ý ÔÓÒØ Ò Ö Ð Ø ÐØ Ð Ò Ð Ò Þ º ËÙ Ö Ö ÒÝ Ò ÓÖ Ø Ò ÐÝØ Ð Ð Ð Ú v k = r ω. Ý ÓÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ð Ø ÒÙÐÐ Ö Ð Ø Ò Ð ÐÝ Þ ÔÓÒØÓ Ô Rωº Þ ω Ú ÞÓÒØ Ñ Ò Ò ÔÓÒØÖ ÞÓÒÓ º Æ ÝÓÒ ÓÒØÓ Ó Ý ω β Ñ ÒÒÝ ÐÓ Ð Ò ÐÐ ÑÞ ÓÖ Ø Ñ v Ø Ö Ð Ø a Ø Ö Ð Ø ÝÓÖ ÙÐ ÓÖ Ø Ò ÐÝØ Ð Ñ ÖØ Ø ÚÓÐ Ú ÒÝ Ò Ú ÐØÓÞÒ º

7 v k (r) ω R º Ö º ÓÖÓ Ú Ð Ì ÒØ Ò Ý ÓÖÓÒ ÓØ Ñ ÐÝ Ý Ú Þ Þ ÒØ Ð Ð Ø Ò Þ Ò Ð Ð Ø ÞØ Òµ Ö Ðº Ø ÞØ Ö Ð ÐØ Ø Ð Þ Ó Ý ÓÖÓÒ Ð Ð Ø Ð Ð Ö ÒØ Þ ÔÓÒØ Ò ÚÓÒ Ð Ò µ Ø Ð ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ØÚ ÒÙÐÐ º Ì ÞØ Ö Ð ÓÖ Ò Ý ÙÑ ÖÓÒ ÓÑÓ Ò Ð Ñ ÒØ Þ ØÓØ Ýº À Þ ÖÓÒ ÞÚ Ö Ð Ñ ÒØ Þ Ø ÐÑÓ º Ù Ñ ÓÖÓÒ Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ø Ð ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ Øº ω ω ω tkp R v tkp ϕ R α r v e α v e v k pillanatnyi forgástengely belsõ korongon gördülõ korong,,vonatkerék º Ö º Ý Ø ÞØ Ò Ö Ð ÓÖÓÒ Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ú ØÓÖ Ì ÒØ Ø Þ Þ ÓÖÓÒ ÓØ Ý Ó Ý Ñ Ò Ò ÔÓÒØ Ö Ò Ð Þ Ø Ôº Ú Ð Ñ ÐÝ Þ Ú ØÓÖ Ð Ò ÓÞÞ Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Ð Þ ÖÑ Þ Ö Ð Ø Ú ØÓÖº Å ÓÖ Ø Ôº Ì Ý Ð Ó Ý ÓÖÓÒ Ø Ôº x ÙØ Ø Ø Þ Ñ º ÓÖ Þ Ð ÓÖ ÙÐ ϕ = x/r ÓÐ R ÓÖÓÒ Ù Ö º Ø Ôº v Ø Ô = ẋ = d (Rϕ) = Rdϕ dt dt = Rω Ý Ø ÒØ Ø ÓÖ Ø Ó Ý Þ Þ Ö Ò Þ Ö Ý Ô ÐÐ Ò ØÖ Ø Ð Ð Ö ÒØ Þ Ð Ð ÔÓÒØÓÒ ØÑ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÐÝ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖÓ º Þ Þ ÖØ Ñ Ð Ô Ñ ÖØ Þ Ø Ò ÐÝ Ô ÐÐ Ò ØÖ Ð¹Ô ÐÐ Ò ØÖ Ñ ¹Ñ Ö Ð Ø ÔÓÒØÓÒ Ñ Ý Ö ÞØ Ðº Þ Ý Ö Ð Ø ÔÓÒØÓ Ú ØÓÖ Ø Ú Ø Þ Ð Ò Ø Ù Ñ v(α) = 2Rω sin(α) {sin(α)i cos(α)j} ÓÐ α = ϕ/2 + π/4 i j Ô Ý Ú ØÓÖÓ º À ÓÖÓÒ Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ö ÒØ ÞÒ Ø Ð Ð Ð Ð ÔÓÒØ Þ ÖÙ Ð Ð ÔÓÒØ ¹ Ô Ø Ôº Ò Ø Þ Ö 2Rωº Þ ÙØ Ý Ò Ð Ò ÝÓ Ð Ö Ò Ð Þ Ö Ð Ø ÔÓÒغ

8 º Ö º Ý Ø ÞØ Ò Ö Ð ÓÖÓÒ Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ú ØÓÖ À ÓÖ Þ Ò Ò Ñ ÓÖÓÒ Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ö ÒØ ÞÒ Ø Ð Ð Ò Ñ ÓÖÓÒ Ý Þ ÑÑ Ø¹ Ö Ø Ò ÐÝ Ú Ð ÓÒ ÒØÖ Ù Ò Ö Ö Ø ØØ ÓÖÓÒ ÓÒ Ö Ð ÓÖ Ð Ð Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ñ Þ ÖÙ º Ë Ø Ú ØÓÖ Ø Ôº Ú Ð ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ º Ð Ð Ø Ð Ð Ö ÒØ Þ ÔÓÒØ Ø ÞØ Ö Ð Ñ ØØ ÑÓ Ø Þ ÖÙ º º Ö º Ý Ø ÞØ Ò Ö Ð ÚÓÒ Ø Ö Ö Ð Ø ÔÓÒØ Ò Ú ØÓÖ

9 À Ø Ð Ò Þ Ö Ø Ö Ò Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö ÒØ Ò Þ Ö Ø Ö Ò Ö Ò Ð ØÓØØ Ð Øص Ø Ø Ô Ö ÓÐ Ú Ý ÓÞ ÓÒÐ Ô ÐÝ Ò Ð Ò º Î Ð Ò Ô Ö ÓÐ Ð Ô ÐÝ Ö Ð ÓÖ Þ Ð Ø Ò Ð ÐÐ Ò ÐÐ Ð ÒÝ ¹ ÓÐ Ø º Î Þ Ð ÙÒ ÓÐÝ Ò ÑÓÞ Ø Ñ ÐÝÒ ÓÖ Ò ÓØØ v 0 Þ Ð α Þ Ð ØØ ØÙÒ Ð Ý Ø Ø Øº Ø Ø ÔÓÞ Ø Ñ Ú ÒÝ x(t) = v 0 cos(αt); y(t) = v 0 sin(αt) g 2 t2 ÓÑÔÓÒ Ò v x = v 0 cos(α); v y = v 0 sin(α) gt Ø Ò Ñ Ø ÐÐ ÑÞ t Ñ Ð t Ö Ö Ô Ð Ø Ø ÚÓÐ l Ø Ñ h y(x) Ô ÐÝ Ý ÒÐ Ø º t = v 0 sin(α) g t Ö = 2t l = v 0 2 sin(2α) g h = v 0 2 sin(α) 2 2g g y(x) = + tan(α)x 2v 02 cos(α) 2x2 Ö Ò Ð ØÓØØ Ø Ø Ô ÐÐ Ò ØÒÝ Ò Ò Ý v = v x2 + v y 2 a hajítás magassága h y kezdeti sebesség vektor α v 0 y ( x) pályagörbe l a hajítás távolsága x º Ö º

10 Æ ÛØÓÒ Ø ÖÚ ÒÝ Ø Ô ÞØ Ð ØÓ Þ Ö ÒØ Ø Ø ÑÓÞ ÐÐ ÔÓØ Ø Ö Ø Ö Ú Ò Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ø Ù º Ð ØÓØØ Ð ØØ ÒÝ ÐÚ Þ Ø º µ Ö Þ Ö Ø Ø ÞÑ Ò Ð Ö ÞÞ Ò Ñ Ú Ð Ó Ó Ý Þ Ö Ñ Ñ ÓÒ Ø Ý Ø ØÖ Ð Ñ Ö º Ö ØÓØ Ð ÓÖ Ö ÐÓÞ Ù Ñ Ý ÓÒ ÓÐØ Ó Ý ÑÓÞ ÒÒØ ÖØ ÓÞ Ö Þ º Ð Ð ÚÓÐØ Þ Ð Ð Ñ ÖØ Ó Ý ÑÓÞ ÒÒØ ÖØ ÓÞ Ò Ñ Þ Ö º ÑÓÞ Ð Ö ÓÖ Ò Ñ Ñ Ò Ý Ó Ý Ñ ÐÝ Ò ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø ¹Ö Ò Þ ÖØ Ú Ð ÞØÙÒ Ù Ý Ò ÞÓÒÝÓ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ò Þ Ý Þ Öò ÑÓÞ Ó Ò ÝÓÒ ÓÒÝÓÐÙÐØ Ð ØÒ º Ø Ô ÞØ Ð ØÓ Þ ¹ Ö ÒØ ÓÐÝ Ò ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ð Ý Þ Öò ÑÓÞ Ó Ð Ö Ñ ÐÝÖ Ø Ö Ö ÒÙÐÐ º Þ ÐÝ Ò ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ý Ò ÚÓÒ Ð Ý ÒÐ Ø ÑÓÞ Ø Ú Þº Þ Ý Ò ÚÓÒ Ð Ý ÒÐ Ø ÑÓÞ Ø Ú Þ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ ÖØ Ò Ö Ö Ò Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ º À Ý Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ö Ò Þ Ö ÓÖ ÓÞÞ Ô Ø Ñ Ò Ò Ý Ò ÚÓÒ Ð Ý ÒÐ Ø ÑÓÞ Ø Ú Þ Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ö Ò Þ Öº Þ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Þ ØØ Ò Ñ Ð Ø Ø ÒØ Ø ØØ ÒÝÙ Ú µ ÓÓÖ Ò Ø ¹ Ö Ò Þ ÖØ Ø Ð ÐÒ º ÞØ Ð Ñ Ö Ø Ð Ð ¹ Ð Ö Ð Ø Ú Ø ÐÚÒ Ò Ú ÞÞ Æ ÛØÓÒ ØØ Ö Ó Ý Ñ Ò Ò Ý Ð Ô ÐØ Ú Ð Ü Ñ Ð Ú Ý Ø ÖÚ ÒÝ Ðµ Ò ÙÐÚ Ø Ö¹ Ý Ð Ø º Þ Ü Ñ ÓÐÝ Ò Ð Ô Þ Ó Ñ ÐÝ Ø Ò Ñ Ð Ø ÞÓÐÒ º À ÐÝ Ø Ð Ð Ð ÚÓÒØ Ú Ø ÞØ Ø Ò Ø Ô ÞØ Ð ØÓ Ð Ú Ð Þ Ð Öò Þ Ú Ø ÞÓÐ º Æ ÛØÓÒ Ð Ø ÖÚ ÒÝ Ø Ø ØÐ Ò Ø ÖÚ ÒÝ µ Å Ò Ò Ø Ø Ý Ò ÚÓÒ Ð Ý ÒÐ Ø ÑÓÞ Ø Ú Þ Ú Ý ÒÝÙ ÐÓÑ Ò Ñ Ö Ñ Ò Ñ Ö Ò Ñ Ø Ö º Å Þ Ú Ð Ø Ø Ø ÖÑ Þ Ø ÐÐ ÔÓØ Þ Ý ÒÐ Ø ÑÓÞ ÒÝÙ ÐÓѺ Æ ÛØÓÒ Ñ Ó Ø ÖÚ ÒÝ Ø ØÖ Ø Ö Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ò Ð Ø Ò Ð Ñ Ú ÐØÓÞ Ú Ð = d p d (m v) = = ṁv + m v. d t d t Ò Ô Ð Ø Ò Ø Ñ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ ÑÓÞ ÓÖ Ò = m a. Æ ÛØÓÒ ÖÑ Ø ÖÚ ÒÝ Ø ¹ ÐÐ Ò Ø Ø ÖÚ ÒÝ µ À Ý Ø Ø Ö Ø Ø Ý Ø ØÖ ÓÖ Ø Ø ÞÓÒÓ Ò Ý ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ ÐÐ Ò Ö Ø Ø Ø ØÖ º Þ Ö Þ ÐÐ Ò Ö Ð Ò Þ Ø Ø Ö Øº Æ ÛØÓÒ Ò Ý Ø ÖÚ ÒÝ À Ý òð Ø Ö Ø Ý Ø ØÖ Þ Ö Ø Ú ØÓÖ Þ Þ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ø Ù Þ º Ñ Ó Ò Ý Ø ÖÚ ÒÝØ Ý ØØ Ò Ð ÐÑ ÞÚ Ô Ù Ñ Ò Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ø i = ṗ À ÑÓÞ ÓÖ Ò ṁ = 0 ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð i = m r. Î Ð Ò Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ý Ñ Ó Ö Ò ò Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ ÖØ Ð ÓØ i i x (x, y, z, t) = mẍ, y (x, y, z, t) = mÿ, z (x, y, z, t) = m z, ÓÐ x y z Ö ÓÑÔÓÒ Ò º ÒÒ Þ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ö Ò Þ ÖÒ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Þ x(t) y(t) z(t) Ú ÒÝ º Þ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò Þ ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø ÖØÓÞ º ½¼

11 Æ ÒÝ Ñ ÝÞ Ò Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ò Ñ ÞÓÒÓ ÓØ Þ º Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ý m Ø Ñ ò Ø ØÖ ÚÓÒ Ø Ó¹ Þ º Ð ÓÐ Ð Þ ÓØØ Ø Ø ÖÒÝ Þ Ø Ò Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ø Ø Þ º Þ Ø Ø Ø Ø Ò Ú ÞÞ Þ Ö ÓÖÖ Ò º Ì ÒØ Ð Ñ ÒØ Ø Ø ÑÓÞ Øº Ð Ö Ñ ÒØ Ø ØÖ ÖÒÝ Þ Ø Ò Ø Ð Ð Ø Ø Ø Ö Ú Ø Ñ Þ Ò Ð Ó Ú Ö Ø Ø Ò º Ð Ö Ø Ö ÓÖÖ Æ Ô ÀÓÐ Æ ÔÖ Ò Þ Ö Ø ÓÐÝ º Ð ÓÒØÓ Æ Ô ÀÓÐ Ø º Ñ Ò ÒÒ Ô Ð Ø Ò ÞÓÒ Ò Ø Ð Ð ÓÞÙÒ ÓÐÝ Ò ÐÝÞ Ø Ð Ñ ÓÖ Ø Ø ÝÓÖ ÙÐ ÖØ Ò Ñ Ó ÓÐ Ø Ù Ø Ø ÖÒÝ Þ Ø Ò Ø Ð Ð Ø Ø Ø Øº Ý Ù Þ ÖØ Ð Ò Þ ÓÖ Ý Ö ÞÞ Ñ ÒØ Ú Ð Ñ Ð Ö Ø Þ Ø Ò Ñ Ò Øº à ÑÙØ Ø Ø Ó Ý Ù Þ Þ ÙØ Ó Ö ÑÑ ÐÝ Ò Ö Ø Ò Ñ Ø Þ ÓÖº Î Ð Ò Þ ÙØ Ó Ø Ø ØÐ Ò Ñ ØØ Ù Þ Ö Ø Ú Ð Ò Ð Ö º Ì Ø Ò Ñ Ù Þ Ø Ö Ù Ö Øº ÓÖ Ñ Þ Ö ÓÖÖ Ò Þ Ø Ò Þ Ö Ò Ò Ò ÓÖÖ Þ ÖØ Þ ÐÝ Ò Ö Ò Ñ Ø ÒØ Ø Ú Ð Ö Ò º Þ ÐÝ Ò Ò Ñ Ú Ð Ö Ø Òº Ø Ø ØÐ Ò Ö Ò Ò Ú ÞÞ º Ò Ñ Ú Ð Ö ÐÐ Ô ÒÒ Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ð Ò Ø Ò Ù Þ Ð Ùк Æ ÛØÓÒ¹Ø ÖÚ ÒÝ Ý Ò ÚÓÒ Ð Ý ÒÐ Ø ÑÓÞ Ø Ú Þ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ò Ö ¹ Ö Ò Þ Ö Òµ ÖÚ ÒÝ Ø Ñ Æ ÛØÓÒ Ñ Ó Ü Ñ Ð Ò ÙÐÚ Ø Ñ m = /a Ø Ø ÝÓÖ Ø Ð Þ Ñ Ò ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ñ ÖØ º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ø Ø Ø Þ Ð ÒÒ Ø ØÒ Ò ÝÓ Ø Ñ Ñ ÐÝ Ø Ù Ý Ò ÓÖ Ö Ù Ý Ò ÒÒÝ Ð ØØ Ö ÝÓÖ Ø Ðº Å ÔÔ Ò Ó ÐÑ ÞÚ Ø Ø Ø Þ Ð ÒÒ Ò ÝÓ Ø Ñ Ñ ÐÝÒ ÞÓÒÓ Ñ ÖØ ò ÝÓÖ Ø ÓÞ Ò ÝÓ Ö Þ º ÞÓÒ Ò Ø Ø Ò Ú Ò Ý Ð Ñ ÖØ Ñ Ø Ö Ú Ø ÚÓÒÞ º Ã Ø m 1 m 2 Ø Ñ ò Ø Ø Þ ØØ ÐÐ Ô Ö Ú Ø ÚÓÒÞ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Þ Ñ Ø Ø Ù Ö Ú = γ m 1 m 2 r 2 ÓÐ γ Þ Òº Ö Ú Ø ÐÐ Ò γ = 6, ÆÑ 2 / 2 º Ñ ÒÙ Þ Ð Ð ÞØ Þ Ó Ý Ð Ò Ø Ñ Ò ÚÓÒÞ Ò ÒÝ ÐÚ ÒÙÐ Ñ º ˆr = r/ r Þ Ý Ø Ø Ð Ð Ñ ÑÙØ Ø Ý ÒÝ ÞÓÐ Ø ÖØ ò Ú ØÓÖº À Ð Ð Ð Ø Ø Ð Ò Ñ Ú ÝÙÒ Ø Ð Ø ÚÓÐ ÓÖ Þ Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ú Ø Þ Ð Ö Ø Ù ÓÐ ˆr Ò = G = m Ö Ú g, g = γ M Ð R Ð 9, 8 Æ/. ÁØØ M Ð Ð Ø Ñ R Ð Ð Ù Ö º Þ ÙØ Ý ÒÐ Ø Ò Ñ Ð ÒØ Ø Ñ Ø Òº Ö Ú Ø Ð Ø Ñ Ò Ò Ú ÞÞ º Ð Ò Þ Ö Ø Ö Ò ÑÓÞ Ø ØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø m Ø a = m Ö Ú g Ø Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö ÒØ Þ ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ð ÐØ ÒØ Ò Ð Ö Ú Ø Ø Ö Ò Ñ Ò Ò Ø Ø ÞÓÒÓ ÝÓÖ ÙÐ Ð ÑÓÞÓ a = g Ñ Ð Þ Ú Ø Þ Ó Ý m Ø = m Ö Ú º Þ Þ Ø Ø ØÐ Ò Ø Ñ ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ý Þ Ö Ú Ø Ð Ø Ñ Ðº ØÚ ÄÓÖ Ò ÑÙØ ØØ Ð Þ Ö Ó Ý Þ Þ Ý Þ Ò ÔÓÒØÓ º Ð ÐØ Ð Ø ØØ Ö Ú Ø Ö Ñ Ò Ø ØÖ Ø ÞÓÒ Ò Ø Ø ÐÝ Ø Ø Ð Ø Ñ ÞØ Ö Ú Ý Ð ÞØ Ö º ½½

12 à ÒÝ Þ ÖÑÓÞ Ó ÒÝ Þ ÖÑÓÞ Ó ÓÖ Ò Ø Ø Ö Ø Ö Ø Þ Þ Ø Ð Ö Ð Ø µ Ö Ú Ò Ù Ø Ø Ø Ò º Þ Þ Þ Ø Ø ÑÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓÞÞ Þ ÖØ ÒÝ Þ ÖÑÓÞ Ö Ð Þ Ð Ò º Ã Ø ÐÐ Ð Þ Ö Ø Ð Ø Ø Ò º Þ Ð Ø Ð Ò Ñ ÒÝ Ð Ð ØÓ Ò Ò Ñ Ò Ó Ý Ñ Ð ÞÙÐ ÓÒº Ø Ð Þ Ö Ø Ñ ÔÓÒØ Ò Ø ÐÝ Þ Ö ÞÓРк Þ Ð Ö Ð Þ ÒÝÓÑ Ö Ø Ý Ö ÒØ Ø Ø Ò º À Ø Ñ Ð ÒÝ ÓÐ Ø ÓÖ Ö Ø ØÚ Ø ØØ Ø Ð Ò Ö Ö ÒÝ Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ñ º À Ò Ú Ò Ø Ñ Þ Ö Ò Ý Ø Ñ Ú ÐØÓÞØ Ø Ø º Ý Ð Ð Ð Ø Ö Ñ Ö Ð Ö ÒÝ Ö Ø Ø Ø º ÒÝ Þ ÖÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú Ø Þ Ð Ô Ò ÒØ Ð Þ Öò Ñ ÓÐ Ò µ Ö ÞÓÐ Ù Ø Ø Ö Ø Ö Ø µ Ñ Ø ÖÓÞÞÙ ÒÝ Þ Ö ÐØ Ø Ð Ø µ Ñ Ò Ò Ø ØÖ Ð Ö Ù Æ ÛØÓÒ Ñ Ó Ø ÖÚ ÒÝ Ø ÒÒÝ Ý ÒÐ Ø Þ ÒÝ Ñ Ö ØÐ Ò Ú Ò Úµ Ñ ÓÐ Ù Þ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ ÖØ Úµ Þ ÙØ Ð Ù Ñ ÓÐ Ø Ú Ò¹ ÖØ ÐÑ µ Ì ÒØ Ò Ö ÞÓÒ Ð Ø Ø ÒÝ Þ ÖÔÖÓ Ð Ñ Øº m Ø Ñ ò Ø Ø Ò ØÚ Ø ØØ ÓÒ Ð Ð Ú ÒÒ Þ Ô ÓÐÚ º Ý Ø Ø Ð Ú Ò ÞØÚ ØØ Ú Þ Þ ÒØ Ð Ð Ø Ò ÖÐ Ñ ÒØ Ò ÑÓÞÓ º m Ñ Ö ¹ Ø Ò Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ø Ø ÝÓÖ ÙÐ Ø Ø Ð Ö Ø ny ny m 1 1 m mg mg m ny ny mg º Ö º Å Ò Ý Ø ØÖ Ø Þ mg Ò Þ Ö º Ú Þ Þ ÒØ Ð Ð Ø Ò Ð Ú Ø Ø ÒÝÓÑ Þ Ð Ø Ñ ÞØ Ø Ñ ÐÝ Ø ÐÐ Ò Ø ¹Ø ÖÚ ÒÝ ÖØ ÐÑ Ò ÒÝÓÑ Ö Ø Ø Ø Ø Ö º Ø Ð Ö Ó Ý Ñ Ö ØÒ Þ Ó Ý Ñ Ò Ø Ú Ö ÞÓÒÓ Ò Ý Ö Øº ÓÖ Ú ÞÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ø Ø ÖÚ ÒÝ ÖØ ÐÑ Ò Ø ÐÚ Ò Ö Ø ÐÐ Ø Ò Ø Ø Ö Ö º ÒÝ Þ Ö ÐØ Ø Ð Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ð ÒÝ Ø Ø ØÐ Ò Ð ÓÐÝ Ð Ø Ø ÐÑÓÞ ÙÐ ÞÓ¹ ÒÓ x 1 = x 2 = x 3 º Ð ÓÐÝ Ò Ò ÝÓÖ ÙÐ Ó Ò ÞÓÒÓ Ò ÐÐ Ð ÒÒ Þ Þ a 1 = a 2 = a 3 = aº Ö Ù Ð Ò Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ø Ñ Ò Ý Ø ØÖ ½¾

13 m g = m a 1 ½µ 1 = m a 2 ¾µ 1 = m a 3 µ ÒÝ mg = 0 ÒÝ mg = 0 Þ Ð ÖÓÑ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ö ÒÝ Ö Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÙØÓÐ ØØ Ô Ø Ð Ö ÒÝÖ Ñ Ö Ð Ö Øº Ã Þ Ø ÚÓÒ Ð Ö Ø Ð Ö Ð Þ Þ Ø Ò ÞØ Ø ØØ Þ Ý ÒÐ Ø Òº ËÓ Ö ÙÒ Ð ÓÐÝ Ò Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÐÝ Ò Ð Ò Þ Ö ÒÝ Ö Ý ØØ Ú ÒÒ Ð Ò Ý ÓÖ Ø Ú Ó Ý Ú Þ Þ ÒØ Ø Ø Ö m g Ý Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ö Ô Ðº Þ Ö Ò Ú Ð ÐÝÓ Ù Ý Ò ÝÑ Ð Þ Ø Þ Ö Ú ØÓÖÓ Ø Ð Ö Ð Ø ÐÓ Þ Ò Þ ÙØÓÐ Ø Ý ÒÐ Ø ÑÓ Ø ÞØ Ø ÒÝØ Þ Ó Ý Þ ÞØ Ð ÐØ Ð Ø ØØ ÒÝÓÑ Ö Ý ÒÐ Ø ØÖ Ø Ò Þ Ö Ú Ðº Þ ÖØ Þ ÙØÓÐ Ø Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ø Ò Ð Ý Ø º ÒÝ Þ Ö ÐØ Ø Ð Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Ø ÙØÓÐ Ý ÒÐ Ø Ð Ý Ú Ðµ Þ Ý ÒÐ Ø Þ Ñ Ö ØÐ Ò Þ Ñ Ò m g = m a 1 = m a µ µ µ µ 1 = m a µ Þ Ñ Ö ØÐ Ò Þ Ñ ÖÓÑ a,, 1 µ ÖÓÑ ØÐ Ò Ý ÒÐ Ø Ò Ú Òº ÝÓÖ ÙÐ Ø Ý Ô Ø Ù Ñ Ó Ý Þ Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ù ÓÖ Ø Ð Ö Ò º Ø Ð Ö Ø a Ñ Ö Ø Ò ÒÒÝ Ò Ñ Ô Ù m g = 3 m a g = 3 a a = g 3 1 = m g 3 = 2 m g 3 Þ Ù Þ Ö Ò Þ Ö ÝÓÖ ÙÐ Ò Ò ÐÐ Ð ÒÒ Ñ ÒØ g Ñ ÖØ µ Þ Ø Ð Ðº ÌÓÚ ¹ Ò Ò ÝÓ Ò ÐÐ Ð ÒÒ Ñ ÒØ 1 Ñ ÖØ µ Þ Ø Ð Ðº À Ú Þ ÐÝ ØØ Ø Þ Ö Ñ ÒÝ Ø Þ Ý ÒÐ Ø ÞÓÒÓ Ó Ø ÐÐ ÔÒÙÒ m g 2 m g 3 2 m g m g 3 3 m g 3 = m g 3 = m g 3 = m g 3 Þ Ø Ð ÐÒ º ÀÓ Ý Ñ Ó ÙÐÒ Þ Ý ÒÐ Ø Ñ Ò ÖÓÑ Ø Ø Ø Ñ Ð Ò Þ Î Ð Þ m 1 g = m 1 a µ ½¼µ ½½µ ½¾µ 1 = m 2 a ½ µ 1 = m 3 a. ½ µ ½

14 Ö Ò Þ Ö ÝÓÖ ÙÐ Ø Ð Ö ÓÖ m 1 g a = m 1 + m 2 + m 3 m 1 m 3 g 1 = m 1 + m 2 + m 3 1 = (m 1 m 3 + m 1 m 2 ) g m 1 + m 2 + m 3 ÖÐ Ã Þ Ø Ð Ú Ø Þ ÔÖ Ø Ø Ø Ø Ò Ö ÓÖ ÚÓÒ Ö Ø Ó Ý ÚÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ð Ý Òº º Ö º Æ ÛØÓÒ ÁÁº Ü Ñ ÖØ ÐÑ Ò Þ Ý Ð Ø Ó Ý ÔÖ Ø ØÖ Ø Ö Ö ÒÙÐÐ º Ì Ø ÔÖ Ø ØÖ Ø Ý ÚÓÒ Ö Ú Ð ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ ÚÓÒ Ö Ú Ð Ý ÒÐ Ò Ý Ö º Þ ÖÐ Ö º Ì Ô ÞØ Ð Ø Þ Ö ÒØ ÔÖ Ø Ø Ñ Ò ÖÓÑ ÔÓÞ Ò ÞÓÒÓ ÖÐ Ö º Þ ÖÐ Ö Ø Ø ØÐ Ò Þ Ö ÒØ Þ Ø Ø Ð Ð Ø Ø Ð ÚÓÒØ Ø Ø Ð º Þ ÖÐ Ö Ø Ñ ÖØ Ò Ó ÓÞÞ Ð Ð Ø Ð Ð Ø Ý Ò ØÐ Ò º  РÒØ Ð Ð Ø Ö Ø Ô Ø Þ ÒÒÝ Þ Ø Ð Ð Ø Þ ØØ ÑÓÐ ÙÐ Ö Ð Ò Ø Ó Ø º À Þ ÒÒÝ Þ Ú ÒÒ Ð Þ Ö Þ ÖÐ Ö Ð Ò ÒÝ Ó Ð ÐÑ Þ Ú Ð Ò Ú ÖÐ Ö Ð Þ Ð Ò º ÖÐ Ö Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò v = µ ÒÝ v, ÓÐ µ Þ ÖÐ Ý ØØ Ø ÒÝ ÒÝÓÑ Ö v Ö ÒÝ ÑÙØ Ø Ý ÒÝ Ó Þ v Ú ØÓÖº Ñ ÒÙ Þ Ð Þ Ö ÒØ Þ ÖÐ Þ ÐÑÓÞ ÙÐ Ð ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ º µ Þ ÖÐ Ý ØØ Ø ÝÒ Ð Ñ Ö Ð Ô Ò Ñ ÐÐ Ô ØÓØØ Þ Ñº À Ò Ò Ð Ð Ø Þ ØØ Ö Ð Ø Ú Ð Ò ÖÐ ÓÖ ÐÐ Ô Øº Þ Ø Ô ÖÐ Ö º µ Ø Ø Ô ÖÐ Ý ØØ Ø Ñ ÐÝÒ ÖØ Ò ÝÓ Ñ ÒØ µº À Ý Ø Ø Ð Ú Ò Ú Ý Ú Þ Ò ÑÓÞÓ Þ Þ Ò Ú Ý Ö Þ Ò ÐÝÓÞÞ ÑÓÞ Øº Þ ÙØ ÑÓÞ Ø Ð Ú ÐÝÓÞÞ Ú ÞÓÒØ Ý ÑÓÞ Ú Þ Ò Ð Ð Ò Ñ Ð Ø º Ã Ø Ò Þ ÐØ Ð Ø ØØ Ö Ö ÒÝÓ ÑÓÞ Ú Ð Ò ÝÓ Ø Ò Ò ÝÞ Ø Ú Ð Ö ÒÝÓ º Ì ÒØ Þ Ð Þ ÒÝ Þ ÖÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÖÐ Ð Þ Þ Ø Ñ Ñ ÐÐ ØØ ÑÓ Ø µ ÓØغ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÒÝ Þ Ö Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Ú Ø Þ Ð Ð ÞÒ m g = m a ½ µ 1 ÙÖÐ = m a ½ µ 1 ÙÖÐ = m a ½ µ ÙÖÐ = µ ÒÝ = µ m g ½ µ ½

15 m 1 1 m s s m mg ½¼º Ö º ÀÓ Ý Ú ÐØÓÞÒ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ø Ø Ñ Ð Ò ÞÒ Î Ð Þ m 1 g = m 1 a 1 µ m 2 g = m 2 a 1 µ m 3 g = m 3 a ½ µ ¾¼µ ¾½µ ÓÒÝÓÐ Ø Ù Ð ØÓØ Ý Ó Ý Ø Ø Ø Ú Þ Þ ÒØ Ð Ð Ø ÐÝ ØØ Ð Ø Ö ÐÝ ÞÞ Ð Ø Ö Þ Ø Øغ ÖÐ Ø Ð Ý Ð Ö Ø ÒØ Ò Ðº Å Ð ÞÒ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Þ Ö G = m g Ò Þ Ö Ø Ð ÓÒØ Ù Ý Ð Ø Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ø Ò Ò Ð µ G Ø = m g sin(α) Ý Ö Ñ Ö Ð ÒÓÖÑ Ðµ G Ò = m g cos(α) ÓÑÔÓÒ Ò Ö º G Ø Ø Ð Ö ÒÝ Ý Ø Ð Ö ÒÝ Ö Þ Ð Ö Ð ÓÞÞ Ú Ø º G Ò Ô ÒÝÓÑ Ö Ú Ð ÞÓÒÓ Ò Ý Ñ ÖØ µ Ý Þ Ö Ô ÖÐ Ð ÒÐ Ø Ò ÓÒØÓ Ð µº m 1 1 m α G t G t mg m ½½º Ö º ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÓÖ Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ø m g = m a ¾¾µ 1 G Ø = m a ¾ µ 1 G Ø = m a ¾ µ À Ø Ñ Ð Ò ÞÒ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Ú Ø Þ m 1 g = m 1 a 1 m 1 g sin(α) = m 1 a 1 m 2 g sin(α) = m 2 a ¾ µ ¾ µ ¾ µ À ÖÐ Ö Ø ÐØ Ø Ð Þ Ò ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Ú Ø Þ ÓÖÑ Ø ÐØ ½

16 m 1 1 m s G t α s G t mg m ½¾º Ö º m 1 g = m 1 a 1 m 2 g sin(α) µ m 2 g cos(α) = m 2 a 1 m 3 g sin(α) µ m 3 g cos(α) = m 3 a ¾ µ ¾ µ ¼µ ÅÙÒ Ò Ö Ø Ð ØÑ ÒÝ À Ý Ø Ø Ö Ø Ú Ø ÞØ Ò ÐÑÓÞ ÙÐ ÑÙÒ Ú Þ Ö Ð Þ Ð Ò º ÑÙÒ Ú Þ ÓÖ Ò Þ Ý Ø Ø ÐØ Ð Ñ Ò Ø ÓØØ Ò Ö Ø ÑÙÒ Ò Ò Ú ÞÞ W = x. Þ ÔÐ Ø ÓÖ Ð ÐÑ Þ Ø Þ Ö ÓÐÝ Ñ Ø ÓÖ Ò Ú ÐÐ Ò Þ Ö Þ ÐÑÓÞ¹ ÙÐ Ú ØÓÖÓ Ô Ö ÙÞ ÑÓ ÝÑ Ðº ÑÙÒ Ð Ð Ð Ö Ñ ÖØ Ý ÆÑ ½Âº ÑÙÒ ÐØ Ð ÒÓ Þ Ñ Ø Ø Ø Þ Ð Ø Ú Ú Ø Þ Ò W = r = r cos (α) = x r. ÓÖ ÑÙÒ Ø Þ Ö Þ ÐÑÓÞ ÙÐ Ú ØÓÖÓ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø ÒØ ÖØ ÐÑ ÞÞ º ÔÐ Ø ÓÖ Ð ÐÑ Þ Ø Ú ØÓÖÓ α Þ Ø Þ ÖÒ ÝÑ Ðº À Ø ØÖ Ø Ö Ö ÒÝ Ú Þ ÐÑÓÞ ÙÐ Ú ØÓÖ Ö ÒÝ ÑÙØ Ø Þ Ö Ò Ý Ú ÐØÓÞ x Ø ÚÓÐ Ú ÒÝ Ò ÑÙÒ Ø Ú Ø Þ Þ Þ Ö ÒØ Þ ÑÓÐ Ø Ù W = B A (x)dx. Ì Ø ÑÙÒ ÓÖ Þ Ö ÔÓÞ Þ Ö ÒØ ÒØ Ö Ð Ú Ð Ý ÒÐ º À Þ Ö Ò Ý Ö ÒÝ Ú ÐØÓÞ Þ ÐÑÓÞ ÙÐ ÓÖ Ò ÑÙÒ Ø Òº ÚÓÒ Ð ÒØ Ö ÐÐ Ð Þ ÑÓÐ Ù W = B A (r) dr. ÓÖ Ô ÐÝ Ö Ø ÒÒÝ Ð Ñ Þ ÞÖ ÓÒØ Ù Ó Ý Ý Þ ÞÓÒ Ð Ð Þ Ö Ú ÐØÓÞ Ð ¹ ÒÝ ÓÐ Ø Ð Ý Òº Å Ò Ò Ð Ñ Þ ÞÖ ÐÚ ÞÞ Ð Ö ÞÓÖÞ ØÓØ (r) drµ Ñ ÐÚ ÞÞ Þ ÒØ Ö Ð Øº ½

17 x α r ( x) x dr dx ( r) ½ º Ö º È Ð º Ð Ô Ð ÒØ Þ ÑÓÐ Ù Ý L Ó Þ m Ø Ñ ò ÓÑÓ Ò Ø Ñ ÐÓ ÞÐ Ú Ø Ð Ò Ð ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø ÐÝÓ Ø Ð Ð Þ ÓÞ Þ ÑÙÒ Øº m L ½ º Ö º Ð Ð Ô ÒØ Ù Ñ ÚÓÒ Ö Ø ÔÓÞ Ú ÒÝ Òº Ñ ÓÖ Ø Ð Ð ÚÓÒ Ö ÔÔ Ò Ñ Ý Þ Ø Ð ÐÝ Ú Ð Ñ ÓÖ Ô Ø Ð Ú Þ Þ ÒØ ÐÝÞ Ø Ö ÐØ ÚÓÒ Ö Þ ÖÙ º x Ó Þ Ø ÐÖ Þ Ð Þ Ð ÞÓØØ Ö Þ Ó Þ Ú Ð Ö ÒÝÓ Ò ÒØ ÚÓÒ Ö Øº ÒÒ Ó Ó Ý Ø Ð òöò ÐÐ Ò º ÚÓÒ Ö Ñ ÒØ Ø ÚÓÐ Ú ÒÝ (x) = mg L x + mg. mg (x) W ½ º Ö º L x ½

18 Ö ÓÒ Ð ØØ Ø Ö Ð Ø Þ Ñ ÖØ Ð Ú Þ ØØ ÑÙÒ Ú Ð Ý Þ Ñ W = 1 2 mgl. Ì ÖÑ Þ Ø Ò (x) ÒØ Ö Ð Ú Ð Ñ Ô Ø Ù Ú Þ ØØ ÑÙÒ Øº W = L 0 ( mg L x + mg)dx. Þ ÒØ Ö Ð Ö Ñ ÒÝ mgl/2º Å Ó Ô Ð ÒØ Þ ÑÓÐ Ù Ý D ÖÙ ÐÐ Ò ÐÝØ Ð Ò ÖÙ Ñ ÒÝ Ø ÓÞ Þ ÑÙÒ¹ غ ÖÙ ÐÐ Ò ÞØ ÑÙØ Ø Ñ Ó Ý Ñ ÓÖ Ö Þ ÓÞ Ó Ý Ý ÒÝ Ø ÚÓÐ Ð ÒØ Ú Ý Ò Ú Ð ÖÙ Ó Þ Øº Ý Ð ÖÙ (x) = D x Ð ÖÑÓÒ Ù Ö Ø Ø Ñ ÒÝ Ø Ñ ÖØ Ø Ð ØÐ Òòк ÁÐÝ Ò ÖÙ Ò Ñ Ð Ø Þ º À ÖÙ Ú Ó Þ Ý ÞÓÒÝÓ Ñ ÖØ ò Þ ÒÝÓÑ ÓÖ Ò Ñ Ò Ø Þ ÖÒ Ý ÞÓÒÝÓ Ñ ÖØ ò ÒÝ Ø ÓÖ Ò Ô Ñ Ö Ò ÓÖÑ Ð Ô Ðº Þ Ò Ö ÖÙ ÐØ Ð Ø ØØ Ö (x) = D x Ð º x Ñ ÖØ ò Ñ ÒÝ Ø ÓÞ Þ Ý Ò Ð ØØ Ø Ö Ð Ø Ø ÐÐ Þ ÑÓÐÒÙÒ Dx ideális rugó 0 W x reális rugó x ½ º Ö º Á Ð ÖÙ Ñ Þ Ø Þ Þ ÑÙÒ W = 1 2 D xx = 1 2 Dx2. ½

19 Ò Ö º Ý Ø Ø Ò Ö Ú Ð Ö Ò Ð Þ Ð ÐÑ Ö ÐÑ ÒÝ Þ ØØ ÑÙÒ Ø Ú Þ Øº Ì Ø Þ Ò Ö ÑÙÒ Ú Ð ÞÓÖÓ Ô ÓÐ Ø Ò Ú Òº ÞÓÒ Ò Ð Ò Ú Ò Þ Ò Ö ÑÙÒ Þ Øغ Ò Ö Ú Ð Ñ Ò Ò Ø Ø Ö Ò Ð Þ Ø ÑÙÒ Ú Ð ÞÓÒ Ò Ò Ñº Í Ý Ò ÑÙÒ Ö Ð ÑÙÒ Ú Þ ÓÖ Ò Þ Ð Ø Ò º Ý Ó ÐÑ Þ ØÙÒ Ó Ý ÑÙÒ Þ ÐÑÓÞ ÙÐ Ð ÙÒ ÓÒ Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ú Òº Þ Ò Ö Ø Ø Ý ÓØØ ÐÐ ÔÓØ Ø ÐÐ ÑÞ Ñ ÑÙÒ Ø ÐÐ ÔÓØ Þ ØØ ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ö Ð º Ý m Ø Ñ ò v Ð ÑÓÞ Ø Ø ÑÓÞ Ò Ö Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò ÖØ ÐÑ ÞÞ E Ò = 1 2 m v2. Ý Ö Ò Þ Ö Ø Ò Ú Þ Ø Ø ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ó ÐÑ Øº ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Þ Ö Ð Ö Ò Þ Ö Ð ÓØ Ö Þ Ò ÝÑ ÓÞ Ô Ø ÐÖ Ò Þ Ø Ð Ð Ò Ø Ø ÔÙ Ø Ð º ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ô ÓÐ Ø Þ Ö Ú Ð Ú Ø Þ V (x) (x) = x. À x, y, z ÓÓÖ Ò Ø Ø Ð Þ Þ ÓÒÝÓÐÙÐØ º À ÐÝÞ Ø Ò Ö Ð Ò Þ Ö Ø Ö Ò V Ò = m g h À ÐÝÞ Ø Ò Ö Ö Ú Ø Ö Ø Ö Ò V Ö Ú = γ m 1 m 2 /r Ý ÖÑÓÒ Ù Ó Þ ÐÐ ØÓÖ ÐÝÞ Ø Ò Ö V ÖÙ = 1 D 2 x2 Ì Ð ØÑ Òݺ Æ Ñ Ñ Ò Ý Ó Ý Ù Ý Ò ÞØ ÑÙÒ Ø Ñ ÒÒÝ Ð ØØ Ú ÞÞ Ðº ÑÙÒ Ú Þ Ø Ð ØÑ Òݺ ýøð Ó Ø Ð ØÑ ÒÝ P = W t. È ÐÐ Ò ØÒÝ Ø Ð ØÑ ÒÝ P = dw dt = Ẇ. È Ð Ö ÐÐ ò Þ Ñ ÒÒÝ º Å ÖØ Ý È Â» Ï Û Øصº À Ø Ó º ÞÒÓ Ø Ø ØØ ÑÙÒ ÒÝ Ó Ø Ó η = W ÞÒÓ W Ø Ø ØØ. η Ñ Ò ¼ ½ Þ ØØ Þ Ñ Ú Ý Þ Þ Ð Ò Þ ØØ ÖØ º ÑÙÒ Ø Ø Ð ÑÙÒ Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Ø ØÖ Ø Ö Ö Ò Ø Ø Ò Ú Þ ØØ ÑÙÒ Ý ÒÐ Ø Ø ÑÓÞ Ò Ö ¹ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ú Ðº Ý Ñ ÒÞ ÑÓÞ Ö x2 x 1 (x)dx = 1 2 m v m v2 1. ÑÙÒ Ø Ø Ð ÓÖ Ð ÐÑ Þ Ø ÑÓÞ ÓÖ Ò ÐÐ Ô ÖÐ Ú Ý Þ ÐÐ Ò ÐÐ º ÓÖ ÖÐ ÑÙÒ Ø Ý Ð Ñ ÐÐ Ú ÒÒ ÖÐ Ö Ø ÖÐ Ý ØØ Ø ÒÝÓÑ Ö ÞÓÖÞ Ø ÒØ Þ ÑÓÐ Ù ÖÐ = µ ÒÝ º ½

20 Ø Þ Þ Ø Þ ÓÖ Ò Ø Ø Ø Þ ØØ ÐØ Ð Ò Ò ÝÓÒ Ö Ú Ø ÖØ Ò Ý ÓÖÑ Ú Ð Ý Ò Ý Ö Ø Ð Ö Ð Ò Ø Ð Ô Ðº ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò Þ Ø Þ Ø Ø Þ ÖØ Ö Ò Þ Ö ÒØ Þ Ð Ø º Þ Ø Þ Ó ÞØ ÐÝÓÞ º Ã Ø Ø Ø Ø Þ ÒØÖ Ù Ý Ò Ðк Ö Ø Þ Ð Øº Ý Ò Ø Þ Ö Ø Þ ÒØÖ Ù Ø Þ Ü ÒØÖ Ù Ø Þ Ø Ø Ø Ô Ö ÙÞ ÑÓ Þ Ø Þ ÒÓÖÑ Ð Ð Ø Ø Ø ÐÝÔÓÒØ Ò Ò Ñ Ô Ö ÙÞ ÑÓ Þ Ø Þ ÒÓÖÑ Ð Ð Ø Þ ÒÓÖÑ Ð ØÑ Ý Ø Ø ÐÝÔÓÒØ Ò Ø Þ ÒÓÖÑ Ð Ò Ñ Ñ Ý Ø Ø Ø ÐÝÔÓÒØ Ò ØÓÚ Ò ÓÐÝ Ò Ø Ð Ó Ð Ð ÓÞÙÒ Ñ ÐÝ ÓÖ Ò Þ Ø Þ Ø Ø Þ Ø Þ Ð ØØ ÙØ Ò Ý Ý Ò Ò º Ø Ð Ø Ò ÖÙ ÐÑ ØÐ Ò Ø Þ º Ì Ð Ø Ò ÖÙ ÐÑ ØÐ Ò Ø Ø Ø Ø Þ ÓÖ Þ Ø Þ ÙØ Ò ÞÓÒÓ Ð Ý ØØ Ð Ò ØÓÚ º ÁÐÝ Ò Ø Ò Ñ Ú Ð Þ ÖØ Ö Ò Þ ÖÖ Ð Þ Ð Ò ÖÚ ÒÝ Þ ÑÔÙÐÞÙ Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )u ÓÐ v 1 v 2 Þ Ø Þ Ð ØØ u Ô Þ Ø Þ ÙØ Ò º Þ Ò Ý Ý u = m 1v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2. Þ Ø Þ ÓÖ Ò Ð ÒØ Ñ Ò Ò Ö Ú ÞØ Ð Ô Ð Ñ ÐÝ Ø Ú Ø Þ ÓÖÑ Ò Ð Ø Þ ÑÓÐÒ W Ú Þ = 1 2 m 1v m 2 v (m 1 + m 2 )u 2, W Ú Þ = 1 m 1 m 2 (v 1 v 2 ) 2. 2 m 1 + m 2 Å Ò Ò Ö Ú ÞØ Ò Ø ÒØ Þ Ø Þ ÓÖ Ò ÐÐ Ô Ø Ò ÓØ Ñ Ö Ò ÓÖÑ ¹ Ø º Ì Ð Ø Ò ÖÙ ÐÑ Ø Þ º Ì Ð Ø Ò ÖÙ ÐÑ Ø Þ ÓÖ Ò Þ Ø Þ Ò Ö ÞØÚ Ú Ø Ø Ý ØØ ÑÓÞ Ò Ö Þ Ø Þ Ð ØØ ÙØ Ò Ñ Ý Þ º Ú Ð Ò ÐÝ Ò Ø Þ Ó Ñ ÓÖ ÙÐ Ð Þ Ð Ø Ð Þ Ø Þ Ò ÒÝ Ø ÐÝ ÒÒ Ø ÒØ Ø º Ñ Ò Ò Ö Ø Ø Ð Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò 1 2 m 1v m 2 v 2 2 = 1 2 m 1u m 2 2 u 2 ÓÐ v 1 v 2 Þ Ø Þ Ð ØØ u 1 u 2 Ô Þ Ø Þ ÙØ Ò º Ñ Ò Ò Ö Ñ Ñ Ö Ñ ÐÐ ØØ Þ ÑÔÙÐÞÙ Ñ Ñ Ö m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2. Ø Ý ÒÐ Ø Ð ÐÐ Ö Ò Þ ÖØ Ñ ÓÐ Ú Þ Ø Þ ÙØ Ò Ñ Ô Ø u 1 = 2m 2 v 2 + (m 1 m 2 )v 1 m 1 + m 2 u 2 = 2m 1 v 1 + (m 1 m 2 )v 2 m 1 + m 2 ¾¼

21 ÓÐÝ ÑÓÞ ÓÐÝ Æ Ô Ö Ð ÑÓÞ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Ø Ð Þ Ö Ã ÔÐ Ö Ó ÐÑ ÞØ Ñ º Þ Ø ÖÚ ÒÝ Ú Ð Ñ ÒØ Þ ÝÖ ÔÓÒØÓ Ñ Ö Ø ØØ Ð Ø Ú Æ ÛØÓÒ Þ Ñ Ö Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ñ ÚÓÒÞ Ð Ñ Ö Ø Ð Ö Øº à ÔÐ Ö Áº Ø ÖÚ ÒÝ º ÓÐÝ ÐÐ Ô Þ Ð Ô ÐÝ Ò ÑÓÞÓ Ò Æ Ô Ö Ð Þ ÐÐ Ô Þ Ý Ý ¹ Ø ÔÓÒØ Ò Ø Ð Ð Ø Æ Ôº ÓÐÝ Ñ Ò Ý ÑÓÞ Ø Ú Þ Þ Þ Ð Ø Ð Ý Ð Ö Ò Ò Ú Ð Ñ Ø Ð ÔØ Ò Ò Ú Þ Ò º à ÔÐ Ö ÁÁº Ø ÖÚ ÒÝ º Æ ÔØ Ð ÓÐÝ ÓÞ ÞÓØØ Ú Þ Ö Ù Ö Ý ÒÐ Ð ØØ Ý ÒÐ Ø Ö Ð Ø Ø ÖÓк Ð Ú Ø Þ Ò ÓÐÝ Ò Ô Þ Ð Ò ÝÓÖ Ò ÑÓÞÓ Ò Ñ ÒØ Ò ÔØ ÚÓк à ÔÐ Ö ÁÁÁº Ø ÖÚ ÒÝ º ÓÐÝ Ö Ò Ò Ò ÝÞ Ø Ý Ö ÒÝÐ Ò ÝÑ ÓÞ Ñ ÒØ ÓÐݹ Ô ÐÝ Ð Ò ÝØ Ò ÐÝ Ò º Ã Ø ÓÐÝ Ö T 1 2 T 2 2 = a 1 ÓÐ T 1 T 2 Ø Ö Ò a 1 a 2 Ø Ð Ò ÝØ Ò Ðݺ ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò Æ ÔØ Ð Ø ÚÓÐ ÓÐÝ Ö Ò ÓÓ Þ º 3 a 2 3 pályagörbe Bolygó vezérsugár Bolygó 1 Nap 2 Nap gyújtópontok súrolt területek ½ º Ö º Ö Ú Ø Ö Ø Ö Ò ÑÓÞ Ø Ø Ö Ú Ø Ö Ø Ö ÓÒÞ ÖÚ Ø Ú Ö Ø Ö Þ ÖØ Ú Þ Ø Ø ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ø Ð Ð Ñ Ò Ò Ö Ñ Ñ Ö Ò Ø Ø Ð º Ö Ú Ø Ø Ö Ò ÒÙÐÐ ÔÓØ Ò Ð ÐÝ Ø Ú Ø Ð Ò Ø ÚÓÐÖ Ú Ð ÞØ Ù ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Þ V Ö Ú = γ Mm r Þ Ð Ø Ñ ÓÐ M Ø Ö Ø ÐØ m Ô Ø Ö Ò ÑÓÞ Ø Ø Ø Ñ º Þ Þ Ò Ö E Þ = 1 2 m v2 γ Mm r À Þ Þ Ò Ö Ò Ø Ú ÓÖ Ø Ø ÐÐ Ô Þ ¹ ÖÔ ÐÝ Ñ ÒØ Ò ÑÓÞÓ º À Þ Þ Ò Ö ÔÓÞ Ø Ú Ô ÐÝ Ð Ô Ö ÓÐ Ú Ý Ô Ö ÓÐ º ¾½

22 r erõ α forgástengely döféspontja erõkar K hatásvonal ½ º Ö º ÓÖ ÑÓÞ Ò Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ý Ø Ø ÓÖ ÓÖÓ Ø Ý ÓØØ ÓÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÐÝ Ò Ö Ø Ö Ñ ÐÝÒ Ø ÚÓÒ Ð Ò Ñ Ñ Ý Ø ÓÖ Ø Ò ÐÝ Òº Þ Ö Ø ÚÓÒ Ð Þ Ö Ú ØÓÖ Ñ Ò Ø Ö ÒÝ Ñ Ó Þ Ø º Ì Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ ¹ ÓÞ Ò Ñ Ð Ò Ø ØÖ Ø Ö Ñ Ð Ø Ò Ñ Þ Ö Ò ÓÖ Ø Ø Ð ÐÐ Ö Ò Ð ÞÒ º ÓÖ Ø Ø Ò Ñ ÞÚ ØÐ Ò Ð Þ Ö Ú Ð Ò Ñ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ð Ú Ò Ô ÓÐ Ø Òº M = r M = r sin(α), ÓÐ k = r sin(α) Þ Ö Ö º Ö Ö Þ Ö Ø ÚÓÒ Ð Ò ÓÖ Ø Ò ÐÝØ Ð Ú Ð Ø ÚÓÐ º ÓÖ ÑÓÞ Ò Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Æ ÛØÓÒ¹Ñ Ó Ø ÖÚ ÒÝ Ú Ð Ò Ð i M i = dl d t = L Ò Þ Ø Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Ø Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖÓ Ò Þ Ø Ò ÐÝ ÐÐ Ú Ý ÒÑ Ú Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ò ÐØÓÐ L = θ ω Ý M i = i d (θ ω). d t θ Òº Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ñ ÐÝ Ø Ø Þ ÝÓÖ Ø Ð Þ Ñ Ò ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ñ ÖØ Ø Ø ¹ ÖÓÞÞ Ñ º Ý ØÐ Ò m Ø Ñ ò Ø Ñ ÔÓÒØ Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ñ ÐÝ ÓÖ Ø Ò ÐÝØ Ð r Ø ÚÓÐ Ö Ú Ò θ = m r 2 º Ý Ø Ø Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ø Ø Ñ ÔÓÒØÓ Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ò Þ Þ ¹ Ú Ð Ð Ø Þ Ñ Ø Ò θ = i m i r i 2 º Ì Ø Ø Þ Ö ÓÐÝ Ò Ø ÚÓÐ Ú Ò Ø Ñ ÔÓÒØ Ò Ý Þ Ö Ò Þ Þ ÝÓÖ Ø Ò º Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ð ÒØ Ø Ö Ø Ø Ø Ø Ò ÒÝ ÐÚ ÒÙÐ Ñ º θ Ø Ñ Ð Ò Ð ÒÒ Ð Ó Ð ÓÒÝÓÐÙÐØ Ó ÐÓѺ Ñ Ø Ñ Ý ØÐ Ò Þ Ñ ØØ Ð ÐÐ Ñ Þ Ø Þ Ñ ÒÒÝ Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø ÐØ Ð Ò Ð Ò Ö Þ Ñ ØÓØ Ð Òغ À ÓÑÓ Ò Ø ¹ Ñ ÐÓ ÞÐ Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Ø Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖÓ Ò ÓÖ θ Ñ ÓÞ Ý ØÐ Ò ¾¾

23 Þ Ñ Ø Ð Ò º È Ð ÙÐ θ ÓÖÓÒ = 1/2 m R 2 θ ÖÓÒ = m R 2 θ Ñ = 2/5 m R 2 Ý ØÓÚ º Þ Ø Þ ÖØ Ø ÒØ Ö Ð Ð Ð Ø Þ Ñ ØÒ θ = r 2 dm Ò Þ Ø Ò Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Þ Ò Ò Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ð Ú Ø Þ M i = θ β. i ÓÖ Ò Ö º ÓÖ ÙÒ Ý Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Ø Ø ω Þ Ð Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ðº ÓÖ Þ i¹ Ø Ñ ÔÓÒØ ÑÓÞ Ò Ö Þ ÞÞ ÞØ Ñ Ò Ò ÔÓÒØÖ N i=1 1 2 m i (r i ω) 2 = m v2 = 1 2 m i (r i ω) 2. ( N ) m i (r i ) 2 ω 2 = 1 2 θ ω2. Þ Ð Ô Ò Ý Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Ø ÓÖ Ò Ö Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Ö i=1 E ÓÖ = 1 2 θ ω2. ÅÙÒ Ø Ø Ð ÓÖ Ö º Á ÞÓÐ Ø Ó Ý W ÑÙÒ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Þ Ð ÓÖ ÙÐ ÞÓÖÞ Ø ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø ÐÐ Ò W = M ϕº À ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Þ Ð ÓÖ ÙÐ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ú ÒÝ W = ϕ2 ϕ 1 M(ϕ) dϕ. Ø ØÖ Ø Ö ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ò Þ Ö Þ Ø ØØ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Ø Ò Ø Ø ÓÖ Ò Ö Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ñ ϕ2 ϕ 1 M(ϕ) dϕ = 1 2 θ ω θ ω 1 2. Þ ÑÙÒ Ø Ø Ðº Ñ Ò Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð ÞÓÒÝÓ Þ Ñ ÒÒÝ Ý Ø Ø Ú Ý Ý Ö Ò Þ Ö ÑÓÞ ÓÖ Ò Ò Ñ Ú ÐØÓÞÒ º Þ Ø Ñ ÒÒÝ ¹ Ø Ñ Ñ Ö Ñ ÒÒÝ Ò Ú Ý ÑÓÞ ÐÐ Ò Ò µ Ò Ú ÞÞ º Å Ñ Ö Ñ ÒÒÝ Þ ÑÔÙÐÞÙ Ð Ò Ð Øµ Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ô Ö Ð Øµ Ñ Ò Ò Ö º Þ ÑÔÙÐÞÙ p = m v Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò Ö Ò Þ Ö Ò Ñ Ñ Ö Ñ ÐÝ Ò Ò Ñ Ø Ð Ö Ò Þ Ö Þ Ò Ñ Ø ÖØÓÞ µ Ö º Þ ÐÝ Ò Ö Ò Þ ÖØ Ñ Ò Ð Þ ÖØ Ö Ò Þ ÖÒ Ò Ú ÞÞ º Å Ò Ð Ò Ñ Þ ÖØ Ö Ò Þ Ö Ø Ò Ñ Ñ Ö Ø Þ ÑÔÙÐÞÙ Ò Þ Ø Ò Ð Ö Ø Ö Ú º Þ ÑÔÙÐÞÙ ¹ Ñ Ñ Ö ÐØ Ð Ò ÖÚ ÒÝ Þ Ø Þ Ð Ò Ö º Þ ÑÔÙÐÞÙ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð p ÓÖ = p. ¾

24 Ã Ø ÐÐ Ö ÓÐÝ Ø Þ Ö Þ ÑÔÙÐÞÙ ¹Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 ÓÐ v 1 v 2 Þ Ø Þ Ð ØØ u 1 u 2 Þ Ø Þ ÙØ Ò Ú ØÓÖÓ º Þ ÑÔÙÐÞÙ ¹Ñ Ñ Ö Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð Ò ÝÚ Ö Ú Þ Ö Ú Þ Ö Ø º Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ Ñ Ö ÓÖ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ñ Ö Ø ÖÚ Òݺ Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú ØÓÖ Ò Þ Ö ÒØ L = r p, ÓÐ r ÓÖ Ø Ò ÐÝØ Ð Þ ÓØØ ÔÓÒØ ÑÙØ Ø Ú ØÓÖ p Ô Þ ÓØØ ÔÓÒØ Ò Þ ÑÔÙÐÞÙ Ú ØÓÖº À Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Ø Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖÓ Ò Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú ØÓÖ Ò Ý Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ø Ð L = θ ω, ÓÐ θ Þ Òº Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ñ ÐÝ Ø Ñ Ð Ò Ð Ñ ÒÒÝ º θ Ý Ø Ø Þ ÝÓÖ Ø Ð Þ Ñ Ò ÐÐ Ò ÐÐ Ò Ñ ÖØ Ø Þ º Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð L ÓÖ = L. Ã Ø Ð Ò Þ Þ Ð ÓÖ ÓÖÓÒ ÓØ ÝÑ Ö Ó ÙÒ Ñ ÐÝ Ú Ð Þ Þ Ð ÓÖÓ Ò θ 1 ω 1 + θ 2 ω 2 = (θ 1 + θ 2 ) ω Þ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ Ñ Ö Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð Ò Ø ÒÓ Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ð Ð ÙÐ ÝÓÖ ÙÐ ÓÖ Ø Ö Ù Ò Ð ÓÔØ Öº Ñ Ò Ò Ö Ñ Ñ Ö Òº ÓÒÞ ÖÚ Ø Ú Ñ Þ Ò Ú Ý Ö Ø Ö Ò Ð Ø º ÃÓÒ¹ Þ ÖÚ Ø Ú Ö Ø Ö Ò Þ ÐÚ Þ ØØ ÑÙÒ Ò Ñ Ô ÐÝ Ö Ð Ø Ðº Ú Þ ØØ ÑÙÒ Ø Þ Ø Ú ÐÐ ÔÓØ Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ º Ý Ø Ø Ò Ö Ú Ð Ö Ò Ð Þ ÓÖ Ð ÐÑ Ö ÐÑ ÒÝ Þ ØØ ÑÙÒ Ø Ú Þ Øº ÓÒØÓ Ö ÑÙÒ Ó ÐÑ Ø Þ Ò Ö Ú Ð Þ Ò Ö Ó ÐÑ Ø ÑÙÒ Ú Ð ¹ ØÙ Ñ Ø Ó ÐÓÑ Ð Ò Þ ÝÑ Ø Ðº Å Ý Ø ØÒ Ú Ý Ö Ò Þ ÖÒ Ð Ø Ò Ö ÑÙÒ Ò Ñº ÒÒ Ó Þ Ó Ý ÑÙÒ Ó ÐÑ Ò Ñ Ø Ø Þ Ò Ñ ÑÙÒ Ú Þ Þ Ô ÓÐ º Ñ Ò Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ ÓÒÞ ÖÚ Ø Ú Ö Ø Ö Ò Ý Ø Ø Ò Ø Ù ÑÓÞ µ ÔÓØ Ò Ð ÐÝÞ Ø µ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ñ ÒÒÝ E1 Ò + E ÔÓØ 1 = E2 Ò + E ÔÓØ 2 E 1 + V 1 = E 2 + V 2, ÓÐ E = 1 2 m v2 Ø Ø ÑÓÞ Ò Ö Ñ ÐÝ Ø Ø Ø Ñ Ø Ð Ø Ð V Ô Ø Ø ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ñ ÐÝ Ø Ð Ö Ò Þ Ö ØÙÐ ÓÒ º Ñ Ò Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð Ò Ñ Ð ÐÑ Þ Ø ÖÐ Ú Ý Þ ÐÐ Ò ÐÐ Ð ÒØ Þ Ö Ô Ø Ø Þ Þ Ø Þ Ð Ò Þ Ð Ø Ð Ø Ò ÖÙ ÐÑ Ø Þ Ø Ò Ñ Ö Ñ Ñ Ò Ò Ö º ¾

25 β K m 2 R K t m 1 mg ½ º Ö º È Ð Þ Ø º Ð Ô Ð ÒØ Ø ÒØ Ò Ý m 2 Ø Ñ ò R Ù Ö ÓÖÓÒ ÓØ Ñ ÐÝ Ö Ð Ø Ö Ú ÖØ ÓÒ ÐÓÒ Ö ÞØ Ð Ý m 1 Ø Ñ ò Ø ØØ Ð Ú Ò Þ Ô ÓÐÚ º Ö Ò Þ ÖØ Ñ Ö Ý Ù º Ø Ø ÝÓÖ ÙÐÒ Þ Ð Ò Ð Ð Þ Ò ÓÒ Ð Ö ¹ Ú Ò ÚÓÒ Ö Ø Ø ÓÖÓÒ Ö º Ì Ý Ð Ó Ý ÓÖÓÒ Ú Þ Þ ÒØ Ð Ð Ø Ò Ø ÞØ Ò Ö Ð Þ Þ Ð Ð Ø Ð Ð Ö ÒØ Þ ÔÓÒØ Ø Ð ÓÒ Ò Ñ Þ Ñ º ÓÖ Ø Ò ÐÝØ Ð Þ Öò ÓÖÓÒ Þ ÑÑ Ø¹ Ö Ø Ò ÐÝ Ò Ú Ð ÞØ Ò º Î Ð ÞØ Ø Ù Þ ÑÑ ØÖ Ø Ò ÐÐÝ Ð Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ð Ð Ø Ð Ð Ö ÒØ Þ ÔÓÒØÓÒ ØÑ Ò Ø Ò ÐÝØ º ÓÖ ÓÖÓÒ Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ø ËØ Ò Ö¹Ø Ø Ð Ø Ú Ð ÐÐ Ø Þ ÑÓÐÒÙÒ ÖÖ Ø Ò ÐÝÖ Ò ÞÚ º Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Þ Ö Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÝÓÖ ÙÐ Ú Ð Ö Ù Ð Ò Ñ Ý ÒÐ Ø Ø β¹ú Ð Ð ÖÚ m 1 g K = m 1 (2 a ÌÃÈ ), K + t = m 2 a ÌÃÈ, KR t R = θ a ÌÃÈ R. m 1 g K = m 1 (2Rβ), K + t = m 2 (Rβ), KR t R = θβ, ÓÐ θ = 1 2 mr2 º ÒÝ Þ Ö ÐØ Ø ÐØ Ø ÞØ Ö Ð ÞÓÐ ÐØ Ø a ÌÃÈ = Rβº ÓÒÝÓÐÙÐØ ÒÝ Þ Ö ÐØ Ø Ð Ø Ð Ò ÝÓ ÓÞ Ö Þ Ø ØØ Ô Ö Ñ Ò Ú Ò ØÚ Ø Ú º Ì Ý Ð Ó Ý m 1 Ø Ø a ÝÓÖ ÙÐ Ð ÐÐÝ º ÓÖ Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÝÓÖ ÙÐ a ÌÃÈ = R R + r a. Ò Ñ Ð Ô Ý ÒÐ Ø a ÝÓÖ ÙÐ Ð ÞÚ Ú Ø Þ a β Ô ÓÐ Ø m 1 g K = m 1 a, K + t = m 2 R K r t R = θ R + r a, a R + r. a = R + r R a = (R + r) β. ÌÃÈ ¾

26 β K m 2 R r K a t m 1 mg ¾¼º Ö º ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ m 1 g K = m 1 (R + r) β, K + t = m 2 R β, K r t R = θ β V = mgl β m l R ¾½º Ö º V = 0 Î Ð Ø ÒØ Ò Ý ÓÐÝ Ò Ø Ñ ÐÝÒ Ö Ð Ø Ö Ú ÖØ ÓÒ Ð Ñ ÒÒÝ Þ Ø Þ Ú Ò Ö Þ ØÚ º Å ÓÖ Ð Þ Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ Ò Ð Ò Ñ Ú Ö Ù Ñ l Ó Þ ÓÒ Ð Ð Ø Ö Ì ÖÑ Þ Ø Ò ÓÒ Ð Ð Ð Ø Ò Ò Ñ Þ Ñ º ÓÒ Ð Ð Ø Ö Þ Ò Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÝÓÖ ÙÐ Ô Þ ÝÓÖ Ùк Å Ú Ð Þ ÖÐ Ò Ñ Ð Ô Ð ÖÚ ÒÝ Ñ Ò Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð Þ Þ ÑÓÞ ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Þ ÑÓÞ ÓÐÝ Ñ Ò ÐÐ Ò º Ì Ø E k + V ÑÓÞ Þ Ø Ò Þ l Ó Þ ÓÒ Ð Ð Ø Ö ÙØ Ò ÞÓÒÓ º ÔÓØ Ò Ð Ò Ö ÒÙÐÐ Þ ÒØ Ø V = 0µ Ø Ø Ð Ñ ÐÐÝ ÐÝÞ Ø Ò Ð Þ Öò ÐÚ ÒÒ Þ ÖØ Þ Ø Ò mgl ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ú Ò Ö Ò Þ ÖÒ º ÖÑ ÐÝ Ô ÐÐ Ò Ø Ò Þ Þ Ø Ò Ö 1/2 m v 2 ÑÓÞ 1/2 θ ω 2 ÓÖ Ò Ö Þ ÒØ Ð Ò Ñ º Þ ¾

27 Ð Ô Ò mgl = 1 2 mv θ ω2 mgl = 1 2 mv v2 m R2 2 R 2 gl = v2 2 + v2 4 4gl v = 3. Ð Ø Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ ÓÐ Ø Ò Ñ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò Ñ ÓÐ Ó Þ ÐÑ º Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ò Ñ Ý ÒÐ Ø Ð Þ ÑÓÐ Ù Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ Ò ÝÓÖ ÙРغ Þ ÝÓÖ ÙÐ ÐÐ Ò º Ý Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ ÝÓÖ ÙÐ Ò Ñ Ö Ø Ò Ò Ñ Ø Ý ÒÐ ØØ Ð Ø ÖÓÞ Ø Ù Ñ Ú Ø l Ø ÚÓÐ Ñ Ø Ø Ð ÙØ Òº Ø Ø Ð Ô Ý ÒÐ Ø Ø Ø Ñ Ö Ú Ø Ø Ý Ò ÐÝ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ º Ý Ø Ø Ý Ò ÐÝ Ò Ú Ò Ñ Ò Þ a ÝÓÖ ÙÐ Ñ Ò β Þ ÝÓÖ ÙÐ Þ ÖÙ º Þ Ð ÐØ Ø Ð Ø Ø Ú Ð ØØ Ð Ò Ò Ñ Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ i = 0 i M i = 0 i ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ Ð Ý Þ Öò Ö Þ ÓÖÑ º Í Ý Ò ÓÖ ÓÒÝÓÐÙÐØ Ö Þ Ð ÐÐ Ø Ø ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÞÙÔ ÖÔÓÞ Òغ Ð Ø Ö Þ Ö Ô Ö Ò Þ Ö ÖÑÓÒ Ù Ö Þ Ø Ú Þ Ð Ò Ò Ö ÞØ Ò Ø Þ º D A m A egyensúlyi helyzet x ¾¾º Ö º Ì ÒØ Ò Ý D ÖÙ ÐÐ Ò ÐÝØ Ð Ò ÖÙ Ð Ý m Ø Ñ ò Ø Ø Ð ÐÐ Ö Ò Þ Öغ Ø Ø Ú Þ Þ ÒØ Ð Ð Ø Ò ÖÐ Ñ Ò Ø Ò ÑÓÞÓ Øº ÖÙ ÐÐ Ò ÖÙ ÒÝ Ö ÐÐ ÑÞ ÞØ Ñ Ó Ý Ý ÒÝ Ó ÞÚ ÐØÓÞ ÓÞ Ñ ÓÖ Þ Ø Ö Þ º Å Ò Ð Ò ÝÓ D ÖÙ Ø ÒÒ Ð ¾

28 Ö º À ÖÙ Þ Ø ØÐ Ò Ø Ø ÒÝÙ ÐÓÑ Ò Ú Ò ÞÓÒ Ò Ø Ø Ø ÑÓÞ Ø Ù x¹ Ð Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ð ÖÑÓÒ Ù Ö Þ Ø Ó Ú ÞÒ º Þ Ð ÐÝÞ Ø Ø ÚÓÐ Ø Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ ØØ Ð Þ A ÑÔÐ Ø ÐÐ ÑÞ x Ñ Ò = A x Ñ Ü = +Aµº Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ò Ø ØÖ Ø Ö Ö ÒÙÐÐ ÖÙ Þ Ø ØÐ Ò Ø Ø ÔÔ Ò Ñ Ü Ñ Ð º ÔÔ Ò Þ ÖØ ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÓÖ Ò Þ Ý Ò ÐÝ Ó Ñ ÒÝÙ ÐÑ ÐÐ ÔÓØÓØ Ð Òغ ÖÑÓÒ Ù Ö Þ Ò Ú Ò Ý Ò Ñ Ø Ý Ò Ñ Ñ Ø ÖÓÞ º Ò Ñ Ø Þ Ñ Þ ¹ Ð Ò ÞÚ Ý Ø Ø ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ Ø Ú Þ Ø Ø ÔÓÞ ¹ Ú ÒÝ Þ Þ ÒÙ ÞÓ Ú Ý Ó Þ ÒÙ ÞÓ Ú ÒÝ º Þ Þ x(t) = A cos(ω t) Ú Ý x (t) = A sin(ω t)º Þ Ò Ú ÒÝ Ò Þ Ö ÔÐ A Ø Ö Ñ Ü ÑÙÑ Ò Ú ÑÔÐ Ø ω = 2πf Ô Ö Ö Ú Ò º Ò Ñ Þ ÑÔÓÒØ Ð Ý Ø Ø ÖÑÓÒ Ù Ö Þ Ø Ú Þ Ö Ø Ö Ú Ý Ö Ö µ ÖÑÓÒ Ù Þ Þ = Dxº Ö Þ ÑÓÞ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ô Ø Ù Ñ Dx = mẍ, ØÖ Ò ÞÚ ẍ + D m x = 0, Ñ ÐÝ Ò D M = ω. Å Ú Ð ω = 2π/T Ô Ö Ù Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Þ ÑÓÐ Ø Ù M T = 2π D. Ä Ø Ø Ù Ó Ý Ô Ö Ù ØÐ Ò Þ ÑÔÐ Ø Ø Ðº ÞØ ØÙÐ ÓÒ ÓØ ÞÓ ÖÓÒ ÞÑÙ ¹Ò Ò ¹ Ú ÞÞ º ÁÐÝ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐ Ò ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÞÓ Ö Ò Ö Þ º Î ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ð Ò ÞÓ Ö ÒÓ ¹ Ú Ð Þ Þ Ó Ý ÐØ Ð Ò Ò Ñº ÒÒ Ó Þ Ó Ý Ñ Ø Ñ Ø Ò Ò ÖÑÓÒ Ù Ö Þ Ø Ú Þº Î ÞÓÒØ Ð Ò Þ ÓÐÝ Ò Ñ Ü Ñ Ð Þ Ø ÖØÓÞÒ Ó Ý sin(ϕ) ϕ Ð Ò Þ Ð Ø Ð ÞÓ Ö ÒÒ Ø ÒØ Ø º Æ Ý ϕ Þ Ø Ò Þ ÞÓ Ö Ò ÐÐ Ý Ø ÖØ Ø ÒÒ Þ Ò Ó Þ Ø Ö Ú Ø º Å Ð Ð Ð ÔÓ Ð ÐÑ Þ Ú Ð ÀÙÝ Ò Þ Ö ÞØ ØØ ÓÐÝ Ò Ò Ø Ñ ÐÝ Ò Ý Ø Ö Ö ÞÓ Ö Ò Ñ Ö Øº ÒÒ º Ý ÒÐ ØÒ ÞÓÒ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ñ ÐØ Ð ÒÓ µ Ñ ÓÐ Þ x(t) = A cos(ω t) Ú Ý x (t) = A sin(ω t)º Þ ÓÒÒ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ Ñ Ö Þ Ø ÓÖ Þ Þ t = 0¹ ÓÖ Ø Ø Ú Ý Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ò Ú Ò x(0) = 0 Ú Ý Þ Ý Þ Ð ÐÝÞ Ø Ò x (0) = Aº ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý ÐØ Ð Ò Ú Ú Þ Ñ Ö Þ Ø ÓÖ ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ Ø Ú Þ Ø Ø [ A, A] ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓÒ Ð Ð Ö ÓРРغ Å ÔÔ Ò Ó ÐÑ ÞÚ Þ Ñ Ö Ø Ø Ø ÖÑ ÐÝ ÔÓÞ Ò Ð Þ Ø Ñº ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ Ñ Ø Ú Ø Þ Ð Ò Ñ ÐÝ Ò ϕ Òº Þ Þ º x(t) = A sin(ωt + ϕ), ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ Ò Ñ Ø ÐÐ ÑÞ º À ÔÓÞ ¹ Ú ÒÝÒ Þ x(t) = A sin(ωt) Ú ÒÝØ Ú Ð ÞØ Ù ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÓÖ Ò ¹ ÝÓÖ ÙÐ Ú ¹ ÒÝ Ú Ø Þ Ð v(t) = Aω cos(ωt), a(t) = Aω 2 sin(ωt). ½µ ¾µ ¾

29 x A Aω v T/4 T/2 3T/4 T t t a Aω 2 t ¾ º Ö º Þ Ð Ú ÒÝ Ð ÒÒÝ Ò ÓÐÚ Ø Ó Ý Ñ Ü ÑÙÑ v Ñ Ü = Aω ÝÓÖ ÙÐ Ñ Ü ÑÙÑ Ô v Ñ Ü = Aω 2 º Æ ÝÓÒ ÞÒÓ Þ ÓÒÐ Ø Ò Ò Ñ Ø Ú ÒÝ Ø ÝÑ Ðº Ñ ÓÖ ÔÓÞ Þ ÖÙ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ø Ø Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ò Ð Ö ÞØ Ðº ÓÖ Ñ Ü Ñ Ð ÝÓÖ ÙÐ Ú ÞÓÒØ ÒÙÐÐ º Þ Ð ÐÝÞ Ø Ò ÔÓÞ x = A ÒÙÐÐ ÝÓÖ ÙÐ Ú ÞÓÒØ Ñ Ü Ñ Ð º ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ Ò Ö Ú ÞÓÒÝ º Ë ÖÐ ÒÝ Ò ÖÑÓÒ Ù Ö Þ ÑÓÞ ÓÖ Ò Ò Ø Ù ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Þ ÐÐ Ò º À x¹ Ð Ø Ö Ø ØØ Ø Ø Ø Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ð Þ Þ Þ Ø Ò Ö ÔÓØ Ò Ð Ò Ö ÓÖÑ Ò Ú Ò Ð Ò E Þ = V º ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ø Ò ÖÙ Ñ Þ Ø Þ Þ Ò Ö V = 1 2 D x2 = 1 2 D A2. Þ Þ Ò Ö Þ Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ò Ø ÞØ Ò Ò Ø Ù Ò Ö E kin = 1 2 m v Ñ Ü 2 = 1 2 m A2 ω 2. Ã Þ Ð ÐÝÞ Ø Ò Þ Þ Ò Ö Ö Þ Ò Ò Ø Ù Ö Þ Ò ÔÓØ Ò Ð Ò Ö E Þ = 1 2 m v D x2. Ò Ø Ù Ò Ö ÔÓÞ Ø Ú Ø Þ ÔÔ Ò Ø Ù Ñ E Ò (x) = 1 2 D A2 1 2 D x2. ¾

30 E E össz E (x) k V(x) A A x ¾ º Ö º ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ø Ý Ô Ø Ù Ñ Ó Ý Þ Ò Ö Þ x = x(t)¹ø ÐÝ ØØ ¹ Ø Ò V (t) = 1 2 D x(t)2 = 1 2 D A2 sin(ωt) 2. Ò Ø Ù Ò Ö Ø Ñ ÓÖÑÙÐ ÓÞ Ý ÙØÙÒ Ó Ý Þ Ò Ö Þ v = v(t)¹ø ÐÝ ØØ Ø E Ò (t) = 1 2 m v(t)2 = 1 2 m A2 ω 2 cos(ωt) 2. ¼