M dv = dm q. M dv = Fdt+dM q.

Átírás

1 Ì ÊÌ ÄÇÅ à ½ Î ÐØÓÞ Ø Ñ ò Ö Ò Þ Ö Ñ Ò Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÑÙÒ Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ö Ø ÝÓÖ Ø Ð Ø Ö Ñ ÒØ Ø Ö Ò º º º º º º º º º º Þ ÔÔ Ò Ú º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò ÓÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º Þ ÐÐ Ø Þ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Þ ÞØ ÐÖ Ð Ð Þ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Þ Ý Ú Ò Ð ÙÐÐ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò ÓÖ Ø Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø º º º º º º º º º º º ¾ ½¼º ØòÞÓÐØ ÙÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½º Ö Ð Ø Ú ÞØ Ù Ö Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø Ì ÒØ Ò Ý Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ò ÒÝÙ Ú M Ø Ñ ò Ø Ø Ø Ñ ÐÝ Ø Ý q ò Ò Ò Ø Þ Ñ Ð Ò dµ Ø Ñ ò Ø Ø Ø Ð Ð Ð Ý Ó Ý ÒÒ Ñ Ö º Ñ Ò Ú ØØ (M + dµ) Ø Ñ ò Ø Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò dv Ö Ø Þ Þ ÖØ Ñ ÐÝ Ø Þ (M +dµ) dv = dµ q ÑÔÙÐÞÙ Ñ Ñ Ö Ð Þ Ñ Ø ØÙÒ º ØÓÚ Ò dµ dv Ò Ò ¹ Ø Þ Ñ Ð Ñ ÒÒÝ Ò Ð Ò Ö ÔÓÒØÓ Ð ÐÐ Þ ÑÓÐÒÙÒ Þ ÖØ Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ñ Ð ØØ Ø Ø ÑÔÙÐÞÙ Ö Þ M dv = dµ q Þ Ø Ô Ù º Ñ Ð ØØ Ø Ø ÑÓÞ Ò Ö Þ Ò Ò Ø Þ Ñ Ð dv ¹ Ò ÝÞ Ø Ú Ð Ö ÒÝÓ Þ ÖØ Ø Ö Ý ÐØ Ö Ò Ò ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ º Þ ÐÒÝ ÐØ Ø Ø 1 2 dµ q2 ÑÓÞ Ò Ö ÞÓÒ Ò Ð Ö Ò ò Ñ ÒÒÝ Ñ ÐÝ Ø Ý Ð Ñ ÐÐ Ú ÒÒ º Þ dµ Ø Ñ Ð Þ ÓÖ Ð Ø Þ Ø Ø Ð Ò Ö Ø Ò Ú Ð ÐÑ Ð Ø Ø Ø Øµº À ÓÒÐ Ò Ø Ö Ý Ð Ø Þ Þ Ø Ñ ÓÖ ÒÝÙ Ú M Ø Ñ ò Ø Ø Ý q ò Ò Ò Ø Þ Ñ Ð Ò dµ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ð Ñ Þ Ò Ñ dv Ö Ø Þ Þ Öغ Þ ÑÔÙÐÞÙ Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð ÓÖ (M dµ) dv+dµ q = 0, Ñ ÐÝ Ð Ö Ò ò ÔÓÒØÓ Ð ÓÖ ÔÐ ØÖ Ú Þ Ø ÞÞ Ð Ð Ò Ð Ó Ý Ó ÓÐ ÐÓÒ Ñ Ð Ò Ý Ñ ÒÙ Þ M dv = dµ q.

2 ½ Å Ë Ë ÊË ÃÁ¹ ÆÄ Ì ¾ Ø ÔÐ Ø Ø ÞÓÒ Ò Þ Ð Ö ÓÞ Ø Ù Ú Þ Ø dm Ð Ð Ø Ñ Ú ÐØÓÞ Ø { dµ Ø Ø Ø Ñ Ò dm = dµ Ø Ø Ø Ñ Ò Ò Ú Ðº ÓÖ Þ M dv = dm q ½º½µ ÔÐ Ø Ñ Ò Ø ØÖ Ý Ö ÒØ ÖÚ ÒÝ º ØÓÚ Ò Þ ÓÒÚ Ò ÓÞ Ø ÖØ Ù Ñ ÙÒ Øº À Ø ØÖ Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò F Ö Ø ÓÖ ½º½µ¹ Ò Þ Ð Þ ÖÑ Þ Ö Ð Ø Ø Ý Ð Ñ ÐÐ Ú ÒÒ º Þ Ò Ò Ø Þ Ñ Ð Ò Ø Ó Ø Ú Ø Ð Ô Ò Þ ÖØ M dv = F+dM q. ½º¾µ Ì Ý Ð ÑÓ Ø Ó Ý Ý Ú ÐØÓÞ v(t) ò Ø Ø ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ú Þ Ð Ø Ñ Ø ÖÒÝ Þ Ø Ð Ú Ý ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ñ ØØ Ðº ÞØ ÓÐÝ Ñ ØÓØ Ø Ñ ¹ ØÖ Ò Þ ÖÒ Ú Ý ÓÒÚ Ò µ Ó Ù ÚÒ º Ø Ñ ØÖ Ò Þ Ö Ú Ø ÞØ Ò Ø ØÒ Ò Ú ÐØÓÞ M(t) Ø Ñ Ð Þº (t,t+) Ò Ò Ø Þ Ñ Ð ÒØ ÖÚ Ð¹ ÐÙÑ Ò ÐÚ ØØ Ø Ñ Ð Ý Ò dm(t)º Þ Ð Ø Ò Ø Ú Ñ ÓÖ dm(t) Ø Ñ Ð º (t,t +)¹ Ò ÐÚ ØØ Ú Ý Ð ØØ Ø Ñ Ð Ý Ò u(t)º Ö Ù Ð Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò Ø Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø ÐØ Ú Þ Ö ÒØ Ø Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò K Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ò ÑÓÞÓ v(t) ¹ к ÖÑ ÐÝ ÓØØ t¹ Þ Ø ÖØÓÞ Ý K t Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ñ ÐÝ Ò Ø Ø Þ ÓØØ Ô ÐÐ Ò Ø Ò ÔÔ Ò ÒÝÙ ÐÓÑ Ò Ú Ò Ô ÐÐ Ò ØÒÝ ÒÝÙ ÐÑ Ö Ò Þ Öµº K t ÒÝ ÐÚ Ò ÓÒ Ø Ò v(t) Ð ÑÓÞÓ K¹ Ò ÓÞÞ Ú ÞÓÒÝ ØÚ ÖÚ ÒÝ ½º¾µº Å Ú Ð ÞÓÒ Ò Ò ÛØÓÒ Þ Ò Ð Ò Þ Ö Ò Ñ Ú ÐØÓÞ Ñ ÓÖ Ý Ò Ö Ö Ò Þ ÖÖ Ð Ý Ñ Ö Ø Ö Ò Ø q ¹ Ô Ò Þ Ö ÒØ ØÐ Ò Þ Ò Ö Ö Ò Þ Ö Ñ Ú Ð ÞØ Ø Ð Þ Ò Þ ÐÒÝ ÐØ Ú Ý Ð ØØ Ø Ñ Ò Ñ Ò Ø Ø Þ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ Ú Ð Ý ÒÐ µ Þ ÖØ ½º¾µ Ú Ð Ò K¹ Ò ÖÚ ÒÝ º Ä Ð ÖÖ Ð Ð Ø Þ Ó Ý q¹ø q = u v. ½º µ Ý ÒÐ Ø Ø Ú Ð ÞÞ ÒÒ u¹ò v¹ò Ö ÞØ Ð ½ º ÞØ ÐÝ ØØ Ø Ø ÐÚ ÞÚ ¹Ú Ð Ø ÖØ Ò Ó ÞØ ÙØ Ò Þ Ý ÒÐ ØÖ ÙØÙÒ Ñ ÐÝ Ø M dv = F+ dm (u v) d(mv) = F+ dm u. ½º µ ½ Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø Ò K t¹ö Ð K¹Ö Ø ÖØ Ò ØØ Ö Ò Ñ ÐÝ Ò Ý Þ Öò Ñ ÖØ ÝÓÖ¹ ÙÐ Ò Ñ ÒÚ Ö Ò Þ ÔÐ Ø ÓÒÝÓÐÙÐØ Ñ ÒØ ½º µ Ð º ½½º Þ Ø Øµº

3 ½ Å Ë Ë ÊË ÃÁ¹ ÆÄ Ì Ð Ò Ð Ö ØÙÒ º ÑÓÞ Ý ÒÐ ØÒ Þ Þ Ð ÓÖ ÞÒÓ Ñ ÓÖ K¹ ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ¹ ØÓØØ u(t) Ú Ò Ñ Ú º Þ ÓÐÝ Ò Ð ØÓ Ò ÞÓÒ Ò Ñ ÐÝ Ò Ø Ø Þ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ q(t) Þ Ñ Ñ ÖØ Ñ ÒØ Ô Ð ÙÐ Ö Ø ÑÓÞ ¹ Ò Ðµ ÓÖ Þ ½º¾µ¹ Ð Ô Ø M dv = F+ dm q ½º µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÞÒ Ð Ø Ð Þ Öòº Þ ½º µ Þ ½º µ Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ò Þ Ð º ÑÐ Ø Ò Ñ Ð Ò Ø Ô Ð Ø Øº Ñ ÓÖ u = 0 Þ ½º µ d(mv) = F ½º µ Ð Ö Ö Ù Ð º À Þ Ö Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò V ÔÓØ Ò Ð Ð Þ ½º µ Þ L = 1 2 Mv2 V Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Þ Ø ÖØÓÞ ÙÐ Ö¹Ä Ö Ò Ý ÒРغ ÑÓÞ ÓÖ Ò Ø Ø Ò Ö Ò Ñ Ñ Ö Ñ de = L t = 1 = 1 Mq 2Ṁv Þ ÙØÓÐ Ð Ô Ò ÞÒ ÐØÙ Ó Ý ½º µ u = 0 Ú Ø ÞØ Ò v = qº Ñ Ô Ð Ø Ò q = 0 Þ ÖØ u = vº Þ ½º µ Þ Ö ÒØ ÑÓÞ ¹ Ý ÒÐ Ø ÓÖ M dv = F. ½º µ Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò ÐÐ Ò Þ ½º µ Þ ½º µ Ò Ñ Ð Ò Þ ÝÑ Ø Ð Ñ Ò ØØ Ñ ÞÓ ÓØØ Ò ÛØÓÒ ÑÓÞ Ý ÒРغ Ø Ñ Þ Ø Ð Ø Ý ÒÐ Ø Ò Ñ Ù Ý Ò Þº Þ ½º µ¹ø Ð ÐØ Ö Ò ½º µ Ò Ñ Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ðº Ø Ø Ò Ö Ò ÞÓ Ó E = 1 2 Mv2 +V Þ Ø ÖØÚ Þ Þ Þ M Ñ ØØ Ò Ñ Ñ Ö Ñ º Þ Ò Ö ÞØÚ Ú ÖÒÝ Þ ÒÝ Ò Ö Ñ Ñ Ö ÓÖ ÞØ Þ Ò Ö Ø Ø Ø E Ò Ö Ø Þ Ú Ñ Ñ Ö Ñ ÒÒÝ Ø ÔÙÒ º Þ Ò Ö Þ Ô Ù Ý Ò Ñ ÒØ Ð ØØÙ q¹ú Ð Ô ÓÐ ØÓ Ñ ÑÓ Ø Þ ÖÙ º Þ ½º µ Þ ½º µ ÒÒÝ Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø ÖÖ Þ ØÖ Ñ ÓÖ Ø Ñ ¹ ØÖ Ò Þ Ö Ò Ð Ò Ð ò Ø Ñ Ú ÞÒ Ö Þغ Ñ ÓÖ Ôк Þ u q Ø Ð Ò Þ ÖØ Ø Ú Ø Ð Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ý Ñ Ó ÙÐÒ d(mv) = F+ dm a u a + dm b u b, ½º µ

4 ¾ ÅÍÆÃ Ì Ì Ä Ú Ð Ñ ÒØ M dv = F+ dm a q a + dm b q b. ½º µ ¾º ÑÙÒ Ø Ø Ð ÃÓÒ Ø Ò Ø Ñ ò Ø Ø Ø Ò ÑÙÒ Ø Ø Ð Ò dk = v F ¾º½µ ÔÐ Ø Ø ÖØ Ñ ÐÝ Ò K = mv 2 /2 ÑÓÞ Ò Ö Ó ÓÐ ÐÓÒ Ø Ú ØÓÖ Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Ðк Ø Ø Ð ÞØ Þ Ó Ý Þ Ö Ø Ð ØÑ ÒÝ Ø Ø ÑÓÞ Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ø Ú Ð Ý ÒÐ º Ñ ÓÖ v F > 0 Þ Ö Ø Ö Ú Þ ÑÙÒ Ø Ø Ø Ò Ò Ø Ù Ò Ö Ò µ Ñ ÓÖ Ô v F < 0 Ø Ø Ú Þ ÑÙÒ Ø Þ Ö Ø Ö Ò Ò Ø Ù Ò Ö Òµº À Þ Ö Ø V ÔÓØ Ò Ð Ð Þ ÖÑ ÞØ Ø Ø Ù Þ F = V ÔÐ Ø Ø ¹ Ú Ð ¾ ÓÖ ÑÙÒ Ø Ø ÐØ dk = v V ÓÖÑ Ò Ð Ö Ø Ù º Å Ö ÞØ (t,t+) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò ÔÓØ Ò Ð Ø Ð Ø Ø ÑÓÞ Ð ÔÓØ Ò Ð ÜÔÐ Ø Ð Þ ÖÑ Þ Ú ÐØÓÞ Ú Ø Þ dv = V x v x + V y v y + V z v z + V t v V + V t. ¾º¾µ À Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ð ÞÞ ÔÓØ Ò Ð Ö Ò Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ø ÓØ ÑÙÒ Ø Ø Ð Ò ÞØ ÞÒ Ð Ù ÓÖ d(k +V) = V t Ý ÒÐ ØÖ ÙØÙÒ Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ Ø Ø Ø Ð K+V Ò Ö ÓÖ Ñ Ö Ñ Ñ ÓÖ ÔÓØ Ò Ð Ò Ñ ÜÔÐ Ø Þ Ø Ðº Ö Ú Ø Ø Ö Ò ÑÓÞ Ú Ð¹ ØÓÞ Ø Ñ ò Ø Ø ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ô Ð ÙÐ Ø Ñ Ú ÐØÓÞ Ú Ø ÞØ Ò ÜÔÐ Ø Þ Ø Ðº ÀÓ Ý Ò Ñ Ó ÙÐ ÑÙÒ Ø Ø Ð ¾º½µ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò Ø dm > 0µ à ÔÞ Ð Ð Ó Ý Ø Ø Ò ÐÐÚ Ý Ð Ø Ñ ÐÚ Ø Ð ÓÐÝ Ñ Ø Øº ¾ ØÓÚ Ò Ø ÒÝ Ö Ò Ð Ú ØÓÖØ Ó Ù ÞÒ ÐÒ grad div rot ÐÝ ØØ gradf = f; divv = V; rotv = V; divgradf = 2 f; divrotv = ( V) 0; rotgradf = f 0º ÔÓØ Ò Ð Ø ÖÑ ÒÙ Ø ÔÓØ Ò Ð Ò Ö ÖØ ÐÑ Ò ÞÒ Ð Ù º

5 ¾ ÅÍÆÃ Ì Ì Ä (t,t+) ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò ÞØ Ð Ø Ù Ó Ý q(t) Ð ÑÓÞ dm(t) Ø Ñ Þ Ð Ø Ô ÓÞÞ Ø Ø Þ Ñ Þ Ò ÑÓÞ Ò Ö Ø Ø Ð Ò Ö Ø du = 1 dm q2 ¾º µ 2 Ñ ÒÒÝ Ð Ò Ú Ð Ñ º Ò Ø Ù Ò Ö Ð Ò Ö Ñ Ò Ú ¹ Ø ÞÓÒ Ò ÑÓ Ø Ò Ñ Ý Ð Ð Ö ÑÙÒ Ð ÐÐ ÞÒ Ò Ñ ÓÞÞ ÖÙÐ Þ Þ 1 2 dm(t)u2 Ò Ö Ñ ÐÝ ÓÒÚ Ø Ò Ò Ú Ð Ñ Ú Ý ÒØ Ð dm < 0 Ø Òµ Ø Ø Ò Ö Øº ÑÙÒ Ø Ø Ð Ø Ø Ú Ø Þ dk + du = v F+ 1 dm 2 u2. ¾º µ Þ ÔÐ Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò ÞÓÐ Ø º ËÞÓÖÓÞÞÙ ½º µ¹ø Ð ¹ Ö Ò v¹ú Ð v F = v d(mv) dm (v u). Ó ÓÐ ÐÓÒ v d(mv) ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò = Mv dv + dm v2 = = 1 2 Mdv2 + dm v2 = d v F = d ÙÒ Ñ Ò Ø ÓÐ Ð ÓÞ 1 dm 2 ( ) 1 2 Mv2 + 1 dm 2 v2, ( ) 1 2 Mv2 + 1 dm 2 v2 dm (v u). u2 ¹Ø v F+ 1 dm 2 u2 = d ( ) 1 2 Mv2 + 1 dm 2 (v u)2. Þ ½º µ¹ø ÞÒ ÐÚ Ö ¾º µ¹ø Ô Ù Ö Ñ ÒÝ Ðº ÑÙÒ Ø Ø Ð ¾º µ Ý ÒÐ Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ñ Ö ÓÖ Ñ ÓÖ Ø Ñ Ò dm < 0µº Þ ¾º µ Þ Ö ÒØ du ÓÖ Ò Ø Úº ÒÒ Ý ÐÐ Ð ÒÒ Þ Ò ÒÝÙ ÐÑ Ö Ò Þ Ö Ð Ò ÞÚ dm Ø Ñ Ò Ö ÑÓ Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ò ÖÓÚ Ö ÒÙÐÐ Ö Ð 1 2 ( dm)q2 ¹Ö Ò Ñ º Ê Ø Ò Ð Ô Ð ÙÐ Þ Þ Ò Ö Ö Ø Ø Ñ Ò Ö Þ Ø Ô Þ Þ Ñ ÒÝ Ñ Ò Ö Ð Þ ÖÑ Þ Ô ÖÓÐ Ò Ð Ô Ø Ø Ñ Ö Ð Ø Ò Ò Ò Ð ÒØ ¹ Þ º Ñ ÓÖ Ø Ú Ý Ø µ Ð Ò Þ u ÐÐ Ô ÓÖ ¾º µ Ý Ñ Ó ÙÐ dk + du = v a F a +v b F b + 1 dm a 2 u2 a + 1 dm b 2 u2 b. º ÓÔ Ð Ò Ñº º È Ý ¼ ½ ¾µ ¾º µ

6 Ê Ã Ì ÇÊË ÌýË Ë Ä ËË ÌýË Ê Å ÆÌ Ë Ì Ê Æ Þ ÔÐ Ø Ò Ð Ô Ò ÐÓÐ ÐÓÒ du = 1 2 (Ṁa q 2 a +Ṁbq 2 b), Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò Þ Ö ÑÙÒ Ö ÑÐ ÑÓÞ Ò Ö ¹ Ò Ø Ù Ò Ö ÐÝ ØØ Ð Ò Ö ÓÞ ØÒ ØÓÚ ÖÙÐ Óغ º Þ Ø Ò Ð ØÙÒ Ñ ÖÖ Ô Ð Øº Å ÓÖ Þ Ö ÔÓØ Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Þ ¾º¾µ ÔÐ Ø Ø ÑÙÒ¹ Ø Ø ÐØ Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ø Ù Ð d(k +V +U) = V t + 1 dm 2 u2. ¾º µ Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ø Ø Ø Ó Ð Ú ÐØÓÞ Ø ÔÓØ Ò Ð ÜÔÐ Ø Ø Ñ ØÖ Ò Þ Ö Ð Þ ÖÑ Þ Ò Ö Ñ Øغ Ñ ÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ò ÔÓØ Ò Ð Ò Ñ ÜÔÐ Ø Þ Ø Ð ÓÖ ¾º µ Þ E = K + V Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Þ Ñ ÐÝ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð ÒØ Ö Ð Ý Þ Ó Ø Ò ÞÞ Ð Ñ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓРغ Î ÐØÓÞ Ø Ñ Ñ ÐÐ ØØ ÞÓÒ Ò ÑÙÒ Ø Ø ÐÒ Þ Ò Ö ¹ Ú ÞÓÒÝÓ Ø ÞØ Þ Ò Ú Ò Þ Ö Ô ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÒØ Ö Ð Ø ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ø Ð º º Ö Ø ÝÓÖ Ø Ð Ø Ö Ñ ÒØ Ø Ö¹ Ò À Þ ½º½µ ÔÐ Ø Ø dv = q dm º½µ M Ð Ö Ù ÐÐ Ò q Ú Ñ ÐÐ ØØ Ý Þ Öò ÒØ Ö Ð Ð Ö Ø Ò Ñ ØÙ Ø Ù Ð Ð Ó Ý Ò Ö Ø Ø Ñ Ø Ð v(m) = v 0 +qln M M 0. º¾µ ÓÐ ÓÚ Þ ¹ Ý ÒРص ÓÐ M 0 v 0 Þ Ò ÙÐ Ø Ñ º Þ Ý Ò¹ Ð Ø Ð Ð Ø Þ Ó Ý Ö Ø Ø ÓØØ q Ñ ÐÐ Øص Ø Ñ Ñ Ñ Ö Ú Ø ÞØ Ò Ý Ð Ø Ø Ñ m = M 0 M Ñ ÒÒÝ Ø ÖÓÞÞ Ñ ØÐ Ò Ð ØØ Ð Ó Ý Ú Ñ ÐÝ Ò Ø Ñ Þ Ò Ø ÖØ ÒØ Ú Þ Ò Þ Ò Ø Ð Ø µº Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ Ø Ý Ð Ó Ý Þ Þ Ñ ÒÝ Ð ÞÒ Ð Ò ÐÐ Ò M(t) = M 0 kt k = ÓÒ Ø Ò > 0. º µ ÃÓÖÐ ØÓÞ ÙÒ Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ Ö z¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ Òº ÓÖ v = (0, 0, v) (v > 0), q = (0, 0, ±q) (q > 0).

7 Ê Ã Ì ÇÊË ÌýË Ë Ä ËË ÌýË Ê Å ÆÌ Ë Ì Ê Æ Ð Ð ÐÒ Ð Ø Ñò Þ Þ Ð Ò Ð ÝÓÖ Ø Ö Ø Øº Þ º¾µ Ñ ÓÐ ÓÖ v(t) = v 0 ±qln M 0 kt M 0 (0 t t max ), ÓÐt max Þ Þ Ñ ÒÝ Ð Ó Ý Ò Ô ÐÐ Ò Øº ØÓÚ Ò Þ Ý Þ Öò Ú ÖØ ÐØ Þ Ó Ý Þ òö Ø Ñ Ò Ø ÐÒÝÓÑ Ö Þ Ø Þ Þ Ñ ÒÝ Ø Þ Þ ÖØ t max = M 0 /kº ËÞ Ñ Ø Ù Ñ ÒÒÝ ÙØ Ø Ø Þ Ñ t Ð ØØ Ö Ø Ñ ÓÖ ÒÝÙ ÐÑ ÐÐ ÔÓØ Ð Ò Ùк Þ v(t) ÔÐ Ø Ø ÐÐ Þ Ð Ð Ð Ú Ð ÞØ v 0 = 0 Ñ ÐÐ ØØ ÒØ Ö ÐÒÙÒ t z(t) = q ln(1 t /t max ). 0 Ä Ý Ò ÓÖ dx lnx = Þ ÖØ 1 t /t max = x, dx = /t max. 1 t/tmax z(t) = kt max dx lnx. d(x lnx) 1 x dlnx = d(x lnx) dx = x lnx x, z(t) = qt max [x lnx x] 1 t/tmax 1 = = qt max /1 t/t max )ln(1 t/t max )+qt. Ð ÔÐ Ø Ð Ò Ñ Ð Ø Þ Ð Ó Ý Þ Ò ÙÐ ÙØ Ò ÞÚ ØÐ Ò Ð t +0µ Ó Ý Ò Ñ Ð Ö Ø º À Ð ÞÒ Ð Ù ÓÖ Ø Ø Ö Ú Ø Ð Ø ÙØ Ò Þ ln(1 x) = x 1 2 x2 +o ( x 3) z(t) = q 2t max t 2 +o ( t 3) ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ º t max Ð ØØ Ñ Ø ØØ Ø ÚÓÐ Ö Ô lim x 0 x lnx = 0 ÔÐ Ø Ú Ø ÞØ Ò z(t max ) = qt max ÔÐ Ø Ø Ô Ù ÔÓÒØÓ Ò Ý Ñ ÒØ Ö Ø Ú ÓÒ Ø Ò q Ð ÑÓÞ ÓØØ ÚÓÐÒ º Þ Þ ÖØ Ú Ö ØÐ Ò Ñ ÖØ Ù Ý Ò ÓÖ v(t max ) = º

8 Ê Ã Ì ÇÊË ÌýË Ë Ä ËË ÌýË Ê Å ÆÌ Ë Ì Ê Æ Ì Ö Ò Ø Þ ¾º µ ÑÙÒ Ø Ø ÐÖ Ñ ÐÝ Ò ÑÓ Ø F = 0 ÓÐ Þ ½º µ Ú Ø ÞØ Ò dk = k ( q 2 u 2), º µ 2 u = v q Ø Þ Ñ ÒÝ º Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ð Þ Ô Ö ÓÜ Ð Ò ØòÒ Ú Ø ÞØ Ø ÚÓÒ Ø Ð Ó Ý ÝÓÖ Ø Ò Ð Ñ Þ Ò Ö Ø v Ó¹ ÐÝ Ñ ØÓ Ò Ò Ð ÒØ ÑÓÞ Ò Ö Ò v = 2q Ò Ð Ð Ö Ý Ñ Ü Ñ Ð ÖØ Ø Ñ ÐÝ ÙØ Ò Ð Þ ÒÒ º Î Ð Ò v = 2q¹Ò Ð u = q Þ ÖØ º µ Ó ÓÐ Ð ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ º Ñ ÓÖ Ô v > 2q Ó ÓÐ Ð Ò ¹ Ø ÚÚ Ú Ð º ÙÖ Ú Ð Ñ Ý Ö Þ Ø Þ Ó Ý k 2 q2 Ñ ÒÒÝ Ð Ò Ö Ò Ú Ð Ý ÒÐ ÞÓÐ Ø ÖØ Òµ Ñ k 2 u2 Ð Ú ÐÐØ ÞÓ ÑÓÞ Ò Ö Ò Ò Ú Ö Ø º Å Ú Ð q 2 u 2 = q 2 (v q) 2 = v(2q v), v > 2q¹Ò Ð Ø Ñò Ø Ð ØÑ ÒÝ Ý Ð Ñ Ö Ò Ñ Þ Ö Þ Ø ØØ q Ñ Ð¹ Ð ØØ Ö ÑÐ ÞÓ Ò Ö Ò Ò Ú Øº ÒÝØ Ö Ø ÑÓÞ Ò Ö Ò Ò Þ º Å Ú Ð ÞÓÒ Ò Ö Ø Þ Ò ØÓÚ ÝÓÖ ÙÐ ÑÓÞ Ò Ö Ò Þ Ö Ð Ø Ñ Ò Ú Ø ÞÑ ÒÝ º Ä Ø Ò Ð q 2 u 2 = q 2 (v+q) 2 = v(2q+v) Ò Ø Ú Ñ ÒÒÝ Þ ÖØ Ð Ý ØØ Ö Ø ÑÓÞ Ò Ö ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Òº Ì Ö Ò Ú Ð Þ Ò Ö Ú Ò Ö Ø Ò Ø Ö Ð Ð Þ ÒÖ Ðº Ð ¹ Ð Þ ÒÖ Ñ Ö Ð z¹ Ö ÒÝ ÑÓÞ Ð Ö Ö ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ò ÑÓ Ø Ý Ð Ñ ÐÐ Ú ÒÒ ÐÝ Ö Ø º Ö Ú Ø Ø Ö Ø ÓÑÓ ÒÒ Ó Ù Ø Ò¹ Ø Ò Þ ÖØ ÐÝ Ö Mg¹Ú Ð Ý ÒÐ Ñ ÐÝ Ò g ÓÒ Ø Ò º Þ Ð ÐÑ Þ Ò ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÓÖ ½º µ Ñ ÐÝ Ø Ò Ò Ú Ø Þ (M 0 kt) dv = (M 0 kt)g +kq. Þ Ý ÒÐ Ø Ð Ð Ø Þ Ó Ý ØÓÐ Ö Ò Ý kq Ñ ÐÝÒ Ñ ÐÐ Ð Ò ÞM 0 g Ò ÙÐ ÐÝØ ÓÞ Ó Ý Ø Ñò Ò Ø Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ö Ø Ñ Þ Þ Ñ Ð Ø kq > M 0 g. º µ À Þ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ Ô ÐÐ Ò Ø Ò ÒÒ ÐÐ ÓÖ ÚÙÐ Ø Ñ Ú Ð ÐÓÐ Ð Ò ÐÐ Ò Ó ÓÐ Ð Ú ÞÓÒØ ÑÓÒÓØÓÒ Òº Ö Ø Þ ÖØ Ñ Ò ÝÖ Ó Ò ÝÓÖ ÙÐ Ñ Þ Þ Ñ ÒÝ Ð Ò Ñ Ó Ýº Ë Ø Þ Ô ÐÐ Ò Ø Ò º µ Ò Ñ Ø Ð Ð Ñ ÖØ M 0 > kq/g Þ ÖØ Ø Ñò Ò¹ Ø ÓÖ Ö Ø Ò Ñ Þ Ð Þ Ñ Ð Ø Ý ÔÓÒØ Ò Ñ ÓÖ Ö Ø Ø Ñ kq/g Ð Ò Þ Ñ Ð Ñ Þ º Þ Þ ÖÖ Ð Ú ¹ Ð k Þ Ñ ÒÝ Ð ÞÒ Ð Ö Ø q Ú ÐÐ Ò Ò

9 Ë Ë ÈÈ Æ Î Ã Ë Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ÐÝ Ú Ð Ò Ð Ð Ø ¹ Ú Þò ¹ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ø ÖØ Ø º Ë ÒÓ Þ ÓÐÝ Ò Ö Ð Ð ØÓ Ø Ö Ý Ð Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ö Ò òö Ô ÐÝ Ñ Ó Ø Ò ÝÓÒ ÓÒÝÓÐÙÐØØ Ú Ð Ø Ñ Ú ÞØ Ø Ý Ð Ñ Ö Ù Ú ÒÒ º º Þ ÔÔ Ò Ú Ð Þ Ô Ð Ò ÙÐÙÒ Ó Ý Ò Ú Ð Ú Ò ÙÐÐ ÔÔ Ó¹ ÐÝ Ñ ØÓ Ò Ò Ú Þ Ð Ð Ø Ò Ð Ô Ô Ö Ú Ø ÞØ Òº ÔÔÖ Ø Þ ÐÐ Ò ÐÐ Ø Ý Ð Ñ ÐÐ Ú ÒÒ Ò ÖÓ ÞØ Ø Ù Ð Ø Ö Ø Ð ÞÓÒ¹ Ò ÐØ ÒØ Ø Ò º ÔÔ ÐÐ ÔÓØ Ø Ñ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ð Ð µ ÖÓÑ Ø Ð Ñ ÒÒÝ Ö Ð Þ M(t) Ø Ñ r(t) Ù Ö v(t) º Þ Þ ØØ Ø Ý Þ Öò ÔÐ ÙÞ Ð Þ Ø Ø Ø Ð Þ Ò Ð Ý Ó Ý Þ Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝ Þ Ñ Ø ½¹Ö Ö Ù Ð Ù º ÐØ Þ Ó Ý ÔÔ ρ òöò ÐÐ Ò Þ ÖØ Ø Ñ Ù Ö Þ ØØ ÒÒ ÐÐ Þ M = ρ 4πr3 3 Þ º ÞØ Ö Ò ÐÚ dm = ρ 4πr 2 dr ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ º Ç ÞÙ Ð ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Þ Ð Þ Ú Ð dm M = 3dr r, Ú Ý Ṁ M = 3ṙ r. º½µ Ñ ÐØ Ú Ò Þ Ð Þ Ó Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ò Ð Ô ÓØØ dm Ø Ñ Ñ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ö ÒÝÓ Ñ Ð Þ Ò Ú Ðº Þ Ö ÒÝÓ Ø ÒÝ Þ Ø kρ Ð Ò ÐÚ Ú dm = kρ 4πr 2. dm¹ö Ý Ú Ò Ø Þ Ò Ñ ÐÝ Ø Þ ÓÒÐ ØÚ dr = k, r = kt+r 0 º¾µ Þ Ö ÙØÙÒ ÐØ ØØ Ó Ý t = 0 Þ Ô ÐÐ Ò Ø Ò ÔÔ Ù Ö r 0 µº Þ º½µ Ð Ô Ò Ø Ø Ṁ M = 3k r. º µ Â Þ Ò Þ Ð Ø ÐØ Ú Ò Ð Ø Þ Ó Ý Ð Ð ØÖ Ð Ô ÒÝ ¹ Ò Ð Ð Þ Ò Þ Ö Þ Ø Øص ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ò Ñ ÐÝ Ò Ú Þ ÔÔ Ô ÐÐ Ò ØÒÝ v(t) ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ u = 0º Ò Þ Ø Ò

10 Ë Ë ÈÈ Æ Î Ã Ë ½¼ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ½º µ Ð Ø Ð Þ Öò Ð ÐÑ ÞÒ º Ð Ñ ÒØ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝØ Ð Ð ÑÙØ Ø Ò Ú Ð ÞØÚ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ d(mv) = Mg 6πηrv Ó ÓÐ Ð Ñ Ó Ø Ò Ú Þ Ø ËØÓ ¹ ÓÖÑÙÐ Ñ ÐÝ Þ r Ù Ö v ò Ñ Ö Ø Þ Ö Þ η Ò Ñ Ú Þ ÓÞ Ø Þ Òº ÐÓÐ ÐÓÒ ÐÚ ÞÞ ÞÓÖÞ Ø Ö Ò Ð Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ú Ó Þع Ù M = ρ 4πr3 3 ¹Ñ Ð 3ṙ r + v = g 9ν 2 v r 2, º µ Ñ ÐÝ Ò ν = η/ρ Þ Ò Ñ Ø Ú Þ ÓÞ Ø º ÁØØ ÒÝ ÐÚ Ò Ð Þ Öò Þ Þ Ö ÒØ Ö Ò Ð Ö Ð ØØ ÖÒ Þ r Ù Ö Þ Ö ÒØ Ö Ò Ð Ö º Þ º¾µ Ð Ô Ò d = dr d dr = k d dr, Þ ÖØ Ö Ò Þ Þ α = 9ν/2 Ð Ð Ú Þ Ø ÙØ Ò º µ Ø Ö Ø Ý dv dr + ( 3 r + α kr 2 ) v = g k. Ì Ð Ò Ö Ñ Þ r, v ÐÝ ØØ Ú Þ ØÒ Þ x, y Ñ ÒÞ ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ Ø Þ r = α k x, v = gα k 2 y ÐÝ ØØ Ø Ðº Þ Ú ÐØÓÞ Ò º µ Ú Ø Þ ( 3 y + x + 1 ) x 2 y = 1, Ñ ÐÝÒ Þ y(x 0 ) = 0 Þ ÐØ Ø Ð Þ Ø ÖØÓÞ Ñ ÓÐ Ø Þ º µ º µ º µ x > x 0 = α k r 0 Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ö º Þ º µ Ý Ð Ò Ö Ð Ö Ò ò Þ Ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝ Ñ Ò Ñ ÓÐ Ø º Þ ÐÝ Ò Ý ÒÐ Ø ÐØ Ð ÒÓ Ð y +P(x) y = Q(x). º µ Î Þ ÐÝ ØØ Ø Ð ÒÒÝ Ò ÞÓÐ Ø Ó Ý Þ Ý ÒÐ Ø y(x 0 ) = 0 Þ Ð¹ Ø Ø Ð Þ Ø ÖØÓÞ Ñ ÓÐ Ú Ø Þ y(x) = e x x 0 P(x )dx x x 0 dx Q(x )e x P(x )dx x 0. º µ

11 Ë Ë ÈÈ Æ Î Ã Ë ½½ Ø Ò Ò P(x) = 3 x + 1 x 2, Ø Ø P(x )dx = 3ln x ( 1 x 0 x 0 x 1 ), x 0 x Ú Ð Ñ ÒØ Q(x) = 1º Þ Ø Þ ÐØ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ ÔÐ Ø ÐÝ ØØ ØÚ Þ y(x) = 1 x 3e1/x x x 0 x 3 e 1/x º½¼µ Ñ ÓÐ Ø Ô Ù º Þ x ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ Þ r Ù ÖÖ Ð º¾µ Ú Ø ÞØ Ò Þ Ú Ð Ö ÒÝÓ º Î ÓÒ Þ º½¼µ Þ Ö ÒØ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ú ÒÝ ¹ Þ Ò Ú Ý ØÐ Ú Ò ÓÐÝ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ñ ÐÝ Ò Ò Ö Þ ÖØ Ó Ó Ñ ÖØ Ù Ö Ò Ú Ú Ð ÔÔ Ð Ð Ø Ú Ð Ý ØØ Þ ÐÐ Ò ÐÐ Ò º ÐÝ ÞÓÒ Ò ÔÔ Ø Ö Ó Ø Ú Ð Ö ÒÝÓ Þ ÖØ ÝÓÖ Ò Ò Ñ ÒØ Þ ÐÐ Ò ÐÐ º À Ñ ÞØ Ý Ð Ñ Ú Þ Ó Ý º µ Þ Ö ÒØ x = x 0 ¹Ò Ð y = 1 > 0 Þ ÖØ Ú Ö Ø Ó Ý Þ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ú ÒÝ Ð Ý Òº ÞØ Þ Ø Ú Þ ØÓÐØ Ð Ò ÞÓÐÒ Ó Ù º Ñ ÓÖ Þ x t µ Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ Þ º½¼µ Ñ ÓÐ Ð Ò Ö Ò Ú Ö Ðº ÔÓÒØÓ Þ ÑÔØÓØ Ø Ý Ô Ù Ñ Ó Ý º½¼µ¹ Ò Ø Ü¹ ÔÓÒ Ò Ð Ú ÒÝØ Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖ Ø Ñ Ö y(x) ÞÓÒ Ø Ø Ñ ÐÝ x ¹Ò Ð Ò Ñ Ø ÖØ Ò ÒÙÐÐ ÓÞº ÞØ Ô Ù y(x) 1 ( ) x 4 x 3 4 x ( x 1 3 ÐÞ Ó Ý Þ ÑÔØÓØ Ù Ý ÒÐ Ö Ð Ú Ò Þ µº Ñ ÒÞ ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ Ö Ð Þ ) º½½µ x = k α r = k α (kt+r 0) y = k2 gα v ÔÐ Ø Ð Ú Þ Ø Ö Ø Ò t, v Þ Ú ÐØÓÞ Ö º v(t) Ú ÒÝ Ñ Ò Ø Ø Þ ½º Ö Ò Ö ÞÓÐØÙ Ð Ð Ð ØÖ Ð Ô Ô Ö Ò Ú Ð ÔÔ Ð Ò Ö Øº Ð Ò Ö Ñ Ò Ú Þ ¾º µ ÔÐ Ø Ø Ú Ð Þ Ñ Ø Ø Ñ ÐÝ Ò ÑÓ Ø u = 0 Ú Ø ÞØ Ò v = q U(t) = Ṁv(t)2 /2º ÔÔ Ñ Ö Ð Ø ÒÒ Ú Ø Þ¹ Ø Ò ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ò ÐØ Ø Ò Ò Ñ Ý ÒÐ Ø ÐÓ ÞÐ Ø Ö Ó ØÓÒ Ð Ðº Þ ÓÞ Ú Þ Ø Ø Ó Ý k Ö ÒÝÓ Ø ÒÝ Þ Ò Ú ÐØÓÞ Ø Þ M r v Ú ÐØÓÞ Ò Ñ Ð Ò ÔÔ Ô ÐÐ Ò ØÒÝ ÐÐ ÔÓØ Ò ÐÐ ÑÞ ¹ Þº ÑÓ ÐÐ ÒÓÑ Ø Þ Ö ÒÝ Ñ Ö Ú Ð Ñ Ò Ò Ñ ÐÝ

12 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÄ ½¾ ½º Ö º ÒÒ ÝÞ ØÒ Ø Ö Ý º Ò Ñ Ú Ð Ó Þ ÑÓÑÖ Ó Ý ÔÔÒ Ú ¹ ØØ Ú ÞÓÐØ Ø Ö Ý Ð Ñ Ð ÐÑ Ò ÙÐ ÔÓÒع Ô ÔÞ Ö Ð ÐÑ Ð Ø Ú Þ Ð Ø ÓÞº Ð ÑÓÒÓØÓÒ Ø Ò ÞÓÐ À Þ º µ Ý ÒÐ Ø º½¼µ Ñ ÓÐ Ò Ñ Ð ÒÒ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÖ Ð ÒÒ ÓÐÝ Ò x > x 0 Ñ ÐÝÒ Ð y = 0º Þ º µ Þ Ö ÒØ ÒÒ Ð Þ x¹ò Ð Ø Ð ÐÒ ÐÐ Ò Þ y = x2 3x+1 Ö Ð Ò º Þ º½¼µ Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Þ ÐØ Ø Ð Ý Ö Ø ÓÐ f(x) = g(x), f(x) = x5 e 1/x x 3x+1, g(x) = x 3 e 1/x. x 0 À Þ Ø Ð Ð Þ y = f(x) Þ y = g(x) Ö Ñ Ø Þ ÝÑ Ø Þ x > x 0 Ø Ö¹ ØÓÑ ÒÝ x ÔÓÒØ Òº Å Ú Ð g(x 0 ) = 0 f(x 0 ) > 0 Þ ÖØ Ñ Ø Þ ÔÓÒØ Ò Þ y = g(x)¹ò Ñ Ö Ò ÐÐ Ò Ð ÒÒ Ñ ÒØ Þ y = f(x) Ú Ý Ø Ð ÐÒ ÐÐ Ò g (x) > f (x) Ý ÒÐ ØÐ Ò Ò º Ø Ú ÒÝ Ö Ú ÐØ Ø Ö Ù Þ e 1/x ¹ Þ Ð Ð Ø Ý Þ Öò Ø Ò ÒÒÝ Ò ÞÓÐ Ø Ó Ý Þ x > x 0 Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ÓÐ Ñ Ø Ð Ðº º Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò ÓÐÝ Æ Ô Ö Ð Ö Ò ÓÐÝ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÖÓ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ò Ú Ð º À ÐØ Þ Ó Ý Ñ Ø ÓÖÓ ØÐ Ó Ò ÒÙÐÐ u = 0µ ÓÖ Ñ ÒØ

13 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÄ ½ ½º µ¹ Ø ÐÐ ÞÒ ÐÒÙÒ Ñ ÐÝ Ò ÞÓÒ Ò ÑÓ Ø Ö Ú Ø ÚÓÒÞ ÓÒ Ú Ð Ñ Ö Ò Ñ Þ Ö Ô Ð d(mv) = GMM ˆr r 2 M Æ Ô M ÓÐÝ Ø Ñ G Ö Ú Ø ÐÐ Ò ˆr Ô Ö Ð Ý Ú ØÓÖµº Þ Ð Þ Þ Ø ÔÔ Ô Ð ÓÞ Ô Ø Ð ÒÝ Ð Ò Þ ÐÐ Ò ÐÐ ÒÝ Ñ ÐÝ Ð Ø Ú Ø Þ Ó Ý ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Þ L = M 2 (ṙ2 +r 2 ϕ 2 ) U, U = GMM r º½µ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Þ Ø ÖØÓÞ Ä Ö Ò ¹ Ý ÒÐ ØÒ Ø ÒØ º Ø Ñ Ò Ú Ú Ø ÞØ Ò ÓÐÝ E Ò Ö Ú ÐØÓÞ º Þ Ò Ö Ö Ú ÐØ Ø Þ de = L º¾µ t ÐØ Ð ÒÓ ÔÐ ØØ Ð Þ Ñ Ø Ø Ù º Þ L Þ M Ø Ñ Ò Ö ÞØ Ð ÜÔÐ Ø Þ Ø Ð Ñ Ú Ð Ñ Ò Ò Ø Ö ÒÝÓ M¹Ñ Ð Þ ÖØ de = Ṁ M L = Ṁ M (K U). º µ à ÖÔ ÐÝ Ò ÒØÖ Ù Ð Ö ÔÔ Ò ÐÐ Ò ÐÝÓÞÞ Ö Ú Ø ÚÓÒÞ Ø Mv 2 r = GMM r 2. À ÞØ ÔÐ Ø Ø Ú ÞÓÖÓÞÞÙ r/2¹ú Ð Ò Ø Ù Ò Ö Ö K = U/2 ÔÐ Ø Ø Ø Ð Ò Ö Ö Ô ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò Þ E = +U/2 = GMM 2r º µ ÔÐ Ø Ø Ô Ù º Ý L = K U = 3U/2 = 3Eº ÞØ Þ º µ¹ ÐÝ ØØ ØÚ Þ Ė = 3Ṁ M E º µ ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ º Å Ú Ð E < 0 Þ M Ò Ú Ú Ð Þ Ò Ö Òº ÀÓ Ý Ò Ú ÐØÓÞ Þ Ò Ù Ö Ö Ú Ð Ù º µ¹ Ø Þ Þ Ö ÒØ Ý ¹ Ð Ñ Ú Ú Ó Ý Þ M Þ r¹ Þ Ø Ð Ė = GM ( ) d M = E r ( ) ) d M (Ṁ = E 2 r M r M ṙ. r À ÞØ ÔÐ Ø Ø º µ¹ø Ð Þ ÓÒÐ Ø Ù ÞØ Ð Ø Ù Ó Ý ṙ = 2Ṁ M r. º µ

14 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÄ ½ Ø Ñ Ò Ú Ú Ð Ø Ø ÓÐÝ Ô ÐÝ Ù Ö Òº À Ø ÖÓÞÞÙ Ñ Ú ÐØÓÞ Ø º Þ Ø Ñ ÓÒ Ð Ø º ÁÒ Ùй ÙÒ Þ l = Mrv ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ðº Å Ú Ð Þ º½µ Ä Ö Ò ¹ Ú ÒÝ Ø Ñ Ø Ò ÓÖ ÒÚ Ö Ò Þ ÖØ Þ l ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ ¹ Ñ Ö l l = Ṁ M + ṙ r + v v = 0. À º µ¹óø ÐÝ ØØ Ø M v = M v º µ ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ Ø Ñ Ð Ý ØØ Ò º Í Ý Ò ÖÖ ÔØ Ö Ñ Ý Þ ω = v/r T = 2π/ω Ú ÐØÓÞ Ò Ñ Ø ÖÓÞ ω = 3Ṁ M ω, T = 3Ṁ M T º µ Ñ ÓÖ ÓÐÝ Ô ÐÝ ÐÐ ÔØ Ù Þ º µ ÖÚ ÒÝ Ò Ñ Ö K Þ U Ò Ñ Þ Ø ÒÒ Ñ Ò Ò ØÓÚ Ò Ð Ð Þ Ò Ö Ò Ö ÞØ Ðº Þ Ñ Ö Ð Ð Ø Þ Ó Ý Þ Ò Ö ÑÓÞ ÐÐ Ò K Þ U ÞÓÒ Ò Ò Ñ Þ Ô ÐÝ ÒÝ ØÓØØ Ñ Øغ Ë Ø Ò Ö Ò ÞÓÒ Ò Ú Ö Ð Ø Ø Ð Ñ ÐÝ Þ Ö ÒØ Þ Ý Ô Ö Ù Ö ØÐ ÓÐØ K Ū Ñ ÐÝ Ñ Ö Ò ÐÐ Ò Ù Ý Ò Ý Þ Ø Þ E¹Ò Ö ÞØ Ð Ñ ÒØ K Þ U ÖÔ ÐÝ Ò Ð Þ ÖØ K Ū = 3Eº ýøð ÓÐ Ù Þ ÖØ º µ¹ Þ Ý Ô Ö Ù Ö de = Ṁ (K U). M Ò Ø Ù ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ú ÐØÓÞ Ý Ô Ö Ù ÓÒ Ð Ð Ð ÒØ Ö Ð Ø Ú Ø Ñ Ú ÐØÓÞ ÞÓÒ Ò ÒÒÝ Ð ØØ ÐØ Ø Ò Ò ÝÓÒ º Þ ÖØ Þ Ṁ/M ØÐ ÓÐ Ø Ð ÐØ ÒØ Ø Ò ÞÙØ Ò Ð ÐÑ ÞÞÙ Ú Ö Ð Ø Ø ÐØ Ö Þ º µ ÔÐ Ø Ø Ô Ù Ö Ñ ÒÝ Ðº Þ ÔÐ Ø Ø Ø ÐÐ ÔØ Ù ÓÐÝ Ô ÐÝ Ö ÖÚ ÒÝ º Þ a Ò ÝØ Ò ÐÝ b Ø Ò ÐÝ Ú ÐØÓÞ Ø Þ Ñ ÖØ a = GMM 2( E) b = l 2M( E) ÔÐ Ø Ð ÞÒ Ð Ú Ð Þ Ñ Ø Ø Ù Ñ Ö Ñ ÖØ Ð Ö Ð ȧ = 2Ṁ a, ÓÒÐ Ò ḃ = 2Ṁ M M b. Ô Ö Ù Ú ÐØÓÞ Ö T = 2πMab/l ÔÐ Ø Ð Ô Ò Ù Ý Ò ÞØ 3Ṁ T Ö Ñ ÒÝØ Ô Ù Ñ ÒØ ÖÔ ÐÝ Ò Ðº M º µ T =

15 Ë ýää Ì Ë Ä ½ Þ ÐÒÝ ØÓØØ ÐÐ Ô Þ Ô ÐÝ Ò Ö Ò Ø Ø Ñ Ú ÞØ Ú Ø ÞØ ¹ Ò Ð ÐÐ Ô ÐÝ Ñ Ó ÙÐ Ð Ò Ñ Ó Ð Ð ÒØ Ñ ÒØ ÓÐÝ Ø ¹ Ñ ÐÚ Ø Ð ÓÖ Òº Ø Ñ Ó Ø ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ö Ý Ð ÞÓÒ Ò Ò Þ Ñ ÖØ Þ ½º µ ÔÐ Ø Ò Ð ÔÙÐ Ñ ÐÝ Ò q Ð Ú ÐÐ Ñ Ú Ð ÞØ Ð Ò ÐØ Ú Ø ÒÝ Ðº Ì Ð Ò Ó Ó ÐØ ÒÒ Ó Ý Þ ÒÝ Þ Ø Æ Ô Ð Ò Þ ÓÐ Ð Ö Ð Þ ¹ ÙÐ Ð Þ ÖØ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Þ Ð Ø Ò q = qˆrº Ò Þ Ø Ò ÑÓÞ Ñ ÒØ Ø Ö Ý Ð Ø Ä Ö Ò ¹Ñ Þ ÖÖ Ð Þ U = GMM r +qṁr ÔÓØ Ò Ð Ð ÞÒ Ð Ú Ðº ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ d ( ) Mṙ Mr ϕ 2 + GMM r 2 +qṁ = 0 d ( Mr2 ϕ ) = 0. º½¼µ Ñ Ó Ý ÒÐ Ø Þ l = Mr 2 ϕ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ Ñ Ö Ø Þ º À ÒÒ Ò ϕ¹ø Þ Ð ÐÝ ØØ Ø d ( ) l 2 Mṙ Mr 3 + GMM r 2 +qm = 0 º½½µ Ý ÒÐ ØÖ ÙØÙÒ º de = L ÔÐ Ø ÑÓ Ø ÖÚ ÒÝ Ó ÓÐ Ð Ò Ñ t Þ Ø Ý Þ Öò Ñ ÓÒ Þ Ṁ/M¹ Ò Ö ÞØ Ðº Þ º½½µ ÓÐÝ Ò Ò ÑÐ Ò Ö Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝ Þ Ò ÒÝ Ò Ñ Ø M(t)¹Ò Ö ÞØ Ð ÜÔÐ Ø Ø ÖØ Ð¹ Ñ ÞÞ t ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ Øº Þ Ø ÑÓÞ Ø Ö Ý Ð Ø Þ Ò ÔÓÒØÓÒ Ñ Þ ØÓÑ ÝÖ ÞØ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ú ÞÓÒÝÐ Ó ÓÒÝÓÐÙÐØ Ñ ØØ Ñ ¹ Ö ÞØ Ô Þ ÖØ Ñ ÖØ Ý ÐØ Ð Ò Ò Ñ Ú ÝÓ ÞØÓ ÒÒ Ó Ý Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ú Ð Ñ ÒÒÝ Ö Ö Ð Ò ÙÐ ÔÓÒØ Ø Ö Ý Ð ÓÞº º Þ ÐÐ Ø Þ Ð Ú Þ Þ ÒØ Ò Ý ÒÐ Ø v Ð Ñò Þ ÐÐ Ø Þ Ð Ö Ý ÒÐ Ø Ò ÙÐÐ ÓÑÓ Ṁ = konstans» Ø Ñ Òº Å ÐÝ Ò Ø Ð ØÑ ÒÝØ Ð ÑÓØÓÖ Ñ Ò Ñ Ð Ò Þ Ö Þ Ø Ú ÞØ Ø Ð ÐØ ÒØ Ò µ ÓÑÓ Ð Ò ÙÐÐ Ö Þ Ð Ö Ñ ÐÝ Þ Ô Ø ÒÝÙ ÐÓÑ ¹ Ö Ð Þ Ñ ÐÐ Ø ÑÓØÓÖØ ÒÝ ÐÚ Ò Ò Ñ Ú Þ ÒÝ Þ Ò ÓÖ Ú Ø ÞÒ Þ Ð ÐÐÒ º ÑÓØÓÖ ÓÞ ÐÐ Ó Ý Ú Þ Þ ÒØ Ö ÒÝ Ð Ò Ñ Ö Ò Ð Þ ÓÑÓ Ò ÐÝ Ò Ö ÒÝ ÑÓÞ Ø Ú Ý Ñ Ó Ô Ö¹ Ò ÒØ 1 2Ṁv2 ÑÓÞ Ò Ö Ø Ð Ò ÞÞ Òº ÞØ ÓÒ ÓÐÒ Þ Ñ Ö Ó Ý Þ Þ Ñ Ò Ñ Ð Ø Ð ØÑ ÒÝ Ñ Ø ÑÓØÓÖÒ ÐÐ Ø Ò Ò Ñ Ý Ú Ò Ä Ð Ø Þ Ö ÓÖ Ø Ð ØÑ ÒÝØ ÐÐ Ð Ò º ʺ Ê Ò Ò º À ÐÐ Ý È Ý Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ ½ µ È ÖØ ½ Ôº ½

16 Ë Ì ÄÊ Ä Ä ËË ÄýÆ ½ ÓÞ Ù Ý Ò Ó Ý ÓÑÓ ÒÝÙ ÐÓÑ Ö Ð Ò Þ Ð ÓÒ Ò Ñ Ð Ö ÒÝ Ø ÐÐ Ñ ÐÐ Ø Ò Ò Ñ Ø ÓÒÝ ÖÐ Ö Þ Ú Ò ÓÑÓ Þ Ð Þ ØØ Ð Ò Ò ÓÑÓ ÞÒ Þ Ð ÓÒ Ò Ð¹ Ð Ó Ý Ö ÞØ Ú ÒÒ ÑÓÞ Òº Þ Ð ÒÝÙ ÐÑ Ö Ò Þ Ö Ð Ò ÞÚ v Ð ÑÓÞ ÓÑÓ Þ Ð ÖÐ Ú Ø ÞØ Ò Ñ Þ Ò Ñ Ó Ô Ö Ò ÒØ 1 Mv 2 2 Þ ÙРк ÞØ Þ Ò Ö Ø ÑÓØÓÖÒ ÐÐ ÞÒ º Í Ý Ò ÖÖ Þ Ö Ñ ÒÝÖ ÙØÙÒ ¾º µ ÑÙÒ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ñ ÐÝ Ò ÑÓ Ø u = 0 Þ ÙÐÐ ÓÑÓ Ú Þ Þ ÒØ Ö ÒÝ µ q = v vf = d ( 1 2 Mv2 ) + 1 dm 2 q2 = Ṁv2. Ý Ö Ð Þ ÐÐ Ø Þ Ð Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ú Ó Þ Ù Ý Ò ÒÒÝ ÓÑÓ Ð Ö Ð Ú Ò Ñ ÒÒÝ ÙÐÐ Ö Ú Ð ÓÐ Þ Ð Òº Þ Ð Ú Ò Ø ÖØ Ò ÓÐÝ Ñ Ø ÞÓÒ Ò Ð Ø Ò Ò Ñ ÒÝÐ ÑÓØÓÖ ÑÙÒ Øº º Þ ÞØ ÐÖ Ð Ð Þ Ð Ò Ý ÙÔ Ð Ò ÐÐ Ý ÖÐ Ñ ÒØ ÞØ ÐÐ Ô Þ Ð Òº Ã Ö ÓØ Ð Ð ØÙÒ Ð Ð º Å ÐÝ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ Þ Ð Þ ÞØ ÐÖ Ð Ð Ø Þ ÖØ Ö Ñ ÖØ Ñ ÓÖ Ð Ò Ð ÒÒ Ò Ñ Ñ Ò Ò Ö Þ Ò Ý Þ ÖÖ ÑÓÞ Ð Ð Ö ÑÓÞ Þ Ð Ð Ò Þ Ñ Ò Øº Ò Þ Ö Ô Ð Ø Ð Ò Þ Ñ Ñ Ö Ø Ò Ý Ñ ÒØ Þ Ñ ÖÐ Ò ÝÑ ÓÒ Þ ÞØ ÐÐ Ô ÖÐ Ñ ÒØ µº Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý Ñ ØØ Ð Ø Ò ÓÖÑ Ò Ò Ò Ð Ò ÐÚ Ø Ð Ò Ð Þ Ð Ø Ú Ø Þ Ö Ð Ð Ý Þ Öò Ø Ö Ò Þ ÞØ Ð Þ Ð Ð Ò ÐÚ Ð ÞØ Ð Ò ÑÓÞ Ò Ð Ú Ð Ð Ö Þ Ø Þ ÞØ ÐÓÒ Ú ÒÝÙ Ú Ö Þ Ø Ðº Ò Þ Ð ¹ Ø Ò Ø Ø Ð ÒÒ ÞØ ÙÔ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ö Ú Ö Ø Ñ ÐÝ ÑÓÞ Ò Ú Ò ÔÓÒØ Þ ÖòÚ Þ Ù ÓÖ Ø Ù º Ý Ñ Ø Ö Ø Þ Ñ ÓÖ Ð Ò Ý Ý Ò Ñ ÒØ Ò ÐÝ Þ Ð Þ Þ Ý Þ ÖÖ Ò ÑÓÞ Ð º ¾º Ö Ø Ñ ÐÝ Ò Ð ÒÓØ Þ Ñ Ð Ù Ò Ø Ð Ò Ý Ð Ò Þ Ñ Ð Ö ÞÓÐØ٠еº Þ Þ Ý Þ Öò Ð Ø Þ Þ ÖØ Ñ Ð Ø ÒØ ÒÒ Ñ ÓÐ Ú Ðº Ä Ý Ò Ð Ò Ø Ñ òöò ρ»ñ Ø Ð Ó Þ l Ð Ð Ö Þ Ó Þ Ø Ú Ý Ó Ò Ø Ø Þ P Ú ÔÓÒØÒ Þ ÞØ ÐÐ ÔØ Ð Þ Ñ ØÓØØ ÓÓÖ ¹ Ò Ø Øµ Ð Ð x¹ Þ Ðº ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ò lρẍ = gρx Þ Þ ẍ ω 2 x = 0 ω = g/l, Ñ Ý ÔÞ Ø Ö Ú Ò Ø Þ Ø µ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ý ÒÐ Ø º Þ ÐØ ¹ Ð ÒÓ Ñ ÓÐ x = Achωt+Bshωt. º½µ À t = 0¹ Ò Ð Ð Ö Þ Ó Þ l ÒÙÐÐ ÓÖ x = lchωtº

17 Ë Ì ÄÊ Ä Ä ËË ÄýÆ ½ P x ¾º Ö º Ú ÖØ Ö Ñ Ñ ÓÐ Ø Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ð Ô¹ Ò Ñ ÐÝ 1 2 ρl v2 ρx g 1 x = ÓÒ Ø Ò. º¾µ 2 Ý Þ Öò Ø ÙØ Ò Þ v 2 ω 2 x 2 = ÓÒ Ø Ò Ý ÓÒ Ø Ò Ð Ñ ÐÝÒ º½µ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ð Ø Ø Þº Ì Ö Ò Ö ÞÙØ Ò ÙÔ Þ ÓÐØ Ð Ò Ð ÓÖ Ö º Ã Þ Ò Ú Ò Ð Ø¹ Þ Ó Ý ÞØ Ð ØÓØ Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ð Ô Ò ÓÐ Ù Ñ º Þ ÙÔ Ò ÒÒÝ Ø ÐÐ Ø ÒÒ Ò Ó Ý º¾µ Ð Ø Ò Þ l¹ø x¹ö Ö Ð º Ö ÓÖ v = gx ÔÐ Ø Ø Ô Ù Ñ ÐÝ Ð v = dx ÐÝ ØØ Ø ÙØ Ò ÒØ Ö Ð Ð Ñ Ô ØÒ Ò Ö ØØ x(t) Ú ÒÝغ ÞÓÒ Ò Ð ÔÓ Ò Ñ ÓÒ ÓÐÚ ÓÐ ÓØ ÖÖ Ú Ø ÞØ Ø Ö ÐÐ Ùع ÒÙÒ Ó Ý Ò Ð Ø Ò Þ Ò Ö ÑÑ ÔÔ Ò Ñ Ö Ø Ñ Ñ ÖØ ÖÐ Ò Ð ÒÝ Þ Ö Ô Ú Ò Ò Ó Ý Ð Ò Ó ÓÞ ØÓ Ò Ò ÑÓÞ¹ º Ð ØÓØ ÒÒ Þ ÑÔÓÒØÒ Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð ÖØ ÙÖ ÝÐ Ý ÓÐ ÓØØ Ñ Ð Þ Ö ½ ¹ Òº Ð Ø ÒØ Ñ Ö Ñ Ó ÐÑ ÞÓØØ Ö Ò Ð Þ ÐØ ÓÖÑ Ò ¹ Ú ÐØÓÞ Ý ØÐ Ò ÔÓÒØ Ò Þ ÞØ Ð Ô Ö Ñ Ò Ú Ø Þ Þ A ÔÓÒØ Ò Ð Ò Ñ ÒÝÙ Þ B¹ Ò Ñ Ö Ú v Ð ÑÓÞÓ º Ö µ Þ Ø ÔÓÒØ Ò Ò Ø Þ Ñ Ð Ò Þ Ð Ð Ø Ô Ö Ñ Þ ÝÑ ÓÞµº Ð Ò ÑÓÞ Ò Ð Ú Ö Þ Ø Ý ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò Ø ØÒ Ø ÒØ Ø Ñ ÐÝÒ ÐÝÞ Ø Ø P Ú ÔÓÒØ x ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ÑÞ Ñ Ú Ð Þ ÞØ Ð Ô Ö Ñ Ò Ø ÖÓÞ ØÐ Ò Þ A ÔÓÒØ Ð Ð Þ Ð Ú Ô Ö Ñ Þ ÒÙÐÐ B ÔÓÒØ Ð Ð Þ Ð Ú Ô vµ Ú Ð Ò Ø Ú ÐØÓÞ ØÓØ ÐÐ Ð Ñ ÞÒ Ò Þ µ Ú ÐØÓÞ Ø Ò Þ AP µ¹ Ò BP Þ ÞØ ÞÓÒÓ Ø Ù Ø ØØ Ðº ÑÓÞ Ð Þ Ð Ò Ó Ó Ø Þ Ø Ñ ÞØ Ø Ð Ñ Ò Ø Ø Ò Þ Öò ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ð Ù Ý Ò ÖÖ ÑÓÞ Ý ÒÐ ØÖ ÙØÙÒ Ñ ÐÝ Ø Ô Ö Þ Ö ÙÐ Ñ Ø Ô ÞØ Ð ØÒ ÞÓÐÒ Ðк Ã Þ Þ µ Ú ÐØÓÞ ØØ Ðº Ø Ø Ú Ý Ð Ò AP Þ Þ µ ÓÖ ÒÝÙ Ú Ø Ñ Ø Ð Ò Þ Ñ Øµ Ú Þ Ð Þ ÖØ Þ ½º Þ Ø Ð Ð Ò Þ u

18 Ë Ì ÄÊ Ä Ä ËË ÄýÆ ½ A B (a) P x (b) P x º Ö º ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ º Ò Þ Ø Ò Þ ½º µ Ý ÒÐ Ø Ø ÐÐ ÞÒ ÐÒÙÒ Ñ ÐÝ u = 0 M = ρx Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Ú Ø Þ Þ Þ d (ρxv) = ρgx, x v +v 2 = gx. º µ Å Ú Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ò Ñ Þ Ö Ô Ð ÜÔÐ Ø t Ð Þ Öò ØØ ÖÒ Þ x ¹ ØÐ Ò Ú ÐØÓÞ Ö Ú Ð v = dv dx dx = v v, xv v +v 2 = gx, 1 2 xdv2 dx +v2 = gx, dv 2 dx + 2 x v2 = 2g. º µ Þ Ý Ð Ò Ö Ð Ö Ò ò Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø v 2 ¹Ö Ñ ÐÝ Ò P(x) = 2/x ( Ð º º µ ) ÔÐ Ø Øµº ÞØ Ñ ÓÐ Ø Ö Ñ ÐÝ Ò x = 0¹Ò Ð Ñ ÓÖ Ð Ò Ð Ð Ú Ñ Ð ÒÝ ÓÐ Ø Ò Ö Ú µ ÒÙÐÐ º º µ Ñ ÓÐ Ò x 2 ÓÖ dx ÒØ Ö Ð Ð Ô Ð Ñ ÐÝ Þ Ð Ø ÖÓÒ Ú Ö Ðº Î Ý Þ ÖØ x 0

19 Ë Ì ÄÊ Ä Ä ËË ÄýÆ ½ Þ Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ð Ð Ð Ò Ó Þ Ø Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ÒÙÐÐ Ò Ð Ò ÝÓ ξ¹ò º ÓÖ x ξ º µ Ñ ÓÐ Ø Ø Ú Ø Þ P(x )dx = 2ln x ξ. v 2 (x) = 2g e 2ln x ξ x ξ x 2ln e ξ dx. lna/b = lna lnb ÔÐ Ø Ú Ø ÞØ Ò Þ ÜÔÓÒ Ò Ð ξ Ñ Ö ÒØ Ö Ð Ò ξ¹ø Ñ Ö Ú Ø ÒÙÐÐ Ò Þ Þ v 2 = 2g 1 x 2 v = x 0 x 2 dx = 2 3 gx, 2gx 3. º µ Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ð Ô Ò ÓÒÐ ÔÐ Ø Ø ÔØÙÒ Ö 2/3 Ò Ð Ð Ý Ð Øغ Ð Ñ Ö Ú Ø Þ Ó Ý Ð Ò Ø Ö Ý Ð ÙÒ Ò Ñ ¹ Ò Ò Ö Ò Ñ Ñ Ö Ñ º Þ x(t) Ñ Ø ÖÓÞ ÒÒ Ò Ñ Ö Ò ÝÓÒ Ý Þ Öò dx 2gx = 3, dx x = 2g 3, Ñ Ú Ð t = 0¹ Ò x = 0 Þ ÖØ 2 x = 2g 3 t x = g 6 t2, Ú Ð Ñ ÒØ v = g 3 t, a = g 3. º µ Å ÓÖ Ú Ð ¾º µ¹ Ò ÑÓ Ø q = v Ú Ð Ñ ÒØ dm = d (xρ) = vρ Þ ÖØ du = 1 2 ρv3. º µ

20 Ë Ì ÄÊ Ä Ä ËË ÄýÆ ¾¼ A F Q Q F Q h P x º Ö º ËÞ Ñ Ø Ù Ñ ÖÙ ÐÑ Ö Ø Ñ ÐÝ Ð Ò Ð Ð Þ Ö Ò Ø º Ö µº Q ÔÓÒØ Ò Ñ ÐÝ Ð Ò Ú Ø Ð h Ø ÚÓÐ Ö Ú Ò Ú Ð ÞÙ ØØ ÓÒ ÓÐ Ø Ò Ð ÒÓغ Q Ð ØØ Ö Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò F Q ÖÙ ÐÑ Ö Ú Ð Ø QP Ö Ö º Þ F Q ¹Ò Ð Ò ÞÒ ÐÐ ÒÙÐÐ Ø Ð Ñ ÖØ ÒÙÐÐ Ð ÒÒ ÓÖ ÒÒ Ð Ò Ö Ò g ÝÓÖ ÙÐ Ð ÐÐ Ò Ò Ñ ÖÔ º µ Þ Ö ÒØ ÝÓÖ ÙÐ g/3¹ñ Ð Ý ÒÐ º Ð ÐØ Ø Ð Ð Ð Ø Þ Ñ Ø Ò F Q ¹Øº Þ Þ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ù Ý Ò hρa = hρg F Q, ÐÝ ØØ Ø Þ a = g/3¹ø Þ ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ º F Q = 2gρ 3 h º µ Ð Ø Ø Ö Ý Ð Ø Þ µ Ð Ó Ò ÞÞ Ð Ð Þ Ö Ø Ù ØØ Ö Ø Ò µ Ð Ó Ö º ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ø Ò Þ ½º µ Ð Þ Þ µ й Ó ÓÞ Ô Ø Ø Ú ÐØÓÞØ Ø Ðº ÝÖ ÞØ ÒÒ Ð ÒÖ ÞÒ ÒÝ Ò µ u Ñ ÐÝ Ø Ø Ø Ð ÒBP Þ Þ µ ÐÚ Þ ÑÓ Ø Ò Ñ ÒÙÐÐ Ò Ñ Ñ Ý Þ Ð Ð Þ Þ Ú Ð u = vº Å Ö ÞØ ÐÝ Ö Ò Ú Ð Ñ Ý Ö Ø Ø ØÖ Þ F B ÖÙ ÐÑ Ö B Ú ÔÓÒØ Òº ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ø Ú Ø Þ d (ρxv) = ρgx F B + d(ρx) v. º µ Ó ÓÐ Ð ¾º º Ø ÞÓÒ Ò Ø ÝÑ Øº Î Ð Ò º µ Þ Ö ÒØ F B = 2gρ 3 x Ñ ÐÝ Ø º µ Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð ρv2 Ð Ò Ö ØÙÒ Þ

21 ÁÃ Î Æ Ä ÀÍÄÄ ÄýÆ ¾½ a b c a b c º Ö º Ñ Ý Þ º Ø Ð º µ Ó ÓÐ Ð Òº µ Ð Ó ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ÐÝÑ ¹ ÓÒ Ò Ñ Ð Ò Þ Þ µ Ð Ó º µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ðº Å ÒØ ÑÓÒ ÓØØÙ Þ Þ Ý Þ Þ ÓÞ Ó Ý Ð Þ ÐØ ÑÓ ÐÐ Ò ÖØ ÐÑ Ð Ý Òº Å Ý ÞÞ Ó Ý F B + d(ρx) v = 0 Ý ÒÐ Ö ÓÖ Ö ØØ Ò ÚÓÐÒ Ð ØÓØ Ò Ñ ÓÐ ÓØØÙ ÚÓÐÒ Ñ Ð Þ Ø Ò Þ µ Ð Ó Òº F B Ö Þ Ð ÒØ Ù Ý Ò Ò Ø Ú Ö ÒÝ ÑÔÙÐÞÙ ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ Ö Ñ Ú Ý ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ ÑÔÙÐÞÙ Ò Ø Ú Ö ÒÝ Ö Ñ º Ð Ò BP Þ Þ Þ Ñ¹ ÔÓÒØ Ð Þ Ð Ð ÒØ Þ Þ ÞØ ÐÓÒ ÒÝÙ Ú ÙÔ Þ ÑÔÓÒع Ð Ñ Ó º Å Ú Ð Þ ÙÔ ÒÝÙ ÐÓÑ Ò Ú Ò ÞØ Þ ÑÔÙÐÞÙ Ö ÑÓØ Ø Ñ ØÖ Ò Þ Ö Ð Þ ÖÑ Þ d(ρx) v ÑÔÙÐÞÙ Ö ÑÒ ÔÓÒØÓ Ò ÓÑÔ ÒÞ ÐÒ Ðк º Þ Ý Ú Ò Ð ÙÐÐ Ð Ò Ð ØÓØ Ñ ÐÝ Ø Ò Þ Ø Ò Ø Ö Ý ÐÙÒ Þ º Ö Ò Ð Ø Ø Ù º Ø Ú Ò Ð ÞØ ØØ Ð Ò B Ú ÔÓÒØ Ò Ö Þ Ø Ø Ñ Þ ÒØ Ø Ò¹ Ó Ý Þ ÓÒ Òº Å ÐÝ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ Ò B Ú ÔÓÒØ x ÓÓÖ Ò Ø Þ Ú Ø ÞØ Ò B Ú ÔÓÒØ Þ A Ñ ÐÐ Ð Þ A Ð Ö Ð Þ ÖØ B ź º Ð Ò Ò Êº Àº Å Ö Ñº º È Ý ½ ½ µ

22 ÁÃ Î Æ Ä ÀÍÄÄ ÄýÆ ¾¾ ÑÓÞ Ò Ñ ÔÓÒØÓ Ò Ð º Ø Ý Ð Ó Ý Þ AB Þ Ø ÚÓÐ ÓÐÝ Ò Ð Ò Ó Þ ÓÞ Ô Ø Ó Ý ÑÓÞ Ú Þ Þ ÒØ Ö ÒÝ ÓÑÔÓÒ Ò¹ Ø Ð Ð Ð Ø Ø ÒØ Ò º B Ú ÔÓÒØ Þ ÖØ v = ẋº Þ Ø ÚÓÐ Ð ÒÝ ÓÐ Ø Ñ ØØ Ð Ò Ø Ð Ó Þ Ø Þ º Ö Ò l/2¹ú Ð Ð ÐØ Ø ÚÓÐ Ø Þ Ö Ò l¹ò µ Ø ÒØ Ø º Ð Ò ab Ñ Ø Þ Ø Ð ØØ Þ Þ ÒÝ Ñ ÐÝÒ c ÔÓÒØ Ú Ð Ý ÒÐ v c = d [ ] 1 (l +x) = 1 2 2ẋ = 1 2 v. Ð Ø Ñ ÓÐ Ø ÒÝ Ú Þ Ð Ø Ú Ð Ð Þ Öò Ð Þ Ò º Þ Ó¹ Ö Ò Ð Ò Ð ÙÐÐ Ò Ð Ò Þ Ñ ÓÖ Ò Ø Ð Ò Þ Ò Þ acb Þ ÞÓÒ Þ Ò v¹ö Ð ÒÙÐÐ Ö Òº b Ú ÔÓÒØÓÒ Ö ÞØ Ð Ð Ò Þ ¹ Ñ Ö ÞÒ ÒÝ Þ a Ú ÔÓÒØÓÒ Ö ÞØ Ð Ô Ð Ò Þ Ñ Ø ÚÓÞÒ Ð Ð º Ì ÒØ Þ acb Þ ÞØ ÒÝ Øµ Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò Ø ØÒ Ö Ù Ð Ö Þ ½º µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÐÝ ÒÝ Ö ÔØ ÐÚ Ú Ø Þ M dv c = F+ dm a q a + dm b q b. ÒÒ Ú ØÓÖ Ý ÒÐ ØÒ Þ x¹ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ ÐÝ Þ Ð Ø ÖØ Ð¹ Ñ º Þ F ÖÓÑ Ø Ð ÐÐ ÐÝ Ö Ð Ð Ò aa bb Þ Þ ÐØ Ð ÒÝ Ö Ø ØØ Þ Ö Ð Ð Ò Ö Ð µº Þ ÙØ Ö ÒÝ ØÓØØ Ø º Ö ÑÙØ Ø Þ ÖØ (F) x = +gρm F a F b ρ Ð Ò Ø Ñ òöò µº ÓÒÚ Ú Ø Þ (q a ) x = v c = 1 2 v, (q b) x = v v c = v, Ñ Ð Ð Ø Ñ Ú ÐØÓÞ Ó Ô dm a = d [ ] l+x 2 ρ = ρ 2 v, dm b = d [ ] l x 2 ρ = + ρ 2 v. Å Ò ÞØ Ý Ð Ñ Ú Ú ÒÝ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø Ú Ø¹ Þ M dv c = gρm F a F b + ρ 2 v2. º½µ AB Þ Ø ÚÓÐ Ð ÒÝ ÓÐ Ú Ð Þ Ò Ò ÒÝ M Ø Ñ Ø Ø ¹ ÒØ Ø ÒÙÐÐ Ò º À ÞØ Þ Ð Ø Ø Ñ Ø Þ Ú Ø Þ ÐØ Ø ÐØ Ô Ù Þ Ö Þ Ö F a +F b = ρ 2 v2. º¾µ

23 ÁÃ Î Æ Ä ÀÍÄÄ ÄýÆ ¾ F a F b a b q a q b c º Ö º Ó ÙÒ ÓÞÞ ÑÓ Ø ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ð ØÙÒ ÓÞ bb Þ Þ ÑÓÞ¹ Ò Ú Þ Ð Ø ÓÞº Þ Ý Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò Ø Ø Ñ ÐÝÒ ÐÝÞ Ø Ø Þ x ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ÑÞ ÑÓÞ Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ø º bb Þ Þ Ð Ø Ñ ÒÝ ÐÚ Ò Ù Ý Ò ÞÞ Ð v Ð Ø ÚÓÞ Ñ ÒØ Ñ ÐÝ ÒÒ Ð Þ Þ Þ ÔÔ Ò ÑÓÞÓ Þ ÖØ u = vº Ò Þ Ø Ò ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ½º µ Ð Ø ÞÒ Ð Ø Ù Ñ ÐÝ M dv = Fº Þ Ý ÒÐ Ø Ò M = ρ l x, Ú Ð Ñ ÒØ F = gρl x +F b. º µ 2 2 Ò bb Þ ÞÖ Ø F Ö Ò ÐÐ Ô F b ÒÝ Ö Ø F b Ö ÐÐ Ò Ö Þ ÖØ Þ Ö Ô Ð º½µ¹ Ò º µ¹ Ò ÐÐ ÒØ Ø Ð ÐРк Þ Ò Þ Ò ÖØÓ Ò ÑÓÞ Ý ÒÐ ØÖ ρ l x 2 ẍ = gρl x +F b º µ 2 ÔÐ Ø Ø Ô Ù º ÓÞ Ó Ý Ð Ñ Ø ÖÓÞ Ù Ö ØØ x(t) ¹ Ú ÒÝØ Ñ ÐÐ ÑÓÒ ÒÙÒ Ó Ý Ò F b Þ x¹ø Ð Þ ẋ¹ø к Þ F b Ñ Ú Ð ÞØ ÓÞ Ò ÙÐ ÙÒ Ð ÐØ Ú Ð Ó Ý Ð Ò bb Þ Ö Þ ÓÒ g ÝÓÖ ÙРк º µ Þ Ö ÒØ Þ F b = 0¹Ò Ð Ú Ø Þ Ñ ÖØ ÓÖ Þ Ý ÒÐ Ø ẍ = g¹ö Ö Ù Ð º ÐØ Ú ÐÝ Ø Ò Ý ÔÓÒ¹ ØÓ Ð Ð Ø ÐÐ Ò Ö ÞÒ Þ A Ð ÞØ ÔÓÒØ Ò Ø ØØ Þ Ö Ð Ú ÐØÓÞ Ò Ñ Ö Ú Ðº Þ Þ Ö Ú Ø Þ F A = gρ l+x 2 +F a. º µ º¾µ Ð Ô Ò F b = 0 Ú Ø ÞØ Ò F a = ρ 2 v2 º Þ Ò ÞÓÒ Ò v 2 = 2gx Þ ÖØ Ú Ö Ñ ÒÝ Ò F A = gρ l+x 2 +gρx = 1 2 gρ(l+3x). º µ

24 ÁÃ Î Æ Ä ÀÍÄÄ ÄýÆ ¾ Þ x ÐÝ ÐÝ ØØ ØÚ Þ x = 1 2 gt2 ÔÐ Ø Ø Ð Ø Ù Ó Ý Þ F A Ô Ö ¹ ÓÐ Ù Ú Ö Ø Ù µ Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ Ò Þ Ú Ð Þ Ú ÔÓÒØ Ò Þ l Ø ÚÓÐ Ñ Ø Ø Ð Þ Þ t = 2l/g t 0 Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ø Þ Ö ¹ ÓÖ Ñ ÒØ Ð Ò gρl Þ ÐÝ º Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ù Ý Ò Ð Ò Ñ ÔÔ Ò ÝÓÖ ÙÐ Þ ÖØ Ð Ø Ñ Þ F A Ö Ð Ò ÐÝ Øº ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð ÞÓÒ Ò Ó Ý ØÓÚ Ò F A Ò Ñ Ñ Ö Ñ ÐÝ Ò Ò ÝÒ Ò Ñ Ñ Ò ÙÐ Ý Ö Ð Ü ÓÐÝ Ñ Ø Ñ ÐÝÒ Ú Ò F A Ð Ò ÐÝ Ò Ñ Ð Ð gρl ÖØ Ö Òº Î Ð Ó Ó Ý Ø Ö Ý Ð ÙÒ ÓÐÝ Ñ ØÒ ÖÖ Þ Þ Ö Ò Ñ Ø Ö Ø Ñ Ö ÓÖ ÖÚ ÒÝ Ø Ú ÞØ Ñ ÓÖ bb Þ Þ Ó Þ Ñ Þ ¹ Ð Ø ÒÝ Ñ Ö Ø Øº ÞÞ Ð Ö Ð Ü Þ Þ Ð ØÓÚ Ò Þ ÖØ Ò Ñ Ó Ð Ð ÓÞÙÒ º ÖÐ Ø ÞÓÒ Ò 0 < t < t 0 Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ñ ÞÓÐ º µ ÔÐ Ø Ø Ñ ÖØ Ñ ÖØ F A ÓÐÝ Ñ Ø Ú Ö Ý Ò Ý Ö Ò Ð Ñ Ð Ð Ò ÐÝ Øº Þ ÔÓØ Þ Ø Þ ÖØ Ð ÐÐ Ú ØÒ Ò ÔÓØ Þ Ø ÐÐ Ö Ò Ò F b ¹ Ö º Î Þ Ð Ù Ñ Þ ÖØ Þ Ò Ö Ú ÞÓÒÝÓ Øº Ð Ý Þ Öò Ò ÞØ Ý Ø Ø Ñ Ó Ý ÒÝ Ö Ð ÐÑ ÞÞÙ ¾º µ ÑÙÒ Ø Ø Ðغ Å Ú Ð v a = u a = 0 v b = u b = v Þ ÖØ dk c + du c = gmv c F b v + 1 2Ṁbv 2. ÒØ Ñ ÓÖ Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø Ø Ð ÐÑ ÞØÙ ÒÝ Ö Ð ÞÒ Ð¹ ØÙ Ó Ý ÒÝ Ø Ñ ÒÙÐÐ Ò Ø ÒØ Ø º ÞØ ÑÓ Ø Ñ Ø Þ Þ ÖØ Ö Ú Ø Ö ÑÙÒ Ø Ò Ø Ù Ò Ö Ø Ð Ý Ù Þ Ý ÒÐ Ø Ðº Þ 1 (Ṁa qa 2 +Ṁbq 2 2 b) Ø ÔÙ ÖÙÐ Ð Ò Ö ÓÞ ÑÓ Ø ÒÙÐÐ Ñ ÖØ qa 2 = qb 2 = (v/2) 2 Ṁ b = Ṁa = ρv/2º Ý Ú Ð du c = 1 4 ρv3 F b v. º µ Ý ÒÐ ØÖ ÙØÙÒ Ñ ÐÝÒ Þ Ð ÒØ Ú Ð Ó ÑÓÞ Þ ÐÖ Ð ÓÒÚ ¹ Ú Ð Ö ÑÐ Ò Ö Ò Ú Ð ÒÝ ÐØ Ð ÑÓÞ Þ ÐÓÒ Ú Þ ØØ ÑÙÒ ÒØ ÒÝ Ð Ò Ö Øº Þ Þ Ò Ö Ú Ð Ú Þ Ô Ð º Í Ý Ò ÞØ Þ Ö Ñ ÒÝØ ÑÓÞ ÒÝÙ Ú Þ Ð Ñ Ò Ò Ö Ò Þ Ö Ú Ð Ú Ð Ñ Ô Ø Ù Ñ ÖØ Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð Ð Ô Ò Þ Ð Ñ Ò Ò Ö Ò ÒÝ Ò Ö Ò Þ Þ ÐÐ Ò º Â Ð Ð Þ Ð Ò Ø Ù ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ø K¹Ú Ð V ¹Ú к ÓÖ K = 1 2 ρl x ẋ 2 2 V = 1 ( ) ( l+x l+x gρ x+ 1 2 = 1 4 gρ(l2 +2lx x 2 ). )( ) l x l x 2 2 gρ = º µ º µ

25 ÁÃ Î Æ Ä ÀÍÄÄ ÄýÆ ¾ F A/ gl t/t 0 º Ö º Ñ ÓÖ K + V Ö Ú ÐØ Ø Þ Ñ Ø Ù Ñ Ð Ò Þ ẍ Ñ Ó Ö Ú ÐØ Ñ ÐÝ Ø º µ Ð Ô Ò ØÙ ÙÒ ÞÒ x¹ Ò F b ¹Ò Ö ÞØ Ðº ÞØ Ô Ù ( ) d(k +V) 1 = 4 ρv3 F b v º½¼µ º µ¹ø Ð Þ Ò Òº Ì Ý Ð ÞÓÒ Ò Ó Ý Ð ÒÓ Þ Ö Þ Ø ÓÐÝ Ò Ó Ý Þ Ô Ò Ñ Ø ÖØ Ò ÒÝ ÓÒÚ Ú Ð Ö ÑÐ Ò Ö ÔÓÒØÓ Ò Þ ÞØ ÑÙÒ¹ Ø Ñ Ø ÒÝ ÑÓÞ Þ ÐÓÒ Ú Þº Ò Þ Ø Ò F b = ρ 4 v2 = F a. º½½µ Ñ Ó Ý ÒÐ Ð Ö Ò Ð º¾µ¹Ø ÞÒ ÐØÙ º ÖÐ Ø Ð Ú Þ Ð Ø Þ Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º µ Ø Ø Ú Ø Þ F A = gρ l+x 2 Ö Ù F b = 1 4 ρv2 ¹Ø º µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø ρv2. º½¾µ ẍ = g + ẋ 2 2(l x). º½ µ Þ ẍ = v = v v = 1 dv 2 2 dx ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ú Ð Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ö Ø dv 2 dx + 1 x l v2 = 2g

26 ÁÃ Î Æ Ä ÀÍÄÄ ÄýÆ ¾ Ð Ñ ÐÝ º µ Ø Ú Ð ÒØ Ö Ð Ø º Ø Ò Ò P(x) = 1, Ý x l x 0 P(x )dx = ln l x, l Þ ÖØ l x v 2 ln x l x ln = 2g e l e l dx = gx 2l x 0 l x. ¹ Ø Þ Ø Ø Ú Ø Þ v = gx 2l x l x. º½ µ Þ ÔÐ Ø Ñ F a = ρ 4 v2 ¹Ø º µ Ø Ú Ð ÖÐ Ø Ð Ñ Ö Ø F A ¹Ø Þ x Ú ÒÝ Ò F A gρl = 2+2x/l 3(x/l)2. º½ µ 4(1 x/l) Å ÒØ Ð Ø Ù Þ Ú Ò x l¹ò ÐF A Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ Þ ÑÓ ÐÐ ¾¹ Ú Ð Þ Ñ Òº Þ x(t) Ú ÒÝØ º½ µ ØÓÚ ÒØ Ö Ð Ú Ð Ô Ù Ñ ÑÔÐ Ø ÓÖÑ ¹ Ò t t 0 = 2 0 x/l 0 1 ξ 2 2 ξ 2 dξ, º½ µ Ñ ÐÝ Ò Ñ ÒØ ÓÖ Ò t 0 = 2l/g Þ x = l Ð Ö Ò Ø ÖØ Ñ Þ ÑÓ ÐÐ Òº Þ ÒØ Ö Ð Ó ÓÐ ÐÓÒ ÐÐ ÔØ Ù ÒØ Ö ÐÓ ÓÒ Ö ÞØ Ð Þ Ø º T Ø Ð t 0 ¹Ò Ð Ò T = 1 1 ξ 2 2 dξ = t 0 2 ξ2 Þ F A Ø º½ µ º½ µ Ý ØØ Ø ÖÓÞÞ Ñ º º Ö Þ Ð¹ Ñ Ð Ø Ö Ø Ö ÞÓÐ Ñ ÐÝÖ ÖÐ Ø ÔÓÒØÓ F A 25 ÖØ Ú Ð Ò gρl ÐÐ Þ Ò º Þ Ú Ò F A ÐÚ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ Ñ ÒØ Þ ¹ ÑÓ ÐÐ Ð Ô ÓÐ Ø Ò Ñ Ö ÙØ ÐØÙÒ Ö Þ x = l Þ Ð Ò Þ Ð Ø Ò Ñ Ö Ò Ñ Ø Ð ÐÒ º Þ F A /gρl ÞÓÒ Ò Ý Ý Ò Ý Ö Ò Ð Ñ Ð Þ ÑÓ ÐÐ Ò ÔÓØØ ¾ ÖØ Øº Ð Ò Ð Ð ÒÓ Ð Ú Þ ØØ ÖÐ Ø Ð Ô Ò Ð Ó Ø Ù Ó Ý Ð ÙÐÐ Þ Ð ÐÝ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø º µ Ñ ÐÝ Ò F b ¹Ø º½½µ¹ Ð ÐÐ Ú ÒÒ Ò ρ l x 2 ẍ = gρl x ρẋ2. º½ µ

27 ÁÃ Î Æ Ä ÀÍÄÄ ÄýÆ ¾ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø ÞÓÒ Ò Ñ ÐÐÝ Ð ÞØ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÔØÙ Ø Ó Ð Ö Ð Ø º ½µ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø ½º µ Ú ÐØÓÞ Ø Ð Ô Ò ÖØÙ Ð Ñ ÐÝ ÓÖ ÖÚ ÒÝ Ñ ÓÖ Ø Ø Ð bb ÑÓÞ Þ Ö Ð Ð Ô Ø ¹ Ñ u Ñ Ý Þ Ø Ø v Ú Ðº Þ ½º Þ Ø Ò ÞÓÒ Ò Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ ØØ Ð Ô ÓÐ Ø Ò ÐÐ Ø Ð Ó Ò Ñ Ò Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ø ÒØ ØØ Ó Ý Þ Ø Ñ Ñ ÐÝ Ø Ñ ØÖ Ò Þ Ö ÓÖ Ò Ø Ø Ð Ø ÚÓÞÓØØ Ø Ñ Ö ÑÑ ÐÝ Ò Ñ ÓÒ Ø Ø ØÖ º ÞØ ÞÓÒ Ò Ð ÐÐ Ø Ø Ù ÑÓÞ Þ Ö ÞÓÒ Ð Ò Þ Ñ Ö Ð Ñ ÐÝ ÔÔ Ò ØÐ ÔØ ÙÔ Ò Ð ÔÞ ÐØ ab Ý Ò Øº ¾µ Æ Þ Ò Ó Ø Ð Ó Ý Þ ÓÒ Þ Ö Ò Ð ØÖ Ò ÒÙÐÐ ¹ Ø Ð Ð Ò Þ F b Ð Ò Ö Þ ÐØ µº Þ ÑÓ ÐÐØ Ñ ÐÝ Ò F b = 0 Ø Ô ÞØ Ð Ø Ø ÖÓÞÓØØ Ò ÓÐ ÞØ Ò Ñ Ð Ø Þ ÖÒ Ó Ý º½ µ Ó ¹ ÓÐ Ð Ò Ñ Ó Ø Ò Ñ Ð Ò Ö Ò Ñ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ Ø ÖÑ Þ Øò ÖÙÐ º µ Æ Ñ Ø Ð Ñ Ý Þ Þ Þ ÖÚ Ð Ó Ý Þ ÑÓ ÐÐ Þ ÖØ Ò Ñ Ñ ÖØ Ò Ö Þ Ô Ú Ð ÖÒ Ð Ò ØÖÙ Ø Ö ÖÖ Ò Ñ Ð ÐÑ º Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ø ÒÝ ÐÐ ÒØ Ð Ó Ø Ó Ý Ñ ÒØ Ð ØØÙ Ø ÒÝÐ ÑÓÞ ÓÖ Ò ÒÝ Ò Ò Ñ Þ Ô Ð Ò Ö ÒÒ Þ ÖÚ Ð Ò Ó Ý Ð Ò Þ Ô Ø Ð Ö Ð Ò Ò Ñ Þ ÓÒ Ú Ò Ò Ñ Ø Ð ÓÐ Þ Ò Þ Ø º Ñ Ý Þ Þ ÒØ ÖÔÖ Ø Ñ Ø Ð Ð ÓÞ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ñ º½ µ Ý ÒÐ Ø ÒÝ Ø Ð ÓÒØÓ Ø Ø ÞÞ Ð Ó Ý Ø Ô ÞØ Ð Ø ¹ ÞÓÐ º Æ Ñ Ò Þ ÞÖ Ú ÒÒ Ó Ý ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ð Ò Ö ÐØ Ø Ð Þ Ò Ð Ð Ñ Ô Ø Ù Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ ØÒ Ò Ñ Þ ½º µ Ú ÐØÓÞ Ø Ð ¹ Ò Ñ Þ ½º µ¹ Ð Ò ÙÐÙÒ Ñ ÐÝ Ú Ø Þ M dv = F+Ṁq, º½ µ Ð ØØ Ø Ñ Ö Ð ÞØ Ø Þ Ð Ó Ý ÒÝ Ø Ð ÓØ º Å Ð Þ q Þ ½º µ Þ Ö ÒØ q = u v ÓÐ u Ð ØØ Ø Ñ Ñ ÐÝ ÐØ Ú Ò Þ Ö ÒØ ÒÝ v c = v/2 Ú Ð Ý ÒÐ º Þ Ö ÒØ q = v/2 v = v/2º Ø Ñ Ö Ú ÐØ Ô Ú Ø Þ Ṁ = Ṁb = d [ ρ l x ] = ρv/2. 2 À Þ Ø Þ ÖØ Ø Ú Ð Ñ ÒØ Ð ÒÖ Ø ÐÝ Ö Ø ÐÝ ØØ Ø º½ µ Ó ÓÐ Ð ÔÓÒØ Ú ÒØ º½ µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù Ö Ñ ÒÝ Ðº Î ¹ Ý ÞÖ Ó Ý Ò Ð Ó Ò ÜÔÐ Ø Ý Ð Ñ Ú Þ ÑÓÞ Þ ÐÖ Ð Ð Þ Ø Ñ Ú Þ Ø Ø Þ Ð Ñ Ö Ö Þ Ö º Ð ÐÑ ÞÞÙ ÑÓ Ø º½ µ¹ Ø ÒÝÙ Ú Þ ÖÖ º ÐÓÐ Ð ÓÖ Ø ÖÑ Þ Ø Ò ÒÙÐÐ Þ Ṁq Ú ÐØÓÞ ØÐ Ò Ñ ÖØ Ñ Ò Ø Ø ÒÝ Þ Ð Ð Ø Ú ÐØ Þ Ö Ô F = gρ l+x 2 F A.

28 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÊ Ì ËÌ ÅÇ ýë ÆÄ Ì ¾ À Ñ Ò ÞØ º½ µ¹ ÐÝ ØØ Ø Þ Ý ÒÐ Ø Ø F A ¹Ö Ö Ò ÞÞ Ñ ¹ Ö Ð ÞÓÐØ º µ ÔÐ Ø Ø Ô Ù Ú Þ º ËÞ Ú Ò ÞØ Þ Ð ÔÞ Ð Ø Ý Ó Ð Ð Ø Ù Þ ÑÓÞ Þ Ö Ø ÑÓÞ Ú Ð ÐÐ ÒØ Ø Ö ÒÝ Ð Ø Ñ Ø ÞÞ Ð Ý ÝÓÖ Ø ÑÓÞ Ø Þ Þ Ô Øµ ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ Ñ ÒØ Ý Ö Ø º Þ Ð ØØ Ø Ñ ÞÓÒ Ò Ð Ò Ñ ÒØ Þ Þ Ð Ñ Ñ Ò ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ Ò ÑÓÞÓ Ñ ÓÖ ÒÝÙ Ú Þ Ð Ð Þ ÞØ ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ Ö ÒØ Ñ º Þ Ö ÒØ Ð ÒØ Þ F A ¹ Òº Ñ ÖØ Ý ÒÐ ÝÑ Ð ÙÐÐ Þ Ð Ø ÝÓÖ Ø Ö Þ F A ¹ Ò ÐÝÓÒ Ð Ð Ñ Ð Ò ÖÙÐ ÒÝ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ñ Ò Ò Ý Ð Ò Þ Ñ ½ ¼ ¹ Ó ÓÖ ÙÐ ØÓØ Ø Þ Ô ÐÝ Ö Ñ Ö Ð Ø Ò ÐÝ Ö Ðº c ÔÓÒØ Ò ÐÝ Ø Ö Ð ÝÑ Ð Þ Ø Ô ÓÐ ÔÓÒØ Ñ ÐÝ ÑÓÞ ÒÝÙ Ú Þ ÐÐ Ð Ø Þ Ñ ÐÝ c ÔÓÒØ Ð ØØ Ð Ð ÚÓÐØ Þ ÐÙÐÖ Ö Ð Ñ ÓÖ ØÚ º Þ ÞÞ Ð Ú Ø ÞÑ ÒÒÝ Ð Ö Ó Ý c ÔÓÒØ Ð Ö Þ ÓØØ Ð Ò Þ Ñ ÑÓÞ ÞÙØ Ò Ô ÒÝÙ Ú Þ Ö Ø ÞÞ º Å Ò Ð Þ Ø ÚÓÐ ÒÒ Ð Þ ÑÑ ØÖ Ù Ø Þ Ð ÐÝÞ Ø ÒÒ Ð ÔÓÒØÓ Ò Ý ÒÐ ÝÑ Ð Ð Ò Þ Ñ Þ Ð Þ ÖÑ Þ Ö ÑÓÞ ÒÝÙ Ú Þ ÖÖ º º Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò ÓÖ Ø Ø ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ Þ Ø Ò Ý ÓÐÝ Ò Ô Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ö Ý ÐÒ Ñ ÐÝ Ò Ú ÐØÓÞ Ø Ñ ò Ø Ø Ð ÑÓÞ Þ Ò ÓÖÓ º Ò Þ Ø Ò Þ Þ Þ ÐØ Ð ÒÓ ÔÐ Ø Ø Ú Þ Ø Ð º Ø Ö Ý Ð Ø Ú Ý Ò Ö Ö Ò Þ Ö Þ Ö Þ Ø ØØ OXYZ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ¹ Þ Ö Ò Ú ÞÞ º Ø Ø ØÐ Ò ¹ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Þ Ñ Ø Ò Ð ÐØ Ð ¹ Ò ÒÒ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ ÖÒ Þ O ÓÖ Ø ÞÓ Ø ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø ÔÓÒع Ò Ø ÒØ Ò Ú Ø Þ Ò Ð Þ Öò Ð Þ Þ Ø ÒÝÓÑ Ø Ó Ø Ý Ñ Þ OXYZ¹ Þ Ô Ø Ø Ø Þ Ð Ò ÑÓÞ O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÒ º Å Ò Ò Ð ØØ Ý Ý Þ Öò Ô Ð Ò ÐÐÙ ÞØ Ð Ù Ñ ÖØ ÐÐ ÞØ Ð Ñ ÓÒ ÓÐÒ º º Ö Ò Ý 2R Ó Þ m Ø Ñ ò ACB ÓÑÓ Ò Ö Ð Ø Ø Ñ Ðݹ Ò B Ú ÔÓÒØ ÖÐ Ñ ÒØ Ò Þ Ø Ð ÓÒº Å ÓÖ T Ð ØØ Ð Ð Ö Þ Ô ÐÐ Ò Ø Ò ϕ 0 Þ Ø Þ Ö Ð Ö ÒÒÝ Ð Ö C Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ Ò ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø m Z c = mg +N, º½µ ÓÐ N Ø Ð Ö ¹ Ö º ÞØ Ö ¹ Ö Ø Ò Ñ Ñ Ö Ø Ð Ò ÒÒÝ Ò Ñ Ø ÖÓÞ Ø Ù Ú Ø Þ ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò ØØ Ðº Ö Ù Ð ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Y ¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ Ò C Ñ Ò Ô B ÔÓÒØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð I ϕ = Rsinϕ N, I ϕ = mgrsinϕ. º¾µ º µ º ˺ Ö Û ÓÖ Ñº º È Ý ½ ½ µ

29 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÊ Ì ËÌ ÅÇ ýë ÆÄ Ì ¾ Z A N C B O º Ö º X ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ó Ú Ø Þ I = 1 3 mr2, I = I +mr 2 = 4 3 mr2. À º¾µ¹Ø ÐÓ ÞØ Ù º µ¹ú Ð Ö Ø Ò Ñ Ô Ù N ÖØ Ø À ÐÝ ØØ Ø ÞØ º½µ¹ N = mg I I. m Z c = mg+mg I I a = ÓÒ Ø Ò. Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ Ø Ø ÓÒ Ø Ò a ÝÓÖ ÙÐ Ð º Å Ú Ð Þ Rcosϕ 0 Ñ ¹ Ð ÒÙÐÐ Þ Ð Ò ÙÐ Þ ÖØ ÑÓÞ 2Rcosϕ0 T =. a Þ Ö ÒØ ÑÓÞ Ñ Ò Þ Ø Ò Ú Ñ ÓÖ Ö Þ Ô Ð¹ Ð Ò Ø Ò Ð ÐÝÞ Øò ϕ 0 = 0µ Ñ ÒÝ ÐÚ Ò ÔØ Ð Ò Þ Ò Þ Ý Ò Ø Ð Ý Ò ÐÝ ÐÝÞ Ø Ñ ÐÝ Þ Þ Ð Ú Þ Ò ÜÔÓÒ Ò Ð Ò ÐÐ Ò Ú Ø Ð Ò Þ Ø ÖØ Ò º ÓÒ ÓÐ ØÑ Ò Ø Ò ÒÝ ÐÚ Ò ÞÓØغ º µ Ý ÒÐ ØØ Ð Ú Ò Ñ ÖØ J = K ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ¹ Ð Ð Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò ÐÐ ØØ ÚÓÐÒ Ñ Ð ØØ ÑÓÞ B ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø ÔÓÒØÖ Ð ÐÑ ÞÞÙ º ÞØ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ñ Ò Ò ÔÔ Ò Ö Ñ Ñ Ø ÒÒ º ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ý ÒÐ Ø Þ Ñ Ö Ù Ý Ò Ø Ø Ð Ò ÐB Ð Ð ÐÑ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø ÔÓÒØ

30 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÊ Ì ËÌ ÅÇ ýë ÆÄ Ì ¼ Ñ ÖØ Þ Ñ Ö ØÐ Ò N Ö Ò ÖÖ ÔÓÒØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò Ò Ò ÒÝÓÑ Ø º Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ð Þ N Ð Þ Ø Ñ Ö Ø Ò Ð Ð Ñ Ð Ø Ø ÖÓÞÒ ϕ(0) = ϕ 0 Þ ÐØ Ø ÐØ Ð Ø ϕ(t) Ú ÒÝØ Ñ ÐÝÒ Ñ Ö Ø Ò ϕ(t) = 0 Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÓÐ Ú Ô Ù Ñ T غ Ä Ý Ò Ø Ø O Ý Ø Ø Þ Ð Ò ÑÓÞ ÔÓÒØ OXYZ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò ¹ Þ Ö Òº J = K Ý ÒÐ ØÒ ÞØ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ø Ö Ñ ÐÝ Ò Þ ÑÔÙÐÞÙ ÒÝÓÑ Ø ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Þ O ÐÝ ØØ Þ O ¹Ö Ú Ò ÚÓÒ Ø¹ ÓÞØ ØÚ º Å Ò Ò Ð ØØ Ñ ÐÐ ÔÓ ÙÒ Ý Ð Þ Öò ÓÒÚ Ò Ò Ý O ¹Ö ÚÓÒ Ø¹ ÓÞØ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ø Ù Ý Ò ÞÞ Ð ØòÚ Ð Ð Ð Ñ ÒØ Þ O¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ¹ ØÓØØ Ô Ö Ø Þ Ð Ø Ò ØòØ Ñ Ó Ò Ò Ý ØòØ ÞÒ ÐÙÒ º J = K Ý ÒÐ ØÒ ÐÝÑ ÓÒ Ñ Ö Ð Ö Ñ ÑÙØ Ø Ó Ý ÒÒ Þ Ö ÔÐ Ñ ÒÒÝ O¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞÒ Ñ ÖØ Þ O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ ÑÔÙй ÞÙ ÒÝÓÑ Ø ÓØ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø ÓØ ÔÓÒØÒ Ð Ð µ j¹ú Ð k¹ú Ð Ð Ð º Þ O ÔÓÒØ O¹ ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ ÐÝÞ Ø R O Ñ Þ O ÔÓÒØÒ Þ O ¹ Þ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ r O = R O º Ý Ø Ø Þ Ð P ÔÓÒØ O¹ ÓÞ O ¹ Þ Ú ÞÓÒÝ ¹ ØÓØØ ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ R P r P = R P R O º ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý R O = r O = 0º Ø Ø Ø Ñ ÐÝÖ ÙÔ ØòØ Ø ÖØ ÐÑ Þ ÑÓÙÐÞÙ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ý ÒÐ ¹ Ø Ø Ð Ö Ù ÖÒ ÓÒØ Ù ÓÒ ÓÐ Ø Ò ÓÐÝ Ò Ö Þ Ö Ñ ÐÝ ÔÓÒØ Þ Öò¹ Ò Ø ÒØ Ø Þ ÖØ Ø Ø Ò ÐÝ Ö Ð ÓÖ Ò Ö Ù ÒÙÐÐ º Þ Ø Ö Þ Ø Ö ØòÚ Ð Ò Ü Ð º Þ O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ ÑÔÙÐÞÙ ÑÓ¹ Ñ ÒØÙÑ Ò Ú Ø Þ j = α m α (r α v α ), º µ Ñ ÐÝ Ò º µ Ö Ú ÐØ Ú Ø Þ r α = R α R O, v α = ṙ α = V α V O. j = α = α m α (ṙ α v α )+ α m α (r α V α ) α m α (r α v α ) = m α (r α V O ), Ñ ÖØ Þ Ð ÓÖ Ð Ø ṙ α v α Ú Ø ÞØ Ò ÒÙÐÐ º Ñ Ó ÓÖ Ð Ø Ò Æ ÛØÓÒ¹ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò m α V α = F α + β F β α. ÁØØ F β α Þ Þ Ö Ñ ÐÐÝ Ð Ø Ø β Ö Þ Ø Þ α Ö Þ Ö F α α = 0µ F α Ô Þ α¹ Ö Þ Ö Ø Ð Ö º Þ α (r α β F β α) Þ Ò ÞÓÒ Ò Ð Ö Ø ÝÑ Ø Ý j = α (r α F α ) α m α (r α V O ). Ð Ö Ù Ý Ò Ò Ñ ÓÞ Ø ÓÖ Ø Ø Øº Ì ÒØ Ôк Þ α = 1 β = 2

31 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÊ Ì ËÌ ÅÇ ýë ÆÄ Ì ½ Þ Ð Ø ØØ k Ñ Ó Ø Ò Ô Ú Þ Ø Ø C Ø Ñ Þ ÔÔÓÒØ 0 ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ Ø Ý Ú Ð r C = 1 m α r α M α (M = α j = k M(r C V O ). m α ). º µ º µ Þ Þ Ý ÒÐ Ø ÖÚ ÒÝ ÓÖ Ñ ÓÖ Þ O ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø ÔÓÒØ Ø Ø Þ Ð ÑÓÞ Ø Ú Þº Ó ÓÐ Ð Ñ Ó Ø ÞÓÒÝÓ Ô Ð Ø Ò ÒÙÐÐ j = k, Ñ ÓÖ O = C,»Ú Ý V O = ÓÒ Ø Ò,»Ú Ý r C V O. º µ Þ Ð Þ Ö Ö Ý Ú Ø Ð ÚÓÒ Ø ÓÞ Ð º Ð Ø Þ Ø Ú Òµº Ñ ÓÖ Ø Ñ Ú ÐØÓÞ J = K Ý ÒÐ Ø Ñ Ó Ùк Þ α¹ Ð Ñ ÑÓÞ ¹ Ý ÒÐ Ø ÓÖ Þ ½º µ Ñ ÐÝ Ø Ò Ö Ð ÐÑ ÞÚ Ú Ø Þ d(m α V α ) = F α + β F β α + dm α U α. º µ Ò Ý Øò ÑÙØ Ø Ó Ý V α U α Þ O¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ º ËÞÓÖÓÞÞÙ º µ¹ø Ú ØÓÖ Ð Ò R α ¹Ú Ðº ÐÓÐ ÐÓÒ ( R α d(m ) αv α ) = d ( ) (R drα α m α V α ) m α V α = d (R α m α V α ), Ñ ÖØ Ṙα V α Ú Ø ÞØ Ò Ñ Ó Ø Þ ÖÙ Ð Ý ÒÐ º À Þ R α ¹Ú Ð Ú ØÓÖ Ð Ò Ñ ÞÓÖÞÓØØ º µ¹ø α¹ö Þ ÞÞ ÐÓÐ ÐÓÒ J¹Ø Ô Ù Ó ÓÐ ÐÓÒ Ô Ð Ö ÖÙÐ Ñ ÒØ Ý Þ Öò º Ý Ú Ö ¹ Ñ ÒÝ Ò J = K+ ṁ α (R α U α ). º µ α Øò j¹ø k¹ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Ý ÒÐ ØÖ Ù Ý Ò Ý ÐÐ ØØ ÖÒ Ñ ÒØ ÓÒ ¹ Ø Ò Ø Ñ Ø Ò Þ Ø Ð Ø Ó Ó Þ ÐÑ º Ú Ö Ñ ÒÝ Ú Ø Þ j = k M(r C V O )+ ṁ α (R O U α )+ α + ṁ α (r α U α ) ṁ α (r α V O ). α α º½¼µ Þ α = 2 β = 1 Ø Ó Øº Å Ú Ð F 1 2 = F 2 1 Þ ÖØ r 1 F 2 1 +r 2 F 1 2 = (r 1 r 2 ) F 2 1, Þ Þ ÖÙ Ñ ÖØ Ð Ö ÒØÖ Ð º Å Ý ÞÞ Ñ Ó Ý Þ Ö Ò ÒÑ Ù Ò Ò Ò ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø ÔÓÒØ Ù Þ ÖØ Ñ Ò¹ Ù Ý Ò ÞÞ Ð ØòÚ Ð ÐÐ Ð ÐÒ Øº

32 ÎýÄÌÇ Ì Å æ ÇÊ Ì ËÌ ÅÇ ýë ÆÄ Ì ¾ Ð Þ Ð Ð ÓØ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø º µ Ð Ô Ò ÓÖÖ Ð Ø Ù º µ Ý ÒÐ Ø Øº Þ N Ø Ö¹ Ò B ÔÓÒØÓØ Ú Ð ÞØ Ù O ¹Ò º º µ¹ò Þ y¹ ÓÑÔÓÒ Ò Þ Ñ Þ Ñ Ø j y = k y M(r C V O ) y. ÁØØ j y = I ϕ, k y = mgrsinϕ, Þ ÖØ Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ñ Ó Ø Ñ ØØ Ð Ò Þ º µ¹ø к Ò Ø Ò r C = (x C, y C, z C ) = (Rsinϕ, 0, Rcosϕ) R O = (X O, Y O, Z O ) = ( Rsinϕ, 0, 0) V O = (ẊO, Ẏ O, Ż O ) = ( Rcosϕ ϕ, 0, 0) V O = (ẌO, ŸO, Z O ) = ( R(cosϕ ϕ sinϕ ϕ 2 ),0, 0 ) (r C V O ) y = z C Ẍ O = R 2 cosϕ(cosϕ ϕ sinϕ ϕ 2 ). º µ Ú ØÓØØ Ú ÐØÓÞ Ø Ø Ø Ú Ø Þ I ϕ = mgrsinϕ+mr 2 cosϕ(cosϕ ϕ sinϕ ϕ 2 ). ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø ÒÙÑ Ö Ù Ò Ð Ø ÒØ Ö ÐÒ Ø ÒÝÐ Þ Ò Ú Ò ÒÙÑ Ö Ù Ö Ñ ÒÝ Ö Þ Ò Ö ÒØ Ö Ð Ð ÐÐ Ò ÙÐÒ º ÓÒÐ ¹ ÔÓÑÓÒ Þ ÐÑ Ð Ø Ñ Ò ÝÞ Ø ½ º ÓÐ Ð Ò Ñ Ø Ð Ð Ø Ò Ø Ù Ò Ö Ò Þ ÔÐ Ø Ñ ÐÝ Ø Ø Þ Ð ÑÓÞ Ø Ú Þ O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ¹ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Þ Ð Þ ÓØÖ Ð ÐÑ ÞÚ Þ ÔÐ Ø Ú Ø Þ E Ò = 1 2 MV O I ϕ 2 +MV O (ω r C ), Ñ ÐÝ Ò ω = (ω X, ω Y, ω Z ) = (0, ϕ, 0). ÐÝ ØØ Ø Þ ÚÓÒ ÙØ Ò ÑÓÞ Ò Ö Ö Þ E Ò = 1+3sin2 ϕ mr 2 ϕ 2 6 Þ Ø Ô Ù Ñ ÔÓØ Ò Ð Ò Ö ÒÝ ÐÚ Ò E ÔÓØ = gmrcosϕ.

33 ½¼ Ìæ ÇÄÌ ÍÊÁ z F x(t) M(t) r(t) C O O º Ö º x ½¼º ØòÞÓÐØ ÙÖ À Ý ÐØ ÖØ ØòÞÓÐØ Ø ÑÐ Ø Ð ÙÖ ØÙÒ Ý Ó Ý Ú Ø Ü Ò Ø ÖØ Ù Ð ¹ Ø Ö º Å ÐÝ Ò Ø ÖÚ ÒÝ Þ Ö ÒØ ÙÖÙÐ Ð Þ ØòÞÓÐØ ¹ ÙÖ Ò Ú Ò Ñ ÖØ ÔÖÓ Ð Ñ º Ö µº Ø ÑÐ Ð Ó ÓØØ Ú Ö Ø F Ö Ø Ò Ñ Ñ Ö Þ ÖØ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ý ÒÐ Ø Ò Ð ÔÙÐ Ø Ö Ý Ð Ò ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø ÔÓÒØÓØ Ú Ð ÓÐ Þ x¹ø Ò ÐÝ Ò ÐÐ ÐÚ ÒÒ Ò º Þ O ÔÓÒØÓØ Ú Ð ÞØ Ù Ñ ÖØ Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø ÖÖ ÔÓÒØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò Ð Ý Þ Öò º Ð ØÓØ º½¼µ Ð Ô Ò Þ Ð Ò Ñ ÓÐ Ò º Ø ÑÐ Ø ÓÒ ÓÐ Ø Ò Ð ¹ Ñ Ö ÓÒØ Ù Ñ ÐÝ Øα¹Ú Ð Ò Ü Ð Ò º Þ Þ Ð Ñ ÝÑ ÙØ Ò Ú ÐÒ Ð ÙÖ Ö Ð Ø Ô Ò Ø Ð ÓÞº ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý º½¼µ α¹ Þ Ö ÒØ Þ ¹ Ñ Ò Ò Ô ÐÐ Ò Ø Ò Ý ÓÐÝ Ò Ø ÓØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÒ Ñ ÐÝ Ò ṁ α Ð Ò¹ Þ Þ ÖÙ Ø Ð ÞØ Ñ ÐÝ ÔÔ Ò Ð Ú Ð Ð Ò Ú Ò ÙÖ Ö Ðº Þ Ò Ø Ó Ò Ù Ý Ò ÓÖu α = 0 Þ Ò Ð Þ Ð Ñ ÓÞÞ Ø Ô Ø Ð ÓÞ ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ º Å Ö ÞØ ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ó Ý ÒÒ Þ Ð ÑÒ Þ O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ r α ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ º Î Ö Ñ ÒÝ Ò Ø Ø Þ ÓØØ Ø Ò º½¼µ Ñ Ò ÖÓÑ α¹ Þ Ø Ø ÖØ Ð¹ Ñ Þ Ø Þ ÖÙ Ð Ý ÒÐ Ú Þ ÙØÙÒ º µ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Þ j = M(r C V O ). ½¼º½µ Þ Ý ÒÐ Ø Ó ÓÐ Ð Ò k ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ Ñ ÖØ Þ Ñ ¹ Ö ØÐ Ò F Ö O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ Ö ÒÙÐÐ º ÖØ ¹ ÓÑÔÓÒ Ò Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ú Ø Þ dj = Mrẍ, ½¼º¾µ Ò È Ø Ö Þ ËÞ ÑÐ ½»½

34 ½¼ Ìæ ÇÄÌ ÍÊÁ Ñ ÖØ j = (0, j, 0), r C = (0, 0, r), V O = (ẍ, 0, 0), ( ) r C V O = (0, rẍ, 0). ½¼º µ ½¼º µ ÑÐ ÞÞ Ò Ö Ó Ý Þ Ð Þ Þ Ø Ò Ú Þ Ø ØØ Ð Ð Ñ Þ Ö ÒØ r C ÙÖ C Þ ÔÔÓÒØ Ò Þ O ¹ Þ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ V O Ô Þ O ÔÓÒØ O¹ ÓÞ Ô Øº ½¼º µ Ó ÓÐ Ð Ò j = I O ωº Å Ú Ð Ý ÒÐ Þ I O Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ ¹ Ø Ð Ô ÐÐ Ò ØÖ ÞØ ÓÒ ÓÐÒ Ò Ó Ý ËØ Ò Ö¹Ø Ø Ð Þ Ö ÒØI O = I C +Mr 2 ÓÐ I C = 1 2 Mr2 Þ Ò Ò Ýº Þ O Ù Ý Ò ÙÖ Ò Ò Ñ Ý Ö Þ Ø ØØ Ò Ñ ÓÐÝØÓÒ Ú ÐØÓÞ ÔÓÒØ º Î Ð Ò Þ O ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ I O Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ñ Ý Þ C ÒØÖÙÑÖ ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ Ø Ø ØÐ Ò ÒÝÓÑ Ø Ð Ñ ÖØ Ø ÔÓÒØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ Ô Ö Ð Ø Ý Ð ÝÑ Ðº ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ð C¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ Ñ ÒÒ Ø ÐÐ ÓÞÓØØ ØòÚ Ðº ÓÖ r α = r α +r C, v α = v α +ṙ C = v α +Ar C, Ñ ÖØṙ C Ô Ö ÙÞ ÑÓ Ñ Ú Ðr C ¹Ú Ð Ñ Ò ØØ ÞO ¹Ö ÚÓÒ Ø ÓÞØ ØÓØØ Ñ ÒÒÝ ¹ µ ṙ C = Ar C º ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò j = α m α (r α v α ) = α m α (r α v α), Ù Ý Ò º µ Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð m α (r α ṙ C ) = A m α (r α r C ) = A M(r C r C ) = 0. α α ÌÓÚ j = m α (r α v α) = m α (r α v α)+ α α + ( m α (r C v α) = j + r C ) m α v α. α α ½¼º µ ÞÓÒ Ò m α r α = Mr C = 0, α Ñ ÖØ C Þ ÔÔÓÒØ ÒÑ ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ ÐÝÞ ØÚ ØÓÖ Þ ÖÙ º Ö Ú Ð Ù Þ Ù Ö ÒØ ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø m α v α = ṁ α r α. α α

35 ½¼ Ìæ ÇÄÌ ÍÊÁ Þ ṁ α ÒÒ Ð Þ Ð ÑÒ Ð Ð Ò Þ ÒÙÐÐ Ø Ð Ñ ÐÝ ÔÔ Ò Þ O ÔÓÒØ Ò Ú Òº ÖÖ Þ Ð ÑÖ r α = r O = r C. À ÞØ ½¼º µ ÙØÓÐ Ø Ò Ý Ð Ñ Ú Þ ÞÓÒÝ Ø Ò j = j = 1 2 Mr2 ω ½¼º µ Ý ÒÐ Ö ÙØÙÒ º ½¼º¾µ Ø Ø Ú Ø Þ d ( 1 2 mr2 ω ) = mrẍ. ½¼º µ Ø ÑÐ Ú Ø Ð Ý Ò Ø Ð Ó Þ Ô Lº Ù Ö Þ Ô ÐÐ ¹ Ò Ø Ò Ð Ý Ò r i º t = 0 Ô ÐÐ Ò Ø Ò ÐØ ÖØ ÙÖ Ý ÓÐÝ Ò Ö Ñ ÐÝÒ Ø Ö Ð Ø Ø πri 2 ¹ ÒØ L Ð Ò Ð Ö Ø Ù Þ ÖØ ÌÓÚ Þ Ø Ñ M i ÓÖ = π r2 i L. ½¼º µ M = L x M i L Ú Ð Ñ ÒØ M = r2. M i r 2 i Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ñ Ó Ð Ô ½¼º µ й Ó ÓÐ Ð Ò Ø Ø M = M i (1 x/l), Mi r = r i M = r i 1 x/l. Mr = M i r i (1 x/l) 3/2, ½¼º µ ½¼º½¼µ ½¼º½½µ Ñ ÐÓÐ ÐÓÒ Ñ Ñ Ö rω = ẋº ½¼º µ Ø Ø Ú Ø Þ 1 [ ] (1 x/l) 3/2 ẋ = (1 x/l) 3/2 ẍ. 2 ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø Ò ÒÝ Ð Ô Ò ½¼ Ú Ø Þ Ð Ö Ð Ø ÓÞÒ d [ (1 x/l)ẋ 2 ] = 0, ½¼º½¾µ ÓÒÒ Ò [ (1 x/l)ẋ 2 ] = V 2 = ÓÒ Ø Ò. ½¼º½ µ ½¼ Ð Ò Þ Ø Ð Ø Ø ÐØ Ð ÒÓ ØÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò Ö ÞÐ Ø ÞÞ º

36 ½¼ Ìæ ÇÄÌ ÍÊÁ Å Ú Ð t = 0¹ Ò x = 0 V ÓÒ Ø Ò ÙÖ Þ ½¼º½ µ Ý ÒÐ Ø ÒÒÝ Ò ÒØ Ö Ð Ø ØÓÚ (1 x/l) 3/2 = 3V 3α t 2L 2L, Ñ ÐÝ Ò α Þ ÒØ Ö ÓÒ Ø Ò º Þ ÐØ Ø Ð Ð Ô Ò α = 2L/3º Ö ØØ x(t) Ú ÒÝ Ø Ø Ú Ø Þ [ ( x = L 1 1 3V ) ] 2/3 2L t. ½¼º½ µ Ø Ð Ð Ú ÖÓ Ñ ÒØ Ð Ø Ø T = 2L 3V º Þ Ö Ø Ñ ÐÐÝ Ð Ø ÑÐ Ú Ø Ø ÖØ Ò ÐÐ Þ O ÔÓÒØ Ò Þ ½º µ ÔÐ Ø Ð Ô Ò Þ Ñ Ø Ø Ù º ½¼º½ µ Ö Ò Ð Ú Ð Ô Ù ẋ = V Ø Ñ ½¼º µ ½¼º½ µ Ð Ô Ò Ý ( 1 3V ) 1/3 2L t ½¼º½ µ ( M = M i 1 3V ) 2/3 2L t. F = M iv 2 ( 2L 1 3V ) 2/3 2L t Þ Þ Ö Ò Ø Ú Ó Ý ÐÐ º ÝÓÖ ÙÐ Ñ ÔÓÞ Ø Ú Ñ ÖØ ½º µ Þ Ö ÒØ ẍ = 1 ( 2 V (F Ṁẋ) = 1 3V ) 2 M L 2L t > 0. ½¼º½ µ ÑÐ ÞÞ Ò ÑÓ Ø Ú Þ Ó Ý Ð ØÓØ º µ Ð Ô Ò Ø Ö Ý ÐØÙ Ñ Ðݹ Ò k ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø ÓØ ÒÙÐÐ Ò Ú ØØ º Þ F Ö Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò Þ Ö Ò Ò Ú Ò ÙÖ Ò Ñ Ð Ö ÞÐ Ø Þ Ø ÑÐ Ú Ø Ø Ý Ð Ñ Ú Ú Ö Þ ½¼º Ö µ ÞØ Ù ÐÐ Ó Ý Þ O ¹Ò Ø Ð Ð Ö Ò ÞÚ Ø ¹ Ñ ÐÓ ÞÐ Ò Ñ Þ Ò Þ ÑÑ ØÖ Ù ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò ÐÝ Ö Ò Ú Ò Ú Ð Ñ ÓÖ +y Ö ÒÝ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø º Þ Ö ÖØ Ò Ñ Ñ Ö Þ ÖØ ÞØ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø ÓØ Ú Ý Ð +γ Mg Ð Ò Ñ ÐÝ Ò γ Ý ÒÝ Ò Ý Ö Ò ò Ñ ÒÞ ØÐ Ò ÓÒ Ø Ò º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý γ = 3 2π º Þ Ø ½¼º µ¹ Ø Þ ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ð d ( 1 2 mr2 ω ) = γ Mg mrẍ. ½¼º½ µ

37 ½¼ Ìæ ÇÄÌ ÍÊÁ z y x O O x ½¼º Ö º Ð Ò Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ÞØ Þ Ý ÒÐ Ø Ø [ d 3 4 Mẋ2 +γ 2π ] 3 gmr = 0 ½¼º½ µ Ð Ö Ð Ø ÓÞÒ º Þ Ö Ð Ð Ø ÙÖ K ÑÓÞ ØÖ Ò ÞÐ ÓÖ µ Ò Ö Ñ ÖØ K = 1 2 Mẋ Iω2 = 1 2 Mẋ Mr2 ω 2 = 3 4 Mẋ2. ½¼º½ µ Ø Ø Ò Ñ Ñ Ñ ÒØ Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð ½¼º½ µ ÒÒ Ô Ð Ø Ñ ÓÖ ÐÝ Ö ÓÖ Ø ÒÝÓÑ Ø Ø Ò Ñ Ú Þ Ý Ð Ñ º à ¹ Ú Ø Þ ÔÔ Ò ½¼º½ µ Ñ Ó Ø Ò Ö Ú Ø ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ú Ð ÐÐ Ñ Ý ÞÒ Ñ γ = 3 Ú Ð ÞØ Ò Ð Ø Ð Ð º 2π ÞÓÒÝÓ ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ð ÒÝ ÓÐ Ø ÑÓÞ Ò Ö Ñ ÐÐ Øغ Å Ú Ð ÑÓÞ ÓÖ Ò Ò Ø Ù Ò Ö Ò ÔÓØ Ò Ð Ò Ö Ô Ò Ð Ò Þ Þ Ð ÒÝ ÓÐ t = 0¹ Ò Ñ Ø Ø 3 2 M iv 2 M i gr i Þ Þ V 2 /gr i 1. ½¼º½ µ Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ø Ð ÐÒ ÐÐ ÒÒ ÐØ Ø ÐÒ Ó Ý ½¼º½ µ Ó ÓÐ Ð Ò Þ Ð Ø Ð Ý Ò Ð ÒÝ ÓÐ Ø Ñ Ó Ñ ÐÐ ØØ γ Mg mrẍ. ½¼º¾¼µ ½¼º½ µ Ñ ÓÐ Ð Ô Ò rẍ¹ö Þ rẍ = r iv 2 L ( 1 3V ) 5/2 2L

38 ½½ Ê Ä ÌÁÎÁË ÌÁÃÍË Ê Ã Ì ÔÐ Ø Ø Ô Ù º Þ Þ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ú ÒÝ Ñ ÐÝ t = 0¹ Ò r iv 2 L ¹ Ð Ý ÒÐ º ½¼º¾¼µ Ø Ø ÞØÓ Ò Ø Ð Ð γ Mg r iv 2 L. À ÐÝ ØØ Ø ½¼º µ Þ Ø Ö ½¼º½ µ ÐØ Ø ÐÖ ÙØÙÒ º Ð ½¼º½ µ ÞÓÐ ÞÞ ½¼º½ µ¹ Ò ¹Ø M¹Ø Mr¹Ø ½¼º µ ½¼º µ ½¼º½½µ Ø ¹ Ú Ð [ ] d 1 2 M ir i (1 x/l) 3/2 ẋ = γπ L M ig ri(1 x/l) M 2 i r i (1 x/l) 3/2 ẍ. Ý Þ Öò Ø Ò M i r i ¹Ú Ð ÐÚ ÞÞ Ö Ú Ð Ø 3 4L (1 x/l)1/2 ẋ 21 2 (1 x/l)3/2 ẍ = γπ L gr i(1 x/l) (1 x/l) 3/2 ẍ 3 2 (1 x/l)3/2 ẍ 3 4L (1 x/l)1/2 ẋ 2 γπ L gr i(1 x/l) = 0 2(1 x/l)ẍ 1 Lẋ2 4γπ 3L gt i(1 x/l) 1/2 = 0 ẋ (1 x/l) dẋ2 Lẋ3 1 4γπ 3L gr i(1 x/l) 1/2 ẋ = 0 [ d (1 x/l)ẋ 2 + 8γπ ] 9 gr i(1 x/l) 3/2 = M i [ d 3 4 M i(1 x/l)ẋ 2 + 2γπ ] 3 gr im i (1 x/l) 3/2 = 0 À Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ò ½¼º µ ½¼º½½µ Ð Ô Ò Ú Þ Ø M¹Ø Mr¹Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ½¼º½ µ¹ Ø Ô Ù Ö Ñ ÒÝ Ðº ½½º Ö Ð Ø Ú ÞØ Ù Ö Ø Ò ÑÖ Ð Ø Ú ÞØ Ù Ö Ø ÑÓÞ ÔÖÓ Ð Ñ Ý ØÐ Ò Ñ Ö ØÐ Ò Ú ÒÝØ Ø ÖØ ÐÑ Þ v غ ÒÒ Þ Ñ Ø ÓÞ Ð Ò Ý ØÐ Ò Ý ÒÐ Ø Þ ½º½µ Å Ö Þ ¹ Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝ Þ ÑÔÙÐÞÙ Ñ Ñ Ö Ø Þ º Ñ Ð Ð Ö Ð Ø Ú ÞØ Ù Ð Ø Ò ÞÓÒ Ò v¹ò Ú Ð Ú Ò Ñ Ý Ñ ¹ Ö ØÐ Ò Ò Ö Ø M Ø Ñ º À Ù Ñ Ù Ý Ò Ø ÒÝ Ò Ô ÐÝ Ý Þ Þ Ò Ø m Ø Ñ Ø ½½ Þ Ò Ñ Ý ÒÐ Ö Ø M Ø Ñ ¹ Ò Ú Ð Ñ ÖØ Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø Ò Ò Ò Ø Ñ Ñ Ñ Ö º ÑÓÞ¹ Ý ÒÐ Ø Þ Þ ÖØ Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Ø Ð Ø Ð ÐÐ ÞÒ ÐÒÙÒ º ½½ ÐØ Þ Ó Ý Ø ÒÝ Ö Þ Ò Ñ ØÒ Ð Ò ÝÑ Ð Þ ÖØ Ð ØØ Þ Ø Ñ Ñ Ý Þ Þ Ñ ØØ ÐØ Ö Þ Ø Ñ Ò Þ Þ Ú Ðº

39 ½½ Ê Ä ÌÁÎÁË ÌÁÃÍË Ê Ã Ì Ø Ñ Ñ Ö Ø ÖÚ ÒÝ Ò Ú Ð ÞÓÒ Ò Ñ Ò Ñ ÐØ Ú Ö Ò Ñ Ð Þ Þ Ò º Ã Ø ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ ÖÖ Ð Ð Þ ÓÐ ÙÒ º Þ Ý Ñ ÐÝ Þ K Å Ò ÓÛ ¹ Ð ÓÓÖ Ò Ø Ö Ò Þ Ö Ø ÖØÓÞ Þ ÚÓÒ Ø ÓÞØ Ø Ö Ò Þ Ö Ñ Ðݹ Ò Ö Ø Þ Ò ÙÐ Ð ØØ ÒÝÙ Þ Ô ÝÖ Ò Ú Ú v Ð ÑÓÞÓ º Ñ K 0 Ô ÐÝ Ý ÐØ Ð ÒÓ ÔÓÒØ ÓÞ Ø ÖØÓÞ Ô ÐÐ Ò ØÒÝ ÒÝÙ ÐÑ Ö Ò Þ Öº Ý Ò ÚÓÒ Ð ÑÓÞ Ö ÓÖÐ ØÓÞ ÙÒ Ø ÓÓÖ Ò Ø ¹ Ö Ò Þ Ö Þ x¹ø Ò ÐÝ Ñ ÒØ Òº Ú Ø ÖØ Ò Ò Ò Ø Ú Ö ÒÝ Ö Ø ÓÖ ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ Ò ÝÓÖ Ùк Ô ÐÝ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ò Ø Þ Ñ Ð Ò Ö Ú Þ Þ Ò Ñ ÐÝ Ò v¹ú Ð Ý ÒÐ Ö Ø Ò Ö Ò ÑÔÙÐÞÙ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ ØK 0 ¹ Ò Ð Ð de 0 ¹Ð Ð dp 0 ¹Ð Ð Ø Ø ÒÝ Ø Ô dε 0 ¹Ð Ð dp 0 ¹Ð к Þ Ò Ö Þ ÑÔÙÐÞÙ Ñ Ñ Ö Ø K 0 ¹ Ò de 0 +dε 0 = 0, dp 0 +dp 0 = 0 Ý ÒÐ Ø Þ º dε 0 dp 0 Ò Ý Ø Þ òö ÙØÓÑ Ø Ú Ý Ô Ö Ò ÒÓ µ Þ ¹ ÐÝÓÞÞ q Ú Ñ Ú Ð ÞØ Ú Ð Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø dε 0 = c 2 dm qdm, dp 0 = 1 q 2 /c 2 1 q 2 /c 2 ÔÐ Ø Ò Ö ÞØ Ðº Þ òö Ò Ö Ò ÑÔÙÐÞÙ Ò Ñ Ú ÐØÓÞ K 0 ¹ Ò Ø Ø Ú Ø Þ de 0 = c2 dm qdm, dp 0 = +, ½½º½µ 1 q 2 /c 1 q 2 2 /c 2 ÓÐ q Ú Ò Ò Ý K 0 ¹ Ò dm Ô Ø Þ Ñ ÒÝ Ø Ñ º Þ Ò Ö Þ ÑÔÙÐÞÙ K¹ Ð de dp Ñ Ú ÐØÓÞ Ø ÄÓÖ ÒØÞ¹ØÖ Ò Þ¹ ÓÖÑ Ø Ú Ð Þ Ø de 0 ¹ÓÒ dp 0 ¹ÓÒ Ö ÞØ Ðº Å Ú Ð K v Ð ÑÓÞÓ K 0 ¹ ÓÞ Ô Ø Þ ÖØ de = de 0 +vdp 0, dp = dp 0 +v/c2 de 0. ½½º¾µ 1 c 2 /c 1 v 2 2 /c 2 À ÐÝ ØØ Ø de 0 ¹Ø dp 0 ¹Ø ½½º½µ¹ Ð de = c 2 1 vq/c 2 1 v 2 /c 2 1 q 2 /c 2 dm, ½½º µ dp = q v 1 v 2 /c 2 1 q 2 /c 2 dm. ½½º µ

40 ½½ Ê Ä ÌÁÎÁË ÌÁÃÍË Ê Ã Ì ¼ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ð Ú Þ Ø Ò Ò ÙÐ ÔÓÒØ v = c2 P E ÔÐ Ø Ñ ÐÝÒ Ö Ò Ð Ú Ø Þ dv = c 2EdP P de E 2. Ñ Ó Ø Ò ÞÒ Ð Ø Ù ½½º µ¹ Ø E c 2dv = dp v c 2dE. ½½º µ ½½º µ Ó ÓÐ ÐÖ ÐÝ ØØ Ø de dp ½½º µ ½½º µ Þ Øº ýø Ð Ø ÙØ Ò ÞØ ÔÐ Ø Ø Ô Ù E c 2dv = q 1 v 2 /c 2 dm. ½½º µ 1 q 2 /c 2 ÞÞ Ò Þ Ý ÒÐ Ø Ò E¹Ø v¹ò Þ M¹Ò Ö ÞØ Ðº ÞØ Þ òö Ø Ñ Ø Ò Ð E 2 c 2 P 2 = c 4 M 2 ½½º µ Ý ÒÐ Ø Ð Ô Ò Ø Ø Ñ º Î Ý Ù Ý Ò ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ ¹ Ö Ò Ð Ø ÞÒ Ð Ù ÒÒ ½½º µ¹ غ ýøö Ò Þ ÙØ Ò Ð Ñ ÖØ E = Mc 2 1 v 2 /c 2 ½½º µ Ý ÒÐ ØÖ ÙØÙÒ º À Þ Ò Ö Ø ÒÒ Ò ½½º µ¹ ÐÝ ØØ Ø dv¹ö ÚÓÒ Ø¹ ÓÞ ÑÓÞ Ý ÒÐ Ø Ø M dv = q 1 v2 /c 2 1 q 2 /c 2 dm ½½º½¼µ Ð Ò Ô Ù Ñ º ËÞ Ò Ú Ò Ñ Ý Ý ÒÐ ØÖ Ñ ÐÝ dm¹ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º À ÐÝ ØØ Ø¹ ½½º µ¹ Ø Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Þ ½½º µ¹ d Mc2 = c 2 1 vq/c 2 dm. 1 v 2 /c 1 v 2 2 /c 1 q 2 2 /c 2 ÐÓÐ Ð Ö Ò ÐØ ØÚ Ñ Ð Ò Þ M dv Þ Ñ ÐÝ Ø ½½º½¼µ¹ Þ Ð ÐÝ ØØ Ø Ò ÔÓØØ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÓÐ Ù dm¹ö dm dm =. ½½º½½µ 1 q 2 /c 2

41 ½½ Ê Ä ÌÁÎÁË ÌÁÃÍË Ê Ã Ì ½ Þ Þ Ý ÒÐ Ø ÒÚ Ö Ò Ó Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ Þ ÖØ K 0 ¹ Ò Ù Ý Ò Ò Þ Ð ¹ Ò ÖÚ ÒÝ º ½½º½µ¹ Ý Ð Ú Ð Þ Ú Ø ÑÙØ Ø Ó Ý Ö Ø ÒÝÙ ÐÑ Ö Ò Þ Ö Ò Ö Ø Ò Ö Ò Ñ Ú ÐØÓÞ de 0 = c 2 dmº Þ ½½º½¼µ¹ Ø Þ ½½º½½µ¹ Ø Ö Ø Ø Ò dτ Ö Ò Ð Ú Ð Ð¹ Ó ÞØÚ Ø Ý ÒÐ Ø Ø ÔÙÒ Ø Ö ØØ v(τ) Þ M(τ) Ú ÒÝÖ º Þ Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ö ÔÐ dm Ö Ò Ð ÒÝ Ó q Ø Ñ ¹ dτ ÓØØ Ú ÒÝ Ñ ÐÝ Ø Ö Ø Ô Ö Ò ÒÓ Ø Ø Þ Þ Ö ÒØ Þ ÐÝÓÞ Øº Ø Ñ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ½½º½½µ Ý ÒÐ Ø ÞÓÒÒ Ð ÒØ Ö Ð Ø Ñ ÖØ Ó ÓÐ Ð Ò Ø Ñ ÖØ Ú ÒÝ Ðк À ÒÒ Þ Ý ÒÐ ØÒ Ñ ÓÐ Ø Ö¹ Ù dτ¹ú Ð ÐÓ ÞØÓØØ ½½º½¼µ¹ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù Ñ M dv dτ = q 1 v2 /c 2 dm 1 q 2 /c 2 dτ. ½½º½¾µ Þ º¾µ ÓÐ ÓÚ Þ ¹ Ý ÒÐ Ø ÞÓÒ Ò ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Ò ÑÖ Ð Ø Ú ÞØ ¹ Ù Ø Ò Ð Þ Öò Ø Þ ÐÝ ØØ Ö Ø Ø Ñ Ò Ú ÒÝ ¹ Ò Ú Þ ÐÒ º ÞØ ½½º½¼µ¹Þ Ð Ñ Ø Ø Ý Ó Ý ½½º½½µ Ø Ú Ð dm¹ Ø dm¹ñ Ð ÐÝ ØØ Ø ÒÒ dv 1 v 2 /c 2 = qdm M. ½½º½ µ Þ º½µ Ý ÒÐ Ø Ö Ð Ø Ú ÞØ Ù ÐØ Ð ÒÓ Ø Ñ ÖØ Ø Ò Òq = ( q, 0, 0)º Þ ½½º½ µ Ò Þ Ø Ò Ø ÖÓÞÞ Ñ Ø Ø Ñ ¹ Ú ÒÝ Ò Ñ ÓÖ q Ò ÐÐ Ò º Ø ÓÐ Ð ÓÖ ÒÒÝ Ò ÒØ Ö Ð Ø c 1+v/c ln 2 1 v/c = qln M. M i ½½º½ µ ÞØ v¹ö Ö Ò ÞÚ M i ) 2q/c ( M 1 M i v = c ( ) 2q/c ½½º½ µ M 1+ Ñ ÓÐ Ø ÒÝ Ö Ñ ÐÝ v(m i ) = 0 Þ ÐØ Ø ÐÒ Ø Þ Ð Øº ½½º½ µ º¾µ ÓÐ ÓÚ Þ ¹ Ý ÒÐ Ø Ö Ð Ø Ú ÞØ Ù ÐØ Ð ÒÓ Ø º Æ ÑÖ ¹ Ð Ø Ú ÞØ Ù Ø Ö Ø Ò Ù Ý Ò Ñ ÓÖ q/c 0 Ò Ú Þ ¾¹ Þ Þ ÑÐ Ð Ô ( ) 2q/c ( M 2q 1 = 1 exp M i c ln M ) = 2q M i c ln M +o(1/c 2 ), M i ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò c ¹Ò Ð v = qln M M i,

42 ½½ Ê Ä ÌÁÎÁË ÌÁÃÍË Ê Ã Ì ¾ Ñ ÓÐ ÓÚ Þ ¹ Ý ÒРغ Î Þ Ð Ù Ñ Ò ÑÖ Ð Ø Ú ÞØ Ù Þ Ð Ø Ò Þ Ò Ö Ú ÞÓÒÝÓ Ø º Þ ½½º µ de + dε = 0 Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Þ Þ ÖØ Ó ÓÐ Ð Ò Ò Ø Ú Ø Ø ÒÝ Ò Ö Ò Ñ Ò Ú Ú Ð Ý ÒÐ dε = c 2 1 vq/c 2 1 v 2 /c 2 1 q 2 /c 2 dm. ½½º½ µ ÒÒ dm Ø Ñ Ò K¹ ÓÞ Ú ÞÓÒÝ ØÓØØ u Ø Þ ÔÐ Ø Ú Ð Ð Ø Þ Ñ Ø Ò º Å Ú Ð K v Ð ÑÓÞÓ K 0 ¹ ÓÞ Ô Ø Ú Ô K 0 ¹ Ò q Þ ÖØ u = q +v 1 vq/c 2. Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø Ò Ð Ñ ÖØ ÐÝ ØØ Ø Ð ÒÒÝ Ò ÞÓÐ Ø µ Ó Ý Þ ½½º½ µ Ó ÓÐ Ð Ò ÐÐ Ø ÖØ 1/ 1 u 2 /c 2 ¹Ú Ð Ý ÒÐ Þ ÖØ dε = c 2 dm 1 u 2 /c 2. ÞØ ½½º µ¹ø Ð ÞÒ ÐÚ Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø ÖÚ ÒÝ d Mc2 c + 2 dm = 0 1 v 2 /c 1 u 2 2 /c 2 Ð Ò Ö Ø º Æ ÑÖ Ð Ø Ú ÞØ Ù Þ Ð Ø Ò Þ ÔÐ Ø Ú Ø Þ Ð d (Mc ) Mv2 +c 2 dm+ 1 2 dmu2 = 0. Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø Þ Ö ÒØc 2 (dm+dm) Ð Ò Ö Ñ Ò Ú Ú Ð Ý ÒÐ Ñ ÐÝ Ø º Þ Ø Ò du¹ú Ð Ð ÐØ Ò du = c 2 dm +c 2 dm. À Ö Ù ½½º½½µ dm = dm q2 2c2dm Ò ÑÖ Ð Ø Ú ÞØ Ù Þ Ð Ø Ø du = dm q2 ÔÐ Ø Ø Ô Ù º Ð Ò Ö Ø Ø Ó Ý Ú Ö Ø 2 Òº Þ Ò Ö Ñ Ñ Ö Ø Þ ÔÐ Ø Þ ÖØ Ú Ø Þ dk q2 2 dm+ 1 2 dmu2 = 0,

43 ½½ Ê Ä ÌÁÎÁË ÌÁÃÍË Ê Ã Ì ÓÐ K = 1 2 Mv2 º Ò ÔÐ Ø Ò Ñ Ö ÞÒ Ð Ø Ù Ó Ý Ò ÑÖ Ð Ø Ú Þ¹ Ø Ù Þ Ð Ø Ò dm = dm Ñ ÖØ Þ Ý Ð Ú Ø ØØ q 2 /c 2 Ú Ý v 2 /c 2 Ò Ý Ö Ò ò Ñ ÐÝ Ø Ò ÑÖ Ð Ø Ú ÞØ Ù Þ Ð Ø Ò Ð ÐÐ ÝÒ º Ý dk dm q2 = 1 dm u2 2 ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ Ñ ÐÝ Ñ Ý Þ ¾º µ¹ Ý Ðº ½½º½ µ Ñ ÓÐ ÙÒ ÓØÓÒÖ Ø Ö ÖÚ ÒÝ º ÓÖ q = c v = c M2 i M2 M 2 i +M2. ½½º½ µ Ò Ö Ð ÞØ Ù Ò Ø ÒØ Ø Ø Ò Ñ ÓÖ (M i M)/M i 1 Ý Þ Öò Ò Ö ÒÝÓ Ö Ð Ø Ú Ø Ñ Ò Ð v = c M i M M i. ½½º½ µ ÔÐ ØÒ Ñ Ö Ø Ý Ý Þ Öò Ð Ú Þ Ø Ñ Ñ ÐÝ ÞÓÒ¹ Ò q c¹ò Ð Ò Ñ Ð ÐÑ Þ Ø º Â Ð Ð Ô ÐÝ Ý ÓØØ ÔÓÒØ Ò Ö Ø Ò Ý ÑÔÙÐÞÙ Ø P¹Ú к K¹ Ò P = (E/c, P, 0, 0)º ÁÒ ÙÐ Ð ØØ Ö Ø Ò Ý ÑÔÙÐÞÙ P i = (M i c, 0, 0, 0) Ú Ð ÞØÓØØ ÔÓÒØ Ð Ö Ó ØÓØØ Ð ØÖÓÑ Ò Ù ÖÞ Þ Þ Ñ ØØ ÐØ ÓØÓÒ Ò Ý ÑÔÙÐÞÙ Ô Ð Ý Ò P em º Ò Ý ÑÔÙÐÞÙ Ó ÒÝ ÐÚ Ò Þ Ò Ö Þ ÑÔÙÐÞÙ Ñ Ñ Ö Ø P em = P i P Ý ÒÐ Þ º Î Ý Ñ Ò Ø ÓÐ Ð Ò ÝÞ Ø Ø ÒÑ Ú Ð ÔÞ ØØ Ò Ý Ð Ö ÞÓÖÞ Ø Øµº Å Ò Ò Ý ÓØÓÒ Ò Ý ÑÔÙÐÞÙ Ò ÝÞ Ø ÒÙÐÐ Ú Ð Ý ÒÐ ÓØÓÒÓ ÐÑ Þ Ö Þ ÓÖ Þ Ñ Ò Ý ÓØÓÒ ÑÔÙÐÞÙ ÞÓÒÓ Ö ÒÝ Ú Ý Ð Þ Ù Ù ÖÞ Ø ÐØ Ø Ð ÞÚ Þ ÙÐÐ ÑÒ Ø ÒØ Ø µº Ø Ò Ò Þ ÐÝÞ Ø Þ ÖØ P em 2 = 0 ÒÒ Ú Ø ÞØ Ò 0 = (P i P) 2 = P i 2 +P 2 2P i P = M 2 i c2 +M 2 c 2 2M i E. À ÐÝ ØØ Ø E¹Ø ½½º µ Ð Ô Ò ÔÓØØ Ý ÒÐ Ø Ø Ñ ÓÐ Ù Ö Ö ½½º½ µ ÔÐ ØÖ ÙØÙÒ º Î Þ Ð Ù Ñ Ú Ð ÞØ Ö Ø Ó Ý Ø Ø Þ Ð q Ñ ÐÐ ØØ Ó Ý Ò Ö Ø Ò Ö Ø Ø Ñ Ø Ðº À Þ Ò Ö ½½º µ ÔÐ Ø ÐÝ ØØ Ø Þ ½½º½ µ Ñ ÓÐ Ø Ö Ú Ø Ð Ø ÙØ Ò Þ E = 1 ( ) ] 2q/c (M ) 1 q/c M 2 M ic [1+ 2 ½½º½ µ M i M i ÔÐ Ø Ø ÒÝ Ö Þ Ò Ö Ö º Ò Þ ÖÖ Ð Þ Ð ÖØ ÐÑ Ø Ö Ø¹ Ò Ñ ÓÖ M 0 ½½º½ µ Þ Ö ÒØ 2q/c ØÚ ÒÝ Ø Ú ÔÓÞ Ø Ú Ø Ñ ØØ Ö Ø ÒÝ Þ Ø Öغ Þ ÒØÙ ÞØ Ù ÐÐ Ó Ý ÓÖ

44 ½½ Ê Ä ÌÁÎÁË ÌÁÃÍË Ê Ã Ì Þ Ò Ö Ò Ð ÐÐ ØòÒÒ º Ö Ð Ø Ú Ø ÐÑ Ð Ø ÞÓÒ Ò Ñ Ò Ú Ò Ö ÒÙÐÐ Ø Ñ ò Ó ØÙÑÓ Ð Ø Þ Ø Ñ ÐÝ Ò Þ Ò Ö Ñ¹ ÔÙÐÞÙ Ð Ø Ø Þ Þ E = cp Ö Ð Ò Þ ÖØ ÐÚ Ò Ò Ñ Ð Ø Þ ÖÒ Ó Ý Ø Ñ ÐØòÒ ÙØ Ò Ö Ø Ý ÐÝ Ò Ð Ò Þ Ó ØÙÑÑ Ð ÙРغ Þ ½½º½ µ Þ Ö ÒØ ÞÓÒ Ò Ø Ñ Ð Ý ØØ Þ Ò Ö ÒÙÐÐ ÓÞ Ø ÖØ Ý Ö Ø Ø Ð Ò Ñ ÑÑ Ð ÓÖ q < cº ÓØÓÒÖ Ø Ø Ò Þ M 0 Ø Ö Ø Ò Þ Ò Ö Ú 1 2 M ic 2 ÖØ Þ Ø ÖØ Ø Ø Ø ¹ Ñ ÐØòÒ ÙØ Ò ÐÚ Ò Ý ÐÝ Ò Ò Ö ÒÙÐÐ Ø Ñ ò Ó ØÙÑÒ ÐÐ Ú Þ Ñ Ö Ò º ÖÑ ÐÝ Ò Ñ Ð Ô Ð ÐÐ Ö Þ Ú Ø ÞØ Ø Ð ÒÒÝò Ñ Ý ÞÒ Ñ ÙÒ Ø Ö Ð Ó Ý Ò Ñ Ð ØÒ Ñ ÔÔº Ý Ö Ø Ð ØÖÓÑ Ò ¹ Ù ÖÞ Ú Ø ÞØ Ò ÓÖ ØÙ ÐÚ Þ Ø Ò Ø Ð Ø Ñ Ø Ø ¹ Ð Ø Ò ÑÐ Ú Ý Ñ Ò Ò Ý Ö Þ Ú Ð Ý ØØ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ ÒÒ ÒØ Ö Þ Ø º Ý Ò ÝÑ Ö Øò Þ ÐÝÓÞÓØØ ÒÒ Ð Þ Ð Ø Ø Ð ÔÓÞ ØÖÓÒ¹ Ð ØÖÓÒ ÒÒ Ð Ñ ÖÓ Þ Ô Ù Ú ÐØÓÞ Ø º Þ Ö Ø Ð ÒÝÙ Ú M i Ø Ñ ò Ó ØÙÑÒ Ý ÐÐ Ø Ð ÙÐÒ Ð ØÖÓÑ Ò Ù ÖÞ Ó Ý Ù ÖÞ Ø Ð Ò Ö Ð Ý Ò M i c 2 ¹Ø Ð Ý ÒÐ Ø Ð ÑÔÙÐÞÙ ÞÓÒ Ò Ð ¹ Ý Ò ÒÙÐÐ º Þ Ý Ð Ø Ù ÖÞ Ð Ò Ø Ú Ñ Ð ÔÓÞ Ø Ú Ö ÒÝ Ò Ø Ö º Þ Þ ÙØ Ú Ø ÐÑ ÒÝ Þ Ñ ÓÒ ÓØ Ó ÓÞ Þ Ò Ö Ø Ø ÑòÚ Ú Ò Ø Ú Ö ÒÝ Ñ ØØ Ð Ù ÖÞ Ø Ñ ÐÝ Ö Ø Ø Ð Ø¹ Ð Ò Ð Ñ Ò ÒÝ Ð Ø Ö º Ñ ÓÖ Ø ÒÝ q Ö ÑÐ c¹ò Ð ÐÝ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ð Ô Ð Þ Ò Ñ ÙØ Ò Ö Ø Ø ÐÐ Ô q ¹ Ø Ð Ú ÐÐØ Ø ÒÝ K¹ Ò Ñ Ö Ù Ý Ò Ò ÔÓÞ Ø Úµ Ö ÒÝ Ò ÑÓÞÓ Ñ ÒØ Ö Ø Þ ÖØ Ò Ñ Ò Þ Ñ ÖØ Ò Ñ ÖØ Ð Ø Ö Ø Ø Ð Ñ ÑÑ Ð ÙØ Ò Ö ÑÐÓØØ Ø ÒÝ Þ ÑÔÙÐÞÙ ÒÙÐÐ º ÓØÓÒ¹ Ö Ø Ò Ð Ý ÐÐ Ð ÒÒ Ó Ý Ò Ö Ö ØØ Ñ Ö Ò Ñ Ð Ø ÐÝ Ò Ý Þ Öò Ò Ú Ð ÞÓÐÒ º Ø Ñ Ð Ó Ý ÙØ Ò Ú Þ Ñ Ö M i c 2 /2 Ò Ö ¹ M i c/2 ÑÔÙÐÞÙ ÒÙÐÐ Ø Ñ ò Ó ØÙÑ Ñ Ò Ò Ú Ð Þ Òò Þ Ö ÒØ Ý Ð ØÖÓÑ Ò ÙÐÐ Ñ ÓÑ Ð Ð ÓÒ ÓÐ Ø ÖÐ Ø Þ ÒØ Ò Ú Þ ¹ Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ñ Ð Ò Ð Þ Ð Ð Ø º