Átírás

1 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ Áº Ô Ð Ø Ö ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö

2

3 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ Áº Ô Ð Ø Ö

4 ÑÓ ÁýÃ ÒÝÚØ Ö ËÇÊÇ ÌË ÊÃ Ë Ì Þ Á ØÚ Ò

5 Ä Ã ÖÓÐÝ Ã Ð ÙÐÙ Áº Ô Ð Ø Ö ÔÖÓ Ö ÑÓÞ ÔÖÓ Ö ÑØ ÖÚ Þ Ñ Ø Ñ Ø Ù ÐÐ Ø Ò ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö

6 ÓÔÝÖ Ø Ä Ã ÖÓÐÝ ÓÔÝÖ Ø Ð ØÖÓÒ Ù ÞÐ ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö ÑÓ Áýà ÒÝÚØ Ö Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÁÒØ Þ Ø ¼½¼ Ö Ò È º ½¾ ØØÔ»»ÑÓ º Ò ºÙÒ º Ù Ñò Ý Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ð Ö Þ ÓÒ Ð Ø ÐØ Ø º Å Ò Ò Ý Ð¹ ÞÒ Ð Þ ÖÞ Ð Þ Ø Ö Ð Ò ÐÝ Ú Ð Ø ÖØ Ò Øº Ñò ÑÓ ÁýÃ Ò Þ ÖÚ Þ ÑÓ Ð ÔÓÖØ Ð ÁÃÌ ÇÅ ¹¼¼»¾¼¼ µ ÆÍ ÁØ Ö ØÓÖ Ð Ò Ö ÔÓÖØ Ð ÞÓ ØÚ Ö ÁÌ Å ¼»¾¼¼ µ ÔÖÓ Ø Ö Ø Ò Þ Ðغ

7 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ Áº À ÐÑ ÞÓ Ö Ð Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À ÐÑ ÞÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê Ð Ð Ô Þ µ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÁÁº ËÞ ÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ú Ð Þ ÑØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ê Ò Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ R¹ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ R Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ R ØÓÔÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÁÁÁº ËÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ô Ó ÐÑ Ô ÓÐ ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÖÓÞ ØÓ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ê Þ ÓÖÓÞ ØÓ Ù Ý¹ ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ú Þ Ø ÓÖÓÞ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Áκ ËÓÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ô Ó ÐÑ Ð ÔØ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅòÚ Ð Ø ÓÖÓ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ì Þ Ø ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ κ Ú ÒÝ ÓÐÝØÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ô Ó ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÐÝØÓÒÓ Ý ÒÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

8 Ì ÊÌ ÄÇÅ à ÎÁº Ú ÒÝ Ø Ö ÖØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð Ô Ó ÐÑ Ø Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º À Ø Ö ÖØ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ý ÒÐ ØÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ËÞ ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ÎÁÁº Ú ÒÝ ÓÖÓÞ ØÓ Ú ÒÝ ÓÖÓ Ð Ñ Ú ÒÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ÎÁÁÁº Ö Ò Ð Þ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ö Ò ÒÝ Ó Ö Ò Ð Ø Ö Ò Ð ÒÝ Ó Ö ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ö Ò Ð Ø ÑòÚ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö Ò Ð Ø Ö Ò Ð Ø ÑòÚ Ð Ø ØÓÚ Ð Ñ Ú ÒÝ Ðµ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Å Ö Ò ò Ö Ú ÐØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ Ã Þ Ô ÖØ Ø Ø Ð Ì ÝÐÓÖ¹ÔÓÐ ÒÓÑ Ì ÝÐÓÖ¹ ÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ijÀÓ Ô Ø Ð¹ Þ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ö Ò Ð Ø Ú ÒÝ Ú Þ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ý ÓÖÐ Ð ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼¼ ÁÖÓ ÐÓÑ ÝÞ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼

9 Áº Þ Ø À ÐÑ ÞÓ Ö Ð Ú ÒÝ À ÐÑ ÞÓ ½º½º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý A,B Ø Ø Þ Ð ÐÑ ÞÓ Ý A B A B B A. Å ÓÐ º À A B ÓÖ A B Ð Ñ Ñ Ý ÞÒ Ñ Ó Ý x A Ø Ò x B y B Ø Ò y A Ú Ø Þ Ñ ÐÝ Ð Ò Þ Ö ÒØ Ú Ø Þ Ó Ý A B B A Ø Ð Ðº À A B B A Ø Ð Ð ÐØ Þ Ó Ý A B Þ A B Ð Ñ Ò Ñ ÞÓÒÓ µ ÓÖ Ú Ý x A Ó Ý x / B Ý A B Ú Ý y B Ó Ý y / A Þ ÖØ B A Ú Ø ÞÒ ÐÐ ÒØ Ø Ò ÐØ Ú Ðº Ì Ø A Bº ½º¾º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý A,B,C Ø Ø Þ Ð ÐÑ ÞÓ ÓÖ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø µ A B B A, A B B A A B) C A B C), A B) C A B C) ÞÓ Ø Ú Ø µ A B C) A B) A C), A B C) A B) A C) ÞØÖ ÙØ Ú Ø µ A\B A\A B), A\B C) A\B) A\C), A\B) C A C)\B, A\B C) A\B) A\C), A B B A B, A B B B A, A\B A B.

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11 À ÄÅ Çà ½½ x A \ B C) x A x / B C x A x / B x / C) x A x / B) x A x / C) x A \ B x A\C x A\B) A\C) A\B C) A\B) A\C)º À A B B ÓÖ x A Ó Ý x / B Ñ ÖØ ÓÖ x A B x / B Ñ ØØ A B B Ð ÒÒ µ x A Ø Ò x B Þ Þ A Bº À A B x A B ÓÖ x B A B B Ñ Ö ÞØ x B ÒÝ ÐÚ Ò Ó Ý x A B B A B Ñ ÐÝ Ó Ý A B Bº Þ ÙØÓÐ Ø ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ø Þ ÓÐÚ Ö ÞÞÙ º ½º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý A,B X ÓÖ A A X, A A, X, X, A A, A B A B, A B A B. Å ÓÐ º x X x A Ú Ý x / A Ô Ö Þ x X) x A Ú Ý x A x A A Þ ÖØ A A X Ð Ñ ÞÓÒÓ Ý A A Xº Ì Ý Ð Ó Ý x X Ó Ý x A A x A x X \A x A x / A Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý Þ A A ÐÑ ÞÒ Ò Ò Ð Ñ Ý A A º X X A A ÐÐ Ø Ó ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º x A B x X x / A B x X x / A x / B) x X x / A) x X x / B) x A x B x A B Þ Ó Ý A B A Bº x A B x X x / A B x X x / A Ú Ý x / B) x X x / A) Ú Ý x X x / B) x A Ú Ý x B x A B Ý A B A Bº ½º º Рغ ÅÙØ Ñ Ó Ý {A i i I} Ý X ÐÑ Þ Ö Þ ÐÑ ¹ Þ Ð ÐÐ ÐÑ ÞÖ Ò Þ Ö Ý Ø Ð ÐÒ ) C X A i ) C X A i ; C X A i C X A i i I i I i I i I ÅÓÖ Ò¹ Ð ÞÓÒÓ Ó º

12 ½¾ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã Å ÓÐ º x C X i I A i ) x X x / A i x X x / A i Ö¹ Ñ ÐÝ i I) x X x A i ) i I x C X A i ÖÑ ÐÝ i I x C X A i Ñ Þ Ð ÐÑ Þ Ý ÒРغ i I x C X A i ) x X x / A i x X i i I i I x / A i i I x C X A i x C X A i Ñ Ñ Ó ÅÓÖ Ò¹ Ð ÞÓÒÓ Óغ i I i I Ê Ð Ð Ô Þ µ ½º º Рغ ÅÙØ Ñ Ó Ý A, B C Ø Ø Þ Ð ÐÑ ÞÓ ÓÖ µ A B A Ú Ý B, µ A B) C A C) B C), µ A B C) A B) A C), µ A B) C A C) B C), µ A B C) A B) A C), µ A\B) C A C)\B C), µ A B\C) A B)\A C), µ B C A B A C. Å ÓÐ º µ A B x,y) A B x A Ú Ý y B A Ú Ý B º µ x,y) A B) C x A B y C x A Ú Ý x B) y C x A y C) Ú Ý x B y C) x,y) A C Ú Ý x,y) B C x,y) A C) B C) Ñ Þ ÐÐ Ø Øº µ x,y) A B C) x A y B C x A y B Ú Ý y C) x A y B) Ú Ý x A y C) x,y) A B Ú Ý x,y) A C x,y) A B) A C) Þ Þ ÐÐ Ø Øº µ x,y) A B) C x A B y C x A x B) y C x A y C) x B y C) x,y) A C x,y) B C x,y) A C) B C) Þ Ô Þ ÐÐ Ø Øº µ ÞÓÒÝ Ø Þ Ð Ú Ð Ò Ð º

13 Ê Äý Á Ã Ä Ã È Ë Ãµ ½ µ x,y) A \ B) C x A \ B y C x A x / B) y C x A y C) x / B y C) x,y) A C x,y) / B C x,y) A C) \ B C) Ñ Þ ÐÐ Ø Øº µ ÞÓÒÝ Ø Þ Ð Ú Ð ÞÓÒÓ º µ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ y B Ó Ý y Cº Å Ö ÞØ x,y) A B x A y B x A y C x,y) A C Ñ Þ ÐÐ Ø Øº ½º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý F A B Ý Ö Ð ÓÖ D F R F, R F D F, F ) F, F B) D F. Å ÓÐ º F F D F R F Ò Ñ ØØ y B¹Ö y D F x A y,x) F x A x,y) F y R F Ñ Ó Ý D F R F ÐÑ ÞÓ Ð Ñ ÞÓÒÓ Ø Ø D F R F º Ñ Ó Ý ÒÐ ÞÓÒÝ Ø Ø Ð Ò ÓÒÐ º F F ) Ò Þ Ö ÒØ x,y) F ) y,x) F x,y) F Ñ ÖÑ ÐÑ Þ Ý ÒРغ F B) F D F Ò Ñ ØØ F B) { x A y B,y,x) F } Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ {x A y B,x,y) F } D F, ½º º Рغ Ä Ý Ò A B C ÓØØ ÐÑ ÞÓ F A B G B C Ö Ð º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý G F) F G º Å ÓÐ º G F Þ ÒÚ ÖÞ Ö Ð Ò Ñ ØØ z,x) G F) x,z) F G y B x,y) F y,z) G y B y,x) F z,y) G z,x) F G Ñ Þ ÐÐ Ø Øº ½º º Рغ Ä Ý Ò x y z Ð Ò Þ Ð Ñ A {x,y,z}º Ù Ñ Þ Þ Ô Ö Ð Ö Ò Þ Ø Þ A ÐÑ ÞÓÒ Ñ Ú Ð ÞÙ Þ Þ Ð Ö Ò Þ Ö Ð Øº Å ÓÐ º Þ A Ô Ö Ð Ö Ò Þ ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ Ö Ð A A ÞÓÒÝÓ R Ö Þ ÐÑ Þ º A A¹Ø Ú Ø Þ Ø Ð Þ Ø Ð ÑÔ Ö Ð ÓØ x y z x x, x) x, y) x, z) y y, x) y, y) y, z) z z, x) z, y) z, z)

14 ½ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã Ò Þ Ö ÒØ R A A Ô Ö Ð Ö Ò Þ Ðк Ö Ò Þ µ Ö Ð Ö x,x),y,y),z,z) R Ø Ð Ð Ð º à РÙÐÙ Áº Á»¾º Þ Ø º Ò µµ R 0 {x,x),y,y),z,z)} Ô Ö Ð Ö Ò Þ A¹Òº À ÖÓÑ Ö Ò Þ ØØ Ô Ö ÓÞ Ø Ð Þ Ø ÒÒÑ Ö Ð ÑÔ Ö Þ Ð ÖÑ ÐÝ Ø ÓÞÞ Ú Þ Ý Þ R {x,x),y,y),z,z),x,y)}, R {x,x),y,y),z,z),y,x)}, R 3 {x,x),y,y),z,z),x,z)}, R 4 {x,x),y,y),z,z),z,x)}, R 5 {x,x),y,y),z,z),y,z)}, R 6 {x,x),y,y),z,z),z,y)} Ö Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð Ò Ô Ö Ð Ö Ò Þ Ø Ò A¹Òº À Þ R i i,...,6) Ö Ð Ñ Ò Ý Ø Þ Ø Þ ÙØÓÐ Ð ÑÔ Ö¹ Ù Ð Ý ÓÖ Ò Ú Ý Ó ÞÐÓÔ Ò Ð Ú Ñ ÒÝÞ Ð ÑÔ ÖÖ Ð Ø Ð Þ Ø¹ Ð ÔÓØØ ½¾ Ö Ð Ð Ð Ý Ù Þ Ý ÒÐ Ý Ø Ý Þ R 7 R x,z); R 8 R y,z); R 9 R 3 y,z); R 0 R z,y); R R z,x); R R 3 y,z) Ö Ð Ô Ö Ð Ö Ò Þ Ø Ò A¹Òº Î Ð Þ R k k 7,...,) Ö Ð Ø Ý Þ Ø Ø Ð Þ Ø Ý Ð ÑÔ Ö Ú Ð Ó Ý Ý Ð Ò ÖÖ Ó Ý ØÖ ÒÞ Ø Ú ØÙÐ ÓÒ Ø Ð Ð Ò ÔÓØØ ½¾ Ö Ð Ð ÑÓ Ø Ð Ý Ù Þ Ý ÒÐ Ý Øµ Ý Þ R 3 R 7 y,z); R 4 R 8 x,z); R 5 R 7 z,y); R 6 R 9 x,y); R 7 R 9 y,x); R 8 R 4 z,x) Ö Ð Ô Ö Ð Ö Ò Þ Ø Ò A¹Òº Þ ÙØÓÐ Ø Ö Ð Ö Ò Þ A¹Òº Ú ÒÝ ½º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ f : A B Ú ÒÝ ÓÖ ÓÖ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ Ò Ò x,y A, x y Ø Ò fx) fy) Ú Ý x,y A Ø Ò fx) fy) x yµº

15 Î Æ Ã ½ Å ÓÐ º µ Ä Ý Ò f ÒÚ ÖØ Ð Ø º Þ ÐÐ Ø Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò Ø Ý Ð Ó Ý x,y A, x y Ó Ý fx) fy) Ý z. fx) fy) B Ø Ò z,x) f z,y) f Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÒÒ Ó Ý f Ú Òݺ µ Ì Ý Ð Ó Ý x,y A, x y Ø Ò fx) fy)º À z,x ) f z,x ) f ÓÖ x,z) f x,z) f Þ Þ fx ) fx ) Ý ÐØ Ø Ð Ñ ØØ x x Ø Ø f Ú ÒÝ Ø Ø f ÒÚ ÖØ Ð Ø º ½º½¼º Рغ Ä Ý Ò f A B g B C Ú ÒÝ º ÓÖ g f Ú ÒÝ x D g f ¹Ö g f)x) gfx))º Å ÓÐ º À x,z ) g f x,z ) g f ÓÖ y,y B C Ó Ý x,y ) f, y,z ) g x,y ) f, y,z ) gº f Ú ÒÝ Ý y y g Ú ÒÝ Ý z z Ú Ø Þ Ø Ø g f Ú Òݺ À z g f)x) Ý x,z) g f y, x,y) f y,z) g y, y fx), z gy) z gfx)) Ñ Ð Ø ÐÐ Ø Ò Ñ Ó Ö Þ Øº ½º½½º Рغ Á ÞÓÐ Ó Ý f : A B, g : B C ÒÚ ÖØ Ð Ø Ú ÒÝ R f B, R g C ÓÖ g f ÒÚ ÖØ Ð Ø g f) f g º Å ÓÐ º ÐØ Ø Ð Ñ ÐÐ ØØ D g f D f, R g f Cº À x,y A g f)x) g f)y) ÓÖ Þ ½º½¼º Ð Ø Ñ ØØ gfx)) gfy)) Ñ g ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ ØØ Ð º ½º º Рص Ó Ý fx) fy) Ð f ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý x y Ý Þ ½º º Ð Ø Ñ ØØ g f Ú ÒÝ ÒÚ ÖØ Ð Ø º Ð Ø Ñ Ó Ö Þ Ú Ø Þ Þ ½º º Ð Ø Ð Þ Ò f A B, g B C Ö Ð º ½º½¾º Рغ Ä Ý Ò f : A B Ú ÒÝ C, D Aº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý fc D) fc) fd), fc D) fc) fd). ÓÒ Ñ ÓÐÝ Ò Ú ÒÝØ C,D D f ÐÑ ÞÓ Ø Ó Ý fc D) Ú Ð Ö Þ fc) fd)¹ò º Å ÓÐ º Ô ÐÑ Þ Þ Ò Ð Ô Ò y fc D) x C D), y fx) x C, y fx)) Ú Ý x D, y fx)) y fc) Ú Ý y fd) y fc) fd) Þ Þ Ð ÐÑ Þ Ý ÒРغ y fc D) x C D), y fx) x C, y fx)) x D, y fx)) y fc) y fd) y fc) fd) Ñ Ð Ú Ø Þ Ñ Ó Ý ÒÐ ØÐ Ò º

16 ½ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã Ä Ý Ò C {a,a }, D {a,a 3 }, B {b,b }, f {a,b ), a,b ), a 3,b )} f : A C D B) ÓÖ fc) {b,b } fd) {b,b } fc) fd) {b,b } Ù Ý Ò ÓÖ C D {a } Ñ ØØ fc D) {b }º ÓÖ fc D) fc) fd) fc D) fc) fd)º ½º½ º Рغ Ä Ý Ò f : A B Ú ÒÝ C,D Bº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý f C D) f C) f D) ; f C D) f C) f D). Å ÓÐ º x f C D) fx) C D) fx) C Ú Ý fx) D x f C) Ú Ý x f D) x f C) f D) Ñ Þ Ð Ý ÒРغ x f C D) fx) C D) fx) C fx) D x f C) x f D) x f C) f D) Ñ Ò Þ Ö ÒØ Ñ Ó Ý ÒРغ ½º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý f : A B Ý Ú ÒÝ ÓÖ f id A f, id B f f. Å ÓÐ º f, id A, id B, Ò Þ ½º½¼º Ð Ø Ñ ØØ R ida A D f Þ ÖØ D f ida D f Ñ Ö ÞØ f id A )x) fid A x)) fx) Ú Ý Þ f id A f Ú ÒÝ Ø Ñ Ø ÖÓÞ Ö Ò Þ ØØ Ð ÑÔ ¹ ÖÓ ÐÑ Þ Ý ÒÐ Ý Þ Þ Ð Ý ÒÐ º Ñ Ó Ý ÒÐ ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º ½º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý f : A B ÒÚ ÖØ Ð Ø Ú ÒÝ ÓÖ µ f f id A ; µ f f )y) y y R f Þ Þ R f B Ý f f id B ) ; µ f ÒÚ ÖØ Ð Ø ÒÚ ÖÞ f º

17 ÃÇÊÄ Ä ÌÇà ½ Å ÓÐ º Þ Ñ ÖØ Ò Ø Þ ½º½¼º Ð ØÓØ Ð ÞÒ ÐÚ µ R f D f Ñ ØØ D f f A D ida º Ä Ý Ò x A y. fx) ÓÖ x f y) Ý f f)x) f fx)) f y) x id A x)º Þ Þ Ý ÒРغ µ Ä Ý Ò y R f x. f y)º f ÒÚ ÖØ Ð Ø Ý fx) yº ÓÖ f f )y) ff y)) fx) y Ñ Ð ÒÝ ÐÚ Ò Ú Ø Þ µ ÐÐ Ø Ñ Ö Þ º µ Þ ½º Ð Ø ÖÑ Ý ÒÐ Ñ ØØ f ) f Ñ Ó Ý ÝÖ ÞØ f ÒÚ ÖØ Ð Ø Ñ ÖØ ÒÚ ÖÞ Þ f Ú Òݵ Ñ Ö ÞØ f ÒÚ ÖÞ fº Ý ÓÖÐ Ð ØÓ ½º Ä Ý Ò X Ý ÓØØ ÐÑ Þ A,B,C Xº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ A A A, A A A ÑÔÓØ Ò µ µ A A B) A, A A B) A µ A A A µ A B C X A C X B µ A A B A B A µ A B C X B C X A µ A \ B A C X B µ A B) \ C A \ C) B \ C) µ A B) \ C A \ C) B \ C) µ A \ B) C A C) \ B C) C º ¾º Ä Ý Ò A B Ò Ñ Ö ÐÑ ÞÓ º ÅÙØ Ñ Ó Ý A B B A A Bº º Ä Ý Ò A,B,C,D ÓØØ ÐÑ ÞÓ F A B, G B C H C Dº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý H G F) H G) F º º Ä Ý Ò A Ý ÐÑ Þ f A A Ö Ð º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý f f f f º º Ä Ý Ò f A B g B C Ú ÒÝ º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ D g f D f µ D g f D f R f D g µ g f R f D g º º Ä Ý Ò f : A B Ú ÒÝ C,D Aº Á ÞÓÐ Ó Ý fc) \ fd) fc \ D)º

18 ½ Áº À ÄÅ ÇÃ Ê Äý Á Ã Î Æ Ã º Ä Ý Ò f : A B Ú ÒÝ C,D Bº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý f C \ D) f C) \ f D)º º Ä Ý Ò f : X Y Ú ÒÝ A,B X C,D Y º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ A B fa) fb) µ C D f C) f D)º º Ä Ý Ò f : X Y Ú ÒÝ A X B Y º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ A f fa)) µ ff B)) Bº ÙÒ Þ Ð Ò ÐØ Ø ÐØ ÖÖ Ó Ý Ý ÒÐ Ø Ð ¹ Ð Ò A X ÐÐ ØÚ B Y ÐÑ ÞÖ º ½¼º Ä Ý Ò f : X Y Ú ÒÝ {A γ X γ Γ} Ò Ñ Ö ÐÑ ÞÖ Ò ¹ Þ Öº Á ÞÓÐ Ó Ý µ f A γ ) fa γ ) γ Γ γ Γ µ f A γ ) fa γ )º γ Γ γ Γ ½½º Ä Ý Ò f : X Y Ú ÒÝ {A γ Y γ Γ} Ò Ñ Ö ÐÑ ÞÖ Ò ¹ Þ Öº ÅÙØ Ñ Ó Ý µ f A γ ) f A γ ) γ Γ γ Γ µ f A γ ) f A γ )º γ Γ γ Γ

19 ÁÁº Þ Ø ËÞ ÑÓ Ú Ð Þ ÑØ Ø ¾º½º Рغ Ä Ý Ò x,y Rº ÅÙØ Ñ Ó Ý xy 0 x 0 Ú Ý y 0. Å ÓÐ º µ À x 0 ÓÖ Ø Ø Ü Ñ Ø Þ Ý Þ Öò Ø Þ ÐÝØ Ð Þ¹ Ò ÐÚ 0 y y 0 + 0)y 0 y + 0 y 0 y 0. y 0¹Ö ÓÒÐ Ò Ô Ù Ó Ý x 0 0º Ì Ø xy 0 x 0 Ú Ý y 0º µ Ì Ý Ð Ó Ý x 0 xy 0 ÓÖ Ø Ø Ü Ñ ÑÓ Ø ÞÓÒÝ ¹ ØÓØØ Þ Ö ÒØ 0 x 0 x xy) x x)y y y À ÓÒÐ Ò y 0,xy 0 x 0º Ý xy 0 x 0 Ú Ý y 0 º ¾º¾º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x R Ø Ò x )xº Å ÓÐ º Ø Ø Ü Ñ ¾º½º Ð Ø Ñ ØØ x + x) 0 x + )x x + )x + ))x 0 x 0, Ñ Ó Ý x + x) x + )x, Ð Þ Ý Þ Öò Ø Þ ÐÝ Ñ ØØ Ú Ø Þ Ð Ø ÐÐ Ø º ¾º º Рغ Ä Ý Ò x,y Rº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x + y) x) + y) x y, xy) x)y x y), x) y) xy ½

20 ¾¼ ÁÁº Ë ýåçã Ô Ð Ò ) ) µº Å ÓÐ º Ø Ø Ü Ñ Ø ÚÓÒ Ò Ø Þ Ð Þ Ø Ð ØÓØ Ð ÞÒ ÐÚ x + y) )x + y) )x + )y x) + y) x y Ñ Þ Ð Ý ÒРغ x)y + xy x + x)y 0 y 0 ÑÙØ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Þ ÒÚ ÖÞ Ý ÖØ ÐÑò Ø µ Ó Ý xy Ø Ú ÒÚ ÖÞ Ö xy) x)y Ú Ø Þ º xy) x y) Ý ÒÐ Ù Ý Ò Ý ÞÓÒÝ Ø Ø º Þ Ð x) x Ý ÒÐ Ñ ØØ x) y) x y)) xy)) xy, Ñ ÖÑ Ý ÒÐ Ø Ñ ÐÝ Ð x, y Ø Ò Ô Ù Ó Ý ) ) º ¾º º Рغ Ä Ý Ò x,y,u,v Rº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x + y) + u + v) x + u) + y + v) x + v) + y + u). Å ÓÐ º + ÑòÚ Ð Ø ÞÓ Ø Ú Ø Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Ø Ð ÞÒ ÐÚ x + y) + u + v) x + y) + u) + v x + y + u)) + v Ñ Þ ÐÐ Ø Øº x + u + y)) + v x + u) + y) + v x + u) + y + v) x + u) + v + y) x + u) + v) + y x + u + v)) + y x + v + u)) + y x + v) + u) + y x + v) + u + y) x + v) + y + u), ¾º º Рغ Ä Ý Ò x,y,u,v Rº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý xy)uv) xu)yv) xv)yu). Å ÓÐ º ÞÓÖÞ ÞÓ Ø Ú Ø Ø ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø Ø Ð ÞÒ ÐÚ xy)uv) xy)u)v xyu))v xuy))v xu)y)v xu)yv), xy)uv) xy)vu) xy)v)u xyv))u xvy))u Þ Þ ÐÐ Ø Øº xv)y)u xv)yu),

21 Î Ä Ë Ë ýåì ËÌ ¾½ ¾º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x,y,u,v R ÓÖ x y) + u v) x + u) y + v) x v) + u y). Å ÓÐ º À ¾º º Ð Ø Ò ÐÚ ÞÞ Þ y y, v v ÐÝ ØØ Ø ¹ Ø ÞÒ Ð Ù ÚÓÒ ØÙÐ ÓÒ Ø Ú Ð Ñ ÒØ ¾º º Ð ØÓØ ÓÖ Ô Ð ÙÐ x y) + u v) x + y)) + u + v)) x + u) + y) + v)) x + u) + y + v)) x + u) y + v) Ú Ø Þ º Ñ Ý ÒÐ ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º ¾º º Рغ À x,y R, x 0,y 0 ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý xy) x )y ), Þ Þ x y xy. Å ÓÐ º ÐØ Ø Ð Ñ ØØ xy) º Ø Ø Ü Ñ Ø ¾º º Ð ØÓØ Ð ÞÒ ÐÚ Ô Ù Ó Ý xy)xy) x x )y y ) xy)x y ), Ñ Þ Ý Þ Öò Ø Þ ÐÝ Ñ ØØ Þ ÐÐ Ø Øº Ñ Ó Ý ÒÐ Þ ÒÚ ÖÞ Ö ÔÖÓ Ý ÒÐ Ð Òº ¾º º Рغ À x,y,u,v R u 0,v 0 Ý Ð Ø ÖØ Ø Ø ÖØØ Ð ÞÓÖÞ Þ ÐÝ Ø Ó Ý x u y v xy uv º Å ÓÐ º ÒÝ Ó ØÙÐ ÓÒ Ø ¾º º ¾º º Ð ØÓ Ø Ð ÞÒ ÐÚ x u y v xu )yv ) xy)u v ) xy)uv) xy uv, Ñ Þ ÐÐ Ø Øº ¾º º Рغ Ä Ý Ò x,y,u,v R, y 0,v 0º ÞÓÒÝ Ø Ø ÖØ Þ Ò Þ ÐÝ Ø Ó Ý x y + u v xv + yu yv Å ÓÐ º Þ Ü Ñ Ø ¾º º ¾º º Ð ØÓ Ø ÒÝ Ó Ò Ø ÞÒ ÐÚ xv + yu xv + yu)yv) xv + yu)y v ) yv xv)y v ) + yu)y v ) xy )vv ) + yy )uv ) x y + u v x y + u v,.

22 ¾¾ ÁÁº Ë ýåçã Ñ Þ ÐÐ Ø Øº ¾º½¼º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n,m N Ø Ò n+m N nm Nº Å ÓÐ º m¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ð Ò Ù Ø Ø Ü Ñ N Ò Ø Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ù Ø ÐÐ Ø Øº n N Ø Ò m Ý n + Nº Ì Ý Ð Ó Ý n N Ø Ò n + m N ÓÖ n + m + ) n + m) + Nº Ý Ø Ð Ò Ù ÐÚ Ð Ô Ò Ö Þ Ø ØØ n N Ø Ò m N¹Ö n + m Nº ÑÓ Ø ÞÓÒÝ ØÓØØ ÐÐ Ø Ø Ð ÞÒ ÐÚ ÓÒÐ Ò Ñ ÒØ Ð n N¹Ö m ÓÖ n n Nº Ì Ý Ð Ó Ý m N¹Ö nm N ÓÖ nm+) nm+n N Ø Ð Ð Ñ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Øº ¾º½½º Рغ ÅÙØ Ñ Ó Ý x,y Z Ø Ò x + y, x y, xy Zº Å ÓÐ º Z Ò Ø ¾º º ¾º º ¾º½¼º Ð Ø ÐÐ Ø Ø Ø Ø Ü Ñ ¹ Ø Ð ÞÒ ÐÚ ÞÓÒÝ ØÙÒ º À x,y Z ÓÖ m,n N m,n N Ó Ý x m n, y m n ÓÖ x + y m n ) + m n ) m + m ) n + n ) Z x y m n ) m n ) m + n ) m + n ) Z xy m n )m n ) [m + n )] [m + n )] [m m + n ))] + [ n )m + n ))] [m m + m n )] + [ n )m + n ) n )] [m m + n n ] + [ m n + n m )] m m +n n ) m n +n m ) Z Ñ ÐÝ Ð Ø ÐÐ Ø Øº ¾º½¾º Рغ Ä Ý Ò x,y Qº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x + y, x y, xy Q y 0 ÓÖ x y Q Ø Ð Ðº Å ÓÐ º Q Ò Ø ÓÖ Ð ØÓ Ø Ø Ø Ü Ñ Ø ÞÒ Ð Ù ÞÓÒÝ Ø Òº À x,y Q ÓÖ Ò Þ Ö Òص p,p,q,q Z, q 0,q 0 Ó Ý x p, y p Ý q q x + y p + p p q + p q Q Þ Ò p q + p q Z, q q q q q q Z, q q 0µ ØÓÚ ÐÐ Ø Ó ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º

23 Î Ä Ë Ë ýåì ËÌ ¾ ¾º½ º Рغ Ä Ý Ò x,y R ; n,m Nº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý xy) n x n y n, ) x n xn y y n y 0), x n x m x n+m, x n ) m x nm. Å ÓÐ º Ì Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ x n Ò Ø ¾º º Ð ØÓØ Ð ÞÒ ÐÚ n ¹Ö xy).. xy x y Ñ ØØ Þ Þ Ð Ý ÒÐ º Ì Ý Ð Ó Ý xy) n x n y n ÓÖ xy) n+. xy) n xy) x n y n )xy) x n x)y n y) x n+ y n+, Þ Ø Ð Ò Ù ÐÚ Ð Ô Ò Þ Ð ÞÓÒÓ ÓØ n N Ø Òº Ñ Ó ÞÓÒÓ ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º ÖÑ ÞÓÒÓ ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Ð Ý Ò n N Ø Ø Þ Ð Ò Ö ¹ Þ Ø Øغ ÓÖ m Ø Ò x n x x n x x n+ Þ ÐÐ Ø Øº À x n x m x n+m ÓÖ x n x m+ x n x m x) x n x m )x x n+m x x n+m)+ x n+m+) º Þ Ô Ø Ð Ò Ù ÐÚ Þ Ö ÒØ ÖÑ ÞÓÒÓ ÓØ n,m N Ø Òº Ò Ý ÞÓÒÓ ÞÓÒÝ Ø Þ Ð Þ ÓÒÐ º ¾º½ º Рغ Ä Ý Ò k,n N, k nº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý ) ) ) ) ) ) ) n n n n n n n +,, +. 0 n k n k k k k Å ÓÐ º ) n k Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ Þ Ð Ø ÐÐ Ø ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð º Þ ) n + k ) n k n! k )!n k ))! + n! k!n k)! n!k + n!n k + ) n!n + ) k!n k ))! k!n + ) k)! ) n + )! n + k!n + ) k)! k Ý ÒÐ ÓÖ ÖÑ ÞÓÒÓ Óغ

24 ¾ ÁÁº Ë ýåçã ¾º½ º Рغ Ä Ý Ò x,y R, n Nº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n ) n x + y) n x i y n i ÒÓÑ Ð Ø Ø Ðµº i i0 Å ÓÐ º Ì Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ Ø Ø Ü Ñ Ø Þ ÞÓ Ð Þ Ö¹ Ñ ÞØ ØÓØØ Þ ÑÓÐ Þ ÐÝÓ Ø ¾º½ º Ð ØÓØ Ð ÞÒ ÐÚ º n ¹Ö Þ x+y) x+y i0 i) x i y n i x +y x+y Ý ÒÐ Þ ¹ ÓÒÐ Ø Þ ÐÐ Ø Øº À Þ ÐÐ Ø Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò n N¹Ö Ý [ n ] n x + y) n+ x + y) n x + y) )x i y n i x + y) i n ) n x i+ y n i + i i0 ) n n x n+ + n i0 ) n + x n+ + n + + n n k k n i i0 i0 n ) n x i y n+ i i ) x i+ y n i + n i n i n ) n x k y n+) k + k k ) n + x k y n+) k + ) n + n [ ) n x n+ + + n + k k ) n + n n + y n+ + 0 k k n+ ) n + x i y n+) i, i i0 0 ) x i y n+) i + ) y n+ )] n x k y n+) k + k n + ) x k y n+) k + 0 ) n y n+ 0 n + 0 ) x n+ Þ ÐÐ Ø Ø Ø n + ¹Ö Þ ÓÖ Ñ Ò Ò n N Ø Ò Þº ) y n+

25 Ê Æ Ë ÆÄ ÌÄ ÆË Ãµ R¹ Æ ¾ Ê Ò Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ R¹ Ò ¾º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x,y,z,u,v R ÓÖ µ x < y x + z < y + z ; µ 0 < x x < 0 ; x < 0 0 < x ; µ 0 < x 0 < y 0 < xy ; µ 0 < x x 0 ; 0 < ; µ 0 < x y < 0 xy < 0 ; x < 0 y < 0 0 < xy ; µ 0 < xy 0 < x 0 < y ; 0 < x ; µ x y z u x + z y + u ; x < y z u x + z < y + u ; 0 x 0 y 0 x + y; 0 < x 0 y 0 < x + y); µ x < y 0 < z xz < yz; x < y z < 0 yz < xz; µ 0 < y < x 0 < z < v yz < xv ; µ 0 < x < y n N 0 < x n < y n ; µ 0 < x < y 0 < y < x ; е n N n ; ѵ k Z Ø Ò l Z, Ó Ý k < l < k +. Å ÓÐ º µ x < y x y x + z y + zº À x + z y + z ÚÓÐÒ Ý x y Ò Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý x + z < y + zº µ µ¹ø Ð ÞÒ ÐÚ Ôк 0 < x 0 + x) < x + x) x < 0º µ 0 < x 0 < y 0 x 0 y 0 xyº À 0 xy ÓÖ 0 x 0 y Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý 0 < xyº µ À x 0 x 0; 0 < x ÓÖ 0 0 < x x Þ Þ 0 < x ; x < 0 0 < x 0 0 < x) x) x Þ Þ 0 < x º À x 0 < º µ 0 < x y < 0 0 < x 0 < y 0 < xy) xy < 0; Ñ ÐÐ Ø ÓÒÐ Ò ÞÓÐ Ø º µ À y 0 Ð ÒÒ Ý xy 0 xy < 0 ÒÒ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º À y x, Ý 0 < x x 0 < x Ó Ý 0 < x º µ À z u ÓÖ Þ µ Ü Ñ ÐÐ ØÚ Þ µ ÐÐ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Ø Øº À z < u ÓÖ x + z < y + z y + z < y + u Þ ÐÐ Ø Øº Ô Ð Ø Ð ÒÝ ÐÚ ÒÚ Ð ºµ

26 ¾ ÁÁº Ë ýåçã µ À x < y ÓÖ 0 x + x < x + y Ý 0 < z Ñ ØØ 0 < x + y)z xz + yz xz < xz + xz)) + yz xz < yzº Þ ÐÐ Ø Ñ Ö Þ ÓÒÐ Þ Ò z < 0 0 < zº µ y < x 0 < z yz < xz z < v 0 < x xz < xvº Ð Ô Ú Ø Þ Ó Ý yz < xvº µ n ¹Ö Þ Ð Þ ÐÐ Ø Ñ Øص x x x < y y y n N¹Ö x n < y n Ý x < y Ñ ØØ Ô x n+ x x n < y y n y n+ Ñ Þ ÐÐ Ø Øº µ 0 < x < y 0 < x, 0 < y º Ì Ý Ð Ó Ý 0 < x y ÓÖ 0 < x < y Ñ Øص x x < y y Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý 0 < y < x Þº е À n ÓÖ Þº Ì Ý Ð Ó Ý n k¹ö k ÓÖ > 0 Ñ ØØ k + Þ Ñ Þ Ò Ù Ü Ñ Ñ ØØ Þ ÐÐ Ø Øº ѵ À Ð Ø ÞÒ k,l Z, k < l < k + ÓÖ l k Z 0 < l k l k N l k l + k Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ º ¾º½ º Рغ Ä Ý Ò x,y Rº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ x y y x y, µ x < y y < x < yº Å ÓÐ º Þ ÞÓÐ Ø ÖØ Ò Ø Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ¹ Ñ ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ø Ð ÞÒ ÐÚ µ À x y ÓÖ x x x x Ó Ý x y x y Þ Þ y x Þ Ð y x y Ú Ø Þ º À y x y ÓÖ 0 x¹ö x y x x x y, x < 0¹Ö y x¹ Ð ÔÓØØ x y Ý ÒÐ ØÐ Ò Þ x x Ó Ý x y Ý x R Ø Ò x yº µ À ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø ÐÝ ØØ <¹ Ø ÖÙÒ µº ¾º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ R¹ Ð dx,y). x y x,y R) Ø ÚÓÐ Ö dx,y) 0, dx,y) dy,x), dx,y) dx,z)+dy,z) Ø Ð Ðº Å ÓÐ º Þ ÞÓÐ Ø ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ø Ø Ø Ü Ñ Ð Ô ÓÐ ØÓ Ð ØÓ Ø Ð ÞÒ ÐÚ dx,y) x y 0 dx,y) x y y x) y x dy,x) dx,y) x y x z)+z y) x z + z y x z + y z dx,z) + dy,z) ÐÐ Ø Ò Øº

27 Ê Æ Ë ÆÄ ÌÄ ÆË Ãµ R¹ Æ ¾ ¾º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ R¹ Ð Kx 0,r) ÖÒÝ Þ ØÖ Ø Ð Ð¹ Ò Ú Ø Þ µ x 0 R r > 0 ÓÖ x 0 Kx 0,r) µ x 0 R, r > 0 x Kx 0,r) ÓÖ ε > 0 Ó Ý Kx,ε) Kx 0,r) µ x,y R, x y ÓÖ r > 0 Ó Ý Kx,r) Ky,r) µ x 0 R, r > 0 ÓÖ Kx 0,r) ]x 0 r,x 0 + r[º Å ÓÐ º µ dx 0,x 0 ) x 0 x < r Þ ÐÐ Ø Øº µ Ä Ý Ò ε r dx,x 0 )º À y Kx,ε) Þ Þ dy,x) < ε ÓÖ ¾º½ º Ð Ø ÖÑ ÐÐ Ø Ñ ØØ ÖÓÑ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò µ dy,x 0 ) dy,x) + dx,x 0 ) < ε + dx,x 0 ) r Ø Ø y Kx 0,r) Ý Kx,ε) Kx 0,r)º µ Ä Ý Ò r dx,y)º À Ð Ø ÞÒ y Kx,r) Ky,r) Ý ÖÓÑ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ µ dx,y) dx,z) + dz,y) < r dx,y) Ú Ø ÞÒ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Þ ÖØ Kx,r) Ky,r) º µ ÖÒÝ Þ Ø Ò ¾º½ º ¾º½ º Ð ØÓ Ð Ô Ò x Kx 0,r) x x 0 < r r < x x 0 < r x 0 r < x < x 0 +r x ]x 0 r,x 0 + r[ Þ ÐÐ Ø Øº ¾º¾¼º Ð Ø ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n N, x R x ÓÖ + x) n + nx. Ý ÒÐ Ø Ð Ð n Ú Ý x 0º Å ÓÐ º Ì Ð Ò Ù Ú Ðº n ¹Ö Þ ÐÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Þº À n¹ö Þ ÓÖ + x 0 Ñ ØØ +x) n+ +x) n +x) +nx)+x) +nx+x+nx +n+)x, Ý Þ ÐÐ Ø Ñ Ò Ò Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÖ Þº Þ Ý ÒÐ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÐ Ø Ý Þ Öòº ¾º¾½º Ð Ø Ù Ý¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n N a,...,a n R + ÓÖ. G n n a... a n a a n n Ý ÒÐ Ø Ð Ð a a a n º. A n,

28 ¾ ÁÁº Ë ýåçã Å ÓÐ º Ì Ð Ò Ù Ú Ðº n Ø Ò Þ ÐÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Þº Ì Ý Ð Ó Ý G n A n a a a n º Å Ú Ð A n [ ] n n [n )A n + a n ] A n n + a n n A n an A n [ + )] n A n n a n > Ý ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð ÞÒ Ð Ú Ð n A n n A n ) n A n ) [ n an + )] n n A n n A n ) n + a ) n A n ) n a n A n G n ) n a n a... a n a n G n ) n, a n Ñ Ó Ý G n A n Ý ÒÐ Ú Ò 0º A n a a n ¹ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý a n a a a n )º Þ Ò Ù Ü Ñ Ñ ØØ Þ ÐÐ Ø Þº ¾º¾¾º Ð Ø Ù Ý¹ ÙÒÝ ÓÚ Þ ¹Ë Û ÖÞ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò µº Ä Ý Ò x,...,x n,y,...,y n R ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x i i n ) n x i y i i i x i ) n Å ÓÐ º Ä Ý Ò f : R R, ft) n x i t+y i ) ÓÖ ft) 0 t R i n ) n n ) ft) t + x i y i )t+ y i. À n x i 0 Þ Þ x i 0µ i i ÓÖ Þ ÐÐ Ø ÒÝ ÐÚ Ò Þº Ä Ý Ò n x i > 0º À n x i a, n n x i y i b yi c ÓÖ i i i i ft) at +bt+c a t + b ) b 4ac º ft) 0 t R Ø Ò a 4a b 4ac 0 Ñ Þ Ð Ð Ð Ð ÞÒ Ð Ú Ð Þ ÐÐ Ø Øº i y i i ).

29 R Ì Ä ËË R Ø Ð ¾ ¾º¾ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý A R Ò Ñ Ö Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ð¹ Ñ ÞÖ supa Ý ÖØ ÐÑòº Å ÓÐ º À α,β R Ó Ý α supa, β supa ÓÖ supa Ò Ñ ØØ α β β α Ø Ð Ð Ñ α β Ø Ò Ø Ð Ð Ø Þ Ò Ôк α < β Ø Ò α < α Ú Ø ÞÒ µº ¾º¾ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý A ) R Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ ÐÑ Þ¹ Ò β ÓÖ ÓÖ ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø Ð ÓÖÐ Ø ε > 0¹Ö x A Ó Ý x > β ε Þ Þ ε > 0¹Ö β ε Ò Ñ Ð ÓÖРصº Å ÓÐ º ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø Ò Ø Ð ÞÒ ÐÚ º Ä Ý Ò β supa ÓÖ β Ð ÓÖÐ Ø A¹Ò ε > 0¹Ö β ε< β) Ò Ñ Ð ÓÖÐ Ø Ñ Ó Ý x A Ó Ý x > β εº À β Ð ÓÖÐ Ø A¹Ò ε > 0 Ø Ò x A, x > β ε ÓÖ Ø Ý Ð Ó Ý γ R Ó Ý γ Ð ÓÖÐ Ø A¹Ò γ < βº À ε. β γ > 0 Ý ÐØ Ø Ð Ñ ØØ x A Ó Ý x > β ε γ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò ÞÞ Ð Ó Ý γ Ð ÓÖРغ Ý A ÖÑ ÐÝ γ Ð ÓÖÐ Ø Ö γ β ÐÐ Ó Ý Ø Ð Ð Òº Ì Ø β ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø A¹Ò º ¾º¾ º Рغ Ä Ý Ò A,B R ÓÐÝ Ò Ó Ý A Bº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý supa supb ÓÖ supa supbº Å ÓÐ º À α supa, β supb Þ ÐÐ Ø Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò ÐØ Þ Ó Ý β < α ÓÖ ε. α β > 0 Ñ ÐÐ ØØ Þ Ð Þ Ð Ø Ñ ØØ α supa) x A Ó Ý x > α ε βº Í Ý Ò ÓÖ A B Ñ ØØ x B Ø Ð Ð Þ ÖØ x > β Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ ÒÒ Ó Ý β supbº Ì Ø α β ÐÐ Ó Ý Ø Ð Ð Ò Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ ¾º¾ º Рغ À Þ A R ÐÑ ÞÖ supa ÓÖ A. {x x A} ÐÑ ÞÒ Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø inf A) supaº Å ÓÐ º À β supa ÓÖ x A¹Ö x βº À x A ÓÖ x A Ý x β Þ Þ β x Ø Ð Ð Ø Ø β Ð ÓÖÐ Ø A¹Ò º À α Ø Ø Þ Ð Ð ÓÖÐ Ø A¹Ò ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò α Ð ÓÖÐ Ø A¹ Ò Ö α β Þ Þ α β Ø Ð Ðº Þ Ò Þ Ö Òص Ó Ý inf A) β supaº ¾º¾ º Рغ À A,B R A + B {x + y x A,y B} ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý supa supb ÓÖ supa + B) supa + B) supa + supbº

30 ¼ ÁÁº Ë ýåçã Å ÓÐ º supa supb Ò Ñ ØØ x A, y B Ø Ò x supa, y supb Ý x + y supa + supb Ø Ø supa + supb Ð ÓÖÐ Ø A+B¹Ò Ñ R Ø Ð Ñ Øص Ó Ý supa+b)º À ε > 0 ÓØØ ¾º¾ º Ð ØÓØ Ð ÞÒ ÐÚ x 0 A, y 0 B Ó Ý x 0 > supa ε, y 0 > supb ε Þ Þ x 0 + y 0 > supa + supb ε Ñ Ð Ö ÞÒ ÐÚ ¾º¾ º Ð Ø ÐÐ Ø Øµ Ô Ù Ó Ý supa + supb ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø A + B¹Ò º ¾º¾ º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ H { n n N} H ]0,[ {} й Ñ ÞÓ ÙÔÖ ÑÙÑ Ø Ò ÑÙÑ Øº Å ÓÐ º Ò Ø Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ø ÞÒ ÐÚ À n N Ý 0 < n Ý 0 Ð ÓÖÐ Ø H ¹Ò º À ε > 0 Ø Ø Þ Ð Ú Ð Þ Ñ Ý Ñ Ú Ð N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ n N Ó Ý 0 < ε < n Þ Þ < ε ε 0º Þ ¾º¾ º Ð Ø Ñ Øص Ó Ý n inf H 0º À n N ÓÖ n Þ Þ n Ý Ð ÓÖÐ Ø H ¹Ò º À ε > 0 Ø Ø Þ Ð ÓÖ x H ¹Ö > ε Þ Ò Þ Ú Ú Ð Ò 0 > ε ÐÐ ØÚ ε > 0 Ý ÒÐ ØÐ Ò Ðµº Ë Þ Ý ØØ ¾º¾ º Ð Ø Þ Ö Òص Ó Ý suph º 0 Ð ÓÖÐ Ø H ¹Ò Ñ ÖØ x ]0,[¹Ö 0 < x Ø Ð Ð 0 < Þ Þ Ò 0 < Ñ ÖØ Ñ Ð Ò < + Ñ Þ Ð Ó Ý 0 < µº À ε > 0 Ú Ð Þ Ñ Ý ¹ Ñ Ú Ð ]0,ε[ ]0,[ Ò Ñ Ö ¹ x H Ó Ý x < ε Þ Þ ε Ò Ñ Ð ÓÖÐ Ø Ý H ÖÑ ÐÝ Ð ÓÖÐ Ø Ú Ý Ý ÒÐ 0¹Ú к Ì Ø 0 ÔÓÒØÓ Ð ÓÖРغ ÆÝ ÐÚ Ò x H ¹Ö x Þ ÖØ Ð ÓÖÐ Ø H ¹Ò º H Ý γ Ý Ø Ø Þ Ð Ð ÓÖÐ Ø H ¹Ò ÓÖ γ Ý suph º ¾º¾ º Рغ Á ÞÓÐ Ó Ý x,y R + ; n,m N k Z¹Ö n xy n x n y, n x y n x m n x mn n x, x k n x) k x y n x n y Ø Ð Ðº n y, Å ÓÐ º Þ n¹ Ý Ò Ø ØÚ ÒÝÓÞ ÞÓÒÓ Ø Ð Þ¹ Ò ÐÚ n x. a, n y. b x a n, y b n xy a n b n ab) n ab n xy Þ Þ Ð ÞÓÒÓ Óغ ØÓÚ ÞÓÒÓ Ó ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º

31 R ÌÇÈÇÄ Áý ½ À n x n y ÓÖ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ¾º½ º Ð Ø Òµ ÞÓÒÝ ØÓØØ ØÙÐ ÓÒ Ñ ØØ n x) n n y) n x yº À x y ÓÖ Þ ÐÐ Ø Ð ÐÐ ÒØ Ø Ò Ø Ý Ð Ó Ý n x > n yº Ð Ô n x) n > n y) n x > y Ú Ø Þ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý n x n y Ø Ð Ð Øº ÞÞ Ð ÞÓÒÝ ØÓØØÙ Ð Ø ÙØÓÐ ÐÐ Ø Ø º R ØÓÔÓÐ ¾º ¼º Рغ Ä Ý Ò a,b R, a < bº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ ]a,b[, ]a,+ [ ],a[ ÒÝ ÐØ Ò Ñ Þ ÖØ µ [a,b], [a,+ [ ],a] Þ ÖØ Ò Ñ ÒÝ ÐØ µ ]a,b] [a,b[ Ò Ñ ÒÝ ÐØ Ò Ñ Þ Öغ Å ÓÐ º µ Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý x 0 ]a,b[ Ø Ò r > 0, Kx 0,r) ]a,b[º Ä Ý Ò r inf {x 0 a,b x 0 } ÓÖ ¾º½ º Ð Ø µ Ö Þ Ñ ØØ x Kx 0,r) Ø Ò x < x 0 + r x 0 + b x 0 ) b x > x 0 r x 0 x 0 a) a Þ Þ x ]a,b[ Ý Kx 0,r) ]a,b[º À x 0 ]a,+ [ Ú Ý x 0 ],a[ ÓÖ r. a x 0 Ø Ò Kx 0,r) ]a,+ [ ÐÐ ØÚ Kx 0,r) ],a[ Ñ Ó Ý Þ Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ ÒÝ ÐØ º Þ a R Ú Ð Þ Ñ ÒÝ ÐÚ Ò ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ñ Ò Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ Þ Ò Ôк r > 0¹Ö Ka,r) ]a,b[ Ka,r) r b ÐÐ ØÚ Ka,r) ]a,b[]a,b[ a < rµ a Ò Ñ Ð Ñ Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ Ñ Ý Ú Ò ÓÐÝ Ò ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ñ ÐÝ Ò Ñ Ð Ñ ÐÑ ÞÒ Þ ÖØ Ò Ñ Þ ÖØ º µ C R ]a,b[],a[ ]b,+ [, C R [a,+ [],a[ C R ],a] ]a,+ [ Ý Þ ÖØ ÐÑ Þ Ò Ð Ø µ Ö Þ Ñ ØØ Þ ØØ Þ Ö ÔÐ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Þ ÖØ ÐÑ ÞÓ º Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ñ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ñ ÖØ a Ò Ñ Ð ÔÓÒØ Ù Ñ ÖØ Ôк r > 0 Ka,r)¹ Ð ]a r,a[ Ú Ý ]a,a + r[ Ò Ñ Ö Þ Ñ Ð Ð ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÒ µº µ ]a,b] Ò Ñ ÒÝ ÐØ Ñ ÖØ b Ò Ñ Ð ÔÓÒØ Ò Ñ Þ ÖØ Ñ ÖØ Þ a ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ò Ñ ÔÓÒØ ÐÑ ÞÒ º À ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø Ù Þ [a,b[¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ ÐÐ Ø Ø º ¾º ½º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ H ],] {3} ]4,5[ [7,8] ÐÑ Þ Ð Ø Ö Ð ØÓÖÐ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Øº

32 ¾ ÁÁº Ë ýåçã Å ÓÐ º H Ð ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ H 0 ],[ ]4,5[ ]7,8[ ÐÑ Þº x H 0 ¹Ö x ],[ Ú Ý x ]4,5[ Ú Ý x ]7,8[ Ø Ð Ð Þ Ò ÒØ Ö¹ Ú ÐÐÙÑÓ ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞÓ Ý r, Kx,r) Ö Þ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ý Kx,r) Hº Å Ð ÔÓÒØ Ò Ñ Ð Ø Þ {,7,8} ÐÑ Þ Ð Ñ Ó Ý ÞØ ÓÖ Ò ÞÓÒÝ ØÓØØ Ñ ÓÒ Ð Ø Ø Ù Ò Ñ Ð ÔÓÒØ H¹Ò º H Ø ÖÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ H {,,3,4,5,7,8} ÐÑ Þº È Ð ÙÐ H Ñ ÖØ K,r) Ø Ò K,r) ],[ K,r) CH º H Ø Ð Ñ Ö ÓÒÐ ÞÓÒÝ Ø º H Ð ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ H ], [ ],3[ ]3,4[ ]5,7[ ]8,+ [ ÐÑ Þº H Ð Ñ Ú Ð Ò Ð ÔÓÒØÓ Ñ ÖØ Ð ÔÓÒØ CH¹Ò ¹ Þ Ò x H H ¹ÓØ Ò Ð Ú Ð Ñ ÐÝ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ð Ñ µº R \ H Ð Ñ Ô Ñ Ö Ú Þ ÐØ H 0 H Ð Ñ º H ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ H [,] [4,5] [7,8] ÐÑ Þº H Ð Ñ Ú Ð Ò ØÓÖÐ ÔÓÒØÓ Ñ ÖØ Ð Ú Ý Ø ÖÔÓÒØ H¹ Ò µº Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý R \ H Ð Ñ Ò Ñ ØÓÖÐ ÔÓÒØ H¹Ò º H¹Ò Ý ØÐ Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ú Ò 3 Ú Ð Þ Ñº 3 ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ù Ý Ò 3 H 3 / H Ñ ÖØ K3,) H {3} Ý K3,)¹ Ò Ò Ò 3¹Ø Ð Ð Ò Þ ÔÓÒØ H¹Ò º H Ñ Ð Ñ Ò Ñ Ð Ø ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ñ ÖØ ÞÓ ØÓÖÐ ÔÓÒØÓ º ¾º ¾º Рغ À Ø ÖÓÞÞ Ñ Q R Ð Ø Ö Ð ØÓÖÐ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Øº Å ÓÐ º Q¹Ò Ò Ò Ð ÔÓÒØ Ñ ÖØ x 0 Q r > 0¹Ö Kx 0,r)¹ Ò Ú Ò ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñ Ý Kx 0,r) Qº Q R Ñ ÖØ x R r > 0¹Ö Kx,r)¹ Ò Ú Ò Q¹ Ð ÐÐ ØÚ CQ¹ Ð ÖÖ ÓÒ Ð µ Þ Ñ º Q¹Ò Ò Ò Ð ÔÓÒØ Ñ ÖØ Kx 0,r)¹ Ò Ú Ò Q¹Ò Ð Ñ º Q R Ñ ÖØ x 0 R r > 0 Ø Ò Kx 0,r)¹ Ò Ú Ò Q¹ РРѺ Q¹Ò Ò Ò ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ñ ÖØ Þ Ð Þ Ö ÒØ x 0 Q ØÓÖÐ ÔÓÒØ Q¹Ò º

33 R ÌÇÈÇÄ Áý ¾º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Z Þ ÖØ Ò Ñ ÒÝ ÐØ Q Ò Ñ ÒÝ ÐØ Ò Ñ Þ Öغ Å ÓÐ º À x 0 R \ Z ÓÖ z Z Ó Ý x 0 ]z,z + [ Ñ ÒÝ ÐØ ÐÑ Þ Ý Kx 0,r) ]z,z + [ R \ Z Þ Þ x 0 Ð ÔÓÒØ R \ Z¹Ò Þ ÖØ R \ Z C R Z ÒÝ ÐØ ÓÖ Ò Þ Ö ÒØ Z Þ ÖØ ÐÑ Þº Z Ò Ñ ÒÝ ÐØ Ñ ÖØ Kz,r)¹ Ò Ú Ò ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñ Ý Kz,r) Zº À x 0 Q r > 0 Ø Ø Þ Ð Ý Kx 0,r)¹ Ò Ú Ò ÖÖ ÓÒ Ð Þ Ñ Þ ÖØ Kx 0,r) Q Ý x 0 Ò Ñ Ð ÔÓÒØ Q¹Ò º Q R Ñ ØØ Q Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ Þ ÖÖ ÓÒ Ð ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ø Ý Ò Ñ Þ Öغ ¾º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý H { n n N} {0} ÐÑ Þ Óѹ Ô Øº Å ÓÐ º Ý H R ÐÑ Þ ÓÑÔ Ø ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ À Ò ¹ ÓÖ Ð Ø Ø Ðµº H ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ 0 < n n Ñ ØØ Ø Ø ÐÙÐÖ Ð Ð ÐÖ Ð n ÓÖÐ ØÓ µº H Þ ÖØ Ñ Ò Ò ØÓÖÐ ÔÓÒØ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º 0 ØÓÖÐ ÔÓÒØ H¹Ò Ñ ÖØ r > 0 Ý n 0 N Ó Ý n 0 > r Þ Ò N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ ÐÑ Þµ Þ ÖØ 0 < n 0 < r Ñ ØØ K0,r)º H¹Ò Ò Ò Ñ ØÓÖÐ ÔÓÒØ º À Ù Ý Ò x 0 n 0 R, x 0 < 0 ÐÐ ØÚ x 0 > ÓÖ r. x 0 ÐÐ ØÚ r. x 0 Ú Ð ÞØ Ð Kx 0,r) H º À Ô x 0 / H, 0 < x 0 < ÓÖ n N, n + < x 0 < n Þ Þ x 0 ] n +, n [ ÒÝ ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ý Kx 0,r) ] n +, [ Ñ ÐÝ Ò n Ò Ò H¹ Ð { Ð Ñ Ý } x 0 Ò Ñ ØÓÖÐ ÔÓÒغ Î Ð Þ n n N H ÐÑ Þ Ð Ñ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ H¹Ò Ñ ÖØ Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý r n > 0 Ó Ý K n,r n) H K n,r n) Ò Ñ Ø ÖØ ÐÑ Þ ¹Ø Ð Ð Ò Þ H¹ Ð Ð Ñ Øº n { n } Þ Þ

34 ÁÁº Ë ýåçã Ý ÓÖÐ Ð ØÓ ½º Ä Ý Ò x,y R, y 0º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x y x y x y º ¾º Ä Ý Ò x,y,u,v R, y 0,v 0º Á ÞÓÐ Ó Ý x y u xv yu º v yv º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n N ÓÖ n / N ØÓÚ n,m N, n m Ø Ò n m N Ú Ý m n Nº ) x n º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý x,y R n,m Z Ø Ò xy) n x n y n, y x n y n y 0 ; xn x m x n+m ; x n ) m x nm º º Ä Ý Ò x,...,x n, y,...,y n Rº ÞÓÒÝ Ø n x i + y i ) n x i + n i Å Ò ÓÚ Þ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Øº º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ A R ÐÑ ÞÒ Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ð ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø ÓÖ inf A supaº º Ä Ý Ò A,B R Ó Ý A Bº ÞÓÒÝ Ø Ó Ý inf A inf B ÓÖ inf B inf Aº º À Þ A R ÐÑ ÞÖ inf A ÓÖ A { x x A} ÐÑ ÞÒ Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø sup A) inf Aº º À A,B R Ð Ñ Ò ÑÒ Ø Ú Þ ÑÓ Ó Ý supa supb ¹ ÓÖ Þ AB {xy x A,y B} ÐÑ ÞÖ supab) supa)sup B)º ½¼º À Ø ÖÓÞÞ Ñ H i { ) n ) n i } n N ÐÑ Þ ÔÓÒØÓ Ð ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø Øº ½½º À A,B R supa, supb, inf A, inf B ÓÖ A B¹Ò Ð Ø Þ ÔÓÒØÓ Ð ÔÓÒØÓ Ð ÓÖÐ Ø supa B) max {supa,sup B} ; infa B) min {inf A,inf B}º ½¾º Á ÞÓÐ Ó Ý x,y R + r,s Q Ø Ò ) x r xy) r x r y r ; xr y y r ; xr+s x r x s ; x r ) s x rs. y i

35 ÃÇÊÄ Ä ÌÇà ½ º À Ø ÖÓÞÞ Ñ N Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ ÐÑ Þ µ Ð Ø Ö Ð ØÓÖÐ ÞÓÐ ÐØ ÔÓÒØ Ò ÐÑ Þ Øº ½ º ÓÒ Ñ R¹ Ò Ú Ø Ð Ò Ó ÓÐÝ Ò ÒÝ ÐØ ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ Ñ Ø Þ Ø Ò Ñ ÒÝ ÐØ ÐÐ ØÚ Ú Ø Ð Ò Ó ÓÐÝ Ò Þ ÖØ ÐÑ ÞØ Ñ ÐÝ Ý Ø Ò Ñ Þ Öغ ½ º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Ñ Ò Ò H R Ú ÐÑ Þ ÓÑÔ Øº ½ º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý ]0,[ R Ò Ñ ÓÑÔ Øº

36

37 ÁÁÁº Þ Ø ËÓÖÓÞ ØÓ Ð Ô Ó ÐÑ Ô ÓÐ ØÙ º½º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÓÒÚ Ö Ò º n ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Þ ÓÖ Ò n + ÓÖÐ ØÓ ÓÞ ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý K R + Ó Ý n n+ < K n N)º n n + n < n < n + 0 < Ñ Þ Ø Ø K n + Ú Ð ÞØ Ð Ò Þ Ö ÒØ Ô Ù ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Øº n n + < n + n + n + n < n + n + 0 < Ñ ØØ Ò Þ Ö ÒØ Ú Ø Þ ÓÖÓÞ Ø Þ ÓÖ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ð Þ Ú Ð Þ Ñ ÓÞº Ä Ý Ò Å ÓÐ º ε > 0 Ø Ø Þ Ð Ú Ð Þ Ñ ÓÖ R¹ Þ Ñ Ú Ð N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ε ÓÖÐ ØÓ µ nε) N Ó Ý nε) > ε Ý n nε)¹ö n > ε n + > ε n + < ε n n + n n + ) n + n + < ε Þ Þ ε > 0 nε) N, n nε) n n + < ε Ñ Ò n Þ Ö ÒØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ n + º ÓÒÚ Ö Ò Ð Ó Ý ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ º

38 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ) n+ º¾º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Ò Ñ ÑÓ¹ n + ÒÓØÓÒ ÓÒÚ Ö Ò º Å ÓÐ º ) n+ n + < < n+ 0 < n Ñ Þµ Ó Ý n + K Ñ ÐÐ ØØ ÓÖÓÞ ØÙÒ Ø Ð Ø ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Ò Ò Øº a, a 3, a 3 4 Þ ÖØ Ñ a n a n+ Ñ a n a n+ Ò Ñ Ø Ð Ð n N Ø Ò Ý ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒº Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ 0º ) n+ n + 0 Ñ ØØ Ñ Ú Ð ε > 0¹Ö Þ Ð Ð ØØ Ð n + ÞÓÒÓ ÓÒ ÓÐ Ø Þ Ö Òص ε ¹ Þ nε) N Ó Ý nε) > Ý ε n nε)¹ö n > ε n + > < ε Ô Ù ε n + Ó Ý ) n+ n + 0 < ε Ñ Þ ÐÐ Ø Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò Þ Ö Òغ º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ ÒÓØÓÒ Ò ÓÒÚ Ö Ò º ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Þ ÓÖ Ò ÑÓ¹ n! Þ n!... n Ý ÒÐ ØÐ Ò ÓÖ Ó Ý n n! n N¹Ö Þ Ô Ò Þ Ö ÒØ ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ Ø Ð ÒØ º > n! < n!n + ) < n + 0 < n n! n + )! Ñ ÒÝ ÐÚ Ò Þ n N¹Ö µ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò º Å ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ 0º À ε > 0 Ø Ø Þ Ð Ý Þ n! 0 n! < Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø ÞØ n Å ÓÐ º Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ nε) N, nε) > ε Þ ÖØ

39 n nε)¹ö n > ε Ð ÒØ Ó Ý n! 0º Ä È Ç ÄÅ Ã Ë Ã È ËÇÄ ÌÍà n < ε n! 0 < ε Ñ ÔÔ Ò ÞØ ÓÒÚ Ö Ò Ð Ú Ø Þ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø ÑÓÒÓØÓÒ Ò ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ º º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý ) n n ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º Å ÓÐ º À Ð Ø ÞÒ K R Ó Ý ) n n n < K n N¹Ö ÓÖ N Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ð ÒÒ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ º a, a, a 3 3 Ó Ý Ò Ñ Ø Ð Ð Ø n N¹Ö a n a n+ a n a n+ Ñ Ý ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÑÓÒÓØÓÒº À ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ð ÒÒ Ý Þ Ñ ÖØ Ø Ø Ð Ñ ØØ ÓÖÐ ØÓ Ð ÒÒ Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ Ý ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ Ò ÓÒÚ Ö Ò º n ÓÖÓÞ Ø ÓÖÐ ØÓ ÑÓÒÓØÓÒ n n Ñ Þµ Ñ ØØ ÓÖÐ ØÓ n n Ò Þ Ð ÐÐ Ø Øº n N¹Ö > > 0 0 < n < n + n < n n + Å ÓÐ º n + 0 < Ñ Þµ Ó Ý ÓÖÓÞ Ø Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò º Þ Ð Ø ÐÐ Ø Þ ÚÓÐØ { } ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Øº À Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý inf n 0 ÞØ Ô Ù Ó Ý 0º n n N¹Ö 0 < 0 < Þ Ò n > 0µ Ñ Þ Ó Ý { n } 0 Ð ÓÖÐ Ø Þ n ÐÑ ÞÒ º À ε > 0 Ð ÓÖÐ Ø Ð ÒÒ Ý n¹ö 0 < ε < n Ø Ð ÐÒ Ñ Ú Ú Ð Ò 0 < n < ε ÐÐ ØÚ Þ

40 ¼ ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà n < Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð n N Ø Ò ÐÐ ÒØÑÓÒ Ò ÞÞ Ð Ó Ý ε N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ º º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý k N Ö Þ Ø ØØ Þ ÑÖ n nk +, n nk º Å ÓÐ º ÐÐ Ð ØÒ Ó Ý K R + ¹Ö nk) N, n nk)¹ö n k > Kº N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ý K R + ¹Ö nk) N Ó Ý nk) > k K Ý n nk)¹ö n > k K Þ Þ n k > K ÞØ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø Ò º Ñ ÐÐ Ø Ø Ð Ò ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý k N Ö Þ Ø ØØ Þ ÑÖ n k n + º Å ÓÐ º ÞØ ÐÐ ÑÓ Ø Ð ØÒ Ó Ý K R + ¹Ö nk) N Ó Ý n nk)¹ö k n > Kº Þ Ó Ý N Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ó Ý K R + ¹Ö nk) N Ó Ý nk) > K k Ý n nk)¹ö n > K k k n > K Þ Þ ÐÐ Ø Øº ËÓÖÓÞ ØÓ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ 3n + º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n º Å ÓÐ º Ð ÞÒ ÐÚ n 3n + n + 3 n 3 + n + 3 n 3n n + 3 n + 3 n Ý ÒÐ Ø ÞØ Ó Ý 3 3, ), n n n ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ Ó Ø Ô Ù Ó Ý 3 + n n n ) + 3 n n 00n º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n + 0º n n

41 ËÇÊÇ ÌÇÃ Ë ÅæÎ Ä Ì Ã ÁÄÄ ÌÎ Ê Æ Ë ½ Å ÓÐ º Ð ÞÒ ÐÚ Ý ÒÐ Ø ÞØ Ó Ý Ø Ô Ù Ó Ý n n 00n n + n º½¼º Рغ ËÞ Ñ Ø Þ Øº 00n n + 00 n + n 0, ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ Ó¹ n n 00 n + n n 00 n + n ) n Å ÓÐ º Á Ñ Ö Ø Ó Ý n 0 0. n + n + + n n ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ ¹ n )n Ý Þ n + n + + n n n n n )n n n n Ý ÒÐ ÓÖ Þ Ñ ÖØ Ø Ö ÖØ ÑòÚ Ð Ø ØÙÐ ÓÒ Ó Ñ ØØ n n + n + + n ) n n n º½½º Рغ ËÞ Ñ Ø Þ Ø Ö ÖØ Øº n ÓÖÓÞ Ø ¹ nn + ) Å ÓÐ º Þ kk + ) k k +

42 ¾ ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇÃ Ý ÒÐ Ñ ØØ + Ñ Ó Ý n nn + ) ) + 3 ) nn + ) ) n ) n n, ). n n º½¾º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý k N Ø Ø Þ Ð Ò Ö Þ Ø ØØ a n a,..., a kn a n n k ÓÖ a n + + a kn ) a + + a k, a n a kn ) a a k º n n Å ÓÐ º ÞÓÒÝ Ø Ø k¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ð Ò Ù Ú Ð Ú ÞÞ º Þ Þ Ö k ¹Ö Þ ÐÐ Ø Þ Ó Ý ÞØ Þ ÐÑ Ð Ø Ò Ø ÒÙÐØÙ µº Ì Ý Ð Ó Ý k ¹Ö Þ Ó Ý ÓÖ n a n + + a k )n ) a + + a k a n + + a kn ) [a n + + a k )n ) + a kn ] n n a n + + a k )n ) + a kn n n a + + a k ) + a k a + + a k. ÞÓÖÞ Ö ÞÓÒÝ Ø ÓÒÐ º º½ º Рغ Ä Ý Ò k N Ö Þ Ø ØØ a n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý a n a ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a k n ak º À a n 0 a n a 0 ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý k a n k aº À k Z Ö Þ Ø ØØ a n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý a n > 0 a n a > 0 ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a k n ak º À r Q Ø Ø Þ Ð a n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý a n > 0 a n a > 0 ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a r n a r º Å ÓÐ º À k N Ý a k n a n a n Ý Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý a n a º½¾º Ð ØÓØ a n a kn a n Ñ ÐÐ ØØ Ô Ù Ð Ø Ð ÐÐ Ø ¹ Ø n ak n a n a n ) a k º n

43 ËÇÊÇ ÌÇÃ Ë ÅæÎ Ä Ì Ã ÁÄÄ ÌÎ Ê Æ Ë À a n 0 a n 0 ÓÖ k a n 0º Þ Ñ ÑÙØ Ø Ù Ó Ý ε > 0 nε) N, n nε)¹ö k a n 0 k a n < εº À ε > 0 ÓØØ Ý k a n < ε a n < ε k º a n 0 Ñ ØØ ε k ¹ ÓÞ nε) N Ó Ý n nε)¹ö a n < ε k k a n < ε k a n 0 < ε ÞØ ÐÐ ØØ ÞÓÒÝ Ø Ò º À a n 0 a n a > 0 ÓÖ k a n k aº ÀÓ Ý Þ Ø Ð Ð Ò ÞØ ÐÐ Ñ ÑÙØ ØÒ Ó Ý ε > 0 nε) N, n nε)¹ö k a n k a < εº a n a > 0 Ñ ØØ ε a a a ) > 0¹ ÓÞ n N, n n ¹Ö ) a n > a Ý k a n k a k a n k a) k a n ) k + k a n ) k k a + + k a) k ) k a n ) k + + k a) k a n a k a n ) k + k a n ) k k a + + k a) k < a n a k k a )k Í Ý Ò a n a > 0 Ñ ØØ ε > 0¹Ö εk k a )k > 0¹ ÓÞ n εk k a )k ) Ó Ý n n εk k a )k )¹Ö a n a < εk k a )k º À nε). sup {n,n } ÓÖ Ø Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Þ Ú ØÚ Ô Ù Ó Ý n nε)¹ö k a n k a < ε Ø Ø k a n k aº À a n > 0, a n a > 0 k Z Ý a k n ak º À k N Ý Þ Ò Ð Ø Ð Ö Þ Ðº À k 0 ÓÖ a 0 n a0 Ñ ØØ Þº À k Z k N ÓÖ a k n a k n a k ak Þ ÐÐ Ø Øº Ò Ý Ö Þ ÐØ Ø Ð Ñ ØØ p Z q N Ó Ý r p q Ý a r n a p q n q a n ) p q a) p a p q a r Ñ ØØ Þ Þ ÐÐ Ø º º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý + 3 ) º n n Å ÓÐ º Þ a n + 3 n ÓÖÓÞ ØÖ a n > 0 a n Ø Ð Ð Ý Þ Ð Þ Ð Ø º ÐÐ Ø Ò r 5 ¹ Ø Ú Ú Ô Ù Þ ÐÐ Ø Øº º½ º Рغ À a n b n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ó Ý a n + ÐÐ ØÚ a n µ b n b ÓÖ a n + b n + ÐÐ ØÚ µº

44 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ŠÓÐ º Þ a n + b n + ÞÓÒÝ Ø ÓÞ Þ ÐÐ Ð ØÒÙÒ Ó Ý K R¹Ö nk) N Ó Ý n nk) Ø Ò a n + b n > Kº b n b Ñ ØØ b n ÓÖÐ ØÓ Ý ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Þ ÖØ k R Ó Ý b n > kº K R¹Ö K k¹ ÓÞ a n + Ñ ØØ n K k) N Ó Ý n n K k)¹ö a n > K kº Þ Ø Ð ÞÒ ÐÚ K R¹Ö Ð Ý Ò nk) n K k) Ý n nk) Ø Ò a n + b n > K k) + k K Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ Ñ ÐÐ Ø ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º º½ º Рغ À a n b n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ ØÓ Ó Ý a n + ÐÐ ØÚ a n µ b n + ÐÐ ØÚ b n µ ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý µ a n + b n + ÐÐ ØÚ a n + b n µ µ a n b n + µ c a n + ÐÐ ØÚ c a n µ c > 0 µ c a n ÐÐ ØÚ c a n + µ c < 0º Å ÓÐ º µ ÞØ ÐÐ Ð ØÒ Ó Ý K R¹ Þ nk) N, n nk) Ø Ò a n + b n > K Ðк a n + b n < Kµº ÓØØ K R Ø Ò ÐØ Ø Ð Ñ ØØ n K) N Ó Ý n n K)¹Ö a n > K Ðк a n < K µ n K) N Ó Ý n n K)¹Ö b n > K Ðк b n < K µ Ý nk) sup {n,n } ÓÖ n nk)¹ö a n +b n > K Ðк a n +b n < Kµ Ø Ð Ð Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ µ µ µ ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º ½º Ñ ÝÞ º Ø Ø Ð µ µ ÐÐ Ø Ø Ø Ú µ Þ Ö ÐÐ ØÚ Ø Ú µ Ø ÒÝ Þ ÞÓÖÞ ØÖ Þº Þ Ø Ð Ò Ù Ú Ð ÞÓÒÝ Ø Ø º º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n + 5n + + º Å ÓÐ º Ý Þ Öò Ò ÞÓÒÝ Ø Ø Ó Ý n + 5n + + Ý Þ Ð Þ Ô Ð Ð ØÙÒ ÐÐ Ø Øº º½ º Рغ Ä Ý Ò a n, b n ÓØØ ÓÖÓÞ ØÓ º µ À c R + Ó Ý b n c Ú Ó n N Ú Ø Ð Ú Ð a n + ÐÐ ØÚ a n µ ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a n b n + Ðк a n b n µº µ À c R, c < 0 Ó Ý b n c Ú Ó n N Ú Ø Ð Ú Ð a n + Ðк a n µ ÓÖ a n b n Ðк a n b n + µº

45 ËÇÊÇ ÌÇÃ Ë ÅæÎ Ä Ì Ã ÁÄÄ ÌÎ Ê Æ Ë Å ÓÐ º µ Ä Ý Ò K R ÓØØ a n + º a n + Ñ ØØ n K c ) N Ó Ý n > n K c )¹Ö a n > K c ØÓÚ Ñ ÐØ Ø Ð Ñ Øص n 0 N Ó Ý n n 0 Ø Ò b n cº Þ Ø Ð ÞÒ ÐÚ nk) sup {n,n 0 } Ý n N, n nk)¹ö a n b n > K c b n > K Ñ Ó Ý a n b n + º À a n a n + a n b n ) a n )b n + a n b n º µ ÞÓÒÝ Ø ÓÒÐ º ¾º Ñ ÝÞ º Ð Ø Ð Ô Ð Ø ÒØ º½ º Ð Ø µ µ µ ÐÐ Ø º º½ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n3 + n + 5 ) + n n n n 3 ) n 3 º Å ÓÐ º Ä Ý Ò a n n Ý n 3 + n k + Ñ Øص b n + n + 5 n Ý Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý b n > Ý Þ Ð Þ Ð Ø Ñ ØØ Ô Ù Þ Ð ÐÐ Ø Øº À a n n + b n n 3 n 3 Ý Þ Ð Þ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ø º º¾¼º Рغ Ä Ý Ò P,Q: R R ÓÐÝ Ò Ó Ý Px) a k x k + a k x k + + a 0, Qx) b l x l + b l x l + + b 0 ÓÐ a j,b j R a k b l 0µ Ø Ø P k¹ Ó Q l¹ Ó ÔÓÐ ÒÓÑ ØÓÚ Qn) 0 n N¹Ö º À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Pn) ak n k + + a 0 R n Qn) b l n l + + b 0 ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Øº Å ÓÐ º n N¹Ö R n n k a k + a k n + + a 0 n k ) n l b l + b l n + + b 0 n l) n k l a k + a k n + + a 0 n k b l + b l n + + b 0 n l

46 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇÃ Ä Ý Ò a k + a k c n n k l, d n n + + a 0 n k b l + b l n + + b n N). 0 n l Ø Ö ÖØ ÑòÚ Ð Ø ÐÐ ØÚ Ö Ò Þ Ô ÓÐ Ø Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ø Ø Ð º º º½¾º Ð ØÓ Ð ÞÒ Ð Ú Ð Ô Ù Ó Ý d n a k n b c n l n, k l, 0, k < l, +, k > l. Ý ÓÖ Ð ØÓ Ø ÐÑ Ð Ø Ø Ø Ð Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ú Ø Þ Ø Ô Ù R n a k, k l n b l R n 0 k < l n R n +, k > l sign a k sign b k n R n, k > l sign a k sign b k º n º¾½º Рغ ËÞ Ñ Ø 5n + 3n + n n n, n n Ø Ö ÖØ Øº n + 3n + n 5n + 3n + n +, n 3n 3 + 5n + 3n n 7n n 3 + 7n + n n +, Å ÓÐ º Þ Ð Þ Ø Ø ÐØ Ð ÐÑ ÞÚ 5n + 3n + n n n 5 Þ Ò k l, a k 5 b l 5 3n 3 + 5n + 3n n 7n 4 0 Ñ ÖØ k 3 < l n + 3n + Ñ ÖØ k > l, sign sign ) n n 5n 3 + 7n + n n + Ñ ÖØ k 3 > l, sign 5) sign ) n +,

47 ËÇÊÇ ÌÇÃ Ë ÅæÎ Ä Ì Ã ÁÄÄ ÌÎ Ê Æ Ë 5n + 3n + Ñ ÖØ k > l, sign 5) sign º n n + º¾¾º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n Å ÓÐ º 3 n + n 0º n +, n + Ñ ØØ n n ÓÖ Þ Ñ ÖØ Ø Ø Ð Ñ ØØ n Ú Ø Þ º º¾ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n + n n + n + n) + n 3 n n + n 0 0, Ðк n + º Å ÓÐ º 0, 0 Ý n n n n n n + ) n ÐÑ Ð Ø Ò Ø ÒÙÐØ Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ó Ý n n + n n n + n +. n + 0 º¾ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n + n + 3 0º 0 Þ Þ ½º Ñ ÓÐ º Ð Ø Þ Ö ÒØ k, l Ý º¾¼º Ð Ø Ñ ØØ Þ ÐÐ Ø Þº ¾º Ñ ÓÐ º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ÖØ ØÙÐ ÓÒ ¹ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ó Ý n 0 Ø Ò Þ Ú Ø Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò ÓÖ 0 < n + 0 n + n + 3 < n + 0 n < n n n, n + 0 Þ Þ n 0 Ø Ò 0 < n + n + 3 < n Ý Þ a n 0, b n n n + 0 c n n ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ð Ø Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ø Ø + n + 3 a n < c n < b n n 0), a n 0, b n 0, Ñ Ð Ø ÐÐ Ø Øº 3 º¾ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n + n 0º

48 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ½º Ñ ÓÐ º n n + n 0 3 n + n 0º n +, n + Ý n+ n) + n n ¾º Ñ ÓÐ º Ý Þ Öò Ò Ð Ø Ø Ó Ý n 3 n + n n N, n Þ n 0, 3 n 0 Ñ ØØ Ó Ý Þ, n, n n + n ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ð Ø Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð ÐØ Ø Ð Ø Ð Ú Ø Þ Ð Ø ÐÐ Ø º Ê Þ ÓÖÓÞ ØÓ Ù Ý¹ ÓÖÓÞ ØÓ º¾ º Рغ Î Þ Ð Þ,, n + 3 n! n, +, n + n + 3 ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Øº Å ÓÐ º Þ,, n + 3 n! n ÓÖÓÞ ØÓ Þ a n + Ú Ö Ò ÓÖÓÞ Ø Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ô a n+3, a n!, n + 3 n! ÓÒ¹ n n a + n + ϕn) n + 3, ϕn) n!, ϕn) n + n N) Ú ÒÝ Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ϕ: N N.µº Þ Ð ÖÓÑ ÓÖÓÞ Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ ¼ Þ Ò n 0º Þ ÓÖÓÞ ØÓ Þ a n n ÓÒÚ Ö Ò Ó¹ n + n + 3 ÖÓÞ Ø Ö Þ ÓÖÓÞ Ø ÑÓ Ø ϕ: N N ϕn) n + ÐÐ ØÚ ϕn) n + 3 Þ Ö ÒØ Ò ÐØ Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Òݵ a n+, a n + n n Þ ÖØ ÓÒÚ Ö Ò º ÌÓÚ 0 Ñ ØØ Ø Ö ÖØ ¼º n

49 Ê Ë ËÇÊÇ ÌÇÃ Í À ¹ËÇÊÇ ÌÇà º¾ º Рغ Î Þ Ð Ñ Ó Ý ÓÒÚ Ö Ò ¹ Þ a n n ÓÖÓÞ Øº Å ÓÐ º ٠ݹ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑ Ø Ú Ð ÞÓÒÝ ØÙÒ º Ý a n ÓÖÓÞ Ø Ù Ý¹ØÙÐ ÓÒ ε > 0¹ ÓÞ nε) N, n,m nε) Ø Ò a n a m < εº Ý ÓÖÓÞ Ø Ô ÓÒÚ Ö Ò Ù Ý¹ØÙÐ ÓÒ º Ð Ø Ù Ó Ý ÓÖÓÞ ØÙÒ Ò Ñ Ù Ý¹ØÙÐ ÓÒ º Ä Ý Ò m n ÓÖ a n a m n n n n > n + + n, Ý ε Ó Ý nε) N¹Ö n m n Ó Ý a n a n > Þ Þ ÓÖÓÞ ØÙÒ Ò Ñ Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Øº Ë Þ Ö Ø Ö ÙÑ Ñ Øص Ó Ý Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º 3n º¾ º Рغ ٠ݹ ÓÖÓÞ Ø¹ Þ a n n ÓÖÓÞ Ø + Å ÓÐ º ÓÖ Þ Ö ÒØ Ð Ô Ð ÙÐ º¾¼º Рص Ô Ù Ó Ý 3n n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ ¼µ Ý Ù Ý¹ Ð ÓÒÚ Ö Ò¹ + Ö Ø Ö ÙÑ Þ Ö ÒØ Ù Ý¹ ÓÖÓÞ Øº º¾ º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý a n + ÐÐ ØÚ a n µ ÓÖ b n Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ö b n + ÐÐ ØÚ b n µ Ø Ð Ðº Å ÓÐ º À b n a ϕn), ϕ: N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú ÓÖ ϕn) n n N)º À a n + ÓÖ K R¹ Þ nk) N Ó Ý n N, n nk)¹ Ö a n > K Ñ ϕn) n n N) Ñ ØØ Ó Ý n nk) Ø Ò ϕn) nk) Ñ ØØ b n a ϕn) > K Ø Ð Ð Þ Ò Þ Ö ÒØ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý b n + º Ø Ø Ð Ñ ÐÐ Ø ÓÒÐ Ò ÞÓÒÝ Ø Ø º º ¼º Рغ Î Þ Ð Þ n + ) 5, n + n + 3) 0, n + n + ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Øº

50 ¼ ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ŠÓÐ º Þ Ð Ø ÓÖÓÞ Ø Þ n 5 ÐÐ ØÚ n 0 ÓÖÓÞ ØÓ Ö Þ ÓÖÓÞ Ø ϕ n) n+ ÐÐ ØÚ ϕ n) n +n+3 n N), ϕ i : N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú µ ØÓÚ Ñ Ö Ø Ó Ý n 5 + ÐÐ ØÚ n 0 Ý Þ Ð Þ Ð Ø Ñ ØØ n+) 5 +, n +n+3) 0 º Ñ Ø ÓÖÓÞ Ø n ÓÖÓÞ Ø Ö Þ ÓÖÓÞ Ø ϕ n) n + ÐÐ ØÚ ϕ n) n + n N), ϕ i : N N Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú µ ØÓÚ n + Ý ÓÒÐ Ò Ñ ÒØ Ð Ô Ù Ó Ý n + +, n + + º º ½º Рغ Î Þ Ð n + n ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Øº Å ÓÐ º n + n + + ØÓÚ n n n + n n + n) n + + n) n + + n n + + n n n + + n) + Ñ ØØ Ð ÞÒ ÐÚ Þ Ñ ÖØ Ø Ø Ðص Ô Ù Ó Ý ÓÖÓÞ ØÙÒ ÓÒÚ Ö Ò n + n 0º Æ Ú Þ Ø ÓÖÓÞ ØÓ º ¾º Рغ Ä Ý Ò a R, a n a n º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý ½µ a < Ø Ò a n 0 ¾µ a > Ø Ò a n Ú Ö Ò a > ¹Ö a n + µ a Ø Ò a n a Ø Ò a n Ú Ö Ò º Å ÓÐ º µ ÆÝ ÐÚ ÒÚ Ð º ¾µ À a > ÓÖ Ù Ý¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ n N¹Ö n a )n + n a )n na < a, n n Ý a )n < a n º Ð Ò Ó Ý M¹Ö n nm) > M a a n > a )n > M Þ Þ a n + º À a < ÓÖ Þ a n ÓÖÓÞ Ø a n a n+ Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Ð Ò Þ ÖØ Þ Ø ÖØ Ò Ý a n Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º

51 Æ Î Ì Ë ËÇÊÇ ÌÇà ½ ½µ À a < a > ) n ) n + a n ) a a n 0 a º º Рغ Ä Ý Ò a R + ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ù Ó Ý n a º Å ÓÐ º ٠ݹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ a n a n a a + n n Ñ + a n À 0 < a < ÓÖ a + a n Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ñ ØØ Ó Ý n a º º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n º Å ÓÐ º > Ý n a n a Ó Ý n a º n n n n n n + n n n + n, Ñ n + n Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ñ ØØ Ó Ý n n º, º º Рغ À a R, a > ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a n an n! 0 º Å ÓÐ º À n a ÓÖ 0 < a n an n)! a ) n n n ) n + ) n! a n a n a n + n! < n! < n Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ó Ý a n 0º Å Ö ÞØ 0 < a n+ a a n n + n! a n + a n Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ñ ØØ a n+ 0 Þ Ý a n an n! 0 Ø Ð Ðº º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n n! + º

52 ¾ ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ŠÓÐ º n n! ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ñ ÖØ n ) n! < n+ n + )! n n + )! n! < n + ) n, n! Ñ Þº n n! Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ñ ÖØ Ð Ø ÞÒ K R Ó Ý n n! < K n N) n! < K n n N) < Kn Ñ ÐÐ ÒØÑÓÒ n! ÒÒ Ó Ý Kn 0 º n n! n! ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ó Ý Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ó Ý n n! + Ñ ÖØ M nm) N Ó Ý n nm)¹ö n n! nm) [nm)]! > M º º º Рغ À a R, a > ÓÖ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý nk a n 0 k N Ö Þ Ø ØØ Þ ÑÖ º Å ÓÐ º º ¾º Ð Ø ¾º Ö Þ Ò Ð ØØÙ Ó Ý a > ¹Ö a n > na ) Þ n N¹Ö Ý Ñ Ú Ð a > ¹Ö k+ a > Ø Ð Ð Þ Þ Ó Ý k+ a) n > n k+ a ) a n > n k+ k+ a ) k+ 0 <) nk a n < n k+ a ) k+. Á Ý Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Ñ ØØ Ò Þ ÐÐ Ø º º º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ À Ø Ö ÖØ Ø e¹ú Ð Ð Ð ºµ Å ÓÐ º + ) n n ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò º Þ a n. + ) n b n. + ) n+ ÓÖÓÞ ØÓ Ö n n a n < b n n N) Ø Ð Ð Ñ ÖØ < + ) + n > 0 n n) Ó Ý + n) n < + n) n + ) + n+ n N) n n)

53 Æ Î Ì Ë ËÇÊÇ ÌÇà a n ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ñ ÖØ Ù Ý¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ n+ + n) n + n + ) n < + n N), n + n + Ñ Ú Ú Ð Ò Þ + n) n < + ) n+ n N) n + Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Ñ Ó Ý a n < a n+ n N)º b n ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ñ ÖØ ) n ) n+ n n+ + n + ) n + < n + n N), n + n + n + Ñ Ú Ú Ð Ò Þ ) n n+ ) n + n+ < n + n + b n + n) n+ > ) n + n+ > n + n + ) n + n+ n + ) n+ b n+. Ý a n < b 4 n N) Þ Þ a n ÑÓÒÓØÓÒ Ò Ú Ú Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ý ÓÒÚ Ö Ò º º º Рغ Ä Ý Ò a n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý a n 0 n N) a n a > 0º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n an º n n Å ÓÐ º À a n a > ÓÖ n 0 N Ó Ý a n n n 0 º ÓÖ ÒÝ ÐÚ Ò n a n n n 0 ) ٠ݹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ n a n n a n... a n + n + a n n n 0 ) n n Ú Ø Þ Ñ ÐÝ Ð, + a ) n Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð n n n Ñ ØØ Ô Ù Ð Ø ÐÐ Ø Ø Ò Þ Ø Òº À a n a < ÓÖ n 0 N Ó Ý a n n n 0 Þ Þ n n 0 ) Ø Ð Ð Ñ Ó Ý > Ð Ð Ø a n a n a

54 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ÞÓÒÝ Ø Ò Ð Ö Þ Ñ ØØ Ú Ø Þ Ó Ý n a º ÞÙØ Ò n n an n n a n a n n n an a n a a Ò Þ Ø Ò º À a n ÓÖ Ú Ø Þ Ð ØÒ n 0 N, n n 0 a n n a n n a n 0 N, n n 0 a n n a n n a a n Ú Ø Ð Ò Ó Ò¹Ö a n < Ú Ø Ð Ò Ó Ò¹Ö ÓÖ Þ Ð ¹ Ñ ØØ Ø Þ ÙÒ Ø Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ n a ÓÖ n n an ÑÓ Ø Ú Ø Þ º º ¼º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý n + 3 n º Å ÓÐ º a n + 3 n > 0 a n Ý Þ Ð Þ Ð Ø Ñ ØØ n an n + 3 Ñ Ø ÞÓÒÝ Ø Ò ÐÐ Øغ n º ½º Рغ Ä Ý Ò p n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý p n + q n ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý q n º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý + ) pn + ) qn e. n p n n q n Å ÓÐ º À p n n Ý ÞØ º º Ð Ø º ) Ä Ý Ò n k Þ n Ý Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý n k + ÓÖ + nk nk Þ + ) n ÓÖÓÞ Ø Ý Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ý + ) nk eº n n k À p k ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý p k > p k + ÓÖ Ø ÖÑ Þ Ø Þ ÑÓ Ò Ý n k Ö Þ ÓÖÓÞ Ø Ó Ý n k + n k p k < n k + Þ Ò x > Ú Ð Þ ÑÖ n N Ó Ý n x < n + µº

55 Æ Î Ì Ë ËÇÊÇ ÌÇÃ Í Ý Ò ÓÖ Þ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ÖØ ØÙÐ ÓÒ Ñ ØØ n k p k < n k + n k + < p k n k + n k + < + + p k n k + ) nk < + ) pk ) + nk nk + n k + p k + ) nk + + ) < + ) pk < n k + n k + p k < + ) nk ) + nk. n k Þ ÙØ Ý ÒÐ ØÐ Ò ÓÖ + n k, + n k + ) + nk n k e, + nk + n k +) e, Ö Ò Ö¹Ø Ø Ð Þ ÐÐ Ø Ð Ö Þ Øº p k > ÐØ Ø Ð Ø Ò ÐÐ ò Ñ ÖØ p k + Ó Ý n 0 N Ó Ý n n 0 ¹Ö p k > ºµ À q k ÓÐÝ Ò ÓÖÓÞ Ø Ó Ý q k < Þ Þ q k > µ q k ÓÖ q n q n q n > q n + µ Ý + + q n ) qn q n q n ) qn + ) qn q n Ø Ø Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Þº qn q n ) qn + ) qn ) e, q n º ¾º Рغ Î Þ Ð Þ + ) n, n + n + ) n, n ÓÖÓÞ ØÓ ÓÒÚ Ö Ò Øº ) n, n ) + 3 n+ n + 5 n ) n,

56 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà ŠÓÐ º Þ + n) n + ) n n + ) n n Ý ÒÐ Þ Ð Þ Ð Ø p n n + Ñ ÐÐ ØØ Ó Ý + ) n e º n ÒÒ Ý Ñ ÞÓÒÝ Ø Þ + n) n ) n + n ) n + n n + n + + n + n + n + n ) n + n) n ) n+ + ) + ) n n + n Ý ÒÐ Þ Ø ÒÝ Ó Ý + n) n e, + ) n+ e, n + + ) n + Ó Ý ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø Ö ÖØ e º Þ + ) n + ) n Ý ÒÐ Ó Ý n n º½ º Ð Ø Ð ÞÒ Ð Ú Ð Ó Ý + ) n + ) n n n n n n + ) n e n + ) n e. n Þ ) n + ) n n n + n ) n ÞÓÒ Ð º ½ º½ Ð ØÓ Ð Ô Ò Ô Ù Þ ÐÐ Ø Øº ÖÒÓÙÐÐ ¹ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ñ ØØ + ) n +n +n Ñ Ö ÞØ n n n + + Ý Ý Þ Öò Ò Ô Ù Ó Ý + ) n + º n

57 ÃÇÊÄ Ä ÌÇÃ Þ + ) n n + n ) n ) n n + n ) n a n + n ) n e n a n Ó Ý Ý ÒÐ Ó Ý + n ) n º ) n + 3 n+ n + 5 ) n + 5 n+ n + 3 ) n+ + n n n + 3 ) n+ ) n+ 3 + n + 3 ) Ý ÒÐ Ó Ý Ó Ý n n + 3 n n + 3 ) n+ e º ) n+ 3 e + n + 3 ) Ý ÓÖÐ Ð ØÓ n + ½º Î Þ Ð ) n n,, ) n 0,999 n ÓÖÓÞ ØÓ ÑÓÒÓØÓ¹ n + 3 Ò Ø Ø ÓÖÐ ØÓ Ø ÓÒÚ Ö Ò Øº ¾º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a n + ÓÖ a n ÐÙÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ Ð ÐÖ Ð Ò Ñ ÐÐ ØÚ b n ÓÖ b n Ð ÐÖ Ð ÓÖÐ ØÓ ÐÙÐÖ Ð Ò Ñº º ÞÓÒÝ Ø Ó Ý a n + n 0 N Ó Ý n n 0 ¹Ö b n a n ÓÖ b n + ÐÐ ØÚ Ó Ý c n n 0, n n 0 ¹Ö d n c n ÓÖ d n º º Î Þ Ð Ñ Ó Ý Þ Ù Ý¹ ÞÓÖÞ ØÓ ¹ º n, ) n + ÓÖÓÞ ØÓ n

58 ÁÁÁº ËÇÊÇ ÌÇà º À Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ Ð ÓÖÓÞ ØÓ Ø Ö ÖØ Ø , n )n + ) + ) 0, n 6n 4 + 3n + 4n, + n n ) n + n n n + 3, n + 3n + 5n, + n + n + n + 3n + 6n +, + 3n n + 3 n+ n n, n + 5n + 3n 3 + n, + 4n n, n n + n+ + 3 n n + 3 n+,,, + n + n, n + n, 0,9 + ) n, n + 4 ) n, n, + ) n, n 3n ) n 4, 3n + 5 n 3 n + n, n+ + 3 n n n + n ), n n 6. 3 n + 3 n, + n + 3 ) n, ) n, n,

59 Áκ Þ Ø ËÓÖÓ Ð Ô Ó ÐÑ Ð ÔØ Ø Ð º½º Рغ ËÞ Ñ Ø Þ Ð ÓÖÓ Þ Ø 00 0,9) n ; n0 n n ) n 3 n ; n + ) 5 n n0 3n )3n + ) ; n n0 n n! ) n + n + + n ; n!. Å ÓÐ º n a n ÓÖØ ÓÒÚ Ö Ò Ò ÑÓÒ Ù Þ S n a k k ÝÒ Ú Þ ØØ Ö ÞÐ Ø Þ ÓÖÓÞ Ø ÓÒÚ Ö Ò S n S Þ ÑÓØ n ÓÖ Þ Ò Ò Ú ÞÞ º 00 0,9) n ÓÑ ØÖ ÓÖÖ Þ Ô ÓÐ Ð Ñ ÖØ Ñ ÓÒµ n0 S n n0 n 00 0,9) k , ,9 n k0 00 0,9n+ 0,9. ; ; Á Ñ Ö Ø Ð º ¾º Рص Ó Ý n 0,9n+ 0 Ý 000 Ñ ÓÖ Þ º S n n

60 ¼ ) n 3 n n0 S n n k0 n0 Áκ ËÇÊÇà 3) n Ý ÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ ÐÝÖ ) k n 3) )n 3 n, 3 Ñ ÐÝ Ð n 0 Ñ ØØ Ô Ù Ó Ý S n 3) S n 3 n 4 º n0 n + ) 5 n ÓÖ Ø Ò Ð ÞÒ ÐÚ Ú Ð Þ ÑÓ Þ Ò ØÙÐ ÓÒ Øµ n S n k + ) 5 k k0 + ) ) ) n + ) n ) n + + n + 5 n n ) ) + 5 5, 5 Ñ n º n ) n 0 n 3n )3n + ) ) n 0 Ñ ØØ Ó Ý S 5 S n n ÓÖÒ Ð 3k )3k + ) [ 3 3k ] 3k + k N)

61 Ä È Ç ÄÅ Ã Ë Ä ÈÌ Ì Ä Ã ½ Ñ ØØ S n n )3n + ) [ 3 ) ) ) ), 3 3n + Ð n n n n! S n 0 Ñ ØØ Ô Ù Ó Ý S 3n + ÓÖÖ k k! k )! k! 3n 3n + n S n 3 º ÞÓÒÓ Ñ ØØ n k k!! + 3! + + n n! k! ) +!! ) + + 3! n )! ) n! n!, )] Ñ 0 Ñ ØØ Ó Ý S n n! S n º n ) n + n + + n ÓÖÒ Ð Ý Þ Öò Þ ÑÓÐ Ð Ô Ù Ó Ý S n n n n n k + k + + k k n+ k k n+ n k k + k k3 k k n n k + n + + n + k n + + k3 + k n k n + n +. k

62 ¾ Áκ ËÇÊÇà Рn + n + ) n n + n + ) n + + n + ) n n + + n + n + ) n + ) 0 n n + + n + n n + + n + Ñ ØØ Ó Ý S n Þ ÓÖ Þ º n Å ÑÙØ Ù Ó Ý ÓÖ Þ Ñ Ý Þ Þ n0 n! a n + ) n ÓÖÓÞ Ø Ø Ö ÖØ Ú Ð Ñ Ø ¹Ú Ð Ð ÐØ Ò º n ÒÓÑ Ð Ø Ø ÐØ Ð ÞÒ ÐÚ a n + n) n n ) n k n k k0 + n nn ) nn ) n n )) n n n! n n + + ) + ) ) + +! n 3! n n + ) n ) + n! n n! +! + + n! S n, Ý a n S nº n n À m N Ö Þ Ø ØØ n N ÓÐÝ Ò Ó Ý n m ÓÖ Þ Ð Ð a n + n) n +! + ) + + ) m )! n m! n n Ñ Ð n Ø Ò Ô Ù Ó Ý n a n +! +! + + m! S m. Þ Ô ÞÓÒÒ Ð Ó Ý n a n n S n.

63 Ä È Ç ÄÅ Ã Ë Ä ÈÌ Ì Ä Ã ÞØ ÓÖ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ð Þ Ú ØÚ Ô Ù Ó Ý S n S n n a n e. º¾º Рغ ÞÓÒÝ Ø Ó Ý Þ Ð ÓÖÓ Ú Ö Ò ) n + n ; n 0, ; n n n + n + ; n n n n ; ) n + n n Å ÓÐ º a n ÓÖ Ú Ö Ò Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò Þ Þ Þ S n Ö ÞРع Þ ÓÖÓÞ Ø Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ñ Ð Ø Þ Ú Ø Ö ÖØ µº ) n + n ÓÖ Ò¹ Ö ÞÐ Ø Þ Ö n S n n k ) + k k ) + 3 ) + + n + n ) n + Ø Ð Ð Ñ n + + Ñ ØØ Ó Ý ÓÖ Ò Ñ ÓÒÚ Ö¹ n Ò Þ Þ Ú Ö Ò º n 0, ÓÖÒ Ð an n 0, ÓÖ Ò Ø ÒÙÐØ Þ Ö ÒØ a n n n n 0, Þ Þ ÓÖ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ò Ñ Ø ÖØ 0¹ ÓÞ Þ ÖØ Ù Ý¹ n Ð ÓÒÚ Ö Ò Ö Ø Ö ÙÑ ¾º Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ñ ØØ Ò Ñ ÓÒÚ Ö Ò º ÓÖ n¹ Ö ÞÐ Ø Þ n n S n n. à РÙÐÙ Áº ÝÞ Ø Ò Þ Ö ÔÐ Þ n n S n n. Ú Ö Ò ÓÖ n¹ Ö ÞРع.