F(x) α,β = 1. f(x) α,β = α β. = αβα

Átírás

1 Ù Ô Ø Åò Þ Þ ØÙ ÓÑ ÒÝ Ý Ø Ñ Î ÐÐ ÑÓ Ñ ÖÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ã Ö ËØ Ø ÞØ Ñ Þ Ö Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓ Ú Þ Ð Ø Ö ÌÙ ÓÑ ÒÝÓ Ö ÓÐ ÓÞ Ø Ý Ò ý Ñ Ñ Ý Ò º Ñ º Ù ÃÓÒÞÙÐ Ò Öº Ì Ð Ò Ö ËÞ Ñ Ø ØÙ ÓÑ ÒÝ ÁÒ ÓÖÑ ÐÑ Ð Ø Ì Ò Þ ¾¼¼

2 Ì ÖØ ÐÓÑ ÝÞ ½º Ú Þ Ø ¾ ½º½º È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º È Ö Ñ Ø Ö Ð ¾º½º Á Ñ ÖØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º½º Î Þ Ú Þ Ø Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º¾º ÅÓÑ ÒØÙÑ Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½º º Å Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º ÓÒ ØÓØØ ÑÓÑ ÒØÙÑÓ Ñ Þ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½º ÐÑ Ð Ø Ñ ÓÒØÓÐ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾º Ý ÓÖÐ Ø Ñ Ú Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¾º¾º º Ý Ñ Ô Ð ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º º Ð Ñ Þ Ö Þ ÓÒÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÁÐÐ Þ Ú Þ Ð Ø ½ º½º ÁÐÐ Þ Ú Þ Ð Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º Ã Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ý ÒÐ Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ú Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º º ÎÓÁÈ Ú Ó Ú Þ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ú Þ Ð Ø ¾ º½º Ë Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾º ÑÓ ÐÐ Ø Ø ÞØ ØÙÐ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Þ Ë Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º Þ Ï Ï Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Þ Ð Þ ÐØ ÔÖÓ Ö ÑÓ ÑÙØ Ø º Þ Ó Ð Ð ÓÒ Ð Þ º ËØ Ø ÞØ ÑÐ ÞØ Ø ¾¼ ¾ ½

3 ½º Ú Þ Ø ËÞ ÑÓ Ñò Þ ÞÓ ÓÐ Ý ØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ø Ö Ð Ø Ò Ý Ð Ø Ñ ÓÐÝ Ò Ð Ò Ñ ÐÝ È Ö ØÓ Ú Ý Ñ Ò Ú Ò ØÚ ÒÝ Ú ÒÝ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ ¹ Òò Ú ÐØÓÞ Ð ÑÓ ÐÐ Þ Ø º Þ Ý Ð ÓÒØÓ ÐÝ Ò Ø Ö Ð Ø Þ ÙØ Ú ¹ Ò Ð ÒØ Ý ÐÑ Ø Ô Ò ÝÑ Ö Øò Ð ØÐ Ò Ö Ó ½ º Þ ÐÝ Ò Ö Ó Ó ¹ Þ Ñ ÐÓ ÞÐ ÐØ Ð Ò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø Ú Ø Ñ ÒØ Ö ÐØ Ö Ò Ø Ø Ö ÐÑ ¹ ÓÑÑÙÒ Ð Ò Ð Ö Ø Ú Ð º ÓÞ Ó Ý Þ Ø Ö Ó Ø Ö ÞÐ Ø Ò Ø ÒÙÐÑ ÒÝÓÞÒ ØÙ Ù Þ Ò Ú Ò ÓÐÝ Ò Ø Ø ÞØ Ñ Þ Ö Ö Ñ ÐÝ Ð Ð ¹ Ø Ò ÒÝ Ð Ñ Ý Ð Ð ÑÞ Ö Ú Þ ÐØ ØÖÙ Ø Ö ÐØ Ö Ô Þ Ö º ÓÐ ÓÞ ØÓÑ Ò ÞØ Þ ÒÝØ Ý Þ Ñ Ð Ø Ò ÑÙØ ØÚ ÐÑ Ö Ð Ð ØÓ¹ Ø Ñ Þ ÓÒÐ ØÚ Þ Ð Ø Ñ ÓÐ Ø Þ ÑÙÐ ÐØ ØÓ ÓÒ Ú Ð ØÖ Ò Þ Ö Ò º ÓÐ ÓÞ Ø Ø Ò ÝÓ Ö ÞÖ Ø ÓÐ Ø º Ð ÒØ Ö ÞÐ Ø Ò ÑÙØ ØÓÑ Ó Ý Ó Ý Ò ÐÐ ÞØ Ø Ò È Ö ÖÓ¹ ÐÓ ÞÐ Ø ÔÓÒØÓ Ý ÐÑ Þ Ö º Þ Þ ÐÓ ÞÐ Ô Ö Ñ ¹ Ø Ö Ò Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÒØ Ð Ñ Ð Ô Òº ýðø Ð Ò Þ Ý Ð ÓÒØÓ Ø Ø ÞØ Ö Ó Ý Ñ Ú Þ ÐØ Ð Ò ÐÓ ÞÐ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö º Ð ¹ ØÐ Ò Ö Ó Ø Ò Ö ÐØ Ó Ý Ó Þ Ñ ÐÓ ÞÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ó Þ ÑÓ ØÙÐ ÓÒ Ø ÓÐÝ ÓÐ º Ì ÐØ Ð ÒÓ Ð ÞÒ Ð Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ñ ¹ Þ Ö Ð Ø Þ Þ Ø Ö Ð Ø Ð ÒÐ Ø Ú Ò ÙØ ØÓØغ ÒØ Þ Ý Ô Ð Ð ÐÑ Þ Ó Ò Ó Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ö ÐØ Ð Ø Ö Þ Ø ÓÒÝ Ð ØÒ Ý¹ Ý ÓØØ Ð ØÖ º ¾º Þ Ø Ò Ø Ø Ð Þ Ö ØØ ÒØ Ñ Ð Þ Ù Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ñ Þ Ö ¹ Ø Ð ÐÑ ÞÓÑ Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö º ÞÙØ Ò ÑÙØ ØÓ Ý Ú Ñ ÖØ Ñ Þ ÖØ º Þ ÐØ Ø Ð Ò ÐØ Ð ÒÓ Ò ÞÒ Ð Ø Ð Þ Ñ Ú Ð Ñ ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ó Ö Ð ÐÑ Þ Ø º ÁØØ ÑÓ Ø È Ö ØÓ ÐÐ ØÚ Ø Ö ÒØ ÒÓÖÑ ¹ Ð ÐÓ ÞÐ Ö Ð ÐÑ ÞÚ Ö Ð ÑÙØ Ø Ö Ñ ÔÖ ÐÓÑ Ñ Ú Ð ÞÓÐÒ Þ ÞÞ Ð Ô ÓÐ Ø Ò ÐÑ Ö Ð Ö Øº Þ Ø Ú Ò Ñ Ö Ð Ô Ò Þ ÓÒÐ ØÓÑ Ð Ñ Þ Ö Ø Þ ÑÙÐ Ð Ô Ò Ñ ÔÖ ÐÓÑ Ñ Ø ÖÓÞÒ Ð Ó Ð Ð Ö Øº ÑÙÒ Ñ Ó Ö Þ Þ ÐÐ Þ Ú Þ Ð ØØ Ð Ð ØÐ Ò Ö Ó Ó ¹ Þ Ñ ÐÓ ÞÐ Ò ÐÐ ÞØ Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ Ö ÞÐ Ø Òº ÁØØ Ö Ó Ý Þ Ø¹ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ðµ Ð ÐÐ ØÓØØ ÑÓ ÐÐ Ò Ö Ñ ÒÒÝ Ö ÐÐ Þ ØØ ÖÚ ÐØÓÞ Ø ÒÝÐ ÐÓ ÞÐ º Þ º Þ Ø Ò Ð ÞÒ ÐÚ Ð Þ Ù χ 2 ÔÖ Ø ÑÙØ ØÙÒ Ý Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ñ ÐÝ ÞÓÒÝÓ Ú Ö ÐÓ ÞÐ Ó Ø Ò È Ö ØÓ Ð¹ ¾

4 Ó ÞÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Ð Ð Ò Ø Ö Ô º º Ø Ò Ø Ö Ð ÑÓ ÐÐØ Ñ Ú Þ ÐÙÒ Ñ ÔÖ Ð Ù Ó Þ Ñ ÐÓ ÞÐ Ó Ñ ÐÐ ÑÞ Ð Ô Ò Ñ Ø ¹ Ð ÐÒ Þ Þ Ð Ú Ð Ð Þ ØÓ Ö Ð Ñ Ð Ð Ö Ñ ÒÝØ ÔÖÓ Ù Ð Ñ Þ Öغ ÓÐ ÓÞ Ø Ò ÑÙØ ØÓØØ Þ Ñ Þ ÖØ ÖÐ Ø Ø Ñ Ú Ð ØÓØØ Ñ Å ØÐ ¹ Òº ÔÖÓ Ö ÑÓ Ö Ú ÑÙØ Ø Ú Ð Ó Ð Ð ÓÞ º Þ Øº Þ Ø ÑÙØ ¹ ØÓØØ ØÖ Ò Þ Ö Ø Ñ Ö Ø Ð Ö Ø Ú Ø ØØ Ñ Þ Ð ÓÒÐ ÔÓÒ Ý ÞÓ Ø Ö ÞÒ Ð Ø Þ ÒÝ Ó ÓÐ ÓÞ Ø Ñ ÐÐ Ð Ø Ò Ñ Ø Ð Ð Ø µ ØØÔ»» º Ñ º Ù» Ñ Ý Ò º Þ Ø Ò Þ Ó Ð ÐÓÑ ÓÐ ÓÞ Ø Ö Ñ ÒÝ Ø Þ Ð Ò Ô Ñ Ø Ñ Ø Ø Ø ÞØ Ð ÓÒØÓ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ó ÐÑ Ø Ø Ð ÓÐÚ Ø º ½º½º È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö Ð Þ (α,β) Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ ÐÓ ÞÐ Ú ÒÝ Ú Ø Þ ÔÔ Ú Ò ¹ Ò ÐÚ F(x) α,β = 1 Þ ÐÓ ÞÐ ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ òöò Ú ÒÝ f(x) α,β = α β ( ) x α, x > β ½µ β ( ) x (α+1) = αβα β xα+1, x > β ¾µ ËÞ Ó Ý Ñ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ÔÓÞ Ø Ú Ú Ð Þ Ñ Ð Ý Òº β Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ÐÓ ÞÐ ÐÝ Ø Ñ Ú Ý ÐØÓÐ Ø Þ Ñ Ý Ò Ò Þ α Ô Ö Ñ Ø Ö Ô Ð ÔÙÐØ Øº È Ö ØÓ ÓÐ Þ Þ Þ Þ Ú ÝÓÒ Ú ÞÓÒÝÓ Ñ Ó ÞÐ Ò Ð ÞØ Ð ÞØ Þ ÐÓ ÞÐ Ø Ñ ÐÝ Ø Ö Ð Ò Ú ÞØ Ðº ØÙ ÓÑ ÒÝÓ ÖÓ ÐÓÑ Ò ÞÓÒ Ò Þ ¹ ÑÓ Ñ Ò Ú ÐØ Ö Øº ËÓ ÐÝ Ò ÔÓÛ Ö¹Ð Û Ú Ý ØÚ ÒÝ Ú ÒÝ ÐÓ ÞÐ Ò Ò Ú Þ ÓÖ Þ α + 1 ÜÔÓÒ Ò Ø Ð Ð α¹ú Ð Ú Ý γ¹ú к ÓÖ Ø Ø òöò ¹ Ú ÒÝ f(x) = Cx α ÓÐ Ý ÓÐÝ Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒ Ø Ò Ó Ý Öò Ú ÒÝØ Ô ÙÒ µº Å Ò Ò ØØ ÑÙØ ØÓØØ Ñ Þ Ö Þ α 1 Ú Þ ÐÝ ØØ Ø Ð ÓÖ ÞÒ Ð Ø º Ñ ÒÒÝ Ò Ð Ò Ò Ñ ÑÐ Ø Ñ ¾µ Ð Ð Ø Ó Ù ÞÒ ÐÒ º ËÞ ÒØ Ò ÐØ Ö Ø Ñ Ô ¹ ÐÓ ÞÐ ÐÒ Ú Þ º Ô Þ Ò ÓÐ Þ Ú Ð ÓÖ ÙÐ ¹ Ò Ý ÓÖ Ò Ð Ú ØØ ÞÖ ÐÝ Ò ÐÓ ÞРغ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö Ð Ö ÞÐ Ø Ò Ð ¾ ¹Øº

5 Þ ÓÐÚ Ò Ó Ð Ñ Ö Ð Ø Ð Þ Þ ÞÖ Ú Ø Ð Ó Ý Ö Ó Ó Þ Ñ Þ Ö Ø ÖØ Ø Ú ØÒ Ðº ÓÖ Ý Ô ÐÐ Ò ØÖ ÐÚ ÒØ ÓÒÚ Ò Ú Ð Þ ÐÓ ÞÐ ÐÝ Ú ÒÝ Ú Ø Þ p(k) = Ck α º ÞØ Ñ Ò Ò ¹Ö Þ ÞÚ ½¹ Ø ÐÐ ÔÒÙÒ p(k) = C k α = Cζ(α) = 1 k k ÓÐ ζ(α) Ê Ñ ÒÒ¹ Ð ζ¹ Ú Òݺ Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ø ØÖ Ò ÞÚ ÞØ Ô Ù Ó Ý C = 1/ζ(α)º Ë ÒÓ ÒÒ Ú ÒÝÒ Þ Ñ Ø Ò Ò Þ ÒÙÑ ¹ Ö Ù Ò Ú Ý Ô Ð Ú ÒÝ ÞÒ Ð Ø Ú Ð Ð Ø º Þ ÖØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ò ÞØ Þ Ö Ø ÐÓ ÞÐ Ø Ñ ÐÝ Ø Ð Ø Þ Ö Ø ¹ Ú Ý Þ Ö Ø È Ö ØÓ Ð¹ Ó ÞÐ Ò Ò Ú ÞÒ Ð Þ Öò ÓÐÝØÓÒÓ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ð Þ Ð Ø Ò Þ Ò Þ ÖØ ÞÐ Ø ÓÐÝ Ò Ò Ý Ú Ð Ó Ý Ý ÓÖÐ Ø Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ø ÒØ Ø Ú º µº

6 ¾º È Ö Ñ Ø Ö Ð ¾º½º ¾º½º½º Á Ñ ÖØ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ò Î Þ Ú Þ Ø Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ö Ð Ø ÙØ Ø ÞØ Ò Ñ Ø Ð Ø ÓÒÝ Ñ Þ ÖØ ÞÒ Ð º ÁØØ Ð Þ Ø Ñ ÒØ Ð Ñ Ð Ô ÖØ ÐÑ Þ Ò Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ú ØØ ÞØÓ Ö Ñ Ø Ô ÓÐ ØÓØ Ö Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ò Ñ Ð Ð ØÐ ÖØ Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ñ ÒØ Ð Ñ¹ Þ Ñ Þ Øغ ÑÔ Ö Ù ÞØÓ Ö Ñ ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ø Ò ÐØ Ð Ò Þ Ð Ø Þ ÐÑ Ð Ø òöò Ú ÒÝ Ò Ð Ò Ø Ò ½µ¹Ò Ò Ý Þ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÖ Ó ÞØ Ù Ø ÖØÓÑ ÒÝØ Ñ ÒÒ Ð Ú Ð Ò ÝÓ Ñ ÒØ Ð Ñ Þ Ñ ÖÖ Ð Ö ÞÐ Ø Ð ¾º½ Þ Øµº Â Ð Ð Þ Ý ÓÖÑ Ò h n Ó Þ Þ ÙÒ Ø ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ø 1,..., m ν j Ô ¹ Ð Ý Ò j ¹ Ñ ÒØ Ð Ñ Þ Ñ j ν j = nµº ÓÖ f n (x) = ν j nh n, x j ÞØÓ Ö Ñ Ú Òݺ Þ Þ Ð Ø òöò Ú ÒÝÒ Ý Þ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Þ ÔÔÓÒØ Ø x 1,...,x m Ð Ð y i = fn(x i ) ÓÖ Þ y i Cx (α+1) i Ô ÓÐ Ø ÐÐ ÒÒ Ñ Ò Ò i¹ö ÓÐ C = αβ α º Ð ÝÚ Þ Ò Ü Ø Ð Ñ ÖØ Ñ Þ Ö Ú Ø Þ Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ö Ø ÖØ Ò Ú Þ Ú Þ Ø y Cx (α+1) ln y ln C (α + 1)ln x À Þ Ð Ø Ò Ò ÝÞ Ø Ø Ø ÒØ ÓÖ ÝÓÑ ÒÝÓ Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ñ ÓÐ Ð ÓÔØ Ñ Ð Ý ØØ Ø Ø Ð º µ ˆα = (1 + m( m i=1 ln x i ln y i ) ( m i=1 ln x i)( m i=1 ln y ) i) m( m i=1 (ln x i) 2 ) ( m i=1 ln x i) 2 ( ( m i=1 Ĉ = exp lny i) + (ˆα + 1)( m i=1 ln x ) i) m C = αβ α Þ Ø ØÖ Ò ÞÚ ÞØ Ô Ù Ó Ý Þ Ð Ô Ò ÐØ β ln β = ˆβ = exp ln C lnα α ln Ĉ ln ˆα ˆα µ µ µ

7 µ Þ µ Ð Ö ØÓÚ Ò Þ ÖÓ ÐÓÑ Ò ÐØ Ö Ø Ñ ÓÒ ÄË Ä Ø ËÕÙ Ö ØØ Ò µ Ð ÒØ Ú Ø ÓÞÓѺ À ÙÖ ÞØ Ù Ò Ñ Ó ÐÑ ÞÚ Ú ÐØÓÞ ÐÓ Ö ØÑÙ Þ ØØ Ö Ø Ò Ð Ò Ö Ô ÓÐ ØÓØ Ñ Ñ Ð Ð ÒÒ Þ ÐØ Ö Ø Ñ Þ ÖÒ Ó Ý Þ (x,y) Ô ÖÓ Ø ÐÓ ¹ÐÓ Ð Þ Ö ÓÒÓÒ Ö ÞÓÐÚ Ý Ý Ò Ø ÐÐ ÞØ Ò ÔÓÒØÓ Ö ÒÒ Ñ Ö Ð Ú Ø ÞØ ØÒ α¹ö º ÞÓÒ Ò ÓÐ Ø Ò Æ ÛÑ Ò ¾ Ð Ú Ý ÐÑ Ø ÖÖ Ó Ý Þ ÄË Ð Ò ÝÓÒ ÔÓÒØ ØÐ Òº Æ Ñ Ú Ø Ø Ð Ø Ð ÖÒ Ô Ð ÙÐ ÙÑÙÐ ÐØ ÐÐ ÞØ Ð ÐÓ Ö ØÑ Ù ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑÓ Ð Ú Ý Þ Ð ¹½¼ ÔÓÒØ Ý Ð Ñ Ú Ø Ð Ú Ð Ö ¹ Ö Þ Ý ØØ Ø Þ Ñ Ø ÓÖº Þ Ö Ð Ö ÞÐ Ø Ò Þ ÑÐ Ø ØØ ÖÒ º ØÓÚ Ò Þ ÑÔÐ Ö Ö Þ Ø Ó ÓÑ Þ ÓÒÐ Ø Ò Ø Ñ Þ ÖÖ Ðº ¾º½º¾º ÅÓÑ ÒØÙÑ Ñ Þ Ö ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ Þ Ö Ø Ò Ú Ð ÞØ Ù Þ ÐÓ ÞÐ Ð k ÑÓÑ ÒØÙÑ Ø ÓÐ k Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ñ µ Ð Ö Ù Þ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú ÒÝ ÒØ Ôк m j = E(X j ) = g j (θ 1,...,θ k )µ Ñ Þ (g 1,...,g k ) : R k R k Ð Ô Þ ÒÚ ÖØ Ð Ø Ð Ý Ò Þ Þ ÒÚ ÖÞ (h 1,...,h k ) : R k R k µ ÓÖ Þ i¹ Ô Ö Ñ Ø ÖÖ ˆθ i = h( ˆm 1,..., ˆm k ) Ð Ø Ù i = 1,...,kµ ÓÐ ˆm j = 1 n n i=1 Xj i Ñ ÒØ j¹ ÑÔ Ö Ù ÑÓÑ ÒØÙÑ º Þ (α,β) Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø Ò k¹ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú Ø Þ ¹ ÔÔ Ò Þ ÑÓÐ Ø m k = E(X k ) = β x k αβα x = αβα xα+1 β x k α 1 x = αβ α [ x k α k α Ä Ø Ø Ó Ý Þ ÙØ ÓÖ Ð Þ Ú k < αº ÓÖ Þ Ö Þ Ð ÖØ m k = αβα k α (0 βk α ) = αβk µ α k Å Ú Ð Ø Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ö Ò Þ ÖØ Þ Ð Ø ÑÓÑ ÒØÙÑÖ Ð Þ Þ Ò º ÞÓÒ Ò Þ ÓÖ Ð Ø ÞÒ α > 2º ÓÖ ] β m 1 = αβ α 1 m 2 = αβ2 α 2 µ µ

8 Þ Þ (α,β) (m 1,m 2 ) Ð Ô Þ ÓÖ ÓÖ ÒÚ ÖØ Ð Ø Â Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ò Ñ ¼ = J = β(α 1) αβ α (α 1) 2 α 1 β 2 (α 2) αβ 2 = 2αβ (α 2) 2 α 2 (βα β αβ) 2αβ (α 1) 2 α 2 α (β 2 α 2β 2 αβ 2 ) α 1 (α 2) 2 = = 2αβ 2 (α 2) 2 (α 1) 2αβ 2 (α 1) 2 (α 2) = = 2αβ2 ((α 1) (α 2)) (α 1) 2 (α 2) 2 = 2αβ 2 (α 1) 2 (α 2) 2 Å Ú Ð Ñ Ò Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ÓÖ Ò ÔÓÞ Ø Ú Þ ÖØ Ñ Ò Ò Ú Þ Ñ Ò Þ ÑÐ Ð Þ Ý Ø ÖÑ Ò Ò ÑÑ ÔÔ Ò Ñ Ð Ø ¼ Ý Ð Ô Þ ÒÚ ÖØ Ð Ø º µ Ð Ô Ò ÞØ µ¹ ÐÝ ØØ ØÚ m 2 = β = m 1(α 1) α α (α 1) 2 α 2 m2 1 α 2 = α2 2α + 1 α 2 2α m2 1 Ð Ú Ø Þ Ñ Ó Ó Ý ÒÐ Ø α¹ö Þ Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ (m 2 m 2 1)α 2 2(m 2 m 2 1)α m 2 1 = 0 µ α 1,2 = 2(m 2 m 2 1 ) ± 4(m 2 m 2 1 )2 + 4(m 2 m 2 1 )m2 1 2(m 2 m 2 1 ) = = 1 ± m m 2 m 2 1 Ã ÒÒÝò Ð ØÒ Ó Ý m 2 1 < m 2 Ý Ý Ð ØØ Ñ Ò Ý ½¹Ò Ð Ò ÝÓ Þ Ñ Ó ÐÐÒ º ÒÒ Ò ÝÞ Ø Ý Ò ÝÓ ½¹Ò Ð Ý Ñ Ò Þ α = m 2 1 /(m 2 m 2 1 ) Ñ ÓÐ Ð Þ ÔÓÞ Ø Úº

9 Å Ú Ð m 2 m 2 1 ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Þ Ö Ò ÝÞ Ø Þ ÖØ ÞØ Þ ÑÔ Ö Ù Þ Ö ¹ Ò ÝÞ ØØ Ð m 1 ¹Ø Ô Ñ ÒØ ØÐ Ð ÐÝ ØØ ØÚ Þ Ð Ð Ø Ø Ù α¹ö ˆα = x2 s 2 ½¼µ n β¹ö Ô µ Ð Ô Ò ˆβ = ˆα 1 ˆα x = 1 + x2 s 2 n x x2 s 2 n ½½µ ½¼µ ½½µ Ð Ö Þ Þ ÓÒÐ Ø Ó ÓÖ Ò ÅÓ ¹ ÒØ ÅÓÑ ÒØ Ø Ñ ØÓÖµ Ú Ø ÓÞÓѺ ¾º½º º Å Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ñ Þ Ö Ø Ø ÞØ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ý Ð ÐØ Ö Ø Ñ Ñ Ü ÑÙÑ Ð ¹ Ð ÓÓ Ñ Þ Ö º ÒÒ Ð ÒÝ Ó Ý Ý ÓØØ Ñ Ò Ø Ð Ø Ò Ö ÞØ Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ñ Ö ÒÒ Ö Ð Þ Ò Ú Ð Þ Òò Ð Ò ÝÓ º Â Ð Ð Þ n Ð Ñò Ñ ÒØ Ö Ð Þ Ø x 1,...,x n º ÓÖ Ð Ð ÓÓ Ý ÒÐ Ø L α,β (Ü) = n I(x i > β) α β i=1 ( ) (α+1) xi = I(x β 1 > β) n i=1 αβ α x α+1 i ½¾µ ÞØ Þ Ø Þ Ö ØÒ Ò Ñ Ü Ñ Ð Þ ÐÒ α¹ Ò β¹ Òº Ä Ø Ø Ó Ý Þ Ñ¹ Ð Ð Ò β α Ú Òº Â Ø Ø β Ñ Ò Ð Ñ Ý ½¾µ Ò ÝÓ Ð Þº Æ Ñ Ð Ø Ú ÞÓÒØ Ñ x 1 ¹Ò Ð Ú Ý Ö Ò Þ ØØ Ñ ÒØ Ð Ð Ñ Ò Ðº Ý Þ ÅÄ Ð β¹ö ˆβ = x 1 = Ñ Ò x i ½ µ Ð Ð ÓÓ Ý ÒÐ Ø ÐÓ Ö ØÑÙ Ø Ú Ú ÐÓ ¹Ð Ð ÓÓ Ý ÒÐ Ø Ø Ô Ù Ñ Ðݹ Ò Ù Ý ÒÓØØ Ú Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÐÝ Ñ ÒØ Þ Ö Ø Ð Ð ÓÓ Ý ÒÐ ØÒ l α,β (Ü) = ln n i=1 αx 1 α x α+1 i I(x i > x 1) = = n n n ln α + αln x 1 (α + 1)ln x i i=1 i=1 i=1

10 ÒÒ Þ α Þ Ö ÒØ Þ Ð ÖØ Ø Ö Ú Ð Ð Ö Ø Ñ l α,β (Ü) α n 1 n = α + ln x 1 i=1 i=1 n ln x i = n n α + n lnx 1 ln x i i=1 i=1 ÞØ Þ Ø ¼¹Ö Ñ ÓÐ Ú Ú Ø Þ Ð Ø Ô Ù Ñ ÐÝÖ Ð ÒÒÝ Ò Ð Ø Ø Ó Ý Ú Ð Ò Ñ Ü ÑÙÑ ÐÝ Ð Þ Ð Ð ÓÓ Ý ÒÐ ØÒ ˆα = n n i=1 ln x i n ln x 1 ½ µ Å Ð Ñ ÑÙØ ØØ Ó Ý Þ Ð ØÓÖÞ ØÓØØ º Ë Ò ÂÓ Ò ÓÒ Þ ÅÄ Ð Ú ÒÝ ÒØ Ð Ú Þ ØØ Þ Ð Ø Ð ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö ( n 2 ˆα = n ˆβ = ( 1 1 (n 1)ˆα MLE ) ˆα MLE = ) ( ˆβ MLE = 1 n 2 n i=1 ln x i n ln x 1 ½ µ n i=1 ln x i n ln x ) 1 x 1 ½ µ n(n 1) Þ Ä Ñ ÒÒ¹Ë ¹Ø Ø Ð Ñ ØØ Ø Ó Ä Ð µ Ú Ý Ð Þ Ö Ð Þ Þ ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Þ Ðº ÅÓ Ø ÒØ Ð ½ µ ½ µ Ð Ø ÅÄ ½ µ ½ µ Ð Ø Ô ÅÄ Ú Ý ÓÖÖ ÐØ ÅÄ Ð Ò Ò Ú ÞÞ º Å ÝÞ Ý ØÓÚ Ò Ú Þ Ø Ð Ñ Þ Ö Ý ¹ Ð Ñ ÐÝ Ò Ý¹ Þ Ø Ö Þ ÖØ Ð Ñ Ò Þ ÓÔØ Ñ Ð Ö Ñ ÒÝØ º Þ ÞÓÒ Ò Þ ¹ Ñ ÖÒ Ô Ö Ñ Ø Ö ÔÖ ÓÖ ÐÓ ÞРغ ÒÒ ÒÝ Ò Ý ÒÐ Ø ÐÓ ÞÐ Ø Ø ¹ Ð Þ Ø Ð Ø Ð Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ö Òº Þ ÑÓ Ø ÞÓÒ Ò Ò Ñ Ð Ø Ñ ÖØ Ô Ö ¹ Ñ Ø ÖØ Ö Ý Ø Ð Ò Ý ÓÐ Ñ Ò α Ñ Ò β ÔÓÞ Ø Úµ Ñ Ò Ñ ÓÖÐ ØÓ Ý Ö Ø Þ Ý ÒÐ Ø ÐÓ ÞÐ Ò Ñ ÖØ ÐÑ Þ Ø º À Ú ÞÓÒØ ÒÒ Ý ÓÖÐ ØÓ Ø ÖØÓÑ ¹ ÒÝ Ö ÞÓÖ Ø ÓÞÒ Ò ÓÖ Þ Ò Ú Ð Ú Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ò ÞÒ Ð Ø ØÐ Ò Ð ÒÒ Ð Ò º ¾º¾º ¾º¾º½º ÓÒ ØÓØØ ÑÓÑ ÒØÙÑÓ Ñ Þ Ö ÐÑ Ð Ø Ñ ÓÒØÓÐ Ó Ñ Þ Ö Ïº ÐÒÞ Ð Ð Ø Ø Ð Ò Ð ÔÙÐ Ñ ÐÝÒ º º À Ñ Ò ÐØ Ð Ð ÖØ Ú ÖÞ Ø Þ Ð ½¼

11 ½º Ì Ø Ð ÐÒÞ Ðµº Ä Ý Ò (Ω,A,P) Ý Ú Ð Þ Òò Ñ Þ Ð Ý Ò H = [a,b] Ý ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò a < b¹ö a = b = + Ñ Ò Øصº Ä Ý Ò X : Ω H Ý ÓÐÝØÓÒÓ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÐÓ ÞÐ Ú ÒÒÝ Ð Ð Ý Ò Ø H¹Ò ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ú Ð ÖØ ò Ú ÒÝ Ý Ó Ý E{g(X) X x} = E{h(X) X x}λ g h (x), x H ÖØ ÐÑ Þ ØØ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò λ g h Ú Ð Ú ÒÝÖ º Ì Ý Ð Ó Ý g,h C1 (H) λ g h C 2 (H) Ø Þ Ö ÓÐÝØÓÒÓ Ò Ö Ò Ð Ø Þ ÓÖ Ò ÑÓÒÓØÓÒ Ú ÒÝ H ÐÑ ÞÓÒº Î Ð Ø Ý Ð Ó Ý hλ g h = g Ý ÒÐ ØÒ Ò Ò Ñ ÓÐ H Ð ÔÓÒØ Òº ÓÖ g h λ g h Ý ÖØ ÐÑò Ò Ñ Ø ÖÓÞÞ F ¹ Ø Ò Ú Þ Ø Ò x F(x) = C λ (u) λ(u)h(u) g(u) exp( s(u)) u a ÓÐ Þ s Ú ÒÝ Þ s = λ h λh g Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ñ ÓÐ Ý ÓÒ Ø Ò Ý Ñ Ú Ð ÞØÚ Ó Ý H F = 1 Ð Ý Òº Ø Ø Ð ÙÖ ÞØ Ù Ð ÒØ Þ Ó Ý Ñ Ò Ò ÞÓÐ Ø ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ ÞÐ X Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ö Ñ Ð Ð g h λ Ú ÒÝ Ð Þ Ó Ý E(g(X) X x) = E(h(X) X x)λ(x) ½ µ ØÓÚ Þ Ú ÒÝ Ý ÖØ ÐÑò Ò ÐÐ ÑÞ Þ ÓØØ ÐÓ ÞРغ Þ Þ Þ Ú Ð Þ Ò Ú ÐØÓÞ Ð ÓÒ Ø Ð ÔÓØØ Ú ÐØ ÞÓ ÞÓÒÝÓ ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ÐØ Ò Ú Ö Ø ÖØ Þ ØØ ÐÐ Ø Ð Ô ÓÐ ØÓغ ÓÒ ¹ Ø Ø Ø ÞØ Þ ÑÔÓÒØ Ð ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ý Ñ ÒØ Ð Þ x¹ò Ð Ò ÝÓ Ð Ñ Ø Ó Ù Ð ÖÚ ÒÝ Ò Ø Ð ÑÖ Ð Ñ Ð Þ Ò º ½½ ¹ Ò Þ ÖÞ Ð Ø Ò Ú Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ö Ñ Þ Ø Ú ÒÝ Ø Ý È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø ÐÐ ÑÞ Ø º Þ Ò Þ Ø Ò Ú Ø Þ g(x) 1 h(x) = α + 1 x λ(x) = x α Ý Ø Ø ½ µ¹ Ø ØÖ Ò ÞÚ Þ Ò Ú ÒÝ Ø ÐÝ ØØ ØÚ Ú Ø Þ ¹ Þ Ö ÙØÙÒ X Ý È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ 1 E((α + 1)X 1 X x) x α = 1 α + 1 α E(X 1 X x)x = 0 ÖÖ Ý Ñ ÞÓÒÝ Ø Ø ØÙÒ Þ Ð Ö ÐÐ Ø Ø Ð ÞÒ ÐÚ ½¼ ½ µ

12 ½º ýðð Ø º À X È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ (α,β) Ô Ö Ñ Ø Ö Ð ÓÖ Y x = X X x È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ (α,x) Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ñ Ò Ò Ö Þ Ø ØØ x > β Ø Òº ( ÞÓÒÝ Ø Ä Ý Ò X ÐÓ ÞÐ Ú ÒÝ F α,β (x) = P(X < x) = 1 x β Y x ÐÓ ÞÐ Ú ÒÝ ) α G(y) = P(X < y X > x) = P(X < y,x > x) P(X > x) = F(y) F(x) 1 F(x) = = 1 (y/β) α 1 + (x/β) α ( y ) α (x/β) α = 1, y > x x Þ Ô ÔÓÒØ Þ (α,x) Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ ÐÓ ÞÐ Ú ÒÝ º Þ ½º ÐÐ Ø Ø ÑÓÑ ÒØÙÑÓ Ö ÚÓÒ Ø ÓÞ µ ÔÐ Ø Ø Ð ÞÒ ÐÚ ÓÒ ØÓØØ Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ Ø Ø Þ Ð ÑÓÑ ÒØÙÑ k < α Ø Òµ E(X k X > x) = αxk α k k = 1¹ Ø ÐÝ ØØ ØÚ ØÖ Ò ÞÚ Ô Ù ½ µ¹ Ý ÒÐ Ø Øº ½ µ ¾º¾º¾º Ý ÓÖÐ Ø Ñ Ú Ð Ø Þ ½º Ø Ø Ð Ð Ô Ò Ý Ñ Þ ÖØ ØÙÒ Þ α Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ö º ½ µ¹ Ø ÑÓ Ø Ð ÞÒ ÐÚ Ö ÞØ Þ α¹ø Ñ Ö ( E 1 α + 1 ) 2 α E(X 1 X x)x (13) Þ Ñ Ò Ñ Ð Ú Ý Ø Ò ÝÞ Ø ÖØ Ð Ñ Ò Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð Ù º Â Ð Ð Ñ ÒØ Ö Ð Þ Ø x 1,...,x n º ÒÒ Ð Ô Ò Ý t ÔÓÒØ Ò Ñ Ô Ø¹ Ù 1¹ ÓÒ ØÓØØ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ú ÒÝ ÖØ Ò Ð Ø Ð Ý Ù t¹ò Ð Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ñ Ñ Ö Ö ÔÖÓ Ò Ú Þ Þ ØÐ Ø ˆv(t) = 1 x 1 i #{x i x i t} x i t ÞØ Ñ Ò Ð Ø Ù Ø t ÖØ Ö Ð Ð Þ Ø ÔÓÒØÓ Ø t 1,...,t m º Þ Ø Ñ ¹ Ð Ð Ò Ñ Ú Ð ÞØÚ v(t) = E(X 1 X t) Ú ÒÝØ Þ Ð Ø ÔÓÒØÓ Ø ÔÙÒ º ÐÑ Ö Ð Ö Ó Ý Ó Ý Ò Ú Ð ÞÙ Ñ Þ Ø ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ú Ý Ñ ÐÝ ÔÓÒØÓ Ð v(t) Ú ÒÝØ ÖÖ Ø Ú Ð Þ Ø ØØ ÑÓ Ø Ø Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ð Ø Ø ÑÐ Ø Ò ½½

13 ½º ÓØØ Þ Ñ Ôк ººº µ ÔÓÒØ Ý ÒÐ Ø Ò ÐÓ ÞÐ ØÚ Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ñ ÐØ Ð Ð ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Òº ¾º ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ð Ý Ò Ñ Ù Ñ ÒØ Ð Ñ t i = x i µ Ú Ý ÐØ ÐÙ Ñ Ø ÖÓÞÓØØ ÔÓÒØÓ Ôк Ñ Ò Ò ÝÑ Ø Ú Ø Ñ ÒØ Ð ÑÔ Ö ÐØ Ð Ð ÐØ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ð Þ ÔÓÒØ t i = (x i + x i+1 )/2µº Ø Ð Ò Þ Ø Ø Þ ½º Ö ½ ÑÙØ Ø º Å Ò Ø Ø Ò Þ Þ Ó Ý Ñ Ñ ÒØ Ø Ö Ð Ñ Ð Ú Ò Ð ÓÒ ØÚ Ñ Ú ÞÓÒÝÐ Ó Ñ ÒØ Ð Ñ Ñ Ö Þ ØÐ ÓÐ ÓÞ Ð Ú Þ Þ Ð Ú Ñ Ö ÝÖ Ú º Ð Ú Ø Þ Ò Þ ÔÓÒØÓ Ñ Ö Ú Ð ÔÓÒØ ØÐ Ò ÙÐ Þ Ð Ø v(t) Ú ÒÝ Ú Ð ÖØ Øº Þ Ö ÓÒ Ð Ø Þ Ñ Ö Ð Ô Ò Ö ÐØ Ó Ý ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ø Þ ¾º Ñ Þ Ö Þ Ö ÒØ Ð Þ Öò Ñ Ú Ð ÞØ Ò ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ø Þ x i ÖØ Þ Ú Þ Ðº Ý Ø Ø ÓÒ ØÓØØ Ú Ö Ø ÖØ ÔÞ Ý ØÖ Ò Þ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ð Ñ Ò Þ x Ú ØÓÖ Ð ÔÙÒ Ý v Ú ØÓÖغ ÞØ ÞÓÖÓÞÞÙ Ñ Ð Ñ Ò ÒØ ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ø ÖØ ÐÑ Þ t Ú ØÓÖÖ Ð Ñ Ð Ò Ø Ò xµ Þ Ö Ñ ÒÝØ Ð Ð e 1,1 ¹ Ð Ù º 1¹ ÑÓÑ ÒØÙÑÓØ ÞÓÖÓÞÞÙ x Ð ØÚ ÒÝ Ú Ðµº Ì Ø e 1,1 = x 1 x 2 i, i,... #{x i x i x 1 } #{x i x i x 2 } x i x 1 x 1 x i x 2 x 1 Î Þ ØÓÚ Þ a = α+1 α РРغ ÓÖ Þ Ð Ø Ð Þ 1 a e 1,1 0 Ô ÓÐ Ø ÐÐ ÒÒ Þ Ú ØÓÖÖ º ÖÖ Ð ÐÑ Þ Ø Ù Ñ Ö ÑÐ Ø ØØ ÝÓÑ ÒÝÓ Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ø Þ ÒÒ Ö Ñ ÒÝ ÒØ ÔÓØØ â Ý ØØ Ø Ú Ð ÖØ Ð Ñ Þ ¹ Öò Ò Ú Ø Þ Ð Ø Ø Ù α¹ö ˆα = 1 â 1 (14) Þ Ñ Þ Ö Þ ÖØ Ó Ó Ö Ñ ÒÝØ Ò Ñ ÒØ Ñ Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ñ ÖØ Ø Ð Ñ ÒØ Ò Ð Ú Ò ÓÖÑ Ñ Ð Ò v 1 ¹ Ò Ý Ð Ñ Ø Ú Ú Ñ Ö Ò Ð Ú v 2 ¹ Ò Ø º Ý Þ Ó Ð ÔÓÒØÓ Ð v(t) Ú ÒÝÒ Ñ ÒØ ÞØÓ Ö Ñ òöò Ú ÒÝÒ Ý Þ e 1,1 Ó Ð Ñ Ð Þº Ì ÖÑ Þ Ø Ò Þ Ñ Ö Ú Þ Ò Ý ÖØ Ö ÓÐ Ñ Ö Ú ÔÓÒØ Þ Ñ Ø Ð Þ ØÐ ÓÐ Ð µº ½ Å ÝÞ Þ Ø Ö Ò ÓÐ ÒÝ ÐÚò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ð Þ ÐØ ½¾

14 Truncating in equal distances empirical value theoretical value v(t) t Truncating in the values of the samples empirical value theoretical value v(t) t ½º Ö º v(t) Ú ÒÝ ÖØ Ý ½¼¼ Ð Ñò Ñ ÒØ α = 1.2 β = 3.0µ Ð Ô Ò Ð Ò Þ ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ú Ð ÞØÚ º Ý ÒÐ Ø ÚÓÐ Ö Ð Ú ÔÓÒØÓ º Ñ ÒØ Ð Ñ µ ½

15 Å Ú Ð Þ Ý ÒÐ Ø Ò β Ò Ñ Þ Ö Ô Ð Þ ÖØ ÞÞ Ð Ñ Þ ÖÖ Ð Ö Ò Ñ Ð Ø Ð Ø Ò º Þ Ö Ø Ò Ñ ÑÙØ Ø Ñ Þ Ö Ý Ý Ò ÔÓÒØ Øº ÒÒ Ð Ñ ÐÓ ÞÐ Ó Ò Ð ÞÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ñ ÐÝ Þ Ö Ô ÐÒ Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ý Ö Ø Ö Þ Ð Þ ÐÓ ÞРغ Ð Ö ÙÖ Ò Ò Þ Ó Ý Ý Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÝ Ò Ð Ø ÔÓÒØ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ô Ð ÑÙØ Ø Ó Ý Ð Ø ÐÝ Òº ÌÓÚ ÓÒÐ Ø Ð Ø Ñ ÓÖ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ ÐÓ ÞÐ Ø ÖØ Ø ÓÐÝ ÓÐ Ò Ñ Ð Ò Ø Ð Ø Ø º À ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ñ ÒØ Ð Ñ ÐÝ Ö Ú Ð ÞØ Ù Ñ Ñ Ò Ð ÒØ Þ Ö Ø Ø Ô ÞØ Ð ØÙÒ Ñ Ö Ò ÔÓÒØÓ Ò Ðº ÞØ Þ ÑÐ ÐØ Ø ¾º Ö º Transformed values of the truncated averages values constant 1 line values samples ¾º Ö º Ý ½¼¼¼ Ð Ñò Ñ ÒØ Ð α = 1.2 β = 3.0µ Þ E(X > x i ) x i ØÖ Ò Þ ÓÖÑ ¹ Ú Ð ÒÝ ÖØ ÖØ ÓÒ Ø ÔÓÒØ Ö Ò Þ ØØ Ñ ÒØ Ð Ö Ò Ð Ô Ò Ñ Ð Ò ØÚ Ý Ò ÚÓÒ Ðµ ÓÒ Ø Ò ½ Ý Ò º Ø Ý Ò Þ ØØ Ö Ö Þ Ý ØØ Ø Þ Ð Ø Ð α α+1 º Ä Ø Ø Ó Ý Ö Ò Þ ØØ Ñ ÒØ Ð Ñ ÐØ Ð Ð ÓØÓØØ Ö Ñ ÐÝ Þ Þ Ö ØÒ Ò Ñ Ð Ð Ý ØØ Ø Ø Ø Ð ÐÒ Ñ Ú Ð Ñ ÞÓÖÓÞÚ Ñ Ò Ð Ó Ò Þ Ð Ø ÓÒ Ø Ò ½ Ú ÒÝص Ö Ò ÔÓÒØÓ Ò Ð Ñ Þ ÒØ Ø Ð Ò Ý Ò Ð Ò Ý Ò ÞÓÒ Ò Ñ Ö Ò Ù Ø٠к Þ Ø Ó Ö Ú Þ Ú Þ Ø Ø º ÝÖ ÞØ Ô Ð ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ñ Ð Þ Ø ØØ ÞØÓ Ö Ñ Ú ÒÝ Ð ÒØ Ñ ÖØ Ò Ù ØÙ Ð Ò ½

16 Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò ÖÖ Ð Ö ÞÐ Ø Ò ¾ Öµº Å Ö ÞØ Ñ Ö ÑÐ Ø ØØ Ð Ò ÞØ Ó ÓÞÞ Ó Ý ØØ Ú Ð Ú ÔÓÒØ Ñ Ö Ð Ø Ò ÓÒ Ø ÙØ Ò Ý Ú Ð ÔÓÒØ ØÐ Ò ÙÐ ØÙ Ù Þ Ð Ø Ò Ú Ö Ø ÖØ Øº Ù ØÙ Þ Ð Ö Þ Ú ÓÐ Ø Ó Ý ÔÓÒØÓ Ò Ð Ð Þ Ð ¼¹ ¼±¹ Ø Ú Ý Ý Ð Ñ Þ ÐÐ ÞØ ÓÖ Ý Ú Ð ÔÓÒØÓ Ö Ñ ÒÝ Þ Ð Ø ØÒ º Ñ Þ Ö Ø ÓÒÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ Ô Ð ÙÐ Ò ÝÑ Ö Øò Ñ ÒØ ÓÒ Ú Ö ¹ ØÓØØ Ø ÒÝ Þ Ø Ð ÞÒ Ð Ó Ò ÓÒ ÓØ Ð ÒØ Ø ÓÒ ØÓØØ ØÐ Ó ¹ Þ Ñ Ø º ÖÖ Ò Ñ Ù ÔÖÓ Ö ÑÓÞ Ø Ö Ñ Ð ÐÑ ÞÒ Ñ ÒØ Ø Ñ Ö Ö Ò¹ ÞØ º À n Ñ ÒØ Ò Ú Ò Ø ÐØ Ð Ý n Ñ Ö Øò Ø Ñ Ð Ñ Ø Ò ÓÖ¹ Ö Ò Ò ÓÐ Þ i¹ ÐÐ E(X X > x i ) Ð Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º Ø ÐØ Þ Ò Ø ÖØ Ù ÒÝ ÐÚ Ò Ó Ý Ñ ÒÒÝ Þ ØÙ Ð x i ÔÓÒØÒ Ð Ò ÝÓ ÖØ ò Ð Ñ Ö Ô¹ ÖÓ Ò Þ Ö Þ Ñ Þ Ø Ò Ñ Ò ØØ ¼º Ø ÐØ Þ Ò Ú Ý ÓÖ Ò Ý Ð Ñ ÒØ Ð Ñ Ø Ù ÓÞÞ Þ Þ Þ Ö ÔÖÓ Ø Þ Þ¹ Þ Ñ ÓÞ Ô ½¹ Ø Þ Ð Ô Ò Þ ØÐ Ý Ó ÞØ Ð ÒÝ Ö Ø ÞØ ÞÓÖÓÞÞÙ Ñ Þ ØÙ Ð Ñ ÒØ Ð ÑÑ Ðº ýðø Ð ÒÓ Ø Ò k Ð Ò Þ ÑÓÑ ÒØÙÑÓØ ÐÐ Þ ÑÓÐÒÙÒ ÓÖ Ý k n¹ Ñ ØÖ ÜÓØ ÐÐ ÖØ Ð Ñ Þ Öò Ò Ø ÐØ Ò º Ã Þ Ò Ñ Ö Ö Ö Þ Ý ØØ Ø Þ Ñ Ø Ò Ð Ð Ô Ø Þ ØÐ ÓРص ÐÚ Þ Ø Ý Ñ Ý Ú ÓÐÚ Ø Ñ Ô ÖÓÐ ØÙÒ º Þ Ò Þ Ø Ò ÑÙØ ØÓØØ Ð Ñ Þ ÖØ ÌÅ Ð Ò ÌÖÙÒ Ø ÅÓÑ ÒØ Ø Ñ ØÓÖµ Ò Ú Þ Ñ ØÓÚ Òº ¾º¾º º Ý Ñ Ô Ð ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ Ø ÖÑ Þ Ø¹ ÐÐ ØÚ Ø Ö ÐÓÑØÙ ÓÑ ÒÝÓ Ò Þ Ý Ð Ý Ö Ò Ð ÓÖ¹ ÙÐ ÐÓ ÞÐ Ù ¹ Ú Ý ÒÓÖÑ Ð ÐÓ ÞÐ º Þ ÖØ ÑÓ Ø ÑÙØ Ø Ù ÓÒ ØÓØØ ÑÓÑ ÒØÙÑÓ Ñ Þ Ö Ø ÖÖ Þ ÐÓ ÞÐ Ö º Þ (m,σ) Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ò Ú Ø¹ Þ Ý ÒÐ Ø ÐÐ ÑÞ ÓÒ ØÓØØ ÑÓÑ ÒØÙÑÓ Ø ½½ g(x) = x 2 mx σ 2 h(x) = x m λ(x) = x Þ Ø ½¼µ¹ ÐÝ ØØ ØÚ Ú Ø Þ Þ E(X 2 mx σ 2 X x) E(X m X x)x = 0 ¾¼µ Ú Ö Ø ÖØ Ð Ò Ö Ø Ð Ú Ø Þ Ò Ý E(X 2 X x) me(x X x) σ 2 E(X X x)x + mx = 0 ½

17 ÞØ Ñ Ö ÑÙØ ØÓØØ Ð Ð Ö Ò Þ ÖÖ Ø ÖÚ (e 2,0 e 1,1 ) m(e 1,0 e 0,1 ) σ 2 = 0 ¾½µ Ò Ô ÞÓ Ó ÝÚ ÐØÓÞ Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ú Ð Ñ Ø ÖÓÞ Ø Þ m σ Ô Ö Ñ Ø Ö ¾º º Ð Ñ Þ Ö Þ ÓÒÐ Ø ÑÙØ ØÓØØ Ð Ð Ö Ó Ø Ø Ð Þ Ö ÒØ Þ Ð Ø ÓÒÐ Ø Ò º ËØ ¹ Ø ÞØ Ò Þ ÔÓÒØ Ð Ð ÓÒØÓ Ö Ð ØÓÖÞ Ø Ú Ö Ø ÖØ Ñ ÒÒÝ Ö Ø Ö Ð ÐØ Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ðµ ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ø Ò Ø Ó Ñ ¹ ÓÖ Þ Ö Ð Ð Ô Ö Ñ Ø Öصº ËÞ Ñ Ø Ø ÓÒÝ Þ ÑÔÓÒØ Ð Ò Ñ Ð ¹ ÒÝ ÓÐ Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÐØ Ñ Ð Ò Ò Ò Ý Ñ ÒØ Ø Òº Ñ Þ ¹ Ö Ø Þ ÑÙÐ Ø Ú Ð ÓÒÐ ØÓØØÙ Þ Ò ÝÑ Ö Øò Ñ ÒØ Ø Ò Ö ÐØÙÒ Þ Ò Ø ÞØ ÐØ Ñ Þ Ö Ø ÓÒÝ Øº Ä Ò Þ α Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ö ÚÓÐØÙÒ Ú Ò ÌÅ Ð Ð Þ Ð Ø Þ ÖØ Ð ÒØ ÖÖ ÓÒÐ ØÓØØÙ Þ Ñ Þ Ö Øº ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ñ Ö Ò Ø ½¼¼¼¼ Ñ Ö Øò α = 2.5 β = 3 Ô Ö Ñ Ø Öò Ñ ÒØ Ö Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ø ÖØ ÐÑ ÞÞ º ÁØØ ÑÓ Ø α > 2 Ý ÅÓ ÞÒ Ð Ø º Ð Ñ Þ Ö ØÐ Þ Ö ÅÄ ¾º ¼¼ ¼º¼¾ ÅÄ ¾º ¼¼¼ ¼º¼¾ ÅÓ ¾º ¼¼½ ¼º½½ ÄË ½º ¾ ¼º¾ ÌÅ ¾º ¼¼ ¼º¼¾ ½º Ø Ð Þ Øº ËØ Ø ÞØ Ö Ñ ÒÝ Þ α Ð Ö ½¼¼¼¼ Ñ Ö Øò α ¾º β Ô ¹ Ö Ñ Ø Öò Ñ ÒØ Ø Ò ¼ ÙØ Ö Ñ ÒÝ Ø ØÐ ÓÐÚ Þ ½º Ø Ð Þ Ø Ò Ð Ø Ø Ö Ñ ÒÝ Þ Ò Ò Ú ÒÒ ÓÐ Ø Ò Ø Ö ¹ Ò ¹ Ð Ö Ñ ÒÝ Ú Ðº ÒØ Þ Ð Þ ÅÄ ÄË Ð Ø ÓÒÐ ØÓØØ Þ Þ Þ Ð Þ ÅÄ ÞÓÒÝÙÐØ Ð Ó Ò º Ä Ø Ø Ó Ý Ú ÞÓÒÝÐ ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Ø Þ ÅÄ ÅÄ ÌÅ Þ Ö Þ ÐØ Ö ½

18 Ñ ÒØ ¼º¼½±º Ã Þ Ð Þ ÐÑ Ð Ø Ö Ñ ÒÝ Ò Ñ Ð Ð Ò ÅÄ Ð ÔÓÒØÓ Þ Ð Ó Ö Ñ ÒÝ Ñ ÐÐ ØØ Ð Þ Ö Ø Ú Ý Ð Ø º ÞÞ Ð Þ Ñ Ò Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ñ Þ Ö Ñ Ð Ô Ò Ò Ý ØÓÖÞ Ø Þ Ö º ÑÓÑ ÒØÙÑ¹Ñ Þ ÖÖ Ð ÔÓØØ Ð Ø Ð ÔÓÒØ ØÐ Òº ÌÅ Ú ÞÓÒØ Ù Ý Ò ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Þ Ö Ø Ò ÝÓ Ñ ÒØ ÅÄ Ð º β Ð Þ ÓÒÐ Ø ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ø ÖØ ÒØ ØØ ÌÅ Ð Ñ Ö Ò Ñ ÚÓÐØ ÞÒ Ð Ø º ËÞ ÒØ Ò Ý ½¼¼¼¼ Ñ Ö Øò Ñ ÒØ Ø Ò Ö ÐØÙÒ ÞÓÒ ÓÒÐ ØÓØØÙ Þ Ñ Þ Ö Øº Ð Ñ Þ Ö ØÐ Þ Ö ÅÄ º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ÅÄ º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼ ÅÓ º ¾½¼º ¾ ÄË ½¼ º¼ ¾º Ø Ð Þ Øº ËØ Ø ÞØ Ö Ñ ÒÝ β Ð Ö ½¼¼¼¼ Ñ Ö Øò α ¾º β Ô Ö ¹ Ñ Ø Öò Ñ ÒØ Ø Ò ¼ ÙØ Ö Ñ ÒÝ Ø ØÐ ÓÐÚ Ñ Ö Ö Ñ ÒÝ ¾º Ø Ð Þ Ø Ò Ø Ð Ð Ø º Ò Ð Ø Ò Þ ÅÄ Ñ Ò ÅÄ Ô Ö ØÐ ÒÙÐ Ö Ò ÞÓÒÝÙÐغ ÅÄ ¹Ú Ð ÔÓÒØÓ Ò Ò ¹ ÝÓÒ Þ Ö Ð Ð Ø ØØ Ñ Ø ÖÓÞÒ β¹øº ÅÓ Þ ÄË Ñ Þ Ö Ú ÞÓÒØ Ö Ò Ø Ò ÖÓ ÞÙÐ ÐØ Þ Ö Ñ ÒÝ Ò Ò Ñ Ó Þ ÚÓÐØ Ú Ð ÓÞº ÒÒ Ð Ò Ò Þ Ó Ö Ý ÒÐ Ö Ò Ñ Ø Ð ÐØÙÒ Ñ Ý Ö Þ ØÓغ À Ö ÅÄ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø Ò Ó Ò ÞÓÒÝÙÐ Ñ ÒØ ÌÅ Ò Ñ Þ ¹ ÞÓÒ Ò Ð ÐÒ Ò Ñ Þ Ö Ð ÒØ Øº Å Ü ÑÙÑ Ä Ð ÓÓ Ý ÒÐ Ø Ø Ù Ý Ò Ó Ø Ò ÒÙÑ Ö Ù Ò Ð Ø Ñ ÓÐ Ò º ÌÅ Ð ÓÐÝ Ò ÐÓ Þ¹ Ð Ó Ö Ñ ÐÝ Ö Ø Ö Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ö Ú Þ Ú Þ Ø Ø Ôк ÆÓÖÑ Ð ÑÑ Ø µ ÒÒÝ Ò Ð ÐÑ Þ Ø Þ ØØ ÑÙØ ØÓØØ ÓÞ ÓÒÐ Ñ ¹ ÓÒº Þ Þ Ý ÒÐ Ø Ò Ú Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ó Ø ÐÑ Ýò Ø Ñ ÒÝ Ö Ö Ò Ð Þ Ö ÐÐÒ Ñ Ö ÞØ ÐÓ ÞÐ Ó Ø Ò Þ ½º Ø Ø Ð Ö Ò Ð Ý ÒÐ Ø Ò Ñ ÓÐ ¹ Ú Ð Ñ Ø Ð Ð Ø º Æ Ñ¹Ð Ò Ö Ø Ò ÐØ Ð ÒÓ ØÓØØ Ö Ö Þ Ôк Ð Ó¹ Ö ØÑÙ Ð º º Þ Øµ ÞÒ Ð Ø ÞÓÒ Ò ÒÒ Ñ Þ ÖÒ Ð Ö Ø Ö ØÓÚ ÙØ Ø Þ º Þ Ó Ð Ð ÒØ ÐÑÓÒ Ø Ó Ý È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ò Ð Ò Ð ½

19 ÅÄ ¹Ø Ö Ñ ÞÒ ÐÒ Ò Ñ ÔÓÒØÓ ÔÖ Þ Ö Ñ ÒÝ ÒÒÝò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ø ÝÓÖ ÙØ Ñ ØØ º Þ Ñ Þ Ö Ñ Ò Ò Þ ÑÔÓÒØ Ð Ð ÓÔØ Ñ Ð Ö Ñ ÒÝØ º ½

20 º ÁÐÐ Þ Ú Þ Ð Ø º½º ÁÐÐ Þ Ú Þ Ð Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ñ ÐÐ ØØ Ý Ñ ÓÒØÓ Ø Ø ÞØ Ö Ó Ý Ú Þ ÐØ Ð Ò Ñ ÒÒÝ Ö ÐÐ Þ Ý ÓØØ ÐÓ ÞÐ Ö ÑÓ ÐÐÖ º ÞØ ÐÐ Þ Ú Þ Ð Ø¹ Ò Ò Ú Þ Ñ ÐÝ ÔÓØ Þ Ú Þ Ð Ø Ý Ô Ð Ø º ÒÙÐй ÔÓØ Þ Ò Ð Ò Ø Ò Þ Ó Ý Ú Þ ÐØ Ú ÐØÓÞ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø Ú Ø ÞØ Ú Ø Þ ÞÞ Ð Þ ÐÐ Ò ÔÓØ Þ Ð Ó Ý Ò Ñº Ì ÐØ Ö Ø ÔÖ Ú Ò ÒÒ Ð ÒØ Ö Ø Ð Ñ ÖØ Þ Þ Ð χ 2 ÔÖ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹ËÑ ÖÒÓÚ ÔÖ Ñ Ò Ø ÔÖ Ö ÞÐ Ø Ð Ö Ñ Ø Ð Ð Ø ¹ Òµº Ì ÙØ Ø Ð Ú Ø ÞØ Ø Ó Ý ÃË Ø ÞØ Ø Ð ÐÑ Þ Ð ØÐ Ò Ö Ó Ø Ò Ð Ôк µº ÞÓÒ Ò ÃË Ø ÞØ Þ Ö Ð ÓÐÝØÓÒÓ Ø Ò ÞÒ Ð Ø º À Ö Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ò Ó Þ Ñ¹ ÐÓ ÞÐ Ø Ý ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ð Þ Ð Ø ØØ ÞØ ÃË ÔÖ Ò Ð Ò Ñ Ø Ø Ñ Ù Ý Ò ÔÖ Ø Ø ÞØ Ø Ö ÐÓ ÞÐ Ý Þ Öò Ò Ò Ñ Þ Ð Þ Ñ ÒØ Ú Ð Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ð ÒÒ ØØ ÖÚ ÐØÓÞ º Ð ÓÐÝ Ð ÃË ÔÖ Ò Þ Ø Ò Ò Ñ ÞÒ Ð Ø º Ä Ø ÞÒ ÐÐ Þ Ú Þ Ð Ø Ñ Þ Ö ÞÓÒ Ò Þ Ò ÐØ Ð Ò Ò Þ Þ Ñ Ø ¹ Ù º Þ ÖØ ÑÓ Ø Ð Þ Ù χ 2 ÔÖ Ø ÞÒ Ð Ù º ÒÒ Ð Ô Ó Ý Ø Ø Þ Ð A 1,...,A r Ø Ð Ñ ÒÝÖ Ò Þ Ö Ø Ò ν 1,...,ν r ¹ Ð Ð ÐÚ Þ Ý Ñ ÒÝ ¹ ÞÓÐ Ø Ý ÓÖ Ø r i=1 ν i = nµ ØÓÚ H 0 ÒÙÐй ÔÓØ Þ ÒÒ ÐÐ n Ø Ò r (ν i np i ) 2 ¾¾µ np i i=1 ÔÖ Ø Ø ÞØ ÐÓ ÞÐ Ò Ø ÖØ Þ (r 1)¹ Ó χ 2 ÐÓ ÞÐ ÓÞ ÓÐ p i Ð Ð Þ A i Ñ ÒÝ Ú Ð Þ Òò Ø H 0 ÒÒ ÐÐ Ø Òº ËØ Ø ÞØ ÔÖ Ò Ð Ñ Ø ÖÓÞÞÙ ÔÖ Ø Ø ÞØ ÖØ Ø Ñ ÒØ Ð Ô¹ Ò ÞØ ÓÒÐ Ø Ù Þ Ø Ö ÐÓ ÞÐ 1 ε Ú ÒØ Ð Ú Ðº Ñ ÒÒÝ Ò Ø ¹ Ø ÞØ ÖØ Ò ÝÓ Ñ Ð Ð Ú ÒØ Ð Ò Ð Ý ÐÙØ Ø Ù ÒÙÐй ÔÓØ Þ Ø ÐÐ Ò Þ Ø Ò Ð Ó Ù ¾ º Þ ε ÖØ Ð Þ Þ Ð Ú Ð Þ Òò Ú Ý ÒÒ Þ ÐÝ Ó Ý ÒÙÐй ÔÓØ Þ Þ Ñ ÐÙØ Ø Ù º Þ ÐÐ Þ ¹ Ò Ñ ÖØ Þ Ò Ò ÞÓÒÝÓ µº Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ñ ÐÝ Ò ÞØÓÒ Ð ÙØ Ø Ù» Ó Ù Ð ÒÙÐй ÔÓØ Þ Øº Þ ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Þ Ð Ñ ε Ñ ¾ Þ Ö Ø Ø Ò Ñ Ð ÓÖ ÙÐ Ø Ö Ò ÓÑ Þ Ð Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ñ ÓÖ Ý Ú Ð ØÐ Ò Þ Ñ Ð Ô Ò ÒØ Ò Þ Ð Ó Ö Ðº Ê ÞÐ Ø Ò Ð º½ Þ Ø ½

21 Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ñ Ø ÖØ Ø Ù ÒÙÐй ÔÓØ Þ Øº χ 2 ÔÖ Ý ÓÖÐ Ø Ñ Ú Ð Ø ÓÖ ÐÓ ÞØ Ù Þ Ñ Ý Ò Ø r Ö ÞÖ x 1 < x 2 <... < x r 1 Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ðµ Ý Ó Ý Ñ Ò Ý Ö Þ Ò Ò ÒÝ Ð Ð µ Ñ ÒØ Ð Ñº ÓÖ Þ i¹ ÒØ ÖÚ ÐÐÙÑ Ú Ð Þ Òò p i = P(X [x i 1,x i )) = F(x i ) F(x i 1 ) = ( ) ( α ( ) ) α xi xi 1 = 1 1 = x α i 1 x α i β β β α ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ χ 2 Ø Ø ÞØ Þ ÑÓÐ Ø Þ Ú Ø Ø Þ (r 1)¹ Ó χ 2 ÐÓ ÞÐ Ñ Ð Ð Ú ÒØ Ð Ú Ðº ÁØØ ÑÓ Ø Ñ Ø ÓÐÝØÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ú ÒÝØ ÞÒ Ð¹ ØÙ Þ χ 2 ÔÖ Ò Ð Ò Ñ Ó ÓÞ ÓÒ ÓØ Ñ ÖØ Þ Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ñ Ð Ð Ñ Ú ¹ Ð ÞØ Ø Ò Þ p i ÖØ Ð Þ Ð Ø Ú Ð Ø ÔÖ Þ ÑÔÓÒØ Ð Þ Ð ÒÝ º Ö Ó Ó Þ Ñ ÐÓ ÞÐ Ò Ú Þ Ð Ø Ò Ð Ö Ò ÓÖ ØÓØغ Î Ý Ò Ñ ÓØØ ÞÓÒÝÓ Þ ÒØ Ñ ÐÐ ØØ ÖÙÒ ÒØ Ò ÒÙÐй ÔÓØ Þ Ð Ó Ö Ð Ú Ý ÐÙØ Ø Ö Ð Ò Ñ ÔÔ Ò ÞØ Ð Ñ Þ Ò Ò Þ ÒØ Ø Ö Ñ ÐÝ Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ð Ó Ø Ù H 0 ¹Ø Ú Ý Ó Ý Ú Þ ÐØ Ð Ò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º º¾º Ã Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ ÞÓÒÝÓ Ö Ó Ò Ð Þ ÐÓ ÞÐ Ð Ò Ú Ú Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø Þ ÓÖ ÓÞ Þ Ð Ð Ô Ú Ð Ñ ÐÝ Ò Ñ ÐÓ ÞÐ Ð Þ ÖÑ Þ Ôк ÜÔÓÒ Ò ¹ Ð ÑÑ Ø ÆÓÖÑ Ð Ø ºµº ÁÐÝ Ò Ö Ó Ö Ø Ô Ð Ø ÑÙØ ØÙÒ º Þ Ò Ð Ú Ò Ú ÝÙÒ Ó Ý ÓÒÒ ÒØ Ð Þ Ú Ø ÒØ Ø Ñ ÒØ È Ö ØÓ ÐÓ Þ¹ Ð Ò º ÖÖ Ú Ø Þ Ñ Þ ÖØ Ú ÓÐ Ù º Ê Ò ÞÞ Ò Ú Ú ÓÖ Ñ ÒØ ¹ Ð Ñ Ø Ú Ð ÞÙ Ð Ò ÝÓ ±¹ÓØ ½¼±¹ÓØ Ø º Ú Ò Ø Ð Ñ ÒØ Øº Ø ÖØÓÑ ÒÝÓ Ø Ø Ò Ñ Þ ÙÒ Ø Ò Ñ ÝÑ ØÙÐÝ ÞÓØØ º ±¹Ó Ð ¹ Ô Þ ÐÝ ØØ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ú Ð ÞØ ØÙÒ Ø Ø Þ Ð ÖØ Ø Ø Ð Ô Þ Ò Ò Ñ ÐÐ ÞÓÒÓ Ò Ð ÒÒ º ÅÓ Ø Ð Ý Ò Ð Ô Þ ÞÓÒÓ Ð Ð m¹ Ð ÐÓ ÞØ ÒÓÑ Ø Ú Ý Ø ÖØÓÑ ÒÝÓ Þ Ñ Øº Î ÞÞ Ò Ñ Ò Ý Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò Ð χ 2 ÔÖ Ø Þ Þ Þ ÓØØ Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Ô Ò Ð Þ Ö ¹ Ð Ø ÙÒ Þ (α,β) Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ñ ÐÐ Þ Ú Þ Ð ØÓØ Ú Þ Ò Þ ÑÐ Ø ØØ Ñ ÓÒ β ÖØ Ö Ñ Þ Ð Ø Ð x i Ú Ö Ø Þ x i ¹Ò Ð ÓÒ ØÓØØÙÒ µº Ñ ÒÒÝ ¹ Ò Þ ÐÓ ÞÐ Ð Ò Ú È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ý Þ ½º ÐÐ Ø Ñ ØØ Ð ¾¼

22 Ø ÖØÓÑ ÒÝØ Ð Ý ÞÓÒÝÓ Ø ÖØÓÑ ÒÝ ÑÓÒ Ù k¹ 1 k mµ Þ ÒØ Ò È ¹ Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø ÐÐ ÔÒÙÒ Þ Ò Ø Ö Ð ØØ Ñ Ò Ò ÓÒ Ø Ñ Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø Ö Ñ ÒÝ Þ Ñ ÓÞÞ Ù Ý Ò ÞÞ Ð Þ α Ô Ö Ñ Ø ÖÖ Ðº Ì Ø Ñ Ö ÞØ Ø ÖØÓÑ ÒÝØ Ñ Ò Ñ ÒØ Ñ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ ε Ð Ú Ðµ Ò Ð Ý Ð Ú Ò Ñ Ö Ò Ñº Ú Ò ÒÒ Ø ÖØÓÑ ÒÝÒ Þ Ð Þ Ð Ð Þ Þ Ø Ö ÓÒÒ Ò Þ Ú È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ò Ø ÒØ Ø Ñ ÒØ Ú Ý ÓÒÒ Ò ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ð Ò ÖÚ ÒÝ Ðº ÞØ Ñ Þ ÖØ Ã Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ú Ù º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ Ã Þ Ö Ê ÕÙ Ö X Ñ ÒØ Ð Ñ ÓÖÓÞ Ø ε Ñ Ò ØØ Ð m Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Þ Ñ X Ê Ò Þ(X) n Ð Ñ Þ Ñ(X) ÓÖ i = 1 ØÓ m Ó X i n m i m ¹ ÖØ Ò Ð Ò ÝÓ X¹ Ð (ˆα, ˆβ) Ð (X i ) χ 2 ¹ÈÖ (X i, ˆα, ˆβ,ε) = Ð Ø Ò Ö ØÙÖÒ n m i+1 m ¹ ÖØ X¹ Ð Ò Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ minx º º Ý ÒÐ Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ú Ö Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÓÒÝ Ø ÐÓ ÞÐ Ó Ú Ö Ò Ø ÞØ ÐØ º ÃÓÒ ØÖÙ Ð Ù Ú Ø Þ ÐÓ ÞÐ Ø Ð Ý Ò Þ ÐÓ ÞÐ ¼ Þ ØØ Ý ÒÐ Ø Ð ØØ Ô Ý α = 2 β = 5 Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º Å Ú Ð Ñ Ò Ø Ö Þ ÒØ Ö Ð ½ Þ ÖØ òöò Ú ÒÝ Ø Ñ Ð ÐÐ Ó ÞØ Ò ¾¹Ú Ð Ó Ý Ú Ð Ò ÐÓ ÞÐ Ø Ô ÙÒ º Ð Þ ÐÓ ÞÐ Ð Þ Ø ØØ Ò Ý Ò ÝÓ Ñ ÒØ Ø ÙØ ØØÙ Ö Ø Ã Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ý Ñ Ó ØÚ Ó Ý Ñ Ò Ò Ø ÖØÓÑ ÒÝØ Ñ Ú Þ Ð ÓÒ Ò ÐÐ ÓÒ Ð Þ Ð Ò Ñ Ñ Ð Ð Ø ÖØÓÑ ÒÝÒ Ðµº Þ Ö Ñ ÒÝ Ø º Ø Ð Þ Ø Ò Ó Ð ÐØÙ Þ º Ñ ÒØ Þ Ø Ð Þ Ø Ð ØòÒ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÔÓÒØÓ Ò Ø Ð Ð Ñ ¾½

23 Þ Ø ÒÓÑ Ó ÞØ ÔÓÒØÓ Ð ØÓÚ Ò Ú Ð Ø µº Þ Ö Ñ ÒÝ Þ Ö ÒØ Ñ ÒØ Ð ØØ Ö Þ Ö Ð ÐÐ Þ Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º Ð Ø Ö ˆα ˆβ Çà º ½º ½ º ½ º ½½¼ ¾º¼¼ ¼ º ¼ ½ º ¼ ½º º ¼ ½ º ½º º ¼ ½ º ½º º ¾ ¼ º¼¼ ½º¾ ½ º¼¼ ½ ¼ ¾º¼¾ ¼º ½½ ¾º¼¾ ¼ ½º¼ ½½ ¼º ½ ½º¼ ¼ ¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼ ¼ ¼º¼¼¼½ ¼ º Ø Ð Þ Øº Ã Þ Ö Ö Ñ ÒÝ Ó ÞØ ÔÓÒØØ Ð ε = 0.05º Þ ÇÃ Ó ÞÐÓÔ Ò ½ Þ Ö Ô Ð Þ Ð Ø Ö Ð ØØ Ö Þ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ò Ø ÒØ Ø º Î Ð ØÓ Ò Ð ÒÓ Ò Ñ Ñ Ò ÐÝ Ò ÐÝÞ Øº Þ Ò Ð Ñ Ö Ó Ð ¹ Ð ÒØ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓÒØ ØÐ Ò Ñ ÖØ Ú ÞÓÒÝÐ Ò Ý ÐØ Ö Ð ØÒ Ý¹ Ý ÐÝ Ò Þ ÐÚ ÖØ Ñ Ý ÐØ ÖØ Þ Øغ ÓÖ ÒÝ Ñ Ó Ø Ó Ø Ð Ø Þ Þ ÐÒ Ô ÙÐ Ó Ý Ñ Ò Ò Ý Þ Ð ØÒÝ Øº Î Ý Þ Ý Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ò ÐÙØ Ø Ù È Ö ØÓ¹ ÐÓ ÞÐ Ø ÓÖ Ñ Ò Ñ ÐÐÙÒ Ð ¹ Ú Ø Þ Þ Ð ØÒ Ð ÐÙØ Ø Ø ÔÙÒ º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ý 0¹Ø Ñ ØÙ ÖÙÒ Þ 1¹ ÓÖÓÞ Ø Þ Øغ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ý Ñ Ó Ø Ø Ù Ó Ý ÐÖ Ð Ó Ö Ö Ò Ú Ý Ò¹ ÙÐÚ Ø Ð Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Þ Ð Ø ÖØ ÓÐÝ Ñ ØÓ Ò Ñ ÐÚ Þ Ð ÓÐÝ Ò ÐÝ Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ÓÐ Ñ Ö Ð Ó Ø È Ö ØÓ¹ ÐÓ ÞÐ º ÓÖ ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Þ Ð 1¹ ÐÞ ò Ø ÖØÓÑ ÒÝ Ð Ø Ö Ø Ú Þ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ º Å Ñ Ø Ò Ñ Ñ¹ Ð Ø Ò Þ ÙØ Ø ÞÒ Ð Ù Ú Ø Þ Þ Ø Òº ÞÓÒ Ò Ñ ÑÐ Ø Ó Ý Ò Ñ Ó ÓÞÓØØ Ð ÒÝ Ð Ò Ø Þ Þ Ð Þ ½ Ø Ñ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ú ÞØ Þ Ñ Ø Ó Øº ¾¾

24 º º ÎÓÁÈ Ú Ó Ú Þ Ð Ø Ú Þ Ø Ò ÑÐ Ø ØØ Ú Ø Þ Ø Ò Ö ÞÐ Ø Ò ÑÙØ ØÓØØ Ð ¹ ØÐ Ò Ð Þ ØÓ ÓÒ Ú Ð Ó Ñ Ø Ö Ð Ø Ò Ô Ð ÙÐ Ø Ð ÓÑÑÙÒ Ð Ò Ò Ð Ø Ð Ð ÓÞ ØÙÒ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ð ¾ º Æ Ô Ò Ò ÖÓ ÑÓ Ò Ø Ö ÎÓÁÈ Ú Ý Þ ÁÈ Ð Þ ØÓ ÓÒ Ö ÞØ Ð Ð ÓÒÝÓÐ ØÓØØ Ø Ð ÓÒ Ú º Ý ÎÓÁÈ ÓÑÑÙÒ ¹ ÓÖ Ò Ô Ö Ù Ó Ý Ð Ø Ñ ½¾ º Þ Ý Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ò Ø Ú Ô Ö Ù Ñ ÓÖ Ò Ò Ò Ý ÓÖ ÐÓÑ Ñ Ú Ò Þ Þ Ð ÓÒ Ø Ò Ñ ÖØ òº Ñ Þ Ø Ú Ô Ö Ù Ñ ÓÖ Ø Ð Þ ØØ ÓÖ ÐÓÑ Ñ Ò Ò Ñ Ù Ò Ú ÐØÓÞ Ò ÓÞ º ÓÑÑÙÒ ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ø Ú Ò Ø Ú Ô Ö Ù Ó Ú Ø ÝÑ Øº Ã Ö ÐØ Ó Ý Þ Ò Ô Ö Ù Ó Ó Þ Ð Ö Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞРк Ã Þ Ö Ð ÓÖØ ÑÙ Ð Ñ Ú Þ ÐØÙ Ó ÎÓÁÈ Ú Þ Ò ½ ½½ Ø Ú Ô Ö Ù Ò Ó Þ Ø Ñ Ó Ô Ö Ò Ñ ÖÚ º Þ Ö Ñ ÒÝ Ö ÞÐ Ø º Ø Ð Þ Ø Ò Ø Ð Ð Ø º ÁØØ Ð Ø Þ Ó Ý 6.83 Ð ØØ Ø ÒØ Ø Ñ ÒØ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ò º ÖÖ Ð Ö Ö α = º Ñ ÒØ ÞØÓ Ö Ñ 2.18 Ô Ö Ñ ¹ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ ÐÑ Ð Ø Öò Ú ÒÝ Ð Ø Ø º Ö Òº ÁØØ Ñ Ý Ð Ø Ð Ø ÖØÓÑ ÒÝÓ Ò Ú Ð ÐÐ Þ ØÓÚ Þ Ó Ý È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ òöò Ú ÒÝ ÐÓ ¹ÐÓ Ð Þ Ö Ò Ý Ý Ò ÚÓÒ Ðº Ð Ø Ö ˆα ˆβ Çà º ¼ ¾º¾ ½ º ¾ ½ º ¾º½ º ½ º ¾º¼ º ¼ º ¾¼ ½º ½¼ º ½ ¼ º ¼½ ½º ½ º ¼ º Ø Ð Þ Øº Þ Ö Ö Ñ ÒÝ Ò Ö ÞÐ Ø Ø Ú ÎÓÁÈ Ô Ö Ù Ó Ó Þ Ò m = 30 ε = 0.01µº ¾

25 10 0 Histogram of the length of active periods empirical values Pareto, alpha= relative frequency sec º Ö º ÎÓÁÈ Ú Ó Ø Ú Ô Ö Ù Ò ÞØÓ Ö Ñ ÐÓ ¹ÐÓ Ð Þ Ö Ò Þ α = 2.18 Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º ¾

26 º Ö Ð ÑÓ ÐÐ Ú Þ Ð Ø º½º Ë Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓ Þ Ý Ð ÓÒØÓ Ð Ò ÓÐ È Ö ØÓ Ú Ý ØÚ ÒÝ Ú Òݹ ÐÓ ÞÐ Ð ÓÖ ÙÐ Ð ØÐ Ò Ö Ó Ó Þ Ñ ÐÓ ÞÐ º Þ ÐÝ Ò Ö Ó Ò ÒÒ Ú ¹ Ð Þ Òò Ó Ý Ý Ú Ð ØÐ Ò Ð Ú Ð ÞØÓØØ Ó Þ Ñ ÔÔ Ò Ý k Þ Ñ k Ò Ú Ø Ú Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ð Ò Ò Ð p(k) k γ º ÖÖ ÙØ Ð Ð ØÐ Ò ÐÒ Ú ¹ Þ Ù Ý Ò Ó Þ ÑÓ ÞØÓ Ö Ñ Ø ÐÓ ¹ÐÓ Ð Þ Ö ÓÒÓÒ Ö ÞÓÐÚ Ý Ý Ò ÚÓÒ Ð Ø Ð Ø ØÙÒ ØÐ Ò Ð ÐÓ Ö ØÑÙ Ð Ô Ø Ðº ÁÖ ÒÝ ØÓØØ Ö Ó Ö Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ñ Ò ÙØ Ð Ö Ð Ò¹ Ð Ò Ø Ð Ð Ð¹ Ø Ð Ò Ð Ò Þ ÜÔÓÒ Ò Ðº Ø Ñ Ö Ò Þ ÙØ Ú Ò Ó Ð ÒØ Ö Ñ ÒÝ Þ Ð Ø ØØ Þ Ð ÔÓ Ö Ð Þ Ó Ð Ð ½ º Ã Ö ÐØ Ó Ý Þ ÑÓ Ú Ð Ú Ð Ò ÐÐ Ð Ø Ð Þ Ø ÐÝ Ò ØÙÐ ÓÒ º Æ ÒÝ Ñ Ð Ô Þ Þ Ð ÏÏÏ Ö Ò Û ÓÐ Ð Ð ÐÒ Ñ Þ Ð Þ ÓÐ Ð ÓÒ Ð Ú Ô ÖÐ Ò ÀÓÐÐÝÛÓÓ ÓÑ ÔÓÒØÓ Þ Ò Þ Ø Þ Ò Þ ÞØ ÓÖ Ñ Ý Ð Ø ÞÓØØ Þ ÐÑ Ò ÌÙ ÓÑ ÒÝÓ ÙØ Ø Ó ÓÑ ÔÓÒØÓ ÙØ Ø Ð Þ Ø ÝÞ ÙØ Ø Þ ØØ ÙØÒ ËÞ ÜÙ Ð Ô ÓÐ ØÓ ÓÑ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ö Þ ØØ ÓÖ ÙØ Ð Ô ÓÐ Ø Ò ÚÓÐØ ÝÑ Ð Þ ÁÒØ ÖÒ Ø Ý ÐÝ Ò Ö Ñ ÐÝ Ò Þ Ñ Ø Ô ÖÓÙØ Ö Ý Þ Þ Ú ÒÒ Þ Ô ÓÐÚ º Þ ÁÒØ ÖÒ Ø ØÓÔÓÐ Ø Ð Ò Þ Þ ÒØ Ò Ú Þ Ð Ø º ÖÓÙØ Ö Þ ÒØ Ò ÓÑ ÔÓÒØÓ ÖÓÙØ Ö Ò ÐÐ ØÚ Ý ÓÑÑÙÒ Þ¹ Þ Ò Ð ÐÒ Ñ Ñ ÐÝ Þ ØØ Þ Ô ÓÐ Ø Ð ÒØ Ð Øº Þ Ë Ù¹ ØÓÒÓÑÓÙ ËÝ Ø Ñµ Ú Ý ÒØ Ö ÓÑ Ò Þ ÒØ Ò Ý ÓÑ ÔÓÒØ Þ Ý Þ ÖÚ Þ Ø Þ ÓÑ Ò Þ Ø ÖØÓÞ ÖÓÙØ Ö Ø Þ Ñ Ø Ô Ø Ø Ö Þ Ð Þ ØÓ Ú ÒÒ Þ ØÚ ÝÑ Ðº Ã Ø ÓÑ ÔÓÒØ ÓÖ ÙØ Ð Ð Ð Ý Ú Þ Ø Ñ Ý ÞØ Ú Ý Ú Ò Ð Ð Ý¹ Ý ÖÓÙØ Ö Ñ Ò Ø ÓÑ Ò Ò Ñ Þ Ú ÒÒ ØÚ ÝÑ Ðº ¾

27 Å Ò Ø Þ ÒØ Ó Þ Ñ ÐÓ ÞÐ Ö Ð Þ Ð Þ ØØ Ö ÐØ Ó Ý ØÚ ÒÝ ¹ Ú ÒÝ Ð ½ º Å Ú Ð Þ Ë Þ ÒØ Ø ÖÓÞÞ Ñ Þ ÁÒØ ÖÒ Ø ÐÓ Ð ØÖÙ Ø Ö Ø Þ ÖØ Ð Þ Öò ÒÒ ØÓÔÓÐ Ø ÐÑ ÖÒ ÐÐ ØÚ Ð ÙÐ Ò ÓÐÝ Ñ Ø Ø Ñ Ò Ð Ó Ò ÑÓ ÐÐ ÞÒ º ÔÖ Þ ÑÓ ÐÐ Ø Ø ÓÖ ÐÓѹ Ð ÑÞ Ò Ú ÖÙ Ó Ú Ý Ø Ñ Ó Ñ ÐÐ Ø Ò Ø º Å ÒØ Þ ÒØ Ð ÓÖÓÐ Ð ØòÒ Ò Ñ Ñò Þ Ò Ñ Ø Ö ÐÑ ¹ ÞÓ ÓÐ Ð Ò Þ ØØ Ó ÐÝ Ò Ð ÓÖ ÙÐÒ Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓ º Þ Ñ Ö Ñ Ö Ô ÓÐ Ø Ý Ð Þ Øº Ò Ö Ò Þ Ñ Ö Ð ÒØ ÓÑ ÔÓÒØÓ Ø Þ ÝÑ Ø Ñ Ö Ñ Ö Ú ÒÒ Þ ØÚ º Ì ÞÓ ÓÐ ¹ ÐÑ Ö ÞÓÐØ Ó Ý Þ Ö Ø Þ Ý Þ ÖÚ Þ Ø Ú Ý Ð Ö Þ Ý Ö Þò ØØ Ö Þ Ö Ð ØÐ Òº ÒÒ ÒÝ Ò Ö ÞÐ Ø Ò Ñ Ú Þ Ð Ù Ý Ñ Ý Ö Þ ¹ Ø Þ Ñ ÖØ Ï Ïº Ù Ð Þ Ø Ò Ý Ö ÞÐ Ø Ø Ñ ÐÝÖ Ð ÞØ Ø Ø Ø Ð ÞÞ Ð Ó Ý Ý Ð ÒÝÓÑ Ø Þ Ñ Ö Ø ÒÝÐ Ñ Ö ØØ Ð Þ Ø ¹ Ò º ÖÖ Ö Ö Ó Ý Ñ ÒØ ÒÒ Ð ØÖ Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓ Ó Ý Ò Ð Ò Ñ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø ÑÓ ÐÐØ Ú ÓÐØ º Þ Þ Ð Ò ÒÝ Ð ÒØ Ø ÑÙØ ØÓ Ö Ú Òº Ö ¹ Ð ÖØ µ ÑÓ ÐÐ Þ Þ Ð Ô ÑÓ ÐÐ Ñ ÐÝ Ø ½ ¹ Ò Ú ÓÐØ Ø Ñ Ö Ò Ð Ñ Ý Ö ÙØ Ø Ö Ð ÖØ¹Ä ÞÐ Ð ÖØ Ê ½ º Ã Ø ÓÒØÓ Ð Ñ Ú Òº Þ Ð Ó Ý Þ Ø m 0 Ö ÔÓÒØ ÓÞ Þ Ñ Ð Ú Ð ÔÓÒØÓ Ò ÓÞÞ ÑÓÒ Ù Ý ÒØ ÒØ Ýº Ñ Ó Ó Ý Ñ Ò Ò ÓØØ Þ Ñ Ð Ø Ð Ø ÓÖ Ò Ñ Ö Ö Ò Ð Ú Ó Ð Þ Ó Ý Ñ ÐÝ ÓÖ ÔÓÒØ ÓÞ Ô¹ ÓÐ Ò Þ Ú Ò Ú Ý Ò ÝÓ Ú Ð Þ Òò Ð Þ ÔÓÒØ Ó Þ Ñ Ú Ð Ý ¹ Ò Ò Ö ÒÝÓ º Î Ý ÒÒ Ú Ð Þ Òò Ó Ý Ý Þ i. Ö ÓÞ Ô ÓÐ p(i) = d(i)/ j d(j) ÞØ Ð Ò Ö ÔÖ Ö Ò Ò Ò Ú Þ µº ÐÑ Ð Ø ¹ Ð Þ ÑÙÐ Ð ÞÓÐØ Ó Ý Þ Ð ÑÓ ÐÐ Ú Ð Ò Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓØ Ö Ñ ÒÝ Þº Ð ÖØ ÓÐÝ Ñ Ø Ú Ø ÞÑ ÒÝ Ó Ý Ò Ó Ô ÓÐ Ø Ú Ò ÒÒ Þ ÓÐÝ Ñ Ò Ñ Ø Ð Þ Ö ¹ Ø¹Ö Ö Ð Ò µº Þ Ð Ñ ÖØ Ø ØØ ÑÓ ÐÐ ÒÒ Þ ÐØ Ð ÒÓ Ø Ú Ø º ¾

28 Ã Ú Ø ØØ ÑÓ ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ú Ø Ò Ö Ð Þ ÐÐ ÔÓØ ÓÞ Ô Ø Ñ Ò Ò Ð Ô Ò ÖÓÑ Ð Ø Þ Ð Ú Ð Ñ ÐÝ Ø ÖØ Ò ½ ½º p Ú Ð Þ Òò Ð Ý Ð Ð ÙÐ Ö Ò Ñ Ö Ð ÒÐ Ú ÔÓÒØÓ Þ Øغ Þ Ð Ý Ú Ú Ð ØÐ Ò Þ Öò Ò Ú Ð ÞØ Ý ÒÐ Ø ÐÓ ÞÐ Þ Ö ÒØ Ñ Ú ÑÓ ÐÐÒ Ð ÑÐ Ø ØØ p(i) Ú Ð Þ Òò Þ Ö ÒØ Ð Ò Ö ÔÖ Ö Ò Ú Ð Ú Ð ÞØ º ¾º q Ú Ð Þ Òò Ð Ý Ð Ñ ÞòÒ ÐÝ ØØ Þ Ð Ý Ú ÔÓÒØ Ø Ð ÞÓ ¹ Ó Ó Þ ÑÓ Þ Ö ÒØ Ð Ò Ö ÔÖ Ö Ò Ú Ð Ý Ñ Ð Ò Ð ØÖ Ý Ðº º 1 p q Ú Ð Þ Òò Ð Ý ÔÓÒØ Ð Ô Ô ÓÐ ÞÓ Ó ÔÖ ¹ Ö Ò Ú Ð ÞØ Ð Ò ÒÝ Ö ÓÞ Ñ ÒØ Þ Ý Þ Öò ÑÓ ÐÐ Òº Ò Ö Ð Þ Ä Ò Ö ÈÖ Ö Ò Äȵ ÑÓ ÐÐ ÄÈ ÑÓ ÐÐ Ò ÝÖ ÞØ Ð Ò Ö ÔÖ Ö Ò ÐØ Ð ÒÓ Ø ÒØ Ñ Ò Ò Ð Ð ÙÐ ÓÖ Þ i. ÔÓÒØ ÓÞ Ú Ð Ô ÓÐ Ú Ð Þ Òò p(i) = (d(i) β)/ j (d(j) β) ÓÐ β (,1) ÐÐ Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Öº Þ Þ ÖØ ÔÓÒØÓ ØÖ ÒÝ Ø ÒØ Ò Ñ Ð Ò ÝÓ ÓÞ Ô Ø Ú Ð Ò Ò Ñ Ó ÓÞ Þ ÑÓع Ø Ú Ð Ò Ø Ñ ÖØ Ð ÙØ Ý Ð ÞÒ ÓÐÝ Ò ÔÓÒØÓ Ú Ð Ø ÐÖ Ø ÞÒ Þ ÖØ Ý Ú Ð ÔÖ Ö ÐØ Ú ÐÒ º Å Ö ÞØ Ñ ÒØ Ú Ø ØØ ÑÓ ÐÐ Ò Ý ØØ Ñ Ò Ò Ö Ò p Ú Ð Þ Òò Ð Ø ÓÖ ÔÓÒØ Þ ØØ Ð ÙÐ Ð ÔÓÒØ ØÐ ÓÞ Ò Ð Ðº ÄÈ ÑÓ ÐÐ Ò ÞÓÒ Ò Ò Ñ ÞòÒÒ Ñ Ð Þ ÖØ ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò Ò ÝÓÒ ÓÒÐ q = 0 Ô Ö Ñ Ø Öò Ú Ø ØØ ÑÓ ÐÐ Þº ÁÒØ Ö Ø Ú ÖÓÛØ Á µ ÑÓ ÐÐ ÞØ ÑÓ ÐÐØ Þ ØØ Ò Þ Ë Ö Ñ Ò Ð Ó Ö ÔÖÓ Ù Ð Ö Ð ÓØØ ½ º Ý ÓÑ ÔÓÒØ ØØ ÑÓ ÐÐ Ò ÑÙØ Ø ØÓØØ Ð Ò Ö ÔÖ Ö Ò Ú Ð Ú ¹ Ð ÞØ Ñ Ó Ý Ñ ÐÝ Ö ÓÑ ÔÓÒØÓ ÓÞ Ô ÓÐ ÓÒº ÞÙØ Ò Ú ÞÓÒØ ÞÓ Ò ÓÑ ÔÓÒØÓ Ò Ñ ÐÝ Þ Þ Þ ÓÑ ÔÓÒØ Ð ÒØ ØÐ ÓÞÓØØ Þ ÒØ Ò Ú Ò Ð Ø Ñ ÓÑ ÔÓÒØÓ ÓÞ Ô ÓÐ Ò Ù Ý Ò Ý Ð Òº ÔÖ º Þ Ö Òغ ÒÒ Ñ Ý Ö Þ Ø Þ Ë Ö Ø Ò Þ Ó Ý Þ ÓÑ Ò ÐÐ Ô Ø Ò Ö Þ ¾

29 ÓÑ ÔÓÒØ ÐØ Ð Ö ÞØ ØØ ÓÖ ÐÑ Øº Þ ÖÞ Ú Ø Þ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ú Óй Ý ÔÓÒØ ¼º Ú Ð Þ Òò Ð Ô ÓÐ Ø ¾ ÐÐ ØÚ ¼º Ú Ð Þ Òò Ð ½ Ð Þº Ð Ø Ò Ø Ö ÓÑ ÔÓÒØ Þ Ð Þ Ý Ñ Ô Ø Ý Ð Ø ÙØ Ø Ò Ô Þ Ý Ö Ö ÓÑ ÔÓÒØ Ô Ø Ñ Ø Ð Øº º¾º ÑÓ ÐÐ Ø Ø ÞØ ØÙÐ ÓÒ Ý ÓÖ Ø Ò Þ Ð ÞØ Ò Þ Ò Ø Ò Ð Ø ÒÝ ÐØ ÄÈ Á ÑÓ ÐÐ Þ Ö ÒØ Ö Ó Ø Ò Ö ÐÒ º Å Ò ÖÓÑ ÑÓ ÐÐ Ð ÔÓÒØ Ö ÓØ Ò Ö ÐØÙÒ º Å ÒØ Ð ØÒ Ó Ù Þ Þ ÐØ ÐÙÒ Ñ ÖØ Ë Ö Ò Þ Ñ º ÞÙØ Ò Ñ Ò Ý Ö Ö Ñ Ö Ø Þ Ø ÖØ Ð Ð ÐÚ ÞÚ Ã Þ Ö Ø Þ Ð ÐÐ Þ Ø ÖØÓÑ ÒÝ º Þ Ö Þ ÖØ Ö ÑÓ Ø Ò¹ Ø Ð ÌÀ¹ ÒØ ØÖ ÓÐ µ Ú Ø ÓÞÙÒ º Þ ÖØ Ò Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ø ØÐ Ø Þ Ý Ø ÔÙ Ó ÓÒ Ð Ð º Ø Ð Þ Ø Ó Ð Ð Þ º Þ ØÓ Ð Ð ÓÐÚ ¹ Ø Ó Ý Ñ Ò ÖÓÑ Ø Ò ÐØ Ð Ò 4 9 Ö Ð Þ Þ Þ ÖØ Ñ Ð ØØ ÖÚ ÒÝ Ð Ð ØÐ Ò ØÙÐ ÓÒ Ú Ý È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º ÑÓ ÐÐ Ò Þ Ú ÞÓÒÝÐ Þò Ø ÖØÓÑ ÒÝÓÒ Ð Ð Ò ÓÞ Þ Á ÑÓ ÐÐÒ Ð Ú ÞÓÒØ Ò ÝÓÒ Ö Ø Ø Ò Ö ¼ Ð ØØ Ð Øº ÅÓ ÐÐ TH min TH max TH avg º ÄÈ ½ º Á º½ º Ø Ð Þ Øº Ã Þ ÖØ Ñ Ò ÑÙÑ Ñ Ü ÑÙÑ ØÐ ¼¹ ¼ ÙØ Ö Ñ ÒÝ Ð Ô Ò m = 50 ε = 0.01µº Ð Ñ TH avg ÖØ ÄÈ ÑÓ ÐÐÒ Ð ÓØØ Ú ÞÓÒØ Ö Ó Ò ÝÖ ¹ Þ Ö ½ ¹Ò Ð ÖØ Ø ÔØÙÒ º Ý ÞØ Ú ØØ Ý ÓÐÝ Ò Ø ÖÒ Ñ ÐÝ Ð ØØ Ò Ö ÐØ Ö Ó Ð Ø Ñ Ö ØÚ ÒÝ Ú ÒÝ ÐÓ ÞÐ Ò Ø ÒØ Ø º Þ ¹ Ð ØØ Ø ÖØÓÑ ÒÝÖ Ñ Ò Ò Ö ÓÒ Ý α Ð Ú Þ Ø Ñ ÐÝ Þ ÓÒÐ Ø Ð ÔÓØ Ð Ò Þ ÑÓ ÐÐ Þ Øغ ÐØ α¹ ØÐ Ð Þ Ö º Ø Ð Þ Ø Ò Ð Ø Ø º Ö Ñ Ò¹ Ð Ñ Þ ÖÖ Ð ÐÑ Ð Ø ØÓÒ Ð ØØ Ó Ý ÑÓ ÐÐ Ù Ò Þ α ÖØ ¾ Ö Ð ÐÐ Ð Ý Òº Þ Ò ÝÖ ÞØ Þ Ò Ò ÐÐ Ñ ÑÔ Ö Ù Ö Ñ ÒÝ Ò Ð Ñ ÖØ Ý Ø 1.92 Ö Ð ÖØ Ø ÔØÙÒ ¾

30 ØÐ Òغ ÄÈ Á ÑÓ ÐÐ Ö ØÙ ÓÑ ÙÒ Þ Ö ÒØ Ò Ñ ÐÐ Ö Ò Ð Þ Ö ÐÝ Ò ÐÑ Ð Ø Ö Ñ Òݺ ÅÓ ÐÐ α avg α σ ½º ¾ ¾ ¼º½ ¼ ÄÈ ½º ¼º¼ ¾ Á ½º¾ ½ ¼º¼ ½ º Ø Ð Þ Øº Þ x 15 Ó Þ ÑÓ Ö ÐØ α ÖØ ØÐ Þ Ö ¼¹ ¼ ÙØ Ö Ñ ÒÝ Ð Ô Ò m = 50 ε = 0.01µº º º Þ Ë Ö Å ÒØ ÑÐ Ø ØØ Þ Ë Ö ÐØ Ö Ô Þ Ö Ð ÙÐ Ò Ñ ÖØ Ö Ñ Ò Ô¹ Ò Ý ÒÝ ÑÙØ Ø ÓÞ º ÖÖ Ð Þ ØÖ Ú Ø ØØ ÑÓ ÐÐ Ð Ð q = 0 Ô Ö Ñ Ø ÖÖ Ð Ð ÒÒ Ö Ð Ñ ÖØ Þ Ð Ö Ø Ø Ò ÓÖ ÙÐ Ð Ó Ý Ý Ö Ô¹ ÓÐ ØÓØ Ñ ÞòÒØ ØÒ ÐØ Ð Ò Ò ÝÓÖ ÚÓÒ Ð Ø Ð Ø Ò Ñ Ö Ñ Ð Ú Ñ ÐÐ º ÓÖ Ú ÞÓÒØ ÄÈ ÑÓ ÐÐØ Ô Ù Ú Þ β = 0 Ô Ö Ñ Ø ÖÖ Ðº Þ Ð Þ Þ Ø Ò ÑÙÒ ÐØ Ø Ø ÞØ Ñ Þ Ö Ð Ñ Ú Þ Ð ØÓ Ø Ú ¹ ÞØ Ò ¾¼¼ º Ó Ø Ö Ë Ð Þ ØÓÒ ½ Ñ ÐÝ Ñ Ö Ò ÔÓÒØ Ò Ý Ö ÚÓÐغ Ã Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ò Ø Ò Ö ÞÐ Ø º Ø Ð Þ Ø Ò Ð Ø Ø º Ä Ø Ø Ó Ý Þ Ë Ö ÓØ Ò Ý Ð Þ x 7 ÖØ Ö Ø ÒØ Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ò Ð ØØ Þ α = Ñ º Ö Ò Ð Ø Ø º Ú Þ Ø ØØ Þ Þ Ð ØØ Ú Ý Þ x 15 ÖØ Ö Þ α = Ô Ö Ñ Ø Öò Ö ÐÐ Þ Ð Ó Òº Þ Þ Ò Ò Ú Ò ÓÖ Ñ Ö Ð ½ º Þ α Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ô Ò Þ Ë Ö Ð Ó Ý Þ Ø Þ Á ÑÓ ÐÐ Ð ÑÙØ Ø Þ Ò Þ Ý Ò Ö ÐØ Ö Ó Ö ÒÒ ØÐ Þ Þ ÑÐ Ø ØØ ¹ ÖØ Þ Ô Ø 4%¹Ó ÐØ Ö Ø Ð Òغ Þ Ò Ñ Ñ Ð Ô Þ Ò Þ Á ÑÓ ÐÐØ Þ ØØ Ò Þ Ë Þ ÒØ Ô Ð Ò ÐØ Ø Ð Þ ØØ Ñ Ò ÞÑÙ Ð Ô Ò Ø ÖÚ ÞØ º ÓÙ ÅÓÒ Ö Ò Þ Á ÑÓ ÐÐ Ñ Ð ÓØ ½ ÞØ ÑÙØ ØØ Ó Ý Þ Ë Ý Á Ö Þ ÝÒ Ú Þ ØØ Ö ¹ÐÙ Ð Ò Ò Ú Ð Ò Ñ Ý ÞÒ º Þ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Ö Ð Ú Ð ÞØ Ù Ð Ò ÝÓ Ó ÔÓÒØÓ Ø ÓÖ ¾

31 Ð Ø Ö ˆα ˆβ Çà ½ º¼¼¼¼ ½º ¾½ ½ º ¾ ½ ½¾º¼¼¼¼ ½º ¼¾ ½½º ¾ ½ º¼¼¼¼ ½º º ½ º¼¼¼¼ ½º º ½ ½ º¼¼¼¼ ½º º ¼ º¼¼¼¼ ½º ½ º ¼ º Ø Ð Þ Øº Þ Ö Ö Ñ ÒÝ Ò Ö ÞÐ Ø Þ Ë Ö ÓÒ m = 100 ε = 0.01µº 10 0 Histogram of degrees (AS) empirical values Pareto, alpha= relative frequency degree º Ö º Þ Ë Ö Ó Þ Ñ Ò ÞØÓ Ö Ñ ÐÓ ¹ÐÓ Ð Þ Ö Ò Þ α = 1.35 Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º ¼

32 Þ ØØ Þ Þ Ð Ø Ð Þ Ð Ñ ÒÒÝ Ú Ò Ñ Ø ÒÝÐ Ö Òº Ú Ð Ë Ö Ò Ð Þ Ò Ñ Ú Ý Þ ÔÓÒØÓ Ý ÐÙ ÓØ Ð ÓØÒ Þ ÒØ Ñ Ò Ý Þ Ú Ò ØÚ Ñ Ò Ý Ðº Þ Á ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ð ÞØÓØØ ÔÓÒØÓ Þ Ñ Ò Ú ÒÝ Ò ÝÓÒ ÓÒÐ Ú Ð Ë Ö Ù Ý Ò ÐÝ Ò Ú ÒÝ Þº º º Þ Ï Ï Ö Þ Ï Ïº Ù Ñ Ö Å Ý ÖÓÖ Þ Ð Ò ÝÓ Þ Ø ¹ Ð Øغ Ö Ò Þ Ö ÞÒ Ð Ð Ð Ñ Ö Ø Ý Ð ØÚ Ð Þ ØÓغ Þ Ë Ö ÓÞ ÓÒÐ Ò Þ Ï Ï Ö Ý ½ ¼ ¼ ÔÓÒØ Ö Þ Ö Ò ÐÐ Þ Ø Ñ Ú Þ ÐØÙ º Ö Þ Ö ÓØ Þ Ð Ö Ð Ú Ø Ú Ý Ý Ñ Ö Ð Ò ÙÐÚ Ú ØØ ÞÓÑ Þ Ø Ñ Þ ÞÓÑ Þ Ø Ø º ¾¹ Þ ÒØ ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ñ ØÙ Ù Ñ ÐÝ Ò Ñ ÐÝ Þ ÑÓ Ø Ò Ñ Ð ÒÝ µº Þ Ý ÔÓØØ Ï Ï Ö Þ Ö Ò Ð Ø Ö ÓÐ ÓØ Ø Ô ÞØ ÐØÙÒ º Ð Þ Ö Þ ÐÐ Þ Ð Ø Ö Ñ Ð Ô Ò Ñ Ö Ð Ð Ð ¼º Þ º Ö Ò Ð Ø Þ Ñ Ö Ó Þ Ñ Ò ÞØÓ Ö Ñ Ø ÑÙØ Ø ÐÓ ¹ÐÓ Ð Ð Þ Ö ÑÑÓÒº Þ ÐÓ ÞÐ Ð Ò Ú Ú Ð Ò ÐÐ Þ ØÚ ÒÝ Ú ÒÝ ÐÓ ÞÐ Ö Ý Ò ÚÓÒ Ðµ º ¼ Ö Ð Ý Ø Ö Ø Ð Ø ØÙÒ Þ Ö Ò Þ Ò Ð ÖØ Ö Ñ Þ ÐÑ Ö Ú Ð Ý ÓÖ Þ ÐÚ ÖØØ Ðº Å Ð Ô Ñ ÓÒ Ø Ö Ð ØØ Ö Þ Ý Ý Ò ÐÓ ¹ÐÓ Ö Ò Ñ ÞØ Ð ÒØ Ó Ý Þ ØÚ ÒÝ Ú ÒÝ Ð Ñ Ô Ö Ñ Ø Ö Ðº Þ α Ô Ð ÙÐ ÞØÓ Ò ØØ Ñ ÖØ ÚÓÒ Ð Ú Ð Øº Þ Ö Ø Ú Ð Ú Ó ÞØ ÔÓÒØØ Ð ÙØØ ØÙ Ñ Ú Ð Ö Ð Ò Ýº Þ ÖØ ÔÓØØ Ö Ñ ÒÝ ÐØ Ø Ð ÔÓÒØ ØÐ Ò ÓÖ Ò Ðº º Ø Ð Þ Ø Ò Ø Ð Ð Ø Þ Ö Ñ ÒÝ Ý Ö ÞÐ Ø º Ä Ø Ø Ó Ý ½¹ Ø ÔØÙÒ Ð Ø ÖÒ Ð ØØ Þ α = º Ð Ø Ö ˆα ˆβ Çà ½ º¼¼¼¼ ½º ¾¼¾ ½ º ½ º¼¼¼¼ ½º ½ º ¾ ½ ½º¼¼¼¼ ½º ¼º ¼ ½ º¼¼¼¼ ½º º ¼ ¼ º¼¼¼¼ ½º¾½ º ½ ¼ º Ø Ð Þ Øº Þ Ö Ö Ñ ÒÝ Ò Ö ÞÐ Ø Þ Ï Ï Ö ÓÒ m = 20 ε = 0.01µº ½

33 10 0 Histogram of degrees (iwiw) empirical values Pareto, alpha= relative frequency degree º Ö º Þ Ï Ï Ö Ó Þ Ñ Ò ÞØÓ Ö Ñ ÐÓ ¹ÐÓ Ð Þ Ö Ò Þ α = Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º À Þ ÖØ Ö ÖÙÒ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ø ÐÐ ÞØ Ò ÓÖ Ò Ñ Þ¹ Ò Ð Ø Ù Þ ÅÄ Ð Ø Ù Ý Ò Ý Ú Ð α¹ò Ð Ú Ð ÖØ Ø ÔÒ Ò Ò Ý Ó Þ ÑÓ ÒÝ Ñ Øغ Î ÞÓÒØ Þ ÄË Ð ÞÒ Ð Ø º Þ Ù Ý Ò ÞØÓ Ö ÑÖ ÐÐ ÞØ Ö Ø Þ Ð Ñ ÒØ Ñ Ö Ø º º Ö Ò Ð Ø Ø Ó Ý Þ α = Ô Ö Ñ Ø Öò ÐÓ ÞÐ Ñ Ð Ð Ñ ÖØ Ò ÐÐ Þ ¹ ÔÓÒØÓ Ö º Þ Ñ Ð Ô Ò Ð Ö 1.477¹ Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ô Ø ÞØ ÑÙØ Ø Ó Ý Þ ¼¹ ¼¹Ò Ð Ó Þ Ñ ÔÓÒØÓ Ñ ÔÔ Ú Ð Ò Ñ ÒØ Ò ÝÓ Ó Þ Ñ º ÞØ Ó Ý Ó Þ Ñ ÔÓÒØÓ Ð Ú Ú Ò Ú ÖØÒ Ð Ò Ñ Ñ Ý Ö ÞÞ Ñ Ö Þ Ö Ú Ò Ñ Þ Ö º Í Ý Ò Þ Ð Ö ÙØÓÐ Þ ÒØ Ò Ú ØØ ÔÓÒØÓ Ò Ñ Ò Ò Ñ Ò Ò Ð Ö Þ Ö ÐÚ Ú Ñ ÓÖ Ð ÐÐ Ö Ý ÐÚ Ð Ó Þ Ñ ÔÓÒØÓ Ò Ó Ð Ý ÓÖ Ò ÐÐ Ò Ð ÒÒ Ö Þ Ö Ò Ñ ÒØ Ø Ð Ö Òº Ã Ö Ø Ø Ó Ý Ñ Ó ÓÞ Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Øº Þ Ø Ð Ò Þ ÖØ Ð Ø Ñ ÖØ Ñ ÓÖ Ý Ñ Ö ØÐ ÓÞ Þ Ï Ï¹ Þ ÓÖ Ý Þ Ø Þ Ò ÒØ ÒÞ Ú Ò Ð Þ Ô ÓÐ ØÓ Ø Ô Ø Ò º Ò Þ Ø Þ Ò ¾

34 Histogram of low degrees (iwiw) empirical values Pareto, alpha= relative frequency degree º Ö º Þ Ï Ï Ö ¼¹Ò Ð Ó Þ Ñ Ò ÞØÓ Ö Ñ Ý ÒÐ Ø Ð Þ Ö Ò Ö ÐÐ ÞØ ØØ α = Ô Ö Ñ Ø Öò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ º Ð ÙØ Ø Ö Ø Ø Ý ØÐ ÓÞ ÙØ Ò Ú Ú Ð Ñ Ö Ó Ô ÓÐ Ø Ú Òº Ö ØÓ ÙØ Ò ÙØ Ø ÐØ Ð Ò Ý Ø ÖØ Ò Ó Ý Þ Ñ Ö Þ ØÒ Þ Þ Ñ Ö Ò Þ Ñ Ö ÞØ Ó ÞÓÖ Þ Ð Ó Ø Ñ Ö Þ Ò Ý Ø Ö ¹ Ð Ú Ð º ÓÖ ÖØ Ð Ò Ó Ô ÓÐ ØÖ Þ ÖØ Ø Ø Ú Ý Ð Ñ ÓÐ Ø Ý Ò Ý Ó Þ Ñ ÔÓÒØ Ð Ø Ý Ú ÞÓÒÝÐ ÒÒÝ Ò Ò Ý Ó Þ Ñ Ú Ú Ð Øº Ð ÓÐÝ Ð Þ ÐÚ ÖØÒ Ð Ú Ð Þ Ó Þ Ñ ÔÓÒغ Þ Ò Þ Ø Þ ÙØ Ò ÞÓÒ Ò Ð Ó Ý Ð Ò Ð Ø Ð Ø Ò Þ Ý Ò ÝÓ Ö Ò Ð Ð Þ Ú Ð º Þ Ø ÖÑ Þ Ø Ò Ý ÙÖ ÞØ Ù ÐÚ Ø ØÓÚ Þ ÑÙÐ Þ ÒØ ÑÐ Ø ØØ Ø Ó ÐÝ Ò Ð ÒØ Ö º

35 º Þ Ð Þ ÐØ ÔÖÓ Ö ÑÓ ÑÙØ Ø ÓÐ ÓÞ Ø ÓÞ Þ Ø ØØ ºÑ ÐÓ Å ØÐ ¹ Ò ÙØØ Ø Ø ÐÐ Ò Ð Ó Ú Ø ÓÔÓÖØÖ Ó ÞØ Ø º Þ Ý ÓÔÓÖØ Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ø Ú Ð Ø Ñ º Þ Ñ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÒØ Ô Ñ Ñ Ò Ø Ø Ñ Ò Ø Ø Ú Ý Ö Ú Ý Ú Þ Ø Ö ÖØ ÒØ ØÓÚ º Ñ ÓÔÓÖØ ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ð ÖØ ÖÐ Ø ¹ Ø ÙØÓÑ Ø Þ Ð Þ Ò Ò Ò ÑÑ ÐÝ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ý Ú Þ Ø Ö ÖØ Ý Ý Þ Öò Ò ÙØØ Ø Ø º Ñ ÒÒÝ Ò Þ Ò Ô Ö Ñ Ø Ö ÐÐ Ø Ö Ð ÒÒ Þ ÞØ ÐÓ Þ Ö ÞØ Ú Ð Ð Ø Ñ ÓÐ Ò º Å Ò Ý Ð ÓÞ Ý Ö Ú ÓÑÑ ÒØ Ø ÖØÓÞ Ð Ö ÐÒ Þ ØÐ Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Þ Ø Ö Ö¹ Ø º Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ¾ØºÑ ÑÐ ºÑ Ð ºÑ ÑÐ ºÑ ÑÓ ºÑ ØÑ ºÑ ØÖ ÓÐ Ö ºÑ ØÖ ÓÐ Ö ½ºÑ ØÖ ÓÐ Ö ÐºÑ ØÖ ÓÐ Ö ÔºÑ χ 2 ¹ÔÖ Ý Ñ ÓØØ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö ÓÖÖ ÐØ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ú Ð Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ð ÑÓÑ ÒØÙÑ¹Ñ Þ ÖÖ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ð ÓÒ ØÓØØ ÑÓÑ ÒØÙÑ Ñ Þ ÖÖ Ð Þ Ö Ð Ô Ú ÖÞ µ Þ Ö ½ Ø Ñ Ò Ú ÖÞ µ Þ Ö ÐÖ Ð Þ Ú Þ Ö Ø Ð Ø Ð Þ Ø Ö Ú Ðµ à ÖÐ Ø Ñ Ö ºÑ Ö Ô Ø ØºÑ Ñ Ü ÒºÑ Ø Ø ÐÔ ºÑ Ø Ø Ø ºÑ ØÑ Ø ØºÑ ÚÓ ÔºÑ Û ÛºÑ ÖÐ Ø Þ Ë Ö ÓÒ º Þ Øµ ¼¹ ¼ Ò Ö ÐØ Ö Ø Ø ÞØ º¾ Þ Øµ Ý ÒÐ Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ú Ö º Þ Øµ α Ð Þ ÓÒÐ Ø ¾º Þ Øµ β Ð Þ ÓÒÐ Ø ¾º Þ Øµ ÓÒ ØÓØØ ÑÓѺ Ñ Þ Ö ÔØ ¾º¾º¾ Þ Øµ ÖÐ Ø ÎÓÁÈ ØÓ ÓÒ º Þ Øµ ÖÐ Ø Þ Ï Ï Ö ÓÒ º Þ Øµ

36 º Þ Ó Ð Ð ÓÒ Ð Þ Ò ÓÐ ÓÞ Ø Ò Ö ÞÐ Ø Ò Ñ Ú Þ ÐØ Ñ Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓ Ó ¹ Þ Ñ ÐÓ ÞÐ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ø Ð Ö Ø Ñ Þ Ö Øº Ð Þ Ö ÑÙØ ØØ Ñ Þ ÐØ Ö¹ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ñ Þ Ö Ø È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ö Ð Ò Ö Ö Ö Þ ÑÓÑ Ò¹ ØÙÑ Ñ Þ Ö Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ñ Þ Öµº Þ Ñ ÐÐ ØØ ÑÙØ Ø Ö Ö ÐØ Ý Ú Ñ ÖØ Ð Ñ Þ ÖØ Ñ ÐÝ ÞÓÒÝÓ ÓÒ ØÓØØ ÑÓÑ ÒØÙÑÓ ÐÓ ÞÐ ¹ Ö Ø Ö Þ Ð ØÙÐ ÓÒ Ò Ð ÔÙк Å Ö Ö Ñ ÒÝ ÞÓÐ Ó Ý Þ Ò Ð Ñ Þ Ö Þ Ð Ë Ò ÂÓ Ò ÓÒ ÐØ Ð ¹ Ò Ð Ú Þ Ø ØØ ÅÄ Ú Ý ÓÖÖ ÐØ Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ð Ð ÓÔØ Ñ Ð º Å Ò ÞÓÒ ÐØ Ð Ñ ÐÓ ÞÐ Ó Ø Ò Ö Ñ Ñ ÓÒØÓÐÒ ÑÙØ ØÓØØ ÌÅ Ñ Þ Ö ÞÒ Ð Ø Ø Ð Ò Ò Ò Þ Ø Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ð ÓÓ Ý ÒÐ Ø Ò Þ Ò Ú Ý ÒÙÑ Ö Ù Ò Ð ÒÒ Ñ ÓÐ Ø º Þ ÌÅ Ñ Þ Ö Ð ÐÑ Þ ÓÖ Ö ÐØ Ó Ý ÓÒ Ø ÔÓÒØÓ Ø Ñ Ù Ò Ñ ÒØ Ð Ñ Ò Ö Ñ Ð ÐÒ ÓÒ Ø ÙØ Ò Ð ÐÑ ÞÓØØ Ö Ö Þ ÓÖ ÔÓÒØÓ Ò Þ Ð ¼¹ ¼±¹ Ø Ö Ñ Ý Ð Ñ Ú ÒÒ º ÌÅ Ñ Þ Ö ÑÙØ ØÓØØ ÓÞ ÓÒÐ Ñ ÓÒ Ð ÐÑ Þ Ø Ñ Ò Ò ÓÐÝ Ò ÐÓ ÞÐ Ö Ñ ÐÝ Ö ¹ Ø Ö Þ Ð Ý ÒÐ Ø Ð Ò Ö Ö Ö Þ Ö Ú Þ Ú Þ Ø Ø º ÌÓÚ ÙØ Ø Ú Ý ÐØ ¹ Ð ÒÓ ØÓØØ Ö Ö Þ Þ Þ ÓÐÝ Ò ÐÓ ÞÐ Ó Ø Ö ÓÐ Þ Ò Ñ Ð Ø º ÁÐÐ Þ Ú Þ Ð ØÖ ÑÙØ ØØ Ñ Ý Þ Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ñ ÐÝ Ñ Ø ¹ Ð Ð Ó Ý Ñ ÐÝ ÖØ Ð ØØ Ø ÒØ Ø Ú Þ ÐØ Ñ ÒØ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ò º Þ Ð Ò Þ Ñ Ó Ø Ó Ð ÙØØ Ø Ø Ñ Ð Ò ÒÝ Ñ ÓÐ Ø Ú Ð ÞØÓع ØÙ º ÒÒ Ø Ú Ð Ñ Ú Þ ÐØÙ ÎÓÁÈ Ú Ó Ò Þ Ø Ú Ô Ù Ó Ó Þ Øº Ã Ö ÐØ Ó Ý Ñ ÖØ Ö Ð ÐÐ Þ Þ È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ α = 2.18 Ô ¹ Ö Ñ Ø ÖÖ Ðº Æ Ô Ò Ò È Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ Ð ØÐ Ò Ö Ó Ú Þ Ð Ø ÓÖ Ö Ð Ð Ð ¹ Ý Ö Òº Þ ÖØ Ø Ø ÞØ Ñ Þ Ö Ò Ð Ð ÐÑ Þ Ø Ö Ð Ø Þ Ò Ö Ó Ú Þ Ð Ø º ÒÒ Ý Ò Ñ Ú Þ ÐØ Ñ Ò ÒÝ Ö Ð ÑÓ ÐÐØ ÄÈ Á µ Þ ÓÒÐ ØÓØØ Ñ Ø Ú Ð Ð Þ ØÓ Ð ÔÓÒØÓ Ò Þ Ë Þ Ï Ï Ö Ðº Þ Ò Ú Þ Ð ØÓ ÓÖ Ò Ö ÐØ Ó Ý Þ Á ÑÓ ÐÐ Ú Ð Ò ÐÐ Þ Þ Ë Ö Ö Ñ Ò ØØ Ò Þ Ð Þ ¹½¼¹ Ò Ý Ö Ò ò Ð ØØ Þ α Ô Ö Ñ Ø Ö ÖØ 1.3 Ö Ð Ú Òº Þ Ï Ï Ð Þ ØÖ Ú ÞÓÒØ Ý ÒØ ÑÓ ÐÐ Ñ ÐÐ Þ Þ Ò Ý Ú ¹ ÞÓÒÝÐ Ñ Ó Þ ÑÒ Ð Ð Ú Ø Ö Ù Ý Ò Ø Ö ÞÖ ÓÒØ Þ ÖØ Ø ÖØÓÑ ÒÝغ

37 Ø Ö Ð ØØ Ð ØØ ØÚ ÒÝ Ú ÒÝ Ð Þ ÐÓ ÞÐ Ñ ¹Ñ ÜÔÓÒ Ò¹ к ÐØ Ø Ð Þ Ñ Þ Ö ÒØ Þ Ï Ï Ö Ð ÓÖ Ñ Þ ÑÔÓÒØÓ Þ Ö Ô Ø Ø Þ Ò Ñ ÒØ Ø Ð Þ ØÒ Ðº Ì ÖÑ Þ Ø Ò Ð ØÐ Ò Ð Þ ØÓ Ø Ó Ñ Þ ÑÔÓÒØ Ð Ô Ò Ð Ø Ú Þ ÐÒ Þ Þ Ð Ò ÝÓÒ Ó Ø Ñ Ö ÓÐ ÓÞØ ÙØ Ø º ÓÐ ÓÞ ØÓÑ Ò È ¹ Ö ØÓ ÐÓ ÞÐ ÐÐ ÞØ Ö ÐÝ ÞØ Ñ Ò ÐÝØ Ñ ÐÝ Ú Ð Ñ ÒÝ Ñ Þ Ö ÒØ Ò Ö Ð Ø ÚÓÐغ Ê Ñ Ð Ñ Ó Ý Þ Ò Þ Þ Ø Ú Ð Ò Ð ¹ ØÐ Ò Ð Þ ØÓ Ñ Ö ÞÐ Ø Ñ Ñ Ö Ö Ñ ÒÝ Ð º

38 º ËØ Ø ÞØ ÑÐ ÞØ Ø Ý X Ú Ð Þ Òò ØØ ÖÚ ÐØ Ò Ñ Ý Ð Ø Ú Þ Ò º ÓÖ Ø Ø ÞØ Ñ ÒØ Ð ØØ ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ X 1,X 2,... Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÓÖÓÞ Ø Ø ÖØ ÓÐ Þ X i Ú Ð Þ Òò Ú ÐØÓÞ ÐÓ ÞÐ Ñ Ý Þ Þ ØØ ÖÚ ÐØÓÞ ¹ Ú Ðº Ñ Ý Ð Ý ÓÒ Ö Ø Ö Ð Þ Ø x 1,x 2,... Ð Ð º Ñ ÒØ Ð Ñ Ý T(X 1,...,X n ) Ú ÒÝ Ø Ø Ø ÞØ Ò Ò Ú ÞÞ º Ð Ô Ø Ø ÞØ Å ÒØ ØÐ ÑÔ Ö Ù Þ Ö Ò ÝÞ Ø X = 1 n n i=1 X i S 2 = 1 n n (X i X) 2 i=1 ÃÓÖÖ ÐØ ÑÔ Ö Ù Þ Ö Ò ÝÞ Ø S 2 = ù ÑÔ Ö Ù ÑÓÑ ÒØÙÑ n n 1 S2 = 1 n 1 n n (X i X) 2 i=1 M k = 1 n i=1 X k i Ð ÐÑ Ð Ø ÅÓ Ø ÐØ Þ Ó Ý ØØ ÖÚ ÐØÓÞ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò θ Ô Ö Ñ Ø ÖÖ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Þ Ø ÐÓ ÞÐ Ð Ð Þ ÖÑ Þ º ½º Ò º Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ Ñ ÒØ Ð Ñ Ý ØØ òöò Ú ÒÝ Ø Þ Ö Ø Ø Ò ÐÝ Ú ÒÝ Øµ Ð ÒØ º n L θ (x) = f θ (x i ) i=1

39 ¾º Ò º T(X) Ø Ø ÞØ Ð θ Ô Ö Ñ Ø ÖÖ Þ f θ (x T(X) = t) = { Lθ (x) fθ T (t), T(X) = t, 0, Ð Ò Ò ÐØ Ø Ð òöò Ú ÒÝ Ò Ñ θ¹ø Ð ÓÐ fθ T (t) Ð Ð T(X) Ø Ø ÞØ òöò¹ Ú ÒÝ Ø t ÐÝ Ò L θ (x) Ô Ñ ÒØ Ð Ð ÓÓ ¹ Ú ÒÝ Øº Þ Ò ÓÐÝØÓÒÓ Ø Ò ÖÚ ÒÝ º Þ Ö Ø ÐÓ ÞÐ Ö ÓÒÐ òöò ¹ Ú ÒÝ ÐÝ ØØ ÐÝ Ú ÒÒÝ Ðº º Ò º T Ø Ø ÞØ Ø Ð E(g(T)) = 0, θ = g = 0 Ñ Ò Ñ Ñ Ò Ò ØØ Î Ý Ø Ð Ø Ø ÞØ Ò Þ ÞÓÒÓ Ò ¼ Ú ÒÝ Ð Þ ¼ Ú Ö Ø ÖØ òº Þ Ð Ø Ð Ó ÐÑ ØÙÐ ÓÒ ÔÔ Ò T Ø Ø ÞØ Ò θ Ô ¹ Ö Ñ Ø ÖÖ ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò ÓÖÑ ¹Ñ ÖÞ Ø Þ º Ñ Þ Ð Ø Ø ÞØ Ñ ÒØ Ð Ñ Ð Ñ Ò Ò θ¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ Ò ÓÖÑ Ø Ñ Ö Þ Ø Ð Ø Ø ÞØ ÑÑ ÐÝ Ò ÓÐÝ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ò Ñ Ö Þ Ñ Ñ Ò Ñ θ¹ö ÚÓÒ Ø ÓÞ º Þ Ð Ø Ø ÞØ Þ ØØ Ú Þ Ø Ø Ý Ö Þ Ò Ö Ò Þ Ò ÓÖÑ ¹ Þ Ó Þ ÑÔÓÒØ Ð Ô Ò T 1 T 2 ¹Ò Ð Ö Ò ÐØ Ø Ø ÞØ Ð Ø Þ ν Ú ÒÝ Ó Ý T 1 = ν(t 2 )º º Ò º T Ø Ø ÞØ Ñ Ò Ñ Ð Ð Ð Ö Ò ÐØ Ø Ø ÞØ Ö¹ Ñ ÐÝ Ñ Ð Ø Ø ÞØ Ò º ¾º Ì Ø Ðº À T Ð Ø Ø ÞØ Ø Ð ÓÖ Ñ Ò Ñ Ð Ð º ÅÓ Ø θ Ô Ö Ñ Ø ÖØ Ú Ý ÒÒ Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ψ(θ) Ú ÒÝ Ø Þ Ö ØÒ Ò ÐÒ Þ X = (X 1,...,X n ) ØÐ Ò ÞÓÒÓ ÐÓ ÞÐ Ñ ÒØ Ð Ô Ò ÓÒ ØÖÙ ÐØ T(X) Ø Ø ÞØ Ø Ú Ðº º Ò º T(X) ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð ψ(θ)¹ö E(T(X)) = ψ(θ), θ

40 º Ò º Ä Ý Ò T 1 T 2 ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð θ¹ö Ú Ý Ú Ð Ñ ÐÝ Ò ψ(θ)¹ö µº T 1 Ø Ó T 2 ¹Ò Ð D 2 (T 1 ) D 2 (T 2 ), θ Ð Ð Ý θ 0 Ø Ò Ø ÖÓÞÓØØ Ý ÒÐ ØÐ Ò Ø Ð Ðº º Ò º Ý ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Ø Ó ÖÑ ÐÝ Ñ ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò Ð Ò Ð Ø Ó º º Ì Ø Ð Ä Ñ ÒÒ¹Ë µº À T Ð Ø Ð ØÓÖÞ Ø ØÐ Ò ÓÖ Ø Ó º Þ Ø Ø Ð Ê Ó¹ Ð Û ÐйÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¹Ø Ø Ð Ú Ø ÞÑ ÒÝ ÙØ ÞÓÒÝ Ø Ñ Ø Ð Ð Ø ¹ Òº

41 À Ú Ø ÓÞ Ó ½ Ö º¹Äº Ð ÖØ Êº Ñ Ö Ò Ó Ë Ð Ò Ò Ê Ò ÓÑ Æ ØÛÓÖ Ë Ò ¾ ¼ ¹ ½¾ ½ µº ¾ Æ ÛÑ Ò Åº º º ÈÓÛ Ö¹Ð Û È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ Ò Ô ³ Ð Û ÓÒØ ÑÔÓ¹ Ö ÖÝ È Ý ¾ ¹ ½ ¾¼¼ µº ÓÐ Ø Ò Åº ĺ Ø Ðº ÈÖÓ Ð Ñ Û Ø ØØ Ò ØÓ Ø ÈÓÛ Ö¹Ä Û ØÖ ÙØ ÓÒ Ì ÙÖÓÔ Ò È Ý Ð ÂÓÙÖÒ Ð ½ ¾ ¹¾ ¾¼¼ µº ÓÐРź ÃÖ ÑÐ º ËØ Ø ÞØ Ú Ø ÞØ Ø ÐÑ Ð Ø ÌÝÔÓØ Ü Ù Ô Ø ¾¼¼ µº Ï Ø Ò º Ϻ Ä Ø ËÕÙ Ö ØØ Ò ÈÓÛ Ö Ä Û Å Ø ÏÓÖÐ ØØÔ»» Ñ Ø ÛÓÖÐ ºÛÓÐ Ö ÑºÓÑ»Ä ØËÕÙ Ö ØØ Ò ÈÓÛ ÖÄ Ûº ØÑÐ Å Ð Àº º Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ Å ØÖ ½ ½¾ ¹½ ¾ ½ ¼µº Ë Ò Ëº ú ÂÓ Ò ÓÒ º ź Ø ÙÒ Ø Ñ ØÓÖ ÓÖ Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó ØÛÓ¹Ô Ö Ñ Ø Ö È Ö ØÓ ØÖ ÙØ ÓÒ Å ØÖ ½ ¹ ½ µº Ï Ô ÓÒØÖ ÙØÓÖ Ê Ó Ð Û ÐÐ Ø ÓÖ Ñ Ï Ô Ì Ö Òݹ ÐÓÔ ØØÔ»» ÒºÛ Ô ºÓÖ»Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Ø ÓÖ Ñ ÐÒÞ Ð Ïº Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙÒ Ø ÑÓÑ ÒØ Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÑ ØÖ ÙØ ÓÒ Ñ Ð Å Ø Ñ Ø Ð ËØ Ø Ø Ò ÈÖÓ Ð ØÝ Ì ÓÖÝ ¹ ½ µº ½¼ À Ñ Ò º º Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ù Ý ÆÓÖÑ Ð Ò ÍÒ ÓÖÑ ØÖ Ù¹ Ø ÓÒ ËØÙ Ë ÒØ Ò Ö ÙÑ Å Ø Ñ Ø ÖÙÑ ÀÙÒ Ö ¾ ¾ ¹¾ ½ µº ½½ À Ñ Ò º º ÐÒÞ Ð Ïº Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÍÒ Ú Ö Ø ÓÒØ ÒÓ٠ع Ö ÙØ ÓÒ ËØÙ Ë ÒØ Ò Ö ÙÑ Å Ø Ñ Ø ÀÙÒ Ö ¹½½ ¾¼¼½µº ½¾ Ò Ìº º ËÓÒ ÓÐÝ º ÅÓÐÒ Ö Ëº Ö Ø Ð Ò ÐÝ Ò ÅÓ Ð Ò Ó ÎÓÁÈ ÌÖ ½½Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Æ ØÛÓÖ ËØÖ Ø Ý Ò ÈÐ ÒÒ Ò ËÝÑÔÓ ÙÑ ¾¼¼ µº ¼

42 ½ Ð ÖØ Êº Ö ¹Äº ËØ Ø Ø Ð Å Ò Ó ÓÑÔÐ Ü Æ ØÛÓÖ Ê Ú Û Ó ÅÓ ÖÒ È Ý ¾¼¼¾µº ½ Ð ÖØ Êº Ö ¹Äº ÌÓÔÓÐÓ Ý Ó ÚÓÐÚ Ò Æ ØÛÓÖ ÄÓ Ð Ú ÒØ Ò ÍÒ Ú Ö Ð ØÝ È Ý Ð Ê Ú Û Ä ØØ Ö ¾ ¾¼¼¼µº ½ ÐÓÙØ Ó Åº ÐÓÙØ Ó Èº ÐÓÙØ Ó º ÇÒ ÈÓÛ Ö¹Ä Û Ê Ð Ø ÓÒ Ô Ó Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÌÓÔÓÐÓ Ý Å ËÁ ¹ ÇÅÅ ³ ½ µ ½ Ó٠˺ ÅÓÒ Ö Ò Êº º ÌÓÛ Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý ¹ Ø ÁÒØ Ö Ø Ú ÖÓÛØ ÑÓ Ð ÈÖÓº Ó Ø ½ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Ì Ð ØÖ ÓÒ Ö ¾¼¼ µº ½ Ì Á Ë Ê Ð Ø ÓÒ Ô Ø Ø ¾¼¼ º½¼º¼¾º ØØÔ»»ÛÛÛº ºÓÖ» Ø» Ø Ú» ¹Ö Ð Ø ÓÒ Ô» ½