a 1 b 1 +a 2 b a n b n j=1 i=1 b 1 b 2 b 3... b n a 1... a 2... a 3...

Átírás

1 ÚÞØ ÃÐÒÞ ÔÖÓÐÑ Ò ÝÖÒ ØÐ ÐÓÞØÙÒ 1 b b n b n Ð ÞÐ ÐÐØÚ ÚØÐÒ ÓÖ ÚÝ ÒØÖ Ð Ð ÐØÐ ÒÓ Ø ÙÐº Þ ÐÝÒ Þ ØÐØ ÚÝ Ð ÓÒØÓ ÐØ ÒÒ Ý ÞÒÓ ÞÞØ Þ Ð¹Ð ØÖÒÞ Ø Þ ÒÒ ÚØÞÑÒÝÒØ ÝÒ¹ ÐØÐÒ Ø ÞÖØÒÑ ÑÙØØÒº Ý ÔÐ ØÐ ÐØÒØÚ ÒÑ ØÖ ÒÝÓÒ ÓÒØÓ ÒÐÞ Ð ÐÐÑÞ ÓÖ ÐÝ ÒÝ Ò ÒÑ ÖÓ Þ Ð ØÖÒ¹ Þ Ò ÑÒØ Ð Ö ÞÓÖÞØØÖØ ØÖÒ ÞÓÖÑ Ò ÐÒ Ö ÐÖ ÑÞ¹ ÐØ ÖÐ Ñº Ñ ÞÖ ÓÖ ÞÒ ÐØ Þ Þ ØÒÝÞ ÓÖÓÞØÖÐ Þ i b i ÓÖÓÞØÓÖÐ ÖÒÐÞÒ ÞÓÒÝÓ ÒÓÖÑ Ð ÑÖ ÚÝ ÐÐ ÐÒ ØÙÙ ÔÐ ÙÐ Ý Ö ÞÐØ ÞØº ÓÖ Ò ÞÒ ÐÒ ÓÓÑ ÐÐ Ø ÐÐØÚ ÒÓÑ Ð ÝØØØ¹ Øº ÐÔÚØ ØÙÐÓÒ ØòÒ ÞÓÐÐ ØÐ ÐØ ÔÐ ÙÐ ÓÒÐ º ÃÒÙØ Þ ÑØÔÔÖÓÖÑÓÞ ÑòÚ ÞØ Ñò Ú Ð ÒÝÚÒ Ð Ø¹ ØÒº Áº ÃØ ÞÓÒÓ ÃÞ ÐÐ Ý Ð ÞÒÓ ØÙÐÓÒ ÚÐ ÑÐÝØ Þ Þ¹ Þ Ð ÖÐØ Ò ÒÚÞÒº Þ Þ ÞÓÒÓ ÞÓÒÝÓ ØÔÙ ØØÒÝÞ ÞÓÖÞØÓ ÞÒ Þ Ý ØÒÝÞÐ ÞØØ Ö ÞÐØ ÞÐ ÚÐ Ô¹ ÓÐØ Ø Þ º ÄÝÒ i b i ÚÐ Þ ÑÓ i = 1,2,...,n ÞØ Ð Þ i b j Ð ÞÓÖÞØÓ S ÞØ ÓÐ 1 i j nº Þ Þ ÞÖÞØ Þ Ö Ò Ð ØØ S Þ Ö Ò x¹ ÞÐ ÑÐÐØ Þ ØÐÐ Þ ÐØØ ÐÚ ÑÞ ÓÖ Ò Ó ÞÐÓÔ Ò ÞÐÒ ÐÐ Þ ÑÓ ÞÓÖÞØ Ò Þº ÓÖ i n i b j = b j i, ½µ ÞÞ Þ ÞÞ ÓÖÖÒ Ð ÖÐØ ÑÞÒ Ú ÐØÓÞÒ Ð ÞÞ Ø Öº i=j b 1 b 2 b 3... b n º º º º º º º n º º º ½

2 Þ ½µ ÞÓÒÓ ÑÐØ Ò ÒÝÐÚ ÒÚÐ ÞÓÒÝØ ÐÓÐÚ Ø Þ Ö ÖÐ Ð ÓÐÐÓÒ ÓÖÓÒÒØ Ó ÓÐÐÓÒ Ô Ó ÞÐÓÔÓÒÒØ ÐÚ Ù Þ Þ S Þ ØØº Þ ½µ ÞÓÒÓ Ý ÞÖò ÐÐÒÖ ÖÒÚÐ ÞÒÓ º ÐØº ÂÐÐ Q(n) Þ n¹òð ÒÑ ÒÝÓ Þ ÑÓ ÒÝÞØ ÞØº ÖÙ Ð Þ ÖØ ÐÒ Q(i), ÐÐØÚ iq(i) ÞØº Þ ½µ ÞÓÒÓ ÑÓ Ø Ñ Ö ÐØÚ Ø Þ ÓÝ P = x i y i ÞÒ ØØÖ Ò Þ Ý Ö Þ ÑÓÒÙ Þy i ÓÖÓÞØ Ö ÞÐØ ÞÖº ÖÙ Þ x j ¹Ø Þ ÐÒ x j = (x j x j+1 )+(x j+1 x j+2 )+...+(x n 1 x n )+x n. À ÚÞØ Þ x n+1 = 0 ÐÐ Ø ÓÖ Þ ÙØÓÐ ÓÒ Ø ÐÒ Ð (x n x n+1 ) Ñ P Þ Ô Ý P = n y j (x i x i+1 ) Ð ÖØº Þ ½µ ÞÓÒÓ ÞÖÒØ Ð ÖÐÚ Þ ÞÞ ÓÖÖÒØ i=j i x i y i = (x i x i+1 ) y j. ¾µ ÑÓ Ø ØÐ ÐØ ¾µ ÐÓØ ÒÚÞÞ P Þ Ð¹Ð ØÖÒÞ Òº ÆÐ ÀÒÖ Ð ½¼¾½¾µ Ý ÒÓÖÚ Ú ÖÓ Ò ÞÐØØØ Ý Ø¹ ÝÖÑ ÞÒÝ ÐÐÔ ÞØÓÖ ÒØº ÌÞÒÒÝÓÐ Ú ÓÖ Ò Ô ÑÐØ ØØÐ ÞÚ ØÖØÓØØ Ð Ð ÓØº Ý ÚÚÐ ÓÐÓØØ Ñ ÞØ ÔÖÓÐ¹ Ñ Ø ÑÐÝ ¼¼ Ú ÐÐØ ÐÐÒ ÐÚ Ð ÑØÑØÙ ÓÒ ÞÓÒÝØÓØØ ÓÝ Þ ÐØÐ ÒÓ ØÓ ÝÒÐØ ÒÑ ÓÐØ Ñ ÒÝ ÐÔÑòÚÐØ ÝÚÓÒ Ø ÚÐº ÊÚ ÐØÒ ÑØÑØ Ñ ØÖÐØÒ ÑÖÒØ ÐÓØÓØØ ÞÓÒ¹ Ò ÐØÒ Ò Ú ÑÖØ Ð ÑÙÒ Øº ÙÝ ÔÐ ÙÐ Ý ÞÖòÒ ÐÚ ÞØØØ ÐÒ Ý ÓÞÞ ÐØØ ØÒÙÐÑ ÒÝ Ø Ñ ÞÖÞ Ð Ð ÙØ Ò ÖÐØ Ð ½½¹Ò ÔÙÐ ÐØ º Ð ÖØÐÒÐ ÔÖ ÐØ ÝØÑ Ð¹ Ð ÓÞ ÙØÒ Ø ÒÔÔÐ ÞÙØ Ò ÒÚÞØ ÖÐÒ ÝØÑÖ ÓÝ ØÒ ÑÐØ ÆÓÖÚ Òº ÅÙÒ ÖÑÒÝ Þ Ð ÑØÑØ ÞÖÚ ÐÚÒ Ö ÞØ ÐÓØ ºµ ¾

3 ÐØÓ ½º ÞÓÒÝØ Ù ¾µ ÞÓÒÓ ÞÑÑØÖÙ Ô Ö Ø ÑÐÝÒ Þ y i ÓÖÓÞØ Þ ÞÐØ ÐÝØØ Þ Ö ÞÐØ ÐÒÒ Ñº x i y i = (x i x i 1 ) y j (x 0 = 0). ¾ µ ¾º ÄÝÒ Þ ( n ) d ÖÒ Þ ÑØÒ (b n ) Ô q ÒÝÓ ÑÖØÒ ÓÖÓÞØº ÖÙ Ð Þ 1 b b n b n ÞØ Þ ÖØ ÐÒ 1 b 1 d q n Ø ÚÐº º ÞÓÒÝØ Ù ØÐ ÒÙ ÞÒ ÐØ ÒÐÐ ÓÝ Þ Ð n Ö ÒÝÞØ Þ Ñ Q(n) Þ ( ) ( ) n+1 n+1 Q(n) = n. 2 3 ÁÁº Á ÑÖ Þ ÞÓÒÓ Ð Þ Ð Ð Ø Ö ÞÓÒÝ Ð Ñ ØÖÐØÒ ØòÒ ¾µ 2 µ ØÖÒÞ Ñ¹ ÐÔÒ Ñ ØÐ ÖØØ ÐÓØ ÐØÒ P ÞØ ÒÒ Ý ÚØÐÒ Ú ÐØÓÞØ ÚÐ Þ ÒØÖ ÐÐÐ ÐÝØØ Ø Ø Ø P = b f(x)g(x)dx ÒØÖ ÐØ ÖÙ Þ ÑÓÐÒº Þ Ý ØÒÝÞ g(x) Ö ÞÐØ Þ Þ x g(t)dt Ð ÒØÖ ÐÓ Þ ÑÖØ ÑÓ Ø ÞØ ÐÒØ ÓÝ ÑÖ g Ý G ÒØÖ ÐÚÒÝØº À Þ I = f(x i )g(x i ) i (x 1 =, x n = b) ÒØÖ ÐÞÐØ ÞÖ ÐÐÑÞÞÙ Þ Ð¹Ð ØÖÒÞ Ø ÓÖ I = [ f(xi ) f(x i+1 ) ] i g(x j ) j º Ö ÞÐØ Þ G(x i ) = x i g(t)dt ÒØÖ ÐØ ÞÐØ Þ f(x i ) f(x i+1 ) ÖÒ Ô ÖÒ ÐØf ØÒ ÄÖÒ¹ÞÔÖØØØÐ ÞÖÒØ f (y i )(x i x i+1 ) Ð ÓÐ x i < y i < x i+1 º Ý Þ n 1 I = f (y i )(x i+1 x i )G(x i )+f(x n )G(x n )

4 b Þ ÙÝÒ P ÒØÖ ÐØ ÞÐØº Þ Þ Ð Ø Ñ ÐÐ f (x)g(x)dx ÒØÖ ÐÞÐØ Þ ÞÞÐ ÐØØÒ ÐÐ ÔÖ Ð ÒØÖ Ð Ð ÑÖØ ÓÖ¹ ÑÙÐ b f(x)g (x)dx = [ f(x)g(x) ] b b f (x)g(x)dx. ( f(xn ) G(x n ) = f(b) G(b) ÑÓ Ø ÞÒ ÐØ G ÒØÖ ÐÚÒÝÖ G() = 0 ) º ÔÖ Ð ÒØÖ Ð ÑØØ Ø Ø ÞÐØ Ö ÞÐØ ÞÖ ÚÐ ØØÖ Ø ÐØÚ ØÚ Ð¹Ð ØÖÒÞ ÐÞØº ÚØÞÒ Ý Ö ÔÓÐÒÓÑÞÓÒÓ ÓØ ÞÓÒÝØÙÒ Þ Ð¹Ð ØÖÒÞ Ø ÚÐº ÞØ Ð ÞÒ ÐÚ Ø ÚÓÐÖÐ Ñ Ñ ØÐ ÖØØ Þ¹ Þ ÙØÙÒ ÒÓÑ Ð ÝØØØ ÞØØº ÄÝÒ k 0 Þ Þ Ñº ÓÖ ØØ ÞÐ ÔÓÞØÚ Þ n¹ö ( ) n i (1+x) i = k i ( ) n+1 x i. µ k i ( ) ÅÝÞ º µ ÞÓÒÓ Ò ÞÖÔÐ ÒÓÑ Ð ÝØØØ ÖØ b ( ) 0 ÞÓ Ó ÖØÐÑÞ ÞÖÒØ ÒÙÐÐ b < 0 ÚÝ < b ÞÒÚÐ = 0 0 = 0 1º ÂÐÐ Ð ÓÐÐÓÒ ÐÐ ÔÓÐÒÓÑÓØ f k (x)º ÓÖf ( 0 (x) ) = 1º k¹ö ÚÓÒØÓÞ n+1 ØÐ ÒÙÚÐ ÑÑÙØØÙ ÓÝ f k (x) = +x f k 1 (x) ÒÒÒ k Þ ÐÐØ Ñ Ö ÚØÞº Ð ÓÐÐÓÒ ¾µ Ð¹ ØÖÒÞ Ð f k (x) = [ (1+x) i (1+x) i+1] k ( ) n j. µ k j ( ÁØØ ÑÓ Ø (1+x) k+1 ÐÝÖ ¼¹Ø ÐÐ ÖÒ ) ( ) ( ) ( ) ( ) +1 1 b Ð ÞÒ ÐÚ Ð ÑÖØ = ÞÓÒÓ ¹ b b b 1 0 ÓØ µ Ó ÓÐÐ Ò Ö ÞÐØ Þ Þ ÖØ Ð j=0 ( ) n j = k j ( n+1 k ) j=0 ( ) n i. k i 1

5 ÁÒÒÒ ( ) n+1 [ f k (x) = (1+x) i (1+x) i+1] k }{{} ( ) n i [(1+x) i (1+x) i+1] = k i 1 ( ) n+1 k 1 ( ) ( ) n i n+1 = + x (1+x) i = +x f k 1 (x), k k i 1 k ÞØ ÖØÙ ÞÓÒÝØÒº ÐØÓ ½º ÞÓÒÝØ Ù ÓÝ ( ) n i ( ) n+1 µ 2 i = º k i i Þ ÚÓÐØ ÃÅÄ º ¾¾º ÐØ ½º Þ Ñµº ( ) n ( ) n+1 µ ( 1) k = ( 1) i k i ¾º º A ( )( ) i A i = B C A ( )( ) i C ( 1) i B A i ÁÁÁº Þ Ð¹Ð ÝÒÐØÐÒ ( ) A+1 B +C +1 ( ) C B 1 = ( 1) B A B ÝÖÒ ÒÑ ÑÖ ÔÓÒØÓ Ò P = 1 A B C > Bµº x i y i Þ Ö ÞÐØ ÞØ Ý ÓÒÐ ÓÖÓÞØ ÐÑÚÐ Þ ØÙÙ ÞØ ÓÒÐØÒº ÁÐÝÒÓÖ ÞÒ Ð¹ Ø Þ Ð Ð¹Ð ÝÒÐØÐÒ À x 1 x 2... x n 0 Ø Ø Þ x i ÓÖÓÞØ ÒÑÒØÚ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÝ µ Ñ ÐÐ Þ y i ÓÖÓÞØ Ö ÞÐØ Þ ÐÐÖÐ ÐØ z i ÓÖÓÞØ Ö ÞÐØ ÞÚÐ ÞÞ i y j i z j (i = 1, 2,..., n), ÓÖ P Þ ÐÐÖÐ ÐØ x i y i x i z i. µ

6 ÞÓÒÝØ º À d i = z i y i ÓÖ µ¹ýð ÚÚÐÒ 0 x i d i ÝÒÐØÐÒ Ó ÓÐÐ Þ Ð¹ ØÖÒÞ ÞÖÒØ (x i x i+1 ) i d j, Ò Þ ÞÒ Ô ÑÒÒ Ý Ø Ø ÒÑÒØÚ Þ Ñ ÞÓÖÞØº ( µ ÝÒÐØÐÒ Ø ÞÒ ÐØÙ Ýº ¾º ÝÓÖÐØ ÑÓÐ ÓÖ Ð ÞÒ Þ ÑÙÒ ½º ÓÐÐ Òº ) ÐØº ÞÓÒÝØ Ù µ ÝÒÐØÐÒ ÞÑÑØÖÙ ÑÐÐØ Ø Ø 0 x 1 x 2... x n, ÓÖ ÙÝÒ ÒÒ ÐÐ µº y j z j (i = 1, 2,..., n), µ Þ Ð¹Ð ÝÒÐØÐÒ Ð ÐÐÑÞ ÒØ ÞÓÒÝØ Ù Ó ÒÚ¹ ÞØ ÝÒÐØÐÒ Ð Ô ÓÐØÓ ËÞò ÓÐ Ð ÝÒÐØÐÒ Øº Þ ÙØ ÞØ ÑÓÒ ÓÝ n b 1... b n ÚÐ Þ ÑÓ c 1 c 2... c n Ô b 1 b 2... b n ÓÖÓÞØ Ý ØØ ÞÐ ÔÖÑÙØ ÓÖ 1 b n + 2 b n n b 1 1 c n c n 1 b n b n, Ø Ø Þ 1 c n c n ÞÓÖÞØ ÓÖ ÐÒÝÓ c 1 c 2... c n Þ ÑÓ ÙÝÒÝ ÚÒÒ ÖÒÞÚ ÑÒØ Þ ( 1, 2,..., n ) ÓÖÓÞØ ÓÖ Ð ÐÐÒÞÐº Þ ÝÒÐØÐÒ ÞÓÒÝØ ÓÞ Ý ÞÖòÒ ÚÝ ÞÖ ÓÝ b 1 b 2... b n ÐØØÐÐ ÒÝÐÚ ÒÚÐÒ ÚØÞ b n+1 j c j b j, Ý ÐÐÑÞØ Þ Ð¹ÝÒÐØÐÒ µ Ðº ËÞò ÓÐ¹ÝÒÐØÐÒ Ð Ø ÞØØ Ñ Ö ÞÓÒÝØØ Þ Ñ¹ ØÒ ÑÖØÒ ÞÔ ÞØ ÒÚÞØ ÝÒÐØÐÒ º ÖÖÐ ÚÒ ÓÐÚ ¹ ØÙÒ À ÝÖÝÆÙÓÑÑ ÝÙÐËÙÖ ÒÝ Â ÒÓ ÅØÑØ ÎÖ ÒÝ¹ ØØÐ ÁÁº º ÒÝÚÒ ¼º ÓÐÐ Òº Þ Ð¹ÝÒÐØÐÒ Ý Ñ ÐÐÑÞ Ø Ð ØØÙ ÃÅÄ ½»º Þ Ñ Ò Ýº¾¾¼½º ÑÓÐ Ò ¾½¼º ÓÐÐÓÒºµ ÁÎº Ý Ö ¹ÔÖÓÐÑ Ú Ö ÐØ

7 Þ ÔÐ Ò ÒÑ ÓÓÞÓØØ ØÐ ÒÝ ÒÞ Ø Þ Ð¹ÝÒÐØÐÒ ÐØØÐÒ ÞÓÒÝØ ÚÒÒ Ø ÑÓÖ Þ Ý ÐØÐ Ò ÒÑ Ñ ØÐ ÖØØº Ö È Ð ÚØØØ Ð Þ Ð ÔÖÓÐÑ Ø À ÔÓÞØÚ Þ Þ ÑÓÐ ÐÐ A = { 1, 2,..., n } ÐÑÞ ÑÐÝ Ø Ö ÞÐÑÞ Ò ÒÑ ÝÒÐ Þ ÐÑ Þ ÐÝÒ ÔÐº ¾ ØÚ ÒÝ ÓÖ Þ A ÐÑ ÖÔÖÓ Ò Þ ØØÒÐº ÔÖÓÐÑ ÒÞ Ø ÑÙØØ ÓÝ Ð ÑÓÐ ÓÖ Ò ÞÖÞ Ý ÐØ¹ Ð Ò ÒÑ ÐÑ ÒÐÞ Ð ÞÞØ ÞÒ ÐØ Ø ÞØØ ÞØ ØÒÝØ ÓÝ ÒÝÞØ Þ ÑÓ ÖÔÖÓÒ Þ π2 º Þ Ð ÑÓÐ Ò Ø Ó Ò 6 ÚØ Þ Ð¹ÝÒÐØÐÒ Øº Ð ÞÖ ÝÞÞ Ñ ÓÝ ÑÚÐ ÞAØØ ÞÐ iðñò Ö ÞÐÑÞ Ð 2 i 1 Ö Þ ÞØØ ÞÖØ Þ Þ Þ ÚÐÑÒÒÝÒ ÐÒ¹ Þ ÓÖ ÐÒÝÓÙ ÐÐ ÓÖ ÞÞ 2 i 1 = i 1 º ÒÒ ÐÐ Ø Ø ÑÒÒ 1 i n¹ö ÓÝ i i. µ À ÑÓ Ø ÐØ Þ ÓÝ 1 < 2 <... < n ÓÖ ÒÝÐÚ Ò 1 > 1 1 >... > n 1 > 0. n Þ ÙØ Ò ÒÒ Ý ÓÐÙÒ ÑÒØ ÐÐÑÞÒ µ ÝÒÐØÐÒ Ø Þ x i = 1 2 i 1 i y i = 2 i 1 z i = i ÞÖÔÓ ÞØ Ð 1 i = x i y i x i z i = 1 1 = 2 2i 1 2 n 1; Ñ ÚÐÑÚÐ Ð ÐÐØ Ø ÔÙÒ ÑÒØ ÑØ ÞÓÒÝØÒÙÒ ÐÐØØ ¾ ØÚ ÒÝ ÑÙØØ ÓÝ ÔÓØØ Ð ØÓÚ Ñ Ö ÒÑ ÚØØº Þ Ð Ý Ö ÒÞ ÐØ ÑÓÐ Ø ÞÖØÒÑ ÑÙØØÒº ÐØ ÀÖÞ Â ÒÓ ØÐ Þ ÖÑÞº ÓØØ n Ö Ý ÒÝ ØÖÓØ ÓÜÒÔÐ ÒÒ ÒÝÓÑ Ó ÖÒÖ p 1 p 2... p n 0º ÐÙÒ Þ ÓÝ Ð p n ÒÝÓÑ ÔÐÒ ÐØ ÐÒÝÓÖ ÒÚÐ ÒÝÓÑ Øº Þ Ý¹Ý ÐÔ Ò ÔÐÓ ØØ¹ ÞÐ ÓÔÓÖØ Ø ÞÔ ÓÐØÙ ÑÒ ÚØÞØÒ Þ ÞÔ ÓÐØ ÔÐÓ ÑÒÝÒ Ö ÞØÚÚ ÒÝÓÑ Ó Þ ÑØÒ ÞÔ Ð Þ Þ Ö ÒÝÓÑ º ÔÐÓ ÞÙØ Ò ÞØÔ ÓÐØ ÓÔÓÖØÓ ÓÞØ ÐØÖº ÒÞ Ø ÐØÒ Þ ÓÓÞÞ ÓÝ ÑÚÐ Þ ÞÔ ÓÐ Ó Ó¹ ÖÓÞØ ØØ ÞÐ Ó ÓÐÝØØØ ÞÖØ ÒÑ Ô ÓÐÙ Ý ÞÖÖ Þ ÚÐÑÒÒÝ ÔÐÓØ Þ n ÔÐÒ ÐØÖÓÞØ ÒÝÓÑ Ó ÖØÒ ÐÑÞ ÒÑ Ú Ý Ý ÐØÐ Ò ÒÑ ÞØÓ ÓÝ ÐØÞ ÞÒ ÓÖ Ñ¹ ÜÑÙÑº Å ÐÐ Þ ÐÔÞÐØ ÓÝ Þ Ð Ö ÑÜÑÙÑ ÖØ ÑÒÒÝÒ ÐØÞ ÐÒÞ ÞØ ÒÝÓÑ ÖØÖ Ñ Ñ ÑÓÒ ÞÓØÐº

8 ÅÑÙØØÙ ÓÝ ÒÑ Þ ÐÝÞØº ÑÓÐ ÙÐ ÑÓ Ø Þ Ð¹ Ð ÝÒÐØÐÒ ØØ ÞÓÒÒ Ø ÚÓÐÖÐ Ñ ÚÐ Ó ÓÝÒ ØÖÑØØ Ñ ÐÐÑÞ Ò ÐØØÐº À m Ö ÔÐÓØ Ô ÓÐÙÒ Þ ÓÖ ÒÝÓÑ ÝÒÐØ Ý ÐÓØ ÓÝ ÑÒÒ Ý ÖÒØØØ ÔÐ ØÖØÐÑ Ø m ÝÒÐ Ö ÞÖ Ó ÞØÙ ÞØ Ö ÞØ Ó ÞØÙ ÞØ Þ m Ö ÔÐ ÞØØº ÈÖ ÐÙ Ñ Ò ÑÓÐÐÒ ÒÝÓÑÓÒ ÚØÒ ÓÝ ÞÔ ÓÐ Ó Ý ÓÖÓÞØ ¹ Ò ÚÖØ ÙØ Ò Þ Ý ÓÜÒÖ Þ ÓÒÒÒ ÖÐØ ÔÐÐÒØÒÝ ÐÝÖ ÂÐÐ Ø Ø α (k) ij ¹ÚÐ ÓÝ k¹ ÞÔ ÓÐ ÙØ Ò j¹ ÔÐ ØÖØÐÑ Ò ÒÝÖ Þ ÖÐØ Þ i¹ ÔÐº À ÔÐ ÙÐ Ð Ö ¾º º º ÔÐÓØ Ô ÓÐØÙ Þ ÓÖ α (1) ij = 1 i j ¾ Þ ÑÓ ÞÐ 3 ÚÐ ÝÒØ ½ ÚÝ ¼ ØØÐ Ò ÓÝ i = j ÚÝ Ñº ÆÝÐÚ Ò 0 α (k) ij 1 α (0) ij = 1 i = j ÝÒØ Ô ¼ Þ Ð Ø Þ ÓÝ Þ i¹ j¹ ÔÐÓØ k¹ ÞÔ ÓÐ Ñ ÒÑ Ô ÓÐØÙ Þ ÓÖ α (k) ij = 0º ÞÞÐ ÐÐ Ð ÑÓÐÐÒ ÞÖÒØ Þ i¹ ÔÐÒ k¹ ÞÔ¹ ÓÐ ÙØ Ò p (k) i = α (k) ij p j µ Ð Þ ÒÝÓÑ º Þ α (k) ij ÝØØØ ØÓÚ ÚÞ ÐØ ÚÞØØ Ð ÐØ ÑÓÐ ÓÞº Ð ÞÖ ÑÚÐ Þ Ð Ö ÓÖ Ò ÑÒÒ Ý ÔÐ ØÖØÐÑ ÑÚÒ ÚÐÓÐ (k) α ij = 1, j = 1, 2,..., n. ÅÑÙØØÙ ÓÝ µ Ó ÓÐÐ Ò p j ÞØ ÒÝÓÑ Ó ÝØØØÒ ½ Þ Þ ÞÞ ÖÞØØØ i¹ö α (k) ij = 1, µ Þ (α (k) ij ) Ñ ØÖÜÒ Ø Ø Þ Ó ÞÐÓÔÓÓÒ ÚÐ ÓÖÓ Þ ½ ÝÒÚÞØØ ÞØÓ ÞØÙ Ñ ØÖÜ ÞÐ ÚÒ ÓÐÙÒº µ ÝÒÐ Ø ÞÓÐØÒ Ò Þ ÑÓÐ Ð ÝÓÖÐ ÞÓ Þ Ñ Ö ÑÖ Ñ ØÖÜÓ ÞÓÖÞ Ø ØØ ÞÓÒÒ Ý ÞÑÐÐØ ÓÒÓÐØ¹ ÑÒØØ ÚØÒº ÎÝ ÞÖ ÓÝ Þ α (k) ij ÑÒÒÝ Þ ÖÐ Þ ÞÔ ÓÐ Ó Ó¹ ÖÓÞØ ØÐ Ò ÞØ ÒÝÓÑ ÓØÐ ÒÑº Þ ÞØ ÐÒØ ÓÝ Þ¹ Ò ÓÖ k Ö ÞÔ ÓÐ Ø ÓÐÝÒ ÔÐÓÓÒ ØÙ ÚÖ ÑÐÝ¹ Ò ÞØÒ ÝÒÐ ÒÝÓÑ Ó ÓÖ ÙÝÒÞ Þ α (k) ÝØØØ Ò Ñ ÐÐ ÑÓ Ø ØÖÑ ÞØ Ò ÝØÐÒ ÔÐ ÒÝÓÑ Ñ Ú ÐØÓÞ = p i = pº Þ µ ÝÒÐ Ø ÓÐÐ Ò p¹úð Ó ÞØÚ ÑÔÙ µ¹óøº p (k) i ij

9 ÐØÙÒ Ø Ø p (k) n = n α (k) nj p j ÑÒÒÝ ÑÜÑÙÑ Ò ÑØÐ Ð º ÅÚÐ Þ ÝØØØ Þ ½ ÞÖØ ÝÑ ÖÓÚ Ö ÒÚÐØº Þ Ð¹ÝÒÐØÐÒ ÞÖÒØ ÞÓÒÒ Ð¹ Ò Ý Ð Ð Ø ØÐ ÐÒ Þ ÝØØØ Ö ÞÐØ ÞÖ ÞÒ p i ÓÖÓÞØ ÑÓÒÓØÓÒ ÓÝº Ð ØÙ ÓÝ Þ α (k) nj s (k) nm = m m < n ÑÚÐ Ñ Ö Ð ØØÙ ÓÝ ÞÖØ Þ Ð¹ÝÒÐØÐÒ ÞÖÒØ ÝØØØ s(k) nm Ö ÞÐØ ÞÖ α (k) nj m = 1 1 2m, µ 1 = s (k) nn = n n 1, p (k) n = α (k) n1 p α (k) nnp n 1 2 p p n 1p n n 1p n. µ µ ÝÒÐØÐÒ Ó ÓÐÐ Ò ÐÐ ÒÝÓÑ ÖØ Ú ÞÓÒØ ÑÚÐ ØØ Ð ÒÝÓÑ ÔÐÓØ ÒÚÚ ÓÖÖÒÒ ÖÒÖ ÞÔ ÓÐÙ Ò Ð ÒÝÓ ÒÝÓÑ ÔÐÓÐº Ý Ð ÒÝÓÑ ÔÐÒ ÐÖØ ÑÜÑ Ð ÒÝÓÑ M n = 1 2 p p n 1p n n 1p n. µ À ØÖ ÚÒ Ñ µ ÝÒÐØÐÒ ÞÓÒÝØ º ÅÚÐ Þ α nj ÝØØ¹ Ø Þ ½ ÐÒ ÐÙÐÖÐ ÐÒ Þ 1 s (k) nm ÑÒÒÝ Ø ÞØ ÓÙ ÞÓÒÝØÒ ÓÝ 0 m n ÓÖ 1 s (k) nm = n j=m+1 α (k) nj 1 2m. µ ÌÒØ Ò Þ n Ö ÓÜÒÔÐÓØ ÑÐÝ ÞÐ Þ Ð m Ö Ö ØÓÚ (n m) ÔÐÒ Ô Ý ÒÝ ÒÝÓÑ Ø Ù ÚÖ ÞÖ ÔÐÓÖ ÙÝÒÞÓØ Þ ÞÔ ÓÐ ÓØ ÑÐÝØ Þ ÖØ Ô¹ ÐÓÖº k¹ ÞÔ ÓÐ ÙØ Ò ÔÓØØ ÒÝÓÑ ÓØ ÑÓ Ø Ú ÐØÓÞØÐÒ (k) ij ÝØØØÐ ÞÓÐ ÐØØ Þ µ ÓÖÑÙÐ ØÖÑ ÞØ Ò p 1 = p 2 =... = p m = 0, p m+1 = p m+2 =... = p n = 1 ½¼µ ÞØ ÒÝÓÑ ÓÐº

10 ÅÓ Ø Ø Ø Þ i¹ ÔÐ ÒÝÓÑ k¹ ÞÔ ÓÐ ÙØ Ò α (k) i1 0+α(k) i α(k) i,m 0+α(k) i,m α(k) in 1 = = α (k) i,m α(k) in = 1 s(k) im ÔÔÒ µ¹ð Ö ÞÐØ ÞÐº Å ÞÓÒÝØÒ µ ÝÒÐØÐÒ Ô¹ ÞØ ÐÒØ ÓÝ ÞØ ÒÝÓÑ ÓØ ½¼µ ÞÖÒØ Ú Ð ÞØÙ ÓÖ Þ 1 n¹ ÔÐÒ ÒÝÓÑ ÒÑ ÐÐÝØ 2 m Ð º Ö ÑÓÒ Þ ÖØ Ö Ù Ð Ø ÐÐ ÑÚ Ð ÞÓÐÒÙÒ ØÙÒÐÐ ÓÝ ÑÐÝÒ ÐØ Ý ÞØÒ ÒÑ Ö ÔÐÒ ÒÝÓÑ ÒÝÓÒ Ô Ð ÞØ ÖØ ØÒº ÞØ ÓÙ Ð ØÒ ÓÝ ÔÐÒ ÞÐ m Ö Ö ØÒ Ô Ý ÒÝ ÒÝÓÑ ÓÖ ÒÑ Ö ÔÐÓ ÒÝÓÑ Ò ÑÒÑÙÑ ÒÑ ÐØ 1 ¹ÒÐº Ð Þ ÐÐØ ÚØÞ ÞÒ Ý ÞØÒ ÒÑ 2m Ö ÔÐ ÒÑ ÖÐØ Ñ ÞØ ÐÒØ ÓÝ Ý ÞÔ ÓÐ ÓÖ Ò Þ Ö ÔÐÓ Þ Ñ ÒÑ ÒØº À Ý ÞÔ ÓÐ Ò ÒÑ Ú Þ Ö ÞØ Ö ÔÐ ÓÖ ÒØ ÑÒÑÙÑ ÒÝÐÚ Ò ÒÑ Òº Å ÐÐ Ñ ÚÞ ÐÒÙÒ Ñ ØÖØÒ ÔÓÞØÚ ÒÝÓÑ Ó p ÑÒÑÙÑ ÚÐ Ö ÔÐÓ Ö ÞØ Ú ÞÒ Þ ÞÔ ÓÐ Òº ÌÝ Ð Ø Ø ÓÝ Ý ÞÔ ÓÐ Ò r Ö ÒÑ Ö t Ö Ö ÔÐ Ú Þ Ö ÞØ (t m)º ÓÖ Þ ÞÔ ÓÐØ ÔÐÓÒ Þ Ö ÒÝÓÑ ÐÐ r+t rp ØÓÚ ÒÑ Ö ÔÐÓÒ Ô ÐÐ pº ÅÚÐ ÒÝÐÚ ÒÚÐÒ rp r+t p 2 t, ½½µ r t ÔÓÞØÚ Þ Ý Ý ÞÔ ÓÐ ÓÖ Ò Þ Ö ÔÐÓ Þ Ñ t¹úð Ò (1 t m) ÓÖ ÞÒ ÒÑ Ö ÔÐÓ ÒÝÓÑ Ò ÑÒÑÙÑ ÐÐ 2 t ¹ Ö ÞÖ ÒØº ÅÚÐ ÞØÒ m Ö Ö ÔÐ ÚÒ ÒÑ Ö ÔÐÓ ÒÝÓÑ Ò ÑÒÑÙÑ ÞØ ÖØÒ Ñ ½ ÚÓÐØ ÐÐ Þ 1 2m¹ ÞÖ ÞØ ÖØÙ ÞÓÒÝØÒº ÐØÓ ½º ÞÓÒÝØ Ù ÓÝ ( ) ÑÜÑÙÑÓØ ÞÓÐ ÐØØ Ð Ö ÝÖØÐÑò ÞÞ ÒÑ Þ (n, n 1) (n,n 2)... (n, 2) (n, 1) ØØ Ø Ô ÓÐÙ Þ Ò ÓÖÖÒÒ ÓÖ Þ n¹ ÔÐÒ Ó Ñ ÖØ Ð M º ÌÖÑ ÞØ Ò ÞØ ÖØ ÞØØ ÚÒÒ ÝÒÐ ÓÖ Þ Þ¹ Ð ÚÐ ÞÔ ÓÐ ÓÖÖÒ Ð ÖÐØ ÐÐØÚ Þ ÞÔ ÓÐØ ÝÑ Ð ºµ ¾º ÞÓÒÝØ Ù ÓÝ ÔÐÓÒ ÞØ ÒÝÓÑ Ó p 1 p 2... p m... p n ÓÖ Þ m¹ ÔÐÒ ÐÐ M m = 1 2 p p m 1 p m m 1 p m ½¼

11 ÒÝÓÑ ÖØ Ð Þ ÞØ ÞÓÐ ÐØØ Ð Ö ÐÒÝÒ ÝÖØÐÑòº Þ ÐÐØ ÒÑ ØÐ Ò ØÖÚ Ð ÞÒ Ö ÒÑ ÝÒÖØò ÞÞÐ ÓÝ ÙÔ Ò p 1 p 2... p m ÒÝÓÑ ÔÐÒ ÚÒÒº ÐØ ÔÔÒ ÒÒ ÞÓÐ Ø Ú Ò ÓÝ ÒÝÓÑ ÔÐÓÒ ÒÑ ÚØ ÞÒ Øºµ ½½