A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

Átírás

1 8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle derékszög½u koordinátái. Ezek a derékszög½u koordináták kifejezhet½ok 3 másik független adat: u; v; w, ún. általános görbevonalú koordináták segítségével is, vagyis a derékszög½u koordináták az új, görbevonalú koordináták függvényei: x = x(u; v; w); y = y(u; v; w); z = z(u; v; w): A tér adott pontján három, kölcsönösen mer½oleges sík metszi egymást: az x = allando, y = allando és a z = allando sík. Egy pont helyzetét megadhatjuk mint ezen három koordinátasík közös pontját. Ha az u; v; w új koordináták közül pl. w-t rögzítjük, a kapott felület neve u; v-felület. Ha az u; v-felületen pl. v-t rögzítjük, a kapott görbe neve u-vonal. Ha az u; v-felületen u-t rögzítjük, akkor v-vonalat kapunk. Hasonlóan értelmezünk két további koordinátafelületet (v; w felület, u; w felület), valamint a w-vonalat. Ezek felelnek meg a korábbi koordináta-síkoknak és koordináta-tengelyeknek. A könnyebb jelölés kedvéért a Descartes derékszög½u koordinátákat x ; x 2 ; x 3 -mal, a görbevonalú koordinátákat u ; u 2 ; u 3 -mal jelöljük. A derékszög½u koordináták az új, görbevonalú koordináták függvényei: r = r(u ; u 2 ; u 3 ) : x = x (u ; u 2 ; u 3 ); x 2 = x 2 (u ; u 2 ; u 3 ); x 3 = x 3 (u ; u 2 ; u 3 ): Mivel u ; u 2 ; u 3 független koordináták, az inverz függvényeknek is létezniük kell, azaz a görbevonalú koordináták felírhatók a derékszög½u koordinátákkal: u i = u i (x ; x 2 ; x 3 ); i = ; 2; 3: A koordinátavonalak érint½oi, amelynek irányában a koordináta változik, a koordinátafelületre mer½oleges vektorok. Derékszög½u koordinátáik: g i = r x = ; x 2 ; x 3 u i u i u i u i 23

2 A tér egy P pontjában meghatározott g ; g 2 ; g 3 vektorok a görbevonalú koordinátarendszer bázisvektorai. Ily módon a tér minden pontjában de niálunk egy koordinátarendszert. Ha a g ; g 2 ; g 3 vektorok páronként mer½olegesek, a koordinátarendszert ortogonális görbevonalú koordinátarendszernek hívjuk. A továbbiakban csak ortogonális koordinátákkal foglalkozunk. Jelöljük a g i bázisvektor hosszát h i -vel, h i = jg i j. A h ; h 2 ; h 3 mennyiségeket Lamé-féle állandóknak, vagy skála-faktoroknak nevezzük. A Lamé-féle állandók segítségével kifejezhet½ok az ívhossz-elem, a felületelem és a térfogatelem. Ívhossz-elem az u vonal mentén: ds = h du elületelem az u =áll., vagyis az u 2 ; u 3 koordinátafelületen: df 23 = h 2 h 3 du 2 du 3 Térfogatelem (a koordinátafelületek által körbefogott térrész térfogata): dv = ds ds 2 ds 3 = h h 2 h 3 du du 2 du 3 9 Henger- és gömbi polárkoordinátarendszer 9. Hengerkoordinátarendszer hengerkoordináták: u = ; u 2 = '; u 3 = z z vonal ϕ vonal ρ vonal r = r(; '; z) x = cos ', y = sin '; z = z Koordinátafelületek: = all:felület henger ' = all: felület: félsík z = all: felület sík Koordinátavonalak: ld.. ábra Érint½ovektorok és skála-faktorok(lamé-állandók) g = r = (cos '; sin '; 0) h = 24

3 g ' = r ' = ( sin '; cos '; 0) h ' = g = r z = (0; 0; ) h z = Ívelem-négyzet: ds 2 = d d' 2 + dz 2 elületelemek: df z = dd'; df ' = ddz; df = d'dz Térfogatelem: dv = dd'dz 9.2 Gömbi polár koordinátarendszer Gömbi polárkoordináták: u = r; u 2 = #; u 3 = ' z r vonal ϕ vonal ϑ vonal y x r = r(r; #; ') x = r sin # cos ', y = r sin # sin '; z = r cos # Koordinátafelületek: r = all:felület gömb # = all: felület: kúp ' = all: felület félsík Koordinátavonalak: ld.. ábra Érint½ovektorok és skála-faktorok(lamé-állandók) g r = r r = (sin # cos '; sin # sin '; cos #) h r = g ' = r # = (r cos # cos '; r cos # sin '; r sin #) h # = r g ' = r ' = ( r sin # sin '; r sin # cos '; 0) h z = r sin # Ívelem-négyzet: ds 2 = dr 2 + r 2 d# 2 + r 2 sin 2 #d' 2 25

4 elületelemek: df r = r 2 sin # d#d'; df # = r sin # drd'; df ' = rdrd# Térfogatelem: dv = r 2 sin # drd#d' 0 Vektoroperátorok ortogonális görbevonalú koordinátarendszerekben 0. Gradiens r = lim V!0 V H nd Számoljuk ki a r vetületét pl. a 3. koordinátavonal irányára! Legyen a térfogat egy kis henger e 3 irányú alkotóval, amelynek hossza ds 3 = h 3 du 3 ; térfogata V = A h 3 du 3. e 3 A ds 3 =h 3 du 3 A (u ; u 2 ; u 3 ) függvényt a henger fels½o és alsó lapjára, valamint palástjára kell integrálni, de a palást normálisa 8 mer½oleges e 3 -ra: 9 r e 3 = lim A!0;du 3!0 r e 3 = h 3 u 3 A többi komponensre hasonlóan, így >< [(u 3 + du 3 ) (u 3 )]A + Ah 3 du 3 >: Z palast >= nd e 3 = {z } =0 >; r = 3X i= h i u i e i Hengerkoordinátákban: h = ; h ' = ; h z = 26

5 r = e + ' e ' + z e z Gömbi polárkoordinátákban: h r = ; h = r; h ' = r sin Példa: rr n = nr n e r = nr n 2 r 0.2 Divergencia r = r e r + r e + r sin ' e ' H div v = r v = lim v ndf V!0 V Legyen a térfogat egy kis paralelepipedon a koordinátavonalak mentén (ábra) Az integrált a hat lapra írt összegként kezeljük: Írjuk fel például az e normálisú. és a e normálisú 2. lapra vett felületi integrált: v h 2 h 3 du 2 du 3 j : lapon v h 2 h 3 du 2 du 3 j 2: lapon Ha ezt osztjuk a V = ds ds 2 ds 3 = h h 2 h 3 du du 2 du 3 térfogattal, kapjuk hogy v h 2 h 3 j :lapon v h 2 h 3 j 2:lapon (v h 2 h 3 ) lim = V!0h h 2 h 3 du h h 2 h 3 u A másik két szemközti lap-párra hasonlóan eljárva, adódik: Hengerkoordinátákban: div v = h h 2 h 3 3X i= u i ( v i h i h h 2 h 3 ) div A = (A ) + A 2 ' + A 3 z 27

6 Gömbi polárkoordinátában: 0.3 Rotáció: rot v = r v = lim V!0 V div A = r 2 r (A r 2 ) + r sin H n vd; (A 2 sin ) + r sin ' (A 3) H vagy l rot v = l r v = lim vds: A!0 A G Az utóbbi alkalmasabb a komponensek meghatározására. Legyen a kis sík felület az el½oz½o ábra l = e 3 normálisú lapja. A = h du h 2 du 2 Számoljuk ki a vonalintegrálokat a szemközti oldalpárokra: e 3 rot v = ( rot v) 3 = lim A!0 v2 h 2 j u +du v 2 h 2 j u h du 2 h 2 du 3 [v h du j u2 v h du j u2 +du 2 + v 2 h 2 du 2 j u +du v 2 h 2 du 2 j u ] = = lim A!0 h h 2 v h j u2 +du 2 v h j u2 du du 2 ( rot v) 3 = h h 2 u (v 2h 2 ) u (v h 2 ) Az els½o és második komponenst hasonlóan kaphatjuk meg. Az eredményeket egy formulába összefoglalva: rot v = 3X i;j;k= h i v k h k " ijk e i h h 2 h 3 u j Praktikusan megjegyezhet½o determináns alakban: e h e 2 h 2 e 3 h 3 rot v = h h 2 h 3 u u 2 u 3 v h v 2 h 2 v 3 h 3 28

7 A rotáció hengerkoordinátákban rot v = ( v 3 v 2 r ' z )e + ( v z v 3 r )e 2 + ( r (rv 2 ) r v r ' )e 3 Gömbi polárkoordinátákban: (rot v) = r 2 sin (v 3r sin ) stb. ' (v 2r) = r sin (v 3 sin ) v 2 r sin ' 0.4 A Laplace-operátor: a) Skalárfüggvényre: r 2 = r(r) r 2 = h h 2 h 3 3X i= u i h h 2 h 3 h 2 i u i b) Vektormez½ore: r 2 A = r(r A) r (r A) Derékszögú koordinátarendszerben: r 2 P = 3 2 = 2 i= x 2 i x y z 2 Hengerkoordinátarendszerben: r 2 = ( ) ' z 2 3. Gömbi polárkoordinátarendszerben: r 2 = r 2 (r2 r r ) + r 2 sin (sin ) + r 2 sin 2 2 ' 2 Példa: A Coulomb-törvény: E = r e 2 r r E = 0, ha r 6=0 Ha a V térfogat nem tartalmazza az origót ( r 6=0) akkor a Gauss tétel szerint: Z I r EdV = E ndf = 0. V Mit mondhatunk ha r = 0 2V? A Gauss-tétel továbbra is alkalmazható ha az origót kihagyjuk egy kis " sugarú gömbbel, és utána "! 0 határértéket veszünk: I I I 0 = E ndf = E ndf + 0 " gomb E ndf 29

8 V ε n Z E ndf = 4" 2 E r = 4" 2 " 2 = 4 " I E ndf = 4 ez az elektrosztatika Gauss-törvénye. 30