Lézerspektroszkópia ritkaföldfémekkel adalékolt egykristályokban
|
|
- Ida Soósné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Sinkovicz Péter Lézerspektroszkópia ritkaföldfémekkel adalékolt egykristályokban Fizika BSc szakdolgozat Sinkovicz Péter az ELTE TTK Fizika BSc hallgatója Témavezetők: Tanszék: Kis Zsolt, Mandula Gábor MTA Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet 111 Budapest, Konkoly-T. Miklós út ELTE TTK Fizikai Intézet Komplex Rendszerek Fizikája Tsz. Budapest, 1 május
2
3 Tartalomjegyzék 1. Előszó 5 I. Atomi átmenetek külső tér hatására 7. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 9.1. Hatás elektromágneses térben Szabad részecske relativisztikus hatása Részecske és elektromágneses tér kölcsönhatásának hatása Lagrange függvény elektromágneses térben Mozgásegyenlet elektromágneses térben Töltött részecske Hamilton-operátora elektromágneses térben A kölcsönhatási tag dipól közelítése Rabi-modell Elektromágneses tér kvantálása Kvantált vektorpotenciál Kvantált tér energiája Fotonok abszorpciója és emissziója Ĥ a+s kölcsönhatási képben Emisszió közelítés közelítés A Hfi kh mátrixelem kiszámítása Az emisszió valószínűsége Spontán emissziós ráta Abszorpció Einstein-koefficiensek Weisskopf-Wigner elmélet II. Mérések, Szimulációk A mérés összefoglalása Akuszto-optikai modulátor Elméleti összefoglaló Mérés Bragg szög meghatározása
4 4 TARTALOMJEGYZÉK 6... Frekvencia-karakterisztika A mérés kiértékelés Lézer adatainak meghatározása Számolt és mért Bragg-szög összehasonlítása Szög-karakterisztika kísérleti ellenőrzése Macskaszem összeállítás Optikai elemek paraxiális közelítésben Szabad terjedés átviteli mátrixa Vékony lencse átviteli mátrixa Ferde tükör átviteli mátrixa A szimuláció eredményei Jól beállított tükör Ferdén beállított tükör Teljes perturbáció Szaturációs spektroszkópia Elméleti háttér Master-egyenlet Master-egyenlet két-állapotú rendszerre Hullámterjedés polarizálható közegben Mérés A várható jelalak meghatározása T becslése Z-scan módszerrel T 1 becslése
5 1. fejezet Előszó Előkészítve az MTA SZFKI Kristályfizikai Osztályán tervezett koherens kontroll kísérleteket, az erbium Er) egy adott spektrumvonalának kiszélesedését tanulmányoztam egy Er-mal adalékolt lítium-niobát LiNbO 3 ) egykristályban. Kristályszerkezetileg az adalékolás a következőképpen történt: a) A tiszta LiNbO 3 egykristály b) Tetszőleges ritka földfémmel R) adalékolt LiNbO 3:R 3+ egykristály Tehát az egykristály néhány minden 1 5 -dik ) Li + atomja helyett egy szubsztitúciós Er 3+ került, ami kötést létesített három elektronjával kettő külső és egy törzs elektron). Így egy háromszorosan töltött Er 3+ jelenik meg a kristályban az egyszeresen töltött Li + helyett, ami a töltéshiánya miatt kristályhibákat idéz elő. Az előbb említett adalékolt kristályszerkezetből adódó hatások az Er spektrumában is észrevehetőek, azaz az egykristályban kötött Er más spektrumot mutat mint a szabadon, mivel a kristálytér a degenerált energianívókat felhasítja, a természetes vonalszélességet kiszélesíti kölcsönhatás a fononokkal), és inhomogén vonalkiszélesedést is okoznak az Er ion körül kialakuló hibahelyek. Ez látható a következő ábrán, ahol pirossal van feltüntetve az általunk vizsgált átmenethez tartozó vonal, sárgára van festve az egyes nívók homogén vonalai és kékkel az inhomogén vonalkiszélesedés burkolója:
6 6 1. FEJEZET. ELŐSZÓ 1.8 absorbance detuning Az Er általunk vizsgált átmenete 98 nm-es tartományba esik, ebben a tartományban három átmenet található, ebből mi a 98.5 nm-es csúcshoz tartozó átmenetet gerjesztettük, egy diódalézer segítségével. A rezonancia feltételnek megfelelően a lézer és az átmenethez tartozó frekvencia közel azonos. Az Er vizsgált spektrum tartománya a következő ábrákon látható: áteresztõképesség ö. e.) LiNbO 3 :Er spektruma áteresztõképesség ö. e.) LiNbO 3 :Er elnyelési vonalai 98 nm körül hullámhossz nm) hullámhossz nm) A diplomamunka célja, hogy a telítési lézerspektroszkópia kísérletet végezzünk LiNbO 3 -ban az adalék Er ionok 98.5nm körüli inhomogénan kiszélesedett spektrumvonalán. Ezen kívül megbecsüljük a gerjesztett állapot élettartamát.
7 I. rész Atomi átmenetek külső tér hatására 7
8
9 . fejezet Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben.1. Hatás elektromágneses térben Elektromágneses térben mozgó töltött részecskére a hatás két összetevőből származik: a szabad részecskére vonatkozó hatásból és a részecske és az erőtér közti kölcsönhatásból Szabad részecske relativisztikus hatása S = S sz + S r+e..1) A fizikában megvalósuló folyamatok, a legkisebb hatás mentén történnek, így a hatásnak invariánsnak kell lennie a Lorenzt transzformációra [1]. A legegyszerűbb invariáns mennyiség az ívhossz, tehát tegyük fel, hogy a szabad részecske hatása arányos az ívhosszal, az arányossági tényezőt pedig jelöljük α-val: S sz = α b a ds..) Már csak az a dolgunk, hogy α-t meghatározzuk. Induljunk ki abból, hogy a Lagrange függvény idő szerinti integrálja megegyezik a hatással és alakítsuk át a.) összefüggést úgy, hogy abból leolvashassuk a Lagrange függvényt, t t 1 L t ) t dt = S = α t 1 ds dt dt..3) Felhasználva az ívhossz definícióját, miszerint: s,1 := c t t 1 ) x x 1 ) y y 1 ) z z 1 ),.4) a.3) kifejezésben elvégezhetjük a deriválást: t L t ) t dt = α c 1 v t 1 c dt..5) t 1 Kis sebességre v c) a négyzetgyök sorbafejthető: ) Lx,t) = αc 1 v v αc + αc c c..6)
10 .. Lagrange függvény elektromágneses térben 1 A fenti képletben szereplő konstans tag nem változtatja meg a mozgásegyenleteket. A második tagnak pedig, c határesetben a klasszikus Lagrange függvénybe kell átmennie, így: α = mc..7).1.. Részecske és elektromágneses tér kölcsönhatásának hatása Korántsem evidens, hogy miért írható fel a.9) módón a hatásnak ez a tagja, de a kísérletek, megfigyelések ezt alátámasszák. Legyen a négyes elektromágneses potenciálnak az első komponense a skalárpotenciál és az utolsó három komponense pedig a vektorpotenciál: A µ := [ φ, A] µ..8) A négyes potenciál segítségével a e töltésű részecske és erőtér kölcsönhatásának a hatása: S r+e := e Tehát az elektromágneses térben lévő töltött részecske hatásfüggvénye: S =.. Lagrange függvény elektromágneses térben b a A µ dx µ..9) mcds ea µ dx µ )..1) Számoljunk c = 1 egységekben. Hasonló meggondolások alapján mint az előbb most is meghatározhatjuk a rendszer Lagrange függvényét: S = A hatás.1)-ben leírt alakját alakítsuk át.11) alakra: S = m ds e ds dt dt e A µ dx µ = m Ldt,.11) ds e φdt + e Adx = m φdt + e A dx dt dt ) = m 1 v eφ + eav dt..1) Tehát a Lagrange függvény: L = m 1 v + eav eφ,.13) ami kis sebességekre ezt fogjuk majd használni, azaz nem relativisztikus mozgásoknál v 1), a gyökös kifejezés sorba fejthető és a konstans tag elhagyásával azt kapjuk: L = 1 mv + eav eφ..14)
11 . fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben Mozgásegyenlet elektromágneses térben A mozgásegyenleteinket, a Lagrange-féle, variációs elven alapuló egyenletek adják []: d L L =..15) dt ṙ i r i Ha ide behelyettesítjük a.14)-ban meghatározott Lagrange függvényt, akkor megkaphatjuk a Lorentz erővel kifejezett Newton egyenletet: mṙ + ea) = e[ φ ṙa)],.16) t a kifejtési tételt ) a b c = b a c) a ) b c,.17) felhasználva és Coulomb mértékben számolva A = ): m r + eȧ = e[ φ ṙa)] = e[ φ ṙa) ṙ A)] ] m r = e [ φ Ȧ + ṙ A) = ee + ṙ B) = F Lorentz..18).4. Töltött részecske Hamilton-operátora elektromágneses térben Klasszikus mechanikából ismert, hogy egy rendszer Hamilton-függvényét a következőképpen állíthatjuk elő a Lagrange függvényéből, általános-impulzusai és koordinátái segítségével: H = i ṙ i p i L,.19) ahol L-t a.14) összefüggést definiálja, és belőle származtathatjuk az általános impulzusokat: Így a Hamilton-függvény p i = L ṙ i = mṙ i + ea i..) ) 1 H = mṙ + ea) ṙ mv eφ + eṙa = 1 mv + eφ = 1 m p ea) + eφ..1) Most kvantáljuk a kanonikusan konjugált {r i,p i } dinamikai változókat, így megkapjuk a.1)- ből előállított Hamilton-operátort: Ĥ = 1 m ˆp ea) + eφ = 1 m i ea) + eφ..) Ezt írjuk be a Schrödinger egyenletbe hogy lássuk hogyan hat a ψ-re, és elvégezhessük a négyzetre emelést), amely megadja a rendszer mozgásegyenletét: i ψ = Ĥψ..3) t A Hamilton-operátorban szereplő négyzetes tagot kifejtjük:
12 .4. Töltött részecske Hamilton-operátora elektromágneses térben 1 Ĥψ = = [ ] 1 m ih ea) + eφ ψ [ 1 + e A + i ea + i ea ) ] + eφ ψ m = m ψ + e m A ψ + eφψ + i e A + A )ψ,.4) m amit egyszerűbb alakra hozhatunk, mivel az utolsó tag teljes divergenciás részében a Coulomb mérték miatt vannak további eltűnő tagok: Így a Schrödinger egyenlet: Aψ) + A ψ) = [A ψ) + A)ψ] + A ψ) = A ψ)..5) i ψ = i e e ψ + eφψ + A ψ) + m m m A ψ..6) Az utolsó tag arányos e A -tel, ezért elhanyagolható, ha nem túl erős elektromágneses teret vizsgálunk, így: i ψ ) Ĥa t = + Ĥa+s ψ,.7) ahol Ĥa a skalárpotenciálban mozgó részecske Hamilton-operátora H atom) és Ĥa+s a kölcsönhatási tag: Ĥ a = ˆp m + eφ,.8a) Ĥ a+s = e Aˆp..8b) m.4.1. A kölcsönhatási tag dipól közelítése Vizsgáljunk egy két-állapotú rendszert, ahol g jelölje az alapállapotot és e a gerjesztett állapotot. És jelöljük Ĥa sajátértékeit ezen a bázison a következőképpen: Számítsuk ki Ĥa+s mátrixelemeit. A diagonális elemek eltűnnek: Ĥ a g = ǫ g g,.9a) Ĥ a e = ǫ e e..9b) g Aˆp g A g ˆp g =,.3a) e Aˆp e A e ˆp e =,.3b) mivel feltesszük, hogy A az atomi méretekhez képest lassan változik továbbá, hogy a hullámfüggvények párosak vagy páratlanok, tehát a deriváltjuk páratlan/páros, így egy nulla körüli intervallumon kell egy párosszor páratlan függvényt integrálni, ami nullát ad. A nem-diagonális elemekre kapjuk: e Aˆp g A e ˆp g = A e mṙ + ea g A e mṙ g..31)
13 . fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 13 Tetszőleges fizikai operátor időbeli fejlődése felírható az operátor és a Hamilton-operátor kommutátorának segítségével. A Schrödinger és a Heinsenberg képben vett hullámfüggvények: ψr,t) S = e i Ĥt ψr,).3a) ψr,) H = e i Ĥt ψr,t).3b) Schrödinger képben egy B fizikai mennyiséget leíró operátort a következőképpen transzformálhatunk át Heinsenberg képbe: Így Ennek az időbeli megváltozása: ψ S ˆB ψ S = ψ S e i Ĥt e i Ĥt ˆBS e i Ĥt e i Ĥt ψ S i ˆB H t = i Ha ˆB S nem függ explicite az időtől, akkor = ψ H e i Ĥt ˆBS e i Ĥt ψ H..33) ˆB H = e i Ĥt ˆBS e i Ĥt..34) ) i Ĥ ˆB H i ˆB H Ĥ + e i Ĥt ˆB S t e i Ĥt..35) i ˆB H [ =,Ĥ] ˆBH..36) t Ezt alkalmazva a.31) egyenletben szereplő a ṙ-re: [ ] [ i ṙ = r,ĥa + Ĥa+s = r,ĥa ] e m [r,aˆp] = [ r,ĥa ] e i A,.37) m melyet átrendezve: ṙ = i [ ] r,ĥa e A..38) m Így tehát a nem-diagonális mátrixelemek a következőképpen írhatók: i [ ] A e mṙ g = A e m r,ĥa + e ) m A g,.39a) A e mṙ g = A e i ] [r,ĥa m + ea g..39b) Felhasználva, hogy A lassan változik, megint kiemelhető az integrál elé és a két állapot ortogonális egymásra, így a második tag járuléka, A e mṙ g = i ma e rĥa Ĥar g..4) Használjuk fel a.9a) és.9b)-ben leírt hatását a H a -nak A e mṙ g = i mar egǫ g ǫ e r eg ) = imaω eg r eg,.41)
14 .5. Rabi-modell 14 ahol ω eg = ǫe ǫg és d eg = e e r g. Tehát.8b)-ben szereplő H a+s mátrix: [ ] iω Ĥ a+s = eg Ad ge..4) iω eg Ad eg Egy másik lehetőség a dipól közelítés bevezetésére az elektromágneses tér potenciáljainak mértéktranszformációja. Legyen χr, t) egy differenciálható függvény. Ekkor a transzformációkkal a megfigyelhető E és B nem változnak, mivel A = A + χ,.43a) φ = φ χ t,.43b) E = E = φ A t, B = B = A..44a).44b) Dipól közelítésben a vektorpotenciál a töltött részecske hullámfüggvényének kiterjedésén lassan változik r-ben, tehát feltesszük, hogy A = AR, t), ahol R a rendszer tömegközéppontjának a koordinátája. Válasszuk a χr,t) = AR,t) r függvényt. Ekkor a transzformált A -re igaz, hogy A = A + χ =, valamint φ = φ + r A t = φ r E T,.45) ahol E T az elektromos térerősség transzverz komponense. A φ és A mennyiségeket behelyettesítve a.) Hamilton-operátorba kapjuk: Ĥ = ˆp m + eφ ere T..46) A továbbiakban használjuk a E T E jelölést. A fenti Hamilton-operátorban a kölcsönhatási tag mátrixa két-állapotú rendszer esetén a következő: [ ] Ed Ĥ a+s = ge..47) Ed eg A.4) és.47) kölcsönhatási mátrixok különbözőek. Később látni fogjuk, hogy forgó hullámú közelítésben, közel rezonáns gerjesztés esetén a kettő majdnem egybeesik..5. Rabi-modell Ebben a fejezetben való számolás során használjuk a hullámfüggvény együtthatóiból képzett bázisokat [ ] cg ψ = c g g + c e e,.48) és ebben írjuk fel a Schrödinger egyenletet: i [ ] [ cg ǫ = g t c e Ed eg Valamint térjünk át Schrödinger képről kölcsönhatásira c e Ed ge ǫ e ][ cg c e ]..49)
15 . fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben 15 ψ kh := e i Ĥat ψ S..5) Vegyük ennek az idő deriváltját amiből meghatározhatjuk, hogy hogyan transzformálódott át a H a+s a kölcsönhatási képbe való áttérés során. i t e i Ĥat ψ S i = i kh Ĥaψ + e i Ĥat ) t ψs = Ĥaψ kh + e i Ĥat [ Ĥ a + Ĥa+s )e i Ĥat e i Ĥat ψ S] Ha a tér harmonikusan változik: akkor a Schrödinger egyenlet kölcsönhatási képben: = e i Ĥat dee i Ĥat ψ kh := H kh a+sψ kh.51) E := E cos ω k t) = 1 E e iω k t + e iω kt ),.5) i t [ bg b e ] = [ Ω cos ω k t) e iωegt Ω cos ω k t) e iωegt ][ bg b e ],.53) ahol Ω = dege a Rabi-frekvencia. Az egyenletet numerikusan, a Runge-Kutta módszerrel megoldva meghatároztam b g és b e időfüggését a b g ) = 1 és b e ) = kezdeti feltétel esetén. A P g = b g t) és P e = b e t) valószínűségeket mutatja a következő ábra: b e és b g t
16 .5. Rabi-modell 16 Forgóhullámú közelítés - fénnyel együtt forgó koordinátarendszer Mint ahogy azt láttuk, a teljes Hamilton-operátort egy atomi és egy tér és atom közti kölcsönhatást leíróra lehet bontani: Ĥ = Ĥa + Ĥa+s = Ĥa d E,.54) ahol E = 1 E e iω k t + e iω kt ). Térjünk át megint kölcsönhatási képre: Ha a Ha+s S a következő alakú: ψ kh = e i Ĥat ψ,.55) Ĥ kh a+s = e i Ĥat Ĥ a+s e i Ĥat..56) Ĥ a+s = 1 E e iω k t + e iω kt ) d ge g e + d eg e g ),.57) akkor a kölcsönhatási képben a következőképpen néz ki: Ĥ kh a+s = 1 E e iω k t + e iω kt ) d ge e iωegt g e + d eg e iωegt e g ),.58) Jelöljük -val az az atomi energiaszintek és a tér és közti elhangolást = ω eg ω k, és most végezzük el a forgóhullámú közelítést Rotating Wave Approximation, RWA), a közelítéssel nem okozunk nagy hibát, amennyiben,ω ω eg : a+s 1 E dge e i t g e + d eg e i t e g ) = [ Ω e i t ] Ωe i t..59) Ĥ kh A fénnyel együtt forgó koordinátarendszer bázisaiban kifejtett ψ-t jelöljük ψ RWA -vel. A hullámfüggvény és a Hamilton-operátor transzformációját hasonló összefüggések adják, mint amikor a kölcsönhatási képre tértünk át: ψ RWA = e i t e e ψ kh = Ûψkh.6) H RWA -t ugyanolyan módon határozhatjuk meg, mint ahogy az eddigi bázisváltásokkor. Ĥ RWA a+s = e e + ÛĤkh a+sû = e e + Ω g e + Ω e g.61) = [ ] Ω..6) Ω Ha most együtt ábrázoljuk a RWA és az előző módszer megoldását, akkor jól láthatjuk hogy míg teljesül a,ω ω eg feltételek addig a közelítés jónak bizonyul:
17 . fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben b e és b g t ω eg =.1 és Ω ω eg =. Ha azonban elrontjuk ezt az arányt, azaz nem teljesítjük a feltételeket, akkor a közelítésünk értelmét veszti, ezt mutatják a következő ábrák: Először nézzük meg hogyan változik a két megoldás, ha külön-külön szegjük meg a közelítési feltételeket.
18 .5. Rabi-modell b e és b g t ω eg =.1 és Ω ω eg = b e és b g t ω eg =.5 és Ω ω eg =.
19 . fejezet. Atomok mozgásegyenlete elektromágneses térben b e és b g t ω eg =.5 és Ω ω eg =.9
20 .5. Rabi-modell
21 3. fejezet Elektromágneses tér kvantálása Az atom+fény csatolt rendszer leírásához térjünk át a tér kvantált leírására. Az elektromágneses tér dinamikáját a Maxwell-egyenletek írják le. Induljunk ki az üres anyag nélküli) teret leíró egyenletekből: H E T = µ t, H = ε E T E T =, H =, t, 3.1) ahol E T azt jelőli, hogy üres térben a az elektromos mezőnek csak transzverz komponense van Kvantált vektorpotenciál A két térerősség divergenciájára vonatkozó összefüggésből következik, hogy Ar, t) vektorpotenciál, ami segítségével felírhatjuk Er, t) és Hr, t)-t, a 3.) összefüggés teremt kapcsolatot a térerősségek és a vektorpotenciál között. E T = A t H = 1 µ A 3.) Ar, t)-t bontsuk fel k hullámvektorú síkhullámok szerint: Ar,t) = k,σ [ ] A k,σ t)e ikr + c.c., 3.3) ahol σ a két irányban lévő polarizáción fut, és a c.c. a komplex konjugált A k,σ t)e ikr) = A k,σ t)e ikr. 3.4) A tér kvantálását úgy valósítjuk meg, hogy a teret nagy téglatestekre bontjuk, a téglatestek határán periodikus határfeltételt szabunk. Az egyszerűség kedvéért legyen egy L oldalélű kockánk a téglatest helyett. Ekkor a periodikus határfeltétel azt jelenti, hogy Ar) = Ar + L), 3.5) Ezen feltételből adódik, hogy k csak diszkrét értékeket vehet fel, mégpedig: k i = π L n i, i = {x,y,z}, n i Z. 3.6)
22 3.. Kvantált tér energiája Coulomb transzverz) mértékben teljesülnie kell, hogy A =. Ez a síkhullám felbontásban azt jelenti, hogy [ ] ika k,σ t)e ikr + c.c. =. 3.7) k,σ Amiből következik, hogy A k k. A gerjesztési- és Faraday-törvényből következik, hogy Coulomb mértékben Ar, t)-nak ki kell elégítenie a Dalambert-féle hullámegyenletet: Ha most beírjuk Ar, t) 3.3) egyenletben felírt alakját a 3.8)-etbe: k,σ A 1 A c =. 3.8) t [ k ) A k,σ t)e ikr + c.c.] 1 [ ] c t A k,σ t)e ikr + c.c. =. 3.9) Az e ikr -ek bázist alkotnak minden k-ra más értéket vesznek fel), így a 3.9) egyenlet minden k-ra teljesül: k A k,σ + 1 c A k,σ t =. 3.1) Az 3.1) egyenletet megoldva és a diszperziós relációt ω k = kc) felhasználva, a következő exponenciális időfüggés adódik At)-ra: A k,σ t) = A k,σ e iω kt. 3.11) A - előjelet azért válasszuk, mert ekkor k irányba haladó síkhullámokra bontjuk A-t. Tehát Ar, t)-ra a követetkezőt kapjuk: Ar,t) = k,σ ) A k,σ e ikr iωkt + c.c.. 3.1) 3.. Kvantált tér energiája Ugyancsak a Faraday és a gerjesztési-törvényből következik, hogy a V térfogatban tárolt energiát a következőképpen számolhatjuk ki []: ǫ k = 1 V =L L L dv ǫ E k + µ H k, ), 3.13) ahol a felülvonás az időátlagot jelöli. A rövidség kedvéért bevezettük a k = { k,σ} jelölést. A térfogatban tárolt energiáját fejezzük ki a vektorpotenciál segítségével! Ehhez előtte határozzuk meg, hogy hogyan írható fel a térerősségek a vektorpotenciál segítségével. 1. A k módushoz tartozó elektromos térerősség a vektorpotenciállal kifejezve: E k = ) iω k A k e ikr iωkt + c.c. 3.14)
23 3. fejezet. Elektromágneses tér kvantálása 3. Mágneses térerősség a vektorpotenciállal kifejezve: H k = 1 i j k µ x y z A x A y A z = 1 y A z z A y z A x x A z µ x A y y A x = 1 iky A z e iωkt+ikr + c.c ) ik z A y e iωkt+ikr + c.c ) ikz A x e iωkt+ikr + c.c ) ik x A z e iωkt+ikr + c.c ) µ ikx A y e iωkt+ikr + c.c ) ik x A x e iωkt+ikr + c.c ) = 1 µ ik y A z e iω kt+ikr ik z A y e iω kt+ikr ik z A x e iω kt+ikr ik x A z e iω kt+ikr ik x A y e iω kt+ikr ik x A x e iω kt+ikr + c.c. 3.15) Vezessük be a következő jelölést, hogy tömörebben írhassuk a 3.15) kifejezést. Legyen: A +) k := A k e iω kt+ikr A ) k := A +) k ) 3.16) Így a 3.15) kifejezést a következőképpen írhatjuk fel: H k = ik A +) k + c.c. 3.17) Tehát a 3.14) és a 3.17) egyenlet segítségével a két térerősség négyzetének az időátlaga: A V térfogatban tárolt energia pedig: E k = ωk A+) k A ) k H k = k 1 µ µ 3.18a) A +) k A ) k, 3.18b) ) ǫ k = V ω k ε + k A +) k A ) k. 3.19) Felhasználva, hogy c = 1 ε µ és a diszperziós relációt, a 3.19) tovább alakítható: ǫ k = ε V A +) k A ) k ωk, 3.) Innen a kvantált tér Hamilton-operátorának megkapása már csak két lépés. Bontsuk fel a vektorpotenciált valós és képzetes részre és hajtsunk végre egy egyszerű átskálázást rajta, hogy a végső összefüggésünk az energiára szemléletesebb legyen. A +) k = 1 4ε V ωk ω k Q k + ip k ) e k, 3.1) ahol e k e k,σ egy polarizációs egységvektor, melyre teljesül, hogy k e k =. Így A +) k A ) k = 1 4ε V ω k A V térfogatban tárolt energia az új mennyiségekkel kifejezve: ǫ k = 1 ω k Q k + P k ). 3.) ω k Q k + P k ). 3.3)
24 3.. Kvantált tér energiája 4 A {Q k,p k } kanonikusan konjugált mennyiségeket operátorokra cseréljük és ezzel megkapjuk a kvantált tér Hamilton-operátorát: Ĥ sug = 1 Ĥ k = 1 ˆP k + ωk ˆQ k), 3.4) k A k módus Hamilton-operátora ekvivalens a harmonikus oszcillátor Hamilton-operátorával. Ezért, a harmonikus oszcillátorral analóg módon: [ 1. ˆQ, ˆP] = i. Ĥ k ψ k,n = ω k n + 1/) ψ k,n k
25 4. fejezet Fotonok abszorpciója és emissziója Legyen a vizsgálni kívánt rendszer két-szintű: ahol ω eg a két állapot közti átmenet frekvenciája, ω k a külső tér frekvenciája, az elhangolás. Az atom + kvantált tér zárt rendszert alkot, melynek teljes Hamilton-operátora: ahol az atom Hamilton-operátora, Ĥ tot = Ĥa + Ĥsug + Ĥa+s, 4.1) Ĥ sug = k,σ Ĥ a = p + eu 4.) m ω k a k a k + 1 ) 4.3) az elektromágneses tér 3.4) Hamilton-operátora, és a tér és atom dipól kölcsönhatása.47). Ĥ a+s = ˆdÊ 4.4) 4.1. Ĥ a+s kölcsönhatási képben A későbbi fejezetekben időfüggő perturbációszámítást fogunk végezni, így érdemes most áttérnünk. A dipól kölcsönhatásban szereplő elektromos teret a vektorpotenciállal kifejezve []: Ê = A t = i ] [Â, Ĥ sug = i a l e ilr + a ǫ V ω l e ilr) ê l, ) ω k a k a k ) l l,σ k,σ
26 4.1. Ĥ a+s kölcsönhatási képben 6 A léptető operátorok, kommutációs tulajdonságát a 4.6) összefüggés írja le: [a k,a l ] = [ ] a k,a l = A 4.5)-ben szereplő léptető operátorok kommutátora: [ ] a l,a k = δ kl 4.6) [ ] a l,a k a k = = ) a l a k a k a l a k + a k a la k a k a l ) = a l a k a k a k a ka l = [ ] [ ] a l,a k a k + a k [a l,a k ] = a l,a k a k = δ k,l a k. 4.7) Így Ê = i k,l = i k,σ ω k a k δ k,l e ikr a ǫ V ω k δ k,le ikr) ê k k ωk a k e ikr a ǫ V k e ikr) ê k. 4.8) Most használjuk ki azt a tulajdonságát a rendszerünknek, hogy két állapota van, azaz a következő mátrixelemek lehetségesek: g ˆdÊ g = e ˆdÊ e = g ˆdÊ e = ˆd ge Ê e ˆdÊ g = ˆd eg Ê. 4.9) A diagonális elemek azért tűnnek el, mert dipól közelítésben Ê kiemelhető az integrálból és ˆd pedig páratlan függvénye a helynek. Így az atom és a sugárzási tér kölcsönhatását leíró Hamiltonoperátor a következő: H a+s = i k,σ ωk ǫ V a k e ikr a k e ikr) ê k ˆdeg e g + ˆd ) ge g e. 4.1) Most is célszerű áttérni kölcsönhatási képbe. Bontsuk fel két részre kölcsönhatás nélküli + kölcsönhatás a teljes Hamilton-operátort: Ĥ tot = Ĥa + Ĥsug + Ĥa+s = Ĥ + Ĥa+s. 4.11) A kölcsönhatási képbe való áttérést a 4.1) időfejlesztő operátor segítségével tehetjük meg: Û = e i Ĥt. 4.1) Az áttérés során a következőképpen transzformálódik a hullámfüggvény és a Hamilton-operátor: ψ kh = Û ψ S Ĥ kh a+s = Û H a+s Û. 4.13) A 4.1)-ben található módón felírt Ĥa+s operátor transzformációját nézzük meg hatásonként, és számítsuk ki először, hogy hogyan transzformálódik a â k e g. e i H t a k e g e i H t = e i Hsugt a k e i Hsugt e i Hat e g e i Hat 4.14)
27 4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója 7 Ha most felhasználjuk az ábra jelöléseit, azaz: H a e = ǫ e és H a g = ǫ g Û a k e g Û = a k e g e iωeq ω k)t. 4.15) A fenti kifejezésben az a k transzformációját a következőképpen kaptuk: Meghatároztuk a a k e i Hsugt szorzatot. Ehhez az exponenciálist sor alakba írjuk fel e i Hsugt = N iω k ) N a k a k) N t N N!. A k módusra, átrendezéssel kapjuk a k a k a k Ezt visszahelyettesítve az exponens kifelytésébe az eredmény ) N = 1 + a k a k) N ak. 4.16) a k e i Hsugt = e i Hsugt iω kt a k. 4.17) Ebből már következik a transzformációra kapott 4.15) képlet. A sugárzási tér és az atom közti kölcsönhatást leíró Hamilton-operátor kölcsönhatási képben: Ĥa+s kh = i ωk ǫ V k,σ â k e iω kt â k eiω kt ) ê k d e iωegt e g + e iωegt g e ) 4.18) Ha felbontjuk a zárójelet, akkor láthatjuk, hogy négy tagra esik a H a+s, mind a négy tag más és más folyamatot ír le: Ezeket a folyamatokat fogom részletesen bemutatni az elkövetkező néhány fejezetben. A két felső ábra, rendre, az abszorpciónak és emissziónak felel meg, és látni fogjuk, hogy az alsó két ábrán lévő folyamatok nem valósulhatnak meg. 4.. Emisszió Az atom + tér rendszert közösen egy ψ állapotvektorral írhatjuk le. A kezdeti állapotot leíró állapotvektor a következő: ψ i = e,n k, azaz kezdetben a tér k módusában n k db foton volt,
28 4.. Emisszió 8 az atom pedig gerjesztett állapotban excited state) volt. A 4.18) képletből következik, hogy ha kezdetben a k módusban n k foton van, akkor az alapállapotba való átmenet során ugyanebben a módusban 1 fotonnak keletkeznie kell. Ezért a végállapot állapotvektora: ψ f = g,n k + 1 azaz míg az atom alapállapotba ground state) került, ez alatt kisugárzott egy ω k energiájú fotont []. A folyamat során a rendszer állapotvektora felírható a kezdeti és végállapot szuperpozíciójaként: A kezdeti feltételek: c e t i ) = 1 és c g t i ) =. ψ = c e ψ i + c g ψ f. 4.19) közelítés Az időfüggő perturbációszámítás nulladik közelítésében nem írható fel átmenet, tehát a rendszer kezdeti állapotban marad, így a folyamatot leíró állapotvektor megegyezik a kezdeti állapotéval: azaz c ) e = 1 és c ) g =. ψ = 1 ψ i + ψ f, 4.) közelítés Az időfüggő perturbációszámítás első közelítés értelmében a következő differenciálegyenlet íható fel a c g együtthatóra: i c1) g t = ψ f H kh a+s ψ i c ) e, 4.1) ahol H kh a+s a sugárzás és az atomok közti kölcsönhatást leíró Hamilton-operátor kölcsönhatási képben: H kh a+s = i k V k a k e iω kt a k eiω kt ) e iω egt e g + e iωegt g e ), 4.) ahol V k := ωk ǫ V e k d, 4.3) és a k a térben lévő fotonok léptető operátora. a k fotont tüntet el, a + k pedig fotont kelt a térben. a k n k = n k n k 1, 4.4a) a k n k = n k + 1 n k b) A H kh fi mátrixelem kiszámítása Az átmenet valószínűségének meghatározásához szükségünk lesz a H kh fi mátrixelemre:
29 4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója 9 H kh fi = ψ f H kh a+s ψ i = i g,n k + 1 l V l a k e iω lt a l eiω lt ) e iω egt e g + e iωegt g e ) e,n k Felhasználva a léptető operátorok előző fejezetben leírt tulajdonságát és az állapotok ortogonalitását, kapjuk: H fi = i n k + 1 l V l a l e iωeg ω l)t n k = i n k + 1 V k e iωeg ω k)t 4.5) Az emisszió valószínűsége Az előzőek alapján a következőt egyenletet kapjuk c g t) megváltozására: i c1) g t = i n k + 1 V k e iωeg ω k)t c ) e. 4.6) Egy egyszerű integrálás után és megkaphatjuk c 1) g értékét c 1) g = n k + 1V k t e iωeg ω k)t c ) e dt = 1 e iωeg ω k)t n k + 1V k. 4.7) iω eg ω k ) Vezessük be k := ω eg ω k, ami az átmenet és gerjesztő tér közti elhangolását jelenti, így c 1) g = n k + 1V k e i k t e i k t e i k k i t ) ) = k n k + 1V k e i k t t k. 4.8) Tehát g,n k + 1 állapot betöltésének valószínűsége: Ha t, akkor P 1) g ) sin k P g 1) = c g = V k t n k + 1). 4.9) k ) V k n k + 1) J δx), ezt láthatjuk a következő ábrán:
30 4.. Emisszió t=1 t=1.5 t=1.5 t=1.75 t= 3.5 [sinx)/x] J értékét a következőképpen határozhatjuk meg: Így a P 1) g J = x ) sin k t k ) d k = πt. 4.3) megváltozásának a rátája időegységre eső változás) a perturbációszámítás 1. rendjében Spontán emissziós ráta w e g 1) = πω k e k d nk + 1) δ ω eg ω k ). 4.31) ǫ o V A spontán emisszió során n k +1) tényezőből a +1-es tag játszik szerepet. Ha az atom kezdetben gerjesztett állapotban volt, akkor a fotontér állapotától függetlenül, miközben az atom alapállapotba kerül a fotontér valamely módusában megjelenik plusz egy foton. Ezt úgy vesszük figylembe, hogy a 4.31) képletbe n k = -t helyettesítünk és összegzünk a fotontér összes lehetséges egy-fotonos végállapotára: k A = π ǫ V k,σ ω k ekσ d δ ωeg ω k ), 4.3) A szummáról k térjünk át integrálra, ezt a következőképpen tehetjük meg: Az L élhosszúságú kockában, ahol a teret kvantáltuk, a lehetséges hullámszám vektorokat a 3.6) képlet adja meg. Ez alapján a hullámszám vektor π/l egységekkel változhat. Ezért a hullámszám vektorok háromdimenziós tere π/l) 3 térfogatú cellákra osztható. Minden egyes cellába csak egy vektor mutat. Így kapjuk L3 π) 3 d 3 k = V π π π) 3 dϕ dϑ sinϑ) dkk 4.33) Így a spontán emisszió rátája integrál alakban:
31 4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója 31 A = σ 1 8π ǫ π π dϕ dϑ k dk sin ϑω k ekσ d δ ωeg ω k ). 4.34) Mellék számításként végezzük el a polarizációs írányokra vett összegzést: e kd ) ) ) ) = d e 1,k e 1,kd + d e,k e,kd = d e 1,k e 1,k )d + d e,k e,k ) d! σ 4.35) Transzverz tér esetén a polarizációs irányok és a hullám terjedési iránya páronként merőlegesek egymásra azaz így Ezzel a polarizációra történő összegzést meghatároztuk: A = d 8π ǫ e 1,k e 1,k + e,k e,k + k k = Î, 4.36) e kd = d 1 cos ϑ) ) 4.37) σ dϑdϕ dω c 1 cos ϑ ) ω ) sin ϑ ωδ ωeg ω). 4.38) c Végül elvégezve az integrálokat megkapjuk a spontán emissziós rátát: 4.3. Abszorpció A = ω3 eg d 3πε c ) Az előzőekkel megegyező számolások alapján a következő adódik egy foton elnyelésének rátájára: w g e 1) = πω k e k d nk δω eg ω k ). 4.4) ǫ V Itt jegyzem meg, hogy a lehetségesnek tűnő másik két folyamat nem valósulhat meg, ott a δ hasában a két frekvencia összege szerepel és mivel egyik se lehet negatív szám, a δ soha nem vesz fel -tól különböző értéket.
32 4.4. Einstein-koefficiensek Einstein-koefficiensek Az előző fejezetek alapján kvantált atom + elektromágnese mezőből kiindulva le lehet írni egy fekete test üregében kialakuló sugárzást, mely egyensúlyban van a fallal. Mint ahogy azt az előbb láttuk: egy, a fekete test sugárzásbeli térbe helyezett két állapotú mikrórendszernél a következő kölcsönhatások lehetségesek [3]: 1. Abszorpció: a rendszer elnyel egy ω eg energiájú fotont és g állapotról e -ba ugrik. Mint ahogy azt az előzőekben láttuk; az abszorpciók száma arányos a g energia) szinten található atomok számával N g ), valamint az energiasűrűséggel ω eg ) = ωeg V, az arányossági tényezőt jelöljük: B eg és ezt abszorpciós Einstein-koefficiensnek nevezik. N absz. = B eg N g ω eg ) 4.41). Emisszió: A gerjesztett állapotban lévő rendszer a tér hatására ω eg foton kibocsájtásával kerül vissza alapállapotba. Az ilyen folyamatok száma arányos a ω eg ) és a gerjesztett nívón lévő atomok számával. Az arányossági tényezőt B ge -vel jelöljük és ez emissziós Einstein-koefficiensnek nevezik. N em. = B ge N e ω eg ) 4.4) 3. Spontán emisszió: A magasabb szinten lévő atomok, minden külső hatás nélkül is "alapállapotba" kerülhetnek, ezt írja le a 4.31)-ban szereplő +1. Tehát ezek a folyamatok száma független a tértől és csak a gerjesztett állapotban lévő atomok számával arányos, az arányossági tényezőt jelöljük A-val. N sp. = AN e. 4.43) Egyensúly esetén az időegység alatt lezajlódó abszorpciók számának meg kell egyeznie az emissziók számával: B eg N g ω eg ) = AN e + B ge N e ω eg ). 4.44) Termikus egyensúly esetén az atomok eloszlását a Boltzmann-törvény írja le: N e = N g e ωeg kt. 4.45) Ha a hőmérséklet magas akkor N e N g, továbbá nagy energiasűrűséget feltételezve a 4.44) egyenletben az egyensúly feltételére adódik: B ge = B eg = B, 4.46) ahol 4.31) és 4.4) alapján, átlagolva az atomi dipólus-momentumok irányára B = π d 3ε. 4.47)
33 4. fejezet. Fotonok abszorpciója és emissziója Weisskopf-Wigner elmélet A fejezetben megmutattuk, hogy perturbációszámítás 1. rendjében hogyan lehet meghatározni a spontán emissziós rátát. Azonban ez az időfüggést még nem adja meg. A Weisskopf- Wigner elmélet a spontán emisszó időfüggését írja le []. Oldjuk meg formálisan 4.18) által meghatározott Ĥ-operátorra felírt Schrödinger egyenletet. A Schrödinger egyenlet komponensei a következők a { e,, g,1 k bázisban: e, i t ψ i ċ e = e,hkh a+s ψ, = i k V k e i kt c g,k, 4.48) és g,1 k i t ψ i ċ g,k = g,1 k H kh a+s ψ, = i k V k e i kt c e, 4.49) ahol ψ = c e e, + k c g,k g,1 k. 4.5) A 4.48) egyenlet formális megoldását úgy kaphatjuk meg, hogy kifejezzük a 4.49)-ből c g,k -t c g,k = k és ezt behelyettesítjük a 4.48) egyenletbe: V k t c e t )e i kt dt 4.51) ċ e ċ e = k = k V k e i kt t c e t )e i kt dt t V k c e t )e i kt t ) dt 4.5) A fenti egyenletet a Laplace transzformáció módszerével oldjuk meg: fs) = e st ft)dt, Rs) >. 4.53) Laplace transzformáció után elvégezhetjük az integrálást. Áttérés során használjuk fel, hogy a rendszer kezdetben a ψ i = e, állapotban volt, azaz c e ) = 1. Legyen c e a transzformált együttható. Így sc e s) 1 = k = k t V k dte st dt c e t )e i kt t ) V k dt c e t ) dte st e i kt t ) t
34 4.5. Weisskopf-Wigner elmélet 34 = k = i k V k V k k + is c es) dt c e t ) e st i k s Ezt átrendezve kapjuk: 1 c e s) = s + i k Az inverz Laplace transzformáció a következő: V k k +is 4.54) ft) = 1 πi δ+i δ i e st fs)ds 4.55) Mivel a 4.54) integrálja nem triviális a reziduum tétel nem alkalmazható, mivel nem látszik az elsőrendű pólusának a helye), így nézzük meg hogy hova tart a nevezőben szereplő kifejezés: lim s i k V k k + is = lim s i k = i k V k k V k k + s k is) = i k + π k V k k V k + lim s k k + ss V k δ k ) 4.56) Jelöljük az első tagot i ω-val és a spontán emissziós ráta értéke alapján a második tag nem más mint A. lim s i k V k k + is = i ω + A 4.57) Így már látszik az elsőrendű pólus és elvégezhetjük az inverz Laplace-transzformációt: c e s) = 1 s + i ω + A 4.58) c kh e t) = e i ωt A t 4.59) c e t) = e iωe+ ω)t Γ t 4.6) Tehát most már látszik, hogy az atomi átmenet frekvenciája megváltozik ω-val, ez a Lambféle eltolódás. Γ pedig megegyezik a korábban meghatározott spontán emissziós rátával. A c e s) pólusának maghatározásánál történt az a kis csalás ami megszüntette a folyamatot reverzibilitását. Mivel a módusok igen sűrűn vannak, ezért a rendszer soha nem tér vissza a kezdeti állapotába, az energia szétfolyik.
35 II. rész Mérések, Szimulációk 35
36
37 5. fejezet A mérés összefoglalása A mérés célja, hogy megmérjük a LiNbO 3 :Er 3+ egykristályban az Er ionok 98.5nm körüli vonalának homogén vonalszélességét az inhomogénen kiszélesedett vonalon belül. Ezen kívül megbecsüljük a gerjesztett állapot élettartamát. A mérést a telítési lézerspektroszkópi módszerrel végeztem el. Az alábbi ábrán kékkel jelöltem az inhomogénen kiszélesedett vonalat, pirossal pedig a mérni kívánt homogén kiszélesedésű spektrumvonalat: 1.8 absorbance detuning A mérés két fő fázisból tevődik össze; egy kis vonalszélességű, beíró lézerimpulzus gerjeszti az Er ionok egy csoportját a mintában, majd egy kiolvasó lézerimpulzus kiolvassa a beírt populációinverziót a frekvencia függvényében. A kapott jelalakból következtetni lehet az Er ionok homogén vonalszélességére. A méréseket sokszor elvégezve és átlagolva kapjuk meg végül az eredményt. Ehhez a következőképpen kell modulálnunk a lézerfényt minden mérési ciklusban:
38 38 Az előbb leírtakat megvalósító mérési berendezés a következő volt: A diódalézerből kilépő, polarizált nyaláb átmérőjét egy nyalábszűkítő segítségével lecsökkentjük és utána egy polarizáló nyalábosztóra vezetjük, ami az egyik irányba polarizált fényt átengedi a másik irányban polarizáltat pedig visszaveri. A lézer fénye pont úgy volt polarizálva, hogy a polarizáló nyalábosztó visszaverje, így egy λ/4 lemezen átvezetjük, ahol cirkulárisan polarizált fénnyé alakul át. Aztán az akuszto-optikai modulátorral AOM) moduláljuk a fent leírt módon), majd a macskaszem segítségével újra visszavezetjük az AOM-be, és onnan a λ/4-es lemezen át a
39 5. fejezet. A mérés összefoglalása 39 polarizáló nyalábosztóba. Mivel most a λ/4-es lemezre egy cirkulárisan polarizált fény érkezett az most újra lineárisan polarizált fénnyé alakítja az eredeti fényhez képest egy π/ forgatást szenved), így a polarizáló nyalábosztón átjut és azon keresztül egy nyalábosztóba megy, ahol a fény egy részét detektorba vezetjük ez lesz a referencia), a másik része pedig fokuszálva a mintára érkezik és onnan a detektorba. Az összeállítás két elemét, a macskaszemet és az AOM-et külön-külön megvizsgáltam. Az AOM végezte a lézerfény modulációját a macskaszem pedig azt biztosította, hogy az AOM-en áthaladó fény a modulációtól függetlenül, mindig a mozdulatlan) mintára érkezzen. Szimuláció segítségével meghatároztam hogy adott kezdőértékek mellett milyen lesz a macskaszemből kijövő fény paraméterei. Felvettem az AOM szög- és frekvencia-karakterisztikáját, amiket összehasonlítottam az elméletből várttal és mérés segítségével megbecsülhettem az AOMen áthaladó lézerfény átmérőjét. Továbbá sikerült az előszóban kitűzött feladatot teljesíteni, azaz megbecsültem az Er ionok homogén vonalszélesség és a gerjesztett állapotok élettartamát.
40 4
41 6. fejezet Akuszto-optikai modulátor 6.1. Elméleti összefoglaló Az akuszto-optikai modulátor AOM) egy kristály TeO ) amiben longitudinális állóhullámokat keltünk, ezáltal sűrűség és törésmutató oszcilláció alakul ki. A beeső lézerfény a hullámfrontokkal közel párhuzamos [5]. A modulált kristály úgy viselkedik, mint egy Bragg-rács és a Bragg-feltételnek elegetéve szórja a lézerfényt. Tehát ha tudjuk vezéreli az AOM-ben kialakuló törésmutató hullámot, akkor ennek segítségével a lézerfény frekvenciáját és amplitúdóját is tudjuk változtatni, amit a szaturációs telítési) spektroszkópiában használunk ki olymódon, hogy az erbium ionok egy spektrumvonalát pásztázhazuk. A törésmutató változása, a hullámfrontokra merőleges x tengely) irányba, a következőképpen írható le: nx) = n n cos qx ϕ), 6.1) ahol n a perturbáció nélküli törésmutató n =.), a kristályban a fény terjedési sebessége v 4m/s, q a hullámszám q = π Λ v = Λ T = Λf 6.) ahol 85 MHz f 135 MHz frekvenciával rezgethető a valóságban ezt egy oszcillátorra adott 5V feszültség változtatással tehettem meg, de a fu) függvény elég jó közelítéssel lineárisnak tekinthető).
42 6.1. Elméleti összefoglaló 4 Az ábráról leolvasható, hogy az útkülönbséget a következőképpen írhatjuk fel: ahol k = π írják le: λ n = π s = k xsinϑ), 6.3) λ n a lézerre jellemző hullámszám. A reflexiót a TE polarizációs Fresnel-formula r = n 1 cos ϑ 1 n cos ϑ n 1 cos ϑ 1 + n cos ϑ 6.4) ahol n 1 = n + ) n, n = n, ϑ 1 = π ϑ és a Snellius-Descartes törvény alapján: ϑ = arcsin n1 n sinϑ 1 Ha elvégezzük a behelyettesítést és elhagyjuk a másodrendűen kis tagokat, akkor azt kapjuk a Fresnel-formulákra: Így tehát a reflexiós képesség: r = 1 n sin n 6.5) ϑ r = L L e i s dr = L A dn dr dx a 6.1)-ból és dn a 6.5)-ből határozható meg. 1 r = n sin ϑ q n Vezessük be a következő jelölést: L L L i s dr dn e dx 6.6) dn dx e ikx sinϑ sin qx ϕ) dx. 6.7) r 1 := n sin ϑ q n 6.8) és írjuk át sin a komplex számok segítségével: [ r = 1 L ] L ir e iϕ e ik sin ϑ q)x dx e iϕ e ik sinϑ+q)x dx 6.9) az integrálás elvégzése után: L L r = 1 ir L [e iϕsin k sin ϑ q) L π π) π k sin ϑ q) L π e iϕsin k sin ϑ + q) L π π) ] π k sin ϑ + q) L π 6.1) A Bragg-feltétel abból adódik, hogy az optimális visszaverődés ott van, ahol: Ha kicsi a szög akkor paraxiális közelítésben: k sinϑ B q = sinϑ B ϑ B = ± λ n Λ = ± λ n Λ 6.11) 6.1)
43 6. fejezet. Akuszto-optikai modulátor 43 gyors lecsengése miatt észlelhető intenzitást akkor kapunk, ha a két "első" zérushely közötti tartományban vagyunk, tehát a következő teljesül: k sin ϑ k sin ϑ B) L π ) A sinx) x Paraxiális közelítéseben tehát a következő feltételnek kell teljesülnie: ϑ ϑ B λ n L 6.14) 6.. Mérés A következőkben felveszem az AOM karakterisztikáját, mintegy kalibrációs céllal és meghatározom a lézerfény jellemzőit Bragg szög meghatározása Az ábrán látható a kísérlet összeállítása ami segítségével meghatározható a különböző frekvenciákhoz tartozó Bragg szögek. Tehát a direkt nyaláb és az első rend közti d távolságokat kellett mérnem és ezek segítségével meghatározható volt a ϑ B arctan d L 1 +L ) ϑ B = n A mért eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza: = arctan ) d 375cm. f MHz) d cm) ϑ Bm mrad) )
44 6.. Mérés 44 A mért adatokra egyenest illesztettem és így "tetszőleges" frekvenciához tartozó Bragg-szöget meghatározhatjuk. Az illesztett egyenes egyenlete: ϑ B = f , 6.16) ahol a frekvenciát MHz-ben mérem, a Bragg-szög pedig milli rad-ban adódik. Az illesztett egyenes és a mért pontok: 7.5 meresi pontok illesztett egyenes Bragg urad) f HMz) Összehasonlításképpen a 6.1) képletbe helyettesítve adódik ϑ B =.98µm. A mért és számolt frekvenciafüggés nagyon jól egyezik. f 4µm/µs = f. 6.17)
45 6. fejezet. Akuszto-optikai modulátor Frekvencia-karakterisztika A lézerre jellemző paramétereket meghatározása ennek a mérésnek a segítségével végezhető el. A mérési összeállítás a következő ábrán látható: A lézerfény egy dióda lézerből indul, amit egy chopper megszaggat, hogy a lock in számára feldolgozható periodikus jelet állítson elő. A megszaggatott jelet térszűrős nyalábtágító F > f) segítségével kiszélesítjük és a lézerfényben lévő kis divergenciát korrigáljuk. Az ilyen módón előállítót jelet két részre osztjuk egy nyalábosztó segítségével, a felét közvetlenül detektorba vezetjük ebből kapjuk majd a referencia jelet, hogy ne kelljen abszolút skálán mérnünk), a másik jel pedig az AOM-en keresztül a Bragg törvény értelmében a nullad rendtől különböző rendeket modulálja) a modulált jel első rend) detektorba érkezik. Az AOM vezérlő feszültségét -5)V között változtatható, azaz )MHz között változtatható a bent kialakuló törésmutató oszcillációt. A mérési pontokra, az elmélettel összhangba ) sin B f C) I = ampl. = A 6.18) B f C alakú függvényt illesztettem.
46 6.3. A mérés kiértékelés A kuszto O ptikai M odulátor kalibrálása A mért /A ref f AOM MHz) A piros pontok jelölik a mért adatokat és feketével ábrázoltam az illesztett görbét. A referencia és az AOM-on keresztül a detektorba érkező nyalábok intenzitásából meghatározhattam, hogy hanyad részére csökken le az átmenő fény intenzitása. A mérés, szemmel 11 MHz volt kalibrálva, de a mérés során kiderült hogy nem teljesen sikerült pont eltalálni az intervallum közepét, így MHz lett a maximum átvitel helye A mérés kiértékelés Lézer adatainak meghatározása A mérési eredmények és a 6.1) összefüggés ismeretében megtudtam határozni a lézerfénynyaláb vastagságát L), a lézerfény hullámszámát k) és hullámhosszát λ n, λ ). Az előző pontban illesztett átviteli függvény paraméterei: A = 17.5 ±.1 B =.5531 ± C = 5. ±.7 Jelölje q a maximum frekvenciához tartozó hullámszámot és q ±1 a két zérushelyhez tartozó frekvenciát. q = π v f max = π 4 m 18.44MHz =.16 ±.7) 1 s µm. 6.19) ennek alapján a lézer hullámszáma meghatározható: k sinϑ q = 6.) hiszen ez a maximumhely feltétele. ϑ az előző kalibrációs mérésben kapott egyenesből meghatározható, és így k = 14.9 ±.6) 1 µm -nak adódik. A lézer hullámhossza pedig: λ n =.45.)µm, λ =.98 ±.6)µm A két zérushelyhez tartozó hullámszám, pedig:
47 6. fejezet. Akuszto-optikai modulátor 47 Ezekből a lézernyaláb átmérője: q 1 =.77 ±.6) 1 µm, q +1 =.43 ±.9) 1 µm q ±1 = k sinϑ ± π L L = L +1 + L 1 = 75.8 ±.)µm 6.1) Számolt és mért Bragg-szög összehasonlítása A Bragg-szöget a következő összefüggés 6.1) segítségével határozhatjuk meg: ϑ Bsz = fλ n v = m 4 m f 6.) s A számolt és mért Bragg-szögeket összehasonlító táblázat, tehát a következő: f MHz) ϑ Bm mrad) ϑ Bsz mrad) Relatív eltérés % % % % % % % % % % % A diffrakciós kritérium 6.14) pedig: ϑ ϑ B λ n L =.46µm =.3 ±.5 6.3) 75.75µm Tehát MHz-n a lézernyaláb beeső szögét 3 ϑ 3 mrad-al változtathatom a ϑ B körül Szög-karakterisztika kísérleti ellenőrzése Az AOM és a beeső fény szögét változtattam a AOM frekvenciája állandó MHz-n) volt egy számítógép vezérelt forgó tartóval a tartó "szögfelbontása", azaz hogy milyen léptékekben tudta változtatni a szöget:.59 µrad volt). A mérési pontokra I = ampl. = A ) sinb f C 6.4) B f C
48 6.3. A mérés kiértékelés 48 függvényt illesztettem. Az illesztett görbe paraméterei: A = 17.3 ±.1 B = 36.4 ±.7 C = ± 1 3 Az ábrán egyben ábrázoltam a 6.1) összefüggés által megjósolt reflexiós függvény absz. négyzetét is. A képletben szereplő θ helyett n θ eltérítési szög függvényében ábrázoltam az átviteli függvényt az összehasonlíthatóság érdekében. 18 A kuszto O ptikai M odulátor kalibrálása A mért /A ref theta be rad) A két zérushely ±9.6mrad-nek adódott, amiből átskálázás után a kristáyon belül ±.mrad szög adódik a reflexiós fv. zérushelyére. Ez az érték közel áll a korábban kapott ±3mrad értékhez.
49 7. fejezet Macskaszem összeállítás A macskaszem összeállítás a szaturációs spektroszkópiai mérésben azt a szerepet fogja végezni, hogy azt a jelet amit AOM modulál a modulációtól függetlenül mindig egy helyben lássuk, azaz a modulációtól függetlenül mindig ugyan oda érkezzen be hogy a kristályt ne kelljen mozgatni). A szimuláció során meghatároztam, hogy ha az alábbi optikai összeállításba különböző paraméterű v be = ϑbe lézerfényt engedünk be ahol ϑ az optikai tengellyel bezárt szög és y az optikai tengelytől való távolsága), akkor hogyan változik meg a rendszerből való kilépésekor. A kilépő fény paraméterei: A mérés összeállítása: v ki = y be ϑki y ki ) 7.1) ). 7.) ahol, e és g egy kis perturbáció és F a lencse fókusztávolsága 1cm) Optikai elemek paraxiális közelítésben Hengerszimmetrikus optikai rendszereknél használjuk ezt a közelítés, amennyiben a tengelytől mért távolság kisebb, mint az adott optikai eszköz lineáris paraméterei fókusztávolság,...), valamint kicsik a sugarak szögei [4]. Ekkor a következő egyszerűsítő közelítéssel élhetünk:
50 7.. Szabad terjedés átviteli mátrixa 5 sin ϑ tan ϑ ϑ, 7.3) azaz linearizálódnak az egyenleteink. Például a Snelliusz-Descartes-törvény: kis szögekre, pedig a következőkre egyszerűsödik le: n 1 sin α = n sinβ, 7.4) n 1 α = n β, 7.5) ahol n 1, n a két közeg törésmutatója, és α az 1 közeg törési szöge és β a másik közeg törési szöge. Ha a rendszer minden releváns mérete sokkal nagyobb, mint a fény hullámhossza, akkor geometriai optikával, fénysugarak terjedésével írhatjuk le a leképezéseket. Vezessük be a következő jelöléseket, legyen y a fénysugarak optikai tengelytől mért távolsággal és ϑ az optikai tengellyel bezárt szögük. y és ϑ előjeles mennyiségek, y-t pozitívnak tekintjük, ha az optikai tengely felett van, valamin ϑ-t is, ha az az óramutató járásával ellentétes irányba fordult el az optikai tengelytől. Továbbá azt a konvenciót használjuk Newton és Gauss nyomán), hogy a fénysugarak balról jobbra terjednek és a görbületi sugár akkor pozitív ha balra domborodik. Tehát folyamatok során ennek a két mennyiségnek a megváltozását fogjuk nyomon követni. A vizsgálódást a következő matematikai formalizmussal érdemes megtenni: foglaljuk oszlopvektorba a fénysugarat jellemző mennyiségeket, és így egy optikai elem hatását paraxiális közelítésben) egy úgynevezett átviteli mátrixszal jellemezhetjük. 7.. Szabad terjedés átviteli mátrixa Ha a fénysugár útját semmi nem téríti el, akkor beszélhetünk szabad terjedésről. Tehát terjedés közben a fénysugár szöge nem változhat meg, csak az optikai tengelytől mért távolsága. Az ábráról látszik y ki = y be + d tan ϑ be y be + d ϑ be ϑ ki = ϑ 7.6)
51 7. fejezet. Macskaszem összeállítás 51 Tömörebben az előző egyenletrendszert úgy írhatjuk fel: ) ϑki 1 d = 1 y ki Amiből a szabad terjedés átviteli mátrixa: ˆM szab = 1 d Vékony lencse átviteli mátrixa ) ϑbe ) y be ) 7.7) 7.8) Egy vékony lencse két ellentétes előjelű görbületi sugarú törőfelületből áll, mivel eltekintünk a lencsén belüli szabad terjedéstől. Számítsuk ki külön-külön a két törőfelület mátrixát és aztán tegyük őket össze. Az ábráról leolvasható, hogy és a Snelliusz-Descartes-törvényből következik: A 7.1) és a 7.11) együtt azt adja: Így tehát a törési mátrix: y be = y ki, 7.9) α = y be 7.1) R n 1 ϑ be α) = n ϑ ki α). 7.11) n ϑ k i = n 1 n R y be + n 1 ϑ be 7.1) ˆM R> = 1 n 1 n R 1 ) 7.13) Az előzőekkel megegyező számolások alapján és figyelembe véve, hogy most n közegből az n 1 be terjed a fény és, hogy a görbületi sugár előjelt vált, azt kapjuk: ˆM R< = ˆM R> = 1 n 1 n R 1 ) 7.14)
52 7.3. Vékony lencse átviteli mátrixa 5 Így a vékony lencse átviteli mátrixa: ˆM L = ˆM R< ˆMR> = 1 n 1 n R 1 ) 7.15) Praktikus a lencse fókusztávolságával felírni, mivel a fókusztávolságot tudjuk közvetlenül mérni. A leképezési törvény alapján, ha párhuzamos nyalábokat vizsgálunk, akkor elegendő a képtávolságot mérni, ami megegyezik a fókusztávolsággal. Pontosabb eredményt kapunk, ha a Bessel-féle módszert válasszuk de az adott mérésnél elegendően pontos volt az első módszer is). Ehhez vizsgáljuk meg, hogy hogyan képez le egy vékony lencse. Amint azt az ábrán is láthatjuk a párhuzamos nyalábokat a fókuszpontba F y ki ϑ ki 7.16) képezi le. ˆM L ybe ) = y be n 1 n R y be ) = y ki M L ) 1 y be ) 7.17) Így a vékony lencse fókusztávolsága: F = y ki R = ϑ ki n 1 n ) = ) M L ) Ferde tükör átviteli mátrixa Határozzuk meg egy hibásan, azaz az optikai tengellyel π +ε szöget bezáróan felszerelt tükör átviteli mátrixát.
2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika
2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A
RészletesebbenAz időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben
Atomfizika ψ ψ ψ ψ ψ E z y x U z y x m = + + + ),, ( h ) ( ) ( ) ( ) ( r r r r ψ ψ ψ E U m = + Δ h z y x + + = Δ ),, ( ) ( z y x ψ =ψ r Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet),
RészletesebbenRészecskék hullámtermészete
Részecskék ullámtermészete Bevezetés A sugárzás és az anyag egyaránt mutat részecskejellegű és ullámjellegű tulajdonságokat. Atommodellek A Tomson modell J.J. Tomson 1898 A negatív töltésű elektronok pozitív
RészletesebbenMössbauer Spektroszkópia
Mössbauer Spektroszkópia Homa Gábor, Markó Gergely Mérés dátuma: 2008. 10. 15., 2008. 10. 22., 2008. 11. 05. Leadás dátuma: 2008. 11. 23. Figure 1: Rezonancia-abszorpció és szórás 1 Elméleti összefoglaló
RészletesebbenA kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
Részletesebben1. Ha két közeg határfelületén nem folyik vezetési áram, a mágneses térerősség vektorának a(z). komponense folytonos.
Az alábbi kiskérdéseket a korábbi Pacher-féle vizsgasorokból és zh-kból gyűjtöttük ki. A többségnek a lefényképezett hivatalos megoldás volt a forrása (néha még ezt is óvatosan kellett kezelni, mert egy
RészletesebbenAz optikai jelátvitel alapjai. A fény két természete, terjedése
Az optikai jelátvitel alapjai A fény két természete, terjedése A fény kettős természete 1. A fény: - Elektromágneses hullám (EMH) - Optikai jelenség Egyes dolgokat a hullám természettel könnyű magyarázni,
RészletesebbenFizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/
Fizika belépő kérdések /Földtudományi alapszak I. Évfolyam II. félév/. Coulomb törvény: a pontszerű töltések között ható erő (F) egyenesen arányos a töltések (Q,Q ) szorzatával és fordítottan arányos a
RészletesebbenMikrohullámok vizsgálata. x o
Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia
RészletesebbenA műszaki rezgéstan alapjai
A műszaki rezgéstan alapjai Dr. Csernák Gábor - Dr. Stépán Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Műszaki Mechanikai Tanszék 2012 Előszó Ez a jegyzet elsősorban gépészmérnök hallgatóknak
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenX. Fénypolarizáció. X.1. A polarizáció jelenségének magyarázata
X. Fénypolarizáció X.1. A polarizáció jelenségének magyarázata A polarizáció a fény hullámtermészetét bizonyító jelenség, amely csak a transzverzális rezgések esetén észlelhető. Köztudott, hogy csak a
RészletesebbenModern Fizika Laboratórium Fizika BSc 22. Kvantumradír
Modern Fizika Laboratórium Fizika BSc 22. Kvantumradír Mérést végezték: Márkus Bence Gábor Kálmán Dávid Kedd délelőtti csoport Mérés ideje: 05/15/2012 Beadás ideje: 05/26/2012 Érdemjegy: 1 1. A mérés rövid
Részletesebben1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?
1. Prefix jelentések. 10 1 deka 10-1 deci 10 2 hektó 10-2 centi 10 3 kiló 10-3 milli 10 6 mega 10-6 mikró 10 9 giga 10-9 nano 10 12 tera 10-12 piko 10 15 peta 10-15 fento 10 18 exa 10-18 atto 2. Mi alapján
RészletesebbenTevékenység: Olvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDEO (A ragasztás ereje)
lvassa el a fejezetet! Gyűjtse ki és jegyezze meg a ragasztás előnyeit és a hátrányait! VIDE (A ragasztás ereje) A ragasztás egyre gyakrabban alkalmazott kötéstechnológia az ipari gyakorlatban. Ennek oka,
RészletesebbenElektromágneses terek 2011/12/1 félév. Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0)
Elektromágneses terek 2011/12/1 félév Készítette: Mucsi Dénes (HTUCA0) 1 1 Bevezetés... 11 2 Vázlat... 11 3 Matematikai eszköztár... 11 3.1 Vektoranalízis... 11 3.2 Jelenségek színtere... 11 3.3 Mezők...
Részletesebben8. Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése jegyzőkönyv
8. Mikroszkóp vizsgálata Lencse görbületi sugarának mérése Folyadék törésmutatójának mérése jegyzőkönyv Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: 2008. 11. 05. Leadás dátuma: 2008. 11. 19. 1 1. Mikroszkóp
RészletesebbenKörmozgás és forgómozgás (Vázlat)
Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) I. Egyenletes körmozgás a) Mozgás leírását segítő fogalmak, mennyiségek b) Egyenletes körmozgás kinematikai leírása c) Egyenletes körmozgás dinamikai leírása II. Egyenletesen
RészletesebbenAkuszto-optikai fénydiffrakció
Bevezetés Akuszto-optikai fénydiffrakció A Brillouin által megjósolt akuszto-optikai kölcsönhatást 1932-ben mutatta ki Debye és Sears. Az effektus felhasználását, vagyis akuszto-optikai elven működő eszközök
RészletesebbenA projekt eredetileg kért időtartama: 2002 február 1. 2004. december 31. Az időtartam meghosszabbításra került 2005. december 31-ig.
Szakmai zárójelentés az Ultrarövid infravörös és távoli infravörös (THz-es) fényimpulzusok előállítása és alkalmazása című, T 38372 számú OTKA projekthez A projekt eredetileg kért időtartama: 22 február
RészletesebbenFizika I, Villamosságtan Vizsga 2005-2006-1fé, 2006. jan. 12. Név:. EHA Kód:
E-1 oldal Név:. EHA Kód: 1. Írja fel a tölté-megmaradái (folytonoági) egyenletet. (5 %)... 2. Határozza meg a Q = 6 µc nagyágú pontzerű töltétől r = 15 cm távolágban az E elektromo térerőég értékét, (
Részletesebbenτ Γ ħ (ahol ħ=6,582 10-16 evs) 2.3. A vizsgálati módszer: Mössbauer-spektroszkópia (Forrás: Buszlai Péter, szakdolgozat) 2.3.1. A Mössbauer-effektus
2.3. A vizsgálati módszer: Mössbauer-spektroszkópia (Forrás: Buszlai Péter, szakdolgozat) 2.3.1. A Mössbauer-effektus A Mössbauer-spektroszkópia igen nagy érzékenységű spektroszkópia módszer. Alapfolyamata
RészletesebbenPrizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése
Prizmás impulzuskompresszorok hômérsékleti stabilitásának modellezése Tudományos diákköri dolgozat Írta: DOMBI PÉTER Témavezetô: DR. OSVAY KÁROLY JATE Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék Szeged 1998.
RészletesebbenOptika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből)
Fénytan 1 Optika feladatok (szemelvények a 333 Furfangos Feladat Fizikából könyvből) Feladatok F. 1. Vízszintes asztallapra fektetünk egy negyedhenger alakú üvegtömböt, amelynek függőlegesen álló síklapját
RészletesebbenFogalmi alapok Mérlegegyenletek
1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül
RészletesebbenISMÉT FÖLDKÖZELBEN A MARS!
nikai Vállalat, Audió, EVIG Egyesült Villamosgépgyár, Kismotor- és Gépgyár, Szerszámgép Fejlesztési Intézet (Halásztelek), Pestvidéki Gépgyár (Szigethalom), Ikladi ûszeripari ûvek (II), Kôbányai Vas- és
RészletesebbenEmberi ízületek tribológiája
FOGLALKOZÁS-EGÉSZSÉGÜGY 3.2 Emberi ízületek tribológiája Tárgyszavak: ízület; kenés; mágneses tér; orvostudomány; szinoviális folyadék; ízületnedv; ízületi gyulladás; arthritis; arthrosis; terhelhetőség;
RészletesebbenA kvantummechanika speciális fejezetei
A kvantummechanika speciális fejezetei Jakovác Antal 2013 utolsó javítás: May 9, 2016 Contents 1 Előszó 3 2 A kvantumelmélet felépítése 3 2.1 Mérés a kvantumelméletben.....................................
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK
A ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖVÉNYEK Elektromos töltés, elektromos tér A kémiai módszerekkel tová nem ontható anyag atomokól épül fel. Az atom atommagól és az atommagot körülvevő elektronhéjakól áll. Az atommagot
RészletesebbenCsődvalószínűségek becslése a biztosításban
Csődvalószínűségek becslése a biztosításban Diplomamunka Írta: Deák Barbara Matematikus szak Témavezető: Arató Miklós, egyetemi docens Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenA fény. Abszorpciós fotometria Fluoreszcencia spektroszkópia. A fény. A spektrumok megjelenési formái. A fény kettıs természete: Huber Tamás
A fény Abszorpciós fotometria Fluoreszcencia spektroszkópia. 2010. október 19. Huber Tamás PTE ÁOK Biofizikai Intézet E A fény elektromos térerısségvektor hullámhossz A fény kettıs természete: Hullám (terjedéskor)
RészletesebbenAbszorpciós fotometria
A fény Abszorpciós fotometria Barkó Szilvia PTE ÁOK Biofizikai ntézet 2011. február E A fény elektromos térerősségvektor hullámhossz A fény kettős termzete: Hullám (terjedkor) Rzecske (kölcsönhatáskor)
RészletesebbenATTOSZEKUNDUMOS IMPULZUSOK
ATTOSZEKUNDUMOS IMPULZUSOK Varjú Katalin Szegedi Tudományegyetem Optikai és Kvantumelektronikai Tanszék Generating high-order harmonics is experimentally simple. Anne L Huillier 1 Mivel a Fizikai Szemlében
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenSugárzási alapismeretek
Sugárzási alapismeretek Energia 10 20 J Évi bejövő sugárzásmennyiség 54 385 1976-os kínai földrengés 5006 Föld széntartalékának energiája 1952 Föld olajtartalékának energiája 179 Föld gáztartalékának energiája
RészletesebbenFizikai kémia és radiokémia labor II, Laboratóriumi gyakorlat: Spektroszkópia mérés
Fizikai kémia és radiokémia labor II, Laboratóriumi gyakorlat: Spektroszkópia mérés A gyakorlatra vigyenek magukkal pendrive-ot, amire a mérési adatokat átvehetik. Ajánlott irodalom: P. W. Atkins: Fizikai
RészletesebbenDifferenciálegyenletek a hétköznapokban
Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
Részletesebben1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!
. Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c
Részletesebben2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar
2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor
RészletesebbenFény kölcsönhatása az anyaggal:
Fény kölcsönhatása az Fény kölcsönhatása az : szórás, abszorpció, emisszió Kellermayer Miklós Fényszórás A fényszórás mérése, orvosi alkalmazásai Lord Rayleigh (1842-1919) J 0 Light Fényforrás source Rayleigh
RészletesebbenESR színképek értékelése és molekulaszerkezeti értelmezése
ESR színképek értékelése és molekulaszerkezeti értelmezése Elméleti alap: Atkins: Fizikai Kémia II, 187-188, 146, 1410, 152 158 fejezetek A gyakorlat során egy párosítatlan elektronnal rendelkező benzoszemikinon
Részletesebben2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
RészletesebbenElektromágneses hullámok, a fény
Elektromágneses hullámok, a fény Az elektromos töltéssel rendelkező testeknek a töltésük miatt fellépő kölcsönhatását az elektromos és mágneses tér segítségével írhatjuk le. A kölcsönhatás úgy működik,
Részletesebben17. Kapcsolok. 26. Mit nevezünk crossbar kapcsolónak? Egy olyan kapcsoló, amely több bemenet és több kimenet között kapcsol mátrixos módon.
Fotonika 4.ZH 17. Kapcsolok 26. Mit nevezünk crossbar kapcsolónak? Egy olyan kapcsoló, amely több bemenet és több kimenet között kapcsol mátrixos módon. 27. Soroljon fel legalább négy optikai kapcsoló
RészletesebbenFókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei
Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális
RészletesebbenF1404 ATOMMAG- és RÉSZECSKEFIZIKA
F1404 ATOMMAG- és RÉSZECSKEFIZIKA Dr. Raics Péter DE TTK Kísérleti Fizikai Tanszék, Debrecen, Bem tér 18/A RAICS@TIGRIS.KLTE.HU Ajánlott irodalom Raics P.: Atommag- és részecskefizika. Jegyzet. DE Kísérleti
RészletesebbenREZGÉSDIAGNOSZTIKA ALAPJAI
TÁMOP-4.1.1.F-14/1/KONV-2015-0006 SZTE Mérnöki Kar Műszaki Intézet, Duális és moduláris képzésfejlesztés alprogram (1a) A rezgésdiagnosztika gyakorlati alkalmazása REZGÉSDIAGNOSZTIKA ALAPJAI Forgács Endre
RészletesebbenGráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. Párosítások
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Párosítások 2012. november 19. Előadó: Hajnal Péter 1. Alapfogalmak Emlékeztető. Legyen G egy gráf, E(G) a G élhalmaza, V (G) gráfunk csúcshalmaza.
RészletesebbenMit mond ki a Huygens elv, és miben több ehhez képest a Huygens Fresnel-elv?
Ismertesse az optika fejlődésének legjelentősebb mérföldköveit! - Ókor: korai megfigyelések - Euklidész (i.e. 280) A fény homogén közegben egyenes vonalban terjed. Legrövidebb út elve (!) Tulajdonképpen
RészletesebbenKövetkezõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk
1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek
RészletesebbenElektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom
Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
RészletesebbenMiskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28.
Miskolci Egyetem Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet Hegedűs Ádám Imre 2010.12.28. KOMBINATORIKA Permutáció Ismétlés nélküli permutáció alatt néhány különböző dolognak a sorba rendezését értjük. Az "ismétlés
RészletesebbenMFI mérés BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR POLIMERTECHNIKA TANSZÉK HŐRE LÁGYULÓ MŰANYAGOK FOLYÓKÉPESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA
B1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR POLIMERTECHNIKA TANSZÉK MFI mérés HŐRE LÁGYULÓ MŰANYAGOK FOLYÓKÉPESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA A JEGYZET ÉRVÉNYESSÉGÉT A TANSZÉKI WEB OLDALON
RészletesebbenHárom dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái
Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Bolyai Intézet Geometria Tanszék Három dimenziós barlangtérkép elkészítésének matematikai problémái Szakdolgozat Írta: Pásztor Péter Matematika
Részletesebben5. Trigonometria. 2 cos 40 cos 20 sin 20. BC kifejezés pontos értéke?
5. Trigonometria I. Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy cos 0 cos 0 sin 0 3. KöMaL 010/október; C. 108.. Az ABC háromszög belsejében lévő P pontra PAB PBC PCA φ. Mutassuk meg, hogy ha a háromszög szögei α,
RészletesebbenMágneses alapjelenségek
Mágneses alapjelenségek Bizonyos vasércek képesek apró vasdarabokat magukhoz vonzani: permanens mágnes Az acélrúd felmágnesezhető ilyen ércek segítségével. Rúd két vége: pólusok (a vasreszelék csak ide
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket
RészletesebbenTanulói munkafüzet. FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. egyetemi docens
Tanulói munkafüzet FIZIKA 11. évfolyam emelt szintű tananyag 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János egyetemi docens Tartalomjegyzék 1. Egyenes vonalú mozgások..... 3 2. Periodikus
RészletesebbenHa vasalják a szinusz-görbét
A dolgozat szerzőjének neve: Szabó Szilárd, Lorenzovici Zsombor Intézmény megnevezése: Bolyai Farkas Elméleti Líceum Témavezető tanár neve: Szász Ágota Beosztása: Fizika Ha vasalják a szinusz-görbét Tartalomjegyzék
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenBiofizika tesztkérdések
Biofizika tesztkérdések Egyszerű választás E kérdéstípusban A, B,...-vel jelölt lehetőségek szerepelnek, melyek közül az egyetlen megfelelőt kell kiválasztani. A választ írja a kérdés előtt lévő kockába!
RészletesebbenMUNKAANYAG. Szabó László. Szilárdságtan. A követelménymodul megnevezése:
Szabó László Szilárdságtan A követelménymodul megnevezése: Kőolaj- és vegyipari géprendszer üzemeltetője és vegyipari technikus feladatok A követelménymodul száma: 047-06 A tartalomelem azonosító száma
RészletesebbenPontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)
Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes
RészletesebbenLineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)
Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2006. február 22.) 2 3 Erdős Jenő emlékének. 4 Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 7 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása...............
RészletesebbenGEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(
RészletesebbenMITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ
MITISZK Miskolc-Térségi Integrált Szakképző Központ VALÓSZÍNŰSÉG-SZÁMÍTÁS ÉS MATEMATIKAI STATISZTIKA FEGYVERNEKI SÁNDOR Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Készült a HEFOP-3.2.2-P.-2004-10-0011-/1.0
RészletesebbenIDEIGLENES PÉLDATÁR. A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz. Szabados Ágnes
IDEIGLENES PÉLDATÁR vegyészhallgatók számára A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz kézirat gyanánt Összeállította: Surján Péter Szabados Ágnes Lázár Armand ELTE TTK Elméleti Kémia Tanszék ELŐSZÓ Ez a példatár
Részletesebben3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata
3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata A mérésben a hallgatók megismerkedhetnek a szélessávú transzformátorok főbb jellemzőivel. A mérési utasítás első része a méréshez szükséges elméleti
RészletesebbenAlkalmazott fizika Babák, György
Alkalmazott fizika Babák, György Alkalmazott fizika Babák, György Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Szent István Egyetem Copyright 2011, Szent István Egyetem. Minden jog fenntartva, Tartalom Bevezetés...
RészletesebbenOktatási segédlet. Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra. Dr. Jármai Károly.
Oktatási segédlet Acél- és alumínium-szerkezetek hegesztett kapcsolatainak méretezése fáradásra a Létesítmények acélszerkezetei tárgy hallgatóinak Dr. Jármai Károly Miskolci Egyetem 013 1 Acél- és alumínium-szerkezetek
RészletesebbenRAJZOLATI ÉS MÉLYSÉGI MINTÁZATKIALAKÍTÁS II:
RAJZOLATI ÉS MÉLYSÉGI MINTÁZATKIALAKÍTÁS II: Üveg és PMMA struktúrák CO 2 és Nd:YAG lézeres megmunkálással Készítette: Nagy Péter dr. és Varga Máté A mérés célja: CO 2 és Nd:YAG lézerek fontosabb tulajdonságainak
Részletesebben19. Az elektron fajlagos töltése
19. Az elektron fajlagos töltése Hegyi Ádám 2015. február Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Mérési összeállítás 4 2.1. Helmholtz-tekercsek.............................. 5 2.2. Hall-szonda..................................
RészletesebbenPh 11 1. 2. Mozgás mágneses térben
Bajor fizika érettségi feladatok (Tervezet G8 2011-től) Munkaidő: 180 perc (A vizsgázónak két, a szakbizottság által kiválasztott feladatsort kell kidolgoznia. A két feladatsor nem származhat azonos témakörből.)
RészletesebbenSíkban polarizált hullámok síkban polarizált lineárisan polarizált Síkban polarizált hullámok szuperpozíciója cirkulárisan polarizált
Síkban polarizált hullámok Tekintsünk egy z-tengely irányában haladó fénysugarat. Ha a tér egy adott pontjában az idő függvényeként figyeljük az elektromos (ill. mágneses) térerősség vektorokat, akkor
Részletesebben= szinkronozó nyomatékkal egyenlő.
A 4.45. ábra jelöléseit használva, tételezzük fel, hogy gépünk túllendült és éppen a B pontban üzemel. Mivel a motor által szolgáltatott M 2 nyomaték nagyobb mint az M 1 terhelőnyomaték, a gép forgórészére
Részletesebben10. Valószínűségszámítás
. Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás
RészletesebbenA 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
RészletesebbenFizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév
Fizika 1i gyakorlat példáinak kidolgozása 2012. tavaszi félév Köszönetnyilvánítás: Az órai példák kidolgozásáért, és az otthoni példákkal kapcsolatos kérdések készséges megválaszolásáért köszönet illeti
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenMEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PRÓBAÉRETTSÉGI FELADATSORHOZ 11. ÉVFOLYAM
AZ OSZÁG VEZETŐ EGYETEMI-FŐISKOLAI ELŐKÉSZÍTŐ SZEVEZETE MEGOLDÓKULCS AZ EMELT SZINTŰ FIZIKA HELYSZÍNI PÓBAÉETTSÉGI FELADATSOHOZ. ÉVFOLYAM I. ÉSZ (ÖSSZESEN 3 PONT) 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 D D C D C D D D B
Részletesebben5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR
5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb
RészletesebbenA 34. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia mérési feladata 1 : Lézerdióda és nematikus folyadékkristály optikai tulajdonságai 2
A 34. Nemzetközi Fizikai Diákolimpia mérési feladata 1 : Lézerdióda és nematikus folyadékkristály optikai tulajdonságai 2 A mérés során a fényképen látható eszközök és anyagok álltak a versenyzők rendelkezésére:
RészletesebbenVáltakozó áram. A váltakozó áram előállítása
Váltakozó áram A váltakozó áram előállítása Mágneses térben vezető keretet fogatunk. A mágneses erővonalakat metsző vezetőpárban elektromos feszültség (illetve áram) indukálódik. Az indukált feszültség
RészletesebbenRadioaktivitás. 9.2 fejezet
Radioaktivitás 9.2 fejezet A bomlási törvény Bomlási folyamat alapjai: Értelmezés (bomlás): Azt a magfizikai folyamatot, amely során nagy tömegszámú atommagok spontán módon, azaz véletlenszerűen (statisztikailag)
RészletesebbenAtommagok mágneses momentumának mérése
Korszerű mérési módszerek laboratórium Atommagok mágneses momentumának mérése Mérési jegyzőkönyv Rudolf Ádám Fizika BSc., Fizikus szakirány Mérőtársak: Kozics György, Laschober Dóra, Májer Imre Mérésvezető:
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
RészletesebbenXXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN
2007. február 6. 1 Pálinkás József: Fizika 2. XXV. ELEKTROMOS VEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN Bevezetés: Az előző fejezetekben megismertük, hogy a kvantumelmélet milyen jól leírja az atomok és a molekulák felépítését.
RészletesebbenKOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA II.
KOVÁCS ENDRe, PARIpÁS BÉLA, FIZIkA II. 12 A MODERN FIZIKa ELEMEI XII. MAGfIZIkA ÉS RADIOAkTIVITÁS 1. AZ ATOmmAG Rutherford (1911) arra a következtetésre jutott, hogy az atom pozitív töltését hordozó anyag
RészletesebbenFeladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz.
Asbóth János, Oroszlány László, Pályi András Feladatgyűjtemény a Topologikus Szigetelők 1. c. tárgyhoz. A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/1-11-1-2012-0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói,
RészletesebbenTMDK-DOLGOZAT. Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével
TMDK-DOLGOZAT Stacionárius és rádiófrekvenciás elektromágneses terek vizsgálata a momentumok módszerének segítségével Írta: M.Sc. szakos villamosmérnök hallgató Konzulens: Friedl Gergely doktorandusz hallgató,
RészletesebbenS T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt
S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy
RészletesebbenMFI mérés BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR POLIMERTECHNIKA TANSZÉK HŐRE LÁGYULÓ MŰANYAGOK FOLYÓKÉPESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA
B2 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR POLIMERTECHNIKA TANSZÉK MFI mérés HŐRE LÁGYULÓ MŰANYAGOK FOLYÓKÉPESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA A JEGYZET ÉRVÉNYESSÉGÉT A TANSZÉKI WEB OLDALON
RészletesebbenKockázati folyamatok. Sz cs Gábor. Szeged, 2012. szi félév. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet
Kockázati folyamatok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Szeged, 2012. szi félév Sz cs Gábor (SZTE, Bolyai Intézet) Kockázati folyamatok 2012. szi félév 1 / 48 Bevezetés A kurzus céljai
Részletesebbena fizikai (hullám) optika
A fény f hullám m természete a fizikai (hullám) optika Geometriai optika Optika Fizikai optika Fény-anyag kölcsönhatás Összeállította: CSISZÁR IMRE SZTE, Ságvári E. Gyakorló Gimnázium SZEGED, 006. szeptember
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika középszint 1413 ÉRETTSÉGI VIZSGA 015. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Fontos tudnivalók Formai előírások:
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
RészletesebbenDeterminisztikus folyamatok. Kun Ferenc
Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001 2 Determinisztikus folyamatok Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok
Részletesebben