Emberi ízületek tribológiája

Átírás

1 FOGLALKOZÁS-EGÉSZSÉGÜGY 3.2 Emberi ízületek tribológiája Tárgyszavak: ízület; kenés; mágneses tér; orvostudomány; szinoviális folyadék; ízületnedv; ízületi gyulladás; arthritis; arthrosis; terhelhetőség; terápia; csípőízület; könyökízület; vállízület; tribológia. Bevezetés, kiindulási alapok A WHO (Egészségügyi Világszervezet) demográfiai becslései szerint az Európai Únióban a 80 évnél idősebb személyek száma az évi 13,5 millióról 2050-ig 45 millióra nő, míg a dolgozók száma ugyanebben az időszakban 227 millióról 172 millióra csökken. A csípőízületi törések száma 2000 és 2050 között a nőknél ről re, a férfiaknál ről re nő majd. A csípőízület betegségeinél a pulzáló mágneses térrel végzett terápiával már néhány kezeléssel pozitív hatás érhető el, mivel a váltakozó mágneses tér a test belsejében áramot indukál, amelynek a sejtek anyagcseréjére van hatása. A széles frekvenciatartományú, váltakozó mágneses tér a sejtmembránra, a nyirok- és a vérkeringésben az iontranszportra és elektrolittranszportra hat, gyorsítja az anyagcserét, a káros anyagok eltávolítását, a sérült vagy beteg sejtek regenerálását. Az alábbiak foglalkoznak: az egészséges és a beteg emberi ízületek tribológiájának az ízületi résekben fellépő nyomáseloszlással kapcsolatos problémáival, az emberi ízületekben a csont és a porc között fellépő nyomás és az ízület terhelhetőségének egyszerű, közelítő számításával, figyelembe véve a mágneses tér hatását (a mágneses tér megelőzi az ízületi gyulladást, arthrosis), mágneses térrel kezelt ízület orvosi célokra alkalmas, egyszerűsített, numerikus számítási módszerével. Az emberi ízületekben a csont fejének váltakozó elmozdulása okozza a nyomásos áramlással összefüggő hidrodinamikus kenést. Az elfordulással kapcsolatos hidrodinamikus kenést a csont elfordulási szögsebessége hozza létre. A szinoviális folyadék (ízületnedv, a kenőanyag) a mágneses tér hatására kialakuló aszimmetrikus és izotermikus áramlását tételezik fel a csont és a porc közötti, változó magasságú résben. A szinoviális folyadék viszkozitása kerületi irányban és hosszirányban változó, sűrűsége állandó. A kenés prob-

2 lémájának megfelelő megoldásához az ízület nemlineáris geometriáját is figyelembe kell venni. A működésben részt vevő csontfelületek gömb, parabolikus, hiperbolikus és elliptikus alakú felületek. Az emberi csípőizület csontjai gömb és elliptikus alakúak. Az emberi ujj-, láb- és könyökizületek parabolikus és hiperbolikus alakúak. A dinamikus viszkozitás az egymás ellen mozgatott folyadékmolekulák belső súrlódásának mértéke (1. ábra). A viszonyokat leíró összefüggés: viszkozitás = súrlódási erő rés magassága F h N m = = = Pa s Pas sebesség érintkező felület V A m 2 m s (1a) A rés magassága h szinoviális folyadék F 1. ábra A szinoviális folyadék viszkozitásának definíciója A viszkozitást leíró tört számlálójában az F súrlódási erő és a h résszélesség szorzata, nevezőjében a kenőanyag V sebességének és az A érintkező felület szorzata szerepel. A viszkozitás a nyíróerő gradiensétől és a mágneses tértől függ. A nyíróerő gradiense a kenőanyag sebességének és a rés magasságának az arányától függ. Ha a nyíróerő gradiense csökken, akkor a viszkozitás nő. Ha a mágneses tér nő, akkor a viszkozitás is nő. A viszkozitás és a nyíróerő gradiensét az alábbi összefüggés írja le: η0 η η p = η A Θ+ B Θ (1b) δv Θ= δα 1 2

3 ahol η = dinamikus viszkozitás a nyíróerő gradiensének nagy értékei esetén (Θ = 1000 s -1 ) η = dinamikus viszkozitás a nyíróerő gradiensének kis értékei esetén 0 (Θ = 5 s -1 ) A (N,B), B (N,B) kísérleti tényezők Korábbi kísérletek alapján az alábbi értékek adódtak: A = 1, s és B = 0,00131 s 2 egészséges ízületekre, mágneses tér nélkül, valamint A = 0,03349 s és B = 0,00458 s 2 beteg ízületekre, mágneses tér nélkül. Hidrodinamikus kenés nyomásos áramlás és elfordulás esetén Nyomásos áramlás Ha két, egymásra hatással levő csontfelület mágneses térben, az erő és a v sebesség hatására egymáshoz közelebb kerül, akkor nyomásos áramlásról van szó (2.a, 2.b ábra). Az N szimbólum a mágneses nyomatékot; B a mágneses indukciót (mágneses fluxussűrűséget) jelöli. E felületek között van az η viszkozitású szinoviális folyadék. A felső felület a mozgás közben mindig a legkisebb távolságokban van az alsó felülettől. Mivel a szinoviális folyadék a két felület között van, így a két felület nem érintkezhet egymással. Minél nagyobb a mágneses tér, annál nagyobb értékre nő a viszkozitás. Minél nagyobb a viszkozitás, annál nagyobb értékre nő a nyomás. Ez a nyomás akadályozza meg a csont és a porc felületének érintkezését. A felső felület lehetséges végső helyzetében ε távolságra van az alsó felülettől. Ekkor a nyomásos áramlás miatt az alábbi nyomás lép fel: U η p = + N B ε m N s s 2 m A N N Pa m m A m 2 m [p] = + = = [ ] (2) Az U szimbólum egyenletes sebességet, az N a mágneses nyomatékot, és a B a mágneses indukciót (mágneses fluxussűrűséget) jelenti.

4 az U sebesség és a terhelés iránya N[A/m] B[N/Am] É szinoviális folyadék érintkezési felület α 1 α 3 nyomás D ε porc a csont alsó része a nyomásos áramlás p nyomása a csont felső felülete U (sebesség) szinoviális folyadék a csont alsó felülete ε végső résmagasság 2. ábra Emberi ízületek csont és porc közötti kenése a szinoviális folyadék nyomásos áramlásával Hidrodinamikus kenés elfordulással Adott két koncentrikus gömbfelület (a csont és a porc), a csont ω szögsebességgel mozog (3. ábra). A rés magassága h, a csont gömb alakú fejének

5 sugara R. E felületek között van a mágneses tér és az η viszkozitású szinoviális folyadék. A csont mozgása a folyadék áramlását váltja ki. Ha a csont felülete ω szögsebességének hatására a szinoviális folyadék mozogni kezd, akkor az elfordulás miatt elkezdődik a hidrodinamikus kenés. p hidrodinamikus nyomás porc η viszkozitású szinoviális folyadék a csont feje ω szögsebesség 3. ábra Elfordulás által keltett, klasszikus hidrodinamikus kenés vázlatos ábrázolása emberi ízületekben A kenés közben hidrodinamikus nyomás lép fel ω R η p = + N B h 1 N s m s 2 A N N 2 [ p] = m + = = [ Pa] m m A m m (3) Megjegyzés A szinoviális folyadék sebességének összetevői V 1, V 2 és V 3. A szinoviális folyadék sebességét a csont nyomásos áramlás közben fellépő U elmozdulása vagy a csont hidrodinamikus kenése közbeni ω szögsebessége határozza meg Az alkalmazott jelölések: ε a rés magassága, b m, b s az érintkezési zóna tartományai a nyomásos áramlás közben.

6 Hogyan keletkezik a mágneses tér az emberi ízületben? A mágneses tér létrehozásának három lehetősége: 1. A mágneses tér forrása a testen kívül van. Léteznek a mágneses teret létrehozó speciális ortopédiai készülékek. 2. A mágneses teret mágneses pólusok hozzák létre. A mágneses pólusokat az emberi ízület porcában helyezik el. 3. Az ízület résébe ferromágneses folyadékot fecskendeznek (4. ábra). r porc alakváltozások tartománya c 3 c 2 szinoviális folyadék ferrofolyadékkal 0,035 τ D É ε = 5000 mm x c 1 0,010 τ csont 4. ábra Ferrofolyadék a porc és a csont feje között A ferroolajoknak is nevezett ferromágneses olajok kolloid diszperziók, amelyek disszipatív szénhidrogént és 10 nm molekulaméretű vas-oxidot (Fe 3 O 4 ) tartalmaznak. A 10 nm-es, mágneses részecskék mikrokapszulák bel-

7 sejében vannak. Az ízület résében a kapszulák elroncsolódnak, és így alakul ki a mágneses tér. Alapegyenletek A mágneses térben levő, összenyomhatatlan szinoviális folyadék stacionárius áramlásának mozgásegyenletei (impulzusegyenlet, folytonossági egyenlet) a következők: 1 p V1 0 = - + η p + (N )B1+ 0,5 (rotn B) 1 (4) h1 α1 α2 α2 0 p = α 2, (5) 1 p 3 0 = + η p + (N )B3 + 0,5(rotN B) 3 h1 α3 α2 α2 V V h h h (h V ) = α1 α2 α3 (6) (7) 0 α 1 2 π, 0 α 2 r ε, 0 α 3 c 3, c 3 (0, R/8) Az itt elhanyagolt mennyiségek 10-4 nagyságrendűek, amely az ε résmagasság és a csontfej sugara átlagos méretének aránya. Elhanyagolható a szinoviális folyadék viszonylag kis sebességű áramlása során és a viszonylag kis görbületek miatt rendkívül kis értékű centrifugális erő. Az alábbi jelöléseket alkalmazzák: η p a szinoviális folyadék látszólagos dinamikus viszkozitása, v a szinoviális folyadék sebessége, p nyomás, B mágneses indukció (mágneses fluxussűrűség). Ezen túlmenően h 1, h 2, h 3 jelöli a csont geometriai alakjától függően különböző függvényekkel megadható Lamé-tényezőket, és α 1, α 2, α 3 jelöli a kerületi irányú, a rés magassága irányába mutató és a hosszirányú, görbe vonalú, ortogonális koordinátákat. V 1, V 2, V 3 a szinoviális folyadék kerületi irányú, a rés magasságának megfelelő irányú és hosszirányú sebességkomponensei, p pedig a hidrodinamikai nyomás. A csípőízületet gömbkoordinátákkal írják le: α 1 = ϕ, α 2 = r, α 3 = δ.

8 A következőket feltételezik: h 1 = R sin (δ/r), H 2 = 1 és H 3 = 1. R jelöli a csípőízület csontfejének sugarát. Határfeltételek Az 5. ábrán a nyomásos áramlás során fellépő hidrodinamikus kenésre jellemző sebesség összetevőinek határfeltételei láthatók. A 6. ábra a forgás közbeni határfeltételeket ábrázolja. szinoviális folyadék porc egyenletes sebesség csont feje mozgás közben 5. ábra A porc és a csont feje közötti rés tartománya az elfordulás által keltett hidrodinamikus kenés kialakulásához; B = mágneses indukció, N = mágneses nyomaték; ω= szögsebesség, ε = résmagasság p z( α 3 ) 6. ábra Elfordulás által keltett hidrodinamikus kenés nyomástartománya peremfeltételekkel

9 A 5. ábrán az alsó felület nyugalomban van, és így ezen a felületen valamennyi összetevő nulla értékű. A felső csontfelület egyenletes U sebességgel mozog, és így a rés magasságának irányába mutató összetevő a csont felületén U értékű. Ezzel szemben a sebesség többi összetevőjének értéke a 6. ábrán látható, az alsó csontfelület a csont fejének kerületi sebességével mozog. Ezért a szinoviális folyadék az érintkezési tartományban felveszi ezt a sebességet. A csont alsó felületén valamennyi többi összetevő értéke nulla. A 6. ábrában a porc felső felülete mozdulatlan, és ezért a porc felszínén a sebesség a résmagasság, a kerület és a hossz irányában nulla. A 7. ábra a hidrodinamikus kenés közben fellépő nyomás peremfeltételeit szemlélteti, a 8. ábra pedig a nyomásos áramlás nyomástartományát mutatja. rés magassága 7. ábra Nyomásos áramlás nyomástartománya; U = egyenletes sebesség; ε = rés magassága; p = nyomás A 7. ábrában a forgásos hidrodinamikus kenés esetére a csont felületének szélső tartományában a légköri nyomást p A értékűnek vesszük. A nyomásos áramlás esetére a 8. ábrában, az R sugarú körnél, tehát a kerék pereménél, amely a csontfelületek közötti legkisebb távolság vagy egy

10 esetleges érintkezés tartományát utánozza és írja le, p A értékű légköri nyomást tételeznek fel. porc izületi rés a csont feje 8. ábra A gömb alakú porc O 1 középpontja, valamint a csont fejének O középpontja, továbbá a csont fején a nyomáseloszlás Ω tartománya, elfordulás által keltett hidrodinamikus kenés esetére A nyomásfüggvény Reynolds-egyenletei A nyomásos áramlás esetére vonatkozó hidrodinamikus kenés Reynoldsegyenletei a következők: 3 3 ε p ϑ 2 ϑ ε p ϑ 2 2 ϑ MϕR sin + R sin Mϑ sin = 12U R sin ηp ϕ R R ϑ η ϑ R ϕ p R (8) ahol M i (N ) B i + 0,5 [rot (N B)] i i = ϕ, ϑ, 0 α 2 π, 1 0 α c,c (0,R π / 27), α 1 = ϕ, α 3 = ϑ és p(ϕ,ϑ) p A a szélek legkisebb távolsága tartományának peremén. A forgás esetére vonatkozó hidrodinamikus kenés Reynolds-egyenletei az alábbiak, amelyekből megkapjuk az ismeretlen p (α 1, α 3 ) nyomásfüggvényt: 3 3 ε p ϑ 2 ϑ ε p ϑ 2 ε 2 ϑ MϕR sin + R sin Mϑ sin = 6ωR sin ϕ ηp ϕ R R ϑ η ϑ R ϕ R (9)

11 0 < α 1 ϕ < 2πc 1, 0 < c 1 < 1, c 1 = ½, πr/8 < α 3 < πr/2. Így megkapható az ismeretlen p(ϕ, δ) nyomásfüggvény. Számpélda a csípőízületben a nyomásfüggvények meghatározására Először a (9) egyenletet kell megoldani (a Matcad programmal) gömbkoordinátákban, a csípőízület hidrodinamikus kenésének vizsgálatára, elfordulást feltételezve, mágneses tér nélkül. A numerikus eljárást a véges különbségek módszerével végezik. A nyomás számszerű értékei aszimptotikusan stabilak. A pontosság tartalmazza a megengedett hibahatárt. A numerikus számításokban normális csípőízületre az alábbi értékeket veszik figyelembe: A rés magassága normális csípőizületet feltételezve, ε 1 = 5 µm, ε 2 = 5 µm, ε 3 = 5 µm, valamint a rés legkisebb magassága ε min = 14,8 µm, a csontfej sugara R = 0, m, és a légköri nyomás a csont felületén, a tartomány szélén = Ω(α 1, α 3 ) = π R 2 cos π/8 = 20,5 cm 2. Ezekkel az értékekkel számították és ábrázolták nyomáseloszlásokat. Az első nyomáseloszlást a (9) egyenlet alapján, a csontfej ω = 0,1 s -1 szögsebességével és a szinoviális folyadék η p = 30,00 Pa s értékű dinamikus viszkozitásával számolva kaptuk. A nyomásgörbe p max csúcsa eléri a 14, N/m 2 = 14,60 at értéket. Az integrálás után a teljes terhelhetőség C tot = 909 N értékre adódik. A második nyomáseloszlást a (9) egyenlet alapján a csontfej ω = 1,0 s -1 szögsebességével és a szinoviális folyadék η p = 2,00 Pa s értékű dinamikus viszkozitásával számolva a nyomásgörbe p max csúcsa eléri a 10, N/m 2 = 10,08 at értéket; azonban az integrálás után a teljes terhelhetőség C tot = 606 N. Beteg ízületre ω = 1,0 s -1 szögsebességgel és a szinoviális folyadék η p = 0,05 Pa s dinamikus viszkozitásával, valamint legkisebb résmagasságként ε min = 9,3 µm értékkel, a (9) egyenlettel számítva, az integrálás után a teljes terhelhetőség C tot = 41,7 N és a nyomásgörbe csúcsa p max = 1, N/m 2 = 1,68 at értékűnek adódik. Beteg ízületre ω = 0,1 s -1 szögsebességgel és a szinoviális folyadék η p = 0,20 Pa s dinamikus viszkozitásával, valamint legkisebb résmagasságként ε min = 9,3 µm értékkel, a (9) egyenlettel számítva, az integrálás után a teljes terhelhetőség C tot = 16,68 N és a nyomásgörbe csúcsa p max = 1, N/m 2 = 1,27 at értékűnek adódik. A teljes terhelhetőség C tot = 909 N és C tot = 606 N értékeivel számolva az alábbi nyomófeszültségek adódnak: σ = 909 N/20,50 cm 2 = 0,44 MN/m 2 = 0,44 N/mm 2 és

12 σ = 606 N/20,50 cm 2 = 0,29 MN/m 2 = 0,29 N/mm 2. Mivel a csont nyomószilárdsága nem haladja meg a 21 N/mm 2 értéket, tehát az így kapott nyomófeszültségek nem roncsolják a csontot. A csípőízület nyomásos áramlás által keltett hidrodinamikus kenésére megoldva a (8) egyenletet, mágneses tér nélkül: normális csípőízületre a rés magasságára ε 1 = 5 µm, ε 2 = 5 µm, ε 3 = 5 µm, valamint a rés legkisebb magasságára ε min = 64 µm, a csontfej sugarára R = 0, m értéket, és a légköri nyomásra a csont felületén, a tartomány szélén Ω(α 1, α 3 ) = π R 2 (1 cos π/27) = 0,30 cm 2 értéket felvéve számították és ábrázolták a nyomáseloszlásokat. Az első nyomáseloszlást a (8) egyenlet alapján, a csontfej egyenletes U = 0,1 ms -1 sebességével és a szinoviális folyadék η p = 2,0 Pa s értékű dinamikus viszkozitásával számolva kapták. A nyomásgörbe p max csúcsa eléri a 20, N/m 2 = 203 at értéket. Az integrálás után a teljes terhelhetőségre C tot = 414 N adódik. A második nyomáseloszlást a (8) egyenlet alapján, a csontfej egyenletes U = 0,01 ms -1 sebességével és a szinoviális folyadék η p = 30,00 Pa s értékű dinamikus viszkozitásával számolva kapták. A nyomásgörbe p max csúcsa eléri a 30, N/m 2 = 304 at értéket. Az integrálás után a teljes terhelhetőségre C tot = 620 N adódik. Beteg ízületre U = 1,0 ms -1 sebességgel és a szinoviális folyadék η p = 0,05 Pa s dinamikus viszkozitásával, valamint legkisebb résmagasságként ε min = 19 µm értékkel, a (8) egyenlettel számítva, az integrálás után a teljes terhelhetőség C tot = 356 N és a nyomásgörbe csúcsa p max = 17, N/m 2 = 175 at értékűnek adódik. Beteg ízületre U = 0,1 ms -1 sebességgel és a szinoviális folyadék η p = 0,20 Pa s dinamikus viszkozitásával, valamint legkisebb résmagasságként ε min = 19 µm értékkel, a (8) egyenlettel számítva, az integrálás után a teljes terhelhetőség C tot = 144 N és a nyomásgörbe csúcsa p max = 7, N/m 2 = 706 at értékűnek adódik. A teljes terhelhetőség C tot = 620 N és C tot = 414 N értékeivel számolva az alábbi nyomófeszültségek adódnak: σ = 620 N/0,30 cm 2 = 20,66 MN/m 2 = 20,66 N/mm 2 és σ = 414 N/0,30 cm 2 = 13,8 MN/m 2 = 13,80 N/mm 2. Mivel az egészséges csont nyomószilárdsága eléri a 21 N/mm 2 értéket, tehát az így kapott nyomófeszültségek nem roncsolják a csontot. További kutatások Az ízület további paramétereinek (terhelhetőség, Sommerfeld-számok, súrlódási erők, kopás stb.) meghatározására további kutatások szükségesek. Az alábbi három kutatási sorozat elvégzését javasolják elsősorban:

13 Az instabil, intelligens mágneses tér hatása az emberi ízület jellemző adataira. Alakítható porcok hatása az ízület viselkedésére. Instabil terhelések hatása az emberi ízület viselkedésére. (Pálinkás János) Wierzcholski, C: Tribologie für menschliche Gelenke. = Tribologie und Schmierungstechnik, 49. k. 5. sz p Wierzcholski, C.: Human joint treated by the unsteady magnetic field. = Applied Mechanics and Engineering, 7. k különszám. p