Matematika összefoglaló

Átírás

1 Matematika összefoglaló Algebra 1. Számelmélet, oszthatóság, számrendszerek Tétel (számelmélet alaptétele) Minden természetes szám a sorrendtől eltekintve egyértelműen bontható prímhatvány-tényezők szorzatára. Egy szám osztóinak száma: * szám osztóinak száma: Két (vagy több) szám legnagyobb közös osztója: közös osztóik között a legnagyobb. Meghatározás: vegyük a közös prímtényezőket a kisebbik hatványon. Két (vagy több) szám legkisebb közös többszöröse: közös többszöröseik között a legkisebb. Meghatározás: vegyük az összes prímtényezőket, és a közös prímtényezőket pedig a nagyobbik hatványon. Tétel:, - Oszthatósági szabályok: 2-vel: páros 3-mal: ha a számjegyek összege osztható 3-mal. 4-gyel: ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4-gyel 5-tel: 0-ra és 5-re végződő számok 6-tal: 2-vel és 3-mal osztható számok 8-cal: ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8-cal 9-cel: ha a számjegyek összege osztható 9-cel. 10-zel: 0-ra végződő számok 12-vel: 3-mal és 4-gyel osztható számok 15-tel: 3-mal és 5-tel osztható számok 20-szal: 4-gyel és 5-tel osztható számok 25-tel: 25-re, 50-re, 75-re és 00-ra végződő számok 50-nel: 50-re és 00-ra végződő számok 100-zal: 00-ra végződő számok. Oszthatóság: a osztója b-nek, ha van olyan, melyre a*k=b.. Jele:. Tulajdonságok: 1. a a. 2. ha a b akkor a bc. 3. ha a b és b c akkor a c. 4. ha a b és a c akkor a b+c és a b-c. 5. ha a b+c és a b akkor a c. 6. ha a b és b a akkor a=b (a, b természetes számok). 7. minden a esetében a 0. Prímszámok: azokat a pozitív egész számokat, melyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük. Az 1 nem prím. Az 1 egység. Összetett számok: kettőnél több osztójuk van. Számrendszerek: Minden számrendszerben annyi számjegy van, ahányas számrendszerben vagyunk. Az átírás lényege: az adott (kívánt) számrendszer helyiértékeit írjuk fel! 1

2 2. Algebrai kifejezések, nevezetes azonosságok, egyenletek, egyenletrendszerek Zárójel-felbontás: minden tagot minden taggal meg kell szorozni. Fordított művelet: kiemelés. Nevezetes azonosságok: Elsőfokú egyenletek: Megoldások száma: 1 (általában), 0 (ellentmondás)vagy végtelen sok (azonosság). Grafikus megoldás: két egyenes metsző (1 megoldás), párhuzamos (ellentmondás) vagy egybeesik (azonosság). Másodfokú egyenletek: a megoldások száma a diszkrimináns értékétől függ: D>0: 2 megoldás, D=0: 1 megoldás és ha a D<0 akkor nincs megoldás a valós számok halmazán. Megoldóképlet: Viéte formulái (gyökök és együtthatók közötti összefüggések): és. Gyöktényezős alak: Egyenletrendszerek: 1. Behelyettesítéses módszer: az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, majd a másik egyenletbe a megfelelő betű helyébe behelyettesítjük a kapott kifejezést. 2. Egyenlő együtthatók módszere: megszorozzuk az egyenleteket úgy, hogy valamelyik ismeretlen együtthatója megegyező legyen, majd ha az egyenlő együtthatók előjele megegyezik akkor a két egyenletet kivonjuk egymásból, illetve ha az előjel különbözik, akkor meg összeadjuk a két egyenletet. 3. Grafikus módszer: ábrázoljuk mindkét egyenletet függvényként, majd leolvassuk a metszéspont koordinátáit. 2

3 3. Hatványozás, gyökvonás, logaritmus Hatványozás: azt jelenti, hogy a-t k-szor szorozzuk össze önmagával. Hatványozás kiterjesztése:. Hatványozás azonosságai: / 5. Számok normál alakja: olyan szorzat, melynek első tényezője 1 és 10 közé eső szám, második tényezője 10 valamely hatványa. Gyökvonás: Egy nemnegatív a szám 2k-adik gyökén azt a nemnegatív számot értjük, melynek 2kadik hatványa a. (tehát a gyökkitevő páros!). Páratlan gyökkitevő esetén: Egy valós a szám 2k+1- edik gyökén azt a valós számot értjük, melynek 2k+1-edik hatványa a. Gyökvonás azonosságai: ( ) ahol Gyökvonás és hatványozás közötti összefüggés: az a pozitív szám m-edik hatványának n-edik gyöke: hatványa az a alap Legfontosabb műveletek gyökös kifejezésekkel: bevitel a gyökjel alá, kivétel a gyökjel alól és nevező gyöktelenítése. Logaritmus: A b szám a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a-t emelve b-t kapunk, ahol a>0, b>0 és Jele: A logaritmus azonosságai: ahol x,y>0, a>0,. Áttérés más alapra: Az exponenciális (logaritmus) függvény szigorú monotonitása miatt a hatványalapok (logaritmus) elhagyható. 3

4 Függvények 1. Függvények típusai Konstans függvény: y=c. A példa: y=5. ÉT: R. ÉK: y=5. min, max nincs. zérushely: nincs. páros. nem páratlan. Lineáris függvény: y=mx+b. b: itt metszi a függvény az y tengely. m: meredekség vagy iránytangens, ahol számláló: ennyit lépünk fölfelé, ha pozitív a tört, illetve lefelé, ha negatív, és a nevező megmutatja, hogy mennyit lépjünk jobbra. Másodfokú függvény (parabola!): ÉT: R; ÉK: ; minimum: x=0 helyen y=0 értéket vesz föl. Maximum: nincs. Zérushely: x=0. monotonitás: szig. monoton csökkenő. szig. monoton növekvő. páros, nem páratlan. Általános alak: y=x 2 +ax+b, ezt az alakot kell alakítani még. Teljes négyzetté alakítás:. / [. / ]. / 4

5 Abszolút-értékes függvény: Egy szám abszolút értéke a 0-tól való távolsága a számegyenesen. f(x)= x ÉT: R; ÉK: ; minimum: x=0 helyen y=0 értéket vesz föl. Maximum: nincs. Zérushely: x=0. monotonitás: szig. monoton csökkenő. szig. monoton növekvő. páros, nem páratlan. Négyzetgyökös függvény: f(x)= ÉT: ; ÉK: ; minimum: x=0 helyen y=0 értéket vesz föl. Maximum: nincs. Zérushely: x=0. monotonitás: szig. monoton növekvő. nem páros, nem páratlan. Hatványfüggvények: x valamelyik hatványon szerepel. A tananyagban második, harmadik és negyedik hatvány szerepel. Pl. f(x)=x 3. Ezek inverz függvényei: gyökös függvények. Pl. f(x)=. Inverz függvények: 1. Az y=x függvényre tengelyesen szimmetrikusak 2. a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű 3. az ÉT és az ÉK helyet cserél (tehát az értéktáblázat két sora felcserélődik) f(x)=x 3 esetén: ÉT: R; ÉK: R; minimum: nincs. Maximum: nincs. Zérushely: x=0. monotonitás: szig. monoton növekvő. nem páros, páratlan. f(x)= esetén: a jellemzés ugyanaz! 5

6 Exponenciális függvények: az x a kitevőben szerepel. a>0 és feltétel. f(x)=. Ha a>1 akkor a függvény szigorúan monoton növekvő, ha 0<a<1 akkor szigorúan monoton csökkenő. ÉT: R; ÉK: y>0; minimum: nincs. Maximum: nincs. Zérushely: nincs. monotonitás: szig. monoton növekvő. (0<a<1 esetén monoton csökkenő), nem páros, nem páratlan. Az exponenciális és logaritmus függvények egymás inverzei. Logaritmus függvények:, feltételek: a>0 és. Ha a>1 akkor szigorúan monoton növekvő, ha 0<a<1 akkor szigorúan monoton csökkenő. ÉT: x>0; ÉK: R; minimum: nincs. Maximum: nincs. Zérushely: x=1. monotonitás: szig. monoton növekvő. (0<a<1 esetén monoton csökkenő), nem páros, nem páratlan. Trigonometrikus függvények: f(x)=sinx; ÉT: R; ÉK: ; minimum:. Maximum: Zérushely: monotonitás: szig. monoton növekvő és csökkenő, nem páros, páratlan, periódikus, periódus hossza:. szig. 6

7 f(x)=cosx; ÉT: R; ÉK: ; minimum:. Maximum: Zérushely: monotonitás: szig. monoton növekvő és szig. csökkenő, páros, nem páratlan, periódikus, periódus hossza:. f(x)=tgx ÉT: \{ } ; ÉK: ; minimum: Maximum: Zérushely: monotonitás: szig. monoton növekvő, nem páros, páratlan, periódikus, periódus hossza:. f(x)=ctgx ÉT: \* + ; ÉK: ; minimum: Maximum: Zérushely: monotonitás: szig. monoton csökkenő, nem páros, páratlan, periódikus, periódus hossza:. 2. Függvényvizsgálat 1. ÉT, értelmezési tartomány: milyen számokat írhatunk az x helyébe? 2. ÉK, értékkészlet: milyen értékeket vesz föl a függvény? 3. Minimum: hol veszi föl a függvény a legkisebb értéket (ha van?). 4. Maximum: hol veszi föl a függvény a legnagyobb értéket? 5. Monotonitás: melyik intervallumon növekvő, melyiken csökkenő? 6. Zérushely: hol metszi az x tengelyt a függvény? 7. Páros-e? Az y tengelyre szimmetrikus-e? Az x és a x helyen ugyanazt az értéket vesz-e föl, tehát f(x)=f(-x)? 8. Páratlan-e? Az origóra szimmetrikus-e? f(-x)=-f(x)? 9. Periodikus-e? Tehát f(x)=f(x+a)? Mekkora a periódus mérete? 3. Függvény-transzformációk 1. g(x)=f(x)+a függőleges eltolás példa: y=x

8 2. g(x)=f(x+a) ellentétes irányú vízszintes eltolás. példa: y=(x+2) g(x)=-f(x) tükrözés az x tengelyre. példa: y=-x g(x)=a*f(x) függőleges nyújtás, ha a>1, semmi, ha a=1, zsugorítás, ha 0<x<1. Ha a<0, akkor tükrözni is kell az x tengelyre. Feltétel:. Példák: y 1 =2x 2. y 2 =. y 3 =-2x g(x)=f(ax) vízszintes ellentétes irányú nyújtás/zsugorítás (tangó-harmónika ) A trigonometrikus függvényekkel látványos! példa: y 1 =sin(2x), y 2 =sin( x) 6. g(x)=f(-x) esetén tükrözünk az y tengelyre. példa: 8

9 Síkgeometria 1. Háromszögek 1. Általános állítások: A háromszögek belső szögeinek összege 180. A háromszögek külső szögeinek összege 360. A háromszög külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével. Teljesülnek a háromszög-egyenlőtlenségek: a+b>c; a+c>b; b+c>a. Az egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögei megegyeznek. A szabályos háromszög szögei 60 -osak, oldalai megyegyeznek, 3 szimmetria-tengelye van. Szögfelező-tétel: a háromszög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja. 2. Derékszögű háromszögekre vonatkozó állítások: Pitagorasz tétele: az átfogóra rajzolt négyzet területe megegyezik a befogókra rajzolt négyzetek területeinek összegével. Thalesz-tétele: ha a kör átmérőjének két végpontját összekötjük a körvonal tetszőleges pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Szögfüggvények: Magasságtétel: Az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe az átfogó két szeletének. (melyekre a m agasság osztja) Befogótétel: A befogó mértani közepe az átfogónak és a befogó átfogóra eső vetületének. 3. Nevezetes vonalak és pontok Magasságvonal: a háromszög csúcsából a szemközti oldalra húzott merőleges. Magasságpont: a magasságvonalak egy pontban metszik egymást, ez az M pont. Hegyesszögű háromszög esetén ez a pont a háromszög belsejébe, tompaszögű háromszög esetén kívül, derékszögű háromszög esetén pedig a derékszögű csúcsra esik. 9

10 Oldalfelező-merőlegesek: az oldalfelező-merőlegesek egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható körének a középpontja. Szakaszfelező-merőleges: a szakasz két végpontjától azonos távolságra lévő pontok halmaza. Derékszögű háromszög köré írható körének középpontja az átfogó felezőpontja, hegyesszögű háromszögnél belül van, tompaszögűnél a háromszögön kívül van a kör középpontja. A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, és ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja. Szögfelező: a szög két szárától azonos távolságra lévő pontok halmaza. Súlyvonal: a háromszög oldalfelező pontját a szemközti csúccsal összekötő szakasz. Súlypont: a súlyvonalak egy pontban metszik egymást, ez a pont a súlypont. A súlypont a súlyvonalat 1:2 arányban osztja. Háromszög középvonalai: az oldalfelező pontokat összekötő szakasz. A háromszög középvonala párhuzamos a megfelelő oldallal és a hossza éppen a fele annak. 4. Háromszög területképletei: sugara, r a beleírt kör sugara, s félkerület, γ a közbezárt szög. 5. Koszinusz-tétel: ahol R a köré írt kör 6. Szinusz-tétel: ; ; ; 10

11 2. Négyszögek 1. Általános állítások: Négyszögek belső szögeinek összege: 360. Négyszögek külső szögeinek összege: Speciális négyszögek: téglalap rombusz név alak oldalak szögek szimmetriatengely közép- K T pont négyzet minden oldal egyenlő, szemben lévők párhuzamosak 90 -osak 4 igen 4a a 2 paralelogramma deltoid szimmetrikus trapéz általános trapéz szemben lévő oldalak egyenlők és párhuzamosak minden oldal egyenlő, szemben lévők párhuzamosak szemben lévő oldalak egyenlők és párhuzamosak szomszédos oldalak egyenlők szárai egyenlők, alapok párhuzamosak alapok párhuzamosak 90 -osak 2 igen 2a+2b ab szemben lévő szögek egyenlők szemben lévő szögek egyenlők két szemben lévő szög megegyezik 2 igen 4a - igen 2a+2b am a 2-2a+2b szomszédos szögek egyenlők 1 - a+2b+c a+b+c+d általános négyszög a+b+c+d - 3. Érintőnégyszögek: Érintőnégyszög: olyan négyszög, melynek oldalai a kör érintői. Állítás: az érintőnégyszögek szemben lévő oldalainak összege megegyezik, azaz a+c=b+d. 4. Húrnégyszögek: Húrnégyszög: olyan négyszög, melynek minden oldalai a kör húrja. Állítás: húrnégyszögek szemben lévő szögeinek összege Sokszögek Sokszögek átlóinak száma: Sokszögek belső szögeinek összege: (n-2)*180. Sokszögek külső szögeinek összege: 360. Szabályos sokszög egy szögének nagysága: 11

12 oldalak száma átlók száma belső szögek összege egy szög mérete , Kör és részei Kör (körvonal): a sík egy pontjától (középonttól) azonos távolságra lévő pontok halmaza. K=2rπ. T=r 2 π. Középponti szög: csúcsa a kör középpontja. Kerületi szög: csúcsa a kör kerületén van. Középponti és kerületi szögek tétele: a középponti szög a kerületi szög kétszerese. Kerületi szögek tétele: azonos körívekhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Kör érintője és az érintési ponthoz húzott sugár merőlegesek egymásra. Körhöz húzott szelőszakaszok tétele: AE 2 =AP*AQ 12

13 Koordináta-geometria 1. Vektorok H Helyvektor: origóból indul. öszeadás: v 1 (x 1; y 1 )+v 2 (x 2 ; y 2 )=v 1 +v 2 (x 1 +x 2 ; y 1 +y 2 ) kivonás: v 1 (x 1; y 1 )-v 2 (x 2 ; y 2 )=v 1- v 2 (x 1 -x 2 ; y 1 -y 2 ) szorzás skalárral: v(x 1 ; y 1 )*μ=v*µ(x 1 *μ; y 1 *μ) vektorok belső (skaláris) szorzata: v 1 *v 2 =x 1 *x 2 + y 1 *y 2 = v 1 * v 2 *cosγ ahol γ a két vektor közbezárt szöge. vektor hossza: v = vektor iránya ( x tengellyel bezárt szöge): Két vektor akkor és csakis akkor merőleges egymásra, ha a szorzatuk Pontok koordinátái A(x 1 ; y 1 ) és B(x 2 ; y 2 ) végpontú szakasz felezőpontjának koordinátái:. / Harmadolópontjainak koordinátái:. / és. / Távolsága: A, B, és C(x 3 ; y 3 ) csúcsú háromszög súlypontja:. / 3. Egyenes egyenletei Normálvektor: az egyenesre merőleges vektor. n(a;b). Normálvektoros egyenlet: Ax+By=Ax 0 +By 0. Irányvektor: az egyenessel párhuzamos vektor. v(v 1 ; v 2 ). Irányvektoros egyenlet: v 2 x-v 1 y=v 2 x 0 -v 1 y 0. Iránytényezős egyenlet: y-y 0 =m(x-x 0 ) ahol m az egyenes meredeksége. Átírások:. Irányvektorból normálvektort (vagy fordítva) könnyű készíteni: cseréljük fel a koordinátákat és vegyük az egyik koordináta ellentettjét. 4. Kör egyenlete (x-u) 2 +(y-v) 2 =r 2 ahol K(u; v) a kör középpontjának koordinátái, és r a kör sugara. 13

14 Térgeometria Kocka V=a 3 A=6a 2 ahol l lapátló, t testátló aköré írható gömb sugara R a köré írható gömb sugara Téglatest V=abc A=2(ab+ac+bc) Hasáb V=T alap *m A=2*T alap +palást Henger V=r 2 πm A=2r 2 π+2rπm Kúp A=r 2 π+rπa Gúla A=T alap +palást Csonkagúla A=T+t+Palást ( ) 14

15 Csonkakúp Gömb ( ) Tétel (sík) Két hasonló síkidom területeinek aránya egyenlő a hasonlóság négyzetével, azaz. Tétel (tér) Két hasonló test térfogatának aránya egyenlő a hasonlóság köbével, azaz Kombinatorika Permutáció: hányféle lehetséges sorrendben tudunk n elemet felsorolni? ismétlés nélküli: n darab különböző elem összes lehetséges sorrendje: n! ismétléses: az n darab elem között k 1, k 2,, k r darab egyforma van. Ekkor az összes lehetséges sorrend: Kombináció: n elem közül hányféleképpen lehet k darabot koválasztani, úgy, hogy a sorrend nem számít? (pl. lottó) ismétlés nélküli: a kiválasztott k darab elem mind különböző (tehát visszatevél nélküli kiválasztás):. / ismétléses: a kiválasztott elemek között vannak egyformák is (tehát visszatevéssel választunk):. / Variáció: n elemből kiválasztunk minden lehetséges módon k elemet, majd ezek permutációit is képezzük. (vagyis most számít a sorrend is) ismétlés nélküli: n különböző elemből választunk ki k db különböző elemet, majd a kiválasztott elemeknek vesszük az összes permutációját is.. / Ismétléses: n különböző elemből választunk ismétléses módon k elemet (tehát egyformákat is választhatunk) úgy, hogy a sorrend is számít. n k. Klasszikus valószínűségi modellben a valószínűség: 15

16 Mintavétel: a, visszatevés nélküli: N darab elemből kiválasztunk n darabot visszatevés nélkül, ebben a mintában van K darab selejtes. Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott n-ből éppen k darab lesz selejtes?. /. /. / b, visszatevéses:. / ahol. Statisztika Átlag: medián: rendezzük az elemeket növekvő sorrendbe, és válasszuk ki a, páratlan sok elem esetén a középső elemet b, páros sok elem esetén a középső kettőt, és vegyük ezek átlagát módusz: az adatsorban leggyakrabban előforduló elem. minta terjedelme: a legnagyobb és legkisebb adat különbsége átlagtól való eltérés átlaga: mediántól való eltérés átlaga: szórásnégyzet: az átlagtól való eltérések négyzetének átlaga. ahol m a medián Szórás: ennek a négyzetgyöke. Halmazok Minden elemről egyértelműen eldönthető, hogy a halmazba beletartozik-e. Jele:. Számhalmazok: * + természetes számok halmaza * + egész számok halmaza racionális számok halmaza: azok a számok, melyek felírhatók két egész szám hányadosaként. valós számok halmaza: a racionális és az irracionális számok együtt. Halmazműveletek: 1. metszet: azok az elemek tartoznak ide, melyek mindkét halmaznak elemei. Jele: 2. unió: azok az elemek tartoznak ide, melyek legalább az egyik halmaznak elemei. Jele: 16

17 3. különbség: azok az elemek tartoznak ide, melyek az első halmazban benne vannak, de a másodikban nem. Jele: 4. komplementer: amelyek a halmazban nincsenek benne. Jele:. Logikai szita: Sorozatok Számtani sorozat: n-edik elem kiszámítása: a n =a 1 +(n-1)d első n elem összege: Mértani sorozat: n-edik elem kiszámítása: a n =a 1 *q n-1 első n elem összege: Trigonometria sin cos tg ctg összefüggések a szögfüggvények között: Kétszeres szögek: 17

18 Pótszögek:. / Szögpárok:. / Addíciós tételek: 18