Megoldások. 25. x y Aszimptoták: y = ±x 29. Aszimptoták: y = ±x. 31. Aszimptoták: y = ±2x 33. Aszimptoták: y = ± x 2

Átírás

1 Megoldások. fejezet.... Kúpszeletek és másodfokú egenletek. = 8, F,, vezéregenes: = 5. + = 7. Aszimptoták: = ± 9. Aszimptoták: = ±. = 6, F, /, vezéregenes: = / 5. 9 =, F±,, V±,, aszimptoták: = ± 7. + =, F±,, V±, 9... Aszimptoták: = ±. Aszimptoták: = ± = = 9. a tengelpont:,, fókusz:,, vezéregenes: = 7. 9.

2 5 Megoldások. a fókuszok: ± 7,; tengelpontok: 8, és,, középpont:, = =. A pont a kör belsejében van. 8. :. a centrum:, ; fókuszok: 7, és,, tengelpontok: 6, és,; aszimptoták: = ± 8. Hosszúság:, szélesség:, terület: 85. π 87.,6/π.. Kúpszeletek osztálozása ecentricitásuk alapján. e = /5, F±,, = ±5/. e = /, F,±, = ± 5. e = /, F,±, = ± 5. + = +, V,, F,, vezéregenes: = 7. = 8+7, V, 7, F, 5, vezéregenes: = =, F ±, V,±, C, 5. + =, F, és F,, V± +,, C, 5. 5 =, C,, F5, és F,, V, és V,; aszimptoták: = ± =, C,, F, és F,, V, és V, ; aszimptoták: + = ±+ 57. C,, a = 59. V,, F, 6. Ellipszis: =, C,, F, és F,, V 5, és V 5, 6. Ellipszis: + =, C,, F, és F,, V +, és V +, 65. Hiperbola: =, C,, F+, és F,, V, és V,; aszimptoták: = ± 67. Hiperbola: 6 =, C,, F,6 és F,, V, 6+ és V, 6+; aszimptoták: = + vag = e = /, F±,, = ± = =. e = 5, 9 + = 5. e = /, = =, F,+± 5, e = 5/, = ±9 5/5. a =, b =, c =, e = /. e =, F±,, = ±/ 5. e =, F,±, = ± 7. e = 5, F±,, = ±/ 9. e = 5, F,±, = ±/. 8 =. 8 = 5. e =, 8 8 = 7. e =, = =.. Másodfokú egenletek és forgatások. hiperbola. ellipszis 5. parabola 7. parabola 9. hiperbola. hiperbola. ellipszis 5. ellipszis 7. =, hiperbola =, parabola. =, párhuzamos egenesek. + 8 =, parabola 5. + = 9, ellipszis 7. sinα = / 5, cosα = / 5

3 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 9. A =,88, B =,, C =,, D =,7, E =,, F = ;88 +, +,7, =, ellipszis. A =,, B =,, C = 5,, D =, E =, F = 5; 5, 5 = vag = ±,, párhuzamos egenesek. A = 5,5, B =,, C =,5, D = 5,7, E = 6,8, F = ; 5,5,5 5,7 6,8 = =, hiperbola 5. a b + a = a b = c + = a d = m e = m + b m. = a bcosθ + bcos a b b θ = a bsinθ bsin a b b θ 5. = asin t tgt, = asin t 7.,.5. Polárkoordináták. a, e; b, g; c, h; d, f. 7. a = = a. a parabola 5. a hiperbola a c d, π + nπ és, π +n+π, n egész szám, nπ és,n + π, n egész szám, π + nπ és, π +n+π, n egész szám,n + π és, nπ, n egész szám c =, = + 5. a,, c, d, e, f, g, h, Kúpszeletek és paraméteres egenletek; a ciklois =, a, ponton átmenő függőleges egenes 5. =, az -tengel 7. =, a, ponton átmenő vízszintes egenes 9. + =, egenes, m =, b =

4 5 Megoldások. + =, kör, C,, a sugár. -tengel, -tengel, origó. = 5, egenes, m =, b = 5 5. =, parabola, tengelpontja a, pont, jobbról nitott 7. = e, a természetes alapú logaritmusfüggvén grafikonja 9. + = ±, két egenes vonal, meredekségük, az - tengelt a b = ± pontokban metszi. + + =, kör, C,, sugár. + = 6, kör, C,, sugár 5. + =, kör, C,, sugár 7. + = 9. r cosθ = 7 5. θ = π/ 5. r = vag r = 55. r cos θ + 9r sin θ = 6. -tengel, -tengel, origó 5. origó 7. A,π/ pontban a meredekség, a, π/ pontban, r = + cos 57. r sin θ = cosθ 59. r = sinθ 6. r = 6r cosθ r sinθ 6 6.,θ, ahol θ valamilen szög, 9. Az,π/ pontban a meredekség, a, π/ pontban, a,π/ pontban, az, π/ pontban.6. Ábrázolás polárkoordinátákban. -tengel. -tengel. a 5. -tengel 7. -tengel. a 9. -tengel, -tengel, origó 5. 7.

5 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 55.,,,π/,,π/ 5..,,,π/,, π/ 5.,±π/6,,±5π/6 7., π/,, 5π/,, π/,, 7π/. a 5. = Terület és hosszúság polárkoordinátákban. 8π. π/8 5. π π 8. π π π 9 7. a π 9. 9/. 8. +ln+ π π 9. π. π a, 57. Bolgó Perihélium Afélium Merkúr,75 AU,667 AU Vénusz,78 AU,78 AU Föld,98 AU,67 AU Mars,87 AU,666 AU Jupiter,95 AU 5,58 AU Szaturnusz 9, AU,57 AU Uránusz 8,977 AU,6 AU Neptunusz 9,85 AU,65 AU Plútó 9,659 AU 9,5 AU 59. a + =, =.8. Kúpszeletek polárkoordinátákban. r cosθ π/6 = 5, = +. r cosθ π/ =, = / 5. = 7. = /+ 9. r cos θ + π =. r cos θ π = 5. r = 8cosθ 5. r = sinθ 7. C,, a sugár = 9. C,π, a sugár =. 6 + = 6, r = cosθ. + 5 = 5, r = sinθ 6. r = /+cosθ 6. A tűk egmástól cm-re legenek. 65. r = asinθ kör 67. r cosθ a = p egenes Gakorló feladatok =, r = cosθ 7. ++/ = /, r = sinθ 9. r = /+cosθ. r = / 5sinθ. r = /+cosθ 5. r = /5 sinθ e = / 7. e =.. 9. =, V,, F,; vezéregenes: = =, C, 5, V, és V,, F, és F, 9

6 56 Megoldások. 8 =, C,, V, és V,, F, + és F, + ; aszimptoták: = + és = Hiperbola: =, F ± 5,, V ±,, C,; aszimptoták: = ± Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 7. Parabola: = 6 +, V,, F 7,; vezéregenes: = 9. Ellipszis: =, F± 7,, V±,, C,. Kör: + =, C,, sugár: =. Ellipszis 5. Hiperbola 7. Egenes 9. Ellipszis, 5 + =. Hiperbola, = = 5.,± 7. a 6 8 = = d. l. k 5. i 7., 9.,,,±π/ 5. A grafikonok egbeesnek.,π/ = / 57. = 59. = / = 6. + = 65. r = 5sinθ 67. r = cosθ r = +cosθ 75. r = +sinθ 77. 9π/ 79. +π/ π 85. π 87. a π 6π 9. = a+bcosθ bcos a+b b, θ = a+bsinθ bsin a+b b θ. a r = e θ 5 e π π π r = +cosθ 7. r = +sinθ 9. a.,6 7 km. e = / 5. Igen, eg parabola. 7. a r = a +cosθ π. π/ π/ 5. π/. fejezet.. Sorozatok r = cosθ 8 c r = +sinθ,± π, π. a =, a = /, a = /9, a = /6. a =, a = /, a = /5, a = /7

7 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai a = /, a = /, a = /, a = / 7.,, 7, 5 8, 6, 6, 7 6, 8 55, 5 56, 5 9.,,,, 8, 6,, 6, 8, 56.,,,,5,8,,,,55. a n = n+,n 5. a n = n+ n,n 7. a n = n,n 9. a n = n,n. a n = + n+,n. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 5 9. Divergens. Divergens. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 9. Konvergens,. Konvergens,. Konvergens, 5. Konvergens, 7. Konvergens, 9. Konvergens, e 7 5. Konvergens, 5. Konvergens, 55. Divergens 57. Konvergens, 59. Konvergens, 6. Divergens 6. Konvergens, e 65. Konvergens, e / 67. Konvergens,, > 69. Konvergens, 7. Konvergens, 7. Konvergens, / 75. Konvergens, π/ 77. Konvergens, 79. Konvergens, 8. Konvergens, / 8. Konvergens, 85. n = n 87. a f =,,56, f = tg, π/, , c 89. f = e, divergens 97. Növekvő, korlátos 99. Korlátos. Konvergens, Weierstrass tétele. Konvergens, Weierstrass tétele 5. Divergens, definíció 9. Konvergens. Konvergens. N = 69, a n = n,5, L =. N = 65, a n =,9 n, L = 5... Végtelen sorok. s n = /n, /. s n = /n / n, / 5. s n = n+, , , , , ln. Konvergens, + 5. Konvergens, 7. Divergens e 9. Konvergens, e. Konvergens, /9. Konvergens, / 5. Divergens 7. Divergens 9. Konvergens, π π e. a =, r =, ha <, akkor /+-hez konvergál. a =, r = /, ha,, akkor 6/ -hez tart 5. <, 7. < <, + 9. k+ π,k egész szám; sin 5. / /9 55. /5 57. / 59. a n= n+n+5, n= n+n+, c n=5 n n 69. a r = /5, r = / 7. r <, +r 7. 8 m m r 77. a n, A n = A+ A+ 9 A n A, A =, lim A n = /5 n.. Az integrálkritérium. Konvergens: mértani sor, r =. n Divergens: lim n n+ = 5. Divergens: p-sor, p < 7. Konvergens: mértani sor, r = 8 < 9. Divergens: integrálkritérium. Konvergens: mértani sor, r = / <. Divergens: integrálkritérium 5. Divergens: lim n n n+ 7. Divergens: lim n n/lnn 9. Divergens: mértani sor, r = ln >. Konvergens: integrálkritérium. Divergens: n-edik tag 5. Konvergens: integrálkritérium 7. Konvergens: integrálkritérium 9. Konvergens: integrálkritérium. a =. kb., Igaz

8 58 Megoldások.. Összehasonlító kritériumok. Divergens, vö. / n. Konvergens, vö. / n 5. Divergens: vö. n-edik tagok sorozata 7. Konvergens: n n n+ < nn n = n 9. Divergens: vö. /n. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Divergens: vö. /n 7. Divergens: integrálkritérium 9. Konvergens: vö. /n /. Konvergens: n n n. Konvergens: n + < n 5. Divergens: vö. /n 7. Konvergens: vö. lim/n 9. Konvergens: arctgn < π/ n, n,. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Konvergens: vö. /n.5. A hánados- és a gökkritérium. Konvergens: hánadoskritérium. Divergens: hánadoskritérium 5. Konvergens: hánadoskritérium 7. Konvergens: vö. /,5 n 9. Divergens: lim n = e n n. Konvergens: vö. /n. Divergens: vö. /n 5. Divergens: vö. /n 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium 5. Konvergens: vö. /n 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Divergens: hánadoskritérium. Konvergens: hánadoskritérium. Konvergens: hánadoskritérium 5. Divergens: a n = /n! 7. Konvergens: hánadoskritérium 9. Divergens: gökkritérium. Konvergens: gökkritérium. Konvergens: hánadoskritérium 7. Igen.6. Alternáló sorok, abszolút és feltételes konvergencia. Konvergens: 6. Tétel. Divergens: a n 5. Konvergens: 6. Tétel 7. Divergens: a n 9. Konvergens: 6. Tétel. Abszolút konveergens: a tagok abszolútértékei mértani sort alkotnak. Feltételesen konvergens: / n, de divergens n= n 5. Abszolút konvergens: vö. /n n= 7. Feltételesen konvergens: /n +, de n= n+ divergens vö. /n n= 9. Divergens: +n 5+n. Feltételesen konvergens: + n n, de +n/n > /n.. Abszolút konvergens: hánadoskritérium 5. Abszolút konvergens: integrálkritérium 7. Divergens: a n 9. Abszolút konvergens: hánadoskritérium konver-. Abszolút konvergens: n +n+ < n. Abszolút konvergens: cosnπ n n = n+ n = / n / gens p-sor 5. Abszolút konvergens: gökkritérium 7. Divergens: a n 9. Feltételesen konvergens: n+ n = / n+ n+, de a tagok abszolútértékeiből álló sor divergens vö. / n. Divergens: a n /. Abszolút konvergens: sechn = e n +e n az utóbbi konvergens mértani sor tagja 5. hiba <, 7. hiba < 9.,5 5. a a n a n+, / = en e n + < en e n = e n,

9 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai Hatvánsorok. a, < <, < <, c sehol sem. a /, / < <, / < <, c sehol sem 5. a, 8 < <, 8 < <, c sehol sem 7. a, < <, < <, c sehol sem 9. a,,, c sehol sem. a, minden -re, minden -re, c sehol sem. a, minden -re, minden -re, c sehol sem 5. a, <, < <, c = 7. a 5, 8 < <, 8 < <, c sehol sem 9. a, < <, < <, c sehol sem. a, < <, < <, c sehol sem. a, =, =, c sehol sem 5. a, <, < <, c = 7. a,,, c sehol sem 9. a /, /, /, c sehol sem. a, π < π, π < < π, c = π. < <, /+ 5. < < 6, / 7. < <, / 9. < < 5, / ; < < 5, /. a cos =! +! 6 6! + 8 8!! +... minden -re konv. és c! ! 7 7 7! !! a , π < < π , π < < π.8. Talor- és Maclaurin-sorok. P =, P =, P =, P = +. P =, P =, P = + 8, P = P =, P = + π, P = + π P = + π, π π 7. P =, P = +, P = + 6, P = n = + n= n!!! +!... π.. n n = n= n n+ n+ n= n+! 7. n n= n! n n n= n! n n+ n 7. n=. L =, Q = / 5. L =, Q = + / 7. L =, Q = n= e n n!.9. A Talor-sorok konvergenciája, Talor tétele n = n= n!!! 5 n n+ n= n+! = n= = 5+ 5! 55 5! !... n + n n= n! 5 n+ n+ n+! n+ = + + n= n!! +! + 5! +... n n = n= n!! 6 6! + 8 8!! π! + π 5!. + n n n= n! π6 7 6! = = +... = n π n n+ n= n! =! +! 6 6! + 8 8! n = n= 7. n n = n= 9. <,6 /5 <, hiba < /6 <,67, < <. hiba <,, /6 <,87 5., <,. sin, =,, sin,. arctg, = π/ 5. e sin =

10 5 Megoldások. a Q = +k+ kk, ha < / 9. a, / +i, c i , minden -re konvergens. f = n+ sinn n= n.. Hatvánsorok alkalmazása = = = n n = e 7. = n= n! n /n! = e n= 9. = n /n! = e n=. = n n= n n! = / e 5. = n+ n= n+! = sh 7. = + n+ n n= n! 9. = n n= n! n+ n= n+!. = n = n=. = a+b+ 6 a b a b , 67 5., 7., ,. / 6!,. 7! 7 + 5! 5. a / 9. / 5. / tag 6. tag 6. a , konvergenciasugár = π c /.. Fourier-sorok. f = 5. e π π + cosn n= n + n= nsinn n + 7. f = cos+ n+ π n n= n sinn Gakorló feladatok. Konvergens, a határérték. Konvergens, a határérték 5. Divergens 7. Konvergens, a határérték 9. Konvergens, a határérték. Konvergens, a határérték e 5. Konvergens, a határérték 5. Konvergens, a határérték ln 7. Divergens 9. /6. /. e/e 5. Divergens 7. Feltételesen konvergens 9. Feltételesen konvergens. Abszolút konvergens. Abszolút konvergens 5. Abszolút konvergens 7. Abszolút konvergens 9. Abszolút konvergens. a, 7 <, 7 < <, c = 7. a /, /, /, c nincs ilen 5. a, minden, minden, c nincs ilen

11 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 7. a, < <, < <, c nincs ilen 9. a e, e < < e, e < < e, c üres halmaz 5. +,, 5 5. sin, π, 55. e, ln, n n 59. n= n 5n 6. n= n! 65. +! + +! ! +... n= = n+ n = e n= n! 7. = n n n = e n= n! n π n+ n+ n+! π/ n n= n! 7. = + n /n! = e n= 75. = ++ n /n! = e n= 77., , / 8. / r =, s = 9/ 89. hiba < sin/ <,8, a becslés alsó, mivel a maradék pozitív 9. / 9. ln n+ n, a sor összege ln 95. a, a =, b = 97. Konvergál 5. n= sinn n π cosn sinn 7. n= πn + n= n Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. Konvergens: összehasonlító kritérium. Divergens: a tagokból álló sorozatra vonatkozó kritérium 5. Konvergens: összehasonlító kritérium 7. Divergens: a tagokból álló sorozatra vonatkozó kritérium 9. a = π/-mal cos = π π. a = -val e = ++! +! a = π-vel + π +... cos = π +! π 6! π Konvergens, a határérték b 7. π/. b = ±/5 5. a =, l = 7/6 9. Igen 5. a n n, 6, c /q n= 7. a R n = C e kt e nkt / e kt, R = C e kt / e kt = C /e kt R = /e,68, R = R e R,999956,5895, R,5898, < R R /R <, c 7. fejezet.. Háromdimenziós koordináta-rendszerek. A,, ponton átmenő egenes párhuzamos a z-tengellel.. Az -tengel 5. Az -sík + = köre. 7. Az + z = kör az z-síkon. 9. Az + z = kör az z-síkon.. Az + = 6 kör az -síkon.. a Az -sík első síknegede. Az -sík negedik síknegede. 5. a Az origó középpontú, sugarú gömbtest. Az összes olan pont, amel -nél nagobb távolságra van az origótól. 7. a Az sugarú, origó középpontú felső félgömb. Az sugarú, origó középpontú felső félgömbtest. 9. a = = c z =. a z = = c =. a + =, z = + z =, =

12 5 Megoldások c + z =, = 5. a =, z = =, z = c =, = z = 5, z = 9. z. z. a + +z < + +z > C,,, a =. C,,, a = z = z = 9. C,,, a = 8 5. C,,, a = 5 5. a + z + z c Vektorok. a 9, 6. a, 5. a, a 5, ,.,., 5., 7.,, 9., 6,., 5, 8. v vízszintes, w függőleges vektor, u 5 szöget zár be a vízszintessel. A vektorokat méretaránosan kell megrajzolni. a c 5. i+ j k 7. 5k 9. i j k d. a i k c j+ k d 6i j+k 5. 7 i 5k 5. a 5 i+ 5 j k /,,5/ 7. a i j k 9. A,,5. a =, b = 5. 8, 95, 75, 6 5, 7, 9 7. a 5cos6,5sin6 5 =, 5. 5 i, 5k 5cos6 + cos5,5sin6 + sin5 = 5+ =, 5 9. a i+ j k i+j k c,,.. Skalárszorzat. a 5, 5, 5 c 5 d i+j 5k. a 5, 5, 5 5. a, c 5 d i+j k 9 c 7. a 7, 6, c d 5j k d + 7 5i+j ,75 radián.,77 radián. Az A csúcsnál lévő szög = arccos 6,5 fok, a 5 B csúcsnál lévő szög = cos 5, fok, a C csúcsnál 5 lévő szög = cos 5 6,5 fok i+ j + i+ j+k 8 i+ j k + i 6 j k. Két egenlő hosszúságú vektor összege mindig merőleges a különbségükre, amint az a v +v v v = v v +v v v v v v = v v = azonosságból látható. 7. A vízszintes összetevő 96 m/s, a függőleges összetevő 55 m/s. 9. a Mivel cosθ, ezért u v = u v cosθ u v = u v. Egenlőséget akkor kapunk, ha cosθ = vag ha u és v legalább egike nulla. Ha a vektorok nem nullák, akkor egenlőséget θ = vag π esetén kapunk, azaz amikor a vektorok párhuzamosak.

13 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5. a 5. + = 7. + =. a Egik sem u és w 5. Nm. 7. a Igaz Nem mindig igaz c Igaz d Igaz e Nem mindig igaz f Igaz g Igaz h Igaz 9. a proj v u = u v v v v c ±u v w ±u v d u v w 9. + =. =. 5 J 5. 6 J 7. π 9. π 6 5., 5. π és π minden pontra. 55.,-ban π ;,-ben π és π.. Vektoriális szorzat. u v =, az irán i + j + k; v u =, az irán i j k.. u v =, az irán nincs meghatározva; v u =, az irán nincs meghatározva. 5. u v = 6, az irán k; v u = 6, az irán k. 7. u v = 6 5, az irán 5 i 5 k; v u = 6 5, az irán 5 i+ 5 k a igen nem c igen d nem. Nem, v-nek nem feltétlenül kell egenlőnek lennie w-vel. Például, i+j i+j, de i i+j = i i+i j = +k = k és i i+j = i i+i j = +k = k /. 5/. Ha A = a i+a j és B = b i+b j, akkor i j k A B = a a b b = a a b b k és a háromszög területe: A B = ± a a b b. A + előjelet kell használni, ha az -síkon a A-tól B felé mutató iránított szög az óramutató járásával ellentétes, és a előjelet, ha az óramutató járásával azonos iránú..5. Egenesek és síkok a térben. = +t, = +t, z = +t. = +5t, = 5t, z = 5t 5. =, = t, z = t 7. =, =, z = +t 9. = t, = 7+t, z = t. = t, =, z =. = t, = t, z = t, t. 5. =, = +t, z =, t 5. a 6 ± 6 i+j+k 7. a ± i j

14 5 Megoldások 7. =, = t, z =, t = t, = t, z = t, t... z =. 7 5 z = z = 7.,,, ++z = z =. +z = /5. 5/ 5. 9/ 7. π/ 9.,76 radián 5.,8 radián 5.,, 55.,, = t, = +t, z = 59. =, = +6t, z = +t 6. L metszi L-t; L párhuzamos L-mal; L és L kitérők. 6. = +t, = t, z = 7+t; = t, = +/t, z = /t 65.,,,,,,,, 69. Több válasz lehetséges. Az egik: + = és + z = /a + /b + z/c = az összes síkot leírja az origón átmenő síkok és a koordinátatengelekkel párhuzamos síkok kivételével Hengerek és másodrendű felületek. d ellipszoid. a henger 5. l hiperbolikus paraboloid 7. henger 9. k hiperbolikus paraboloid. h kúp

15 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai a π9 c 9 8π c πabc 8. Csúcspont:,,c /b, fókusz:,,c /b a /c Gakorló feladatok a 7,. a 6, 8 5., feltételezve 7. 8, 7 7 az óramutató járásával ellentétes forgásiránt 9. A hosszúság =, az irán i+ j vπ/ = i. A hosszúság = 7, az irán 7 i 7 j+ 6 7 k i j+ 8 k. 7. v =, u =, v u = u v =, v u = i + j k, u v = i j+k, v u =, θ = arccos = π, u cosθ =, proj v u = i+j 9. i+j k 5i+j+k

16 56 Megoldások. u v = k a 9. 78/. = t, =, z = +7t z = z = 9.,,,,,,,,. π/. = 5+5t, = t, z = t 5. = t, = 9/+5t, z = /6+6t 7. Igen, v párhuzamos a síkkal j + k 5. 5i j k 55. 9, , 7 57.,, ; = 5t, = +t, z = +t z+ = 6. a nem nem c nem d nem e igen 6. / Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 6,, /. F = 8.6N 7. a BD = AD AB AP = AB+ AD. i+ j k 5. a, i j+6k 9i j+7k c i 6j+k, i j k d i k, i j 8k 5. a F = GMm d + n i= igen i + /. fejezet.. Vektorfüggvének. =, v = i+j, a = j. = 9, v = i+j, a = i+8j 5. t = π : v = i j, a = i t = π : v = j, a = i j; t = π : v = i, a = j; t = π : v = i j, a = i 9. v = i+tj+k, a = j, sebesség:, irán: i+ j+ k, v = i+ j+ k

17 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 57. v = sinti+costj+k, a = costi sintj, sebesség: 5, irán: / 5 i+ / 5 k, vπ/ = [ 5 / 5 i+ / ] 5 k. v = i+tj+tk, a = t + t + sebesség: 6, irán: v = 6 i+ j i+ j+ k 6 6 k, 6 5. π/ 7. π/ i+j+k, 9. t =, π, π. /i+7j+/k π +. j+k 5. lni+lnj+lnk t t t 7. rt = + i+ + j+ + k 9. rt = t + / i+ e t + j+lnt + +k. rt = 8ti+8tj+ 6t + k. = t, =, z = +t 5. = at, = a, z = πb+bt 7. a i: konstans ii: igen iii: iv: igen i: konstans ii: igen iii: iv: igen c i: konstans ii: igen iii: iv: nem, a, -ből d i: konstans ii: igen iii: iv: igen e i: változó ii: nem iii: iv: igen 9. rt = t + 6 t + i+ t + t + t + t j+ + k = = t + t i j+k+i+j+k. v = 5i+ 5j. ma v =, min v =, ma a =, min a =.. Eg lövedék röppálájának leírása. 5 s. a 7, s, 5,5 m m c 678 m 5. t,9 s, 9,96 m 7. a v 9,9 m/s α 8, vag α 7,6 9. 8,9 m/s. A golflabda nekimeg a fának.. a 5, m/s,5 s 5. 9,9 vag 5,7 7., m/s.,9 s,,5 m., m,,8 m/s 5. v -nak feleznie kell az AOR szöget. 7. a Feltéve, hog az = helen történik az ütés: rt = ti+tj, ahol t =,67cos7 t és t =,+,67sin7 t,9t. t,97 másodpercnél, a maimális magasság, m. c A labda t, másodperc múlva, m távolságra ér földet. d t,5 és t,7 másodpercnél, amikor 9 és,8 méter távolságra van az ütés helétől. e Igen, a megemelt háló felett nem meg át a labda.. a rt = ti +tj, ahol t = e,8t 7cos 5,6 és,8 7 t = + e,8t sin +,8 9,8 +,8,8t e,8t. t,5 másodpercnél, a maimális magasság, m. c A labda t, másodperc múlva 9,8 m távolságra ér földet. d t,88 és t, másodpercnél, amikor, és 78,6 méter távolságra van az ütés helétől. e Nem. Legalább,9 m/s erősségű, az ütéssel egező iránú széllökés szükséges ahhoz, hog a labda átmenjen a kerítés felett... Ívhossz és a normált érintővektor. T = 5 sint i+ cost j+ k, π. T = t i+ k, +t +t 5. T = costj +sintk, cost t sint sint +t cost t / 7. T = i+ j+ k, t + t + t + π + π 9., 5, π. st = 5t, L = 5π. st = e t, L = 5. +ln + 5

18 58 Megoldások 7. a A henger + =, a sík +z =. és c π d L = +sin t dt e L 7,6.. Görbület és a normált főnormális. T = costi sintj, N = sinti costj, κ = cost. T = +t i +t j, N = t +t i +t j, κ = +t 5. cos 7. N = et +e t i+ +e t j c N = t i+tj 9. T = cost i sint 5 5 j+ k, N = sinti costj, 5 κ = 5 cost sint. T = N =. T = cost + sint i+ j, cost sint i+ κ = e t t t + i+ t + j, N = κ = tt + / 5. T = N = cht/a th t a i+ κ = a ch t/a i+ th t j, a cht/a sint + cost j, j, i t + tj t +,.5. Torzió és a normált binormális. B = 5 cost i 5 sint j 5 k, τ = 5. B = k, τ = 5. B = k, τ = 7. B = k, τ = 9. a = a N. a = T+ 5 N. a = N π π 5. r = i+ j k, T = i+ j, π π N = i j, B = k, simulósík: z =, normálsík: + =, rektifikáló sík: + = 7. Igen. Ha az autó kanarban halad κ, akkor a N = = κ v és a. ds. F = κ m dt. κ = /t, ρ = t 9. v =,87,,789,,, v =,6, a =,696,,7,, T =,86,,7,,7, N =,,,8998,,69, B =,59,,998,,889, κ =,56, τ =,8, a T =,776, a N =,598. v =,,,,69, v =,66, a =,,,,86, T =,9967,,,8, N =,7,,,,86, B =,8,,86,,9967, κ =,8, τ =,, a T =,7, a N =,.6. Bolgómozgás és műholdpálák. T = 9, perc. a = 676 km 5. D = 65 km 7. a 68 km 5789 km c Sncom, GOES és Intelsat 5 9. a = 8 km a Föld középpontjától, vag körülbelül 768 km a Föld felszínétől..,97 9 sec /m, 9,9 sec /m, 8,5 sec /m Gakorló feladatok. 6 + = 9. /b. π + =. κ = 5. κ = + / sin +cos / A t = -ban: a T =, a N =, κ = ; A t = π -ben: a T = 7, a N =, κ = 7.. v ma = 5. κ = /5 7. d/dt =,

19 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 59. A súlgoló a földön van, körülbelül 9,5 méterre a dobás helétől. 5. a 8, m/s,7 m/s 9. κ = πs π. + π 6 + ln π + + π 6. T = i j+ k, N = i+ j, B = i+ j+ k, κ =, τ = 6 5. Tln = 7 i+ 7 j, Nln = 7 i+ 7 j, Bln = k, κ = 8 7 7, τ = 7. a = T+6N 9. T = cost i sintj+ cost k, N = sint i costj sint k,. π/ B = i k, κ =, τ =. = +t, = t, z = t km,,69 7 km, a Föld,%-a látható. fejezet.. Többváltozós függvének. a Az -sík minden pontja Minden valós c Az = = c egenesek d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos. a Az -sík minden pontja z c f, = -ra z origó, f, -ra ellipszisek, nagtengelük az -, kistengelük az -tengelen d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos 5. a Az -sík minden pontja Minden valós c f, = = -ra az - és -tengel, f, -ra hiperbolák, ameleknek a koordinátatengelek az aszimptotáik d Nincsenek határpontok e Nílt is és zárt is f Nem korlátos 7. a Minden,, amire fennáll + < 6 z / c Origó középpontú körök négnél kisebb sugárral d A határ az + = 6 kör e Nílt f Korlátos 9. a,, minden valós c Origó középpontú körök pozitív sugárral d A határ egetlen pont,, e Nílt f Nem korlátos. a Minden,, amelikre π/ z π/ c = c alakú egenesek, ahol c d A határ két egenes: = +, = + e Zárt f Nem korlátos Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. a rt = 85 t + t i+ t + j; m dθ. a πgb dt = θ=π a + b θ = c vt = gbt a + b, z = gb t a + b gbt a + b,. f 5. a 7. d 9. a z z = z. a z = + z = z = z = z = z = z = z = z = d r dt = bg bgt a + b T+a a + b N A B iránú komponens egütthatója. 7. a d dt = ṙ cosθ r θ sinθ, dr = ẋcosθ + ẏsinθ, dt r d dt = ṙ sinθ + r θ cosθ dθ = ẋsinθ + ẏcosθ dt 9. a a = 9u r 6u θ, v = u r + u θ 6,5 cm. a z = + z z = z = z =. c v = ṙu r + r θu θ + żk, a = r r θ u r +r θ + ṙ θu θ + zk

20 5 Megoldások 5. a z = + z 6 z = 6 z = 5. Közelítsünk =, >, ill. =, < mentén 7. Közelítsünk = k mentén, ahol k konstans 9. Közelítsünk = m mentén, ahol m konstans. Közelítsünk = k mentén, ahol k konstans z =. Nem 5. A limesz 7. A limesz 9. a f, =m = sinθ, ahol tgθ = m Nem létezik 55. π/ 57. f, = ln 59. δ =, 6. δ =,5 6. δ =,5 65. δ =,5 7. a z = ½½ z,, z = z = z = z = z =.. Parciális deriváltak.. 5. =, = = +, = =, = 9. + = 7. =, + = +. arctg+arctg = arctg. 7. z f,, z = + + z = z f,, z = + = z f,, z = + z = = +, = + =, = = e++, = e++ = +, = + = sin cos, = 6sin cos, =, = ln. = g, = g. f =, f =, f z = z 5. f =, f = + z /, f z = z + z / 7. f = z z, f = z z, f z = z. lnz =. + z = ln 5. Igen, 7. 6 km.. Határérték és foltonosság magasabb dimenzióban. 5/ / /. 9/ a Minden, Minden,, kivéve, 9. a Minden,, kivéve, ahol = Minden,. a Minden,,z Minden,,z, kivéve az + = henger belsejét. a Minden,, z ahol z Minden,,z, ahol + z 9. f = ++z, f = ++z, f z = ++z. f = e + +z, f = e + +z, f z = ze + +z. f = /ch ++z, f = /ch ++z, f z = /ch ++z 5. t = π sinπt α, α = sinπt α h h h 7. = sinφ cosθ, = ρ cosφ cosθ, = ρ sinφ sinθ ρ φ θ 9. W p P,V,δ,v,g = V, W V P,V,δ,v,g = P+ δv g, W δ P,V,δ,v,g = V g v, W vp,v,δ,v,g = V g δv, W g P,V,δ,v,g = V δv g.. = +, = +, f =, f = f = f =, g g = +cos, = sin+sin, g = sin, g = cos,

21 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 g = +cos r 5. = +, r = +, r =, r =, + + r = r = + w 7. = +, w = +, w = w = 6 + w 9. = + +, w = + +, w = w +6 + w u w u w u z 9. = z t t + z t, z s = z s + z s z w w z w 5. a először először c először d először e először a először z z z z 5. f, =, f, = t t t s s s 59. A a = a bcsina 6. v = lnv lnulnv A b = ccosa b bcsina w. s = dw du u s, w t = dw du u t w w 77. Igen dw du dw du.. A láncszabál u u s u u t. a dw dt =,. a dw dt =, dw dt π = dw dt = 5. a dw dt = t arctgt +, dw dt = π + 7. a z u = cosvlnusinv+cosv, z v = usinvlnusinv+ ucos v sinv z u = ln+, z v = ln 9. a w w u = u+uv, v = v+u w w u =, v =. a u u =, = z, u z z = z u u =, dz. dt = z d dt + z = d dt z d dt z t z d dt =, u z = w 5. u = w u + w u + w z z u, w v = w v + w v + w z z v w w w u u u w z z u w 7. u = w u + w u, w v = w v + w v z w w w w z z z s t w. r = w d dr + w d dr = w d d dr, mivel dr = w s = w d ds + w d ds = w d d ds, mivel ds = w r w r w = r w = s w s w 5. / 7. /5 9. z =, z = z z. =, = z z 7. =, u v = 9.,5 A/s 5. cos, sin, és cos, sin, 7. a Maimum, -nél és minimum, -nél és Ma.=6, Min.= t + dt s, -nél,, -nél..5. Iránmenti deriváltak és gradiens vektor. D f = i + j, =., D g = i + j =

22 5 Megoldások 5. f = i+j k 7. f = 7 6 i+ 5 j 5 k 9.. / u = i+ j, D u f P =, u = i j, D u f P = 9. u = i 5 j k, D u f P = u = i+ 5 j+ k, D u f P =. u = i+j+k, D u f P =, u = i+j+k, D u f P =. + = f i j, = + 5. D = 7. u = 7 5 i 5 j, u = 7 5 i+ 5 j f = i + j 9. Nem, a változás maimális gorsasága 85 <. 7 5 =,.6. Érintősíkok és differenciálok. a ++z = = +t, = +t, z = +t. a z = = t, =, z = +t 5. a ++z = = t, = +t, z = +t 7. a ++z = = t, = +t, z = t 9. z =. +z =. =, = +t, z = t 5. = t, =, z = + t 7. = +9t, = 9t, z = 9. d f = 9 8,8. dg =. a sin cos,95 sin cos,87 5. a L, = L, = + 7. a L, = +5 L, = a L, = + L, = + π. L, = 7+ 6;,6. L, = ++;,8 5. L, = +;, 7. a L,,z = ++z ; L,,z = +z c L,,z = 9. a L,,z = ; L,,z = + c L,,z = + + z. a L,,z = + L,,z = z+ π + c L,,z = z+ π +. L,,z = 6 z+6;, 5. L,,z = + z ;,5 7. Maimális becslési hiba, 9. Maimális hiba százalékban ±,8% 5. A két dimenzió közül a kisebbnek kell több figelmet szentelni, mert az eredménez nagobb parciális deriváltat. 5. a,% 55. f a legérzékenebb d változására. 57. Q a h-beli változásokra a legérzékenebb. 6. π -nél π ; -nál ; π -nél π.7. Szélsőértékek és neregpontok. f, = 5, lokális minimum. f, =, lok.ma. 5. f,, neregpont 7. f 65, 5 69, neregpont 9. f,, neregpont. f, = 6, lok.min.. f,, neregpont 5. f,, neregpont 7. f,, neregpont; f, = 7 7, lok.min. 9. f, =, lok.min.; f,, neregpont. f,, neregpont; f 9, = 6 8, lok.min.. f,, neregpont; f, =, lok. min.; f, =, lok.ma.; f,, neregpont 5. f,, neregpont; f, =, f, =,lok.ma. 7. f, =, lok.ma. 9. fnπ,, neregpont; fnπ, = minden n-re. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.: 5,,-nél. Absz.ma.:,,-nél; absz.min.:,,-nál 5. Absz.ma.:,,--nál; absz.min.:,,--nél 7. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.:,, π -nél,, π -nél,, π -nél,, π -nél 9. a =, b =. Legmelegebb: leghidegebb,, -nál., -nél és, -nél; a. a f,, neregpont f,, lok.min. c f,, lok.min.; f,, neregpont 9. 6,, a A félkörön ma f =, t = π/-nél, min f =, t = π-nél. A negedkörön ma f =, t = π/-nél, min f =, t =,π/-nél. A félkörön ma g =, t = π/-nél, min g =, t = π/- nél. A negedkörön ma g =, t = π/-nél, min g =, t =,π/-nél. c A félkörön ma h = 8, t = -nál, π-nél, min h =, t = π/- nél. A negedkörön ma h = 8, t = -nál, min h =, t = π/-nél. 55. i min f = /, t = /-nél; ma nincs; ii ma f =, t = nél, t = -nál; min f = /, t = /-nél, iii ma f =, t = -nél; min f =, t = -nál. 57. = + 9, = = = + 6, = = 7 6

23 . fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 6. =,+,59 Gakorló feladatok 8 6. Értelmezési tartomán: minden, ; értékkészlet: z ; szintvonalak: ellipszisek, nagtengel az -tengelen, kistengel az -tengelen 6. a z = 9 =,7K + 76,8 c Lagrange-multiplikátorok. ±,, ±,. 9 5.,± 7. a r = cm h = cm. Hossz=, szélesség=. f, = min., f, = ma. 5. Legalacsonabb=, legmagasabb=5 7.,, 5 9..,,,,,. f,,5 = ma., f,, 5 = min. 5.,, 7.,, egség 9. ±/, /, /. U8, = $8. f/,/, / = 5.,, 7. Maimum=+6, ± 6,,-nél; minimum= 6, ± 6,,-nél 9. Ma.=,, ± -nél; min.=, ±,±,-nál. Értelmezési tartomán: minden, amire, ; értékkészlet: z ; szintvonalak: hiperbolák, aszimptotáik az - és -tengel 5. Értelmezési tartomán: minden,, z pont; értékkészlet: minden valós szám; szintfelületek: forgásparaboloidok, tengelük a z-tengel 7. Értelmezési tartomán: minden,, z, ahol,, z,, ; értékkészlet: pozitív valós számok; szintfelületek: gömbök, origó középponttal, pozitív sugárral. z =.9. Feltételes parciális deriváltak. a +z c +z. a U P + U T 5. a r θ = cosθ r VnR U nr P V + U T = +.. Kétváltozós Talor-formula. Másodfokú: +; harmadfokú: ++. Másodfokú: ; harmadfokú: 5. Másodfokú: + ; harmadfokú: Másodf.: + = + ; harmadf.: + 9. Másodfokú: ++++ harmadfokú: Másodfokú: ; E,, 9.. /. 5. Legen = k, k 7. Nem; lim,, f, nem létezik 9.. g g = cosθ + sinθ, = r sinθ + r cosθ r θ R =, R R =, R R = R. P n = RT V, P R = nt V, P T = nr V, P V = nrt V g =, g =, g = g = f = +, f =, f + = f =

24 5 Megoldások dw t= 9. dt = w r,s=π,. r =, w s = π r,s=π, d f. dt = sin+cossin+ t= +cos + coscos sin + cossin d 5. d =,=, 7. Leggorsabb növekedés irána: u= leggorsabb csökkenés irána: u = D u f = ; D u f = i+ i j; j; ; D u f = 7, ahol u = v v 9. Leggorsabb növekedés irána: u= 7 i+ 7 j+ 6 7 k; leggorsabb csökkenés irána: u = 7 i 7 j 6 7 k; D u f = 7; D u f = 7; D u f = 7, ahol u = v v. π/. a f, = f, = / z = z Ñf½,, = j + k 75. Absz.ma.: 8,,-nál; absz.min.:,,-nál 77. Absz.ma.:,,-nál; absz.min.:,, -nél 79. Absz.ma.:,, ±-nél és,-nál; absz.min.:,,-nál 8. Ma.: 5,,-nél; min.: /,, /-nál 8. Ma:,,, -nál; min:,,, -nál 85. Szélesség: c V ab /, mélség: b V ab /, magasság: a V ab / 87. Ma.:,, -nél és min.:,,,, -nél;, -nél -nél és, 89. a + ze z e z z c + e z 9. w = cosθ w r sinθ r 97. t, t ±,t, t valós w θ, w w = sinθ r cosθ r w θ Ñf½,, = j Ñf½,, = j k Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. f, =, f, = 7. Érintősík: 5z = ; normálegenes: = +t, = t, z = 5t 9. z = 5. Érintő: + = π + ; normálegenes: = π + = + + = + = + sin 5. = t, =, z = /+t 55. A válasz f, f, f -ra megállapított felső korláttól függ. Ha M = /, akkor E,. Ha M =, E,. 57. L,,z = z, L,,z = + z 59. Ügeljünk nagon az átmérőre. 6. di =,8, %-os változása I-nek: 5,8%, érzékenebb a feszültségre 6. qbf a 5% 65. lokális minimum: 8,, -nél 67. Neregpont,-nál, f, = ; lok.ma.:/, /, /-nél 69. Neregpont,-nál, f, = ; lok.min.:,,-nél; lok.ma.:,, -nál; neregpont, -nél, f, = 7. Absz.ma.: 8,,-nál; absz.min.: 9/, /,-nál 7. Absz.ma.: 8,, -nél; absz.min.: 7/,, /- nél 7. c r = + + z. V = 7. f, = +, g, = = ln sin +ln abc. a 5 i+7j i 7j+58k. w = e c π t sinπ 5. fejezet 5.. Kettős integrál. 6. π ln8 6+e

25 5. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai e 9.. ln. /6 5. / π ln π dd =. / d d. dd 6. T azon, pontok halmaza, amelekre + < 5. e ln dd / 6dd 6. Nem, Fubini tétele szerint a két megoldásnak uganaz az eredméne kell legen. 67.,6 69., 9. dd. 5.. Terület, nomaték, tömegközéppont. dd = vag dd =. e 5.. dd = 9 5. ln e dd = 7. /8π 7. dd = ,.65 =.5

26 56 Megoldások.. 5. a π = = 6 5, = 5/7. =, = /π 5. = = a/π 7. I = I = π,i = 8π 9. =, = /. I = 5 6,R = 7. = /8, = 7/6 5. = /, = /7,I =,R = 7. =, = /,I = 7/5,R = / 9. =, = 7/;I = 9/,I = /,I = 6/5; R = 6,R =,R = 5. e ln7/ 9. Ha < a 5/, akkor a szerkezetnek 5 -nál nagobb szögben kell megdőlnie, hog felboruljon. 5., = π, 7. a / Uganazok. 5. a 7/5, / 9/7, 8/7 c 9/, 9/8 d /, /6 55. Ahhoz, hog a tömegközéppont a határon legen, h = a kell legen. Hog belül legen, h > a 5.. Kettős integrálás polárkoordinátákkal. π/. π/8 5. πa lnπ. ln π/. π/+ 5. πln 7. π 9. π. π π 7. = 5/6, = 9. a. a. π e π 8 7. a 9. π ln, nem. a + h 5.. Hármas integrál derékszögű koordináta-rendszerben. /6. / dz dd, z/ ddz d, / π / dzdd, z/ z/ dd dz, 5. / / z/ ddzd, Mind a hat integrál értéke. 8 dzdd, + 8 dzdd, z/ / z/ d ddz z z ddzd+ 8 z ddzd, z 8 8 z 8 z z z dddz+ 8 z 8 z z dddz, z 8 8 z z ddzd+ ddzd 8 z z z z z dddz+ dddz 8 8 z z z Mind a hat integrál értéke 6π. π cos / π. a ddzd z z dddz c z dddz d e ddzd dzdd. / 5. / /. 8π. 5. π 7. / 9.. sin. 5. a = vag a = / 7. Az értelmezési tartomán mindazon,, z pontok halmaza, amelekre + + z Tömeg és nomaték három dimenzióban. R = b +c,r a = +c,r a z = +b. I = M b + c,i = M a + c,i z = M a + c 5. = =, z = /5, I = 79/5 75,8, I = 8/6 76,7, I z = 56/5 5,69 7. a = =,z = 8/ c = 9. I L = 86,R L = 77. I L =,R L = 5. a / = /5, = z = /5

27 5. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai a 5/ = = z = 8/5 c I = I = I z = /6 d R = R = R z = a g g. a I tkp. = abca +b,r tkp. = I L = abca +7b,R L = 7. a h = a h = a a +b a +7b 5.6. Hármas integrálok henger- és gömbi koordináta-rendszerben. π 7π π π 9. π r. a r dzdr dθ π π r dr dzdθ + r π c r dθ dzdr π/ π/ π π/ π/ π/ cosθ sinθ r fr,θ,zdz r dr dθ r sinθ fr,θ,zdz r dr dθ +cosθ fr,θ,zdz r dr dθ secθ r sinθ. π π. a π π/6 π fr,θ,zdz r dr dθ π ρ sinφ dρ dφ dθ + π π/ + cscφ π/6 arcsin/ρ π/6 5. π6 8 r dr dzdθ 5. 5π 7. π ρ sinφ dρ dφ dθ ρ sinφ dφ dρ dθ π π/ π π π π/ π/ 9. a 8. a cosφ π + cosφ π/ cosφ π/ π/ 8 c 8 π π c π/6 ρ sinφ dφ dρ dθ ρ sinφ dρ dφ dθ = π 6 ρ sinφ dρ dφ dθ = 8π ρ sinφ dρ dφ dθ = π ρ sinφ dρ dφ dθ r r dzdr dθ dz dd π/ secφ r ρ sinφ dρ dφ dθ r dzdr dθ dzdd d 5π/. 8π/ 5. 9/ πa π π8 π π/ 5. π/ 57. 6π 59. 5π/ 6. / 65. / 67. = =,z = /8 69.,,z =,,/ = =,z = 5/6 7. I z = π,r z = a hπ 75. I = π/ a,,z =,, 5,I z = π,r z =,,z =,, 5 6,I z = π 5,R z = 8.,,z =,, h + h h+6,i z = πa h + h,r z = a 85. M πr

28 58 Megoldások 89. A felszín r = fz egenlete mutatja, hog az r,θ,z = = fz,θ,z pont minden θ esetén a felületen van. fz,θ + +π,z a felületen van, ha fz,θ,z a felületen van, íg a felület szimmetrikus a z-tengelre. ln7 9. sin.. / 5. / 7. / 9. = = ln. I =. I = δ,r = 5. M =,M =,M = 7. π 9. = π, =. a = 5π+ 6π+8, = 5.7. Helettesítés többes integráloknál. a = u+v v u, = ; Háromszögtartomán, határai: u=, v=, u + v =. a = 5 u v, = v u; Háromszögtartomán, határai: v=u, v=u, u + v = 7. 6/5 9. u+v u 5 dudv = 8+ v ln πaba + b.. + e, a cosv usinv sinv ucosv = ucos v+usin v = u sinv ucosv cosv usinv = usin v ucos v = u 9.. Gakorló feladatok. 9e 9. 9/ a b c 6. π /5 9. π/.. a π π/ c π8 π π/ secφ + 5/ dzdd + ρ sinφ dρ dφ dθ ρ sinφ dρ dφ dθ = π z dzdd+ 9. a 8π 5 5. I z = 8πδb5 a 5 5 z dzdd 8π 5 Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok 5. dd = 7. / 9 dd = 9. a c 5/ 6 dd. π 5. π/ 6 dz dd + 7. a Luk sugara =, gömb sugara =. π 9. π/. ln ba 5. / 7. Tömeg = a b arccos b a a b, I = a b arccos b a a b b 6 a b /

29 6. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 59 b 9. ab ea. c 5. h = cm, h = [ ] 6 cm 7. π 6. fejezet 6.. Vonalintegrál. c ábra. g ábra 5. d ábra 7. f ábra ln ba a + ln+ 7. I z = πδa, R z = a 9. a I z = π δ, R z = I z = π δ, R z =. I = π,r = 6.. Vektormezők, cirkuláció, munka, áramlás. f = i+j+zk + + z /. g = i j+e + + z k 5. F = k + / i k + / j,bármel k > 7. a 9/ / c 9/ 9. a / - /5 c. a / c /. / 5. π 7. 69/ 9. 9/. 5/6. a cirk =, cirk = π, flu = π, flu = cirk =, cirk = 8π, flu = 8π, flu = 5. cirk =, flu = a π 7. cirk = a π, flu = 9. a π c.. a G = i+j G = + F 5. F = i+j π Útfüggetlenség, potenciálfüggvén, konzervatív vektormező. Konzervatív. Nem konzervatív 5. Nem konzervatív 7. f,,z = + + z +C 9. f,,z = e +z +C. f,,z = ln +tg++ ln + z +C ln.. 7. F = 9. a c. a. a c = b = a c = b = 5. Bármelik utat választhatjuk. A munka mindig uganakkora, mivel a mező konzervatív. 7. Az F erő konzervatív, mivel az M, N és P parciális deriváltja mind nulla. f,,z = a + b+cz +C; A = a,a,za és B = b,b,zb. Ezért F dr = fb fa = ab a+ + bb a+czb za = F AB. 6.. Green-tétel a síkban. fluus =, cirk. = πa. fluus = πa, cirk. = 5. fluus =, cirk.= 7. fluus = 9, cirk. = 9 9. fluus = /, cirk. =/. fluus = /5, cirk. = /. 5. / π. πa. 8 π 5. a π, ha C pozitív iránítású h k a tartomán területe 5. a 6.5. Felület felszíne és felületi integrál. π π c + 9. π ln. 9a abc 5. ab+ac+bc πa. πa 6. πa a. a, a, a 5.,,z =,, 9, Iz = 5π δ, R z =

30 5 Megoldások 7. a 8π a δ π a δ 9. π 6. 5π Paraméteresen adott felületek. rr,θ = r cosθi+r sinθj+r k, r, θ π. rr,θ = r cosθi+r sinθj+r/k, r 6, θ π/ 5. rr,θ = r cosθi+r sinθj+ 9 r k, r /, θ π; tehát rφ,θ = sinφ cosθi+sinφ sinθj+cosφk, φ π/, θ π 7. rφ,θ = sinφ cosθi+ sinφ sinθj+ + cosφk, π/ φ π/, θ π 9. r, = i+j+ k,,. ru,v = ui+cosvj+sinvk, u, v π. a rr,θ = r cosθi+r sinθj+ r cosθ r sinθk, r, θ π ru,v = ucosv usinvi+ucosvj+usinvk, u, v π 5. ru,v = cos vi+uj+cosvsinvk, u, π/ v π/; Más módon: ru,v = +cosvi+uj+sinvk, u, v π π 5 π π 5 r dr dθ = r 5dr dθ = 8π 5 π du dv = 6π π u u + du dv = π π π/ sinφ dφ dθ = + π π. S 5 z dσ = π = u cos v u + u u + dv du = π = u u + cos v dv du = π πa a π/. 7π/6 5. a/, a/, a/ 7. 8δπa / π π [ 55. A = a b sin φ cos φ + b c cos φ cos θ = Stokes-tétel + a c cos φ sin θ ] / dφ dθ. π. 5/ π 9. πa. π 5. π/ 7. 5π 5. 6I + 6I S S dσ = u u + du dv = 7 7 dσ = z dσ = π π S amenniben = u, = v sin φ cos θ dφ dθ = π u v dv du = 6.8. Gauss Osztrogradszkij-tétel π 9. π. /. π 5. π. Az integrál értéke soha nem haladja meg a felület felszínét.

31 6. fejezet kiválasztott feladatainak megoldásai 5 Gakorló feladatok. Út: ; Út: +. a π sin 9.. π. π abc a b c 9. rφ,θ = 6sinφ cosθi+6sinφ sinθj+6cosφk, π 6 φ π, θ π. rr,θ = r cosθi+r sinθj++rk, r, θ π. ru,v = ucosvi+u j+usinvk, u, v π [ +ln+ ] π 9. Konzervatív. Nem konzervatív. f,,z = + z++z 5. Út : ; út : 8/ 7. a e π e π 9.. a +ln+.,,z =, 6 5, ; I = 5, I = 6 5, I z = 56 9, R = 9 5, R =, R z = z =, I z = 7 7, R z = 7.,,z =,,9/, I z = 6π, R z = 9. fluus: /; cirk.: / π π Az anag alaposabb elsajátítását segítő további feladatok. 6π. / 5. a F,,z = zi+j+k F,,z = zi+k c F,,z = zi 7. 6πR 9. a =, b =. A flu minimuma.. 6 g c Munka = g ds = g. c πw 9. Akkor, ha F = i+j. C C ds = 6 g