Kóta Béla: A PIRAMISOK TANULSÁGA. Matematikai visszafoglaló.

Átírás

1 P6.sz. #1. Kót Bél /19:56 Kezdés: 004. július. :6 H pedig egyszerre tö mesterség feltlálásáról vn szó, melyek közül némelyek z életszükségletekre, mások pedig szemlélődő élet örömeire vontkoznk, z utóik föltlálóit mindig ölcsenek trtjuk z előieknél, mert z ő tudományuk nem hszonr irányul. ARISZTOTELÉSZ. Kót Bél: A PIRAMISOK TANULSÁGA Mtemtiki visszfoglló. A tizedesjel vessző. (,) A listelválsztó pontosvessző (;) Az egyenletszerkesztőt telepíteni kell. Figyelmeztetés!! Az nyg Hlmzelmélet mentes! A mtemtiki izonyítások megértéshez áltlános iskoli végzettség jánlott, lehetőleg nppli tgozton. Tnkönyv: Mtemtik áltlános iskol 8. osztály. Alpszint. A kiegészítésen néhány levezetés szintje meghldj z ipri- és mezőgzdsági technikumokn 1954-től tnított mtemtikát. A tizedesjel (,) listelválsztó (;) Az egyenletszerkesztő t telepíteni kell! 004

2 P6.sz. #. Kót Bél /19:56 1. TARTALOM: 1. TARTALOM: Árák: Bevezetés Esettnulmány z lgeri módszerről...6. MATEMATIKAI ALAPOK A számolás kilkulás A számnév A számolás kezdetei...9. A görög és egyiptomi mtemtik jellemzői Áltlánosítás és elvontkozttás Alpműveletek Összedás és kivonás Szorzás Osztás Az ógörög mtemtik fejezetei A vlódi osztók A mtemtiki rányelmélet és váltkozv kivonás Figurális számok Újszövetségi kitérő GEOMETRIAI BEMELEGÍTÉS A szögek A háromszög szögeinek összege A háromszögek jellemzői A háromszögek hsonlóság Az rányosság értelmezése hsonló derékszögű háromszögekkel A tégllp és négyzet THALÉSZ tétele A PITHAGORASZ TÉTEL A PITHAGORASZ tétel terület lefedéses izonyítás A PITHAGORASZ tétel, hogy én tnultm 1954-en EUKLEIDÉSZ izonyítás mértni középértékekkel eukleidész: Elemek, i. 47. tétel Módszertni megjegyzések A PITHAGORASZ tétel, hogy én izonyítnám 004-en A kiővített thlész kör A NÉGYZET ÁTLÓJA Páros - Pártln izonyítás Váltkozv kivonás Az oldl kivonás z átlóól Az átló mrdékánk kivonás z oldlól A négyzet területének megkettőzése SZÓKRATÉSZ és FIÚ páreszéde TAN-ulság Hogyn kettőzném meg én négyzet területét Az ARANYMETSZÉS A PIRAMIS A prolém felvetése Az egyiptomi tudomány fejlettsége Geometrii lpfoglmk (Hjós György nyomán)...45

3 P6.sz. #3. Kót Bél /19:56 6. A KHEOPSZ más néven NAGY pirmis A méretrányok értelezésére irányuló spekulációk és cáfoltok A KHEOPSZ Pirmis méretei Részletezés Tudományosn vizsgálhtó feltételezések A REND--Rkás Összehsonlító értékelés A KHEOPSZ Pirmis számi Cáfoltok Azért fogllkozunk KHEOPSZ Pirmis mtemtikájávl, mert: A SZÁMHÁRMAS ÉS A DERÉKSZÖG A cáfolás lélektn A feltlálás és felismerés művészete Az ellentmondások kísérjenek utunkon! A tudománytörténeti vitkérdés: A cáfoltok A cáfoltok értékelése A elátttás Megvilágosodás szemen egy csempézett flll A skktál módszer Mit izonyít töi pirmis Tnulságok: miért? KIEGÉSZÍTÉS A Gyök() közelítése törttel Felismerés Egy gyökközelítési módszer A htványozási lgoritmus A négyzetre emelési lgoritmus Áltlánosított gyökvonási lgoritmus NEWTON érintő módszere A skktáláól diophntosz TÁBLÁZATOK IDÉZETGYŰJTEMÉNY HÉRODOTOSZ (Kr.e. 484): A GÖRÖG-PERZSA HÁBORÚ. Ford: Murközy Gyul. EURÓPA k PYTHAGORASZ (Kr.e. VI.sz.): DÉMOKRITOSZ (Kr.e. 460): PLATON (Kr.e ) EURÓPA Állm ARISZTOTELÉSZ (Kr.e ): Metfizik EUKLIDÉSZ (Kr.e. 300 körül): Elemek STRABÓN (Kr.e. 64): GEÓGRAPHIKA. Ford: Dr. Földy József. GONDOLAT k VITRUVIUS: Tíz könyv z építészetről. Képzőművészeti Kidó, Budpest Fordított: Gulyás Dénes. Átdolgozt: Mrosi Ernő APULEIUS (Kr.u. 14): A mágiáról. Virágoskert. Ford: Détshy Mihály. MAGYAR HELIKON k Woody ALLEN IRODALOM...95

4 P6.sz. #4. Kót Bél /19: ÁBRÁK: 1. ár: A számok pitgorszi osztályozás ár: Figurális számok ár: A szög értelmezése ár: A háromszög szögeinek összege ár: A háromszögek osztályozás ár: Hsonló áltlános háromszögek ár: Arányosság hsonló derékszögű háromszögeken ár: A derékszögű háromszög szármzttás ár: A Thlész háromszög szögei ár: A Pitgorsz tétel lefedéses izonyítás ár: A mgsságvonl ár: Mgsságvonlk háromszögen ár: A derékszögű háromszög felosztás ár: EUKLEIDÉSZ izonyítás ár: A PITAGORASZ tétel nekem ár: A háromszög felosztás ár: A kiővített Thlész háromszög ár: Az egységnégyzet átlój ár: Átló/oldl váltkozv kivonás ár. Szimmetrizált kivonási szerkesztés ár: A négyzet kettőzés levezetése ár: A négyzet területének kettőzése tőlem ár: Az Arnymetszés rány ár: Arnymetszés I. változt ár: Képszerkesztés ár: Arnymetszés II. változt ár: A szályos ötszög ár: Arnymetszés szályos ötszögen ár: A KHEOPSZ pirmis ár: A gúl méretei ár: A gúl plástj ár: Az lpélek méreteltérései ár: A számított tengelymgsságok eltérései ár: Az rnymetszés területegyenlősége ár: Az rnymetszéssel szerkesztett Pirmis ár: Az rnymetszés illeszkedése Pirmishoz ár: A szárszög z rnymetszésen ár: Oldlháromszög szerkesztése ár: Földrjzi tájolás ár: A Kheopsz Pirmis számi ár: A oldlú háromszög ár: Euklidészi szerkesztések ár: Csempe mint ár: A háromszög szármzttás ár: Skktál módszer ár: Pirmis szványok ár: Pltóni háromszög ár: Newton érintő módszere ár: Diophntoszi háromszög....8

5 P6.sz. #5. Kót Bél /19:56 1. BEVEZETÉS A történelemi múltn időnként előfordult egy-két olyn korszk, mely figyelemre méltó szellemi és nygi lkotásokt hgyományozott miránk: A Felvilágosodás, A Reneszánsz, A Rómi Köztársság, Az Athéni Demokráci, Az Alexndrii Iskol, Az Egyiptomi Ó-irodlom. A mtemtik fejlődése z egyiptomi ó-irodlomtól kezdve követhető z ógörögökön át középkori r és európi kultúráig. E tudomány elvontságánk köszönhetjük, hogy módszerei és eredményei ojektíven összehsonlíthtók. Fejlődését követve 5000 év mélységée merülve, eleláthtunk kor emereinek gondoltvilágá. Gykorlti lklmzását monumentális lkotások tnúsítják. Az ntik módszerek tnulmányozás izonyítj, hogy mire volt képes z lkotó emer mikor hgyták hogy mire lenne képes z lkotó emer h hgynák. A kezdet z Egyiptomi Ó-irodlom. A pirmisok méretei és z rányi szerény mtemtiki eszköztár mgs szintű lklmzásár utlnk. Ez tudásszint jelenti következtetések korlátját, ezért z értékelésen csk régészeti leletekkel tudománytörténetileg összeegyeztethető mtemtikát hsználunk. Gykorltilg négy számtni lpműveletet és képzőművészeti árázolásokról ismert szerkesztéseket. Az ó-irodlom teljesítményének méltó értékeléséhez z nyg első részéen néhány mtemtik történeti tényre emlékeztetünk, mjd visszfelé hldv zokt mtemtiki összefüggéseket vezetjük le, melyek pirmisok méreteiől kiolvshtók. 1. TARTALOM:.... MATEMATIKAI ALAPOK GEOMETRIAI BEMELEGÍTÉS A PITHAGORASZ TÉTEL A NÉGYZET ÁTLÓJA A PIRAMIS A SZÁMHÁRMAS ÉS A DERÉKSZÖG KIEGÉSZÍTÉS...78 Idő rendi vázlt: ÓGÖRÖG mtemtikusok: PTOLEMAIOSZ Kr.u. 150, EUKLEIDÉSZ Kr.e. 300 körül, PLATÓN Kr.e , ZÉNON Kr.e. 450 körül, PITAGORASZ Kr.e. VI. sz., THALÉSZ Kr.e. 64? - 546?, EGYIPTOM Pirmisok kor: Középirodlom Kr.e , I. átmeneti kor Kr.e , Ó-irodlom Kr.e FAKULTATÍV PROGRAM: Beirtkozás z Alexndrii Könyvtár, után részvétel ANTONIUS és KLEOPATRA lkomáján z Utánozhttln Életűek Társságán. Kis türelmet! Az időpontokt most egyeztetjük.

6 P6.sz. #6. Kót Bél /19: ESETTANULMÁNY AZ ALGEBRAI MÓDSZERRŐL Figyeljünk, mert z nygn lgeri levezetések lesznek. Az értelmezésen segít egy megtörtént eset újrgondolás. K. 0 évvel ezelőtt megkeresett egy Dolgozók Iskolájá járó nőrokonom, mert kíváncsi volt hogy miért kpott elégtelent z egyenletmegoldásár. A feldtot megpróálom emlékezetől rekonstruálni. Jellegét tekintve vlmi ilyesmit kellett megoldni: 10y = 8y 1 5 A dolgozó-tnuló tnult módszereket hsznált: Mivel mindkét oldlon egy tört szerepel először kereszteszorzássl eltávolított nevezőket: 50y + 5 = 56y 7 Előjelcserével z egyik oldlr átvitte z ismeretlent trtlmzó tgokt, másik oldlr z ismerteket: 1 = 6y Az ismeretlen együtthtójávl egyszerűsítve megkpt z megoldást: = y A tnár(nő) értékelése: ELÉGTELEN, mert ÉN úgy tnítottm, hogy y =, nem pedig úgy, hogy = y!!! A tnárnő öngólt rúgott, mert... Tisztelt Hölgyeim! z... H így nem tetszik = y Alger. kkor fordíts meg ppírt! = y Vgy álljon fejre! A szó z r «l ger» ől (gr nnyi mint resturre) szármzik, mely Mohmmed en Mus Alkhvrizmi r mtemtikusnk 80-n megjelent «Alger v' l mukl» című munkáján szerepel és ott zt műveletet jelenti, melynek segítségével vlmely egyenlet dott tgj egyik oldlról másikr megváltozttott előjellel átvihető. A megoldásn ezek z átviteli műveletek hiátlnok voltk, viszont Csináld utánm! tnítási módszer tánciskolá vló. A műszki és természettudományokn dogmtizmus közveszélyes. A Természet Titkit csk szikl-szilárd lpon állv lehet megismerni. Szerencsénkre ezt z lpot dél-itálii ELEA filozófusi 400 évvel mielőttünk már lefektették.

7 P6.sz. #7. Kót Bél /19:56 A Legendás Hárms, Gondolt Óriási; PARMENIDÉSZ, ZÉNÓN, MELISSZOSZ; kinyiltkozttták két legfontos princípiumot: A LÉTEZÖ VAN, A LÉTEZŐ AZONOS ÖNMAGÁVAL. Ezért, h nem csk tnulni vgy tnítni, hnem tudni is krjuk z lgerát, kkor mindig ezekől kell kiindulni, mjd ide illik visszérkezni. Az én időmen MÉRLEG ELV -vel szemléltették z egyenlet tuljdonságit. Egy kétkrú lortórium mérleget tányérok rkott hulldék vsdrokkl kiegyensúlyoztk. Ezután mérleg továr is egyensúlyn mrd, h két egyform súlyt rátesznek két tányérr, vgy h két egyform súlyt levesznek tányérokról. Ez szemlélet kizárólg dimenzió nélküli számokr igz. H szám mögött nem áll dimenzió, kkor z dr. A LEHEL picon kofmérleg egyik tányérjá tett lecsókolászt ki lehet egyensúlyozni másik tányér rkott tulipánhgymákkl. Csk mérleg két tányérjár htó súlyerők lesznek egyenlők de (ez) kolász nem szporíthtó dugványozássl!. Az egyenlőségjel zért vn, mert jel két oldlán álló kifejezéseket önmgávl zonos, egyugynzon létezőnek tekintjük, melyeknek csk megjelenési formáj különözik. Lásd: sertés = disznó, 11 ór után 30 perc = 1 ór előtt 30 perc, vgy féltizenkettő. Az egyenlet mindkét oldlán ugynz szám áll, tehát mindkét oldlll ugynz számtni művelet elvégezhető, mert z egyenlőség fennmrd. (Kivétel gyökvonás, mert páros gyökkitevőnél z eredmény előjele ± kétértelmű.) Ez megoldási módszer terjedelmese nnál, mint mikor tgokt ellenkező művelettel visszük át z egyenlet másik oldlár, viszont sokkl áttekinthető. A kiinduló egyenlet: 10y = 8y 1 5 Szorozzuk először mindkét oldlt 7-tel: 10y + 1 = 56 y 7 5 Szorozzuk másodszor mindkét oldlt 5-tel: 50y + 5 = 56y 7 Adjunk minkét oldlhoz 7-et: 50y + 1 = 56y Vonjunk le mindkét oldlól 50 y-t: 1 = 6y Osszuk el minkét oldl 6-tl: = y Ez z eredmény idáig helyes, de csk: ez csk ELÉGSÉGES, mert levezetés nincs efejezve, Mivel: szorozzuk mindkét oldlt 1-el: = y = y, djunk mindkét oldlhoz y-t: y = 0, djunk mindkét oldlhoz -t: y = ez már KÖZEPES, mert még nem tláltuk meg Végső Igzságot,

8 P6.sz. #8. Kót Bél /19:56 Mivel: = y helyettesítsük e helyére y-t: y = y...és mivel: = y helyettesítsük e y helyére -t: = itt JÓ, hol létező zonos önmgávl, Összefogllv, teljes megoldás: = y y = y = y = ez már JELES, de még nincs vége. Oldjuk meg most újr z egyenletet z y = értének ehelyettesítésével. Minden lépés rról szól, hogy ugynz szám zonos önmgávl. Vegyük z eredeti egyenletet: 10y Behelyettesítve y helyée -t: Szorozzuk először mindkét oldlt 7-tel: = 8y 1 5 = 3 = 3 = = 1 = 1 = Szorozzuk másodszor mindkét oldlt 5-tel: = 105 = 105 = 56 7 Adjunk minkét oldlhoz 7-et: = 11 = 11 = 56 Vonjunk le mindkét oldlól 50 -t: Osszuk el minkét oldl 6-tl: 1 = 1 = 1 = 6 = = = A szofisták még tová mentek; mert legyen: Vonjunk ki mindkét oldlól -t: = 0 = 0 KITŰ NŐ. Ez Végső Igzság. Ahogy GORGIASZ már Kr.e.48-n kinyiltkozttt: SEMMI SEM LÉTEZIK;...

9 P6.sz. #9. Kót Bél /19:56 Süket Ürességen némán üvölt Csend! Tüköre néz Semmi; EMBEREEEK!!! Átereszt tömítés, SZÖKIK A VÁKUUM! Nekünk már null nem semmi, hnem vlmi más, mert: 0 0 = 1, 0 1 = 0.1 A SZÁMOLÁS KIALAKULÁSA. MATEMATIKAI ALAPOK.1.1 A számnév Mivel elvont gondolkodásunk nyelvi ktegóriákr épül ezért felidézzük nyelvi számfoglmt. A mgyr nyelv szótnán és mondttnán: A számnév ([nomen] numerle) jelzői, állítmányi vgy szám-, illetve számállpot-htározói szerepet játszó, kevéssé toldlékolhtó, személyek, tárgyk, dolgok mennyiségét kifejező, vgy sorn elfogllt helyét megjelölő szótári szó; A számnévnek mind mondteli felhsználhtóság, mind lktni viselkedése emlékeztet melléknévére. A számnév mondtn tönyire mennyiség és minőségjelző, de lehet értelmező, sőt névszói állítmány is. A Mgyr Nyelv Könyve Főszerk: JÁSZÓ ANNA TREZOR KIADÓ Bp A számnév állpothtározó szó, mondtn melléknév vgy jelző ; de ennél tö, mert feltételezi jelzett tárgy, foglom, személy, dolog, izé, micsod, hogyishívják st. LÉTEZÉSÉT - LÉTEZÉSMÓDJÁT - HIÁNYÁT..1. A számolás kezdetei Az emeri civilizációk tösége fejlődése során eléri zt szintet mikor számolás fennmrdásfejlődés feltételéve válik. Feltűnő, hogy földrjzilg elszigetelt civilizációkn, mint Egyiptom, Mezopotámi, Kín, Közép- Amerik, egymástól függetlenül kilkulnk számrendszerek, geometri, csillgászt és nptárkészítés módszerei,

10 P6.sz. #10. Kót Bél /19:56 legrégei írásos forrásokól koreli mtemtik viszonylg mgs színvonlár következtetünk, történelmi ngy irodlmk évezredekig trtó virágzásánk feltétele z átfogó szervezettség, még fejlette (elit) tudomány gykorlti lklmzását sejtetik monumentális épületek, utk, hidk, öntözőrendszerek. A számlálás igénye kkor jelentkezik, mikor z egyének jvkt trtósn irtokolják, és közösség eljut olyn nygi szintre mikor e jvkt szervezetten osztják el. A földművelőnek e kell osztni vetésnél vetőmgot, rtásnál termést következő etkrításig. A termelés ciklikusság mitt növénytermesztéshez és z istállózott állttenyésztéshez nélkülözhetetlen nptár. Ekkor eleütköztünk z oszthtóság prolémájá: vnnk korlátlnul oszthtó dolgok, pl. gon, szén, tej, meg z áldás. Mások oszthttlnok, mert nem lehet részekre osztni egy irkát, legfelje pörköltet, vgy egy részekre osztott gyümölcsfáól tűzif lesz. Az egyik legrégi természettudományos lelet egy Közép-Afrikán kiásott, k éves csontnyél. Ezen három sávn tö krcolássorozt látszik: hrmdik sorn minden szám törzsszám Nos, világos, hogy z z emer, ki ezt készítette, nemcsk számlálni tudott, hnem szorozni és osztni is, mivel erre csontdrr törzsszámokt krcolt rá. J.D. BERNAL: A fizik fejlődése Einsteinig. Gondolt K, Kossuth K z emer, ki ezt készítette nyilván felismerte, hogy vnnk olyn számok, melyeket nem lehet z egynél ngyo egyenlő részekre! osztni. Viszont m is élnek z Amzons vidéki egyenlítői esőerdőken olyn elszigetelt, kis létszámú indián - törzsnek még nem nevezhető - ngycsládok, melyek tgji csk kettőig tudnk számolni. Az életükhöz szükséges jvk őségen rendelkezésükre állnk. A npi szükségletüket gyűjtögetéssel szerzik meg. A közösségen nincs elosztás, készletezés. Az esőerdően évszkok sincsenek - sját életkorukt sem tudják.. A GÖRÖG ÉS EGYIPTOMI MATEMATIKA JELLEMZŐI Az ókori mtemtik töretlen fejlődési útj z egyiptomi rchikus kortól (Kr.e. 3000) z Alexndrii Könyvtár végső elpusztításáig (Kr.u. 390) trt. 500 évvel ezelőtt z ógörögök néhány nemzedéke előzmények nélkül? mi npig csodált filozófii, természettudományos és művészi eredményeket ért el. PITAGORASZ és tnítványi színes kvicsokól kezdtek szályos lkztokt kirkni, homok krcolt vonlkt szerkesztettek és kezdetleges hngszereiken hrmóniákt kerestek. Meg krták érteni világot, tpsztltikt logikávl ok okozti lánc rendezték. A tiszt logiki kpcsoltok természetének megismerése és áltlánosítás vezetett mtemtikához. A izonyítás nélkül elfogdott princípiumokt és előlük levezethető tételeket különválsztották. A szigorú logiki szályoknk megfelelő levezetésekkel lkították mtemtikát deduktív tudománnyá. A tpsztltikt lpján felismert törvényszerűségeket eillesztették világképüke és kiterjesztették z emeri gondolkodásr is. A GÖRÖG CSODA lpozt meg nyugti féltekén mi kultúránkt. Az ógörög mtemtik elvont tudomány volt. A filozófusok csk z ISTENI egész számokkl fogllkoztk. A töredék egységeket átengedték kereskedőknek és kézműveseknek. A filozófián szentnek tekintették z rányo kt. LOGOSZ -nk nevezték; továi jelentése gondolkodás, értelem, világtörvény, meg még vgy két oldl z ógörög szótárn. PITAGORASZ és iskoláj indított el Kr.e. VI. százdn természetes számok és zenei hngok tuljdonságink vizsgáltát. Meglpozták számok és rányok elméletét, geometriát és számmisztikát. ARISZTOTELÉSZ szerint világmgyráztukn számokól indultk ki, PLATÓN szerint csillgásztot

11 P6.sz. #11. Kót Bél /19:56 és zenét testvér-tudománynk nyilvánították. A pitgoreusok zenei hrmóniák számszerűsíthető törvényeinek kuttásávl kívánták megismerni világ hrmóniáját, mi szerintük zenével összefüggő rányokn közvetlenül megnyilvánul; úgy tnították, hogy létezők számok utánzás következtéen vnnk. A számok elemei egyúttl minden létező vlóságnk is elemei, és z egész égi világrend hrmóni és szám. Minden létező lpj mtemtik. A szám minden létező lpj - számok elemei z összes létezők elemei z egész Ég Hrmóni és Szám - Őselem. Az szép mien mtemtikilg megfoghtó rányosság vn. Az 1 z isteni egység, (páros) női szám, 3 (pártln) férfi, z 5 = + 3 házsság jelképe. A mtemtikát pitgoreusok z 1. ár szerint rendszerezték: M A T E M A T I K A Az nygi világ áltlános összefüggéseiől -- mennyiségek, formák, st -- elvont foglmkt lkotó és logiki elemzéssel áltlános törvényeket megállpító tudomány. Diszkrét Folytonos Aritmetik Zene Geometri Csillgászt 1. ár: A számok pitgorszi osztályozás. A görögök tudományát sötét középkorn z rok mentették át. A m ismert szövegeket r nyelvről kellett rekonstruálni és visszfordítni és ógörögre. A mi kényelmes és htékony ritmetiki módszereink viszonylg későn - középkor végén - lkultk ki; mikor Európán elterjedt helyiértékes rendszer r számokkl, null és tizedes tört. Az ókori számrendszereken z összedás és kivonás, de főleg szorzás és osztás sokkl onyolult és nehézkese művelet volt. Már z ókori Egyiptomól és Mezopotámiáól ismerünk számolás megkönnyítésére igen elmésen szerkesztett táláztokt. A táláztok szerkesztése közen ismerhették fel Vlódi osztó foglmát. A vlódi osztók vizsgált tö fontos mtemtiki összefüggés felismerését segítette. M pitgoreusoktól eredeztetjük : PITAGORASZ tételt, négyzet kettőzését, z Arnymetszést. A görögöknél mtemtik z idelist filozófi lpj volt, mérnöki tudományok, mint gykorlti földmérés (geo-metri) viszont mesterségek körée troztk. A kezdeteket tnulmányozv zonn úgy tűnik, hogy z lpprolémák és foglmk egy részét Egyiptomól vették át. Az egyiptomik tudomány teljesen mérnöki volt, gykorlti feldtok megoldását szolgált. A mtemtiki eszköztáruk számrendszer, számítási módszerek, geometri - lig hldták meg négy

12 P6.sz. #1. Kót Bél /19:56 lpművelet és vonlzós elemi szerkesztések szintjét. A pirmisok méreteien és szkrális épületek tájolásán elért pontosságuk méltó z lkotások isteni rendeltetéséhez. Az ókorn tudományt áthtott számmisztik és z sztrológi. Egyes kitüntetett számokt, méreteket és rányokt szentnek tekintettek. A görögök és egyiptomik csk természetes számokt ismerték: 1,, 3, 4, sok ( nullánál ngyo pozitív egész számok). Az egységnél kise mennyiséget közönséges törtekkel fejezték ki. Fontos különség: görög mtemtikán törtet számláló és nevező rányánk tekintették; törtszámokt kézművesek és kereskedők körée utlták, z egyiptomik törtszámítási segédtálázti korái átdolgozásokról és rendszerezésről tnúskodnk..3 ÁLTALÁNOSÍTÁS ÉS ELVONATKOZTATÁS A számlálást feltétele nyelven számnevek kilkulás. Egy csoport megszámolás lényegéen egyenkénti összedás; pl. egy öttgú csoportnál: =5 megfelel: 1+1=; +1=3; 3+1=4; 4+1=5. A számnevek és számlálás csk számok ngyságrendi viszonyit tudtosítják; ht eggyel ngyo, mint öt és eggyel kise, mint hét, hetvenöt sokkl ngyo, mint tizenhárom, és sokkl kise, mint négyszázhuszonnégy. Számlálásnál - összedásnál, kivonásnál, szorzásnál - számnevek mennyiségjelzők, hsonlók sok - kevés, ngy - kicsi, kori - késői jelzőkhöz. Itt még számok egyedi tuljdonsági elmosódnk, mint töi jelzőnél: hideg-meleg, hlvány-színes, szép-csúny. A számlálás elvontkoztt és megkülönöztet. Egyértelmű hogy, z erdően ötszáz f vn, de - tudjuk - nincs két egyform f. A házkuttás során tö száz lopott holmit foglltk le - Hol? - Mit?.4 ALAPMŰVELETEK.4.1 Összedás és kivonás Az összedás és kivonás lényegileg z egyenkénti számlálás kiterjesztése. A természetes számok köréen z összedndók tetszőleges ngyságúk; kivonásnál kivonndó kise kiseítendőnél. (Európán csk XII.-XV. százdn kezdték negtív számokt hsználni)..4. Szorzás A szorzás z összedás kiterjesztése, szorzótényezők ngyság tetszőlegesek: 3 5 = = 15 vgy 5 3 = = Osztás Az osztás minőségileg más prolém. Az összedás, kivonás, szorzás mindig elvégezhető z osztás viszont nem. Vnnk oszthtó és oszthttln dolgok és számok. Az osztás kivonás kiterjesztése; hánydos zt fejezi ki, hogy z osztót hányszor lehet kivonni z osztndóól: A fenti két osztás végrehjthtó, mert 15-en z 5 és 3 mrdék nélkül megvn. Próáljuk meg 15-öt 4-gyel osztni: A 15-öt nem lehet 4 egyenlő egész számr osztni, mert 15 nem egész számú töszöröse 4-nek: 3 4 = 1 kise, 4 4 = 16 viszont ngyo mint 15.

13 P6.sz. #13. Kót Bél /19:56 A törzsszámokt, mint pl. 13-t csk eggyel lehetne osztni ez zonn nem osztás hnem leszámlálás. 15 : 5 = 3 15 : 3 = = 10 (1) 15 3 = 1 (1) 10 5 = 5 () 1 3 = 9 () 5 5 = 0 (3) 9 3 = 6 (3) 6 3 = 3 (4) 3 3 = 0 (5) 15 : 4 = 3+3/4 : 15 4 = 11 (1) 11 4 = 7 () 7 4 = 3 (3) 3 < 4 3/4 tört.5 AZ ÓGÖRÖG MATEMATIKA FEJEZETEI.5.1 A vlódi osztók Egy dott természetes szám vlódi osztói sjátmgán kívül mindzok természetes számok, melyekkel mrdék nélkül oszthtó. Az önmgávl osztás triviális: létező zonos önmgávl. A törzsszámok csk eggyel (és önmgukkl) oszthtók; z ókorn ezeket tekintették legfontosknk; ltinos nevük PRIM (elsődleges). Az oszthtóságot szemléltető 1. tálázt trtlmzz z első 50 szám vlódi osztóit és z osztók összegeit. és ettől ront om mert kiderült, hogy számokt ngyságukon kívül egy sereg egyedi-első tuljdonságuk is megkülönözteti: törzsszám, vlódi osztók és összegeik, figurális jellemzők; megszületett Mtemtiki Gumicsont. A pitgoreusok rájöttek, hogy szám foglm sokkl komplexe, mint mit nyelvtni mennyiségjelző szám(név) jelent, pl. 6 ngyo, mint 5, de kise, mint 7. Minden szám egyedi csk rá jellemző első tuljdonságokkl rendelkezik: Minden oszthtó számhoz elválszthttlnul hozzátrtozik egy másik szám is: vlódi osztóink összege. Az oszthttln törzsszámok látszólg teljesen szálytlnul oszlnk el, de hsonlón szálytln eloszlást muttnk vlódi osztók is. Az egyszerűség kedvéért nevezzük vlódi osztók összegét vonzt -nk. Az 1, táláztn láthtó, hogy 6 vonzt 6 = , 8 vonzt is 8 =

14 P6.sz. #14. Kót Bél /19:56 Az ilyen számokt melyek egyenlők sját vlódi osztóik összegével (sját mguk vonzti) TÖKÉLETES számoknk nevezték. Továi tökéletes szám: 496, 818. Tláltk olyn számpárokt, melyek közül z első szám vonzt második szám - második szám vonzt viszont z első szám. E számpárok mintegy kicserélik egy másközt vlódi osztóik összegét: hogy két rát kicseréli lelkét. A kölcsönös összefüggésre utlv ezeket számokt BARÁTSÁGOS számoknk nevezték: 0 84, , A sok osztóvl rendelkező számokt SZIMPATIKUSnk nevezték, pl.: 1. A mellékelt. tálázt pitgorszi osztályozás keretéen trtlmzz z első tökéletes és rátságos számokt. Ezeket számokt pitgoreusok, mjd PLATON és EUKLEIDÉSZ hrmóni jelképeinek tekintették. A görögök z egyiptomikt tekintették tnítómestereiknek. A cstolt idézetgyűjtemény és tárgyi izonyítékok is zt sugllják, hogy görögök számelméletnek ezt részét Egyiptomól vették át..5. A mtemtiki rányelmélet és váltkozv kivonás. Munkkérdés: Miért osztott PITAGORASZ 1 részre kánont? Mikor PITAGORASZ zenei hrmóniák számszerűsíthető rányit kereste egy húrt feszített ki egy mérőléc (kánon) felett. A húrt különöző pontokon leszorítv pengette. Amikor sikerült kvrt, kvint és z oktáv hngközöket előállítni kánonon megjelölte z dott hngokt eredményező leszorítási pontokt. Mi/M húrhosszk közötti rányosságot legngyo közös osztó módszerével számítnánk ki (törzstényezőkre ontás). Az ógörögök viszont z rányosságot közös mérték(egység)et váltkozv kivonássl htározták meg. H vn két nem egyenlő számunk, kiseet váltkozv mindig kivonjuk ngyoól, és mrdék sosem osztj megelőző számot, míg csk nem z egység mrdék, kkor z eredeti számok reltív prímek. EUKLEIDÉSZ Elemek VII péld.. péld = = = = = = = = = = = 7-13 = = = = = = = = = - 1 = = 0 Két szám közül ngyo legyen kiseítendő, kise kivonndó. A kivonás után megmrd kivonndó és különség. Ezek új számpárt lkotnk. A műveletet ddig folyttjuk, míg két szám egyenlő nem lesz. Ez közös mérték(egység); legngyo közös osztó. H közös mérték 1, kkor két szám reltív prím.

15 P6.sz. #15. Kót Bél /19:56 A váltkozv kivonást két számpárrl szemléltetjük: 1. péld: 43 és 198,. Péld: 153 és 118. Az első példán közös mérték legngyo közös osztó: 9. (43=7 9; 198= 9) A második példán 153 és 118 reltív prímek, mert közös mérték 1. (153=153 1; 118=118 1) A váltkozv kivonás kettőnél tö számr is kiterjesztették. Keressük meg három dott nem reltív prímszám legngyo közös osztóját! EUKLEIDÉSZ Elemek VII.3. Mi viszont négyét! mert hrmónii rányokhoz négy szám legngyo közös osztóját kell meghtározni. Teljesen hs-számokol kiindulv tegyük fel, hogy z lphng, kvrt, kvint és z oktáv hngközökhöz trtozó húrhosszúság rendre: 84, 63, 56, 4 hosszegység. A 3. táláztn lépésenként levezetett váltkozv kivonás szerint négy szám közös egysége 7. A hngközök közös egységgel számított rány tehát: 1, 9, 8, 6. Válsz munkkérdésre, hogy miért osztott PITAGORASZ 1 részre kánont??? zért, mert így jött ki! PLÁTON teremtésmítoszán; TIMAIOSZ-n Világ-Teremtés srokszámink pontosn Pitgorszi félhngok rányit teszi meg (részleteseen mellékelt idézeteken): A kötelékek között pedig z legsze, mely önmgát és z összekötött dolgokt legjon eggyé teszi; természettől fogv z rányosság z, mely ezt legszeen teljesíti. A váltkozv kivonásnál z összemérendő szkszoktól függően más és más közös mérték, z egy(ség). A pitgoreusok nem is tekintették igzi számnk z egyet, hnem Istennel zonosították. Az egység ingtgság volt Mtemtik-Csillgászt-Zene örök törvényein lpuló világképüken z első válságtünet..5.3 Figurális számok A figurális számok felfedezését pitgoreusoknk tuljdonítják, mert ők számokt kvicsokkl szemléltették (. ár). Megpróáltk különöző számú kvicsól szályos lkztokt kirkni. Azokt számokt melyekől sikerült egy dott z lkzt kirkás, figurális számoknk nevezték. Például: négyzet : 1, 4, 9, 16, 5; háromszög 1, 3, 6, 10, 15 dr kvicsól rkhtó ki. A. ár figurális számit z lkztokról nevezték el: - Vonl (minden szám), - Gnómóm-npór ( pártln számok), - Tégllp (minden nem törzsszám), - Négyzet, ( négyzet számok) - Háromszög ( számok összege 1-tő l ), - Ötszög, - Kö ( kö számok)...számok. Minden nem törzsszám tégllpszám, illetve törzsszámot nem lehet tégllp elrendezésen kirkni. Figyelemreméltó, hogy tégllpszámok közül is kitüntették z (n + 1) n = n + n 1, 3, 4 3, 5 4, 6 5 lkúkt, melyeknél tégllp két oldl között egységnyi különség. Miért?...

16 P6.sz. #16. Kót Bél /19:56 vonl Kót Bél 004 npór gnomóm tégllp háromszög négyzet kö ötszög.. Azért mert pitgorszi hrmónii rányokn z lphng, kvrt, kvint és z oktáv hngközökhöz trtozó húrhosszúság közös egységgel számított rány: 1, 9, 8, 6. Viszonyítsuk ezeket z lphnghoz: 1 9 = = = 1 A törtek töi hngközen is z (n + 1)/n lkú tégllpszámok oldlrányink felelnek meg. Hngköz Arány Oktáv /1 Kvint 3/ Kvrt 4/3 Ngyterc 5/4 Kisterc 6/5. ár: Figurális számok. A figurális számsoroztok összehsonlításávl tö fontos számelméleti törvényt ismertek fel. A szályos elrendezés világ hrmóniájánk jelképe. A számok figurális jellemzői ugynolyn egyediek, mint z oszthtósággl megismert vonztok; tová ővítik számmisztik értelmezési trtományát. A. táláztn összeállítottuk z ig terjedő számok oszthtósági, figurális jellemzőit is Újszövetségi kitérő Az Újszövetség görögök megtérítésére - ógörög nyelven íródott. A János Evngélium elmondj Tieris-tvi csodáltos hlfogást. János 1.5 Jézus megszólított őket:»fiim, nincs vlmi ennivlótok?nincs«- felelték. Erre zt mondt nekik:»vessétek ki árk jo oldlán hálót, s ott mjd tláltok.«

17 P6.sz. #17. Kót Bél /19:56 János 1.11 Péter visszment, és prtr vont hálót, mely tele volt ngy hlll, szám szerint százötvenháromml, s ár ennyi volt enne, nem szkdt el háló. A százötvenhárom oszthtó háromml, mert számjegyeinek összege is háromml oszthtó: 153 számjegyeinek összege: = 9 oszthtó háromml: 153 : 3 = számjegyeinek összege: = 6 szintén oszthtó háromml; 51 : 3 = 17 A 17 törzsszám, tehát = 153 Ezenkívül 153 háromszögszám is, mert z 1-tő l 17-ig trtó számsor összege: = 153 A ik háromszögszám és legngyo törzstényezője is 17; ez már tö, mint véletlen egyeesés! (Megtlálhtó még: Sin Márton: Nincs királyi út. id.m.) A TETRAKTÜSZ A negyedik háromszögszám 10 = A 10 mágikus négyesség: TETRAKTÜSZ. A görögök láthtó Bolygók számát is kiegészítették 10-re ( EllenFöld ) A mágikus négyességen is megjelenik három legfontos konszonnci: z oktáv (:1), kvint (3:) és kvrt (4:3). 3. GEOMETRIAI BEMELEGÍTÉS. A következő geometrii szerkesztésekre tekintettel célszerű átismételni néhány geometrii lpfoglmt, lptételt és szerkesztést. Ilyen pl. szögek értelmezése, THALÉSZ, tétel mert összekpcsolj tégllpot négyzetet és derékszögű háromszöget. A THALÉSZ tételre vezetjük vissz tö tézis izonyításit. 3.1 A SZÖGEK. A fok-perc-másodperc egységeken lpuló szögmérést Kr.e.. százdn vezették e z ógörög csillgászok; HIPPARKHOSZ, HYPSZIKLÉSZ. Tőlük vette át Kr.u.. százdn z ókori csillgászt rendszerezője PTOLEMAIOSZ. Az egységrendszer mezopotámii 60-s számrendszerre utl: teljes kör = 360, 1 = 60, 1 = 60. = 360 szög szári áltl közezárt ív hossz teljes kőr ívhosz Az ógörögök derékszöget trtották igzi szög -nek: orthé-góni, rectus-ngulus (lt). Ehhez viszonyították szöget: 30 = 1/3 derékszög, 60 = /3-, 180 = egész derékszög. Egyiptomn z építészek flk dőlésszögét függőónnl és derékszög vonlzóvl mérték. A dőlés mértéke škd (szeked); z egységnyi függőleges távolságon mérhető vízszintes elhjlás (dőlés). A trigonometrián ez vízszintessel ezárt emelkedési szög cotngense lenne.

18 P6.sz. #18. Kót Bél /19:56 A szög fokn kifejezett mértéke egy dott sugrú körnél: R Kót Bél ár: A szög értelmezése. 3. A HÁROMSZÖG SZÖGEINEK ÖSSZEGE. A háromszög három oldl --c, velük szemen fekvő szögek β γ. Az áltlános háromszög szögeinek összege: + β + γ = 180 A törvényt 4. ár szemlélteti. Fektessünk egymásr két egyenlőközű párhuzmos vonlkól álló rácsot. A keresztezési metszéspontok kitűzik hrmdik egyenlőközű vonlrácsot. A három vonlrács keresztező vonli egymássl érintkező egyevágó háromszögeket htárolnk. Az érintkező csúcsoknál minden három szomszédos szög 180 -ot d, ht dr szomszédos szög 360 -ot. β γ β γ β γ + β + γ = 180 Kót Bél ár: A háromszög szögeinek összege. Derékszögű háromszögen z egyik (γ) szög mindig 90, másik két hegyesszög összege: + β = 90

19 P6.sz. #19. Kót Bél /19: A HÁROMSZÖGEK JELLEMZŐI. A háromszögeket szögeikkel jellemezzük. A jellemző szög lehet hegyes-, derék- vgy tompszög, de leglá két szög mindig hegyesszög. Derékszögű háromszögen két efogó derékszögű,, efogók z átfogóvl mindig hegyesszöget zárnk e. c c c β γ β 90 0 β γ hegyesszögű derékszögű tompszögű 5. ár: A háromszögek osztályozás A háromszögek hsonlóság. A háromszögek hsonlóságánk kritérium: két áltlános háromszög kkor hsonló, h két szögük egyenlő, (6. ár) két derékszögű háromszög hsonló, h egy-egy hegyesszögük egyenlő. (7. ár) β c γ β z x γ y P rány x = P y = P z = P c β c z γ x γ y 6. ár: Hsonló áltlános háromszögek Az rányosság értelmezése hsonló derékszögű háromszögekkel. Legyen két számpár: ;, x;y. A két számpár rányos, h: x = P ; y = P, hol P z rányossági tényező. A két egyenlőség hánydos: y x = P P = = = tg(β)

20 P6.sz. #0. Kót Bél /19:56 y β β x y x = = K = tg ( β ) y β x 7. ár: Arányosság hsonló derékszögű háromszögeken. Az rányosságot hsonló derékszögű háromszögekkel szemléltetjük (7. ár). A számpárok hosszávl szerkesztjük derékszögű háromszögek efogóit. A efogók hánydosi és derékszögű háromszögek szögei egyenlők. 3.4 A TÉGLALAP ÉS A NÉGYZET. A tégllp és négyzet srki derékszögűek. A derékszög legfontos szög természeten, mert függőleges és vízszintes irány egymásr merőleges. A függőleges nehézségi erő irány. A nyuglomn levő folydékok felszíne vízszintes. A stilitás megköveteli függőlegesre tengely körül kiegyenlített tömegeloszlást. Bármely négyzet vgy tégllp tetszőleges számú kise négyzetre vgy tégllpr oszthtó. Célszerűségől tégllp és négyzet lk z emer áltl lkított nygi világn mindenütt megjelenik: termőföldek kijelölése, házk lprjz, jtók, lkok, építőkövek, téglák, urkolólpok oldli, útoroktól textil és ppírárúkig hsználti tárgyk végtelen sor... A tervezés, kitűzés és mérés elméleti meglpozásához fel kellett tárni, hogy milyen összefüggés vn derékszögű háromszög oldlink hosszúság között. Ez z összefüggés jellemzi négyzet oldlink és átlóink viszonyát is. A négyzet és tégllp négy egyenes vonlll htárolt síkidom. (8. ár) Mind négy srkukn oldlk derékszögen tlálkoznk, ezért két-két szemen fekvő oldluk egyenlő hosszúságú és párhuzmos. A négyzet és tégllp hossz- és keresztirányú tengelyre tengelyszimmetrikus, középpontjukr központ- (centrál) szimmetrikus. Az átlók körülírt kör átmérői. A négyzet minden oldl egyenlő hosszú:. Az átlók négyzetet egyenlőszárú-derékszögű háromszögekre osztják. A négyzet területe.