A Banach-fixponttétel és alkalmazásai
|
|
- Pál Mezei
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar A Banach-fixponttétel és alkalmazásai Szakdolgozat Juhász Gergely Matematika B.Sc., matematikai elemz szakirány Témavezet : Karátson János, egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010
2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A Banach-xponttétel Metrikus terek és tulajdonságaik Banach-xponttétel Egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Nemlineáris egyenletrendszerek Integrálegyenletek Fredholm-integrálegyenlet Feladat: Love-integrálegyenlet Közönséges dierenciálegyenletek A kezdetiérték-feladat Alkalmazás: visszavezetés nemlineáris rendszerre Parciális dierenciálegyenletek Poisson-egyenlet és Green-féle függvény Nemlineáris elliptikus feladat Egy további alkalmazás: visszavezetés lineáris egyenletrendszerre Összefoglalás 34
3 Köszönetnyilvánítás Köszönettel tartozom témavezet mnek, Karátson János egyetemi docensnek, aki végig segítette a munkámat, hasznos tanácsaival, precíz magyarázataival és a megfelel irodalmak ajánlásával nagyban hozzájárult a dolgozatom elkészüléséhez. 2
4 1. Bevezetés A matematika területén jelent s eredménynek számít a Banach-xponttétel, amely fontos megállapítást tesz a metrikus terek elméletében. A tétel bebizonyítja, hogy metrikus terekben minden kontrakciónak létezik xpontja, és ez a xpont egyértelm. A tétel alkalmazásaival és következményeivel az alkalmazott analízis területén akkor találkozhatunk, amikor egy adott problémára matematikai modellt állítunk fel. Ilyen problémák els sorban a zika területén fordulnak el. A modell megoldására készíthetünk egy iterációs eljárást, amelyre a megfelel feltételek mellett alkalmazható a xponttétel eredménye. A dolgozatom célja, hogy bemutassam a metrikus terek tulajdonságait, valamint betekintést nyújtsak a xponttételen alapuló egyes alkalmazásokba. A dolgozat terjedelmére való tekintettel csak néhány fontosabb témakörr l lesz szó, amelyek a következ k: lineáris és nemlineáris egyenletrendszerek, integrálegyenletek, közönséges és parciális dierenciálegyenletek. További cél az el bb említett területekr l iterációs eljárás készítése egy általánosított modellre. A témaköröket érint speciális esetekr l csak abban az esetben lesz szó, amennyiben azok külön bizonyításra szorulnak. A témák tárgyalásánál egy-egy konkrét probléma felvetése segít majd megérteni, mire is jó az adott modell. Ezenkívül némelyik fejezethez kapcsolódik majd feladatmegoldás, illetve speciális alkalmazás. 3
5 2. A Banach-xponttétel A fejezet els része az alapvet fogalmak bevezetésére szolgál, amelyek szükségesek ahhoz, hogy megértsük a metrikus terek felépítését, valamint a rajtuk értelmezett sorozatok és leképezések tulajdonságait. A második részben pedig kimondjuk és bebizonyítjuk a dolgozat alapját képz Banach-xponttételt Metrikus terek és tulajdonságaik A metrikus terek bevezetéséhez szükségünk lesz egy tetsz leges halmazra, amin értelmezni tudunk egy távolságfüggvényt: Deníció. Legyen X tetsz leges halmaz és d : X R 0 + nemnegatív érték valós függvény. A d-t az X feletti metrikának (távolságfüggvénynek) nevezzük, ha bármely x, y, z X esetén igazak az alábbi tulajdonságok. d(x, y) = 0 x = y; d(x, y) = d(y, x) (szimmetria); d(x, z) + d(z, y) d(x, y) (háromszög-egyenl tlenség) Deníció. Legyen X tetsz leges halmaz és d metrika X felett. Ekkor az (X, d) párt metrikus térnek nevezzük. Szükségünk lesz továbbá a metrikus tereken értelmezett sorozatok tulajdonságaira is, hiszen ebben az esetben nem mindig viselkednek úgy, ahogy a valós számoknál megszoktuk Deníció. Legyen x 0 X és ε > 0 tetsz leges rögzített valós szám. Az x 0 pont ε sugarú környezete: K ε (x 0 ) = {x X : d(x 0, x) < ε}. 4
6 Deníció. Azt mondjuk, hogy az (x n ) X sorozat konvergens, ha a X amelyre d(x n, a) 0, azaz ε > 0 N N : n > N x n K ε (a) Deníció. Egy (x n ) X sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezünk, ha ε > 0 N N : m, n > N d(x n, x m ) < ε Deníció. Azokat a metrikus tereket, amelyekben minden Cauchy-sorozat konvergens, teljes metrikus térnek nevezzük. A leképezések tulajdonságainak deniálásához legyenek adottak az (X, d X ) és az (Y, d Y ) metrikus terek, valamint az f : X Y leképezés Deníció. Azt mondjuk, hogy f folytonos az x 0 X pontban, ha (x n ) X sorozatra igaz, hogy x n x 0 f(x n ) f(x 0 ) Deníció. Az f leképezés kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt L > 0 mellett, ha igaz a következ : d Y (f(x 1 ), f(x 2 )) Ld X (x 1, x 2 ) minden x 1, x 2 X esetén Deníció. Azt mondjuk, hogy f kontrakció, ha q [0, 1), amelyre igaz a következ : d Y (f(x 1 ), f(x 2 )) qd X (x 1, x 2 ) minden x 1, x 2 X esetén Következmény. Minden kontrakció folytonos Deníció. Legyen f : X X, azt mondjuk, hogy az x X az f leképezés xpontja, ha f(x ) = x. 5
7 2.2. Banach-xponttétel Tétel. (Banach-xponttétel) Legyenek X teljes metrikus tér és f : X X kontrakció. Ekkor 1. f-nek létezik egyetlen xpontja. 2. Tetsz leges x 0 X kezd pont esetén az x n := f(x n 1 ) iteráció konvergens, és lim n x n = x. S t, érvényes a d(x, x m ) A d(x 1, x 0 ) q m becslés, ahol A 0 konstans. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy n > m. Ekkor d(x n, x m ) d(x n, x n 1 ) + d(x n 1, x n 2 ) + + d(x m+1, x m ) q n 1 d(x 1, x 0 ) + q n 2 d(x 1, x 0 ) + + q m d(x 1, x 0 ) = = (q n 1 + q n q m )d(x 1, x 0 ) = = (q n m 1 + q n m q + 1)d(x 1, x 0 )q m 1 1 q d(x 1, x 0 )q m. (2.1) Ekkor m esetén a jobboldal 0-hoz tart, így ε > 0 N N : m, n > Nd(x n, x m ) < ε, tehát x n Cauchy-sorozat. Mivel X teljes metrikus tér, így x n konvergens is: Tekintsük az n-edik iteráltat: Térjünk át határértékre: lim n x n = x X. (2.2) x n = f(x n 1 ). lim x n = lim f(x n 1 ) = f( lim x n 1 ) n n n 6
8 Innen (2.2)-b l következik, hogy x = f(x ). Az egyértelm séghez indirekt tegyük fel, hogy x és y is xpontja f-nek és x y. Ekkor d(x, y ) > 0, így d(x, y ) = d(f(x ), f(y )) qd(x, y ) 0 (q 1) (d(x, y )). }{{}}{{} <0 >0 Ellentmondásra jutottunk, tehát a xpont egyértelm. A becslésünket is könnyen igazolhatjuk, hiszen (2.1) igaz d(x n, x m )-re n, m esetén, így d(x, x m )-re is: d(x, x m ) 1 d(x 1, x 0 )q m. 1 q }{{} A Következmény. Ha X Banach-tér, B : X X folytonos lineáris leképezés és B < 1, akkor x = Bx + c-nek létezik egyértelm megoldása. Bizonyítás. Legyen f(x) := Bx + c, ekkor x = Bx + c x = f(x). Megmutatjuk, hogy f kontrakció: f(x) f(y) = B(x y) B x y A B < 1 feltétel következtében f kontrakció, így a tétel értelmében létezik egyetlen megoldás. 7
9 3. Egyenletrendszerek A gyártási folyamatok modellezését gyakran oldják meg egyenletrendszerekkel. Jelöljük x-szel az alapanyagot, és a mennyiség x-b l gyártunk egy b terméket: a x = b. Bonyolítsuk egy kicsit a feladatot. Legyenek x 1, x 2,..., x n az alapanyagok és ezek kombinációjából állítjuk el b-t: a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b. Most tegyük fel, hogy a teljes üzemben nem csak b-t, hanem b 1, b 2,..., b m termékeket gyártanak az alapanyagokból: a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n = b 2. a m,1 x 1 + a m,2 x a m,n x n = b m. Cél: adott b 1,..., b m -hez x 1,..., x n -et keresünk. Jelölések: A R n m az a i,j együtthatókból álló mátrix; x R n a x i koordinátákból álló vektor; b R m a b i koordinátákból álló vektor. A fenti egyenletrendszert lineárisnak nevezzük, mivel minden változójában lineáris Lineáris egyenletrendszerek Az olyan Ax = b alakú lineáris egyenletrendszerek xponttételre alapuló iterációs megoldását vizsgáljuk, ahol adott A R m m és b R m. Feltesszük, hogy létezik A 1, tehát A reguláris, és deta 0. 8
10 Deníció. Az X lineáris teret lineáris normált térnek nevezzük, ha bármely x, y X és α R esetén igazak a következ k: 1. x 0, és x = 0 x = 0; 2. αx = α x ; 3. x + y x + y. Ez a x az x vektor normája Deníció. Legyen 1 p. Ekkor x R n esetén ( n ) 1/p x p := x i p, ha p < és x = max x i, ha p =. 1 i n i=1 A leggyakrabban használt normák elnevezése: ha p = 1: oktaéder-norma; ha p = 2: euklideszi-norma; ha p = : maximum-norma. A maximum-norma mint határérték értend, mivel lim p x p = x Deníció. A vektornorma segítségével megkapható a mátrixnorma: p = 1: Ax A := sup x 0 x. A 1 = max j ( n i=1 a ij ) (oszlopösszeg norma); p = : p = 2: A = max i ( n i=1 a ij ) (sorösszeg norma); A 2 = ( λ max ( A T A )) 1/2 (euklideszi norma). Az egyszer iteráció, ahogy a neve is mutatja, a legegyszer bb iterációs módszer lineáris egyenletek megoldására. Itt az Ax = b egyenletrendszer x = Bx + c alakra hozható. Ekkor a megfelel feltételek mellett az egyenletrendszer megoldása az alábbi sorozat határértéke: x n+1 = Bx n + c Tétel. Ha B < 1, akkor az x = Bx+c egyenletrendszernek létezik egyetlen megoldása. 9
11 Bizonyítás. A egyszer következménye. Nyilvánvaló, hogy minden x = x D(Ax b) egyenletrendszer is x = Bx + c alakú, továbbá ha det D 0, akkor az Ax = b rendszerrel ekvivalens. Megfordítva, x = Bx + c is felírható ilyen alakban, ahol D = (I B)A Lemma. [3] A B mátrix összes λ i sajátértéke legyen a λ q körben. Ekkor létezik olyan D invertálható mátrix, hogy a Λ = D 1 BD mátrix normája Λ 1 q Tétel. Az x = Bx+c rendszernek pontosan akkor létezik egyetlen megoldása, ha a B mátrix összes sajátértékének abszolút értéke kisebb, mint 1. Bizonyítás. Elégségesség: legyen q olyan, amelyre max i λ i < q < 1. A lemma feltételei teljesülnek, ezért létezik olyan D mátrix, hogy Λ 1 < q. Ekkor Λ = D 1 BD B = DΛD 1 B n = DΛD 1 D D 1 DΛD 1 = DΛ n D 1. Ezért n esetén B n 1 D 1 D 1 1 q n 0, így x n x 1 D 1 D 1 1 q n x 0 x 1 0. Szükségesség: Legyen λ l 1 és e l a megfelel sajátvektor. Ekkor a kezdeti közelítés x 0 = x + ce l, amellyel az r 0 = ce l adódik, ahol c 0, így r 1 = x 1 x = Bx 0 x + c = }{{} Bx +cbe l x + c = cbe l = cλ l e l. x c Tegyük fel, hogy r n = x n x = λ n l ce l. Ekkor r n+1 = x n+1 x = B n+1 x 0 x +c = } B n+1 {{ x} +cb n+1 e l x +c = cb n+1 e l = cλ n+1 l e l. x c Mivel lim n r n = lim n λ n l ce l 0, ezért a feltevés szükséges. Tekintsük az egyszer iterációt az alábbi formában: x n+1 x n ω + Ax n = b, n = 0, 1,..., 10
12 továbbá tegyük fel, hogy az A mátrix szimmetrikus és szigorúan pozitív denit: A = A T > 0, 0 < m λ (A) M. Ekkor az Ax = b egyenletrendszernek létezik egyértelm megoldása. eredeti formája: x n+1 = Bx n + c, n = 0, 1,..., Az iteráció ahol B := I ωa, c := ωb. Ekkor az (n + 1)-edik hiba normája: r n+1 q (ω) r n q n+1 (ω) r 0 ahol q (ω) := B = I ωa Deníció. Legyen A R n n, a sajátértékei λ i, i = 1,..., n. Spektrálsugárnak nevezzük az abszolútértékben legnagyobb sajátértéket. ϱ (A) := max 1 i n λ i Tétel. Tegyük fel hogy A szimmetrikus, szigorúan pozitív denit mátrix. Ekkor az egyszer iterációnak létezik egyértelm en meghatározott optimális iterációs paramétere: és teljesül Bizonyítás. ω 0 = 2 M + m q (ω 0 ) M m M + m. A konvergenciához elegend belátni, hogy q < 1, az állítás bizonyításához pedig ki kell számolnunk azt az ω 0 értéket, amelyre: q (ω 0 ) = min ω q (ω). Tudjuk, hogy A és I ωa szimmetrikusak, így q (ω) = ϱ (I ωa) = max 1 ωλ. λ 11
13 A pozitív denitség következtében minden sajátérték pozitív. Így minden ω 0 esetén g ω (λ) := 1 ωλ 1. A továbbiakban legyen ω > 0. Ekkor m λ M következtében: ha ω < 2/M. Ekkor 1 > g ω (m) g ω (λ) g ω (M) = 1 ωm > 1, max 1 ωλ max ( g ω (m), g ω (M) ) = max ( 1 ωm, 1 ωm ). λ Ez akkor minimális, ha ω-t úgy választjuk, hogy 1 ωm = (1 ωm). Átrendezve ω = adódik. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. 2 M + m 3.2. Nemlineáris egyenletrendszerek Amennyiben a folyamatra pontosabb modellt szeretnénk felállítani, akkor már nem lesz lineáris az egyenletrendszer. Legyen továbbra is x = (x 1, x 2,... x n ) T R n, valamint F : R n R n, és megoldandó az F (x) = b egyenletrendszer. Mivel F (x) = (f 1 (x), f 2 (x),... f n (x)) T, a nemlineáris egyenletrendszer a következ alakban írható: f 1 (x 1, x 2,... x n ) = b 1 f 2 (x 1, x 2,... x n ) = b 2. f n (x 1, x 2,... x n ) = b n Tétel. Legyen F : R n R n, amely eleget tesz a következ feltételeknek: (i) F C 1 (R n ); (ii) u R n esetén F (u) szimmetrikus; 12
14 (iii) léteznek olyan M m > 0 konstansok, amelyekre u, h R n esetén igaz a következ : m h 2 F (u)h, h M h 2. Ekkor 1. minden g R n esetén az F (u) = g egyenletnek létezik egyértelm megoldása, u R n ; 2. minden u 0 R n esetén az u k+1 := u k iteráció konvergál az u -hoz, éspedig Bizonyítás. 1. Feltéve, hogy (iii) fennáll 2 M + m (F (u k) g) u k u 1 m F (u 0) g ( ) k M m. M + m F (u) F (v), u v m u v 2 (u, v R n ), azaz F egyenletesen monoton függvény R n -n. Ezért (i) (ii) fennállása alapján az egyértelm megoldhatóság igaz az egyenletre. 2. Legyen r k := F (u k ) g. Így r k+1 r k = F (u k+1 ) F (u k ) = A tételben szerepl sorozatra átírva r k+1 = Ar k := r k M + m F (u k + t(u k+1 u k ))(u k+1 u k )dt. 1 0 F (u k + t(u k+1 u k ))r k dt. Megmutatjuk, hogy A kontrakció, és a konstans M m M+m. Ugyanis az F -ra vonatkozó feltevés alapján az A : R n R n lineáris leképezés szimmetrikus, továbbá minden r R n esetén M m M + m r 2 Ar, r M m M + m r 2. 13
15 Innen A M m, tehát A kontrakció. Ebb l M+m r k ( ) k M m r 0. M + m Végül, ezért r k u k u r k, u k u m u k u 2, u k u 1 m r k 1 m r 0 ( ) k M m. M + m 14
16 4. Integrálegyenletek Tekintsük a következ modellt, az úgynevezett Love-integrálegyenletet: ((I K)u)(t) u(t) d π +1 1 u(s) ds = 1 g(t), 1 t 1, d 2 + (t s) 2 amely leírja az elektromos mez t két párhuzamos koaxiális pozitív töltés lemez között, melyek egymástól vett távolsága d > 0. Az els szakaszban meghatározzuk az általános alakban felírt integrálegyenletre vonatkozó iterációt, és annak feltételét, hogy mikor lesz kontrakció. A második szakaszban pedig megoldjuk a fenti modellt Fredholm-integrálegyenlet Tekintsük a lineáris Fredholm-integrálegyenletet: x(t) = µ b a K(t, s)x(s)ds + f(t), t [a, b], ahol K : [a, b] [a, b] K ún. magfüggvény, és f : [a, b] K folytonosak. Az iterációs eljárás pedig legyen: x n+1 (t) = µ b a K(t, s)x n (s)ds + f(t), n = 1, 2,.... Legyen X = C([a, b], K), ahol K = R vagy C, vagyis az x : [a, b] K folytonos függvények tere az x = max a t b x(t) maximum-normával Tétel. Legyenek adottak az a < b pontok, valamint K és f a fentiek szerint, továbbá legyen c = max a t,s b K(t, s). Ekkor a fenti integrálegyenletnek létezik egyértelm megoldása minden olyan µ K esetén, amelyre: (b a) µ c < 1, és x n ehhez konvergál minden x 0 X kezd érték mellett. A norma denicíójából következik, hogy ez a konvergencia egyenletes [a, b]-n. 15
17 Bizonyítás. Tekintsük az egyenletet x = Ax + f formában, ahol (Ax)(t) = µ b a K(t, s)x(s)ds, t [a, b]. Mivel K folytonos, ezért Ax is folytonos, így A lineáris leképezés X-r l önmagára. Továbbá és A = sup Ax x 1 b Ax = max µ K(t, s)x(s)ds µ (b a)c x. a t b a Ax < µ (b a)c x x X { } Ax A = sup x : x 0 µ (b a)c < 1. Mivel az A < 1 feltétel teljesül, ezért következmény értelmében létezik egyértelm megoldás. Mivel F (x) := Ax + f kontrakció, így x n x maximumnormában Feladat: Love-integrálegyenlet Határozzuk meg a d paraméter azon lehetséges értékeit, amelyek elégséges feltételt adnak a Love-integrálegyenlet megoldhatóságához. ((I K)u)(t) u(t) d π +1 1 u(s) ds = 1 g(t), 1 t 1 d 2 + (t s) 2 Rendezzük át az egyenletet úgy, hogy leolvashassuk az általános képlet szerinti K és f függvényeket: u(t) = d π d 2 + (t s) 2 } {{ } K(t,s) u(s)ds + g(t) }{{} 1 A tétel értelmében akkor létezik egyértelm megoldás, ha (b a) µ c < 1, ahol c = max K(t, s). a t,s b 16
18 A feladat értékeinek a beírásával azt kapjuk, hogy 2 d π max 1 1 t,s 1 d 2 + (t s) < 1. 2 Számoljuk ki ezt a maximumot. Úgy tudunk maximalizálni, ha a nevez t minimalizáljuk: max 1 t,s 1 1 ( min d 2 + (t s) 2). d 2 + (t s) 2 1 t,s 1 Ez akkor lesz minimális, ha (t s) 2 = 0. Innen c = 1 d 2, 2d πd 2 < 1 d > 2 π. Azt kaptuk, hogy a fenti d értékek esetén létezik egyértelm megoldása a feladatnak. 17
19 5. Közönséges dierenciálegyenletek A dierenciálegyenletek elmélete igen érdekes és fontos terület a matematikában. Segítségével modellezhetjük például a természet-, a m szaki és a társadalomtudományok azon területeit, ahol folytonos idej, folytonos állapotter, determinisztikus folyamatok vizsgálata a cél. Ezek közül a térben homogén folyamatok vizsgálatára szolgálnak a közönséges dierenciálegyenletek. Ilyen modellre példa a radioaktív bomlás egyik modellje. Legyen a radioaktív anyag mennyisége a t R + id pontban x(t) R. Azt vizsgáljuk, hogy hogyan változik ez a mennyiség a [t, t + δ] intervallumban, ahol δ rövid id tartam. Az anyag mennyisége δ id elteltével olyan mértékben csökken, amely mindent l lineárisan függ, vagyis egyenesen arányos az anyag aktuális mennyiségével és az eltelt id vel: x(t + δ) = x(t) kx(t)δ + ε(δ)δ, ahol k R + az arányossági tényez, valamint a lineáris csökkenésen túlmen en az intervallum hosszához képes csak kicsi a változás: lim 0 ε = 0. Az egyenletet átrendezve x(t + δ) x(t) = kx(t) + ε(δ). δ Ha δ 0, akkor a jobboldalnak létezik határértéke, vagyis az értelmezési tartomány minden pontjában dierenciálható. Tehát azt kaptuk, hogy ẋ(t) = kx(t) (t R + ) A kezdetiérték-feladat Deníció. Azt mondjuk, hogy a sík valamely tartományán iránymez van megadva, ha minden pontjában ki van választva egy, a ponton átmen egyenes Deníció. Azt a vonalat, amely minden pontjában érinti az iránymez t, az iránymez integrálgörbéjének nevezzük. 18
20 Az integrálgörbék megkeresésének analitikus oldalról a dierenciálegyenletek megoldásainak megkeresése felel meg. Amennyiben feltesszük, hogy a (t, x) síkon értelmezett mez nem tartalmaz függ leges irányokat, akkor a (t, x) pontban húzott egyenes v(t, x) iránytangense véges, és az integrálgörbék az x = ϕ(t) függvény grakonjai. A továbbiakban tegyük fel, hogy a ϕ értelmezési tartománya a t tengely I intervalluma. Ekkor triviális a következ : Tétel. A ϕ dierenciálható függvény grakonja akkor és csak akkor integrálgörbe, ha minden t I-re teljesül az alábbi összefüggés: ϕ(t) = v(t, ϕ(t)) Deníció. Legyen v : R R n R n, ahol v C 1 (U), ekkor a ẋ = v(t, x) egyenletet a v iránymez által meghatározott dierenciálegyenletnek nevezzük Deníció. A ϕ függvényt az ẋ(t) = v(t, x(t)) dierenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha létezik olyan I R intervallum, amelyen ϕ C 1 (I), és kielégíti a tételben meghatározott összefüggést. A ϕ megoldás kielégíti a (t 0, x 0 ) U kezdeti feltételt, ha ϕ(t 0 ) = x 0. Tekintsük a ẋ = v(t, x) dierenciálegyenletet, amelyet a b vített fázistér (R n+1 ) valamely I tartományán értelmezett v iránymez ad meg. Fogalmazzuk át integrálegyenletté Állítás. Legyen x : I R, t 0 I. Ekkor x C 1 (I), ẋ(t) = v(t, x(t)) t x C(I), x(t) = x 0 + v(τ, x(τ))dτ. x(t 0 ) = x 0 t 0 19
21 Bizonyítás. Ha a dierenciálegyenletre alkalmazzuk a Newton-Leibniz-tételt t 0 és t között, akkor az integrálegyenlet adódik. Ha az integrálegyenlet mindkét oldalát deriváljuk, akkor a dierenciálegyenletet kapjuk vissza Deníció. Azt a P leképezést, amely a ϕ : t x függvényt az P ϕ : t x függvénybe viszi át, ahol (P ϕ)(t) = x 0 + Picard-leképezésnek nevezzük. t t 0 v(τ, ϕ(τ))dτ, Célunk szerkeszteni egy olyan M teljes metrikus teret, amin P kontrakció, és xpontja az adott integrálegyenlet megoldását határozza meg. A szerkesztést egy pont kis környezetében végzünk. Ezt a környezetet a következ négy mennyiség segítségével írhatjuk le: C, L, a, b. Ezeket menet közben deniáljuk. Tekintsünk egy tetsz leges (t 0, x 0 ) U pontot. A H = {t, x : t t 0 a, x x 0 b} henger az U tartományhoz tartozik, ha a és b megfelel en kicsi. Jelölje x v a v x szerinti deriváltját rögzített t mellett. Mivel H kompakt, v és x v is eléri fels határát a hengeren. Jelölje ezeket C és L, ekkor v C, x v L. Legyen K 0 az a kúp, amelynek csúcsa a (t 0, x 0 ) pont, a félnyílásszög tangense C, és a magassága a : K 0 = {t, x : t t 0 a, x x 0 C t t 0 }. Ha a elég kicsi, akkor K 0 H. Jelölje K x azt a kúpot, amely a K 0 -ból a csúcs (t 0, x) pontba történ párhuzamos eltolásával keletkezik. Ha a és b elég kicsi, akkor K x H minden olyan x-re, ahol x x 0 b. 20
22 Feltesszük, hogy a és b megfelel en kicsi, így K x H. Az ẋ = v(t, x) egyenletnek ϕ(t 0 ) = x 0 kezdeti feltétel melletti ϕ : (t 0 a, t 0 + a ) R megoldását keressük Megjegyzés. A keresett integrálgörbe a K x kúp belsejében fekszik. Jelölje M az a által meghatározott intervallum azon ϕ folytonos leképezéseit, amelyek kielégítik a következ feltételt is: ϕ(t) C t t 0 Vezessük be M-en a következ metrikát: ϱ(ϕ 1, ϕ 2 ) = ϕ 1 ϕ 2 = max ϕ 1(t) ϕ 2 (t). t t 0 a Tétel. A ϱ metrikájú M halmaz teljes metrikus tér. Bizonyítás. Folytonos függvények egyenletesen konvergens sorozatának határértéke is folytonos függvény. Amennyiben a függvénysorozat elemei kielégítik a fenti feltételt, akkor a határértékfüggvény is kielégíti ugyanazzal a C állandóval. Legyen f : U R n az R m euklideszi tér U tartományának folytonosan dierenciálható leképezése az R n euklideszi térbe. Ekkor f-nek az x U pontban vett deriváltja az egyik euklideszi térb l egy másikba ható lineáris operátor Tétel. Az U tartomány bármely konvex és kompakt V részhalmazán folytonosan dierenciálható f függvény kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt, ahol L egyenl az f derivált normájának V -n vett fels határával: L = sup f. x V Bizonyítás. Legyen x, y V. Kössük össze az x és y pontokat a z(t) = x + t(x y), 0 t 1 21
23 szakasszal. A Newton-Leibniz-képlet szerint: f(y) f(x) = 1 0 d dt (f(z(τ)))dτ = 1 0 f (z(τ))ż(τ)dτ. Figyelembe véve, hogy ż = y x: 1 1 f (z(τ))ż(τ)dτ L y x dτ = L y x. Ezzel a tételt bebizonyítottuk Tétel. Ha a megfelel en kicsi, akkor a P leképezés kontrakció M-en. 0 Bizonyítás. 1. Megmutatjuk, hogy a P leképezés M-et önmagára képzi. Felhasználva, hogy v C, a következ t kapjuk: t t (P ϕ)(t) x 0 = v(τ, ϕ(τ))dτ t 0 t 0 C Tehát P M M. 2. Megmutatjuk, hogy a P leképezés kontrakció: P ϕ 1 P ϕ 2 λ ϕ 1 ϕ 2, 0 < λ < 1. dt C t t 0. Becsüljük meg az P ϕ 1 P ϕ 2 értékét az t pontban. Tudjuk, hogy (P ϕ 1 P ϕ 2 )(t) = ahol v i (τ) = v(τ, ϕ i (τ)), i = 1, 2. t t 0 (v 1 (τ) v 2 (τ))dτ, A tétel értelmében, rögzített τ-ra a v(τ, x) függvény második változója szerint kielégíti az L-állandós Lipschitz-feltételt. Ezért v 1 (τ) v 2 (τ) L ϕ 1 (τ) ϕ 2 (τ) L ϕ 1 ϕ 2. Ezt az eredményt felhasználva: t (P ϕ 1 P ϕ 2 )(t) L ϕ 1 ϕ 2 dτ La ϕ 1 ϕ 2. t 0 Azt kaptuk, hogy ha La < 1, akkor a leképezés kontrakció. 22
24 Tétel. A P leképezésnek létezik egyetlen xpontja, és ez a xpont az ẋ(t) = v(t, x(t)) x(t 0 ) = x 0 kezdetiérték-feladat egyértelm megoldása. Bizonyítás. Beláttuk, hogy P kontrakció, így tétel szerint létezik xpontja, vagyis olyan ϕ(t) függvény, hogy ϕ(t) = x 0 + t t 0 v(τ, ϕ(τ))dτ. Innen a állításból már következik a tétel állítása Alkalmazás: visszavezetés nemlineáris rendszerre Tekintsük a ẋ(t) = f(x(t)) dierenciálegyenlet esetén az x i x i 1 τ + f(x i ) = 0 ún. implicit Euler-módszert. Legyen f C 1 (R n, R n ) és f(x) = v (x), x R n. Ekkor f (x) szimmetrikus minden x esetén. Ekkor az iteráció a következ alakban írható fel: F (x i ) := x i + τf(x i ) = x i 1. (5.1) Célunk az i-edik lépésben (5.1) megoldása Állítás. Legyen f korlátos és τ kell en kicsi. Ekkor F C 1, F szimmetrikus, és igaz a m h 2 F (x)h, h M h 2 (5.2) becslés, ahol m = 1 τ f (x) és M = 1 + τ f (x). 23
25 Bizonyítás. Tekintsük a deriváltat: F (x)h = h + τf (x)h. Ekkor F (x)h, h = h 2 + τ f (x)h, h (1 τ f (x) ) h 2. Legyen 0 < m := 1 τ f (x), ha τ < 1 f (x). A fels korlát megtalálásához is hasonlóan járhatunk el: F (x)h, h = h 2 + τ f (x)h, h (1 + τ f (x) ) h 2. Legyen 0 < M := 1 + τ f (x) Következmény. Ha F C 1. F szimmetrikus, és eleget tesz (5.2)-nek, akkor (5.1)-nek létezik egyértelm megoldása, és minden x esetén a 3.2 szakaszbeli iteráció konvergál a megoldáshoz. Bizonyítás. Az állítás következik a tételb l. 24
26 6. Parciális dierenciálegyenletek A dolgozat terjedelmére való tekintettel csak az eliptikus tipusú parciális differenciálegyenletekkel foglalkozunk. Ilyen egyenletek leggyakrabban zikai jelenségek matematikai modelljeiben fordulnak el, ha eltekintünk az id t l. Például a h vezetési egyenlet: cϱ u = div(k gradu) + f(x), t ahol c a fajh, ϱ a h vezet közeg s r sége, k a h vezetési tényez, f pedig a h forrás s r sége. Ha u nem függ az id t l, akkor az egyenlet a következ alakra egyszer södik: 0 = div(k gradu) + f(x). Az iteráció kidolgozásához szükségünk lesz az úgynevezett Green-féle függvényre Poisson-egyenlet és Green-féle függvény A h vezetési egyenleteknek azt a speciális esetét, amikor a közeg homogenitása miatt k konstans, Poisson-egyenletnek nevezzük. Ebben az esetben a képletünk is tovább egyszer södik: u + f(x) = Deníció. Tekintsük az Ω R n tartományt. Legyen u : R n R, és u C 1 (Ω), ekkor az u függvény gradiense: grad(u) = u = ( 1 u,..., n u). Legyen u : R n R n, u C 1 (Ω, R n ), ekkor az u függvény divergenciája: div(u) = u = n i u i. i=1 Legyen u : R n R, u C 2 (Ω), ekkor az u függvény Laplace-operátora: u = div(grad(u)) = u. 25
27 Tekintsük az alábbi feladatot: E(x) = 0, x 0 ahol E radiálisan szimmetrikus. A feladat alapmegoldása: { 1 4π x E(x) :=, x R3 1, x 2π ln x R Deníció. Jelölje R(x, y) a fenti feladat megoldását az x y helyen: { 1 4π x y R(x, y) :=, x, y R3, x y 1, x, y 2π ln x y R2, x y. Legyen Ω R n korlátos tartomány Ω peremfelülettel, és tekintsük tetsz leges x Ω esetén az alábbi Dirichlet-féle feladatot a v = v(y) C 2 (Ω) C(Ω) függvényre. v = 0 v Ω = R(x, y). Feltesszük, hogy x Ω pont esetén létezik megoldása a feladatnak. Jelölje ezt v(y) = r(x, y). Eszerint az r(x, y) függvény eleget tesz a következ knek: minden rögzített x Ω pontra, mint y függvénye r(x, y) C 2 (Ω) C(Ω), továbbá y r(x, y) = 0 r(x, y) y Ω = R(x, y) Deníció. Az Ω tartományhoz tartozó Green-féle függvénynek nevezzük a egyértelm en meghatározott függvényt. G(x, y) = R(x, y) r(x, y) (6.1) Tétel. Tegyük fel, hogy Ω-nak létezik Green-féle függvénye. Ekkor minden rögzített x Ω esetén igazak az alábbiak: G(x, y) = 0, y Ω \ {x} ; (6.2) G(x, y) = 0, y Ω; (6.3) G(x, y) > 0, x, y Ω. (6.4) 26
28 Bizonyítás. (6.2) és (6.3) közvetlenül adódik (6.1)-b l. A (6.4) egyenl tlenséget pedig könnyen igazolhatjuk a minimum-elv felhasználásával. Rögzített x C(Ω) esetén r(x, y) korlátos: Legyen a > 0 olyan szám, amelyre r(x, y) < k, y Ω. R(x, y) > k, y B(x; a) Ω, ahol B(x; a) az x középpontú a sugarú gömböt jelöli. Alkalmazzuk a minimumelvet az Ω \ B(x; a) tartományon a G(x, y) függvényre. A tartomány határán, azaz Ω B(x; a)-n G(x, y) y Ω = 0 G(x, y) y B(x;a) = R(x, y) r(x, y) > 0. Ekkor G(x, y) a tartomány belsejében pozitív és nem veheti fel a minimumát, mivel nem állandó Állítás. [7] Legyen u C 2 (Ω) C 1 (Ω), Ω u <, továbbá ω C2 (Ω), ω L 1 (Ω), ahol ω mint y függvénye értend minden rögzített x Ω esetén. Ekkor az F (x, y) = R(x, y) ω(x, y) jelölést használva minden x Ω pontra [ u(x) = F u ν u F ] dy [F u u y F ] dy. ν y Ω Ω Tétel. Legyen Ω szakaszonként folytonosan dierenciálható. Tegyük fel, hogy Ω-nak létezik Green-féle függvénye, amelyre r(x, y) C 1 (Ω) minden rögzített x Ω esetén, továbbá legyen u C 2 (Ω) C 1 (Ω) a u = f u Ω = g Dirichlet-feladat megoldása, ahol f <. Ekkor minden x Ω pont esetén Ω u(x) = G(x, y)f(y)dy Ω Ω 27 G(x, y) g(y)dy. ν y
29 Bizonyítás. alkalmazva azt kapjuk, hogy u(x) = Az állításban szerepl összefüggést u-ra és ω(x, y) = r(x, y)-ra Ω [ G u ν u G ν y A feltételek és a tétel szerint ] dy [G u u y G] dy. Ω u = f, G = 0, G = 0 (y Ω), u = g ( Ω), tehát azt kaptuk, hogy u(x) = Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Ω u(y) G dy Gf(y)dy. ν y Ω Tekintsük a Poisson-egyenletre vonatkozó peremérték-feladatot, ahol u a peremen homogén: u = f u Ω = 0. A tétel állítása szerint a megoldást a következ integrál határozza meg: u(x) = G(x, y)f(y)dy. Ω Példa. Vékony rudak csavarodása is jellemezhet Poisson-egyenlettel: Φ = 1 Φ Ω = 0, ahol Ω a rúd keresztmetszete. A Φ segédfüggvényb l az (u 1, u 2, u 3 ) eltolódások vektorát kapjuk meg, feltéve, hogy τ, az egységhosszra vonatkozó csavarási szög, a rúd hosszának irányában konstans Nemlineáris elliptikus feladat Tekintsük a Poisson-egyenlet egy általánosítását, ahol f helyett f(u) szerepel: u = f(u) u Ω = 0. 28
30 Ekkor a megoldás az u(x) = Ω G(x, y)f(u(y))dy integrálegyenletet teljesíti, amib l már felírhatjuk az iterációs eljárásunkat: u n+1 (x) = G(x, y)f(u n (y))dy := (Au n )(x) Ω Állítás. Tekintsük a C(Ω) normált teret az f := max Ω f normával. Ha f Lipschitzes és L < 1, ahol z(x) a z z = 1 z Ω = 0 feladat megoldása, akkor A kontrakcó a 0 < q < 1 kontrakciós konstanssal. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy létezik ilyen q. (Au)(x) (Av)(x) = G(x, y)f(u(y))dy Ω = G(x, y) (f(u(y)) f(v(y))) dy Ω G(x, y) f(u(y)) f(v(y)) dy Ω Ω Ω G(x, y) L u(y) v(y) dy }{{} >0 G(x, y) L max u(y) v(y) dy y G(x, y)dy L u v. Az állításban szerepl segédfeladat megoldása éppen a z(x) = G(x, y) 1dy. Ebb l azt kapjuk, hogy Ω Ω (Au)(x) (Av)(x) z L u v. 29 Ω G(x, y)f(v(y))dy =
31 Innen már látható, hogy ha q := L z < 1. akkor az (Au)(x) leképezés kontrakció Következmény. Az u(x) = G(x, y)f(u(y))dy egyenletnek létezik egyértel- Ω m megoldása, ha L < 1 z. Bizonyítás. állítás. A fenti egyenlet u = Au alakú, tehát a tételb l következik az Deníció. Azt mondjuk, hogy a u = f(u) u Ω = 0. feladatnak létezik klasszikus megoldása, ha van olyan u C 2 (Ω) C(Ω) függvény, ami kielégíti a peremértékfeldatot Tétel. Legyen Ω R n Lipschitz-folytonos taromány és f Ω-n deniált. Ha f Lipschitzes és L < 1, ahol z a állításbeli függvény, akkor a z u = f(u) u Ω = 0. Poisson-egyenletnek létezik klasszikus megoldása. Bizonyítás. Alkalmazzuk -t a u(x) = G(x, y)f(u(y))dy-ra. Ω Ebb l azt kapjuk, hogy u(x) = G(x, y)f(u(y))dy = f(u(x)). Ω Ezzel a tételt beláttuk. 30
32 6.3. Egy további alkalmazás: visszavezetés lineáris egyenletrendszerre Tekintsük a következ feladatot: Lu := div(a u) = g u Ω = 0, ahol A L (Ω, R n n ) szimmetrikus és szigorúan pozitív denit mátrix Deníció. Legyen S lineáris szimmetrikus operátor H-n. Egy L H lineáris operátort S-korlátosnak és S-koercívnek nevezünk, és L BC S (H)-val jelölünk, ha igazak a következ tulajdonságok: (i) D(L) H S és D(L) s r H S -ben az S-normával; (ii) létezik M > 0, amelyre u, v D(L) esetén Lu, v M u S v S ; (iii) létezik m < 0, amelyre u D(L) esetén Lu, u m u 2 S Deníció. Bármely L BC S (H)-re legyen L S B(H S ) a következ módon deniálva: L S u, v S = Lu, v (u, v D(L)). A feladatban L S-korlátos és S-koercív a denícióban foglaltaknak megfelel en, ha S = és g H. Ekkor az Lu = g egyenlet numerikusan megoldható a Galerkin-diszkretizáció segítségével: legyen V h = span {ϕ 1,... ϕ n } H S véges dimenziós altér, ahol a ϕ i -k lineárisan függetlenek és L h := { } n L S ϕ i, ϕ j. S i,j=1 31
33 Az u h V h diszkrét megoldás u = n i=1 c iϕ i formában való megtalálásához az L h c = b h (6.5) n n-es rendszer megoldása szükséges, ahol b h = { g, ϕ j } n j=1. Mivel L BC S(H), az L h szimmetrikus része pozitív denit, így a rendszernek létezik egyértelm megoldása. Legyen L szimmetrikus operátor. Ebben az esetben az S-korlátos és S-koercív tulajdonság egyszer en átalakul a következ spektrális ekvivalenciarelációvá: m u 2 S L Su, u S M u 2 S (u H S ). (6.6) Ekkor L h is szimmetrikus. Legyen S a operátor, és vezessük be az S merevségi mátrixát: S h := { ϕ i, ϕ j S } n i,j=1, mint a (6.5) rendszer prekondicionálóját. Innen a prekondicionált rendszer: S 1 h L hc = S 1 h b h. Tetsz leges c R n esetén helyettesítsük az u = n i=1 c iϕ i V h függvényt (6.6)-ba: m(s h c c) L h c c M(S h c c). (6.7) Állítás. Ha (6.7) fennáll, akkor λ i (S 1 h L h) [m, M]. Bizonyítás. λ i akkor sajátértéke a S 1 h L h mátrixnak, ha c i 0 : S 1 h L hc i = λ i c i. Szorozzuk be az egyenletet balról S h -val: L h c i = λ i S h c i. Végül szorozzuk az egyenletet jobbról c i -vel: L h c i c i = λ i S h c i c i. (6.8) 32
34 Tudjuk, hogy (6.7) igaz tetsz leges c R n esetén, így c i -re is, ezért (6.8)-at behelyettesítve (6.7)-be m(s h c i c i ) λ i (S h c i c i ) M(S h c i c i ) adódik. Innen már jól látszik, hogy m λ i M i. Ezzel beláttuk, hogy λ i (S 1 h L h) [m, M] Következmény. A tétel alkalmazható. 33
35 7. Összefoglalás Dolgozatomban bemutattam a Banach-xponttételt, és különféle feladattípusokra való alkalmazhatóságát igazoltam a szakirodalom alapján. El ször a metrikus terek felépítését és tulajdonságait vizsgáltam. Beláttam, hogy minden kontrakciónak létezik xpontja, ami egyértelm az ilyen típusú terekben. A lineáris algebrai egyenletrendszereknél azt az esetet vizsgáltam, amikor A négyzetes mátrix. Ekkor az Ax = b egyenletrendszer átírható x = Bx + c alakra. Beláttam, hogy pontosan akkor létezik egyértelm megoldás, ha B minden sajátértéke abszolút értékben kisebb, mint egy. Ezenkívül vizsgáltam egy speciális esetet is, amikor A szimmetrikus. Nemlineáris egyenletrendszereknél bebizonyítottam, hogy ha F : R n R n, F folytonosan dierenciálható, F szimmetrikus és egyenletesen pozitív denit, akkor létezik egyértelm megoldása az egyenletrendszernek, és iterációval meghatározható. Sikerült belátni annak feltételét, hogy az iterációban használt leképezés kontrakció legyen a Fredholm-integrálegyenlet esetében. Ezután az eredményt felhasználva megoldottam a Love-integrálegyenletet. A közönséges dierenciálegyenletek témaköréb l kezdetiérték-feladatok megoldhatóságának Picard-féle alaptételével foglalkoztam. A kezdetiérték-feladat visszavezethet integrálegyenlet megoldására. Ehhez szerkesztünk az x 0 pont egy környezetében egy M metrikus teret, valamint egy M-en értelmezett kontrakciót, és ezek segítségével visszavezetjük a feladatot a xponttételre. Emellett bemutattam egy numerikus megoldási módszert az Euler-módszer és a xponttétel ötvözésével. A Poisson-egyenletetet választottam ki a parciális dierenciálegyenletek közül, melynek megoldására használható a Green-függvény módszere. A xponttétel segítségével készítettem iterációs eljárást, amely az integrálegyenletek témakörére vezethet vissza. Itt is sikerült egy érdekes alkalmazást szemléltetnem, melynek lényege, hogy lineáris rendszerre vezeti vissza a nemlineáris problémát. 34
36 Hivatkozások [1] Arnold, V.I., Közönséges dierenciálegyenletek, M szaki Könyvkiadó, Budapest, [2] Axelsson, O., Karátson J., Equivalent operator preconditioning for elliptic problems, Numer Algor, 2009, 50: [3] Bahvalov, N.Sz., A gépi matematika numerikus módszerei, M szaki Könyvkiadó, Budapest, [4] Cryer, C. W., Numerical functional analysis, Oxford University Press, New York, [5] Karátson J., Direct gradient method for nonlinear integral equations, Periodica Mathematica Hungarica Vol. 33 (3), 1996, pp [6] Komornik V., Valós analízis el adások I., Typotex Kiadó, Budapest, [7] Simon L., Parciális dierenciálegyenletek 2. félév, Tankönykönyvkiadó, Budapest, [8] Stoyan G., Takó G., Numerikus módszerek 1., Typotex Kiadó, Budapest, [9] Stoyan G., Takó G., Numerikus módszerek 3., Typotex Kiadó, Budapest, [10] Tóth J., Simon L. P., Dierenciálegyenletek : Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba, Typotex Kiadó, Budapest, [11] Zeidler, E., Nonlinear functional analysis and its applications I., Springer, New York,
Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenDifferenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Közönséges differenciálegyenletek Gselmann Eszter Debrecen, 2011 Tartalomjegyzék 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Differenciálegyenletek osztályozása................................
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenDebreceni Egyetem Természettudományi Kar. Losonczi László. Funkcionálanalízis
Debreceni Egyetem Természettudományi Kar 1 Losonczi László Funkcionálanalízis 2009 Tartalomjegyzék 0.1. El szó................................. 5 0.2. Jelölések................................ 6 0.3. Ábrák
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenI. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebbend(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.
Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenOptimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/
Operációkutatás I. 2017/2018-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék 9. Előadás Az optimalizálás alapfeladata Keressük f függvény maximumát ahol f : R n R és
RészletesebbenOperátorkiterjesztések Hilbert-téren
Tarcsay Zsigmond Operátorkiterjesztések Hilbert-téren Szakdolgozat Témavezet : Sebestyén Zoltán egyetemi tanár Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar 2008 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenOpkut deníciók és tételek
Opkut deníciók és tételek Készítette: Bán József Deníciók 1. Deníció (Lineáris programozási feladat). Keressük meg adott lineáris, R n értelmezési tartományú függvény, az ún. célfüggvény széls értékét
RészletesebbenTartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenDiplomamunka. Nemlineáris elliptikus vegyes peremértékfeladatok prekondicionálása. Írta: Perjés Balázs Alkalmazott matematikus szak
Nemlineáris elliptikus vegyes peremértékfeladatok prekondicionálása Diplomamunka Írta: Perjés Balázs Alkalmazott matematikus szak Témavezet : Karátson János egyetemi tanár Alkalmazott Analízis és Számításmatematika
RészletesebbenA hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban
A hullámegyenlet megoldása magasabb dimenziókban Orbán Ágnes Fábián Gábor Kolozsi Zoltán 2009. október 29. A hullámegyenlet Hullámegyenletnek nevezzük a következ lineáris parciális dierenciálegyenletet:
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
Részletesebben