Integrálszámítás. b a. (f) az integrálszámítást felhasználhatjuk területszámításhoz, átlagérték számoláshoz (

Átírás

1 IV Integrálszámítás H ismert z egyváltozós f() függvény, differenciálhtju, hogy megpju pontonénti változásán sebességét, df/ mennyiséget Enne folymtn fordítottj (inverze) z integrálás, mior derivált ismeretéből ívánun függvényre öveteztetni Az integrálot átlgoláshoz, átlgértée és özépértée számításához hsználju leggyrbbn Foglm () vlmely f() függvény htároztln integrálj minden olyn F() függvény, melyne deriváltj z dott f() függvény; jelölés: f ( ) F( ) c (b) z F() függvényt z f() függvény primitív függvényéne (htároztln integrálján) nevezzü z (,b) véges vgy végtelen intervllumon, mennyiben differenciálhánydos (deriváltj) ezen intervllum minden pontjábn f() (c) z integrálndó függvény neve integrndus (d) Newton Leibniz formul értelmében htározott integrálo számítás övetezőéppen történhet: ( ) F( ) b b f F( b) F( ), Af A (e) z integrálás mint lineáris operátor: f gd f g Af Bgd A f B g d f és (f) z integrálszámítást felhsználhtju területszámításhoz, átlgérté számoláshoz ( b t fdt /( b ) ), négyzetes özépérté számoláshoz, ívhossz számoláshoz, térfogt és felszín számításához, súlypontszámításhoz (g) lpvető függvénye integrálfüggvényei függvény, y() f ( ) függvény, y() A, onstns A + c sin(+b) n / e n cos(+b) c, n n ln c tg(+b) e c e e c f ( ) sin cos + c sh ch + c cos sin + c cos( b) c sin( b) c ln cos( b) c sin c tg c

2 Mintfeldto A fenti táblázt segítségével htározzu meg övetező ifejezés htároztln integrálját: cos() sin( ) Megoldás: A tábláztbn cos( ) c szerepel Jelen esetben =, így sin cos c A fenti táblázt segítségével htározzu meg övetező ifejezés htároztln integrálját: sin( + ) cos( b) Megoldás: A tábláztbn zt tlálju, hogy sin( b) c Jelen cos( ) esetben = és b =, így sin( ) c t t Számítsu i övetező htározott integrált: dt t t f ( ) Megoldás: Tudju, hogy ln f c Enne segítségével már önnyen f ( ) 4 4 megoldhtó feldt: dt ln t t ln8 ln, 8 t t t t 4 4

3 Gyorló feldto d d Számíts i övetező htároztln integrálot: () ; (b) ; (c) d ; (d) cos ; (e) e ; (f) ; (g) ; (h) ; e (i) e Számíts i övetező htároztln integrálot: tg (megoldás: ln cos + C) (megoldás: ctg + C) (megoldás: / / / 9 / +C) tg (megoldás: tg + C) (megoldás: + C) cos (megoldás: sin + C) (megoldás: + C) (megoldás: + C) Számíts i övetező htározott integrálot: (megoldás: /4) (megoldás:,6) / / / (megoldás:,68) (megoldás:,6) (megoldás: 8,4) (megoldás: ) (megoldás:,4) (megoldás:,86) (megoldás: 66/) ln (megoldás: 96/9)

4 , h 4 é (megoldás: ln ln6 ln4), h é (megoldás: 66) Számíts i övetező htározott integrálo értéét: () (d) sin d ; (e) e ; (f) Adj meg övetező htározott integrál értéét: I e Htározz meg, mivel egyenlő tg Adj meg z y függvény átlgos értéét 4 ; (b) intervllumon b ; (c) d ; Htározz meg z y = és z y = görbé áltl htárolt síidom területét! Egy m tömegű rugó esetében legyen itérítéssel () rányos visszhúzó erő, f, itérítéssel lineárisn rányos (Hooe-törvén, zz f, hol z ún rugóállndó Adj meg rugór vontozó V() potenciálfüggvény lját, mennyiben tudju, hogy potenciál első deriváltján -szerese (visszhúzó) erő A grvitáció htás ltt szbdon hulló m tömegű testre F = mg, lefelé muttó irányú erő ht Integrálszámítás segítségével htározz meg, meor munát végez grvitáció ezen testen, mennyiben h mgsságból hulli le test és W f ( ) Különbözi-e ettől munától test h mgsságú, grvitáció ellenében végzett megemeléséhez szüséges mun? Két, egymástól távolságbn lévő, q, illetve q töltésű részecse özött Coulombtörvény értelmében váumbn F( ) erő ht, hol qq váum permittivitás () Htározz meg zt munát, mely ezdetben egymástól végtelen (4 ) távolságbn lévő, zonos töltésű részecsé egymástól távolságr történő összehozásához szüséges (b) Milyen ölcsönhtást jellemző eletroszttius potenciál lj? Mennyi mun ell hhoz, hogy ideális gázt izoterm módon V térfogtról V/ térfogtr nyomjun össze? 6

5 A pvm RTZ állpotegyenlettel (Vm moláris térfogt és Z egy ompressziós p Z tényező) jellemezhető gáz fugcitási együtthtój megdhtó, mint ln dp p bp A p( V m b) RT állpotegyenlet esetére mutss meg, hogy Z és ezután RT dj meg ( p, T ) függvényt Egy egyenes vonlú mozgát végző részecse t időpillntbeli sebessége v t Adj meg t = és t = időpillnto özött részecse áltl megtett utt Egy enyhén nemideális gáz esetében vn der Wls állpotegyenlet lj n p V nb nrt V Adj meg zot ifejezéseet, melye leírjá gáz áltl végzett munát, mennyiben z V-ről V térfogtr tágul () állndó nyomás és (b) állndó hőmérsélet mellett Mennyi munát ell végeznün, hogy V ( ) e potenciál minimumhelyén lévő tömegpontot végtelenbe elvigyü? (A biztonság edvéért ellenőrizze z energimegmrdás segítségével számoltt!) Jvsolt irodlom Bárczy Brnbás: Integrálszámítás, Műszi Könyvidó, 97 7

6 IV Prciális integrálás Prciális integrálás llmzásávl egy szorzt lú függvény integrálását övetező módon végezzü el: dv du u d uv v A lényeg, hogy mennyiben szorztfüggvény egyi tgj deriváltfüggvény, úgy ezen derivált helyett áttérhetün mási függvény deriváltjár z integrálszámítás során, mennyiben zt formulát hsznosbbn ítéljü A differenciálszámítás ismert szbályi segítségével prciális integrálás szbály önnyen levezethető, illetve megjegyezhető: d du dv dv d du ( uv) v u u ( uv) v Mintfeldto Htározzu meg övetező integrált: I e sin Megoldás: Allmzzu prciális integrálást z u e és v sin válsztásol Eor u e és v cos / lpján e cos e cos e sin e cos e cos Ismét prciálisn integrálun, most z u e és v cos válsztásol Eor u e és v sin / lpján e sin e sin e sin, zz I 9 e cos e sin e sin Az egyenlőséget rendezve ( eresett 4 4 integrál mind bl, mind jobb oldlon előfordul) megpju eresett végeredményt: e I sin cos C Gyorló feldto Htározz meg övetező integrál értéét: I e Htározz meg övetező integrál értéét: I e Htározz meg övetező integrál értéét: I ln 8

7 IV Helyettesítéses integrálás A helyettesítéses integrálás differenciálszámításnál megismert láncszbály integrálási megfelelője Ngyon fontos megjegyezni, hogy htározott integrál esetén helyettesítés öveteztében z integrálási htáro vátozhtn A techni hsználtát legegyszerűbb példáon eresztül szemléltetni Mintfeldto,7 dz Megoldás: Végezzü el z helyettesítést Eor, zz = dz / Tehát,,7,7,7 z z z ( ) d c c,7, 7 Adju meg övetező ifejezés htároztln integrálját: Gyorló feldto Számolj i z R sugrú ör területét helyettesítéses integrálássl (Segítség: érdemes ör negyedéne területét számolni, ör egyenlete R y, és z integrál iszámolásához érdemes z Rsin u éplettel definiált helyettesítést llmzni 9

8 IV Integrálás prciális törtere bontássl Mintfeldto Adju meg övetező ifejezés htároztln integrálját: Megoldás: Végezzü el nevező felbontásávl z integrálndó függvény ét tgr A B C bontását: A( ) ( B C), zz A =, ( ) B = és C = Tehát, Gyorló feldto ln ln c Prciális törtere bontássl számolj i övetező integrált: I 4

9 IV4 Integrálás sorfejtéssel Foglm H z integrálndó függvény úgy f ( ) c, zz f ( ) c műödi, h sor onvergens Gyorló feldto f ( ) c lbn írhtó fel (például özelítően), Ez z integrálási techni or Láss be htvány- Tudju, hogy cos és sin!! soror vontozó integrálási szbály segítségével, hogy cos sin c 4

10 IV Ívhossz és ívhosszintegrál Foglm Amennyiben z y = f() függvény z [,b] intervllumon folytonos és differenciálhtó, továbbá differenciálhánydos orlátos, úgy z és b bszcisszá áltl htárolt b vonldrb ívhosszát z s y htározott integrál dj Ez tuljdonéppen megfelel egy slárfüggvény integrálján egy megdott görbe mentén A éplet helyessége önnyen beláthtó, mint felidézzü, hogy ds dy ( () Amennyiben görbe prméteres egyenletrendszerrel ( = (t) és y = y(t)) dott, t úgy s y dt t (b) H görbe (síbeli) polároordinátál dott, úgy s r r d A leírtn mindenben megfelelően lehet iszámítni egy térgörbe ívhosszintegrálját, mely egy slárfüggvény (pl ( r ) (, ) integrálás egy C görbe mentén Az ívhossz integrál: I B A I (, ds Sí görbére ds ismerete lpján zt írhtju, hogy C (, y( )) y Amennyiben r(t) dj g görbe prméteres egyenletét ( t B dy (t) és y y(t) ), úgy I ( ( t), y( t)) dt dt dt Mintfeldto ta Htározzu meg z + y = ör ívéne hosszát z = és = bszcissz ponto áltl htárolt szsz felett Megoldás: Az egyenlet lpján y és / y ( ), zz s Integráltáblázt segítsé- ( ) gével s rcsin rcsin Ez vlóbn egy negyed örív hossz (hiszen z r sugrú ör erülete K = rπ), mennyiben sugár 4

11 Számítsu i z = és = 4 bszcissz ponto özött z yds -t zon C görbe mentén, melyne egyenlete y Megoldás: Tudju, hogy ds dy (, zz C 4 y ds hnem iszámítottun egy ívhosszintegrált 4 6 Itt persze nem z ívhosszt ptu meg, Gyorló feldto Htározz meg z y cosh függvénygörbe = és = bszcisszájú ponto áltl htárolt ívéne hosszát Htározz meg z y függvény görbéjéne z = és = 4 bszcissz pontji áltl htárolt ívéne hosszúságát ( megoldás icsit nehézes, enne során hsználj fel z lábbi helyettesítést: sinhu ) 4

12 IV6 Vonlintegrál (, b ) A vonlintegrál, Q dy (, b ) P számítás egy vetorfüggvény integrálásán felel meg egy görbe mentén A vonlintegrál áltlábn függ z úttól De vnn olyn speciális és természettudománybn rendívül fontos esete, mior vonlintegrál értée nem függ z úttól A vonlintegrálo tuljdonsági mindenben megfelelne hgyományos integrálo (mint lineáris operátoro) tuljdonságin Kétdimenziós (síbeli) esetben legyen dott F(, = P(,i + Q(,j, hol i és j megszoott Descrtes egységvetoro, eor C P(, i Q(, j i dy F(, ds j C C P(, Q(, dy Ezt formulát lehet mgsbb rendere is értelemszerűen áltlánosítni Különítsün el néhány lesetet ét-dimenziós esetben: () H C görbe egyenlete z y = f() formábn dott, or y = f() és dy = lpján vonlintegrál {, f ( )} Q{, f ( )} f ( ) dy f ( ) P ifejezés szerint hgyományos módon számíthtó (b) Amennyiben C görbe z = g( lbn dott, or g( dy lpján b vonlintegrál P { g(, y} g( dy Q{ g(, y} dy ifejezés segítségével számolhtó t t b (c) Amennyiben C görbe prméteres formábn, = (t) és y = (t), dott, úgy P{ ( t), ( t)} ( t) dt Q{ ( t), ( t)} ( t) dt vonlintegrál iszámításán módj, hol t és t t értéei z A(, b) és B(, b) pontobn A fenti módszere ombinációi is gyort sieresen llmzhtó Megjegyzendő, hogy mennyiben F z erő és r z út, z F dr ifejezés zon teljes C munát jelenti, melyre z objetum C menti mozgtásához szüség volt 44

13 Mintfeldto (,) Számítsu i z y y (,) dy integrált z () [,]-ből [,]-be menő egyenes mentén; és (b) [,]-ből [,]-be, mjd z [,]-ből [,]-be menő egyenese mentén Megoldás: () [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete y = +, zz dy =, és így (b) [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete y =, zz dy =, vlmint z [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete =, zz =, tehát () ( y )dy y és y y dy, zz vonlintegrál értée ezen út mentén 8 Megállpíthtju tehát, hogy vonlintegrál áltlábn függ z úttól A fiziábn és fizii émiábn mjd ülönös jelentőségűe leszne zo z esete, mior z integrál értée útfüggetlen, cs ezdeti és végállpottól függ Gyorló feldto Számíts i övetező vonlintegrálot: (), é,, vlmint g görbe z y = és ; (megoldás: ), é, vlmint g görbe z y = és ; (megoldás: 9,7), é, vlmint g görbe z é é ;(megoldás: ), é, vlmint g görbe z é é ; (megoldás: ) F, y (, vetormezőne z r t (cos t,sin t), t, prméteres görbén vett vonlintegrálját F, y ( y, ) vetormezőne z r t (cos t,sin t), t, prméteres görbén vett vonlintegrálját Adj meg z Adj meg z 4

14 IV7 Többszörös integrál Természetesen z integrál és z integrálás foglm többváltozós függvényere is iterjeszthető, émi gyorltábn többnyire ilyen eseteel tlálozun Foglm Kettős integrál Legyen F(, egy zárt része z y sín Osszu fel ezt területrészt n db is részre, eze területe legyen A, =,,, n Képezzü z lábbi összeget: n F(, ) A, hol és -di területrészben lévő vlmely, illetve y oordinát értéet jelöli Teintsü lim n n F(, ) A htárértéet H ez htárérté létezi (be lehet bizonyítni, hogy ez htárérté or létezi, h F(, leglább drbonént folytonos és zt is, hogy htárérté független és értée válsztásától), úgy enne jelölése F (, da és z F(, étváltozós függvény ettős R integrálján nevezzü z R térrész felett Többszörös integrálo iszámításor áltlábn z integrálás sorrendje felcserélhető, de htárol mjdnem mindig vigyázni ell A Fubini-tétel zt mondj i, hogy mennyiben egy többváltozós (jelen példábn étváltozós) integrál véges, or igz, hogy d b b d F(, da F(, dy F(, dy, zz étváltozós integrál b, cd, c c értée független z egyváltozós integrálo elvégzéséne sorrendjétől A tétel or is igz, h fenti példánál bonyolultbb lztor integrálun, hol z egyváltozós ( szerinti integrálo htáribn lehet y () függés Mintfeldto Számítsu i z ellipszis területét övetező ettős integrál segítségével: d dy y Megoldás: Az ellipszis orábbról ismert egyenlete ( és b is és ngy b b / tengel, így y b és T dy 4b 4b t dt, hol helyettesítéses integrálássl ( t / ) próbálozun fellépő htározott integrál iszámításához A fellépő integrál iszámításához integráltábláztr (vgy számítógépes lgebr szoftverre, pl Mthemtic) vn szüségün, mely szerint T 4b t t rcsin t, zz T b Ez éplet természetesen jól ismert orábbi tnulmányoból 46

15 Gyorló feldto Teintsü (,), (,), (,), (,) ponto áltl htárolt négyzetet Mennyi z ( függvény ltti térfogt ezen trtományon? Adj meg integrál értéét z y = és y = egyenese és z y = / hiperbol áltl özrezárt sírészen (megoldás: 7/64) Adj meg integrl értéét z tengely és z y = és = egyenese áltl özrezárt sírészen (megoldás: /) Végezze el z lábbi integrál iszámítását: e Ellenőrizze Fubini-tételt z y y dy y dy integrál példáján Integrálj z F, y, -n vett y görbe ltti trtományon Ellenőrizze Fubini tételét z és y szerinti integrálo sorrendjéne felcserélésével (Vigyázt htárol!) A lsszius sttisztius mechni szerint hőmérséleti egyensúlybn lévő rendszere átlgos energiáj z lábbi éplettel számolhtó (z energi bármely értéet ( függvényt z / BT e dp felvehet):, hol B z ún Boltzmnn-állndó, p és pedig z / BT e dp impulzus (lendület), illetve oordinát Egyszerű hrmonius oszcillátorr p ( p, ), hol m reduált tömeg és vdrtius erőállndó Az m integrál iszámításávl htározz meg z átlgos energiát Mennyivel járuln hozzá z egyes vdrtius tgo z átlgos energiához? 47