Integrálszámítás. következőképpen történhet: ( x) (e) az integrálás mint lineáris operátor: ( f g) dx

Átírás

1 IV Integrálszámítás H ismert z egyváltozós f() függvény, differenciálhtju, hogy megpju pontonénti változásán sebességét, df/ mennyiséget Enne folymtn fordítottj (inverze) z integrálás, mior derivált ismeretéből ívánun függvényre öveteztetni Az integrálot átlgoláshoz, átlgértée és özépértée számításához hsználju Foglm () vlmely függvény htároztln integrálj minden olyn függvény, melyne deriváltj z dott függvény (b) z F() függvényt z f() függvény primitív függvényéne (htároztln integrálján) nevezzü z (,b) véges vgy végtelen intervllumon, mennyiben differenciálhánydos (deriváltj) ezen intervllum minden pontjábn f() (c) z integrálndó függvény neve integrndus (d) Newton Leibniz formul értelmében htározott integrálo számítás övetezőéppen történhet: ( ) = [ F( ) ] b b f = F( b) F( ) + +, Af A (e) z integrálás mint lineáris operátor: ( f g) = f g ( Af + Bg) = A f B g + d = f és (f) z integrálszámítást felhsználhtju területszámításhoz, átlgérté számoláshoz b ( t = fdt /( b ) ), négyzetes özépérté számoláshoz, ívhossz számoláshoz, térfogt és felszín számításához, súlypontszámításhoz (g) lpvető függvénye integrálfüggvényei függvény, y() f ( ) függvény, y() A, onstns A + c sin(+b) n + n cos(+b) + c, n n + / ln + c tg(+b) e e + c e e + c f ( ) + sin cos + c sh ch + c cos sin + c cos( + b) + c sin( + b) + c ln sec( + b) + c sin + c tg + c 6

2 Mintfeldto A fenti táblázt segítségével htározzu meg övetező ifejezés htároztln integrálját: cos() sin( ) Megoldás: A tábláztbn cos( ) = + c szerepel Jelen esetben =, így sin cos = + c A fenti táblázt segítségével htározzu meg övetező ifejezés htároztln integrálját: sin( + ) cos( + b) Megoldás: A tábláztbn zt tlálju, hogy sin( + b) = + c Jelen cos( + ) esetben = és b =, így sin( + ) = + c 7

3 Gyorló feldto d Számíts i övetező htároztln integrálot: () d ; (c) d ; ; (b) (d) cos ; (e) e ; (f) ; (g) + ; Számíts i övetező htározott integrálo értéét: () ; (b) 4 d b ; (c) ; π (d) sinθ dθ ; (e) e ; (f) Adj meg övetező htározott integrál értéét: I = e Htározz meg, hogy mivel egyenlő tg Egy m tömegű rugó esetében legyen itérítéssel () rányos visszhúzó erő, f, itérítéssel lineárisn rányos (Hooe-törvén, zz f =, hol z ún rugóállndó Adj meg rugór vontozó V() potenciálfüggvény lját, mennyiben tudju, hogy potenciál első deriváltján -szerese (visszhúzó) erő A grvitáció htás ltt szbdon hulló m tömegű test F = mg, lefelé muttó irányú erő ht Integrálszámítás segítségével htározz meg, meor munát végez grvitáció ezen testen, mennyiben h mgsságból hulli le test és Δ W f ( ) Δ Különbözi-e ettől munától test h mgsságú, grvitáció ellenében végzett megemeléséhez szüséges mun? Két, egymástól távolságbn lévő, q, illetve q töltésű részecse özött Coulombtörvény értelmében váumbn F( ) = erő ht, hol ε qq váum 4πε permittivitás Htározz meg zt munát, mely ezdetben egymástól végtelen távolságbn lévő, zonos töltésű részecsé egymástól távolságr történő összehozásához szüséges Két, egymástól távolságbn lévő, q, illetve q töltésű részecse özött Coulombtörvény értelmében váumbn F( ) = erő ht, hol ε qq váum 4πε permittivitás Milyen ölcsönhtást jellemző eletroszttius potenciál lj? Adj meg z y = függvény átlgos értéét intervllumon 8

4 A pv m = RTZ állpotegyenlettel (Vm moláris térfogt és Z egy ompressziós tényező) jellemezhető gáz fugcitási együtthtój megdhtó, mint p Z ln γ = dp A p ( V m b) = RT állpotegyenlet esetére mutss meg, hogy p bp Z = + és ezután dj meg γ ( p, T ) függvényt RT Egy egyenes vonlú mozgát végző részecse t időpillntbeli sebessége v = t Adj meg t = és t = időpillnto özött részecse áltl megtett utt Egy enyhén nemideális gáz esetében vn der Wls állpotegyenlet lj n p + ( V nb) = nrt V Adj meg zot ifejezéseet, melye leírjá gáz áltl végzett munát, mennyiben z V -ről V térfogtr tágul () állndó nyomás és (b) állndó hőmérsélet mellett Jvsolt irodlom Bárczy Brnbás: Integrálszámítás, Műszi Könyvidó, 97 9

5 IV Prciális integrálás Prciális integrálás esetében egy szorzt lú függvény integrálását övetező módon végezzü el: dv du u d = uv v A lényeg, hogy mennyiben szorztfüggvény egyi tgj deriváltfüggvény, úgy ezen derivált helyett áttérhetün mási függvény deriváltjár z integrálszámítás során, mennyiben zt formulát hsznosbbn ítéljü A differenciálszámítás ismert szbályi segítségével prciális integrálás szbály önnyen levezethető illetve megjegyezhető: d du dv dv d du ( uv) = v + u u = ( uv) v Mintfeldto Htározzu meg övetező integrált: I = e sin Megoldás: Allmzzu prciális integrálást z u = e és v = sin válsztásol Eor u = e és v = cos / lpján e cos e cos e sin = + = e cos + e cos Ismét prciálisn integrálun, most z u = e és v = cos válsztásol Eor u = e és v = sin / lpján e sin = e sin e sin, zz I = 9 e cos + e sin e sin Az egyenlőséget rendezve ( eresett 4 4 integrál mind bl, mind jobb oldlon előfordul) megpju eresett végeredményt: e I = ( sin cos ) + C Gyorló feldto Htározz meg övetező integrál értéét: I = e

6 IV Helyettesítéses integrálás A helyettesítéses integrálás differenciálszámításnál megismert láncszbály integrálási megfelelője Ngyon fontos megjegyezni, hogy htározott integrál esetén helyettesítés öveteztében z integrálási htáro vátozhtn A techni hsználtát legegyszerűbb példáon eresztül szemléltetni Mintfeldto,7 + dz Megoldás: Végezzü fel z = + helyettesítést Eor =, zz = dz /,7,7,7 z + Tehát, z + ( ) d = c = + c,7, 7 Adju meg övetező ifejezés htároztln integrálját: ( ) t + t Számítsu i övetező htározott integrált: dt t + t + f ( ) Megoldás: Tudju, hogy = ln f + c Enne segítségével már önnyen f ( ) 4 4 megoldhtó feldt: d [ ln ] ln8 ln, 8 t + t t + t + t = t + t 4 + =

7 IV Integrálás prciális törtere bontássl Mintfeldto Adju meg övetező ifejezés htároztln integrálját: + Megoldás: Végezzü el nevező felbontásávl z integrálndó függvény ét tgr A B + C bontását: = = + = A( + ) + ( B + C), zz A =, + ( + ) + B = és C = Tehát, = = ln ln + + c + +

8 IV4 Integrálás sorfejtéssel Foglm úgy H z integrálndó függvény f f ( ) = c ( ) = c, zz f ( ) = c + műödi, h sor onvergens lbn írhtó fel (például özelítően), + Ez z integrálási techni or

9 IV5 Ívhossz és ívhosszintegrál Foglm Amennyiben z y = f() függvény z [,b] intervllumon folytonos és differenciálhtó, továbbá differenciálhánydos orlátos, úgy z és b bszcisszá áltl htárolt b vonldrb ívhosszát z s = + y htározott integrál dj Ez tuljdonéppen megfelel egy slárfüggvény integrálján egy megdott görbe mentén A éplet helyessége önnyen beláthtó, mint felidézzü, hogy ds = + dy = + ( y ) () Amennyiben görbe prméteres egyenletrendszerrel ( = (t) és y = y(t)) dott, t úgy s = & + y& dt t (b) H görbe (síbeli) polároordinátál dott, úgy s = r + r& dφ A leírtn mindenben megfelelően lehet iszámítni egy térgörbe ívhosszintegrálját, mely egy slárfüggvény (pl ϕ ( r ) = ϕ(, ) integrálás egy C görbe mentén Az ívhossz integrál: B A I = ϕ(, ds Sí görbére ds ismerete lpján zt írhtju, hogy C I = ϕ (, y( )) + y Amennyiben r(t) dj g görbe prméteres egyenletét t B dy ( = (t) és y = y(t) ), úgy I = ϕ ( ( t), y( t)) + dt dt dt Mintfeldto t A Htározzu meg z + y = 5 ör ívéne hosszát z = és = 5 bszcissz ponto áltl htárolt szsz felett Megoldás: Az egyenlet lpján zz 5 5 y / = 5 és y = ( 5 ) ( ) = φ φ s = + = 5 = 5 5 Integráltáblázt segítsé- ( ) 5π gével s = 5rcsin = 5rcsin = 5 Ez vlóbn egy negyed örív hossz (hiszen z r sugrú ör erülete K = rπ), mennyiben sugár 5 5 5, 4

10 Számítsu i z = és = 4 bszcissz ponto özött z yds -t zon C görbe mentén, melyne egyenlete y = Megoldás: Tudju, hogy ds = + dy = + ( y ), zz C 4 y ds = + = hnem iszámítottun egy ívhosszintegrált Gyorló feldto 4 + = 56 Itt persze nem z ívhosszt ptu meg, Htározz meg z y = cosh függvénygörbe = és = bszcisszájú ponto áltl htárolt ívéne hosszát Htározz meg z y = függvény görbéjéne z = és = 4 bszcissz pontji áltl htárolt ívéne hosszúságát ( megoldás icsit nehézes, enne során hsználj fel z lábbi helyettesítést: = sinh u ) 5

11 IV6 Vonlintegrál A vonlintegrál, (, b ) [ P + Q dy] számítás egy vetorfüggvény integrálásán felel (, b ) meg egy görbe mentén A vonlintegrál áltlábn függ z úttól De vnn olyn speciális és természettudománybn rendívül fontos esete (ezere ésőbb még vissztérün), mior vonlintegrál értée nem függ z úttól A vonlintegrálo tuljdonsági mindenben megfelelne hgyományos integrálo (mint lineáris operátoro) tuljdonságin Kétdimenziós (síbeli) esetben legyen dott F(, = P(,i + Q(,j, hol i és j megszoott Descrtes egységvetoro, eor F(, ds = ( P(, i + Q(, j ) ( i + dyj ) = P(, + Q(, dy Ezt formulát C C lehet mgsbb rendere is értelemszerűen áltlánosítni Különítsün el néhány lesetet ét-dimenziós esetben: () H C görbe egyenlete z y = f() formábn dott, or y = f() és dy = dy = f ( ) lpján vonlintegrál [ P{, f ( )} + Q{, f ( )} f ( ) ] ifejezés szerint hgyományos módon számíthtó (b) Amennyiben C görbe z = g( lbn dott, or vonlintegrál t b C = g ( dy lpján [ P { g(, y} g ( dy + Q{ g(, y} dy] ifejezés segítségével számolhtó b (c) Amennyiben C görbe prméteres formábn, = φ (t) és y = ψ (t), dott, úgy [ P{ φ ( t), ψ ( t)} ] φ ( t) dt + Q{ φ( t), ψ ( t)} ψ ( t) dt t t és t t értéei z A(, b ) és B(, b ) pontobn vonlintegrál iszámításán módj, hol A fenti módszere ombinációi is gyort sieresen llmzhtó Megjegyzendő, hogy mennyiben F z erő és r z út, z Fdr ifejezés zon teljes C munát jelenti, melyre z objetum C menti mozgtásához szüség volt 6

12 Mintfeldto (,) Számítsu i z [( + ( y + ) dy] integrált z () [,]-ből [,]-be menő (,) egyenes mentén; és (b) [,]-ből [,]-be, mjd z [,]-ből [,]-be menő egyenese mentén Megoldás: () [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete y = +, zz dy =, és így ( + ) [( ) + ( + ) + ) ] = ( + ) = = (b) [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete y =, zz dy =, vlmint z [,] és [,] pontot összeötő egyenes egyenlete =, zz =, tehát [( ) + ] = ( ) = = [ () + ( y + )dy ] = ( y + ) és ( y= dy = zz vonlintegrál értée ezen út mentén = 8 Megállpíthtju tehát, hogy vonlintegrál áltlábn függ z úttól A fiziábn és fizii émiábn mjd ülönös jelentőségűe leszne zo z esete, mior z integrál értée útfüggetlen, cs ezdeti és végállpottól függ 5, 7

13 IV7 Többszörös integrál Természetesen z integrál és z itegrálás foglm többváltozós függvényere is iterjeszthető, émi gyorltábn többnyire ilyen eseteel tlálozun Foglm Kettős integrál Legyen F(, egy zárt része z y sín Osszu fel ezt területrészt n db is részre, eze területe legyen Δ A, =,,, n Képezzü z lábbi n összeget: F( ξ, η ) ΔA Teintsü lim F( ξ, η ) ΔA htárértéet H ez = n = htárérté létezi (be lehet bizonyítni, hogy ez htárérté or létezi, h F(, leglább drbonént folytonos), úgy enne jelölése F (, da és z F(, étváltozós függvény ettős integrálján nevezzü z R térrész felett Áltlábn z integrálás sorrendje felcserélhető, de htárol mjdnem mindig vigyázni ell Mintfeldto Számítsu i z ellipszis területét övetező ettős integrál segítségével: d dy y Megoldás: Az ellipszis orábbról ismert egyenlete + = ( és b is és ngy b tengel, így y = b és T = dy = 4b = 4b n b / R t dt, hol helyettesítéses integrálássl ( t = / ) próbálozun fellépő htározott integrál iszámításához A fellépő integrál iszámításához integráltábláztr (vgy számítógépes lgebr szoftverre, pl Mthemtic) vn szüségün, mely szerint T = 4b [ t t + rcsin t], zz T = bπ Ez éplet természetesen jól ismert orábbi tnulmányoból Gyorló feldto A lsszius sttisztius mechni szerint hőmérséleti egyensúlybn lévő rendszere átlgos ε energiáj z lábbi éplettel számolhtó (z energi bármely értéet felvehet): ε = ε e e ε / BT ε / BT dp, hol B z ún Boltzmnn-állndó, p és dp pedig z impulzus (lendület) illetve oordinát Egyszerű hrmonius oszcillátorr p ε = +, hol m reduált tömeg és vdrtius erőállndó Az integrál m iszámításávl htározz meg z átlgos energiát Mennyivel járulne hozzá z egyes vdrtius tgo z átlgos energiához? 8