Polinomok zérushelyei az egységkörön
|
|
- Andor Bodnár
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Polinomok zérushelyei az egységkörön Losonczi László Debreceni Egyetem, Gazdaságtudományi Kar Analízis kutatószeminárium, március 9 1 / 28
2 Cohn tétel, szelf-inverzív polinomok Cohn tétel [1922] A komplex együtthatós P m (z) = m k=0 A k z k C[z] polinom összes zérushelye az egységkörvonalon van, akkor és csakis akkor, ha P m szelf-inverzív, P m összes zérushelye a zárt egységkörlapon van. Definició Egy m-edfokú P m (z) = m k=0 nevezünk, ha együtthatói teljesítik az A k z k C[z] polinomot szelf-inverzívnek A m k = εa k (k = 0,..., m) ahol ε C, ε = 1 feltételt. 2 / 28
3 Tétel Egy m-edfokú P m polinom akkor és csakis akkor szelf-inverzív ha z 1,..., z m zérushelyeire z 1 z 2... z m 0 és {z 1,..., z m } = {1/z 1,... 1/z m }. (1) m A bizonyításhoz faktorizáljuk P m -et, P m (z) = A m (z z j ). Legyen P m(z) := z m P m (1/z), akkor P m(z) = z m Másrészt P m(z) = z m P m (1/ z) = z m A m = A m ( 1) m m j=1 z j m j=1 m j=1 m k=0 j=1 A k z k = (1/ z z j ) = A m m (z 1/ z j ) = A 0 (z 1/ z j ) j=1 m j=1 m A m k z k. k=0 (1 z z j ) mivel a Viéta formula szerint m zj = ( 1) m A 0 /A m. 3 / 28
4 Az első azonosság miatt szelf-inverzív polinomok esetén Pm(z) = εp m (z), a második azonosság miatt Pm zérushelyei P m zérushelyeinek (geometriai) inverzei, azaz 1/ z 1, 1/ z 2,..., 1/ z m, így következik (1). Fordítva, ha (1) teljesül, akkor Pm és P m zérushelyei azonosak így csak konstans szorzóban térhetnek el, Pm(z) = αp m (z), amiből A m k = αa k, k = 0, 1,..., m. Felírva ezeket k = 0, m-re kapjuk, hogy A m = αa 0 = ααa m, és ε = α választással kapjuk hogy P m szelf-inverzív. Valós együtthatós polinomok esetén a szelf-inverzívitási feltételben szereplő ε is valós, így vagy ε = 1, A m k = A k vagy ε = 1, A m k = A k polinom. (k = 0,..., m) azaz P m reciprok polinom, (k = 0,..., m) azaz. P m anti-reciprok Hogyan lehet az együtthatókra nézve egyszerű elegendő feltételt adni arra, hogy egy reciprok vagy szelf-inverzív polinom összes zérushelye az egységkörvonalon legyen? Lakatos Piroskával közösen több ilyen feltételt is találtunk. A reciprok polinomokra vonatkozó legáltalánosabb eredmény: 4 / 28
5 1. Tétel [Lakatos-L., 2007] A P m (z) = m k=0 A k z k R[z] m-edfokú valós együtthatós reciprok polinom zérushelyei az egységkörvonalon vannak, ha A m > 0 és van olyan B R melyre A m B 0, (2) és az együtthatókra A m + B m 1 A k + B A m (3) teljesül. 5 / 28
6 Folytatás Sőt, ha a (3) egyenlőtlenség egyike szigorú, és m = 2n páros akkor P m zérushelyei egyszeresek és e ±iu j (j = 1,..., n) alakúak, ahol 2(j 1)π m < u j < 2jπ m (j = 1,..., n) (4) Szigorú egyenlőtlenség és páratlan m = 2n + 1 fokszám esetén (4) teljesül, és az e ±iu j (j = 1,..., n) zérushelyeken kivül 1 = e iπ is zérushely, továbbá a zérushelyek ismét egyszeresek. A (4) feltétel azt jelenti, hogy a P m és a Q m (z) = z m 1 polinomok zérushelyei az egységkörvonalon kölcsönösen elválasztják egymást (ez a circular interlacing property). Ha (3)-ban egyenlőség van, akkor P m -nek lehetnek legfeljebb többszörös zérushelyei is. Páros fokszám esetén P 2n -nek legfeljebb kétszeres zérushelyei lehetnek és ezek csak az e ± ijπ n (j = 0,..., n) számok lehetnek. 6 / 28
7 Az (2), (3) feltételekből a B paramétert "kiküszöbölhetjük". Legyen f (3) bal és jobboldalának különbsége mint B függvénye: f (x) := A m + x m 1 x + A k A m x [0, A m ]. f szakaszonként lineáris, törési pontjai A m A i ha 0 < A m A i < A m. Belátható, hogy f (x) 0 akkor és csakis akkor teljesül valamely x [0, A m ] pontban ha valamelyik végpontban vagy törési pontban f nemnegativ, azaz f (0) 0, vagy f (A m ) 0, vagy f (A m A i ) 0( ha 0 < A m A i < A m ). Ugyanis x = B-nek választva valamelyik végpontot vagy törési pontot (3)-ból adódik az előző nemnegativitási feltételrendszer. Fordítva, ha van olyan x = B [0, A m ] ahol f (x) 0 akkor az x jobb vagy baloldalán (az x-en átmenő egyenes szakasz iránytényezőjének előjelétől függően) lévő legközelebbi végpontot vagy töréspontot véve kapjuk az előző nemnegativitási feltételek valamelyikét. 7 / 28
8 1. Tétel átfogalmazása [Lakatos-L., 2007] A P m (z) = m k=0 A k z k R[z], A m > 0 valós együtthatós reciprok polinom zérushelyei az egységkörvonalon vannak, ha az alábbi feltételek egyike teljesül: A m 2A m 2A m A i m 1 m 1 m 1 A k A m, A k, A k A i ahol i = 1,..., m 1 olyan index, hogy A m > A i > 0, Tegyük most fel, hogy m = 2n páros, A m > 0 és (5) egyikében vagy (3)-ben egyenlőség van. Legyen a k := A k + B A m. (5) 8 / 28
9 [Lakatos-L., 2007, többszörös zérushelyek] Az e ijπ n számok j = 0, n esetén (azaz a 1, 1 számok) akkor és csakis akkor lesznek kétszeres zérushelyei P 2n -nek, ha A 2n + B n 1 2 a k a n = 0 2n(A 2n B)δ j0 + (A 2n + B) + n 1 2a k cos jkπ n + a n cos jπ = 0 Az e ijπ n számok j = 1,..., n 1 esetén akkor és csakis akkor lesznek kétszeres zérushelyei P 2n -nek, ha A 2n + B n 1 2 a k a n = 0 A 2n + B + n 1 (A 2n B)n 2 sin 2 jπ 2n + 2a k cos jkπ n + a n cos jπ = 0 n 1 kjπ sin n 2a k (n k) sin jπ n = 0 9 / 28
10 Az 1.Tétel bizonyítás módszere: Csebisev transzformáció. Egy P(z) = 2n A j z j (z C, n N, A 0,..., A 2n R) polinomot, melyre j=0 A j = A 2n j (j = 0,..., n 1) teljesül, legfeljebb 2n-edfokú valós szemi-reciprok polinomnak nevezünk. Ha A 2n 0 akkor P-t 2n-edfokú valós reciprok polinomnak nevezünk. Jelölje R 2n a legfeljebb 2n-edfokú valós szemi-reciprok polinomok halmazát. Ha P R 2n, P O (O= a zérus polinom), akkor van olyan k, 0 k n egész, hogy A 2n =A 2n 1 =...=A n+k+1 =0=A n k 1 =...=A 0 de A n+k =A n k 0, ezért P(z) = 2n j=0 A j z j = z n [ A n+k ( z k + 1 z k ) ( + + A n+1 z + 1 ) ] + A n. z 10 / 28
11 Ismeretes, hogy ha x = z + 1 z akkor z k + 1 z k = 2T k(x/2) = C k (x) (k = 1, 2,... ), és T 0 (x) = 1 = C 0 (x), ahol T k a k-adfokú elsőfajú Csebisev polinom, C k ennek a normált változata. Ezért P(z) = z n k A n+j C j (x) = A n+k z n j=0 k (x α j ) (α j C) j=1 Definició A P R 2n, P O polinom Csebisev transzformáltján a T P(x) = A n+k k (x α j ) j=1 polinomot értjük míg a P = O zérus polinomra T O(x) = 0 (ahol 0 b j := 1) 11 / 28 j=1
12 1. Lemma A Csebisev transzformáció a (valós) R 2n vektortér izomorf leképezése a legfeljebb n-edfokú polinomok P n vektorterére. 2. Lemma A P 2n reciprok polinom zérushelyei akkor és csakis akkor vannak az egységkörvonalon, ha Csebisev transzformáltjának összes zérushelye a [ 2, 2] intervallumban van. 3. Lemma Legyen v j (z)= zj+1 1 z 1 = z j +z j , e j (z) = z j, w j (z) = z j +1 (j = 0, 1,... ) akkor ( x ) ( x ) ( x ) T v 2n (x) = U n + U n 1, T (e k w 2n 2k )(x) = 2T n k (U n az n-edik másodfajú Csebisev polinom U n (cos x) = sin(n+1)x sin x (n = 0, 1,... ).) 12 / 28
13 Az 1.Tételt úgy bizonyítottuk, hogy P m Csebisev transzformáltjának megadtuk n + 1 zérushelyét a [ 2, 2]-ben. Írjuk át a P 2n páros fokszámú reciprok polinomot P 2n (z) = 2n j=0 n 1 A j z j = (A m B)v 2n (z)+ j=0 a k e k (z) w 2n 2j (z)+a n e n (z) alakba, ahol, mint korábban a j = A j + B A m (j = 0,..., m). A Csebisev transzformáció linearitása és a 3. Lemma miatt [ ( x ) ( x )] T P 2n (x)=(a m B) U n +U n ( x ) ( x ) 2a j T n j +a n T n 1 + Ha (5)-ben szigorú egyenlőtlenség van, akkor igazolható, hogy ( sgn T P 2n 2 cos jπ ) = ( 1) j (j = 0,..., n). n j=0 és innen a 2.Lemma alapján a tétel állítása következik. Megjegyzés: egyenlőség (3)-ben, páratlan fokszám esete. 13 / 28
14 Ha egy reciprok polinom fokszáma 9 akkor könnyen találhatunk szükséges és elegendő feltételt arra, hogy az összes zérushely az egységkörvonalon legyen. Például a P 4 (z) = z 4 + A 3 z 3 + A 2 z 2 + A 3 z + 1 (( = z 2 z ) ( z 2 + A 3 z + 1 z ) + A 2 ) reciprok polinom zérushelyei akkor és csakis akkor vannak az egységkörvonalon, ha 2 max{a 2 2, 0} A 3 min{4, A 2}. (6) Ugyanis most ( T P 4 (x) = x 2 + A 3 x + ) A 2 2, melynek zérushelyei x 1,2 = 1/2 A 3 ± A 2 3 4(A 2 2) valósak kell, hogy legyenek: A 2 3 4(A 2 2) 0 ami pontosan akkor teljesül, ha (6) jobboldala fennáll, míg az 2 x 2 x 1 2 feltételből kapjuk (6) jobboldalát. 14 / 28
15 A (6)-nak elegettevő (A 2, A 3 ) párokat ábrázolva kapjuk (a vizszintes tengelyen A 2, a függőlegesen A 3 ): 15 / 28
16 Az (5) első két feltételeknek elegettevő (A 2, A 3 ) párok ábrázolása (az ottani sorrendben):, 16 / 28
17 Az (5)-ben szereplő harmadik elegendő feltételeknek elegettevő (A 2, A 3 ) párok ábrázolása (i = 3, 2 sorrendben), 17 / 28
18 Végül a szükséges és elegendő (A 2, A 3 ) halmazból az (5) elegendő feltételek által lefedett rész ábrázolása: 18 / 28
19 A szelf-inverzív polinomokra vonatkozó legáltalánosabb eredményünk a következő. 2. Tétel [Lakatos-L., 2009] Legyen P m (z) = m j=0 A j z j C[z] egy m 2-edfokú szelf-inverzív polinom. Ha van olyan B, c, d C melyre és B A m valós, 0 B A m 1, c 0, d = 1 (7) A m + B ca 0 d m A m + m 1 akkor P minden zérushelye az egységkörön van. ca k + (B A m )d m k + ca m A m, (8) 19 / 28
20 Zérushelyek lokalizációja (7), (8)-ban az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy A m B 0, ekkor, ha (8)-ben szigorú egyenlőtlenség teljesül, akkor P m zérushelyei e iu j (j = 1,..., m) alakúak, ahol ϕ j 1 α < u j < ϕ j α (j = 1,..., m, α := arg d). és 0 ϕ 0 < 2π m, ϕ j = 2jπ m (j = 1,..., m 1), ϕ m = 2π ϕ / 28
21 A 2.Tételt B = βa m választással átírhatjuk a következő alakba: 2. Tétel átírása [Lakatos-L., 2009] Legyen P m (z) = m polinom. Ha A m inf c,d C d =1,β [0,1] j=0 A j z j C[z] egy m 2-edfokú szelf-inverzív ca 0 d m A m + m 1 ca k +(β 1)A m d m k + ca m A m 1 + β akkor P m minden zérushelye az egységkörvonalon van. Az egyenlőtlenség jobboldalán lévő infimum felvétetik valamely (c 0, β 0, d 0 ) (C \ {0}) [0, 1] U pontban, ahol U az egységkörvonal a komplex síkban. 21 / 28
22 Itt a bizonyításban az alábbi ismert lemma játszik szerepet: 4. Lemma Ha P m (z) = m k=0 A k z k egy tetszőleges m-edfokú szelf-inverzív polinom, c 0 konstans, ε = ca m ca 0, akkor az R(ϕ) := ε 1 2 z m 2 cpm (z) = ε 1 2 z=e iϕ e imϕ 2 cp(e iϕ ) függvény valós, ha ϕ valós. A 2. tételből több korábban igazolt tétel speciális esetként megkapható. Néhány esetben a zérushelyek lokalizációja is pontosabbá tehető, és a többszörös zérushelyek is pontosan felderíthetők. Itt csak az egyenlőtlenségeket soroljuk fel fel e speciális esetekben. Ezek mindegyike elegendő ahhoz, hogy a zérushelyek az egységkörvonalon legyenek. 22 / 28
23 P m valós reciprok, β = 0, c = d = 1 (Lakatos tétele 2002) A m m 1 A k A m. P m szelf-inverzív, β = 0 (Schinzel tétele 2005) m A m inf ca k d m k A m. c,d C d =1 k=0 ( ) 1/m P m szelf-inverzív, β = 1, c = 1, d = A0 A m (Lakatos-Losonczi 2004) 2 A m m 1 A k P m valós reciprok, c = d = 1, B = βa m (Lakatos-Losonczi 2007) A m + B m 1 B + A k A m 23 / 28
24 Páratlan fokszámú reciprok vagy szelf-inverzív polinomok esetén a fenti tételek egy része élesíthető. 3. Tétel [Lakatos-L., 2003] Ha P m (z) = m melyre k=0 A k z k m 3 páratlan fokszámú valós reciprok polinom A m cos 2 π 2(m + 1) m 1 A k A m, akkor P m összes zérushelye az egységkörvonalon van. 24 / 28
25 4. Tétel [L.-Schinzel, 2007] Ha P m (z) = m k=0 polinom, melyre A k z k C[z] m 3 páratlan fokszámú szelf-inverzív A m cos π 2(m + 1) inf c,d C d =1 m ca k d m k A m, k=0 akkor P m összes zérushelye az egységkörvonalon van, és egyszeres. 25 / 28
26 Schinzel tételének indirekt bizonyításában fontos szerepet játszott a m µ m = min kz m k z =1 alsó becslése. z = cos t + i sin t-vel némi trigonometrikus átalakítás után m D m (t) := kz m k ( ) = m sin mt 2 2 [ ] 2 2 m sin t sin mt 2 sin t + z =1 2 4 sin 2 t. 2 Innen nyilvánvaló, hogy µ m = min t [0,2π] D m(t) m 2 és páros m = 2n-nél itt egyenlőség van, mivel D m (π) = m. Schinzel ezt a becslést 2 használta bizonyításában. 26 / 28
27 Legyen t [0, 2π]-re x m (t) : = m ( sin mt 2 sin t 2 ) 2, y m (t) := m sin t sin mt 4 sin 2 t 2, z m (t) : = x m (t) + iy m (t), akkor D m (t) = z m (t). Ábrázolva a z m (t) görbét a komplex síkon láthatjuk, hogy µ éppen a görbe távolsága az origótól. Mivel D m (π + t) = D m (π t) elég z m -et a [0, π]-n vizsgálni. Alábbi ábráink z 10, z 9 gráfjait és nagyításaikat mutatják, z 9 -nél berajzoltuk a t m = m 1 m π pontot. Egyszerű számítás mutatja, hogy D m (t m ) = m 2 sec π ami közel van a minimumhoz.ennek alapján 2m sejtettük, hogy páratlan m-re µ m = min t [0,2π] D m(t) m 2 sec π 2m + 2. ami azt eredményezi, hogy Schinzel tételében szereplő π egyenlőtlenségben a jobboldali kifejezés elé egy cos 2(m + 1) faktor beszúrható. 27 / 28
28 ,, 28 / 28
29 Chen, W.,On the polynomials with all zeros on the unit circle. J. Math. Anal. Appl. 190, (1998), Choo, Y.,On the zeros of a family of self-reciprocal polynomials. Int. J. of Math. Anal. 5, (2011), Cohn, A., Über die Anzahl der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in einem Kreise. Math. Zeit. 14 (1922), Drungilas, P.,Unimodular roots of reciprocal Littlewood polynomials. J. Korean Math. Soc. 45, (2008), Kim, S. H.,The zeros of certain family of self-reciprocal polynomials. Bull. Korean Math. Soc. 44, (2007), Kim, S. H., Park, C. W., On zeros of certain self-reciprocal polynomials. J. Math. Anal. Appl. 339, (2008), Kwon, D. Y.,Reciprocal polynomials with all zeros on the unit circle. Acta. Math. Hung. 191, (2011), / 28
30 Lakatos, P., On zeros of reciprocal polynomials. Publ. Math. Debrecen 61 (2002), Lakatos, P., Losonczi, L., On zeros of reciprocal polynomials of odd degree. J. Inequal. Pure Appl. Math. 4 no. 3 (2003) Article 60. Lakatos, P., Losonczi, L., Self-inversive polynomials whose zeros are on the unit circle. Publ. Math. Debrecen 65 (2004), Lakatos, P., Losonczi, L., Polynomials with all zeros on the unit circle. Acta. Math. Hung. 125, (2009), Lakatos, P., Losonczi, L., Circular interlacing with reciprocal polynomials. Math. Inequal. Appl. 10, (2007), Losonczi, L., On reciprocal polynomials with zeros of modulus one. Math. Inequal. Appl. 9 (2006), Losonczi, L., Schinzel, A.,Self-inversive polynomials of odd degree. Ramanujan J. 14, (2007), / 28
31 Schinzel, A., Self-inversive polynomials with all zeros on the unit circle. Ramanujan J. 9 (2005), Suzuki, M., On zeros of self-reciprocal polynomials. Viera, R. S., On the number of roots of self-inversive polynomials on the complex unit circle. 28 / 28
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel
2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenAbszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenEmelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész
Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
Részletesebben1. Bázistranszformáció
1. Bázistranszformáció Transzformáció mátrixa új bázisban A bázistranszformáció képlete (Freud, 5.8.1. Tétel) Legyenek b és d bázisok V -ben, ] v V és A Hom(V). Jelölje S = [[d 1 ] b,...,[d n ] b T n n
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben1. gyakorlat ( ), Bevezető analízis 1., ősz (Besenyei Ádám csoportja)
1. gyakorlat (2016. 09. 12.), Bevezető analízis 1., 2016. ősz A színek jelentése: fekete az előzetes vázlat; piros, ami ehhez képest módosult. 1. Három matematikus bemegy egy kocsmába, és rendel. A nagy
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Részletesebben1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:
. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenOnline migrációs ütemezési modellek
Online migrációs ütemezési modellek Az online migrációs modellekben a régebben ütemezett munkák is átütemezhetőek valamilyen korlátozott mértékben az új munka ütemezése mellett. Ez csökkentheti a versenyképességi
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
RészletesebbenNagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
Részletesebben1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az
RészletesebbenTartalom. Algebrai és transzcendens számok
Nevezetes számelméleti problémák Tartalom 6. Nevezetes számelméleti problémák Számok felbontása hatványok összegére Prímszámok Algebrai és transzcendens számok 6.1. Definíció. Az (x, y, z) N 3 számhármast
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenFüggvénytan elmélet, 9. osztály
Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebben1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a
1. 1. hét 1.1. Alapfogalmak Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a (2, 3) Egyenes normál vektora egy pontban: egy olyan vektor
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak
(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebbenx = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2
Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenEgy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1,a 2,...,a n számok. Az
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenBevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben