Szűcs Renáta. Fixponttételek

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Szűcs Renáta. Fixponttételek"

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szűcs Renáta Fixponttételek BSc szakdolgozat Témavezető: Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2014

2 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék hálás köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Kovács Sándornak, aki a konzultációk során sok tanáccsal és ötlettel segítette a dolgozatom megírását. Tiszta szívvel köszönöm szüleimnek és páromnak a sok gondoskodást, támogatást és szeretetet, amit egyetemi éveim alatt kaptam tőlük. Budapest, május 30. Szűcs Renáta 1

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Alapvető definíciók és jelölések 4 3. Fixponttételek Brouwer-féle fixponttétel I Brouwer-féle fixponttétel II Brouwer-féle fixponttétel III Schauder-féle fixponttétel Banach-féle fixponttétel Banach fixponttétele normált terekre Banach fixponttétele lineáris leképezésekre Weissinger-féle fixponttétel Kakutani fixponttétele Knaster-Tarski fixponttétele Alkalmazások Nemlineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Kezdeti érték feladat közönséges differenciálegyenleteknél Newton-módszer Jacobi-iteráció Szöveges feladat Banach-féle fixponttétel egy alkalmazása Schauder-féle fixponttétel egy alkalmazása Magyar vonatkozás Érdekességek Brouwer fixponttételének hétköznapi példái Sündisznótétel Koszinusz iterálása

4 1. Bevezetés A fixponttételek története a 20. század elejére nyúlik vissza. Brouwer ( ) és Hamadard ( ) holland és francia matematikusok 1910-ben bizonyították egy folytonos leképezés fixpontjának létezését euklideszi zárt gömbben. Néhány évvel később, 1922-ben Banach ( ) lengyel matematikus publikálta fixponttételét. Majd ban Schauder ( ) általánosította Brouwer tételét. Magyar szálak is fűződnek a témakörhöz. Neumann János ( ), közgazdasági modelljének megalkotásához Brouwer fixponttételének bizonyítását alkalmazta. Ezen tételek segítségével, a matematika számos területéről (ilyen például a funkcionálanalízis, a differenciálegyenletek, a numerikus analízis és a valószínűségszámítás is) származó feladatot meg tudunk oldani. A numerikus analízisben a gyökközelítő módszerek nagy részét az úgynevezett fixpontiterációs módszerek alkotják, amelyek azon az elven nyugszanak, hogy valamilyen f(x) = 0 egyenlet gyökét egy olyan alkalmas függvény fixpontjaként állítják elő, ami a keresett gyök valamilyen környezetén kontrakció. Ezen módszerek tipikus példája elég sima függvényekre a Newton-módszer és lineáris egyenletrendszerek numerikus megoldására a Jacobi-iteráció. Az alkalmazásoknál mindkettőt megismerhetjük. A megértéshez szükséges definíciók után a legfontosabb fixponttételek és bizonyítások kerülnek bemutatásra, majd dolgozatom további részében különféle alkalmazásokat, feladatokat és mindennapi érdekességeket ismertetek. Dolgozatom célja, hogy átfogó leírást kapjunk a fixponttételek kialakulásáról és továbbfejlődéséről, illetve a kezdetektől napjainkig használatos alkalmazásokról. 3

5 2. Alapvető definíciók és jelölések A következőkben felsorolom a tételek megértéséhez elengedhetetlen definíciókat, jelöléseket, példákkal kiegészítve. Definíció. Az (X, ) párt metrikus térnek nevezzük, ha X egy tetszőleges nemüres halmaz, továbbá : X R egy olyan függvény, amelyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok: 1. minden x, y X-re (x, y) = 0 x = y; 2. minden x, y X-re (x, y) = (y, x); 3. minden x, y, z X-re (x, y) (x, z) + (z, y). Példák metrikára 1. A valós számok halmaza a szokásos (x, y) = x y távolsággal ellátva metrikus tér lesz. 2. Tetszőleges X halmaz ellátható metrikus tér struktúrával a 0, x = y (x, y) = 1, x y függvénnyel. Ekkor (X, )-t diszkrét metrikus térnek nevezzük. Definíció. Az (X, ) párt normált térnek nevezzük, ha X egy K feletti vektortér, ahol K = C vagy R, továbbá : X R egy olyan függvény, amely teljesíti az alábbi normaaxiómákat: 1. minden x X-re x = 0 x = 0; 2. minden λ K-ra és x X-re λx = λ x ; 3. minden x, y X-re x + y x + y. 4

6 Példák normára 1. tekintsük a valós számok halmazát, mint önmaga feletti vektorteret a következő normával: x := x, tehát a szokásos abszolút értéket kapjuk. 2. hasonlóan normált tér lesz (R n, 2 ), ahol a 2-es index az euklideszi normát jelenti, azaz egy x R n -re x 2 = (x 1, x 2,..., x n ) 2 = n 3. Az előző teret más normákkal is elláthatjuk, fontosak az úgynevezett p-normák, ahol egy x R n esetén x p = p x i p. Kapcsolat a metrikus tér és a normált tér között Minden normált tér egyben metrikus tér is, ugyanis ha (X,. ) normált tér, x, y X, akkor (x, y) = x y egy metrikát definiál X-en és ezzel a normából származtatott metrikával (X, ) metrikus tér is egyben. i=0 x 2 i Definíció. Adott (X, ρ) metrikus tér esetén azt mondjuk, hogy a ϕ : X X leképezés 1. Lipschitz-folytonos, ha alkalmas L := L ϕ [0, + ) számmal ρ(ϕ(x), ϕ(y)) Lρ(x, y) (x, y X) teljesül, 2. kontraktív vagy kontrakció, ha Lipschitz-folytonos és L < 1. 5

7 Példa kontrakcióra A (C[0, 1], ρ ) metrikus tér esetén a ϕ : C[0, 1] C[0, 1], ϕ(f)(x) := x 0 f (x [0, 1]) leképezés kontrakció, hiszen bármely f, g C[0, 1] és x [0, 1] esetén ϕ(f)(x) ϕ(g)(x) = 1 x 2 (f g) 1 x f g (x 0) sup{ f(t) g(t) R : t [0, x]} xρ (f, g) így ρ (ϕ(f), ϕ(g)) = sup{ ϕ(f)(x) ϕ(g)(x) R : x [0, 1]} 1 2 ρ (f, g). Definíció. Egy euklideszi tér egy részhalmazát konvexnek nevezzük, ha két tetszőleges halmazbeli pontnak az összekötő szakasza is a halmazban van. Definíció. Legyen K egy részhalmaza az X vektortérnek. Azt mondjuk, hogy K konvex burka az a halmaz, amelyet X összes részhalmazának metszete határoz meg és K-t is magában foglalja. A konvex burok jelölése: conv(k). Egy eleme a következőnek felel meg: n n α i x i conv(k), x i K, α i R +, α i = 1. Definíció. Legyen X egy Banach-tér. M X egy részhalmaza X-nek. Ekkor egy halmaz dimenzióján a következőt értjük: dim(m) := dim(span(m M)), ahol M M = {m 1 m 2 m 1, m 2 M}. Ha dim(m) <, akkor M véges-dimenziós. 6

8 Definíció. Legyen (X, ρ) metrikus tér, f : X X egy leképezés, és x X-nek. Azt mondjuk, hogy x fixpontja f-nek, ha f(x) = x. Definíció. Legyen (X, d) egy metrikus tér. A X egy részhalmaza X-nek és p X egy pont X-ben. Ekkor egy p pont távolságát egy részhalmaztól a következőképpen definiáljuk: dist(p,a) := inf {d(p, a) R : a A}. Definíció. Az (A; ) párt részbenrendezett halmaznak nevezzük, ha A tetszőleges halmaz, pedig A-n értelmezett részbenrendezés, azaz tetszőleges a, b, c A elemekre teljesülnek a következők: a a, ha a b és b a, akkor a = b, ha a b és b c, akkor a c. 7

9 3. Fixponttételek A következőkben bemutatom a legfontosabb fixponttételeket, ezek közül néhányat a bizonyításával együtt. Először Brouwer tételének három különböző, de ekvivalens alakját olvashatjuk. A továbbiakban csak a III. alakra lesz szükség Schauder tételének bizonyításakor Brouwer-féle fixponttétel I. Tétel. Legyen B := B 1 (0) a zárt egységgömb R n -ben az euklideszi normával 2. Legyen továbbá T : B B egy folytonos függvény. Ekkor létezik egy olyan x B, hogy T(x) = x, azaz x fixpontja T-nek. A tétel egy általánosítását kapjuk, ha az egységgömb helyett egy R n -beli részhalmazt veszünk, amelynek eleme a nulla. Így kapjuk a következő tételt: 3.2. Brouwer-féle fixponttétel II. Tétel. Legyen K R n egy részhalmaz R n -ben, amely korlátos és konvex. Majd tegyük fel, hogy 0 int(k). Legyen T : K K. Ekkor létezik egy olyan x K, hogy T(x) = x, azaz x fixpontja T-nek. A Schauder-féle fixponttétel bizonyításához szükség van az előzőek egy újabb általánosítására, ahol K halmazra megköveteljük, hogy korlátos, zárt, konvex és végesdimenziós legyen, így kapjuk a következőt: 3.3. Brouwer-féle fixponttétel III. Tétel. Legyen (X, ) egy Banach-tér és K X egy nemüres részhalmaza X-nek. K legyen véges-dimenziós, korlátos, zárt és konvex és T : K K egy folytonos leképezés. Ekkor létezik egy olyan x K, hogy T(x) = x, azaz x fixpontja T-nek. Folytatva az általánosítást, megkapjuk Schauder tételét: 8

10 3.4. Schauder-féle fixponttétel Tétel. Legyen (X, ) egy Banach-tér és K X egy részhalmaza X-nek. K legyen kompakt és konvex, továbbá T : K K egy folytonos leképezés. Ekkor létezik egy olyan x K, hogy T(x) = x, azaz x fixpontja T-nek. Bizonyítás. 1. lépés. Először belátjuk, hogy a távolságfüggvény folytonos, majd keresünk egy K k konvex, zárt, korlátos és véges dimenziós halmazt,a amelyre K-t megszoríthatjuk. Lemma 1. dist(, A) folytonos. Bizonyítás. A következő egyenlőtlenséggel megmutatjuk dist(, A) Lipschitzfolytonosságát, amiből automatikusan következik, hogy dist(, A) folytonos is. dist(y, a) dist(x, a) d(x, y) ahol a A;x, y X tetszőlegesek, és a következők teljesülnek: d(y, a) d(y, x) + d(x, a) inf d(y, a) d(y, x) + inf d(x, a) dist(y, A) d(x, y) + dist(x, A) dist(y, A) dist(x, A) d(x, y) d(x, a) d(x, y) + d(y, a) inf d(x, a) d(x, y) + dist(y, A) dist(x, A) d(x, y) + dist(y, A) dist(x, A) dist(y, A) d(x, y) K halmazra keresünk egy K k megszorítást, amelyre teljesül, hogy konvex, zárt, kompakt és véges-dimenziós. Ekkor K le lesz fedve hasonló gömbökkel úgy, hogy a következők érvényesüljenek: k N, k > 0 tetszőleges, N = N(k) N a gömbök száma, amely szükséges K lefedéséhez. Legyenek B i := B 1, x i K, i 1,...,N k 9

11 gömbök x i gömbközéppontjaikkal és 1 sugarukkal. Ehhez legyen k olyan nagy, k hogy a K halmaz lefedéséhez legalább két gömb szükséges legyen. Az x i gömbközéppontok alkalmasak lesznek a K k := conv({x 1,...,x N }) konvex burokhoz. K k halmaz tehát egy szűkítés K halmazra. A következő bizonyításhoz alkalmazzuk Brouwer fixponttételénk III. alakját, hogy belássuk K k konvex, zárt, korlátos és véges dimenziós halmaz. Lemma 2. K k korlátos Bizonyítás. Nézzük meg a konvex burok egy elemét: x = α i x i α i x i = = α i x i N α i max x i = = max x i Lemma 3. K k véges dimenziós Bizonyítás. Tekintsük a, b K k tetszőlegesre α i = max x i 1 < a = N α i x i és b = N β i x i A két elemet egymásból kivonva kapjuk: a b = N (α i β i ) x i span{a b} = span{ N (α i β i ) x i }, ahol N véges, kapunk tehát egy véges dimenziós generátorrendszert. dim(span{k k K k }) <. Ezenkívül teljesülnek a következők: 10

12 1. K k konvex, ahol K k a K halmaz konvex burkát jelenti. 2. K k zárt: abból, hogy a gömbközéppontok egy véges dimenziós generátorrendszert alkotnak, automatikusan következik, hogy K k zárt 2. lépés. Definiálunk egy segédfüggvényt. Definiáljuk a J k : K K k függvényt a következő módon: J k (x) := dist(x, K B i ) x i. dist(x, K B i ) Ez a segédfüggvény alkalmazható lesz és jól definiált, azaz a nevező nem lehet nulla. Ez következik abból a feltételből, hogy legalább két nyílt gömbre szükség van a lefedéshez. Teljesül, hogy a nevező nem nulla, mert x ugyan mindig benne van egy gömbben, de nincs benne soha az összes gömbben. A cél továbbra is az, hogy alkalmazzuk Brouwer fixponttételének III. alakját. Ezért még meg kell mutatni, hogy J k (x) egy folytonos transzformáció. Azt tudjuk, hogy a távolságfüggvény dist(, A) folytonos. Folytonos függvények kompozíciója szintén folytonos, így tudjuk, hogy J k (x) is folytonos. Lemma 4. J k a K k -ba képez 11

13 Bizonyítás. J k (x) := dist(x, K B i ) x i dist(x, K B i ) = = = dist(x, K B i ) x i = dist(x, K B i ) dist(x, K B i ) x i dist(x, K B i ) dist(x, K B i ) = 1 dist(x, K B i ) α i = 1 J k (x) K k Segédállítás. J k (x) x 1 k x K Bizonyítás. 12

14 J k (x) x = (dist(x, K B i ))x i dist(x, K B i ) x = = dist(x, K B i ) (x i x) dist(x, K B i ) dist(x, K B i ) x i x dist(x, K B i ) = = i x B i dist(x, K B i ) x i x i x B i dist(x, K B i ) dist(x, K B i ) 1 k i x B i dist(x, K B i ) i x B i 3. lépés. Meghatározzuk T fixpontját. Egy olyan folytonos transzformációt kellene találnunk, amely K k -ból K k -ba képez, így alkalmazhatjuk a Brouwer-féle fixponttételt. S k : K k K T K J k K k x (J k T)(x) = J k (T(x)) Tudjuk, hogy mindkét függvény J k és T is folytonos, mivel folytonos leképezések kompozíciója is folytonos, így S k is az. Minden feltétel teljesül a Schauder-féle fixponttétel alkalmazhatóságához: 13

15 S k tartalmaz egy f k K k fixpontot S k (f k ) = f k (J k T)(f k ) = f k Ötlet: Ha k-t nagyobbnak választjuk, a gömbök sugarát pedig kisebbnek, akkor K lefedéséhez több gömbre lesz szükség. Egy fixpontsorozatot kapunk: minden k N-re k f k K k K Tudjuk, hogy K kompakt, ebben a térben sorozatkompakt is (egy topologikus tér sorozatkompakt, ha minden benne lévő sorozatnak létezik konvergens részsorozata). Ebben az esetben: f k tartalmaz egy konvergens részsorozatot: (f kj ) j N f K határértékkel lim j f kj = f K. Belátjuk, hogy f fixpontja T-nek f kj T(f kj ) = S kj (f kj ) T(f kj ) = (J kj T)(f kj ) T(f kj ) = = J kj T(f kj ) T(f kj ) 1 k j 14

16 Használva a segédállítást: ( ) 1 lim (J kj T)(f kj ) T(f kj ) lim k j lim(j kj T)(f kj ) lim(t(f kj )) = 0 f lim(t(f kj )) = 0 f = lim(t(f kj )) f = T(lim(f kj )) Ezzel a tételt bebizonyítottuk. f = T(f) 3.5. Banach-féle fixponttétel Tétel. Legyen (X, d) egy teljes metrikus tér, F : X X egy kontrakció. Ekkor F-nek pontosan egy p fixpontja létezik X-en, és tetszőleges x 0 X-re x k+1 = F(x k ) fixpont iterációs sorozat konvergál p-hez. Bizonyítás. Legyen x 0 [a, b] X tetszőleges, és x k+1 = F(x k ), k = 0, 1,.... Azt kell megmutatni, hogy (x k ) konvergens. Ehhez elég belátni, hogy Cauchy-sorozat. Legyen k > m, tekintsük d(x k, x m )-t. A háromszög-egyenlőtlenséget, a sorozat definícióját és a 15

17 kontrakciós tulajdonságot használva a következőt kapjuk: (x k, x m ) d(x k, x k 1 ) + d(x k 1, x k 2 ) d(x m+1, x m ) = = d(f(x k 1 ), F(x k 2 )) + d(f(x k 2 ), F(x k 3 )) d(f(x m ), F(x m 1 )) cd(x k 1, x k 2 ) + cd(x k 2, x k 3 ) cd(x m, x m 1 ) Az egyes tagokban ismételten alkalmazva a sorozat definícióját és a kontrakciós tulajdonságot következik, hogy és ezért d(x k, x m ) (c k 1 + c k c m )d(x 1, x 0 ), d(x k, x m ) ( j=m cj )d(x 1, x 0 ) = cm 1 c d(x 1, x 0 ) 0, ha m, k. Tehát (x k ) Cauchy-sorozat és így konvergens. Legyen x k p, ha k. Belátjuk, hogy p fixpontja F-nek. Mivel x k+1 = F(x k ), így mindkét oldal határértékét véve és felhasználva F folytonosságát, azt kapjuk, hogy p = F(p), azaz p fixpontja F-nek. A fixpont egyértelműségét megmutatva, tegyük fel, hogy p és q is fixpontja F-nek. Ekkor a kontrakciós tulajdonságot felhasználva: d(p, q) = d(f(p), F(q)) cd(p, q), ami csak úgy lehet, ha d(p, q) = 0, azaz p = q Banach fixponttétele normált terekre Tétel. Legyen (X, ) normált tér, E X zárt halmaz, és F : E E egy kontrakció E-n, azaz létezik olyan 0 c < 1 konstans, hogy F(x) F(y) c x y (x, y E) Ekkor F-nek pontosan egy fixpontja létezik E-n, amely tetszőleges E-beli kezdőpontból indított fixpont iteráció határértékeként megkapható. 16

18 Legyen (X, ) egy normált tér. Egy T : X X leképezést affin leképezésnek nevezünk, ha Tx = Ax + b alakú, ahol A : X X egy lineáris leképezés, b X. Affin leképezés esetén a kontrakciós tulajdonság azzal ekvivalens, hogy az A lineáris leképezés normája 1-nél kisebb. Ebből kapjuk a tétel következő speciális alakját: 3.7. Banach fixponttétele lineáris leképezésekre Tétel. Legyen (X, ) egy Banach-tér, és T : X X, Tx = Ax+b egy affin leképezés, amelyre A < 1. Ekkor T-nek pontosan egy fixpontja létezik X-en, amely tetszőleges kezdőpontból indított fixpont iteráció határértékeként megkapható. Példa Legyen a < b, F : [a, b] [a, b] folytonos és F legyen differenciálható (a, b) intervallumon. Ekkor igaz q [0, 1): F (ξ) q (ξ (a, b)). Ekkor F-nek pontosan egy fixpontja van az [a,b] intervallumon, mert a differenciálszámítás középértéke miatt F egy kontrakció Weissinger-féle fixponttétel Tétel. Ha (X, ρ) teljes metrikus tér és az α n [0, + ) n N 0 sorozatra, ill. a ϕ : X X leképezésre (α n ) l 1, ill. ρ(ϕ [n] (u), ϕ [n] (v)) α n ρ(u, v) (u, v X, n N 0 ) teljesül, (ahol ϕ [n] ϕ n-edik iteráltját jelöli és a következőt jelenti: ϕ [n] := ϕ ϕ [n 1] = ϕ... ϕ (n N), akkor 17

19 1. ϕ-nek pontosan egy fixpontja van, azaz pontosan egy olyan u X létezik, amelyre ϕ(u ) = u ; 2. bármely u 0 X esetén az u n := ϕ [n] (u 0 ) n N sorozatra lim(u n ) = u ; 3. tetszőleges n N 0 esetén igazak az alábbi becslések: ρ(u n, u ) ( k=0 α k)ρ(u 0, u 1 ) (a priori becslés) ρ(u n, u ) ( k=0 α k)ρ(u n, u n+1 ) (a posteriori becslés) Bizonyítás. 1. lépés Ha tetszőleges u 0 X esetén u n := ϕ [n] (u 0 ) (n N), akkor ρ(u n, u n+1 ) = ρ(ϕ [n] (u 0 ), ϕ [n] (u 1 )) α n ρ(u 0, u 1 ) n N 0, így a háromszög-egyenlőtlenség többszöri alkalmazásával, bármely m N esetén ( m 1 m 1 ρ(u n, u n+m ) ρ(u n+k, u n+k+1 ) α n+k )ρ(u 0, u 1 ), azaz ρ(u n, u n+m ) k=0 ( n+m 1 k=n k=0 ( α k )ρ(u 0, u 1 ) α k )ρ(u 0, u 1 ). A (α k ) sor konvergenciája következtében az (u n ) sorozat Cauchy-sorozat, amely a tér teljessége miatt konvergens. Ezért, ha lim(u n ) =: u X, 18 k=n

20 akkor ϕ folytonossága (ϕ Lipschitz-tulajdonságú) miatt ϕ(u ) = ϕ(lim(u n )) = lim(ϕ(u n )) = lim(u n+1 ) = u, azaz u X fixpontja f-nek. 2. lépés Ha u, v X : u v fixpontjai ϕ-nek, azaz ϕ(u ) = u és ϕ(v ) = v, akkor ϕ [2] (u ) = ϕ(u ) = u, ill. ϕ [2] (v ) = ϕ(v ) = v. Teljes indukcióval adódik, hogy tetszőleges n N-re ϕ [n] (u ) = ϕ(u ) = u, ill. ϕ [n] (v ) = ϕ(v ) = v, ezért ρ(u, v ) = ρ(ϕ [n] (u ), ϕ [n] (v )) α n ρ(u, v ) 0 (n ) hiszen a (α n ) sor konvergenciája miatt lim(α n ) = lépés Ha n tetszőleges, akkor a háromszög-egyenlőtlenség egy változatának következményeként ρ(u n+m, u n ) ρ(u n, u ) ρ(u n+m, u ) 0 (m ), ezért ρ(u n+m, u n ) ρ(u n, u ) (m ). Így az első lépésben felírt egyenlőtlenséget használva kapjuk az a priori-becslést. ρ(u n+m, u n+m+1 ) = ρ(ϕ [m] (u n ), ϕ [m] (u n+1 )) α m ρ(u n, u n+1 ) m N 0, ezért 19

21 Így ρ(u n, u n+m ) m 1 k=0 ρ(u n+k, u n+k+1 ) ( m 1 k=0 α k)ρ(u n, u n+1 ) m N 0, ρ(u n, u n+m ) ρ(u n, u ) (m ) következménye az a posteriori becslés Kakutani fixponttétele Tétel. Legyen K egy nemüres, kompakt és konvex részhalmaz R n -ben és legyen Kon(K) := {C K C, C konvex }. Γ : K Kon(K). Legyen G Γ a következő teljes gráf: G Γ := {(x, y) y Γ(x), x K} Ekkor létezik egy x K olyan, hogy x Γ Knaster-Tarski fixponttétele Tétel. Legyen (X, ) egy parciálisan rendezett Banach-tér, M az X olyan részhalmaza, amelyre teljesülnek a következők: 1. inf M M, 2. minden N M nemüres részhalmazra sup N M. Legyen F : M M egy monoton növekvő leképezés, azaz F(x) F(y), ha x, y M és x y Ekkor F-nek van fixpontja az M-ben, továbbá az F leképezés fixpontjai között létezik legkisebb. Ha F fixpontja egyértelmű és x 0 M olyan, hogy vagy x 0 F(x 0 ) vagy x 0 F(x 0 ), akkor az x k+1 = F(x k ) fixpont iterációs sorozat konvergál az F leképezés fixpontjához. 20

22 4. Alkalmazások Ebben a fejezetben különféle példákkal szeretném bemutatni a fixpontéttelek használhatóságát. Kezdve a nemlineáris egyenletrendszerek megoldhatóságával, a numerikus analízisben fontos Jacobi-iterációval majd szöveges és gyakorlatias feladatokkal Nemlineáris egyenletrendszerek megoldhatósága Brouwer fixponttételének I. alakja alapján megállapítható a következő állítás: Állítás. Legyen h : R n R n leképezés a zárt gömbön B R (0) := {x R n : x R} folytonos, ahol R > 0 és x R n esetén teljesül: x = R és legyen n h(x)x := h j (x)x j 0 j=1 tehát van egy ˆx B R (0), hogy h(ˆx) = 0. Bizonyítás. Indirekten, tegyük fel, hogy minden x B R (0) teljesül, hogy h(x) 0. Ekkor a következő g leképezés: g(x) := R h(x) h(x) egy jól definiált és folytonos leképezés B R (0)-ra nézve. Brouwer tételéből következik, hogy létezik legalább egy x B R (0) úgy, hogy g(x ) = x. g(x) = R miatt, g a B R (0) gömb határára képez. Eszerint a g leképezés x fixpontja B R (0) peremén helyezkedik el és ebből következik, hogy x > 0. Ekkor igaz rá a feltétel: 0 < x x = g(x )x = R h(x ) h(x ) x 0. Ez egy ellentmondás önmagában, tehát a feltevésünk hamis volt. Egy példa nemlineáris egyenletrendszerre: 21

23 x x2 2 4x 1 = 0 2x x 1x 2 8x = 0 Ekvivalens átalakítások után: x 1 = 1 4 x x2 2 x 2 = 1 4 x x 1x Írjuk fel a következő egyenletet: x = f(x) Válasszunk egy alkalmas M halmazt úgy, hogy f : M M. Azt akarjuk megmutatni, hogy M-et mint egységgömböt a szuprémumnormára vonatkozóan kell megválasztanunk, azaz M := {(x 1, x 2 ) : x 1 1 és x 2 1}. Legyen (x 1, x 2 ) M, ekkor 1 x x = Kezdeti érték feladat közönséges differenciálegyenleteknél Klasszikus alkalmazásnak tekinthető a kezdeti érték feladat megoldásának keresése közönséges differenciálegyenleteknél, a következő feladat ennek bemutatására szolgál: Adott: f : [t 0, t 1 ] D R n, D R n, y 0 D (t 0, t 1 R, t 0 < t 1 ). Keressük: a következő kezdeti érték feladat ϕ megoldását y = f(t, y), y(t 0 ) = y 0 A fenti feladatmegadásnál nevezzük f-et jobb oldalnak és y 0 -t a kezdeti értéknek t 0 kezdeti időpontban, y(t 0 ) = y 0 kezdeti feltétel mellett. A megoldás egy differenciálható függvény ϕ : [t 0, t 1 ] D 22

24 Legyen f jobb oldal folytonos. A kezdeti érték feladat megoldásának keresése összekapcsolható a következő integrálegyenlet megoldásának keresésével: t ϕ(t) = y 0 + f(s, ϕ(s))ds (t [t 0, t 1 ]). t 0 Tehát ϕ-re megoldjuk az előző egyenletet, így ϕ differenciálható és megoldja a kezdeti érték feladatot. Megfordítva, ϕ megoldja a kezdeti érték feladatot, így azonnal látható, hogy ϕ megoldja az integrálegyenletet is Newton-módszer A numerikus analízisben a Newton-módszer az egyik legjobb ismert módszer, amivel valós függvények esetén jól közelíthetjük a gyököket. Oldjuk meg az f(x) = 0 egyenletet, ahol f : R R kétszer folytonosan differenciálható. Legyen x 0 R adott. Közelítsük f(x)-et x 0 körüli lineáris Taylor-polinommal, és tekintsük az f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) = 0 egyenletet. Ha f (x 0 ) 0, akkor ennek megoldása x 1 = x 0 f(x 0) f (x 0 ). Az x 1 pontban ismételjük a fenti eljárást, így kapjuk az iterációs sorozatot. x k+1 = x k f(x k) f (x k ) Belátható, hogy ha x 0 elegendően közel van az f függvény p gyökéhez, akkor a sorozat p-hez konvergál. módszert f gyökének keresésére Newton-módszernek hívjuk. A fenti képlettel definiált numerikus 23

25 4.4. Jacobi-iteráció A Jacobi iteráció nagyméretű lineáris egyenletrendszerek megoldására használatos. Tekintsük az Ax = b lineáris egyenletrendszert, ahol a 11 a 1n a A = 21 a 2n.. a n1 a nn R n n és b = b 1. b n R n. Keressük meg az egyenletrendszer megoldását a szukcesszív approximáció módszerével! Ehhez alakítsuk át az egyenletet fixpont egyenlet alakra. Tekintsük az i-edik egyenletet: n j=1 = a ijx j = b i, 1 i n Tegyük fel, hogy a ii 0(i = 1,..., n). Az i-edik egyenletből fejezzük ki az i-edik változót: x i = n j=1 Ezt vektoriális alakba felírva kapjuk, hogy a ij a ii x j + b i a ii, 1 i n. x = Ãx + b, ahol à = 0. a n1 a nn a 12 a 11. a 1n a 11 a n2 a nn 0. és b = b 1 a 11. b n a nn 24

26 4.5. Szöveges feladat Egy tó vizére fektetett derékszögű koordinátarendszerre vonatkozóan valamely csónak az y = x 2 egyenletű parabola mentén szeli a hullámokat, a (4,16) és a (0,0) pontok között. Mikor lesz a csónak a lehető legközelebb az a := (2, 1) pontban elhelyezett bójához? Megoldás: átfogalmazva a feladatot a pontnak az A := {(x, y) R 2 : x [0, 4], y = x 2 } halmaztól vett távolságát, pontosabban az a-t legjobban közelítő A-beli elemet keressük (R 2, ρ) metrikus térben. Mivel R 2 véges dimenziós, ezért ilyen elem létezik. Ennek a közelítő elemnek az első koordinátája nem más, mint a d(x) := (x 2) 2 + (x 2 + 1) 2 (x [0, 4]), illetve a t := d 2 függvény minimumhelye. Mivel t (x) = 2(x 2) + 4x(x 2 + 1) = 4x 3 + 6x 4 (x [0, 4]), ezért t -nek a 2x 3 + 3x 2 = 0 (x [0, 4]) egyenlet megoldáshalmazán lesz zérushelye. Az egyenlet megoldása: ϕ : [0, 4] R ϕ(x) := leképezés fixpontja. Mivel ϕ[[0, 4]] [0, 4] és a 2 2x ϕ 2 (x) = (2x 2 + 3) 4x = 8x := f(x) x [0, 4] 2 (2x 2 + 3) 2 függvénynek az x = -ben van minimumhely, (mivel az intervallum két végpontjában a felvett értékek nagyobbak, d(0) = 5, d(4) = 293) 25

27 ezért f (x) = f(x) f 24 48x2 (2x 2 + 3) 3 ( ) 1 = ezzel megtaláltuk a legkisebb távolságra levő pontot Banach-féle fixponttétel egy alkalmazása (Perron tétele) Tétel. Legyen az A M n n mátrix minden a ij komponense pozitív. Ekkor A-nak van legalább egy pozitív sajátértéke, amelyhez megadható egy csupa nemnegatív komponensekből álló sajátvektor. Bizonyítás. Legyen G := {(x 1, x 2,...,x n ) T R n : x 1 0, i = 1,..., n; n x i = 1} Ekkor könnyen ellenőrizhető, hogy G korlátos, zárt és konvex részhalmaza R n -nek. Legyen továbbá f : G G, f(x) = Ax Ax 1. Ekkor nyilván f folytonos, hiszen minden vektornorma folytonos függvény és x Ax is folytonos leképezés. Ezért a Brouwer-féle fixponttétel szerint létezik legalább egy fixpontja f-nek G-ben, legyen ez v G. Ekkor v-re Av Av 1 = v, azaz Av = Av 1 v teljesül. Ekkor λ = Av 1 sajátértéke A-nak a v sajátvektorral. 26

28 4.7. Schauder-féle fixponttétel egy alkalmazása Peano tétele. Tétel. Legyen f : [t 0 a, t 0 + a] [u b, u + b] R folytonos függvény, maximumát jelöljük M-mel, azaz M = max{ f(t, x) : t t 0 a, x u b}. Legyen h = min{a, b }. Ekkor a következő kezdeti érték feladatnak létezik legalább egy M megoldása az I = [t 0 h, t 0 + h] intervallumon. x = f(t, x)x(t 0 ) = u Bizonyítás. Tekintsük az I-n definiált folytonos függvények C(I, R) Banach-terét a normával. Legyen g = max t I g(t) E = {g C(I, R) : g(t) u b, t I}. Definiáljuk az F nemlineáris operátort az t (F(x))(t) = u + f(s, x(s))ds, t I, x E t 0 képlettel. Mivel x E, ezért f(s, x(s)), és így F(x) is jól definiált. Továbbá (F(x))(t) u = t t 0 f(s, x(s))ds M t t 0 Mh b t I Azaz F(x) E. Nyilván E nemüres, konvex részhalmaza C(I, R)-nek. 27

29 4.8. Magyar vonatkozás 1928-ban a kiváló magyar matematikus, Neumann János formálta meg a játékelmélet modelljét. A modell lényeges pontja, hogy a topológiai módszert bevezeti a közgazdasági modell építésébe, melyre a közgazdaságtan történetében még nem volt példa. Különösen a Brouwer-féle fixponttétel használata, és annak általánosított alkalmazása volt a modell elemzésének kulcspontja, azaz Neumann rámutatott, hogy a fixponttétel felhasználható a modell egyensúlyának megoldási bizonyításában. Ebben Neumann a pontértékű Brouwer-féle fixponttételt a halmazértékű tételre bővítette, melyet pár évvel később a Princetonban tartózkodott japán matematikus Kakutani, Neumannal közösen, egy elegáns és szép formára dolgozott ki. Így született meg a Kakutani-féle fixponttétel. 28

30 5. Érdekességek Dolgozatom végén szeretnék példát mutatni pár érdekességre, amelyek a fixponttételekhez kapcsolódnak és mindennapjainkban is jelen vannak. Ilyen például az emberek fején található forgó, ami miatt nem lehet egy irányba fésülni a hajunkat, erről a sündisznótételben olvashatunk, illetve arról is, hogy mi történik a vízmolekulákkal, ha megkeverünk egy pohár vizet Brouwer fixponttételének hétköznapi példái Vegyünk példának egy képet (pl. a Mona Lisát) és másoljuk le. Ezzel a másolattal azt csinálunk, amit akarunk, felnagyítjuk, lekicsinyítjük, elforgatjuk, összegyűrjük, bármit tehetünk vele. A Brouwer-féle fixpont-tétel állítása szerint, ha ezt a másolatot az eredeti kép felé helyezzük, legalább egy olyan pontja van a másolatnak, ami az eredeti képen is ugyanott szerepel. Lehet ez a Mona Lisa szemének, fülének, vagy akár a mosolyának egy része, de biztos, hogy létezik. Ez három dimenziós környezetben is érvényes: képzeljük el, hogy egy pohár vizet jól megkavarunk egy kanállal. Brouwer tétele szerint legalább egy vízmolekula ugyanazon a helyen van, mint a keverés előtt Sündisznótétel A három dimenziós gömb felületét nem lehet megfésülni, azaz mindig van "forgó". Tegyük fel, hogy a gömbfelületet, vagyis S 3 halmazt haj borítja. Ennek megfésülése azt jelenti, hogy minden x S 3 -ra az x pontbeli hajszál valamilyen v(x) irányban simul S 3 -ra, ahol a v(x) egységvektor az x pont folytonos függvénye. Tehát a gömbfelület megfésülése egy olyan folytonos v : S 3 S 3 leképezés létezését követeli meg, amelyre teljesül, hogy v(x) az x-re merőleges egységvektor minden x S p -re. A sünnek csak annyi köze van hozzá, hogy ugyanilyen elven, nem tudjuk megsimogatni. 29

31 Tétel Ha p páratlan, akkor nem létezik olyan folytonos v : S p S p leképezés, amelyre v(x), x = 0 minden x S p -re Koszinusz iterálása A Banach-féle fixponttétel érdekes közvetlen alkalmazása a következő feladat: mi történik, ha egy tetszőleges számra a számológéppel egymás után sokszor alkalmazzuk a koszinusz függvényt? Legyen x 0 tetszőleges valós szám, cos x 0 ekkor már [ 1, 1] intervallumba esik. Ezen az intervallumon a koszinusz kontrakció, lévén a deriváltja abszolútértékének a korlátja sin1 < 1, így létezik fixpontja. A fixponttétel bizonyításakor használt sorozat épp a koszinusz iterálása, amiről tudjuk, hogy koszinusz fixpontjához tart, így bármely számról is indulunk a koszinusz gomb kitartó nyomkodásával a cos x = x egyenlet egyetlen gyökét közelítjük. 30

32 Hivatkozások [1] Kurics, T. Bevezetés a funkcionálanalízisbe, Karátson János előadásai alapján [2] Hund, Ch.: Bachelorarbeit zum Thema Fixpunktsatz von Brouwer, (2010) [3] Győri, I., Hartung, F.: előadásjegyzet, (2006/2007) [4] Scheible, N.Sch.: Fixpunktsatz von Schauder (2009) [5] Kovács, S.:Funkcionálanalízis feladatokban, egyetemi jegyzet, (2013) ISBN: [6] Laczkovich, M.,T.Sós, V.: Analízis II. (2007) ISBN:

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Differenciálegyenletek numerikus megoldása a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Gauss-Seidel iteráció

Gauss-Seidel iteráció Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Numerikus módszerek beugró kérdések

Numerikus módszerek beugró kérdések 1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma

Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai

10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Differenciálegyenlet rendszerek

Differenciálegyenlet rendszerek Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

1 Lebegőpontos számábrázolás

1 Lebegőpontos számábrázolás Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található.

FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok. Czirbusz Sándor április 16. A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. FRAKTÁLGEOMETRIA Feladatok Czirbusz Sándor 010. április 16. I. rész Feladatok A feladatok végén zárójelben a feladat pontértéke található. 1. Példák fraktálokra 1.1. A Cantor - halmaz 1.1.1. Feladat. Igazoljuk,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

A lineáris programozás alapjai

A lineáris programozás alapjai A lineáris programozás alapjai A konvex analízis alapjai: konvexitás, konvex kombináció, hipersíkok, félterek, extrém pontok, Poliéderek, a Minkowski-Weyl tétel (a poliéderek reprezentációs tétele) Lineáris

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér

Funkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás

Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 4. Előadás Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 4. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Szarvák Gábor 2012. február 28. Emlékeztető. A primál feladat optimális értékét p -gal, a feladat optimális értékét

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához

Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Differenciálszámítás normált terekben

Differenciálszámítás normált terekben Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!

Részletesebben

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány

SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös

Részletesebben

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:

Részletesebben

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet

Részletesebben

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31 Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet

Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)

Részletesebben

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása

Részletesebben

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek

1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek 7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,

Részletesebben

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1 numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben