SZAKDOLGOZAT Molnár Tamás Gábor 2012

Átírás

1 SZAKDOLGOZAT Molnár Tamás Gábor 2012

2 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Műszaki Mechanika Tanszék Késleltetett visszacsatolást tartalmazó instabil rszerek stabilizálása megoszló időkésést tartalmazó szabályozóval Készítette: Molnár Tamás Gábor Budapest, 2012 Konzulens: Dr. Insperger Tamás, egyetemi docens Műszaki Mechanika Tanszék

3 Nyilatkozat Alulírott Molnár Tamás Gábor, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója kijelentem, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és a szakdolgozatban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, amelyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen a forrás megadásával megjelöltem.... Molnár Tamás Gábor

4 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni konzulensemnek, Dr. Insperger Tamás egyetemi docensnek a szakmai kérdésekben nyújtott nélkülözhetetlen segítséget, valamint azt a rengeteg időt és energiát, mellyel munkámat előrelítette. Köszönöm családomnak a türelmet, önzetlen segítséget és támogatást, mely nem csupán munkám, hanem egész életem során végigkísért. Köszönöm egyetemi évfolyamtársaimnak segítőkész hozzáállásukat és támogatásukat, melyre egyetemi tanulmányaim során mindig számíthattam.

5 Summary In this thesis we deal with an important subject of control theory, namely the problems induced by the delay appearing in the control loop. We may see that this delay can cause loss of stability of the closed loop system and, in case of an overly long delay, constructing a stable control may not be possible. Besides one may notice that the control of time-delay systems is an infinite dimensional problem. In order to solve the differential equation describing the system the knowledge of infinitely many initial values is required and the system possesses infinitely many characteristic exponents. In order to find a solution for the delay problem, we study the finite spectrum assignment control method. This procedure compensates the effect of the input delay through the use of a control equation that contains a distributed delay term. We may notice that this method can realize a closed loop system that operates with a predefined dynamic behavior in the ideal case. It can be achieved by the means of prediction and negative feedback of the predicted state. Thus finitely many poles of the original system - which had an infinite spectrum - can be shifted to desired values and the other ones are automatically eliminated. Furthermore we may get acquainted with the fact that the sensitivity with respect to the parameters used for the prediction means the main difficulty of applying this control method. So as to attain an effective control procedure it is necessary to approximate the system parameters and the value of the time-delay exactly. In addition we examine the problems appearing by the realization of the integral term that contains the above mentioned distributed delay. We analyze the conditions of the stability of the governing neutral functional differential equation and the effect of the difference part of this equation on stability as well. We also study the discretization of the system using different time steps and a numeric control procedure that uses piecewise constant input. Moreover we ascertain the applicability of this method for stabilization of unstable processes through the example of balancing an inverted pulum. In this example we create the stability charts of the closed loop system in the case of continuous and piecewise constant inputs as well. Additionally we examine the realization of the fastest balancing, the control of the stick position and the critical dimensionless system parameter value. On the basis of the latter value we compare the finite spectrum assignment method with the academic PD controller. We may note that for stabilization the former one is more effective and has more prosperous properties.

6 Tartalomjegyzék Bevezető fejezet: Lineáris differenciálegyenletek Autonóm egyenletek Autonóm lineáris közönséges differenciálegyenlet Autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenlet Késleltetett elsőrű skalár egyenletek Hayes-egyenlet Cushing-egyenlet Másodrű skalár egyenletek Késleltetés nélküli egyenlet Csillapítás nélküli egyenlet Csillapítással és késleltetéssel is relkező egyenlet PD szabályozó alkalmazása fejezet: Az inverz inga stabilizálási problémái Az inverz inga mozgásegyenlete Az inverz inga állapottér modellje Az inverz inga egyensúlyozása PD szabályozóval A mozgásegyenlet dimenziótlanítása fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével Szabályozás pólusáthelyezés segítségével Stabilizálás véges spektrum hozzárelés segítségével A véges spektrum hozzárelés megvalósítási problémái A véges spektrum hozzárelés speciális esetei A véges spektrum hozzáreléses szabályozás hatásvázlata fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján Stabilitási térképek Minden szabályozási paraméter pontosan ismert Egyedül a visszacsatolás időkésése ismert pontosan Egyetlen paraméter sem ismert pontosan Az egyenlet differencia részének stabilitása Numerikus szimuláció A rszer és a szabályozó egyenletének diszkretizálása... 38

7 Tartalomjegyzék ii Állapot kiegészítés Stabilitási térképek numerikus elkészítése A mozgásegyenlet numerikus megoldása Leggyorsabb beállás vizsgálata Kritikus dimenziótlan rszerparaméter Stabilizálás a vízszintes irányú mozgás figyelembe vételével Az állapottér modell bővítése Stabilitási térképek Szabályozás hatásvázlat felhasználásával Összefoglalás Irodalomjegyzék A. függelék: A numerikus szimulációknál alkalmazott Matlab-kódok A.1 Az inverz inga mozgásegyenletének numerikus megoldása A.2 Az inverz inga vízszintes irányú mozgásának szabályozása A.3 A stabilitási térkép és a szintvonalas ábra numerikus elkészítése A.4 A szimuláció megvalósítása hatásvázlat alapján... 68

8 Ábrajegyzék 1.1. ábra: A Hayes-egyenlet stabilitási térképe esetén ábra: A Cushing-egyenlet stabilitási térképe és esetén ábra: A késleltetés nélküli másodrű csillapított egyenlet stabilitási térképe ábra: A késleltetett, csillapítással nem relkező másodrű egyenlet stabilitási térképe esetén ábra: Az általános másodrű, egyetlen diszkrét késleltetéssel bíró egyenlet stabilitási térképe és esetén ábra: Az időkésés nélküli PD szabályozóval ellátott, csillapítás nélküli másodrű rszer stabilitási térképe és esetén ábra: Az időkéséses PD szabályozóval ellátott rszer stabilitási térképe és esetén ábra: Az inverz inga mechanikai modellje ábra: A véges spektrum hozzáreléses szabályozás hatásvázlata ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe,,, esetén ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe,,, esetén ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe,,, esetén ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás különböző paraméter becslésekre kapott stabilitási térkép sorozata, esetén ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozási egyenlet differencia részének stabilitási térképe,,, esetén ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe a differencia rész stabilitását is figyelembe véve,,, esetén ábra: Numerikusan megvalósított véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe ábra: Numerikusan megvalósított véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképének változása a különböző paraméter becslések mellett

9 Ábrajegyzék iv ábra: Numerikusan megvalósított véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe a differencia rész stabilitásra gyakorolt hatását megmutatva ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel ábra: A maximális abszolút értékű karakterisztikus multiplikátorok szintvonalas megjelenítése ábra: A leggyorsabb beállást mutató numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel ábra: A kritikus dimenziótlan rszerparaméter értéke a paraméter becslések hibájának függvényében különböző dimenziótlan szimulációs időlépések esetén ábra: A kritikus dimenziótlan rszerparaméter értéke a paraméter becslések hibájának függvényében kis hibák esetén ábra: A kritikus dimenziótlan rszerparaméter értéke a paraméter becslések hibájának függvényében nagy hibák esetén ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás, szögsebesség, pozíció és sebesség kezdeti feltételekkel ábra: A vízszintes mozgás szabályozását is megvalósító numerikus szimuláció eredménye,, és kezdeti feltételekkel ábra: A vízszintes mozgást is stabilizáló, véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképei különböző szabályozó paraméterekre ábra: A véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás hatásvázlat általi megvalósításával kapott kimeneti jelalak A.1. ábra: A szimulációt megvalósító SimuLink program blokk diagramja

10 Bevezető A szabályozástechnikában fontos problémát jelent a szabályozási körben fellépő időkésés kezelése. Az időkésés abból ered, hogy a kimenet, illetve a rszerállapotok méréséhez, a jelek szabályozókörben való terjedéséhez és a beavatkozás meghatározásához időre van szükség. Így egy adott rszerállapothoz tartozó beavatkozás hatása valamekkora késleltetési idővel később jut érvényre, mialatt a rszerállapot megváltozik. Ezáltal a beavatkozás nem fogja a tervezett rszerállapotokat és kimenetet megvalósítani. Ezért az időkésés hatásával már a tervezés során számolni kell. Továbbá az időkésés nehezíti a szabályozást, csökkenti a zárt szabályozási kör stabilitását, és nem megfelelő szabályozó paraméterekkel stabilitásvesztéshez vezethet. Túlzott mértékű időkésés esetén előfordulhat, hogy a rszer stabil szabályozása nem is lehetséges. Az időkésés problémájának kezelésére megoldást jelent a véges spektrum hozzáreléses szabályozás (angolul finite spectrum assignment). Ez egy prediktív szabályozási eljárás, melynek lényege, hogy megjósolja az időkésés után érvényes rszerállapotokat és ezek visszacsatolása alapján számítja a beavatkozást. Így a bemeneti késleltetés hatása kiküszöbölhető. Mindez megoszló időkéséssel relkező szabályozóegyenlettel érhető el. A véges spektrum hozzárelés előnye, hogy ideális esetben megvalósítja az állapotszabályozást időkéséses rszerekre, így a szabályozás során előre tervezett rszerdinamika érhető el. Hátránya azonban, hogy a szabályozás érzékeny a szabályozási kör paramétereire: a rszer paramétereit és az időkésést nem pontosan ismerve a stabilitás veszélybe kerülhet, a szabályozóval elérhető stabilitás és beállási gyorsaság mértéke csökken. Jelen dolgozatban ismertetésre kerülnek a késleltetett differenciálegyenletek alaptípusai és a legegyszerűbb skalár egyenletek stabilitásvizsgálata. Továbbá bemutatásra kerül a fent említett megoszló időkéséses szabályozó egyenletet alkalmazó véges spektrum hozzáreléses szabályozási eljárás alapgondolata, módszere és megvalósítási problémái. Az eljárás alkalmas instabil rszerek stabilizálására is. Ez a tulajdonság egy inverz inga kiegyensúlyozásának példáján lesz szemléltetve. Ehhez bemutatásra kerül az inga mozgásegyenlete. Továbbá az inga példáján keresztül ismertetésre kerül a véges spektrum hozzáreléses szabályozás stabilitásvizsgálata, az eljárás numerikus implementálása mintavételezéssel, a leggyorsabb beállás megvalósítása, és annak vizsgálata, hogy milyen rszerparaméter és időkésés értékek esetén lehetséges a stabilizálás.

11 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek A dinamikai rszerek leírása, matematikai modellezése differenciálegyenletek segítségével történhet, melyek mutatják, hogy a rszer állapotának pillanatnyi megváltozása hogyan függ a pillanatnyi - vagy időkésés esetén éppen a korábbi - rszerállapottól. Időkésést tartalmazó rszerek gyakran fordulnak elő a szabályozástechnikában, ahol a késést a szabályzókörben végbemenő információ terjedés véges sebessége okozhatja. Az emberi szervezet esetében ugyanez elmondható az ingerület véges sebességű terjedése okozta időkésésre is. Az egyenleteket, amelyekben az állapotváltozás mértéke különböző időpillanatokban érvényes állapotoktól is függ, funkcionál-differenciálegyenleteknek (angolul functional differential equation) nevezzük. Ezen egyenleteknek három típusa van: késleltetett, neutrális és siettetett. A késleltetett funkcionál-differenciálegyenletek általános alakja: (1.1) azaz az állapotváltozás a korábbi állapotoktól függ. A neutrális funkcionál-differenciálegyenletnél a korábbi állapotváltozás is befolyásolja a pillanatnyi állapotváltozást: (1.2) A siettetett funkcionál-differenciálegyenlet esetén az állapotváltozást az állapot magasabb rű deriváltjai is befolyásolják, például: (1.3) mely átalakításával olyan alak is létrehozható, melyben az állapotváltozás a későbbi állapottól függ [1]. Mérnöki alkalmazásban ilyen egyenletek ritkán fordulnak elő, a továbbiakban csak az első két típussal foglalkozunk. 1.1 Autonóm egyenletek Autonóm egyenleteknek nevezzük azon differenciálegyenleteket, amelyekben az állapotváltozás közvetlenül nem függ a idő változótól, így az egyenlet kezdeti értékeihez tartozó kezdeti időpont tetszőlegesen megválasztható (az általánosság megszorítása nélkül pl. nullának tekinthető). A következő két pontban ezen egyenletek késleltetés nélküli és késleltetett típusai kerülnek bemutatásra.

12 3 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek Autonóm lineáris közönséges differenciálegyenlet Az autonóm lineáris közönséges differenciálegyenletek általános alakja: (1.4) ahol, -es mátrix és Az kezdeti értékkel a fenti egyenlet megoldása: (1.5) A triviális megoldás stabilitását az mátrix sajátértékei, az ún. karakterisztikus exponensek (más néven karakterisztikus gyökök, vagy pólusok) határozzák meg. Ezen sajátértékeket a egyenlet megoldásával kapjuk. Az egyenlet bal oldala egy -edfokú polinomja, amelyet karakterisztikus polinomnak nevezünk. Ha minden a polinomnak egyszeres gyöke, a megoldás az alábbi alakban is felírható: (1.6) ahol. Ezen alakból már látszik, hogy a megoldás akkor lesz stabil, ha a karakterisztikus exponensek valós része minden esetében negatív. Így a stabilitás vizsgálat esetében nem kell kiszámolni az összes karakterisztikus exponenst, hanem elegő a kritikus - azaz a komplex számsíkon a leginkább jobb oldalt elhelyezkedő, vagyis a legnagyobb valós résszel relkező - karakterisztikus exponens valós részének előjelét meghatározni. Ezt pl. a Routh-Hurwitz-kritérium segítségével tehetjük meg, mely megadja az aszimptotikus stabilitás szükséges és elégséges feltételét. A stabilitásvesztés kétféleképp jöhet létre. Az első esetben csak egy kritikus karakterisztikus exponens adott. Ekkor az exponens valós szám, azaz képzetes része zérus. A stabilitásvesztés során ez az exponens válik pozitívvá. A másik esetben egyszerre két kritikus exponens van, melyek komplex konjugált párok, és ezek a komplex számsík jobb oldalára vándorolva válnak instabillá (valós részük pozitívvá válik). Az előbbi esetet nyereg csomó bifurkációnak nevezzük, az utóbbit Hopf bifurkációnak Autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenlet Az autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenletek általános alakja: ahol folytonos lineáris funkcionál ( a folytonos függvények tere) és az alábbi formában írható fel: (1.7) (1.8)

13 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek 4 (1.9) ahol. A közönséges differenciálegyenletnél kapott megoldás alapján a most vizsgált egyenlet megoldását alakban keressük. Ezt az alakot az eredeti egyenletbe helyettesítve a következő egyenlethez jutunk: (1.10) Ezt karakterisztikus egyenletnek nevezzük, a bal oldalon álló kifejezés a karakterisztikus függvény, melyet -val jelölünk. Ez tehát a késeltetett esetben már nem -edfokú polinomja, hanem egy általános függvény. E függvény zérus helyeit továbbra is karakterisztikus exponenseknek nevezzük, ám ezek száma már nem darab, mint az időkésleltetés nélküli differenciálegyenletnél, hanem általános esetben végtelen sok exponens is lehet a komplex síkon. Ám az továbbra is érvényes, hogy a stabilitásvizsgálat során elegő a kritikus karakterisztikus exponens(ek) valós részének előjelét megvizsgálni, és nem szükséges az exponensek értékét pontosan kiszámítani. Ugyanis az aszimptotikus stabilitás szükséges és elégséges feltétele az, hogy a karakterisztikus exponensek valós része negatív legyen, továbbá létezzen olyan, melyre teljesül az alábbi kritérium: (1.11) ahol az mátrix elemei [2]. E kritérium azt jelenti, hogy a korábbi rszerállapotok hatása exponenciálisan csökken. A stabilitásvizsgálat eredményeként egy ún. stabilitási térkép készíthető, amely a differenciálegyenlet együtthatói mint paraméterek által kifeszített síkon mutatja meg, mely paraméter értékeknél lesz a megoldás stabil, illetve instabil esetben hány darab instabil karakterisztikus exponens létezik. Az instabil karakterisztikus exponensek számát nevezzük instabilitási foknak. Ha rszer legalább egy instabil karakterisztikus exponenssel relkezik, akkor mindenképp instabil viselkedést mutat, függetlenül az instabilitási fokának nagyságától. A stabilitási térkép a D-helyettesítés módszerével (angolul D-subdivision method) készíthető el. E módszer azon alapul, hogy a stabilitási térkép olyan tartományokra osztható, amelyeken belül az instabil karakterisztikus exponensek száma állandó. Az eltérő instabilitási fokú tartományokat az ún. D-görbék választják el egymástól. Ezen görbéket a egyenlet segítségével kapjuk, helyettesítéssel (ahol i az imaginárius egység, pedig a stabilitásvesztéssel fellépő rezgések körfrekvenciája). Azaz amikor megszerkesztjük

14 5 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek ezeket a görbéket, a karakterisztikus exponens valós részét nullának feltételezzük, hiszen amikor az instabilitási fok változik, exponensek vándorolnak át a komplex sík bal félsíkjáról a jobb félsíkjára, így át kell haladniuk az imaginárius tengelyen, ahol a valós részük zérus. Stabilitási határnak nevezzük azon D-görbéket, melyek a stabil - azaz zérus instabilitási fokú - területet határolják. A paramétertér egyes tartományaiban az instabilitási fokot az ún. karakterisztikus exponens váltási irány (angolul exponent crossing direction) módszer vagy a Stépán-formulák segítségével kaphatjuk meg [3]. Időkésés esetén megkülönböztethetünk diszkrét és megoszló időkésést. A diszkrét - vagy más néven pont - időkésést tartalmazó differenciálegyenletek az alábbi alakban adhatók meg: (1.12) ahol és -es mátrixok, minden -re és pozitív egész szám. A megoszló időkésést tartalmazó differenciálegyenletek a következő alakban írhatók fel: (1.13) ahol é, valamint mutatja a korábbi időintervallumban fennálló állapotok jelen állapotváltozásra gyakorolt súlyát. Ha konstans mátrixokkal megszorzott, időben eltolt Dirac-delta függvényeket tartalmaz, azaz pl. alakú, akkor a diszkrét időkésés esetét kapjuk vissza. Így a diszkrét és megoszló időkésés esete a alábbi alakra hozásával választható szét: (1.14) Az autonóm lineáris késleltetett differenciálegyenlet, mely megoszló és véges számú diszkrét időkésést is tartalmaz, a következő alakban írható fel: (1.15) Ez a diszkrét és a megoszló időkésést tartalmazó tag szétválasztása után a következő: (1.16) A -es súlyfüggvény tehát az általános esetben leírt á xhoz hasonló, ám csak véges számú konstanssal megszorzott és időben eltolt Dirac-delta függvényt tartalmazhat.

15 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek 6 Tehát a pont időkésésnél csak diszkrét múltbéli időpontokban érvényes állapotok befolyásolják a jelen pillanatbeli állapotváltozást. A megoszló időkésés esetén pedig múltbéli időintervallumokban (és nem időpontokban) érvényes állapotok a meghatározóak. Továbbá míg a közönséges differenciálegyenletnél elég véges számú kezdeti feltételt megadni, időkésés esetén egy teljes időintervallumban kell ismerni a kezdeti feltételeket. Így végtelen számú kezdeti értéket kell figyelembe venni, azaz a differenciálegyenlet megoldásának problémája végtelen dimenzióssá válik. 1.2 Késleltetett elsőrű skalár egyenletek A következő pontokban a legegyszerűbb elsőrű skalár, pont vagy megoszló időkésést tartalmazó egyenletek stabilitásvizsgálatával ismerkedhetünk meg [3] Hayes-egyenlet A Hayes-egyenlet egyetlen pont időkésést tartalmazó elsőrű, lineáris differenciálegyenlet. Általános alakja a következő: ahol az időkésés, és pedig skalár rszerparaméterek. Az függvényét: Az (1.17) alakban keresve a megoldást megkapjuk az egyenlet karakterisztikus (1.18) síkon a stabilitási tartomány a D-helyettesítés módszerével kereshető meg. A egyenletbe bontva, az alábbi két egyenletet kapjuk: kifejezést helyettesítve, az egyenletet valós és képzetes részre (1.19) (1.20) Ebből -t és -t kifejezve -val paraméterezett görbéket kapunk. Az esetben kapott D-görbénél, tehát a valós tengelyen egyetlen gyök halad át az instabil jobb félsíkra. Vagyis az instabilitási fok eggyel változik az változik. Az Az -hoz tartozó D-görbe átlépése esetén. Az esetben komplex konjugált gyökpár válik instabillá, így az instabilitási fok kettővel -hoz tartozó D-görbe: -hoz tartozó D-görbe: (1.21)

16 7 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek (1.22) (1.23) Ha, akkor az eredeti (1.17) egyenletre alkalmazható a Routh-Hurwitz-kritérium, melynek értelmében stabil a rszer, ha. Így a, félegyenes biztosan a stabil terület részét képezi az síkon. A D-görbék és a stabil tartomány megtalálható az 1.1. ábrán. E fejezet ábrái Wolphram Mathematica 8 szoftver segítségével készültek. stabil terület 1.1. ábra: A Hayes-egyenlet stabilitási térképe esetén. Ha a egyenletbe kifejezést helyettesítjük, a valós és képzetes részeket szétválasztjuk, és a kapott két egyenletet az egyik rszerparaméter szerint lederiváljuk, megtudhatjuk, hogy milyen előjellel változik az instabilitási fok a D-görbék átlépésével. Annyit kell csak tennünk, hogy deriváltjának előjelét vizsgáljuk meg: ha az pozitív, a rszerparaméter növelésével átlépett D-görbénél az instabilitási fok nő, ha negatív, ugyanilyen átlépésnél az instabilitási fok csökken. Tehát például, ha a kifejezés előjele pozitív, akkor növelésével a karakterisztikus exponensek valós része növekszik. Így a határt átlépve az exponensek instabillá válnak, az instabilitási fok növekszik. A határt pedig az előbb meghatározott D-görbék jelentik.

17 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek 8 Az előbbiek alapján a D-görbék megrajzolhatók, és eldönthető, hogy átlépésükkel az instabilitási fok mennyivel (eggyel vagy kettővel) és milyen előjellel változik. Továbbá ismert, hogy az, pontokban a rszer stabil, vagyis az instabilitási fok zérus. Így végezetül a teljes paramétersíkon meghatározható az egyes tartományok instabilitási foka. Ám jelen esetben csak azt vizsgáljuk meg, hogy a rszer stabil-e vagy sem Cushing-egyenlet A Cushing-egyenlet megoszló időkésést tartalmazó elsőrű, lineáris differenciálegyenlet. Általános alakja a következő: (1.24) Ha,, azaz az integrálban található súlyfüggvény egy időben eltolt Dirac-delta függvény, akkor a Hayes-egyenletet kapjuk vissza. Most vizsgáljuk meg a esetet. Ekkor az egyenlet karakterisztikus függvénye: (1.25) Ismét helyettesítsük be a kifejezést a egyenletbe, válasszuk szét a valós és képzetes részeket, és fejezzük ki -t és -t Az esetnél a esetet vizsgáljuk. Az -hoz tartozó D-görbe: függvényében. Így megkapjuk a D-görbéket. (1.26) Az -hoz tartozó D-görbe: (1.27) (1.28) Ismét megállapítható, hogy esetén közönséges differenciál egyenletet kapunk, mely esetén stabil megoldással relkezik. Tehát most is a, félegyenes a stabil tartományba esik. A D-görbék és a stabil tartomány megtalálható az 1.2. ábrán.

18 9 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek stabil terület 1.2. ábra: A Cushing-egyenlet stabilitási térképe és esetén. 1.3 Másodrű skalár egyenletek Ebben az alfejezetben másodrű késleltetett skalár egyenletek stabilitásvizsgálatát ismerhetjük meg [3]. A másodrű egyenletek a mechanikában különösen fontosak, mivel a Newton törvények vagy a Lagrange-módszer segítségével kapott mozgásegyenletek másodrűek. Ezért a mechanikai rszerek szabályozásánál fontos ezen egyenlettípus stabilitásvizsgálatát ismerni. A másodrű, egyetlen diszkrét késleltetéssel bíró, lineáris differenciálegyenletek általános alakja a következő: (1.29) A továbbiakban ezt az egyenletet fogjuk vizsgálni, kitérve a speciális esetekre, amikor van zérus együttható az egyenletben Késleltetés nélküli egyenlet Ha az (1.29) általános másodrű egyenletben csillapított másodrű rszert kapunk: Ennek karakterisztikus polinomja:, eltűnik a késleltetés, egyszerű (1.30) (1.31)

19 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek 10 A és egyenletekkel megkapjuk a D-görbéket. Az Az -hoz tartozó D-görbe: -hoz tartozó D-görbe: A Routh-Hurwitz-kritérium értelmében a stabil terület az, negyed sík lesz. A D-görbék és a stabil tartomány megtalálható az 1.3. ábrán. (1.32) (1.33) stabil terület 1.3. ábra: A késleltetés nélküli másodrű csillapított egyenlet stabilitási térképe. Ezúttal véges számú eltérő instabilitási fokú területet kaptunk a paramétersíkon. A késleltetést nélküli esetben nem végtelen dimenziójú a probléma, véges sok megoldása van a karakterisztikus egyenletnek, a karakterisztikus gyökök száma is véges - jelen esetben kettő. Így az félsíkhoz egy instabil gyök tartozik, az, negyed síkhoz kettő, az, negyed síkhoz pedig nulla Csillapítás nélküli egyenlet Az (1.29) általános egyenletből esetén eltűnik a csillapítást jelentő tag: (1.34) A kapott egyenlet karakterisztikus függvénye: (1.35) A helyettesítéssel felírt egyenlet valós és képzetes részre bontva: (1.36) (1.37)

20 11 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek Így az Az -hoz tartozó D-görbe: -hoz tartozó D-görbe: (1.38) (1.39) (1.40) ahol. A késleltetési nélküli eset stabilitási térképe alapján tudjuk, hogy a, félegyenes pontjaihoz egy instabil karakterisztikus gyök tartozik. Az ezek alapján elkészített stabilitási térkép az 1.4. ábrán látható. stabil terület 1.4. ábra: A késleltetett, csillapítással nem relkező másodrű egyenlet stabilitási térképe esetén Csillapítással és késleltetéssel is relkező egyenlet Térjünk vissza az általános esethez, amikor a korábban felírt (1.29) másodrű egyenlet egyik együtthatója sem zérus. Ennek az egyenletnek a stabilitása már három paramétertől függ, a stabilitási térkép megrajzolása egy paramétersíkon csak az egyik paraméter rögzítésével lehetséges. Az egyenlet karakterisztikus függvénye: (1.41) A paramétersík eltérő instabilitási fokú tartományait elválasztó D-görbéket ismét a egyenlet segítségével kapjuk, helyettesítéssel. Az -hoz tartozó D-görbe: (1.42) Az -hoz tartozó D-görbe:

21 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek 12 (1.43) (1.44) Ha a stabilitási térképet meg akarjuk rajzolni, az egyik paramétert rögzíteni kell. Legyen például egy megadott pozitív érték. Ekkor mellett alkalmazható a Routh-Hurwitzkritérium, melynek értelmében mellett a rszer stabil. Tehát a, félegyenes a stabil tartomány részét képezi pozitív esetén. A stabilitási térkép egy rögzített értékre az 1.5. ábrán látható. stabil terület 1.5. ábra: Az általános másodrű, egyetlen diszkrét késleltetéssel bíró egyenlet stabilitási térképe és esetén PD szabályozó alkalmazása Tekintsük egy csillapítással nem relkező másodrű rszer differenciálegyenletét úgy, hogy a rszert arányos-differenciáló, azaz PD szabályozóval látjuk el. A szabályozás során fellépő időkésések hatását figyelembe véve a rszer egyenlete: (1.45) ahol és a szabályozó paraméterek. Ha nem lenne időkésés - azaz esetén - a csillapított, időkésés nélküli egyenletet kapnánk vissza és paraméterek helyett és paraméterekkel. Így a síkon készített stabilitási térkép a fent említett eset térképétől (ld ábra) csupán annyiban tér el, hogy az egyik határgörbe eltolódik értékkel. Az eredmény az 1.6. ábrán látható.

22 13 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek stabil terület 1.6. ábra: Az időkésés nélküli PD szabályozóval ellátott, csillapítás nélküli másodrű rszer stabilitási térképe és esetén. Ha az időkésés nem zérus értékű, a rszer karakterisztikus egyenlete a következő lesz: (1.46) melybe helyettesítsük be a kifejezést a stabilitási tartomány meghatározása végett. Az -hoz tartozó D-görbe: (1.47) Az -hoz tartozó D-görbe: (1.48) (1.49) Egy rögzített érték esetén a sík pontjához egy instabil gyök tartozik. Ilyenkor ugyanis olyan, mintha nem lenne szabályozás, és azt már korábban is láthattuk, hogy az időkésleltetéses tag nélküli másodrű rszer zérus csillapítás és negatív esetén egy instabil gyökkel bír. Ezt figyelembe véve és a D-görbéket megrajzolva megkapjuk a jellegzetes spirál alakú határgörbét és banán alakú stabil területet a stabilitási térképen (ld ábra).

23 1. fejezet: Lineáris differenciálegyenletek 14 stabil terület 1.7. ábra: Az időkéséses PD szabályozóval ellátott rszer stabilitási térképe és esetén. A jobb oldali ábrán kinagyítva látható a szürkével jelzett stabil terület. Ha, akkor tehát önmagában instabil rszerrel van dolgunk. Ha az paraméter abszolút értékét egyre növeljük, egyre nehezebb stabilizálni a rszert, a stabil terület egyre jobban szűkül. Ez a stabilitási térképen úgy látszik, hogy a spirál alakú határgörbe egyre meredekebb érintővel indul. Végül az értéknél a kezdeti érintő függőlegessé válik, így a stabil terület eltűnik, a rszer mindenképp instabil viselkedést fog mutatni [3]. A jelenséget úgy is felfoghatjuk, hogy ha egy rögzített paraméterrel relkező instabil rszert akarunk PD-szabályozóval stabilizálni, akkor a szabályozásnál fellépő időkésés nem mehet a érték fölé.

24 2. fejezet: Az inverz inga stabilizálási problémái A stabilitásvizsgálat menetét célszerű egy konkrét mechanikai rszer példáján keresztül is megvizsgálni. Tipikus példa lehet egy inverz inga szabályozása. Az inverz inga önmagában instabil rszer: a függőleges pozíció instabil egyensúlyi helyzet, ha az inga abból kis zavarás hatására kitér, később nem fog magától visszatérni. A függőleges pozíció zavarások, külső behatások melletti megtartásához szabályozás szükséges. Ma a szabályozástechnikában egyre nagyobb szerepet kap az instabil rszerek szabályozása, stabilizálása. Ennek oka, hogy a mozgások igen gyors elindítása, a gyors állapot változtatások instabil helyzetből kiindulva hatékonyabban megvalósíthatók. Ezért az instabil rszerek stabilizálása egy aktuális, fontos probléma. Az inverz inga példáján ennek a problémának a bemutatása is megtehető. Az inverz inga stabilizálás tehát megfelelő példa a különböző szabályozási eljárások (PD szabályozás, véges spektrum hozzárelés) és az instabil rszerek stabilizálási módszereinek bemutatására. 2.1 Az inverz inga mozgásegyenlete Az inverz inga mechanikai modellje a 2.1. ábrán látható ábra: Az inverz inga mechanikai modellje. Az inga alsó pontja vízszintes irányban egy csúszkán mozgatható a szabályozó erő segítségével. Ha -t minden pillanatban megfelelően állítjuk be, az inga függőleges helyzetben tartható. Az inga hossza, tömege, a nehézségi gyorsulás értéke. Az inga mozgásegyenletét a Lagrange-módszer segítségével vezethetjük le. A mozgás két

25 2. fejezet: Az inverz inga stabilizálási problémái 16 szabadságfokú, általános koordinátáknak válasszuk az inga alsó pontjának vízszintes irányú pozícióját és az inga függőlegessel bezárt szögét. Az általános koordinátákkal felírt másodfajú Lagrange-egyenletek: (2.1) (2.2) ahol a kinetikus energia, a potenciális energia, a Rayleigh-féle disszipációs függvény, és általános erők. Az előbbi mennyiségek kifejezése a súlyponti sebességgel és a súlypontra számított tehetetlenségi nyomatékkal felírva: (2.3) (2.4) (2.5) (2.6) A deriválásokat elvégezve, a deriváltakat a Lagrange-egyenletekbe visszaírva, és a kapott két egyenletet mátrixos formába rezve: (2.7) Az egyenletrszerben ciklikus koordináta, vagyis kiejthető az egyenletekből. Ehhez vonjuk ki a második egyenlet -szeresét az első egyenletből. Az kiejtésével kapott egyenlet: (2.8) Célunk az inga instabil egyensúlyi helyzetbe hozása és ott megtartása, egyensúlyozása. Így ha csak az egyensúlyi helyzet körüli kis szögelfordulásokat vizsgáljuk, azaz, akkor a helyzet körül linearizált egyenlet jól leírja a rszert. A

26 17 2. fejezet: Az inverz inga stabilizálási problémái linearizálás során a, közelítésekkel élünk, és a -es tagot elhanyagoljuk. Így a linearizált egyenlet: (2.9) ahol a linearizálás után kapott szabályozóerő kifejezés. Az egyenletet rezve: (2.10) A súrlódás hatását ebben a modellben elhanyagoltuk. Ennek az oka az, hogy a továbbiakban a legfőbb célunk a stabilitásvizsgálat lesz. Mivel a súrlódás disszipatív hatás, azaz energiát von el a rszerből, nem fog instabilitáshoz vezetni. Továbbá a viszkózus súrlódás az egyenlet rjén nem változtatna, a problémát nem nehezítené, csak a figyelembe vett paraméterek száma nőne. Száraz súrlódás esetén pedig a súrlódási erő függvénynek szakadása van a helyzetben, így itt a linearizáltja nem létezik. 2.2 Az inverz inga állapottér modellje Hozzuk az inverz inga mozgásegyenletét a következő alakra: (2.11) ahol rszerparaméter, a beavatkozás. Az inga szöghelyzetének szabályozásánál fellépő időkésést jelöli. Válasszuk állapotváltozóknak az inga szögelfordulását és szögsebességét. A rszer kimenetének a szögelfordulást tekintjük. Ezekkel az állapottér egyenleteket felírva: (2.12) (2.13) Vagyis az állapotváltozók vektora, a rszermátrix, a bemeneti vektor, a kimeneti vektor. 2.3 Az inverz inga egyensúlyozása PD szabályozóval Ha a beavatkozást PD szabályozó segítségével végezzük, a szabályozó erő és a linearizált szabályozó erő kifejezése a következő: (2.14)

27 2. fejezet: Az inverz inga stabilizálási problémái 18 Definiáljuk az beavatkozó jelet: (2.15) ahol,. Vezessük be az paramétert. Ezzel a linearizált mozgásegyenlet: (2.16) mely egyenletnél az paraméterhez tartozó stabilitási tartomány a korábban megismert banán alakú terület. A rszer kritikus időkésése: (2.17) Ha a szabályozási időkésés ezt az értéket meghaladja, az inga kiegyensúlyozása analóg PD szabályozó segítségével nem lehetséges. Továbbá minél rövidebb az inga, a kritikus időkésés értéke annál kisebb. Így rövid ingát nehezebb kiegyensúlyozni, a stabilizálás csak az időkésés csökkentése mellett lehetséges. Vagyis ha az időkésést egy értékig tudjuk csak lecsökkenteni, a rszer csak egy kritikus paraméter értékig stabilizálható, mely a következő: (2.18) A később ismertetett megoszló időkésést tartalmazó szabályozónál a PD szabályozó referenciaként szolgál, ugyanis a PD szabályozó a megoszló időkésést tartalmazó szabályozó egy speciális - az időkésést zérusnak feltételező, azt figyelembe nem vevő - esete lesz. 2.4 A mozgásegyenlet dimenziótlanítása A mozgásegyenlet dimenziótlanításának segítségével csökkenthető a rszer vizsgálatánál figyelembe vett paraméterek száma. Jelen esetben látható, hogy az inga stabilizálhatósága az és paraméterektől egyszerre függ, ezért célszerű bevezetni helyettük egyetlen paramétert. Ezt a mozgásegyenlet idő szerinti dimenziótlanításával érhetjük el. Vezessük be a dimenziótlan időt. Alkalmazzuk az alábbi jelöléseket az idő szerinti és a dimenziótlan idő szerinti deriváltakra: (2.19) A deriváltak közt az alábbi kapcsolat áll fenn:

28 19 2. fejezet: Az inverz inga stabilizálási problémái (2.20) A dimenziótlan idő segítségével a PD szabályozóval ellátott inverz inga (2.16) mozgásegyenletét átírva: (2.21) melyből a dimenziótlan mozgásegyenlet: (2.22) ahol a dimenziótlan rszerparaméter, és a dimenziótlan szabályozó paraméterek. Tehát a rszer paraméteréhez választjuk meg a szabályozó és értékeit. A vizsgálandó paraméterek száma négyről háromra csökkent. Az is látható, hogy az eredeti mozgásegyenletbe -et helyettesítve megkapjuk a dimenziótlan egyenletet, azaz ekkor a dimenzióval relkező és dimenziótlan paraméterek számértéke megegyezik. Legegyszerűbb tehát a rszerre vonatkozó vizsgálatokat (pl. a paraméter érzékenység vizsgálatot) egységnyi mellett elvégezni, és az így kapott dimenziótlan paraméterekből kiszámolni a dimenzióval bíró jellemzőket nem egységnyi -ra. Így például ha a kritikus rszerparaméter értékre vagyunk kíváncsiak, meghatározzuk dimenziótlan kritikus rszerparaméter értékét, és ezt elosztjuk -tel. PD szabályozó esetén. A későbbi fejezetekben, ábrákon, diagramokon, ha egységnyi és nincsenek feltüntetve mértékegységek, akkor a látható értékek mindenhol a dimenziótlan paraméter értékeket jelentik.

29 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével A véges spektrum hozzárelés alkalmazása egy prediktív szabályozási eljárást jelent. Az eljárás lényege, hogy a rszerre bocsátott beavatkozást a rszer bizonyos módszer szerint megjósolt későbbi állapota alapján határozzuk meg. Erre azért van szükség, mert a szabályozókörben levő visszacsatolás mindenképp valamekkora időkéséssel relkezik, így a kiszámított beavatkozás hatása késleltetve jelentkezik. Ezért célszerű a beavatkozást úgy meghatározni, hogy a késleltetési idő elteltével kialakuló rszerállapothoz illeszkedjen, így kompenzáljuk a visszacsatolás időkésését. Vagyis szükséges megjósolni (prediktálni), hogy a rszer állapota milyen lesz az időkésésnyi idővel később. A predikcióhoz a szabályozandó rszert modellezzük, differenciálegyenlet segítésével jellemezzük, mely egyenlet tartalmazza az általunk számított vagy mért modell paramétereket. Az adott pillanatban érvényes rszerállapotokat, az aktuális és korábbi beavatkozásokat ismerve a modell egyenlet megoldásával meghatározhatjuk az időkésés utáni rszerállapotot. Vagyis a véges spektrum hozzárelés során egy modell differenciálegyenletének megoldásával kapott megjósolt rszerállapotot használunk fel a szabályozásnál. Ezt a rszerállapotot visszacsatolva elérhető, hogy az időkésés miatt végtelen spektrummal, végtelen sok karakterisztikus exponenssel relkező eredeti rszerből egy véges spektrummal bíró szabályozási kört hozzunk létre. Véges sok karakterisztikus exponens pedig már hatékonyan kezelhető, a rszer dinamikája, kimenete a szabályozás segítségével beállítható, továbbá instabil rszerek stabilizálása is lehetséges. A későbbiekben ezt a szabályozási eljárást egy állandó értékű diszkrét időkéséssel bíró rszer szabályozására alkalmazzuk. 3.1 Szabályozás pólusáthelyezés segítségével A pólusáthelyezés az időkésés nélküli esetben kialakuló véges sok karakterisztikus exponens hatékony kezelésére alkalmas módszert jelent, így e módszer a véges spektrum hozzáreléses eljárások alapját jelenti. Tekintsük egy időkésés nélküli lineáris rszer állapottér modelljének főegyenletét: (3.1) ahol az állapotváltozók, a bemenetek vektora, -es rszermátrix, -es bemeneti mátrix. Ezen egyenlet általános megoldása az kezdeti feltétellel:

30 21 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével (3.2) A beavatkozás nélküli, esetet már az autonóm közönséges differenciálegyenleteknél megvizsgáltuk (ld pont). Itt azt kaptuk, hogy a pólusok a egyenlet megoldásai. A karakterisztikus egyenlet megoldásainak száma véges sok, így megfelelő beavatkozás segítségével ezen gyökök a komplex számsíkon tetszőleges helyre átmozgathatók, vagyis a rszer a számunkra kedvező viselkedéssel fog működni. Erre szolgál az állapot visszacsatolás vagy pólusáthelyezés módszere, melynek lényege, hogy a beavatkozást az állapotváltozók visszacsatolásával határozzuk meg: (3.3) ahol az -es visszacsatoló mátrix. A gyakorlatban negatív visszacsatolást alkalmazunk, elemei negatívok. Pólusáthelyezést alkalmazva a rszer egyenlete a következő lesz: (3.4) Így a pólusokat most már a egyenlet fogja meghatározni. Az egyenlet megoldásai segítségével tetszőlegesre beállíthatók. Előre definiált pólusok esetén meghatározása például az Ackermann-képlettel történhet. A pólusáthelyezés alkalmazására példa lehet - a korábban már ismertetett - inverz inga stabilizálás analóg PD szabályozó segítségével. PD szabályozó esetén a beavatkozást a következő egyenlet adja: (3.5) ahol. Vagyis szabályozási időkésés esetén PD szabályozóval megvalósul a pólusáthelyezés. 3.2 Stabilizálás véges spektrum hozzárelés segítségével Ha a pólusáthelyezésnél ismertetett rszer szabályozókörében fellépő időkésést is figyelembe vesszük, a rszer (3.1) egyenlete az alábbi alakúra módosul: (3.6) ahol az időkésés mértéke. Látható, hogy ez a rszer bemeneti időkésleltetéssel bír. Időkésés esetén azonban a stabilizálási probléma végtelen dimenzióssá válik, a karakterisztikus exponensek száma végtelen sok lesz, ahogy ezt már az autonóm késleltetett egyenleteknél láthattuk (ld pont). A végtelen dimenziós fázistér a funkcionál-differenciálegyenletek mindhárom típusára igaz, ám a végtelen sok exponens elhelyezkedése eltér. Késleltetett egyenletek esetén mindig

31 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével 22 véges sok azon gyökök száma, melyek valós része egy meghatározott számnál nagyobb. Azaz a komplex számsíkon egy tetszőleges helyen meghúzott függőleges egyenestől jobbra mindig véges sok exponens található. Így az instabil gyökök száma is csak véges lehet, a funkcionáldifferenciálegyenletekkel leírt rszerek közül ezeknek a stabilizálása a legkönnyebben kivitelezhető. Neutrális egyenleteknél három eset fordulhat elő: vagy véges sok gyök van egy függőleges egyenestől jobbra, vagy egy függőleges egyenes mentén felsorakoznak a gyökök, vagy végtelen sok gyök esik az egyenestől jobbra eső félsíkba. Siettetett egyenleteknél pedig csak a végtelen sok jobb félsíkba eső gyök esete fordulhat elő. Ez utóbbi esetekben az instabilitási fok végtelen, így analóg szabályozással a stabilizálás reménytelen. A véges spektrum hozzárelés alapgondolata az, hogy valósítsuk meg a pólusáthelyezést időkésleltetett, végtelen dimenziós rszerekre. Azaz határozzuk meg úgy a beavatkozást az állapotváltozók visszacsatolásával, hogy a teljes zárt szabályozási kör pólusai az általunk kijelölt helyekre essenek a komplex számsíkon. Ezt úgy érhetjük el, hogy nem az állapotváltozók értékét csatoljuk vissza, hanem azok egy időkésésnyi idővel későbbi megjósolt (prediktált) értékét. Azaz az időkésleltetett rszerek stabilizálására a megoldást egy prediktív szabályozó eljárás jelenti. A prediktált érték meghatározása úgy történik, hogy a rszer (3.6) főegyenletét megoldjuk kezdeti feltétellel, majd a kapott megoldást formálisan egy időkésésnyivel időben eltoljuk. Tehát az eredeti differenciálegyenlet megoldásával kiszámoljuk, hogy milyen lenne a rszer állapota idővel később. Az időkéséssel bíró rszer főegyenletének megoldása kezdeti feltétellel: (3.7) Bevezetve a változót: (3.8) Így a prediktált érték: (3.9) Az beavatkozás meghatározásánál ezt az értéket csatoljuk vissza és szorozzuk meg - val, így a szabályozó egyenlete: (3.10)

32 23 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével Látható, hogy a időpillanatban érvényes beavatkozás meghatározásához szükséges a időintervallumban a beavatkozások ismerete. Vagyis egy beavatkozás függ a korábbi beavatkozástól, ami pedig a még korábbitól, és így tovább. Azaz egy beavatkozás hatása végigkíséri a rszer teljes működését. A (3.10) szabályozó egyenletből az is látszik, hogy a bemeneti időkésés kompenzálására megoszló időkésést tartalmazó szabályozót alkalmazunk. A pólusáthelyezés megvalósulásának igazolásához írjuk be a szabályozó (3.10) egyenletét a rszer (3.6) főegyenletébe: (3.11) Továbbá fejezzük ki az integrálban található írjuk be az előbbi egyenletbe: függvényt a főegyenletből, és (3.12) A visszacsatolt rszert leíró differenciálegyenlet ezen alakjából látható, hogy az állapotváltozás korábbi állapotváltozásoktól is függ, azaz neutrális egyenlettel van dolgunk. Azonban az egyenletben szereplő integrál kifejezés kiszámítható: (3.13) Vagyis visszakaptuk a pólusáthelyezésnél felírt főegyenletet, a neutrális egyenlet közönséges differenciálegyenletté egyszerűsödik. Ismét a egyenletet kapjuk a rszer karakterisztikus egyenleteként, a visszacsatolt rszernek darab pólusa lesz, a többi pólus automatikusan eltűnik. Tehát predikció és állapot-visszacsatolás révén az időkésés kompenzálható, a szabályozott rszernek véges sok pólusa lesz, ami tetszőlegesen megválasztható. Így a pólusok tetszőlegesen nagy negatív valós részűre beállíthatók, ezáltal tetszőleges mértékű stabilitás, tetszőlegesen gyors beállás érhető el. (Ez persze csak abban az esetben igaz, ha a mátrix tagjainak, azaz a szabályozó paramétereknek nincs korlátozva az értéke). Ráadásul ez tetszőleges mértékű időkésés esetén elérhető, az időkésés értéke közömbös. Így a visszacsatolás időkésése okozta stabilitási problémákra a véges spektrum hozzáreléses szabályozás megoldást jelent. 3.3 A véges spektrum hozzárelés megvalósítási problémái A szabályozó eljárás fő megvalósítási nehézsége abban rejlik, hogy a valóságban a rszer és paramétereit és a időkésést nem ismerjük pontosan. Így a szabályozó (3.10)

33 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével 24 egyenletében található integrál kifejezést nem tudjuk leegyszerűsíteni. Emiatt a szabályozó egyenlete második típusú Volterra integrál egyenlet lesz, a rszer egyenlete pedig marad neutrális. Jelöljük a prediktor által feltételezett mennyiségeket a következőképp:,,. Így a rszert leíró két egyenlet: (3.14) (3.15) Ha a valós és feltételezett rszerparaméterek közt - akár csupán infinitezimális mértékű - eltérés jelenik meg, akkor a zárt szabályozási kör spektruma megszűnik véges lenni, végtelen sok lesz a karakterisztikus exponensek száma. Ám ha az eltérések infinitezimálisak, akkor a véges sok beállított pólus mellett megjelenő végtelen sok többlet pólus a rszer stabilitását nem befolyásolja (valós részük -hez tart) [4]. Nagy eltérések esetén azonban a stabilitás veszélybe kerülhet. Emellett a paraméter eltérések esetében már nem lesz igaz, hogy tetszőlegesen nagy értékű időkésés esetén is lehet stabil szabályozást elérni, és az sem, hogy korlátlan szabályozó paraméterekkel tetszőlegesen gyors szabályozás érhető el. Vezessük be a következő jelölést: (3.16) A szabályozó eljárás másik fő problémája a integrál kifejezés megvalósítása. Mivel a kifejezés nem pontosan ismert rszerparaméterek és időkésés esetén analitikusan nem számítható ki, a megvalósítására két út áll relkezésre. Az első megoldás deriválásával differenciálegyenlet létrehozása: (3.17) mivel. Ez a megvalósítás azonban instabil rszerek stabilizálására nem alkalmas. Ennek oka, hogy instabil zérus-pólus kiejtéssel jár, azaz úgy stabilizálnánk a rszert, hogy kiejtenénk az instabil pólusait. Ez azonban csak akkor működik, ha a pólusokat pontosan ismerjük, ami a valóságban nem áll fenn (ezért is nevezzük a módszert instabil zérus-pólus kiejtésnek, csak ideális esetben lehetne végrehajtani) [5].

34 25 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével A gyakorlatban ezért ehelyett egy másik megvalósítási módszer terjedt el. Az eljárás a integrál kifejezés numerikus közelítésén alapul. Az integrál numerikus közelítésével megvalósított szabályozó esetén a rszert neutrális differenciál-differencia egyenlet írja le. A közelítésre egy lehetséges megoldás: (3.18) ahol jelöli azt, hogy a intervallumot hány részre osztottuk (azaz a közelítés finomságát), és. Látható, hogy a megoszló időkéséses tagot diszkrét időkéséses tagok összegével közelítettük. A megvalósításra többféle numerikus séma létezik, melyek abban térnek el, hogy a fenti összeg egyes tagjait különböző súllyal veszik figyelembe. Jelen esetben minden taghoz tartozó súly egységnyi. Továbbá léteznek olyan formulák is, ahol az időlépés nem konstans, azaz a függ -től. A rszer stabilitását befolyásolhatja, hogy milyen numerikus sémát alkalmazunk, illetve az egyes sémák érzékenyek lehetnek infinitezimális változásaira [6]. A numerikus megvalósítás esetén is jelentkeznek hátrányos, alkalmazást korlátozó tulajdonságok. Ennél a megvalósítási formánál ugyanis nem csupán a zárt szabályozási kör stabilitása szükséges, hanem megjelenik egy másik feltétel is, ami a stabil szabályozott rszer eléréséhez kell. A rszert leíró neutrális egyenlet sajátossága, hogy az egyenlet differencia része önmagában is stabil kell legyen. Ha ez nem teljesül, már tetszőlegesen kis zavarásokra is instabil lesz a teljes neutrális egyenlet az előbbi numerikus közelítés alkalmazásával. A differencia rész (angolul difference part) a (3.12) neutrális egyenlet állapotváltozást (vagyis az kifejezést) tartalmazó tagjait jelenti [5], [6], [7]. Azaz a következő egyenlet stabilitása is szükséges: (3.19) Ez a feltétel egy bemenetű rszer esetén - azaz amikor és vektorrá, skalár függvénnyé egyszerűsödik - a következő formában is felírható: (3.20) Csak a fenti feltételek teljesülése és kellően pontos numerikus közelítés esetén érhető el stabil működésű szabályozási kör [6]. Ezek okának feltárásához tegyük fel, hogy a differencia rész pólusai között van legalább egy, ami a komplex számsík jobb felén található, azaz instabil. Ha a szabályozó eljárásban

35 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével 26 szereplő integrál kifejezést numerikusan közelítjük, a differencia rész is numerikus közelítéssel valósul meg. A numerikusan közelített differencia résznek pedig végtelen sok pólusa lesz. Ezek a pólusok úgy helyezkednek el, hogy véges sok függőleges egyenes mentén felsorakoznak. Azaz a differencia rész minden gyöke esetén a numerikusan közelített differencia rész gyökei között meg fog jelenni egy gyöksorozat is. Tehát a végtelen sok pólusnak véges sok különböző valós része lesz, de a képzetes részük tetszőlegesen nagy értékű lehet. A gyökök képzetes részének abszolút értéke esetén a numerikus közelítés finomításával ( ) tart a végtelenbe, esetén változatlan marad. A valós részük pedig egyre jobban közelíti az ideális (numerikus közelítés nélküli) differencia rész pólusainak valós részét. Vagyis a numerikusan közelített differencia rész pólusai úgy helyezkednek el (megfelelően pontos közelítés esetén), mintha az ideális differencia rész pólusait az imaginárius tengely mentén eltolva végtelenszer lemásolnánk eltolásokkal. Ezért ha az ideális esetben volt egy instabil gyök, a kellően finom numerikus közelítésnél már végtelen sok instabil gyök lesz. Emellett a neutrális funkcionál-differenciálegyenletek sajátossága, hogy ilyenkor a teljes neutrális egyenletnél is megjelennek pólusok, melyek valós része közelíti a numerikusan közelített differencia rész pólusainak valós részét. Így hiába állítjuk be a véges spektrum hozzárelés mátrixával a visszacsatolt rszer pólusait, a numerikus közelítés miatt megjelenik végtelen sok további pólus, amelyek között instabilak is találhatók, ha a differencia rész önmagában instabil [7]. Tehát a zárt szabályozási kör instabil lesz, és ez tetszőlegesen nagy pontosságú numerikus közelítés esetén is így marad. Továbbá a megjelenő többlet pólusok miatt nem lehet tetszőlegesen nagy időkésések esetén is stabilizálni, a szabályozás csak egy kritikus időkésés eléréséig működik stabilan. Valamint nem érhető el bármekkora mértékű stabilitás, akármilyen gyors beállás sem, mint az időkésés nélküli pólusáthelyezésnél. Pólusáthelyezés esetén azt láttuk, hogy a beállított pólusok elméletileg tetszőlegesen távol lehetnek az imaginárius tengelytől, csak értékét kell jól megválasztani. Ez nem zérus időkésés esetén, a numerikus közelítéssel megvalósított véges spektrum hozzárelésnél már nem érhető el. Emiatt tehát a differencia résznek önmagában is stabilnak kell lennie, ami egy megszorítást jelent a szabályozó alkalmazhatóságára vonatkozóan. A megszorítás megszüntetésére két lehetőség van: aluláteresztő szűrő vagy szakaszonként konstans beavatkozás alkalmazása. Ha aluláteresztő szűrőt használunk, a neutrális egyenlet numerikus közelítés miatt megjelenő gyökeinek valós része csökkenthető, a gyökök stabillá tehetők [6], [8]. Ugyanis végtelen sok instabil gyök jelenik meg azonos valós résszel, a gyökök képzetes része pedig

36 27 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével tetszőlegesen nagy lehet. Ám a nagyobb képzetes rész, nagyobb stabilitásvesztéssel kialakuló rezgési frekvenciát eredményez, a fent leírt instabilitás kialakulása alapvetően nagy frekvenciás mechanizmus. A nagyfrekvenciás komponensek elnyomása pedig aluláteresztő szűrővel hatékonyan megtehető. Szakaszonként konstans beavatkozás esetén pedig a beavatkozás értékét csak időközönként változtatjuk, a köztes időtartamban állandó értéken tartjuk. Így időközönként a rszer viselkedése egy diszkrét rszeréhez lesz hasonló. Az így megvalósított beavatkozás esetén ki sem alakulnak a problémát okozó tetszőlegesen nagy képzetes részű gyökök és tetszőlegesen nagy frekvenciájú rezgések, a rszerben kialakulni képes legnagyobb frekvencia [6]. Digitális szabályozó alkalmazása esetén pedig éppen ez az eset áll fenn, vagyis a beavatkozás szakaszonként konstans. Így a differencia rész instabilitása miatt megjelenő problémáknak csak elméleti jelentősége van, a gyakorlatban nem fordulnak elő. 3.4 A véges spektrum hozzárelés speciális esetei A véges spektrum hozzárelés során egyes ideális esetekben visszakaphatjuk a PD szabályozásnál és a pólusáthelyezésnél látott szabályozási tulajdonságokat, stabilitási térképeket. Az egyik speciális eset az, ha a rszer paramétereit (az és mátrixokat) pontosan ismerjük. Ekkor megvalósul a pólusáthelyezés (ld. 3.2 alfejezetet). Ekkor tehát az időkésés miatt kialakuló végtelen sok karakterisztikus exponensből darabot ( a rszer rje) áthelyezünk a komplex sík általunk választott pontjaiba, a többi gyök automatikusan eltűnik. Az inverz inga példáján már korábban beláttuk, hogy időkésés nélküli rszer PD szabályozóval történő irányítása pólusáthelyezést jelenthet. Tehát ha minden paramétert pontosan ismerünk, ezt az esetet kapjuk vissza véges spektrum hozzárelés alkalmazásával. Ekkor és, így a síkon megrajzolt stabilitási térképen stabil területként a PD szabályozónál látott negyed sík (ld ábra) origóra tükrözött képét kapjuk. A, és, paraméterek közti összefüggés és a, paraméterek dimenziótlanítása alapján a véges spektrum hozzáreléses szabályozás dimenziótlan szabályozó paraméterei: (3.21) A véges spektrum hozzárelés másik speciális esete az, ha a teljes szabályozási kör időkésését nullának feltételezzük ( ). Ebben az esetben a (3.10) szabályozó egyenletben levő integrál kifejezés integrálási határai megegyeznek, ezért ez a tag kiesik. Így a szabályozó egyenlete az alábbi kifejezéssé egyszerűsödik egy bemenet esetén:

37 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével 28 (3.22) Ebben az esetben tehát szintén a PD szabályozó esetét kapjuk vissza. Ugyanúgy a és összefüggések érvényesek. Ekkor azonban a szabályozási körnek van időkésése, így a stabilitási térképen, a síkon a stabil tartomány a PD szabályozónál látott banán alakú terület (ld ábra) origóra tükrözött képe lesz. Ez a két speciális eset általában nem fordul elő - valamekkora időkésés mindig van. Ám a számítások, szimulációk elvégzésénél ez a két eset referenciát, ellenőrzési lehetőséget biztosít. 3.5 A véges spektrum hozzáreléses szabályozás hatásvázlata A véges spektrum hozzáreléses szabályozási eljárást frekvencia tartományban is vizsgálhatjuk. Frekvencia tartományban a szabályozási kör hatásvázlata könnyen elkészíthető, mely által a rszer szimulációja megvalósítható. A frekvencia tartományba való áttérést a rszer és a szabályozó egyenletének Laplace-transzformációja segítségével tehetjük meg. Az Laplace-operátor segítségével a (3.14) rszeregyenlet Laplace-transzformáltját felírva és átalakítva: (3.23) (3.24) ahol az állapotváltozók kezdeti értékeit tartalmazó vektor, pedig -es (vagyis méretével egyező méretű) egységmátrix. Ugyanezt a (3.15) szabályozó egyenletre elvégezve: (3.25) (3.26) Kihasználhatjuk, hogy (3.27) Ez utóbbi egyenlet teljesülése belátható, ha mindkét oldalát -val balról megszorozzuk és a jobb oldalon az és összefüggéseket kihasználjuk. A (3.27) egyenlet alapján a beavatkozójel kifejezése az alábbi alakra hozható: (3.28) A (3.24) és (3.28) egyenletek segítségével a zárt szabályozási kör hatásvázlata felrajzolható, ezt láthatjuk a 3.1. ábrán. A hatásvázlat az megkívánt állapotot hivatott megvalósítani.

38 29 3. fejezet: Szabályozás véges spektrum hozzárelés segítségével 3.1. ábra: A véges spektrum hozzáreléses szabályozás hatásvázlata. A 3.1. ábrán megfigyelhető, hogy kiszámításra kerülnek a rszer és a becsült paraméterekkel felírt rszermodell állapotváltozói. Továbbá az nélküli ág mutatja a predikció megvalósulását, és látható a mátrixszal történő visszacsatolás is. E hatásvázlat a Smith-prediktort alkalmazó szabályozások hatásvázlatától csupán az tagban tér el. Smith-prediktor esetén az ágában nincs szorzótényező, illetve helyett szerepel [9]. Ennek oka, hogy a véges spektrum hozzárelés a idővel korábbi állapotot tekinti kezdeti értéknek a predikció során, míg a Smith-prediktor minden időpillanatban az kezdeti érték alapján végzi a predikciót. Ha előállításához a (3.15), (3.16) és (3.17) egyenleteket egyaránt felhasználjuk a Laplace-transzformációval az alábbi két egyenletet kapjuk: (3.29) (3.30) Az utóbbi egyenletben kihasználtuk, hogy, ami akkor teljesül, ha a időpontig nincs beavatkozás. A (3.30) egyenletből a változót kifejezve és a (3.29) egyenletbe beírva visszakapjuk a (3.28) egyenletet. Tehát összességében elmondhatjuk, hogy a fenti hatásvázlat valójában a integrálkifejezés differenciálegyenletté alakításával valósítja meg a véges spektrum hozzárelést. A 3.3 alfejezetben pedig már láthattuk, hogy ez instabil zérus pólus kiejtéssel jár, vagyis instabil rszerek stabilizálására nem alkalmas. Ezért célszerűbb az integrál numerikus közelítésén alapuló megvalósítási formáknál maradni.

39 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján Ebben a fejezetben a véges spektrum hozzáreléses szabályozás alkalmazását láthatjuk egy konkrét mechanikai példán, mely egy inverz inga stabilizálásának problémája. Bemutatásra kerül, hogy a 3. fejezetben leírt szabályozási eljárás hogyan illeszthető a 2. fejezetben ismertetett rszerhez. A fejezet egyúttal azt is igazolja, hogy a véges spektrum hozzáreléses szabályozás alkalmas instabil rszerek stabilizálására. Így a központi kérdés a stabilitásvizsgálat lesz, de más fontos szabályozási szempontok figyelembe vételére is láthatunk majd megoldást. Például megismerhetjük, hogyan lehet a szabályozási paraméterek behangolásával a leggyorsabb stabilizálást elérni. 4.1 Stabilitási térképek Véges spektrum hozzáreléses szabályozás esetén a stabilitási térkép megszerkesztésénél a (3.14) és a (3.15) egyenletekből indulunk ki. Az egyenletekbe az inga állapottér modelljénél (ld. 2.2 alfejezet) ismertetett, paramétereket és állapotvektort írjuk be. Emellett tudjuk, hogy, és legyen. Továbbá, ahol az kifejezés, az kifejezés feltételezett értéke. Az mátrix exponenciális értéke az paramétert bevezetve szimbolikus algebrai program segítségével kiszámítva a következő: (4.1) ahol sh és ch a sinh és a cosh függvényeket jelöli. Mindezt a (3.15) szabályozó egyenletébe beírva: (4.2) Ez az egyenlet a (2.12) állapottér főegyenlettel egészül ki. Keressük az egyenletek megoldását exponenciális alakban:

40 31 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján (4.3) Ezeket a (2.12) főegyenletbe és a (4.2) szabályozó egyenletbe helyettesítve, a deriválásokat elvégezve és a szabályozó egyenletet egyszerűsítve: (4.4) (4.5) (4.6) Az integrálást elvégezve, az egyenleteket átrezve és egyenletrszert kapjuk: -vel leosztva az alábbi alakú (4.7) (4.8) (4.9) Az előbbi egyenlet és értékétől függetlenül teljesül, ha. Helyettesítsük a karakterisztikus egyenletbe a kifejezést. A kapott egyenletet egyszerűsítve, majd valós és képzetes részre bontva: (4.10)

41 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 32 (4.11) A két egyenlet -re és -re lineáris egyenletrszert jelent. Az egyenletrszert és esetekre megoldva megkapjuk a zárt szabályozási kör D-görbéit, melyek a síkon ábrázolhatók. Továbbá tudjuk, hogy a zárt szabályozási kör és esetén - amikor nincs szabályozás - egy instabil gyökkel relkezik, mely alapján a stabil terület holléte kikövetkeztethető. Az alfejezetben található összes ábra esetén a megjelölt stabil terület zérus instabilitási fokát a Stépán-formulák [2] segítségével is ellenőriztem. A Stépán-formulák megadják a paramétersík egy adott pontjában a rszer instabilitási fokát. Ez egyben az egész D- görbék által határolt, a pontot magába foglaló tartomány instabilitási fokát fogja jelenteni. Egy -edrű rszerre paritásától függően írhatjuk fel a formulákat. Az inverz inga esetén, vagyis a páros esettel kell számolni. A formulák felírásához szükség van az és függvényekre, melyet a (4.10), (4.11) egyenletek bal oldala fog megadni. Ha páros, azaz, ahol Ha páratlan, azaz pozitív valós gyökei. ahol nemnegatív valós gyökei Minden szabályozási paraméter pontosan ismert Ha,, azaz ha minden szabályozást befolyásoló paraméter ismert, a D-görbéket megadó (4.10), (4.11) egyenletek az alábbi formára egyszerűsödnek: (4.12) (4.13)

42 33 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján Az -hoz tartozó D-görbe: (4.14) Az -hoz tartozó D-görbe: (4.15) A kiszámított görbék valóban visszaadják az időkésés nélküli PD szabályozónál kapott stabilitási térképen (ld. 1.6.ábra) megismert határok origóra tükrözött képét (ld ábra). stabil terület 4.1. ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe,,, esetén Egyedül a visszacsatolás időkésése ismert pontosan Ha,, a D-görbék (4.10), (4.11) egyenletei a következő alakra egyszerűsödnek: (4.16) (4.17) Az eset az alábbi egyenes egyenletét adja: (4.18)

43 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 34 Az esetben a határgörbét a (4.16), (4.17) egyenletből álló lineáris egyenletrszer megoldásával határozhatjuk meg, a -re és -re kapott kifejezések egy -val paraméterezett görbét jelentenek. Ezt a számítást és a görbék ábrázolását szimbolikus algebrai programmal végeztem. A görbéket egy adott paraméter-kombinációra ábrázolva a stabilitási térkép a 4.2. ábrán látható. stabil terület 4.2. ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe,,, esetén. A jobb oldali ábrán kinagyítva, a két tengely mentén azonos osztással látható a stabil terület Egyetlen paraméter sem ismert pontosan Ha,, a D-görbék (4.10), (4.11) egyenletein nem tudunk tovább egyszerűsíteni. Az eset az előző esetnél látotthoz hasonló egyenest eredményez paraméterrel: (4.19) Az esetben a határgörbét most is az egyenletrszer megoldásával kapjuk, melyet szimbolikus algebrai programmal elvégezhetünk. Egy lehetséges paraméter érték sorozatra a stabilitási térkép a 4.3. ábrán látható. A stabilitási térkép különböző és paraméter becslések mellett is megrajzolható. Így adott és paraméterek mellett különböző és értékek feltételezésével térképsorozat készíthető. E térképsorozatra mutat példát a 4.4. ábra.

44 35 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján stabil terület 4.3. ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe,,, esetén. A jobb oldali ábrán kinagyítva látható a stabil terület Az egyenlet differencia részének stabilitása Ha a (4.2) szabályozó egyenletbe az és kifejezéseket helyettesítjük, az egyenletet átrezzük, és -vel leosztjuk, a differencia részre vonatkozó karakterisztikus egyenletet kapjuk [7]: (4.20) ahol az kifejezést a (4.9) egyenlet adja meg. A (4.20) egyenlet tetszőleges -ra esetén teljesül. Ez esetén megadja a differencia részhez tartozó D-görbéket. A behelyettesítést elvégezve, a valós és képzetes részeket szétválasztva, és az egyenleteket egyszerűsítve az alábbi két egyenletet kapjuk: (4.21) (4.22)

45 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 36 stabil terület 4.4. ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás különböző paraméter becslésekre kapott stabilitási térkép sorozata, esetén. Az eset az alábbi egyenes egyenletét adja: (4.23) Az az alábbi -val paraméterezett görbét eredményezi: (4.24) (4.25)

46 37 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján A görbék alapján a stabilitási térkép megrajzolható. A, pontban a differencia rész stabil, mert ilyenkor, tehát ez a pont a stabil terület részét képezi. Az előző alfejezetben vizsgált paraméter értékek mellett a stabilitási térkép a 4.5. ábrán megtalálható. stabil terület 4.5. ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozási egyenlet differencia részének stabilitási térképe,,, esetén. A teljes egyenlet és a differencia rész térképét egymásra vetíthetjük. A teljes rszer stabil területe végül a két stabil tartomány metszete lesz (ld ábra). Az ábrán jelölt piros tartományon belül az ideálisan megvalósított rszer stabil, de a differencia rész instabil, így itt a zárt rszer instabil tetszőlegesen kicsi megvalósítási hiba esetén is. Numerikus közelítéssel megvalósított, szakaszonként állandó beavatkozást alkalmazó szabályozó esetén azonban a differencia rész stabilitásának nincs szerepe, határgörbéit nem kell figyelembe venni [6]. Így stabil területnek megmarad az eredeti stabil tartomány (ld ábra), nem kell a stabil területek metszetét képezni. 4.2 Numerikus szimuláció Minden szabályozókör beállításához, behangolásához segítséget nyújt a kör működésének számítógépes szimulációja. Így ellenőrizhető, hogy a szabályozás megfelelően működik-e, megfigyelhetjük a kimeneti jelalakot, melyről további fontos szabályozási paraméterek (szabályozási idő, túllülés) is megállapíthatók.

47 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 38 zárt szabályozási kör:, differencia rész:, stabil terület: 4.6. ábra: Véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe a differencia rész stabilitását is figyelembe véve,,, esetén. Továbbá célszerű a stabilitásvizsgálatot numerikusan, számítógép segítségével is elvégezni. Ez az időben folytonos folyamatok diszkretizálását vonja maga után. Így a stabilitásvizsgálat is egy adott, időben diszkrét esetre fog vonatkozni. Ám a gyakorlatban gyakran digitális szabályozót alkalmaznak a beavatkozó jel meghatározásához, így a diszkretizálás a szabályozónál is mindenképp végbemegy. Ezért a numerikusan elkészített stabilitási térkép jól fog illeszkedni a valós szabályozáshoz, nem szükséges mindenképp az analitikus stabilitási határokat kiszámítani A rszer és a szabályozó egyenletének diszkretizálása A véges spektrum hozzárelés módszerének gyakorlati megvalósításához egy lehetséges megoldás a digitális szabályozó alkalmazása. A digitális szabályozót jelentheti maga a számítógép is. A számítógép által felhasznált adatok (a rszerállapotok és beavatkozások korábbi értékei) csak bizonyos időpontokban állnak relkezésre, ezek az ún. szimulációs lépések. A szabályozáshoz szükséges beavatkozás meghatározása is csak ezekben az időpontokban történik. Legyen a szimulációs lépések közt eltelt idő. A beavatkozást tehát időközönként számítjuk ki, a köztes időpillanatban tartjuk az értékét. Tehát szakaszonként konstans beavatkozási függvény valósul meg. Így a korábban megismert (3.15) szabályozó egyenlet most már csak a diszkrét időpillanatokban érvényes, csak a szimulációs lépésekben adja meg a kapcsolatot a

48 39 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján kiszámításra kerülő beavatkozás érték és a relkezésre álló rszerállapot és korábbi beavatkozás adatok közt. Írjuk fel a szabályozó egyenletet az alábbi formában: (4.26) ahol. Legyenek a szimulációs lépések a időpontokban ( ). Alkalmazzuk az alábbi jelöléseket: Alkalmazzunk szakaszonként konstans beavatkozó jelet, valamint közelítsük a szabályozó egyenletben megtalálható integrál kifejezést numerikus kvadratúrával (ld. 3.3 alfejezet). Az így megvalósított beavatkozás a időintervallumon: (4.27) ahol és. A rszert leíró differenciálegyenlet (állapottér főegyenlet) továbbra is minden időpillanatban érvényes, nem csupán a szimulációs lépéseknél. Használjuk fel a differenciálegyenletet a következő szimulációs lépésben megvalósuló állapot meghatározására úgy, hogy az aktuális állapotot ismertnek tekintjük. Írjuk fel az állapottér főegyenletet szakaszonként konstans beavatkozás esetén a következő alakban: (4.28) ahol. Az egyenletet kezdeti feltétellel megoldva: (4.29) A korábbi rövid jelöléseket alkalmazva a következő szimulációs lépésben érvényes állapot kifejezése: (4.30) ahol és. Az,,, mátrixok egy adott szabályozási körre és szimulációs időlépésre előre meghatározhatók, nem függnek -től. Így a következő egyenletek segítségével minden szimulációs lépés alkalmával a beavatkozás és a következő szimulációs lépésnél érvényes állapot meghatározható az aktuális állapot és a korábbi beavatkozások alapján. Így a

49 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 40 rszerre érvényes kezdeti feltételek és a beavatkozás x intervallumon felvett kezdeti - például zérus - értékeit ismerve a szabályozási kör numerikus szimulációja elvégezhető. Az ehhez szükséges két egyenlet tehát: (4.31) (4.32) Állapot kiegészítés Tegyük fel, hogy a szabályozási kör időkésését pontosan ismerjük, vagyis, azaz. Vegyük fel az állapotvektorba az,,,, értékeket. Ezt nevezzük állapot kiegészítésnek (angolul state augmentation). Az állapot kiegészítés előnye, hogy adott szimulációs lépés bővített állapotvektora egyszerűen kiszámítható, csupán az előző szimulációs lépés bővített állapotvektorát meg kell szorozni egy mátrixszal. A numerikus szimulációt leíró (4.31), (4.32) egyenletek alapján ez a mátrix-szorzásos összefüggés felépíthető: (4.33) ahol az -es egységmátrix, az -es nullmátrix ( a bemenetek száma). Vagyis a szimulációt meghatározó egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (4.34) ahol a bővített állapotvektor. szimulációs lépésben felvett értéke, pedig a szimulációs paramétereket és rszerjellemzőket tartalmazó mátrix. Ez az egyenlet egy szemidiszkretizált rszert jelenít meg, hiszen az eredeti folytonos rszert mintavételessel közelítettük és az időkésést részre bontottuk. A mátrix időtől független jellemző, a szimuláció során előre meghatározható. A kezdeti értéket ismerve pedig a teljes numerikus szimuláció során lépésről lépésre kiszámítható aktuális értéke. Ha az időkésést nem ismerjük pontosan és felépítése kétféle lehet. és méretét mindig a x érték határozza meg.

50 41 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján Ha, (4.35) Ha, (4.36) Ha állapotváltozó és bemenet van, akkor mérete tehát ( x ) ( x ), mérete pedig ( x ) 1. Ebből jól látható, hogy ahogy egyre finomítjuk a numerikus közelítést, azaz ahogy és,, úgy válik a mátrix mérete végtelen naggyá, vagyis a probléma végtelen dimenziós természete megmutatkozik Stabilitási térképek numerikus elkészítése Az állapot kiegészítés alkalmazásának másik fő előnye, hogy a zárt szabályozási kör stabilitási térképe könnyen elkészíthető. A rszer stabilitását ugyanis sajátértékei fogják megszabni. Ezeket a sajátértékeket karakterisztikus multiplikátoroknak nevezzük. A karakterisztikus multiplikátorok stabilitást meghatározó szerepének belátásához tekintsük az egyenletet. Ez minden elemére egy-egy mértani sorozatot jelent. Ha -t a sajátvektorainak koordináta rszerébe transzformáljuk, akkor diagonális mátrixszá válik, főátlójában a sajátértékei állnak, minden más eleme zérus. Így az ebben a koordináta rszerben felírt egyenlet alakú skalár egyenletekre bomlik ( az vektor. eleme a sajátvektorok által meghatározott koordináta rszerben, pedig. sajátértéke, azaz a. karakterisztikus multiplikátor, x ). Ezen skalár egyenletekből pedig látszik, hogy mindegyik elemére egy-egy mértani sorozatot kapunk. A rszer csak akkor lehet stabil, ha e mértani sorozatok konvergensek. A konvergencia feltétele pedig, hogy a sorozatok kvóciensének abszolút értéke egynél nem lehet

51 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 42 nagyobb. Ha a stabilitási határt is kizárjuk, kritikus stabilitást nem engedünk meg, akkor a kvóciens abszolút értéke egynél kisebb kell legyen minden egyes mértani sorozatra. Tehát az aszimptotikus stabilitás feltétele: x (4.37) Mivel a numerikus szimulációt eleve számítógéppel végezzük, számítógéppel ezt a vizsgálatot is gyorsan elvégezhetjük, a rszer stabilitása ellenőrizhető. A karakterisztikus multiplikátorok értékei függnek a, szabályozó paraméterektől. Így a sajátértékeket különböző, értékpárokra kiszámíthatjuk, és eldönthetjük, a szabályozás stabil rszert eredményez-e. Ezáltal a síkon a stabilitási térkép pontról pontra megrajzolható. Tehát a stabilitási térképet bizonyos felbontással, diszkrét és értékek mellett elkészíthetjük. A 4.3. ábrán bemutatott térkép numerikusan készített változata a 4.7. ábrán látható. A térképen megtalálhatók a folytonos szabályozáshoz tartozó analitikus görbék is. Látható, hogy a differencia rész stabilitási tartománya nem befolyásolja a numerikusan megvalósított szabályozás stabilitását (ld pont). A numerikus módszerrel készített stabilitási térképeket, numerikus szimulációk eredményeit mutató ábrákat Matlab R2011b szoftverrel hoztam létre. C A B 4.7. ábra: Numerikusan megvalósított véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe.

52 43 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján A 4.4. ábrán látottakhoz hasonlóan a numerikus stabilitásvizsgálat többszöri futtatásával megvizsgálható, hogy milyen hatással van a stabilitásra a rszerparaméterek megbecslésének pontatlansága. Például a 4.8. ábrán megfigyelhető, hogyan változik a stabil terület, ha rögzített és paraméterek mellett a becsléseket -20%, 0% és +20% hibával végezzük. A középső térkép mutatja az ideális esetet ábra: Numerikusan megvalósított véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképének változása a különböző paraméter becslések mellett. A 4.6. ábrán látható stabilitási térkép numerikus közelítéssel készített változata is létrehozható. E térkép megmutatja, miként csökken a teljes zárt szabályozási körre vonatkozó stabil tartomány instabil differencia rész esetén. A differencia rész instabilitása két - általunk már megvizsgált - esetben nem befolyásolja a zárt kör stabilitását. E két eset a integrálkifejezés folytonos, átalakítás nélküli megvalósítása (elméleti, ideális eset) és a numerikus közelítéssel történő megvalósítás szakaszonként konstans beavatkozás alkalmazásával. Azonban folytonos rszer és időkésés esetén a integrálkifejezés

53 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 44 numerikus közelítésével a differencia rész stabilitása is szükséges a stabil zárt szabályozási kör megvalósításához. Ilyenkor a beavatkozás szakaszonként konstans, ám a rszer folytonos, nem diszkretizálunk. A stabilitási térkép numerikus módszerrel történő elkészítése esetén azonban szükséges valamekkora szimulációs időlépés alkalmazásával a folytonos rszert diszkrét rszerrel közelíteni. Ezért e térkép numerikus elkészítéséhez két különböző mértékű időlépést alkalmazunk: a folytonos rszer közelítésére egy igen kicsiny időlépést, a szakaszonként konstans beavatkozás megvalósításához a korábbi -nek megfelelő mértékű időlépést, Alkalmazzuk az alábbi jelöléseket: A rszerállapotok következő - időtartammal későbbi - időlépésben érvényes értékét az alábbi egyenlet szerint a (4.30) egyenlethez hasonlóan számíthatjuk: (4.38) ahol és. A beavatkozás értékeket - mely csak időtartamonként változik - a -nek megfelelő szimulációs lépésekben az alábbi egyenlet adja meg: (4.39) ahol és. A (4.38) és (4.39) egyenletek alapján ismét felépíthető egy kiegészítéssel létrehozott egyenlet. Ha, a fent említett egyenlet alakú, állapot (4.40)

54 45 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján Ha, (4.41) Ha állapotváltozó és bemenet van, akkor mérete ( x ) ( x ), mérete pedig ( x ) 1. A stabilitási térképek elkészítésének menete a szakaszonként konstans beavatkozás eseténél leírtakkal azonos - sajátértékeinek vizsgálata szükséges. A 4.6. ábrán bemutatott térkép numerikusan készített változata a 4.9. ábrán látható. A térképen megtalálhatók a zárt szabályozási kör és a differencia rész folytonos szabályozáshoz tartozó analitikus határgörbéi ábra: Numerikusan megvalósított véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképe a differencia rész stabilitásra gyakorolt hatását megmutatva.

55 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján A mozgásegyenlet numerikus megoldása Az egyenlet alapján a mozgásegyenlet megoldása az kezdeti érték ismeretében a numerikus szimuláció során lépésről lépésre meghatározható. Így a rszerállapotok és a szabályozási kör kimenete a szimulációs lépéseknek megfelelő időpontokban kiszámíthatók, az inga szöghelyzetének időbeli lefutása ábrázolható. Az vektor tartalmazza az inga kezdeti szöghelyzetét és szögsebességét, valamint a beavatkozás x időintervallumon érvényes értékeit. Utóbbira az feltételt írhatjuk fel, ha azt az esetet tekintjük, hogy a időpillanatban lép működésbe a szabályzókör - a későbbi példákon és ábrákon ez az eset jelenik meg. A ábrán egy lehetséges stabil szabályozás, a ábrán egy instabil gyökkel relkező szabályozás, a ábrán két instabil gyökkel relkező szabályozás kimeneti időfüggvénye látható. E példákban megjelenő rszer stabilitási térképe megtalálható a 4.7. ábrán, mely A, B és C pontjaihoz tartoznak a fent említett időfüggvények. Megfigyelhető, hogy ha a stabil területről az határgörbén keresztül lépünk ki, a rszer kimenete exponenciálisan száll el, míg az határgörbét átlépve ez oszcillálva történik (előbbi esetben egy, utóbbi esetben két instabil pólus keletkezik). Instabil esetben persze kilépünk a kis szögelfordulások tartományából, és az ingára felírt mozgásegyenlet nem lesz érvényes, de a kapott görbék jellegükben tükrözik az instabil rszerben lezajló folyamatokat. A ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel.

56 47 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján B ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel. C ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel. 4.3 Leggyorsabb beállás vizsgálata A rszer karakterisztikus egyenletét ismerve meg lehet vizsgálni azt is, hogy a kitérített inverz inga milyen szabályozó paraméterekkel stabilizálható leggyorsabban, legrövidebb idő

57 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 48 alatt. A leggyorsabb beállás akkor valósul meg, ha a karakterisztikus exponensek valós részeinek maximuma a lehető legkisebb értéket veszi fel. Azaz a kimenet lecsengésének gyorsasága a karakterisztikus exponensek valós részének nagyságától függ. A leggyorsabb lecsengéshez tartozó szabályozó paraméterek meghatározásához a karakterisztikus egyenletbe kifejezést kell helyettesíteni, és a határgörbéket a paraméterrel együtt meghatározni. Ekkor ezek a görbék már nem a stabilitási határt, hanem az adott értékhez tartozó határokat jelölik. Ezen határgörbék átlépése azt jelenti, hogy egy valós pólus vagy két komplex pólus valós része átlépi a értéket. Ezért meg kell vizsgálni, melyik az a legkisebb érték, melynél még marad olyan terület, ahol minden pólus valós része alatt van ( esetén ez volt a stabil terület). Ez a legkisebb érték fogja meghatározni a leggyorsabb beállás szabályozási idejét, és a hozzá tartozó szabályozó paraméterek segítségével érhető el a legkisebb beállási idő. A szabályozó paraméterek meghatározása azonban analitikusan meglehetősen bonyolult lenne, ezért célszerű numerikus vizsgálatot végezni. Az állapot kiegészítésnél kiszámított karakterisztikus multiplikátorok értéke ugyanis szintén felhasználható annak eldöntésére, hogy a sík mely pontjához tartozik a leggyorsabb beállás. Ebben az esetben azt a pontot kell keresnünk, ahol a karakterisztikus multiplikátorok abszolút értékének maximuma a legkisebb. Korábban már láthattuk, hogy az állapot kiegészítésnél megvalósított egyenlet skalár mértani sorozatokat takar, melyek kvóciensei a karakterisztikus multiplikátorok. A karakterisztikus multiplikátorok közül a legnagyobb abszolút értékű fogja a leglassabban konvergáló (instabil esetben a leggyorsabban divergáló) mértani sorozatot eredményezni. Így ha a rszer stabil, a leggyorsabb lecsengést ezen karakterisztikus multiplikátor legkisebb értéke mellett kapjuk. Tehát a leggyorsabb beállás meghatározásához azt a pontot keressük a síkon, ahol x minimális. A x értékeket már a stabilitás vizsgálatnál pontról pontra előállítottuk. Ezáltal lehetséges akár ezek szintvonalas ábrázolása is: minél mélyebb szinten van egy pont, annál gyorsabb lesz a beállás. Továbbá ezek a szintvonalak fogják közelíteni az adott értékhez tartozó határgörbéket. A stabilitási határt pedig az a szintvonal jelöli, amelyen a x egységnyi. A 4.7. ábrához tartozó szintvonalas térkép a ábrán látható.

58 49 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján ábra: A maximális abszolút értékű karakterisztikus multiplikátorok szintvonalas megjelenítése. A leggyorsabb beállás és szabályozó paraméter értékek mellett valósul meg, ekkor x. Az előző példánál a leggyorsabb beállást eredményező szabályozás kimeneti jelalakját a ábra mutatja ábra: A leggyorsabb beállást mutató numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás és szögsebesség kezdeti feltételekkel.

59 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 50 A leggyorsabb beállású pont maximális abszolút értékű karakterisztikus multiplikátora alapján ún. fajlagos csökkenési arány (angolul decay ratio) számítható az alábbi összefüggés szerint: x (4.42) A fajlagos csökkenési arány tehát azt mutatja meg, hogy közelítőleg hányad részére csökken a kimenet értéke idő alatt (azaz a dimenziótlan vizsgálatok esetén 1 [s] alatt). Ez az érték a jelen példánál. A kialakuló lengések több komponensből tevődnek össze, több mértani sorozat alapján alakulnak ki. Így a fajlagos csökkenési arány valóban csak egy közelítést fog jelenteni. Továbbá a lecsengés gyorsaságánál nemcsak a legnagyobb abszolút értékű karakterisztikus multiplikátor számít, hanem az összes többi is, ám mindenképp a legnagyobb(ak) értéke a domináns a szabályozás gyorsaságának szempontjából. Ha különböző szabályozó paramétereknél közel egyezőek a multiplikátor értékek, előfordulhat, hogy nem pontosan abban a pontban lesz a leggyorsabb a beállás, ahol a x minimális, hanem egy kicsit nagyobb, ám majdnem megegyező x értékű pontban. Ám ezek a pontok egymáshoz közel esnek, így a szintvonalas térképek mindenképpen jól használhatóak a leggyorsabb lecsengést biztosító szabályozó paraméterek megtalálásához, a szabályozó behangolásához. 4.4 Kritikus dimenziótlan rszerparaméter PD szabályozó esetén már láthattuk, hogy a szabályozás nem alkalmas tetszőlegesen nagy időkésés vagy tetszőlegesen rövid inga kiegyensúlyozására (ld. 2.3 alfejezet). Ez véges spektrum hozzárelést alkalmazó szabályozás esetén sincs másképp, ha az időkésést és a rszerparamétert nem teljesen pontosan ismerjük. Így egységnyi időkésést feltételezve meghatározható az az kritikus dimenziótlan rszerparaméter, melynél az inga még éppen stabilizálható. Az értéke függ a paraméter becslések pontosságától ( és értékétől) és a numerikus megvalósítás esetén a lépésköztől is. Az sem közömbös, hogy az időkésést és a rszerparamétert túl- vagy alábecsüljük. Így egy adott abszolút értékű becslési hiba esetén a 4.8. ábrához hasonló stabilitási térkép sorozatot kell készíteni, és meg kell figyelni, hogy az paraméter növelésével melyik térképen (milyen becslési hiba előjelek mellett) tűnik el a stabil terület. Az értéket így több különböző esetre meghatározhatjuk, az eredményeket rögzíthetjük. Ennek segítségével később egy konkrét rszernél csak dimenziótlanítani kell a rszerparamétert, meg kell becsülni, mekkora hibával tudjuk és értékét meghatározni,

60 a krit [-] fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján és a értékének megfelelő paramétert elő kell keresni. Ezáltal el tudjuk dönteni, hogy egyáltalán van-e remény a stabilizálásra véges spektrum hozzárelés segítségével. Tehát az jól jellemzi a szabályozó alkalmazhatóságát, általa a különböző szabályozási eljárások összehasonlíthatók a stabilizálás képességének szempontjából. PD szabályozó esetén már láthattuk, hogy. Véges spektrum hozzárelés esetén ha és értékét 50%-nál kisebb hibával becsüljük, akkor általában értéke meghaladja a kettőt, pontosabb becslések esetén lényegesen nagyobb kritikus rszerparaméter értékek érhetők el. Ideális esetben pedig, amikor minden paraméter pontosan ismert,. Tehát látható, hogy késleltetett visszacsatolás esetén a véges spektrum hozzáreléses szabályozás alapvetően jobb stabilizálási tulajdonsággal bír, mint a PD szabályozó. A kritikus dimenziótlan rszerparaméter értékek meghatározását számos esetre elvégeztem, a ábrán megfigyelhető diagram összefoglalja az eredményeket. A diagram két felét kinagyítva mutatják a és a ábrák. 12,00 Kritikus dimenziótlan rszerparaméter 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0, hiba [%] Δt=0 - analitikus Δt=0,005 Δt=0,01 Δt=0,05 Δt=0, ábra: A kritikus dimenziótlan rszerparaméter értéke a paraméter becslések hibájának függvényében különböző dimenziótlan szimulációs időlépések esetén.

61 a krit [-] a krit [-] 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 52 12,00 Kritikus dimenziótlan rszerparaméter 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0, hiba [%] Δt=0 - analitikus Δt=0,005 Δt=0,01 Δt=0,05 Δt=0, ábra: A kritikus dimenziótlan rszerparaméter értéke a paraméter becslések hibájának függvényében kis hibák esetén. 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00 Kritikus dimenziótlan rszerparaméter hiba [%] Δt=0 - analitikus Δt=0,005 Δt=0,01 Δt=0,05 Δt=0, ábra: A kritikus dimenziótlan rszerparaméter értéke a paraméter becslések hibájának függvényében nagy hibák esetén.

62 53 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján Megfigyelhető, hogy az esetek többségében akkor érhető el a legnagyobb érték, ha alacsony hibával becslünk és kis szimulációs lépésközt alkalmazunk. Nagyobb szimulációs lépésköz, pl. esetén értéke bizonytalanná válhat, hol meghaladja az analitikusan kapott értéket, hol lényegesen alatta marad. Alacsony szimulációs időlépés alkalmazása igen jól közelíti az analitikus esetet. Általában dimenziótlan szimulációs lépésköz választása a stabilizálás szempontjából elegő. Továbbá meg kell említeni, hogy a diagramon csak azok az esetek jelennek meg, amikor és értékét azonos mértékű hibával becsüljük. Emellett a hiba előjele sincs ezen az ábrákon feltüntetve. Általában 50% alatti hibáknál a stabilitásvesztés azokban esetekben fordul elő, amikor az időkésést alá, a rszerparamétert pedig fölé becsültük, azaz a valósnál kisebb késést és rövidebb ingát feltételeztünk. 50% feletti hibáknál pedig fordított hiba előjelek mellett, valósnál nagyobb késés és hosszabb inga feltételezésével történt meg a stabilitásvesztés. Valamint azt is meg kell jegyezni, hogy értéke mellett a stabil terület már igen szűk, nehéz a szabályozó paraméterek beállításával eltalálni a stabil pontot. A fenti eredményeket úgy határoztam meg, hogy ha és értékét 0.01 pontossággal be tudjuk állítani, akkor esetén még éppen van stabil terület, értékét 0.01-dal növelve már nincs. A szabályozó paramétereket pedig ilyen pontosan nem mindig lehet beállítani, ezért célszerű néhány százalékkal értéke alatt maradni. 4.5 Stabilizálás a vízszintes irányú mozgás figyelembe vételével A mozgásegyenlet felírása során az inga alsó pontjának vízszintes irányú mozgását leíró koordinátát kiejtettük (ld. 2.1 alfejezet), azaz csupán az inga szöghelyzete érdekelt minket, az inga helyével, sebességével nem foglalkoztunk. Valós rszer esetén azonban az függvény értékét is korlátok közt kell tartani, értéke nem divergálhat, a mozgást akármekkora pályán nem tudjuk biztosítani. Célszerű megvizsgálni, hogy az eddig megvalósított szabályozás milyen függvényt eredményez. Ehhez írjuk fel a 2.1 alfejezetben az ciklikus koordináta kiejtése előtt kapott két egyenletből álló (2.7) mozgásegyenlet-rszer egyik egyenletét: (4.43) Linearizáljuk az egyenletet és írjuk be helyére a kifejezést. A kapott egyenletet -ra rezve:

63 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján 54 (4.44) Ha az ingát stabilizáltuk, az egyenlet jobb oldala zérus lesz, így a vízszintes irányú mozgás gyorsulása zérus lesz, ám egyenes vonalú egyenletes mozgás még kialakulhat. Ekkor azonban lineáris függvény szerint növekszik, így nem marad korlátok között. Az előbbi egyenlet alapján az függvényt kirajzolva a ábra igazolja az egyenes vonalú egyenletes mozgás kialakulását. A paramétereket úgy állítottam be, hogy -val dimenziótlanított értékük megegyezzen a ábra esetén látható dimenziótlan paraméterekkel Az állapottér modell bővítése A vízszintes irányú mozgás stabilitási problémáira megoldást jelenthet az és jellemzők állapotvektorba való felvétele. Így a gyorsulásra felírt (4.44) egyenlet segítségével az új állapottér főegyenlet felírható: (4.45) ábra: A numerikus szimuláció eredménye szögelfordulás, szögsebesség, pozíció és sebesség kezdeti feltételekkel.

64 55 vagyis az új állapotvektor bementi vektor pedig: 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján, az új rszermátrix és (4.46) Ezekkel az új paraméterekkel ugyanaz az állapot kiegészítéssel megvalósított szimuláció létrehozható, mint a korábbi esetekben (ld. 4.2 alfejezet), csak és mérete és tagjai változnak meg, a szimulációt megvalósító programon más módosítást nem kell eszközölni. Eltérést jelent azonban, hogy most már becslése miatt. (Az paraméter becslésének hibáját becslésénél vegyük figyelembe, értékét tekintsük pontosnak). Valamint ebben az esetben már négy szabályozó paraméterrel kell számolnunk: (4.47) További eltérést jelent, hogy a -val való dimenziótlanítás után még maradhatnak [m] és [1/m] dimenziójú paraméterek. Az állapotvektor bővítését elvégezve, a szimulációt megfelelő szabályozó paraméterek mellett futtatva stabil szabályozás érhető el, erre mutat példát a ábra ábra: A vízszintes mozgás szabályozását is megvalósító numerikus szimuláció eredménye,, és kezdeti feltételekkel.

65 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján Stabilitási térképek Mivel a szabályozó paraméterek száma kettővel növekedett, közülük kettőt rögzíteni kell, hogy két dimenziós stabilitási térképeket készíthessünk. Így például és rögzítésével a síkon elkészíthető a stabilitási térkép. Különböző és értékek mellett pedig a 4.8. ábrán látotthoz hasonló térkép sorozat készíthető. Azonban a paraméterek megnövekedett száma miatt a becslési hibák és minden szabályozó paraméter változtatásának hatása egyszerre nem vizsgálható a térkép sorozaton. Itt már szükséges, hogy a becslési hibákat is adottnak tekintsük. A stabilitási határgörbék analitikus meghatározása a korábbiakhoz hasonlóan történhet. Először be kell helyettesíteni az állapottér főegyenlet skalár egyenleteibe és a szabályozó egyenletbe a,,, és kifejezéseket. Majd a kapott egyenletrszert átrezve és -vel leosztva az alábbi alakra kell hozni: (4.48) Ennek az egyenletnek mellett létezik nem triviális megoldása. Így a rszer karakterisztikus egyenlete a egyenlet lesz, melybe kifejezést helyettesítve megkapjuk a D-görbéket. Ám a számítás analitikus elvégzése meglehetősen hosszadalmas lenne, így ismét alkalmazhatjuk a numerikus stabilitásvizsgálatot. A rszer stabilitását továbbra is sajátértékei döntik el, az aszimptotikus stabilitás feltétele x marad, csupán mérete és értékei változnak meg. Azonban a szabályozatlan vízszintes irányú mozgás esetében - amikor és - tudjuk, hogy a rszer két zérus karakterisztikus exponenssel relkezik, hiszen a vízszintes irányú mozgás időfüggvénye lineáris. Ezekhez a pólusokhoz tartozó karakterisztikus multiplikátorok értéke egy. Ahhoz, hogy jobban megfigyelhessük a két új szabályozó paraméter stabilitásra gyakorolt hatását, a stabilitási térképek rajzolásánál módosítsuk a vizsgálati feltételt a x összefüggésre. Így és esetén is megfigyelhető az új szabályozó paraméterek hatása, nem kapunk a teljes paramétersíkon instabil területet. Egyéb esetekben pedig közelítően a tényleges stabil területet kapjuk vissza. Ám arról nem szabad megfeledkeznünk, hogy a két új szabályozó paraméterre mindenképp szükség van, ha stabil vízszintes irányú mozgást szeretnénk elérni. A stabilitási térképek tehát meghatározott,,,, és paraméterek mellett különböző és értékek választásával a síkon elkészíthetők. Erre mutat példát a ábra.

66 57 4. fejezet: Inverz inga szabályozása véges spektrum hozzárelés alapján ábra: A vízszintes mozgást is stabilizáló, véges spektrum hozzárelést alkalmazó inverz inga szabályozás stabilitási térképei különböző szabályozó paraméterekre. 4.6 Szabályozás hatásvázlat felhasználásával A véges spektrum hozzáreléses szabályozás 3.1. ábrán látható hatásvázlatát Simulink R2011b programban megépítettem. A ábra paramétereit beállítva, a szimulációt állandó lépésközű, ode3 megoldóval és dimenziótlan szimulációs időlépéssel lefuttatva a ábrán látható eredményt kaptam. Az ábrán látható, hogy a kimenet először jól követi a ábrán megfigyelhető jelalakot, majd a zárt szabályozási kör instabillá válik. Ennek oka az, hogy a hatásvázlattal történő megvalósítás instabil zérus-pólus kiejtéssel jár együtt (ld. 3.5 alfejezet).