VEKTORSZÁMÍTÁS 1. VEKTORLGEBR 1.1. vektor szemléletes értelmezése zok a fzka meyséek, melyekek aysáuko kívül ráyuk s va, vektorok. ( vektorok absztrakt matematka defícójába dötő szerepe va az összeadásak és a skalárral való szorzásak. z olya halmazok elemet evezk vektorokak, amelyek elemere értelmezve vaak ezek a műveletek, és a műveletek léyees szabálya meeyezek az ráyított eyees szakaszok összeadásáak és számmal való szorzásáak főbb szabályaval.) vektort eyértelműe meadhatjuk a hosszával és az ráyával; em tektük külöbözőek két vektort, ha azok párhuzamos eltolással átvhetők eymásba. 1.. vektor abszolút értéke vektor kezdő és vépotjáak távolsáát a vektor abszolút értékéek (hosszáak, aysááak) evezzük. Jelölése: vay a. Ha a vektor hossza eyséy, akkor a vektort eysévektorak, ha ulla, akkor ullvektorak modjuk. Nullvektor csak ey va, de eysévektorból vétele sok külöböző va. 1.3. Vektorok összeadása Két vektor összeét a paraleloramma szabály defálja: z összeadás vertálható művelet, verz művelete a kvoás. Tehát ha a + b = c, akkor (és csak akkor) a = c b. 1.4. Vektor szorzása skalárral z a vektorak számmal való szorzata b = a ey olya vektor, melyek aysáa λ λ, ráya ped meeyezk az a vektor ráyával, ha >0, és elletétes, ha <0. 1.5. skalárszorzat Két vektorhoz, a hoz és b hez redeljük hozzá ey számot (skalárt): a két vektor abszolút értékéek és az általuk közbezárt szö koszuszáak szorzatát. Ezt a számot a két vektor skalárs (belső) szorzatáak evezzük: a b = cos, ahol a két vektor által bezárt szö. Szokásos jelölések mé (a,b) és (a b) s. 1
1.6. Vektorszorzat Két vektorhoz, a hoz és b hez redeljük hozzá ey c vektort, melyek aysáa a két vektor által mehatározott paraleloramma területe, ráya ped merőlees az a és b vektorok által mehatározott síkra, úy, hoy az a, b és c vektorok jobbredszert alkossaak, azaz a c vektor vépotjából ézve az a vektort él ksebb szöű poztív (az óramutató járásával elletétes) ráyú foratás vye át a b vektor ráyába. (Szemléletesebbe: ha a jobb kéz hüvelykujja az a, mutatóujja a b vektor ráyába mutat, akkor a középső ujj beállítható a c vektor ráyába.) z íy defált c vektort az a és b vektor vektoráls (külső) szorzatáak evezzük: c = a b Szokásos jelölés mé [a,b] s. vektorszorzat abszolút értéke: sφ, ahol a két vektor által bezárt szö. 1.7. Vetület kfejezése skalárszorzattal; vektor felbotása adott vektorral párhuzamos és arra merőlees kompoesekre z a vektor (merőlees) vetülete a b vektor ráyára (a aysáa): a b = cos, am skalárszorzattal kfejezve a b = ( cos = a b = a e b, ahol bevezettük az b ráyú eysévektort. z a vektorak a b vektorral párhuzamos kompoese, azaz az a vektor b ráyú (vektor )kompoese a b aysáú és e b ráyú: a b = a b e b = (a e b ) e b. z a vektor felbotható ey b ráyú és ey b re merőlees kompoes összeére: a = a b + a b, ahol tehát a b = (a e b ) e b és a b = a a b. b vektorra merőlees a b kompoes aysáa Ptaorasz tétellel kfejezve: a sφ. következő azoossáokat írhatjuk fel mé vetületekkel: a b = a b = a b b = b a = b a a = =
1.8. vektoralebra fotosabb szabálya és azoossáa Leyeek a, b és c tetszőlees vektorok, és tetszőlees skalárok. 0 = 0 0 a = 0 1 a = a a) = ()a ()a = a + a a + 0 = a a + b = b + a kommutatív a 0 = 0 a b = b a kommutatív a 0 = 0 a b = b a atkommutatív! (a + b) = a + b (a) b = (a b) = a (b) (a) b = (a b) = a (b) a b = 0 a b a b = 0 a b (a + b) + c = a + (b + c) asszocatív a a = a a = 0 a (b + c) = a b + a c dsztrbutív a (b + c) = a b + a c dsztrbutív hármas vektorszorzat kfejtés tétele: a (b c) = (a c) b (a b) c Véül meemlítjük az ú. veyes szorzatot: abc = a (b c) = (a b) c, melyek értéke előjeltől eltektve a három vektor által kfeszített paraleleppedo térfoatával eyelő. 1.9. Vektorok Descartes féle koordátá Leyeek, j és k ortoormált bázsvektorok, amelyek jobbredszert alkotak: 1 j = k Ekkor bármely a vektor eyértelműe felírható három merőlees kompoes összeekét: a = a x + a y j + a z k z a x, a y, a z számokat az a vektor koordátáak evezzük az, j, k bázsvektorok által mehatározott jobbsodrású Descartes féle (x,y,z) koordátaredszerbe. 1.10. Vektorok között műveletek Descartes féle koordátákba Összeadás: ha c = a + b, akkor c x = a x + b x, stb.* Szorzás skalárral: ha c = a, akkor c x = a x, stb.* Skalárszorzat: a b = a x b x + a y b y + a z b z Vektorszorzat: ha c = a b, akkor c x = a y b z a z b y, stb.* *z összeadás, skalárral való szorzás és a vektoráls szorzat y koordátáját az x koordáta kfejezéséből cklkus permutácóval kapjuk az x dex helyett y t, y helyett z t és z helyett x et írva. z koordátára voatkozó kfejezéseket smételt cklkus permutácóval kapjuk me. 3
vektorszorzatot az alább determás kfejtésével s mekaphatjuk: det a a a b b b Vektor abszolút értéke: a a a vektorak a koordátateelyekkel bezárt szöeek koszusza, azaz a vektor ráykoszusza: cos =, cos =, cos = z ráykoszuszok eybe az a ráyú e a eysévektor koordátá, ezért cos + cos + cos = 1.. VEKTOR SKLÁR FÜGGVÉNY vektor skalár füvéy füetle változója skalár, füő változója vektor. Ilye füvéyekre a határérték, folytoossá, dfferecálhatósá foalma a valós füvéyekél taultakhoz hasolóa alkalmazható. z a = a(t) füvéy határértéke a t = t 0 potba a 0, vays lm t, ha tetszőlees >0 számhoz található olya >0, hoy t, ha t t. z a = a(t) füvéy a t 0 potba folytoos, ha létezk határértéke, és az eyelő a füvéyértékkel: lm t t. t = t 0 potba az a = a(t) füvéy dfferecálható, ha létezk a dfferecaháyados határértéke t = t 0 ba. Ezt a határértéket az a(t) füvéy t 0 bel dfferecálháyadosáak, derváltjáak evezzük. Jelölése: t lm lm dfferecálháyadost mde potba képezve kapuk ey újabb vektor skalár füvéyt, a dervált füvéyt: t. Ha ez a füvéy s dfferecálható, akkor derváltját az a(t) füvéy másodk dfferecálháyadosáak evezzük: t Hasoló módo defálhatjuk a maasabbredű derváltakat. 4
skalár skalár füvéyek dfferecálás szabályaval aaló összefüések állak fe vektor skalár füvéyekre s. Ha (t) dfferecálható skalár skalár füvéy, a(t) és b(t) dfferecálható vektor skalár füvéyek, akkor az alább dfferecálás szabályok alkalmazhatók: Össze dfferecálása: t t Szorzat dfferecálása: λtt λ t t tt Közvetett füvéy dfferecálása: λt Ha az a(t) vektorokat közös kezdőpotból mérjük fel, akkor a vektorok vépotja ey térörbét írak le, mközbe a t változó értéke véfut ey tervallumo; az dervált vektor ped a térörbe értőjéek ráyába mutat. Ha az a(t) vektor eysévektor, akkor a térörbe ey ömbfelülete lesz rajta, és az dervált vektor merőlees lesz az a(t) re. Ezt a következőképpe láthatjuk be: a(t) a(t) = t, mdkét oldalt derválva t t t t t 1 0, tehát mvel a(t) és skalárszorzata zérus, a két vektor merőlees eymásra..1. Vektor skalár füvéy Descartes féle koordátákba Rözített Descartes féle koordátaredszerbe a vektort meadhatjuk koordátával, ezért az a = a(t) füvéy három skalár skalár füvéyel eyeértékű: a x = a x (t), a y = a y (t), a z = a z (t). Ezek az eyeletek az a = a(t) füvéy által mehatározott térörbe paraméteres eyelete. Ha a t paramétert valamelyk eyeletből kfejezzük és behelyettesítjük a másk kettőbe, kapjuk a térörbe eyeletét f(a x,a y,a z ) = 0, (a x,a y,a z ) = 0 alakba. vektor skalár füvéyek tulajdosáa mefoalmazhatók a koordáták seítséével s. Íy pl. bebzoyítható, hoy az a = a(t) füvéy akkor és csak akkor dfferecálható, ha az a x (t), a y (t), a z (t) koordáták mdeyke dfferecálható, és ekkor feáll az t a ta ta t összefüés. Hasoló összefüés áll fe maasabb redű derváltakra. 5
3. SKLÁR ÉS VEKTORTEREK fzkába yakra előfordul, hoy eyes meyséek értéke fü a helytől. Mvel a helyet a helyvektorral adhatjuk me, íy ezekek a meyséekek a helyfüését olya füvéyek írják le, melyekek füetle változója vektor. zokat a füvéyeket, melyekek füetle változója vektor, füő változója ped skalár, skalár vektor füvéyekek vay skalárterekek evezzük. zokat a füvéyeket ped, melyekek mdkét változója vektor, vektor vektor füvéyekek vay vektorterekek evezzük. z lye típusú füvéyekre hasoló módo értelmezhetjük a határérték és a folytoossá foalmát, mt a vektor skalár füvéyekre. képletek alakla változatlaok maradak, csak a füetle vektor változót kell az ott szereplő t helyébe ír, a füő változó helyébe ped a mefelelő skalár vay vektor füő változót, attól füőe, hoy skalár vay vektortérről va szó. dfferecálháyados foalmát azoba em lehet közvetleül a vektorskalár füvéy dfferecálháyadosáak mtájára értelmez, hsze a füetle változó jele esetbe vektor, mellyel oszta em lehet. 3.1. Skalártér sztfelülete Leye = (r) ey skalártér. Mvel az r vektort kfejezhetjük x, y, z Descartes féle koordátával: r = x + yj + zk, ezért a skalárteret ey háromváltozós füvéyel s leírhatjuk: = (x,y,z). skalártér szemléltetésére bevezethetjük a sztfelületek (ívófelületek) foalmát. sztfelületek azo r potok mérta helye, amelyekre a füvéy értéke álladó. sztfelületek eyelete Descartes féle koordátákba: = (x,y,z) = 1 = kost. Külöböző 1 értékekhez külöböző sztfelületek tartozak, íy a = (r) skalártérhez eyparaméteres sztfelület sere tartozk, paraméterek tekthetjük a 1 értéket. hőmérséklet, a yomás, ll. a potecál térbel eloszlását leíró skalárterek sztfelületet zoterma, zobár, ll. ekvpotecáls felületekek evezzük. 3.. Iráymet dervált és rades közösées dervált a füő változó változás sebesséét jelet. Skalárterek eseté bevezetjük az ráymet dervált foalmát. Leye e ey eysévektor. = (r) = (x,y,z) skalártér e ráyú ráymet derváltjáak az r 0 potba az ehhez az ráyhoz tartozó füvéyérték változás sebesséet evezzük: lm. 6
Látható, hoy ez a dervált eyelő a φ: s (r 0 + se) füvéyek s szert közösées derváltjával az s=0 potba: z ráymet dervált seítséével szemléletese defálhatjuk a rades foalmát. Képezzük az r 0 potba az összes ráymet derváltat, majd keressük me azt az e 0 eysévektort, amelyhez tartozó ráymet dervált a leayobb. z r 0 potba a rades vektor abszolút értéke eyelő a leayobb ráymet derválttal, ráya ped az e 0 ráyával meeyező. rades abszolút értéke tehát az adott potbel leayobb füvéyérték változás sebesséet jelet, ráya ped a leyorsabb övekedés ráyába mutat. rades vektor defálása törtéhet más módo, a közösées dervált mtájára s. Ehhez azoba em haszálható a dfferecaháyados alak, mvel vektor em kerülhet a evezőbe. Vszot a evezővel átszorozva a következőképpe defálható ey skalár skalár füvéy derváltja: az y=y(x) füvéy derváltja az x 0 potba y, ha y meváltozása y = y (x 0 ) x + (x 0,x) x alakba felírható, ahol lm εx, x 0. Eek mtájára ey = (r) skalár vektor füvéy derváltja az r 0 potba a = rad vektor, ha = rad r + (r 0,r) r alakba felírható, ahol lm,. 3.3. Iráymet dervált és rades Descartes féle koordátákba Leyeek az e eysévektor koordátá e x, e y, e z, az r 0 poté ped x 0, y 0, z 0. kkor az ráymet dervált a közvetett füvéyre voatkozó dfferecálás szabály felhaszálásával: φx se,yse,z se e e e, am az e vektor skalárszorzata a, Descartes féle koordátákba kfejezve: φ,, amvel tehát φ φ cosα, vektorral. z utóbb éppe a rades vektor ahol a rad és az e vektorok által bezárt szö. z utóbb alakból az s látható, hoy az ráymet dervált maxmuma éppe rad (cos=1). Másrészt rad éppe a leyorsabb csökkeés ráyába mutat (cos= 1). Ha vszot rad és e merőleesek eymásra (cos=0), az ráymet dervált zérus, azaz a rad merőlees a =(r) skalártér sztfelületere. 7
3.4. vektortér vektorvoala Leye a = a(r) ey vektortér. z a vektor koordátával kfejezhető, ezért az a a() r vektortér eyeértékűe meadható az a x = a x (r) = a x (x,y,z) a y = a y (r) = a y (x,y,z) a z = a z (r) = a z (x,y,z) három skalártérrel, ll. három darab háromváltozós füvéyel. vektortér szemléltetésére bevezetjük a vektorvoalak foalmát. vektorvoalak értője bármely potba eyező ráyú az ahhoz a pothoz tartozó füvéyérték ráyával. fzkába előforduló két lefotosabb vektortér: az erőtér és az áramlás tér az a vektor ekkor a térerősséet, ll. az áramló folyadék sebesséét jelet. z erőtér vektorvoalat erővoalakak, az áramlás tér vektorvoalat áramvoalakak evezzük. Szokás a vektortér füő változójáak abszolút értékét a vektorvoalak sűrűséével jellemez oly módo, hoy a vektorvoalakra merőlees eyséy felülete éppe ay vektorvoal haladjo át, amey a füő változó abszolút értéke (ld. később a fluxust). 3.5. Vektorterek terálja 3.5.1. Voalterál Leye ey ráyított térörbe, a = a(r) ped ey vektortér. Osszuk fel a örbét részre, az osztópotok leyeek P 0,P 1,,P. Jelöljük a valamely közbeső potjáak helyvektorát r vel. Képezzük a 1 a( r s ) terálközelítő összeet. Eek az összeek a "vételeül fomodó beosztásra voatkozó határértéke" a voalterál: lm a( r ) s ( ) a 0 a r dr s 1 s ds, P 1P vektort s vel, a 1P P örbeív ahol ds jelöl az ívhosszelemet, a s ped az a vektorak a örbe értője ráyába eső vetületét. Descartes féle koordátaredszerbe a voalterál ey közösées eyváltozós határozott terállá alakítható át. Leye adott a örbe paraméteres alakba (a paraméter lehet pl. az ívhossz vay az dő): x = x(), y = y(), z = z(), 1 Ekkor a voalterál a következőképpe alakítható át: a ( r) dr (a xdx a ydy a zdz) a x a dy( ) d 1 dx( ) d x( ), y( ), z( ) dz( ) d x( ), y( ),z( ) a x( ), y( ),z( ) d y z. 8
3.5.. Felület terál Leye ey felület, a = a(r) ped ey vektortér. Osszuk be az felületet részre, a részek területe: 1,,,. Mdeyk részfelülete válasszuk k ey potot, melyek helyvektora: r 1, r,, r. felület ormálsa az r potba leye (r). Képezzük a 1 a ( r ) ( r ) terálközelítő összeet. Eek az összeek a "vételeül fomodó beosztásra voatkozó határértéke" a felület terál: lm 0 1 a ( r ) ( r ) a( r) d a d, ahol a a( r) ( r) az a vektor ormáls ráyú kompoese. z a (r) vektortérek az felületre vett felület terálját az a fluxusáak evezzük. vektorvoalak sűrűsééek szokásos meválasztása eseté a fluxus éppe eyelő az felülete áthaladó vektorvoalak számával. Ha a felület ormálvektoráak helyett et választjuk, akkor a felület terál előjelet vált. Bzoyos specáls esetekbe az eyk ráy ktütetett ráy: 1./ zárt felület esetébe md a "külső" (kfelé mutató) ormálst választjuk;./ ha a felületet ey ráyított zárt örbe határolja, akkor a felület ormálsát úy választjuk me, hoy az a örbe körüljárás ráyával jobbcsavart alkosso. Lerözítve a felület ormálsáak ráyát, a felülete a zárt örbéket md olya körüljárással vesszük fel, hoy a ormáls ráya azzal jobbcsavart alkosso. Ezek a kovecók külööse olya azoossáok alkalmazásáál fotosak, ahol eydejűle többféle terál fordul elő (ld. később Gauss Osztroradszkj tétel, Stokes tétel). felület terál általába kétszeres terállal számítható k. z terál kszámításához szüksées, hoy a d felületelemet a koordátákkal és a koordáta dfferecálokkal fejezzük k. Heer, ll. ömbfelület esetébe a d felületelemet célszerű úy meválaszta, hoy éle az e, k, ll. az e, e bázsvektorok ráyába mutassaak. a d = d dz d = r s d d 9
3.5.3. Vektorértékű voal és felület terál Ha a voalterál terálközelítő összeébe a skalárs szorzást vektoráls szorzásra cseréljük k, akkor a 1 a( r s ) terálközelítő összeet kapjuk, melyek határértéke az a dr vektorértékű voalterál. Hasolóa a 1 a ( r ) ( r ) terálközelítő össze határértéke az a d vektorértékű felület terál. 3.5.4. Vektortér térfoat terálja Leye a = a(r) ey vektortér, V ped a tér ey tartomáya. Osszuk be a V tartomáyt részre, melyek térfoata: V 1, V,, V. Mde résztartomáyból válasszuk k ey potot, melyek helyvektora: r 1, r,, r. Képezzük a 1 a ( r ) V terálközelítő összeet. Eek az összeek a "vételeül fomodó beosztásra voatkozó határértéke" a a (r)dv V térfoat terál. Heer, ll. ömb eseté célszerű a dv térfoatelemet télatestek választa, melyek éle a heer, ll. polárkoordáta redszer bázsvektora ráyába mutatak; ekkor: heerél: dv = d d = d d dz, ömbél: dv = d dr = r s dr d d. 3.5.5. z terálok tulajdosáa fetebb táryalt terálokra s érvéyesek a közösées terálszámítás fotosabb szabálya: a) össze taokét terálható; b) kostas az teráljel elé kemelhető; c) eymásba em yúló tartomáyok (tervallumok, felületek) eyesítésére vett terál eyelő a résztartomáyokra vett terálok összeével. 10
3.6. Rotácó Leye a(r) ey vektortér, S ped ey az r poto átmeő sík, melyek ormálvektora. z S síko veyük fel ey ráyított zárt örbét úy, hoy az r pot a örbe belsejébe esse. z 1 a dr meysé határértékét, mközbe a (rözített) S síkba lévő örbe a (rözített) r potra zsuorodk, jelöljük b el: 1 b lm a dr, 0 ahol jelöl a örbe által körülzárt területet. z r potot továbbra s rözítve, de az S síkot (íy az ormálvektort s) változtatva, mde hez kapuk ey b értéket. Kmutatható, hoy az íy kapott b értékek ey vektorak az ráyú kompoese; ezt a vektort az a vektor rotácójáak evezzük az r potba: 1 ( rota ) ( rota) rot a lm a dr 0 Kmutatható, hoy Descartes koordátákba a a z y rot xa y z másk két koordátát cklkus permutácóval kapjuk: a x a z rot ya z x a y a x rot za x y a dr meyséet a vektortérek a örbé vett crkulácójáak evezk. Ez a meysé a vektortér vektorvoalaak csavarodásával fü össze. crkulácóak és a bezárt felületek a háyadosát, am a rotácó defícójába szerepel, átlaos felület örvéysűrűséek evezk. Ha az a vektortér áramlás tér, akkor a rotácó az áramlás foró, örvéylő jelleével fü össze. 3.7. Dvereca z a(r) vektortér fluxusa ey zárt felülete meadja az felület belsejéből kjövő vektorvoalak számát (ez természetese úy értedő, hoy a felületbe bemeő vektorvoalak eatív előjellel jöek számításba). Ezt a meyséet az a vektortér forrásáak evezzük az felület által körülzárt V térfoatú tartomáyba. Ha a az eyséy sűrűséű kompresszbls folyadék sebessée, akkor az a forrása számértékbe eyelő a V térfoatból dőeysé alatt káramló folyadék térfoatával ez dokolja a "forrás" elevezést. 11
forrásak és a térfoatak a háyadosát átlaos forrássűrűséek evezzük. z átlaos forrássűrűsé határértékét, amt a V térfoat ey (rözített) r potra zsuorodk, az a vektortér r potbel forrássűrűsééek vay dverecájáak evezzük: 1 dva lm a d V0 V Kmutatható, hoy Descartes koordátákba a a x y a z dva. x y z Iterál átalakító tételek 3.8. Stokes tétel zárt örbe met és a felület terálok között állapít me összefüést Stokes tétele (rotácó tétel): a dr rota d ahol a ráyított zárt örbe által határolt felület. Stokes tétel bzoyítása a következő odolatmeete alapul: osszuk be az felületet olya ks felületrészekre, amelyeke az átlaos felület örvéysűrűsé már jól meközelít a rotácó értékét, azaz rot a a dr ahol az edk részfelületet, a területű, ormálsú felületet határoló zárt örbe. Összeezve: 1 rot a a dr () 1 Fyeljük me, hoy a örbe met terálokál a "belső" szakaszok járuléka két szomszédos örbéél szerepelek elletétes előjellel (ábra), ezért az összeezésél kesek. Marad tehát a dr a dr 1 mí () bal oldalá a rot a d terál közelítő összee szerepel, íy a () összefüésből határértékbe következk a Stokes tétel. 1
3.9. Vektortér örvéymetessééek feltétele Örvéymetesek evezzük az a vektorteret, ha rotácója ulla. z örvéymetes vektorterek főbb sajátossáa: a./ rota = 0. b./ vektortér ey skalárpotecálból származtatható: a = rad. c./ vektortér voalterálja mde olya örbére eyelő, melyek kezdő és vépotja meeyezk; azaz a voalterál füetle az úttól, csak a kezdő és vépottól fü. d./ vektortérek bármely zárt örbére vett voalterálja ulla. Ha a vektortér a fet tulajdosáok bármelykével redelkezk, akkor redelkezk a többvel s. z a./ és d./ tulajdosáok eyeértékűséét a Stokes tételből közvetleül láthatjuk. c./ tulajdosáot a következőképpe láthatjuk be: Leye 1 és két olya örbe, amelyek kezdőpotja P 1, vépotja P. örbe ráyítását mefordítva ey zárt örbét kapuk, amelyre: a dr a dr a dr 1 Ezért d./ ből következk c./ és vszot. Véül teyük fel, hoy a a z y rota = 0, azaz, stb. y z Jelöljük ( r) rel az alább módo defált skalárteret: x y ( x, y, z) a (x,0,0) dx a (x, y,0) dy a (x, y, z) dz, azaz 0 ( r ) a dr x ahol ey koordátateelyekkel párhuzamos élekből álló töröttvoal, melyek kezdőpotja az oró, vépotja az (x,y,z) pot. Bebzoyítható, hoy ha rota = 0, akkor rad = a, azaz az a./ sajátsából következk a b./ sajátsá; uyaakkor b./ ből s következk a./, mert rot(rad) = 0 bármely (r) re. c./ tulajdosá matt a dr, 1 0 y ahol 1 az oróba kezdődő és az r potba véződő tetszőlees örbe. Ha 0 keléít az a = rad 0 eyeletet, akkor mde olya skalártér s keléít, amelyk a 0 (r) től csak kostasba tér el ( = 0 + c), mert rad = rad( 0 +c) = rad 0 + radc = rad 0 = a. z 0 z 13
dott örvéymetes térhez tehát a potecált csak ey ökéyese választható addtív álladó erejé határozhatjuk me, ematt a örbéről szüksétele kköt, hoy az oróba kezdődjö. 3.10. Gauss Osztroradszkj tétel zárt felület és térfoat terálok között állapít me összefüést a Gauss Osztroradszkj tétel (Gauss tétel, dvereca tétel): a d dva dv V ahol a V térfoatot határoló zárt felület. Gauss tétel bzoyítása teljese aaló a Stokes tételével. V térfoatot ks részekre osztva, a dvereca defícójából kapjuk, hoy közelítőle a d V dva 1,..., ahol a V térfoatot határoló zárt felület. Összeezésél a "belső" felületek járuléka eltűek, és határértékbe adódk a Gauss tétel. 3.11. Vektortér forrásmetessééek feltétele forrásmetes vektorterek főbb sajátsáa: a./ dva = 0 b./ vektortér vektorpotecálból származtatható, azaz va olya b vektortér, amelyre rotb = a c./ vektortér felület terálja eyelő az olya felületekre, amelyeket uyaaz a ráyított zárt örbe határol. d./ vektortér fluxusa bármely zárt felülete zérus. fet tulajdosáok bármelykéből következk a több. z a./ és d./ tulajdosáok eyeértékűsée közvetleül jö a Gauss tételből. c./ és d./ tulajdosáok eyeértékűséét köye beláthatjuk, ha a zárt örbére két felületet fektetük rá. z felület ráyítását mefordítva ey zárt felületet kapuk, amelyre a d a d a d 1 1 vektorpotecálból származtatott vektortér forrásmetes, mert dv(rotb) bármely b(r) vektortér eseté zérus. tétel fordítottjáak azolása és adott forrásmetes vektortérhez tartozó vektorpotecál mekostruálása boyolultabb, ezért ezzel tt em folalkozuk. 14
3.1. Nabla operátor. Maasabbredű derváltak. Vektoraaltka azoossáok skalár és vektorterek dfferecálásával kapcsolatba szokás bevezet a ablaoperátort: j k x y z abla ey vektoroperátor, amelyet szorozhatuk jobbról skalár vay vektortérrel. Ezzel a jelöléssel köye mejeyezhetővé válak a vektoraaltka azoossáok, mert a vektorokál tault szorzás szabálya általába érvéyesek maradak olya szorzatba, amelyek első téyezője a. Skalártérre alkalmazva a abla operátort: j k j k rad x y z x y z Vektortérrel skalársa szorozva: a a x y a z a j k a dva x y z x y z és vektorálsa szorozva: a x a x j y a y k z a z rota abla operátor ömaával vett skalárszorzatát Laplace operátorak evezzük:, tehát x y z u u u u u dvrad u x y z Mejeyezzük, hoy a abla operátort lehetsées defál emcsak Descarteskoordátákkal, haem általáosa s. Más koordátákba az első és másodredű derváltak kfejezése más, uyaakkor az alább vektoraaltka azoossáok mde koordátaredszerbe érvéyesek. skalár és vektorterek dfferecálás szabálya származtathatók a közösées dfferecálás szabályaból, amelyek felhaszálásával köyű azol Descartes féle koordátákba az alább vektoraaltka azoossáokat: Szorzat dfferecálása: Össze dfferecálása: rad(+) = rad + rad rot(a+b) = rota + rotb dv(a+b) = dva + dvb rad() = rad + rad rot(a) = rota + rada dv(a) = dva + rada dv(ab) = arotb + brota 15
Közvetett füvéy dfferecálása: Maasabbredű derváltak: d dr ( r(t)) rad dv(rad) = dt dt rad(dva) = rot(rota) + a df radf ( ( r)) rad rot(rad) = 0 d dv(rota) = 0 Ezekbe az összefüésekbe és skalártereket, a és b vektortereket jelölek, t skalárváltozó, f ped skalár skalár füvéy. Homoé vektortér dverecája ll. rotácója ulla ll. ullvektor; homoé (azaz kostas) skalártér radese zérus. z utóbb állítás mefordítható: ha ey skalártér radese a tér ey összefüő tartomáyába zérus, akkor a skalártér ebbe a tartomáyba kostas. fetekbe láttuk az első derváltak ( a, a, ) "varás" (azaz koordátaredszertől füetle) jeletését. Laplace operátorak s va lye jeletése. Emlékeztetőül: ha az f eyváltozós füvéy rafkoja alulról kovex (ll. kokáv), akkor az f másodk dervált eatív (ll. poztív). Ezt a sajátsáot többváltozós füvéyekre a következőképpe általáosíthatjuk. kovex füvéy kokáv füvéy f 0 f 0 x1 x f (x1) f (x ) x1 x f (x1) f (x ) f f 0 a kérdéses potba a értéke ksebb, mt a "köryezet átla". Itt a köryezet átlaot a következőképpe értjük: veyük körül az r 0 potot ey ks suarú ömbbel; ekkor a köryezet átla ek a felületre vett átlaa: 1 ( r ) d 4 ömbfelület potjaba ( r) ( r ) rad ( r ) rad, ezért 0 r 0 0 r 1 ( r 0 ) radd 4 rad d dvraddv 4 r0 3 3 Eze összefüésekből 3lm 0 Tehát ha 0, akkor a köryezet átla elé ks köryezetbe ayobb, mt a potbel értéke ( ).