Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 ( - ) ( + ) 87 0 z 88 ) + J + N ) K O - J + N K O + K O L P L P + + 89 - z + + - 80 8 $ - 9 - J N K - O K 8 ) $ - ) O + 7 K O - 7 K + L O P c) ( )( ) 8 - + + 8 A helese kitöltött keresztrejtvé ( függ elsô két számjege felcserélhetô): 8 ár A számjegek összege: 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár A számjegekkel felírhtó leggo htjegû szám: 999 8 ) 0 7 ) 8 7 7 c) + + + + + - 8 d) 0-0 8 ) 0-8 r - - 8 s ) 8 0-8 c k
8 Htvá gök logritmus 8 ) - + + ) ( + )( + ) - + ( - ) + ( - ) - c) + - + - + - 00 87 ) 0 > 00 ) 0 > c) egelôk d) < 0 0 7 $ 7 $ 88 ) H < kkor z elsô szám h > kkor második szám go eseté két szám egelô ) Az elsô szám go 89 ) hmis ) hmis c) igz d) igz 80 ) igz ) igz 8 A htváozás zoossági ljá tört ile lkr hozhtó: ( -7 )- $ ( 9 - ) ( - ) Ie edig tudv hog - mide -re oszthtó - -vel már következik z állítás 8 A htváozás zoossági ljá tört íg lkíthtó: 7$ 9 + $ 8 8 $ + $ 7$ K + $ 8 $ M + $ 7 ( + 8) + $ 8 8 $ + ( + ) 7$ K + 7$ 8 + $ 8 8 $ + $ M + $ k 8 Legeek háromszög oldli: < < r Elég eláti hog ics ol k r ozitív egész számhárms melre + > k r teljesüle H ugis ez igz lee kkor k - r - r + > teljesüle mi feltételek mitt ilvá lehetetle A égzetgök foglm és zoossági 8 ) 70 0 ) - + c) + - - d) 9
A égzetgök foglm és zoossági 9 8 ) c z ) c + r + 8 + ( + ) 8 ) $ $ - $ # - # - vg $ ) $ - $ mide vlós szám mide vlós szám mide vlós szám c) - # vg $ 7 - # # 0 87 ) < - vg $ < - vg $ - # < vg $ $ $ ) > - de! # - vg > 0 < vg $ < vg $ 88 $ vg < # < vg # < 8 # < 8 89 ) A+ B :& $ 0 A- B :* # < ) A+ B :{ - # # 0} A- B :{ - 0< # } 80 A+ B :{ # -- # # # } A- B :{ -< < - } 8 ) 0 s 8 ) d z z 7 ( + ) + + - ) $ ( - ) + 8 - + 8 ) hmis ) hmis (egelôk) 8 ) igz ) hmis c) hmis (egelôk) d) igz e) igz 9 8 ) ) c) 8 d) $ $ e) 7 f) - g) h) 8 87 ) + - 0 8 ) 0 + - 0 c) 7- d) 8- e) f)
0 Htvá gök logritmus 88 ) + 0 + 8-0 ) 8 - c) - ( - ) d) - ( - ) e) 7 $ 0 0 f) - l + l - g) + -^- h h) + + - i) - + 89 ) ) 80 8 00 0 0 00 8 8 ) 0 8 7 ) 00 9 c) rt ^ + h 8 ( - ) - ( + ) + 8 7 8 ) 9 s t ) - 8-00 99 ( - ) + c) + 9-7- 0 0 + d) + - + + + - l - l e) + + + - 9 - f) + - + ics értelme + + + 8 ) + ( + + ) 8- ( 0 + - ) + + + ( + ) ) 0 + 8 ( - ) c) ( - ) + - + - 9 8 ) + l - l 7+ 7l + l ) - + l + - l + - l
A égzetgök foglm és zoossági 87 ) + l - + l + l + l_ + i ) - l + l - + + l + - -l c) + l + l - + l 88 ) + - l + - + l ) + l - l + l c) _ -i -l + l+ + l 89 ) 870 ) 87 ) 7 ) c) ) c) d) - + ) + - 87 ) - l + l ) 7 + l7 - l 8 c) 0 - l0 + l 99 d) + l - l -8 e) - l 7 + l f) + 0 l - 0 l - 7 l + 7 l g) 8 h) + l - l 87 ) - l + l ) c) +
Htvá gök logritmus 87 ) 8 ) c) 87 ) ) c) 0 7 7 0 + + 0 + + + - ( - ) + ( - ) + - - + ( + ) + + d) - 87 ) ) - + - l c) + - 0 - d) + l e) + l + l -- - + l + l + - ( + ) - 0 + l - + l - f) c+ - m - g) + + + - + 8-0 7 + l + l _ - i - + - - + + l 0 -l + + e + - o + l
A égzetgök foglm és zoossági 877 ) e + 7 - - 7 o l tehát kifejezés étéke: 0 ) kifejezés egtív c) kifejezés értéke: 0 879 d) kifejezés egtív e) kifejezés értéke: 0 878 ) kifejezés értéke: 0 879 )A helese kitöltött keresztrejtvé: 879 ár A kéezhetô hétjegû számok szám: 880 ) - + + 0 7! 0! $! ) 0 - - 0 + 0 + - 0 + 88 + l + l- $ - - + 88 ) Emeljük égzetre és hszáljuk fel hog - l+ l A kifejezés értéke: ) A zárójele szerelô kifejezés - - A végeredmé: - c) - + d) A zárójele szerelô kifejezés Íg z eredmé: - - e) A kifejezés második tgj: A végeredmé: + l f) A kifejezés elsô tgj: - + A végeredmé: g) Az elsô zárójele szerelô kifejezés: + l A végeredmé: 88 ) Midkét oldlt égzetre emelve dódik z egelôség ) Midkét oldlt égzetre emelve dódik z egelôség
Htvá gök logritmus 88 A l oldl midkét törtjéek evezôjét gökteleítve zárójeleket felotv és összevov izoítdó egelôség: - l + + l Ie égzetre emelés utá dódik z egelôség 88 A elsô égzetgökök ltt teljes égzetek szereelek: - + + l 88 Szorozzuk meg midkét oldlt ^c+ h^c+ h közös evezôvel Ie átredezés kiemelés égzetre emelés mjd összevoás utá c _ c - - i 0 lkr jutuk miôl már következik izoítdó állítás 887 Megmuttjuk hog h > kkor - + + < Ugis égzetre emelés utá + - < zz - < Eze ötlet ljá feldt ) ) része már köe igzolhtó 888 Az elôzô feldt ljá ez is köe igzolhtó 889 Emeljük égzetre midkét oldlt mjd összevoás utá hszáljuk fel hog d c - + - + 890 A $ 0 egelôtleségek kell teljesülie Árázoljuk - 00 + 00 számláló és evezôe szerelô másodfokú kifejezéseket eg koordiát-redszere A evezô zérushelei: és 00 számláló zérushelei: és H # 00 kkor z értelmezési trtomá 890 egetle rímet sem trtlmz H > 00 kkor z értelmezési trtomá: 00 < # Mivel 00 utái elsô rímszám 0 ezért megdott kifejezés értelmezési trtomá kkor em fog egetle rímet sem trtlmzi h < 0 89 Most - + ( + ) - $ 0 és - + 00 > 0 egelôtleségekek kell teljesüliük A számláló zérushelei: és A evezô zérushelei: 0 és 00 Az értelmezési trtomák midekée eleme ezért < kell hog lege
Az -edik gök foglm és zoossági 89 A - + ( + ) - $ 0 és - + > 0 egelôtleségekek kell teljesüliük A evezô zérushelei: és 7 számláló zérushelei és (lásd ár) 89 Az értelmezési trtomá: # < vg 7 < # Az értelmezési trtomá kkor lesz otos d rímszám h 7 # < 9 zz # < 8 89 A feltételek szerit: 0+ + + zz + ( - ) + - 0 Eek z - másodfokú egeletek csk kkor lehet egész megoldás h diszkrimiás égzetszám: ( -) -( - ) K ho - 9 R Ez csk -re teljesül ho edig 8 80 8 + 89 # 00 Azt vizsgáljuk hog z elsô két tg összege mile eseté lesz go hrmdik tgál: 00 + 00 - - 00-00 - > Négzetre emelés utá következôre jutuk: 00 - > zz < 00 Ezek szerit h < 00 kkor kifejezés értéke ozitív h 00 kkor kifejezés értéke 0 h 00 < # 00 kkor kifejezés értéke egtív Az -edik gök foglm és zoossági 89 ) - - ) 0 - - - c) - - d) ics értelme ics értelme ics értelme -
Htvá gök logritmus 89 c 897 ) $ $ $ $ $ ) $ $ $ $ 898 ) $ k $ $ + k$ k k ) $ c d $ cd $ k + 899 8 79 900 ) c d 90 ) ) 7 8 7 9 z 0 8 7 m 7 0 c _ + i 9 0 8 7 ) 8 ` + + j 8`m + m j 8`- + j c) + + - 90 ) 0 ) c) 0 0 90 ) ) k k + k k k+ m m c) - 9 00-9 - d) 9 - - 7 J N 90 ) K z O r L P ) - m- 90 ) 7 7 ) 0 90 ) ) m k 7 907 c z r
Az -edik gök foglm és zoossági 7 908 Az + _ + i` - + j és - _ - i` + + j zoosságok ljá ) 7 ) 909 Az elôzô feldt zoossági ljá ) + ) - 90 ) 0 7 0 ) z c) 8 9 ) 9 8 ) 9 0 J N J c) K O N J K 7 O N J K 9 O N K O L P L P L P L P 9 ) 9 9 J N ) 9 K O 8 L P c) 7 9 90 98 m 7 9 0 9 ) igz ) igz c) hmis d) igz e) igz 9 ) hmis ) hmis c) igz d) igz e) hmis f) igz g) igz 9 ) 8 $ 0 $ ) 9$ 7 $ $ 7 $ J N 97 ) K O J N J K O N 7 K O L P L P L P J N ) 0 7 7 K O L P c) 7 0 d) 7 7 0 m 0 e) J N K O L P 0 9 0 m 7 0 7
8 Htvá gök logritmus 7 98 ) 0 0 m ) 7 0 J N 7 c) K O 0 7 L P m 99 ) 7 - + - + l ) 7 + - + - l 90 ) 7 + - + - l ) 7 - + - $ c) - + - d) 8 7 - $ - $ + $ - e) + d m - m m + l 9 A szögletes zárójel elsô tgj: 7 7 m m m- Eek felhszálásávl kifejezés: m 9 Vigük át l oldl utolsó tgját jo oldlr mjd emeljük köre mikét oldlt: - $ 7 + $ 9-7l 9 Lege kifejezés értéke k Tegük úg mit z elôzô feldt esetée: 7 - $ + 9$ k - l A mûveletek elvégzése és megfelelô átlkítások utá kjuk hog csk k lehet Ezek utá izoítsuk e z elôzô feldthoz hsoló hog 7 - $ + 9$ + 9 Az egelet íg lkíthtó: k k + k + + + $ zz Ie k - -k - 0 ( -)( k - ) Ie edig k vg fordítv k k
Törtkitevôjû htváok 9 9 Az elôzô feldthoz hsoló átlkítást végezve zt kjuk: - - - 0 _ -i_ - i Ie vg fordítv 9 A kifejezés íg lkíthtó: - l + l $ A megfelelô mûveletek elvégzése utá kjuk hog kifejezés értéke: Törtkitevôjû htváok 97 ) 0 ) 8 7 c) 000 8 0 807 98 8 99 ) 0 ) 9 c) c 8 d) 90 $ 9 8 8 m 0 $ 9 $ 8 9 ) igz ) hmis c) hmis d) hmis e) igz 9 ) igz ) igz c) igz d) hmis 9 ) igz ) hmis 9 7 r m k 9 ) r s 7 9 ) 8 c) c 9 m m 0 7 0
0 Htvá gök logritmus 9 c 8 97 ) - 0 + - ) m - 98 ) -- - + + 9 ) - m - 99 ) - ) + + - 7 c - c 90 ) $ 8 ) + c 9 ) `m + j _ m- i 8 + - - - ) c) rs A logritmus foglm és zoossági 9 ) 0 ) c) - - - - - d) - - - e) - -8 8 - - 9 ) ) - - - 9 ) igz ) igz c) hmis d) igz e) igz f) hmis g) igz h) igz i) hmis j) igz k) igz l) igz m) hmis ) igz o) hmis ) igz ) hmis 9 7 8 9 ) 00 ) 9 9 8 c) 7 0 d) 7
A logritmus foglm és zoossági 97 ) 7 9 0 ) 7 78 8 98 ) > 7 8 > > - > ) > > > > 99 ) > -! >! >!- 0 > 7! 0 ) - < < < < > c) > > < vg > 7 < - vg > 7 90 ) < >!- < - >!- < 0 > 9!-! 0 ) < - > < > < < < - > c) < - 7 < < 7 < - 7 0< < < < 0 üres hlmz d) < # 9 < # $ 9 ) < < 9 8! < # # <! ) < -- < < > < -- < < < < > 9! 9! 9 Jelöljük R-rel z dott kifejezések értékkészletét! ) R # 0 R # R # 8 ) R # R # - R # 9 ) 0< R # R $ R $ ) R # 0 R # 0 R > 0 R # - 9 A helese kitöltött keresztrejtvét 9 ár muttj 9 A helese kitöltött keresztrejtvét 9 ár muttj 9 9
Htvá gök logritmus 9 ) lg lg + lg + lg c lg lg + lg + lg lg lg 0 + lg m+ lg lg lg + lg ( r+ s) lg lg ( + ) + lg ( - ) ) lg lg + lg + lg c lg lg + lg + lg + lg r lg lg ( m+ ) -lg ( m- ) lg lg + lg + lg c-lg - lg T 97 ) lg lg + lg -lg - lg lg lg + lg r+ lg r -lg lg lg m+ lg - lg r lg lg + lg + lg + lg + lg -lg r- lg s ) lg lg + lg -lg - lg lg lg + lg - lg - lg ( + ) lg lg m+ lg - lg ( m+ ) -lg ( m- ) lg lg m + lg - ( lg m + lg ) R V S W c) lg lg + lg - lg S W TR X V S W lg lg + lg -lg -lg S W JT X N lg lg m- lg K O L P J J NN lg K lg s+ lg s+ lg r- lg s+ lg r K _ i O K O L L PP 98 ) m r ) $ $ J N r K O L P 99 ) c r 90 ) ) c) d) 9 ) ) c) 9 ) ) c) 9 ) - ) c) d)
A logritmus foglm és zoossági 9-9 0 7 0 007 9 ) 08 078 0 ) 7 7 07 $ 0-97 89978 9 $ 0-0 98 lg 7 lg + lg lg lg + lg E két egelôség öszszege: lg + lg + lg lg + ho lg + 99 lg 8 lg + lg lg 7 lg + lg A lg - és lg - - e kétismeretlees elsôfokú egeletredszer megoldás: lg - lg - Tehát lg lg + lg 970 lg ( 0!) lg + lg + lg + lg + lg + lg 7 + lg 8 + lg 9 + lg 0 + m+ k+ k 97 log 0 ( log + log ) + 97 A feltételôl log - log zz log Írjuk át kiszámítdó meiséget lr log log - log - - log - 97 A feltételekôl log log log c + log + log + log c + + log c + Ie + log c - - - tehát log - + ( + ) ( + ) + c
Htvá gök logritmus 97 Elôször zt izoítjuk hog < log+ log Osszuk el midkét oldlt -vel: < log + log Mivel < < íg jo oldlo eg -tôl külöözô ozitív számk és recirokák összege szereel melrôl tudjuk hog go -él Az egelôtleség másik oldlák izoításához vezessük e log ismeretlet + < zz < 0 - + Ez utói egelôtleség megoldás: < < Mivel < log < ezért z eredeti egelôtleség igz 97 ) Térjük át l oldlo lú logritmusr! ) Térjük át jo oldlo lú logritmusr! c) Vegük midkét oldl lú logritmusát és lklmzzuk logritmus megfelelô zoosságát! d) Térjük át l oldl midhárom téezôjée ugol lr (l lr)! 97 ) Az egelôség jo oldl íg lkíthtó: logc logc + logc logc log c + log + logc logc logc log c ) Térjük át z egelôség l oldlá lr: log log + log log + log c) Térjük át z egelôség l oldlá lr! d) Az egelôség l oldl íg lkíthtó: 0 log + log + log + log log( $ $ $ ) log 0 $ log 977 Írjuk át midkét oldl mide tgját lr: log log ( c- ) + log ( c+ ) log ( c - ) ho c - ez edig Pitgorsz tétele szerit vló igz 978 Az egelôség íg lkíthtó: log m log + log log ho m ez edig jól ismert mgsságtétel 979 Térjük át mide tg és téezôe lr! A l oldl: log $ log log $ log
Neheze feldtok témkörôl A jo oldl: - log log - log log log - log log $ log log - log log $ log A l oldlt és jo oldlt összevetve ezt kjuk: log ho log 980 Mivel ( + )( - ) íg vló log - ( - ) log ( + ) - + + log log $ log $ log $ log log 98 A l oldl midkét tgj - (lásd elôzô feldt) 98 Térjük át lr: - _ log! i log! log + log + log + f + log - + + f +!! ( logi ) log log log log i i i Neheze feldtok témkörôl 98 Elôször kiszámítjuk A-t és B-t J N J 9 - N ( ) A K O - K O K O K O L P L P - J N B - log K 8 O L P A C meiségek csk kkor v értelme h - - + 0> 0 ho - 0 < < Mivel - - + 0- ( + ) + ezért C log8 (- - + 0) # log8 Ezek szerit csk A lehet mérti közé: A B$ C $ log8 (- - + 0) zz + - 0 ho -!
Htvá gök logritmus 98 H log log log ( + ) k kkor k k k k és + k k J N J N k k k k vgis + zz K + O K O L P L P k J N De K tg O íg ezt kjuk: L P tg + zz tg + tg tg - 0 Ie szó jöhetô tg - ho 98 > 0 A - 7+ 9 $ 0 egelôtleség megoldás: # vg $ 9 Ezek szerit ) log # vg log $ 9 ) log # vg log $ 9 Az ) esete # vg 9 $ A ) esete - # log # vg log # - vg log $ zz # # vg 0 < # vg $ 8 8 Árázoljuk eg számegeese z A és B hlmzok elemeit: 98 A B - A hlmz elemei: < # vg 8 # <
Neheze feldtok témkörôl 7 98 Mivel log z 9 + log + 9log z ezért z egelôtleség l oldl íg írhtó: 9 9 9 log + log z+ logz + + + > 8 log log z log z De 9 J log N log + $ + log K log O L P Itt jo oldlo eg ozitív számk és recirokák összege szereel mi leglá Ezek szerit 9 J log N log + $ + $ log K log O L P vgis 9 9 9 log + log z+ logz + + + $ 8 log log z log z Egelôség kkor teljesüle h log log z logz lee ho z 0 vg z lee tehát z eredeti egelôtleség vló igz 987 A kitûzött egelôtleség l oldl: ( log + log ) + tehát ( log + log ) + > ( log + log ) log + log + log + log log + log + log + log Már csk zt kell elátuk hog log + log! zz log > > + - Y 0 log Mivel - + 0 másodfokú egelet diszkrimiás -0 íg z egelôtleség és ezzel z eredeti egelôtleség is teljesül 988 Lege 00 00 00 c Azt kell elátuk hog + + c > + c+ c + + c --c- c> 0 ( - ) + ( - c) + ( - c) > 0 Ez edig ilvávló
8 Htvá gök logritmus 989 A feldt megoldásák godoltmeete zoos 97 feldt megoldásávl 990 A C meiségél térjük át közös (l -es) lr: log C log $ $ log log A másik két meiségre: A log log 9> log 8 < B log log9 < log9 7 Tehát sorred: A> B> C 99 H! kkor (áttérve mide tg lr): log k log k log k log k + + + log + log + log + log Modellezve ezt z egelôséget: + + + + + ho + + + + + Ie log 0 íg vló 99 Az lái feltételekek kell teljesüliük: ) - > 0 ) - + + > 0 c) log ( - - ) + log( - ) + $ 0 ) esete > ) esete másodfokú kifejezés zérushelei: és - tehát - < < c) esete - + + $ 0 egelôtleséget kell megolduk E másodfokú kifejezés zérushelei: és - tehát - # log( - ) # ho # # 8 Midhárom feltételt figeleme véve z értelmezési trtomá: - < # - vg # < 99 Az lái feltételekek kell teljesüliük: - 8$ + $ 0-8 $ + $ 0 - + + 0 > 0 Az egelôtleségek megoldásit árázoltuk z lái számegeese: 99 Az eredeti kifejezés értelmezési trtomá: - < #
Neheze feldtok témkörôl 9 99 Az > 0! - 7 + 9- $ 0 log > log feltételekek kell teljesüliük Az eredeti kifejezés értelmezési trtomá: # < 99 A megdott kifejezés íg írhtó: 7 - + - log ( -) - log log log log 99 Mivel 8 - ezért - loglog log log - - - log - log 997 A tégll koordiátái árhuzmosk tegelekkel megdott egees edig áthld z átlók metszésotjá A tégll T területe: 8 T ( lg 8 -lg )( lg - lg 8 ) lg $ lg $ lg 8 Az átlók O metszésotj: lg + lg 8 lg O lg lg 8 + lg 7 O lg E koordiáták kielégítik z + egeletet tehát 7 lg lg + ho lg Tehát tégll T területe: J N 8 T lg $ K O 9 L P 9 9 998 H 0 kkor H 0 kkor log log Az egees és tegelek lkott háromszög T területe: -
0 Htvá gök logritmus 9 9 8 T log $ log $ - zz log ho 9 vg 9 H 9 kkor z egees egelete: - 9 Eek tegelekkel lkotott metszésotji: - 9 9 9 9 H kkor - + 9 Ekkor metszésotok: - 9 Tehát két egevágó háromszögrôl v szó Ezek átfogój: J 9 N J 9 N 9 + K O K O L P L P Tehát háromszög K kerülete: 9 9 9 9 K + + $ ( + ) 999 A V térfogt: V log $ log $ log log Az A felszí: A $ ( log log + log log + log log ) A $ [ + log ( log + log )] $ [ + V( log + log )] A J N $ + log + log V K V O L P De log + log $ íg jo oldlo zárójele levô meiség go mit zz A > V és ée ezt kellett elátuk