Formális nyelvek I/2.

Hasonló dokumentumok
Házi feladatok megoldása. Automaták analízise, szintézise és minimalizálása. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása

Házi feladatok megoldása. Harmadik típusú nyelvek és véges automaták. Házi feladatok megoldása. VDA-hoz 3NF nyelvtan készítése

Irodalom. Formális nyelvek I/1. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004.

Formális nyelvek. Aszalós László, Mihálydeák Tamás. Számítógéptudományi Tanszék. December 6, 2017

Irodalom. Formális nyelvek I. Véges automaták és reguláris nyelvek. A formális nyelvek egy alkalmazása. Polygon, 2004.

4. előadás Determinisztikus véges automaták

4. Legyen Σ = {0, 1}. Adjon meg egy determinisztikus véges automatát, amely azokat a szavakat fogadja el,

Formális nyelvek - 9.

A Riemann-integrál intervallumon I.

Házi feladatok megoldása. Veremautomaták. Házi feladatok megoldása. Házi feladatok megoldása. Formális nyelvek, 12. gyakorlat

Improprius integrálás

Logika és számításelmélet. 10. előadás

Programtervezési ismeretek

Improprius integrálás

Alap fatranszformátorok II

Nyelvek és Automaták

Lineáris egyenletrendszerek

Az LR elemző felépítése. Léptetés. Redukálás. Kiegészített grammatika. Mit kell redukálni? Kiegészített grammatika. elemző. elemző.

Számításelmélet. Második előadás

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Diszkrét matematika I.

Környezetfüggetlen nyelvek

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

KIEGÉSZÍTÉS A VONALINTEGRÁLHOZ

Logika és informatikai alkalmazásai

Egyetemi jegyzet. Automaták és formális nyelvek

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

Csima Judit BME, VIK, november 9. és 16.

Véges automaták, reguláris nyelvek

definiálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.

Csima Judit november 15.

Környezetfüggetlen nyelvek

Néhány szó a mátrixokról

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2010/2011 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Az 1. forduló feladatainak megoldása

Fonya ZH recap szabivános typo lehet, bocs

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

Turing-gépek. Számításelmélet (7. gyakorlat) Turing-gépek 2009/10 II. félév 1 / 1

Logika és informatikai alkalmazásai

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Logika és informatikai alkalmazásai

Gy ur uk aprilis 11.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Absztrakt vektorterek

17. előadás: Vektorok a térben

Diszkrét matematika I.

Aszimmetrikus hibák számítási módszere, a hálózati elemek sorrendi helyettesítő vázlatai. Aszimmetrikus zárlatok számítása.

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Matematika I. Mőszaki informatikai mérnm. rnökasszisztens. Galambos GáborG JGYPK 2011

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Diszkrét matematika 2. estis képzés

AZ INFORMATIKA LOGIKAI ALAPJAI

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

A digitális számítás elmélete

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Formális nyelvek és automaták

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Mátrixok és determinánsok

13. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnöktanár) Rácsos tartók

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

Gráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

Algoritmuselmélet 12. előadás

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

f (ξ i ) (x i x i 1 )

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

Diszkrét matematika I.

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

A vezeték legmélyebb pontjának meghatározása

Átírás:

Formális nyelvek I/2. Véges utomták minimlizálás Fülöp Zoltán SZTE TTIK Informtiki Intézet Számítástudomány Alpji Tnszék 6720 Szeged, Árpád tér 2. Véges utomták minimlizálás Két utomt ekvivlens, h ugynzt nyelvet ismerik fel. Definíció. Egy M = (Q,Σ,δ,q 0,F) utomt minimális, h ármely, vele ekvivlens M = (Q,Σ,δ,q 0,F ) utomtár Q Q teljesül. Cél: Olyn lgoritmus megdás, melynek inputj egy tetszőleges M utomt, outputj pedig egy M-mel ekvivlens minimális utomt. (Az M utomt minimlizálás.) Az lgoritmust két lépésen djuk meg: (1) M összefüggő részének meghtározás (nem elérhető állpotok elhgyás). (2) Ekvivlens állpotok összevonás (redukálás). 1/19 2/19 Véges utomták minimlizálás M = (Q,Σ,δ,q 0,F) egy utomt Tetszőleges q Q állpot és x Σ szó esetén qx-szel jelöljük zt Q-eli állpotot, melye M q-ól z x htásár kerül: Megjegyzés: (qx)y = q(xy). qx := p, hol (q,x) M (p,λ). Egy p állpotot elérhetőnek nevezünk, h vn olyn x Σ, melyre p = q 0 x. Az elérhető állpotok hlmz Q = {q 0 x x Σ }. Véges utomták minimlizálás Definíció. M = (Q,Σ,δ,q 0,F) utomt M összefüggő része z M = (Q,Σ,δ,q 0,F ) utomt, hol Q = {q 0 x x Σ }, F = F Q, δ (p,) = δ(p,) minden p Q -re. M összefüggő, h M = M. Q meghtározás: (i) Legyen Q 0 = {q 0 } és legyen i = 0. (ii) Legyen Q i+1 = Q i {q Q (p Q i és Σ) melyre q = δ(p,)} (iii) H Q i = Q i+1, kkor legyen Q = Q i és álljunk meg, különen legyen i = i +1 és menjünk (i)-re. 3/19 4/19

Véges utomták minimlizálás, q2, Véges utomták minimlizálás A következő két álĺıtás nyilvánvló: (1) H M z M összefüggő része, kkor L(M) = L(M ). (2) H M minimális, kkor összefüggő. A minimlizálás első lépése, hogy elhgyjuk nem elérhető állpotokt (más szóvl, kiszámoljuk M összefüggő részét). Egy utomt és z összefüggő része. 5/19 6/19 Véges utomták minimlizálás Véges utomták minimlizálás Ekvivlens állpotok: Definíció. Legyen M = (Q,Σ,δ,q 0,F) egy utomt. Definiáljuk Q Q relációt következőképpen: p,q Q-r Ekkor: p q h minden x Σ esetén px F qx F. (1) ekvivlenci reláció (reflexív, szimmetrikus és trnzitív) (2) h p q, kkor minden Σ-r δ(p,) δ(q,) (3) h p q, kkor (p F q F) A relációt M kongruenci relációjánk (röviden M kongruenciájánk) nevezzük. (1) triviális p q h minden x Σ esetén px F qx F. (2) izonyítás: Tfh p q és vn olyn Σ, hogy δ(p,) δ(q,). Akkor vn olyn z Σ, melyre (p)z F (q)z / F. Akkor viszont p(z) F q(z) / F, mi ellentmondás, mert p q. (3) izonyítás: p q, kkor x = ε-r: pε = p F qε = q F 7/19 8/19

Véges utomták minimlizálás M = (Q,Σ,δ,q 0,F) utomt és kongruenci reláció Jelölések: p-t trtlmzó ekvivlenci osztály: [p] = {q Q p q} (ekkor: [p] = [q] p [q] p q) z összes ekvivlenci osztály: [Q] = {[p] p Q} z F-et lkotó ekvivlenci osztályok: Véges utomták minimlizálás M = (Q,Σ,δ,q 0,F) utomt és kongruenci reláció Definiáljuk következő utomtát: hol minden Σ-r: M/ = ( [Q],Σ,δ,[q 0 ],[F] ), δ ([p],) = [δ(p,)]. (A [p] osztályól htásár [δ(p,)] állpot megy.) A definíció helyes, mert h [p] = [q], kkor p q, ezért δ(p,) δ(q,), mi zt jeleti, hogy [δ(p,)] = [δ(q,)]. [F] = {[p] p F} 9/19 10/19 Véges utomták minimlizálás Péld: Véges utomták minimlizálás M = (Q,Σ,δ,q 0,F) utomt és kongruenci reláció, Tétel. L(M) = L(M/ ) (M és M/ ekvivlensek). Bizonyítás. Meg lehet muttni x szerinti indukcióvl, hogy minden p,q Q-r és x Σ + -r px = q (M-en) [p] x = [q] (M/ -en). C0 C1 C2 M/, hol = {q 0,q 1 },{q 3,q 4 },{q 5,q 6,q 7 } Ezután x L(M) q 0 x = q, q F-re [q 0 ] x = [q], q F-re [q 0 ] x = [q], [q] [F] -re x L(M/ ). A hrmdik ekvivlenci (3) tuljdonságól következik. 11/19 12/19

Véges utomták minimlizálás Véges utomták minimlizálás Tétel. H M összefüggő, kkor M/ z M-mel ekvivlens minimális utomt. Bizonyítás. Lásd FZ, Formális nyelvek és szintktikus elemzésük A minimlizálás két fő lépése: (1) M összefüggő részének meghtározás (nem elérhető állpotok elhgyás). (2) A kongruenci kiszámolás. A kongruenciát kiszámító lgoritmus: -et közeĺıtjük ρ 0,ρ 1,... Q Q relációkkl: (i) Legyen ρ 0 következő: minden p,q Q-r, pρ 0 q kkor és csk kkor teljesül, h p F q F. Legyen i = 0. (ii) Legyen ρ i+1 következő: minden p,q Q-r, pρ i+1 q kkor és csk kkor teljesül, h pρ i q és minden Σ-r, δ(p,)ρ i δ(q,). (iii) H ρ i = ρ i+1, kkor legyen =ρ i és álljunk meg, különen legyen i = i +1 és menjünk (i)-r. ρ 0 ρ 1, ρ 2... ρ i = ρ i+1 =... 13/19 14/19 Véges utomták minimlizálás Péld kiszámításár: Véges utomták minimlizálás Péld kiszámításár:,, ρ 1 = {q 0,q 1 }, {q 3,q 4 }, {q 5,q 6,q 7 } 15/19 16/19

Véges utomták minimlizálás Péld kiszámításár: Véges utomták minimlizálás A minimális utomt:,, C0 C1 C2, C0 C1 C2 ρ 1 = {q 0,q 1 }, {q 3,q 4 }, {q 5,q 6,q 7 } ρ 2 = {q 0,q 1 }, {q 3,q 4 }, {q 5,q 6,q 7 }, tehát = ρ 2 17/19 = {q 0,q 1 },{q 3,q 4 },{q 5,q 6,q 7 } 18/19 Véges utomták minimlizálás Tétel. Egy dott L nyelvet felismerő minimális utomt (izomorfizmus erejéig) egyértelműen meghtározott. Ez zt jelenti, hogy h z L-et felismerő ármelyik utomtát minimlizáljuk, mindig ugynzt minimális utomtát kpjuk eredményül. Két utomt ekvivlenciáját úgy is el lehet dönteni, hogy mindkettőt minimlizáljuk, mjd megnézzük, hogy mindkét eseten ugynzt kpjuk-e eredményül. 19/19