KINEMTIK, KINETIK Kinematika: z anagi pontok és a merev testek mozgásának leírása Kinetika: z anagi pontokra és a merev testekre ható erők, nomatékok és a mozgás kapcsolatának tisztázása mozgás okainak leírása nagi pont mozgása a) mozgásfüggvén, a pálagörbe: Mozgásfüggvén: az anagi pont helzetét meghatározó r= r( t) P r ( t ) z O z r= r( t) P r ( t ) Mértékegsége: m pálagörbe r (t) P helvektor-idő függvén Pálagörbe: definíció: z a térgörbe melen az anagi pont a mozgás során végighalad definíció: z r = r( t) mozgásfüggvén által meghatározott térgörbe mozgásfüggvén megadása: - Vektoriális alak DDKR: rt () = te () + te () + zte () z, HKR: rt () = Rte () + zte (), ahol e = cos ϕ e + sin ϕ e - kaláris alak DDKR: = t ( ), HKR: R = Rt ( ), = ( t), ϕ = ϕ( t), z = z( t), z = z( t) mozgásfüggvén az enb,, természetes koordináta-rendszerben: R z R + P e Ívkoordináta: a pálagörbén eg O kezdőponttól mért előjeles s ívhossz (előjeles távolság) O s b n Kisérő triéder: e, n, b - a görbe természetes koordinátarendszerének egségvektorai dr - Érintő iránú egségvektor: e =, e = ds de - Főnormális egségvektor: = κ n= n, n = ds ρ (κ a térgörbe görbülete, ρ a térgörbe görbületi sugara) - inormális egségvektor: b= e n, b = imulósík: az e, n vektorok által kifeszített sík 78
z anagi pont helének megadási lehetőségei: - r = r( t) helvektor idő függvén, - r = r( s) helvektor ívkoordináta függvén, - s = st ( ) ívkoordináta (út) idő függvén (ehhez ismerni kell agörbe alakját) b) sebességfüggvén, a sebességvektor: ebességfüggvén: a mozgásfüggvén idő szerinti első deriváltja dr() t vt () = rt () =, Mértékegsége: m/s Pillanatni sebességvektor: a sebességfüggvén eg adott t időpillanatban felvett értéke v = v( t) Tulajdonságai: - vektor menniség, - irána azonos a pálagörbe érintőjével () izonítás: () dr dr ds vt e ds t = = = = evt () = vte () ds ds() t Pála menti sebesség (pálasebesség): vt () = Tulajdonságai: - a sebességvektor érintő iránú koordinátája, - előjeles skalár menniség, - előjelét az s ívkoordináta iránítása határozza meg Közepes sebesség: mindig eg megadott időintervallumra z vonatkozik P P < tt > időintervallumra vonatkozó közepes sebesség: r rt ( ) rt ( ) r r r r r vk = = = t t t t t O sebességvektorok végpontja ír le a v, v, v koordináta- Hodográf: z a görbe, amit a vt ( ) rendszerben z c) gorsulásfüggvén, a gorsulásvektor: Gorsulásfüggvén: a sebességfüggvén idő szerinti első deriváltja dv () t d r() t at () = =, Mértékegsége: m/s Pillanatni gorsulásvektor: a gorsulásfüggvén eg adott t időpillanatban felvett értéke a = a( t) Tulajdonságai: - vektor menniség, - a pálagörbe simulósíkjába esik, - érintő és főnormális iránú összetevőkből áll 79
dv () t d dv () t de () at = = vtet = e+ v t, de de ds v = = nv() t = n, ds ρ ρ izonítás: () [ () ()] dv v ρ at () = e+ n= ae() te+ an() tn Pála menti gorsulás (pálagorsulás): [ vt ()] () dv() t ae t = sebesség nagságának megváltozásából adódik Normális gorsulás: a () n t = sebesség iránának megváltozásából adódik ρ d) mozgásjellemzők közötti kapcsolat: - Ismert: r = r() t dr() t Meghatározandó: vt () = = vte (), dv() t at () = = ae() te + an() t n - Ismert: a = a() t és a vt ( = t) = v, rt ( = t) = r kezdeti feltételek t Meghatározandó: vt () = v + at (), t t = + t rt () r vt () - Ismert: v = v() t és az rt ( ) = r kezdeti feltétel dv() t Meghatározandó: at () = = ae() te + an() t n, rt () r vt () Merev test mozgása a) lapfogalmak: t = + t - Merev test sebességállapota: testet alkotó pontok eg adott időpillanatbeli sebességeinek összessége (halmaza) - Merev test gorsulásállapota: testet alkotó pontok eg adott időpillanatbeli gorsulásainak összessége (halmaza) - Merev test síkmozgása: test pontjai eg adott alapsíkkal párhuzamos síkokban mozognak 8
- Merev test haladó mozgása: test önmagával párhuzamosan mozdul el test minden pontjának azonos az elmozdulása - Merev test forgómozgása: test pontjai a test két nugalomban lévő pontját összekötő tengel, a forgástengel körül koncentrikus köríveken mozdulnak el - Merev test elemi mozgása: test végtelenül rövid idő alatt bekövetkező (eg időpillanatban történő) mozgása Tétel: Merev test bármel mozgása előállítható eg haladó és eg forgó mozgás összegeként b) Merev test sebességállapota: Összefüggés a merev test két pontjának sebessége között merev test végtelenül kis elmozdulását vizsgáljuk: dr dr dϕ r dϕ r dϕ r dr - párhuzamos eltolás: dr, - szögelfordulás: dϕ (az elmozdulásoktól kettős níllal különböztetjük meg) pont elmozdulása: eltolás + szögelfordulás dr = dr+ d ϕ r dϕ az egész merev testre jellemző menniség dr dr d ϕ = + r Vegük az összefüggés idő szerinti első deriváltját: Elnevezések: dr = v - a merev test pontjának sebessége, dr = v - a merev test pontjának sebessége dϕ = ω - a merev test szögsebessége z ω az egész merev testre jellemző menniség Mértékegsége: rad/s v z új jelölés figelembevételével: v = v + ω r ω r nalógia (tatikából): M = M + F r v z v, ω ismeretében a merev test bármel pontjának sebessége meghatározható Tétel: merev test sebeségállapota egértelműen megadható v, ω redukált vektorkettőssel Tétel: merev test két különböző pontjának sebesége általában nem egenlő Kivétel : - ω, ω r - c) Elemi síkmozgás: Értelmezés: Ha a test bármel pontjának sebessége merőleges ω -ra, azaz párhuzamos az ω -ra merőleges síkokkal 8
ebességpólus: a síknak az a P pontja, amelnek zérus a sebessége - v P ebességábra: eg adott időpillanatban, eg közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző pontjainak sebességvektorait d) Merev test gorsulásállapota: Összefüggés a merev test két pontjának gorsulása között: ε a dω ε = - a merev test szöggorsulása ω r a z ε az egész merev testre jellemző menniség Mértékegsége: rad/s merev test tetszőleges pontjának gorsulása: a = a + ε r + ω ( ω r) Tétel: a merev test gorsulásállapota az a,ω és az ε menniségekkel adható meg egértelműen íkmozgás esetén: a = a + ε r ω r Ha a mozgás síkja: ω = ω e, z ε = ε e z Gorsuláspólus: a síknak az a Q pontja melnek zérus a gorsulása a Gorsulásábra: eg adott időpillanatban, eg közös kezdőpontból felmérjük a test jellemző pontjainak gorsulásvektorait 3 Merev test kinetikája a) Merev test tömegeloszlásának jellemzői: - Tömeg: a merev test haladó mozgással szembeni tehetetlenségét (ellenállását) jellemzi, Mértékegsége: kg m= dm= ρ dv ( m) ( V) ρ - tömegsűrűség, Mértékegsége: 3 kg/m Q - tatikai nomaték: z m dm = ρ dv O ρ r r Pontra számított statikai nomaték: = rdm= rρ dv ( m) ( V) Mértékegsége: kgm Pontra számított statikai nomaték átszámítása: = mr - Tömegközéppont, súlpont: a testnek az a T, illetve pontja, amelre számított statikai nomaték zérus = T 8
tömegközéppont helének kiszámítása: = mr T T Tétel: T tömegközéppont és az súlpont egbeesik, ha a g állandó r m T = = ( V ) ( V ) rρdv ρdv - Tehetetlenségi (másodrendű) nomaték: tehetetlenségi (másodrendű) nomaték a merev test forgó mozgással szembeni tehetetlenségét fejezi ki z z ponti tehetlenségi tenzor: dm Diadikus előállítása: J = ( ) ( ) m ρ ρ E ρ ρ dm ( m) E - egségtenzor z Mértékegsége: kgm J J J z Mátrios előállítása : J J = J Jz - szimmetrikus tenzor J z Jz J z tengelre számított tehetetlenségi nomatékok: J - a testnek az tengelre számított tehetetlenségi J = ( + z ) dm nomatéka, ( m) J - a testnek az tengelre számított tehetetlenségi J = ( + z ) dm > nomatéka, ( m) J z - a testnek az z tengelre számított tehetetlenségi Jz = ( + ) dm nomatéka ( m) íkpárra számított (centrifugális) tehetetlenségi nomatékok: J = J - a testnek az z - z síkpárra számított tehetetlenségi nomatéka, J = J = dm ( m) > J z = J z - a testnek az z - síkpárra számított tehetetlenségi nomatéka, Jz = Jz = zdm = ( m) < J z = J z - a testnek az - z síkpárra számított tehetetlenségi Jz = Jz = zdm ( m) nomatéka Tétel: a J -ből az összes ponti tengelre és az összes ponti síkpárra számított tehetetlenségi nomaték meghatározható J n = n J n, J nm = Jnm = n J m = m J n 83
teiner-tétel: z ζ r = e + e + z e, z két koordináta-rendszer tengelei párhuzamosak: ξ, η, z ζ tétel tenzor alakja: J = J + J m ξ r η tétel skalár alakja: J = J + m + z J = J + m ξ ( ), ξη, J = J + m + z J = J + m z η ( ), ηζ z, J = J + m + J = J + m z ζ z ( ), ξζ z Tétel: párhuzamos tengelek közül az ponton átmenő tengelre számított tehetetlenségi nomaték a legkisebb b) Merev test impulzusa, impulzus nomatéka: z - Impulzus: Értelmezés: I = m dm vdm= vρdv v r ( m) ( V) m Mértékegsége: kg Ns s = Kiszámítás: I = mv - Impulzus nomaték (perdület): m Értelmezés: π = r vdm Mértékegség: kg Nsm s = ( m) Kiszámítás: - peciális esetek: π = J ω, a merev test súlpontja, π P = J ω, P a pillanatni forgástengel eg pontja ( v P P = ) - Általános eset: π = J ω + r vm - Összefüggés test két pontjára számított perdület között: π = π + I r nalógia a tatikából: M = M + F r c) Merev test kinetikai energiája: ω v z m dm r v Értelmezés: E = vdm ( m ) m Mértékegsége: kg = Nm=J s Kiszámítás: E = ( v I + ω π) = mv + ω J ω 84
Kiszámítás speciális esetekben: - ω J egik tehetetlenségi főtengelével Ekkor ω J ω = J sω E = mv + Jsω J - az ponti, ω -val párhuzamos főtengelre számított tehetetlenségi nomaték s - v és Ekkor a E ω J egik tehetetlenségifőtengelével = J ω a J - az ponti, ω -val párhuzamos főtengelre számított tehetetlenségi nomaték d) Merev testre hat erőrendszer teljesítméne: - z erőrendszer redukált vektorkettősét felhasználva: P= F v + M ω n m - z erőrendszert alkotó erőkkel és nomatékokkal: P= F v + M ω v i az F i erő támadáspontjának sebessége, ω j annak a merev testnek szögsebessége, amelre az e) Merev testre ható erőrendszer munkája: W t = P t i i j j i= j= M j nomaték hat merev testre ható erőrendszer <t,t > időtartam alatt végzett munkája egenlő az erőrendszer P teljesítménének t, t határok között vett idő szerinti integráljával munka nem eg időpillanathoz, hanem eg időtartamhoz kötött menniség f) Impulzus tétel: i I = ma = F merev test impulzusának idő szerinti deriváltja egenlő a testre ható külső erők eredőjével g) Perdület tétel: - peciális eset: az pontra: π i = M, ε + ω π = M J merev test pontjára számított perdületvektor idő szerinti deriváltja egenlő a testre ható erőrendszernek a súlpontra számított nomatékával J ε + ω J ω + r ma = M, J ε + ω J ω + r ma = M - Általános eset: az pontra: ( ) ( ) 85
h) Energia tétel, munka tétel: - Differenciális alak energiatétel: E = P Merev test kinetikai energiájának idő szerinti deriváltja egenlő a testre ható külső erőrendszer teljesítménével - Integrál alak munkatétel: E E = W Merev test kinetikai energiájának megváltozása a test véges <t,t > időtartam alatt bekövetkező) mozgása során egenlő a testre ható külső erőrendszer uganazon mozgás során végzett munkájával j) Merev test kénszermozgása: Kénszermozgás: a merev test mozgását más testek előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozzák Kénszer: az a test, amelek az általunk vizsgált test mozgását előírt geometriai feltételeknek megfelelően korlátozza Tétel: a kénszererő (támasztóerő) a kénszer hatását teljes mértékben helettesíti kénszererő a testek érintkezésnél lép fel ima kénszer: a kénszererő merőleges az érintkező felületekre Érdes kénszer: a kénszererő normális és tangenciális koordinátája közötti a Coulombféle súrlódási törvén adja meg a kapcsolatot Coulomb törvén: Ft = µ Fn, µ - a mozgásbeli súrlódási ténező Ez az összefüggés akkor áll fent, ha az érintkező felületek (pontok) között relatív tangenciális elmozdulás lép fel kénszererő F t tangenciális koordinátája olan iránú, hog igekszik megakadálozni az érintkező felületek között létrejövő relatív tangenciális elmozdulást 4 Példák tömegpontok és merev testek mozgására 4 feladat: Tömegpont síkmozgása dott: z r= r() t = b+ b( c t ) mozgásfüggvén a < t, t > időintervallumban és b = ( e + e )m, b = (4e 4 e )m/s, t, t =,5 s, c= s Feladat: a) pálagörbe alakjának meghatározása b) z r = r( t ), r = r ( t ) helvektorok meghatározása c) v( t) sebességfüggvén meghatározása d) < t, t > időintervallumra vonatkozó v k közepes sebesség meghatározása e) z at ( ) gorsulásfüggvén meghatározása Kidolgozás: a) pálagörbe alakjának meghatározása: pálagörbe rt () = r + cft () alakú egenes ( r = b és c = b ) 86
b) tömegpont helének meghatározása a t és t időpillanatban: mozgásfüggvén: r= r() t = b+ b( c t ), r= r( t) = b+ b( c t ) = ( e+ e) + (4e 4 e)( ) = (7e 6 e) m, r = r( t ) = b + b ( c t ) = ( e + e ) + (4e 4 e )(,5 ) = ( e + 3 e ) m c) sebességfüggvén meghatározása: dr v= v() t = = b t= ( 8e+ 8 e) t, v = v( t ), v = v ( t ) = ( e + e ) m/s d) közepes sebesség meghatározása: r ( 3 ) (7 6 ) ( 9 9 ) r e + e e e e + e vk = = = = ( 6e+ 6 e) m/s t t,5,5 e) gorsulásfüggvén meghatározása: dv a= a() t = = b = (4e 4 e) = ( 8e+ 8 e)m/s 4 feladat: Tömegpont síkmozgása dott: z r= r() t = bt+ ct mozgásfüggvén a < t, t > idő intervallumban és b= ( 3e 4 e ) m/s, c= (e +,5 e ) m/s, t, t = s Feladat: a) < t, t > idő intervallumra vonatkozó v k közepes sebesség meghatározása b) v( t) sebességfüggvén és az at ( ) gorsulásfüggvén meghatározása c) pálagörbe és a hodográf megrajzolása < t, t > idő intervallumra Kidolgozás: a) közepes sebesség meghatározása: r= r( t), r= r( t) = bt+ c t = ( 3e 4 e) + 4(e+,5 e) = (e e) m, r r r e e vk = = = = ( e e) m/s t t t b) sebesség- és a gorsulásfüggvén meghatározása: dr sebességfüggvén: v= v() t = = b+ ct = ( 3e 4 e) + (e+,5 e) t, v = v ( t) = ( 3e 4 e ) m/s, v= v( t) = b+ 4 c= ( 3e 4 e) + (8e+ 6 e) = (5e+ e) m/s dv gorsulásfüggvén: a= a( t) = = c= (4e+ 3 e) m/s, a= állandó c) hodográf és a pálagörbe megrajzolása: Hodográf: v = v( t) függvén ábrázolása a v, v koordináta-rendszerben 87
Hodográf Pálagörbe v [ m/s] [ m] O v v 4 v [ m/s] P v 4 [ m] v hodográf osa gorsulásvektorral P P v 4 4 pálagörbe szerkesztése: - P és P pontokban a sebességvektorok a parabola érintői - PP szelő felezéspontját az érintők metszéspontjával összekötő egenes szakasz felezéspontja a parabola harmadik, P pontja - P parabola pontban a parabola érintője párhuzamos a PP szelővel 43 feladat: Tömegpont ferde hajítása dott: tömegpont kezdeti helzete és kezdősebessége: r = (5e + e ) m, α = = [ m] o 3, g m/s v α Kidolgozás: a) z indítási helzet ( t ) mozgásjellemzőinek meghatározása: a = a = g = állandó, [ m] v m/s, Feladat: a) z t indítási helzet mozgásjellemzőinek meghatározása b) pála ponti helvektora és az ponti sebességvektor meghatározása c) hajítás idejének és hosszának meghatározása d) pála görbületi sugarának meghatározása a becsapódási pontban 3 v = vcosαe + vsinαe e+ e = (8,66 e + 5 e) m/s, r e + e = (5e + e ) m b) pála ponti helvektora és az ponti sebességvektor meghatározása: 88
t v = v + gt, r = r + v t + g z ponti sebesség vízszintes iránú koordinátája: v = v cosα = 5 3= 8,66 m/s v= (8,66 e) m/s z ponti sebesség függőleges iránú koordinátája zérus: v sinα,5 v e = v = v sinα gt t= =,5 s g z pont helvektora: + vcosα t= 5 + 8,66,5 = 54,33 m, t + vsinα t g + 5,5 5,5 =,5 m, r = (54,33e +,5 e ) m c) hajítás idejének és hosszának meghatározása: t v = v + gt, r = r + v t + g becsapódási hel függőleges koordinátája ismert: t + vsin α t g, + 5t 5 t t = s 5± 5+ 5± 5 t = = = t = s, t = s mert a t = s megoldás fizikailag nem értelmezhető hajítás hossza: + vcosα t= 5 + 8,66 = 67,3 m,, r = e + e = (67,3e + e ) m ebesség a pontban: v = v + gt = (8,88e + 5 e ) + ( e ) = (8,66e 5 e ) m/s v = v = v + v = 8,66 + 5 = 7,3 m/s v 8,66 becsapódás szöge: cos β = =,5 v 7,3 β = o 6 mozgás hodográfja: v [ m/s] v β v v g t [ m/s] d) pála görbületi sugarának meghatározása a becsapódási pontban: 89
ρ n a n β a e v e n a n β β a e g e a n v = = g cos β ρ v 7,3 ρ = = 59,996 m g cos β,5 44 feladat: Merev test síkmozgása, sebességábra ω D v m C m m Feladat: a) v sebesség meghatározása b) sebességpólus megszerkesztése c) sebességábra megszerkesztése Kidolgozás: a) pont sebességének meghatározása: v = v + ω r = (4 e) + ( ez) ( e) = (4e e) m/s, v = (4e e ) m/s b) sebességpólus megszerkesztése: sebességpólus a sebességvektorokra merőleges egenesek metszéspontja P sebességpólust a helzetábrába (abba az ábrába, amel a pontok helzetét adja me) szerkesztjük meg dott: z,, C, D pont hele az síkon mozgás síkja: v = (4 e ) m/s, ω = ( ) rad/s v C v C e z v ω P (sebességpólus) 9
c) sebességábra megszerkesztése: v P O v [ m/s] v D v C v v C C D v [ m/s] vc = vd + ω rdc vd = v + ω rd rdc rd C, vc = v + ω rc vd = v + ω rd r C r D D 45 feladat: Merev test síkmozgása, sebességábra helzetábra és a sebességábra hasonló sebességábra a helzetábrához képest 9 o -kal el van forgatva ω iránában 3m ω m α β dott: merev test,, C, D pontja, a v sebességvektor α hatásvonala, a v sebességvektor β hatásvonala és ω = (3 ) rad/s e z C o 45 Feladat: a) sebességpólus helének meghatározása szerkesztéssel b) v, v sebességvektorok meghatározása Kidolgozás: a) P sebességpólus helének meghatározása szerkesztéssel: m α z pontból az α hatásvonalra pontból a β hatásvonalra β 3m ω P m o 45 C b) v, v sebességvektorok meghatározása: v = v P + ω r P = (3 e z ) ( e ) = ( 6 e ) m/s, P sebességpólus P sebesség pólus helvektora: r = ( e ) m P 9
v = v (3 ) ( ) ( 6 6 ) m/s P + ω rp= ez e + e = e + e 46 feladat: Merev test síkmozgása, gorsulásábra 3 m C ω ε a m dott: z síkban síkmozgást végző test,,c pontja, a test a test szögsebessége, szöggorsulása és az pont gorsulása ω = ( 3 ) rad/s, ε = (3 ) rad/s, a = (6 e ) m/s e z e z Feladat: a) és C pontjának gorsulásának kiszámítása b) Q gorsuláspólus helvektorának meghatározása c) test gorsulásábrájának megrajzolása Kidolgozás: a) és C ponti gorsulásvektorok kiszámítása: a = a + ε r ω r = (6 e ) + (3 ez ) ( e ) 9( e ) = ( 8e + e) m/s, a = a + ε r ω r = (6 e ) + (3 e ) (3 e ) 9(3 e ) = ( 9e e ) m/s C C C z b) Q gorsuláspólus helvektorának meghatározása: aq = a + ε rq ω rq, = (6 e ) + (3 ez ) ( Q e + Qe ) 9( Qe + Qe ) = 6e + 3 e 3 e 9 e 9 e, / e / e = 3 9, = 6+ 3 9, Q Q Q Q Q Q Q = 3 Q, = 6+ 3Q 9( 3 Q ) = 6+ 3 Q, Q = 3(,),6 m Q =, m r = ( e + e ) = (,e +,6 e ) m Q Q Q Q c) gorsulásábra megrajzolása: ε 8 o tgϕ= =,5 ϕ= 6,56 ω 6 gorsulásábra a helzetábrához képest ( π ϕ) szöggel (8 o -6,56 o )=53,44 o -kal van elforgatva ε iránban Q a a C a Oa Q d) Q gorsuláspólus a gorsulás és a helzetábra hasonlósága alapján szerkesztéssel határozható meg C 9
47 feladat: Merev test síkmozgása R D ω C dott: z síkban síkmozgást végző, állandó ω szögsebességgel gördülő R sugarú merev test szögsebessége ω = ( e z ) = állandó, R = m Feladat: a) P sebességpólus helének, valamint az,, C és D pontok sebességvektorainak meghatározása b) Q gorsuláspólus, valamint az,, C és D pontok gorsulásának meghatározása Kidolgozás: a) P sebességpólus helének, valamint az,, C és D pontok sebességvektorainak meghatározása: Tiszta gördülés: v D P D v = ve = v ( ) ( ) ( ) ( )m/s D + ω rd = ωez Re = ez e = e, v = v ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m/s, D + ω rd = ω ez Re = ez e = e v= v ( ) ( ) D + ω rd = ωez Re + Re = Rωe Rωe= = v = v = ( ve + ve ) = (e + e ) m/s, vc = v ( ) ( ) ( ) ( ) m/s D + ω rdc = ω ez Re + Re = ve ve = e e b) Q gorsuláspólus, valamint az,, C és D pontok gorsulásának meghatározása: v = állandó a ae an= Q z pont a test Q gorsuláspólusa ω= állandó ε a= a + ε r ω r= ω ( Re) = ( e) m/s, ad = a + ε rp ω rd = ω ( Re ) = ( e ) m/s, a = a + ε r ω r = ω ( Re ) = ( e ) m/s, ac = a + ε rc ω rc = ω ( Re ) = ( e ) m/s 93
48 feladat: Hasáb haladó mozgása µ F β G v a dott: haladó mozgást végző m tömegű hasáb, továbbá µ, β, F, G, v Feladat: hasáb a gorsulásának és a hasábra ható támasztó erőrendszer F K eredőjének meghatározása a) feladat megoldása szerkesztéssel: Impulzus tétel: ma = F + G + FK Fe Helzetábra µ e a β e e e v ρ e G e K G Vektorábra m a F e F F K ρ b) feladat megoldása számítással: a = ae, F = µ Fe + Fe, K N N F = F e + Fe = F (cos βe + sin βe) Impulzus tétel : ma = F + G + FK, / e / e = F G+ F, F = G F sinβ N N ma = F µ F, N a = F µ ( G F ) m 49 feladat: Tömegpont mozgása kénszerpálán c α b v µ F dott: z érdes, α hajlásszögű felületen pillanatni sebességgel lefelé mozgó m tömegű hasáb µ,5 ; v = ( e) m/s, m = 4 kg, o g m/s, α = 3, c = m, b = m, F = (e e N v 94
Feladat: hasáb súlponti gorsulásának és a hasábra ható kénszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása a) számítással és b) szerkesztéssel Kidolgozás: a) hasáb súlponti gorsulásának és a hasábra ható kénszererő vektorának és hatásvonalának meghatározása számítással: F Impulzus tétel: ma = ( G+ F + FK) b ( ma e ) = ( mgsinα e mgcos α e ) + c α v h G F K ρ ρ µ + F e + F e + µ FN e + FN e ( ) ( ) z egenletet skalárisan beszorozva először e -al, majd e -el: = mg α + F + F F = 346,4 + = 446,4 N cos N N ma = mgsinα + F + µ FN a ( sin ) = mg α + F + µ FN m ( 4,5,5446,4),9m/s a = + + = 4 súlponti gorsulás: a = (,9 e) m/s kénszererő: FK = ( µ FN e+ FN e) = (,6 e + 446,4 e) N c b kénszererő hatásvonala a perdület- tételből: π s = M s, = F F + hfn, c F b F h,5,448 m F + N F = N 446,4 + 446,4 = b) feladat megoldása szerkesztéssel: ma = ( G+ F + FK) F e a Helzetábra α h e G e K ρ ρ e er Vektorábra m a G F er F F K ρ 95
4 feladat: Henger gördülése kénszerpálán dott: sík kénszerpálán tiszta gördülő mozgást végző körhenger g m/s, l = m, R, m, m= 3 kg m C µ R F K ρ m g a l F a = (8 e) m/s, Feladat: a) z adott gorsulás fenntartásához szükséges F = Fe erő meghatározása b) z F K kénszererő meghatározása c) csúszásmentes gördülő mozgás megvalósításához szükséges µ min nugvásbeli súrlódási ténező meghatározása d) hengerre ható erőrendszernek az l hosszon végzett W munkájának meghatározása Kidolgozás: hengerre ható kénszererő (támasztóerő): FK = FT e + FNe a 8 henger szöggorsulása: ε = εez = ez = ez = ( 8 ez) /s R, a) z F erő meghatározása: m C F Perdület tétel az pontra: π = M, a J ε + ω π = M,, ( ω π ) R m g J aε = M, mert a tehetetlenségi főtengel µ ( J aε ez) = ( F Rez) / ez F 3 mr ε ρ K J aε,5 3, 8 F = = = = 8 N l R R, b)z F K kénszererő (támasztóerő) meghatározása: Impulzus tétel: ma = F ma = F + G + FK ( F e mge + F e + F e ) = ma e / e / e T N F + FT = ma, mg + F N, FT = ma F = 3 8 8 = 6 N, FN = mg = 3 = 3 N F = F e + F e = (6e + 3 e ) N K T N 96
Ellenőrzés: perdület tétel a henger ponti tengelére: J sε = M, J s ε ez = ( F R ez) + ( FR ez) / ez mr ε J s ε,5 3, 8 FT = F = F = 8 = 6 N R R, c) csúszásmentes gördüléshez szükséges minimális nugvásbeli súrlódási ténező: FT 6 µ min = =, F 3 N d) z l szakaszon végzett munka: t t W = P = ( F vc + G v ) + FK v = t t t F v Fl t = = 8 = 7 J 4 feladat: Merev testre ható erőrendszer teljesítméne M G β F v R dott: z R sugarú, G súlú homogén henger β hajlásszögű lejtőn gördül henger súlpontjának pillanatni sebessége v G N, v = ( e) m/s, M = ( e z ) Nm, o β = 3, R,5 m, F = (6e + e) N Feladat: G súlerő P G, az F erő P F, az M nomaték nomaték P M és az F támasztóerő P F teljesítménének kiszámítása Kidolgozás: P = G v = Gsin βe Gcos βe v e = Gsin β v =,5 = W, ( ) ( ) G PF = F ( ) ( ) v = F v = 6e + e 4e = 4 W, v PM = M ( ) ω = M ez ez ez = 4 = 8 W R,,5 P F = F v = 97
4 feladat: Rögzített tengel körüli forgómozgás l n ϑ m g c) súlpont helzetben ω dott: ω = 3rad/s, m = 4 kg, g m/s, o l = m, ϑ = 6 () Feladat: e a) súlpont a gor-sulásának és az F támasztóerőnek a meghatározása az () jelű helzet-ben () b) () helzetbeli ω szögsebesség meghatározása ω a gorsulásának és az F támasztóerőnek a meghatározása a () jelű Kidolgozás: a) súlpont a gorsulásának és az F támasztóerőnek a meghatározása az () jelű helzetben: - súlponti gorsulás meghatározása: Perdület tétel az pontra: J ε + ω ( J ) / ω + rs ma = M ez ε ω z tengel (a tengel) tehetetlenségi főtengel, ezért: l J aε = Ma = cosϑ mg, Ja = Js + m l = ml, J ml s =, 4 3 ml l ε = cosϑ m g, 3 3 g cosϑ ε = = 7,5 /s, l l l a e= ε = 3,75 m/s, an= ω = 4,5 m/s, 3 gcos l a ϑ = a ee + a nn =+ e + ωn = (3, 75e + 4,5 n ) m/s l - támasztóerő meghatározása: Impulzus tétel: ma = mg + F / e / n ma = mg cosϑ + F F = 5 N, e e e man = mg sinϑ + Fn Fn = 6,64 N F = ( 5e 6,64 n) N b) () helzetbeli ω szögsebesség meghatározása: Munkatétel: E E = W = F r = G r + F r, 98
l ml Ja ( ω ω ) = mg sinϑ +, J a = 3 mg l 3g sinϑ ω = ω + sinϑ = ω +, Ja l ω = 5,9 /s, ω = ( 5,9 e z ) rad/s c) súlpont a gorsulásának és az F támasztóerőnek a meg-határozása a () jelű helzetben: l Perdület tétel az a tengelre: J aε = mg, 3 l 3g ε = m m g = = 5 /s l l l l a = ( ε e + ω n ) = (7,5e + 7,46 n ) m/s Impulzus tétel: ma = mg + F / e / n, l 3g m mg Fe l = +, 3g Fe = g m= N 4 l l m ω + Fn, Fn= m ω = 699,6 N F = ( e + 699,6 n) N 43 feladat: Fizikai inga () helzet l m n e mg α () helzet dott: z m tömegű, l hosszúságú prizmatikus rúd, amel az pont körül a függőleges síkban végez forgómozgást z α szöggel meghatározott () jelű helzetben a rúd pontjának sebessége zérus o α = 3, g m/s, m= kg, l = m Feladat: a) rúd pontja a gorsulásának és az F támasztóerőnek a meghatározása az () jelű helzetben b) rúd pontja a gorsulás át és az F támasztóerőnek, valamint az ω szögsebességének a meghatározása a () jelű helzetben Kidolgozás: a) súlponti gorsulás és a támasztóerő meghatározása az indítási, () jelű helzetben: z ponti kénszererő: F = ( F ee + F nn), az pont gorsulása a = ( a ee + a nn ), rúd szöggorsulása ε= ( εk ), rúd szögsebessége ω = ( ωk ) z pontra felírt perdület tétel: π = M J ε+ ω π = M, mertω π 99
() helzet F J aε = M, n l J a α F aε e = mgsin α e z / e z n l e Jaε = mgsinα l n mgsinα l mgsinαl mgsinαl 3 g m a ε = = = = sinα e mg e J a l l J ml + m 3 3 ε,5 3,75 rad/s (3,75 ) rad/s = = ε = e z ε súlponti gorsulás: a = ( a ee + a nn ) l a e= ε= 3,75= 3,75 m/s a e= (3,75 e) m/s, v l a n= = ω a n, l a = (3,75 e) m/s Impulzus tétel: ma= ( F + G ), ( ma e+ ma n) = ( F e + F n ) + ( mgsinα e mgcos α n ) / e / n e n ma = F + mgsin α, e e e e e n F = m( a gsin α) = (3,75,5) =,5 N, ma n= F n mgcos α, Fn = m( gcos α + a n ) =,866 = 7,3 N F = (,5e + 7,3 n) N b) súlponti gorsulás és a támasztóerő meghatározása a függőleges, () jelű helzetben: Munkatétel: E E = W l Jaω Ja ω = mg ( cos α), l Jaω = mg ( cos α ), mgl( cos α ) 3g 3 (,866) ω = = ( cos α) = =,, ml l 3 ω =, =, 47 rad/s z pontra felírt perdület tétel: π = M
J ε+ ω π = M, ε =,mertω π = súlponti gorsulás: a = ( aee + ann ) l ae= ε v l an= = ω =,47 =, an= (, n), l a = (, n) m/s Impulzus tétel: ma= ( F + G ), ( ma e+ ma n) = ( F e + F n) + ( mgn), / e / n ma e n e n, e F e = ma = F mg, Fe= ma e= F = (4, n) N n n F = m( g+ a ) = ( +, ) = 4, N n e