Klasszikus és kvantum fizika

Hasonló dokumentumok
Dekoherencia Markovi Dinamika Diósi Lajos. Elméleti Fizikai Iskola Tihany, augusztus szeptember 3.

January 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,

Kvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje

Kvantummechanikai alapok I.

Határozatlansági relációk származtatása az

1 A kvantummechanika posztulátumai

Kvantum termodinamika

Molekulák világa 1. kémiai szeminárium

Molekulák de Broglie hullámának terjedése

Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal

indeterminizmus a fizikában

összetevője változatlan marad, a falra merőleges összetevő iránya ellenkezőjére változik, miközben nagysága ugyanakkora marad.

GROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.

Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek

2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

Kvantummechanika. - dióhéjban - Kasza Gábor július 5. - Berze TÖK

Evans-Searles fluktuációs tétel

Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,

AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.

STATISZTIKA. A Föld pályája a Nap körül. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia matematikai alapelvei, 1687)

Lagrange és Hamilton mechanika

r a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.

KVANTUMMECHANIKA. a11.b-nek

Fizikai mennyiségek, állapotok

az Aharonov-Bohm effektus a vektorpotenciál problémája E = - 1/c A/ t - φ és B = x A csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározott nincs fizikai

Steven Weinberg: Mi történik egy kvantummechanikai mérés során?

Bell-kísérlet. Máté Mihály, Fizikus MSc I. ELTE. Eötvös Loránd Tudományegyetem. Modern zikai kísérletek szemináriuma, 2016.

Előszó.. Bevezetés. 1. A fizikai megismerés alapjai Tér is idő. Hosszúság- és időmérés.

KVANTUMJELENSÉGEK ÚJ FIZIKA

» Holt-Pipkin: Hg-ból származó fotonok (Harvard, 1973)» Clauser: Hg-ból származó fotonok (Berkeley, 1976), 412 órás mérés» Aspect-Dalibard-Roger:

Atomok és molekulák elektronszerkezete

FELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ

MSC ELMÉLETI FIZIKA SZIGORLAT TÉTELEK. A-01. Tétel A KLASSZIKUS FIZIKA ÉS A NEMRELATIVISZTIKUS KVANTUMMECHANIKA ALAPEGYENLETEI.

Egy nem létező könyv. Fényes Imre: A termodinamika alapjai Akadémiai Kiadó, Budapest, Köszönet: Szőkefalvi-Nagy Zoltán, Lukács Árpád

Univerzalitási osztályok nemegyensúlyi rendszerekben, Ódor Géza

Kevert állapoti anholonómiák vizsgálata

Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

Azonos és egymással nem kölcsönható részecskékből álló kvantumos rendszer makrókanónikus sokaságban.

Az egydimenziós harmonikus oszcillátor

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben

Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi

Tartalomjegyzék. A mechanika elvei. A virtuális munka elve. A TételWiki wikiből 1 / 6

3. A kvantummechanikai szemlélet kialakulása

Atomfizika I. Az anyagszerkezetről alkotott kép változása Ókori görög filozófusok régi kérdése: Miből vannak a testek? Meddig osztható az anyag?

Ahol a kvantum mechanika és az Internet találkozik

Kézirat a Bevezetés a modern fizika fejezeteibe c. tárgyhoz írta: Márkus Ferenc (BME Fizika Tanszék) (utolsó módosítás: november 9.) 4.

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

A kvantummechanika speciális fejezetei

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

A Relativisztikus kvantummechanika alapjai

A kémiai kötés eredete; viriál tétel 1

Atomfizika. A hidrogén lámpa színképei. Elektronok H atom. Fényképlemez. emisszió H 2. gáz

Abszorpciós spektrumvonalak alakja. Vonalak eredete (ld. előző óra)

Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika

A spin. November 28, 2006

Wigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról

S Y L L A B U S. 1. Általános információk az előadásokról, szemináriumokról, szak vagy laborgyakorlatokról

2013. január 9. A Heisenberg-féle határozatlansági relációt úgy szokás megfogalmazni, hogy egy

Relativisztikus pont-mechanika

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

7. Térelméleti S-mátrix, funkcionálintegrálok, Feynman-gráfok

3. A KVANTUMMECHANIKA MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPJAI

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK március 27.

Optimalizálás alapfeladata Legmeredekebb lejtő Lagrange függvény Log-barrier módszer Büntetőfüggvény módszer 2017/

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Tartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Osztályozóvizsga követelményei

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Holográfia a részecskefizikában

A fizikai világ modelljének felfedezése az agyban. Orbán Gergő. CSNL Lendület Labor MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont.

Néhány mozgás kvantummechanikai tárgyalása


Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Geofizikai kutatómódszerek I.

a Bohr-féle atommodell (1913) Niels Hendrik David Bohr ( )

A FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ SZÓBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA TÉTELEINEK TÉMAKÖREI MÁJUSI VIZSGAIDŐSZAK

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Wavelet transzformáció

Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

Kvantum-soktestprobléma ultrahideg atomokkal optikai rezonátorban. Szakdolgozat

Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok

(Independence, dependence, random variables)

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Gravitáció mint entropikus erő

Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja

Reakciókinetika. aktiválási energia. felszabaduló energia. kiindulási állapot. energia nyereség. végállapot

Ha ismert (A,b,c T ), akkor

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

Minek kell a matematika? (bevezetés)

Makroszkópos tulajdonságok, jelenségek, közvetlenül mérhető mennyiségek leírásával foglalkozik (például: P, V, T, összetétel).

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

Átírás:

Klasszikus és kvantum fizika valamint a Wigner függvény T.S. Biró MTA Fizikai Kutatóközpont, Budapest 2017. november 13. T.S.Biró Wigner 115, Budapest, 2017. Nov. 15. Biró Klassz kvantum 1 / 22

Abstract A review of Schrödinger s (Einstein s), Heisenberg s (Bohr s) and Wigner s approach to quantum physics is touched upon. The classical quantum correspondance is not, as usual, restricted to the 0 limit, but rather the classical roots of quantum concepts are emphasized. An energy momentum Wigner function for the Planck scale can be useful. Biró Klassz kvantum 2 / 22

Klasszikus gyökerek Kik a felelo sök? Azt kapták-e amit akartak? Klasszikus fizika: Galilei, Kepler, Newton, Hamilton, Lagrange, Laplace, Gauss Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Planck, Einstein Biró Klassz kvantum 3 / 22

Klasszikus gyökerek Kik csinálták? Azt kapták-e amit akartak? Kvantum fizika: Planck, Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Neumann, Wigner, Feynman Mit tartunk meg, mit cserélünk le a klasszikus fizikából? Biró Klassz kvantum 4 / 22

Érvényét veszti-e a klasszikus fizika?...és pontosan hogyan? Klasszikus mechanika: Hamilton Jakobi egyenlet. H E = 1 2m S 2 x + V (x) + S t = 0. (1) Schrödinger: H E 0, azonban ( S t + 1 2m ) S 2 x + V (x) ψ(x) 2 dx dt = extremum. (2) Boltzmann: S = k log W, Schrödinger: S = i ln ψ. Ebből következik a Schrödinger egyenlet.. i ψ t = 2 2 ψ + V (x)ψ. (3) 2m x 2 Biró Klassz kvantum 5 / 22

Boltzmann vs Schrödinger A képletek története Boltzmann: S = k log W (4) entrópia = Planck nevezte el Boltzmann állandónak log mikorállapotok száma Schrödinger: S = i log ψ (5) hatás = Einstein nevezte el Planck állandónak log eikonál Biró Klassz kvantum 6 / 22

A variációs elv variációja Ha (2)-be beírjuk az eikonál formát: K Variáljuk ψ szerint: ( ) ψ ψ + 2 ψ ψ i t 2m x x + V (x)ψ ψ dx dt = extremum. (6) δk δψ = i ψ t 2 2 ψ + V (x)ψ = 0. (7) 2m x 2 Az együttható /i muszáj, hogy tisztán képzetes legyen, különben K nem complex analitikus funkcionálja ψ-nek. Biró Klassz kvantum 7 / 22

Érvényét veszti-e a klasszikus fizika?...és pontosan hogyan? Bohr: mi ragaszkodunk ahhoz, hogy H E = 0. Ugyanakkor a Schrödinger egyenlet érvényes. i ψ t = 2 2 ψ + V (x)ψ. (8) 2m x 2 A történelmi megoldás: E, P és x operátorok! Ê i t, ˆP i, ˆx x (9) x ekkor δk δψ = Êψ + H(ˆP, ˆx)ψ = 0. Súlyos következmény: [ˆP, ˆx] ˆPˆx ˆx ˆP = i. Biró Klassz kvantum 8 / 22

A vita Einstein vs Bohr; Schrödinger vs Heisenberg picture a klasszikus egyenlet nem igaz; a klasszikus mennyiségek léteznek, csak nem követik a klasszikus pályákat; a hatás lehet komplex. a klasszikus egyenlet igaz, de a klasszikus mennyiségek helyett operátorokra érvényes; a (komplex) hatás vajon maga is operátor? Biró Klassz kvantum 9 / 22

Valószínűségi értelmezés és néhány buktatója 1 ψ 2 egy PDF x-ben ( több mint súlyfaktor... ) 2 klasszikusan lehetetlen helyeken ψ 2 exponenciálisan kicsi 1 3 bizonyos varianciák ( mérési hibák ) szorzatának van alsó határa, O( ). 4 mérés = beugrás sajátállapotba (mennyi idő alatt?) 5 a pontrészecskék kiterjedt propagálása és interferenciája ( hullámtermészet ) 1 Meddig lehet adósság mellet jól élni? Biró Klassz kvantum 10 / 22

A kvantum fizika arcai absztrakt Hilber tér és reprezentációk A kvantum fizika 1 sztatikus dolgokra paradox a klasszikus fizika nyelvén. 2 dinamikája örökölte a klasszikus fizikáét. Egy x állapotban az ˆx operátor értéke éles ( sajátállapot ) Egy p állapotban a ˆp operátor értéke éles ( sajátállapot ) Ezek az állapotok oszcillálva fednek át: síkhullám p x = e i p x (10) Biró Klassz kvantum 11 / 22

Bizonyosság a bizonytalanságról Unschärfe = elmosódottság A fizikai mennyiségeket hermitikus operátorok írják le, a mérési eredmények mindig valós számok. Legyen A és B hermitikus operátor, λ valós paraméter, A = 0 és B = 0. Így A 2 = A 2, B 2 = B 2. Vegyük a C = λa + i B kombinációt. Ekkor λ CC = λ 2 A 2 + 1 λ 2 B2 i[a, B] 0. (11) Miután a számtani (aritmetikai) közép mértani (geometriai) közép, A B i [A, B] 2. (12) Biró Klassz kvantum 12 / 22

Ami nem kommutál az nem lehet egyszerre éles Híres eset: A = ˆp, B = ˆx. Erre p x 2. (13) Következmény síkhullám (10) és a Wigner függvény W (x, p) e i p q ψ (x + q/2) ψ(x q/2) dq. (14) Általában W (x, p) p q x + q/2 ˆρ x q/2 dq. (15) Biró Klassz kvantum 13 / 22

Wigner függvény és valószínűség eloszlás A Wigner függvény valós (ˆρ hermitikus), de általában nem mindenütt pozitív. A marginálisai PDF-k: W (x, p) dp 2π = ψ(x) 2. W (x, p) dx = ψ(p) 2. (16) Inverze a Weyl-transzformált: x ˆρ y = ( x + y ) W, p p x y dp 2 2π. (17) Biró Klassz kvantum 14 / 22

Oszcillátor és Schrödinger macskája a fázistérben A macska két koherens állapot összege: cat z + z Biró Klassz kvantum 15 / 22

Wigner függvény kisimítása statisztikus szemlélet A Wigner függvény tipikusan O( ) tartományon oszcillál. Husimi: Gauss simított Wigner függvény Wehrl entrópia = S BG [Husimi] Nem hermitikus operátor Wigner transzformáltja már komplex. Biró Klassz kvantum 16 / 22

Wigner függvény és életlenség Unschärfe, uncertainty, határozatlanság Mi oszcillál tulajdonképpen? e i p q = e i p (q/2) ( p q) min. (18) Általánosított Wigner függvény magja: e i A (B/2) ( A B) min (19) Biró Klassz kvantum 17 / 22

Különleges Wigner függvény energia és impulzus között! Energia és impulzus elmosódása is korlátos: E P i [Ĥ, ˆP] = F. (20) 2 2 Megint a H = E feltevés miatt, öröklődő módon H(ˆP, ˆx) P = v P 2 + F x P F. (21) 2 Biró Klassz kvantum 18 / 22

Energia impulzus elmosódás mikor mennyi? Oszcillátor: F = 0. Gravitációs térben: F = mg = GMm R 2 Ha P = mc, akkor E 2c g = πt Unruh. Önmaga gravitációja alatt: F = GM2 R 2. Schwarzschild rádiuszon (R = 2GM/c 2 ) az elmosódás: E P c4 8G = 1 8 (M Pc 2 ) (M pc). (22) Biró Klassz kvantum 19 / 22

Újabb Wigner függvény releváns a Planck skálán A Planck skálán E P = 1, nincs egyszerre éles érték. Kínálkozik az energia-impulzus Wigner függvény: W (E, P) P ɛ E + ɛ/2 ˆρ E ɛ/2 dɛ. (23) Planck skálán W PL (E, P) = e i 4G c 4 p ɛ E + ɛ/2 ˆρ E ɛ/2 dɛ. (24) Ha ˆρ energia-diagonális, E + ɛ/2 ˆρ E ɛ/2 = f (E)δ(ɛ), akkor W (E, P) = f (E). Biró Klassz kvantum 20 / 22

Ha van kvantum gravitáció oda Wigner funkcionál kell majd Határozatlanság az alapváltozó és konjugáltja között van. Ezért oszcillál. S g µν g µν A Wigner - funkcionál hullámterjeszti a metrika zavarait : [ ] S W, gµν g µν S h µν g µν g µν + 12 hµν g ˆρ µν 12 hµν D[h]. (25) Biró Klassz kvantum 21 / 22

SUMMA THEORIAE 1 A B h AB nem természeti törvény 2 nem csak a hely és a sebesség nem lehet éles egyszerre 3 ahol van gravitáció, ott nincs éles energia-állapot 4 a Planck skálán hasznos lehet egy W (E, P) Wigner függvény. Biró Klassz kvantum 22 / 22