Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja

Átírás

1 Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja Szakdolgozat Bodor Áron Csaba ELTE TTK, Fizika BSc, Fizikus szakirány Témavezető Dr. Horváth Ákos ELTE TTK Atomfizikai tanszék Budapest, 2016

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Neutron glóriával rendelkező atommagok [1] Coulomb-disszociáció Kétrészecskés rendszerek szétesése Kvantummechanika Időfejlődés Az állapotok térbeli reprezentálása A hely eltolása: impulzus sajátállapotok Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban Várható értékek A vizsgált rendszer A rendszer Hamilton-operátora Kötött és kontinuum állapotok Reakciómodellek Numerikus módszerek Tér és idő diszkretizációja Időléptetés Diszkrét differenciák, impulzusoperátor Hamilton-operátor diszkrét tartományon Többváltozós eset Operator splitting A numerikus algoritmus

3 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 4. Eredmények Elöljáróban A rendszer időfejlődésének követése projekciókkal A relatív sebesség várható értéke Szimulációk a V INT (r; t) modellben Állapot időfüggése Projekciók és relatív sebességek különböző impakt paraméterek esetén Felhasadás valószínűsége és relatív sebességek széles (K, b) paramétertartományon Szimulációk a V INT (r, R) modellben Állapot időfüggése Visszaszórt valószínűségsűrűség leválasztása Diszkusszió 43 Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 3

4 1. fejezet Bevezetés 1.1. Neutron glóriával rendelkező atommagok [1] Az izotóptérkép túlcsordulási vonalainak környezetében az atommagoknak különleges szerkezete lehet. A modern magfizikai kutatások egyik fő célja ezen területek feltérképezése. A könnyű, neutronban fajlagosan gazdag atommagok - a neutron túlcsordulási vonal környékén - is ilyen atommagok. A magfizikai kutatások eredményeként sikeresen elő lehet már állítani ilyen magok alkotta nyalábokat. Instabilitásuk miatt ezeket csak szóráskísérletekben tudjuk vizsgálni. Ez megnehezíti a pontos szerkezet meghatározását. Szóráskísérletek által bizonyított, hogy ezen könnyű egzotikus atommagoknak létezhet olyan szerkezete, ahol az utolsó neutron lazán (egy nagyságrenddel kisebb kötési energiával) csatlakozik az atommaghoz. Emiatt ennek a neutronnak a hullámfüggvénye kiterjedt. Ez egy glória elnevezésű magszerkezetet eredményez, ahol a neutront - vagy neutronokat, esetleg neutron klasztereket - különállónak lehet tekinteni a atommagtól olyan értelemben mint egy elektront az atommagtól, ezért ezeket a glóriaszerkezetet kialakító neutronokat valencia neutronoknak is szokták nevezni Coulomb-disszociáció A Coulomb-disszociáció során az glóriás atommagok felhasadhatnak elektromágneses tér hatására. Ez általában úgy realizálódik, hogy egy egzotikus atommagnyalábot ólom céltárgyra lőnek. Ekkor az ólom magok erős Coulomb-terében lehetségessé válik, hogy az elektromágneses tér az atommagot kilökje a glória szerkezetből. Ezen folyamat tehát 1

5 1. FEJEZET. BEVEZETÉS 1.2. COULOMB-DISSZOCIÁCIÓ egy atommagot és egy, vagy több leszakadt neutront eredményez a vizsgált magtól függően. A Coulomb-disszociáció aktív kutatási terület és alkalmas eszköz nukleáris asztrofizikai kérdések megválaszolására [2]. Szakdolgozatom célja, hogy egy időfüggő leírást adjak kétrészecskés nem relativisztikus kvantummechanikai rendszerek széteséséről külső tér hatására. Ennek a motivációja, hogy a Coulomb-disszociáció során előfordulhat utógyorsítás. Ez azt jelenti, hogy a Coulomb-tér hatására kiszakadt atommag és a neutron közötti relatív sebesség eltér a nullától[7]. Feladatom ilyen jelenség kutatása egy egyszerű kvantummechanikai modellben, amely alkalmas későbbi bővítésre. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 2

6 2. fejezet Kétrészecskés rendszerek szétesése Szakdolgozatom célja kétrészecskés kvantummechanikai rendszerek szétesésének dinamikai vizsgálata. Ehhez szükséges áttekinteni a felhasznált elmélet, a kvantummechanikai alapjait és következményeit: a 2.1 rész a teljesség igénye nélkül számol be ezekről. Ezen részben, mivel lényegében oktatási anyagokat tartalmaz, nem hivatkoztam az egyenleteket, összefüggéseket, itt jegyezném meg, hogy megírásában a vezérfonalat [3, 4, 5] művek szolgálták. A 2.2. részben bevezetem a vizsgált rendszert és a paramétereit, a kölcsönhatás két lehetséges modelljét Kvantummechanika Az állapottér a C komplex számtest fölött értelmezett Hilbert-tér, jelölje H. Az állapotokat ebben az absztrakt térben a Dirac-féle "bra-ket" konvenció szerint jelöljük: Ψ H. A Born-féle valószínűségi értelmezés miatt az állapotteret megszorítjuk az egy normájú állapotokra: Ψ Ψ =! 1, így a különböző állapotok halmaza a H-beli egységgömb felülete, a teljes állapottéren pedig a Φ = c Ψ, c C fizikailag azonos állapotként interpretálhatóak: Φ Ψ. Ezt röviden úgy mondhatjuk, hogy egy állapotnak a Hilbert-tér egy sugara felel meg, nem pedig egy vektora. A fizikai mennyiségek a Hilbert-téren ható önadjungált (hermitikus) operátorok, ezek szokásos jelölése: Â, Â = Â. 3

7 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA Időfejlődés Hogy dinamikai leíráshoz jussunk, az állapottér elemeit az idővel paraméterezzük: Ψ(t) H, t R. Az állapotok időbeli fejlődését szokásos az 2.1. ábrához hasonló módon szemléltetni ábra. Az állapot időfejlődésének szokásos szemléltetése a H-beli egységgömbön. Az állapotok időbeli fejlődésének leírásához vezessünk be egy időfejlesztő operátort a következő definiáló relációval és paraméterezéssel: U : H H, (2.1) U(t, t 0 ) Ψ(t 0 ) = Ψ(t), (2.2) tehát U(t, t 0 ) operátor a t 0 -beli állapotot a t-beli állapotba transzformálja. Az időfejlesztő operátorra kiszabunk feltételeket, melyek teljesítése meghatározza az operátor tulajdonságait: F.1 az időfejlesztés legyen normatartó, tehát ne képezze az egység normájú állapoto- Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 4

8 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA kat nem egység normájú állapotokba: Ψ(t) Ψ(t) = Ψ(t 0 ) U (t, t 0 )U(t, t 0 ) Ψ(t 0 )! = Ψ(t 0 ) Ψ(t 0 ) }{{} =1 t, t 0 ; ennek a következménye, hogy az időfejlesztő operátor egy unitér transzformáció: U (t, t 0 ) = U 1 (t, t 0 ), F.2 az időfejlesztés tartson az identikus transzformációhoz, ahogy a t idő paraméter tart a t 0 kezdőpillanathoz: lim U(t, 0) = I, t 0 F.3 egymást követő időfejlesztések is legyenek időfejlesztések (csoport tulajdonság), továbbá minden két időpont közötti időfejélesztést lehessen felbontani kisebb időlépésekre: U(t 2, t 1 )U(t 1, t 0 ) = U(t 2, t 0 ), F.4 zárt rendszerben teljesüljön az időeltolási invariancia, tehát az időfejlesztő operátor csak az argumentumainak különbségétől függjön: U(t 2, t 1 ) = U(t 4, t 3 ), { t 1, t 2, t 3, t 4 t2 t 1 = t 4 t 3 }, ilyenkor az U-val jelölt operátorokat át lehet paraméterezni, hogy csak egy argumentumuk legyen: t 2 t 1 t U(t 2, t 1 ) U(t), tehát zárt rendszerben az F.3. feltétel alakja: U(t 3 = t 2 t 0 = t 2 + t 1 ) = U(t 2 = t 2 t 1 )U(t 1 = t 1 t 0 ). Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 5

9 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA A F.2. és F.3 feltétel következménye, hogy: U(0, t)u(t, 0) = U(0, 0) = I U 1 (t, 0) = U (t, 0) = U(0, t), (2.3) tehát az időfejlesztő operátorokon értelmezett adjungált megegyezik a fordított irányú időfejlesztéssel. Fejtsük Taylor-sorba az U(t + dt, t) infinitezimális időfejlesztést dt eltolásban első rendig: U(t + dt, t) = U(t, t) + du dt + O(dt 2 ). (2.4) }{{} dt (t,t) =I A (2.4) egyenletben kihasználtuk a F.2. feltételt. Ahhoz, hogy (2.4) egyenletben az operátor (dt rendben) unitér legyen a következő kell teljesüljön: du dt = iĥ(t) (t,t), Ĥ = Ĥ, (2.5) ahol bevezettük az időeltolás generátorát, a Hamilton-operátort, amely hermitikus, tehát fizikai mennyiséghez rendelhető operátor. Zárt rendszerben az időeltolás szimmetria, ezért a Noether-tétel alapján a generátora egy megmaradó fizikai mennyiség. Az időeltoláshoz asszociált mennyiség az energia, ezért a Ĥ(t) operátor legyen az energia operátora. Sok esetben a vizsgált fizikai rendszernek ismertnek tekintjük a Hamilton-operátorát és ennek függvényeként vagyunk kíváncsiak az időfejlesztő operátorra, ezért érdemes differenciálegyenletet írni rá, ugyanis ebben meg fog jelenni a Hamilton-operátor: d Ψ(t) dt = du dt ( U(t + δt, Ψ(t t0 ) U(t, t 0 ) 0) = lim (t,t0 ) δt 0 δt ) Ψ(t 0 ), (2.6) amelyből U(t, t 0 )-t kiemelhetjük (F.3 feltétel miatt), így (2.4) egyenletet felhasználva: d Ψ(t) dt ( U(t + δt, t) I ) = lim U(t, t 0 ) Ψ(t 0 ) = i δt 0 δt Ĥ(t) Ψ(t), (2.7) ez a Schrödinger-egyenlet, amelyet átírhatunk az időfejlesztő operátorra: du dt = i (t,t0 ) Ĥ(t)U(t, t 0). (2.8) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 6

10 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA A (2.8) egyenlet megoldása zárt rendszer esetén ( Ĥ(t) Ĥ), illetve ha [ Ĥ(t 1 ), Ĥ(t 2) ] = 0, t 1, t 2 triviális: U(t, t 0 ) = Ĥ(t t 0), ha Ĥ(t) Ĥ, e i i e t t 0 Ĥ(t )dt, ha [ Ĥ(t 1 ), Ĥ(t 2) ] = 0 t 1, t 2. Ha a fenti feltételek egyike sem teljesül, akkor a megoldása az (2.8) egyenletnek: t (2.9) i Ĥ(t )dt t U(t, t 0 ) = Te 0, (2.10) ahol Te az időrendezett exponenciálist jelöli, amelyet a következővel definiálunk: i Te t t 0 Ĥ(t )dt = I + i t t 0 Ĥ(t )dt + ( i ) t t 2 Ĥ(t )Ĥ(t )dt dt +... (2.11) t 0 t 0 Látható, hogy az időrendezésre azért van szükség, mert időtől függő, de a különböző időpontokban nem felcserélhető Hamilton-operátorok esetén, ha (2.9) egyenletben felírt (második) képletet alkalmaznánk, az sértené a kauzalitást: az exponenciális sorát kiírva lennének olyan tagok, ahol Ĥ(t )Ĥ(t ), t t. Ez azonban (ha a két Hamiltonoperátor nem felcserélhető) azt jelentené, hogy egy később levő időeltolást egy korábban levő időeltolás követ (az eltolási műveleteket jobbról balra kell "kiolvasni"), ez az ami a kauzalitást sérti és emiatt kell kizárnunk az exponenciális függvény sorából ezeket a tagokat, és így jutunk az időrendezett exponenciális függvényhez Az állapotok térbeli reprezentálása A helyt, mint fizikai mennyiséget, változót reprezentálja egy d-dimenziós euklideszi vektortér, ezt jelöljük V-vel, dim V = d, elemei a helyvektorok: x V. Vezessük be a helymérés vektoroperátorát: ˆx, ˆx = ˆx. Ez a helynek, mint fizikai mennyiségnek megfelelő operátor. Az operátor sajátértékegyenlete: ˆx x = x x, (2.12) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 7

11 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA x x = δ(x x) ortonormált sajátállapotok, valós sajátértékekkel. Ha a teljességi reláció is teljesül: d d x x x = I, (2.13) akkor ˆx sajátállapotai egy teljes ortonormált rendszert alkotnak, tehát ezeken az állapotokon kifejezhetjük a Hilbert-tér állapotait: Ψ = d d x x Ψ x = d d xψ(x) x. (2.14) A (2.14) egyenletben bevezettük ψ(x) függvényt, amelyet a Ψ állapot helyreprezentációjának nevezünk. A (2.14) egyenlet segítségével levezethető a skalárszorzat reprezentációja: Φ Ψ = dx d d x Φ x x Ψ x x = x d d xφ (x)ψ(x). (2.15) A normáltság miatt ψ(x)-szel jelölt függvényeknek is normáltnak kell lenniük, ezért ezeket általában az V téren értelmezett négyzetesen integrálható függvények teréből, L 2 (V)-ből választjuk. A ˆx függvényei helyreprezentációban: x ˆx Ψ = x x Ψ = x ψ(x ) x ˆf(ˆx) Ψ = f(x ) x Ψ = f(x )ψ(x ), (2.16) tehát a ˆx operátor a helyreprezentációban az adott hely koordinátáival való szorzás művelete, és emiatt az operátor függvényei az adott helyen vett függvényértékkel való szorzás műveleteiként ábrázolódnak A hely eltolása: impulzus sajátállapotok A V fizikai tér eltolása, mint transzformáció, unitér módon ábrázolódik a H-téren, tehát a ˆx helyoperátor eltoltja: ˆx = U a ˆx U a = ˆx + a, (2.17) ahol a V az eltolásvektor. Az unitér transzformációt egy hermitikus operátor "generálja", ezt jelöljük ˆp-vel és a fizikai impulzusnak feleltetjük meg (hasonló módon, az időeltolásnál a Ĥ Hamilton operátort az energiának feleltettük meg). Ekkor a transzfor- Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 8

12 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.1. KVANTUMMECHANIKA máció: ˆx = e iˆpa ˆx e iˆpa = ˆx + a. (2.18) Az (2.18) egyenletben, ha a transzformációkat valamilyen infinitezimális da paraméterel végezzük el, a Heisenberg-relációra jutunk: ˆx = ˆx + i [ ] ˆp, ˆx da + O(da 2 ) = ˆx + da [ˆp i, ˆx j ] = i δ ij. (2.19) A Heisenberg-reláció legfontosabb következménye, hogy ˆx és ˆp operátoroknak nincs közös sajátállapot-rendszere, tehát nincs olyan bázisa, melyben tetszőleges Â(ˆx,ˆp) fizikai mennyiség diagonális Impulzus operátor és sajátállapotai helyreprezentációban Általánosan a hullámmechanikában (helyreprezentációban) fontos jelentősége van, hogy a választott reprezentáns függvénytér elemeire hogyan hat az impulzus operátor, továbbá, hogy az absztrakt sajátállapotai milyen hullámfüggvénnyel írhatóak le. Az első kérdésre a választ az x-bel hullámfüggvény (infinitezimális) x-szel való eltranszformálása adja: ψ(x + x) = e iˆp x ψ(x) (I + iˆp x )ψ(x) i ψ(x) ˆp i, (2.20) x i ahol az egyenlet bal oldalát Taylor-sorba fejtettük. Ez alapján impulzus operátor elsőrendű differenciáloperátor L 2 -en. Az impulzus sajátállapotokra fennáll: ˆp p = p p, ezért reprezentációjuk: x p = e iˆpx iˆpx ψ(0) p = 0 e p = e ipx 0 p, (2.21) ahol kihasználtuk a projektorfelbontást: f(ˆp) = d d pf(p) p p. Az utolsó skalárszorzat szabadon rögzíthető, ezért legyen konvencionálisan 0 p = (2π) d/2. (2.22) Látható tehát, hogy az impulzus sajátállapotok hullámfüggvénye: x p = e ipx /(2π) d/2, (2.23) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 9

13 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER tehát a bázistranszformáció az impulzus- és a helyreprezentáció között azonos a Fouriertranszformációval, hiszen: ψ(x) = x Ψ = d d p p Ψ x p = ahol F a Fourier-transzformációt jelöli. d d p (2π) ψ(p) d/2 exp ( ipx ) = F 1 { } ψ(p), (2.24) Várható értékek Egy Â= fizikai mennyiség várható értékét egy adott állapotban a következő összefüggés definiálja: Â Ψ = Ψ Â Ψ. (2.25) A  a = a a sajátértékproblémával definiált { a } teljes ortonormált rendszert felhasználva: Â Ψ = Ψ a a  a a Ψ = a a Ψ 2, (2.26) a,a a tehát az a Ψ 2 pozitív definit, egyre normált mennyiséget megfeleltethetünk egy eloszlásnak: ρ Ψ (a) = a Ψ 2  operátorral való mérési eredmény a ρ(a) valószínűséggel. (2.27) Ez a kvantumfizika mérési axiómája. Ez alapján x Ψ 2 annak az eloszlását adja, hogy hol található a rendszer, amelynek állapotát Ψ jegyzi, ezt a hullámmechanikában Bornféle interpretációnak nevezik, amelyre hivatkozva tettük meg a Ψ Ψ = 1 megszorítást ezen rész elején A vizsgált rendszer Szakdolgozatom célja, hogy két részecskéből álló rendszereket vizsgáljak, melyek kezdetben kötöttek, azonban adott külső behatásra felszakad ez a kötés. Ezeket a rendszereket kvantumdinamikailag vizsgáltam, hogy az egyes átmenetek, folyamatok időbeli lefolyásáról számot adhassak. Az alábbi általános feltételezésekkel éltem: a fizikai tér (V) egy dimenziós, dim V = d = 1, így a szabadsági fokok (f) maximális száma: f = n d = 2, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 10

14 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER a két részecske megkülönböztethető, a rendszer térbeli és impulzusbeli reprezentációját vizsgáltam. A rendszert Hamilton-operátora határozza meg, általános cél adott rendszerek Hamiltonoperátorának megtalálása (amennyire az meghatározható lehet). Egy szokásos eljárás lehet ezen feladat teljesítésére az operátor "megsejtése" klasszikus analógiából, ebből a (2.7), vagy ezzel analóg egyenlet megoldása és fizikai mennyiségek (reakciókról beszélve ez általában a hatáskeresztmetszet) kiszámítása. A szakdolgozat célja a kétrészecskés rendszer felszakadásának vizsgálata volt különböző modellek szintjén, nem konkrét mérési eredmények magyarázata, ezért különböző, önkényesen 1 megválasztott Hamilton-operátorok esetén vizsgáltam ezt. A magfizikai motiváció leszűkíti a választott paramétereket, kölcsönhatásokat kvalitatív és kvantitatív módon A rendszer Hamilton-operátora A rendszer belső viszonyait leíró Hamilton-operátorát a következőképpen választottuk: Ĥ(ˆx 1, ˆp 1, ˆx 2, ˆp 2 ) = ˆp2 1 2m 1 + ˆp2 2 2m 2 + ˆV C ( ˆx1 ˆx 2 ). (2.28) A (2.28) operátort a nem relativisztikus kvantummechanikában szokásos kanonikus kvantálás alapján választottuk meg: tartalmazza a két részecske kinetikus energiaoperátorát és a két részecskét összekötő centrális potenciált. Felhasználva a (2.20) összefüggést, a (2.28)-beli operátor térbeli reprezentációja: Ĥ(x 1, i 1, x 2, i 2 ) = 2 2m m V C ( x1 x 2 ). (2.29) A tömegközéppont és a relatív koordináta (2.31) bevezetésével átírhatjuk a Hamiltonoperátort olyan alakba, hogy a szabadsági fokokat ne csatolja: r = x 1 x 2, x 1 = R + µ m 1 r, (2.30) R = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2, x 2 = R µ m 2 r, (2.31) 1 Az önkényesség itt azt jelenti, hogy fontosabb egy szemléltethető képpel indokolni a Hamiltonoperátor megválasztását, mint mérési eredményekkel. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 11

15 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER ahol bevezettük a µ = m 1m 2 m 1 +m 2 redukált tömeget. A koordinátákhoz tartozó impulzusoperátorokat kiszámíthatjuk az inverz transzformáció segítségével, ennek eredménye: ( ˆp1 ˆp r = µ ˆp ) 2, (2.32) m 1 m 2 ˆp R = ˆp 1 + ˆp 2. (2.33) Meggyőződhetünk arról, hogy (2.33) egyenletekben definiált impulzusoperátorok a megfelelő (2.31)-beli helyoperátorokkal teljesítik az (2.19) kommutátoros relációkat. A Hamilton-operátor, mint az új koordináták függvénye: Ĥ(r, i r, R, i R ) = 2 2M 2 R + 2 2µ 2 r + V C ( r ), (2.34) tehát két független "részecskére" bontottuk a Hamilton-operátort, a tömegközéppontra és a relatív koordinátára Kötött és kontinuum állapotok A Hamilton-operátor sajátértékegyenlete, ha az operátor nem időfüggő, ekvivalens az exponenciális függvény képzésével a projektorfelbontás és (2.9) értelmében, másképp mondva az operátor exponenciálisához ismernünk kell annak sajátállapotait. A két részecskés rendszert leíró operátor nem időfüggő, ezért ebben az esetben is a megfelelő Schrödinger-egyenlet a sajátértékegyenlet (időfüggetlen Schrödinger-egyenlet). A (2.34)-beli operátort szétválaszthatjuk egy szabad részecske és a relatív koordináta által reprezentált részecske összegére. Ilyenkor az állapottal ekvivalens hullámfüggvényt szeparálhatjuk változóiban és egy szabad részecskét leíró és egy potenciálmozgást végző részecske Schrödinger-egyenletére jutunk: Ĥ = Ĥr + ĤR, (2.35) ansatz: ψ(r, R) = φ(r)χ(r), (2.36) ĤRχ(R) = E R χ(r), (2.37) Ĥrφ(r) = ɛ r φ(r). (2.38) A fentiek közül (2.37) megoldása egy impulzus sajátállapot E R (p R ) = p 2 R /2M diszperzióval, (2.38) pedig egy potenciálmozgás, (2.34)-ben definiált potenciállal, ez lesz az, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 12

16 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER amely a kezdőfeltételeken kívül a fizikailag lényeges tartalmat meghatározza: a kötött rendszer állapotát. Egy potenciálmozgást kötöttnek nevezünk, ha a részecske ɛ r energiájára r-ben aszimptotikusan: ɛ r < V (r ), ɛ r < V (r ). Ha ez nem teljesül, akkor ez a részecske is szabad mozgást végez ɛ r (r, p r ) = p 2 r/2µ + V C ( r ) diszperzióval. Ez alapján egy kötött rendszer felszakadása azt jelenti, hogy a kötött energiás sajátállapotból a rendszer valamilyen külső hatásra egy kontinuum állapotba kerül Reakciómodellek A rendszert és a külső behatást írja le egy teljes Hamilton-operátor, amely teljesen általánosan lehet időfüggő. Ezt az operátort a következő alakúnak feltételeztük: Ĥ tot (r, i r, R, i R ; t) = Ĥ(r, i r, R, i R ) + V INT (r, R; t). (2.39) A V INT kölcsönhatási potenciáltól függ a probléma komplexitása. Ezt egy b impakt paraméterrel regularizált Coulomb-potenciálnak vettem, amely csak az egyik, töltéssel rendelkező részecskére hat. Olyan eseteket vizsgáltam, ahol ez a potenciál a lehetséges három argumentumából csak kettőtől függ: r-től és t-től vagy r-től és R-től. V INT (r; t) reakciómodell Tételezzük fel, hogy a tömegközéppont egy klasszikus R(t) trajektória mentén mozog. Ezáltal az R változó egy paraméter lesz, mely az időtől függ, nem operátor: nem vizsgáljuk ennek a fizikai mennyiségnek a ψ(r) 2 eloszlását. A trajektóriát egyenes vonalú, egyenletes mozgásnak feltételeztem, tehát: R(t) = R 0 + K M t, (2.40) ahol K a tömegközépponthoz konjugált impulzus, R 0 kezdőfeltétel. Ezt felhasználva, továbbá, ha feltételezzük, hogy a tér csak az m 1 tömeggel és q 1 töltéssel jellemzett részecskével hat kölcsön, V INT (r; t) alakja: V INT (r; t) = q 1Z T e 2 4πɛ 0 1 (R(t) + µ/m1 r) 2 + b 2, (2.41) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 13

17 2. FEJEZET. KÉTRÉSZECSKÉS RENDSZEREK SZÉTESÉSE 2.2. A VIZSGÁLT RENDSZER ahol Z T a kölcsönhatási potenciált keltő töltés nagysága (a T index a target-nek felel meg), e az elemi töltés és ɛ 0 a vákuum dielektromos állandója. Látható, hogy a (2.40) behelyettesítésével (2.41)-be V INT expliciten időfüggő, tehát ebben az esetben a rendszer dinamikáját leíró időfejlesztő operátort (2.10) formulával számíthatjuk ki. Ebben a modellben tehát a rendszert leíró egyenlet: ψ(r; t) = T exp ( i t t 0 dt ψ(r; t 0 ) = ψ 0 (r) kezdőfeltétel, ψ(r ± ; t) = 0 határfeltétel. ( 2 r 2 ) ) 2µ + V C( r ) + V INT (r; t ) ψ(r; t 0 ), (2.42a) (2.42b) (2.42c) V INT (r, R) reakciómodell Ha nem teszünk fel semmit a tömegközépponti mozgásról, akkor az ennek megfelelő ˆR mennyiségnek is figyelembe kell vennünk a dinamikáját. Mivel nem használunk fel ekkor R(t) klasszikus trajektóriát, a kölcsönhatási potenciált így írhatjuk: V INT (r, R) = q 1Z T e 2 4πɛ 0 1 (R + µ/m1 r) 2 + b 2, (2.43) tehát (2.41)-vel szemben itt két dinamikai változó van, viszont a potenciál maga nem lesz időfüggő, így a rendszert és dinamikáját leíró egyenlet (2.9) felhasználásával: ψ(r, R; t) = exp ( i ( 2 (t t R 2 0) 2M + 2 r 2 ) ) 2µ + V C( r ) + V INT (r, R) ψ(r, R; t 0 ), (2.44a) ψ(r, R; t 0 ) = ψ 0 (r, R) kezdőfeltétel, ψ(r ±, R; t) = 0 határfeltétel, ψ(r, R ± ; t) = 0 határfeltétel. (2.44b) (2.44c) (2.44d) A (2.42) és (2.44) egyenletek az időfüggő Schrödinger-egyenlet formális megoldásai az adott reakciómodellek esetén, ezt fogjuk kiszámítani numerikusan adott kezdőfeltételekkel, közelítő módszereket alkalmazva. Ezekről a következő fejezetben írok. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 14

18 3. fejezet Numerikus módszerek A 2. fejezetben leírást adtam a szakdolgozatban kitűzött feladatról, annak matematikai és fizikai hátteréről. Az (2.42) és (2.44) egyenleteket numerikusan kezeltem, az ehhez szükséges hátteret, felhasznált numerikus módszereket ebben a fejezetben vezetem be Tér és idő diszkretizációja Numerikus számításokhoz át kell térni diszkrét és véges értelmezési tartományra: t n = t 0 + n t, n [0, N t ] Z, r j = r 0 + j r, j [0, N r ] Z, R k = R 0 + k R, k [0, N R ] Z. (3.1a) (3.1b) (3.1c) Ezeken a rácspontokon értelmezzük függvények diszkretizációja: ψ(r, R; t) ψ njk = ψ(r 0 + j r, R 0 + R; t 0 + n t) C Nt Nr N R. (3.2) Látható tehát, hogy a (3.1) formulákkal definiált tartományon értelmezett függvények komplex szám N t N r N R -esek. Természetesen ha nem függ minden változótól a függvény ennek számtáblázatnak annál kevesebb indexe van. 15

19 3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.2. IDŐLÉPTETÉS 3.2. Időléptetés A (3.1)-ben bevezetett tartományon értékeljük ki a (2.42) és (2.44) egyenleteket, ezt az idő diszkretizációját kihasználva t lépésenként tesszük meg. Ez (2.44) esetén egzaktul megtehető, mivel itt a Hamilton-operátornak nincs explicit időfüggése. A (2.42) egyenletet úgy közelítjük, hogy az exponenciális argumentumában található integrált t időre végezzük el úgy, hogy erre az időlépésre az integrandust konstansnak vesszük, tehát: t+ t t dt f(t ) f(t) t (3.3) közelítéssel élünk. Ezek figyelembevételével a következő időléptetéseket alkalmazzuk: ( i t ( 2 2 )) r ψ(r, R; t + t) = exp 2µ + V C( r ) + V INT (r; t) ψ(r, R; t), (3.4) ( i t ( 2 R 2 ψ(r, R; t + t) = exp 2M + 2 r 2 )) 2µ + V C( r ) + V INT (r, R) ψ(r, R; t). (3.5) 3.3. Diszkrét differenciák, impulzusoperátor Az impulzus operátor, mint láttuk (2.20) alapján a helyreprezentációban arányos a deriválással. Diszkrét értelmezési tartományon a deriválás nem létezik, ezzel analóg fogalom a véges differencia. Vezessük be az egy változós elsőrendű véges differenciákat első szomszéd közelítésben: D + ψ i = ψ i+1 ψ i, (3.6a) D ψ i = ψ i ψ i 1, (3.6b) D 1/2 ψ i = ψ i+1 ψ i 1, (3.6c) 2 ahol felhasználtuk, hogy az értelmezési tartomány lépéshosszú darabokra van felosztva. Fel lehet tenni a kérdést, hogy ez az analitikus deriválást mennyire jól közelíti. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 16

20 3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.4. HAMILTON-OPERÁTOR DISZKRÉT TARTOMÁNYON Ehhez a folytonos ψ(x) függvény Taylor-sorát vizsgáljuk x sugarú környezetében: ψ(x+ ) = ψ(x)+ψ (x) +O( 2 ) ψ(x + ) ψ(x) ψ (x) ψ (x) D + u O( ), (3.7) és hasonlóan a többi differenciasémára megmutatható, hogy ψ (x) D ψ O( ) és ψ (x) D 1/2 ψ O( 2 ). Most fejezzük ki a centrális másodrendű véges differenciát hasonlóképpen (3.6c) egyenlethez: D (2) 1/2 ψ i = ψ i+1 + ψ i 1 2ψ i 2. (3.8) Itt is a vizsgált függvény Taylor-sorával meg lehet mutatni, hogy D (2) 1/2 ψ i ψ (x) O( 2 ). Részletesebb leírás a véges differenciák módszeréről elérhető [6] jegyzetben. Az impulzus operátor helyreprezentációban az első deriváltat állítja elő (2.20) alapján. Ha a helyreprezentáció diszkrét, akkor a deriválást a (3.6) egyenletekkel közelítjük. A nem relativisztikus Hamilton-operátorok a részecskék szabad mozgását leíró részei az impulzus operátorokban kvadratikusak, tehát diszkrét tartományon ezek kifejtése (3.8) alapján történik Hamilton-operátor diszkrét tartományon A numerikus számítások során a diszkrét függvényeket vektorokba rendezve kezeljük, ekkor a (3.6)-(3.8) egyenletekben bevezetett differencia-operációk mátrixszorzásként írhatók fel. Olyan Hamilton-operátorokat vizsgáltam ((2.42) és (2.44) egyenletek), melyekben az impulzus operátorok négyzeteitől és a helytől függő tagok vannak. A helyfüggő tagok diszkréten is olyan operátorok, mint folytonos esetben, tehát (2.16)- hoz hasonlóan: ˆf(xi )ψ(x i ) = f(x i )ψ(x i ) = f i ψ i. (3.9) Ez azt jelenti, hogy a helytől függő függvények diagonális mátrixokba rendezhetőek: f(x 1 ) 0 f(x) f = 0 f(x 2 ). (3.10)..... Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 17

21 3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.5. TÖBBVÁLTOZÓS ESET A (3.8)-beli véges differencia mátrixa: /2 = 1/ (3.11) D (2) A (3.10) és (3.11) egyenletekkel arra jutottunk, hogy egyváltozós Hamilton-operátorok diszkrét értelmezési tartományon mátrixos alakba rendezhetőek, erre tekintsük konkrét példaként (2.34)-beli operátor r relatív koordinátától függő részét: Ĥ r (r, i r ) = 2 ( ) 2µ 2 r + V C r (H r )ij = 2 2µ r 2 (δ i,i+1 + δ i,i 1 2δ i,j ) + V C ( r i )δ i,j. (3.12) 3.5. Többváltozós eset A korábbi részekben bemutattam diszkrét függvények és operátorok célszerű reprezentációját egyváltozós esetben. Ha több változó van az értelmezési tartomány kibővül. Konkrétan a (3.1) képletekkel definiált tartományon értelmezett skalár értékű függvények N t N r N R számot jelentenek, ezeket ilyen méretű hipermátrixban tároltam a számítások során. A tér is idő változótól függő függvényeket (3.9) alapján értelmezzük, ezért ezeket is elrendezhetjük N t N r N R alakú hipermátrixban. Ekkor természetesen egy ilyen módon tárolt potenciál függvény állapotfüggvényre gyakorolt hatását nem mátrixszorzással számítjuk ki, hanem elemenkénti szorzással. Természetesen felmerül a kérdés, hogy hogyan lehet leírni a többváltozós véges differenciákat mátrix alakban. Ha N t N r N R nagyságú oszlopvektorba rendezzük a skalárfüggvényeket, akkor (N t N r N R ) (N t N r N R ) méretű mátrixra lenne szükségünk a differenciaoperátorokhoz, tehát az értelmezési tartomány kibővítésével négyzetesen nő az ehhez szükséges memória, ezért ez nem optimális ábrázolása a differenciaoperátoroknak. Hogy kikerüljem a (fölöslegesen) memóriaigényes számítást egy közelítést alkalmaztam, aminek segítségével elég csak skalárfüggvényeket használni a számítás során, így a maximálisan felmerülő tömbméret N t N r N R. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 18

22 3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.6. OPERATOR SPLITTING 3.6. Operator splitting A vizsgált időléptetések ((3.4) és (3.5)) kiértékeléséhez képeznünk kell a Hamiltonoperátorok exponenciálisát. Ez, mivel mindkét esetben a Hamilton két változótól függ, az előző részben leírtaknak megfelelően egy (N t N r N R ) (N t N r N R ) méretű mátrix exponencializálását jelenti gyakorlatilag, ami számításigényes lehet N t, N r, N R számok függvényében. Az exponencializálás helyett egy közelítést alkalmazok, amelyet Operator splittingnek neveznek. Ennek bemutatására írjuk az időléptető operátorokat általánosan a következő alakba: A Heisenberg-reláció miatt függvényt: exp (( Â(ˆp r, ˆp R ) + ˆB(ˆr, ˆR) ) t ) (3.13) [Â, ˆB] 0, tehát nem lehet felbontani az exponenciális (Â+ˆB) t e eâ teˆb t, (3.14) azonban, ha t megfelelően kicsi, a Taylor-sorok vizsgálatával arra jutunk, hogy: (Â+ˆB) t e = I + (  + ˆB ) t + (  2 + ˆB 2 + { Â, ˆB }) t O( t3 ), (3.15) eâ teˆb t = I + (  + ˆB ) t + (  2 + ˆB 2 + 2ˆB ) t O( t3 ) = (3.16) (Â+ˆB) t = e [ Â, ˆB ] t O( t3 ), (3.17) tehát első rendben jó becslés lehet az exponenciális függvény szorzatra bontása ("splittelése"), ha az időlépés megfelelően kicsi. Egy pontosabb (másodrendű) becslést ad a következő szimmetrikus split-formula: (Â+ˆB) eˆb t/2 eâ teˆb t/2 = e t + O( t 3 ). (3.18) Számításaim során a (3.18) felbontását használtam az időléptető operátornak. Erre azért volt szükség, mert így az egyes, ˆr-től és ˆR-től illetve ˆp r -től és ˆp R -től függő tagok különválnak az időléptetésben. Mivel ez a négy operátor páronként definiálja a hely- és impulzustér bázisait, ezért az exponenciális függvények diagonálisak ezeken a bázisokon kifejtve. A bázistranszformáció (2.24) alapján a Fourier-transzformáció, amit a diszkrét reprezentációban Fast Fourier Transform (FFT) algoritmussal végeztem. Ennek Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 19

23 3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS a komplexitása O(N log N), ami sokkal kedvezőbb a mátrix exponencializálás komplexitásánál A numerikus algoritmus A fejezet összefoglalásaként felírom a numerikus algoritmust, az időléptetést az egyes reakciómodellek esetén. Hogy a képletek kiférjenek, bevezetem a következő rövidítéseket felhasználva a (3.1)-beli definíciót: A nj = V INT (r j ; t n ) + V C ( r j ), (3.19) B jk = V INT (r j, R k ) + V C ( r j ), (3.20) C j = (p2 r) j 2µ, (3.21) D jk = (p2 r) j 2µ + (p2 R ) k 2M. (3.22) A V INT (r; t) reakciómodell esetén az állapotot ψ nj C Nt Nr jelöli és N t N r méretű mátrixban tároltam, ahogyan A nj mennyiséget is, mivel ez diagonális a hely reprezentációban. A C j mennyiséget egy N r méretű vektorban tároltam. A megfelelő időléptetés (az FFT algoritmust F-fel jelöltem és csak az r változóra, tehát a második indexekre vonatkozik): ( i t ) ψ n+1,j = exp A nj F 1{ exp ( ) { i tc q F exp 2 ( i t 2 A ns ) ψ ns } nq } nj, (3.23a) ψ 0j = (ψ 0 ) j kezdőfeltétel, ψ n0 = ψ nnr = 0 határfeltétel. (3.23b) (3.23c) A V INT (r, R) reakciómodell esetén a rendszer állapotát ψ njk C Nt Nr N R kódolja, amelyet egy N t N r N R méretű hipermátrixban tároltam, a B jk és D jk mennyiségeket pedig N r N R méretű mátrixokban. Jelölje F a két dimenziós FFT algoritmus mely az Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 20

24 3. FEJEZET. NUMERIKUS MÓDSZEREK 3.7. A NUMERIKUS ALGORITMUS utolsó két indexre fut, tehát a térbeli részeket transzformálja. Az algoritmus: ( i Bjk t ψ n+1jk = exp )F 1{ exp ( ) { ( i Blm t )} i td pq F exp ψ nlm 2 2 npq } njk, (3.24a) ψ 0jk = (ψ 0 ) jk kezdőfeltétel, ψ n0k = ψ nj0 = ψ nnrk = ψ njnr = 0 határfeltételek. (3.24b) (3.24c) A numerikus számításokhoz Python programozási nyelvet használtam a Spyder IDE tudományos integrált fejlesztő környezetben. Az adatok tárolására a numpy könyvtár több dimenziós struktúráit, a felmerülő sajátértékproblémák megoldására és Fouriertranszformációk elvégzésére a SciPy eljárásait, az eredmények vizuális ábrázolásához pedig a matplotlib könyvtárat használtam. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 21

25 4. fejezet Eredmények 4.1. Elöljáróban A 3. fejezetben kifejeztem a kiértékelendő mennyiség numerikus alakját, lásd: (3.23) és (3.24) egyenletek. Az eredmények értékeléséhez még szükséges pár konkrét dolgot megjegyezni. Minden eredmény megtekinthető a személyes oldalamon 1. megjegyezni, mert a szimulációkról mozgóképes ábrákat is készítettem. Ezt azért szükséges Minden számítás során = 1 4πɛ 0 = 1 egyszerűsítéssel éltem. Az eredményeket, mennyiségeket nem dimenzionáltam, csak a numerikus értékeket adtam meg, ennek oka, hogy nem kellett kísérleti eredménnyel összehasonlítani őket, a kvalitatív tartalom pedig a tömeg arányokban és a potenciálok, illetve a kinetikus energiatagok nagyságában van. Utóbbiakat, ahogy a (3.11) formulában is látszik az 1/ 2 nagyságrend jellemzi, ahol az adott diszkretizált tartomány lépéshossza. A V INT kölcsönhatási potenciálokban alkalmaztam levágást, egy olyan értéktől, ahonnan a potenciál térben lassan változik és értéke kicsi a maximumához képest. A kezdőfeltételeket az eredményeknél feltüntetem, de általában a V INT (r; t) modellben a rendszer belső V c (r) potenciáljának egy sajátállapota, a V INT (r, R) modellben ugyanezen belső állapot szorzata egy R-től függő hullámcsomaggal. A határfeltételek biztosítása végett olyan tartományokon vizsgáltam a hullámfüggvényt (mind hely, mind impulzus térben), amelyeken a vizsgált hullámfüggvények lecsengnek, a határokon a maximális értéke a normált ψ 2 eloszlásoknak 0.01-nél kisebb

26 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN volt. A rendszer belső viszonyait jellemző V C (r) potenciálnak a Wood-Saxon-függvényt választottam, ennek alakja: V C (r) = V exp ( r r (0 ) a ), r (0 ) = r (0) M 1/3, (4.1) ahol M a vizsgált rendszer össztömege (ez magfizika esetén analóg a tömegszámmal), V 0, r (0), a a potenciál paraméterei. Látható, hogy a potenciál szimmetrikus r-ben, (4.1) alapján elég lenne az r tartományt pozitívnak venni. Azonban V INT potenciálban számít az r előjele, ezért a tartomány negatív felét is figyelembe vesszük. V 0 értékét megszabva lehet beállítani, hogy a Ĥr = 2 2 r 2µ + V C (r) Hamilton-operátornak hány negatív energiás (kötött) sajátállapota legyen. V 0 értékét úgy választottam meg, hogy a Ĥr operátornak két kötött állapota legyen, ekkor az első gerjesztett állapotra r 2 > 0, tehát az állapot nem nullára centralizált lesz, mint a legmélyebb energiaszint esetén. Ezt összefoglalóan a 4.1. ábrán látható egy Wood-Saxon-potenciál és a paraméterezése ábra. Wood-Saxon-potenciál és két kötött állapota az ábrán jelölt paraméterezés mellet az adott tartományon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 23

27 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN A rendszer időfejlődésének követése projekciókkal A rendszer belső viszonyait a Ĥr és ĤrR Hamilton-operátorok írják, melyek a következők: Ĥ r = 2 2 r 2µ + V C(r) V INT (r; t) esetén, (4.2a) Ĥ rr = 2 2 R 2M + Ĥr V INT (r, R) esetén. (4.2b) A ψ(r; 0) és ψ(r, R; 0) kezdőfeltételeket úgy szabtam meg hogy azon (r, R ) pontokra, ahol ψ(r ; 0) 0 és ψ(r, R ; 0) 0 teljesüljön, hogy V INT (r ; 0) = 0 és V INT (r, R ) = 0. A V C (r) potenciált úgy választjuk, hogy a (4.2)-beli operátoroknak két negatív energiás sajátállapota legyen r függvényében. Ezeket a következőképpen jelölöm: Ĥ r ψ W S,0 (r) = E W S,0 ψ W S,0 (r), E W S,0 < 0, (4.3a) Ĥ r ψ W S,1 (r) = E W S,1 ψ W S,1 (r), E W S,1 < 0, (4.3b) ezen felül ψ K (R) = R K = exp ( ikr) (2π) jelöléssel (lásd (2.21)): Ĥ rr ψ W S,0 (r)ψ K (R) = (E W S,0 + K2 2M )ψ W S,0(r)ψ K (R), Ĥ rr ψ W S,1 (r)ψ K (R) = (E W S,1 + K2 2M )ψ W S,1(r)ψ K (R). (4.4a) (4.4b) A (4.3) és (4.4) egyenletekben bevezetett sajátállapotokra levetítve a ψ(r; t) és a ψ(r, R; t) függvényeket kifejezhetjük, hogy a rendszer mekkora valószínűséggel van a kötött állapotokban bármelyik időpontban.ezek a projekciók a V INT (r; t) modellben: P 0 (t) = P 1 (t) = drψw S,0(r)ψ(r; t) drψw S,1(r)ψ(r; t) N r j=0 N r j=0 ψ W S,0jψ j r, ψ W S,1jψ j r, (4.5a) (4.5b) P cont (t) = 1 P 1 (t) P 0 (t), (4.5c) ahol P cont a kontinuum állapotok valószínűségét jelöli, ami ekvivalens a felhasadás valószínűségével (lásd alfejezetet). A projekciók elvégzéséhez V INT (r, R) mo- Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 24

28 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN dellben fejtsük ki az állapotot a H rr által meghatározott sajátállapotokon: ψ(r, R; t) = kl c kl (t)ψ W S,k (r)ψ Kl (R), (4.6) amiből a megfelelő projekciók: P 0 (t) = l P 1 (t) = l c 0l 2, (4.7a) c 1l 2, (4.7b) P cont(t) = 1 P 1 (t) P 0 (t). (4.7c) A c mn (t)együtthatók kiszámítása: c mn (t) = drdrψ W S,mψ K n (R)ψ(r, R; t), (4.8) amelyet a következőképpen végeztem numerikusan: drψ W S,m(r)ψ(r, R; t) = f m (R; t) c mn (t) = F R { fm (R; t) } n = f m(k n ; t), (4.9) tehát a projekciók (n a t, j az r, m az R, k a K változókat indexelik): N R P 0n = F { Nr k=0 j=0 N R P 1n = F { Nr k=0 j=0 rψ W S,0jψ jmn }k rψ W S,1jψ jmn }k 2, 2. (4.10a) (4.10b) A relatív sebesség várható értéke Az eredmények kiértékelésekor kiszámítottam a relatív sebességek várható értékét. Ehhez érdemesebb a (4.3) és a (4.4) egyenletek által definiált sajátállapotok rendszere helyett az r-beli függést is ψ k (r) = r k = exp ( ikr) (2π) sajátállapotokon felírni, természetesen a relatív sebesség: ˆv = ˆk/µ. A ˆk-nak, a relatív impulzus operátor hatása a Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 25

29 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.1. ELÖLJÁRÓBAN ψ(k) = F { ψ k (r) } és ψ(k, R) = F r { ψk (r)ψ K (R) } függvényekre: k ˆk Ψ = k k Ψ = kψ(k), k R ˆk Ψ = k k R Ψ = kψ(k, R), (4.11a) (4.11b) tehát a ˆk/µ várható értéke: ˆk/µ = v(t) = ˆk/µ = v(t) = dk k µ ψ(k; t) 2, dkdrψ (k, R; t) ˆk ψ(k, R; t) = µ dk k µ dr ψ(k, R; t) 2, (4.12a) (4.12b) melyek numerikusan kifejezve a következő alakot öltik (n az időt, m az r koordinátát, j a k impulzust, p az R koordinátát indexeli): N r v n = j=0 N r v n = j=0 p=0 r k j 2π µ F{ } ψ nm nj 2, N R R r k j 2π µ F { } r ψnmp njp 2. (4.13a) (4.13b) Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 26

30 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN 4.2. Szimulációk a V INT (r; t) modellben Állapot időfüggése Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 769 r 0 = 8.0 r Nr = 16 q 1 3 m 1 6 t N t = 180 t 0 = 0.0 t Nt = 0.9 Z T 82 m 2 1 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 b 0.4 Kezdeti értékek R 0 4 K 100, 120 ψ(r; 0) ψ W S,1 (r) A szimulációt két K értékre végeztem el, adott b = 0.4 impakt paraméterrel. K = 100 esetén a szimuláció eredménye, a ψ(r; t) 2 függvény a 4.2. ábrákon látható különböző időpontokban. Megállapítható az ábrákról, hogy a külső tér a legnagyobb megközelítés előtt a pozitív r irányba tolja az eloszlás pozitív felét, majd a legnagyobb megközelítést követően a negatív r tartomány felé tolja az eloszlást. A végállapotnál látható, hogy az eloszlásnak lesz egy csúcsa r 0 környezetében és két kiterjedt csúcsa a V C (r) potenciálgödrön kívülre centralizálva. Ezen szemrevételezés alapján azt mondhatjuk hogy a külső potenciál a rendszert valamilyen arányban legerjesztette az alapállapotba, egy részét pedig felhasította, amely ettől kezdve szabad részecskeként viselkedik. Mindezt alátámasztják a 4.3. ábrák, ahol a Ĥr operátorra vett projekciók láthatóak, mind a K = 100, mind a K = 120 esetben. Látható, hogy valóban a legnagyobb megközelítést (t 0.29 és t 0.25) követően az inicializált első állapot projekciója lecseng. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 27

31 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN (a) t = (b) t = (c) t = (d) t = ábra. ψ(r; t) 2 (fent), V (r; t) = V C (r) + V INT (r; t) és kötött állapotok energiája (lent) különböző időpontok esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérhető a oldalon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 28

32 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN (a) K = 100 (b) K = ábra. Projekciók a Ĥr alap és első gerjesztett állapotára (??) alapján és a felszakadás valószínűsége. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 29

33 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN Projekciók és relatív sebességek különböző impakt paraméterek esetén Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 1154 r 0 = 14.0 r Nr = 22 q 1 3 m 1 6 t N t = 540 t 0 = 0.0 t Nt = 2.7 Z T 82 m 2 1 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 b 0.4, 0.6, 0.7, 0.8 Kezdeti értékek R 0 4 K 100 ψ(r; 0) ψ W S,1 (r) Megvizsgáltam, hogy az előző alrészhez hasonló paraméterezés esetén hosszú futási idő mellett hogyan alakulnak a projekciók az impakt paraméter (b) függvényében ábra. Projekciók különböző impakt paraméterek esetén. Eredményeim a 4.4. ábrán vannak. Látható, hogy minél kisebb impakt paraméter, annál többet változik a rendszer a folyamat végéig. Az ábráról leolvasható továbbá, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 30

34 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN hogy b = 0.4 és b = 0.6 esetén a végállapot közel azonos, de az átmenet időbeli alkulása különbözik. Vizsgáltam a relatív sebesség várható értékét (4.13a) összefüggés alapján, az eredmények a 4.5. ábrán láthatók. Megállapítható, hogy a kisebb impakt paraméter esetén nagyobb a maximális sebesség. A sebesség maximuma a legnagyobb megközelítés környezetében van. A kapott ábra első, felgyorsuló, majd lelassuló szakaszát könnyen értelmezhetjük. A pozitív tartományból (R 0 > 0) indított rendszer (m 1, q 1 ) részecskéjére tolópotenciál hat, ami a tömegközéppont mozgásával ellentétes, tehát azt a pozitív irányba tolja. Emiatt, mivel a relatív koordinátát r = r 1 r 2 módon vezettük be, a hozzá tartozó relatív sebesség a pozitív értékű lesz. A legnagyobb megközelítést követően a tolópotenciál a negatív irányba tolja az 1 indexű részecskét. A 4.6. ábrán a legnagyobb megközelítés környezete kinagyítva látható ábra. Relatív sebesség várható értéke. A 4.5. ábrán látható, hogy t > 0.5 időkre a relatív sebesség várható értéke oszcillál. Ezt az oszcillációt az okozza, hogy a vizsgált rendszer állapotában jelen vannak a kötött állapotok is, olyan amplitúdóval, melyek abszolút érték négyzete a 4.4. ábrán is látható. Hogy ezt alátámasszam és meghatározzam, hogy mekkora a relatív sebesség ha a rendszer teljes bizonyossággal felhasad, a két kötött állapotot projekciók segítségével levontam a hullámfüggvényből és bevezettem egy redukált, ψ bu (r; t) hullámfüggvényt, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 31

35 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN 4.6. ábra. Relatív sebesség várható értéke a maximum környezetében. mely a felhasadt állapotokat írja le. Ennek előállítása: ψ bu (r; t) = ψ(r; t) dr ψw S,0(r )ψ(r ; t) dr ψ W S,1(r )ψ(r; t). (4.14) Ellenőrzésképpen megvizsgáltam, és teljesül, hogy ψ bu (r; t) 2 = P cont (t), tehát az új hullámfüggvény normája azonos a ψ(r; t) kontinuum állapotokra vett projekciójával. A ψ bu (r; t) hullámfüggvényt ezt követően normáltam a P cont (t)-vel. Az így előállított ψ bu (r; t) állapotokkal elvégeztem a (4.13a) összefüggésben leírt analízist, hogy kiszámítsam a v bu (t) relatív sebességet a kontinuum állapotokra vonatkozólag. A 4.7. ábrán látható. Szürkével jelöltem rajta 4.5. ábráról származó v(t) mennyiségeket. Észrevehetjük, hogy a hullámfüggvény megszorításával olyan várható értékeket kaptunk, melyek nem oszcillálnak, ezzel alátámasztva, hogy a 4.5. ábrán látható oszcillációt az alapállapotok jelenléte okozza. Másrészt az újonnan kiszámolt v bu (t) mennyiségből meg lehet határozni felhasadás esetén, adott impakt paraméter és bejövő impulzus (K) mellett mekkora lesz a relatív sebesség végső értéke. Ez a magfizikában, Coulombdisszociáció vizsgálatában egy fontos mennyiség [7]. Erre a 5. fejezetben visszatérek. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 32

36 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN 4.7. ábra. A relatív sebesség várható értéke csak a ψ bu (r; t) felhasadt állapotokkal kiszámítva Felhasadás valószínűsége és relatív sebességek széles (K, b) paramétertartományon Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 769 r 0 = 8.0 r Nr = 16.0 q 1 3 m 1 6 t N t = 180 t 0 = 0.0 t Nt = 2.0 Z T 82 m 2 1 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 Kezdeti értékek R 0 4 ψ(r; 0) ψ W S,1 (r) Megvizsgáltam (K, b) [ 20, 240] [0.2, 2.4], lépéssel felbontott paramétertartományon a felszakadás valószínűségét, ezt most jelölje a P bu (K, b). Ez azt jelenti, hogy az adott paraméterezés mellett lefuttattam a szimulációt és vizsgáltam a végső állapotok valószínűségét. Eredményeim a 4.8. ábrán láthatóak. A legnagyobb valószínűsége a felszakadásnak a (K, b) = ( 20, 0.2) értékeknél van. A kis energiás rendszerek Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 33

37 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN (K 2 /2M kicsi) felszakadása úgy interpretálható, hogy a potenciál az (m 1, q 1 ) részecskét visszaszórja a pozitív tartományba, míg a rendszer tömegközéppontja a (2.40) alapján mozog, tehát az (m 2, q 2 ) részecske tovább halad az R < 0 tartomány felé a tömegközépponttal. A kis impakt paraméterű eredményeknél látható, hogy a b min(b) irányban P bu (K, b) egyre meredekebben növekszik K 2 /2M min(k 2 /2M) esetén ábra. Felhasadás valószínűsége széles paramétertartományon. A (4.14) művelet elvégzésével kiszámíthatjuk a relatív sebességek ψ bu (r; t) hullámfüggvénnyel vett várható értékének végső értékét minden (K, b) pontra. Ez látható a 4.9. ábrán. Megfigyelhetjük, hogy ahogy K-val és b-vel a kis értékek felé haladunk, annál nagyobb (negatívabb) értékű lesz a relatív sebesség állandósult nagysága. Ezt úgy interpretálhatjuk egy klasszikus fizikai kép segítségével, hogy a kölcsönhatási potenciál a bejövő rendszerre a tömegközéppont mozgásával ellentétes erőt fejt ki mivel ekkor a kötött rendszerben az (m 1, q 1 ) részecskével hat kölcsön. Ha részecskék közötti kötés felhasad, az (m 2, q 2 ) részecskét nem éri több erőhatás, ellenben az (m 1, q 1 ) részecskével, Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 34

38 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.2. SZIMULÁCIÓK A V INT (R; T ) MODELLBEN akire ugyanúgy hat a kölcsönhatás, de a tömege kisebb lett a felhasadás óta. Amíg a kölcsönhatási potenciál erőt fejt ki az 1-es részecskére, az gyorsul, így növelve a most már szabadon mozgó 2-es részecskével szembeni sebességét ábra. Relatív sebességek várható értéke a ψ bu (r; t) hullámfüggvénnyel. Az ábrán a végsebességek szerepelnek. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 35

39 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN 4.3. Szimulációk a V INT (r, R) modellben Állapot időfüggése Tartomány Paraméterek lépések száma kezdőpont végpont érték érték r N r = 769 r 0 = 8.0 r Nr = 16.0 q 1 3 m 1 6 R N R = 872 R 0 = 12.0 R NR = 5.0 Z T 82 m 2 1 t N t = 180 t 0 = 0.0 t Nt = 0.9 V 0 30 a 0.08 levágás 50 r (0) 0.2 b 0.4 Kezdeti értékek R (0) 4 σ R 0.1 K 0 100, 120 ψ(r, R; 0) Nψ W S,1 (r) exp ( (R R (0) ) 2 2σ R + ik 0 R ) A szimulációt ugyanazon két K 0 értékre végeztem el, mint a V INT (r; t) modell esetén K-ra, azonban itt K 0 szerepe megváltozik. Mivel R dinamikai mennyiség, a hozzá konjugált impulzus, K eloszlását eltolja K 0 a K-térben. A kezdeti hullámcsomag időfejlődését vizsgáljuk. Mivel ez a K-térben (is) szétfolyik, ezért az eloszlást nem fogja K 0 jól jellemezni, az időfejlődés során K K 0. A ábrán látható a vizsgált kölcsönhatási és belső potenciál. A ábrán látható az állapot időbeli fejlődése K = 100 esetén négy időpontban. Egyből szembetűnik, hogy ha az R változót nem szorítjuk meg egy trajektóriára, akkor lehetséges lesz a R-beli visszaszórás is. Ha megfigyeljük a rendszert nagyobb kezdeti energiával (K 0 = 120), akkor azt találjuk, hogy nem lesz visszaszórás, lásd ábrát. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 36

40 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN ábra. A rendszer belső viszonyait meghatározó V C (r) és a külső V INT (r, R) potenciálok. Az (4.10) alapján meg lehet határozni a belső Ĥr operátor sajtállapotaira vett projekciókat. Ezeket az és ábrán lehet megtekinteni. Itt is megfigyelhető az az effektus, hogy a kölcsönhatás "visszapumpálja" a rendszert az alapállapotba. Látható, hogy a nagyobb K 0 esetén az átmenetek hamarabb végbemennek. Ezek kvalitatíve hasonlók a V INT (r; t) modellben vizsgált átmenetekhez. A (4.13b)-ben közölt eljárás alapján ki lehet számítani a relatív sebesség várható értékét ebben a modellben is. A ábrán ezt láthatjuk a K 0 = 100 esetre. Megállapíthatjuk, hogy a visszaszórt valószínűségsűrűség - mivel pozitív r irányba terjed - pozitív irányba tolja el a várható értéket, az azonos paraméterekkel kapott V INT (r; t) modellbeli relatív sebességekhez képest (lásd 4.5. ábra). A ábrán látható ugyanez a mennyiség K 0 = 120 esetben. Mivel itt nincs visszaszórás, kvalitatíve 4.5. ábrához hasonló eredményre jutunk. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 37

41 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN (a) t = (b) t = (c) t = (d) t = ábra. ψ(r, R; t) 2 időfejlődése K = 100 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérhető a oldalon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 38

42 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN (a) t = (b) t = (c) t = (d) t = ábra. ψ(r, R; t) 2 időfejlődése K = 120 esetén. A szimuláció mozgóképes formátumban is elérhető a oldalon. Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 39

43 4. FEJEZET. EREDMÉNYEK 4.3. SZIMULÁCIÓK A V INT (R, R) MODELLBEN ábra. Projekciók a Ĥr kötött állapotaira és a felhasadás valószínűsége, K = ábra. Projekciók a Ĥr kötött állapotaira és a felhasadás valószínűsége, K = 120 Kétrészecskés rendszerek szétesésének számítógépes szimulációja 40