A kvantummechanika speciális fejezetei

Átírás

1 A kvantummechanika speciális fejezetei Jakovác Antal 2013 utolsó javítás: February 12, 2019 Contents 1 Előszó 3 2 A kvantumelmélet felépítése Mérés a kvantumelméletben Tér és idő a kvantumelméletben Kvantummechanikai leírás, hullámfüggvény Energia sajátértékek és a propagátor A propagátor mátrixelemeinek analitikus struktúrája nagy térfogatban Energiaszintek távolsága Az energiaszintek megkülönböztethetősége Spektrál függvények eltolás invariáns esetben Egyetlen szabad részecske példája Két részecske rendszer Perturbációszámítás Pályaintegrál reprezentáció Összefonódottság több részecske rendszerekben Megkülönböztethetetlenség és Gibbs paradoxon Összefonódottság és mérés: Bell egyenlőtlenségek Méréselmélet Részecskék eredete és az 1D húr kvantálása Kiegészítés: harmonikus oszcillátor A húr kvantumai Egyéb állapotok Tér sajátállapot Gerjesztett húr Pontrészecske Időfüggés Részecskehiány CTP tétel Master formula for self-interacting systems: path integral Path integral in statistical physics Path integral in quntum field theories Generator functional Φ 4 model Perturbation theory Free theories Interactions

2 7 Functional methods Free energy Részecskék Térelméletek kvantálása A spin-statisztika tétel (Bi) spinor mezők Lorentz-vektormezők, mértékelméletek A Hamilton operátor diagonalizálása Anyag és sugárzás kölcsönhatása Átmenet atomi nívók között Az atomi energiaszintek és a sugárzás állapotainak hibridizációja, Wigner-Weisskopf-modell Részecske definíciók változó körülmények között Időfüggő tömegtag Unruh sugárzás Parametrikus rezonancia Stabilitás analízis Részecskekeltés Kozmológiai alkalmazás Schwinger effects and related staff 68 A Klasszikus térelméletek 70 A.1 Lagrange-sűrűség A.2 Mozgásegyenletek A.3 Megmaradó áramok A.4 Szimmetria és megmaradás A.5 Energia-impulzus tenzor B Relativisztikus térelméletek 74 B.1 Relativitáselmélet ismétlés B.1.1 Szimmetria B.1.2 Példák Lorentz-transzformációkra B.1.3 Csoport-szerkezet B.1.4 Relativisztikus mechanika B.2 Lorentz-csoport ábrázolása mezőkön C Megjegyzések 79 D Impulzus operátor 79 2

3 1 Előszó A fizika tanulmányozásánál, a világ megismerésénél nagyon sokáig vezethet minket a mindennapi életből magunkkal hozott intuíció, amely onnan származik, hogy életünk során megtapasztaltuk, milyen is a világ. A kvantumos rendszerek esetében azonban ez az intuíció nem segít minket, olyan fogalmakkal, jelenségekkel találkozunk, amelyek valami teljesen más világképet sugallnak. Itt sokkal fontosabb, mint bárhol máshol a fizikában az, hogy pontosan definiáljuk, mit is mérünk: ami a klasszikus fizika szerint ekvivalens mérésnek tűnik, az a kvantum villágban egészen különböző fogalmakat testesíthet meg. Ezen mérések alapján pedig át kell értelmeznünk a klasszikus fogalmainkat akár olyan mélységig, hogy mit is jelent a részecske, a mérés, vagy akár a tér és az idő. Ezen kérdések jó része a mai napig nyitott problémát jelent, nem tekinthető lezárt fejezetnek. A témával foglalkozó fizikusok is eltérő nézeteket vallanak például a mérés, hullámfüggvény redukció, dekoherencia kérdéséről. Ez a jegyzet haladó kvantummechanika, azaz feltételezzük, hogy az olvasó már szerzett bizonyos jártasságot a hullámfüggvények, Hilbert tér állapotok világában. A kvantummechanika alapjaitól elindulva számtalan továbblépési lehetőség van, választanunk kell tehát, merre induljunk el. Ebben a jegyzetben a továbblépés iránya a sokrészecske kvantum rendszerek irányába történik. Bevezetünk olyan fogalmakat, amelyek hasznosak lesznek ezekben a rendszerekben, megvizsgáljuk, milyen új jelenségekkel számolhatunk. Megpróbáljuk a kvantumos összefonódást és a mérést jobban megérteni. Megismerjük a térelmélet alapjait, a részecskék keltését és eltüntetését, a kölcsönhatások tárgyalását. 2 A kvantumelmélet felépítése Nézzük meg most röviden, milyen is a kvantumelmélet felépítése, olyan fogalmakkal, amelyek megfelelőek lesznek majd a későbbi, nem szigorúan részecskékre alapozott kvantumelmélet számára is. A következőkben a h = 1 egységrendszert fogjuk használni. Valójában a kvantumelmélet és a klasszikus elméletek abban különböznek, hogy az előbbi szétválasztja az állapotot és a mérést. A klasszikus mechanikában egy állapotot a rajta végzett mérések eredményével adjuk meg. Például egy szabad részecskét a helyével és a sebességével (impulzusával) jellemezzük. Így alakul ki a fázistér, amely fogalmat a több részecske rendszerekre és így tetszőleges testre ki lehet terjeszteni. Minden fizikai mennyiséget valamilyen módon ki kell fejezni a fázistér változóival, és akkor ezeknek is határozott számértékük lesz a rendszer tetszőleges állapotában. Hasonló módon a mezőt a tér pontjaiban adott valós szám(ok)kal, a mező értékével lehet megadni, s a mérhető mennyiségeket a mező értékével kell kifejezni. A kvantumelméletben szétválasztjuk a két fogalmat: az állapotot egy absztrakt tér, az állapottér elemének tekintjük. A kvantumelméletben az állapottér egy H komplex Hilbert tér (azaz egy olyan komplex vektortér, ahol értelmezett egy skalárszorzat.., és az abból származó. normára a vektortér teljes) egységnyi normájú elemei ψ H, ahol ψ ψ = 1. Szokás a teljes Hilbert-teret állapottérnek tekinteni, ekkor megfogalmazhatunk egy ekvivalenciarelációt, mely szerint két egymással arányos ( ψ = c ξ c R) elem ugyanazt a fizikai állapotot jelenti (sugárábrázolás). A Hilbert téren a ψ állapothoz tartozó projektor P ψ = ψ ψ. Ezen projektorokon mint bázison értelmezhető egy algebra (egyéb tulajdonságokkal kibővítve egy C algebra), ami fizikailag a sűrűségmátrixok tere; ez tekinthető az állapottér kiterjesztésének. Mi azonban nem megyünk el eddig: számunkra az állapotok tere Hilbert-tér lesz. Minden fizikai behatás megváltoztatja az állapotot, vagyis valamilyen U : H H leképezést jelent. Elvárjuk, hogy a leképzett Hilbert tér az eredetivel izomorf legyen: ez akkor teljesülhet, ha a U leképzés lineáris 1, és egységnyi normájú állapotot egységnyi normájú állapotba képez 1 = U ψ 2 = ψ U U ψ, ψ U U = 1. (1) Emiatt a fizikai behatást csakis unitér (antiunitér) operátor írhat le. A linearitás miatt a hatásnál a zárójelet elhagyjuk ψ = U ψ. (2) 1 Lehet antilineáris is, azaz U(c ψ ) = c U ψ. Másik megjegyzés: a linearitást olykor kétségbe vonják; azonban eddig konzisztens kvantum leírást csak lineáris operátorokkal lehetett megvalósítani. 3

4 Értelmezhetjük a fizikai behatást (transzformációt) az A : H H lineáris operátorokon is, a következőképpen Ez esetben ugyanis A = U AU. (3) ψ A η = ψ A η. (4) Fontos speciális esetet jelentenek azok a transzformációk, azaz unitér operátorok, amelyek egy (vagy több) valós paramétertől függnek U(c), és csoportot (Lie-csoportot) alkotnak. A Lie csoportoknál feltételezzük a folytonosságot is (azaz ε > 0 U, hogy U 1 U < ε valamilyen megfelelő normában), valamint feltehetjük, hogy a paraméterezés is folytonos. Egy paraméteres csoport pl. az állapot eltolása, vagy adott tengely körüli elforgatása, több paraméteres csoport az általános forgatás. A csoport tulajdonság azt jelenti, hogy c 1, c 2 paraméterre c 3 paraméter, hogy U(c 1 )U(c 2 ) = U(c 3 ). Ezeknek a csoportoknak a standard paraméterezése a következő feltételezésekből indul ki: U(0) = 1 legyen a folytonosság miatt U(dc) infinitezimálisan kis paraméterre az egység körül lesz: T neve (infinitezimális) generátor. Az unitaritás miatt a generátor hermitikus. U(dc) = 1 it dc + O(dc 2 ), (5) U = 1 + it dc = U 1 = 1 + it dc T = T, (6) U(dc) n a csoport eleme, ennek paraméterét definiálom c = ndc-nak. Átírva dc = c/n, azaz ( U(c) = 1 it c ) n n e it c (7) n Ezt a relációt úgy is szokták írni, hogy T = i U(c) c. (8) c=0 Több (d) paraméter esetén nem mindegy, milyen úton érek el (c 1,..., c d )-ig. A szokásos eljárás, hogy az egyenes utat választom: ha az egységelem körül U(dc a ) = 1 it a c a + O(c 2 ) U(dc a ) n U(ndc a ). (9) Innen n esetén U(c a ) = e itaca. (10) azaz Infinitezimális trf. hatására a hullámfüggvény ill. az operátorok trf-ja: ψ = U(dc) ψ = (1 it c) ψ = ψ it ψ dc, A = U (dc) A U(dc) = (1 + it c)a(1 it c) = A + i[t, A]dc, (11) d Ψ = it Ψ dc, illetve dô = i[t, Ô]dc. (12) Egy transzformáció során lehetnek megmaradó mennyiségek, amelyek nem változtatják értéküket a transzformáció során. Ezekre tehát da = i[t, A]dλ = 0, vagyis [T, A] = 0. (13) Egy operátort biztosan találunk a megmaradó operátorok között: ez maga a generátor T, hiszen [T, T ] = 0 mindig igaz. Vagyis ha a generátort akarjuk megtalálni, akkor a transzformáció során megmaradó mennyiségekre kell koncentrálni. Ha a transzformációhoz természetes módon tartozik egy megmaradó mennyiség, akkor azt azonosíthatjuk a transzformáció generátorával. Ezzel elérkeztünk egy nagyon fontos azonosításhoz: trf. generátora trf. során megmaradó mennyiség. 4

5 2.1 Mérés a kvantumelméletben Habár egy rendszerrel csak egyetlen dolog történhet, az állapota valahogyan transzformálódik, mégis beszélhetünk egy speciális transzformációról, ez a mérés. A mérés olyan behatás, amely szinte változatlanul hagyja a rendszert, azaz egy infinitezimális transzformáció kell legyen. A mérés során az ilyen minimális befolyás során bekövetkező változásokat figyeljük, erősítjük fel, vagyis tulajdonképpen a generátor hatását vizsgáljuk. A transzformáció generátorát ezért mérési operátornak nevezzük. Általában is igaz, hogy bármilyen transzformáció esetén létezik olyan állapot, amely csupán egy fázisfaktorral transzformálódik, nevezetesen a generátor sajátállapotai ilyenek. Ha T ξ a = λ a ξ a U ξ a = e it c ξ a = e iλac ξ a. (14) A sajátértékek halmazát az operátor spektrumának nevezzük. Mivel a generátor hermitikus, sajátértékei valósak λ a = λ a. A projektor felbontás szerint T bármely függvénye kifejezhető mint f(t ) = a f(λ a ) ξ a ξ a, (15) például 1 = a ξ a ξ a, T = a λ a ξ a ξ a. (16) A sajátállapotokra hatva a mérési operátor helyettesíthető egy számmal: logikus tehát azt mondani, hogy ξ a állapotban a mérés értéke λ a. Mivel a lehetséges sajátértékek halmaza (az operátor spektruma) sokszor diszkrét, ekkor a mérésnek csak bizonyos meghatározott értékei lehetnek. Ha a rendszer ψ állapota nem sajátállapot, akkor nem kapunk határozott értéket a mérésre. Itt egy olyan elvet kell alkalmaznunk, amely nem következik az előzőekből, ez a kvantumelmélet mérési posztulátuma. Az állapotot felbonthatjuk a mérés sajátállapotai szerint ψ = a v a ξ a, ahol a kifejtési együtthatók általában komplexek v a C. A mérési posztulátum szerint p a = v a 2 annak a valószínűsége, hogy a ξ a -hoz tartozó mérési eredményt, λ a -t kapjuk a mérés eredményeként. Ez konzisztens azzal, hogy a teljes valószínűség p a = ψ ξ a ξ a ψ = ψ ψ = 1. (17) a a A mérés várható értéke ebben az állapotban T ψ = [ λ a p a = ψ λ a ξ a ξ a ] ψ = ψ T ψ. (18) a a Mindez elfogadható és megérthető; azonban van a mérési posztulátumnak egy olyan, kísérletileg igazolható kitétele, hogy a mérés után a rendszer sajátállapotába kerül. Ez azt mondja, hogy a mérés nem része a kvantumos világnak, ami elég nehezen érthető, hiszen a mérőberendezés részei is a kvantumelméletnek kell, hogy engedelmeskedjenek. Nincsen konszenzus a fizikusok között arról, mit is kell pontosan gondolni a mérés alatt. De két dolgot állíthatunk biztosan. Az egyik, hogy a mérés megszünteti a kvantumelmélet belső logikáját, a mért objektum új, véletlenszerűen megválasztott kezdőállapotból folytatja az életét: ez a dekoherencia jelensége. A másik az, hogy a mérőberendezés sokrészecske kvantum rendszer, úgyhogy ha a kvantumelmélet magyarázatot akar adni a méréselmélet kérdéseire, akkor a sokrészecske rendszereket kell tanulmányoznia. Később még visszatérünk ezekre a kérdésekre. 2.2 Tér és idő a kvantumelméletben A kvantumelmélet egyik legmegrázóbb tulajdonsága, hogy abban sem tér sem idő nem szerepel. Később még részletesebben megvizsgáljuk ennek következményeit. Klasszikus környezetünkben azonban alap tapasztalat, hogy a jelenségek, így például a mérés is térben és időben játszódnak le. Ezért elemi igény, hogy a kvantumelméletet beágyazzuk a téridőbe. 5

6 Az idő egy egy paraméteres inherens transzformációja a rendszerünknek, azaz változtatja a rendszer állapotát. Ezért tartozik hozzá egy unitér operátor, az időfejlesztés operátora U(t). Ezen operátor generátorát jelöljük H-val, neve Hamilton operátor. Ekkor írhatjuk U(t) = e iht, ψ, t = e iht ψ, A(t) = e iht A e iht. (19) Kis időlépés esetén az infitezimális transzformáció alakjából d ψ dt = ih ψ, (20) ezt nevezzük Schrödinger-egyenletnek. Az operátorokra pedig azt kapjuk, hogy da dt = i[h, A]. (21) Láthatóan az időfejlődés Schrödinger egyenlete nem külön egyenlet, csupán annak a kifejezése, hogy létezik időfejlesztő operátor. A tér esetében definiálhatunk egy helymérő operátort, ˆq, valamint egy hely-eltolás operátort ˆp. A kettő viszonyára a tér fizikai értelmezéséből az következik, hogy ha a teret eltoljuk dx-szel, akkor minden helymérés dx-szel mutat többet, azaz dˆq = dx. Tehát dˆq = i[ˆp, ˆq]dx = dx [ˆq, ˆp] = i. (22) Ez a Heisenberg-féle kvantálási reláció. Láthatóan ez a kifejezés sem különálló követelmény, csupán annak a kifejeződése, hogy a tér és a téreltolás egymással meghatározott kapcsolatban áll. Mivel itt nem használtunk ki semmit a tér reprezentációjáról, ez a megkötés általános koordináták esetén is igaz kell maradjon. A konkrét fizikai rendszerekben ezek az operátorok bázist képeznek a fizikai megfigyelhető operátorok között, azaz minden megfigyelhető mennyiség ˆq és ˆp hermitikus függvénye. Ekkor a fenti kvantálási feltétel rögzíti bármely két megfigyelhető mennyiség kommutátorát. Ha meg akarjuk tudni, milyen is a kifejezése H-nak és p-nek, akkor a generátor megmaradó mennyiség gondolatot követhetjük. Az időeltoláshoz természetes módon tartozik az energia megmaradása (l. klasszikus mechanika, vagy a térelmélet Noether-tétele). Ezért a fenti azonosítással azt mondhatjuk időeltolás generátora (Hamilton-operátor) energia. Hasonló módon a téreltoláshoz természetes módon tartozik az impulzus megmaradása (l. mechanika, vagy a térelmélet Noether-tétele). Ezért a fenti azonosítás azt mondja klasszikus téreltolás generátora impulzus. Mindez persze a klasszikus mechanikában is érvényes, és ott igen sok rendszerre már meghatároztuk annak Hamilton-függvényének függését a helytől és az impulzustól. Hogy a klasszikus mechanikát képesek legyünk leírni, a megfigyelhető mennyiségek ˆq és ˆp-vel való kifejezése meg kell egyezzen a klasszikus képlettel, azonban rendezési bizonytalanságok lehetnek. Tartsuk azonban észben, hogy a klasszikus mechanika képletei a teljes kvantum rendszernek csak közelítései, ezért a kvantum Hamilton operátorhoz a klasszikusan nulla tagok tetszőleges együtthatóval hozzáadhatók. 2.3 Kvantummechanikai leírás, hullámfüggvény A kvantummechanika az a kvantumelmélet, ahol egy részecske térbeli pozíciójának ˆq mérési operátora és a téreltolás (impulzus) ˆp operátora az a bázis, amelyek szerint minden más operátor kifejezhető. A kvantummechanika nem teljes, mert mezők nem szerepelhetnek benne: például az elektromos tér mérési operátora nem eleme a fent definiált operátorseregnek. A kvantummechanikában az állapotokat leggyakrabban a pozíció mérés operátor sajátállapotainak bázisában fejtik ki. Ez a hullámfüggvény: ˆq x = x x ψ(x) = x ψ. (23) 6

7 Általában feltesszük, hogy a helymérés folytonos spektrummal rendelkezik, azaz x R. Ez azonban komoly nehézséget jelent az értelmezésben, és könnyen ellentmondásra vezethet. Például értékeljük ki a Heisenberg határozatlansági relációt hely sajátállapotok között: Azonban a jobboldal, felhasználva ˆq hermiticitását: x [ˆq, ˆp] x = i h x x = i h. (24) x [ˆq, ˆp] x = x ˆqˆp ˆpˆq x = x x ˆp x x ˆp x x = 0. (25) Az ilyen és hasonló ellentmondásnak kétféle feloldása lehet. Az egyik, hogy folytonos spektrum esetén nem tételezzük fel az állapotok normáltságát. Az állapotok skalár szorzata nem függvényhez, hanem disztibúcióhoz vezet, pl.: x x 0 = δ(x x 0 ), (26) a teljességet pedig nem összegzés, hanem integrál fogalmazza meg (projektor mérték): dx x x = 1. (27) Ez megközelítést a matematikai fizikában alaposan feltérképezték, de sajnálatos módon a térelméletekre nem volt átvihető a fogalmi rendszer. Így marad a másik feloldási lehetőség, amely szerint a tér nem folytonos, pontosabban minden kvantum rendszert csak a téridő valamilyen regularizációján lehet értelmezni, amely azonban tetszőleges mértékben finomítható. Mi ezt az értelmezést fogadjuk el, de konkrét formulákban azért nyugodtan alkalmazható a folytonos határátmenet, ha ez nem okoz értelmezési nehézséget. A helymérés operátorának hatása a hullámfüggvényen ψ = ˆq ψ ψ (x) = x ˆq ψ = x x ψ = xψ(x). (28) A helymérés tehát a hely sajátértékkel való szorzással reprezentálható. Az impulzus mérés hatásához vizsgáljuk meg az impulzus definícióját használjuk fel, amely a hely eltolás: Ennek hullámfüggvénye δ ψ = ψ x x+a ψ x = iaˆp ψ. (29) ia x ˆp ψ = x ψ x x+a x ψ x = ψ(x a) ψ(x) = a ψ(x). (30) x Emiatt ˆp ψ hullámfüggvénye i x ψ(x). Hasonló logikával ha ψ n (x)-szel jelöljük ˆp n ψ hullámfüggvényét, akkor ψ n (x) = x ˆp n ψ = x ˆp y y ˆp n 1 ψ = ( i x )δ(x y)ψ n 1 (x) = i x ψ n 1 (x). (31) Emiatt igaz operátor szinten is, hogy y y ˆp i x. (32) Megjegyezzük, hogy a hullámfüggvény fogalma kiterjeszthető más bázisra is, például lehet impulzus szerinti hullámfüggvényről beszélni ψ(p) = p ψ módon, ahol ˆp p = p p az impulzus operátor sajátállapota. Az impuluzus operátor sajátállapotának hullámfüggvénye x szerint: ˆp p = p p i x x p = p x p x p = e ipx. (33) Ez a sajátállapot sem normálható. Ebben a bázisban ˆp írható fel úgy, mint szorzásoperátor, és a helymérés lesz i p. Az impulzus hullámfüggvény és a hely hullámfüggvény egymáshoz való viszonya ψ(p) = p ψ = p x x ψ = e ipx ψ(x), (34) Fourier transzformáció. x x 7

8 Ezek után minden operátor, ami ˆq és ˆp függvénye mint differenciáloperátor írható fel, amely x és i x függvénye. A Schrödinger-egyenlet alakja tehát (i t H( i, x))ψ(t, x) = iψ 0 (x)δ(t). (35) Megjegyzés: az impulzus sajátállapot hullámfüggvénye erősen nemlokális, ψ 2 =konstans a teljes térben. Általában, hacsak nincs erre valami különös ok, ez igaz tetszőleges operátor sajátfüggvényeire, így például az energia sajátfüggvényekre is. Lehetnek ugyan lokalizált energia sajátfüggvények (kötött állapotok), de ezektől eltekintve az energia sajátfüggvények is a teljes térre kiterjednek. Például egy négyszögletes energia hullámfüggvényei sin(πnx/l) alakúak, betöltik a teljes rendelkezésre álló teret. 2.4 Energia sajátértékek és a propagátor A kvantummechanika központi feladata az adott rendszer Hamilton operátora sajátértékeinek meghatározása, azaz a lehetséges energiaszintek megadása, valamint az energia sajátállapotok hulámfüggvényének meghatározása. Az általános kvantumelméletben ezeket a mennyiségeket olyan fogalmakkal cseréljük fel, amelyek nem kötődnek közvetlenül a hely reprezentációhoz. A hullámfügvény helyett a propagátort, az energiaszintek megadása helyett az azok sűrűségét megadó spektrál operátort/függvényt használjuk, az energia sajátállapotokat (ha erre szükségünk van) a sajátállapotokra vetítő projektorokkal kezeljük. Ebben a fejezetben ezeket a fogalmakat vezetjük be, és mutatunk rá a használatukra. A Schrödinger egyenlet lineáris parciális differenciálegyenlet, azaz megoldható a Green-függvény technikával. A megoldandó egyenlet Ennek megoldása időfejlesztő operátor. Az időfejlesztő operátorra igaz egyenlet (i t Ĥ) ψ = 0, & ψ, t 0 = ψ 0. (36) ψ, t = ϱ(t) ψ 0, ahol ϱ(t) = e iĥt (37) (i t Ĥ)ϱ(t) = 0 ϱ(0) = 1. (38) Milyen az időfejlesztő operátor Fourier transzformáltja? Ehhez írjuk fel az időfejlesztő operátort a sajátenergia bázisban ϱ(t) = n, t n, 0 = e ient P n, P n = n n. (39) n n Ennek Fourier transzformáltja ϱ(ω) = n 2πδ(ω E n )P n, (40) egy olyan operátor, amely csak akkor nem nulla, ha a frekvenciával eltaláljuk valamelyik energia sajátértéket, ott értéke éppen az arra az energia sajátaltérre vett projektor. Ezért a ϱ(ω) a probléma spektrumát szolgáltatja, így szokták spektrál-operátornak is nevezni. Ha ennek a trace-ét vesszül, akkor Tr ϱ(ω) = n 2πg n δ(ω E n ), (41) már függvény, ahonnan az energia sajátértékek olvashatók le, g n a sajátérték multiplicitása. Ez az állapotsűrűség kifejezése. Lehetséges egy mátrixelemet tekintenti csak ϱ Φ (ω)! = Φ ϱ(ω) Φ = n 2πδ(ω E n ) n Φ 2. (42) Ez csak azokat az energiaszinteket tartalmazza, amelyeknél n Φ 0. Ezen állapotok at nevezzük Φ állapot kvantumcsatornájának, a ϱ Φ mennyiséget pedig a Φ-hez tartozó spektrálfüggvénynek hívjuk. 8

9 Az időfejlesztő operátornál előírhatjuk azt is, hogy az adott állapot az időfejlődés kezdő- vagy végállapota, ezzel a későbbiekben gyakran használt fogalmakhoz, a retardált és avanzsált Green-függvények definíciójához jutunk: ig ret (t) = Θ(t)e iĥt, ig av (t) = Θ( t)e iĥt. (43) A retardált és avanzsált Green-függvény különbsége A retardált Green-függvénnyel t > t 0 -ra t < t 0 esetén pedig nullát kapunk. Egy e i bázisban felírva ig ret (t) ig av (t) = ϱ(t). (44) ψ, t = ig ret (t t 0 ) ψ 0, (45) ψ i (t) = e i ψ, t = i e i G ret (t t 0 ) e j e j ψ 0 = ig ij (t t 0 )ψ 0j. (46) Például hely bázisban G ret (t, x, x ) = x Ĝret(t) x ψ(t, x) = dx ig(t, x, x )ψ 0 (x ). (47) Ilyen módon joggal tekinthetünk a Green-függvényekre úgy, mint egy speciális hullámfüggvényre, amely az adott reprezentáció egy báziseleméből indul; ugyanakkor ez az információ elég bármely hullámfüggvény előállításához. A Green-fügvények tehát a rendszer viselkedésének teljes leírását szolgáltatják. A Green-függvény időderiváltját véve azaz i t ig(t) = i t (Θ(t)e iĥt) = iδ(t)1 + ĤiG(t), (48) (i t Ĥ)G(t) = δ(t)1, (49) ez indokolja a Green-függvény elnevezést. A Green-függvényre vonatkozó differenciálegyenlet hely reprezentációban Megjegyzés: beszorozva ψ 0 -lal kapjuk: (i t H( i, x))g(t, x, x ) = δ(t)δ(x x ). (50) (i t Ĥ) ψ = i ψ0 δ(t t0) ψ, t = = 0. (51) Ez közvetlenül is belátható: ugyanis t = -től t = t 0-ig nincs forrástag, így a megoldás nulla. t = t 0-nál ugrása lesz az egyenletnek, amit onnan láthatunk, ha t 0 ε-tól t 0 + ε-ig integráljuk a fenti egyenletet. Feltételezve, hogy sehol nem szinguláris a megoldás, kapjuk: t 0 +ε t0+ε dt (i t Ĥ) ψ = i ψ, t0 + ε i ψ, t0 ε + O(ε) = dt i ψ 0 δ(t t 0) = i ψ 0. (52) t 0 ε t 0 ε Mivel i ψ, t 0 ε = 0, ε 0 mellett adódik, hogy ψ, t 0 = ψ 0. Emiatt (51) valóban egy kezdeti feltétel problémát határoz meg. azaz A Green-függvény egyenletét Fourier-transzformálva kapjuk (ω Ĥ)Ĝ(ω) = 1, (53) Ĝ(ω) = (ω Ĥ) 1. (54) Ez az általános propagátor, ahol ω a komplex síkon veheti fel értékét. Ĥ sajátrendszerében felírva Ĝ(ω) = n 1 ω E n P n. (55) 9

10 Felhasználva (40) képletet közvetlenül kapjuk Ĝ(ω) = dω 2π ϱ(ω ) ω ω (56) Kramers-Kronig relációt. A Ĝ(ω) inverz Fourier transzformáltjának meghatározásáhaz meg kell mondanunk, mit kezdjünk a propagátor pólusaival. Ez az előírás a határfeltételekkel van kapcsolatban. Ha a nevezőhöz iε mennyiséget adunk ε > 0-val, akkor az inverz Fourier transzformáció dω 2π e iωt ω E + iε = iθ(t)e iet. (57) Ez úgy látható, hogy ω = ω r + iω i választással az exponens e iωrt+ωit. Emiatt t > 0-ra a kontúr lefelé (ω i < 0) zárható, ahol van egy egységnyi reziduumú pólus. Ennek járuléka, a fordított körbejárás miatt 2πi. Ha t > 0, a kontúr felfelé zárható, ahol nincs pólus, az integrál nulla. A Θ megjelenése miatt a retardált megoldást kaptuk; ha iε-t adtunk volna a nevezőhöz, akkor avanzsált megoldás lett volna az eredmény: Ĝ(ω + iε) = Ĝret(ω), Ĝ(ω iε) = Ĝav(ω). (58) Ezeket a formulákat hívjuk Landau előírásnak. Expliciten kiírva iĝret(ω) = n i ω E n + iε P n, iĝav(ω) = n i ω E n iε P n. (59) A retardált és avanzsált megoldás különbsége éppen az időfejlesztést adta, l. (44). Ez Fourier-bázisban azt jelenti, hogy ϱ(ω) = iĝ(ω + iε) iĝ(ω iε). (60) Ezt a kifejezést egy függvény diszkontinuitásának nevezzük: Disc f = f(ω + iε) f(ω iε), (61) azaz Ezt közvetlenül is beláthatjuk, hiszen ϱ(ω) = Disc iĝ(ω). (62) Emiatt visszakaptuk (40) alakot Disc 1 x = 1 x + iε 1 x iε = 2iε ε 0 x 2 + ε 2 2πiδ(x). (63) ϱ(ω) = n 2πδ(ω E n )P n. (64) A propagátor diszkontinuitása tehát az állapotsűrűség. Ez is egy lehetséges eljárás a propagátor ismeretében a rendszer energia sajátállapotainak és az azokra történő vetítés operátorának meghatározásához. A fentiek alapján Ĝ(ω) trace-ének diszkontinuitása az állapotsűrűség A gyakorlatban gyakran csak valamilyen mátrixelemet számolunk: Tr ϱ(ω) = Disc Tr Ĝ(ω). (65) G Φ (ω)! = Φ Ĝ(ω) Φ = n Φ n 2 ω E n. (66) E kifejezés pólusainak meghatározása azon sajátértékek beazonosítására alkalmas, ahol Φ n 0. 10

11 2.5 A propagátor mátrixelemeinek analitikus struktúrája nagy térfogatban Fontos hangsúlyozni, hogy a propagátor analitikus szerkezete a kvantumelméletben szigorúan rögzített, l. (55) vagy mátrixelemekre (66). A komplex argumentumra kiterjesztett propagátornak a valós tengelyen vannak pólusai, amelyek fizikailag az energiaszinteket jelentik Energiaszintek távolsága Véges rendszer energiaszintjei mindig diszkrétek. Azonban nagy térfogatok esetén az energiaszintek igen közel kerülnek egymáshoz. Hogy ezt lássuk, gondoljunk egy L lineáris méretű 1D rendszerre, amelynek periodikus határfeltételei vannak. A síkhullámokra a periodicitás követelménye e ikx = e ik(x+l) e ikl = 1 k = 2π L n δk = 2π L, (67) ennyivel tér el a szomszédos módusok hullámszáma. Nemrelativisztikus rendszerben tehát az energiaszintek különbsége (k + δk)2 δe = 2m k2 2m = 2π k L m + O(δk2 ) = 2πv k L + O(δk2 ). (68) L esetén tehát az energiaszintek közelednek egymáshoz a fizikai hossz inverzével arányosan. Magasabb dimenziós esetben másik effektus is felléphet. Egy teljesen szimmetrikus 3D-s test esetén az energiát E(k) adja meg, ahol k a hullámszám abszolút értéke. Ebben az esetben az energiszintek külünbségére δe szim = de 2π dk L = 2πv E L értéket kapnánk, ahol L a lineáris hossz, v E pedig a csoportsebesség. Ugyanakkor az ehhez az energiához tartozó összes impulzus állapot száma, azaz az energiaszintek elfajultsága (69) g E = 4πk2 δk 2 (kl)2. (70) Ha a test nem teljesen szimmetrikus, akkor ezek az elfajulások feloldódnak, gondoljunk a 3D-s téglatest alakú üregrezonátor energiaszintjeit megadó E 2 = ( hc) 2 i k 2 i, k i = πn i L i (71) képletre. Az energiaszeintek különbsége ( h = c = 1 egységrendszerben amúgy van egy hc szorzó) δe = 1 k i δk i (72) k képlettel számolható, ahol δk i = π/l i δn i, lehet pozitív, negatív vagy nulla is. Az 1/L-es függés mellett itt még úgy is közeledhetnek az energiaszintek, hogy mondjuk az egyik módus számát növeljük, a másikét csökkentjük. Ha teljesen feloldódnak az elfajulások, akkor a δe szim energialépésben g E darab energiszint található, azaz az energiaszintek tipikus távolsága i δe = δe szim v E g E k 2 L 3 v E k 2 V v Eλ 2 V (73) már a térfogattal arányosan csökkennek; az utolsó formulában a λ a hullámhosszt jelenti. 11

12 2.5.2 Az energiaszintek megkülönböztethetősége Ha a rendszert pontosan egy energiaszintről indítunk, akkor annak időfejlődése csak fázist jelent, emiatt valamilyen ˆT = ˆT mérhető mennyiség várható értéke időben állandó marad: Ha egyszerre két energiaszintet gerjesztünk, akkor persze az ezen mért várható érték: ahol n, t = e ient n, n, t ˆT n, t = n ˆT n. (74) ψ, t = αe ie1t n 1 + βe ie1t n 1, α 2 + β 2 = 1, (75) ψ, t ˆT ψ, t = ψ, 0 ˆT ψ, 0 + 2A (cos(δe t + ϕ) cos ϕ), (76) δe = E 1 E 2, α β n 1 ˆT n 2 = Ae iϕ. (77) Két energiaszint megkülönböztetéséhez tehát t 1/δE ideig kell mérnünk ez a lebegési frekvencia. 1D rendszerben ez fizikailag tipikusan azt az időt jelenti, amíg a jel átér az L térfogaton, ami még kivárható, de 3D rendszerekben az elfajulások feloldódása miatt az energiaszintek jóval közelebb vannak egymáshoz, ezért a lebegést két közeli energiszint kivárni (feltéve, hogy v E c) t V cλ 2, ct λ V λ 3 (78) időt vesz igénybe, illetve a saját rezgés periódusidejének ennyiszerese. Hogy egy számpéldát hozzunk: 1 m 3 -es dobozban a látható fény két energiaszintjének lebegési ideje kb egy nap, a fény periódusidejének kb szerese. Ha egyetlen energiaszintet akarunk gerjeszteni, akkor úgy kell a rendszert preparálni, hogy a szomszédos energiszintek már ne gerjesztődjenek. Az energia sajátállapot előállításához tehát a rendszert a lebegési ideig kell koherensen kezelni, ami gyakorlatilag lehetetlen feladat. Részecskefizikában egy-egy részecske tipikus előállítási ideje ( creation time ) nagyjából megfelel annak az időnek, amíg a fény átér rajta, azaz τ λ/c. Ilyen rövid idő alatt az állapotnak átfedése tipikusan a fent látott V/λ 3 számú állapottal van. Emiatt valódi rendszerekben energia sajátállapotot lényegében nem tudunk előállítani, a tipikusan előállítható állapotok energia sajátállapot szerinti felbontása igen sok szintet tartalmaz. Az energiaszintek sűrűségét formálisan az állapotsűrűség kifejezéséből is megkaphatjuk, hiszen egy [E, E+ δe] intervallumban levő energiaszintek száma Θ(E < E n < E + δe) = n n E+δE E dω δ(ω E n ) = E+δE E dω 2π Tr ϱ(ω). (79) Elegendően nagy δe-re a fenti szám, ahogy láttuk, arányos lesz a térfogattal, azaz igen sok állapotot jelent. Ugyanakkor, ha E δe, akkor az állapotok száma δe-vel közel lineárisan változik. Emiatt definiálhatjuk a folytonos állapotsűrűség kifejezését, mint g(e) = 1 V E+δE 1 dω Tr ϱ(ω), (80) δe E ahol δe elég nagy ahhoz, hogy sok energiaszintet foglaljon magába, de elég kicsi ahhoz, hogy E δe fennálljon. Ez a függvény már nem Dirac-deltákból áll, hanem folytonos. Nem nulla értékeket E > E 0 -tól kezdve vesz fel, ahol E 0 a rendszer alapállapoti energiája. Ugyanezzel a gondolatmenettel élhetünk akkor is, ha fizikailag előállítható állapotokat tekintünk, és kíváncsiak vagyunk az állapot időfejlődésére. Ekkor az időfejlesztő operátor mátrixelemeit kell tekintenünk, l. (42) ϱ ψ (t) = ψ ϱ(t) ψ = e ient n ψ 2. (81) n 12

13 Ha nincsenek elfajulások, akkor n és E n között egyértelmű kapcsolat van, azaz a mátrixelemek E n függvényeként is megadhatók. Vezessük be a projektorok mátrixelemeit mint energia függvényeket a következő módon: n ψ 2 = F (E n), (82) V ahol a térfogattal való normálást az indokolja, hogy nagyon sok energiaszinttel vagyunk átfedésben, és ezért egy állapottal való átfedés mátrixeleme fordítottan arányos az összes állapot számának inverzével, hiszen n n ψ 2 = 1. Ha fizikailag előállítható állapotokkal foglalkozunk, akkor ráadásul F (E) az energia lassan változó függvénye. Ennek következtében a szumma átírható integrállá ϱ ψ (t) = = = dω 2π n iωt F (ω) 2πδ(ω E n )e = V i δe 1 V δe E+δE E dω 2π Tr ϱ(ω)e iωt F (ω) = de 2π g(e)f (E)e iet. (83) Ezzel a kifejezéssel formálisan értelmezhetjük a folytonos spektrál függvény mátrixelemeket ϱ ψ (ω) = g(ω)f (ω). (84) Ez a függvény is folytonos, nem nulla értékeket ω > E 0 -tól kezdve vehet fel. Megjegyezzük, hogy a spektrumnak lehetnek diszkrét értékei is speciális esetben, elszigetelt energia sajátértékek esetében, amelyek távolsága a többi sajátértéktől nem változik a térfogat függvényében. Ilyenek például a stabil kötött állapotok energiaszintjei. A fent elmondottak operátor szinten is végigvihetők, az eredmény a projektor mértékek feletti integrál bevezetése lesz. Mi azonban végig mátrixelemekkel fogunk foglalkozni. A propagátor mátrixelemeire (56), az inverz relációra (62) összefüggés vonatkozik: G ψ (ω) = ψ Ĝ(ω) ψ = dω 2π ϱ ψ (ω ) ω ω, ϱ ψ(ω) = Disc ω ig ψ(ω). (85) A továbbiakban elhagyjuk a mátrixelemekre hivatkozó ψ jelölést. A második reláció azt mondja, hogy G(ω + iε) = G(ω iε) + ϱ(ω), (86) ami azt jelenti, hogy folytonos spektrum esetén a propagátor felső és alsó félsíkbeli értékei között végig ugrás van. Ezt nevezzük az adott függvény vágásának. Matematikailag a vágás olyan függvények esetén jelenik meg, amelyek többértékűek lehetnek. Például az y 2 = x megoldása y = ± x, mindkettő kielégíti az egyenletet. A komplex síkra kiterjesztett megoldás ezt a kettősséget érdekes módon veszi figyelembe. Polár paraméterezés esetén x = re iϕ y = re iϕ/2 = y 0 e iξ, (87) vagyis a szög megfeleződik. Ez viszont azt jelenti, hogy y-ra különböző értékeket kapunk a ϕ [0, 4π] tatományon végighaladva. Vagyis az x síkon kétszer kell körbefordulnunk, hogy y-ban periodicitást kapjunk. Ezeket a körbefordulásokat nevezzük Riemann-leveleknek. A gyökfüggvénynél például az x értelmezési tartományában eredetileg ϕ [ π, π], ennek értékkészlete viszont ξ [ π/2, π/2]. Az x síkban a π ε és a π + ε szögekhez tartozó értékek közel vannak ε 0 esetén, de a képük már messzire kerül: x 1 = re iπ iε, x 2 = re iπ+iε, x 1 x 2 2irε 0 y 1 = re iπ/2 iε/2, y 2 = re iπ/2+iε/2, y 1 y 2 2i r. (88) A gyökfüggvény diszkontinuitása (vágása) tehát a valós tengely mentén Disc x = x + iε x iε = 2iΘ( x) x. (89) 13

14 Figure 1: A két Riemann levél megjelenése a gyökfüggvény valós és képzetes részében. A gyökfüggvény első Riemann-levelének képe a Re y > 0 félsík, a második Riemann levél képe a Re y < 0 félsík. A két Riemann levél egymáshoz a negatív x tengelynél kapcsolódik: a vágáson atbújva érhetünk el a második levélre. A leképzés valós és képzetes részét láthatjuk a 1 ábrán. A gyökfüggvény a két Riemannlevél egyesítésén már egyértelmű, azonban az nem egyértelmű, hol helyezkedik el a két Riemann-levél határa, azt bárhogyan definiálhatjuk, a két levelet kettévágva. Egy másik jelentős függvény, amely nem egyértékű, a logaritmus. Erre x = re iϕ ln x = ln r + iϕ. (90) A leképzés képzetes része tehát folyamatosan nő, habár az értelmezési tartományban körbe-körbe járunk. Itt tehát végtelen sok Riemann-levél létezik. Az átjárás a szokásos ϕ [ π, π] definícióval szintén a negatív x tengelynél van: log( x + iε) log( x iε) = log( 1 + i ε x ) log( x + i ε ) = 2πi. (91) x A logaritmus függvény valós és képzetes részét látjuk a 2 ábrán. A spirál menetemelkedése 2π. Figure 2: A logaritmus függvény Riemann-levelei. A spektál függvény értéke valós időben egy adott állapot időfüggését adja meg. Nézzük meg, milyen tipikus időfüggéseket találunk hosszú idők esetén. Ha a spektrál függvénynek vágása van valamilyen E t értéktől kezdve (ez a küszöbérték, angolul threshold value), akkor sorba fejthetjük ezen érték körül. A vezető vieslkedés (ω E t ) α kiemelhető, így ϱ(t) = dω 2π e iωt ϱ(ω) = = e iett 1 t α+1 n=0 c n t n dω 2π e iωt (ω E t ) α c n (ω E t ) n = e iett n=0 dω t 2π e iω ω α c n ω n = dx 2π e ix x α+n. (92) Hosszú idő múlva a vezető időfüggés tehát t α 1, ahol α a spektrál függvény viselkedése a küszöb közelében. Gyökös küszöb esetén (l. következő fejezet) az időfüggés t 3/2. A másik tipikus viselkedés akkor figyelhető meg, ha a spektrál függvénynek Lorentz-görbével közelíthető csúcsa van. A csúcs járuléka ϱ(t) = dω 1 2π e iωt (ω ω 0 ) 2 + Γ 2 = i 2Γ [ ] dω 1 2π e iωt ω ω 0 + iγ 1 ω ω 0 iγ n=0 = π Γ e iω0t Γ t, (93) akár fölfelé, akár lefelé zárjuk a kontúrt. Ekkor az energia sajátállapot időfüggéséhez egy exponenciális csillapodást (bomlást) is kapunk. Ezeket az állapotokat kvázirészecskéknek is nevezhetjük, mert kis Γ esetén sok szempontból egy energia sajátrérték módjára viselkedik a rendszer. Fontos hangsúlyozni, hogy bár a fent említett mátrielemek nullához tartanak, az unitaritás nem sérül: ha energia sajátállapotokban írjuk fel az időfejlődést, továbbra is igaz, hogy a hullámfüggvények normája 1 marad: ψ, t = c n e ient n ψ, t 2 = c n 2 = 1. (94) n n Azonban az időfejlesztő operátor fizikailag megfigyelhető mátrixelemei mégis csillapodást mutatnak, annak következtében, hogy az állapotot felépítő energia sajátvektorok fázisai között kezdetben fennállt összhang szétzilálódik, akárcsak a lebegésnél, például: ψ ψ, t = n c n 2 e ient 0. (95) 14

15 2.6 Spektrál függvények eltolás invariáns esetben A Hamilton operátor általában tartalmaz egy kinetikus és egy potenciál tagot, ezért a Green-függvény komplikált, analitikusan nem meghatározható kifejezés. Ha hiányzik a potenciál tag, akkor a Hamilton-operátor eltolás invariáns, azaz felcserélhető az impulzus operátorral (helyeltolás infinitezimális generátorával). Emiatt a Hamilton operátornak és az impulzusnak van közös sajátfüggvényrendszere E, k, Ĥ E, k = E E, k, ˆp E, k = k E, k. (96) A Green-függvényekre vonatkozó Schrödinger egyenlet időbeli Fourier transzformált alakja (53), ezt szendvicselve E, k állapottal kapjuk ahol Egyetlen szabad részecske példája (ω E)G(ω, E, k) = 1 G(ω, E, k) = 1 ω E + iε, (97) G(ω, E, k) = E, k Ĝ(ω) E, k. (98) Egy részecske kvantummechanika esetén az eltolásinvarinacia azt jelenti, hogy a Hamilton operátor kifejezhető az impulzussal Ĥ(ˆp) E = E k, (99) az energia az impulzus függvénye (diszperziós reláció). Az időfejlesztő operátor és a propagátor impulzus mátrixelemei ϱ(t, k) = k e iĥt k = e iekt 1, G(ω, k) =. (100) ω E k Az időfejlesztő operátor Fourier-transzformáltja, vagy a propagátor diszkontinuitása adja a spektrál függvényt: ϱ(ω, k) = 2πδ(ω E k ). (101) Ennek jelentése ugyanaz, mint amit fent is elmondtunk: határozott impulzusnál csak egy energiaszintünk van E k helyen. Az állapotsűrűség a spektrálfüggvény spurja. Impuzus bázisban felírva Tr ϱ(ω) = k ϱ(ω, k) = V (2π) 3 d 3 kϱ(ω, k), (102) mert k n = 2πn L periodikus határfeltételek esetén bármely irányban. Emiatt k = 2π L, ezzel bővítve kapjuk a szummából a (Riemann-) integrált. Hely reprezentációban a téreltolás invariancia miatt Tr ϱ(ω) = x ϱ(ω, x, x) = V ϱ(ω, x = 0). (103) Szabad nemrelativisztikus részecske esetén E k = k2 2m. A spektrál függvény és az általános propagátor kifejezése ϱ(ω, k) = 2πδ(ω k2 2m ), G(ω, k) = 1. (104) ω k2 2m Az összes energiaszinthez az állapotsűrűség kifejezését kell néznünk: d 3 k k2 ϱ(ω, x = 0) = (2π)δ(ω (2π) 3 2m ) = m 2mω, (105) π az állapotsűrűség gyökösen emelkedik. Hasonló eredményt kapunk relativisztikus esetben, ahol E 2 = k 2 +m 2 (c = 1 egységrendszerben): d 3 k ϱ(ω, x = 0) = (2π) 3 (2π)δ(ω k 2 + m 2 ) = ω ω2 m π 2. (106) 15

16 Amennyiben a rendszer nem teljesen eltolás invaráns, azonban a téreltolásra lassan változik a potenciál, akkor a fenti kifejezés valamennyire helyfügő lesz: ez akkor a lokális állapotsűrűség. Pásztázó elektronmikroszkópnál (scanning electron microscope, SEM) a pásztázó tű hegye és a felület közötti átmeneti valószínűség, azaz a mikroszkópon átfolyó áram I T (ω, x)ϱ(ω, x) arányos a végállapotok ϱ(ω, x) számával és a T (ω) átmeneti valószínűséggel 2. Az áram megváltozik, ha az átmeneti (alagutazási) valószínűség változik, vagy a lokális állapotsűrűség változik. Az átfolyó áramot mérve, vagy atomerő-elektronmikroszkópnál (atomic force mikroscope, AFM) a tű hegye és a felület között ható erőt mérve egészen atomi méretekig terjedő felbontás érhető el Két részecske rendszer Ha két eltérő tömegű független részecskénk van, akkor a Hamilton operátor Ĥ = Ĥ1 + Ĥ2, Ĥ 1,2 (k 1,2 ), (107) például nemrelativisztikus esetben Ĥ 1,2 (k 1,2 ) = k2 1,2 2m 1,2. (108) Mind ˆk 1, mind ˆk 2 megmaradó mennyiség, ezek sajátvektoraival jellemezhetjük a rendszert: d ˆϱ(t) = e iĥt 3 k 1 d 3 k 2 = (2π) 3 (2π) 3 e i(e1+e2)t k 1, k 2 k 1, k 2, (109) Fourier térben ˆϱ(ω) = d 3 k 1 (2π) 3 d 3 k 2 (2π) 3 (2π)δ(ω E 1 E 2 ) k 1, k 2 k 1, k 2. (110) Megadott k 1 és k 2 esetén, az egy részecske rendszerhez hasonlóan, most is csak egyetlen energiaszintet kapunk. Sok esetben azonban nem tudjuk a két impulzust külön kontrollálni, csak az összimpulzust. A két részecske állapotokat jellemzhetjük az összimpulzussal és mondjuk az egyik impulzusával d 3 p d 3 k ˆϱ(ω) = (2π) 3 (2π) 3 (2π)δ(ω E 1(k) E 2 (p k)) p; k p; k. (111) Ilyenkor értelmes feltenni azt a kérdést, hogy mekkora az állapotsűrűség egy adott összimpulzus esetén: ezt parciális spúrképzéssel kaphatjuk meg: ϱ(ω, p) = p Tr k ˆϱ(ω) p = d 3 k (2π) 3 (2π)δ(ω E 1(k) E 2 (p k)). (112) Bár ez az integrál általánosan is elvégezhető, nézzük csak a p = 0 rendszert, ekkor formálisan ugyanaz az integrál jön ki, mint korábban az egy részecske teljes állapotsűrűségnél ϱ(ω, p = 0) = d 3 k k2 (2π)δ(ω (2π) 3 2M ) = M 2Mω, (113) π ahol M = m1m2 m 1+m 2 redukált tömeg. Az állapotsűrűség itt is gyökösen indul. Ha a két részecske közötti potenciál fontos szerepet játszik, akkor az állapotsűrűség egyre jobban torzul. Legjelentősebb változás, ha léteznek kötött állapotok: ezek az állapotsűrűségben a negatív energiás részén megjelenő diszkrét Dirac-deltákként jelentkeznek. 2 A pontos képletet a Landauer-Büttiker formula adja meg I AB = 2e h deϱ(e)f (E)T (E), ahol ϱ(e) az állapotsűrűség, f(e) az eloszlásfüggvény, T (E) az átmeneti valószínűség. A 2e a vezetőképesség kvantuma. h 16

17 2.7 Perturbációszámítás A Green-függvénnyel perturbációszámítást is végezhetünk. Tegyük fel, hogy ismerjük a Green-függvényét egy Ĥ0 Hamilton operátornak, és Ĥ = Ĥ0 + ˆV. Ekkor frekvencia-térben (ω Ĥ0 ˆV )Ĝ = 1 (ω Ĥ0)Ĝ0 = 1 (Ĝ 1 0 ˆV )Ĝ = 1 Ĝ 1 = Ĝ 1 0 ˆV Ĝ = Ĝ0 + Ĝ0 ˆV Ĝ Ĝ = Ĝ0 + Ĝ ˆV Ĝ0 Ĝ = Ĝ0 + Ĝ0 ˆV Ĝ0 + Ĝ0 ˆV Ĝ0 ˆV Ĝ Ĝ0( ˆV Ĝ0) n. (114) A két utolsó kifejezést szokták Dyson-Schwinger sornak nevezni. Ha formálisan ˆV λ, akkor a fenti kifejezéssel λ haladó sorában írhatjuk fel a propagátort, azaz perturbatíve meghatározhatjuk. Innen megkaphatjuk a sajátvektorok és sajátértékek transzformációját is, itt első rendben számuljuk ki ezeket a mennyiségeket. Tegyük fel, hogy a teljes rendszer energia sajátértékei Ē n -ek, a hozzájuk tartozó energia sajátvektorok n -ek, a teljes propagátor tehát Ĝ(ω) = n 1 n n. (115) ω Ēn Az eredeti H 0 rendszer energia sajátértékeit E n -nel, a hozzájuk tartozó sajátvekorokat n -nel jelöljük, ekkor A Dyson-Schwinger sor első rendben kiírva: ahol azaz Ĝ(ω) = n 1 Ĝ 0 (ω) = n ω E n n n + nm Az energiaszintek eltolódásához érdemes Tr Ĝ pólusait nézni: Tr Ĝ(ω) = ( ) 1 V nn g n + ω E n n (ω E n ) = n 1 ω E n n n. (116) V nm n m +..., (117) (ω E n )(ω E m ) V nm = n ˆV m. (118) g n ω E n V nn +..., (119) Ē n = E n + V nn. (120) Ē n -nek ezt a kifejezését visszaírva (117)-be, első rendben kapjuk: Ĝ(ω) = ( ) 1 V nn ω n Ēn (ω E n ) 2 n n + V nm (ω Ēn)(ω n m (121) Ēm) nm A dupla pólus kiesik (innen is meghatározhattuk volna az energiaszintek eltolódását): Ĝ(ω) = n 1 n n + V nm ω Ēn (ω Ēn)(ω n m (122) Ēm) n m Innen könnyen leolvasható a reziduum ω = Ēn-nél, ez éppen az új sajátaltérre vetítés projektora n n = n n + ( ) V nm V mn n m + m n (123) m n (Ēn Ēm) (Ēn Ēm) Ez a kifejezés úgy is értelmezhető, hogy n = n + m V mn m. (124) (Ēn Ēm) A perturbációszámítás fenti képletei megegyeznek a kvantummechanikai perturbációszámítás eredményeivel. A propagátor kiszámítására ugyanakkor sokkal hatékonyabb eszközök is rendelkezésre állnak. 17

18 2.8 Pályaintegrál reprezentáció Az időfejlesztő operátátor speciális alakjának köszönhetően az időfejlesztő operátátor és a propagátor mátrixelemei kielégítik a következő egyenletet ψ e iĥt η = e ψ e iĥt1 ξi ξ iĥ(t t1) i η, (125) i ahol ξ i teljes bázist alkot, t 1 pedig tetszőleges időpont. Az időfejlesztő operátor ezen bázisban felvett mátrixelemeit jelöljük e ϱ ij (t) = ξ iĥt i ξj (126) módon, erre tehát írhatjuk ϱ ij (t) = l ϱ il (t 1 )ϱ lj (t t 1 ). (127) Megtehetjük azt, hogy minden dt = t/n idő után beszúrunk egy teljes bázist: ϱ i0i n (t) = ϱ i0i 1 (dt)ϱ i1i 2 (dt)ϱ i2i 3 (dt)... ϱ in 1i n (dt). (128) i 1,i 2,...i n 1 Itt most ugyanannak az operátornak a mátrixelemeiről van szó. Szokták ezt az operátort transzfer mátrixnak nevezni: e T ij = ϱ ij (dt) = ξ iĥdt i ξj, (129) amely a Hilbert-téren egy mátrix, végtelen dimenziós, hiszen i és j a báziselemeket indexeli. Ekkor a fenti kifejezés a T mátrix matrixszorzása, azaz T hatványozása: Ha dt 0 akkor írhatjuk e T ij = ξ iĥdt i ξj ahol = ξ i ξ j idt ϱ ij (t) = (T n ) ij. (130) ξ i Ĥ ξ j + O(dt 2 ) = ξ i ξ j e idthij + O(dt 2 ), (131) ξ i Ĥ ξ j H ij = ξ i ξ j. (132) Formálisan a szorzó mátrixelemet is reprezentálhatjuk exponenciális alakban: ξ i ξ j = e idtrij R ij = i ln ξ i ξ j. (133) dt Valójában semmi nem garantálja, hogy az R mátrix véges maradjon a dt 0 limeszben. Ezzel nem törődve írhatjuk T ij = e idt(rij Hij) = e idtlij L = R H, (134) ami egy formális Lagrange-függvény, és Az exponensben szereplő kifejezés ϱ i0i n (t) = dt(l i0i 1 + L i1i L in 1i n ) = i 1,i 2,...i n 1 e idt(li0i1 +Li1i Lin 1in ). (135) n dtl ik 1,i k k=1 t 0 dt L(t ) S i0,i n, (136) 18

19 a formális Lagrange-függvény indőintegrálja, azaz a formális hatás. Végül tehát ϱ i0i n (t) = e isi0,in. (137) i 1,i 2,...i n 1 Ez a kifejezés egzakt, amennyiben minden mennyiséget végesnek tartunk meg (az integrált is). Kvantummechanikában a szokásos eljárás, hogy ξ = x, (138) ekkor a szummák helyett az x-ekre történő integrálunk lesz. A transzfer mátrix alakjához érdemes a p- sajátállapotokat is bevetni (a p-re való integrált nem jelölve): ahol T xy = x e iĥdt y = x e iĥdt p p y = e ih(x,p)dt x p p y = e ih(x,p)dt+ip(x y) = e idtl(x,p), (139) H(x, p) = x Ĥ p x p x y, L(x, p) = pẋ H(x, p), ẋ =. (140) dt Ebben az esetben tehát H valóban a klasszikus Hamilton függvény, L pedig annak Legendre transzformáltja, azaz a Lagrange-függvény p-x reprezentációban. Ha a Hamilton-függvény p-függése kvadratikus, ekkor miatt dp e p2 2m +pẋ = e 1 2 mẋ2 dp e (p mẋ)2 2m = 2πme 1 2 mẋ2 (141) H(x, p) = p2 p2 + V (x) L(x, p) = pẋ 2m 2m V (x) L(x, ẋ) = 1 2 mẋ2 V (x), (142) a szokásos Lagrange-függvény. Ekkor tehát ϱ xy (t) = x n=y x 0=x Dx e t i 0 dt ( 1 2 mẋ2 V (x)), (143) ahol Dx = dx 1 dx 2... dx n. Mivel az i integrál ideje idt, ezért valójában a Dx integrál az összes lehetséges pályára vonatkozik, ezért a neve pályaintegrál. Más kvantumelméletekben mások a teljes állapotok, ezért ott nem valódi pályákon megy végig az integrál, ennek ellenére a neve megmaradt ennek. 3 Összefonódottság több részecske rendszerekben A kvantumelméletben, ahogy korábban is tárgyaltuk, a tér (és bizonyos értelemben az idő is) nem létezik. A rendszer állapotai egy absztrakt Hilbert-térből valók, amely bármely dimenziós kvantumelmélet esetén ugyanaz. A folyamatok során az állapotok egymásba transzformálódnak, de ebben sem jön elő expliciten a térfüggés. Ahogy korábban láttuk, a tér csupán akkor jön elő, amikor a tapasztaatoknak megfelelően bizonyos operátorokat azonosítjuk a téreltolással illetve helyméréssel. Míg egy részecske rendszerekben a tér mint alapfogalom hiánya nem jelent különösebb problémát (beszélhetünk például hullámfüggvényről, amely a majdani helymérés lehetséges kimenetelének valószínűségével kapcsolatos), több részecske rendszerekben azonnal olyan jelenségekkel találjuk megunkat szembe, amely a klasszius intuíció számára igen nehezen emészthető. Ezeket a jelenségeket a több részecske rendszerekben fellépő összefonódásnak (entanglement) nevezzük, illetve a részecskék megkülönböztethetetlenségéről beszélünk; habár az elnevezés kissé megtévesztő, mert nem külön entitások egymásba fonódásáról van szó, hanem arról, hogy a több részecske rendszerek, hiába foglalnak el a részecskék egymástól távoli pozíciókat, mégis egyetlen entitást képeznek. Ebben a fejezetben ennek a részleteit járjuk körül. 19

20 3.1 Megkülönböztethetetlenség és Gibbs paradoxon Amikor a több részecske rendszerek leírására törekszünk, akkor legelső gondolatunk az, hogy egymástól független egy részecske rendszereket tekintünk. Ilyen azonban a tapasztalat szerint nincsen, csak abban az esetben, ha valami kvantumszám (azaz megmaradó mennyiség sajátértéke) szerint megkülönböztethető állapotokról van szó. Két állapot, amely ugyanazokkal a kvantumszámokkal rendelkezik, egymástól megkülönböztethetetlen. Erre nagyon egyszerű kísérleti tapasztalatot idézhetünk. Sok gáz közelíthető elegendően nagy pontossággal szabad gázzal, azaz az összetevőik nemigen hatnak kölcsön egymással. Ebben az esetben a statisztikus fizikából arra gondolnánk, hogy az állapotösszegben mindegyik részecske ugyanakkora járulékot ad, mintha egyedül lenne: d 3 pd 3 ( ) 3/2 x p Z 1 = 2 mt (2π) 3 e 2mT = V, (144) 2π és Z = Z1 N. (145) Ekkor a szabadenergia Z = e F/T képlet alapján F = NT ln Z 1 = NT ln V 3 mt NT log 2 2π. (146) Ez a kifejezés azonban nem extenzív! Ha kétszer akkora térfogatot veszünk kétszer akkora részecskeszámmal, akkor F (2N, 2V ) = 2F (N, V ) 2NT ln 2. Akkor lesz csak extenzív a szabadenergia (és megalapozható a teljes termodinamika), ha azok a konfigurációk, amelyek a különböző részecskék permutációihoz tartoznak, egyetlen állapottal jellemezhetők. Ekkor Z = 1 N! ZN 1 F = NT ln V N 3 NT (log T + const.), (147) 2 ez már extenzív kifejezés. Mindez azt jelenti, hogy a gáz N darab összetevője nem különálló entitás, hanem a többiekkel egylényegű, velük összefonódott dolog. Nincs külön egy részecske hullámfüggvény, csak az N részecskének egyszerre lehet hullámfüggvénye. Nem kell persze az egész térben feltételezni a részecskék összefonódását, hiszen ha dv térfogatban összefonódottak csak a részecske állapotok, ugyanakkor ezen dv tartományok egymástól függetlenek, akkor a teljes állapotösszeg Z = Z dv = e β dv F (dn/dv,t ) e β dv f(n,t ), (148) ahol f a szabad energia sűrűség itt feltettük, hogy az összefonódott térfogatnál jóval nagyobb fizikai térfogatokat tekintünk. Ha két különböző gázunk van, akkor azok molekulái persze megkülönböztethetőek. Ebben az esetben az első formula helyes eredményt szolgáltat, és ha mindkét gáz térfogatát kétszeresére növeljük (azaz a két gázt összekeverjük), akkor a szabad energia 2NT ln 2-vel változik; mivel S = F T, az entrópiában 2N ln 2 változás történik. Ez a keverési entrópia. A részecskék megkülönböztethetetlenségére számos egyéb bizonyíték is rendelkezésünkre áll, például az elektronok fermion természete, ami miatt egy atompályára csak (a kétféle spinbeállás miatt) két elektron kerülhet. A fotonok kollektív viselkedésének következménye például a lézer előállításának lehetősége. Azonban arra vonatkozóan, hogy a megkülönböztethetetlenséggel kapcsolatban nem teljesen értünk valamit, vonatkozik a Gibbs paradoxon. Gibbs azt a gondolatkísérletet végezte el, hogy kétfajta gázt A-t és B-t kevert össze, amelynek molekuláit úgy különböztette meg, hogy rájuk kis zászlócskát helyezett. Ezután a zászlócskákat egyre kisebbre vette. Mindaddig, amíg a zászlók látszanak, addig a részecskék megkülönböztethetőek, mikor azonban a zászlócskák eltűnnek, akkor a két gáz részecskéi megkülönböztethetetlenek lesznek. Ennek mérhető következményei lehetnek, például ha kémiai reakció végállapotában A és B is előfordulhat, akkor a reakcióállandó a végállapotok számának függvényében változik. Ez azt jelenti, hogy nemanalitikus módon függ egy fizikai mennyiség valamilyen folytonosan változó belső tulajdonságtól. Ezt a kísérletet persze nem lehet elvégezni, ennek ellenére minden egyéb területen működik a Gibbs által használt gondolatsor. A fő probléma valójában nem az, hogy a részecskék megkülönböztethetőek vagy megkülönböztethetetlenek, hanem a fenti gondolatkísérletben azt kell megvalósítanunk, hogy az egyik leírásból a másikba egy paraméter változtatásával kell áttérnünk. 20

21 3.2 Összefonódottság és mérés: Bell egyenlőtlenségek A megkülönböztethetetlenségből adódó összefonódottság feltételezésének van egy furcsa következménye, nevezetesen akkor is tudnak egymásról egy gáz molekulái, amikor azok térszerűen, azaz kauzálisan elválasztottak. Erről szól Einstein, Podolsky és Rosen 1935-ben publikált, és később nevezetessé vált cikke. Ebben a mérési sajátállapotba történő beugrás és a kauzalitás ellentmondásosságát tárgyalták. A kérdésről részletesebben olvashatunk [1] könyvben. Egy későbbi átfogalmazásban a felvetés így hangozhat: keltsünk nulla impulzusmomentumú kezdőállapotból két spinnel rendelkező részecskét, amelyek eltávolodnak egymástól, így semmiképpen nem kommunikálhatnak. Ha ezután megmérjük valamilyen tengelyre nézve az egyik részecske spinjét, akkor biztosak lehetünk benne, hogy a másik részecskén végzett mérés az ellentétes eredményt szolgáltatja. A paradoxon az, hogy hogyan mondhatta el az egyik részecske, hogy őt már detektálták, és ezért a másiknak határozott értékkel kell rendelkeznie? Látszólag ez sérti a relativitáselméletet, a maximális sebességű információterjedés elvét. Einsteinék ezt lehetetlennek tartották, ezért azt kellett feltételezniük, hogy a határozott spinállapot már akkor létrejön, amikor a két részecske még kauzális kapcsolatban volt. Ez a rejtett paraméter számunkra csak a mérés pillanatában derül ki. Az első megjegyzés az, hogy az érvelés nem teljesen korrekt, ugyanis ha megmérjük az első részecskét, akkor ugyan tudjuk, hogy milyen lesz a másik állapota, azonban semmiféle információt nem tudunk közölni a másik berendezéssel. Emiatt nem vagyunk ellentmondásban a relativitáselmélet rendszerével. A kvantummechanika magyarázata szerint a két részecske nem külön entitás, azoknak csak egy közös, összefonódott állapota van. Ennek ellenére igen különösnek hangzik, hogy a mérési sajátállapotba való beugrás egyszerre történik meg a teljes térben. Ezért nem irreális kísérletileg is megvizsgálni a rejtett paraméterek szerepét. Hogy mit is érdemes mérni, arra Bell tett először javaslatot 1964-ben. Később javítottak a javaslaton, mai formájában a következőképpen néz ki. Vegyünk két elektront, amelynek spinje egy adott tengelyre nézve lehet és. Végezzük el a következő mérést: az egyik elektront megmérjük a és a irányú spin-detektorokkal, a másikat b és b irányú detektorokkal. Ez úgy értendő, hogy sok kísérletet végzünk, némelyiket az első és második detektor a illetve b beállásával, másokat a illetve b, a illetve b és a illetve b beállásokkal. Legyen egy-egy adott kísérletben az a irányra vett mérés eredménye x 1, az a irányra vett mérés eredménye x 1, a b irányra vett mérés eredménye x 2, a b irányra vett mérés eredménye x 2, ezek értéke ±1 lehet. A mérések eredményét átlagoljuk. Miután nincs kitüntetett irány, mindegyik mérés átlaga önmagában nulla: x 1 = x 1 = x 2 = x 2 = 0. (149) Ugyanakkor két mérés korrelációja nem lesz általában nulla. Képezzünk négy ilyen korrelátort: illetve ezekből a S a,b = x 1 x 2, S a,b = x 1x 2, S a,b = x 1 x 2, S a,b = x 1x 2, (150) S = S a,b + S a,b S a,b + S a,b (151) mennyiséget. Tegyük fel, hogy van valamilyen rejtett paraméter a rendszerben, amely bizonyos eloszlást követ. Ebben az esetben az átlagolást a rejtett paraméterre kell végezni. Ekkor S = x 1 x 2 x 1 x 2 + x 1x 2 + x 1x 2 λ = x 1 (x 2 x 2) λ + x 1(x 2 + x 2) λ. (152) A lényeges felismerés az, hogy mivel minden konkrét mérésben x 2 = ±1 és x 2 = ±1, ezért két eset lehet: vagy x 2 x 2 = 0 és x 2 + x 2 = ±2, vagy x 2 x 2 = ±2 és x 2 + x 2 = 0. Emiatt a fenti két tag közül mindig csak az egyik ad járulékot, a másik nem. Azaz minden konkrét mérésben { } x 1 x 2 x 1 x 2 + x 1x 2 + x 1x 2 x1, vagy 2 = 2 x < 2. (153) 1 21

22 Emiatt felírhatjuk S < x 1 x 2 x 1 x 2 + x 1x 2 + x 1x 2 < 2. (154) Ez a Bell-egyenlőtlenség, amely a rejtett paraméter feltételezésén alapul. Egy egyszerű mérési eljárásban például +1-et mérünk, ha a spin iránya és a detektor iránya közötti szög kisebb, mint 90 és 1-et, ha nagyobb. Legyen a és b közötti szög β (ezt mindig pozitívnak vesszük fel!), és a beérkező spin egyenlő valószínűséggel mutasson bármilyen irányba. Ekkor a +1 illetve 1 mérésének valószínűsége: P + = β π, P = 1 β π, x 1x 2 = P + P = 2β 1. (155) π Most legyen az a és a detektorok szöge α, az a és b szöge β, és a és b szöge β. Amennyiben β < α < β, akkor ezért S a,b = 2β π 1, S a,b = Hogyha α < β, β, akkor S a,b = 2β π 1, S a,b = 2(α β) π 2(β α) π 1, S a,b = 2β π 1, S a,b = 2(β α) 1, (156) π S = 2. (157) 1, S a,b = 2β π 1, S a,b = 2(β α) 1, (158) π ezért 4(β α) S = 2 π 2 < S < 2, (159) hiszen β α értéke 0 és π között van. Ha a várható értéket a kvantummechanika határozza meg, akkor x 1 és x 2 közös mérése nem x 1 és x 2 értékének szorzata. Ilyenkor állapotokkal, és a rajtuk végzett mérésekkel kell dolgoznunk. Amikor kibocsátjuk a két elektront nulla összimpulzusmomentummal, akkor állapotuk Ψ = 1 2 [ ] (160) hullámfüggvénnyel írható le, ahol a spinbeállásokat a z irányra fogjuk vonatkoztatni (ez az állapot szinglet, azaz tetszőleges beállás választásával ugyanezt az eredményt kapjuk). A mérő operátor egy a polarizáció esetén aσ, ahol σ i -k a Pauli-mátrixok σ 1 = ( 0, 1 1, 0 ), σ 2 = ( 0, i i, 0 ), σ 3 = ( 1, 0 0, 1 ). (161) Válasszuk a haladás tengelyét z-nek, a polarizáció legyen merőleges erre a tengelyre, azaz a = (cos ϕ, sin ϕ, 0). Ekkor ( ) ( ) 0 cos ϕ i sin ϕ 0 e iϕ aσ = = cos ϕ + i sin ϕ 0 e iϕ. (162) 0 Az együttes korreláció mérése ˆM = (aσ 1 )(bσ 2 ) operátorral történik, ahol σ 1 az első, σ 2 a második részecske Hilbert-terén hat. A (160) állapoton az a és b polarizációs koincidencia mérés eredménye S a,b = Ψ (aσ 1 )(bσ 2 ) Ψ = = 1 [ 2 ˆM = 1 2 ˆM Ezért a (151)-ben szereplő korrelátor abszolút értékére ˆM + ˆM ] = ( e iϕ a e iϕ b + e iϕa e iϕ ] b = cos(ϕa ϕ b ) = ab. (163) S = ab + a b ab + a b. (164) 22

23 A fontos itt az, hogy a korrelátor lehet negatív is. Például ha a, b, a és b egymással mindig 45 -os szöget bezáró vektorok, akkor ab = 1, a b = 1, ab = 1, a b = 1, (165) tehát S = 2 2 > 2. (166) Ez azt jelenti, hogy a kvantum rendszeren végzett méréssel eldönthető, hogy volt-e rejtett paraméter a rendszerben vagy sem. Fontos elmondani, hogy a fenti ereményben az összefonódottság feltételezése a döntő! Ha például egy olyan állapotban mérünk, ahol az x irányú spineket használva Egy ilyen állapotban aσ várható értéke Ψ = x x = 1 2 ( 1 1 aσ = 1 2 azaz a javasolt S korrelátor értéke: (1, ±1) ( 0 e iϕ e iϕ 0 ) 1 2 ( 1 1 ). (167) ) ( ) 1 = ± cos ϕ, (168) ±1 S = cos ϕ a cos ϕ b + cos ϕ a cos ϕ b cos ϕ a cos ϕ b + cos ϕ a cos ϕ b S < 2, (169) ahogy arról könnyen meggyőződhetünk. Ha tehát a mérés kvantumos, azonban a két részecske egymástól függetlenné vált, akkor a klasszikus határesetet kapjuk vissza. Ezután kísérleteket kell végeznünk a Bell-egyenlőtlenségek kimérésére. Ezt többen megtették, például A. Aspect 1982-ben [2]. A kísérleteknél vigyázni kell arra, hogy a mérendő objektumok korrelációja ne sérüljön, azaz ne legyen olyan külső körülmény, amely megméri a detektálandó részecskét mielőtt az az általunk szerkeszetett detektorba érkezne. A kísérletek meggyőzően bizonyítják a Bell-egyenlőtlenségek sérülését, azaz a rejtett paraméterek hiányát. Jelenleg is végeznek Bell-teszteket, pl. [3]. Ebben a kísérletben a forrás egy kristályátmenet volt (spontaneous parametric downconversion (SPDC)), a két nagy koherenciájú fotont 29 km-re utaztatták, ott detektálták. A detektorban a detektálási szöget a fotonok repülése alatt választotta ki egy véletlenszámgenerátor. A kísérlet célja a lokális realizmus megcáfolása, azaz hogy annak a bizonyítása, hogy a kvantum mérések nem összeegyeztethetők azzal a világképpel, amely szerint a fénynél gyorsabban semmi nem mehet (lokális), és hogy a mérendő objektumnak van saját, mérőberendezéstől független fizikai tulajdonsága (realizmus). A mérés úgy lett megkonstruálva, hogy a lehetséges ellenérveket (loopholes) a legjobban kivédje. Ilyenek például a lokalitási érv, amely szerint ha van arra lehetőség, hogy a mérésről a mérendő objektumok tudomást szerezzenek, akkor még lokálisan megtörténhet a mérés, erről csak később szerzünk tudomást. Másik probléma lehet, hogy ha a mérések szisztematikusan követik egymást, akkor az előző mérésből már következik a következő, ismét van idő a lokális mérésre. Esetleg csak bizonyos esetekben sérül a Bell-egyenlőtlenség, de globálisan nem, ha viszont nem detektálunk elegendően sok részecskét, akkor rossz mintaválasztás miatt kaphatunk sérülést. A szerzők mindezeket gondosan kiküszöbölve a Bell egyenlőtlenségek sérülését 11.5 σ jel/zaj aránnyal tudták demonstrálni: ezek szerint csupán annak a valószínűsége, hogy a világban teljesül a Bell-egyenlőtlenség, és a mérőberendezés csak véletlenül mért ettől eltérő értéket. Meg kell jegyeznünk, hogy a fenti mérések csak a lokális rejtett paraméterek létét zárja ki. Amennyiben a részecskék és a detektorok rendszerét összefogóan egy zárt kvantum rendszernek tekintjük, akkor azt egy determinisztikus közös Schrödinger-egyenlet írja le. Ennek kezdőállapota meghatározza a végállapotot, azaz rögtön az elején meg van határozva a korrelációs mérések eredménye. A kezdőállapot azonban a detektorok és a mérendő részecske közös sajátfüggvényrendszerét jelenti, nem csak a részecske hullámfüggvényét. 3.3 Méréselmélet A fenti, és az ahhoz hasonló kísérletek nem érthetők meg akkor, ha megtartjuk a klasszikus téridőről alkotott elképzeléseinket. A kvantum állapotok tere nem a konfigurációs vagy a fázistér, hanem az absztrakt Hilberttér. 23

24 Szokták úgy interpretálni a hullámfüggvényt, hogy az elektron (bizonyos valószínűségi amplitúdóval) mindenhol ott van. Egy töltött részecske, ha mindenhol lenne, önmagát taszítaná, amely megfigyelhető jelenségekhez vezethetne. Ezen felül a kauzalitást is megsértené ez a feltételezés. Tekintsünk ugyanis egy egyszerű kísérletet is, amikor egy részecske becsapódik egy ernyő felületére. A felvillanást okozó jelenségek atomi méretekben zajlanak, azaz még egy mikrométerrel a becsapódás előtt is bizonytalan, hova fog kerülni a részecske. Ha a hullámfüggvény valódi eloszlás lenne, és a hullámfüggvény redukció a térben lezajló esemény, akkor nehezen tudnánk megkerülni a kauzalitássértés (fénynél gyorsabban menő információ) problémáját. Valójában a megfelelő megfogalmazás az, hogy az elektron sehol sincs, de mindenhol lehet. Hogy ezt jobban megértsük, egy mindennapi életből felhozott példát említhetünk. Gyerekek labdáznak a hegyen, vagy a ceruza ledől. Az ernyőt gömbbé alakítva középről gurul ki az állapot. A kvantum méréselmélet tehát leginább a spontán szimmetriasértéshez hasonlít, amelyben előfordulhatnak kaotikus jelenségek is. A ceruza, mielőtt ledőlt, nem volt az asztalon, és hogy merre dől, nem a ceruzán múlik. Ugyanakkor ha a teljes világot pontosan ismertük volna, a ceruza ledőlésének iránya meghatározható lett volna. A kvantum rendszerekre mindez azt jelenti, hogy a mérés a teljes világot tekintve determinisztikus folyamat, elvileg a kezdeti feltételekből meg lehetne mondani, mi lesz a mérés eredménye. Ugyanakkor csak a mért objektumot figyelve nem lehet megmondani az eredményt (nincs lokális rejtett paraméter). A mérés kimenetelét megjósolni pedig azért nem lehet, mert ne tudjuk beazonosítani azt az effektust, amely végül is a mért érték beállításához vezet (l. káosz, pillangóhatás ). Praktikusan tehát a mérés véletlen, azaz megjósolatatlan folyamat. Az a kép, hogy a részecskék nem pontszerű állapotokban tartózkodnak, hanem a Hilbert-tér egy nem tér-jellegű, általában globális állapotát foglalják el. becsapódó részecske, és kauzalitás az elektron sehol sincs spontán szimmetriasértés és megjósolhatóság helymérés minden klasszikus elmélet alapja! fotonmérés és elektromágneses hullám (koherens állapot) részecske- hullám dualitás. 4 Részecskék eredete és az 1D húr kvantálása A valódi részecskék tehát sok esetben összefonódott állapotot alkotnak, a részecskék maguk megkülönböztethetetlenek. Hogyan lehet ilyen rendszert konstruálni, ahol nem kell kézzel betenni a hullámfüggvény (anti-)szimmetriáját? Tekintsünk ehhez egy rugókkal összekötött tömegpontokból álló láncot, ahol a rugók kezdeti hossza x 0, nyugalomban az aktuális hossz x és a rugók direkciós ereje D. Vagyis a rugók előfeszítettek F = D( x x 0 ) = αd x, x 0 = (1 α) x. (170) A rendszer dinamikájának leírásához minden (i.) pontban vegyünk fel egy koordinátarendszert, a vízszintes kitérés u i, a függőleges y i és z i. A szomszédos tömegpontok közötti távolság [ ( l 2 i = ( x + u i+1 u i ) 2 + (y i+1 y i ) 2 + (z i+1 z i ) 2 = x u ) 2 i + x ( ) 2 yi + x ( ) ] 2 zi x A teljes rendszer Lagrange-függvénye L = { 1 2 m i( u 2 i + ẏi 2 + żi 2 ) 1 } 2 D i( l i x 0 ) 2 V (u i, y i, z i ), (172) i (171) 24

25 ahol V valamilyen lokális potenciál (pl. gravitációs erőtér). Jelölés: V i = v x és m i = ϱ i x. A potenciál tag: [ U i = 1 ( 2 D i( l i x 0 ) 2 1 +V (u i, y i, z i ) = x 2 D li i x x x ) ] [ 2 ( ) ] 2 0 F li + v i = x x 2α x 1 + α + v i. (173) Itt ( ( l i x = 1 + u ) 2 ( ) ) 2 1/2 i yi + = 1 + u i x x x + 1 ( ) 2 yi +..., (174) 2 x kvadratikus rendig kifejtve. Emiatt ( ) ( 2 li x 1 + α = α + u i x ( ) ) 2 2 yi = α 2 + 2α u i x x + ( ) 2 ui + α x ( ) 2 yi +... (175) x Az első tag konstanst ad, a második tag i u i = 0-t ad a Lagrange-függvényben. A maradékot visszaírva L = x [ 1 2 ϱ i( u 2 i + ẏi 2 ) F ( ) 2 ui F ( ) ] 2 yi v i +... (176) 2α x 2 x i Vannak még további tagok, de a kitérések legalacsonyabb rendjében ezek a tagok maradnak. konstans ϱ i értéket. x 0 limeszben integrált kapunk, ha bevezetjük a Lagrange-sűrűséget: Vegyünk Ekkor L = dx L = L = L i x. (177) [ 1 dx 2 ϱ( u2 + ẏ 2 ) F 2α ( xu) 2 F ] 2 ( xy) 2 v +... (178) Két (ill. három) Lagrange-függvény összegét kaptuk, amelyek között nincs kölcsönhatás, legalábbis legalacsonyabb rendben. Az egyik transzverzális módus egyenlete [ 1 L y = dx 2 ϱẏ2 F ] 2 ( xy) 2 v. (179) Klasszikusan v = 0-nál a mozgásegyenlet megoldása síkhullámok összege Ezzel Csináljunk néhány átskálázást ϱ 2 t y F 2 xy = 0, (180) y = e iωt+ikx = e ik(x ω k t), ω 2 ϱ = F k 2 c = ω k = F ϱ. (181) Φ = F y, τ = L y = Az átskálázott mozgásegyenletből már hiányzik c. F Φ t = ct ϱ τ = ϱ ẏ. (182) [ 1 dx 2 ( τ Φ) 2 1 ] 2 ( xφ) 2 v. (183) ( 2 τ 2 x)y + v = 0 2 y + v = 0. (184) 25

26 Próbáljuk megkvantálni a rendszert. alkotnak) Most skálázzuk át az eredeti szabadsági fokokat: Az eredeti szabadsági fokok nyelvén (ezek Descartes rendszert p i = L ẏ i = m i ẏ i [ŷ i, ˆp j ] = i hδ ij. (185) y i = CY i P i = L Ẏi = Cp i [Ŷi, ˆP j ] = [ŷ i, ˆp j ] = i hδ ij. (186) Ez azt jelenti, hogy a szabadsági fokok átskálázása nem változtat a kvantálási feltételen. Lagrange-függvény átskálázásának hatása Ugyanakkor a L = L x π i = L ẏ i = 1 x p i [ŷ i, ˆπ i ] = i h δ ij x. (187) Ha az indexekből térváltozót csinálunk, azaz x = i x jelöléssel y(x) = y i, akkor a jobb oldal Dirac-deltához tart, hiszen x δ ij = 1. (188) x i Vagyis amikor a Lagrange-sűrűségből képzett deriváltakból származtatunk kvantálást, akkor a jobb oldalon Dirac-deltát kell írni. Most induljunk ki (183) egyenletből: ezzel Π(t, x) = Most folytassuk úgy, hogy feltesszük, hogy L Φ(t, x) = tφ(t, x), (189) [ˆΦ(t, x), ˆΠ(t, y)] = i hδ(x y). (190) v(φ) = M 2 2 Φ2. (191) Láthatóan M nem az eredeti tömegekkel, inkább az eredeti potenciállal van kapcsolatban. Ekkor a Lagrangeés a Hamilton-függvények alakja: L = 1 2 ( µφ) 2 M 2 2 Φ2, (192) és H = p i q i L (Π t Φ L) H = 1 2 Π ( xφ) 2 + M 2 2 Φ2. (193) i A mozgásegyenlet ahol definiáltuk a ( X + M 2 )Φ(t, x) = 0, ( k 2 + M 2 )Φ(t, k) = ( ω 2 k)φ(t, k) = 0, (194) ω 2 k = k 2 + M 2. (195) Ez a jelölés olyan, mint egy relativisztikus diszperziós reláció (hiszen az idő átskálázásával c = 1-re tértünk át). A térbeli Fourier transzformáció után már teljesen úgy néz ki a mozgásegyenlet, mint sok egymástól független harmonikus oszcillátor összessége, ahol a sajátfrekvenciák ω k -k. A rendszer kvantálása a (190) alapján történik. Fizikailag a húr kitérés és annak konjugált impulzusa helyett a kitérés mérése és kitérés megváltoztatása operációkat alkalmazzuk. Mivel a rendszer nagyon hasonlít a harmonikus oszcillátorra, a kvantálásnál az ott alkalmazott módszert érdemes követni. Az egyetlen nehézség, amit figyelembe kell venni, hogy most nem a független módusok hermitikus operátorok, hanem a 26

27 valós térbeli mezők. Így az eredeti Φ, Π változók helyett a következő módon vezetjük be a keltő és eltüntető operátorokat dk 1 ( ˆΦ(t, x) = â k e ikx + â k e ikx) 2ωk Az inverz relációk ˆΠ(t, x) = â k = 2π dk 2π ( i) ωk 2 â k = ωk 2 ωk 2 ( â k e ikx â k e ikx). (196) ( dxe ikx ˆΦ + i ) ˆΠ ω k ( dxe ikx ˆΦ i ) ˆΠ. (197) ω k Ezek kommutációs relációjára kapjuk [â k, â ωk ω q q] = dxdy e ikx+iqy [ˆΦ x + i ˆΠx, 2 ω ˆΦ y i ˆΠy ] = 2πδ(k q). (198) k ω q A Hamilton-operátort is kifejezhetjük ezekkel az operátorokkal. A fentihez hasonló számolás után kapjuk dk ω ( ) k Ĥ = â kâk + â dk kâk = 2π 2 2π ω kâ dk ω k kâk + 2πδ(0). (199) 2π 2 A második tag az oszcillátorok nullponti energiájának megfelelője kontinuum esetre. Valóban, diszkrét esetben dk 2π 1, valamint dx e ikx = 2πδ(0) = L, L x=0 (200) ezért i dk ω k 2π 2 2πδ(0) 1 ω i L 2 L = i i ω i 2. (201) Csakhogy amíg egyetlen oszcillátor esetében lehetett érvelni amellett, hogy a nullponti energia mérhető, itt semmiképpen nem értelmezhető ez a tag fizikailag. Előszöris ez egy konstans jérulék az energiához, márpedig csak energiakülönbségek mérhetők. Igazi kontinuum esetben vagy végtelen térfogat esetében a végtelen sok módus végtelen energiát jelent, hasonlóan a klasszikus Reileigh instabilitáshoz. Elvileg, ha valami korlátozza a módusok számát, például létezik legkisebb lehetséges hullámhossz, akkor véges értéket kapunk, amely elvileg mérhető lehetne. Az egyik megnyilvánulási formája lehetne a nullponti energiának a vákuum energiája, azaz a kozmológiai sötét energia, amely a kozmológiai standard modell szerint valóban létezik, és a világegyetem energiasűrűségének kb 70%-át teszi ki. Azonban bármely ésszerű becslés a legkisebb hullámhosszra, sok-sok nagyságrenddel (azaz től faktorig) ad nagyobb értéket a kozmológiai konstansra, mint a kísérleti érték. A másik lehetséges effektus a Casimir effektus lenne: adott energiasűrűség esetén a V térfogat energiája ϱ E V, ekkor egy véges térfogatba zárt vákuum a doboz falára erővel hat. Ekkor nem az energia abszolút értékét mérjük ki, hanem a változását. Bár elég bizarr gondolat a vákuumot dobozba zárni, ez a vonzóerő valóban kimérhető; azonban más magyarázat (spontán töltésmegosztás) ugyanilyen eredményt ad. Végeredményben azt kell mondanunk, hogy a nullponti energia nem megfelelően alátámasztott fogalom, valójában még az igazi kvantummechanikai rendszerek esetében sem. Az egyik legfontosabb kritika ellene, hogy valójában a kvantum Hamiltonból kellene kiindulnunk, nem pedig a klasszikus megfelelőjéből. A kvantum Hamilton függvény pedig tartalmazhat olyan tagot, amelynek klasszikus határesete nulla. Például kvadratikus rendig iˆqˆp + iˆpˆq { 1 kvantumosan, 0 klasszikusan. Miután csupán a klasszikus Hamilton-függvényből tudunk kiindulni, nem vehetjük komolyan a konstans tagok megjelenését a kvadratikus elméletben. A Hamilton operátor alakja â -tel és â-val kifejezve most már ponotsan független harmonikus oszcillátorok összegének felel meg. Ismétlésként nézzük meg az egy szabadsági fokú harmonikus oszcillátor megoldását. (202) 27

28 4.1 Kiegészítés: harmonikus oszcillátor A kvantummechanika lényegében egyetlen megoldható problémája a harmonikus oszcillátor, és az abból származtatható potenciálok. Erre Bevezetjük a keltő-eltüntető operátorokat: H = 1 2 p2 + ω2 2 q2. (203) q = 1 2ω (a + a ), ω p = i 2 (a a ) [q, p] = i[a, a ] = i [a, a ] = 1. (204) Kifejezve H-t p 2 = ω 2 ( a 2 aa a a + (a ) 2), q 2 = 1 ( a 2 + aa + a a + (a ) 2) H = ω 2ω ( a a + 1 ). (205) 2 Jelöljük H sajátvektorait n -nel, sajátértékeit E n -nel. Mivel bármely állapotban ( Ψ H Ψ = ω a Ψ ) > 0, (206) 2 ezért valamennyi sajátértéke pozitív. Emiatt van legkisebb sajátérték: E 0, a hozzá tartozó sajátvektort jelöljük 0 -nak. Mivel [a a, a] = a [H, a] = ωa, [H, a ] = ωa, (207) ezért Ha n = ah n + [H, a] n = (E ω)a n. (208) Vagyis a n is sajátvektor, sajátértéke E ω. Viszont E 0 ω nem lehet sajátérték, ezért a 0 = 0 H 0 = ω 2 0 E 0 = ω 2. (209) Másrészt Ha n = (E n + ω)a n a n is sajátvektor, sajátértéke E n + ω. Ezért ( E n = n + 1 ) ω, n (a ) n 0. (210) 2 Az arányossági tényezőhöz Ezzel, feltéve, hogy minden sajátállapot normált: Másrészt n = 1 α n a n 1 = 1 β n+1 a n + 1. (211) n 1 a n = β n = α n. (212) n n = 1 n 1 aa αn 2 n 1 = 1 n 1 a αn 2 a + 1 n 1 = 1 αn 2 (αn 1+1) 2 = 1 αn 2 = αn αn 2 = n. (213) Tehát n = 1 (a ) n 0. (214) n! 28

29 4.2 A húr kvantumai Ennek az analízisnek a pontos mását kell a húr esetén is követni. Feltesszük, hogy van egy olyan állapot, amelyet minden â k operátor eltüntet: ez lesz a vákuumállapot 0. Ebből előállítható keltő operátorok segítségével egy általános k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a = 1 n1!n 2!... n a! (a k 1 ) n1 (a k 2 ) n2... (a k 2 ) n2 0. (215) Itt a k i hullámszámú állapotban n i gerjesztés van. A keltő operátorok felcserélhetősége miatt... ; k i, n i ;... k j, n j ;... =... ; k j, n j ;... k i, n i ;..., (216) vagyis a gerjesztések sorrendje nem számít. Ugyanezen oknál fogva ˆn k = â kâk operátorok felcserélnek â q és â q tetszőleges függvényével, ha k q. Emiatt ˆn k k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a = n k k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a. (217) Ha a k módust nem gerjesztettük, akkor persze n k = 0-t kapunk. Mindenesetre így kaptunk végtelen sok egymással felcserélő mennyiséget. A fenti operátorok összege a részecskeszám operátor dk ˆN = 2π â kâk, (218) erre ˆN k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a = n i k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a. (219) i Rögzítve az összes részecske számát a teljes Hilbert-tér felírható, mint fix részecskeszámú alrendszerek direkt összege H = H 0 H 0... H 0..., (220) ez a Fock-tér konstrukció. A fentiek miatt a (215) állapot energia sajátállapot: Ĥ k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a = a n i ω ki k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a E = i=1 a n i ω ki. (221) Ha az impulzust is tudni akarjuk, akkor nem a ˆΦ kitéréshez kanonikusan konjugált ˆΠ operátort kell nézni, hiszen az a húr irányú kitérésért felelős. Az imulzus azonban a fizikai tér x x + x eltolásának generátora kell legyen. Erre a terek változása Φ(x) Φ(x + x). Infinitezimális transzformációkra δ ˆΦ = i[ ˆP, ˆΦ] = ˆΦ. Állítás az, hogy ez az operátor ˆP = dy ˆΠ(y) ˆΦ(y). (222) i=1 Bizonyítás: mivel [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, ezért i[ ˆP, ˆΦ(x)] = dy i[ˆπ(y) ˆΦ(y), ˆΦ(x)] = dy i[ˆπ(y), ˆΦ(x)] ˆΦ(y) = ˆΦ(x), (223) hiszen i[ˆπ(y), ˆΦ(x)] = δ(x y), míg [ˆΦ(y), ˆΦ(x)] = 0, ezért a deriváltra is ugyanez igaz. Beírva a keltő- és eltüntető operátorokat ˆP = dy ˆΠ(y) ˆΦ(y) = dy dk dq 2π 2π ( i)( ik) ωq (âq e iqx â 4ω qe iqx) ( â k e ikx â k eikx) = k dk k ( ) = â k â dk k 2π 2 + â kâk = 2π kâ kâk. (224) Emiatt (215) alatt létrehozott állapot impulzus sajátállapot is: ˆP k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a = i n i k i k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a. (225) 29

30 Mindennek alapján a (215) állapot olyan, mint egy független kvantum részecskékből álló gáz, ahol a gerjesztések jelentik a részecskéket. Az egyes részecskékre relativisztikus energia-impulzus összefüggés (diszeprziós reláció) érvényes. A gerjesztések cseréjére nem kapunk új állapotot, ez magából a konstrukcióból következik! Jelen esetben a gáz részecskéi bozonok, felcserélésükre ugyanazt az állapotot kapjuk. A teljes energia és impulzus a részecskék energiájának illetve impulzusának összege. 4.3 Egyéb állapotok Az energia és impulzus sajátállapotok mellett egyéb állapotok is fontosak lehetnek. Például az, amelyikkel a húr pengetése közben találkozunk. Minek felel ez meg kvantumosan? Tér sajátállapot Az egyik első gondolatunk lehet, hogy a kitérített húr a kitérés-mérő operátor ˆΦ(x) sajátállapota. Mivel adott időre [ˆΦ(t, x), ˆΦ(t, y)] = 0, ezért van közös sajátfüggvényrendszerük: ˆΦ(x) Φ 0 = Φ 0 (x) Φ 0. (226) Ez az állapot felel meg a sokrészecske kvantummechanika pontszerű részecskéinek, hiszen itt a húrt felépítő egyes atomok helye pontosan meghatározott. Formálisan gyakran szoktunk erre az állapotra hivatkozni, ugyanakkor csakúgy mint az egy részecske kvantummechanikában, ezzel az állapottal itt is baj van. Például a kanonikus kvantálási relációt tekintve: iδ(x y) = Φ 0 [ˆΦ(x), ˆΠ(y)] Φ0 = Φ 0 (ˆΦ(x)ˆΠ(y) ˆΠ(y)ˆΦ(x)) Φ0 = 0, (227) ami ellentmondáshoz vezet. A határozott kitérésű állapot nem normálható: egy részecske esetén például dp dp x x = x p p x = 2π 2π = p max 2π (228) a végtelen térfogatú esetben 3. Még nagyobb baj, hogy ennek az állapontak végtelen nagy az energiája; ismét egyetlen harmonikus oszcillátort tekintve x x Ĥ x = p 2 2m + V (x) dp x p2 dp p 2 = x p p x + V (x) = 2π 2m 2π 2m = 1 [ ] p 3 max 2π 6m + V (x), (229) azaz Ĥ = 1 [ ] p 3 max p max 6m + V (x) p2 max. (230) 6m A húr kitérítésénél tehát biztosan nem ilyen állapotba érkezünk Gerjesztett húr Induljunk ki praktikusan: hogyan tudjuk előállítani a húr kitérítését? Erővel hatunk rá, azaz a potenciált adjuk meg pontonként. f i lokális erőkhöz tartozó módosulűs a Lagrange-függvényben i f iy i, kontinuum limesz, és átskálázás után L = 1 2 Φ( 2 m 2 )Φ + JΦ. (231) J(x)-t szokták külső forrástagnak is nevezni. A klasszikus mozgásegyenlet: ( 2 + m 2 )Φ = J, (232) ez időfüggő esetre is megadja a húr rezgését, konstans J-t alkalmazva a húr kitérése lesz a stacionárium megoldás. Milyen kvantumrendszerhez jutunk innen? A kvantáláshoz két különböző stratégiát követhetünk. Mindkét esetben korrekt az eljárás, azonban a részecsketartalom különböző. 3 p max a diszkretizáció után a legkisebb távolsággal van kapcsolatban. x-nél kisebb hullámhossz nincs értelmezve, ezért λ min = x, és így pmax = 1 2π x. 30

31 Klasszikus háttér Az első módszerben a kvantálás előtt felírom a teret mint Φ(x) = Φ 0 (x) + ϕ(x). (233) Ezt beírva a Lagrange-függvénybe, felhasználva, hogy teljes divergenciák eldobhatók: Válasszuk L = 1 2 Φ 0( 2 m 2 )Φ 0 + φ( 2 m 2 )Φ φ( 2 m 2 )φ + J(Φ 0 + ϕ). (234) ( 2 + m 2 )Φ 0 = J, (235) ez éppen a klasszikus mozgásegyenlet. Vagyis a klasszikus kitérés a kitérés mérő operátor egységoperátorral arányos részének felel meg! Ezzel L = 1 2 ϕ( 2 m 2 )ϕ Φ 0J. (236) Itt a második tag kívülről adott, nem befolyásolja a ϕ rendszer dinamikáját. Ha tehát ezt a rendszert kvantálni akarom, akkor ugyanúgy kell eljárni, mint forrás nélküli esetben. Definiálhatunk egy vákuumot 0 - t, illetve az ezen értelmezett eltüntető operátorokat b k -kat: b k 0 = 0. Az b operátorok a keltő operátorok. Eredeti kvantálás Érdekelhet minket, hogy az eredeti, vákuum felett felépített Hilbert téren milyen állapotnak felel meg a kitérített húr vákuum-tere? Ekkor a Lagrange- és Hamilton-függvény alakja ( ) ( 1 L = d 3 x 2 ( µφ)( µ Φ) m2 1 2 Φ2 + JΦ, H = d 3 x 2 Π2 + 1 ) 2 ( Φ)2 + m2 2 Φ2 JΦ. (237) Ugyanúgy bevezetve a keltő- eltüntető operátorokat mint korábban, a J-t tartalmazó tag: d 3 x d 3 p 1 ( ap (2π) 3 e ipx J(t, x) + a pe ipx J(t, x) ) = 2ωp A teljes Hamilton-operátor tehát: H = d 3 p (2π) 3 k d 3 p 1 ( ap (2π) 3 Jp + a ) pj p. (238) 2ωp ( ) ω p a Jp pa p a p a J p p. (239) 2ωp 2ωp Bevezetve η p = J p 2ω 3 p b p = a p η p H = d 3 p (2π) 3 ( ωp b pb p + η p 2). (240) Ismét megkaptuk egy szabad rendszer Hamilton-operátorát. A vákuumállapot, amelyet az előbb 0 -val jelöltünk, s amelyet a b k operátorok eltüntetnek most relációba hozható az eredeti vákuummal: b p 0 = 0 ap 0 = ηp 0, (241) ez tehát a-k sajátállapotai. Ezeket hívjuk koherens állapotoknak, amelyek tehát egyáltalán nem egy-részecske állapotok. Egy adott impulzus esetén a normált koherens állapot a η = η η η = e 1 2 η 2 a teljes koherens állapot ezek direkt szorzata, azaz ( 0 d 3 p = exp (2π) 3 n=0 η n n! n = e 1 2 η 2 e ηa 0, (242) ( 1 )) 2 η p 2 + η p a p 0. (243) 31

32 A klasszikus mező tehát a részecskék szempontjából egy koherens állapotnak felel meg, ahol az n-részecske állapot megfigyelésének valószínűsége η n 2 = e η 2 η 2n /n! Poisson-eloszlást mutat minden impulzusra. A két leírás ekvivalens, nincs arra mód, hogy megállapítsuk, vajon melyik a helyes, azaz mennyi részecsét találunk a klasszikus mezőben. Vagyis a részecske definíció függ attól, hogyan definiálom őket. Ha a forrás időfüggetlen, a klasszikus mező és a koherens paraméter közvetlenül összefügg: Φ 0 (p) = J p ω 2 p η p = ωp 2 Φ p. (244) Ha a forrás időfüggő, akkor nincs ennyire közveten kapcsolat, csak azt tudjuk, hogy ( t 2 + ωp)φ 2 0 (t, p) = J p (t) = 2ωp 3 η p. (245) Ha egy rendszert vákuumállapotából indítok, és a fenti forrással kitérítem, akkor valójában η(t)-t definiálok, vagyis végig koherens álapotokat kapok. Ugyanakkor az eredeti részecskék nyelvén az időfüggő forrás részecskéket hoz létre Pontrészecske Ahogy fent láttuk, a húr bármilyen klasszikus kitérítése, akár egy pontban is, nem egy-részecske állapot a kvantum rendszerben. Hogyan lehet a vákuumban egy adott hellyel rendelkező részecskét kelteni? Ez a feladat nem egészen jól definiált, vagyis definíció kérdése, mit is tekintek pontszerűnek. Annyi biztos, hogy az impulzusa teljesen határozatlan, azaz mindenféle impulzus szerepel benne. Mivel azonban az impulzus sajátállapotok nem normálhatók a szokásos értelemben, a különböző normálási eljárások különböző pontszerű részecskét eredményeznek. Annyi biztos, hogy a potnrészecske az N = 1 szektorban kell legyen, azaz az a 0 állapotok kombinációja. Mivel ˆΦ(x) egy keltő és egy eltüntető operátorból áll, de az eltüntető operátor a vákuumot nullába viszi, az egy részecske állapot tehát ˆΦ(x) 0 állapotokkal van összefüggésben. Legegyszerűbben x = ˆΦ(x) 0. (246) Ezek után a határozott impulzusú egy részecske állapot hullámfüggvénye (196) felhasználásával, ha a síkhullám normálása N : dk N 0 ˆΦ(x) p = e ikx 0 â k â 2π 2ωk p 0 e ipx, (247) síkhullám,ami szintén megfelel az elvárásainknak. Egy gyakran használt normálás szerint erre p phys = 2ω p a p 0, (248) 0 ˆΦ(x) p phys = e ipx. (249) Az ilyen vákuum és valamilyen másik állapot közötti mátrixelemet szokás form faktornak hívni. 4.4 Időfüggés A Hamilton operátor diagonális állapotaiban az időfüggés triviális: k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a ; t = e iet k 1, n 1 ; k 2, n 2 ;... k a, n a ; t, (250) ahol E a teljes energia (221). Heisenberg képben az operátorok időfüggőek. A legegyszerűbb Így például az időfüggő téroperátor ȧ k (t) = i[h, a k ] = iω k a k a k (t) = e iω kt a k. (251) ˆΦ(t, x) = dk 1 (â ) k e iωkt+ikx + â k 2π eiω kt ikx. (252) 2ωk 32

33 Mivel [ ˆN, Ĥ] = 0, az időfüggés nem visz át a különböző részecskeszámú szektorok között. Ezért lehet beszélni az egyes részecskeszám-szektorbeli propagátorról. A teljes időfüggés egy részecske szektorra vett projekciója, illetve annak impulzus mátrixelemei: P 1 e iht = d 3 k (2π) 3 e ie kt k k k e iht k = e ie kt. (253) Normálás erejéig ugynezt kapjuk, ha a pontszerű egy részecske állapotokkal vett mátrixelemet számoljuk. Ezt a kombinációt szokták i -val jelölni: i (t, x y) = x e iht y = 0 ˆΦ(x)e iht ˆΦ(y) 0 = 0 e iht e +iht ˆΦ(x)e iht ˆΦ(y) 0 = 0 ˆΦ(t, x)ˆφ(y) 0, (254) hiszen e iht 0 = 0. Beírva a ˆΦ(t, x) alakját (252)-ből: i (t, x) = dk dq 2π 2π Fourier-térben tehát 1 ( 0 ) â k e iωkt+ikx + â k 4ωk ω eiω kt ikx (âq + â ) q 0 = q i (t, k) = e iω kt dk e iω kt+ikx. (255) 2π 2ω k 2ω k, i (k 0, k) = 1 2ω k 2πδ(k 0 ω k ). (256) A teljes Fourier-transzformált alak az időfejlesztő operátor értelmezésének megfelelően a spektrumot adja meg Részecskehiány A sokrészecske rendszerek időfüggésénél érdekes szempont a részecske-hiány időfüggése. Nézzünk egy n állapotot, és egy egy részecskével több n + p állapot. Ez utóbbi időfüggése az n -ből úgy kapható, mint egy extra részecske időfüggése: n + p, t = e ient iept n + p = e iept a p n, t, (257) vagyis az extra részecske időfüggése e iept. Azonban n -re úgy is tekinthetek, mint az n + p állapothoz képest egy p impulzusú lyuk jelenlétét. Ekkor n, t = e ient n = e iept a p n + p, t. (258) Vagyis a részecskehiány időfüggése e iept, amelyet vagy úgy értelmezünk, mint egy negatív energiás részecske jelenlétét, vagy úgy, mint egy időben visszafelé terjedő részecskét. Általában a negatív frekvenciánál megjelenő gerjesztéseket antirészecskének nevezzük, és p -vel jelöljük őket. A húr esetében persze nincs külön fizikai állapot az antirészecskéknek, ezért itt a részecskék és antirészecskék ugyanazok, más szóval minden részecske önmaga antirészecskéje. Összetettebb rendszerekben azonban a kétféle állapot különbözik. Általában térelméletekben a részecskehiányt is az egy részecske szektorhoz szokták számolni, vagyis a teljes spektrumot kiegészítik a negatív energiás tartománnyal. A negatív energiás részt technikai okokból le szokták vonni a pozitív energiás szektorból. A szokásos definíció a részecskefizikai spektrálfüggvényre ϱ(t, x y) = x e iht y ( x e iht y ) = x e iht y y e iht x. (259) Felírva a téroperátorokkal ϱ(t, x) = 0 [ˆΦ(t, x), ˆΦ(0)] 0 = i (t, x) i (t, x). (260) Térbeli Fourier transzformáció után a retardált propagátor tehát: ϱ(t, k) = i sin ω kt ω k, (261) G ret (t, k) = Θ(t) sin ω kt ω k. (262) 33

34 Frekvencia térben ezek a mennyiségek: 1 G ret (k 0, k) = (k 0 + iε) 2 ωk 2, ϱ(k 0, k) = 2π (δ(k 0 ω k ) δ(k 0 + ω k )) = 2π sgn(k 0 )δ(k0 2 ω 2ω k). 2 (263) k Egy speciális propagátort kapunk akkor, ha t > t 0 -ra a részecske t 0 -ból indul, de t < t 0 -ra t-ből: ig F (t, x) = Θ(t t 0 ) 0 ˆΦ(t, x)ˆφ(t 0, x 0 ) 0 + Θ(t 0 t) 0 ˆΦ(t 0, x 0 )ˆΦ(t, x) 0. (264) Ez a kauzális, vagy Feynman-propagátor. Fourier-térben CTP tétel 1 G F (k 0, k) = k0 2 (265) ω2 k + iε. A fenti gondolatok szerint az antirészecskék időben visszafelé haladó részecskékkel azonosíthatók. Az idő megfordítása azt is jelenti, hogy a bemenő állapotok kimenő állapotok lesznek, vagyis átvisszük p -t p állapotba. Az azonosítás miatt p p. (266) Az eredeti p állapotból kiindulva a fenti állapotokat különböző operációk segítségével hajthatjuk végre p = C p, p = T p, p = P p. (267) Itt az első a töltéstükrözés, a második az időtükrözés (eközben az impulzus is megfordul), a harmadik a megfordított impulzus visszafordítására a tértükrözés. A (266) azt jelenti, hogy e három operáció együttes hatása az egységoperátorral arányos CT P 1. (268) Ez a CTP tétel, és minden olyan kvantum rendszerben, ahol a részecske eltüntetése és keltése ugyanazon fizikai folyamat eredménye, teljesülni kell. 5 Master formula for self-interacting systems: path integral If we want to answer to that question that what is the potential like in an electrolyte, where there are no external charges that would orient the movement of the individual ions, we should know the position of each ion. This is of course impossible, but it is not even necessary: it is enough if we can tell something statistically. The first thought is that we assume that there is an average screened potential, and all ions produce that potential. Then we could write up a self-consistent equation for that potential. This is the mean field approximation, and in a lot of cases it is a good strategy. But in lot of cases a more precise description of the position of the ions is necessary: fluctuations around the mean field can play an important role. Quantum field theory (QFT) is a genuine self-interacting system, even when we consider only a single particle. The vacuum, namely, is not empty from the point of view of QFT, virtual particle-antiparticle pairs, virtual photons and other gauge bosons show up and disappear. The uncertainty principle that connects the energy and lifetime makes this vivid picture possible: for a time t the variation of energy is h/ t, which means that for short enough time any large energy, and so any particle with arbitrary large mass may appear and disappear after t time. The vacuum fluctuations play the same role as the ions in the electorlyte: to tell for example the electric potential of a point charge, the position of all of the particles popping up from vacuum is necessary to know. Again, here we should make statistical statements, just like in the many-body systems. After realizing the similarity between the many-body systems and quantum field theories it is not a surprise that both can be treated with the same tool: the path integral. 34

35 5.1 Path integral in statistical physics In statistical physics in canonical ensemble we evaluate expectation values by taking into account that the probability that we are at E energy level is proportional to e βe. So if we consider microstates denoted by Φ, we can compute the average of any A(Φ) quantity as A = 1 A(Φ)e βh(φ), Z Φ Z = Φ e βh(φ). (269) The summation goes over all possible microstates. This is the master formula of the statistical physics. There are very lot of possible statistical physical models, but in this note we will restrict ourselves to those models where the microstates are of the form of some field configurations also to maintain the similarity to QFT models. So we will assume that there is a mesh indexed by i, and the microstate is a set Φ i R (or any other vector space). The the summation over all microstates become integrals ( ) = dφ i DΦ, (270) Φ i where the rightmost expression is a notation. Therefore we have A = 1 DΦ A(Φ)e S(Φ), Z = DΦ e S(Φ), S(Φ) = βh(φ). (271) Z 5.2 Path integral in quntum field theories In quantum field theories we also use field theories with field Φ and the dynamics is governed by the Lagrangian L. To be safe, we assume that the theory is defined also on a mesh, so in fact the configuration is the same as above Φ i R. In the course of quantization we replace the values of the fields Φ i by operators that measure the value of the fields ˆΦ i these will be called field operator. We will work with bosonic field theories almost for all the time, the fermionic case will be discussed at a later section. In the operator formalism we compute expectation values by tracing an operator with the density matrix ˆϱ: Â = Tr ˆϱÂ. (272) In this note we will use vacuum expectation values, which means that ˆϱ = 0 0. It is possible to write up path integrals for any initial density matrix, thus making possible a formal description of time dependent quantum statistics, but this description goes beyond the framework of this note. The operator for that we want to compute the expectation value will be a time-ordered correlation function of the field operator: A = T ˆΦ i1 (t 1 )... ˆΦ in (t n ). Time ordering means that we reorganize the original product in a way that the leftmost operator has the largest time argument, the rightmost the smallest, and the time arguments are monotonously growing from right to left. The time dependence of a single operator comes from the time evolution operator e iĥt/ h, where Ĥ is the Hamiltonian operator of the system. Later on we will use h = 1 units, which is just obtained by redefinition of the energy. We will represent the time evolution operator as an integral. First we represent the unit matrix as 1 = dϕdπ ϕ ϕ π π, (273) where ϕ is the simultaneous eigenvector of ˆΦ i (t 0 ) ˆΦ i and π is the simultaneous eigenvector of ˆΠ i (t 0 ) ˆΠ i for all i: ˆΦ i ϕ = ϕ i ϕ, ˆΠi π = π i π. (274) This is possible since [ˆΦ i (t 0 ), ˆΦ j (t 0 )] = 0 and [ˆΠ i (t 0 ), ˆΠ j (t 0 )] = 0 according to the equal time commutation relations. We also know that ϕ π = e i i φiπi e iφπ, (275) 35

36 which is the consequence of [ˆΦ i (t 0 ), ˆΠ j (t 0 )] = iδ ij. Then we write e iĥt = e iĥdt e iĥdt... e iĥdt = N N = dϕ a dπ b ϕ 0 ϕ 0 π 1 a=0 b=1 ϕ N 1 π N π 1 e iĥdt ϕ1 ϕ 1 π 2 π 2 e iĥdt ϕ2... π N e iĥdt ϕn ϕ N. (276) For small enough dt we have up to O(dt 2 ) π Ĥ ϕ π e iĥdt ϕ = π (1 iĥdt) ϕ = π ϕ 1 idt = e iπϕ ih(π,ϕ)dt. (277) π ϕ Therefore e iĥt = = N a=0 N a=0 dϕ a dϕ a N b=1 N b=1 dπ b ϕ 0 e iϕ0π1 iϕ1π1 ih(π1,ϕ1)dt+iϕ1π2 iϕ2π2 ih(π2,ϕ2)+...dt ϕ N = dπ b ϕ 0 e i N a=1 ( tϕaπa H(πa,ϕa)) ϕ N, (278) where we denoted t ϕ a dt = ϕ a 1 ϕ a. It is in fact just a notation, since it is not guaranteed that ϕ(t) = ϕ(adt) as dt 0 goes to a differentiable funtcion usually it does not. But with this notation we can recover t ϕπ H(π, ϕ) = L(π, t ϕ, ϕ), (279) and the dt 0 limit then goes to a Riemann-integral. Since dtl = S we find e iĥt = N a=0 dϕ a N b=1 dπ b ϕ 0 e is[π, tϕ,ϕ] ϕ N. (280) Usually the conjugate momentum dependent part of H is π 2, then the π integrals can be performed: dπe i( tϕπ 1 2 π2) = dπe i 2 (π tϕ)2 + i 2 ( tϕ)2 = Ce i 2 ( tϕ)2. (281) In this case we recover the classical action and we can write e iĥt = Dϕ ϕ 0 e is ϕ N. (282) With the help of this representation we can calculate the correlation functions of the quantum fields, too. For the time dependent fields we have ˆΦ i (t) = e iĥ(t t0) ˆΦi e iĥ(t t0), ˆΦi = ˆΦ i (t 0 ). (283) Let us now consider a time ordered series t n < t n 1 <... < t 1, then T ˆΦ i1 (t 1 )... ˆΦ in (t n ) = ˆΦ i1 (t 1 )... ˆΦ in (t n ) = = e iĥ(t1 t0) ˆΦi1 e iĥ(t1 t2) ˆΦi2 e iĥ(t2 t3)... e iĥ(tn 1 tn) ˆΦin e iĥ(tn t0). (284) Now we write into this formula the path integral representation of the time evolution operator, and use that ϕ ˆΦ ϕ = ϕδ(ϕ ϕ ). We also extend the integrals with time intervals from t 1 t f and t i t 0. Finally the different representations can be merged together to find e iĥ(t f t 0) Dϕ ϕ 0 e i tf t i dtl ϕi1 (t 1 )... ϕ in (t n ) ϕ N e iĥ(t0 ti). (285) 36

37 If we take the vacuum expectation value we can use the fact that e iĥt 0 = Z 0, (286) since the vacuum is intact under the time evolution. We find Z = 0 e iĥt 0, (287) and so finally 0 T ˆΦ i1 (t 1 )... ˆΦ in (t n ) 0 = 1 Z Dϕ e i tf t i dtl ϕi1 (t 1 )... ϕ in (t n ). (288) We can send t i and t f, then A = 1 Z Dϕ Ae is, Z = Dϕ e is, (289) where the expectation value here denotes vacuum expectation value. We can see the formal analogy between the statistical physical description and the vacuum expectation value in QFT. The only difference that in one case there is is that appears in the exponent, in the other case it is S. Formally we can perform a change of variables t = iτ, then i i dtl( t ϕ, i ϕ, ϕ) = dτl( i τ ϕ, i ϕ, ϕ) = dτl E ( τ ϕ, i ϕ, ϕ), (290) i where in the last step we performed a rotation of the integration contour (Wick rotation), and introduced L E ( τ ϕ, i ϕ, ϕ) = L( i τ ϕ, i ϕ, ϕ). (291) The E index refers to the Euclidean field theory. Then we can compute expectation values with field arguments x = ( iτ, x): A E = 1 Dϕ Ae S E, Z = Dϕ e S E. (292) Z This formula is in complete analogy with the result coming from statistical physics (271). Let us emphasize that although the result formally is written up as a continuum result, we in fact always have a discretization procedure in the background. In fact the continuum limit is very tricky, and naively it does not exists (apart from the most simple cases), only a careful limit, called renormalization that allows to perform the continuum limit. 5.3 Generator functional Now we define some techniques to facilitate the treatment of the expectation values. The first one is the generator functional defined as Z[J] = Dϕ e S[ϕ]+ dx J(x)ϕ(x), (293) where we denote the integration measure by dx in arbitrary dimensions. As we emphasized several times, the continuum notation is just a simplification, so in fact we could have written i J iϕ i instead of the integral. In the followings, however, we will fully omit the notation of summation-integration, and we just write Z[J] = Dϕ e S[ϕ]+Jϕ, (294) where multiplication of fields implicitly means integral or sum. It is worth to mention that formally the above formula is a Laplace-transform, or Z[iJ] is the functional Fourier transform of e S. Since Fourier transform can be inverted, this means that the classical action can be obtained from Z[iJ] with the same path integral technique. 37

38 With this definition the correlation functions can be computed as Φ 1... Φ n = 1 Z[J] Z[J] J 1... J n. (295) J=0 We will denote the nth derivative by Therefore Z[J] = Z (n) 1...n [J]. (296) J 1... J n Φ 1... Φ n = Z(n) 1...n [J = 0]. (297) Z[J = 0] Z[J] can be interpreted in statistical physics as the partition function of a theory with the Hamiltonian H = H 0 T Jϕ. (298) For example if we have a spin system in external magnetic field then H = H 0 Bm. So Z[J] is the partition function in presence of some external effect. 5.4 Φ 4 model The usual trial field theory, where one can the most easily demonstrate how the different field theoretical methods work, is the Φ 4 model. In the continuum notation the basic field is a Φ : R 4 R scalar field Φ : (t, x) Φ(t, x). Although we often use this comfortable notation, but the formulae are sensible only in a discretized version. This can be Φ i (t), where i indexes a space-mesh (the lattice), but, as we will see later, a discretization can be completely different. For example we can apply a momentum cutoff, where Φ(p) = 0 for p 2 > Λ 2 either for the 3D momentum, or the 4D Wick-rotated momentum. The Lagrangian reads where the potential U is L = 1 2 ( µφ)( µ Φ) U(Φ), (299) U = m2 2 Φ2 + λ 24 Φ4. (300) This system has a Z 2 symmetry Φ Φ. For a sensible theory, the potential must be bounded from below which means λ > 0. The canoniclly conjugated momentum reads and so the Hamiltonian density Π = L t Φ = tφ, (301) H = Π t Φ L = 1 2 Π ( iφ) 2 + m2 2 Φ2 + λ 24 Φ4. (302) We can treat this model classically, which means that we start from an initial condition (or an ensemble of initial conditions) and solve the classical equation of motions (EoM): ( 2 + m 2 + λ6 Φ2 ) Φ = 0. (303) Minima of the energy characterize the ground state of the system either in statistical physics (energy or free energy) or in field theory, including QFT. Since the gradient term always increases the energy, the minimal energy is reached for constant configurations. For constant Φ(t, x) = Φ 0 configurations the EoM reads: ( m 2 + λ ) 6 Φ2 0 Φ 0 = 0. (304) 38

39 The Φ 0 = 0 is always a solution: this corresponds to the symmetric solution, symmetric vacuum. If m 2 < 0 then Φ 0 = ± 6m2 (305) λ is also a solution. This is the spontaneously symmetry broken (SSB) case, since the Z 2 symmetry is not manifested in the Φ 0 solution, but the Z 2 brings one solution to the other. The second derivative of the potential { m 2, Φ = 0 U = m 2 + λ 2 Φ2 = 2m 2, Φ 0 = ± 6m2 λ, (306) which means that the minimum is at Φ = 0 for m 2 > 0, and at Φ 0 for m 2 < 0. If we start from a non-constant configuration, after a certain time the system reaches its thermal state, then we can define an equilibrium statistical physical system. If we are interested in time average of spatial correlation functions 1 Φ(x 1 )... Φ(x n ) = lim T T t 0+T t 0 dt Φ(t, x 1 )... Φ(t, x n ), (307) then it can be computed using the ensemble of configurations as follows. We define 1 P[ϕ, π] = lim T T t 0+T dt δ(ϕ(x) Φ(t, x))δ(π(x) Π(t, x)) (308) t x 0 distribution function (histogram). With the help of this function we can change from 1 Φ(x 1 )... Φ(x n ) = lim T T = t 0+T Φ(t t 0, x 1 )... Φ(t, x n ) DϕDπ δ(ϕ(x) Φ(t, x))δ(π(x) Π(t, x)) 1 DϕDπ ϕ(x 1 )... ϕ(x n ) lim T T t 0+T δ(ϕ(x) Φ(t, x))δ(π(x) Π(t, x)) = t 0 = DϕDπ P[ϕ, π] ϕ(x 1 )... ϕ(x n ). (309) Although it is a dynamical question, in most cases the distribution function is Boltzmannian, ie. P[ϕ, π] e βh[ϕ,π] with an appropriate β coming from energy conservation, and with an appropriate normalization factor. Then we have Φ(x 1 )... Φ(x n ) = 1 DϕDπ e βh[ϕ,π] ϕ(x 1 )... ϕ(x n ). (310) Z π If we are not interested in Π expectation values, then we can integrate over the π variables and obtain [ 1 S[ϕ] = β d 3 x 2 ( iφ) 2 + m2 2 Φ2 + λ ] 24 Φ4, (311) with that function Φ(x 1 )... Φ(x n ) = 1 Z Dϕ e S[ϕ] ϕ(x 1 )... ϕ(x n ). (312) If Φ 4 model is treated as a quantum field theory, then the vacuum expectation value of a correlation function reads 0 TˆΦ(x 1 )... ˆΦ(x n ) 0 = 1 Dϕ e is[ϕ] ϕ(x 1 )... ϕ(x n ), (313) Z where x = (t, x) spacetime coordinates. After Wick rotation we have [ 1 S E = d 3 xdτ 2 ( τ Φ) ( iφ) 2 + m2 2 Φ2 + λ ] 24 Φ4. (314) 39

40 We can still compute the correlation functions with x = ( iτ, x) arguments ˆΦ(x1 )... ˆΦ(x n ) = 1 Dϕ e SE[ϕ] ϕ(x 1 )... ϕ(x n ). (315) E Z From here the original correlation functions can be obtained with analytic continuation. We see that the Wick rotated dimensional quantum Φ 4 theory is equivalent a classical model in dimensions this correspondance is usually true. In the followings we therefore study Euclidean Φ 4 models in arbitrary dimensions. 6 Perturbation theory 6.1 Free theories We can compute explicitly Z[J] in case of quadratic models. In this case S = 1 2 Φ ik ij Φ j, (316) with some real symmetric kernel K ij = K ji. For the scalar model, after an appropriate partial integration S = d 4 x 1 2 Φ(x)( 2 + m 2 )Φ(x) = where Φ (p) = Φ( p) because Φ(x) is real. We remark that if Φ is complex valued, then the real action reads d 4 p 1 (2π) 4 2 Φ (p)(p 2 + m 2 )Φ(p), (317) S = 1 2 Φ i K ijφ j, (318) where the kernel is hermitian K ij = K ji. By introducing Φ = Φ(r) + iφ (i) we can write S = 1 2 ( Φ (r) i K ij Φ (r) j + Φ (i) i ) K ij Φ (i) j, (319) which is the same form we started with. For J = 0 we find for the partition function Z 0 = Dϕ e 1 2 ϕikijϕj = (2π) N/2 (det K) 1/2, (320) where N is the size of the index set {i}. Actually, a constant multiplicative factor in Z does not matter, so we can normalize the path integral integration measure to yield Z 0 = Dϕ e 1 2 ϕikijϕj = (det K) 1/2. (321) For the J dependent case we have Z 0 [J] = Dϕ e 1 2 ϕikijϕj+jiϕi = Dϕe 1 2 (ϕi G ikj k )K ij(ϕ j G jk J k )+ 1 2 JiGijJj = Z 0 e 1 2 JiGijJj, (322) where K ij G jk = δ jk, (323) i.e. G ij is the inverse of K ij, it is a symmetric matrix. too. This means that G is the propagator of the free equations of motion; indeed the equations of motion in the quadratic model K ij Φ j = J i Φ i = G ij J j. (324) 40

41 Computing the 2-point correlation function we obtain Φ i Φ j = 1 2 Z[J] Z[J] J i J j = G ij, (325) J=0 so the propagator is also the 2-point correlation function. The n-point function in the quadratic model according to (295) Φ 1... Φ n = e 1 n 2 JiGijJj e 1 2 JiGijJj J 1... J n = J=0 i pairings G i1i 2 G i3i 4... G in 1i n, (326) since one J derivative brings down a GJ term which has to be vanished by some other derivative otherwise the J = 0 condition sends it to zero. This formula is known as the Wick theorem. In the scalar model the kernel reads K = p 2 + m 2, (327) therefore, using ln det = Tr ln ln Z 0 = βf = 1 2 d d p (2π) d ln(p2 + m 2 ), (328) where F the (formal) free energy. We see that the integral is not convergent in the continuum limit we will return to this question. The propagator of the quadratic model is G(p) = 1 p 2 + m 2. (329) We remark that in the Minkowskian space the propagator is not unique, because of the poles at p 2 = m 2. According to the way we go around the poles we can have different propagators, as 6.2 Interactions G F = 1 p 2 m 2 + iε, G 1 ret = (p 0 + iε) 2 p 2 + m 2. (330) We have seen that in the quadratic model we can easily calculate the functional generators. Unfortunately for a generic action we can not perform the functional integral. We will call non-quadratic theories interacting, and the non-quadratic terms are the interactions. The first thought to treat interacting theories is to assume that the effect of interactions is small, and we can make an expansion around the quadratic models to have the results of interacting ones. The idea is very simple: we write S[ϕ] = S 0 [ϕ] + S int [ϕ], (331) where S 0 denotes the quadratic part. Then we write for the path integral Z[J] = Dϕ e S0[ϕ] Sint[ϕ]+Jϕ = m=0 1 m! Dϕ ( S int [ϕ]) m e S0[ϕ]+Jϕ. (332) Since S int is a polynomial in the field, all terms in the above expansion requires evaluation of free correlation functions, that we already performed in (326). If the interaction has some coefficient the coupling constant, like λ/24 in the Φ 4 model then the above expansion is a power series in the coupling constant. So we can assume that for small enough coupling the series is convergent, and we can approach the noninteracting result arbitrarily close. The nth derivative of the above expression is the n-point functions. They are represented by Feynman diagrams 41

42 we represent a propagator with momentum p by a line; in the momentum representation we assign a d 4 p a (2π) 4 G 0 (p a ) expression to each line from external fields we can start a line: these are the incoming momenta; we associate G 0 (p in ) term to external lines terms coming from S int Φ z connect z lines; these are visualized as vertices in the graph with z lines flowing to it; their value is ( λ)(2π) 4 δ( p a ) we write down all possible diagrams with m vertices and n external lines, and evaluate their values according to the rules above add up the different Feynman-diagram contributions. For example we compute the 2-point function in Φ 4 theory to order λ 2. We have Φ(x)Φ(y)e S int Φ(x)Φ(y) = where 0 subscript means quadratic expectation values. The numerator reads: Φ(x)Φ(y)e S int = 0 e Sint 0, (333) = Φ(x)Φ(y) λ 24 d 4 z Φ(x)Φ(y)Φ 4 (z) ( ) 2 λ 24 d 4 zd 4 w Φ(x)Φ(y)Φ 4 (z)φ 4 (w) + O(λ 3 ). (334) The first term is the free propagator G 0 (x y). It depends on x y, like all other terms, because of 4-space translation symmetry. When we change to Fourier space, we should Fourier transform with respect to x y, the result is 1/(p 2 + m 2 ). The expectation value in the second term reads Φ(x)Φ(y)Φ 4 (z) = 3G 0 (x y)g 2 0(0) + 12G 0 (x z)g 0 (y z)g 0 (0), (335) where the prefactors come from counting the diagrams that give the same contribution. The first contribution comes after connecting Φ(x) and Φ(y), and we prepare pairs by connecting the remaining Φ 4 (z). Here the first Φ(z) can be connected to any of the other 3, the remaining two should be connected to themselves. Thus the factor of 3. In a similar way in the second contribution Φ(x) is connected to any of the Φ(z) in the Φ 4 interaction: this can be done in 4 different ways. Then Φ(y) can be connected to any of the remaining 3 Φ(z) fields, and the remaining two fields are connected to themselves. This together yields a factor of 12. Let us denote T = G 0 (z = 0) = d 4 p (2π) 4 G 0(p) = d 4 p 1 (2π) 4 p 2 + m 2, (336) this is the tadpole diagram. The O(λ) terms correspond to the Feynman diagrams of Fig. 3. Figure 3: The O(λ) contributions to the 2-point function in Φ 4 theory. The expectation value in the third term Φ(x)Φ(y)Φ 4 (z)φ 4 (w) = 9G 0 (x y)g 4 0(0) + 12G 0 (x y)g 2 0(w z)g 2 0(0) + 24G 0 (x y)g 4 0(w z) + +96G 0 (x z)g 0 (y z)g 3 0(0) + 2(12) 2 G 0 (x z)g 0 (y z)g 2 0(z w)g 0 (0) + +2(12) 2 G 0 (x z)g 0 (z w)g 0 (w y)g 2 0(0) G 0 (x z)g 0 (z w)g 3 0(w y). (337) 42

43 Figure 4: The O(λ 2 ) contributions to the 2-point function in Φ 4 theory. The O(λ 2 ) terms correspond to the Feynman diagrams depicted in Fig. 4. There are two more diagrams that are worth to define. One is the bubble diagram B 2 (z) = G 2 0(z). (338) In Fourier space a product corresponds to convolution: d 4 q 1 B 2 (p) = (2π) 4 (q 2 + m 2 )((p q) 2 + m 2 ). (339) The other is the setting sun diagram B 3 (z) = G 3 0(z), (340) in Fourier space it correponds to a twofold integral d 4 q d 4 k 1 B 3 (p) = (2π) 4 (2π) 4 (q 2 + m 2 )(k 2 + m 2 )((p q k) 2 + m 2 ). (341) This is already a two-loop integral, since there are two momentum integration in this expression. In general we can define n ( d B n (z) = G n d ) q a 1 0 (z), B n (p) = (2π) d (qa 2 + m 2 (2π) d δ(p q a ), (342) ) a a=1 which is an n 1-loop integral. The previous result has to be normalized by e Sint, c.f. (333). The diagrams belonging to this expectation value have no external legs: e S int λ = 1 24 d 4 z Φ 4 (z) ( ) 2 λ 24 d 4 zd 4 w Φ 4 (z)φ 4 (w) + O(λ 2 ). (343) These are called the vacuum diagrams. We can realize that these diagrams appear as multiplicative factors besides each digrams that are connected to the external lines. After division with the vacuum diagrams only 4 contribution remains ΦΦ (p) = G 0 (p) λ 2 G2 0(p)T + λ2 4 G2 0(p)B 2 (0)T + λ2 4 G3 0(p)T 2 + λ2 6 G2 0(p)B 3 (p) + O(λ 3 ). (344) We can realize that to the same prescision it can be written as ΦΦ (p) = 1 p 2 + m 2 + Σ(p) = G 0(p) G 2 0(p)Σ(p) + G 3 0(p)Σ 2 (p) +..., (345) 43

44 where Σ(p) = λ 2 T λ2 4 B 2(0)T λ2 6 B 3(p) + O(λ 3 ). (346) Σ is called self-energy. In a more complicated expectation value there are a lot of terms appearing. But some of these diagrams are not independent. To make calculations simpler we introduce other functional methods. 7 Functional methods To facilitate the computation we can use auxiliary quantities. In this section we overview the standard ones. 7.1 Free energy The partition function is related to the free energy as Z = e βf, so it is worth to define a free energy-like quantity Z[J] = e W [J]. (347) The expectation value of the field operator The second derivative reads Φ i Φ j = 1 Z Φ i = 1 Z 2 Z J i J j = 1 Z J i Z = W. (348) J i J i ( Z W ) = Φ i Φ j + 2 W. (349) J j J i J j The first term is the disconnected part, this remains if there is no interrelation between the fields defined in i and j, for example if they are part of independent systems. In the quadratic model, up to a constant we have W [J] = ln Z J ig ij J j, (350) where in bosonic theories from (321) Z 0 = det 1/2 K. Using ln det A = Tr ln A relation we may write W [J] = 1 2 Tr ln K J ig ij J j, (351) Usually we call the second derivative of the free energy W (2) the propagator, and we also denote it by G in general. The W [J] functional in perturbation theory is related to the generator of connected diagrams. Consider the diagramatic expansion of Z[J]: these are vacuum diagrams where there are connected and disconnected parts. Single out one J i by differentiating with respect to it. There is a part of the diagrams which is connected to J i, but any other diagrams can appear besides it. Denoting by W [J] the connected part, we can write Z[J] J i = W [J] J i Z[J] Z[J] = e W [J] (352) as we promised. From the path integral definition e W [J] = Dϕe S0 Sint[ϕ]+Jϕ = Dϕe S0+Jϕ ( e Sint ) = Z 0 [e 1 2 JGJ + e Sint 1 ] (353) Performing logarithm keeps only the connected parts. Taking into account that in e 1 2 JGJ the only connected diagram is the propagator, we may write W [J] = 1 2 Tr ln K JGJ + e Sint 1 connected. (354) We remark that the expansion keeping only the connected diagrams is also called cluster decomposition in statistical physics. 44

45 8 Részecskék A rezgő húr gondolatmenetét általánosítva a részecskéket matematikailag általában is valamilyen mező kvantálás utáni energia- és impulzus sajátállapotának képzeljük el. Van azonban néhány szempont, amit a kvantálásnál figyelembe kell venni. 8.1 Térelméletek kvantálása A térelméletek kvantálásakor ugyanúgy járunk el, mint bármely más rendszernél: szétválasztjuk a konfigurációk mint állapotok reprezentációját az állapotokon végezhető mérésektől. A mezőállapotot tehát valamilyen absztrakt Hilbert-tér elem képviseli, míg a mező értékei mérésből következnek: ˆΨ(x) mezőmérési operátor és ˆΠ(x) mező-eltolási operátor várható értékei a rendszer állapotában. Hogy hol mérem a mezőt, azaz x értéke most teljes mértékben egy index szerepét játssza. A térelméletekben leginkább Heisenberg-képet alkalmazunk, azaz az operátorokhoz társítjuk az időfüggést. Így beszélhetünk ˆΨ(x) téridő mezőfüggvényről (x = (t, x)). A kvantálási feltételhez azonban a tér definíciója szükséges, ugyanis azt kell kihasználni, hogy az impulzus generálja a tér eltolásait. Az impulzus ugyanakkor a téreltolásokhoz tartozó megmaradó mennyiség, ami a térelméletekben az energia-impulzus tenzor (623) impulzus része kell legyen. Megmutatható, hogy általános térelméletekben is a húr esetén kapott alak formája megmarad: ˆP i = d d x ˆΠ α (x) i ˆΨα (x), ahol Π α = L Ψ. (355) α Infinitezimális tér-eltolás hatására δψ(t, x) = Ψ(t, x + dx) Ψ(t, x) = dx i i Ψ(t, x) + O(dx 2 ). (356) Ezt generálja az impulzus; a (12) képlet alapján, ügyelve az indexek fel- és lehúzására is: δψ(t, x) = i[p i (t), Ψ(t, x)]dx i = i d 3 y [Π(t, y) i Ψ(t, y), Ψ(t, x)]dx i = dx i i Ψ(t, x). (357) Ezt két konzisztens kvantálás tudja teljesíteni. Mivel [AB, C] = ABC CAB = A(BC +αcb) (αac +CA)B = { A[B, C] + [A, C]B, ha α = 1 A{B, C} {A, C}B, ha α = 1, (358) Ezért lehetséges kommutátorral vagy antikommutátorral kvantálni: [Ψ(t, x), Π(t, y)] = iδ(x y), [Ψ(t, x), Ψ(t, y)] = 0, vagy {Ψ(t, x), Π(t, y)} = iδ(x y), {Ψ(t, x), Ψ(t, y)} = 0. (359) Az előbbieket nevezzük bozonoknak, az utóbbiakat fermionoknak. Fontos, hogy a kvantálás egy idejű operátorokra vonatkozik. Az időfejlődést az infinitezimális idő-eltolás generátorával állíthatjuk elő, ez a Hamilton-operátor. Ettől elvárjuk, hogy megegyezzen az idő-eltolás során előálló megmaradó mennyiséggel, vagyis E = d 3 x T 00 energiával. 8.2 A spin-statisztika tétel Az impulzus és a mező felcserélésére vagy kommutátort vagy antikommutátort kell használni. A spinstatisztika tétel szerint egész spinű részecskékre kommutátort, félegész spinűekre antikommutátort kell használni. Hogy megértsük a tétel lényegét, vizsgáljuk meg a permutációk és forgatások kapcsolatát egy feles spinű állapot esetén: Vegyünk két elektront az x = (x 0, 0, 0) és az x = ( x 0, 0, 0) helyen az egyszerűség kedvéért s állapotban, mindkettő sipnje legyen z irányú, felfelé mutató. A közös hullámfüggvényt vegyük egyelőre két hullámfüggvény szorzatának, azaz Ψ 12 (t, x, x ) = Ψ s (t, x x 0, y, z)ψ s (t, x + x 0, y, z ). (360) 45

46 Mi történik a közös sajátfüggvénnyel, ha megcseréljük a két részecskét? A két részecske felcserélése ebben a speciális esetben elérhető úgy is, hogy z tengely körül elforgatom a rendszert 180 -kal 4! Ekkor (x, y, z) ( x, y, z), de mivel s állapotban voltak a részecskéim, a hullámfüggvény térbeli része nem változik attól eltekintve, hogy most x x 0 helyett x + x 0 jelenik meg. A hullámfüggvény azonban még spinor indexekkel is rendelkezik, azaz ott is forgatni kell. A forgatást végző operátor ( ) ( ) Ô = e iπ 2 e iπ σ3 2 0 i 0 = = (361) 0 e iπ 2 0 i azaz a felfelé mutató spint egyszerűen i-vel szorozza. Ezért a részecskék felcserélése után kapott hullámfüggvény Ψ 21 (t, x, x ) = Ψ s (t, x + x 0, y, z)ψ s (t, x x 0, y, z ) = Ψ 12 (t, x, x), (362) vagyis kaptunk egy extra 1 faktort. Bozonikus esetben a 180 -kal való elforgatás operátora ±1-et ad, ami két azonos hullámfüggvény esetében mindig 1-re egészíti ki egymást. Ennek alapján tehát a részecskéket keltő operátoroknak antikommutálniuk kell. Mivel a kommutátorból, ahogy láttuk, kommutáló részecskéket kapunk, ezért antikommutátort kell vennünk: {Ψ α (t, x), Π β (t, x )} = iδ αβ δ(x x ) {Ψ(t, x), Ψ (t, x )} = δ αβ δ(x x ). (363) 8.3 (Bi) spinor mezők A valóságban megjelenő részecskékre megkötés, hogy ha Lorentz-transzformációt végzünk a rendszeren, akkor az új, trenszformált koordinátarendszerben is ugyanolyan típusú részecskéket lássunk. Ez azt jelenti, hogy a részecskéket reprezentáló mezők a Lorentz csoport ábrázolásai kell, hogy legyenek. A Lorentz csoport olyan M M lineáris leképzásekből áll, amelyekre x = Λx négyeshossza invariáns (x ) 2 = x 2. Indexesen kiírva x µ = Λ µ.νx ν, és a hossz invarianciájának feltétele x ν x ν = x ν x ν. Innen következik, hogy Λ µ. ρλ ν. σg µν = g ρσ, Λ. ϱ ν Λ ν. σ = δ ϱ σ, (Λ 1 ) ϱ. ν = Λ. ϱ ν. (364) Itt g µν = diag( 1, 1, 1, 1) metrikus tenzor. Bővebben a csoportszerkezetről és az ábárzolásairól a B függelékben olvashatunk. Az ott található analízis eredménye az, hogy a Lorentz csoport legegyszerűbb (alap) ábrázolása egy Ψ : M C 2 mezőn valósul meg a L = e i 2 (ωi+iui)σi (365) mátrix segítségével, ahol σ i -ka Pauli mátrixok. Fizikailag ω i a három tengely körüli forgatást jelenti, ez a nemrelativisztikus eset SO(3) szinnemtriája esetén is megtalálható. Az u i -k a boost (mozgó vonatkoztatási rendszerre való áttérés) paraméterei, pontosabban az adott irányú eltolás rapiditása: tanh u = v/c. Ezek nem unitér leképzést valósítanak meg: ez a boost hatására egymásba alakuló negyesvektorok transzformációjára jellemző. Ez a mátrix egységnyi determinánsú, hiszen Általában, ha V egy ábrázolás, akkor ln det L = Tr ln L = i 2 (ω i + iu i ) Tr σ i = 0. (366) V, V, V T 1, V 1 (367) mind ábrázolások. Most L T 1 és L unitér ekvivalensek az egységnyi determináns miatt: ε ij det L = ε i j L ii L jj (iε) ki L ii (iε) i j LT j j = δ kj L T 1 = (iε) L(iε), (368) hiszen (iε) = (iε) 1 = (iε), unitér mátrix. Így két független választásunk van: L vagy L 1. Ez a két mátrix a Lorentz-csoport két ábrázolásának felel meg, nevezzük a hozzájuk tartozó tereket Ψ L és Ψ R -nek. Ezekre Ψ R = LΨ R, Ψ L = L 1 Ψ L. (369) 4 Ehhez legalább két dimenziós tér kell; 1D rendszerekben a statisztika nem kötődik a forgatásokhoz, így nem igaz a spinstatisztika tétel sem. Lehetnek pl. egzotikus statisztikájú anyonok 46

47 Ezek a Weyl-spinorok. A két transzformáció viszonya: L 1 = e i 2 (ωi iui)σi = L ωi ω i,u i u i, (370) azaz nem változik a forgatás, de előjelet vált a mozgó vonatkoztatási rendszer sebessége. Ez pontosan a tértükrözés hatása: tehát P tértükrözés olyan kell legyen, hogy P LP = L 1 P Ψ L = Ψ R, P Ψ R = Ψ L. (371) Ha tehát a tértükrözést is ábrázolni akarjuk, akkor a Ψ L és Ψ R terek együttesét kell kezelni. Ezek a bispinorok: ( ) ( ) ΨL 0 1 Ψ =, P =. (372) 1 0 Ψ R Valójában a fenti alak a Weyl-reprezentáció, a Dirac által eredetileg javasolt alak ennek unitér transzformáltja. Hogy egy invariáns Lagrange-függvényt tudjunk felépíteni nézzük meg, először a következő kifejezést nézzük meg (Ψ RΨ L ) = Ψ RL L 1 Ψ L = Ψ RΨ L, (373) azaz elő tudtunk állítani egy Lorentz-invariáns kombinációt. Hasonlóan Ψ L Ψ R is invariáns. A másik invariáns megtalálásához bebizonyítható, hogy L σ µ L (ahol σ µ = σ µ ), és L 1 σ µ L 1 az eredeti σ µ illetve σ µ Lorentz transzformáltjai. Emiatt Ψ R σ µ i µ Ψ R, Ψ Lσ µ i µ Ψ L (374) invariánsok, azaz a Lagrange-függvény részét képezhetik. Szokás bevezetni a Dirac-mátrixokat és a Dirac-adjungáltat ( ) ( ) Ψ = Ψ γ 0, γ µ 0 σ µ = σ µ γ = = P, γ i = Ezekre igaz (Clifford-algebra) ( ) 0 σi. (375) σ i 0 {γ µ, γ ν } = 2g µν. (376) Ilyen módon a L-R szimmetrikus, azaz tértükrözés-invariáns Lagrange-függvény úgy írható, mint L = Ψi /Ψ m ΨΨ, (377) a Dirac-féle Lagrange-függvény (valójában két együtthatót vezethettünk volna be, de a terek normálásával az egyiket 1-nek választhatjuk). Az ebből származó mozgásegyenlet a a Dirac-egyenlet. 8.4 Lorentz-vektormezők, mértékelméletek µ L = 0 = L = (i / m)ψ, (378) µ Ψ Ψ A Lorentz-csoport csoport definiáló ábrázolása az A µ Lorentz-vektormezőkhöz vezet. Ezek transzformálódása a Lorentz-csoport alatt: A µ = Λ µ.ν A ν. (379) Milyen Lorentz invariáns kombináció szerkeszthető ezekből? Használhatjuk a µ deriválást, is, így lehet például: A µ A µ, µ A µ, µ A ν µ A ν. (380) Ezek mindegyike szerepelhet a Lagrange-függvényben. Kiemelkedő szerepe van azonban a következő kombinációnak: L = 1 4 F µνf µν, ahol F µν = µ A ν ν A µ, (381) 47

48 ez írja le az elektromágneses tér Lagrange függvényét. Kifejtve L = 1 2 ( µa ν µ A ν µ A ν ν A µ ). (382) Képezhetjük az elektromos és mágneses térerősségeket F 0i = E i és F ij = ε ijk B k alapján. Így a fenti alak L = 1 2 ( E 2 B 2). (383) A mozgásegyenletek: L L µ = µ F µν = 0 div E = 0, 0 E rot B = 0, (384) A ν µ A ν szabad (forrásmentes) Maxwell egyenletek. A maradék két Maxwell egyenlet: µ F µν = 0, ahol F µν = ε µνϱσ F ϱσ, (385) ahol ε µνϱσ teljesen antiszimmetrikus. A fenti egyenlet valójában azonosság (Bianchi), ami ε antiszimmetriája illetve a vegyes parciális deriváltak szimmetriája miatt teljesül. A fenti Lagrange függvénynek van egy különleges szimmetriája: ha δa µ (x) = µ α(x) helyfüggő (mérték) transzfromáció, akkor a térerősségtenzor változása δf µν = µ δa ν ν δa µ = 0. (386) Vagyis a terek mozgását meghatározó Lagrange-függvény mértékinvariáns. Az energia-impulzus tenzor kifejezése T µν = ν A ϱ L ( µ A ϱ ) g µνl = ν A ϱ F ϱµ g µνf F. (387) Ez nem szimmetrikus µ-ν-ben; azonban hozzáadhatjuk ϱ (A ν F ϱµ ) µ ϱ (A ν F ϱµ ) = 0, (388) hiszen F antiszimmetrikus µ-ν-ben, míg a vegyes derivált szimmetrikus. Ezért a szimmertikus energiaimpulzus tenzor alakja: T µν = g ϱϱ F νϱ F ϱµ g µνf F. (389) Speciálisan T 00 = 1 2 ( E 2 + B 2). (390) Mivel a tér spinje 1, ezért bozon, vagyis kommutátorral kell kvantálni. Ilyet már láttunk korábban a skalár tér esetén. Először meg kell mondani a kanonikusan konjugált momentumot: Π µ = L 0 A µ = 0A µ + µ A 0 Π 0 0! (391) Ez annak a következménye, hogy a Lagrange-függvény mértékinvariáns. Ezért nem róhatjuk ki a [A 0, Π 0 ] = iδ kommutációs relációt! Hogy orvosoljuk a bajt, mértéket kell rögzítenünk. A klasszikus Lorenz-mérték esetén Ezzel a Lagrange-függvény alakja µ A µ = 0. (392) L = 1 2 µa ν µ A ν = 1 2 ( gνν ) µ A ν µ A ν = 1 2 µa 0 µ A µa i µ A i. (393) 48

49 Láthatóan az A i terek teljesen olyanok, mint 3 független m = 0 tömegű skalártér. Az A 0 tér előjele azonban különbözik ez az az ár amit fizetnünk kell a mértékrögzítésért. Most már definiálhatók a kanonikusan konjugált impulzusok Π µ = 0 A µ Π 0 = 0 A 0, Π i = 0 A i. (394) A kommutációs relációk tehát [A µ (t, x), Π ν (t, y)] = iδ µν δ(x y) [A µ (t, x), A ν (t, y)] = ig µν δ(x y), (395) a többi nulla. Lehet a Coulomb mértéket is rögzíteni: diva = 0, (396) az A 0 pedig a töltéssűrűségből következik a klasszikus kifejezéssel: ennek nincs dinamikája, azaz nem tekintjük kvantumtérnek. Emiatt nem probléma, hogy hozzá nem tartozik kanonikusan konjugált impulzus. Ekkor csak két szabadsági fok marad meg, ezeket kell kvantálni, amelyek megfelelnek az elektromágneses sugárzás transzverzális komponenseinek. A Lagrange függvényben megmarad: L = 1 2 µa i µ A i diva=0. (397) 9 A Hamilton operátor diagonalizálása Három elméletet ismertünk meg, ezek Lagrange függvénye L = 1 2 (( µφ) 2 m 2 Φ 2 ) L = Ψ(i µ γ µ m)ψ L = 1 2 µa i µ A i 1 2 µa 0 µ A 0 (398) A kanonikusan konjugált impulzusok Π = Φ illetve Π = iψ. A Hamilton függvények alakja ezzel: H = 1 2 Π Φ( 2 i + m 2 )Φ H = Ψ(i i γ i m)ψ Ψ hψ. (399) A mértéktér Hamilton függvénye a skalártérrel való rokonságából következik. elméleteket is átírhatjuk a fermionikus alakra, ha bevezetjük a Tulajdonképpen a skalár differenciáloperátort, és jelölést. Ekkor Ψ = h 2 = + m 2 (400) h 2 Φ + i 2h Π (401) H = Ψ hψ. (402) Feltesszük tehát, hogy ez a kifejezés adja meg a Hamilton sűrűséget teszőleges kvadratikus elmélet esetén. A kvantáláshoz: ami átfogalmazható [ˆΦ α (x), ˆΠ β (y)] ± = iδ(x y), [ˆΦ α (x), ˆΦ β (y)] ± = [ˆΠ α (x), ˆΠ β (y)] ± = 0, (403) [ ˆΨ α (x), ˆΨ β (y)] ± = δ(x y), [ ˆΨ α (x), ˆΨ β (y)] ± = [ ˆΨ α(x), ˆΨ β (y)] ± = 0, (404) ami igaz mind a fermionikis mind a bozonikus esetre. 49

50 Érdemes bevezetni az eltüntető operátort: ˆΨ α (x) = r d 3 k (2π) 3 eikx u αrk â rk, (405) ahol u αrk minden k-ra teljes ortogonális rendszert alkotnak u αrku βrk = δ αβ, u αrku αsk = δ rs. (406) r α Az inverz reláció ekkor â rk = α d 3 xe ikx u αrk ˆΨ α (x). (407) Emiatt [â rk, â sq] ± = (2π) 3 δ(k q), [â rk, â sq ] ± = [â rk, â sq] ± = 0. (408) Beírva ezt az alakot a Hamilton operátorba Ĥ = d 3 xĥ = d 3 x d3 k d 3 q ( ) (2π) 3 (2π) 3 e ikx â ( rk u αrk h αβ e iqx ) u βsq â sq. (409) Figyelembe véve, hogy h αβ deriváltat tartalmaz, ez a következő alakot ölti Ĥ = Válasszuk az u vektorokat ω k sajátvektorának Ez valójában valós időben kifejezve úgy is írható, mint d 3 k (2π) 3 â rk u αrkh αβk u βsk â sk. (410) h αβk u βsk = E sk u βsk. (411) (i t h)u = 0, u(t) = ue iet, (412) vagyis u a kvantummechanikai energia sajátfüggvény. Az ortogonalitást kihasználva ekkor d 3 k Ĥ = (2π) 3 E rk â rkârk. (413) r A Hamilton operátor alakja most már megegyezik a harmonikus oszcillátorok együttesével, ezért megoldásához ugyanazon eszközöket használjuk, mint a húrnál. Létezik egy vákuum 0, amelyre â sk 0 = 0 a. A részecskállapotokat a Ψ = k 1, n 1, s 1 ;... k i, n i, s i ;... = N 1 (â s 1k 1 ) n1... N i (â s ik i ) ni... 0 (414) módon képezzük, ahol N i normálási faktorok. Fermionok esetén (a ) 2 = 0, emiatt n i = 0, 1 lehet. A húrnál látottak alapján ez az állapot energia és impulzus sajátállapot: ( ) ) Ĥ Ψ = n i E rik i Ψ, n i k i Ψ. (415) i ˆP Ψ = ( i Relativisztikus esetben a Hamilton operátor magfüggvényének csak két sajátértéke lehet: E k = ± k 2 + m 2. Bozonikus esetben csak a pozitív gyök marad, hiszen az eredeti Hamilton operátorból csak a formai hasonlóság miatt vontunk gyököt. A fermionikus esetben azonban h 4 4-es mátrix. Ennek két pozitív és két negatív energia sajátértéke van, ezek mindegyike 2D-s altér, vagyis ezt még fel kell bontani r = 1, 2 50

51 vektorokkal. A pozitív energiás altér felbontásához használjuk az u rk illetve a rk, a negatív energiás altérhez v rk és b rk jelölést. Ekkor az energia Ĥ = d 3 k (2π) 3 E k (a rk a rk b rk b rk ). (416) r Ezzel az a probléma, hogy a b -ek által előállított állapotok energiája negatív, és tetszőlegesen nagy negatív energiát elő lehet ezzel állítani. Ha van valamilyen kölcsönhatás, például fotont lehet kisugározni, akkor a negatív energiás állapotok egyre jobban betöltődnek, és eközben energiát sugárzunk ki. A fent definiált vákuum tehát nem stabil. A megoldás az lehet, hogy új vákuumot definiálunk, ahol minden negatív energiás állapot be van töltve: b rq 0 = 0 Dt, (417) az index jelentése Dirac-tenger. Mivel ( b ) 2 = 0, ezért erre a vákuumra r,q b sk 0 Dt = 0 s, k. (418) Emiatt a b sk valójában eltüntető operátorként hat a Dirac tenger vákuumon. Bevezethetünk tehát b sk = b sk új jelölést, ennek megfelelően b sk = b sk. Ezek ugyanolyan antikommutációs relációval rendelkeznek, {b sk, b rq} = { b sk, b rq } = (2π) 3 δ(k q). (419) Vagyis ha b sk az eltüntető operátor, b sk részecskét kelt: ezek az antirészecskék. A Hamilton operátor kifejezése: d 3 k Ĥ = (2π) 3 E k (a rk a rk b rk b d 3 rk ) = k (2π) 3 E k (a rk a rk + b rk b rk) + konstans. (420) r A konstans energia a Dirac tenger vákuum és az eredeti vákuum energiakülönbsége. Az új, Dirac tenger vákuum felett már pozitív energiás minden gerjesztés. Egy részecske esetén r k, r = a rk 0 Dt, k, r = b rk 0 Dt. (421) Végülis tehát a keltő- eltüntető operátorok segítségével felírt téroperátorok alakja, visszatérve az eredeti jelölésre, és a szokásos normálást illetve impulzuskiosztást használva: d ˆΦ(x) 3 k 1 ) = (e ikx (2π) 3 a k + e ikx a k 2ωk ˆΨ α (x) = Â i (x) = d 3 k 1 (2π) 3 2ωk r=1,2 d 3 k (2π) 3 1 2k t=1,2 ( ) e ikx u αrk â rk + e ikx v αrkˆb rk ( e ikx ε i tkâ tk + e ikx ε i tkâ tk ). (422) Az utolsó sorban a Coulomb-mértékben érvényes kifejezést írtuk fel. A diva = 0 feltétel teljesítéséhez a polarizációs mátrixra k i ε i tk = 0 (423) feltétel kell teljesüljön. Mindezek után minden a természetben előforduló részecskét a fenti módon kell leírni. definíció, úgy tűnik, ezzel lezárható. A részecske 51

52 10 Anyag és sugárzás kölcsönhatása Hogyan képes kölcsönhatni anyag, azaz a fermiontér, és a sugárzás, azaz a fotontér? Ehhez fel kell írni a Lagrange-függvényt, amely tartalmazza a fermion- és a fotonteret is, és Lorentz invariáns. Ilyen tagból sokféle lehet, azonban van egy elv, amely lerögzíti, milyen módon kell a kölcsönhatást megkeresni. A Dirac-féle Lagrange-függvénynek van egy globális U(1) szimmetriája, ami azt jelenti, hogy Ψ = e ieα Ψ, Ψ = e ieα Ψ (424) Ha azonban α helyfüggő (lokális transz- transzformáció hatására ugyanaz marad a Lagrange függvény. formáció), akkor a Lagrange-függvény nem marad invariáns L = Ψ (i/ m)ψ = e ieα Ψ(iγ µ µ m)e ieα Ψ = L + e Ψγ µ Ψ µ α. (425) Ha azonban megváltoztatjuk a deriválást egy új tér bevezetésével akkor Ha tehát i µ i µ = i µ ea µ, (426) L = Ψ (i / m)ψ = e ieα Ψ(iγ µ µ eγ µ A µ m)e ieα Ψ = L + e Ψγ µ Ψ( µ α δa µ ). (427) A µ = A µ + µ α, (428) akkor a Lagrange-függvény lokálisan is invariáns marad. Ha tehát megköveteljük, hogy egy globális szimmetriával rendelkező szabad részecskéket leíró modell szimmetriája lokális legyen, akkor ezt úgy tehetjük meg, hogy bevezetünk (általánosan a szimmetria minden generátorához) egy mértékteret, amellyel a deriválást kovariáns deriválttá tesszük. Ilyen módon kölcsönhatást generálunk a részecske és a mértéktér között. Ez a mértékelv (gauge-elv), a globális szimmetria gauge-elése. Úgy tűnik, az Univerzumban megjelenő összes kölcsönhatást helyesen írhatjuk le a mértékelv segítségével. Az elektromos kölcsönhatáshoz az U(1) szimmetriát kellet gauge-elni, a gyenge kölcsönhatáshoz az SU(2) csoportot (ízek), az erős kölcsönhatáshoz az SU(3) csoportot (színek), a gravitációhoz a Lorenztcsoportot. A kapott Lagrange-függvényhez hozzáadhatjuk a mértéktér már látott szabad alakját L = 1 4 F µνf µν + Ψ(i/d m)ψ iea µ Ψγ µ Ψ. (429) Ez a kvantum-elektrodinamika (QED) Lagrange-függvénye. Ebben az elméletben a mértéktér az elektromágneses négyesáramhoz kapcsolódik. Valóban, a Dirac-egyenlet miatt (i µ γ µ m)ψ = 0 i µ Ψ γ µ mψ = 0 ( i µ γ µ m) Ψ = 0, (430) mert γ 0 γ µγ 0 = γ µ, a {γ µ, γ ν } = 2g µν összefüggés miatt. Ennek következménye 0 = Ψ(i µ γ µ m)ψ [( i µ γ µ m) Ψ]Ψ = i µ ( Ψγ µ Ψ), (431) vagyis mérlegegyenletet kaptunk rá (megmaradó áram). A nulladik komponens eψ Ψ = e Ψ 2 = ϱ az elektron megtalálási valószínűsége a töltésével súlyozva: ez a töltéssűrűség. Ha az anyagteret nem kvantum-térelmélettel, hanem kvantummmechanikával akarjuk leírni, ugyanezt a formulát használjuk: a kölcsönhatáshoz a mértéktér az elektromos négyesáramhoz csatolódik. Mivel a négyesáram klasszikus mechanikában j µ = e(c, v), (432) ezért a kölcsönhatási tag (c = 1) rendszerben L kh = eφ + eva. (433) A teljes Lagrange-függvény L = m 1 v 2 eφ + eva. (434) 52

53 Coulomb-mértéket használva Φ 0. A kanonikusan konjugált impulzus A sebesség kifejezése v 2 = Emiatt a Hamilton-függvény Coulomb-mértékben H = pv L = p i = L = mv i v + ea i. (435) i 1 v 2 p 2 m 2 + p 2, p i = p i ea i. (436) mv2 + eva + m 1 v 2 m eva = = p 2 + m 2. (437) 1 v 2 1 v 2 Ez pontosan olyan, mint egy szabad részecske Hamilton-függvénye, csak az impulzust kell módosítani. A mérték-elv klasszikus megfelelője tehát az, hogy a szabad elmélet impulzusát helyettesíteni kell a mértéktérrel eltolt impulzussal p p ea. (438) Nemrelativisztikus esetben tehát H = 1 2m (p ea)2 = p2 2m e e2 (pa + Ap) + 2m 2m A2, (439) ahol figyeltünk arra, hogy kvantummechanikában nem felcserélhető p és A. A kölcsönhatási Hamiltonoperátor tehát H I = e (pa + Ap). (440) 2m Ekvivalens megfogalmazás: a Lagrange-függvényben egy teljes időderivált klasszikusan nem számít. Emiatt át lehet írni L eẋa = e t (xa) exȧ exe, (441) hiszen Coulomb-mértékben E = Ȧ. Ebben a megközelítésben a kölcsönhatási Hamilton-operátor H I = exe (442) dipól-kölcsönhatás. Atomi méretek esetén az elektromos tér helyfüggése elhanyagolható; ekkor Coulomb mértékben (ahol E = t A), és valós polarizációs vektorokat választva írhatjuk H I = ie d 3 k k (2π) 3 2 t=1,2 ( â tk e ikt â tk eikt) ε i tkˆx i. (443) 10.1 Átmenet atomi nívók között A Hamilton operátor áll egy szabad időfejlődést leíró operátorból, és egy kölcsönhatásból. utóbbit leválasztani: a Schrödinger egyenletben a szabad időfejlődést ecpliciten kihasználjuk Érdemes az ı t Ψ = (H 0 + H I )Ψ, Ψ = e ih0t ψ, (444) ezzel i t Ψ = H 0 Ψ + e ih0t i t ψ = H 0 Ψ + H I e ih0t ψ, (445) azaz i t ψ = H I (t)ψ, ahol H I (t) = e ih0t H I e ih0t. (446) Szukcesszív approximációt használunk, azaz egy olyan sorozatot, ahol i t ψ (n+1) = H I (t)ψ (n), (447) 53

54 a ψ (0) = i kezdeti állapotból kiindulva. Az első rend Ennek átfedése egy f állapottal: ψ (1) (t) = i f, t i, 0 = i t 0 t 0 dt H I (t ) i. (448) dt f H I (t ) i. (449) Ha és között veszem, akkor a teljes átmeneti amplitúdót kapom: ez az S-mátrix: S fi = f, i, = i dt f H I (t ) i. (450) Tekintsünk egy atomot, amelynek két állapota van: a alapállapot és g gerjesztett állapot. A gerjesztett állapotból az alapállapotba való átmenet során kibocsátódik egy foton (feltételezésünk alapján), azaz a fotontér n, q, α állapotból n + 1, q, α állapotba kerül valamilyen hullámszámra és polarizációra. Ennek átmeneti amplitúdója S fi = i = e dt f H I (t ) i = dt d 3 k k (2π) 3 2 t=1,2 ε i tk n + 1, q, α â tk e ikt â tk eikt n, q, α a ˆx i (t) g. (451) Az első mátrixelem n + 1, q, α â tk e ikt â tk eikt n, q, α = e iqt n + 1(2π) 3 δ(k q)δ tα. (452) a második mátrixelem Mindent összevetve ahol a ˆx i (t) g = a e ih0tˆx i e ih0t g = e i(eg Ea)t a ˆx i g. (453) q S fi = e 2 εi αq a ˆx i g n + 1 dt e i(eg Ea q)t = g αq n + 1 (2π)δ(Eg E a q), (454) q g αq = e 2 εi αq a ˆx i g. (455) Az átmeneti valószínűség képletében δ(e) 2 fordul elő. Ennek értelmezéséhez δ(e) = dt e iet δ(e) 2 = δ(e)δ(0) = tδ(e), (456) ahol t az átmenet ideje. Így időegységre számított átmeneti valószínűséget tudunk számolni: w fi = S fi 2 t = (2π)δ(E g E a q) g α,q 2 (n + 1). (457) 54

55 Ha megvan az átmeneti valószínűség, kiszámolhatjuk a kisugárzott teljesítményt is, vagyis az időegység alatt kisugárzott energiát. Miután minden hullámszám és minden polarizáció megengedett: P = d 3 q (2π) 3 α=1,2 qw fi (α, q) = d 3 q (2π) 3 q α=1,2 2 (2π)δ(E g E a q) q e 2 εi αq a ˆx i g (n q + 1). (458) A polarizációra való összegzés, d i = a ˆx i g jelöléssel ( ) ε i αq d i 2 = d i d j = d (1 ˆq ˆq)d = sin 2 θ d 2, (459) α=1,2 α=1,2 ε i αqε j αq ahol felhasználtuk, hogy a polarizáció merőleges irányú lehet. Ekkor P = e2 d 2 8π 2 0 dq q 4 dω δ( E q) sin 2 θ(n q + 1). (460) Innen dp dω = (n q + 1) e2 d 2 E 4 8π 2 sin 2 θ. (461) Ez n = 0-ra az elektrodinamika dipólsugárzás képletével egyező eredmény, amennyiben azonosítjuk Ekkor SI egységekben (Z 0 = µ 0 c = Ω vákuumimpedancia) p i = 2e d i, ω = E. (462) dp dω = (n q + 1) Z 0p 2 ω 4 32π 2 c 2 sin2 θ. (463) A klasszikus képlethez képest megjent egy n + 1 szorzó, ahol n a q = E nagyságú, Ω irányú impulzussal rendelkező fotonok száma. Az n = 0 klasszikus képlet a spontán emissziót írja le. Kvantumosan a többi foton hatására gyorsabban történik meg az átmenet, nagyobb lesz a kisugárzott teljesítmény: az n faktor az indukált emissziónak felel meg. Ha n = 0, akkor elvégezhetjük a térszög integrált: mert dω sin 2 θ = 2π P = Z 0p 2 ω 4 12πc 2, (464) 1 1 dx (1 x 2 ) = 8π 3. (465) 10.2 Az atomi energiaszintek és a sugárzás állapotainak hibridizációja, Wigner- Weisskopf-modell Ha nem csak első rendben akarjuk megállapítani az átmenetet, akkor az eredeti nemkölcsönható atomi energia-sajátállapotok és a fotonok rendszerében fel kell írni a teljes Hamilton operátort, és diagonalizálni kell azt. Hogy ezt lehetővé tegyük, a helymérés operátorát fel kell írnunk az atomi energiaállapotok terében. Feltéve, hogy a és g állapotokban ˆx = 0 (azaz ugyanott van a súlypontjuk), a helymérés operátora valójában átvisz a a és g állapotok között: ˆx a,g = ( 0 xag x ag 0 ), x ag = a ˆx g. (466) Az atomi energiaszintek mátrixa, az alapállapoti energiát nullára tolva ( ) Ĥ a,g =. (467) 0 E 55

56 Ezt a két operátort leírhatjuk az atomi nívók keltő-eltüntető operátoraval: ( ) ( ) 0 1 c =, c 0 0 =, (468) ezzel A szabad fotonok Hamilton-operátora Ĥ 0 = Ec c, ˆx a,g = x ag c + x agc. (469) Ĥ ph = A kölcsönhatási Hamilton-operátort elég t = x = 0-ban felírni (l. (443)) Ĥ I = i d 3 k (2π) 3 d 3 k (2π) 3 ka tk a tk. (470) t=1,2 t ( ) â tk â tk (g tk c + gtkc ). (471) Az ac tag eltüntet egy fotont, és alapállapotba viszi az atomot, ezért a korábbi analízis szerint egy 2πδ( E + k) Dirac-deltára vezet, amely soha nem teljesülhet. Ezért ezt (és a neki megfelelő a c ) tagot elhagyhatjuk fizikai alkalmazásokban. A teljes Hamilton-operátor tehát úgy írható, mint Ĥ = d 3 k (2π) 3 ka tk a tk + Ec c i t d 3 k (2π) 3 t=1,2 ( ) gtkc â tk g tk câ tk. (472) Ez a teljes időfejlődést leíró Hamilton-operátor. A mozgásegyenletek Heisenberg-képben: d 3 k ċ = i Ec (2π) 3 gtka tk t=1,2 ȧ tk = ika tk + g tk c. (473) Ez egy lineáris egyenletrendszer, amit meg lehet oldani egzaktul. Időbeli Fourier-transzformációt végezve kapjuk d 3 k 0 = (ω E)c + (2π) 3 igtka tk A második egyenletet az elsőbe visszaírva kapjuk ( 0 = ω E t=1,2 0 = (ω k)a tk ig tk c. (474) d 3 k (2π) 3 t=1,2 ) g tk 2 c. (475) ω k A gerjesztett állapot hullámfüggvénye g, t = c (t) a, ennek átfedése a gerjesztett állapottal ennek megoldása a retardált propagátor G (ret) cc (ω) = a cc a = g, t g = a c(t)c (0) a, g, 0 g = 1, (476) ( ω E d 3 k (2π) 3 t=1,2 ) 1 g tk 2 (477) ω k ω ω+iε Ezt írhatjuk úgy is, mint G (ret) cc (ω) = 1 (478) ω E Σ(ω) ω ω+iε 56

57 ahol Σ(ω) = d 3 k (2π) 3 t=1,2 Grafikus szemléletetés... A retardált propagátor diszkontinuitása adja meg a a sajátenergiák spektrumát: g tk 2 ω k. (479) ϱ(ω) = Disc ig (ret) 2 Im Σ (ω) = 2 Im G cc cc (ω + iε) = (ω E Re Σ) 2 + ( Im Σ) 2. (480) A spektrum, azaz állapotsűrűség most tehát nem egyetlen energiaszintből áll, hanem egy csúcsos görbe, amelyiknek maximuma az ω = E + Re Σ(ω) megoldásánál van. Jelöljük ezt E -vel: ez lesz a módosított gerjesztési energia. Ha Im Σ 0 +, akkor Disc ig (ret) (ω) δ(ω E ) lenne; ha Im Σ kicsi, akkor ugyan nem cc Dirac-delta az eredmény, de gyorsan változik. Jó közelítéssel ezért ω helyére E írható, γ := Im Σ( E ). Ekkor a függvény egy Lorentz-görbe lesz ϱ(ω) = amelynek félértékszélessége éppen γ. Kiszámolva d γ = Im Σ( E 3 k g tk 2 ) = Im (2π) 3 δe k + iε = Ezt a számolást már elvégeztük korábban t=1,2 Valós időre Fourier-transzformációt kell végeznünk: ϱ(t) = 2γ (ω E ) 2 + γ 2, (481) d 3 k (2π) 3 g tk 2 πδ(δe k). (482) t=1,2 γ = d2 ( E ) 3. (483) 6π [ ] dω 1 2πi e iωt ω E iγ 1 ω E + iγ = e i E t γt. (484) A gerjesztett állapot időfüggése tehát exponsneciális bomlást mutat, a bomlás időállandója a Lorentz-görbe szélessége. 11 Részecske definíciók változó körülmények között Azzal a problémával, hogy a részecskék megsem teljesen olyanok, mint a klasszikus tömegpontok, akkor szembesülünk, ha valamilyen módon próba alá helyezzük a rendszert, azaz kölcsönhatásba hozzuk valamivel. Ebben a fejezetben a legegyszerűbb kölcsönhatásokat vizsgáljuk, amikor a részecske környezetét klasszikus módon változtatjuk Időfüggő tömegtag Az időfüggés módosíthatja a Lagrange-függvény paramétereit is. Ez az eset gyakrabban fordul elő, mint a korábbi, ilyen többek között külső erőtérbe térbe helyezett részecske esete, de erre majd látunk különféle alkalmazásokat. Tekintsünk egy komplex skalárteret, amelynek a sajátfrekvenciája valamilyen időfüggést mutat. Mielőtt ezt a rendszert megvizsgálnánk, röviden nézzük meg a fix együtthatós komplex skalártér kvantálását. A klasszikus Lagrange-függvény: Amikor kvantáljuk Φ-ből operátor lesz, de nem önadjungált. L = ( µ Φ) ( µ Φ) m 2 Φ Φ, Φ C. (485) 57

58 A kanonikusan konjugált impulzusok a Hamilton-sűrűség A mozgásegyenletek Fourier-térben ahol ω 2 k = k2 + m 2. Hamiltoni formalizmusban: A teret felírhatjuk valós és képzetes rész összegeként Π = t Φ, Π = t Φ, (486) H = Π Π + ( Φ) ( Φ) + m 2 Φ Φ. (487) ( 2 + ω 2 k)φ k = 0, (488) t Φ k = Π k, tπ k = ω2 kφ k. (489) Φ = 1 2 (Φ 1 + iφ 2 ), Π = t Φ = 1 2 (Π 1 + iπ 2 ), (490) ekkor L = 1 2 (( µφ 1 ) 2 m 2 Φ 2 1) (( µφ 2 ) 2 m 2 Φ 2 2). (491) Ez két közönséges szabad skalártér Lagrange-függvényének összege. A kvantálás tehát a szokásos módon megy: bevezethetjük a vákuumot 0, amelyet a 1k és a 2k eltüntet, és amelyen a 1k és a 2k hoz létre állapotokat. A téroperátorok kifejezése d 3 k 1 ) Φ 1,2 (x) = (a (2π) 3 1,2,k + a 1,2, k e ikx 2ωk d 3 k Π 1,2 (x) = (2π) 3 ( i) ωk ( ) a 1,2,k a 1,2, k e ikx. (492) 2 A Hamilton-operátor alakja H = d 3 k ( ) (2π) 3 ω k a 1k a 1k + a 2k a 2k = d 3 k ( ) (2π) 3 ω k a k a k + b k b k. (493) Visszaírva az eredeti alakba észrevehetjük, hogy megjelenik két kombináció; ezeket ejlöljük a következőképp: a k = a 1k + ia 2k 2, b k = a 1k + ia 2k 2. (494) Ezek ugyanazon felcserélési relációkat tudják, mint az eredeti operátorok [a k, a q] = (2π) 2 δ(k q), [b k, b q] = (2π) 2 δ(k q), [a k, b q] = [a k, a q ] = [b k, b q ] = 0. (495) Ezzel d 3 k 1 ) Φ(x) = (a (2π) 3 k + b k e ikx 2ωk d Π 3 k (x) = (2π) 3 ( i) ωk ( ) a k b k e ikx. (496) 2 A Hamilton-operátor alakja most H = d 3 k ( ) (2π) 3 ω k a k a k + b k b k. (497) 58

59 Mindezidáig igaz marad minden akkor is, ha ω k (t) időfüggő, a Hamilton-operátort diagonalizálhatjuk a fenti módon. A Heisenberg képben az operátorok lesznek időfüggők; a rájuk vonatkozó mozgásegyenletek (489) alapján ( ) 1 t (a k + b k ) ωk = i 2ωk 2 (a k b k ) ) ωk t ( i 2 (a k b k ) = ωk 2 1 (a k + b k ), (498) 2ωk ebből t a k = iω k a k + ω k 2ω k b k, tb k = iω kb k + ω k 2ω k a k. (499) Látható módon, ha ω 0, akkor összekeveredik az a k és a b k! Írjuk a következő módon fel a megoldást a k (t) = α k (t)a k + β k(t)b k, b k (t) = β k(t)a k + α k(t)b k. (500) Ezeket a kifejezéseket hívják Bogoljubov-transzformációnak. Az együtthatókra vonatkozó differenciálegyenletek: t α k = iω k α k + ω k 2ω k β k, t β k = iω k β k + ω k 2ω k α k. (501) Ha a Bogoljubov-transzformált alakot visszaírjuk a téroprátorba, akkor d 3 k ) Φ(x) = (f (2π) 3 k (t)a k + fk(t)b k e ikx, (502) ahol f k = α k + β k ; (503) 2ωk ezt az alakot hívják móduskifejtésnek. A kanonikusan konjugált tér: d Π 3 k ) (x) = (g (2π) 3 ( i) k (t)a k gk(t)b k e ikx, (504) ahol g k = (α k β k ) ω k /2. Másrészt azonban Π = Φ, azaz g k = i f k. Ennek alapján α k = i 2ωk ( f k iω k f k ), β k = i 2ωk ( f k + iω k f k ). (505) Észrevehetjük, hogy a i t ω k a pozitív/negatív energiás időfejlődésre vetít. A Φ mozgásegyenletéből következően f k (t) + ω 2 kf k (t) = 0. (506) Praktikusan az ember először f k -t határozza meg, ebből lehet α k -t és β k -t kiszámolni. Most számoljuk ki a részecskeszámot! Amennyiben H időfüggő, akkor a H-val való felcserélhetőség nem jelent megmaradást. Azonban ha H időfejlődése megáll, akkor már értelmes ez a kérdés. Vagyis ha egy stabil helyzetből valamilyen időfejlődés után ismét stabil helyzetbe kerülünk, meghatározhatjuk a részecskeszám változást. A részecskékre: 0 a k (t)a k(t) 0 = 0 (αk(t)a k + β k(t)b k )(α k (t)a k + βk(t)b k ) 0. (507) Mivel 0 a k (t)a k(t) 0 = V n ak, így a sűrűségekre kapjuk: Speciálisan, ha vákuumból indultunk: n ak (t) = α k (t) 2 n ak + β k (t) 2 (1 + n ak + n bk ). (508) n ak (t) = β k (t) 2 = f 2 k + ω2 k f 2 k 2ω k. (509) 59

60 11.2 Unruh sugárzás Tekintsünk egy egyenletesen gyorsuló relativisztikus megfigyelőt. A négyesgyorsulás kifejezése du µ dτ = gµ, (510) ahol u µ a négyessebesség, τ a sajátidő, g µ a négysgyorsulás, mind négyesvektorok. Akkor egyenletes a gyorsulás, ha g µ egy rögzített négyesvektor adott koordinátarendszerbe való transzformációja. A négyessebesség valamely külső vonatkoztatási rendszerből (c = 1 egységrendszert használva) a sajátidő pedig Mivel így Tehát v = 0 mellett u µ = (γ, γv), γ 2 = 1 1 v 2, (511) dτ = 1 v 2 dt = dt γ. (512) 2γ 3 dγ = 2dvv dγ dt = γ3 v dv dt, (513) g µ = duµ dτ = γ duµ dt g µ 0 = (γ 4 v v, γ 2 v + γ 4 v(v v)). (514) = (0, g). (515) Ha egyenletes a gyorsulás, akkor más koordinátarendszerben ennek a g 0 -nak a Lorentz transzformáltját kell látnunk. 1D-s esetet tekintve g 0 = (γvg, γg), (516) vagyis a 0. komponensre felírt differenciálegyenlet: Ennek megoldása γ 4 v v = γg dv dt = g(1 v2 ) 3/2 (517) v = g(t t g(t t 0 ) 0) v = 1 v g2 (t t 0 ). (518) 2 Ezt a kifejezést is fel lehet integrálni. Az eredmény hiszen t = 1 g sinh gτ + t 0, x = 1 g (cosh gτ 1) + x 0, (519) v = dx dt = dx/dτ dt/dτ sinh gτ = cosh gτ = sinh gτ 1 + sinh 2 gτ, (520) ahonnan t kifejezését felhasználva adódik az eredmény. Mellesleg expliciten is ki lehet fejezni 1 x = x 0 + g 2 + t2 1 g. (521) A fenti képletek egyetlen gyorsuló tömegpontra vonatkoznak. Ebből gyorsuló megfigyelőt sokféleképpen csinálhatunk. Szokásosan a következő választással élnek: t = 1 g egξ sinh gτ (τ, ξ) (t, x), x = 1 (522) g egξ cosh gτ, 60

61 ezek a Rindler-koordináták. Ez a koordinátázás konform, azaz szögtartó. Az új bázisvektorok az eredeti rendszerből nézve e 0 µ = dr ( e gξ ) dτ = cosh gτ e gξ, e 1 µ = dr ( e gξ ) sinh gτ dξ = sinh gτ e gξ e 0 cosh gτ µe 1µ = 0, (523) azaz merőleges koordinátázás. A fenti paraméterezés a Minkowski térbeli polárkoordinátáknak felelnek meg. Most azonban nem fedik le a teljes téridőt, annak csupán a negyedében vannak értelmezve. Ennek ellenére ebben a negyedben teljes kvantumtérelméletet építhetünk fel. Azt kérdezzük, hogy ha egy Rindler-megfigyelőnk van, akkor milyen lesz a vákuumállapota az eredeti, Minkowski megfigyelő számára. Fizikailag kvalitatíve az történik, hogy a vákuumból rövid időre kölcsön lehet venni energiát, δt ideig δe = 1/δt energia vehető el. Ennyi idő alatt egy álló rendszer δv = δtg sebességre tesz szert, azaz a mozgási energiája 1 2 mδt2 g 2 lesz. Ha ez fedezni képes a kölcsönvett energiát, azaz E 3 = 1 2 mg2, akkor a részecske valódi lehet. Világos módon itt időfüggő esetről van szó, azaz a Bogoljubov-módszert használhatjuk. A tér, skalártér lévén, nem transzformálódik a gyorsulás hatására, azaz a Rindler megfigyelő által felírt skalártér a Minkowski tér átkoordinátázása. Most használjunk valós skalárteret az egyszerűség kedvéért. A Minkowski térben a mozgásegyenletek megoldása ˆΦ M (t, x) = Emiatt a Rindler megfigyelő téroperátora: dk 1 (a ) k e iωkt+ikx + a k 2π eiω kt ikx. (524) 2ωk ˆΦ g (τ, ξ) = ˆΦ M (t(τ, ξ), x(τ, ξ)). (525) A vákuum analíziséhez Fourier transzformációt végzünk dl ˆΦ g (τ, ξ) = 2π B l(τ)e ilξ, (526) azaz B l (τ) = dξ e ilξ dk 1 (a ) k e iωkt(τ,ξ)+ikx(τ,ξ) + a k 2π eiω kt(τ,ξ) ikx(τ,ξ). (527) 2ωk Az analízist m = 0 esetre végezzük, de a véges tömegű esetre is hasonló eredményeket kapunk. A k integrált bontsuk fel pozitív és negatív részekre. B l (τ) = dξ e ilξ 0 dk 1 (a k e ik(x t) + a k 2π e ik(x t) + a k e ik(x+t) + a k eik(x+t)). (528) 2k Ez a felírás megfelel balra futó e ik(x+t) és jobbra futó e ik(x t) síkhullámok szerinti kifejtésnek (fénykúp koordinátázás). Mivel x ± t = 1 g eg(ξ±τ), (529) ezért a jobbra illetve balra futó hullámok a Rindler rendszerben is megjelennek. Visszaírva B l (τ) = 0 dk 1 ] [G R,l (τ)a k + 2π ḠR,l(τ)a k + G L,l(τ)a k + ḠL,l(τ)a k, (530) 2k ahol az együtthatók kiszámíthatók a következő formula segítségével z = e gξ, ξ = 1 dξ e ilξ g ln z, e isegξ = z [0, ], = 1 dzz i l g 1 e isz = 1 l g g ( is)i g dz/(gz) = dξ 0 0 dvv i l g 1 e v Γ( il g ) = = 1 l il g ( is)i g Γ( g ) = 1 g e lπ 2g s i l il g Γ( ). (531) g 61

62 Amit kapunk G R,l (τ) = Ḡ R,l (τ) = G L,l (τ) = Ḡ L,l (τ) = dξ e ilξ e i k g eg(ξ τ) dξ e ilξ e i k g eg(ξ τ) dξ e ilξ e i k g eg(ξ+τ) Bevezethetünk új keltő- és eltüntető operátorokat d l = 0 = g i l g 1 e lπ 2g ilτ k i l g Γ( il g ), = g i l g 1 e lπ 2g ilτ k i l g Γ( il g ), = g i l g 1 e lπ 2g +ilτ k i l g Γ( il g ), dξ e ilξ e i k g eg(ξ+τ) = g i l g 1 e lπ 2g +ilτ k i l il g Γ( ). (532) g dk k i l g ak, h l = 2πkg 0 dk k i l g a k, (533) 2πkg ezekre [d l, d r] = 0 dk dq k i l g q i r g [ak, a 2πkg 2πqg q] = 1 g 0 0 dk k k i g (r l) = dz e i(r l)z = 2πδ(r l), (534) ahol bevezettük a gz = ln k változót. A d és h változók egymással kommutálnak, mert az egyik pozitív, a másik negatív impulzusokat használ. Ugyanakkor d és h vákuuma még mindig a Minkowski vákuum. Ezek után B l (τ) = g i l g 1 2 4π Vagyis a teljes kifejezés Rindler koordinátákban ahol ˆΦ g (τ, ξ) = dl 2π Γ( il [ ] g ) e lπ 2g ilτ d l + e lπ 2g ilτ d lπ l + e 2g +ilτ h l + e lπ 2g +ilτ h l. (535) [R l e lπ 2g dl e il(ξ τ) + R l e lπ 2g d l e il(ξ τ) + R l e lπ 2g hl e il(ξ+τ) + R l e lπ 2g h l e il(ξ+τ)] (536) R l = g i l g 1 2 4π Γ( il ). (537) g Érdekes megfigyelni, hogy megmaradt a síkhullám alak, azaz e il(ξ±t) marad az időfüggés: ez annak a következménye, hogy a koordináta-transzformáció ortogonális volt, azaz 2 t 2 2 x 2 2 τ 2 2 ξ 2, (538) így a megoldás továbbra is síkhullámok szerint kifejthető. Azonban a pozitív és negatív energiák összekeverednek, ami onnan is látszik, hogy a normálás nem 1/ 2l, mint a közönséges Minkowski esetben. A síkhullám kifejezés miatt azonban amikor ki akarjuk számolni α-t és β-t a (505) képletben, akkor a τ szerinti időderivált egyszerűen ±il-et ad. Amit kapunk a d l és d l együtthatóiból α l = 2le lπ 2g Rl, β l = 2le lπ 2g R l. (539) 62

63 Innen A Gamma-függvények speciális tulajdonságait felhasználva azaz β l 2 = l lπ il 2πg e g Γ( g )Γ( il ). (540) g Γ(1 + z) = zγ(z), Γ(z)Γ(1 z) = π sin πz β l 2 = l lπ 2πg e g π il ilπ g sin g = Γ(z)Γ( z) = π z sin πz, (541) 1 e 2πl g 1. (542) Mivel a fenti kifejezés a vákuumban található részecskék számát jelenti, a fenti képlet alapján azt kaptuk, hogy a gyorsuló rendszer vákuuma valójában úgy néz ki, mintha T U = g 2π hőmérsékletű fekete test lenne! Ez az Unruh effektus. A keltő és eltüntető operátorok viszonyát is lehet elemezni, ehhez l-ben is pozitív és negatív tengelyt kell választani. Bevezethetők a következő operátorok: (543) Innen b l = R l e lπ 2g dl + R l e lπ 2g h l, d l e lπ 2g bl e lπ 2g b l, A Minkowski vákuumot eltünteti d és h, ezért bl = R l e lπ 2g hl + R l e lπ 2g d l. (544) h l e lπ 2g bl e lπ 2g b l. (545) (b l e lπ 2g b l ) 0 M = 0, ( b l e lπ 2g b l ) 0 M = 0. (546) Innen a Minkowski vákuum rövid számolás után (l cikk az arxiv.org honlapon) 0 M = C i e πnili/g n i n i, C i = 1 e 2πli/g. (547) i n i Kiküszöbölve a n i állapotokat egy tisztán termikus alapállapotot kapunk. A gravitáció egyik alapelve (ekvivalencia-elv), hogy a gravitációs gyorsulás megkülönböztethetetlen az inerciális gyorsulástól. Emiatt amit itt elmondtunk alkalmazható gravitációs erőtérre is. A gravitációs tér tehát a sík vákuumhoz képest részecskékkel van teli, amit ki is sugároz. Mivel a gravitációs gyorsulás g = GM R 2 T U = 2πR2 GM. (548) A Földről ez a sugárzás rendkívül kicsi. Fekete lyukak esetén a gravitációs tér akkora, hogy az eseményhorizontról a fénysebesség kellene a szökési sebességhez. Nemrelativisztikus közelítéssel a szökési sebesség 1 2 mv2 = mmg R R = 2MG v 2 R hor = 2MG c 2 c=1 2M G. (549) Annak ellenére, hogy a nemrelativisztikus képlet teljesen alkalmatlan ennek a számítására, a képlet mégis helyes. A gravitációs tér az eseményhorizonton Emiatt a fekete lyuk hőmérséklete Ez a Hawking-sugárzás. g hor = 1 4GM = 1 2R. (550) T H = g 2π = 1 4πR. (551) 63

64 Az, hogy a fekete lyuk valójában egyben egy termodinamikai fekete test, a gyorsulás és a hőmérséklet pedig lényegében ugyanaz a fogalom, messzire vezető következtetéseket eredményez. Ha ugyanis a tömeget az energiával azonosítjuk, akkor a fenti reláció alapján A szabadenergia (β = 1/T jelöléssel az entrópia pedig T = 1 8πGM E = M = 1 8πGT. (552) E = βf β F = 1 16πGT. (553) S = F T = 1 16πGT 2 = πr2 G = A 4G, (554) ahol A a fekete lyuk horizontjának felülete. Ez a Bekenstein-Hawking entrópia képlete. A fekete lyuk fajhője negatív c = S/ T 1/T 3, ezért a fekete lyuk nem stabil képződmény, tömegét elsugározza. Ugyanakkor csillag méretű fekete lyukak sugárzás által gyakorlatilag nem tudnak eltűnni. 12 Parametrikus rezonancia Vizsgáljuk meg azt a Lagrange-függvényt, amely nem szabad részecskéket ír le, azaz nem kvadratikus, hanem a részecskék kölcsönhatását is tartalmazza. A legegyszerűbb ilyen választás a L = 1 2 Φ( 2 m 2 )Φ λ 24 Φ4 (555) Lagrange-függvénnyel leírható Φ 4 -modell. A modell igen gazdag jelenségkör leírására alkalmazható, mi most egy speciális részletre vegyunk kíváncsiak: indítsuk el a rendszert térben homogén koherens állapotából, és vizsgáljuk meg, mi történik vele az idő múlásával. Ehhez a mindig a legegyszerűbb közelítést, azaz az effektusokat még visszaadó legalacsonyabb rendű alak megtartását alkalmazzuk. Mint láttuk, a térben homogén koherens állapot egy Φ 0 klasszikus mezővel ekvivalens. Ekkor a kvantum mező a Φ = ϕ + Φ 0 felbontásból kapható. A kezdeti feltétel szerint tehát ϕ vákuumából indulunk. Feltételezhetjük, hogy a klasszikus háttér, mivel térfüggetlen módon indult, később is térfüggetlen marad. A hatásfüggvénybe visszaírva a háttér + fluktuácó alakot: S[Φ 0 + ϕ] = S[Φ 0 ] + ϕ δs δφ 0 + S[Φ 0, ϕ]. (556) Az első tag csak a klasszikus teret tartalmazza, ezért a fluktuáció szempontjából konstans. A második tag nulla lesz, ha Φ 0 a klasszikus mozgásegyenleteket teljesíti, azaz 0 = δs ( = 2 m 2 λ ) δφ 0 6 Φ2 0 Φ 0. (557) A fluktuációkra tehát csak a harmadik tag vonatkozik: L[Φ 0, ϕ] = 1 2 ϕ( 2 m 2 )ϕ λ 24 ϕ4 λ 24 [ (Φ0 + ϕ) 4 Φ 4 0 4ϕΦ 3 ] 0 = = 1 2 ϕ( 2 m 2 λ 2 Φ2 0)ϕ λ 6 Φ 0ϕ 3 λ 24 ϕ4. (558) Most mindenütt, ahol lehet, kvadratikus közelítést alkalmazunk. A Φ 0 mozgásegyenlete eszerint a fluktuációkra vonatkozó operátor egyenlet pedig Φ 0 = m 2 Φ 0 Φ 0 (t) = Φ 0 cos mt, (559) ( 2 + m 2 + λ 2 Φ2 0)ϕ = 0. (560) 64

65 A fluktuációkat a kezdeti időpontban felvett keltő-eltüntető operátorok segítségével fejezzük ki, azaz módusfüggvény kifejtést alkalmazunk (502) d 3 k ) ϕ(t, x) = (f (2π) 3 k (t)a k + fk(t)a k e ikx. (561) Az együtthatókra vonatkozó egyenletek: f k (t) + ( k 2 + m 2 + λ ) 2 Φ2 0(t) f k (t) = 0. (562) Beírva ide a Φ 0 konkrét alakját (559)-ból: ( ) f k (t) + k 2 + m 2 + λφ2 0 2 cos2 (mt) f k (t) = 0, (563) ami, felhasználva a cos 2mt = 2 cos 2 mt 1 azonosságot, írható úgy, mint ( ) f k (t) + k 2 + m 2 + λφ λφ2 0 4 cos(2mt) f k (t) = 0. (564) Ezek után a helyettesítéssel kapjuk a egyenletet. Ez a Mathieu-egyenlet Stabilitás analízis z = mt, M = 1 ( ) m 2 k 2 + m 2 + λφ2 0, 2q = λφ m 2 (565) f k (z) + (M + 2q cos(2z)) f k (z) = 0 (566) Nézzük meg röviden, mit is tudunk mondani egy ilyen jellegű egyenletről. Részeletesebb információt kaphatunk oldalon tesi.cab.unipd.it/47187/1/tesi_ilaria_panardo.pdf oldalon oldalon a google-ba beírva a matthieu equation floquet analysis szavakat. Az egyik legfontosabb gondolat Floquet nevéhez fűződik. Röviden az elv az, hogy ha a potenciál periodikus z z + π szerint, akkor a differenciálegyenletnek van egy nπ-vel való diszkrét eltolási invarianciája. Ez a diszkrét csoport ábrázolódik a megoldásokon, a sajátértékek jellemzik a megoldásokat. Részletesebben: tegyük fel, hogy f 1 és f 2 két lineárisan független megoldás, amelyeket a célszerűség kedvéért úgy inicializálunk, hogy Ekkor minden megoldás felírható mint f 1 (0) = 1, f 1(0) = 0, f 2 (0) = 0, f 2(0) = 1. (567) f(z) = c 1 f 1 (z) + c 2 f 2 (z). (568) Viszont a differenciálegyenlet ugyanúgy néz ki z + π-t berírva, azaz f(z + π) is megoldás, ami kifejthető többféle módon: f(z + π) = c 1 f 1 (z + π) + c 2 f 2 (z + π), f(z + π) = h 1 f 1 (z) + h 2 f 2 (z), f 1 (z + π) = A 1 f 1 (z) + A 2 f 2 (z), f 2 (z + π) = B 1 f 1 (z) + B 2 f 2 (z). (569) 65

66 Az utolsó két egyenlet z = 0-ban azt adja, felhasználva f 1,2 -re vonatkozó kezdeti feltételeket, hogy f 1 (π) = A 1, f 1(π) = A 2, f 2 (π) = B 1, f 2(π) = B 2. (570) A fenti egyenletek egymásba helyettesítve azt adják, hogy ( ) ( ) f1 (π) f 1(π) c1 f 2 (π) f 2(π) = c 2 ( h1 Keressünk olyan megoldást, amelyre h 1 = µc 1 és h 2 = µc 2 igaz. Ekkor h 2 ). (571) f(z + π) = µf(z) f(z + nπ) = µ n f(z), (572) és µ a fenti mátrix sajátértéke. A megoldás tehát stabil, ha µ = 1, lecseng, ha µ < 1, és felrobban, ha µ > 1. Felírva a sajátértékegyenletet 0 = f 1(π) µ f 1(π) f 2 (π) f 2(π) µ = µ2 µ(f 1 (π) + f 2(π)) + W (π), (573) ahol W (z) a mátrix determinánsa z időben: W (z) = f 1 (z)f 2(z) f 2 (z)f 1(z). (574) Megfigyelhetjük, hogy ha f + X(z)f = 0, ahol X(z) tetszőleges függvény, akkor emiatt W (z) = W (0) = 1. Emiatt a sajátértékegyenlet W (z) = f 1 (z)f 2 (z) f 2 (z)f 1 (z) = 0, (575) µ 2 2φµ + 1 = 0, ahol 2φ = f 1 (π) + f 2(π). (576) Bár φ értéke a konkrét megoldásoktól függ, azt elmondhatjuk általánosan, hogy két sajátérték lesz: µ 1 és µ 2. Ezekre igaz µ 1 µ 2 = 1, µ 1 + µ 2 = 2φ. (577) Írjuk a két sajátértéket exponenciális alakba µ 1,2 = e ν1,2π, (578) ekkor Tehát: ν 1 + ν 2 = 0, cosh ν 1 = φ. (579) φ < 1 esetben ν 1,2 tisztán képzetes, azaz µ 1 = e i ν1 π és µ 2 = µ 1. Ekkor µ 1,2 = 1 és a megoldás stabil. φ > 1 esetben ν 1 valós és ν 2 = ν 1. Emiatt µ 2 = 1/µ 1, és mindkettő valós: az egyik megoldás tehát lecseng, a másik exponenciálisan nő, azaz instabil megoldást kapunk. φ = 1 esetben ν 1 = ν 2 = 0 vagy ±i, azaz µ 1 = µ 2 = ±1. Ekkor a megoldás (572) alapján π-ben periodikus vagy antiperiodikus. Mivel a Mathieu-egyenletben az egyenlet folytonosan függ q-tól, így elvárható, hogy φ(q) is folytonos függvény legyen. Ez viszont azt jelenti, hogy a stabilitási és instabilitási tartományokat a π-ben periodikus megoldások választják el egymástól! Emiatt elegendő először a π-ben periodikus megoldásokat tárgyalni. Ezekre felírható egy Fourier-sor: f(z) = n= c 2n e 2inz, f(z) = 66 n= c 2n+1 e i(2n+1)z. (580)

67 Most csak az első esetet nézzük, a másodikra ugyanez elmondható. Beírjuk a Mathieu-egyenletbe, és felhasználjuk, hogy f (z) = n= 2q cos 2zf(z) = ( 4n 2 )c 2n e 2inz, n= vagyis a c együtthatók kielégítik a qc 2n (e 2i(n+1)z + e 2i(n 1)z) = n= q(c 2(n 1) + c 2(n+1) )e 2inz, (581) (M 4n 2 )c 2n + q(c 2(n 1) + c 2(n+1) ) = 0 (582) egyenletet, mégpedig úgy, hogy a megoldásul kapott függvények L 2 térben legyenek. Ez a szokásos sajátértékproblémáknak megfelelően bizonyos M(q) értékeknél teljesül csak. Numerikusan eljárhatunk úgy, hogy a fenti rekurziót egy véges n = N számnál befejezzük, és kiértékeljük a lehetséges sajátértékeket, majd N-t növeljük. Az eredményül kapott függvényeket z-ben való periodikusságuk illetve antiperiodikusságuk szerint nevezik el. Az f-ből kapott sajátvüggvényeket ce 2m (z, q) (elliptikus koszinusz) illetve se 2m (z, q) (elliptikus szinusz), az f-ből kapottakat pedig ce 2m+1 (z, q) illetve se 2m+1 (z, q) módon jelölik. Ezek, ahogy fent mondtuk, π szerint periodikusak illetve antiperiodikusak, és ce m (z, q = 0) = cos mz és se m (z, q = 0) = sin mz határesetek igazak rájuk. A megfelelő sajátértékek jelölése: ce m -hez a m és se m -hez b m sajátértékek tartoznak. A sajátértékek q-függése látható a 5 ábrán. Figure 5: A Mathieu-egyenlet π szerint (anti)periodikus megoldásaihoz tartozó sajátértékek, és a stabilitási tartományok. Forrás: A sajátértékek q = 0-nál M = a m = b m = 4m 2, ami leolvasható a (582) egyenletből, vagy közvetlenül a (566) Mathieu-egyenletből, amely ekkor a harmonikus oszcillátor egyenlete lesz. Az is látható innen, hogy a q = 0 vonal mindig stabil megoldásokat ad. Hozzávéve azt, hogy a π-ben periodikus megoldások a stabil és az instabil tartományokat választják el, kapjuk a 5 ábrán látható stabilitási tartományokat Részecskekeltés Ha stabil megoldásaink vannak, akkor ez megfelel valamilyen megváltozott diszperziós relációval rendelkező részecskének. Ha a β Bogoljubov-együttható nem is lesz nulla, hiszen ott az eredeti diszerpziós relációt használjuk, de β 2 korlátos marad, és periodikusan nullába tér vissza. Ilyenkor az eredeti vákuum közelítőleg vákuum marad továbbra is. Ha azonban instabil megoldásunk van, azaz f k (t) e νt, akkor β e νt és a részecskeszám exponenciálisan növekszik n k (t) = β k 2 e 2νt. A numerikus szimulációk szerint (l. [4]) kis q mellett a részecskeszám logaritmusa folytonosan nő, míg nagy q-k mellett időnként megugrik. 67