Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Mtemtik példtár 6 MAT6 modul Lineáris lgebr I SZÉKESFEHÉRVÁR 2010
Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vgy rzeinek másolás, felhsználás kizárólg szerző írásos engedélyével lehetséges Ez modul TÁMOP - 412-08/1/A-2009-0027 Tnnygfejlesztsel GEO-ért projekt keretében kzült A projektet Európi Unió Mgyr Állm 44 706 488 Ft összegben támogtt Lektor: Dr Pfeil Tmás Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szkmi vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr 2010
Trtlom 6 Lineáris lgebr I 1 61 Bevezet 1 62 Mátrixok 1 63 Determinánsok 3 631 Feldtok 5 64 Műveletek mátrixokkl 8 647 Mátrix determinánsrngj 14 648 Feldtok 15 65 Lineáris egyenletrendszerek 16 651 Lineáris egyenletrendszerek megoldás inverz mátrix segítségével 17 652 A Crmer szbály 20 653 A Crmer szbály lklmás inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásánál, mikor egyenletrendszer determináns null 22 654 Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldás Crmer szbály lklmásávl 24 66 Guss elimináció 25 661 Péld olyn lineáris egyenletrendszerre, melynek nincs megoldás: 28 662 Péld olyn lineáris egyenletrendszerre, melynek végtelen sok megoldás vn 28 663 Péld homogén lineáris egyenletrendszer megoldásár Guss eliminációvl 29 664 Feldtok 30 67 Tnácsok lineáris egyenletrendszerek megoldásához 33 68 Lineáris függetlenség 33 681 Feldtok 35 Megoldások 36 69 Mátrixok rngj 38 682 Feldtok 40 69 Összefogllás 42
6 fejezet - Lineáris lgebr I 61 Bevezet A htodik modul Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Mtemtik II tntárgyánk lineáris lgebr tnnyg lpján kzült A modul feldtgyűjtemény jellegűen, földmérő-földrendező nppli levelező tgoztos hllgtók lineáris lgebr tnnygát feldtok segítségével dolgozz fel Ezeknek feldtoknk egy rze más feldtgyűjteményekben is megtlálhtó, de olyn speciális feldtokt is közlünk, melyeket kron szerzett több éves okttói tpsztltink lpján megoldásr érdemesnek hsznosnk tláltunk Jvsoljuk, hogy ok érdeklődő hllgtók, kik még többet szeretnének gykorolni, hsználják irodlomjegyzékben felsorolt könyveket példtárkt is A modul először determinánsokkl, ok tuljdonságivl, széleskörű lklmási lehetőségeik bemuttásávl fogllkozik Mjd megismerkedünk mátrixok világávl, elsjátítjuk gykoroljuk mátrixritmetiki műveleteket Az célunk, hogy fejezet feldtink megoldását követően hllgtók olyn biztos látásmóddl, tudássl rendelkezzenek, melyet mjd könnyedén tudnk integrálni mérnöki tnulmányik során felmerülő szkmi problémák megoldásához Rzletesen tárgyljuk lineáris egyenletrendszerek megoldási módszereit, mely ismereteket következő modulbn még tovább bővítünk Definiáljuk lineárisn összefüggő független vektorokt Megmuttjuk, hogy lehet ezeknek foglmknk felhsználásávl szemléletesen áttekinteni megoldni lineáris egyenletrendszereket Bevezetjük mátrixok rngját Azokr kérdekre keressük djuk meg válszt, hogy milyen esetben lehet megoldni egy lineáris egyenletrendszert, hány megoldás lesz A modul jobb áttekinthetőség kedvéért rövid lfejezetekre tgolódik Minden fejezet elméleti összefogllóvl kezdődik Bármennyire fontos elméleti nygról is vn szó, terjedelemre vló tekintettel, törekednünk kellett tömörségre, ezért bizonyítások modulbn nem szerepelnek A levelező tgoztos hllgtókr távokttásbn rztvevőkre gondolv, minden lfejezet rzletesen kidolgozott mintfeldtokt trtlm Minden további megoldott feldtbn már kevbé rzletesen közöljük egyes lépeket, végül pedig olyn feldtok következnek, hol csk végeredményeket tlálunk A végső cél önálló feldtmegoldás, mely, h sikeres, egyúttl megszerzett tudás ellenőrzét is jelenti Szeretnénk, h mtemtik iránt érdeklődő olvsók is szívesen sikerélménnyel hsználnák feldtgyűjteményt Ezért nem célunk olyn nehéz feldtok kitűze, mely olyn speciális ötleteket igényel, mely nem várhtó el egy átlgos mtemtiki érzékkel rendelkező olvsótól Fő célunk gykorolttás, ismeretek mélyíte, nnk megmuttás, hogy egy-egy problémát több oldlról közelítve sok megoldási lehetőség közül válszthtunk Reméljük, hogy ez feldtgyűjtemény, mely hllgtóink kéreit, igényeit is figyelembe veszi, segíteni fogj őket bbn, hogy elsjátítsák új ismereteket, mjd sikeresen lklmzák ezeket kőbbiekben 62 Mátrixok Legyenek rendezett ; szám-n-esek két hlm Descrtes szorztát hlmon értelmezett vlós számok hlmáb képező dezett párhoz rendelt Mjd vló továbbikbn számolást, h Jelölje Mátrixoknk nevezzük függvények hlmát A függvény áltl ren- számot mátrix egy elemének nevezzük látni fogjuk, hogy elemeit tábláztb ngyon rendezzük megkönnyíti Kzítsük el mátrixokkl t
Mtemtik példtár 6 2010 elemet trtlmó, tégllp lkú tábláztot, hol jelöli sorok számát, jelöli oszlopok számát A tábláztot szokás szögletes vgy gömbölyű zárójelbe helyezni vgy Az első index mindig sorindex, második index pedig oszlopindex Tehát edik soráb edik oszlopáb elemet táblázt helyeztük A továbbikbn típusú mátrixok hlmát szimbólumml jelöljük Két mátrix kkor csk kkor egyenlő, h onos típusúk, megfelelő helyen álló értékekben is megegyeznek Az esetén, h, minden -re, hol Az olyn mátrixokt, melyek ugynnnyi sorból oszlopból állnk,, négyzetes vgy kvdrtikus mátrixnk nevezzük Az ilyen mátrix sorink (vgy oszlopink) számát négyzetes mátrix rendjének nevezzük Az olyn mátrixokt, melyeknek csk egy sor vn, sormátrixoknk, melynek csk egy oszlop vn, oszlopmátrixoknk nevezzük A fentiekben említettekkel összhngbn sormátrixokt, oszlopmátrixokt szimbólumml jelöljük Ezen mátrixok hlm rendezett szám-n-esek között kölcsönösen egyértelmű megfeleltet vn, ezért gykrn onos betűvel jelölünk egy sor vgy oszlopmátrixot, illetve egy -beli elemet, vgyis A továbbikbn szövegkörnyezetből egyértelműen kiderül, hogy fenti lehetőségek közül mire gondoltunk Megjegyezzük, hogy szokták sor, illetve oszlopmátrixokt sor, illetve oszlopvektoroknk is nevezni Ezeket félkövér betűkkel jelöljük: Nevezzük egységmátrixnk olyn négyzetes mátrixot, melynek főátlójábn ( bl felső srokból jobb lsó srokb húzott átló) csk egyesek állnk, összes többi eleme null A digonlmátrix olyn négyzetes mátrix, melyben főátlój kivételével minden elem null Zérusmátrixnk vgy nullmátrixnk nevezzük okt mátrixokt, melyeknek minden eleme null Termzetesen egységmátrix nullmátrix is digonlmátrix MAT6-2
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I Azt négyzetes mátrixot, melynek főátlójár vló tükörképe önmg ( minden elemére teljesül, hogy ) szimmetrikus mátrixnk nevezzük Azt négyzetes mátrixot, melynek minden elemére teljesül, hogy szimmetrikus mátrixnk nevezzük nti- 63 Determinánsok A determinánsok pontos definiálás olyn foglmk ismeretét követelné, melyek bevezetére itt nincs módunk (Multilineáris, vgy n-lineáris ntiszimmetrikus leképezek) Ezért, mi nálunk definícióként szerepel, precízebb tárgylás esetén vlójábn determináns kiszámításánk módj Az elemekből lkotott kifejez értékét -es mátrix determinánsánk nevezzük A determinánst úgy számoljuk ki, hogy főátlóbn ( bl felső srokból jobb lsó srokb muttó átló) lévő elemek szorztából kivonjuk mellékátlóbn lévő elemek szorztát: A hrmdrendű determináns definíció szerint: := A kifejez megjegyzét segíti Srrus szbály, mikor kár gondoltbn, mátrix mellé másoljuk első két oszlopot, főátlóvl egyező irányú vonlk mentén álló tgok szorzt pozitív előjellel, míg mellékátlóvl egyező irányú vonlk mentén álló tgok szorzt negtív előjellel szerepel kifejezben A determinánst megkphtjuk bármely sor vgy oszlop szerinti kifejtsel is Például első sor szerinti kifejtnél első sor elemeit kell szorozni dott elem soránk oszlopánk törlével keletkezett ldeterminánssl Az egyes szorztok előjele determináns kiszámításábn pozitív, h elem oszlop sorindexeinek összege páros, negtív, h ezek összege pártln Az előjelek skktáblszerűen váltkoznk, ezért ezt szokták skktáblszbálynk is nevezni: Nézzünk egy konkrét determináns meghtározását két módszer szerint: Fejtsük ki determinánst első sor szerint: Fejtsük ki determinánst második oszlop szerint: MAT6-3
Mtemtik példtár 6 2010 Láthtón könnyebb dolgunk vn, h egy determináns vlmelyik sor, vgy oszlop sok nullát trtlm Az n-ed rendű determináns meghtározás kifejti tétel segítségével történik: A kifejezben mátrix elemhez trtozó -ed rendű előjeles ldetermináns, melyet eredeti mátrixból úgy k- punk, hogy elhgyjuk i-edik sorát k-dik oszlopát, így kpott -edrendű mátrixból képzett determinánst megszorozzuk előjellel Az eljárást ddig folyttjuk, míg másodrendű determinánsokhoz nem jutunk Így determináns rekurzív definícióját dtuk meg A determinánsok meghtározás sokszor ngyon sok számolást igényel H nem áll módunkbn, vgy nem engedélyezett számítógép bevonás, kkor célszerű lábbi tételek szerint determináns egy sorát, vgy oszlopát úgy lkítni, hogy bbn lehető legtöbb nullát kpjuk, kinullázni determinánst A determinánsok elemi átlkítási: A determináns nem változik, h mátrix sorit oszlopit felcseréljük, elemeit főátlór tükrözzük A determináns (-1)-szeresére változik, h mátrix szomszédos sorát (vgy oszlopát) felcseréljük H mátrix két sor vgy két oszlop megegyezik, kkor determináns null H mátrix számml, vlmely sorát kkor vgy oszlopát megszorozzuk egy nullától determináns különböző is szorosár változik A determináns nem változik, h mátrix vlmely sorához, (vgy oszlopához) hozzádjuk másik sor (vgy oszlop) számszorosát Ezt tuljdonságot érdemes felhsználni, hogy determináns könnyebben számolhtóvá váljon Különösen mgsbb rendű determinánsok meghtározását segíti ez tuljdonság H mátrix vlmely sorábn, vgy oszlopábn csk null elemek tlálhtók, kkor determináns null H egy mátrix főátlój ltt vgy felett minden elem null, kkor determináns főátlóbn lévő elemek szorzt H két mátrix csk egy sorbn, (vgy oszlopbn) különbözik egymástól, kkor például Nézzük, hogy lábbi negyedrendű determinánst hogy htározhtjuk meg előbbiekben leírtk felhsználásávl: MAT6-4
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I A determináns első sorát hozzádjuk második sorhoz, kivonjuk negyedik sorból mjd első oszlop szerint kifejtjük = 631 Feldtok 1 Számoljuk ki lábbi determinánsokt: 1 Számoljuk ki lábbi determinánsokt: 1 Oldjuk meg következő egyenletet: MAT6-5
Mtemtik példtár 6 2010 1 Htározzuk meg értékét úgy, hogy determináns értéke null legyen: 1 Bizonyítsuk be, hogy 2 Htározzuk meg következő determinánsok deriváltját: b, i, Megoldások: 1 1 Az determináns értékének meghtározásához fejtsük ki determinánst első sor szerint: = A determináns értékének meghtározásához lklmzuk Srrus szbályt: MAT6-6
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I A determináns értékének meghtározásához lklmzuk Srrus szbályt:, tehát A determináns meghtározásághoz cseréljük meg első oszlopot hrmdik oszloppl Így determináns értéke (-1)-gyel szorzódik Ekkor egy nevezetes determinánst Vndermonde determinánst kptuk Az számokhoz trtozó Vndermonde-féle determináns: = Felhsználtuk, hogy h egy determináns két oszlop onos, kkor értékük null 1 A determinánst fejtsük ki első oszlop szerint: 1 2 A determináns első vl, vel, oszlopát szorozzuk másodikt hrmdikt pedig vel, osztunk is bc-vel: MAT6-7
Mtemtik példtár 6 2010 Emeljünk ki t, első t, sorból második sorból hrmdik sorból t, így bizonyítndó onosságot kpjuk 1 A determinánst kifejtjük, mjd így kpott kifejezt deriváljuk Mivel, így i 64 Műveletek mátrixokkl Mátrixok trnszponáltj H mátrix sorit felcseréljük oszlopivl, kkor mátrix trnszponáltjához jutunk Jele: H, kkor trnszponálás eredményeképpen egy mátrixot kpunk Az edrendű négyzetes mátrix típus nem változik művelet során Például: kkor kkor Mátrixok összedás, kivonás A ló mátrixok közötti összedás szorzás művelete hsonlón két onos típusú ( vlós mátrix kivonás), vlmint értékű függvényekhez A két mátrix számml vértelmezhető Legyen összegén t es MAT6-8
Csordásné Mrton Melind mátrixot Lineáris lgebr I értjük, melynek minden eleme megfelelő elemeinek re, -re összegzével,, vgy (vgy kivonásávl) állíthtó elő Tehát minden megfelelő Például: Az összedás kommuttív, sszocitív, teljesül, hogy Mátrix szorzás sklárrl Egy mátrix sklárrl nyez, vló melynek szoros, szorzás minden mátrix egy eredetivel onos típusú eleme eredeti mátrix minden elemét úgy kpjuk, hogy mátrixot eredméminden eleménének minden megfelelő re, -re Például: Mátrixok lineáris kombinációj A fenti két művelet segítségével definiálhtjuk mátrixok lineáris kombinációját is Legyenek onos típusú mátrixok, vlós számok Ekkor mátrixok lineáris kombinációj ltt mátrixot értjük Mátrix szorzás mátrixszl A fentek lpján t tekintenénk logikusnk, hogy két mátrix szorztát úgy értelmeznénk, mint onos értelmezi trtománnyl rendelkező, vlós értékű függvények szorztát A mátrixok mátrixműveletek szorosn kpcsolódnk többek között lineáris egyenletrendszerek lineáris leképezek elméletéhez Ezek megismerét követően válik nyilvánvlóvá, hogy mátrixok szorztát miért érdemes lábbi módon definiálni A mátrixok szorzásánk áltlános definícióját kzítsük elő két vektor skláris szorztánk felidézével Két dimenziós vektor skláris szorztán, vgy sklárszorztán értjük t vlós számot, melyet úgy kpunk, hogy MAT6-9
Mtemtik példtár 6 onos indexű 2010 koordinátáit összeszorozzuk, mjd kpott szorztokt összedjuk Jele: Látni fogjuk, hogy célszerű első tényezőt sor második tényezőt oszlopvektor formájábn felírni Tehát: A skláris szorzt segítségével definiálhtjuk két mátrix skláris szorztát bbn esetben, h első mátrix ( szorzáskor első tényező) oszlopink szám megegyezik második mátrix (szorzáskor második tényező) sorink számávl A mátrixszorzást csk ebben ez esetben értelmezzük Azokt mátrixokt, melyek egy meghtározott sorrendben összeszorozhtók konformábilisoknk nevezzük Még mielőtt rátérnénk szorzás definiciójár vegyük zre, hogy g szorzásbn szorzt szereplő esetleg típusú mátrixok különböző egy újbb típusú mátrix típusú típusúk, mátrix, ugynis szorzás megy egy mátrixszl egy típusú mátrixot eredményez Tehát, hogy ezt lábbi ábr is illusztrálj Vnnk olyn mátrixok, melyeket nem lehet összeszorozni A mátrixszorzás nem kommuttív Legyen egy típusú egy típusú mátrix, mátrix mátrix MAT6-10 oszlopink sorink számávl A szám két mátrix megegyezik szorztán t
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I típusú mátrixot értjük, melynek minden elemére teljesül lábbi egyenlőség: A definíció lpján könnyen igolhtó, hogy mátrixszorzás sszocitív, egyszerű ellenpéld megdás bizonyítj, hogy mátrixszorzás nem kommuttív A mátrixok szorzás disztributív, nem kommuttív, mindkét egyenlőséget fel kell, hogy írjuk Mivel mátrixszorzás H vl jelölt nullmátrix egymássl konformábilisk, kkor Itt válik világossá egységmátrix válsztásánk ok, ugynis h egymássl konformábilisk, onos méretűek, kkor A mátrixszorzás egyik érdekes tuljdonság, hogy lehetséges úgy, sem hogy sem pedig nem nullmátrix Ezt ért trtjuk érdekesnek, mert vlós számok körében ez nem így vn Péld: sem nullmátrix, de mátrixok egyike Értelmezzük kvdrtikus mátrixok nemnegtív egz kitevőjű htványit rekurzív módon, tehát,, MAT6-11
Mtemtik példtár 6 2010 esetén Előfordulht, hogy htványozás során nullmátrixtól különböző mátrix nullmátrixot eredményez H kkor mátrix nilpotens mátrix, legkisebb kitevő, melyre t htványozv nullmátrixot kpunk, nilpotenci fok A mátrixszorzás átláthtóbb elvégzét segíti ún Flk sém hsznált kkor: 1 ábr Az lsó sor egy ellenőrzi lehetőséget Flk oszlopösszeg próbát muttj A mátrix oszlopit összedjuk, eredményeket beírjuk lsó kékkel jelölt kiegzítő sorb Ezután szorzást elvégezzük ezzel kiegzítő sorrl is, mit mátrix lá írunk H számítás jó volt, kkor sor minden eleme megegyezik felette lévő szorztmátrix oszlopábn szereplő számok összegével Mátrix djungáltj Egy négyzetes mátrix djungált mátrixánk vgy röviden djungáltjánk nevezzük mátrixot, mátrix hol eleméhez trtozó előjeles ldetermináns Kiemeljük, hogy mátrix dik edik MAT6-12 soránk eleme mátrix
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I edik soránk dik eleméhez trtozó előjeles ldetermináns Vgyis Emlékeztetünk előjeles ldetermináns képzére: Igolhtó, hogy Péld: Htározzuk meg mátrix djungáltját! Inverz mátrix A mátrixok körében definiáltuk mátrixok összegét szorztát Felvetődik kérd, hogy vn-e lehetőség mátrixok körében reciprok műveletét bevezetni Pillntnyilg nem érthető, hogy miért lenne ez hsznos, de kőbbiekben kiderül, hogy h tudjuk mátrixszorzás inverz műveletét definiálni, kkor lineáris egyenletrendszerek megoldásánk elméletében ez ngyon hsznos eszközzé fog válni Regulárisnk nevezzük okt négyzetes mátrixokt, melyek determináns nem null Az inverz mátrix foglmát négyzetes, reguláris mátrixokr vezetjük be Legyen egy négyzetes, reguláris négyzetes mátrix, melyre Szorozzuk kkor mátrix H vn olyn mátrixegyenletet blról mátrixszl: MAT6-13
Mtemtik példtár 6 2010 Szorozzuk mátrixegyenletet jobbról mátrixszl: Mivel fenti két egyenlet bl oldl onos, ezért Definíció: egy H négyzetes, inverz reguláris mátrix, mátrixán t kkor mátrixot értjük, melyre Vezessük be következő jelölt: Az inverz összefügg mátrix reguláris, egyenletet könnyen megdhtó segítségével Mivel számml osztv melyből láthtó, hogy H egy négyzetes mátrix nem reguláris (, kkor nincs inverz mátrix Beláthtó, hogy 647 Mátrix determinánsrngj Az mátrix MAT6-14 determinánsrngj
Csordásné Mrton Melind h vn olyn Lineáris lgebr I -es ldetermináns, mi nem null, de bármely nél ngyobb rendű ldetermináns, már null 648 Feldtok 1 1 Htározz meg lábbi mátrixok Oldj meg lineáris kombinációját: mátrixegyenletet, hol 1 Végezze el kijelölt szorzásokt, mennyiben értelmezett! 1 Htározz meg mátrix hiányzó elemeit úgy, hogy 1 Oldj meg lábbi legyen: mátrixegyenletet úgy, hogy legyen, h ismeretlen mátrix: 1 Ellenőrizze, hogy helyesen dtuk-e meg lábbi mátrix inverzét: 1 Htározz meg lábbi mátrixok inverzét: MAT6-15
Mtemtik példtár 6 2010 1 Htározz meg lábbi mátrixok rngját: b i Megoldások: 1 mátrixok szorztánk meghtározás: 2 ábr 1 mátrix inverzének meghtározás: 1 ), b) c) d) 65 Lineáris egyenletrendszerek A egyenlet lineáris egyenletrendszer áltlános lkj ismeretlen esetén: MAT6-16
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I Az egyenletrendszerben szereplő együtthtók konstnsok vlós számok A lineáris egyenletrendszer megoldásán vlós számok olyn fenti egyenletek teljesülnek soroztát értjük, melyekre H egyenletrendszer jobb oldlán lévő konstns tgok mindegyike null, kkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk H e konstnsok között vn olyn, melyik nem null, kkor inhomogén lineáris egyenletrendszerrel tlálkoztunk A feldtunk, hogy keressük meg lineáris egyenletrendszerek megoldását Megoldhtóság szempontjából lehetséges, hogy lineáris egyenletrendszernek nincs megoldás, pontosn egy megoldás vn, vgy egynél több megoldás vn, mely jelen esetben végtelen sok megoldást jelent Ebben fejezetben okr kérdekre keressük válszt, hogy (1) mi feltétele egyenletrendszer megoldhtóságánk, (2) megoldhtóság esetén hány megoldás vn, (3) hogy kell egyenletrendszert megoldni, megoldásokt áttekinthető formábn közölni 651 Lineáris egyenletrendszerek megoldás inverz mátrix segítségével Tekintsük t speciális lineáris egyenletrendszert, melyben ugynnnyi egyenlet vn, mint ismeretlen: Képezzük mátrixot, egyenlet együtthtóiból ismeretleneket trtlmó dimenziós oszlopvektort, egyenletrendszer bl oldlán álló konstns elemekből ugyncsk dimenziós oszlopvektort: Az előzőekben ismertetett mátrixműveletek felhsználásávl lineáris egyenletrendszer fenti jelölek felhsználásávl mátrixegyenletként írhtó fel Ekkor megoldhtóság feltétele, hogy mátrix inverze létezzen, ez pedig kkor teljesül, h egyenletrendszer determináns nem null Szorozzuk mátrixegyenletet blról -gyel, ekkor MAT6-17
Mtemtik példtár 6 2010 egyenletet kpjuk Felhsználv, hogy mátrixegyenlet megoldás: Péld: Oldjuk meg következő egyenletrendszereket inverz mátrix felhsználásávl! 3 ábr Megoldások: Ellenőrz: 6511 Feldtok Oldjuk meg következő egyenletrendszereket inverz mátrix felhsználásávl! 1 2 3 4 MAT6-18
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I 5 Megoldások: 1 4 ábr Megoldások: Ellenőrz: 1 1 MAT6-19
Mtemtik példtár 6 2010 1 2 652 A Crmer szbály H, kkor vn A megoldás egyenletrendszernek pontosn egy megoldás, hol determinánst úgy kpjuk meg, hogy ben edik oszlop helyére jobb oldli konstnsokt, vektor koordinátáit írjuk, A mátrixszorzás szbályi szerint ugynis éppen mátrix első soránk vektornk szorzt: Például: Péld: Az MAT6-20 egyenletrendszer determináns:
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I Az első oszlop helyére beírtuk konstns tgokt A determináns második hrmdik oszlop változtln A második oszlop helyére beírtuk konstns tgokt A determináns első hrmdik oszlop változtln Az hrmdik oszlop helyére beírtuk konstns tgokt A determináns első második oszlop változtln 6521 Feldtok Oldjuk meg lábbi egyenletrendszereket Crmer szbály felhsználásávl: 1 2 3 Megoldások: 1 1 2 MAT6-21
Mtemtik példtár 6 2010 653 A Crmer szbály lklmás inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásánál, mikor egyenletrendszer determináns null H telen sok megoldás vn, kkor egyenletrendszer vgy nem oldhtó meg, vgy pedig vég- Péld: Oldjuk meg lábbi inhomogén lineáris egyenletrendszert Crmer szbály lklmásávl: Tekintsük egyenletrendszer determinánsát: Könnyen láthtó, hogy h első egyenlet háromszorosát hozzádjuk második egyenlethez, kkor hrmdik egyenletet kpjuk Ezeket összefüggeket egyenletrendszer determinánsánk vizsgált során vehetjük zre legegyszerűbben Hgyjuk el hrmdik egyenletet, mjd rendezzük egyenleteket úgy, hogy egyes egyenletek jobb oldlár kerüljön: Írjuk fel így kpott két egyenletből álló egyenletrendszer bl oldlán álló együtthtóiból képzett determinánst: determináns nem null, lklmhtjuk Crmer szbályt, de most konstnsvektort egyenletrendszer jobb oldlán álló kifejezsel helyettesítjük: Így Az egyenletrendszer áltlános megoldás: szbd ismeretlen Az egyenletrendszer egy speciális megoldását, mikor szbd ismeretlent nullánk válsztjuk bázismegoldásnk nevezzük: Az egyenletrendszer megoldásánk egyik gyors ellenőrzi módj bázismegoldás ellenőrze Az egyenletrendszer egy másik megoldását, mikor szbd ismeretlent tetszőlegesen megválszthtjuk, prtikuláris megoldásnk nevezzük: MAT6-22
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I Ellenőrizzük prtikuláris megoldást: 6531Feldtok b Megoldások:, mi ért nem meglepő, mert láthtó, hogy hrmdik egyenlet mínusz egyszerese első egyenletnek Hgyjuk el hrmdik egyenletet, vigyük át kifejezeket egyenletek jobb oldlár: H felírjuk így kpott két egyenletből álló egyenletrendszer determinánsát, kkor nullát kpunk: Ez nem meglepő, mert egyenlet bl oldlán álló kifejezekről láthtó, hogy második elsőnek kétszerese Mi ilyenkor teendő? Láthtó, hogy megoldás esetén második egyenlet kétszerese elsőnek, esetén pedig nincs megfelelő Áltlános megoldás:, hol kötött ismeretlen szbd ismeretlen kötött ismeretlen, MAT6-23
Mtemtik példtár 6 2010, szbd ismeretlen 654 Homogén lineáris egyenletrendszerek megoldás Crmer szbály lklmásávl H egy lineáris egyenletrendszer jobb oldlán álló konstns tgok mindegyike zérus, kkor homogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk Ezeknek egyenletrendszereknek mindig vn megoldás, úgynevezett triviális megoldás, mikor minden ismeretlent nullánk válsztunk A feldtunk éppen triviálistól különböző megoldások megtlálás Beláthtó, hogy h vn triviálistól különböző megoldás, kkor ez egyben t is jelenti, hogy végtelen sok megoldás vn egyenletrendszernek A homogén lineáris egyenletrendszernek kkor vn triviálistól különböző megoldás, h egyenletrendszer determináns zérus Ekkor egyenletrendszer triviálistól különböző megoldásit lábbi módon kpjuk: hol nullától különböző előjeles ldeterminánsok Péld: Oldjuk meg lábbi homogén lineáris egyenletrendszert Crmer szbály lklmásávl: Először htározzuk meg egyenletrendszer determinánsát:, tehát egyenletrendszernek vn triviálistól különböző megoldás Ezt következő összefügg segítségével htározhtjuk meg:, hol Ebből hol következik, hogy szbdon válszthtó, tehát egyenletrendszernek végtelen sok megoldás vn 6541 Feldtok 1 2 3 MAT6-24
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I Megoldások: 1 2 ezért egyenletrendszernek nincs triviálistól különböző megoldás 3 66 Guss elimináció Az eddigiekben olyn lineáris egyenletrendszereket oldottunk meg, melyekben ugynnnyi egyenlet vn, mint ismeretlen Az eddig ismertetett megoldási módszerek csk ilyen speciálisnk tekinthető esetekben voltk lklmhtók Ngyon fontos, hogy lineáris egyenletrendszerek áltlábn nem ugynnnyi egyenletből állnk, mint mennyi ismeretlent trtlmnk Tehát lineáris egyenletrendszer áltlános lkj egyenlet, ismeretlen esetén: Ilyen esetben lineáris egyenletrendszerek megoldását Guss elimináció segítségével dhtjuk meg Két lineáris egyenletrendszert ekvivlensnek nevezzük, h pontosn ugynok megoldási A Guss elimináció során egyenletrendszerrel olyn átlkításokt végzünk, melyek eredetivel ekvivlens egyenletrendszert eredményeznek Az átlkításoknk célj, hogy olyn lkb írjuk fel egyenletrendszereket, melyekből megoldás már könnyen megdhtó A lineáris egyenletrendszer elemi ekvivlens átlkítási: Szbd ez egyenletrendszerben szereplő egyenleteket nullától különböző vlós számml, sklárrl szorozni Szbd egyenletrendszer vlmelyik egyenletének sklárszorosát egy másik egyenlethez hozzádni Szbd egyenleteket felcserélni Azokt egyenleteket, melyekben vlmennyi együtthtó konstns tg is null, elhgyhtjuk A Guss elimináció megérte érdekében nézzük lábbi mintfeldtot: Az elemi ekvivlens átlkítások segítségével egyenletrendszerből egymás után kiküszöböljük ismeretleneket Először, h egyenletrendszer eleve nem úgy dott, egyenleteket úgy cseréljük egymássl, hogy első egyenlet együtthtój ne legyen null Ezt követően első egyenletet osztjuk lábbikbn rzletezett lépekkel minden további egyenletből kiküszöböljük -gyel, mjd -et: MAT6-25
Mtemtik példtár 6 2010 Ezzel átlkítássl egy olyn egyenletrendszerhez jutunk, melyben első egyenlet kivételével, egyik egyenlet sem trtlmz ismeretlent A továbbikbn csk második egyenlettől lefelé végzünk átlkításokt: Ezzel átlkítássl olyn egyenletrendszerhez jutunk, mely hrmdik negyedik egyenletből mellett ismeretlent is kiküszöbölte: Ezzel átlkítássl olyn egyenletrendszerhez jutunk, mely negyedik egyenletből kiküszöböli retlent: isme- Az ekvivlens átlkításokt követően egyenletrendszer megoldás: A kpott eredményt hrmdik egyenletbe helyettesítve: A kpott eredményt második egyenletbe helyettesítve:, A kpott eredményt első egyenletbe helyettesítve: MAT6-26
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I A jobb áttekinthetőség egyúttl gyorsbb megoldás érdekében szorítkozhtunk csupán egyenletrendszerben szereplő együtthtók állndók leírásár, hiszen zrevehetjük, hogy csk ezek változnk Az egyenletrendszer kibővített mátrix mátrix, melyet úgy kpunk, hogy együtthtómátrixot egy további oszloppl, egyenletrendszer jobb oldlán álló állndók oszlopávl bővítjük Láthtó, hogy egyenletrendszerrel végzett elemi átlkítások kibővített mátrix lábbi átlkításink felelnek meg: A mátrix vlmely sorát egy nullától különböző sklárrl szorozzuk Vlmelyik sorhoz egy másik sor számszorosát hozzádjuk Két sort felcserélünk A csk nullát trtlmó sorokt elhgyjuk A fenti egyenlet megoldás kibővített mátrix felhsználásávl így írhtó A ekvivlens átlkítást követően kpott mátrixot jelöli Ez termzetesen nem ugyn mátrix, de segítségével felírhtó egyenletrendszer ekvivlens őt megelőzővel: A kibővített mátrix segítségével végzett megoldásból világosn látszik eljárás Felülről lefelé történő átlkításokkl olyn mátrixhoz jutunk, melyben első sor kivételével minden sor nullávl kezdődik A következő lépben második sor második eleme nem null, de ttól lefelé minden második elem null lesz Az eljárás tovább finomíthtó Megoldhtjuk feldtot úgy is, hogy minden sorbn első nemnull elem mindig legyen egyes Nevezzük ezeket vezéregyeseknek A vezéregyesek ltti elemek nullák Ezt lkot nevezzük lépcsősoros lknk, rövidítve LA A mátrix negyedik sorából következik, hogy Az ismeretlent mátrix hrmdik soráb helyettesítve következik: A mátrix második sorából következik: A mátrix első soráb helyettesítve: Ezt követően lépcsősoros lkból vezéregyesek fölötti elemeket is kinullázhtjuk, így redukált lépcsősoros lkhoz jutunk Kétségkívül ebből lkból olvshtó le legkönnyebben megoldás, hogy ez lábbi példából is láthtó: MAT6-27
Mtemtik példtár 6 Redukált lépcsősoros lk: 2010 Megoldás redukált lépcsősoros lkból: Ugynkkor is prktikus tnács, hogy sokszor elég, kevesebb számolássl, lépcsősoros lkig eljutnunk, mert már bból is könnyen számíthtó megoldás 661 Péld olyn lineáris egyenletrendszerre, melynek nincs megoldás: Az egyenletrendszer kibővített mátrix, elemi átlkítási: Az egyenletrendszer nem oldhtó meg, mert hrmdik sorbn együtthtók nullák, de jobb oldlon lévő konstns tg nem null H megoldhtó lenne, t jelentené, hogy vn olyn vlós szám, melyet nullávl szorozv nem nullát kpunk eredményül, mi nyilván nem ig, mert Összefoglló néven kibővített mátrix ilyen sorit tilos soroknk nevezik A lineáris egyenletrendszer nem oldhtó meg, h tilos sort trtlm 662 Péld olyn lineáris egyenletrendszerre, melynek végtelen sok megoldás vn Oldjuk meg lábbi lineáris egyenletrendszert Elhgyjuk hrmdik negyedik sort Az eredetivel ekvivlens egyenletrendszer: MAT6-28
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I, Legyen szbd ismeretlen, kkor ezt helyettesítsük első egyen- letbe: Az egyenletrendszer áltlános megoldás:, hol, tehát egyenlet-rendszernek végtelen sok megoldás vn Az egyenletrendszer bázismegoldását kpjuk, h szbd ismeretleneket nullánk válsztjuk: H szbd ismeretleneket tetszőlegesen válsztjuk, kkor egyenletrendszer prtikuláris megoldását kpjuk: 663 Péld homogén lineáris egyenletrendszer megoldásár Guss eliminációvl A homogén lineáris egyenletrendszereknek mindig vn megoldás Ugynis, h minden ismeretlent nullánk válsztjuk, kkor egyenletrendszer triviális megoldását kpjuk A feldt egyenletrendszer triviálistól különböző megoldásánk megtlálás Erre muttunk most példát: Az egyenletrendszer együtthtómátrix ugyn, mint előző feldtbn A konstnsok nullák, tehát egyenletrendszer homogén A fenti elimináció ennek feldtnk megoldásár ugynúgy lklms, viszont utolsó oszlopot felesleges szerepeltetni, mert ok elemi átlkításokt követően végig nullák mrdnánk: A felírhtó ekvivlens egyenletrendszer: Legyen szbd ismeretlen, kkor Ezt helyettesítsük első egyenletbe: Az egyenletrendszer áltlános megoldás:, hol, tehát egyenletrendszer- nek végtelen sok megoldás vn MAT6-29
Mtemtik példtár 6 2010 A bázismegoldás itt triviális megoldást dj Az egyenletrendszer egy prtikuláris megoldását kpjuk, h szbd ismeretleneket tetsz szerint válsztjuk: 664 Feldtok Oldjuk meg Guss eliminációvl lábbi lineáris egyenletrendszereket! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MAT6-30
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I 10 11 12 13Válsszuk meg prmétert úgy, hogy egyenletrendszernek ne legyen megoldás, b pontosn egy megoldás legyen, i egynél több megoldás legyen Megoldások: 1, MAT6-31
Mtemtik példtár 6 2010 1 Áltlános megoldás: kötött ismeretlenek szbd ismeretlenek, 1 Az egyenletrendszer kibővített átlkított mátrixánk utolsó sor tiltott sor, tehát egyenletrendszernek nincs megoldás 1 2 Áltlános megoldás: lenek szbd ismeretlen, kötött ismeret- 3 Az egyenletrendszernek nincs megoldás 4 5 6 7 8 Áltlános megoldás: retlenek szbd ismeretlen, kötött isme- Áltlános megoldás: lenek szbd ismeretlen, kötött ismeret- Áltlános megoldás: szbd ismeretlenek, kötött ismeretlenek 9 Áltlános megoldás: szbd ismeretlenek, kötött ismeretle- nek 10 ) b) nincs ilyen prméter, MAT6-32
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I c) 67 Tnácsok lineáris egyenletrendszerek megoldásához Eddig lineáris egyenletrendszerek megoldásához ismertettük inverz mátrix felhsználásávl történő megoldást, Crmer szbályt Guss eliminációt A megoldási lehetőségek szám még bővül továbbikbn Felvetődik kérd, hogy melyik módszert válsszm? A kérd pontosítás onbn lenne, hogy melyik módszert válszthtom Azt mondhtjuk, hogy Guss eliminációvl minden eddig felsorolt péld megoldhtó A számolási lgoritmus biztos könnyen elsjátíthtó A Guss elimináció Crmer szbályhoz képest lényegesen kevesebb lépszámú A megoldás onbn ngy figyelmet igényel Ügyeljünk rr, hogy ne számoljuk el feldtot, mert kár első lépekben is hibázhtunk, örökölt hib feldt hibás megoldását eredményezheti Termzetesen, hogy milyen megoldást válsztunk, függ egyenletrendszer ngyságától Két egyenlet, két ismeretlen esetén fenti elméleti meglpozás felesleges, kézzel pedig szinte soh nem számolunk négy-öt egyenletből álló egyenletrendszernél ngyobbt A mérnöki problémák megoldáskor felmerülő ngyobb egyenletrendszerek megoldás gépi úton történik Felhívjuk figyelmet rr, hogy egyenletrendszer megoldhtóság vgy megoldások szám nem függ sem egyenletek számától, sem pedig ismeretlenek számától Felejtsük el okt régi emlékeket, hogy középiskolás korunkbn, ritk kivételektől eltekintve, olyn egyenletrendszerekkel tlálkoztunk, melyekben ugynnnyi egyenlet volt, mint ismeretlen A mérnöki gykorltbn felvetődő feldtok, problémák ngy többsége nem ilyen A tnkönyvekben, gykorltokon sokszor feldtkzítők tudtosn kiegzítik már dott lineáris egyenletrendszert olyn egyenletekkel, melyek összefüggnek többiekkel, bár ez összefügg rejtve mrd, csk kibővített mátrix elemi átlkításit követően válik nyilvánvlóvá Ugynkkor ngyon könnyű olyn egyenletrendszereket is felírni, melyekben bl oldl együtthtói megegyeznek, jobb oldlk pedig különböznek, így egyenletrendszer nem lesz megoldhtó Ne felejtsük el, hogy homogén lineáris egyenletrendszereknek mindig vn triviális megoldás, beláthtó, hogy h ismeretlenek szám több, mint egyenletek szám, kkor mindig lesz egyenletrendszernek triviálistól különböző megoldás is 68 Lineáris függetlenség Az egy oszlopból álló mátrixokt oszlopvektoroknk nevezzük Egy ilyen oszlopvektor egyes elemeit vektor koordinátáink hívjuk Ezek koordináták mi tárgylásunkbn mindig vlós számok, ezért, ezen vektorok összességét -nel jelöljük Ezeket oszlopvektorokt félkövér betűkkel jelöljük: Ezeknek oszlopvektoroknk körében minden eddig definiált mátrixművelet elvégezhető Az oszlopvektoroknk felhsználásávl egy lineáris egyenletrendszer lábbi lkb írhtó fel: MAT6-33
Mtemtik példtár 6 2010 Az vektorok lineárisn összefüggők, h vnnk olyn nem mind nullák, sklárok, melyek vektorok lineárisn függetlenek, h Az den csk kkor teljesül, mikor min- Az Az vektorokt szokás vektorrendszernek is nevezni, hol rendszer kifejez rr utl, hogy ugyn vektor többször is előfordulht felsorolásbn Egy dott vektorrendszer vgy lineárisn összefüggő vgy lineárisn független, tehát két állítás közül pontosn egy teljesül Beláthtó, hogy h egy vektorrendszer lineárisn összefüggő, kkor vn közöttük olyn vektor, mely kifejezhető többi vektor lineáris kombinációjként Péld lineárisn összefüggő vektorrendszerre: lineárisn összefüggőek, mert Tehát Tekintsük független, mert:, vektorrendszert Ez lineárisn homogén lineáris egyenlet-rendszernek csk triviális megoldás vn,, mert egyenletrendszer együtthtóiból képzett együtthtómátrix determináns nem zérus A Guss eliminációvl történő megoldás ugynezt eredményt dná: Vektorok lineáris függetlenségének vgy összefüggének eldönte visszvezethető egy vektorrendszer segítségével felírt homogén lineáris egyenletrendszer megoldhtóságánk kérdére H egyenletrendszernek csk triviális megoldás vn, kkor vektorrendszer lineárisn független, h vn triviálistól különböző megoldás is, kkor vektorrendszer lineárisn összefüggő Ránézre szinte lehetetlen egy vektorrendszer függetlenségéről nyiltkozni, de beláthtó hogy: kárhogy válsztunk -ben nél több vektort, ezek lineárisn összefüggőek lesznek, h egy leglább kételemű lineárisn független rendszerből bárhogy elhgyunk egy tetszőleges vektort, mrdék rendszer továbbr is lineárisn független mrd, h egy lineárisn összefüggő rendszerhez egy tetszőleges vektort hozzáveszünk, rendszer továbbr is lineárisn összefüggő mrd, MAT6-34
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I h egy vektorrendszer trtlmz nullvektort, kkor lineárisn összefüggő 681 Feldtok 1 Állpíts meg, hogy megdott vektorrendszerek lineárisn függetlenek-e vgy sem! b c d e f g 2 Legyenek vektorok lineárisn függetlenek Állpíts meg kombinációiként megdott vektorok lábbi lineáris vektorokról, hogy lineárisn függőek-e vgy sem! b c d e 3 Htározzuk meg, hogy MAT6-35
Mtemtik példtár 6 vektort 2010 vektorok milyen lineáris kombinációj állítj elő, h: b c 4 Írjuk fel lábbi lineáris egyenletrendszereket vektorok lineáris kombinációjként Állpítsuk meg kpott vektorrendszerről, hogy lineárisn összefüggőek vgy függetlenek Oldjuk meg egyenletrendszert! b Megoldások 1 ) Oldjuk meg egyenletrendszert: A homogén lineáris egyenletrendszer megoldását Guss eliminációvl végezzük Adjuk hozzá első sor kétszeresét második sorhoz, mjd második sor hrmdát vonjuk ki hrmdik sorból: A megoldás: szbd ismeretlen; kötött ismeretlenek Tehát válsztás esetén Másik lehetőség, mivel feldt csk lineáris összefüggt, illetve függetlenséget kérdezi, hogy felírjuk egyenletrendszer determinánsát: MAT6-36, tehát egyenletrendszernek vn triviálistól különböző
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I megoldás, vektorrendszer lineárisn összefüggő Nem tudjuk megmondni vektorok közötti összefüggt, de ebben feldtbn ez nem is volt kérd Lineárisn függetlenek i Lineárisn függetlenek Lineárisn összefüggők b Lineárisn függetlenek c Lineárisn függetlenek d Lineárisn összefüggők 1 Tegyük fel, hogy ekkor Mivel lineárisn független vektorok, ezért torok lineárisn független rendszert lkotnk, tehát A vek- Lineárisn összefüggőek i Lineárisn függetlenek Lineárisn összefüggőek b Lineárisn összefügg5őek 1 Htározzuk vektort meg, hogy vektorok milyen lineáris kombinációj állítj elő, h Tegyük fel, hogy Az egyenletrendszer megoldás: Tehát Végtelen sok megoldás vn i Az vektor nem állíthtó elő megdott vektorok lineáris kombinációjként MAT6-37
Mtemtik példtár 6 2010 1 Az lineáris egyenletrendszer lkb írhtó, hol Könnyen láthtó, hogy (Az egyenletrendszerek így történő megoldását ngyon megnehezíti, hogy egyenletrendszerek többségében oszlopvektorok közötti összefüggek nem láthtók ilyen világosn, de hmrosn muttunk egy olyn módszert, mely rejtett összefüggek felismerét, rövid számolást követően, sokkl átláthtóbbá fogj tenni) Ezeket összefüggeket egyenletbe helyettesítve kpjuk: A fenti egyenletet nullár rendezve:, melyből következik, hogy Kötött ismeretlenek: Szbd ismeretlenek: Az oszlopvektorok közötti összefüggek:, melynek felhsználásávl kpjuk, hogy Így egyenletrendszer megoldás:, hol szbd ismeretlenek kötött ismeretle- nek 69 Mátrixok rngj A mátrixokr háromféle rngfoglmt definiálhtunk Kettőt lineáris függetlenség, egyet determinánsok segítségével Tekintsük drb MAT6-38 mátrixot Ennek oszlopvektor mátrixnk
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I drb sorvektor vn Az oszloprngj mátrix h oszlopvektori lineárisn között tlálhtó független, de nél több lineárisn független oszlopvektor már nem Az sorrngj mátrix h sorvektori lineárisn között tlálhtó független, de nél több lineárisn független sorvektor már nem Az determinánsrngj mátrix h vn olyn -es ldetermináns, mi nem null, de bármely nél ngyobb rendű ldetermináns, h vn olyn, már null Beláthtó, hogy három meghtározás egymássl ekvivlens Beláthtó, hogy mátrix rngj egyenlő Guss elimináció során kpott redukált lépcsősoros lkbn (rövidítve RLA) vezéregyesek számávl Éppen ezért RLA lk ismeretében könnyen meghtározhtjuk mátrix rngját A mátrix rngfoglmánk ismeretében lineáris egyenletrendszerek megoldhtóságár lábbi tételt mondhtjuk ki: Az egyenletrendszer kkor csk kkor oldhtó meg, h, együtthtómátrix rngj megegyezik kibővített mátrix rngjávl Megoldás esetén megoldás kkor csk kkor egyértelmű, h ez közös rng megegyezik ismeretlenek számávl Péld: 1 Htározzuk meg lábbi mátrix rngját: A megoldáshoz hsználjuk determinánsrng definíciót Mivel mátrix rngj MAT6-39
Mtemtik példtár 6 1 2010 Mutssuk meg elemi átlkításokkl, hogy, h A feldt megoldásához hsználjuk sorrng definíciót Először lkítsuk át mátrixot: Mivel mátrix négy sor közül hrmdik negyedik sor null, mátrix sorvektori közül első kettő lineárisn független rendszert lkot, tehát mátrix rngj kettő A mátrix rngját htározzuk meg úgy is, hogy mátrixot RLA bn djuk meg: Mivel vezéregyesek szám kettő, ezért 682 Feldtok 1 Htározzuk meg lábbi mátrixok rngját: b c 2 Alkítsuk át RLA mátrixszá MAT6-40 mátrixot, mjd állpítsuk meg rngját!
Csordásné Mrton Melind 3 Htározzuk Lineáris lgebr I meg, hogy függ értékének megválsztásától lábbi mátrix rngj: Megoldások: 1 ) A feldt megoldásához hsználjuk determinánsrngot: A mátrixból képzett minden másodrendű ldetermináns is null, ezért A mátrix rngj Megjegyezzük, hogy csk nnk mátrixnk null rngj, melynek minden eleme null Képezzük másodrendű ldeterminánst Mivel ez nem null, A feldt megoldását eliminációs módszerrel jvsoljuk: i A feldt megoldását eliminációs módszerrel jvsoljuk: 1 2 MAT6-41
Mtemtik példtár 6 H 2010, kkor mátrix rngj kettő H kkor mátrix rngj három 69 Összefogllás 1 Mennyi értéke? hrmdrendű determináns előleles ldeterminánsánk 0, b -5, i 5, 1, b -1 2 Képezhető-e két determináns összege: igen, bármely két determináns összege képezhető, b sohsem, i igen, de csk kkor, h két determináns onos rendű, igen, de előző feltétel mellett más feltételnek is teljesülnie kell 3 Mikor változik meg nem zérus determináns értéke: h sorit oszlopit felcseréljük b h vlmely soránk konstns szorosát egy másik sorához hozzádjuk, i h egy oszlopánk elemeit rendre kivonjuk egy másik oszlopánk elemeiből, h egyik soránk elemeit rendre megszorozzuk egy 1-től különböző számml 4 Milyen mennyiséget d szorzt: egy elemű mátrixot, b egynél több elemű mátrixot, i nem végezhető el szorzás 5 Elvégezhető-e mátrixokkl összedás szorzás: egyik művelet sem végezhető el, b szorzás igen, de összedás nem, MAT6-42
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I i összedás igen, de megdott szorzás nem, mindegyik művelet elvégezhető 6 Egy mátrix inverzének létezéhez lábbi feltételek közül melyik nem szükséges: b mátrix kvdrtikus, mátrix reguláris, i legyen zérustól különböző eleme leglább 3x3-s mátrixnk kell lenni 7 Legyen egy 2x3-s mátrix, 3x3-s egységmártix, szorztuk Mely állítások igk szorztokr vontkozón:, b i csk szorzt képezhető szorztok nem képezhetőek 8 Mennyi megdott mátrix rngj: 1, b 0, i 2, 3 1 Melyik állítás hmis lábbik közül: 2x2-es mátrixnk nem képezhető djungáltj, b mátrixszorzás kommuttív, i homogén lineáris egyenletrendszereknek mindig végtelen sok megoldás vn 2 Döntse el lábbi állításokról, hogy melyek igk, melyek hmisk! Legyen H, kkor invertálhtó MAT6-43
Mtemtik példtár 6 2010 b Legyen invertálhtó, kkor i b H invertálhtó, kkor H H egyenletrendszernek pontosn egy megoldás vn invertálhtók, kkor létezik Az esetén, kkor létezik 3 Döntse el lábbi állításokról, hogy melyek igk, melyek hmisk! b i b c H kkor H kkor H H H kkor kkor, kkor nincs olyn hrmdrendű ldetermináns, mi nullávl egyenlő H nk vn olyn hrmdrendű ldetermináns, mi nullávl egyenlő, kkor d H nk vn olyn hrmdrendű ldetermináns, mi nullávl egyenlő, kkor Az ellenőrző kérdek megoldási: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 b d b b d c bd 1 ig b ig i ig hmis b ig c ig 11 hmis MAT6-44
Csordásné Mrton Melind Lineáris lgebr I b ig i ig ig b hmis c hmis d ig Irodlomjegyzék Bánhegyesiné Topor Gizell - Bánhegyesi Zoltán: Az informtik mtemtiki lpji, Műszki Könyvkidó, Budpest, 2000 Csernyák László: Operációkuttás II, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 2000 Ernyes Év, Ml József, Orosz Ágot, Rcsmány Ann, Szkál Szilvi: Mtemtiki lpok, AULA, Budpest, 2007 Fgyjev D K - Szominszkij I Sz: Felsőfokú lgebri feldtok, Műszki Könyvkidó, Budpest, 1973 Flnign Frncis J - L Kdn Jerry L: Clculus II Liner nd Nonliner Function, Spinger-Verlg, 1900 Freud Róbert: Lineáris lgebr, ELTE Eötvös Kidó, Budpest, 2007 Gntmcher F R: The theory of Mtrices I, AMS, Chelse, Rhode Islnd, 1998 Gáspár László: Lineáris lgebr példtár, Tnkönyvkidó, Budpest, 1971 Gelfnd I M: Elődások lineáris lgebrából, Akdémii kidó, Budpest, 1955 Horváth Péter: Feleletválsztásos feldtok mtemtik gykorltokhoz, Főiskoli Kidó, Dunújváros, 2006 Kirchner István: Bevezet lineáris lgebráb, Főiskoli Kidó, Dunújváros, 2003 Korpás Attiláné: Áltlános sttisztik I II, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 1996 Molnár Máténé - Tóth Mártonné: Áltlános sttisztik példtár I II, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 2001 Shrnitzky Viktor: Műszki Könyvkidó, Budpest, 2000 Szelezsán János,Veres Ferenc,Mrosvásáry Erik: Mtemtik 3, SZÁMALK Kidó, Budpest, 2001 Tóth Irén: Operációkuttás I, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 1999 MAT6-45