Statisztika I. 2. előadás: Statisztikai táblák elemzése. Kóczy Á. László. Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem

Statisztika I 2 előadás: Statisztikai táblák elemzése Kóczy Á László koczylaszlo@kgkuni-obudahu Keleti Károly Gazdasági Kar Vállalkozásmenedzsment Intézet Óbudai Egyetem

Eddig statisztikai alapfogalmak sokaság, egyed, ismérv Mérés, adatgyűjtés Adatok rendszerezése gyakorisági sorok Adatok jellemzése helyzetmutatók, ábrázolás

A statisztikai tábla Statisztikai tábla Statisztikai sorok összefüggő rendszere Megnevezés 1989 1991 1993 Vállalkozások száma 886 5111 10953 Összes jegyzett tőke (Mrd Ft) 643 2703 7251 Ebből külföldi részesedés 155 1237 4117

A statisztikai tábla Statisztikai tábla Statisztikai sorok összefüggő rendszere Fejrovatok 886 5111 10953 Oldalrovatok 643 2703 7251 155 1237 4117

A táblázatok fajtái Egyszerű tábla Csoportosítás nélküli adatsorok összefüggő rendszere Csoportosító tábla 1 ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok Kombinációs v kontingenciatábla Több ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok Megnevezés 1989 1991 1993 Vállalkozások száma 886 5111 10953 Összes jegyzett tőke (Mrd Ft) 643 2703 7251 Ebből külföldi részesedés 155 1237 4117

A táblázatok fajtái Egyszerű tábla Csoportosítás nélküli adatsorok összefüggő rendszere Csoportosító tábla 1 ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok Kombinációs v kontingenciatábla Több ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok Korcsoport Népességszám (E fő) (év) 1980 1990 1995 0 24 3806 3575 3490 25 59 5074 4840 4770 60 1830 1960 1985 Összesen 10710 10375 10245

A táblázatok fajtái Egyszerű tábla Csoportosítás nélküli adatsorok összefüggő rendszere Csoportosító tábla 1 ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok Kombinációs v kontingenciatábla Több ismérv szerinti csoportosítást tartalmazó adatsorok Komfortosság Bp Városok Községek Összesen Komfortos 673 1259 780 2712 Félkomfortos 40 88 159 287 Komfort nélküli 63 193 433 689 Összesen 776 1540 1372 3688

Egyszerű táblák elemzése Intenzitási viszonyszám Két különböző fajta statisztikai adat hányadosa (sűrűség-, ellátottsági-, átlagjellegű mutatók, arányszámok)

Egyszerű táblák elemzése Intenzitási viszonyszám Két különböző fajta statisztikai adat hányadosa (sűrűség-, ellátottsági-, átlagjellegű mutatók, arányszámok) egyenes fordított

Egyszerű táblák elemzése Intenzitási viszonyszám Két különböző fajta statisztikai adat hányadosa (sűrűség-, ellátottsági-, átlagjellegű mutatók, arányszámok) egyenes nyers fordított tisztított

Egyszerű táblák elemzése Intenzitási viszonyszám Két különböző fajta statisztikai adat hányadosa (sűrűség-, ellátottsági-, átlagjellegű mutatók, arányszámok) egyenes nyers fordított tisztított Dinamikus viszonyszám Ugyanazon statisztikai adat két időpontban felvett értékének hányadosa

Fejlődési trendek Láncviszonyszám Egymást követő periódusok statisztikai adatainak hányadosa Bázisviszonyszám Tárgy- és bázisperiódus statisztikai adatainak hányadosa (bővebben: ld 22 fejezet)

Egyszerű táblák példa Megnevezés 1980 1990 1980=100% A Népesség (E fő) A 10705 A 0 10278 A 1 96 1 Orvosok sz (fő) B 30842 B 0 41397 B 1 134 Háziorvosok sz (fő) b 5092 b 0 6381 b 1 125 10000 lakosra jutó orvos 1 orvosra jutó lakos 1 háziorvosra jutó lakos Háziorvosok aránya B A 29 A B 347 A b 2102 b B 17 B 0 A 0 40 A 0 B 0 248 A 0 b 0 1611 b 0 B 0 15 B 1 A 1 140 A 1 B 1 72 A 1 b 1 77 b 1 B 1 93 A 0 B 1 B 0 b 1 b 0 B 1 : B 0 A 1 A 0 A 1 : A 0 B 1 B 0 A 1 : A 0 b 1 b 0 b 1 : b 0 B 1 B 0

Csoportosító táblák Részsokaságok A j B j V j = A j B j C 1 A 1 B 1 V 1 = A 1 B 1 C j A j B j V j = A j B j C M A M B M V M = A M B M Fősokaság M j=1 A M j j=1 B j=1 j V = A j j=1 B j Rész- (V j ) és összetett (V ) viszonyszámok V j = A j j=1 illetve V = A j B M j j=1 B j = j=1 B jv j j=1 B j = j=1 A j j=1 A j V j

Csoportosító táblák Példa Részsokaságok Népesség Lakások Fő 100 lakás Budapest A 1 B 1 V 1 = A 1 B 1 A többi város A j B j V j = A j B j Községek A M B M V M = A M B M Összesen M j=1 A M j j=1 B j=1 j V = A j j=1 B j Rész- (V j ) és összetett (V ) viszonyszámok V j = A j j=1 illetve V = A j B M j j=1 B j = j=1 B jv j j=1 B j = j=1 A j j=1 A j V j

Csoportosító táblák Példa Részsokaságok Népesség Lakások Fő Lakás Budapest 1995,7 810 V 1 = A 1 B 1 A többi város 4561,9 1692 V j = A j B j Községek 3719,4 1453 V M = A M Összesen 10277,0 3955 V = Rész- (V j ) és összetett (V ) viszonyszámok B M M j=1 A j j=1 B j V j = A j j=1 illetve V = A j B M j j=1 B j = j=1 B jv j j=1 B j = j=1 A j j=1 A j V j

Csoportosító táblák Példa Részsokaságok Népesség Lakások Fő 100 lakás Budapest 1995,7 810 2,46 A többi város 4561,9 1692 2,70 Községek 3719,4 1453 2,56 Összesen 10277,0 3955 2,60 Rész- (V j ) és összetett (V ) viszonyszámok V j = A j j=1 illetve V = A j B M j j=1 B j = j=1 B jv j j=1 B j = j=1 A j j=1 A j V j

Szerkezet- és dinamikai változás vizsgálata Lakások szobaszám szerinti megoszlása Szobák 1980 1994 változás B száma B j A j Bj A j j Aj V j = A j B j 1 973 27 644 16 66,2% 2 1720 49 1710 43 99,4% 3 és több 849 24 1601 41 188,6% Összesen 3542 100 3955 100 111,7%

Szerkezet- és dinamikai változás vizsgálata Lakások szobaszám szerinti megoszlása Szobák 1980 1994 változás B száma B j A j Bj A j j Aj V j = A j B j 1 973 27 644 16 66,2% 2 1720 49 1710 43 99,4% 3 és több 849 24 1601 41 188,6% Összesen 3542 100 3955 100 111,7% 2 2 1 1 3+ 3+

Szerkezet- és dinamikai változás vizsgálata A részsokaságok nagyságának eltérő mértékű változása a fősokaság összetételének megváltozását jelenti Ha V j V V j V átrendezve: A j j=1 A j B j j=1 B j A j j=1 A j részsokaság aránya csökken nő Súgó: V j = A j B j, V = A j B j V j j=1 A j j=1 B j tárgyidőszaki adat bázisidőszaki adat rész-dinamikus viszonyszám B j j=1 B j V A fősokaság összetett viszonyszáma M A részsokaságok (csoportok) száma

Kombinációs táblák C D 1 C D j C D t j C E 1 f 11 f 1j f 1t f 1 Ci E f i1 f ij f it f i Cs E f s1 f sj f st f s 1 f 1 f j f t N Az ismérvek közötti kapcsolat lehet Függvényszerű Sztochasztikus Asszociáció minőségi/területi ismérvek között Vegyes kapcsolat Korrelációs kapcsolat Nincs (az ismérvek függetlenek)

Kombinációs táblák C D 1 C D j C D t j C E 1 f 11 f 1j f 1t f 1 Ci E f i1 f ij f it f i Cs E f s1 f sj f st f s 1 f 1 f j f t N Függetlenség esetén f 11 f 1 = = f 1j f j = = f 1t f t = f 1 N azaz f i N f j N = f ij N

Yule-féle asszociációs együttható C D 1 C D 2 j C E 1 f 11 f 12 f 1 C E 2 f 21 f 22 f 2 1 f 1 f 2 N Mivel f 11 = f 1f 1 N, f 12 = f 2f 1 N,f 21 = f 1f 2 N és f 22 = f 2f 2 N, Átrendezve: f 12 f 11 = f 22 f 21 f 11 f 22 = f 12 f 21

Yule-féle asszociációs együttható II Yule-féle asszociációs együttható Y = f 11f 22 f 12 f 21 f 11 f 22 + f 12 f 21 Ha függetlenek f 11 f 22 = f 12 f 21, tehát Y = 0 Függvényszerű kapcsolat esetén valamely f ij = 0, ekkor Y = 1, vagy Y = 1 Udny Yule

Yule-féle asszociációs együttható II Yule-féle asszociációs együttható Y = f 11f 22 f 12 f 21 f 11 f 22 + f 12 f 21 Ha függetlenek f 11 f 22 = f 12 f 21, tehát Y = 0 Függvényszerű kapcsolat esetén valamely f ij = 0, ekkor Y = 1, vagy Y = 1 Udny Yule Hátránya: csak alternatív ismérvek esetén

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók Függetlenség esetén f ij f j = f i N, azaz f ij = f i f j N Legyen f ij = f i f j N a feltételezett gyakoriság! A tényleges és a feltételezett gyakoriságok eltérése: χ 2 = s i=1 j=1 ( t f ij fij f ij ) 2

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók Függetlenség esetén f ij f j = f i N, azaz f ij = f i f j N Legyen f ij = f i f j N a feltételezett gyakoriság! A tényleges és a feltételezett gyakoriságok eltérése: χ 2 = s i=1 j=1 χ 2 = chi-négyzet, mint pszichiátria ( t f ij fij f ij ) 2

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók Függetlenség esetén f ij f j = f i N, azaz f ij = f i f j N Legyen f ij = f i f j N a feltételezett gyakoriság! A tényleges és a feltételezett gyakoriságok eltérése: χ 2 = 0 χ 2 s i=1 j=1 ( t f ij fij { N(s 1) N(t 1) f ij ) 2 ha s t egyébként

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók II Cramer-féle asszociációs együttható C = χ 2 N(s 1) χ 2 N(t 1) ha s t egyébként Gabriel Cramer (1704 1752) C = 0 ha függetlenek C 1 ha erős kapcsolat

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók II Csuprov-féle asszociációs együttható T = χ 2 N s 1 t 1 T = 0 ha függetlenek T 1 ha erős kapcsolat és s = t Alexander Alexandrovics Csuprov (1874 1926)

Csuprov és Cramer-féle asszociációs együtthatók II Csuprov-féle asszociációs együttható Cramer-féle asszociációs együttható T = χ 2 N s 1 t 1 C = χ 2 N(s 1) χ 2 N(t 1) ha s t egyébként T = 0 ha függetlenek T 1 ha erős kapcsolat és s = t C = 0 ha függetlenek C 1 ha erős kapcsolat

Vegyes kapcsolat Sztochasztikus kapcsolat egy minőségi/területi és mennyiségi változó között Sorszám C1 D Cj D CM D 1 X 11 X 1j X 1M i X i1 X ij X im N j X N1 1 X NM M X Nj j

Vegyes kapcsolat Sztochasztikus kapcsolat egy minőségi/területi és mennyiségi változó között C D 1 C D j C D M j C x 1 f 11 f 1j f 1M f 1 Ci x f i1 f ij f im f i Ck x f k1 f kj f km f s 1 N 1 N j N M N Ha túl sok az érték (k nagy), a tábla túl ritka A csoportosítás önkényes más módszerek!

Szórás Főátlag: X = N j j=1 i=1 X ij N Részátlag: X N j i=1 j = X ij N j Teljes eltérés d ij = X ij X = Belső eltérés B ij = X ij X j + Külső eltérés K ij = X j X Szórásnégyzet ( szigma négyzet ) Teljes szórás 2 : σ 2 = N j j=1 i=1 d ij 2 N j N Részszórás 2 : σj 2 i=1 = B2 ij N j Belső szórásnégyzet Külső szórásnégyzet σ 2 = N j M σb 2 = Bij 2 N + j=1 i=1 N j M σk 2 = Kij 2 N j=1 i=1

Szóráselemzés Átlagok Szórások ismérvek kapcsolata X j -k egyenlők, σk 2 = 0 nincs összefüggés X ij = X j σb 2 = 0 függvényszerű Egyébként 0 < σk 2 < σ2 sztochasztikus Szórásnégyzet-hányados H 2 = σ2 K σ 2

Szóráselemzés Átlagok Szórások H 2 ismérvek kapcsolata X j -k egyenlők, σ 2 K = 0 H2 = 0 nincs összefüggés X ij = X j σ 2 B = 0 H2 = 1 függvényszerű Egyébként 0 < σ 2 K < σ2 0 < H 2 < 1 sztochasztikus Szórásnégyzet-hányados H 2 = σ2 K σ 2

Korrelációs táblák Sztochasztikus kapcsolat két mennyiségi ismérv között C Y 1 C Y j C Y M j C X 1 f 11 f 1j f 1M f 1 Ci X f i1 f ij f im f i Ck X f k1 f kj f km f s 1 N 1 N j N M N Ha nagyobb X-re nagyobb Y : pozitív korreláció, ha nagyobb X-re kisebb Y : negatív korreláció Tapasztalati regressziófüggvény A Ci X osztályokon értelmezett függvény, mely Ci X -hez az Ȳi részátlagot rendeli

Korrelációs táblák példa Szobaszám X i Átl lakósz Ȳ i 1 240 2 336 3 453 4 567

Korreláció szorosságának mérése Mint vegyes kapcsolatnál: X szerint Y -ra, vagy Y szerint X-re Determinációs hányados X mekkora hányadát magyarázza meg Y szórásnégyzetének: H 2 (Y X) = σ2 K (Y ) σ 2 (Y ) A H (Y X) a korrelációs hányados

Korreláció szorosságának mérése Mint vegyes kapcsolatnál: X szerint Y -ra, vagy Y szerint X-re Determinációs hányados X mekkora hányadát magyarázza meg Y szórásnégyzetének: Szóródó ismérv H 2 (Y X) = σ2 K (Y ) σ 2 (Y ) A H (Y X) a korrelációs hányados Csoportosító ismérv

Probléma Budán drágábbak a lakások Miért? Jobb a levegő: ugyanaz a lakás Budán többe kerülnevagy: Mások a lakások: nagyobbak, komfortosabbak Idén olcsóbbak az eladott lakások Miért? Lefelé mennek az ingatlanárak, vagy Kisebb, rosszabb állagú lakások kerülnek eladásra

Viszonyszámok (emlékeztető) Jelenség színvonalának vizsgálata viszonyszámokkal Viszonyszám (1 fejezet) Két, logikai kapcsolatban álló statisztikai adat hányadosa Heterogén sokaság: intenzitási rész-/összetett viszonyszámok Részsokaságok A j B j V j = A j B j C 1 A 1 B 1 V 1 = A 1 B 1 C j A j B j V j = A j B j C M A M B M V M = A M B M Fősokaság M j=1 A M j j=1 B j=1 j V = A j j=1 B j

Összetett intenzitási viszonyszámok Az átlagos színvonalat befolyásolja a 1 az egyes csoportokban vizsgált színvonal 2 a sokaság szerkezete, összetétele Amit vizsgálunk: térbeli különbözőség, és időbeli változás

Összetett viszonyszámok: példa A B Nem Össz bér Létsz Átl bér Össz bér Létsz Átl bér (e Ft) (fő) (e Ft) (e Ft) (fő) (e Ft) Férfi 2400 50 48 1000 20 50 Nő 300 10 30 1200 30 40 Össz 2700 60 45 2200 50 44 Az átlagos jövedelem csökken, míg a férfiak és nők jövedelme is nő Hogyan lehetséges? Más a nem szerinti összetétel A megoldás: standardizálás Standardizálás A térben/időben eltérő összetett intenzitási viszonyszámok közötti különbségeket összetevőkre/tényezőkre bontjuk

Standardizálás Térbeli összehasonlításnál eltérést, különbséget vizsgálunk Időbeli elemzésnél %-os változást, hányadosokat számítunk ki Standardizálás Az összetett viszonyszámot a részviszonyszámok és az összetétel együttesen határozzák meg A standardizálás során egy-egy tényező hatásának elemzésekor a másikat standardnak (állandónak) feltételezzük

Összetett viszonyszámok meghatározása összehasonlítandó területek/időszakok Különb Hányados 0 1 k = i = A j0 B j0 V j0 A j1 B j1 V j1 V 1 V 0 V 1 V 0 1 A 10 B 10 V 10 A 11 B 11 V 11 k 1 i 1 j A j0 B j0 V j0 A j1 B j1 V j1 k j i j M A M0 B M0 V M0 A M1 B M1 V M1 k M i j A j0 j B j0 V0 j A j1 j B j1 V1 K I A cél K, illetve I (főátlagindex) meghatározása (tér- illetve időbeli összehasonlítás esetén) K = K + K (illetve I = I I ), ahol K (illetve I ) részhatáskülönbség (ill részátlagindex) a részviszonyszámok változásának hatása K (illetve I ) összetételhatás-különbség (ill -index) az összetétel változásának hatása

Főátlagok összetevőkre bontása K = K + K az összetett intenzitási viszonyszám, ahol K részhatáskülönbség : a részviszonyszámok változásának hatása A valódi különbség K összetételhatás-különbség az összetétel változásának hatása A részsokaságok eltérő aránya okozta, látszólagos különbség

Indexszámítás: hányadosfelbontás I = I I a főátlagindex (vagy változó állományú index), ahol I részátlagindex (vagy változatlan állományú index) a részviszonyszámok változásának hatása A valódi különbség I összetételhatás-index (vagy arányeltolódási index) az összetétel változásának hatása A részsokaságok eltérő aránya okozta, látszólagos különbség

Standardizálás K (ill I ) kiszámításához a két terület/időszak viszonyszámait standard, azonos összetétellel számoljuk ki K = j=1 B j(st)v j1 j=1 B j(st) j=1 B j(st)v j0 j=1 B j(st) K = j=1 B j1v j(st) j=1 B j1 j=1 B j0v j(st) j=1 B j0 részátlagindex számolásánál (mindig) B (st) = B 1 ; összetételhatás indexénél (mindig) V (st) = V 0

Standardizálás K (ill I ) kiszámításához a két terület/időszak viszonyszámait standard, azonos összetétellel számoljuk ki I = j=1 B j(st)v j1 j=1 B j(st) : j=1 B j(st)v j0 j=1 B j(st) I = j=1 B j1v j(st) j=1 B j1 : j=1 B j0v j(st) j=1 B j0 részátlagindex számolásánál (mindig) B (st) = B 1 ; összetételhatás indexénél (mindig) V (st) = V 0

Standardizálás K (ill I ) kiszámításához a két terület/időszak viszonyszámait standard, azonos összetétellel számoljuk ki I = j=1 B j1v j1 j=1 B j1 : j=1 B j1v j0 j=1 B j1 I = j=1 B j1v j0 j=1 B j1 : j=1 B j0v j0 j=1 B j0 részátlagindex számolásánál (mindig) B (st) = B 1 ; összetételhatás indexénél (mindig) V (st) = V 0

Átlagbérek 1994 január 1995 január Csoport Béralap Létsz Átl bér Béralap Létsz Átl bér Vált (e Ft) (fő) (Ft) (e Ft) (fő) (Ft) (A 0 ) (B 0 ) (V 0 ) (A 1 ) (B 1 ) (V 1 ) Fizikai 28800 800 36000 33660 850 39600 110,0 Szellemi 6000 150 40000 4400 100 44000 110,0 Együtt 34800 950 36632 38060 950 40063 109,4 Minden dolgozó fizetése 10%-al nőtt, az átlag viszont csak 94%-kal Ellentmondás? Összetétel-hatás (st = 0):

Átlagbérek 1994 január 1995 január Csoport Béralap Létsz Átl bér Béralap Létsz Átl bér Vált (e Ft) (fő) (Ft) (e Ft) (fő) (Ft) (A 0 ) (B 0 ) (V 0 ) (A 1 ) (B 1 ) (V 1 ) Fizikai 28800 800 36000 30600 850 36000 100,0 Szellemi 6000 150 40000 4000 100 40000 100,0 Együtt 34800 950 36632 34600 950 36421 99,4 Minden dolgozó fizetése 10%-al nőtt, az átlag viszont csak 94%-kal Ellentmondás? Gondolatkísérlet: mi lenne, ha nem változott volna egyáltalán? Összetétel-hatás (st = 0):

Átlagbérek 1994 január 1995 január Csoport Béralap Létsz Átl bér Béralap Létsz Átl bér Vált (e Ft) (fő) (Ft) (e Ft) (fő) (Ft) (A 0 ) (B 0 ) (V 0 ) (A 1 ) (B 1 ) (V 1 ) Fizikai 28800 800 36000 33660 850 39600 110,0 Szellemi 6000 150 40000 4400 100 44000 110,0 Együtt 34800 950 36632 38060 950 40063 109,4 Minden dolgozó fizetése 10%-al nőtt, az átlag viszont csak 94%-kal Ellentmondás? Gondolatkísérlet: mi lenne, ha nem változott volna egyáltalán? Összetétel-hatás (st = 0): I = j=1 B j1v j(st) j=1 B j1 / j=1 B j0v j(st) j=1 B j0 = B 11V 10 +B 21 V 20 B 11 +B 21 / B 10V 10 +B 20 V 20 B 10 +B 20 = 850 36000+100 40000 950 / 800 36000+150 40000 950 = 36420 36632 = 99, 4%

Átlagbérek 1994 január 1995 január Csoport Béralap Létsz Átl bér Béralap Létsz Átl bér Vált (e Ft) (fő) (Ft) (e Ft) (fő) (Ft) (A 0 ) (B 0 ) (V 0 ) (A 1 ) (B 1 ) (V 1 ) Fizikai 28800 800 36000 33660 850 39600 110,0 Szellemi 6000 150 40000 4400 100 44000 110,0 Együtt 34800 950 36632 38060 950 40063 109,4 Minden dolgozó fizetése 10%-al nőtt, az átlag viszont csak 94%-kal Ellentmondás? Összetétel-hatás (st = 0): I = 99, 4% A részátlagindex (st = 1): I = j=1 B j(st)v j1 j=1 B j(st) j=1 B j(st)v j0 / = B 11V 11 +B 21 V 21 j=1 B B j(st) 11 +B 21 / B 11V 10 +B 21 V 20 B 11 +B 21 = 850 39600+100 44000 950 / 850 36000+100 40000 950 = 40063 36420 = 110%

Átlagárak Az árszínvonal összehasonlítható térben és időben is Különbséget tenni az átlagár és az egyedi (elemi) árak változása között A számítás feltételei: Homogén árucsoport Természetes, összegezhető mértékegység Az átlagár p = v q = qp q Ekkor I = q1 p 1 q1 p 0 és I = q1 p 0 q0 p 0 q0 q1 I = I I ha a változatlan tényezőt ellentétes időszakból választjuk

28 feladat: Idősorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev Kiad 1985 25 10 1986 27 10 1987 37 12 1988 39 33 1989 48 59 1990 63 38 1991 78 38 1992 98 53 Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását 1985-höz képest, valamint évről évre! Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! Hány Mrd Ft-tal nőttek évente az idegenforgalmi bevételek?

28 feladat: Idősorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev bázis Kiad bázis 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 10 100% 1987 37 148% 12 120% 1988 39 156% 33 330% 1989 48 192% 59 590% 1990 63 252% 38 380% 1991 78 312% 38 380% 1992 98 392% 53 530% Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását 1985-höz képest, valamint évről évre! Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! Hány Mrd Ft-tal nőttek évente az idegenforgalmi bevételek?

28 feladat: Idősorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev bázis lánc Kiad bázis lánc 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 108% 10 100% 100% 1987 37 148% 137% 12 120% 120% 1988 39 156% 105% 33 330% 275% 1989 48 192% 123% 59 590% 179% 1990 63 252% 131% 38 380% 64% 1991 78 312% 124% 38 380% 100% 1992 98 392% 126% 53 530% 139% Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását 1985-höz képest, valamint évről évre! Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! Hány Mrd Ft-tal nőttek évente az idegenforgalmi bevételek?

28 feladat: Idősorok Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását 1985-höz képest, valamint évről évre! Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! Hány Mrd Ft-tal nőttek évente az idegenforgalmi bevételek? Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg növekedési üteme a vizsgált időszakban átlagosan?

28 feladat: Idősorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev bázis lánc Kiad bázis lánc 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 108% 10 100% 100% 1987 37 148% 137% 12 120% 120% 1988 39 156% 105% 33 330% 275% 1989 48 192% 123% 59 590% 179% 1990 63 252% 131% 38 380% 64% 1991 78 312% 124% 38 380% 100% 1992 98 392% 126% 53 530% 139% Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását 1985-höz képest, valamint évről évre! Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! Hány Mrd Ft-tal nőttek évente az idegenforgalmi bevételek?

28 feladat: Idősorok Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev bázis lánc Növ Kiad bázis lánc 1985 25 100% 10 100% 1986 27 108% 108% 2 10 100% 100% 1987 37 148% 137% 10 12 120% 120% 1988 39 156% 105% 2 33 330% 275% 1989 48 192% 123% 9 59 590% 179% 1990 63 252% 131% 15 38 380% 64% 1991 78 312% 124% 15 38 380% 100% 1992 98 392% 126% 20 53 530% 139% Vizsgáljuk meg a bevételek és kiadások alakulását 1985-höz képest, valamint évről évre! Ábrázoljuk a két jelenség adatait egy grafikonon! Hány Mrd Ft-tal nőttek évente az idegenforgalmi bevételek?

l = n 1 n lt = n 1 b n = n 1 Y n Y Bevezető Egyszerű- Csoportosító- Kombinációs táblák Standardizálás Főátlagok bontása Alkalm Feladatok 28 feladat/2 átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev Növ Kiad Növ 1985 25 10 1986 27 108% 10 100% 1987 37 137% 12 120% 1988 39 105% 33 275% 1989 48 123% 59 179% 1990 63 131% 38 64% 1991 78 124% 38 100% 1992 98 126% 53 139% Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg növekedési üteme a vizsgált időszakban átlagosan?

l = n 1 n lt = n 1 b n = n 1 Y n Y Bevezető Egyszerű- Csoportosító- Kombinációs táblák Standardizálás Főátlagok bontása Alkalm Feladatok 28 feladat/2 átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev Növ Kiad Növ Egyenleg 1985 25 10 15 1986 27 108% 10 100% 17 1987 37 137% 12 120% 25 1988 39 105% 33 275% 7 1989 48 123% 59 179% -11 1990 63 131% 38 64% 25 1991 78 124% 38 100% 40 1992 98 126% 53 139% 45 Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg növekedési üteme a vizsgált időszakban átlagosan?

l = n 1 n lt = n 1 b n = n 1 Y n Y Bevezető Egyszerű- Csoportosító- Kombinációs táblák Standardizálás Főátlagok bontása Alkalm Feladatok 28 feladat/2 átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev Növ Kiad Növ Egyenleg Növ 1985 25 10 15 1986 27 108% 10 100% 17 113% 1987 37 137% 12 120% 25 147% 1988 39 105% 33 275% 7 24% 1989 48 123% 59 179% -11-183% 1990 63 131% 38 64% 25-227% 1991 78 124% 38 100% 40 160% 1992 98 126% 53 139% 45 113% Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg növekedési üteme a vizsgált időszakban átlagosan?

l = n 1 n lt = n 1 b n = n 1 Y n Y Bevezető Egyszerű- Csoportosító- Kombinációs táblák Standardizálás Főátlagok bontása Alkalm Feladatok 28 feladat/2 átlagos ütem számítása Nemzetközi idegenforgalmi bevételek és kiadások Magyarországon Év Bev Növ Kiad Növ Egyenleg Növ 1985 25 10 15 1986 27 108% 10 100% 17 113% 1987 37 137% 12 120% 25 147% 1988 39 105% 33 275% 7 24% 1989 48 123% 59 179% -11-183% 1990 63 131% 38 64% 25-227% 1991 78 124% 38 100% 40 160% 1992 98 126% 53 139% 45 113% átlag 122% 127% 117% Mennyi volt a bevételek, kiadások, illetve az egyenleg növekedési üteme a vizsgált időszakban átlagosan?

39 Feladat: szerkezeti változások Csoportok 1990 1993 változás 1000 fő % 1000 fő % % Aktív keresők 4795 87,2 3867 GYES/GYED 245 4,5 262 Fogl nyugdíjas 432 7,9 223 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 Munkanélküliek 24 0,4 663 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

39 Feladat: szerkezeti változások Csoportok 1990 1993 változás 1000 fő % 1000 fő % % Aktív keresők 4795 87,2 3867 3867 5015 GYES/GYED 245 4,5 262 262 5015 Fogl nyugdíjas 432 7,9 223 223 5015 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 4352 5015 Munkanélküliek 24 0,4 663 663 5015 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

39 Feladat: szerkezeti változások Csoportok 1990 1993 változás 1000 fő % 1000 fő % % Aktív keresők 4795 87,2 3867 77,1 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 Fogl nyugdíjas 432 7,9 223 4,4 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

39 Feladat: szerkezeti változások Csoportok 1990 1993 változás 1000 fő % 1000 fő % % Aktív keresők 4795 87,2 3867 77,1 3867 4795 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 262 245 Fogl nyugdíjas 432 7,9 223 4,4 223 432 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 4352 5472 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 663 24 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

39 Feladat: szerkezeti változások Csoportok 1990 1993 változás 1000 fő % 1000 fő % % Aktív keresők 4795 87,2 3867 77,1 80,6 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 106,9 Fogl nyugdíjas 432 7,9 223 4,4 51,6 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 79,5 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 2762,5 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan!

39 Feladat: szerkezeti változások Csoportok 1990 1993 változás 1000 fő % 1000 fő % % Aktív keresők 4795 87,2 3867 77,1 80,6 GYES/GYED 245 4,5 262 5,2 106,9 Fogl nyugdíjas 432 7,9 223 4,4 51,6 Foglalkoztatottak 5472 99,6 4352 86,8 79,5 Munkanélküliek 24 0,4 663 13,2 2762,5 Összesen 5496 100,0 5015 100,0 91,25 Számítsuk ki a hiányzó adatokat és vonjunk le következtetéseket a szerkezet- és dinamikai változásokra vonatkozóan! A GYES/GYED-en lévők és a munkanélküliek száma az összes adatnál kisebb mértékben csökkent (sőt: növekedett), tehát arányuk nőtt

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 közepes 60 90 10 160 magas - 30 30 60 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve! b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt!

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 közepes 60 90 10 160 magas - 30 30 60 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve!

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 180 80-180 közepes 60 90 160 10 160 magas - 30 30 60 60 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve!

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 közepes 60 90 10 160 magas - 30 30 60 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve!

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 közepes 60 90 10 160 magas - 30 30 60 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve! f ij = f i f j N

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 közepes 60 90 10 160 magas - 30 30 60 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve! fij = f i f j N = 180 160 400 = 72

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 közepes 60 90 10 160 magas - 30 30 60 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve! f ij = f i f j N

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 magas - 30 30 60 24 30 6 összesen 160 200 40 400 a) Töltsük ki a tábla adatait 1 függvényszerű kapcsolat feltételezésével, 2 függetlenséget feltételezve! f ij = f i f j N

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 magas - 30 30 60 24 30 6 összesen 160 200 40 400 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt!

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 magas - 30 30 60 24 30 6 összesen 160 200 40 400 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt! χ 2 = s i=1 t j=1 ( f ij fij fij ) 2

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 magas - 30 30 60 24 30 6 összesen 160 200 40 400 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt! χ 2 = s i=1 t j=1 ( f ij fij fij ) 2 (100 72)2 72 = 10, 9

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 10,89 90 18 közepes 60 90 10 160 64 80 16 magas - 30 30 60 24 30 6 összesen 160 200 40 400 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt!

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas - 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt!

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas - 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt! T = χ 2 N s 1 t 1

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas - 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt! T = χ 2 N s 1 = 153,75 t 1 400 3 1 3 1

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas - 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt! T = = χ 2 153,75 800 N s 1 t 1 = 153,75 400 3 1 3 1

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas - 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt! T = χ 2 N s 1 = 153,75 t 1 400 3 1 3 1 153,75 = 800 = 0, 192 = 0, 44

310 feladat (164 oldal) Vállalkozások jövedelmezősége két egymást követő évben: 93/94 alacsony közepes magas összesen alacsony 100 80-180 72 10,89 90 1,11 18 18,00 közepes 60 90 10 160 64 0,25 80 1,25 16 2,25 magas - 30 30 60 24 24,00 30 0,00 6 96,00 összesen 160 35,14 200 2,36 40 116,25 400 153,75 b) Számítsuk ki a Csuprov- és a Cramer-féle együtthatót a tényleges helyzetnek megfelelően! Értelmezzük a kapott eredményt! T = χ 2 N s 1 = 153,75 t 1 400 3 1 3 1 153,75 = 800 = 0, 192 = 0, 44 Közepesen erős kapcsolat

312 feladat A szüleiknél lakó hallgatók heti kiadásai: 1300; 1800; 2000; 2000; 2800; 3000; 3100; 4000 Ft A kollégisták adatai: 2500; 3000; 3000; 3100; 3300; 3500; 3800; 4000; 4000; 4400; 5000 Ft Az albérletben lakók heti kiadásai pedig: 4000; 4800; 5000; 5000; 5200 Ft 1 Számítsuk ki az átlagos heti kiadást a különböző lakáshelyzetű hallgatói csoportokban! Vonjunk le következtetéseket! 2 Vizsgáljuk meg a szóródást különböző módokon! 3 Számítsuk ki, hogy 1 a szóródás milyen mértékben magyarázható a lakáshelyzettel! 2 milyen szoros kapcsolat van a lakáshelyzet és a kiadások nagysága között!

312 feladat megoldása Számítsuk ki az átlagos heti kiadást! szülők kollégium albérlet bárhol 1 1300 2500 4000 2 1800 3000 4800 3 2000 3000 5000 4 2000 3100 5000 5 2800 3300 5200 6 3000 3500 7 3100 3800 8 4000 4000 9 4000 10 4400 11 5000

312 feladat megoldása Számítsuk ki az átlagos heti kiadást! szülők kollégium albérlet bárhol 1 1300 2500 4000 2 1800 3000 4800 3 2000 3000 5000 4 2000 3100 5000 5 2800 3300 5200 6 3000 3500 7 3100 3800 8 4000 4000 9 4000 10 4400 11 5000 X j 2500 3600 4800 3483

312 feladat megoldása Vonjunk le következtetéseket! szülők kollégium albérlet bárhol 1 1300 2500 4000 2 1800 3000 4800 3 2000 3000 5000 4 2000 3100 5000 5 2800 3300 5200 6 3000 3500 7 3100 3800 8 4000 4000 9 4000 10 4400 11 5000 X j 2500 3600 4800 3483

312 feladat megoldása Vonjunk le következtetéseket! szülők kollégium albérlet bárhol 1 1300 2500 4000 2 1800 3000 4800 3 2000 3000 5000 4 2000 3100 5000 5 2800 3300 5200 6 3000 3500 7 3100 3800 8 4000 4000 9 4000 10 4400 11 5000 X j 2500 < 3600 < 4800 3483

312 feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! szülők kollégium albérlet bárhol 1 1300 2500 4000 2 1800 3000 4800 3 2000 3000 5000 4 2000 3100 5000 5 2800 3300 5200 6 3000 3500 7 3100 3800 8 4000 4000 9 4000 10 4400 11 5000 X j 2500 < 3600 < 4800 3483

312 feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! szülők kollégium albérlet bárhol 1 1300 2500 4000 2 1800 3000 4800 3 2000 3000 5000 4 2000 3100 5000 5 2800 3300 5200 6 3000 3500 7 3100 3800 8 4000 4000 9 4000 10 4400 11 5000 X j 2500 < 3600 < 4800 3483 R 2700 2500 1200 3900

312 feladat megoldása Vizsgáljuk a szóródást! szülők B 1j kollégium albérlet bárhol 1 1300-1200 2500 4000 2 1800-700 3000 4800 3 2000-500 3000 5000 4 2000-500 3100 5000 5 2800 300 3300 5200 6 3000 500 3500 7 3100 600 3800 8 4000 1500 4000 9 4000 10 4400 11 5000 X j 2500 < 3600 < 4800 3483 σ