A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon

A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés tézisei Debrecen 1997

1 Az értekezés tárgya, előzmények Dolgozatomban Lie csoportbeli valószínűségi változókra vonatkozó centrális határeloszlás tételekkel kapcsolatos problémákkal foglalkozok. A témakör fejlődésében az első fontos mérföldkő.a. Hunt [39] 1956 os cikke, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós félcsoportokat vizsgált. Egy ilyen konvolúciós félcsoport úgy is tekinthető, mint egy Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat egy dimenziós eloszlás serege. Sikerült karakterizálnia az infinitézimális generátorukat a klasszikus Lévy Hincsin formula analógjával. Erre támaszkodva D. Wehn [63], [64] 1959 ben adott elégséges feltételeket a centrális határeloszlás tételre kommutatív háromszögrendszer esetén azaz amikor az egy sorban álló mértékek a konvolúciószorzásra nézve felcserélhetőek. Egy korai áttekintés található U. renander [30] 1963 as könyvében. Az eredményeket H. Heyer [35], [36], [37], W. Hazod [31] és E. Siebert [49], [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56] általánosította különböző topológikus csoportokra, és a vizsgálatokat kiterjesztették egyéb valószínűségszámítási kérdésekre is. Az 1976 ig elért eredményeket tárgyalja H. Heyer [38] 1977 es monográfiája. A kutatásokban tevékenyen részt vettek magyar matematikusok is; lásd például Prékopa, Rényi és Urbanik [44], Csiszár [21], [22], [23], [24], Major és Shlosman [41] cikkeit, de érdemes megemlíteni Haar Alfréd nevét is, ugyanis a Haar mérték igen fontos szerepet játszik ezeken a csoportokon. A legújabb kutatások kiterjednek félcsoportokra is; ezekről szól Ruzsa és Székely [47] könyve. Egy másik fontos mérföldkő D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60] 1973 as munkája, melyben funkcionális centrális határeloszlás tételt bizonyítottak Lie csoportokon. Náluk a határfolyamat egy független növekményű auss folyamat volt, melyet a martingál problémával karakterizáltak. Ph. Feinsilver [25] 1978 ban karakterizálta az összes független növekményű folyamatot a martingál problémával, és funkcionális centrális határeloszlás tételt is bizonyított ilyen határfolyamatokkal. Új lendületet adott a kutatásoknak W. Hazod [32] 1984 es cikke, melyben általánosította a stabilis eloszlások fogalmát topológikus csoportokra. Később W. Hazod és E. Siebert [33], [59] 1986 ban megmutatták, hogy a centrális határeloszlás tétel topológikus csoportokon történő vizsgálatában kiemelt szerepet játszanak a nilpotens Lie csoportok, ugyanis ha tekintjük lokálisan kompakt topológikus csoportbeli független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatát, akkor az automorfizmusokkal alkalmasan normalizált részletszorzatok lehetséges határeloszlásai olyan részcsoportra koncentrálódnak, mely izomorf egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie csoporttal. Érdemes megemlíteni D. Neuenschwander [42] 1996 os könyvét, melyben a legegyszerűbb nem kommutatív nilpotens Lie csoporttal, a Heisenberg csoporttal kapcsolatos eredményeket foglalja össze. Nilpotens Lie csoportokon már V.N. Tutubalin [61] 1964-ben és A.D. Virtser [62] 1974 ben, valamint P. Crépel és A. Raugi [19] 1978 ban bizonyítottak centrális határeloszlás tételeket konvolúcióhatványokra vonatkozóan azaz független, azonos eloszlású valószínűségi változókra, de ezekben a munkákban magas momentumok végességét tételezték fel. Végül A. Raugi [45] adott 1978 ban egy bonyolult, hosszú bizonyítást csak a második homogén 1

momentum végességét feltételezve. A konvergenciasebesség vizsgálatával kapcsolatos első lépést P. Crépel és B. Roynette [20] tette meg 1977 ben, de nekik a Heisenberg csoport esetén On 1/3 nál lassabb konvergenciát sikerült bizonyítaniuk az optimális On 1/2 helyett. Az is kiderült, hogy a stabilis eloszlások vonzási tartományának meghatározásánál igen fontos szerepet játszik a következő beágyazási probléma: vajon ha egy valószínűségi mérték beágyazható egy konvolúciós félcsoportba, akkor ez a konvolúciós félcsoport egyértelműen meghatározott? Lásd W. Hazod [32], S. Nobel [43] és H.P. Scheffler [48]. P. Baldi [15] 1985 ben megmutatta, hogy 2 lépéses nilpotens Lie csoportok esetén a auss mértékek egyértelműen ágyazhatók be auss félcsoportba. Kutatásaimra nagy hatással volt E. Siebert [58] 1982 es cikke is, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós hemicsoportokat vizsgált, melyek úgy is tekinthetők, mint egy független növekményű folyamat növekményei eloszlásainak két paraméteres serege. A kiinduló ötlet az volt, hogy ezeket próbáljuk meg infinitézimális generátoroknak egy időparamétertől függő seregével karakterizálni, mely a megfelelő konvolúciós operátor sereg deriváltja. E. Siebert megmutatta, hogy ennek a kapcsolatnak az integrál alakja, az úgynevezett evolúciós integrál egyenletek valóban alkalmasak gyengén Lipschitz folytonos konvolúciós hemicsoportok karakterizálására. Később Born [17] 1990 ben karakterizálta az erősen korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat tetszőleges lokálisan kompakt csoport esetén. Ez a munka J.U. Herod és R.W. McKelvey [34] 1980 as cikkére támaszkodott, melyben a Hille Yosida elméletet általánosították olyan evolúciós operátor családokra, melyek Banach terek egymásba ágyazott láncolatán vannak értelmezve, kontraktív operátorokból állnak, és korlátos változásúak a láncra nézve. 2 Az értekezés felépítése és főbb eredményei Az értekezés nyolc fejezetből áll, ezek közül az első a bevezetés, a másodikban pedig a gyakrabban használatos fogalmak és jelölések találhatók. A harmadik fejezetben, mely a [2] és [3] cikkek eredményein alapul, kommutatív háromszögrendszerekkel foglalkozunk. Először Raugi [45] centrális határeloszlás tételére adunk egy egyszerű, rövid bizonyítást lépcsős Lie csoport esetén. 3.1.1 Tétel. Legyen egy lépcsős Lie csoport. Jelölje δ t t>0 a természetes dilatációiból álló egy paraméteres automorfizmus csoportot. Legyen µ egy centrált valószínűségi mérték n véges második homogén momentummal. Ekkor ahol ν = aussµ. δ 1/ n µ n ν, aussµ azt az egyértelműen meghatározott auss mértéket jelöli, melynek első és másodfokú homogén momentumai ugyanazok, mint a µ mértéknek. A következő cél Lindeberg Feller típusú centrális határeloszlás tétel bizonyítása, azaz szükséges és elégséges feltétel keresése háromszögrendszerek konvergenciájára. Ehhez először 2

a korlátlanul osztható eloszlások konvergenciájáról szóló klasszikus tétel lásd nedenko és Kolmogorov [28, 19, Theorem 1, Theorem 2] analógját kell megtalálni lásd 3.2.2 Tétel, mely konvolúciós félcsoportok konvergenciájára ad szükséges és elegendő feltételt ami a Lévy Hincsin formulában szereplő mennyiségek megfelelő értelemben vett konvergenciája. Ennek segítségével a kísérő Poisson-sorozatot használva és Fourier-transzformáltakat alkalmazva sikerült szükséges és elégséges feltételt kapni szimmetrikus mértékek esetén. Legyen egy Lie csoport L Lie algebrával. Jelölje M 1 a valószínűségi mértékek halmazát. Jelölje Ue az e egységelem mérhető környezeteinek rendszerét. Egy X L elem tekinthető például bal invariáns differenciáloperátornak is a csoporton: 1 Xfx := lim fx exptx fx. t 0 t Legyen {X 1,..., X d } egy bázis L ben. Legyen x 1,..., x d D egy olyan elsőfajú kanonikus koordináta rendszer ben, mely adaptált az {X 1,..., X d } bázishoz és érvényes az egységelem valamely U 0 kompakt környezetben, azaz y = exp d x iyx i ha y U0, továbbá legyen ϕ : [0, 1] egy Hunt függvény a csoporton, azaz 1 ϕ D, és ϕy = d x iy 2 ha y U 0. Jelölje M + d a d d valós, szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrixok halmazát. 3.3.5 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn;n 1 egy szimmetrikus mértékekből álló kommutatív háromszögrendszer n. Legyen b ij i,j=1,...,d M + d. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a lim b lim k n k n µ nl \ U = 0 ha U Ue, ii a I infinitézimális, k n b sup ϕy µ nl dy <, n 1 x i yx j y µ nl dy = b ij ha i, j = 1,..., d. c lim µ n1 µ nkn = ν ahol ν = ν 1, ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora 1 d b ij Xi Xj. 2 i,j=1 A szimmetrizáció módszerével ezt sikerült általánosítani normális háromszögrendszerekre is 3.3.6 Tétel. Lépcsős Lie csoportokon a Lindeberg Feller tétel szokásos alakját kapjuk 3.4.4 Tétel. Ezután levezetünk egy Lindeberg tételt abban az esetben, amikor a határeloszlás olyan auss mérték, mely stabilis a δ t t>0 természetes dilatációra nézve 3.4.12 Tétel. Ebből egyrészt könnyen származtatható a 3.1.1 Tétel, másrészt egy Lindeberg tétel a H Heisenberg csoporton adott valószínűségi mértékek µ 1 µ n n szeres konvolúciószorzatának alkalmas automorfizmusokkal standardizált sorozatának auss mértékhez való konvergenciájáról 3.4.14 Tétel. 3

A negyedik fejezetben, mely az [1], [9] és [10] cikkek eredményein alapul, auss mértékekkel való közelítés pontosságával foglalkozunk lépcsős nilpotens Lie csoportokon, mégpedig a 3.1.1 centrális határeloszlás tételbeli konvergencia sebességével. Először a standard esetben homogén gömbökön, azaz Ba, r := {x : a 1 x < r}, a, r > 0 alakú halmazokon bizonyítunk On 1/2 konvergencia sebességet bizonyos analitikus feltételeket kielégítő homogén normák esetén 4.1.34 Tétel: egy s lépcsős nilpotens Lie csoport esetén δ1/ n µ n Ba, r νba, r Cκa, rβ3 µ, ν + β 3s µ, νn 1/2, ahol κa, r := 1 + a s 1 1 + 1 + a /r} 3s 1 és β k µ, ν := x k µ ν dx, ahol µ ν a µ ν előjeles mérték totális variációját jelöli. Ezután sima függvények integráljaira vonatkozó Berry Esseen egyenlőtlenséget bizonyítunk, amelyben csak a szokásos momentumfeltétel szerepel, és az alakja is optimális 4.2.7 Tétel. A legfontosabb következmény az, hogy ha m 3 µ <, akkor fxδ 1/ n µ n dx fx νdx C f 3s,hom1 + m 3s 1 νm 3 µn 1/2, ahol egy γ mérték esetén m k γ := x k γdx. Valószínűségi mértékek konvolúció hatványainak auss mértékekkel történő közelítésének pontosságáról ad még több információt az Edgeworth sorfejtés. A 4.3.1 Tétel a rövid alakot írja le, azaz amikor a sorfejtés csak egy tagot tartalmaz a auss mérték után. Egy I Z d + multiindex esetén használni fogjuk az S I := 1 I! [j 1 ]+ +[j I ]=I X j1... X j I jobb invariáns differenciáloperátort, mely tekinthető X I szimmetrizáltjának. Itt [j] azt a multiindexet jelöli, melynek a j edik koordinátája 1, és a többi 0. Az Edgeworth sorfejtés legegyszerűbb alakja m 4 µ < esetén fxδ 1/ n µ n dx = fxνdx + αn 1/2 + On 1, ahol α := 1 di=3 0 S I g x,z eν t dxν 1 t dzdt y I µ νdy, ν t t 0 az a auss félcsoport, melyre ν 1 = ν, és g x,z : R, g x,z y := fxyz, y. Érdemes megemlíteni azt is, hogy S I g x,z e = PJ I x, z J fxz, ahol P I J dj di, J I olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di. A 4.4.5 Tételben megadjuk a tetszőleges hosszúságú Edgeworth sorfejtést, melynek bizonyítása az Euler Maclaurin féle összegzési formulának bizonyos többdimenziós szimplexekre 4

történő általánosítását használja lásd 4.4.2 Tétel, mely önmagában is érdeklődésre tarthat számot. Az ötödik fejezet, mely a [4], [5] és [11] cikkek eredményein alapul, az előzményekben megfogalmazott beágyazási problémával kapcsolatos. Egy lehetőség a beágyazási probléma megközelítésére a konvolúciós félcsoportok struktúrájának felderítése. Ezzel függ össze az a kérdés, melyet Ph. Feinsilver és R. Schott [26], [27] vetettek fel: hogy néz ki egy független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat, mely értékeit egy Lie csoportban veszi fel? Az 5.1.2 Tétel válasza az, hogy egy d dimenziós exponenciális Lie csoport esetén azaz amikor az exponenciális leképezés egy analitikus diffeomorfizmus ha veszünk egy független, stacionárius növekményű folyamatot, és úgy tekintjük, mint egy R d beli értékű folyamatot, akkor az egy idő homogén diffúzió ugrásokkal J. Jacod és A.N. Shiryayev [40, p. 142] értelmében, azaz egy olyan általánosított sztochasztikus differenciál egyenlet egyértelmű, erős megoldása, melyet egy Wiener folyamat és egy véletlen stacionárius Poisson mérték hajt meg; az egyenletet a folyamat infinitézimális generátorával explicit módon megadjuk. Ennek segítségével az 5.1.6 Tételben explicit konstrukciót adunk tetszőleges nilpotens Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű folyamatra, mellyel általánosítjuk B. Roynette [46] rekurzív formuláját, mely a Brown mozgás esetére érvényes. P. Baldi [15] tételét sikerült 2 lépéses nilpotens Lie csoportról tetszőleges nilpotens Lie csoportra általánosítani: 5.2.3 Tétel. Legyenek µ t t 0 és ν t t 0 olyan auss félcsoportok egy egyszeresen összefüggő, nilpotens Lie csoporton, hogy µ 1 = ν 1. Ekkor µ t = ν t minden t 0 esetén. Megpróbáltam a beágyazási problémát úgy is megközelíteni, hogy karakterizációs tulajdonságokat kerestem auss mértékekre. Carnal [18] bizonyított ilyet kompakt Lie csoportokon. Ennek az eredménynek adjuk meg az analógját tetszőleges Lie csoporton az 5.3.1 Tételben, de ez auss félcsoportokat karakterizál. A disszertáció utolsó három fejezete a funkcionális centrális határeloszlás tétel problémakörével foglalkozik, mely egy topológikus csoporton a következő módon fogalmazható meg. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } beli értéket felvevő, soronként független valószínűségi változók, és legyenek {k n : n N} olyan növekvő, jobbról folytonos k n : R + Z + függvények, hogy k n 0 = 0, és minden t R + és minden U Ue esetén teljesül a lim infinitézimalitási feltétel. Képezzük a ξ n t := max P ξ nl U = 0 1 l k n t k n t ξ nl := ξ n1 ξ n2 ξ n,knt szorzatokat, és tekintsük a ξ n = ξ n t t 0, n = 1, 2,... sztochasztikus folyamatokat, melyeknek a trajektóriái nyilván a DR +, Szkorohod térbe esnek. Feltételeket keresünk a háromszögrendszerre ahhoz, hogy teljesüljön a véges dimenziós eloszlások ξ n ξ L konvergenciája, vagy a Szkorohod térben indukált eloszlások ξ n ξ konvergenciája, ahol ξ = ξt t 0 egy olyan beli értéket felvevő folyamat, melynek trajektóriái majd- 5 L f

nem biztosan a Szkorohod térbe esnek. Szükségképpen a ξ = ξt t 0 folyamat független bal növekményű, azaz ξ0 = e és tetszőleges 0 t 1 t 2... t n időpontokra a ξt 1, ξt 1 1 ξt 2,..., ξt n 1 1 ξt n bal növekmények függetlenek. Csak olyan limesz folyamatok érdekelnek bennünket, melyek sztochasztikusan folytonosak ami most azzal ekvivalens, hogy nincsenek rögzített idejű szakadási pontjai. A feladatok pontosabban megfogalmazva a következők: parametrizáljuk a beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatok által a DR +, Szkorohod téren indukált valószínűségi mértékek PII c halmazát, azaz adjunk meg egy bijekciót PII c és valamely alkalmas PR +, paramétertér között; feleltessünk meg alkalmas K n mennyiségeket a {ξ nl : 1 l k n t}, t R +, n N, sorokhoz úgy, hogy L? ξ K n K, ξ n ahol K PR +, az a paraméter, ami a ξ limesz folyamathoz tartozik, és a K n K konvergencia megfelelően van értelmezve. A hatodik fejezetben, mely a [12] cikken alapul, először megfogalmazzuk a fenti kérdésekre a = R d, + csoport esetén a jól ismert válaszokat. Ekkor ugyanis a karakterisztikus függvények segítségével belátható, hogy a PR +, R d paramétertér választható a következő módon: azon a, B, η hármasok halmaza, ahol a : R + R d folytonos és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +, R d ahol LR +, R d olyan η M + R d R + mértékek halmaza, melyekre η{0} R + = 0 és a t y 2 1 ηdy [0, t] leképezés folytonos. Egy a, B, η PR +, R d hármashoz az a mérték tartozik a DR +, R d Szkorohod téren, mely szerint az xt xs növekmény eloszlása egy olyan korlátlanul osztható eloszlás R d n, melynek a Lévy Hincsin reprezentációjában az at as, Bt Bs, η ]s, t] mennyiségek szerepelnek. A második kérdésre pedig az a válasz = R d, + esetén, hogy a konvergencia ekvivalens azzal, hogy k n ξ nl L ξ a b c k nt k nt k nt Ehξ nl at egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, Covhξ nl Bt ha t D, Efξ nl fy ηdy [0, t] ha t D, f C 0 R d, 6

ahol egy topológikus csoport esetén C e a C b térnek azt az alterét jelöli, mely az egységelem valamely környezetében eltűnő függvényekből áll, h : R d R d egy nyírófüggvény, azaz folytonos, kompakt tartójú és hx = x teljesül a 0 R d valamely környezetében, továbbá Bt = bi, jt i,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + h i yh j y ηdy [0, t]. Az a célunk, hogy megkeressük ezen tételek általánosítását Lie csoportokra. A PII c halmaz parametrizálása reménytelennek tűnik Fourier transzformáltak segítségével, ezért inkább a konvolúciós operátorokat fogjuk használni. Egy µ mérték konvolúciós operátora az a T µ operátor, mely a n értelmezett valós, korlátos, folytonos, végtelenben eltűnő függvények szuprémum normával ellátott C 0 Banach terén van értelmezve a következő módon: T µ fx := fxy µdy ha x. Először is rávilágítunk a konvolúciós hemicsoportokkal való kapcsolatra. Vezessük be az S := {s, t R 2 : 0 s t} jelölést. Valószínűségi mértékeknek egy µs, t s,t S családját folytonos konvolúciós hemicsoportnak nevezünk, ha µs, r µr, t = µs, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, µt, t = ε e minden t R esetén, és az s, t µs, t leképezés folytonos. Ha ξt t 0 egy beli értékeket felvevő független bal növekményű sztochasztikusan folytonos folyamat, akkor a ξs 1 ξt, s, t S bal növekmények eloszlásai egy konvolúciós hemicsoportot alkotnak. Fordítva: ha µs, t s,t S egy konvolúciós hemicsoport, akkor létezik olyan ξt t 0 beli értékeket felvevő független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos, DR +, beli trajektóriájú folyamat, hogy minden s, t S esetén a ξs 1 ξt bal növekmény eloszlása µs, t. A konvolúciós operátorokkal létesített µ T µ reláció pedig létrehoz egy bijekciót a µs, t s,t S konvolúciós hemicsoportok és azon T s, t s,t S evolúciós operátor családok között, melyek a C 0 Banach téren értelmezett pozitív, balinvariáns, 1 normájú korlátos, lineáris operátorokból állnak. Egy E Banach tér korlátos, lineáris operátoraiból álló T s, t s,t S halmazt evolúciós operátor családnak nevezzük, ha T s, rt r, t = T s, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, T t, t = I minden t R + esetén, és az s, t T s, t leképezés erősen folytonos. A Hille Yosida elmélet alapján tudjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van egy E Banach téren értelmezett T t t 0 erősen folytonos egy paraméteres operátor félcsoport és annak N, DomN infinitézimális generátora között, ahol T hf f Nf := lim, f DomN. h 0 h Ez alapján azt várnánk, hogy egy T s, t s,t S evolúciós operátor család leírható infinitézimális generátoroknak valamely Ñt t 0 seregével, ahol Ñt az evolúciós család deriváltja t ben. Többféle kapcsolat lehetséges egy T s, t s,t S evolúciós operátor család és infinitézimális generátorok valamely Ñt t 0 serege között lásd Heyer [38], Born [17]. A hatodik fejezetben az derül ki, hogy a gyengén korlátos változású konvolúciós 7

hemicsoportok paraméterezésére az a kapcsolat alkalmas, melyet a gyenge evolúciós integrálegyenletek létesítenek. Ezek azért gyengék, mert csak pontonként kell teljesülniük. Jelölje P bv R +, azon a, B, η hármasok halmazát, ahol a : R + R d folytonos, korlátos változású és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,, ahol LR +, azon η M + R + mértékek halmazát jelöli, melyekre η{e} R + = 0 és a t ϕy ηdy [0, t] leképezés folytonos. Jelölje A az összes µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionáljából álló halmazt. Egy A : R + A leképezés akkor és csak akkor monoton növekvő, folytonos és korlátos változású, ha létezik olyan a, B, η P bv R +, hármas, hogy at, Bt, ηt az At generáló funkcionál kanonikus dekompozíciójában szereplő mennyiségek, ahol ηtdy := ηdy [0, t]. Ekkor g τ C 2, τ R +, és s, t S esetén legyen ]s,t] Adτg := + d ]s,t] ]s,t] X i g τ e aidτ + 1 2 g τ y g τ e d d i,j=1 ]s,t] X i X j g τ e bi, jdτ X i g τ ex i y ηdy dτ, amennyiben a jobboldalon álló integrálok léteznek. Azt mondjuk, hogy egy µs, t s,t S hemicsoport és egy a, B, η P bv R +, hármas kapcsolatosak egymással a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, ha minden s, t S és f D esetén T µs,t Ife = AdτT µτ,t f, ahol A : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója at, Bt, ηt t 0. A 6.7.1 és 6.7.4 Tételek szerint a µs, t s,t S folytonosan gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoportok és az a, B, η P bv R +, paraméterek között bijekciót hoz létre a gyenge backward evolúciós egyenlet. A µs, t s,t S hemicsoport a hozzá tartozó A leképezést a következő explicit módon határozza meg: minden f X 2 és t R + esetén [nt] Atf = lim f fe dµ l 1, l n n. Az az érdekesség, hogy először a 6.6.1 konvergencia tételt bizonyítjuk be, melyben elegendő feltételeket adunk beli háromszögrendszerből konstruált véletlen lépcsősfüggvények növekményeinek valamely gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoporthoz való konvergenciájára. Azt is érdemes megemlíteni, hogy a gyenge forward evolúciós egyenlet is teljesül ugyanis a 6.6.1 Tételt ugyanúgy lehet bizonyítani ebben az esetben is, de a gyenge backward evolúciós egyenletnek meg van az az előnye, ami a 6.5.2 unicitási tételből derül ki: közvetlenül, azaz a konvergencia tétel felhasználása nélkül belátható, hogy egy adott paraméterhez a gyenge backward evolúciós egyenlettel legfeljebb egy konvolúciós hemicsoportot lehet megfeleltetni. ]s,t] 8

A hetedik fejezetben, mely a [13] cikk eredményeit tartalmazza, egy kis kitérőt teszünk: megmutatjuk, hogy a hatodik fejezet eredményei átvihetők Lie projektív csoportokra is. Ez azért jelentős, mert így többek között az összes nem feltétlenül kommutatív kompakt topológikus csoport le van fedve. Végül a nyolcadik fejezetben, mely a [14] kéziraton alapul, a hatodik fejezet eredményeire támaszkodva választ adunk a fent megfogalmazott két kérdésre tetszőleges Lie csoport esetén. A 8.4.2 és 8.4.8 Tételekben parametrizáljuk az összes beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatot, azaz az összes konvolúciós hemicsoportot azzal a PR +, paraméterhalmazzal, mely olyan m, B, η hármasokból áll, ahol m : R + folytonos és m0 = e, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,. A bijekciót az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet teremti meg: minden s, t S és f D esetén T µ s,t Ife = Ãdτg τ,t, ]s,t] ahol µs, t := ε ms µs, t ε mt 1, g τ,t y := T µ τ,t fmτymτ 1, és à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ennek az eltolásnak az a szerepe, hogy ki kell operálni azt a részt, amely nem feltétlenül korlátos változású. Ugyanúgy, ahogy a hatodik és hetedik fejezetben, most is először egy konvergenciatételt bizonyítunk: elegendő feltételeket adunk tetszőleges hemicsoporthoz való konvergenciára. Az alapötlet az, hogy a µ nl mértékeket a lokális várhatóértékükkel toljuk el. Azt mondjuk, hogy a µ M 1 mértéknek az m U 0 pont lokális várhatóértéke, amennyiben x i m = x i y µdy ha i {1,..., d}. Ha a µ M 1 mértéknek létezik m lokális várhatóértéke, akkor definiálhatjuk a lokális kovariancia mátrixát is a következő módon: B = b ij i,j=1,...,d, b ij := x i y x i mx j y x j m µdy. 8.3.2 Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek egy Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, melyre k n 0 = 0 és k n R + = Z +. Jelölje m nl és B nl a µ nl mérték lokális várhatóértékét, illetve lokális kovarianciamátrixát. Vezessük be az m n : R + és B n : R + M + d, B nt = b n i, jt i,j=1,...,d függvényeket: m n t := k n t m nl, B n t := Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy k n t B nl. 9

i létezik olyan η 0 LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén k n t lim fy µ nl dy = fy η 0 dy [0, t], ii létezik olyan B 0 : R + M d, B 0 t = b 0 i, jt i,j=1,...,d, folytonos függvény, hogy minden t D és i, j {1,..., d} esetén lim b ni, jt = b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t]. Ekkor 0, B 0, η 0 P bv R +, és *knt l=k n s+1 µ nl ε m 1 nl νs, t ha s, t S, ahol νs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely a 0, B 0, η 0 P bv R +, paraméternek felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Továbbá a νs, t s,t S hemicsoport megfelel az e, B 0, η 0 PR +, paraméternek az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ha még azt is feltesszük, hogy iii létezik olyan m 0 : R + folytonos függvény, hogy minden t D esetén iv minden T > 0 és i {1,..., d} esetén akkor lim lim sup δ 0 lim m nt = m 0 t, sup t s δ 0 s t T xi mn s 1 m n t = 0, *knt µ nl µs, t ha s, t S l=k n s+1 ahol µs, t s,t S egy olyan hemicsoport, mely az m 0, B 0, η 0 PR +, paraméternek felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Megjegyezzük, hogy az i feltétel teljesülése esetén minden T > 0, minden elegendően nagy n N és minden l {1,..., k n T } esetén a µ nl mértéknek létezik lokális várhatóértéke. A 8.6 paragrafusban azt is belátjuk, hogy a gyenge backward evolúciós egyenlettel létesített reláció ekvivalens azzal, hogy a folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az illető paraméterhez tartozó eltolt martingálprobléma megoldása lásd D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60], valamint Ph. Feinsilver [25]: azt modjuk, hogy egy ξt t 0 folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az m, B, η 10

PR +, hármashoz tartozó eltolt martingálprobléma megoldása, ha minden f D függvény esetén az fξtmt 1 ÃdτL ξτ R mτ 1f [0,t] folyamat martingál a természetes filtrációval, ahol à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ha f : R és y, akkor L y f és R y f a következő függvényeket jelöli: L y fx := fyx, R y fx := fxy, x. A 8.7 paragrafusban kiderül, hogy a 8.3.2 Tételben megadott feltételek szükségesek is. Először tekintsük a globális centrálást. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } soronként független valószínűségi változók. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, hogy k n 0 = 0, k n R + = Z +, és teljesüljön a lim max P ξ nl U = 0 1 l k n t infinitézimalitási feltétel minden U Ue és t R + ξ n = ξ n t t 0, ξ n t := k nt ξ nl esetén. Tekintsük n N esetén a sztochasztikus folyamatot. Jelölje µ nl a ξ nl eloszlását. Definiáljuk az m n : R + és B n : R + M + d függvényeket úgy, mint a 8.3.2 Tételben. Egy m, B, η PR +, hármas esetén legyen B : R + M + d, Bt = bi, jti,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + x i yx j y ηdy [0, t]. 8.7.1 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely az m, B, η PR +, hármassal kapcsolatos az eltolt gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a m n t mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, b B n t Bt ha t D, k n t c fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξ n L ξ. Hasonló határeloszlás tétel érvényes lokális centrálással. Definiáljuk n N esetén a következő ξ n = ξ n t t 0 sztochasztikus folyamatokat: ξ n t := k nt 11 ξnl m 1 nl.

8.7.3 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely a 0, B, η P bv R +, hármassal kapcsolatos a gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ben. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a B n t Bt ha t D, k n t b fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξn L ξ. A 8.7.4 Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. A 8.7.5 Tételben {ξ nl : n, l N 2 } soronként független, azonos eloszlású valószínűségi változók, és a limesz folyamat független, stacionárius növekményű. Végül a 8.7.6 Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független, stacionárius növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. Irodalomjegyzék Az értekezés eredményeit a szerző alábbi cikkei tartalamazzák: [1] Pap,. 1991. Rate of convergence in CLT on stratified groups. J. Multivariate Anal. 38, 333 365. [2] Pap,. 1991. A new proof of the central limit theorem on stratified Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups X. Proceedings, Oberwolfach 1990, pp. 329 336. Plenum Press, New York. [3] Pap,. 1993. Central limit theorems on nilpotent Lie groups. Probab. Math. Stat. 14, 287 312. [4] Pap,. 1993. Characterization of aussian semigroups on a Lie group. Publ. Math. 42, 295 301. [5] Pap,. 1994. Uniqueness of embedding into a aussian semigroup on a nilpotent Lie group. Arch. Math. 62, 282 288. [6] Pap,. 1994. Central limit theorems on some topological groups. A survey. In: New Trends in Probability Theory and Mathematical Statistics II. Proceedings of the Second Ukrainian-Hungarian Conference, Munkachevo, 1992, pp. 214 224. [7] Pap,. 1994. Central limit theorems on stratified Lie groups. In: VI International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Proceedings, Vilnius, 1993 12

[8] Pap,. 1994. Processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. In: Balakrishnan, A.V. ed. 4th International Conference on Advances in Communication & Control. Proceedings, Rhodes, 1993, pp. 787 792. University of Nevada, Las Vegas. [9] Pap,. 1995. Edgeworth expansions in nilpotent Lie groups. In: Heyer, H.eds. Probability Theory on Vector Spaces XI. Proceedings, Oberwolfach 1995, pp. 274 291. World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. [10] Bentkus, V. and Pap,. 1996. The accuracy of aussian approximations in nilpotent Lie groups. J. Theor. Probab. 9, 995 1017. [11] Pap,. 1997. Construction of processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. Arch. Math. 69, 146 155. [12] Heyer, H. and Pap,. 1997. Convergence of noncommutative triangular arrays of probability measures on a Lie group. J. Theor. Probab. 10, 1003 1052. [13] Heyer, H. and Pap,. to appear in 1997. Convolution hemigroups of bounded variation on a Lie projective group. J. London Math. Soc. [14] Pap,. 1997. Functional central limit theorems and hemigroups of probability measures on a Lie group. Preprint. A tézisekben még az alábbi munkákra történik hivatkozás: [15] Baldi, P. 1985. Unicité du plongement d une mesure de probabilité dans un semigroupe de convolution gaussien. Cas non-abélien. Math. Z. 188, 411 417. [16] Born, E. 1989. An explicit Lévy Hinčin formula for convolution semigroups on locally compact groups. J. Theor. Probab. 2, 325 342. [17] Born, E. 1990. Hemigroups of probability measures on a locally compact group. Math. Ann. 287, 653 673. [18] Carnal, H. 1964. Unendlich oft teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf kompakten ruppen. Math. Ann. 153, 351 383. [19] Crépel, P. and Raugi, A. 1978. Théorème central limite sur les groupes nilpotents. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat. 14, 145 164. [20] Crépel, P. and Roynette, B. 1977. Une loi du logarithme itéré pour le groupe d Heisenberg. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 39, 217 229. [21] Csiszár, I. 1964. A note on limiting distributions on topological groups. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 9, 595 598. 13

[22] Csiszár, I. 1966. On infinite products of random elements and infinite convolutions of probability distributions on locally compact groups. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 5, 279 295. [23] Csiszár, I. 1970. Some problems concernings measures on topological spaces and convolutions of measures on topological groups. In: Les Probabilités sur les Structures Algébraiques, pp. 75 96, Paris. [24] Csiszár, I. 1971. On the weak continuity of convolution in a convolution algebra over an arbitrary topological group. Stud. Sci. Math. Hung. 6, 27 40. [25] Feinsilver, Ph. 1978. Processes with independent increments on a Lie group. Trans. Am. Math. Soc. 242, 73 121. [26] Feinsilver, Ph. and Schott, R. 1989. Operators, stochastic processes, and Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups IX. Proceedings, Oberwolfach, 1988. Lect. Notes Math., vol. 1379, pp. 75 85 Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [27] Feinsilver, Ph. and Schott, R. 1989. An operator approach to processes on Lie groups. In: Probability Theory on Vector Spaces IV. Proceedings, Łancut, 1987. Lect. Notes Math., vol. 1391, pp. 59 65 Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [28] nedenko, B.V. and Kolmogorov, A.N. 1949. Limit distributions for sums of independent random variables. ostekhizdat. English translation Addison Wesley, Cambridge, 1954 [29] ötze, F. 1981. On Edgeworth expansions in Banach spaces. Ann. Probab. 9, 852 859. [30] renander, U. 1968. Probabilities on algebraic structures. Almquist & Wilksells, Stockholm. [31] Hazod, W. 1977. Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und erzeugende Distributionen. Lect. Notes Math. Vol. 595, Springer, Berlin öttingen Heidelberg New York. [32] Hazod, W. 1984. Stable and semistable probabilities on groups and on vector spaces. In: Szynal, D., Weron, A. eds. Probability Theory on Vector Spaces III. Proceedings, Lublin 1983. Lect. Notes Math., vol. 1080, pp. 69 89 Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [33] Hazod, W. and Siebert, E. 1986. Continuous automorphism groups on a locally compact group contracting modulo a compact subgroup and applications to stable convolution semigroups. Semigroup Forum 33, 111 143. [34] Herod, J.U. and McKelvey, R.W. 1980. A Hille Yosida theory for evolutions, Isr. J. Math. 36, 13 40. 14

[35] Heyer, H. 1968. Fourier transforms and probabilities on locally compact groups. Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 70, 109 147. [36] Heyer, H. 1968. L analyse de Fourier non commutative et applications à la théorie des probabilités. Ann. Inst. Henri Poincaré, Sect. B. 4, 143 164. [37] Heyer, H. 1970. Dualität lokalkompakter ruppen. Lect. Notes Math. vol. 150, Springer, Berlin Heidelberg New York. [38] Heyer, H. 1977. Probability Measures on Locally Compact roups. Springer, Berlin Heidelberg New York. [39] Hunt,.A. 1956. Semi-groups of measures on Lie groups. Trans. Am. Math. Soc. 81, 264 293. [40] Jacod, J. and Shiryaev, A.N. 1987. Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [41] Major, P. and Shlosman, S.B. 1979. A local limit theorem for the convolution of probability measures on a compact connected group. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 50, 137 148. [42] Neuenschwander, D. 1996. Probabilities on the Heisenberg roup. Lect. Notes Math. Vol. 1630, Springer, Berlin Heidelberg. [43] Nobel, S. 1991. Limit theorems for probability measures on simply connected nilpotent Lie groups, J. Theor. Probab. 4, 261 284. [44] Prékopa, A., Rényi, A. and Urbanik, K. 1956. On the limit distribution of sums of independent random variables in commutative compact topological groups. Acta Math. Hung. 7, 11 16. [45] Raugi, A. 1978. Théorème de la limite centrale sur les groupes nilpotents. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 43, 149 172. [46] Roynette, B. 1975. Croissance et mouvements browniens d un groupe de Lie nilpotent et simplement connexe. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 32, 133 138. [47] Ruzsa, I.Z. and Székely,.J. 1988. Algebraic Probability Theory, Wiley, New York. [48] Scheffler, H.P. 1994. D Domains of attraction of stable measures on stratified Lie groups, J. Theor. Probab. 7, 767 792. [49] Siebert, E. 1972. Wahrscheinlichkeitsmaße auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Dissertation, Universität Tübingen. [50] Siebert, E. 1973. Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 25, 269 300. 15

[51] Siebert, E. 1973. Über die Erzeugung von Faltungshalbgruppen auf beiebigen lokalkompakten ruppen. Math. Z. 131, 313 333. [52] Siebert, E. 1974. Einige Bemerkungen zu den auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Manuscr. Math. 14, 41 55. [53] Siebert, E. 1974. Absolut Stetigkeit und Träger von auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Math. Ann. 210, 129 147. [54] Siebert, E. 1976. Convergence and convolutions of probability measures on a topological group. Ann. Probab. 4, 433 443. [55] Siebert, E. 1977. On the generation of convolution semigroups on arbitrary locally compact groups II. Arch. Math. 28 139 148. [56] Siebert, E. 1977. On the Lévy-Chintschin formula on locally compact maximally almost periodic groups. Math. Scand. 41 331 346. [57] Siebert, E. 1981. Fourier analysis and limit theorems for convolution semigroups on a locally compact group. Adv. Math. 39, 111 154. [58] Siebert, E. 1982. Continuous hemigroups of probability measures on a Lie group. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups. Proceedings, Oberwolfach 1981. Lect. Notes Math. vol. 1080, pp. 362 402. Springer, Berlin Heidelberg New York. [59] Siebert, E. 1986. Contractive automorphisms on locally compact groups. Math. Z. 191, 73 90. [60] Stroock, D.W. and Varadhan, S.R.S. 1973. Limit theorems for random walks on Lie groups. Sankhyā Ser. A 35, 277 294. [61] Tutubalin, V.N. 1964. Compositions of measures on the simplest nilpotent group. Theory Probab. Appl. 9, 479 487. [62] Virtser, A.D. 1974. Limit theorems for compositions of distribution on certain nilpotent Lie groups. Theory Probab. Appl. 19, 86 105. [63] Wehn, D. 1959. Limit distributions on Lie groups. Thesis, Yale. [64] Wehn, D. 1962. Probabilities on Lie groups. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 48, 791 795. 16

A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés Debrecen 1997

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 2. Jelölések, alapfogalmak 13 2.1 Lie csoportok................................... 16 2.2 Konvolúciós félcsoportok............................. 17 2.3 Nilpotens Lie csoportok............................. 19 2.4 Lépcsős Lie csoportok.............................. 20 2.5 Fourier transzformáció.............................. 27 2.6 Háromszögrendszerek............................... 28 3. Kommutatív háromszögrendszerek 29 3.1 Konvolúcióhatványok............................... 29 3.2 Konvolúciós félcsoportok konvergenciája.................... 33 3.3 Lindeberg Feller tétel Lie csoportokon..................... 38 3.4 Lindeberg Feller tétel lépcsős Lie csoportokon................. 43 4. Konvergencia sebesség 53 4.1 Konvergencia sebesség homogén gömbökön................... 53 4.2 Berry Esseen egyenlőtlenség........................... 74 4.3 Rövid Edgeworth sorfejtés............................ 79 4.4 Teljes Edgeworth sorfejtés............................ 85 5. Konvolúciós félcsoportok 97 5.1 Konvolúciós félcsoportok előállítása....................... 97 5.2 Beágyazási probléma............................... 103 3