A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon

A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés tézisei Debrecen 1997

1 Az értekezés tárgya, előzmények Dolgozatomban Lie csoportbeli valószínűségi változókra vonatkozó centrális határeloszlás tételekkel kapcsolatos problémákkal foglalkozok. A témakör fejlődésében az első fontos mérföldkő.a. Hunt [39] 1956 os cikke, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós félcsoportokat vizsgált. Egy ilyen konvolúciós félcsoport úgy is tekinthető, mint egy Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat egy dimenziós eloszlás serege. Sikerült karakterizálnia az infinitézimális generátorukat a klasszikus Lévy Hincsin formula analógjával. Erre támaszkodva D. Wehn [63], [64] 1959 ben adott elégséges feltételeket a centrális határeloszlás tételre kommutatív háromszögrendszer esetén azaz amikor az egy sorban álló mértékek a konvolúciószorzásra nézve felcserélhetőek. Egy korai áttekintés található U. renander [30] 1963 as könyvében. Az eredményeket H. Heyer [35], [36], [37], W. Hazod [31] és E. Siebert [49], [50], [51], [52], [53], [54], [55], [56] általánosította különböző topológikus csoportokra, és a vizsgálatokat kiterjesztették egyéb valószínűségszámítási kérdésekre is. Az 1976 ig elért eredményeket tárgyalja H. Heyer [38] 1977 es monográfiája. A kutatásokban tevékenyen részt vettek magyar matematikusok is; lásd például Prékopa, Rényi és Urbanik [44], Csiszár [21], [22], [23], [24], Major és Shlosman [41] cikkeit, de érdemes megemlíteni Haar Alfréd nevét is, ugyanis a Haar mérték igen fontos szerepet játszik ezeken a csoportokon. A legújabb kutatások kiterjednek félcsoportokra is; ezekről szól Ruzsa és Székely [47] könyve. Egy másik fontos mérföldkő D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60] 1973 as munkája, melyben funkcionális centrális határeloszlás tételt bizonyítottak Lie csoportokon. Náluk a határfolyamat egy független növekményű auss folyamat volt, melyet a martingál problémával karakterizáltak. Ph. Feinsilver [25] 1978 ban karakterizálta az összes független növekményű folyamatot a martingál problémával, és funkcionális centrális határeloszlás tételt is bizonyított ilyen határfolyamatokkal. Új lendületet adott a kutatásoknak W. Hazod [32] 1984 es cikke, melyben általánosította a stabilis eloszlások fogalmát topológikus csoportokra. Később W. Hazod és E. Siebert [33], [59] 1986 ban megmutatták, hogy a centrális határeloszlás tétel topológikus csoportokon történő vizsgálatában kiemelt szerepet játszanak a nilpotens Lie csoportok, ugyanis ha tekintjük lokálisan kompakt topológikus csoportbeli független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozatát, akkor az automorfizmusokkal alkalmasan normalizált részletszorzatok lehetséges határeloszlásai olyan részcsoportra koncentrálódnak, mely izomorf egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie csoporttal. Érdemes megemlíteni D. Neuenschwander [42] 1996 os könyvét, melyben a legegyszerűbb nem kommutatív nilpotens Lie csoporttal, a Heisenberg csoporttal kapcsolatos eredményeket foglalja össze. Nilpotens Lie csoportokon már V.N. Tutubalin [61] 1964-ben és A.D. Virtser [62] 1974 ben, valamint P. Crépel és A. Raugi [19] 1978 ban bizonyítottak centrális határeloszlás tételeket konvolúcióhatványokra vonatkozóan azaz független, azonos eloszlású valószínűségi változókra, de ezekben a munkákban magas momentumok végességét tételezték fel. Végül A. Raugi [45] adott 1978 ban egy bonyolult, hosszú bizonyítást csak a második homogén 1

momentum végességét feltételezve. A konvergenciasebesség vizsgálatával kapcsolatos első lépést P. Crépel és B. Roynette [20] tette meg 1977 ben, de nekik a Heisenberg csoport esetén On 1/3 nál lassabb konvergenciát sikerült bizonyítaniuk az optimális On 1/2 helyett. Az is kiderült, hogy a stabilis eloszlások vonzási tartományának meghatározásánál igen fontos szerepet játszik a következő beágyazási probléma: vajon ha egy valószínűségi mérték beágyazható egy konvolúciós félcsoportba, akkor ez a konvolúciós félcsoport egyértelműen meghatározott? Lásd W. Hazod [32], S. Nobel [43] és H.P. Scheffler [48]. P. Baldi [15] 1985 ben megmutatta, hogy 2 lépéses nilpotens Lie csoportok esetén a auss mértékek egyértelműen ágyazhatók be auss félcsoportba. Kutatásaimra nagy hatással volt E. Siebert [58] 1982 es cikke is, melyben Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós hemicsoportokat vizsgált, melyek úgy is tekinthetők, mint egy független növekményű folyamat növekményei eloszlásainak két paraméteres serege. A kiinduló ötlet az volt, hogy ezeket próbáljuk meg infinitézimális generátoroknak egy időparamétertől függő seregével karakterizálni, mely a megfelelő konvolúciós operátor sereg deriváltja. E. Siebert megmutatta, hogy ennek a kapcsolatnak az integrál alakja, az úgynevezett evolúciós integrál egyenletek valóban alkalmasak gyengén Lipschitz folytonos konvolúciós hemicsoportok karakterizálására. Később Born [17] 1990 ben karakterizálta az erősen korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat tetszőleges lokálisan kompakt csoport esetén. Ez a munka J.U. Herod és R.W. McKelvey [34] 1980 as cikkére támaszkodott, melyben a Hille Yosida elméletet általánosították olyan evolúciós operátor családokra, melyek Banach terek egymásba ágyazott láncolatán vannak értelmezve, kontraktív operátorokból állnak, és korlátos változásúak a láncra nézve. 2 Az értekezés felépítése és főbb eredményei Az értekezés nyolc fejezetből áll, ezek közül az első a bevezetés, a másodikban pedig a gyakrabban használatos fogalmak és jelölések találhatók. A harmadik fejezetben, mely a [2] és [3] cikkek eredményein alapul, kommutatív háromszögrendszerekkel foglalkozunk. Először Raugi [45] centrális határeloszlás tételére adunk egy egyszerű, rövid bizonyítást lépcsős Lie csoport esetén. 3.1.1 Tétel. Legyen egy lépcsős Lie csoport. Jelölje δ t t>0 a természetes dilatációiból álló egy paraméteres automorfizmus csoportot. Legyen µ egy centrált valószínűségi mérték n véges második homogén momentummal. Ekkor ahol ν = aussµ. δ 1/ n µ n ν, aussµ azt az egyértelműen meghatározott auss mértéket jelöli, melynek első és másodfokú homogén momentumai ugyanazok, mint a µ mértéknek. A következő cél Lindeberg Feller típusú centrális határeloszlás tétel bizonyítása, azaz szükséges és elégséges feltétel keresése háromszögrendszerek konvergenciájára. Ehhez először 2

a korlátlanul osztható eloszlások konvergenciájáról szóló klasszikus tétel lásd nedenko és Kolmogorov [28, 19, Theorem 1, Theorem 2] analógját kell megtalálni lásd 3.2.2 Tétel, mely konvolúciós félcsoportok konvergenciájára ad szükséges és elegendő feltételt ami a Lévy Hincsin formulában szereplő mennyiségek megfelelő értelemben vett konvergenciája. Ennek segítségével a kísérő Poisson-sorozatot használva és Fourier-transzformáltakat alkalmazva sikerült szükséges és elégséges feltételt kapni szimmetrikus mértékek esetén. Legyen egy Lie csoport L Lie algebrával. Jelölje M 1 a valószínűségi mértékek halmazát. Jelölje Ue az e egységelem mérhető környezeteinek rendszerét. Egy X L elem tekinthető például bal invariáns differenciáloperátornak is a csoporton: 1 Xfx := lim fx exptx fx. t 0 t Legyen {X 1,..., X d } egy bázis L ben. Legyen x 1,..., x d D egy olyan elsőfajú kanonikus koordináta rendszer ben, mely adaptált az {X 1,..., X d } bázishoz és érvényes az egységelem valamely U 0 kompakt környezetben, azaz y = exp d x iyx i ha y U0, továbbá legyen ϕ : [0, 1] egy Hunt függvény a csoporton, azaz 1 ϕ D, és ϕy = d x iy 2 ha y U 0. Jelölje M + d a d d valós, szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrixok halmazát. 3.3.5 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn;n 1 egy szimmetrikus mértékekből álló kommutatív háromszögrendszer n. Legyen b ij i,j=1,...,d M + d. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a lim b lim k n k n µ nl \ U = 0 ha U Ue, ii a I infinitézimális, k n b sup ϕy µ nl dy <, n 1 x i yx j y µ nl dy = b ij ha i, j = 1,..., d. c lim µ n1 µ nkn = ν ahol ν = ν 1, ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora 1 d b ij Xi Xj. 2 i,j=1 A szimmetrizáció módszerével ezt sikerült általánosítani normális háromszögrendszerekre is 3.3.6 Tétel. Lépcsős Lie csoportokon a Lindeberg Feller tétel szokásos alakját kapjuk 3.4.4 Tétel. Ezután levezetünk egy Lindeberg tételt abban az esetben, amikor a határeloszlás olyan auss mérték, mely stabilis a δ t t>0 természetes dilatációra nézve 3.4.12 Tétel. Ebből egyrészt könnyen származtatható a 3.1.1 Tétel, másrészt egy Lindeberg tétel a H Heisenberg csoporton adott valószínűségi mértékek µ 1 µ n n szeres konvolúciószorzatának alkalmas automorfizmusokkal standardizált sorozatának auss mértékhez való konvergenciájáról 3.4.14 Tétel. 3

A negyedik fejezetben, mely az [1], [9] és [10] cikkek eredményein alapul, auss mértékekkel való közelítés pontosságával foglalkozunk lépcsős nilpotens Lie csoportokon, mégpedig a 3.1.1 centrális határeloszlás tételbeli konvergencia sebességével. Először a standard esetben homogén gömbökön, azaz Ba, r := {x : a 1 x < r}, a, r > 0 alakú halmazokon bizonyítunk On 1/2 konvergencia sebességet bizonyos analitikus feltételeket kielégítő homogén normák esetén 4.1.34 Tétel: egy s lépcsős nilpotens Lie csoport esetén δ1/ n µ n Ba, r νba, r Cκa, rβ3 µ, ν + β 3s µ, νn 1/2, ahol κa, r := 1 + a s 1 1 + 1 + a /r} 3s 1 és β k µ, ν := x k µ ν dx, ahol µ ν a µ ν előjeles mérték totális variációját jelöli. Ezután sima függvények integráljaira vonatkozó Berry Esseen egyenlőtlenséget bizonyítunk, amelyben csak a szokásos momentumfeltétel szerepel, és az alakja is optimális 4.2.7 Tétel. A legfontosabb következmény az, hogy ha m 3 µ <, akkor fxδ 1/ n µ n dx fx νdx C f 3s,hom1 + m 3s 1 νm 3 µn 1/2, ahol egy γ mérték esetén m k γ := x k γdx. Valószínűségi mértékek konvolúció hatványainak auss mértékekkel történő közelítésének pontosságáról ad még több információt az Edgeworth sorfejtés. A 4.3.1 Tétel a rövid alakot írja le, azaz amikor a sorfejtés csak egy tagot tartalmaz a auss mérték után. Egy I Z d + multiindex esetén használni fogjuk az S I := 1 I! [j 1 ]+ +[j I ]=I X j1... X j I jobb invariáns differenciáloperátort, mely tekinthető X I szimmetrizáltjának. Itt [j] azt a multiindexet jelöli, melynek a j edik koordinátája 1, és a többi 0. Az Edgeworth sorfejtés legegyszerűbb alakja m 4 µ < esetén fxδ 1/ n µ n dx = fxνdx + αn 1/2 + On 1, ahol α := 1 di=3 0 S I g x,z eν t dxν 1 t dzdt y I µ νdy, ν t t 0 az a auss félcsoport, melyre ν 1 = ν, és g x,z : R, g x,z y := fxyz, y. Érdemes megemlíteni azt is, hogy S I g x,z e = PJ I x, z J fxz, ahol P I J dj di, J I olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di. A 4.4.5 Tételben megadjuk a tetszőleges hosszúságú Edgeworth sorfejtést, melynek bizonyítása az Euler Maclaurin féle összegzési formulának bizonyos többdimenziós szimplexekre 4

történő általánosítását használja lásd 4.4.2 Tétel, mely önmagában is érdeklődésre tarthat számot. Az ötödik fejezet, mely a [4], [5] és [11] cikkek eredményein alapul, az előzményekben megfogalmazott beágyazási problémával kapcsolatos. Egy lehetőség a beágyazási probléma megközelítésére a konvolúciós félcsoportok struktúrájának felderítése. Ezzel függ össze az a kérdés, melyet Ph. Feinsilver és R. Schott [26], [27] vetettek fel: hogy néz ki egy független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat, mely értékeit egy Lie csoportban veszi fel? Az 5.1.2 Tétel válasza az, hogy egy d dimenziós exponenciális Lie csoport esetén azaz amikor az exponenciális leképezés egy analitikus diffeomorfizmus ha veszünk egy független, stacionárius növekményű folyamatot, és úgy tekintjük, mint egy R d beli értékű folyamatot, akkor az egy idő homogén diffúzió ugrásokkal J. Jacod és A.N. Shiryayev [40, p. 142] értelmében, azaz egy olyan általánosított sztochasztikus differenciál egyenlet egyértelmű, erős megoldása, melyet egy Wiener folyamat és egy véletlen stacionárius Poisson mérték hajt meg; az egyenletet a folyamat infinitézimális generátorával explicit módon megadjuk. Ennek segítségével az 5.1.6 Tételben explicit konstrukciót adunk tetszőleges nilpotens Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű folyamatra, mellyel általánosítjuk B. Roynette [46] rekurzív formuláját, mely a Brown mozgás esetére érvényes. P. Baldi [15] tételét sikerült 2 lépéses nilpotens Lie csoportról tetszőleges nilpotens Lie csoportra általánosítani: 5.2.3 Tétel. Legyenek µ t t 0 és ν t t 0 olyan auss félcsoportok egy egyszeresen összefüggő, nilpotens Lie csoporton, hogy µ 1 = ν 1. Ekkor µ t = ν t minden t 0 esetén. Megpróbáltam a beágyazási problémát úgy is megközelíteni, hogy karakterizációs tulajdonságokat kerestem auss mértékekre. Carnal [18] bizonyított ilyet kompakt Lie csoportokon. Ennek az eredménynek adjuk meg az analógját tetszőleges Lie csoporton az 5.3.1 Tételben, de ez auss félcsoportokat karakterizál. A disszertáció utolsó három fejezete a funkcionális centrális határeloszlás tétel problémakörével foglalkozik, mely egy topológikus csoporton a következő módon fogalmazható meg. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } beli értéket felvevő, soronként független valószínűségi változók, és legyenek {k n : n N} olyan növekvő, jobbról folytonos k n : R + Z + függvények, hogy k n 0 = 0, és minden t R + és minden U Ue esetén teljesül a lim infinitézimalitási feltétel. Képezzük a ξ n t := max P ξ nl U = 0 1 l k n t k n t ξ nl := ξ n1 ξ n2 ξ n,knt szorzatokat, és tekintsük a ξ n = ξ n t t 0, n = 1, 2,... sztochasztikus folyamatokat, melyeknek a trajektóriái nyilván a DR +, Szkorohod térbe esnek. Feltételeket keresünk a háromszögrendszerre ahhoz, hogy teljesüljön a véges dimenziós eloszlások ξ n ξ L konvergenciája, vagy a Szkorohod térben indukált eloszlások ξ n ξ konvergenciája, ahol ξ = ξt t 0 egy olyan beli értéket felvevő folyamat, melynek trajektóriái majd- 5 L f

nem biztosan a Szkorohod térbe esnek. Szükségképpen a ξ = ξt t 0 folyamat független bal növekményű, azaz ξ0 = e és tetszőleges 0 t 1 t 2... t n időpontokra a ξt 1, ξt 1 1 ξt 2,..., ξt n 1 1 ξt n bal növekmények függetlenek. Csak olyan limesz folyamatok érdekelnek bennünket, melyek sztochasztikusan folytonosak ami most azzal ekvivalens, hogy nincsenek rögzített idejű szakadási pontjai. A feladatok pontosabban megfogalmazva a következők: parametrizáljuk a beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatok által a DR +, Szkorohod téren indukált valószínűségi mértékek PII c halmazát, azaz adjunk meg egy bijekciót PII c és valamely alkalmas PR +, paramétertér között; feleltessünk meg alkalmas K n mennyiségeket a {ξ nl : 1 l k n t}, t R +, n N, sorokhoz úgy, hogy L? ξ K n K, ξ n ahol K PR +, az a paraméter, ami a ξ limesz folyamathoz tartozik, és a K n K konvergencia megfelelően van értelmezve. A hatodik fejezetben, mely a [12] cikken alapul, először megfogalmazzuk a fenti kérdésekre a = R d, + csoport esetén a jól ismert válaszokat. Ekkor ugyanis a karakterisztikus függvények segítségével belátható, hogy a PR +, R d paramétertér választható a következő módon: azon a, B, η hármasok halmaza, ahol a : R + R d folytonos és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +, R d ahol LR +, R d olyan η M + R d R + mértékek halmaza, melyekre η{0} R + = 0 és a t y 2 1 ηdy [0, t] leképezés folytonos. Egy a, B, η PR +, R d hármashoz az a mérték tartozik a DR +, R d Szkorohod téren, mely szerint az xt xs növekmény eloszlása egy olyan korlátlanul osztható eloszlás R d n, melynek a Lévy Hincsin reprezentációjában az at as, Bt Bs, η ]s, t] mennyiségek szerepelnek. A második kérdésre pedig az a válasz = R d, + esetén, hogy a konvergencia ekvivalens azzal, hogy k n ξ nl L ξ a b c k nt k nt k nt Ehξ nl at egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, Covhξ nl Bt ha t D, Efξ nl fy ηdy [0, t] ha t D, f C 0 R d, 6

ahol egy topológikus csoport esetén C e a C b térnek azt az alterét jelöli, mely az egységelem valamely környezetében eltűnő függvényekből áll, h : R d R d egy nyírófüggvény, azaz folytonos, kompakt tartójú és hx = x teljesül a 0 R d valamely környezetében, továbbá Bt = bi, jt i,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + h i yh j y ηdy [0, t]. Az a célunk, hogy megkeressük ezen tételek általánosítását Lie csoportokra. A PII c halmaz parametrizálása reménytelennek tűnik Fourier transzformáltak segítségével, ezért inkább a konvolúciós operátorokat fogjuk használni. Egy µ mérték konvolúciós operátora az a T µ operátor, mely a n értelmezett valós, korlátos, folytonos, végtelenben eltűnő függvények szuprémum normával ellátott C 0 Banach terén van értelmezve a következő módon: T µ fx := fxy µdy ha x. Először is rávilágítunk a konvolúciós hemicsoportokkal való kapcsolatra. Vezessük be az S := {s, t R 2 : 0 s t} jelölést. Valószínűségi mértékeknek egy µs, t s,t S családját folytonos konvolúciós hemicsoportnak nevezünk, ha µs, r µr, t = µs, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, µt, t = ε e minden t R esetén, és az s, t µs, t leképezés folytonos. Ha ξt t 0 egy beli értékeket felvevő független bal növekményű sztochasztikusan folytonos folyamat, akkor a ξs 1 ξt, s, t S bal növekmények eloszlásai egy konvolúciós hemicsoportot alkotnak. Fordítva: ha µs, t s,t S egy konvolúciós hemicsoport, akkor létezik olyan ξt t 0 beli értékeket felvevő független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos, DR +, beli trajektóriájú folyamat, hogy minden s, t S esetén a ξs 1 ξt bal növekmény eloszlása µs, t. A konvolúciós operátorokkal létesített µ T µ reláció pedig létrehoz egy bijekciót a µs, t s,t S konvolúciós hemicsoportok és azon T s, t s,t S evolúciós operátor családok között, melyek a C 0 Banach téren értelmezett pozitív, balinvariáns, 1 normájú korlátos, lineáris operátorokból állnak. Egy E Banach tér korlátos, lineáris operátoraiból álló T s, t s,t S halmazt evolúciós operátor családnak nevezzük, ha T s, rt r, t = T s, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, T t, t = I minden t R + esetén, és az s, t T s, t leképezés erősen folytonos. A Hille Yosida elmélet alapján tudjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van egy E Banach téren értelmezett T t t 0 erősen folytonos egy paraméteres operátor félcsoport és annak N, DomN infinitézimális generátora között, ahol T hf f Nf := lim, f DomN. h 0 h Ez alapján azt várnánk, hogy egy T s, t s,t S evolúciós operátor család leírható infinitézimális generátoroknak valamely Ñt t 0 seregével, ahol Ñt az evolúciós család deriváltja t ben. Többféle kapcsolat lehetséges egy T s, t s,t S evolúciós operátor család és infinitézimális generátorok valamely Ñt t 0 serege között lásd Heyer [38], Born [17]. A hatodik fejezetben az derül ki, hogy a gyengén korlátos változású konvolúciós 7

hemicsoportok paraméterezésére az a kapcsolat alkalmas, melyet a gyenge evolúciós integrálegyenletek létesítenek. Ezek azért gyengék, mert csak pontonként kell teljesülniük. Jelölje P bv R +, azon a, B, η hármasok halmazát, ahol a : R + R d folytonos, korlátos változású és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,, ahol LR +, azon η M + R + mértékek halmazát jelöli, melyekre η{e} R + = 0 és a t ϕy ηdy [0, t] leképezés folytonos. Jelölje A az összes µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionáljából álló halmazt. Egy A : R + A leképezés akkor és csak akkor monoton növekvő, folytonos és korlátos változású, ha létezik olyan a, B, η P bv R +, hármas, hogy at, Bt, ηt az At generáló funkcionál kanonikus dekompozíciójában szereplő mennyiségek, ahol ηtdy := ηdy [0, t]. Ekkor g τ C 2, τ R +, és s, t S esetén legyen ]s,t] Adτg := + d ]s,t] ]s,t] X i g τ e aidτ + 1 2 g τ y g τ e d d i,j=1 ]s,t] X i X j g τ e bi, jdτ X i g τ ex i y ηdy dτ, amennyiben a jobboldalon álló integrálok léteznek. Azt mondjuk, hogy egy µs, t s,t S hemicsoport és egy a, B, η P bv R +, hármas kapcsolatosak egymással a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, ha minden s, t S és f D esetén T µs,t Ife = AdτT µτ,t f, ahol A : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója at, Bt, ηt t 0. A 6.7.1 és 6.7.4 Tételek szerint a µs, t s,t S folytonosan gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoportok és az a, B, η P bv R +, paraméterek között bijekciót hoz létre a gyenge backward evolúciós egyenlet. A µs, t s,t S hemicsoport a hozzá tartozó A leképezést a következő explicit módon határozza meg: minden f X 2 és t R + esetén [nt] Atf = lim f fe dµ l 1, l n n. Az az érdekesség, hogy először a 6.6.1 konvergencia tételt bizonyítjuk be, melyben elegendő feltételeket adunk beli háromszögrendszerből konstruált véletlen lépcsősfüggvények növekményeinek valamely gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoporthoz való konvergenciájára. Azt is érdemes megemlíteni, hogy a gyenge forward evolúciós egyenlet is teljesül ugyanis a 6.6.1 Tételt ugyanúgy lehet bizonyítani ebben az esetben is, de a gyenge backward evolúciós egyenletnek meg van az az előnye, ami a 6.5.2 unicitási tételből derül ki: közvetlenül, azaz a konvergencia tétel felhasználása nélkül belátható, hogy egy adott paraméterhez a gyenge backward evolúciós egyenlettel legfeljebb egy konvolúciós hemicsoportot lehet megfeleltetni. ]s,t] 8

A hetedik fejezetben, mely a [13] cikk eredményeit tartalmazza, egy kis kitérőt teszünk: megmutatjuk, hogy a hatodik fejezet eredményei átvihetők Lie projektív csoportokra is. Ez azért jelentős, mert így többek között az összes nem feltétlenül kommutatív kompakt topológikus csoport le van fedve. Végül a nyolcadik fejezetben, mely a [14] kéziraton alapul, a hatodik fejezet eredményeire támaszkodva választ adunk a fent megfogalmazott két kérdésre tetszőleges Lie csoport esetén. A 8.4.2 és 8.4.8 Tételekben parametrizáljuk az összes beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatot, azaz az összes konvolúciós hemicsoportot azzal a PR +, paraméterhalmazzal, mely olyan m, B, η hármasokból áll, ahol m : R + folytonos és m0 = e, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,. A bijekciót az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet teremti meg: minden s, t S és f D esetén T µ s,t Ife = Ãdτg τ,t, ]s,t] ahol µs, t := ε ms µs, t ε mt 1, g τ,t y := T µ τ,t fmτymτ 1, és à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ennek az eltolásnak az a szerepe, hogy ki kell operálni azt a részt, amely nem feltétlenül korlátos változású. Ugyanúgy, ahogy a hatodik és hetedik fejezetben, most is először egy konvergenciatételt bizonyítunk: elegendő feltételeket adunk tetszőleges hemicsoporthoz való konvergenciára. Az alapötlet az, hogy a µ nl mértékeket a lokális várhatóértékükkel toljuk el. Azt mondjuk, hogy a µ M 1 mértéknek az m U 0 pont lokális várhatóértéke, amennyiben x i m = x i y µdy ha i {1,..., d}. Ha a µ M 1 mértéknek létezik m lokális várhatóértéke, akkor definiálhatjuk a lokális kovariancia mátrixát is a következő módon: B = b ij i,j=1,...,d, b ij := x i y x i mx j y x j m µdy. 8.3.2 Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek egy Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, melyre k n 0 = 0 és k n R + = Z +. Jelölje m nl és B nl a µ nl mérték lokális várhatóértékét, illetve lokális kovarianciamátrixát. Vezessük be az m n : R + és B n : R + M + d, B nt = b n i, jt i,j=1,...,d függvényeket: m n t := k n t m nl, B n t := Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy k n t B nl. 9

i létezik olyan η 0 LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén k n t lim fy µ nl dy = fy η 0 dy [0, t], ii létezik olyan B 0 : R + M d, B 0 t = b 0 i, jt i,j=1,...,d, folytonos függvény, hogy minden t D és i, j {1,..., d} esetén lim b ni, jt = b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t]. Ekkor 0, B 0, η 0 P bv R +, és *knt l=k n s+1 µ nl ε m 1 nl νs, t ha s, t S, ahol νs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely a 0, B 0, η 0 P bv R +, paraméternek felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Továbbá a νs, t s,t S hemicsoport megfelel az e, B 0, η 0 PR +, paraméternek az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ha még azt is feltesszük, hogy iii létezik olyan m 0 : R + folytonos függvény, hogy minden t D esetén iv minden T > 0 és i {1,..., d} esetén akkor lim lim sup δ 0 lim m nt = m 0 t, sup t s δ 0 s t T xi mn s 1 m n t = 0, *knt µ nl µs, t ha s, t S l=k n s+1 ahol µs, t s,t S egy olyan hemicsoport, mely az m 0, B 0, η 0 PR +, paraméternek felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Megjegyezzük, hogy az i feltétel teljesülése esetén minden T > 0, minden elegendően nagy n N és minden l {1,..., k n T } esetén a µ nl mértéknek létezik lokális várhatóértéke. A 8.6 paragrafusban azt is belátjuk, hogy a gyenge backward evolúciós egyenlettel létesített reláció ekvivalens azzal, hogy a folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az illető paraméterhez tartozó eltolt martingálprobléma megoldása lásd D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [60], valamint Ph. Feinsilver [25]: azt modjuk, hogy egy ξt t 0 folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az m, B, η 10

PR +, hármashoz tartozó eltolt martingálprobléma megoldása, ha minden f D függvény esetén az fξtmt 1 ÃdτL ξτ R mτ 1f [0,t] folyamat martingál a természetes filtrációval, ahol à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, Bt, ηt t 0. Ha f : R és y, akkor L y f és R y f a következő függvényeket jelöli: L y fx := fyx, R y fx := fxy, x. A 8.7 paragrafusban kiderül, hogy a 8.3.2 Tételben megadott feltételek szükségesek is. Először tekintsük a globális centrálást. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } soronként független valószínűségi változók. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, hogy k n 0 = 0, k n R + = Z +, és teljesüljön a lim max P ξ nl U = 0 1 l k n t infinitézimalitási feltétel minden U Ue és t R + ξ n = ξ n t t 0, ξ n t := k nt ξ nl esetén. Tekintsük n N esetén a sztochasztikus folyamatot. Jelölje µ nl a ξ nl eloszlását. Definiáljuk az m n : R + és B n : R + M + d függvényeket úgy, mint a 8.3.2 Tételben. Egy m, B, η PR +, hármas esetén legyen B : R + M + d, Bt = bi, jti,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + x i yx j y ηdy [0, t]. 8.7.1 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely az m, B, η PR +, hármassal kapcsolatos az eltolt gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a m n t mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, b B n t Bt ha t D, k n t c fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξ n L ξ. Hasonló határeloszlás tétel érvényes lokális centrálással. Definiáljuk n N esetén a következő ξ n = ξ n t t 0 sztochasztikus folyamatokat: ξ n t := k nt 11 ξnl m 1 nl.

8.7.3 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely a 0, B, η P bv R +, hármassal kapcsolatos a gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ben. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a B n t Bt ha t D, k n t b fy µ nl dy fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξn L ξ. A 8.7.4 Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. A 8.7.5 Tételben {ξ nl : n, l N 2 } soronként független, azonos eloszlású valószínűségi változók, és a limesz folyamat független, stacionárius növekményű. Végül a 8.7.6 Tétel szükséges és elégséges feltételt ad független, stacionárius növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. Irodalomjegyzék Az értekezés eredményeit a szerző alábbi cikkei tartalamazzák: [1] Pap,. 1991. Rate of convergence in CLT on stratified groups. J. Multivariate Anal. 38, 333 365. [2] Pap,. 1991. A new proof of the central limit theorem on stratified Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups X. Proceedings, Oberwolfach 1990, pp. 329 336. Plenum Press, New York. [3] Pap,. 1993. Central limit theorems on nilpotent Lie groups. Probab. Math. Stat. 14, 287 312. [4] Pap,. 1993. Characterization of aussian semigroups on a Lie group. Publ. Math. 42, 295 301. [5] Pap,. 1994. Uniqueness of embedding into a aussian semigroup on a nilpotent Lie group. Arch. Math. 62, 282 288. [6] Pap,. 1994. Central limit theorems on some topological groups. A survey. In: New Trends in Probability Theory and Mathematical Statistics II. Proceedings of the Second Ukrainian-Hungarian Conference, Munkachevo, 1992, pp. 214 224. [7] Pap,. 1994. Central limit theorems on stratified Lie groups. In: VI International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Proceedings, Vilnius, 1993 12

[8] Pap,. 1994. Processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. In: Balakrishnan, A.V. ed. 4th International Conference on Advances in Communication & Control. Proceedings, Rhodes, 1993, pp. 787 792. University of Nevada, Las Vegas. [9] Pap,. 1995. Edgeworth expansions in nilpotent Lie groups. In: Heyer, H.eds. Probability Theory on Vector Spaces XI. Proceedings, Oberwolfach 1995, pp. 274 291. World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. [10] Bentkus, V. and Pap,. 1996. The accuracy of aussian approximations in nilpotent Lie groups. J. Theor. Probab. 9, 995 1017. [11] Pap,. 1997. Construction of processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. Arch. Math. 69, 146 155. [12] Heyer, H. and Pap,. 1997. Convergence of noncommutative triangular arrays of probability measures on a Lie group. J. Theor. Probab. 10, 1003 1052. [13] Heyer, H. and Pap,. to appear in 1997. Convolution hemigroups of bounded variation on a Lie projective group. J. London Math. Soc. [14] Pap,. 1997. Functional central limit theorems and hemigroups of probability measures on a Lie group. Preprint. A tézisekben még az alábbi munkákra történik hivatkozás: [15] Baldi, P. 1985. Unicité du plongement d une mesure de probabilité dans un semigroupe de convolution gaussien. Cas non-abélien. Math. Z. 188, 411 417. [16] Born, E. 1989. An explicit Lévy Hinčin formula for convolution semigroups on locally compact groups. J. Theor. Probab. 2, 325 342. [17] Born, E. 1990. Hemigroups of probability measures on a locally compact group. Math. Ann. 287, 653 673. [18] Carnal, H. 1964. Unendlich oft teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf kompakten ruppen. Math. Ann. 153, 351 383. [19] Crépel, P. and Raugi, A. 1978. Théorème central limite sur les groupes nilpotents. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat. 14, 145 164. [20] Crépel, P. and Roynette, B. 1977. Une loi du logarithme itéré pour le groupe d Heisenberg. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 39, 217 229. [21] Csiszár, I. 1964. A note on limiting distributions on topological groups. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 9, 595 598. 13

[22] Csiszár, I. 1966. On infinite products of random elements and infinite convolutions of probability distributions on locally compact groups. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 5, 279 295. [23] Csiszár, I. 1970. Some problems concernings measures on topological spaces and convolutions of measures on topological groups. In: Les Probabilités sur les Structures Algébraiques, pp. 75 96, Paris. [24] Csiszár, I. 1971. On the weak continuity of convolution in a convolution algebra over an arbitrary topological group. Stud. Sci. Math. Hung. 6, 27 40. [25] Feinsilver, Ph. 1978. Processes with independent increments on a Lie group. Trans. Am. Math. Soc. 242, 73 121. [26] Feinsilver, Ph. and Schott, R. 1989. Operators, stochastic processes, and Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups IX. Proceedings, Oberwolfach, 1988. Lect. Notes Math., vol. 1379, pp. 75 85 Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [27] Feinsilver, Ph. and Schott, R. 1989. An operator approach to processes on Lie groups. In: Probability Theory on Vector Spaces IV. Proceedings, Łancut, 1987. Lect. Notes Math., vol. 1391, pp. 59 65 Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [28] nedenko, B.V. and Kolmogorov, A.N. 1949. Limit distributions for sums of independent random variables. ostekhizdat. English translation Addison Wesley, Cambridge, 1954 [29] ötze, F. 1981. On Edgeworth expansions in Banach spaces. Ann. Probab. 9, 852 859. [30] renander, U. 1968. Probabilities on algebraic structures. Almquist & Wilksells, Stockholm. [31] Hazod, W. 1977. Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und erzeugende Distributionen. Lect. Notes Math. Vol. 595, Springer, Berlin öttingen Heidelberg New York. [32] Hazod, W. 1984. Stable and semistable probabilities on groups and on vector spaces. In: Szynal, D., Weron, A. eds. Probability Theory on Vector Spaces III. Proceedings, Lublin 1983. Lect. Notes Math., vol. 1080, pp. 69 89 Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [33] Hazod, W. and Siebert, E. 1986. Continuous automorphism groups on a locally compact group contracting modulo a compact subgroup and applications to stable convolution semigroups. Semigroup Forum 33, 111 143. [34] Herod, J.U. and McKelvey, R.W. 1980. A Hille Yosida theory for evolutions, Isr. J. Math. 36, 13 40. 14

[35] Heyer, H. 1968. Fourier transforms and probabilities on locally compact groups. Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 70, 109 147. [36] Heyer, H. 1968. L analyse de Fourier non commutative et applications à la théorie des probabilités. Ann. Inst. Henri Poincaré, Sect. B. 4, 143 164. [37] Heyer, H. 1970. Dualität lokalkompakter ruppen. Lect. Notes Math. vol. 150, Springer, Berlin Heidelberg New York. [38] Heyer, H. 1977. Probability Measures on Locally Compact roups. Springer, Berlin Heidelberg New York. [39] Hunt,.A. 1956. Semi-groups of measures on Lie groups. Trans. Am. Math. Soc. 81, 264 293. [40] Jacod, J. and Shiryaev, A.N. 1987. Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [41] Major, P. and Shlosman, S.B. 1979. A local limit theorem for the convolution of probability measures on a compact connected group. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 50, 137 148. [42] Neuenschwander, D. 1996. Probabilities on the Heisenberg roup. Lect. Notes Math. Vol. 1630, Springer, Berlin Heidelberg. [43] Nobel, S. 1991. Limit theorems for probability measures on simply connected nilpotent Lie groups, J. Theor. Probab. 4, 261 284. [44] Prékopa, A., Rényi, A. and Urbanik, K. 1956. On the limit distribution of sums of independent random variables in commutative compact topological groups. Acta Math. Hung. 7, 11 16. [45] Raugi, A. 1978. Théorème de la limite centrale sur les groupes nilpotents. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 43, 149 172. [46] Roynette, B. 1975. Croissance et mouvements browniens d un groupe de Lie nilpotent et simplement connexe. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 32, 133 138. [47] Ruzsa, I.Z. and Székely,.J. 1988. Algebraic Probability Theory, Wiley, New York. [48] Scheffler, H.P. 1994. D Domains of attraction of stable measures on stratified Lie groups, J. Theor. Probab. 7, 767 792. [49] Siebert, E. 1972. Wahrscheinlichkeitsmaße auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Dissertation, Universität Tübingen. [50] Siebert, E. 1973. Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf lokalkompakten maximal fastperiodischen ruppen. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 25, 269 300. 15

[51] Siebert, E. 1973. Über die Erzeugung von Faltungshalbgruppen auf beiebigen lokalkompakten ruppen. Math. Z. 131, 313 333. [52] Siebert, E. 1974. Einige Bemerkungen zu den auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Manuscr. Math. 14, 41 55. [53] Siebert, E. 1974. Absolut Stetigkeit und Träger von auß Verteilungen auf lokalkompakten ruppen. Math. Ann. 210, 129 147. [54] Siebert, E. 1976. Convergence and convolutions of probability measures on a topological group. Ann. Probab. 4, 433 443. [55] Siebert, E. 1977. On the generation of convolution semigroups on arbitrary locally compact groups II. Arch. Math. 28 139 148. [56] Siebert, E. 1977. On the Lévy-Chintschin formula on locally compact maximally almost periodic groups. Math. Scand. 41 331 346. [57] Siebert, E. 1981. Fourier analysis and limit theorems for convolution semigroups on a locally compact group. Adv. Math. 39, 111 154. [58] Siebert, E. 1982. Continuous hemigroups of probability measures on a Lie group. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups. Proceedings, Oberwolfach 1981. Lect. Notes Math. vol. 1080, pp. 362 402. Springer, Berlin Heidelberg New York. [59] Siebert, E. 1986. Contractive automorphisms on locally compact groups. Math. Z. 191, 73 90. [60] Stroock, D.W. and Varadhan, S.R.S. 1973. Limit theorems for random walks on Lie groups. Sankhyā Ser. A 35, 277 294. [61] Tutubalin, V.N. 1964. Compositions of measures on the simplest nilpotent group. Theory Probab. Appl. 9, 479 487. [62] Virtser, A.D. 1974. Limit theorems for compositions of distribution on certain nilpotent Lie groups. Theory Probab. Appl. 19, 86 105. [63] Wehn, D. 1959. Limit distributions on Lie groups. Thesis, Yale. [64] Wehn, D. 1962. Probabilities on Lie groups. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 48, 791 795. 16

A centrális határeloszlás tétel problémaköre Lie csoportokon Pap yula Doktori értekezés Debrecen 1997

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 5 2. Jelölések, alapfogalmak 13 2.1 Lie csoportok................................... 16 2.2 Konvolúciós félcsoportok............................. 17 2.3 Nilpotens Lie csoportok............................. 19 2.4 Lépcsős Lie csoportok.............................. 20 2.5 Fourier transzformáció.............................. 27 2.6 Háromszögrendszerek............................... 28 3. Kommutatív háromszögrendszerek 29 3.1 Konvolúcióhatványok............................... 29 3.2 Konvolúciós félcsoportok konvergenciája.................... 33 3.3 Lindeberg Feller tétel Lie csoportokon..................... 38 3.4 Lindeberg Feller tétel lépcsős Lie csoportokon................. 43 4. Konvergencia sebesség 53 4.1 Konvergencia sebesség homogén gömbökön................... 53 4.2 Berry Esseen egyenlőtlenség........................... 74 4.3 Rövid Edgeworth sorfejtés............................ 79 4.4 Teljes Edgeworth sorfejtés............................ 85 5. Konvolúciós félcsoportok 97 5.1 Konvolúciós félcsoportok előállítása....................... 97 5.2 Beágyazási probléma............................... 103 3

4 TARTALOMJEYZÉK 5.3 auss félcsoportok................................ 106 6. Korlátos változású konvolúciós hemicsoportok 111 6.1 Funkcionális centrális határeloszlás tétel.................... 111 6.2 Korlátos változású intervallum függvények................... 115 6.3 yenge backward evolúciós egyenlet....................... 118 6.4 Háromszögrendszer relatív kompaktsága.................... 119 6.5 Hemicsoportok generálása............................ 128 6.6 Háromszögrendszerek konvergenciája...................... 133 6.7 Hemicsoportok paraméterezése.......................... 148 7. Hemicsoportok Lie projektív csoportokon 155 7.1 Lie projektív csoportok.............................. 155 7.2 Konvolúciós félcsoportok és hemicsoportok................... 157 7.3 Háromszögrendszerek konvergenciája...................... 159 7.4 Hemicsoportok paraméterezése.......................... 165 7.5 Példák....................................... 168 8. Funkcionális centrális határeloszlás tételek 171 8.1 Differenciálható függvények terei......................... 173 8.2 Háromszögrendszer lokális centráltja...................... 178 8.3 Háromszögrendszer konvergenciája....................... 185 8.4 Konvolúciós hemicsoportok paraméterezése................... 203 8.5 Forward evolúciós egyenlet............................ 215 8.6 Martingál probléma............................... 217 8.7 Funkcionális centrális határeloszlás tételek................... 220

1. fejezet Bevezetés A valószínűségszámításban központi szerepet játszik a centrális határeloszlás tétel, melynek legegyszerűbb alakja azt mondja ki, hogy ha ξ k, k = 1, 2,... olyan független, véletlen mennyiségek, melyek csak a 0 vagy 1 értékeket vehetik fel P{ξ k = 1} = p, P{ξ k = 0} = 1 p valószínűséggel, akkor { ξ1 + + ξ n np P npq } < x 1 x e u2 /2 du, n, 2π azaz a részletösszegek alkalmasan normált sorozata a standard normális eloszláshoz tart. Ez a tétel p = 1 esetén már megtalálható A. de Moivre 1730 ban megjelent munkájában; az 2 általános esetben P.S. Laplace bizonyította 1812-ben. A tétel heurisztikusan azt fejezi ki, hogy sok kis független, véletlen hatás összegződése közel normális eloszlású, és így magyarázatot ad arra, hogy miért találkozunk gyakran olyan véletlen mennyiségekkel, melyek jól közelíthetőek normális eloszlással. Tipikus példa erre a mérési hiba. A fent említett eredmény igen nagy hatással volt a valószínűségszámítás, a matematikai statisztika és a sztochasztikus folyamatok elméletének kialakulására és fejlődésére, beleértve a gyakorlati alkalmazhatóságot is. Egy fontos mérföldkő volt B.V. nedenko és A.N. Kolmogorov [33] 1949 ben megjelent monográfiája, melyben szisztematikusan vizsgálják és megoldják a következő alapvető kérdéseket: Ha ξ k, k = 1, 2,... független esetleg azonos eloszlású véletlen valós mennyiségek, akkor az S n = n k=1 ξ k, n = 1, 2,... részletösszegeket alkalmasan normálva: T n = 1 b n S n a n, milyen határeloszlásai lehetnek a T n n 1 sorozatnak? Milyen feltételek mellett konvergál a T n n 1 sorozat egy adott lehetséges határeloszláshoz? Általánosabban: ha {ξ n,k : k = 1,..., n}, n = 1, 2... valós mennyiségek, melyek egyenletesen kicsik, azaz szériánként független véletlen ε > 0 max P{ ξ n,k > ε} 0, n, 1 k n

6 1. FEJEZET. BEVEZETÉS akkor a T n = n k=1 ξ n,k, n = 1, 2... sorozatnak milyen határeloszlásai lehetnek, és milyen feltételek mellett konvergál egy adott eloszláshoz? Valószínűségeloszlások vizsgálata valós számok halmazától különböző struktúrákon igen régre nyúlik vissza: már D. Bernoulli foglalkozott 1734 ben eloszlásokkal gömbfelületen ami egy kompakt topológikus csoport annak a kérdésnek a kapcsán, hogy hogyan oszlanak el az akkoriban ismert csillagok az égbolton, és azt állította, hogy ez közel egyenletes eloszlás. A témakör intenzív vizsgálata e század elején kezdődött R. von Mises [63] 1918 as és J.B. Perrin [79] 1928 as munkáival, melyekhez kapcsolódott R.A. Fisher is; ezek a fizikában, földtudományban, meteorológiában és biológiában felmerült speciális problémákra irányultak. Azóta sikerült a valós számok halmazán elért eredmények jelentős részét általánosítani különböző topológikus csoportokra. Ebben tevékenyen részt vettek magyar matematikusok is; lásd például Prékopa András, Rényi Alfréd és K. Urbanik [81], Csiszár Imre [22], [23], [24], [25], Major Péter és S.B. Shlosman [62] cikkeit, de érdemes megemlíteni Haar Alfréd nevét is, ugyanis a Haar mérték igen fontos szerepet játszik ezeken a csoportokon. A legújabb kutatások kiterjednek félcsoportokra is; ezekről szól Ruzsa Imre és Székely ábor [85] könyve. Az 1976 ig elért eredmények összefoglalását adja H. Heyer [48] monográfiája, melynek egyik kiindulópontja.a. Hunt [56] cikke volt, melyben megadta a Lévy Hincsin formula analógját Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló konvolúciós félcsoport esetére. Heyer professzor irányításával Humboldt-ösztöndíjasként végzett kutatásaim alapozták meg az e témakörben elért eredményeimet. Ebben a monográfiában széria sorozatokra vonatkozó centrális határeloszlás tételek találhatók lásd a fenti második problémakört. Az első problémakör vizsgálatának új lendületet adott W. Hazod [41] 1984 es cikke, melyben általánosította a stabilis eloszlások fogalmát topológikus csoportokra. Később W. Hazod és E. Siebert [43], [93] 1986 ban megmutatták, hogy a centrális határeloszlás tétel topológikus csoportokon történő vizsgálatában kiemelt szerepet játszanak a nilpotens Lie csoportok, ugyanis ha tekintjük lokálisan kompakt topológikus csoportbeli független, azonos eloszlású véletlen elemek sorozatát, akkor az alkalmasan normalizált részletszorzatok lehetséges határeloszlásai olyan részcsoportra koncentrálódnak, mely izomorf egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie csoporttal. Fontos szerepet játszanak a lépcsős angolul: stratified nilpotens Lie csoportok, mert ezek osztálya elég gazdag, és ezek technikailag könnyebben kezelhetőek lásd.b. Folland és E.M. Stein [32]. A lépcsős nilpotens Lie csoportok osztálya tartalmazza az R d, + csoportokat, de ezeken kívül az összes többi nem kommutatív, ráadásul nem kompakt, és vannak végtelen dimenziós irreducibilis unitér reprezentációi is; ezek prototípusa a H Heisenbergcsoport, melynek fontos szerepe van kvantummechanikai modellekben is, és realizálható, mint R 3 ellátva a következő szorzással: x 1, x 2, x 3 y 1, y 2, y 3 = x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3 + 1 2 x 1y 2 x 2 y 1. Megjegyezzük, hogy ez a csoport izomorf azzal a mátrix csoporttal, mely a következő mát-

7 rixokból áll: 1 a c 0 1 b, a, b, c R, 0 0 1 és minden lépcsős nilpotens Lie csoport realizálható mint egy mátrix csoport, mely olyan felsőháromszög mátrixokból áll, melyek főátlójában minden elem 1. Ezek a csoportok azért alkalmasak az első problémakör vizsgálatára, mert vannak rajtuk olyan egy paraméteres automorfizmus csoportok a legegyszerűbb: a természetes dilatáció, melyek a skalárral való szorzás szerepét átvehetik, így a normalizálás ezek segítségével történhet. Az eredményeket mértékelméleti nyelven fogalmazom meg, azaz valószínűségi mértékek konvolúcióhatványait, illetve konvolúciószorzatait vizsgálom. A disszertáció felépítése a következő. A 2. fejezetben a gyakrabban használatos jelölések és alapfogalmak találhatók. A 3. fejezetben, mely a Pap [68] és Pap [69] cikkek eredményein alapul, kommutatív háromszögrendszerekkel foglalkozunk, azaz amikor az egy sorban álló mértékek a konvolúciószorzásra nézve felcserélhetőek. A Lindeberg Feller típusú tételek a Pap [69] cikkben csak a Heisenberg csoport esetére volt bizonyítva, míg a disszertációban tetszőleges Lie csoportra, vagy tetszőleges lépcsős Lie csoportra sikerült bizonyítani. Először valószínűségi mértékek konvolúcióhatványaira vonatkozó centrális határeloszlás tétellel foglalkozunk. Ezt V.N. Tutubalin [98] vizsgálta Heisenberg csoporton, majd A.D. Virtser [99] nilpotens mátrix csoportokon, P. Crépel és A. Raugi [20] tetszőleges nilpotens Lie csoportokon, de ezekben a munkákban felesleges momentumfeltételek szerepelnek. Végül A. Raugi [82] adott egy bonyolult, hosszú bizonyítást csak a második homogén momentum végességét feltételezve. Lépcsős Lie csoportokon sikerült egy egyszerű, rövid bizonyítást találni lásd 3.1.1 Tétel. A következő cél Lindeberg Feller típusú centrális határeloszlás tétel bizonyítása, azaz szükséges és elégséges feltételek keresése. Kiderült, hogy ehhez először a korlátlanul osztható eloszlások konvergenciájáról szóló tételt kell általánosítani. Ezt a 3.2.2 Tételben tetszőleges Lie csoporton sikerült bizonyítani. Ennek segítségével a kísérő Poisson félcsoportokat használva és Fourier transzformáltakat alkalmazva sikerült szükséges és elégséges feltételeket kapni a centrális határeloszlás tétel teljesüléséhez Lie csoporton szimmetrikus mértékekből álló kommutatív háromszögrendszer esetén lásd 3.3.5 Tétel. A szimmetrizáció módszerével ezt általánosítani lehet kommutatív normális háromszögrendszerre, azaz amikor a mértékek felcserélhetőek a velük egy sorban álló mértékek konjugáltjaival is lásd 3.3.6 Tétel. Lépcsős Lie csoportokon ez a két tétel még közelebb áll a valós esethez lásd 3.4.1 és 3.4.2 Tételeket. A 3.4.4 Tételben a Lindeberg Feller tétel szokásos alakját kapjuk. Ezután levezetünk egy Lindeberg tételt abban az esetben, amikor a sorokhoz tartozó másodrendű homogén momentumok korlátosak, és a határeloszlás olyan auss mérték, mely stabilis a δ t t>0 természetes dilatációra nézve lásd 3.4.12 Tétel, amiből egyrészt könnyen származtatható a 3.1.1 Tétel azaz a független, azonos eloszlású eset, másrészt például Heisenberg csoporton adott valószínűségi mértékek µ 1 µ n n szeres konvolúciószorzatainak alkalmas automorfizmusokkal standardizált sorozatának a standard auss mértékhez való konvergenciájáról szóló Lindeberg tétel lásd 3.4.14 Tétel.

8 1. FEJEZET. BEVEZETÉS A 4. fejezetben, mely a Pap [67], Bentkus, Pap [8] és a Pap [75] cikkek eredményein alapul, auss mértékekkel való közelítés pontosságával foglalkozunk lépcsős nilpotens Lie csoportokon. Megjegyzem, hogy egy kompakt topológikus csoportbeli független, azonos eloszlású véletlen elemek részletszorzatai normálás nélkül a Haar-mértékhez konvergálnak, ami az egyenletes eloszlás megfelelője, és a konvergencia sebesség exponenciális; lásd Major Péter és S.B. Shlosman [62] eredményét. Engem az érdekelt, hogy a klasszikus esethez hasonlóan, mi történik az alkalmasan normált részletszorzatokkal, melyeknek a határeloszlása már auss eloszlás lesz, ami a normális eloszlás megfelelője. Az első lépést P. Crépel és B. Roynette [21] tették meg Heisenberg csoporton, de csak On 1/3 nál lassabb konvergenciát sikerült bizonyítaniuk az optimális On 1/2 helyett, és nem ismert, hogy a becsléseikben szereplő konstansok hogyan függenek az illető valószínűségi mértéktől. A 4.1.34 Tételben sikerül optimális, On 1/2 konvergencia sebességet kimutatni homogén gömbökön tetszőleges lépcsős nilpotens Lie csoport esetében. A becslésben pszeudomomentumok szerepelnek. Hátránya, hogy a feltételekben magasabb rendű momentumok végessége is szerepel, és a becslés nem egyenletes a gömbökön. Bár a tétel az R d, + speciális esetben visszaadja a klasszikus eredményt. A 4.2.6 Tételben sima függvények integráljaira vonatkozó Berry Esseen egyenlőtlenségeket kapunk, amelyekben csak a szokásos momentumfeltétel szerepel, és az alakja is optimális. Érdekes megjegyezni, hogy ebből az eredményből is le lehet vezetni a 3.1.1 Tételt, azaz a centrális határeloszlás tételt. Valószínűségi mértékek konvolúció hatványainak auss mértékekkel történő közelítésének pontosságáról ad még több információt az Edgeworth sorfejtés. A 4.3.1 Tétel a rövid alakot írja le, azaz amikor a sorfejtés csak egy tagot tartalmaz a auss mérték után. A auss mérték után következő tagnak az az érdekessége, hogy az illető auss mértékhez tartozó teljes W t 0 t 1 Wiener folyamat bizonyos funkcionáljának várhatóértéke fellép, míg a klasszikus esetben csak a normális eloszlás bizonyos függvényének várhatóértéke szerepel lásd 4.3.5 Megjegyzés. A 4.4.6 Tételben megadjuk a tetszőleges hosszúságú Edgeworth sorfejtést, melynek bizonyítása az Euler Maclaurin féle összegzési formulának bizonyos többdimenziós szimplexekre történő általánosítását használja lásd 4.4.2 Tétel, mely önmagában is érdeklődésre tarthat számot. Az 5. fejezet, mely a Pap [76], Pap [71] és Pap [70] cikkek eredményein alapul, a beágyazási problémával kapcsolatos, mely a centrális határeloszlás tételek vizsgálatánál igen fontos szerepet játszik lásd például a 3.3.6 Tételt, valamint a stabilis eloszlások vonzási tartományának problémakörét W. Hazod [41], S. Nobel [66] és H.P. Scheffler [87] cikkeiben: vajon ha egy valószínűségi mérték beágyazható egy konvolúciós félcsoportba, akkor ez a konvolúciós félcsoport egyértelműen meghatározott? A válasz a klasszikus = R d, + esetben pozitív: éppen a korlátlanul osztható eloszlások ágyazhatók be konvolúciós félcsoportokba, és a Fourier transzformáltakra vonatkozó Lévy Hincsin formulából következik, hogy az illető konvolúciós félcsoport egyértelmű. P. Baldi [3] bebizonyította, hogy 2 lépéses nilpotens Lie csoport esetén a auss mértékek egyértelműen ágyazhatók be auss félcsoportba. Ezt sikerült az 5.2.3 Tételben tetszőleges nilpotens Lie csoportra általánosítani. A beágyazási problémát megpróbáltam megközelíteni a konvolúciós félcsoportok struk-

túrájának felderítésével is. Ezzel függ össze az a kérdés, melyet Ph. Feinsilver és R. Schott [30], [31] vetettek fel: hogy néz ki egy független, stacionárius növekményű sztochasztikus folyamat, mely értékeit egy Lie csoportban veszi fel? Az 5.1.2 Tétel válasza az, hogy egy d dimenziós exponenciális Lie csoport esetén azaz amikor az exponenciális leképezés egy analitikus diffeomorfizmus ha veszünk egy független, stacionárius növekményű folyamatot, és úgy tekintjük, mint egy R d beli értékű folyamatot vagyis vesszük a logaritmusát, akkor az egy idő homogén diffúzió ugrásokkal J. Jacod és A.N. Shiryayev [59, p. 142] értelmében, azaz egy olyan általánosított sztochasztikus differenciál egyenlet egyértelmű, erős megoldása, melyet egy Wiener folyamat és egy véletlen stacionárius Poisson mérték hajt meg; az egyenletet a folyamat infinitézimális generátorával explicit módon megadjuk. Ennek segítségével az 5.1.6 Tételben explicit konstrukciót adunk tetszőleges nilpotens Lie csoportbeli értékeket felvevő független, stacionárius növekményű folyamatra, mellyel általánosítjuk B. Roynette [84] rekurzív formuláját, mely a Brown mozgás esetére érvényes. Egy másik lehetőség a beágyazási probléma megközelítésére az, hogy karakterizációs tulajdonságokat keresünk a auss mértékre. H. Carnal [19] bizonyított ilyet kompakt Lie csoportokon. Ennek az eredménynek az általánosítását adja meg az 5.3.1 Tétel tetszőleges Lie csoport esetén, de ez egész auss félcsoportokat karakterizál. A disszertáció utolsó három fejezete a funkcionális centrális határeloszlás tétel problémakörével foglalkozik, mely egy topológikus csoporton a következő módon fogalmazható meg. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } beli értéket felvevő, soronként független valószínűségi változók, és legyenek {k n : n N} olyan növekvő, jobbról folytonos k n : R + Z + függvények, hogy k n 0 = 0, és minden t R + és az e egységelem minden U környezete esetén teljesül a lim infinitézimalitási feltétel. Képezzük a ξ n t := max P ξ nl U = 0 1 l k n t k n t ξ nl := ξ n1 ξ n2 ξ n,kn t szorzatokat, és tekintsük a ξ n = ξ n t t 0, n = 1, 2,... sztochasztikus folyamatokat, melyeknek a trajektóriái nyilván a DR +, Szkorohod térbe esnek. Feltételeket keresünk a háromszögrendszerre ahhoz, hogy teljesüljön a véges dimenziós eloszlások ξ n L f ξ konvergenciája, vagy a Szkorohod térben indukált eloszlások ξ n L ξ konvergenciája, ahol ξ = ξt t 0 egy olyan beli értéket felvevő folyamat, melynek trajektóriái majdnem biztosan a Szkorohod térbe esnek. Szükségképpen a ξ = ξt t 0 folyamat független bal növekményű, azaz ξ0 = e és tetszőleges 0 t 1 t 2... t n 9

10 1. FEJEZET. BEVEZETÉS időpontokra a ξt 1, ξt 1 1 ξt 2,..., ξt n 1 1 ξt n bal növekmények függetlenek. Csak olyan limesz folyamatok érdekelnek bennünket, melyek sztochasztikusan folytonosak ami most azzal ekvivalens, hogy nincsenek rögzített idejű szakadási pontjai. A feladatok pontosabban megfogalmazva a következők: parametrizáljuk a beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatok által a DR +, Szkorohod téren indukált valószínűségi mértékek PII c halmazát, azaz adjunk meg egy bijekciót PII c és valamely alkalmas PR +, paramétertér között; feleltessünk meg alkalmas K n mennyiségeket a {ξ nl : 1 l k n t}, t R +, n N, sorokhoz úgy, hogy L? ξ K n K, ξ n ahol K PR +, az a paraméter, ami a ξ limesz folyamathoz tartozik, és a K n K konvergencia megfelelően van értelmezve. A 6. fejezetben, mely a Heyer, Pap [51] cikken alapul, először megfogalmazzuk a fenti kérdésekre a = R d, + csoport esetén a jól ismert válaszokat. Ezután rávilágítunk az első kérdésnek a Hille Yosida elmélettel való kapcsolatára, mely elvezet annak felismeréséhez, hogy a független növekményű folyamatokat vagy a mértékelmélet nyelvén: a konvolúciós hemicsoportokat konvolúciós félcsoportokat generáló funkcionálok valamely seregével természetes leírni, ahol a kapcsolatot egy evolúciós integrálegyenlet teremti meg. A fejezet egyik fő eredménye a 6.7.1 és 6.7.4 Tételekben szerepel: egy tetszőleges Lie csoport esetén parametrizáljuk a folytonosan gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat a gyenge backward evolúciós egyenlet segítségével. Az az érdekesség, hogy először a 6.6.1 konvergencia tételt bizonyítjuk be, melyben elegendő feltételeket adunk beli háromszögrendszerből konstruált véletlen lépcsősfüggvények növekményeinek valamely gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoporthoz való konvergenciájára. Azt is érdemes megemlíteni, hogy a gyenge forward evolúciós egyenlet is teljesül ugyanis a 6.6.1 Tételt ugyanúgy lehet bizonyítani ebben az esetben is, de a gyenge backward evolúciós egyenletnek meg van az az előnye, ami a 6.5.2 unicitási tételből derül ki: közvetlenül, azaz a konvergencia tétel felhasználása nélkül belátható, hogy egy adott paraméterhez a gyenge backward evolúciós egyenlettel legfeljebb egy konvolúciós hemicsoportot lehet megfeleltetni. A 7. fejezetben, mely a Heyer, Pap [52] cikk eredményeit tartalmazza, egy kis kitérőt teszünk: megmutatjuk, hogy a 6. fejezet eredményei átvihetők Lie projektív csoportokra is. Ez azért jelentős, mert így többek között az összes nem feltétlenül kommutatív kompakt topológikus csoport le van fedve. Végül a 8. fejezetben, mely a Pap [77] kéziraton alapul, a 6. fejezet eredményeire támaszkodva választ adunk a fent megfogalmazott két kérdésre tetszőleges Lie csoport esetén. A 8.4.2 és 8.4.8 Tételekben parametrizáljuk az összes beli értékű, független bal növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatot, azaz az összes konvolúciós hemicsoportot. A bijekciót az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet teremti meg. A 8.6

paragrafusban azt is belátjuk, hogy ez a reláció ekvivalens azzal, hogy a folyamat által a DR +, Szkorohod téren indukált mérték az illető paraméterhez tartozó eltolt martingálprobléma megoldása lásd D.W. Stroock és S.R.S. Varadhan [95], valamint Ph. Feinsilver [29]. Ennek az eltolásnak az a szerepe, hogy ki kell operálni azt a részt, amely nem feltétlenül korlátos változású. Ugyanúgy, ahogy a 6. fejezetben, most is először egy konvergenciatételt bizonyítunk: a 8.3.2 Tételben elegendő feltételeket adunk tetszőleges hemicsoporhoz való konvergenciára. A 8.7 paragrafusban kiderül, hogy ezek a feltételek egyúttal szükségesek is. 11

2. fejezet Jelölések, alapfogalmak A c, C betűket indexelve vagy index nélkül pozitív konstansok jelölésére használjuk; ugyanaz a szimbólum jelölhet különböző konstansokat. Hasonlóan a c, C kifejezések olyan pozitív mennyiségeket jelölnek, melyek csak a zárójelben álló objektumoktól függnek. Ha V egy rendezett vektortér, akkor jelölje V + := {x V : x 0}. Vezessük be az S := {s, t R 2 : 0 s t} jelölést, és legyen T R + esetén S T := {s, t R 2 : 0 s t T }. Legyen s, t R 2 esetén s t := min{s, t}, s t := max{s, t}. Egy nemüres I halmaz esetén jelölje δ ij, i, j I a Kronecker deltát. Ha H részhalmaza I nek, akkor H jelölje H komplementerét I ben, és 1 H jelölje H indikátor függvényét. Jelölje M I az I I valós mátrixok halmazát. Egy A M I mátrix transzponáltját jelölje A. Egy B M I, B = b ij i,j I mátrixot pozitív szemidefinitnek nevezünk, ha I minden J véges részhalmaza esetén a b ij i,j J almátrix pozitív szemidefinit. Jelölje M + I az M I beli szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrixok halmazát. Egy B : R + M I függvényt monoton növekvőnek nevezünk, ha Bt Bs M + I minden s, t S esetén. Hasonlóan vezetjük be a d d valós mátrixokból álló M d és M + d halmazokat is, melyekben, illetve 1 a szuprémum normát, illetve a nukleáris normát jelöli ez utóbbi definíciója A 1 := TrAA 1/2. Ezen normák ekvivalenciájából következik, hogy valamely c d > 0 konstanssal teljesül A c d A 1 minden A M d esetén. Legyen E egy lokálisan kompakt tér. Jelölje C b E az E n értelmezett valós, korlátos, folytonos függvények terét, ellátva a szuprémum normával. Jelölje C 0 E, illetve KE azokat az altereket, melyek a végtelenben eltűnő, illetve a kompakt tartójú függvényekből állnak. Jelölje M + E a pozitív Radon mértékek terét E n. Legyen M b +E a korlátos pozitív mértékek részhalmaza, ellátva a T w gyenge topológiával, és jelölje M 1 E a valószínűségi mértékek részhalmazát. Ha µ α α I egy net M b +E ben, akkor lim α µ α = µ illetve µ α µ a gyenge topológia szerinti konvergenciát jelöli. Ha E egy lokálisan kompakt altere E nek és µ M + E, akkor µ E jelöli a µ megszorítását E re. Nyilván µ E M + E. Az x E pontba koncentrálódó Dirac mértéket jelölje ε x. Jelölje továbbá BE az E beli Borel halmazok σ algebráját azaz az E nyílt halmazai által generált σ algebrát.

14 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK Legyen egy lokálisan kompakt topológikus csoport, melynek egységelemét e jelöli. Jelölje Ue az e egységelem mérhető környezeteinek rendszerét. Jelölje C e a C b térnek azt az alterét, mely az egységelem valamely környezetében eltűnő függvényekből áll. Legyen := \ {e}. Jelölje D a n értelmezett valós értékű, kompakt tartójú, korlátlanul differenciálható függvények terét lásd például Heyer [48, 4.4.2]. A reguláris függvények E tere: E := { f C b : f g D ha g D }. Jelölje f : R és y esetén L y f, R y f és f a következő függvényeket: L y fx := fyx, R y fx := fxy, f x := fx 1, x. Ha H és M zárt normálosztók ben és M H, akkor p M H jelöli az xm xh kanonikus leképezést. Speciálisan, p H := p {e} H. Egy µ M 1 mérték adjungáltja az a µ mérték, melyre teljesül f dµ = f dµ minden f K esetén. Egy µ M 1 mértéket normálisnak nevezünk, ha µ µ = µ µ. Egy µ M 1 mérték konvolúciós operátora az a T µ operátor, mely a C 0 téren van értelmezve a következő módon: T µ fx := fxy µdy ha x. A következő tulajdonságok érvényesek: T µ egy korlátos, lineáris operátor a C 0 téren úgy, hogy T µ f f minden f C 0 esetén, ezért T µ = 1. T µ balinvariáns: T µ L z f = L z T µ f minden z esetén. T µ pozitív: T µ f 0 minden f C 0 + esetén. Bármely µ, ν M 1 esetén T µ ν = T µ T ν. Tetszőleges µ α α I M 1 beli net és tetszőleges µ M 1 esetén a következő állítások ekvivalensek: i lim α µ α = µ ii lim α T µα f T µ f = 0 ha f C 0. iii lim α T µα fe = T µ fe ha f C 0. Lásd Heyer [48, 1.5.5] és Siebert [88, p.440]. Egy µ t t 0 családot M 1 ben folytonos konvolúciós félcsoportnak röviden konvolúciós félcsoportnak nevezünk, ha µ s µ t = µ s+t teljesül minden s, t R + esetén, µ 0 = ε e, és lim t 0 µ t = µ 0.

15 Egy µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionálja A, DomA, ahol { } DomA := f C b 1 : Af := lim fy fe µ t dy létezik. t 0 t Ismert, hogy D DomA. Az A generáló funkcionál vagy a µ t t 0 konvolúciós félcsoport Lévy mértéke az az egyértelműen meghatározott η M + mérték, melyre η{e} = 0 és f dη = Af teljesül minden f D Ce esetén. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy sok helyen a Lévy mértéket csak a halmazon tekintik értelmezve. Jelölje A illetve L az összes µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionáljából, illetve Lévy mértékéből álló halmazokat. Ha µ t t 0 egy konvolúciós félcsoport, akkor a konvolúciós operátorokból álló T µt t 0 család egy erősen folytonos egy paraméteres operátor félcsoportot alkot, mely a C 0 Banach téren értelmezett pozitív, balinvariáns, 1 normájú korlátos lineáris operátorokból áll. Egy µ t t 0 konvolúciós félcsoport Ñ, DomÑ infinitézimális generátorának a T µt t 0 operátor félcsoport infinitézimális generátorát nevezzük. Így tehát 1 Ñfx = lim fxy fx µ t dy = AL x f. t 0 t Egy nemdegenerált mértékekből álló µ t t 0 konvolúciós félcsoportot auss félcsoportnak 1 nevezünk, ha lim t 0 µ t t U = 0 teljesül minden U Ue környezetre. Egy µ M 1 mértéket auss mértéknek nevezünk, ha létezik olyan µ t t 0 auss félcsoport, hogy µ = µ 1. A γ M b + exponensű Poisson mérték az az expγ γε e M 1 valószínűségi mérték, melynek definíciója expγ γε e := e γ ahol γ k a γ mérték k szoros konvolúcióhatványa, és γ 0 := ε e. Nyilván t 0 esetén µ t := exptγ γε e a tγ exponensű Poisson mérték, és µ t t 0 egy konvolúciós félcsoport, melynek generáló funkcionálja γ γε e, C b ; ezt Poisson félcsoportnak nevezzük. Egy µ t t 0 egy konvolúciós félcsoportot normálisnak nevezünk, ha minden µ t, t 0 mérték normális. Egy µs, t s,t S családot M 1 ben folytonos konvolúciós hemicsoportnak röviden konvolúciós hemicsoportnak nevezünk, ha µs, r µr, t = µs, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, µt, t = ε e minden t R esetén, és az s, t µs, t, S ből M 1 be vivő leképezés T w folytonos. Nyilván ha µ t t 0 egy folytonos konvolúciós félcsoport, akkor a µ t s s,t S család egy folytonos konvolúciós hemicsoport. Másrészt, ha µs, t s,t S egy eltolás invariáns hemicsoport azaz µs + h, t + h = µs, t minden s, t S és h R + esetén, akkor µ0, t t 0 egy folytonos konvolúciós félcsoport. k=0 γ k k!,

16 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK Egy µs, t s,t S hemicsoportot diffúziós hemicsoportnak nevezünk, ha minden T > 0 és U Ue esetén 1 µs, t U = 0. t s lim t s 0 0 s<t T 2.1 Lie csoportok Legyen egy d dimenziós Lie csoport L Lie algebrával. Jelölje exp : L az exponenciális leképezést. Legyen X 2 a C 0 azon függvényeiből álló altér, melyek valamely U Ue környezetben kétszer folytonosan differenciálhatóak. Továbbá jelölje C, illetve C k a n korlátlanul, illetve k szor folytonosan differenciálható függvények terét. Ha az f C b függvény folytonosan differenciálható az x pont valamely környezetében, akkor bármely X L esetén létezik az f függvény baloldali és jobboldali deriváltja az x pontban az X szerint: 1 Xfx := lim fexptxx fx, t 0 t 1 Xfx := lim fx exptx fx. t 0 t Megjegyezzük, hogy a baloldali deriválás jobbivariáns, a jobboldali pedig balinvariáns: XR y f = R y Xf, XLy f = L y Xf. Legyen {X 1,..., X d } egy bázis az L Lie algebrában. A differenciálható függvényekből álló C 2 és C 2 Banach tereket az f 2 := f + f 2 := f + d X i f + d X i f + d X i X j f, i,j=1 d X i Xj f normák segítségével úgy definiáljuk, mint Heyer [48, 4.1.6], azzal a különbséggel, hogy csak a végtelenben eltűnő függvényekre szorítkozunk. Tekintsük még a i,j=1 C 2,2 := {f C 2 C 2 : Xf, XYf C 2 ha X, Y L} Banach teret a következő normával: f 2,2 := f 2 + d d X i f 2 + X i X j f 2. i,j=1

2.2. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK 17 Nyilván D C 2,2 C 2 C 2 C 2 C 2 X 2 C 0, ahol D sűrű C 0 ben. Legyen x 1,..., x d D egy olyan elsőfajú kanonikus koordináta rendszer, mely adaptált az {X 1,..., X d } bázishoz, valamely kompakt U 0 Ue környezetben érvényes, és ferdén szimmetrikus, azaz d y = exp x i yx i ha y U 0, és x i y 1 = x i y minden i = 1,..., d esetén. Legyen ϕ : [0, 1] egy Hunt függvény a csoporton, azaz 1 ϕ D és ϕy = d x i y 2 ha y U 0. Lie csoporton értelmezett valószínűségi mértékek konvolúciós operátora rendelkezik a következő fontos tulajdonsággal: minden f C 2 és X L esetén XT µ f = T µ Xf, így T µ C 2 C 2, valamint T µ f 2 f 2. lásd Siebert [91]. Rendeljük hozzá egy µ M 1 mértékhez a következő fontos mennyiséget: qµ := d x i dµ + ϕ dµ. 2.1.1 Lemma. Létezik olyan b > 0 konstans, hogy bármely µ M 1 esetén: i ii iii T µ Ife b f 2 qµ ha f C 2, T µ If b f 2 qµ ha f C 2, T µ If 2 b f 2,2 qµ ha f C 2,2. Lásd Siebert [91, Lemma 1.6]. 2.2 Konvolúciós félcsoportok Lie csoportokon Ismert, hogy egy Lie csoport esetén az összes M 1 beli µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionáljaiból álló A halmaz elemi éppen a D n értelmezett majdnem pozitív és normált lineáris funkcionálok lásd Heyer [48, 4.4.16 és 4.4.18]. Mivel A egy konvex kúp a D algebrai duálisában, ezért definiál egy félig rendezést ezen a téren.

18 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK Minden A A kiterjeszthető egy A majdnem pozitív lineáris funkcionállá az X 2 := {f + c 1 : f X 2, c R} térre úgy, hogy A1 = 0 teljesüljön. Siebert [91, Lemma 1.8] alapján ez a kiterjesztés egyértelmű, ezért az egyszerűség kedvéért ezt is A fogja jelölni. Továbbá ÑAfx := AL x f segítségével értelmezünk egy lineáris operátort C2 ből C 0 be. Ekkor Ñ A nem más, mint a C 0 téren értelmezett T µt t 0 konvolúciós operátorokból álló erősen folytonos félcsoport infinitézimális generátorának megszorítása a C 2 térre. Minden A A generáló funkcionál rendelkezik az X 2 téren egy egyértelmű kanonikus dekompozícióval Lévy Hincsin formula: Af = d a i X i fe + 1 2 + d b ij X i X j fe i,j=1 fy fe d X i fex i y ηdy, ahol a = a 1,..., a d R d, B = b ij 1 i,j d M + d és η az A Lévy mértéke. Továbbá ismert, hogy η L akkor és csak akkor, ha η M +, η{e} = 0 és ϕ dη <. Fordítva: ha a R d, B M + d és η L, akkor a fenti formula valamely konvolúciós félcsoport A generáló funkcionálját definiálja. Lásd Hunt [56] valamint Heyer [48, p.268]. Ekkor azt mondjuk, hogy az A generáló funkcionál kanonikus felbontása a, B, η. Tekintsük a P := R d M + d L paraméterhalmazt. Ekkor a konvolúciós félcsoportokat, illetve a generáló funkcionálokat paraméterezhetjük a P paraméterhalmazzal. Egy nemdegenerált mértékekből álló µ t t 0 konvolúciós félcsoport, melynek kanonikus felbontása a, B, η, akkor és csak akkor auss félcsoport, ha η = 0, azaz infinitézimális generátora d a i Xi + 1 d b ij Xi Xj 2 i,j=1 alakú, ahol a = a 1,..., a d R d és B = b ij 1 i,j d M + d. Ha γ M b +, akkor a µ t := exptγ γε e, t 0 Poisson félcsoport kanonikus felbontása a, 0, γ, ahol a = a 1,..., a d, a i := x iy γdy, i = 1,..., d. ν t Egy ν t t 0 konvolúciós félcsoportot normálisnak nevezünk, ha minden t 0 esetén a mérték normális. A Lévy Hincsin formulából az is következik, hogy a C 2 és C 2 Banach tereken az A lineáris funkcionál folytonos. Jelölje A 2, illetve A 2 a megfelelő normákat. Nyilván az Ñ A lineáris operátor, mely C 2 ből C 0 be visz, szintén folytonos, és a normája éppen A 2.

2.3. NILPOTENS LIE CSOPORTOK 19 Legyen A A esetén A := d Ax i + Aϕ. Megjegyezzük, hogy léteznek olyan c 1 és c 2 pozitív konstansok, hogy c 1 A 2 A c 2 A 2, c 1 A 2 A c 2 A 2 Lásd Siebert [91, Lemma 2.5]. Továbbá d A = a i + d b ii + ϕ dη, mivel X i x k e = δ ik, X i X j x k e + X j X i x k e = 0, X i ϕe = 0 és X i X j ϕe + X j X i ϕe = 4δ ij. Speciálisan 2.2.1 a i = Ax i. Megjegyezzük, hogy az A generáló funkcionál kanonikus dekompozíciójában szereplő többi mennyiség is közvetlenül kifejezhető A segítségével. Minden f C e D esetén 2.2.2 f dη = Af. Legyen ψ m m 1 egy olyan sorozat C e D ben, hogy 0 ψ m 1 és ψ m 1. Ekkor 2.2.3 b ij = lim m Ax ix j 1 ψ m. Valóban, az x i yx j y ϕy, y U 0 egyenlőtlenség és Lebesgue Dominált Konvergencia tétele alapján lim x i x j 1 ψ m dη = 0, m tehát lim Ax ix j 1 ψ m = Ax i x j lim Ax ix j ψ m m m = b ij x i x j dη lim x i x j ψ m dη = b ij. m 2.3 Nilpotens Lie csoportok Legyen egy d-dimenziós s lépéses nilpotens Lie algebra. A leszálló lánca 1 =, 2 = [, 1 ],..., k+1 = [, k ],..., s+1 = {0}.

20 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK Jelölje k {1, 2,..., s} esetén V k a k+1 vektortér komplementerét k ban. Ekkor egy s = k=1 vektortér dekompozíciót kapunk. Legyen {X 1,..., X d } egy olyan bázis ben, mely adaptált a fenti dekompozícióhoz, azaz valamely 0 = i 0 < i 1 < < i s = d indexekre V k {X ik 1 +1,..., X ik } bázis V k ban minden k {1, 2,..., s} esetén. Vezessük be j {1, 2,..., d} esetén a d j = k jelölést, ha X j V k. Tehát a d j szám azt mondja meg, hogy az X j bázisvektor hányadik vektortérbe tartozik. Legyen egy egyszerűen összefüggő nilpotens Lie csoport. Ekkor a hozzá tartozó L Lie algebra is nilpotens, és az exp : L exponenciális leképezés egy analitikus diffeomorfizmus. Ismert, hogy ha λ jelöli a Lebesgue mértéket az L Lie algebrán, akkor λ := λ exp 1 egy invariáns Haar mérték a Lie csoporton. Legyenek {ζ 1,..., ζ d } az elsőfajú globális kanonikus koordináták ben, azaz d y = exp ζ i yx i ha y. A csoport művelete rekonstruálható a Campbell Hausdorff sor alapján: exp Y exp Z = exp Y + Z + 1 1 [Y, Z] + 2 12 [Y, [Y, Z]] 1 2.3.1 [Z, [Y, Z]] +, 12 ahol a sor csak véges sok 0 tól különböző tagot tartalmaz, és egy L L L polinomiális leképezést definiál. Ha µ t t 0 és ν t t 0 olyan auss félcsoportok egy nilpotens Lie csoporton, hogy µ 1 = ν 1, akkor µ t = ν t minden t 0 esetén lásd az 5.2.3 Tételt, ezért lehet beszélni egy auss mérték infinitézimális generátoráról, mely annak az egyértelműen létező auss félcsoportnak a generátora, melybe beágyazható. 2.4 Lépcsős Lie csoportok Azt mondjuk, hogy egy Lie algebrának van s lépcsős felbontása, ha létezik olyan = s k=1 V k vektortér felbontás, hogy [V k, V l ] V k+l ha k+l s, [V k, V l ] = {0} ha k+l > s, és V 1 generálja t mint algebrát. Azt mondjuk, hogy egy s lépcsős Lie csoport, ha egyszerűen összefüggő, és a Lie algebrájának van s lépcsős felbontása. Nyilván egy s lépcsős Lie csoport egyúttal s lépéses nilpotens Lie csoport is.

2.4. LÉPCSŐS LIE CSOPORTOK 21 A következő multiindexes jelöléseket fogjuk használni. Egy I = i 1,..., i d Z d + multiindex esetén ζ I x := ζ i 1 1 x... ζ i d d x, x, valamint X I = X i 1 1... X i d d. Továbbá I := d k=1 i k, di := d k=1 d ki k és I! := d k=1 i k!. Ha I = i 1,..., i d Z d + és J = j 1,..., j d Z d +, akkor I + J := i 1 + j 1,..., i d + j d. A [j] jelölést fogjuk használni arra a multiindexre, melynek 1 a j edik koordinátája, és a többi 0. Legyen egy s lépcsős Lie csoport. Legyen {X 1,..., X d } egy adaptált bázis az L Lie algebrában. Legyenek {ζ 1,..., ζ d } az elsőfajú globális kanonikus koordináták ben. Most a Campbell Hausdorff sor alapján 2.4.1 ζ k xy = ζ k x + ζ k y + c k IJζ I xζ J y, x, y, I,J 0, di+dj=d k ahol c k IJ R. Speciálisan ζ k xy = ζ k x + ζ k y ha d k = 1, ζ k xy = ζ k x + ζ k y + c k [i][j]ζ i xζ j y ha d k = 2. d i =d j =1 Ellátjuk L t és t a természetes dilatációkkal úgy, hogy lineárisan kiterjesztjük a δtx i := t d i X i, t > 0, i = 1,..., d leképezést L re, majd átvisszük re: δ t := exp δt exp 1 ha t > 0. Legyen α R. Azt mondjuk, hogy f : \ {e} R egy α fokú homogén függvény, ha fδ r x = r α fx minden x \{e}, r > 0 esetén. Hasonlóan, egy f : \{e, e} R függvényt α fokú homogénnek nevezünk, ha fδ r x, δ r y = r α fx, y minden x, y \{e}, r > 0 esetén. Azt mondjuk, hogy egy D differenciáloperátor n α fokú homogén, ha Df δ r = r α Df δ r minden f C 1 és r > 0 esetén. Például az X k L differenciáloperátor d k fokú homogén. Tehát így egy I Z d + multiindex esetén I az X I differenciáloperátor rendje, míg di a homogenitásának foka. Nyilván ha D egy α 1 fokú homogén differenciáloperátor és f egy α 2 fokú homogén függvény, akkor Df egy α 2 α 1 fokú homogén függvény. Legyen k Z + esetén C hom k := {f C b : X I f C b ha I Z d +, di k}. Legyen f C hom k esetén f k,hom := di k X I f. Azt mondjuk, hogy egy y y valós, nemnegatív, folytonos függvény n homogén norma, ha δ t y = t y minden t > 0 és y esetén, valamint y = 0 akkor és csak

22 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK akkor, ha y = e. Homogén norma mindig létezik, például d ϱy := ζ i y 1/d i. Nyilván minden homogén norma 1 fokú homogén függvény. háromszög egyenlőtlenség: xy c x + y, x, y. Továbbá fennáll a gyenge 2.4.2 Lemma. Legyen egy homogén norma n és legyen f : \ {0} R egy folytonos, α fokú homogén függvény. Ekkor létezik olyan c 1 > 0 konstans, hogy fx c 1 x α ha x \ {0}. Ha még azt is tudjuk, hogy fx 0 ha x \ {0}, akkor létezik olyan c 2 > 0 konstans, hogy fx c 2 x α ha x \ {0}. Bizonyítás. A bizonyítandó egyenlőtlenségek mindkét oldalán α fokú homogén függvény áll, ezért elegendő az x = 1 esettel foglalkozni. Folland, Stein [32, Lemma 1.4] szerint az {x : x = 1} gömbfelület kompakt, és nem tartalmazza az e egységelemet. A ϱ függvény kielégíti a 2.4.2 Lemma feltételeit, ezért tetszőleges homogén norma esetén léteznek olyan c 1, c 2 > 0 konstansok, hogy 2.4.3 c 1 ϱx x c 2 ϱx. Ezért a homogén normák ekvivalensek mint normák, és tetszőleges homogén norma esetén teljesül ζ i y c y d i ha y, i = 1,..., d alkalmas c > 0 konstanssal, mely csak a homogén normától függ. Egy P : R függvényt polinomnak nevezünk, ha P exp X, X L polinom L n. Minden polinom n egyértelműen felírható P x = a I ζ I x, x I Z d + alakban, ahol csak véges sok a I együttható különbözik 0 tól. A P polinom homogén foka max{di : a I 0}. A P polinomot homogénnek nevezzük, ha homogén, mint függvény. Ha P egy olyan homogén polinom, mely mint függvény m homogén fokú, akkor egyértelműen felírható P x = a I ζ I x, x di=m alakban, így P homogén foka is m, és 2.4.3 alapján létezik olyan c P > 0 konstans, hogy P x c P x m ha x.

2.4. LÉPCSŐS LIE CSOPORTOK 23 Hasonlóan, egy P : R függvényt polinomnak nevezünk, ha P exp X, exp Y, X, Y L polinom L n. Ez egyértelműen felírható P x, y = I,J Z d + a IJ ζ I xζ J y, x, y alakban, ahol csak véges sok a IJ együttható különbözik 0 tól. A homogén foka max{di+ dj : a IJ 0}. Ha egyúttal egy m fokú homogén függvény is, akkor egyértelműen felírható P x, y = di+dj=m alakban, és létezik olyan c P > 0 konstans, hogy a IJ ζ I xζ J y, x, y P x, y c P 1 + x m + y m ha x, y. Most 2.4.1 alapján 2.4.4 X j fx = j + c k [j]iζ I x k fx, d k d j +1, di=d k d j lásd Folland, Stein [32, Proposition 1.26]. Ezért 2.4.5 X j fx = j + P jk x k fx, d k d j +1 ahol P jk olyan homogén polinom, melynek homogén foka d k d j. Hasonlóan, 2.4.6 ζ K xy = ζ K x + ζ K y + c K IJζ I xζ J y I,J 0, di+dj=dk és 2.4.7 X J fx = P JK x K fx, dk dj, K J ahol P JK olyan homogén polinom, melynek homogén foka dk dj. Hasonló formulák érvényesek a bal invariáns differenciáloperátorokra is. Ezeket a formulákat kombinálva kapjuk, hogy 2.4.8 X J fx = dk dj, K J Q JK xx K fx, ahol Q JK olyan homogén polinom, melynek homogén foka dk dj lásd Folland, Stein [32, Proposition 1.29].

24 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK Egy I Z d + multiindex esetén használni fogjuk az S I := 1 I! [j 1 ]+ +[j I ]=I X j1... X j I jobb invariáns differenciáloperátort. Ez tekinthető X I szimmetrizáltjának. Az SI bal invariáns differenciáloperátort hasonlóan értelmezzük. Megjegyezzük, hogy a Poincaré Birkhoff Witt tétel lásd például Bourbaki [17, I.2.7] alapján az X I operátorok bázist alkotnak a jobb invariáns differenciáloperátorok algebrájában. Speciálisan: 2.4.9 S I = CJX I J dj=di, J I és 2.4.10 X I X J = dk=di+dj, K I + J C IJ K X K. Kombinálva a 2.4.8 és 2.4.10 formulákat, kapjuk, hogy 2.4.11 X J X I fx = PK IJ xx K fx, ahol P IJ K dk di+dj, K I + J olyan homogén polinom, melynek homogén foka dk di dj. Legyen k Z +, f C k és x. Az f függvény x pontbeli homogén k fokú jobboldali Taylor polinomja az a P x k egyértelműen létező polinom, melynek homogén foka legfeljebb k, és X I P x k e = X I fx teljesül ha I Z d + és di k lásd Folland, Stein [32]. Ismert lásd Dieudonné [26, 19.5.8, 19.9.5], hogy P x k y = S I fxζ I y. di k Használni fogjuk a következő jobboldali lépcsős Taylor kifejtést lásd Folland, Stein [32, 1.44 Corollary]: 2.4.12 fyx = P x k y + R f k+1 x, y, ahol R f k+1 x, y c k y k+1 sup { X I fzx : di = k + 1, z b k+1 y }, és c k > 0, b 1 olyan konstansok, melyek csak a csoporttól függnek. Nyilván f C hom k+1 esetén 2.4.13 R f k+1 x, y c k y k+1 f k+1,hom. Hasonlóan értelmezzük a homogén baloldali Taylor polinomokat, és érvényes a baloldali lépcsős Taylor kifejtés is.

2.4. LÉPCSŐS LIE CSOPORTOK 25 Egy lépcsős Lie csoport esetén választhatunk olyan {x 1,..., x d } elsőfajú lokális kanonikus koordinátákat D ben, hogy azok érvényesek legyenek az U 0 := {y : y < 1/2} környezetben, és teljesüljön x i y ζ i y ha y, i = 1,..., d. Nyilván x i y = ζ i y ha y U 0, i = 1,..., d. Ezután választhatunk egy ϕ : R + Hunt függvényt. Ekkor 2.4.3 alapján y U 0 esetén teljesül ϕy = d x i y 2 = d ζ i y 2 c 2 d y 2d i c 2 d y 2 c 2 d y 2. Ha pedig y U 0, akkor alkalmazhatjuk egyszerűen a ϕy 1 egyenlőtlenséget, így ϕy c y 2 1 ha y egy alkalmas c > 0 konstanssal, mely csak a homogén normától függ. Azt mondjuk, hogy egy µ valószínűségi mérték egy lépcsős Lie csoporton centrált, ha ζ i dµ = 0 amennyiben d i = 1. Egy µ t t 0 konvolúciós félcsoportot akkor nevezünk centráltnak, ha µ t centrált minden t 0 esetén. Megjegyezzük, hogy egy µ auss mérték akkor és csak akkor szimmetrikus, ha ζ i dµ = 0 minden i {1,..., d} esetén, tehát egy centrált auss mérték nem feltétlenül szimmetrikus. Egy ν t t 0 auss félcsoport akkor és csak akkor centrált és stabilis a δ t t>0 egyparaméteres automorfizmus csoportra nézve Hazod féle értelemben azaz ν t = δ t ν 1 ha t > 0, ha az infinitézimális generátora 2.4.14 a i Xi + 1 2 d i =2 d i =d j =1 a ij Xi Xj alakú. Speciálisan, ha egy ν t t 0 auss félcsoport infinitézimális generátora 2.4.14 alakú, akkor ν 1 = δ 1/ n ν1 n ha n N. Továbbá ismert, hogy exp{γ x 2 }ν 1 dx < ha γ C, ν 1, ahol C, ν 1 > 0 lásd Hebisch [44]. Tehát egy centrált és stabilis auss mérték összes momentuma véges. Vezessük be a következő momentumokat: m β µ = x β µdx, β 0, m I µ = ζ I xµdx, I Z d +. 2.4.15 Lemma. Legyen ν az a auss mérték, melynek infinitézimális generátora 2.4.14. Ekkor { 0 ha di páratlan, m I ν = a I ha di = 2,

26 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK ahol a I := { ai ha I = [i], a ij ha I = [i] + [j]. Továbbá ha di páros és di 4, akkor a következő rekurzív formula érvényes: m I ν = 2 di/2 2 1 c I JKm J νm K ν, J,K 0, dj+dk=di azaz az m I ν páros homogén momentumok kifejezhetők, mint az { m J ν = a J : dj = 2 } homogén másodrendű momentumok homogén polinomja. Bizonyítás. Alkalmazva a 2.4.6 összefüggést és a stabilitásból adódó ν = δ 1/ 2 ν 2 = δ 1/ 2 ν 2 azonosságot: m I ν = ζ I xyδ 1/ 2 νdxδ 1/ 2 νdy = 2 di/2 ζ I xyνdxνdy = 2 di/2 2 ζ I xνdx + ζ J xνdx ζ K yνdy, J,K 0, dj+dk=di c I JK amiből következik a rekurzív formula. Ha di = 1, akkor a fenti összefüggésből ζ I xνdx = 2 1/2 ζ I xνdx, ezért m I ν = 0. Ha di páratlan és dj + dk = di valamely J, K 0 esetén, akkor dj vagy dk páratlan és kisebb mint di, így teljes indukcióval m I ν = 0. Ñ A di = 2 eset tisztázásához kiszámoljuk a ν höz tartozó ν t t 0 auss félcsoport infinitézimális generátorát. Felhasználva a stabilitást: fxy fxν t dy = fxy fxδ t νdy = fxδ t y fxνdy ha f D. Az f függvény x pontbeli baloldali másodrendű Taylor kifejtését alkalmazva fxδ t y = S I fxt di/2 ζ I y + R f x, y, t, ahol di 2 R f x, y, t ct 3/2 y 3 f 3,hom. Figyelembe véve, hogy m I ν = 0 ha di = 0, kapjuk, hogy Ñfx = lim t 0 t 1 fxy fxν t dy = S I fx = d i =2 X i fx ζ i yνdy + 1 2 d i =d j =1 di=2 ζ I yνdy X i Xj fx ζ i yζ i yνdy.

2.5. FOURIER TRANSZFORMÁCIÓ 27 Ezt összevetve a 2.4.14 formulával azt kapjuk, hogy m I ν = a I ha di = 2. Legyen µ egy centrált valószínűségi mérték n. Ha m 2 µ <, akkor a 2.4.15 Lemma alapján egyértelműen létezik olyan ν auss mérték, melynek az első és másodrendű homogén momentumai ugyanazok, mint a µ mértéknek azaz ζ I xµdx = ζ I xνdx ha di = 1, 2, és a megfelelő auss félcsoport infinitézimális generátora 2.4.16 a i Xi + 1 2 d i =2 b ij Xi Xj, d i =d j =1 ahol a i = ζ i xνdx és b ij = ζ i xζ j xνdx. Ekkor azt fogjuk mondani, hogy ν a µ mértékhez hozzárendelt auss mérték, melyet ν = aussµ fog jelölni. A legegyszerűbb nem kommutatív lépcsős Lie csoport a Heisenberg csoport. Ellátva R 3 at a természetes topológiájával és az xy = ζ 1 x + ζ 1 y, ζ 2 x + ζ 2 y, ζ 3 x + ζ 3 y + 1 2 ζ 1xζ 2 y ζ 2 xζ 1 y szorzással ahol ζ 1, ζ 2, ζ 3 az R 3 természetes koordinátái, megkapjuk a H 3 dimenziós Heisenberg csoportnak egy realizációját R fölött. A H Lie csoport LH Lie algebrája realizálható mint R 3 ellátva az [x, y] = 0, 0, ζ 1 xζ 2 y ζ 2 xζ 1 y szorzással. Nyilván LH = R 2 R egy lépcsős vektortér felbontás, és az {X 1, X 2, X 3 } természetes bázis LH ban adaptált ehhez a felbontáshoz. Tehát d 1 = d 2 = 1 és d 3 = 2, és a H Heisenberg csoport egy 2 lépcsős Lie csoport. A természetes dilatációk: δ t x = tζ 1 x, tζ 2 x, t 2 ζ 3 x, t > 0, x H. 2.5 Unitér reprezentációk és Fourier transzformáció Egy lokálisan kompakt csoport folytonos unitér reprezentációja alatt olyan D homomorfizmust értünk, mely a csoportot egy H komplex Hilbert tér unitér operátorainak csoportjába viszi úgy, hogy az x Dxu leképezések ből H ba folytonosak minden u H esetén. A H teret a D reprezentációs terének nevezzük, és HD vel jelöljük. A belső szorzást és a normát HD ben, illetve jelöli. A unitér reprezentációinak osztályát Rep jelöli, az Rep beli irreducibilis reprezentációik osztályát pedig Irr. Legyen most egy Lie csoport és D Rep. Az u HD vektort D re nézve differenciálhatónak nevezzük, ha az x Dxu, v együttható függvények E ben vannak minden v HD esetén. Jelölje H 0 D a HD beli, D re nézve differenciálható vektorok terét HD ben.

28 2. FEJEZET. JELÖLÉSEK, ALAPFOALMAK Jelölje X L és D Rep esetén XD azt a lineáris operátort a H 0 D téren, melyre lásd Siebert [89]. XDu := lim Dexp tx Deu t t 0 1 Egy µ M 1 mérték µ Fourier transzformáltja a Rep halmazon van értelmezve, és értéke a D Rep pontban az a µd korlátos, lineáris operátor a HD téren, melyre teljesül µdu, v = Dxu, v µdx minden u, v HD esetén. lásd Heyer [48], Siebert [89]. 2.6 Valószínűségi mértékekből álló háromszögrendszerek Egy lokálisan kompakt csoporton értelmezett valószínűségi mértékekből álló I = µ nl,...,kn ;n 1 háromszögrendszert infinitézimálisnak nevezünk, amennyiben lim max µ nl U = 0 1 l k n ha U Ue. I t kommutatívnak nevezzük, amennyiben I t normálisnak nevezzük, amennyiben µ ni µ nj = µ nj µ ni ha 1 i, j k n, n 1. µ ni µ nj = µ nj µ ni ha 1 i, j k n, n 1. Azt mondjuk, hogy I konvergens és határértéke µ, ha µ M 1 és lim µ n1 µ nkn = µ.

3. fejezet Centrális határeloszlás tételek kommutatív háromszögrendszerekre 3.1 Centrális határeloszlás tétel konvolúcióhatványokra lépcsős Lie csoportokon Először bizonyítást adunk lépcsős Lie csoportokon a centrális határeloszlás tétel következő standard alakjára lásd Wehn [101], Crépel, Raugi [20], Raugi [82], Pap [68]. 3.1.1 Tétel. Legyen µ egy centrált valószínűségi mérték egy lépcsős Lie csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Tegyük fel, hogy y 2 µdy <. Ekkor ahol ν = aussµ. δ 1/ n µ n ν, Bizonyítás. Nobel [66] bizonyította a következő eredményt: ha µ n n 1 valószínűségi mértékeknek egy sorozata egy lépcsős Lie csoporton, akkor a konvolúcióhatványok µ n n n 1 sorozata pontosan akkor konvergens, amikor a kísérő Poisson mértékek expnµ n ε e n 1 sorozata konvergens, és konvergencia esetén a határértékek egybeesnek. Tehát esetünkben δ 1/ n µ n ν akkor és csak akkor, ha expnδ 1/ n µ ε e ν. Legyen µ n t := exptnδ 1/ n µ ε e ha n N, t 0. Nyilván S n := µ n t t 0 egy Poisson félcsoport, melynek generáló funkcionálja A n := n δ 1/ n µ ε e. Ahhoz, hogy a tételt bizonyítsuk, elegendő megmutatni, hogy S n S, ahol S := ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek generáló funkcionálja Af := d i =2 a i X i fe + 1 2 d i =d j =1 Hazod [40, p. 36.] alapján ehhez elegendő azt belátni, hogy 29 b ij X i X j fe.

30 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK i A n n N egyenletesen feszes E n, azaz tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan K kompakt halmaz, hogy A n f ε teljesül minden n N és minden olyan f E függvény esetén, melyre 0 f 1 és suppf \ K, ii lim A n f = Af ha f D. Először bebizonyítjuk, hogy az A n n N sorozat egyenletesen feszes E n. Meg fogjuk mutatni, hogy a K = {y : y c} kompakt halmaz kielégíti az i feltételt, ha c elég nagy. Legyen f E olyan, hogy 0 f 1, és fy = 0 ha y c. Ekkor y 2 0 A n f = n fyδ 1/ n µdy n y >c y >c c δ 2 1/ nµdy 1 c 2 y 2 µdy ε ha c 2 ε 1 y 2 µdy. A ii feltétel bizonyításához felhasználjuk az f D függvény e pontbeli első és másoderendű homogén Taylor polinomját: d i =1,2 ζ i yx i fe + fy P e 1 y, fy fe = d i =1 fy fe = ζ i yx i fe + 1 2 d i =d j =1 ζ i yζ j yx i X j fe + fy P e 2 y. Legyen λ n n 1 egy pozitív számokból álló sorozat melyet később specifikálunk. Az {x : x > λ n } és {x : x λ n } halmazokon használjuk az f függvény e beli homogén első, illetve másodfokú jobboldali Taylor polinomját. Ekkor A n f Af = B 1 + B 2 + B 3 + B 4, ahol B 1 = n X i fe ζ i yδ 1/ n µdy, d i =2 y >λ n B 2 = n X i X j fe ζ i yζ j yδ 2 1/ n µdy, y >λ n B 3 = n B 4 = n d i =d j =1 fy P e 1 x >λ n fy P e 2 y λ n yδ 1/ n µdy, yδ 1/ n µdy.

3.1. KONVOLÚCIÓHATVÁNYOK 31 B 1 és B 2 becsléséhez felhasználjuk az ζ i y c y d i, i = 1,..., d egyenlőtlenségeket. B 3 és B 4 becsléséhez felhasználjuk a 2.4.13 lépcsős Taylor egyenlőtlenséget. Így B 1 c X i fe y 2 µdy, d i =2 y >λ n n B 2 c2 X i X j fe y 2 µdy, 2 y >λ n n d i =d j =1 B 3 c 2 f 2,hom y >λ n n y 2 µdy, B 4 c 3 f 3,hom n 1/2 y λ n n y 3 µdy c 3 f 3,hom λ n y 2 µdy. Válasszunk egy olyan λ n 0 sorozatot, melyre λ n n például λn = n 1/4, n N. Mivel µ második homogén momentuma véges, így B i 0, i = 1, 2, 3, 4, amennyiben n. Tehát lim A n f Af 0 tetszőleges f D esetén. Ha nem tesszük fel a centráltságot, akkor eltolással a következő centrális határeloszlás tétel nyerhető. 3.1.2 Tétel. Legyen µ egy valószínűségi mérték egy lépcsős Lie csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Tegyük fel, hogy y 2 µdy <. Legyen a i := ζ i yµdy ha d i = 1, 2 és b ij := ζ i xζ j xµdx ha d i = d j = 1. Legyen ã az az elem, melyre { ai ha d i = 1, ζ i ã = 0 ha d i 2. Ekkor ahol ν δ 1/ n µ ε ã n ν, az a auss mérték, melynek infinitézimális generátora a i Xi + 1 2 d i =2 d i =d j =1 b ij a i a j X i Xj. Bizonyítás. Legyen µ = µ ε ã. Megmutatjuk, hogy a µ valószínűségi mérték kielégíti a 3.1.1 Tétel feltételeit. Mivel ã = ã 1, így ζ i y µdy = ζ i yã 1 µdy. A 2.4.1 Campbell-Hausdorff formula szerint d i = 1 esetén ζ i yã 1 = ζ i y + ζ i ã 1 = ζ i y ζ i ã, tehát ζ i y µdy = ζ i y ζ i ãµdy = ζ i yµdy a i = 0. Ha d i = 2, akkor 2.4.1 szerint 3.1.3 ζ i xy = ζ i x + ζ i y + d j =d k =1 c i [j][k]ζ j xζ k y,

32 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK ezért ζ i y µdy = ζ i yµdy ζ i ã c i [j][k]a k ζ j yµdy = a i c i [j][k]a j a k. d j =d k =1 d j =d k =1 Behelyettesítve az x = ã, y = ã 1 elemeket a 3.1.3 formulába, azt kapjuk, hogy 0 = ζ i e = ζ i ãã 1 = c [j][k] i a j a k. d j =d k =1 Ezért ζi y µdy = a i ha d i = 2. A µ valószínűségi mértéknek véges a második homogén momentuma, hiszen x 2 µdx = xã 1 2 µdx c x + ã 2 µdx <. Továbbá d i = d j = 1 esetén ζ i xζ j x µdx = = ζ i xã 1 ζ j xã 1 µdx ζ i x a i ζ j x a j µdx = b ij a i a j. Tehát kész a bizonyítás. Hasonlóan nyerhetünk centrális határeloszlás tételt egy másik centrálással is: 3.1.4 Tétel. Legyen µ egy valószínűségi mérték egy lépcsős Lie csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Tegyük fel, hogy y 2 µdy <. Legyen a i := ζ i yµdy ha d i = 1, 2 és b ij := ζ i xζ j xµdx ha d i = d j = 1. Legyen a az az elem, melyre { ai ha d i 2, ζ i a = 0 ha d i 3. Ekkor δ 1/ n µ ε a n ν, ahol ν az a auss mérték, melynek infinitézimális generátora 1 2 d i =d j =1 b ij a i a j X i Xj. Megjegyezzük, hogy a µ n ε nã n 1 sorozat viselkedése jóval komplikáltabb lásd Crépel, Raugi [20], Raugi [82], Virtser [99].

3.2. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK KONVERENCIÁJA 33 3.2 Konvolúciós félcsoportok konvergenciája Lie csoportokon Minden n N esetén legyen adva egy S n = µ n t t 0 konvolúciós félcsoport M 1 ben és legyen S = µ t t 0 egy további konvolúciós félcsoport M 1 ben. Azt mondjuk, hogy az S n n 1 sorozat konvergál S hez jelölése S n S, ha µ n t µ t teljesül t [0, T ] ben egyenletesen minden T > 0 esetén. Hazod [40, p. 36.] bebizonyította, hogy ha a megfelelő generáló funkcionálokat véve A n f Af teljesül minden f E függvényre, akkor S n S. Valójában, ahogy Hazod, Scheffler [42] említi, elegendő feltétel az is, hogy A n f Af teljesül minden f D függvényre, és hogy az A n hez tartozó η n Lévy mértékek egyenletesen feszesek az e egységelem valamely környezetén kívül. A fordított irányú állítás bizonyításához Siebert [89, Proposition 6.3, 6.4] következő eredményét fogjuk használni: 3.2.1 Állítás. Legyen egy Lie csoport, S n n 1 M 1 beli konvolúciós félcsoportokból álló sorozat, és legyen S egy további konvolúciós félcsoport M 1 ben. Legyenek A n és A a megfelelő generáló funkcionálok, a n, B n, η n és a, B, η pedig a megfelelő kanonikus felbontások. Ha S n S, akkor η n U η U ha U Ue és η U = 0, valamint sup n 1 d a n i + d i,j=1 b n ij + ϕ dη n <. Most megadjuk a korlátlanul osztható eloszlások sorozatára vonatkozó szükséges és e- légséges feltételek analógját Lie csoportokra lásd R esetén nedenko, Kolmogorov [33, 19, Theorem 1, Theorem 2], és R d esetén Takano [96], de itt konvolúciós félcsoportok konvergenciájáról lesz szó. 3.2.2 Tétel. Legyen egy Lie csoport, S n n 1 M 1 beli konvolúciós félcsoportokból álló sorozat, és legyen S egy további konvolúciós félcsoport M 1 ben. Legyenek A n és A a megfelelő generáló funkcionálok, a n, B n, η n és a, B, η pedig a megfelelő kanonikus felbontások. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i S n S. ii A n f Af ha f E. iii a η n U η U ha U Ue és η U = 0,

34 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK b b n ij + x i yx j yη n dy b ij + x i yx j yηdy ha 1 i, j d, c a n i a i ha 1 i d. iv a η n U η U ha U Ue és η U = 0, b lim lim sup b n ij + ε 0 = lim lim inf b n ij + ε 0 = b ij ha 1 i, j d, ϕy ε ϕy ε x i yx j yη n dy x i yx j yη n dy c a n i a i ha 1 i d. Bizonyítás. A ii = i irányt Hazod [40, p. 36] bizonyította. iii = iv. Legyen ε > 0. Ekkor választhatunk olyan ε 1, ε 2 > 0 számokat, hogy 0 < ε 1 < ε < ε 2 és η{x : ϕx = ε i } = 0 ha i = 1, 2 lásd Siebert [89, p. 140]. Nyilván létezik olyan c > 0 konstans, hogy x i yx j y cϕy teljesül minden y esetén. Így ϕ>ε x i x j dη n x i x j dη n = ϕ>ε 2 x i x j dη n ε<ϕ ε 2 c ϕ dη n c ϕ dη n. ε<ϕ ε 2 ε 1 <ϕ ε 2 Tehát azt kapjuk, hogy x i x j dη n c ϕ dη n ϕ>ε 2 ε 1 <ϕ ε 2 x i x j dη n ϕ>ε x i x j dη n + c ϕ dη n. ϕ>ε 2 ε 1 <ϕ ε 2 Ebből iiia alapján n esetén az következik, hogy x i x j dη c ϕ dη lim inf ϕ>ε 2 ε 1 <ϕ ε 2 lim sup ϕ>ε ϕ>ε x i x j dη n x i x j dη n x i x j dη + c ϕ dη. ϕ>ε 2 ε 1 <ϕ ε 2

3.2. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK KONVERENCIÁJA 35 Következésképpen iiib alapján lim sup b n ij + x i x j dη n ϕ ε lim b n ij + x i x j dη n lim inf x i x j dη n ϕ>ε b ij + x i x j dη x i x j dη + c ϕ dη ϕ>ε 2 ε 1 <ϕ ε 2 = b ij + x i x j dη + c ϕ dη ϕ ε 2 ε 1 <ϕ ε 2 b ij + 2c ϕ dη. ϕ ε 2 Véve az ε 0 és ε 2 0 határátmeneteket: lim lim sup b n ij + ε 0 Hasonlóan bizonyítható, hogy Tehát iii = iv kész. lim lim inf ε 0 ϕy ε x i yx j yη n dy b n ij + x i yx j yη n dy ϕy ε b ij. b ij. iv = iii. Legyen ε > 0 olyan, hogy η{x : ϕx = ε} = 0. Ekkor iva alapján lim sup b n ij + x i x j dη n lim sup b n x i x j dη n + lim sup x i x j dη n = lim sup ij + b n ij + ϕ ε ϕ ε x i x j dη n + ϕ>ε Így ivb alapján véve az ε 0 határátmenetet: lim sup b n ij + x i x j dη n b ij + Hasonlóan Tehát iv = iii kész. lim inf ϕ>ε x i x j dη. x i x j dη. b n ij + x i x j dη n b ij + x i x j dη. iii = ii. Legyen ε > 0 olyan, hogy η{x : ϕx = ε} = 0 és {x : ϕx ε} U 0. Ekkor a iii beli a és b feltételek alapján b n ij + x i x j dη n b ij + x i x j dη ϕ ε ϕ ε

36 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK minden 1 i, j d esetén. Ezért d b n ii + ϕ dη n ϕ ε d b ii + ϕ ε ϕ dη. Megint a iiia feltételt használva azt kapjuk, hogy ha B B és η B = 0, akkor d b n ii + ϕ dη n B d b ii + B ϕ dη. Minden n N esetén tekintsük azt a ν n M b + mértéket, melyre ν n {e} := d Hasonlóan, legyen ν M b + az a mérték, melyre ν{e} := b n ii, ν n B := ϕ dη n ha B B. B d b ii, νb := B ϕ dη ha B B. Ekkor teljesül ν n ν. Tehát azt kapjuk, hogy ha g E és h := g/ϕ C b, valamint a h függvény he = 0 val folytonosan kiterjeszthető re, akkor g dη n g dη, amiből iiia alapján ϕ ε g dη n ϕ ε g dη. Most a renander [35, p. 196] által használt ötletet alkalmazzuk lásd még Hunt [56]. Minden f E esetén tekitsük a következő dekompozíciót: ahol A n f = d + a n i X i fe + 1 2 ϕ>ε [ gy := fy fe fy fe d b n ij + x i x j dη n X i X j fe ϕ ε ] d x i yx i fe η n dy + gy η n dy, i,j=1 d x i yx i fe 1 2 ϕ ε d x i yx j yx i X j fe. Ekkor g E, és az e egységelem valamely környezetében tekintett Taylor kifejtés alapján h := g/ϕ C b, valamint a h függvény folytonosan kiterjeszthető re he = 0 val, hiszen gy 1 6 d i,j,k=1 minden y ra egy alkalmas U U 0 gy cf, d i,j=1 x i yx j yx k yx i X j X k fθy környezetben, ahol θy U, ezért d x i y 3 c f, dϕy 3/2

3.2. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK KONVERENCIÁJA 37 valamely cf, d és c f, d konstansokkal, melyek az f E függvénytől és a d dimenziótól függenek. Figyelembe véve A n fenti dekompozícióját, kapjuk, hogy iii = ii. i = iii. Alkalmazva a 3.2.1 Állítást megkapjuk iiia t. Most Siebert [89] ötletét használjuk melyet a stabilis eloszlások speciális esetében Khokhlov [60] is alkalmazott. Tekintsük n egy tetszőleges n részsorozatát. Ekkor a 3.2.1 Állítás alapján létezik egy olyan n részsorozata n nek, hogy léteznek a következő határértékek: a i := lim a n n i, b ij := lim b n n ij + x i x j dη n x i x j dη. Nyilván b ij 1 i,j d egy valós, szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix, hiszen előáll ilyenek határértékeként: b ij = lim lim b n ε 0 n ij + x i x j dη n. ϕ ε Ez ugyanazzal a módszerrel bizonyítható, mint iv = iii. Legyen minden f E esetén A f := d + a i X i fe + 1 2 [ fy fe d i,j=1 b ijx i X j fe ] d x i yx i fe ηdy. Ekkor A generáló funkcionálja valamely S konvolúciós félcsoportnak. Az S n részsorozatra teljesülnek a iii beli feltételek, így a már bizonyított iii = ii alapján most is teljesül lim A n n f = A f ha f E, és a már bizonyított ii = i alapján lim S n n = S. Ezért S n S miatt S = S, tehát A = A. Így n minden n részsorozata tartalmaz olyan n részsorozatot, melyre teljesülnek a iii beli feltételek. Ezzel kész a bizonyítás. 3.2.3 Megjegyzés. Egy lépcsős Lie csoport esetén a iii b feltétel helyettesíthető a következővel: b n ij + ζ i yζ j yη n dy b ij + ζ i yζ j yηdy y ε y ε minden 1 i, j d és minden olyan ε > 0 esetén, melyre η{y : y = ε} = 0. Nyilván iii a miatt elegendő megkövetelni a fenti konvergenciát egyetlen olyan ε > 0 esetén, melyre η{y : y = ε} = 0.

38 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK Hasonlóan, iv b helyettesíthető a következővel: lim lim sup b n ij + ζ i yζ j yη n dy ε 0 = lim lim inf ε 0 = b ij minden 1 i, j d esetén. b n ij + y ε y ε ζ i yζ j yη n dy 3.3 Lindeberg Feller tétel Lie csoportokon Egy I = µ nl,...,kn ;n 1 háromszögrendszer kísérő Poisson rendszere I a = ν nl,...,kn ;n 1, ahol ν nl := expµ nl ε e, l = 1,..., k n, n 1. Ha I kommutatív, akkor I a is kommutatív, és I a sorszorzatai az kn exp µ nl ε e, n 1 Poisson mértékek. Az I kísérő Poisson félcsoportjai S n := ν n t ν n t := exp t k n µ nl ε e, n 1, t 0. t 0, n N, ahol Alkalmazva a 3.2.2 Tételt, könnyen kapunk szükséges és elégséges feltételt egy kommutatív háromszögrendszer kísérő Poisson félcsoportjainak egy auss félcsoporthoz való konvergenciájára: 3.3.1 Állítás. Legyen µ nl,...,kn ;n 1 egy kommutatív háromszögrendszer egy Lie csoporton. Jelölje S n n 1 a kísérő Poisson félcsoportokból álló sorozatot. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i S n S, ahol S az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora d a i Xi + 1 2 d b ij Xi Xj. i,j=1 ii a b c lim lim lim k n k n k n µ nl B = 0 ha U Ue, x i yx j yµ nl dy = b ij ha 1 i, j d, x i yµ nl dy = a i ha 1 i d.

3.3. LINDEBER FELLER TÉTEL LIE CSOPORTOKON 39 Bizonyítás. Az S n Poisson félcsoport kanonikus dekompozíciója a n, 0, η n, ahol a n = a n i 1 i d, k n k n a n i = x i yµ nl dy, η n = µ nl. Az S auss félcsoport kanonikus dekompozíciója a, B, 0, ahol a = a i 1 i d, B = b ij 1 i,j d. A 3.2.2 Tételből következik az állítás. 3.3.2 Megjegyzés. Egy lépcsős Lie csoport esetén a ii beli feltételek helyettesíthetők a következőkkel: a b c lim lim lim k n k n k n µ nl {y : y > ε} = 0 ha ε > 0, y <1 y <1 ζ i yζ j y dµ nl dy = b ij ha 1 i, j d, ζ i y µ nl dy = a i ha 1 i d. Ahhoz, hogy egy háromszögrendszernek egy auss mértékhez való konvergenciájára szükséges és elégséges feltételt tudjunk adni, biztosítanunk kell, hogy a háromszögrendszer konvergenciája maga után vonja a kísérő Poisson félcsoportok sorozatának konvergenciáját. Erre Siebert [89, Proposition 8.1] adott egy elegendő feltételt. Legyen I = µ nl,...,kn ;n 1 egy háromszögrendszer M 1 ben, és tekintsük a következő feltételt: B sup n 1 k n µ nl Du u < ha D Irr, u H 0 D. 3.3.3 Állítás. Legyen µ nl,...,kn;n 1 egy kommutatív és infinitézimális háromszögrendszer egy Lie csoporton, mely kielégíti a B feltételt. Ekkor I konvergenciája ekvivalens az I a kísérő Poisson rendszer konvergenciájával, és konvergencia esetén a határértékeik megegyeznek. Ismert, hogy ha µ egy centrált valószínűségi mérték R en, akkor a karakterisztikus függvénye becsülhető a következő módon: e µt 1 = itx 1 itx µdx t2 2 x 2 µdx, ha t R. Hasonló egyenlőtlenséget bizonyítunk tetszőleges Lie csoport esetén; ez lesz a kulcs ahhoz, hogy egy kommutatív háromszögrendszer esetén a kísérő Poisson rendszert tudjuk alkalmazni.

40 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK 3.3.4 Lemma. Ha egy Lie csoport, akkor minden D Rep reprezentációhoz és u H 0 D differenciálható vektorhoz található olyan cd, u > 0 szám, hogy tetszőleges µ M 1 valószínűségi mérték esetén µdu u cd, uqµ. Bizonyítás. Siebert [89, Lemma 5.1] alapján a következő Taylor formula érvényes: tetszőleges D Rep, u H 0 D és y U 0 esetén Dyu = u + d x i yx i Du + 1 2 d x i yx j yt DyX i DX j Du, i,j=1 ahol T Dy egy korlátos lineáris operátor a HD Hilbert téren és T Dy 1. Ezért d Dyu u µdy 2 u µ U 0 + X i Du x i y µdy U 0 + 1 d X i DX j Du x i yx j y µdy. 2 U 0 Nyilván x i y µdy U 0 i,j=1 x i y µdy + x i µ U 0. Továbbá x i yx j y ϕy ha y U 0, i, j = 1,..., d, ezért x i yx j y µdy ϕy µdy. U 0 Mivel létezik olyan c > 0 konstans, melyre 1 U 0 c ϕ, így µ U 0 c ϕy µdy, ezzel kész a bizonyítás. Először szimmetrikus mértékekből álló háromszögrendszerekre bizonyítunk konvergencia tételt. 3.3.5 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn;n 1 egy szimmetrikus mértékekből álló kommutatív háromszögrendszer egy Lie csoporton. Legyen B = b ij i,j=1,...,d M + d. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a lim b lim k n k n µ nl U = 0 ha U Ue, x i yx j y µ nl dy = b ij ha i, j = 1,..., d.

3.3. LINDEBER FELLER TÉTEL LIE CSOPORTOKON 41 ii a I infinitézimális, k n b sup ϕy µ nl dy <, n 1 c lim µ n1 µ nkn = ν ahol ν = ν 1, ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora 1 d b ij Xi Xj. 2 i,j=1 Bizonyítás. i = ii. Nyilván ia miatt a rendszer infinitézimális. A µ nl szimmetriája miatt x i y µ nl dy = 0 ha i = 1,..., d, így nyilván qµ nl = ϕy µ nl dy d x i y 2 µ nl dy + µ nl U 0. mértékek Ezért teljesül iib, valamint az i beli a és b feltételek a 3.3.4 Lemmával együtt azt eredményezik, hogy a háromszögrendszer kielégíti a B feltételt. A 3.3.1 Állítás segítségével azt kapjuk, hogy S n S, ahol S n n 1 a kísérő Poisson félcsoportokból álló sorozat és S = ν t t 0. Ezért a 3.3.3 Állításból következik, hogy teljesül iic is. ii= i. A iib feltétel és a 3.3.4 Lemma alapján a µ nl,...,kn;n 1 rendszer kielégíti a B feltételt. A 3.3.3 Állítást használva azt kapjuk, hogy kn exp µ nl ε e ν. Mivel a ν n t = exp t k n µ nl ε e Poisson mérték is szimmetrikus minden n 1 és t 0 esetén, így a hozzá tartozó T n t := T ν n t konvolúciós operátor egy önadjungált, pozitív szemidefinit kontrakció az L 2 komplex Hilbert téren. Mivel S n := ν n t t 0 egy konvolúciós félcsoport, így T n t t 0 egy erősen folytonos operátor félcsoport az L 2 spektrálseregek, hogy téren. Riesz, Szőkefalvi-Nagy [83, Section 141] alapján léteznek olyan E n ϱ T n t = 1 0 ϱ t de n ϱ ha t 0, n N. ϱ [0,1] Hasonlóan, az S := ν t t 0 konvolúciós félcsoporthoz tartozó T t t 0 operátor félcsoportnak is létezik spektrális dekompozíciója: T t = T n 1 0 ϱ t de ϱ ha t 0. Most az ic feltétel alapján 1 T 1 az erős operátor topológiában lásd Heyer [48, Theorem 1.5.5]. Ezért Heyer [48, Lemma 6.2.21] szerint T n t T t és ν n t ν t ha t 0. Siebert [89, Proposition 6.1] alapján azt kapjuk, hogy S n S, ezután már alkalmazhatjuk a 3.3.1 Állítást. A szimmetrizáció módszerével ezt általánosíthatjuk normális háromszögrendszerekre is.

42 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK 3.3.6 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn ;n 1 egy kommutatív háromszögrendszer egy Lie csoporton. Legyen a = a 1,..., a d R d és legyen B = b ij i,j=1,...,d M + d. Tekintsük a következő állításokat: i a lim b lim c lim d sup n 1 ii a I b sup n 1 k n k n k n k n µ nl U = 0 ha U Ue, infinitézimális, k n x i yx j y µ nl dy = b ij ha i, j = 1,..., d, x i y µ nl dy = a i ha i = 1,..., d, x i y µ nl dy < ha i = 1,..., d. qµ nl <, c lim µ n1 µ nkn = ν, ahol ν = ν 1, ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek d infinitézimális generátora a i Xi + 1 d b ij Xi Xj. 2 Ekkor i ből következik ii. Ha még azt is feltesszük, hogy az I háromszögrendszer normális, és ν t t 0 egy olyan normális auss félcsoport, melyet egyértelműen meghatároz a ν 1 mérték, akkor i és ii ekvivalensek. 3.3.7 Megjegyzés. Az i= ii irány éppen Wehn [101] centrális határeloszlás tétele lásd még renander [35] és Siebert [89]. A 3.3.6 Tétel bizonyítása. i= ii. Az i beli a, b és d feltételek a 3.3.4 Lemmával együtt azt eredményezik, hogy a rendszer kielégíti a B feltételt, így a 3.3.3 Állítás alapján alkalmazható a 3.3.1 Állítás. ii= i. Tekitsük az S n = ν n t t 0, n 1 kísérő Poisson félcsoportokat. Mivel µ nl,...,kn;n 1 kommutatív és normális, így ν n t Ezért π n t := ν n t esetén lásd Hazod [40]. ν n t ν n t = ν n t i,j=1 n ν t ha n 1, t 0., t 0 egy szimmetrikus Poisson félcsoport minden n 1

3.4. LINDEBER FELLER TÉTEL LÉPCSŐS LIE CSOPORTOKON 43 Mivel S = ν t t 0 auss félcsoport. normális auss félcsoport, így π t := ν t ν t, t 0 egy szimmetrikus Újra a iib feltétel és a 3.3.4 Lemma alapján a rendszer kielégíti a B feltételt, tehát alkalmazható a 3.3.3 Állítás, így ν n 1 ν 1, amiből π n 1 π 1. Ahogy a 3.3.5 Tétel bizonyításában, felhasználva π n t és π t szimmetriáját, azt kapjuk, hogy π n t t 0 π t t 0 ha n. Nyilván a π n t t 0 Poisson félcsoport Lévy mértéke k n µ nl + µ nl, tehát a 3.3.1 Tétel segítségével lim k n Nyilván ebből következik, hogy µ nl U + µ nl U = 0 ha U Ue. lim k n µ nl U = 0 ha U Ue, amiből Siebert [89, Proposition 9.2] szerint az következik, hogy az S n = ν n t t 0 kísérő Poisson félcsoportokból álló sorozat összes torlódási pontja vagy auss félcsoport, vagy pedig degenerált. Nobel [66] szerint a ν n 1 ν 1 konvergenciából következik, hogy n minden n részsorozata esetén létezik olyan n részsorozata n nek és létezik olyan µ t t 0 konvolúciós félcsoport, hogy µ 1 = ν 1 és ν n t µ t minden t 0 esetén. Azt már tudjuk, hogy µ t t 0 csak auss félcsoport lehet. Mivel a ν 1 mérték egyértelműen meghatározza a ν t t 0 konvolúciós félcsoportot, így azt kapjuk, hogy µ t = ν t minden t 0 esetén. Tehát minden rögzített t 0 esetén a ν n t sorozat tetszőleges ν n t részsorozata tartalmaz konvergens ν n t részsorozatot, és a határérték mindig ν t. Ezért S n S, így alkalmazható a 3.3.1 Állítás. 3.4 Lindeberg Feller tétel lépcsős Lie csoportokon Lépcsős Lie csoportokon az előző két tétel még közelebb áll a valós esetben érvényes Lindeberg Feller tételhez. Tekintsünk egy lépcsős Lie csoportot ellátva {ζ 1,..., ζ d } elsőfajú globális kanonikus koordinátákkal, egy homogén normával, és {x 1,..., x d } elsőfajú lokális kanonikus koordinátákkal, melyek érvényesek az U 0 := {y : y < 1} környezetben. Ahogy a 2.4 paragrafusban láttuk: ϕy c y 2 1 ha y egy alkalmas c > 0 konstanssal, mely csak a homogén normától függ. Így a következő tétel egyszerű következménye a 3.3.5 Tételnek. 3.4.1 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn;n 1 egy szimmetrikus mértékekből álló kommutatív rendszer egy lépcsős Lie csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Legyen B = b ij i,j=1,...,d M + d.

44 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK Tekintsük a következő állításokat: i a lim b lim ii a I k n k n µ nl {y : y > ε} = 0 ha ε > 0, y <1 infinitézimális, ζ i yζ j y µ nl dy = b ij for all i, j = 1,..., d. b lim µ n1 µ nkn = ν ahol ν az a auss mérték, melynek infinitézimális generátora 1 d b ij Xi Xj. 2 i,j=1 Ekkor i ből következik ii. Ha még azt is feltesszük, hogy akkor i és ii ekvivalensek. sup n 1 k n y 2 1 µ nl dy <, Egy lépcsős Lie csoport esetén minden i = 1,..., d esetén x i y µdy x i µ U 0 + ζ i y µdy x i µ U 0 + c y µdy, U 0 U 0 így azt kapjuk, hogy qµ c y 1 µdy egy alkalmas c > 0 konstanssal, mely csak a homogén normától, és az x 1,..., x d lokális koordinátáktól függ. Így a 3.3.6 Tétel segítségével a következő határeloszlás tételt kapjuk normális háromszögrendszerekre: 3.4.2 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn ;n 1 egy kommutatív rendszer egy lépcsős Lie csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Legyen a = a 1,..., a d R d, B = b ij i,j=1,...,d M + d. Tekintsük a következő állításokat: i a lim b lim c lim k n k n k n µ nl {y : y > ε} = 0 ha ε > 0, y <1 y <1 ζ i yζ j y µ nl dy = b ij ha i, j = 1,..., d, ζ i y µ nl dy = a i ha i = 1,..., d,

3.4. LINDEBER FELLER TÉTEL LÉPCSŐS LIE CSOPORTOKON 45 d sup n 1 k n y <1 ζ i y µ nl dy < ha i = 1,..., d. ii a I infinitézimális, b lim µ n1 µ nkn = ν ahol ν az a auss mérték, melynek d infinitézimális generátora a i Xi + 1 d b ij Xi Xj. 2 i,j=1 Ekkor i ből következik ii. Ha még azt is feltesszük, hogy az I háromszögrendszer és a ν höz tartozó ν t t 0 félcsoport normális, és 3.4.3 akkor i és ii ekvivalensek. sup n 1 k n y 1 µ nl dy <, auss Ha feltesszük, hogy a sorokhoz tartozó kovariancia mátrixok konvergálnak az első koordináta blokkban azaz olyan ζ i koordinátákra, melyeknél d i = 1, a Lindeberg feltétel pedig teljesül azokban a koordinátákban, melyeknél d i 2, akkor a Lindeberg Feller tétel szokásos alakját kapjuk: 3.4.4 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn ;n 1 egy centrált mértékekből álló kommutatív és normális rendszer egy lépcsős Lie csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Legyen B = b ij i,j=1,...,d M + d. Legyen ν t t 0 az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora normális. Továbbá tegyük fel, hogy I 3.4.5 3.4.6 3.4.7 3.4.8 sup n 1 lim k n k n lim y <1 y 1 lim k n 1 2 d i =d j =1 b ij Xi Xj kielégíti a következő feltételeket: ζ i y 2/d i µ nl dy < ha d i 2, ζ i y 2/d i µ nl dy = 0 ha d i 2, k n Ekkor a következő állítások ekvivalensek: ζ i y µ nl dy = 0 ha d i 2, ζ i yζ j y µ nl dy = b ij ha d i = d j = 1.

46 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK i a lim max 1 l k n y 2 µ nl dy = 0, b lim µ n1 µ nkn = ν 1. ii a lim b lim iii lim k n k n k n µ nl {y : y > ε} = 0 ha ε > 0, y ε y <1 ζ i yζ j y µ nl dy = b ij ha d i = d j = 1. y 2 µ nl dy = 0 ha ε > 0. Bizonyítás. i = ii. Az ia feltételből következik, hogy a µ nl,...,kn ;n 1 infinitézimális, hiszen 3.4.9 µ nl {y : y ε} ε 2 y 2 µ nl dy rendszer tetszőleges ε > 0 esetén. A 3.4.8 és 3.4.5 feltételekből következik 3.4.3. Alkalmazva a 3.4.2 Tételt kapjuk, hogy i = ii. ii = iii. A iib és 3.4.8 alapján d i = 1 esetén lim Ez és 3.4.6 azt eredményezi, hogy Most iia alapján 3.4.10 tetszőleges 0 < ε 1 < ε 2 iii = i. lim lim k n k n k n y 1 y 1 esetén, tehát iii teljesül. Minden ε > 0 esetén y 2 µ nl dy ε 2 + y ε ζ 2 i yµ nl dy = 0. y 2 µ nl dy = 0. ε 1 y ε 2 y 2 µ nl dy = 0 y 2 µ nl dy ε 2 + k n y ε y 2 µ nl dy, így megkapjuk ia t. Az ib bizonyításához belátjuk, hogy a 3.4.2 Tétel i feltételei teljesülnek. A µ nl {y : y ε} ε 2 y 2 µ nl dy y ε

3.4. LINDEBER FELLER TÉTEL LÉPCSŐS LIE CSOPORTOKON 47 becslés alapján a 3.4.2 Tétel ia feltétele teljesül. Ezért fennáll 3.4.10 is. Nyilván iii alapján d i = 1 esetén k n ζi 2 yµ nl dy = 0, tehát d i = d j = 1 esetén lim lim k n y ε y ε ζ i yζ j yµ nl dy = 0. Ebből a 3.4.8 feltétel felhasználásával következik a 3.4.2 Tétel ib feltétele d i = d j = 1 esetén. Nyilván 0 < ε < 1 és d i 2 esetén ζi 2 yµ nl dy c y 4 µ nl dy cε 2 y 2 µ nl dy, valamint y <ε ε y <1 y <ε ζ 2 i yµ nl dy c µ nl {y : y ε}, így a 3.4.2 Tétel már bizonyított ia pontja alapján lim sup k n y <1 ζ 2 i yµ nl dy cε 2 sup n 1 k n y 2 µ nl dy, ahol a jobboldal végességét a 3.4.5 és 3.4.6 feltételek garantálják. Mivel ε 0, 1 tetszőlegesen kicsire választható, így megkapjuk a 3.4.2 Tétel ib feltételét b ij = 0 val minden d i 2 és d j 2 esetén. Hasonlóan megkapjuk a 3.4.2 Tétel ib feltételét b ij = 0 val minden d i = 1 és d j 2 esetén is. Nyilván 2.4.3 és iii alapján d i 2 esetén k n ζ i y µ nl dy = 0, lim y 1 amiből a rendszer centráltsága és a 3.4.7 feltétel miatt következik a 3.4.2 Tétel id feltétele, valamint ic feltétele a i = 0 val. 3.4.11 Megjegyzés. Az ia és iii feltételek a klasszikus Feller illetve Lindeberg feltételek. A 3.4.5 feltétel azért kell, hogy a sorokhoz tartozó másodrendű homogén momentumok korlátosak maradjanak. A 3.4.6 feltétel azt biztosítja, hogy a második koordináta csoporttól kezdve teljesül a Lindeberg feltétel. Most levezetünk egy Lindeberg tételt abban az esetben, amikor a sorokhoz tartozó másodrendű homogén momentumok korlátosak, és a határeloszlás olyan auss mérték, mely stabilis a δ t t>0 természetes dilatációra nézve. Az egyszerűség kedvéért csak centrált mértékekkel foglalkozunk.

48 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK 3.4.12 Tétel. Legyen I = µ nl,...,kn ;n 1 egy kommutatív rendszer egy lépcsős Lie csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Tegyük fel, hogy k n i sup y 2 µ nl dy <, n 1 ii ζ i y µ nl dy = 0 ha d i = 1, iii lim iv lim v lim k n k n k n ζ i y µ nl dy = a i ha d i = 2, ζ i yζ j y µ nl dy = b ij ha d i = d j = 1, y ε y 2 µ nl dy = 0 ha ε > 0. Ekkor lim µ n1 µ nkn = ν, ahol ν az a auss mérték, melynek infinitézimális generátora a i Xi + 1 2 d i =2 d i =d j =1 b ij Xi Xj. Bizonyítás. Meg fogjuk mutatni, hogy teljesülnek a 3.4.2 Tétel i beli feltételei. Nyilván y 2 µ nl dy ε 2 µ nl {y : y ε}, y ε tehát az v feltételből következik minden ε > 0 esetén. lim k n µ nl {y : y ε} = 0 Ha d i = 1, akkor a ii feltétel alapján ζ i yµ nl dy = ζ i yµ nl dy c y <1 y 1 Tehát az v feltétel segítségével sup n 1 k n y <1 ζ i yµ nl dy y 1 < és lim y µ nl dy c y 2 µ nl dy. y 1 k n y <1 ζ i yµ nl dy = 0.

3.4. LINDEBER FELLER TÉTEL LÉPCSŐS LIE CSOPORTOKON 49 Ha d i 2, akkor y <1 ζ i yµ nl dy c y <1 y d i µ nl dy c y 2 µ nl dy, tehát az i feltételből Ha d i = 2, akkor az sup n 1 y 1 k n y <1 ζ i yµ nl dy c ζ i yµ nl dy <. y 1 y 2 µ nl dy becslés, valamint a iii és v feltételek alapján lim k n y <1 ζ i yµ nl dy = a i. Ha d i 3, akkor 0 < ε < 1 esetén ζ i yµ nl dy cεd i 2 y <ε y 2 µ nl dy és tehát azt kapjuk, hogy lim sup ε y <1 k n ζ i yµ nl dy cµ nl{y : y ε}, y <1 ζ i yµ nl dy cεd i 2 sup Mivel ε 0, 1 tetszőlegesen kicsire választható, így lim k n y <1 k n n 1 ζ i yµ nl dy = 0. y 2 µ nl dy. Hasonlóan, ha d i + d j 3, akkor az ζ i yζ j yµ nl dy cεd i+d j 2 y <ε y 2 µ nl dy egyenlőtlenség segítségével lim k n y <1 ζ i yζ j yµ nl dy = 0.

50 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK Ha d i = d j = 1, akkor az y 1 ζ i yζ j yµ nl dy c2 becslés, valamint a iv és v feltételek alapján lim k n y <1 y 1 y 2 µ nl dy ζ i yζ j yµ nl dy = b ij. Ezzel kész a bizonyítás. 3.4.13 Megjegyzés. Megemlítjük, hogy a ii iv feltételekben csak azok a ζ i koordináták szerepelnek, melyekre d i = 1 vagy d i = 2. A ii feltétel azt jelenti, hogy a µ nl mértékek centráltak. Alkalmas eltolással mindig el lehet érni, hogy a ii feltétel teljesüljön lásd a 3.1.2 Tételt. A 3.4.12 Tétel v feltétele a Lindeberg feltétel, melyből következik a lim max 1 l k n Feller feltétel, hiszen tetszőleges ε > 0 esetén y 2 µ nl dy = 0 y 2 µ nl dy ε 2 + y 2 µ nl dy ε 2 + y ε k n y ε y 2 µ nl dy, ezért lim sup max 1 l k n y 2 µ nl dy ε 2. A 3.4.12 Tételből könnyen levezethetjük a 3.1.1 Tételt, azaz a centrális határeloszlás tétel standard alakját, ugyanis egyszerű számolással megmutatható, hogy a µ nl := δ 1/ n µ, 1 l n, n 1 háromszögrendszer kielégíti a 3.4.12 Tétel feltételeit, hiszen y 2 µ nl dy = n 1 y 2 µdy, ζ i yµ nl dy = n 1 ζ i yµdy ha d i = 2, ζ i yζ j yµ nl dy = n 1 ζ i yζ j yµdy ha d i = d j = 1, y 2 µ nl dy = n 1 y 2 µdy. y ε y ε n Végül Lindeberg tételt bizonyítunk a H 3 dimenziós Heisenberg csoporton adott valószínűségi mértékek µ 1 µ n n szeres konvolúciószorzatának alkalmasan standardizált sorozatának auss mértékhez való konvergenciájáról.

3.4. LINDEBER FELLER TÉTEL LÉPCSŐS LIE CSOPORTOKON 51 Legyen µ egy centrált valószínűségi mérték H n, azaz ζ 1 yµdy = ζ 2 yµdy = 0. Ekkor µ standarizálható egy automorfizmus segítségével a következő módon. Egy valós 2 2 es A = a ij 1 i,j 2 mátrix esetén legyen δ A y := Aζ 1 y, ζ 2 y, ζ 3 ydeta, y H. Ekkor δ A egy automorfizmusa a H csoportnak. Nyilván δ A reprezentálható a következő mátrix segítségével: a 11 a 12 0 a 21 a 22 0. 0 0 DetA Ha µ egy olyan centrált valószínűségi mérték H n, hogy az A := ζ i yζ j yµdy 1 i,j 2 mátrix invertálható, akkor a δ A 1/2µ mérték ahol A 1/2 az A mátrix szimmetrikus, pozitív szemidefinit négyzetgyöke standard abban az értelemben, hogy centrált, és az első két koordináta ζ i yζ j yδ A 1/2µdy kovariancia mátrixa az egységmátrix. 1 i,j 2 3.4.14 Tétel. Legyen µ k k 1 valószínűségi mértékeknek egy kommutatív sorozata a H Heisenberg csoporton. Legyen egy tetszőleges homogén norma H n. Tegyük fel, hogy i ζ i yµ k dy = 0 ha i = 1, 2, 3, ii y 2 µ k dy <. Jelölje n 1 esetén A n := n k=1 ζi yζ j yµ k dy. Tegyük fel, hogy létezik olyan 1 i,j 2 n 0 N, melyre A n0 invertálható, és iii iv sup DetA n 1/2 n n 0 lim TrA 1 n n k=1 n k=1 y 2 ε/tra 1 n ζ 3 y µ k dy < y 2 µ k dy = 0 ha ε > 0. Ekkor δ 1/2 A µ 1 µ n ν ha n, n ahol ν a standard auss mérték H n, vagyis az a auss mérték, melynek infinitézimális generátora 1 X 2 2 1 + X 2. 2 Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy a µ nl := δ 1/2 A µ l, 1 l n, n 1 háromszögrendszer n kielégíti a 3.4.12 Tétel feltételeit. Jelölje, és a szokásos belső szorzást, illetve normát R 2 ben. Ha A M + 2, akkor Ax 1, x 2 2 = Ax 1, x 2, Ax 1, x 2 = A 2 x 1, x 2, x 1, x 2 x 1, x 2 2 TrA 2

52 3. FEJEZET. KOMMUTATÍV HÁROMSZÖRENDSZEREK és DetA 1 2 TrA2. Tehát az y 2 cζ 2 1y + ζ 2 2y + ζ 3 y, y H becslés alapján Tehát y ε δ A y 2 c Aζ 1 y, ζ 2 y 2 + ζ 3 y deta c y 2 TrA 2. y 2 µ nl dy = δ A 1/2 n Nyilván i, j = 1, 2 esetén y δ 1/2 A ε n n és ebből a iii feltétellel együtt kapjuk, hogy sup n 1 y 2 µ l dy c TrA 1 n ζ i yζ j yµ nl dy = δ ij, n y 2 µ nl dy <. y 2 µ l dy. c y 2 TrA 1 n ε 2 Ezzel kész a bizonyítás.

4. fejezet auss mértékekkel való közelítés pontossága lépcsős Lie csoportokon 4.1 Konvergencia sebesség homogén gömbökön Ebben a paragrafusban rögzítünk egy lépcsős Lie csoportot, és nem jelezzük a konstansok től való függését. Ennek a paragrafusnak a célja az, hogy a 3.1.1 standard centrális határeloszlás tételben megvizsgáljuk a konvergencia sebességet homogén gömbökön. Az egyszerűség kedvéért csak azt a speciális esetet tekintjük, amikor a i = 0 ha d i = 2 és b ij = δ ij ha d i = d j = 1, azaz a határeloszlás az a ν auss mérték, melynek infinitézimális generátora 1 X 2 d k =1 k 2. Ekkor a t 1 X k 2 2 d k =1 differenciáloperátor hipoelliptikus 0, n Hörmander kritériuma alapján lásd Hörmander [54], valamint Heyer [48, 6.3.7], hiszen {X k : d k = 1} generálja az egész L Lie algebrát. Ezért a ν t, t 0 auss mértékek abszolút folytonosak a λ Haar-mértékre, és létezik egy olyan korlátlanul differenciálható p > 0 függvény 0, n, hogy p t = pt, λ sűrűsége a ν t mértéknek lásd Siebert [90]. Az egyszerűség kedvéért a ν és p jelölést fogjuk használni ν 1, illetve p 1 helyett. Ismert, hogy 4.1.1 pr 2 t, δ r x = r Q pt, x ha x, t > 0, r > 0, ahol Q := d d i a homogén dimenziója. Figyelembe véve, hogy λδ r B = r Q λb minden B B esetén, azt kapjuk, hogy ν t = δ t ν 1 minden t > 0 esetén. Speciálisan, ν n 1 = ν n = δ nν 1. Tehát a ν mérték stabilis Baldi értelemben is, és stabilis a δ t t>0 egy paraméteres automorfizmus csoportra nézve is Hazod értelemben lásd Hazod [41]. Fel fogjuk használni a p > 0 sűrűségfüggvény következő becslését lásd Hebisch [44]: 53

54 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ 4.1.2 Tétel. Legyen egy tetszőleges homogén norma n. Ekkor léteznek olyan {C I, I Z d +} és C pozitív konstansok, hogy X I p t x C I t di+q/2 exp{ C x 2 /t} teljesül minden t > 0, x és I Z d + esetén. 4.1.3 Következmény. Tetszőleges k Z + és I Z d + esetén x k X I p t x λdx = c 1 ki tk di/2, x k I p t x λdx = c 2 ki tk di/2 valamely c 1 ki és c 2 ki pozitív konstansokkal. Ha k Z + és I Z d + olyanok, hogy k di, akkor x k X I p t x λdx c 3 I, x >1 x >1 x k I p t x λdx c 4 I ahol c 3 I és c 4 I pozitív konstansok. Bizonyítás. A 4.1.1 homogenitásból azt kapjuk, hogy X I p t x = t Q+dI/2 XI p 1 δ 1/ t x. Az x x k X I p t x függvénynek a λ Haar mérték szerinti integrálhatósága könnyen adódik a 4.1.2 Tétel és Folland, Stein [32, Corollary 1.17] segítségével. Elvégezve az x = δ t y helyettesítést és felhasználva a λδ t dy = tq/2 λdy azonosságot, kapjuk kapjuk az első összefüggést. 4.1.4 Ismert, hogy I = J I, dj di P IJ XJ, ahol P IJ egy olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di lásd Folland, Stein [32, p.25]. Tehát a P IJ x c IJ x dj di egyenlőtlenségből, a 4.1.2 Tételből és a 4.1.1 homogenitásból következik a második összefüggés. Újra a 4.1.2 Tétel és 4.1.1 alapján x k X I p t x λdx = t k di/2 x >1 y >1/ t y >1/ t y k X I p 1 y λdy y di X I p 1 y λdy c 3 I.

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 55 Az utolsó egyenlőtlenség ugyanígy bizonyítható. Először egy becslést adunk a ν mérték és egy tetszőleges µ mérték variációs távolságára a pszeudomomentumuk segítségével. 4.1.5 Lemma. Tetszőleges k N esetén létezik olyan c k > 0 konstans, hogy tetszőleges µ M 1 esetén µ ν c k β Q/Q+k k µ, ν. Bizonyítás. Sazonov [86, Lemma 1, p.12] bizonyításának ötletét használjuk. Először tegyük fel, hogy 0 < v = µ ν < 2. Legyen = D + D a Hahn felbontása a µ ν előjeles mérték szerint, azaz D + és D olyan diszjunkt Borel halmazok, hogy H B esetén µ νh 0 ha H D + és µ νh 0 ha H D. Definiáljuk az η M b + mértéket B n a következő módon: ηh = νh D + + µh D. Megjegyezzük, hogy ν η M b +, továbbá 4.1.6 β k µ, ν c k x k µ ν dx c k x k ν ηdx. Megjegyezzük, hogy η = 1 v/2. Tekintsük a és r > 0 esetén a Ba, r := {x : a 1 x < r} homogén gömböket. Legyen r > 0 olyan, hogy νbe, r = v/2. Ekkor ν Be, r = 1 v/2 = ηbe, r + η Be, r, tehát ηbe, r = ν η Be, r. Következésképpen x k ηdx r k ηbe, r = r k ν η Be, r x k ν ηdx, Be,r Be,r és így 4.1.7 x k ν ηdx x k ν ηdx + x k ηdx = x k νdx. Be,r Be,r Be,r Most 4.1.6 és 4.1.7 alapján β k µ, ν c k x k νdx. Be,r Legyen h 0, r olyan, hogy νbe, h = νbe, r \ Be, h = v/4. Felhasználva, hogy a ν sűrűségfüggvénye korlátos, azt kapjuk, hogy νbe, h cλbe, h = c λdx = ch Q λdy c h Q. x <h y <1

56 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ Ezért h c v 1/Q, és β k µ, ν c k Be,r\Be,h Ebből következik, hogy v = µ ν c x k νdx c k h k νbe, r \ Be, h = c k h k v/4 c kv Q+k/Q. k βq/q+k k µ, ν. Ha µ ν = 0, akkor az állítás triviális. Ha µ ν = 2, akkor µ és ν ortogonálisak, így Q/Q+k Q/Q+k x k µ ν dx x νdx k = c k = c k µ ν /2. Ezzel kész a bizonyítás. A ν mérték és a δ 1/ n µ n standardizált konvolúcióhatványok közötti variációs távolság a következő módon becsülhető.. 4.1.8 Lemma. Tetszőleges n N esetén létezik olyan c n > 0 konstans, hogy ha µ M 1 olyan, hogy ζ i xµdx = 0 ha d i = 1, 2 és ζi xζ j xµdx = δ ij ha d i = d j = 1, akkor tetszőleges n N esetén 4.1.9 3s δ 1/ n µ n ν µ ν n + c n β j µ, ν. j=3 Bizonyítás. Újra Sazonov [86, Lemma 1, p.12] módszerét használjuk. Először vegyük észre, hogy 4.1.10 µ ν n B 1 µ ν n 2 minden n N és minden B B esetén. Valóban, ez igaz ha n = 1, és n 2 esetén teljes indukcióval µ ν n B = µ ν n 1 x 1 B µ νdx 1 2 µ ν n 1 µ ν dx = 1 2 µ ν n. Most becsüljük meg a ν µ νb mennyiséget B B esetén: ν µ νb = 1 B yxpy λdyµ νdx = 1 B upux 1 λduµ νdx. Ezután használni akarjuk a Taylor egyenlőtlenséget az fx := 1 B upux 1 λdu, x

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 57 függvényre az e pontban. Legyen g u x := pux 1, x, u. Először megmutatjuk, hogy f C, és minden x, I Z+ d esetén 4.1.11 X I fx = 1 B ux I g u xλdu. Egyrészt 2.4.7 alapján X I g u x = P IJ x J g u x, J I, dj di ahol P IJ 4.1.12 olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di, másrészt J g u x = Q JK x, u K pux 1 K J, dk dj ahol Q JK olyan homogén polinom n, melynek homogén foka dk dj. Így ha R > 0, x és x R, akkor 1B u J g u x λdu QJKx, u K pux 1 λdu 4.1.13 c J K J, dk dj K J, dk dj K J, dk dj cj, R. QJKx, vx K pv λdv v + x dk dj K pv λdv Ezért tetszőleges x és J Z d + esetén J fx = 1 B u J g u xλdu, amiből következik 4.1.11. Tekintsük az f függvény e pontbeli P e 2 polinomját. A momentumfeltételek miatt P 2 e xµ νdx = 0. homogén másodfokú jobboldali Taylor A lépcsős Taylor egyenlőtlenségből fx P 2 e x c x 3 sup { X I fz : di = 3, z b 3 x }

58 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ minden x esetén. 4.1.11, 4.1.12, valamint a 4.1.3 Következmény alapján z b 3 x esetén QJK X I fz P IJ z z, vz K pv λdv K J I dk dj di K J I dk dj di ci c I K J I dk dj di K I dk di c 1 IJ 1 + z dj di 1 + x dj di 1 + x dk dj 1 + x dk di. c 2 JK 1 + z dk dj + vz dk dj K pv λdv Következésképpen ν µ νb = fxµ νdx = fx P e 2 xµ νdx c x 3 sup X I fz µ ν dx c max di=3 c 3 j 3s di=3, z b 3 x K I dk 3 x 3 1 + x dk 3 µ ν dx x j µ ν dx, mivel di = 3 és K I miatt dk s K s I sdi = 3s. 4.1.14 Hasonlóan, 4.1.15 3s ν µ νb c β j µ, ν. j=3 3s µ ν νb c β j µ, ν. j=3 Tehát Most már hozzálátunk 4.1.9 bizonyításához. Nyilván igaz n = 1 esetén. Tegyük fel, hogy igaz 1, 2,..., n 1 esetén. Ekkor tetszőleges B B Borel halmazra teljesül 4.1.16 ahol δ 1/ n µ n νb = µ n ν n δ nb µ ν n δ nb + S 1 + S 2, n 1 S 1 = µ ν k ν µ n k 1 δ nb, k=1 n 1 S 2 = ν k µ ν µ n k 1 δ nb. k=1

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 59 4.1.10, 4.1.14, 4.1.15 és 4.1.16 alapján következik 4.1.9. Most becslést adunk a standard centrális határeloszlás tételbeli konvergencia sebességre variációs távolságra nézve. 4.1.17 Tétel. Léteznek C 1, C 2 > 0 konstansok a következő tulajdonsággal: ha µ M 1 olyan valószínűségi mérték, melyre ζ i xµdx = 0 ha d i = 1, 2, ζi xζ j xµdx = δ ij ha d i = d j = 1 és β 3s µ, ν C 1, akkor tetszőleges n 4 esetén 4.1.18 n µ, ν := sup δ1/ n µ n B νb 3s 3 C2 β 3+j µ, νn 1+j/2. B B j=0 4.1.19 Megjegyzés. n = 1, 2, 3 esetén a 4.1.5 és 4.1.8 Lemmákból becslést lehet kapni a n µ, ν mennyiségre. A 4.1.17 Tétel bizonyítása. n szerinti indukciót és az úgynevezett kompozíciós módszert használjuk, és követjük Bentkus, Bloznelis [6, Lemma 2] bizonyításának ötleteit. A β 3s C 1 feltétel és a 4.1.5 és 4.1.8 Lemmák alapján 4 µ, ν 1 δ 2 1/ 4 µ 4 ν 1 3s µ ν 4 + c β j 2 c β 4Q/Q+3s 3s + 3s j=3 β j c 1 + C 3Q s/q+3s 1 j=3 3s β j, j=3 mivel Q d s. Ebből következik 4.1.18 n = 4 esetén választással. C 2 = 4 3s 2/2 c1 + C 3Q s/q+3s 1 Most tegyük fel, hogy ha β 3s µ, ν C 1, akkor 4.1.20 k µ, ν C 2 3s 3 j=0 β 3+jµ, νk 1+j/2 =: S k ha k = 4, 5,..., n 1. Tekintsük a 4.1.21 dekompozíciót, ahol δ 1/ n µ n ν = n γ k + γ k k=1 γ k = δ 1/ n ν k 1 δ 1/ n µ δ 1/ n ν δ 1/ n µ n k δ 1/ n ν n k, γ k = δ 1/ n ν k 1 δ 1/ n µ δ 1/ n ν δ 1/ n ν n k.

60 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ Először becslést adunk a γ 1 B, B B mennyiségekre: γ 1 B = δ 1/ n µ n 1 δ 1/ n ν n 1 x 1 Bδ 1/ n µ δ 1/ n νdx. Felhasználva a 4.1.20 indukciós feltevést n 1 esetén, azt kapjuk, hogy δ 1/ n µ n 1 δ 1/ n ν n 1 x 1 B = δ 1/ n 1 µ n 1 νδ n/n 1 x 1 B S n 1, ezért S n 1 2 3s 2/2 S n 4.1.22 és a 4.1.5 Lemma alapján γ 1 B S n 1 δ 1/ n µ δ 1/ n ν cs n µ ν c β Q/Q+3s 3s S n. Most becslést adunk a γ k B mennyiségekre 2 k < [n/2] esetén: γ k B = δ 1/ n µ n k δ 1/ n ν n k u 1 Bp t ux 1 λduδ 1/ n µ δ 1/ n νdx, ahol t = k 1/n. Használjuk most a lépcsős Taylor egyenlőtlenséget az f : R, fx := δ 1/ n µ n k δ 1/ n ν n k u 1 Bp t ux 1 λdu függvényre úgy, ahogy a 4.1.8 Lemma bizonyításánál. Legyen g u,t x := p t ux 1 ha x, u és t > 0, és legyen lu := δ 1/ n µ n k ν n k u 1 B ha u. A 4.1.20 indukciós feltevést használva n k esetén, azt kapjuk, hogy minden u esetén 4.1.23 lu S n k cs n. Mint a 4.1.8 Lemma 5 bizonyításában, megmutathatjuk, hogy f C és X I fx = lux I g u,t xλdu. Jelölje P 2 e az f függvény e pontbeli homogén másodfokú jobboldali Taylor polinomját. A momentumfeltételek miatt megint P 2 e xδ 1/ n µ νdx = 0. A lépcsős Taylor egyenlőtlenségből 4.1.24 fx P 2 e x c x 3 sup { X I fz : di = 3, z b 3 x } minden x esetén. Mint a 4.1.8 Lemma bizonyításában, 4.1.23 és a 4.1.3 Következmény alapján minden z b 3 x esetén 1 X I fz c I S n + x dj di 1 + x dk dj + v dk dj K p t v λdv c I S n K J I dk dj di K J I dk dj di 1 + x dk di t dk/2 + 1 + x dj di t dj/2.

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 61 Tehát 4.1.24 segítségével γ k B = fxδ 1/ n µ νdx = fx P e 2 xδ 1/ n µ νdx 3s cs n t j/2 x j δ 1/ n µ ν dx Következésképpen cs n j=3 3s j=3 3s 3 k 1/n j/2 β j n j/2 = cs n β 3+j k 1 3+j/2. j=0 4.1.25 [n/2] 1 k=2 3s 3 γ k B cs n j=0 β 3+j. Ha [n/2] k n, akkor 4.1.23 helyett az lu = δ1/ n µ n k δ 1/ n ν n k u 1 B 1 triviális becslést használhatjuk hiszen δ 1/ n µ n k u 1 B és δ 1/ n ν n k u 1 B is a [0, 1] intervallumban van, és t = k 1/n 1/5 alapján 3s 3 γ k B c β 3+j n 3+j/2. j=0 Ugyanez a becslés érvényes γ k esetén is. Ezért 4.1.26 4.1.27 n k=[n/2] n k=1 3s 3 γ k B c β 3+j n 1+j/2 = cc2 1 S n, j=0 3s 3 γ k B c β 3+j n 1+j/2 = cc2 1 S n. j=0 A Hölder egyenlőtlenségből β j β j/k k ha 1 j k. Összegyűjtve a 4.1.22 és 4.1.25 4.1.27 becsléseket, azt kapjuk 4.1.21 alapján, hogy δ 1/ n µ n νb c c β Q/Q+3s 3s + C Q/Q+3s 1 + 3s 3 j=0 3s 3 j=0 β 3+j + C 1 2 S n C 3+j/3s 1 + C 1 2 S n S n, C 1 et elegendően kicsire és C 2 -t elegendően nagyra választva. A Hölder egyenlőtlenség és a 4.2.4 Lemma alapján:

62 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ 4.1.28 Következmény. Léteznek olyan C 1, C 2 > 0 konstansok úgy, hogy ha µ M 1 olyan valószínűségi mérték, melyre teljesülnek a 4.1.17 Tétel feltételei, akkor tetszőleges n 4 esetén n µ, ν C 2 β 3 µ, νn 1/2 + β 3s µ, νn 3s 2/2, n µ, ν C 2 m 3 µn 1/2 + m 3s µn 3s 2/2. Tekintsük megint egy homogén norma esetén az a középpontú, r > 0 sugarú homogén gömböt: Ba, r = {x : a 1 x < r}. Figyeljük meg, hogy δ t bba, r = Bδ t ba, rt minden a, b és r, t > 0 esetén. Más szóval, a homogén gömbök {Ba, r : a, r > 0} rendszere zárt a δ t t>0 dilatációkra és a baloldali eltolásra nézve. Vegyük most a következő homogén normát: 4.1.29 d x := ζ i x m/d i 1/m ha x, ahol m N és m/d i páros egész szám minden i = 1,..., d esetén. Meg fogjuk mutatni, hogy erre a homogén normára vonatkozó homogén gömbök rendszere rendelkezik két fontos tulajdonsággal. 4.1.30 Lemma. Legyen a 4.1.29 ban definiált homogén norma. Ekkor létezik olyan c > 0 konstans, hogy νba, r + ε \ Ba, r cε1 + a s 1 minden a, r > 0 és ε > 0 esetén. Bizonyítás. A jelölések egyszerűsítése kedvéért az x pont globális koordinátáit x i = ζ i x, i = 1,..., d fogja jelölni a bizonyítás során, ahol ez nem okozhat félreértést. Tekintsük r > 0, i = 1,..., d esetén az A i = x : 1 j d, j i x j m/d j c 0 r m halmazokat, ahol d 1/d < c 0 < 1 egy rögzítet konstans. Könnyen belátható, hogy r > c 0 d/d 1 1/m 1 1 ε =: c 1 ε esetén d A i Be, r + ε,

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 63 ezért Be, r + ε \ Be, r d A i Be, r + ε \ Be, r. A homogén gömbök eltolás invarianciáját használva a következő becslés adódik: νba, r + ε \ Ba, r = pxλdx ahol I i = = = A i Be,r+ε\Be,r j i y j m/d j c 0 r m Ba,r+ε\Ba,r Be,r+ε\Be,r payλdy {y i :r y <r+ε} payλdy payλdy. d I i, Rögzítsük az y 1,..., y i 1, y i+1,..., y d R koordinátákat. Megjegyezzük, hogy ahol {y i : r y < r + ε} = v i, u i ] [u i, v i, u i = u i y = r m j i v i = v i y = r + ε m j i y j m/d j d i/m y j m/d j d i/m. Ha y A i Be, r + ε \ Be, r, akkor r > c 1 ε figyelembevételével: A 4.1.2 Tétel alkalmazásával v i y u i y ε sup d i z m 1 z m y j m/d j d i/m 1 r z r+ε j i vi u i εd i r + ε m 1 1 c 0 d i/m 1 r d i m cεr d i 1. paydy i cεr d i 1 sup exp{ C ay 2 }. u i y i v i A szuprémum becsülhető a következő módon: sup exp{ C ay 2 } i exp{ C ay 2 } dy i, u i y i v i y i u i ugyanis lim yi exp{ C ay 2 } = 0, hiszen a Campbell Hausdorff formulából lim yi ζ i ay =. Szintén a Campbell Hausdorff formula alapján i ay = ay 1 m ζ j ay m/d j 1 ζ I a i ζ J y. d 1 j d j d i c IJ j di+dj=d j

64 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ Továbbá i = d k d i P ik X k, ahol P ik olyan homogén polinom, melynek homogén foka d k d i lásd Folland, Stein [32, p.25]. Mivel X k ζ J homogén foka dj d k, így i ζ J y P ik y X k ζ J y d k d i c y dk di y dj dk c y dj di. d k d i Ha dj < d i, akkor nyilván i ζ J y = 0 minden y esetén. Ezért i ay c ay 1 dj a di y dj di. d j d i di+dj=d j A fenti becsléseket összegyűjtve I i cεr d i 1 cε j i y j m/d j c 0 r m d j d i di+dj=d j = cε d j d i di+dj=d j c ε1 + a s 1, y i a i i exp{ C ay 2 } λdy y d i 1 exp{ C ay 2 } ay 2 d j a di y dj d i λdy exp{ C x 2 } x 2 d j a di a 1 x dj 1 λdx ahol a következő integrálhatósági feltételt használtuk: ha f egy olyan mérhető függvény n melyre fx = O x α Q ha x e valamely α > 0 esetén, akkor f integrálható az e közelében lásd Folland, Stein [32, p.15]. Abban az esetben, amikor r < c 1 ε, egyszerűen használhatjuk a p sűrűségfüggvény korlátosságát: νba, r + ε \ Ba, r cλba, r + ε \ Ba, r = c r + ε Q r Q c εqr + ε Q 1 c ε Q c ε, amennyiben ε 1. Ha ε > 1, akkor az állítás triviális, mert választhatjuk a c = 1 konstanst. Rögzítsünk most egy olyan korlátlanul differenciálható ψ : R [0, 1] függvényt, melyre ψz = 1 ha z 0 és ψz = 0 ha z 1. Legyen r, ε > 0, és legyen x esetén x d r ε d ψ ha r > ε, 4.1.31 Ψx = r d r ε d 0 ha r ε. Könnyen belátható, hogy 1 Be, r ε Ψ 1 Be, r.

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 65 4.1.32 Lemma. Legyen a 4.1.29 ban definiált homogén norma. Legyen r, ε > 0. Legyen Ψ a 4.1.31 ben definiált függvény. Ekkor minden I Z d + esetén létezik olyan c I > 0 konstans, hogy I Ψx ci ε I r I di minden x esetén. Bizonyítás. Legyen I = i 1,..., i d Z d +. Feltehetjük, hogy r ε. Mivel Ψ konstans az {x : x < r ε} és {x : x > r} halmazokon, ezért feltehetjük, hogy r ε x r. Nyilván I Ψx ci 1 l d i l d l /m j l i l, d k=1 ζ k x j km/d k i k. r m r ε m j k Ha j k i k, akkor 1 1 ε/r m ε/r ε/r i k/j k, ezért r m r ε m j k ε i kr j k m i k. Alkalmazva az ζ k x x d k r d k egyenlőtlenséget, megkapjuk az állítást. A következő simító egyenlőtlenséget fogjuk használni lásd Paulauskas, Račkauskas [78, Chapter 5, Lemma 1.1]: 4.1.33 Lemma. Legyenek µ 1 és µ 2 valószínűségi mértékek egy Ω, F mérhető téren. Legyenek A, A 1, A 2 F olyanok, hogy A 1 A A 2, és legyenek ϕ 1 és ϕ 2 olyan mérhető függvények az Ω, F téren, hogy 1 A1 ϕ 1 1 A ϕ 2 1 A2. Ekkor µ 1 A µ 2 A max,2 ϕ i xµ 1 µ 2 dx + min µ ia 2 \ A 1.,2 Ω Ezután bebizonyítjuk ennek a paragrafusnak a fő eredményét: a standard centrális határeloszlásbeli konvergencia sebesség becslését homogén gömbökön. 4.1.34 Tétel. Legyen olyan homogén norma n, mely rendelkezik a következő két tulajdonsággal: i Létezik olyan c > 0 konstans, hogy 4.1.35 νba, r + ε \ Ba, r cε1 + a s 1 ha a, r > 0 és ε > 0; ii minden r > ε > 0 esetén létezik olyan Ψ r,ε : [0, 1] függvény, melyre 4.1.36 ha x, és 4.1.37 1 Be, r ε x Ψ r,ε x 1 Be, r x I Ψ r,ε x ci ε I r I di ha x és I Z d + olyan, hogy di 3s.

66 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ Ekkor létezik C > 0 konstans a következő tulajdonsággal: ha µ M 1 olyan valószínűségi mérték, melyre ζ i xµdx = 0 ha d i = 1, 2, ζi xζ j xµdx = δ ij ha d i = d j = 1 és ζ i x 3s/d i µdx < ha i = 1,..., d, akkor tetszőleges n 4, a és r > 0 esetén 4.1.38 δ1/ n µ n Ba, r νba, r Cκa, rβ3 µ, ν + β 3s µ, νn 1/2, ahol κa, r := 1 + a s 1 1 + 1 + a /r} 3s 1. 4.1.39 Megjegyzés. A 4.1.30 és 4.1.32 Lemmák alapján tetszőleges lépcsős Lie csoport esetén létezik olyan homogén norma, mely rendelkezik az i és ii tulajdonságokkal. A 4.1.34 Tétel bizonyítása. Újra n szerinti indukciót és az úgynevezett kompozíciós módszert használjuk, és követjük Bentkus, Bloznelis [6, Theorem 1] bizonyításának ötleteit. Ha β 3s > 1, akkor a 4.1.5 Lemma alapján µ νb 1 µ ν cβq/q+3s cβ 3s 2 ha B B, ezért 4.1.38 teljesül n = 1 esetén C c konstanst választva, és az indukciót az n = 1 számmal kezdjük. Ha β 3s 1, akkor, mint a 4.1.17 Tétel bizonyításában, δ 1/ 4 µ 4 νb cβ 4Q/Q+3s 3s c 3s + 3s j=3 β j j=3 β j c β 3 + β 3s tetszőleges B B esetén, mivel β j c j β 3 + β 3s ha 3 j 3s. Tehát 4.1.38 teljesül n = 4 esetén C 2c konstanst választva, és az indukciót az n = 4 számmal kezdjük. Most feltesszük, hogy minden a, r > 0 és k n 1 esetén δ 1/ k µ k 4.1.40 Ba, r νba, r Cκa, rβ 3 µ, ν + β 3s µ, νk 1/2 =: S k. Legyen a és r, ε > 0. Jelöljön Ψ r,ε egy olyan függvényt n, melyre teljesülnek a 4.1.36 és 4.1.37 tulajdonságok ha r > ε, és legyen Ψ r,ε = 0 ha r ε. Legyen Ψ 1 = Ψ r,ε és Ψ 2 = Ψ r+ε,ε. Tekintsük a ϕ i x = Ψ i a 1 x, x, i = 1, 2 függvényeket. Nyilván 4.1.41 1 Ba, r ε ϕ 1 1 Ba, r ϕ 2 1 Ba, r + ε. A 4.1.33 Lemma és a 4.1.35 feltétel alkalmazásával δ1/ n µ n Ba, r νba, r 4.1.42 max,2 ϕ i xδ 1/ n µ n νdx + cε1 + a s 1.

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 67 Mostantól kezdve ϕ 1 és Ψ 1 helyett a ϕ és Ψ jelölést fogjuk használni, amennyiben ez nem félrevezető. Megint a 4.1.20 dekompozíciót alkalmazzuk. Először tegyük fel, hogy ε < min{1, r/2}, és becslést adunk az ϕxγ k + γ k dx mennyiségre, amikor 1 k < [n/2]. Nyilván ϕxγ k + γ k dx = ϕyuzδ 1/ n ν k 1 dyδ 1/ n µ νduδ 1/ n µ n k dz. Most használjuk a Taylor egyenlőtlenséget az fu = ϕyuzδ 1/ n ν k 1 dyδ 1/ n µ n k dz, u függvényre az e pontban. Legyen g y,z u := ϕyuz = Ψa 1 yuz ha y, u, z. Először megmutatjuk, hogy f C 3, és 4.1.43 X I fu = X I g y,z uδ 1/ n ν k 1 dyδ 1/ n µ n k dz ha u, és I Z d + olyan, hogy di 3. Mivel az y, u, z ζ k yuz leképezés egy olyan homogén polinom n, melynek homogén foka d k, így ζ k a 1 yuz = c k IJKζ I a 1 yζ J uζ K z di+dj+dk=d k valamilyen c k IJK 4.1.44 konstansokkal. Ezért J g y,z u = K J, dk dj P JK a 1 y, u, z K Ψa 1 yuz, ahol P JK olyan homogén polinom n, melynek homogén foka dk dj. Továbbá 4.1.45 X I g y,z u = Q IJ u J g y,z u, ahol Q IJ J I, dj di olyan homogén polinom n, melynek homogén foka dj di. Tekintsük most azt az esetet, amikor g y,z u = ϕ 2 yuz = Ψ 2 a 1 yuz. A g y,z u = ϕ 1 yuz = Ψ 1 a 1 yuz eset hasonlóan kezelhető. A 4.1.36 feltétel szerint Ψ 2 a 1 yuz = 0 ha a 1 yuz > r + ε. Ha a 1 yuz r + ε, akkor 4.1.46 z c u 1 y 1 a + a 1 yuz c u + a 1 y + r + ε. Ha K Z d + olyan, hogy K I di 3, akkor dk 3s, és a 4.1.37 feltétel szerint 4.1.47 K Ψ 2 a 1 yuz ck ε K r + ε K dk.

68 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ A 4.1.44 4.1.47 összefüggések és a 4.1.2 Tétel alapján tetszőleges R > 0 esetén ha u, u R, akkor X I g y,z u δ 1/ n ν k 1 dyδ 1/ n µ n k dz ci, ε, r, R, amiből már könnyen levezethető 4.1.43. Jelölje P 2 e az f függvény e pontbeli homogén másodfokú jobboldali Taylor polinomját. A momentumfeltételek miatt megint P 2 e xδ 1/ n µ νdx = 0. Ezért ϕxγ k + γ k dx = I 0 I 1 I 2 + I 3, ahol I 0 = fu feδ 1/ n µ νdu u >1 I 1 = X i fe ζ i uδ 1/ n µ νdu I 2 = I 3 = d i =1,2 d i =d j =1 u 1 u >1 X i X j fe u >1 ζ i uζ j uδ 1/ n µ νdu fu P 2 uδ 1/ n µ νdu. e A ϕyuz ϕyz 1, y, u, z triviális becsléssel fu fe 1 ha u, így Most az I 0 δ 1/ n µ ν {u : u > 1} cβ 3 n 3/2. X I g y,z e = I g y,z e mennyiséget becsüljük meg. Megint elég a g y,z u = ϕ 2 yuz = Ψ 2 a 1 yuz esettel foglalkozni. Nyilván K Ψ 2 a 1 yz = 0 ha a 1 yz r vagy a 1 yz r + ε, azaz, ha z / By 1 a, r + ε \ By 1 a, r. δ 1/ n µ n k { z : I g y,z e 0 } δ 1/ n µ n k By 1 a, r + ε \ By 1 a, r. Ezért Felhasználva, hogy most ε < r/2, k < [n/2], és alkalmazva a 4.1.40 indukciós feltevést n k ra, azt kapjuk, hogy δ 1/ n µ n k ν n k By 1 a, r + ε = δ 1/ n k µ n k ν n k δ n/n k By 1 a, r + ε Cκ δ n/n k y 1 a, r + ε n/n k β 3 + β 3s n k 1/2 cc1 + a + y s 1 1 + 1 + a + y /r 3s 1 β 3 + β 3s n 1/2.

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 69 Hasonlóan ugyanilyen becslést kapunk a δ 1/ n µ n k ν n k By 1 a, r mennyiségre is. A 4.1.35 feltétel alapján ν δ n/n k By 1 a, r + ε \ By 1 a, r cε1 + a + y s 1. Ezért rögzített a, y esetén δ 1/ n µ n k { z : X I g yz e 0 } c1 + a + y s 1 ε + C1 + 1 + a + y /r 3s 1 β 3 + β 3s n 1/2. Ha z By 1 a, r + ε \ By 1 a, r, akkor z c a 1 y + r + ε, ezért 4.1.44 és 4.1.47 alapján X I g y,z e = I g y,z e ci 1 + a 1 y dk di + r + ε dk di ε K r + ε K dk. K I, dk di Nyilván ε K r + ε K dk ε di r + ε di dk, mivel K di K I 0. A 4.1.3 Következmény és a fenti becslések alapján X I fe X I g y,z e δ 1/ n ν k 1 dyδ 1/ n µ n k dz ci1 + a s 1 ε + C1 + 1 + a /r 3s 1 β 3 + β 3s n 1/2 ε di 1 + a + r + ε dk di r + ε di dk K I, dk di ciε di 1 + 1 + a /r s 1dI S n + ε1 + a s 1, hiszen K I miatt dk s K s I sdi. Ha I Z d + olyan, hogy di 3, akkor ζ I u δ 1/ n µ ν du u di δ 1/ n µ ν du 4.1.48 u >1 u >1 u 3 δ 1/ n µ ν du cβ 3 n 3/2. Összegyűjtve a fenti becsléseket, azt kapjuk, hogy I Z d +, di 3 esetén XI fe u >1 ζ I uδ 1/ n µ νdu ciε di 1 + 1 + a /r s 1dI S n + ε1 + a s 1 β 3 n 3/2. Tehát ε < 1 miatt I i cε 3 1 + 1 + a /r 3s 1 S n + ε1 + a s 1 β 3 n 3/2

70 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ ha i = 1, 2. A lépcsős Taylor egyenlőtlenségből fu P 2 e u c u 3 sup { X I fx : di = 3, x b 3 u } ha u. Felhasználva, hogy ε < min{1, r/2}, belátható mint az előbb, hogy ha a, y, u és u 1, akkor δ 1/ n µ n k { z : X I g yz u 0 } δ 1/ n µ n k Bu 1 y 1 a, r + ε \ Bu 1 y 1 a, r c1 + a + y + u s 1 ε + C 1 + 1 + a + y + u /r 3s 1 β 3 + β 3s n 1/2 c1 + a + y s 1 ε + C1 + 1 + a + y /r 3s 1 β 3 + β 3s n 1/2. Ezért 4.1.44 4.1.47 alapján megmutatható, hogy I 3 cε 3 1 + 1 + a /r 3s 1 S n + ε1 + a s 1 β 3 n 3/2. Következésképpen ϕxγ k + γ k dx I 0 + I 1 + I 2 + I 3 4.1.49 cε 3 1 + 1 + a /r 3s 1 S n + ε1 + a s 1 β 3 n 3/2 + cβ 3 n 3/2 ha ε < min{1, r/2} és 1 k [n/2]. Most egy másik becslést adunk az ϕxγ k + γ k dx mennyiségre ε < min{1, r/2} és 1 k < [n/2] esetében. Először megjegyezzük, hogy ϕxγ k dx = lvp t vu 1 λdvδ 1/ n µ νdu, ahol t = k 1/n és lv = ϕvzδ 1/ n µ n k ν n k dz, v. Most a Taylor egyenlőtlenséget az fu := lvp t vu 1 λdv, u függvényre használjuk az e pontban. Jelölje P e2 az f függvény e pontbeli homogén másodfokú jobboldali Taylor polinomját. Megint ϕxγ k dx = I 0 I 1 I 2 + I 3, ahol I 0 = fu feδ 1/ n µ νdu u >1 I 1 = X i fe ζ i uδ 1/ n µ νdu d i =1,2 u >1 I 2 = X i X j fe ζ i uζ j uδ 1/ n µ νdu d i =d j =1 u >1 I 3 = fu P 2 uδ 1/ n µ νdu. u 1 e

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 71 Nyilván ϕ 1 miatt l 1 és f 1, ezért I 0 2 δ 1/ n µ ν du cβ 3 n 3/2. u >1 Legyen g v,t u := p t vu 1 ha u, v és t > 0. Ekkor X I fu = lvx I g v,t uλdv minden u, I Z d + esetén. Először becslést adunk az X I fe = lv I g v,t eλdv. mennyiségre. Most 4.1.50 I g v,t e = P IJ v J p t v, J I, dj di ahol P IJ olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di. Használva az l 1 becslést és a 4.1.3 Következményt, lv I g v,t eλdv v >1 c I v dj di J p t v λdv c I. J I, dj di v >1 Ha v 1, akkor alkalmazva a 4.1.40 indukciós feltevést n k esetén és az ε < min{1, r/2} egyenlőtlenséget, 4.1.51 lv cs n + ε1 + a s 1. Ezért a 4.1.3 Következmény és 4.1.50 alapján lv I g v,t eλdv c IS n + ε1 + a s 1 t di/2. v 1 Következésképpen 4.1.48 segítségével I Z d +, di 3 esetén XI fe ζ I uδ 1/ n µ νdu u >1 cβ 3 n 3/2 + cβ 3 k 1 3/2 S n + ε1 + a s 1. Tehát I i cβ 3 k 1 3/2 S n + ε1 + a s 1 + cβ 3 n 3/2

72 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ ha i = 1, 2. 4.1.52 A homogén Taylor egyenlőtlenségből fu P 2 e u c u 3 sup { X I fx : di = 3, x b 3 u } ha u. Megint l 1 és a 4.1.3 Következmény alapján azt kapjuk, hogy ha u, u 1 és x, x b 3 u, valamint a c > 0 konstans elég nagy, akkor lvx I g v,t xλdv v >c c I 1 + v dk dj K p t vx 1 λdv c I c I, K J I dk dj di K J I dk dj di v >c wx >c 1 + w dk dj K p t w λdw mivel x b 3 miatt wx c 0 w + x c 0 w +b 3, így wx > c esetén w c 1 0 wx b 3 > c 1 0 c b 3 1 teljesül, ha c elég nagy. Továbbá v c esetén is érvényes a 4.1.51 becslés, ezért a 4.1.3 Következmény alapján u, u 1 és x, x b 3 u esetén kapjuk, hogy lvx I g v,t xλdv v c c I S n + ε1 + a s 1 1 + x dk di t dk/2 + 1 + x dj di t dj/2, K J I dk dj di mint a 4.1.17 Tétel bizonyításában. Ezért 4.1.48 és 4.1.52 segítségével I 3 fu P e 2 u δ 1/ n µ ν du u 1 3s 1 cβ 3 n 3/2 + cs n + ε1 + a s 1 β 3+j k 1 3+j/2. Összegyűjtve a becsléseket 4.1.53 ϕxγ k dx cs n + ε1 + a s 1 β 3 + β 3s k 1 3/2 + cβ 3 n 3/2. Újra mint a 4.1.17 Tétel bizonyításában felhasználva, hogy l 1 4.1.54 j=0 3s 3 ϕx γ k dx c β 3+j n 3+j/2 cβ 3 + β 3s n 3/2 j=0

4.1. KONVERENCIA SEBESSÉ HOMOÉN ÖMBÖKÖN 73 ha 1 k n. Ugyanez a becslés érvényes az [n/2] < k n. ϕxγk + γ k dx mennyiségre is, ha Legyen most m {1, 2,..., [n/2]}, melyet később specifikálunk. Ha k = 1, 2,..., m, akkor a 4.1.49 becslést alkalmazzuk: m ϕxγ k + γ k dx k=1 cβ 3 + β 3s n 1/2 + cε 3 1 + 1 + a /r 3s 1 S n + ε1 + a s 1 β 3 + β 3s mn 3/2. Ha k = m + 1,..., [n/2], akkor a 4.1.53 becslést alkalmazzuk: [n/2] k=m+1 ϕxγ k + γ k dx cs n + ε1 + a s 1 β 3 + β 3s m 1/2 + cβ 3 + β 3s n 1/2. Ha k = [n/2] + 1,..., n, akkor 4.1.54 alapján: n ϕxγ k + γ k dx cβ 3 + β 3s n 1/2. k=[n/2]+1 Legyen K > 0 egy elegendően nagy konstans melyet szintén később specifikálunk, és legyen ε := K1 + 1 + a /r s 1 β 3 + β 3s n 1/2. Felhasználva a 4.1.42 egyenlőtlenséget és összegyűjtve a megfelelő becsléseket δ 1/ n µ n Ba, r νba, r c K 1 + C 1 K 2 β 3 + β 3s 2 m + Kβ 3 + β 3s m 1/2 + C 1 K + 1 S n. A 4.1.17 Tételből következik, hogy β 3 + β 3s C 1 esetén 4.1.55 δ1/ n µ n Ba, r νba, r C2 β 3 + β 3s n 1/2 C 2 C 1 S n amennyiben n 4. Ha C 1 β 3 + β 3s < K 1, akkor választhatjuk az m = 1 értéket, és ekkor 4.1.56 δ1/ n µ n Ba, r νba, r c K 1 + C 1 K 2 C1 2 + 1 + C 1 K + 1 S n. Ha β 3 + β 3s > K 1 [n/2] 1/2, akkor választhatjuk az m = n értéket, és δ1/ n µ n Ba, r νba, r 4.1.57 c K 1 + C 1 K + 2 S n. Ha K 1 < β 3 + β 3s K 1 [n/2] 1/2, akkor létezik olyan m {1, 2,..., [n/2]}, melyre m 1 < K 2 β 3 + β 3s 2 m,

74 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ és így 4.1.58 δ1/ n µ n Ba, r νba, r c 3K 1 + C 1 K + 4 S n. Ha ε = K1 + 1 + a /r s 1 β 3 + β 3s n 1/2 r/2, akkor az ϕxγ k + γ k dx integrálra egy új becslés kell. Használjuk a 4.1.42 egyenlőtlenséget ε = 1 esetén: δ1/ n µ n Ba, r νba, r max,2 ϕ i xδ 1/ n µ n νdx + c1 + a s 1, megjegyezve, hogy most Ψ i definíciójában ε = 1. Használva megint a Taylor egyenlőtlenséget az fu := ϕyuzδ 1/ n ν k 1 dyδ 1/ n µ n k dz, u függvényre az e pontban, ϕxγ k + γ k dx fu P e 2 u δ 1/ n µ ν du, ahol P e 2 az f függvény e pontbeli homogén, másodrendű jobboldali Taylor polinomját jelöli. Ebből ϕxγ k + γ k dx c1 + 1 + a /r3s 1 β 3 + β 3s n 3/2. Ezért 1 < 2r 1 ε = 2r 1 K1 + 1 + a /r s 1 β 3 + β 3s n 1/2 miatt 4.1.59 δ 1/ n µ n Ba, r νba, r cc 1 K + 1S n. Ha ε = K1 + 1 + a /r s 1 β 3 + β 3s n 1/2 1, akkor 4.1.60 δ1/ n µ n B νb 1 K1 + 1 + a /r s 1 β 3 + β 3s n 1/2 C 1 KS n. Így 4.1.55 4.1.60 alapján δ1/ n µ n Ba, r νba, r Sn teljesül, ha először rögzítünk egy elegendően nagy K > 0 számot, azután pedig választunk egy megfelelően nagy C > 0 konstanst. Ezzel a teljes indukció készen van. 4.1.61 Következmény. A 4.1.34 Tétel állítása érvényes marad, ha 4.1.38 ben a β 3 µ, ν+ β 3s µ, ν mennyiséget helyettesítjük m 3 µ + m 3s µ vel. 4.2 Berry Esseen egyenlőtlenség sima függvények integráljaira Ebben a paragrafusban rögzítünk egy tetszőleges homogén normát. A következő lemma egy alapvető megfigyelést tartalmaz. A = R, + csoport esetén triviális módon y fx + y + z = f x + y + z, ezért y fx + y + z f minden x, y, z R esetén. Viszont ennek az analógja már nem érvényes nem kommutatív Lie csoportokban. Mégis lehet adni az Y fxyz mennyiségekre ahol Y L az y változóra vonatkozó differenciál operátor olyan polinomiális becslést, mely z ben egyenletes.

4.2. BERRY ESSEEN EYENLŐTLENSÉ 75 4.2.1 Lemma. Legyen I Z d +, f C hom sdi, x, z. Tekintsük a g x,z : R, g x,z y := fxyz, y függvényt. Ekkor S I g x,z y = PKxyX I K fxyz, dk di, K I ahol P I K olyan homogén polinom, melynek homogén foka dk di, és X I g x,z y c 1 + x s 1dI + y s 1dI f sdi,hom. Továbbá, ha J Z d +, f C hom sdi+dj, u, w, akkor a h x,u,w : R, h x,u,w y := S I g x,uvw e, v függvény esetén X J h x,u,w v c 1 + xuv s 1dI+dJ f sdi+dj,hom. Bizonyítás. Bevezetve az F z : R, F z y := fyz függvényt, és használva az ỹ := xy jelölést, X I g x,z y = X I F z ỹ = P IK ỹx K F z ỹ = dk di, K I dk di, K I P IK xyx K fxyz, ahol P IK olyan homogén polinom, melynek homogén foka dk di. Kombinálva ezt a 2.4.9 bal invariáns változatával, megkapjuk az első állítást. Nyilván K I esetén dk s K s I sdi, ezért X I g x,z y c xy dk di f dk,hom dk di, K I c 1 + xy s 1dI f sdi,hom c 1 + x s 1dI + y s 1dI f sdi,hom. Az utolsó állítás hasonlóan bizonyítható. Vezessük be a következő csonkított momentumokat: Λ β µ := n 2 β/2 x β µdx, x n L β µ := n 2 β/2 x β µdx. x < n Megjegyezzük, hogy 4.2.2 x β δ 1/ n µdx = n 1 Λ β µ, x β δ 1/ n µdx = n 1 L β µ, x 1 x <1 valamint ha m k+2 µ < és β k + 2, akkor 4.2.3 Λ β µ n k/2 m k+2 µ, L β µ n β 2/2 m β µ.

76 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ Továbbá legyen aµ := d i =1 ζ i x 2 µdx + d i =2 ζ i xµdx. 4.2.4 Lemma. Legyen ν az a auss mérték n, melynek infinitézimális generátora 2.4.16. Legyen β 2. Ekkor létezik olyan C, β > 0 konstans, hogy m β ν C, βm β µ teljesül minden olyan centrált µ M 1 mértékre, melyre m 2 µ < és ν = aussµ. A C, β konstans választható úgy, hogy a β C, β, [2, ből 0, be képező függvény folytonos legyen. Bizonyítás. A Hölder egyenlőtlenséggel β d m β µ = ζ i x i 1/d µdx ζ i x 1/d i d i 2 2 µdx β/2 aν β/2. Továbbá β d d m β ν = ζ i x 1/d i νdx d β 1 ζ i x β/d i νdx. Alkalmazva a 2.4.15 Lemma rekurzív formuláját, azt kapjuk, hogy ha I Z d + olyan, hogy di páros, akkor ζ I xνdx c 1, di di/2 ζ J xνdx c 2, di aν di/2. dj=2 Legyen i = 1,..., d esetén k i := [β/2d i ] + 1. Ekkor β/2ki d i ζ i x β/d i νdx ζ i x 2k i νdx β/2ki d i ζ I i xνdx, ahol I i azt a multiindexet jelöli, melynek i edik koordinátája 2k i, a többi pedig 0, így di i = 2k i d i páros, ezért ζ i x β/d i νdx c, β aν k β/2ki d i id i c, β aν β/2, ahol a β C, β, [2, ből 0, be képező függvény folytonos. 4.2.5 Lemma. Legyen ν az a auss mérték n, melynek infinitézimális generátora 2.4.16. Legyen γ β 2. Ekkor létezik olyan C, β, γ > 0 konstans, hogy Λ β ν + L γ ν C, β, γ 1 + aν γ β/2 Λ β µ + L γ µ teljesül minden olyan centrált µ M 1 mértékre, melyre m 2 µ < és ν = aussµ.

4.2. BERRY ESSEEN EYENLŐTLENSÉ 77 Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy Λ β ν + L γ ν 2m γ νn 2 γ/2, mivel Λ β ν n 2 γ/2 x γ νdx m γ νn 2 γ/2, x n és L γ ν m γ νn 2 γ/2. Abban az esetben, amikor Λ β µ n 2 β/2 m β µ/2, azt kapjuk, hogy Λ β µ + L γ µ Λ β µ 1 2 n2 β/2 m β µ n 2 γ/2 m βν 2c, β Λ βν + L γ ν C 1, ν, β, γ, ahol C, ν, β, γ = 4c, βm γ ν/m β ν. Ha Λ β µ n 2 β/2 m β µ/2, akkor nyilván teljesül L β µ n 2 β/2 m β µ, ezért x < n x β µdx m βµ 2 m βν 2c, β > 0. A Hölder egyenlőtlenséggel x β µdx x < n β/γ x µdx γ, x < n ezért γ/β Λ β µ + L γ µ L γ µ n 2 γ/2 mβ ν Λ βν + L γ ν 2c, β C 2, ν, β, γ, ahol C 2, ν, β, γ := 2m γ νc, β/m β ν γ/β. Mint a 4.2.4 Lemma bizonyításában belátható, hogy m β ν aν β/2, m γ ν C, γaν γ/2, amivel kész a bizonyítás. Legyen µ olyan centrált valószínűségi mérték n, melyre m 2 µ <. Legyen ν := aussµ a µ mértékhez rendelt auss mérték. Jelölje n f := fxδ 1/ n µ n νdx. 4.2.6 Tétel. Ha m 2 µ < és f C hom 3s, akkor ahol r 1 := f Λ 0 µ + ν, n f r 1 + r 2 + r 3, r 2 := C f 2s,hom 1 + m 2s 1 νλ 2 µ + ν, r 3 := C f 3s,hom 1 + m 3s 1 νl 3 µ + ν.

78 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ 4.2.7 Következmény. Ha m 2 µ < és f C hom 3s, akkor n f C f 3s,hom 1 + aν 1/2 1 + m 3s 1 νλ 2 µ + L 3 µ. Továbbá n f C f 3s,hom 1 + m 3s 1 νm β µn 2 β/2 ha 2 β 3. Ha m β µ <, akkor n f = o n 2 β/2 ha n, amennyiben 2 β < 3. Az m 2 µ < feltételből következik a centrális határeloszlás tétel a µ mértékre azaz a 3.1.1 Tétel. 4.2.8 Megjegyzés. Használhatjuk az ζi m k ν c k x 2 νdx k/2 + d i =1 d i =2 ζ i xνdx k/2 becslést is lásd a 4.2.4 Lemma bizonyítását. A 4.2.6 Tétel bizonyítása. Az egyszerűség kedvéért a τ = n 1/2, for n = 1, 2,... jelölést fogjuk használni, amikor ez nem okozhat félrértést. Felhasználva a n δ τ µ n ν = δ τ µ n δ τ ν n = δ τ ν k 1 δ τ µ δ τ ν δ τ µ n k k=1 dekompozíciót, kapjuk, hogy n 4.2.9 n f = k=1 fxyzδ τ ν k 1 dxδ τ µ νdyδ τ µ n k dz. Az integrálási tartományt két részre bontva n f = I 1 + I 2, ahol I 1 = I 2 = n k=1 n k=1 fxyzδ τ ν k 1 dxδ τ µ νdyδ τ µ n k dz, y 1 fxyzδ τ ν k 1 dxδ τ µ νdyδ τ µ n k dz. y <1 Nyilván I 1 f Λ 0 µ + ν = r 1. Az I 2 becsléséhez a g x,z y = fxyz függvény e pontbeli baloldali lépcsős Taylor kifejtését használjuk rögzített x, z esetén: g x,z y = S I g x,z ey I + R gx,z y, di 2

4.3. RÖVID EDEWORTH SORFEJTÉS 79 ahol { R g x,z y c y 3 sup X } I g x,z u : di = 3, u b 3 y. Mivel di 2 esetén 4.2.10 y I νdy = y I µdy, így y <1 y I δ τ µ νdy = és a 4.2.1 Lemma alapján y 1 y 1 y I δ τ µ νdy y 2 δ τ µ + νdy = n 1 Λ 2 µ + ν, S I g x,z e c 1 + x dis 1 f sdi,hom c 1 + x 2s 1 f 2s,hom, ezért 4.2.11 y <1 S I g x,z ey I δ τ µ νdy n 1 c f 2s,hom 1 + x 2s 1 Λ 2 µ + ν. Újra a 4.2.1 Lemma alapján R gx,z y c y 3 1 + x 3s 1 + y 3s 1 f 3s,hom, így y <1 R gx,z yδ τ µ νdy n 1 c f 3s,hom 1 + x 3s 1 L 3 µ + ν. Összegyűjtve a becsléseket, kapjuk, hogy I 2 r 2 + r 3. 4.3 Rövid Edgeworth sorfejtés Legyen megint µ olyan centrált valószínűségi mérték n, melyre m 2 µ <, legyen ν := aussµ a µ mértékhez rendelt auss mérték, és legyen ν t t 0 az a auss félcsoport, melyre ν 1 = ν. 4.3.1 Tétel. Ha m 2 µ < és f C hom 6s, akkor 4.3.2 fxδ 1/ n µ n dx = fxνdx + α n n 1/2 + R n, ahol α n = α n, f, µ és R n = R n, f, µ csak, f, µ és n függvénye. Továbbá α n = 1 di=3 0 S I g x,z eν t dxν 1 t dzdt y I µ νdy, y < n

80 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ ahol g x,z : R, g x,z y := fxyz, y, és R n 7 r i, ahol r 1 := f Λ 0 µ + ν, r 2 := C f 2s,hom 1 + m 2s 1 νλ 2 µ + ν, r 3 := C f 3s,hom 1 + m 3s 1 νλ 0 µ + νl 3 µ + ν, r 4 := C f 4s,hom 1 + m 4s 1 νl 4 µ + ν, r 5 := C f 5s,hom 1 + m 5s 1 νλ 2 µ + νl 3 µ + ν, r 6 := C f 6s,hom 1 + m 6s 1 νl 3 µ + ν 2, r 7 := C f 5s,hom 1 + m 5s 1 νl 3 µ + νn 1. 4.3.3 Következmény. Az α n együtthatók 4.3.2 ben becsülhetők a következő módon: és ahol α = α, f, µ csak, f α n C f 3s,hom 1 + m 3s 1 νl 3 µ + νn 1/2 α n α C f 3s,hom 1 + m 3s 1 νλ 3 µ + νn 1/2, α = 1 di=3 0 és µ függvénye: S I g x,z eν t dxν 1 t dzdt y I µ νdy. Ha m β µ < valamely 3 β 4 esetén, akkor 4.3.4 fxδ 1/ n µ n dx = fxνdx + αn 1/2 + R n, ahol Rn = R n, f, µ csak, f, µ és n függvénye. Továbbá R n C f 6s,hom 1 + m 6s 1 ν m β µ + n β 4/2 m 3 µ 2 + n β 5/2 m 3 µ n 2 β/2. Ha m β µ < valamely 3 β < 4 esetén, akkor n f αn 1/2 = o n 2 β/2 ha n. 4.3.5 Megjegyzés. Megemlítjük, hogy S I g x,z e = S I g x,z e = 1 I [j 1 ]+ +[j I ]=I d I f xexp t 1 X j1 exp t I X j I z, dt 1... dt I t 1 =0,...,t I =0 tehát az α n és α tagok a 4.3.2, illetve 4.3.4 Edgeworth kifejtésben függetlenek a csoporton választott konkrét kalkulustól. Alkalmazva a 4.2.1 Lemmát, és kifejezve az X J differenciál operátorokat J segítségével, a fenti kifejezés írható a következő alakban is: S I g x,z e = PJ I x, z J fxz, dj di, J I ahol P I J olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj di.

4.3. RÖVID EDEWORTH SORFEJTÉS 81 4.3.6 Megjegyzés. Fogalmazzuk meg az eredményt a valószínűségi változók nyelvén is. Legyenek ξ, ξ 1, ξ 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók a csoportban közös µ eloszlással. Jelölje η t t 0 azt a Wiener folyamatot ben, melynek infinitézimális generátora 2.4.16, ahol a i := Eζ i ξ, b ij := Covζ i ξ, ζ j ξ. Arra az esetre szorítkozunk, amikor E ξ 4 <. Ekkor tetszőleges f C hom 6s esetén Efδ 1/ n ξ 1 ξ n = Efη 1 + αn 1/2 + R n, ahol α = di=3 dj 3, J I EP I J η U, η 1 U η 1 J fη 1 Eξ I, U egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumon, mely független az η t t 0 Wiener folyamattól, és R n C f 6s,hom 1 + aη 1 3s 1 E ξ 4 + E ξ 3 2 + n 1/2 E ξ 3 n 1. A 4.3.1 Tétel bizonyítása. Megint a 4.2.9 dekompozíciót és az integrálási tartomány két részre bontásából adódó n f = I 1 + I 2 felbontást használjuk. Nyilván I 1 f Λ 0 µ + ν = r 1. Most az I 2 becsléséhez a g x,z y = fxyz függvény e pontbeli baloldali lépcsős Taylor kifejtését a homogén harmadfokú tagig használjuk: g x,z y = S I g x,z ey I + R gx,z y, di 3 ahol { R g x,z y c y 4 sup X } I g x,z u : di = 4, u b 4 y. Ha di 2, akkor megint fennáll 4.2.11. A 4.2.1 Lemmával R g x,z yδ τ µ νdy n 1 c f 4s,hom 1 + x 4s 1 L 4 µ + ν. y <1 Ezért I 2 = A + r, ahol n A = k=1 di=3 S I g x,z eδ τ ν k 1 dxδ τ µ n k dz y I δ τ µ νdy, y <1 és Most a felbontásból r r 2 + r 4. n k δ τ µ n k = δ τ ν n k + δ τ ν l 1 δ τ µ ν δ τ µ n k l A = A 1 + A 2 y I δ τ µ νdy, y <1

82 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ ahol A 2 = di=3 k=1 A 1 = n n k di=3 k=1 n S I g x,z eδ τ ν k 1 dxδ τ ν n k dz, S I g x,uvw eδ τ ν k 1 dxδ τ ν l 1 duδ τ µ νdvδ τ µ n k l dw. Először az A 2 mennyiséget elemezzük. Az integrálási tartományt két részre bontva A 2 = A 2,1 + A 2,2, ahol A 2,1 a {v : v 1} halmazon, A 2,2 pedig a {v : v < 1} halmazon vett integrálokat tartalmazza. A 4.2.1 Lemma segítségével A 2,1 nc f 3s,hom 1 + m3s 1 ν Λ 0 µ + ν. Az A 2,2 becsléséhez most a h x,u,w v = S I g x,uvw e függvény e pontbeli baloldali lépcsős Taylor kifejtését a homogén másodfokú tagig használjuk rögzített x, u, w esetén: h x,u,w v = S J h x,u,w ev J + R h x,u,w v, ahol dj 2 { R hx,u,w v c v 3 sup X } J h x,u,w z : dj = 3, z b 3 v. Ha dj 2, akkor a 4.2.1 Lemmából S J h x,u,w ev J δ τ µ νdv n 1 c f 5s,hom 1 + x 5s 1 Λ 2 µ + ν v <1 lásd 4.2.11 bizonyítását. Újra a 4.2.1 Lemma segítségével R h x,u,w vδ τ µ νdv n 1 c f 6s,hom 1 + x 6s 1 L 3 µ + ν. v <1 Figyelembe véve a becslést, kapjuk, hogy y <1 A 2 y I δ τ µ νdy n 1 L 3 µ + ν y <1 y I δ τ µ νdy r 3 + r 5 + r 6. Most elemezzük az A 1 mennyiséget. A ν t t 0 konvolúciós félcsoport stabilitását felhasználva n n 1 S I g x,z eδ τ ν k 1 dxδ τ ν n k dz k=1 n = n 1 k=1 = n 1 n k=1 F k 1 n S I g x,z eν k 1/n dxν n k/n dz, n k n,

4.3. RÖVID EDEWORTH SORFEJTÉS 83 ahol F t, u = S I g x,z eν t dxν u dz. Nyilván F k 1 n, n k n F k 1 n, n k+1 n n 1 sup τ [0,1] 2 F k 1 n, n k+1 τ n. Alkalmazva az Euler-Maclaurin szummációs formulát a t = F t, 1 t függvényre, azt kapjuk, hogy n 1 F k 1 n, n k+1 n 1 F t, 1 t dt c n 1 sup t 0 t [0,1] c n 1 max,2 sup t [0,1] i F t, 1 t. Nyilván 2 F t, u = Ñ z SI g x,z eν t dxν u dz, ahol Ñ z a ν t t 0 konvolúciós félcsoport Ñ infinitézimális generátora, a z változó szerint alkalmazva mint differenciál operátort. A 4.2.1 Lemmával S I g x,z e = dj 3, J I P I J xx J fxz, ahol PJ I olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj 3. Következésképpen 2.4.11 alapján Ñ SI z g x,z e = Q I KxX K fxz, dk 5, K I +2 ahol Q I K olyan homogén polinom, melynek homogén foka dj 5. Nyilván K I + 2 miatt dk s K s I + 2 5s, ezért Ñz S I g x,z e c dk 5, K I +2 c 1 + x 5s 1 f 5s,hom. xy dk 5 f dk,hom Tehát Hasonlóan, sup 2 F t, 1 t c1 + m 5s 1 ν f 5s,hom. t [0,1] sup 1 F t, 1 t c1 + m 5s 1 ν f 5s,hom. t [0,1]

84 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ Továbbá 2 F k 1, 1 n k+1 τ c n n + x 5s 1 ν k 1/ndxν n k+1 τ/ndz f 5s,hom = c 1 + x 5s 1 ν k 1/n dx f 5s,hom Összegezve, azt kapjuk, hogy 1 = c + x 5s 1 δ νdx f k 1/n 5s,hom 5s 1 k 1 = c 1 + x νdx f n 5s,hom c1 + m 5s 1 ν f 5s,hom. n 1 n k=1 S I g x,z eδ τ ν k 1 dxδ τ ν n k dz = 1 0 S I g x,z eν t dxν 1 t dz + R, ahol R c1 + m 5s 1 ν f 5s,hom n 1. Összegyűjtve a megfelelő becsléseket: A 1 y <1 y I δ τ µ νdy = α n n 1/2 + r, ahol r r 7. Ezzel kész a bizonyítás. Most megfogalmazzuk az eredményeket a legegyszerűbb nem kommutatív lépcsős Lie csoport, a H Heisenberg csoport esetében, a valószínűségi változók nyelvén. A 5.1.6 Tétel szerint az a bal-invariáns Brown mozgás, melynek infinitézimális generátora a 3 X3 + 1 2 2 b ij Xi Xj alakú, ahol a 3 R és B = b ij 1 i,j 2 M + 2, reprezentálható a következőképpen: i,j=1 Z 1 t, Z 2 t, Lt, t 0, ahol Z 1 t, Z 2 t t 0 Brown mozgás R 2 ben, melynek várhatóértéke 0 és kovariancia mátrixa B, és Lt := a 3 t + 1 2 t 0 Z 1 s dz 2 s Z 2 s dz 1 s a Lévy féle sztochasztikus terület függvény lásd, például, Feinsilver, Schott [31] és Roynette [84].

4.4. TELJES EDEWORTH SORFEJTÉS 85 Legyen ξ, η, ζ, ξ 1, η 1, ζ 1 ξ 2, η 2, ζ 3,... R 3 független, azonos eloszlású valószínűségi vektorváltozókból álló sorozat. Tegyük fel, hogy Eξ = Eη = 0, Eζ = a 3, Eξ 2 = b 11, Eη 2 = b 22, Eξη = b 12. Tekintsük a T n := 1 n 1 n ξ i, η i, 1 n ζ i + 1 n n n 2n ξ i η j ξ j η i statisztikát. Ekkor tetszőleges f C hom 6 H esetén 1 i<j n EfT n EfZ 1 1, Z 2 1, L1 c Ca 3, B f 6,hom E ξ 3 + E η 3 + E ζ 3/2 n 1/2, ahol Ca 3, B := 1 + a 3 3/2 + b 3/2 11 + b 3/2 22. Ha E ξ 4 <, E η 4 < és E ζ 2 <, akkor tetszőleges f C12 hom H esetén EfT n = EfZ 1 1, Z 2 1, L1 + αn 1/2 + R n, ahol a maradéktagra fennáll R n c r 1 + r 2, r 1 := Ca 3, B f 12,hom E ξ 4 + E η 4 + E ζ 2 + E ξ 3 2 + E η 3 2 + E ζ 3/2 2 n 1, r 2 := Ca 3, B f 12,hom E ξ 3 + E η 3 + E ζ 3/2 n 3/2, ahol Ca3, B := 1 + a 3 3 + b 3 11 + b 3 22. Az α együttható pedig α := 1 3 3 ED k 6 k 1D2 3 k fz 1 1, Z 2 1, L1 Eξ k η 3 k k=0 + 1 3 ED 1D 3 fz 1 1, Z 2 1, L1 Eξζ + 1 3 ED 2D 3 fz 1 1, Z 2 1, L1 Eηζ, ahol D 1, D 2 és D 3 a következő véletlen differenciál operátorok: D 1 := 1 + Z 21 2Z 2 U 3, 2 D 2 := 2 + 2Z 1U Z 1 1 3, 2 D 3 := 3, és ahol U olyan egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 1] intervallumon, mely független az összes többi valószínűségi változótól. 4.4 Teljes Edgeworth sorfejtés Ebben a paragrafusban a következő speciális jelölést fogjuk használni. Egy függvény, x = x 1,..., x k k, Y L, és i {1,..., k} esetén az f : k R Y i fx

86 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ jelölés azt jelenti, hogy az Y differenciál operátor az x i változóban hat. Megjegyezzük, hogy tetszőleges Y, Z L esetén az Y i és Z j differenciál operátorok felcserélhetőek, ha i j. Egy P : k R függvényt polinomnak nevezünk, ha P exp Y 1,..., exp Y k, Y 1,..., Y k L polinom L n. Ez egyértelműen írható P x 1,..., x k = a I1,...,I k ζ I1 x 1... ζ Ik x k, x 1,..., x k I 1,...,I k alakban, ahol csak véges sok a I1,...,I k együttható különbözik 0 tól. A homogén foka max{di 1 + + di k : a I1,...,I k 0}. Ha egyúttal egy m fokú homogén függvény is, akkor egyértelműen írható P x 1,..., x k = a I1,...,I k ζ I 1 x 1... ζ I k x k, x 1,..., x k di 1 + +di k =m alakban, és létezik olyan c, P > 0 konstans, hogy P x 1,..., x k c, P 1 + x 1 m + + x k m, x 1,..., x k. A következő állítás a 4.2.1 Lemma általánosítása. Egy f : R függvény esetén definiáljuk az f k : k R, függvényt. f k x 1,..., x k := f k j=1 x j 4.4.1 Lemma. Legyen I 1,..., I k Z d +, f : C hom sm, ahol m := di 1 + + di k. Ekkor X I 1 2... X I k 2k f 2k+1x 1,..., x 2k+1 = ahol P I 1,...,I k J 1,...,J k X I 1 2... X I k dj i di i, J i I i, i {1,...,k} P I 1,...,I k J 1,...,J k x 1,..., x 2k X J 1... X J k f 2k+1 j=1 x j olyan homogén polinom, melynek homogén foka k dj i di i, és 2k f 2k s 1m 2k+1x 1,..., x 2k+1 c 1 + x i f sm,hom 2k c 1 + x i s 1m f sm,hom. Szükségünk lesz az Euler Maclaurin féle összegzési formulának egy olyan többdimenziós általánosítására, mely egy bizonyos szimplexen érvényes. Először felidézzük az egydimenziós,

4.4. TELJES EDEWORTH SORFEJTÉS 87 esetet. Legyen F : [0, 1] R egy olyan függvény, mely r szer folytonosan differenciálható, r 1. Ekkor a n 1 i=0 F i n összegre a következő zárt formula adható: 1 n 1 i 1 r B l F = F t dt + n n l! n F l 1 1 F l 1 0 l i=0 ahol B l, l = 0, 1,... 0 + 1r+1 r! n r 1 0 B r ntf r t dt, a Bernoulli számok, melyeknek a generátor függvénye B l l! ul = u e u 1, l=0 és Bl, l = 0, 1,... olyan 1 periódusú függvények R en, melyek egybeesnek a Bernoulli polinomokkal a [0, 1 intervallumon: l=0 B l t u l = l! ueut, t [0, 1. e u 1 A 4.4 kifejezés az Euler Maclaurin féle összegzési formulának egy verziója, amiből könnyen levezethető a következő aszimptotikus kifejtés: 1 n 1 i r 1 B 1 l F = F l t dt + R r n n l! n l n, ahol i=0 l=0 R n r cr sup F r t. n r t [0,1] Bhattacharya, Ranga Rao [11] általános szummációs formulát bizonyítottak többváltozós f : R k R függvényekre: h k fv + hm = dλ r + R r, v+hm A A m Z k ahol h > 0, A BR k, Λ r egy komplikált előjeles mérték mely az F függvény parciális deriváltjaitól függ, és az R r maradéktag a következő módon becsülhető: R r ck, r, q h I I f,q, 0 r I kr ahol q > k/2 tetszőlegesen választható szám, és a,q norma definíciója g,q := sup { 1 + t 2 q/2 gt : t R k}. Az a célunk, hogy aszimptotikus kifejtést nyerjünk az 1 n k 1 i 1 + +i k =n k+1 i 1,...,i k Z + F i1 n,..., i k n

88 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ összegre. Ebben a speciális esetben a dλ A r tagnak egyszerűbb a struktúrája, mely leírható többindexes Bernoulli típusú számokkal. Legyenek T j és T j, j N a következő szimplexek R j ben: T j = {t 1,..., t j : t 1 + + t j = 1, t 1,..., t j 0}, T j = {t 1,..., t j : t 1 + + t j 1, t 1,..., t j 0}. Használni fogjuk a 0 j := 0,..., 0 R j jelölést. 4.4.2 Tétel. Legyen F : Tk R, k 2 olyan függvény, melynek J F, J Z k +, J k 1r parciális deriváltjai léteznek és folytonosak valamely r 1 esetén. Ekkor 4.4.3 1 n k 1 = k j=2 i 1 + +i k =n k+1 i 1,...,i k Z + J r 1 k+j J Z k + ahol k 2 és 2 j k esetén a {b k,j J F i1 n,..., i k n b k,j J J F t, 0 J! n J +k j k j dt + R n k,r, T j : J Z k +} számok generátorfüggvénye 4.4.4 és k,j t = J Z k + b k,j J t J = 1 k j J! R n k,r ck, r n r k t 1 t i t j 1 t i e t q e t i, i=j max J k 1r J Z k + 1 q k q i sup J F t. t T k Bizonyítás. F Használva először az i1 n,..., i k = n r 1 l=0 1 k l l i1 + k 1 l! n 1F l n + 1r r 1! n r 1 0, i 2 n,..., i k n 1 τ r 1 1F r i1 + k 1 τ n, i 2 n,..., i k dτ n Taylor kifejtést, majd koordinátánként alkalmazva az egyváltozós Euler Maclaurin féle összegzési formulát, és figyelembe véve 4.4.5 Hx, y, 0 dx dy = T 2 Hx, 0, y dx dy + T 2 2 3 Hx, y, z dx dy dz T 3 típusú azonosságokat, beláthatjuk, hogy valamilyen egyértelműen meghatározott b k,j J számokkal létezik olyan alakú aszimptotikus kifejtés, mint amilyet a tétel állít. Abból a célból,

4.4. TELJES EDEWORTH SORFEJTÉS 89 hogy meghatározzuk ezeknek a polinomoknak a generátorfüggvényét, behelyettesítjük a formulába az F t 1,..., t k = e λ 1t 1 + +λ k t k függvényeket, ahol λ 1,..., λ k R páronként különböző számok. Ezekre a speciális függvényekre 1 i1 F n k 1 n,..., i k = 1 k 1 k e λ 1 e λ i n n k 1 e λq/n e λ i/n és amiből következik J Z k + i 1 + +i k =n k+1 i 1,...,i k Z + T j J F t, 0 k j dt = 1 j λ J j i=2 i=2 1 q k q i e λ 1 e λ i λ q λ i, 1 q j q i b k,j J J! n Tj J F t, 0 J +k j k j dt = 1j n k j k,j n 1 λ j i=2 e λ 1 e λ i λ q λ i. 1 q j q i Ezeket összevetve, t = n 1 λ helyettesítéssel, majd az e nt 1 e nt i, i = 2,..., k kifejezések együtthatóit összehasonlítva a következő lineáris egyenletrendszert kapjuk a k,j generátorfüggvényekre: k 1 k j k,j t = t q t i j=i 1 q j q i 1 q k q i 1, j = 2,..., k. e tq e t i Ennek az egyenletrendszernek egyetlen megoldása létezik: ami a tétel állításában szerepel. Megjegyezzük, hogy például és 2,2 t 1, t 2 = t 1 t 2 e t 1 e t 2 3,3 t 1, t 2, t 3 = t 1 t 3 t 2 t 3 e t 1 e t 3e t 2 e t 3, 3,2 t 1 t 2 t 1, t 2, t 3 = e t 1 e t 2e t 3 e t 2 t 1 t 3 e t 1 e t 3e t 2 e t 3. Legyen µ egy olyan centrált valószínűségi mérték n, melyre m 2 µ <. Legyen ν t t 0 a µ höz tartozó auss félcsoport, vagyis az a auss félcsoport, melynek infinitézimális generátora Ñ = a i Xi + 1 b ij Xi Xj, 2 d i =2 d i =d j =1

90 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ ahol a i = ζ i y µdy, b ij = ζ i yζ j y µdy. Ekkor ν = ν 1 = aussµ és érvényes a δ 1/ n µ n ν fogjuk most megadni a teljes Edgeworth sorfejtést. centrális határeloszlás tétel. Erre Az egyszerűség kedvéért a következő jelölést fogjuk bevezetni. Ha i, q N, q i + 1, x 1,..., x q, t 1,..., t q 0 és f : R, akkor f 2i+1 x q := f 2i+1 x 1, e, x 2, e,..., e, x q, e,..., e, ν t dx dt := ν t1 dx 1... ν tq dx q dt 1... dt q. 4.4.6 Tétel. Ha m k+2 µ < és f C hom 3ks, akkor 4.4.7 fxδ 1/ n µ n dx = ahol α j = α j, f, µ csak, f α j = T l D I1,...,Iq 1 q,l,j l k 1 fxνdx + α j n j/2 + O n k/2, j=1 és µ függvénye. Továbbá q 1 f 2i+1 x q ν t dx dt p=1 m I p µ m I p ν, ahol a szummázás kiterjed minden q {2,..., j + 1}, l {2,..., q} számra és J Z q +, I 1,..., I q 1 Z d + multiindexekre, melyekre teljesül di 1 + + di q 1 = j 2 J + 2l 2 és di 1,..., di q 1 3, és ahol a D I 1,...,I q 1 q,l,j differenciáloperátorok definíciója ahol b q,l J D I 1,...,I q 1 q,l,j = bq,l J Ñ j 1 J! 1Ñ j 2 3... Ñ j q 2q 1 SI 1 2... SI q 1 2q 2, a 4.4.2 Tételben szereplő Bernoulli típusú számok. Bizonyítás. A bizonyításban újra használjuk a τ = n 1/2, for n = 1, 2,... jelölést, amennyiben nem okozhat félreértést. A bizonyítás stratégiája követi Bentkus, ötze, Paulauskas, Račkauskas [7] által Banach tér esetében alkalmazott ötleteket. A következő azonosság igen hasznosnak bizonyul két konvolúció összehasonlítására: n 4.4.8 α 1 α n = β 1 β n + β 1 β k 1 α k β k α k+1 α n, k=1 ahol α 1,..., α n, β 1,..., β n tetszőleges mértékek. Először használjuk a 4.4.8 dekompozíciót az α 1 α n = δ τ µ n és β 1 β n = δ τ ν n = ν konvolúciókra. Ezután alkalmazzunk Taylor kifejtést az α k β k mértékhez tartozó változó szerint. A kifejtés rendje attól függ,

4.4. TELJES EDEWORTH SORFEJTÉS 91 hogy milyen rendű maradéktagot akarunk kapni. Az α k β k faktor bizonyos m I α m I β momentumokat eredményez. A többi faktor kezelésére megint a 4.4.8 azonosságot használjuk az α k+1 α n konvolúció dekompozíciójához, majd a Taylor kifejtést alkalmazzuk az új α l β l differenciákhoz tartozó változóban, és így tovább. Az új Taylor kifejtés rendje kisebb, mint az előző lépésben volt, tehát véges soklépés után már csak olyan tagok maradnak, melyek egyrészt bizonyos momentumok m I α m I β alakú differenciáit, másrészt a β i mértékek bizonyos konvolúcióit tartalmazzák; az utóbbiak pedig kezelhetők a 4.4.2 Tételben adott többdimenziós Euler Maclaurin formulával. Ahhoz, hogy az Edgeworth kifejtést az állításban szereplő optimális momentum feltételek mellett kapjuk meg, a fent leírt eljárást kombinálni kell csonkítással is. Először megszabadulunk a O n k/2 rendű tagoktól, azután elemezzük azokat a tagokat, melyek a k j=1 α jn j/2 kifejtést eredményezik. A 4.4.8 azonosság alapján δ τ µ n = ν + n δ τ ν k 1 δ τ µ νδ τ µ n k. k=1 Az integrálási tartomány felbontásával fxδ τ µ n = fxνdx + I 1 + I 2, ahol I 1 = I 2 = n k=1 n k=1 fx 1 y 1 x 2 δ τ ν k 1 dx 1 δ τ µ νdy 1 δ τ µ n k dx 2, y 1 1 fx 1 y 1 x 2 δ τ ν k 1 dx 1 δ τ µ νdy 1 δ τ µ n k dx 2. y 1 <1 Az {y 1 : y 1 1} halmazon a triviális f becslést alkalmazzuk, és 4.2.3 valamint a 4.2.4 Lemma alapján azt kapjuk, hogy I 1 f Λ 0 µ + ν f m k+2 µn k/2 = O n k/2. Az {y 1 : y 1 < 1} halmazon alkalmazzuk a k + 1 edrendű baloldali lépcsős Taylor kifejtést az y 1 változó szerint: fx 1 y 1 x 2 = f 3 x 1, y 1, x 2 = S I 1 2 f 3x 1, e, x 2 ζ I 1 y 1 +R f 3 k+2 x 1, y 1, x 2, di 1 k+1 ahol { R f 3 k+2 x 1, y 1, x 2 c y 1 k+2 sup X } I f 3 x 1, z 1, x 2 : di = k + 2, z 1 b k+2 y 1. A 4.4.1 Lemma alapján R f 3 k+2 x 1, y 1, x 2 c y 1 k+2 1 + x 1 y 1 k+2s 1 f k+2s,hom,

92 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ ezért 4.2.2 alkalmazásával R f 3 k+2 x 1, y 1, x 2 δ τ µ νdy 1 y 1 <1 n 1 c f k+2s,hom 1 + x1 k+2s 1 L k+2 µ + ν. Felhasználva a 4.2.3 becslést, azt kapjuk, hogy a R f 3 k+2 maradéktag nagyságrendje c f k+2s 1 + m k+2s 1 νl k+2 µ + ν = O n k/2. Azokra a tagokra, melyeknél di 1 2, nyilván ζ I 1 y 1 νdy 1 = ζ I 1 y 1 µdy 1, hiszen a µ és ν mértékek homogén momentumai másodrendig bezárólag egybeesnek. Ezért ζ I 1 y 1 δ τ µ νdy 1 = ζ I 1 y 1 δ τ µ νdy 1 n 1 Λ 2 µ + ν. y 1 <1 A 4.4.1 Lemma alapján y 1 1 4.4.9 S I 1 2 f 3x 1, e, x 2 c 1 + x 1 2s 1 f 2s,hom. Összegyűjtve a becsléseket azt kapjuk, hogy azoknak a tagoknak a nagyságrendje, melyeknél di 1 2: c f 2s,hom 1 + m 2s 1 Λ 2 µ + ν = O n k/2. Tekintsük az integrálokat 3 di 1 k + 1 esetén. Megint alkalmazzuk a 4.4.8 azonosságot, de most a δ τ µ n k konvolúcióhatványra. Ekkor a következő mérték szerint kell integrálnunk: n δ τ ν k 1 δ τ µ νδ τ ν n k + k=1 n n k δ τ ν k 1 δ τ µ νδ τ ν l 1 δ τ µ νδ τ µ n k l. k=1 Tegyük félre az első szummát mert ez alacsonyabb rendű tagokat fog eredményezni, és foglalkozzunk a második szummával. Most az integrálási tartományt az új δ τ µ ν faktorhoz tartozó y 2 változó értéke szerint bontjuk fel. Az {y 1, y 2 2 : y 1 < 1, y 2 1} halmazon az integrandust a szuprémum normájával becsüljük, és könnyen látható, hogy 4.4.9 típusú becsléseket alkalmazva ezeknek a tagoknak a nagyságrendje c, ν f di1 s,homλ 0 µ + νl di1 µ + ν = O n k/2. Az {y 1, y 2 2 : y 1 < 1, y 2 < 1} halmazon alkalmazzuk a k + 3 di 1 rendű baloldali lépcsős Taylor kifejtést az y 2 változó szerint: S I 1 2 f 3x 1, e, x 2 y 2 x 3 = S I 1 2 f 5x 1, e, x 2, y 2, x 3 = S I 1 S I 2 2 4 f 5x 1, e, x 2, e, x 3 ζ I 1 y 1 ζ I 2 y 2 + R, di 2 k+3 di 1

4.4. TELJES EDEWORTH SORFEJTÉS 93 ahol { R c y 2 k+4 di1 sup X } I 1 SI 2 f 5x 1, e, x 2, z 2, x 3, ahol a szuprémum kiterjed az összes olyan I Z d + multiindexre, melyre di = k+4 di 1 és minden olyan z 2 pontra, melyre z 2 b k+4 di 1 y 2. Megint alkalmazva a 4.4.1 Lemmát, beláthatjuk, hogy az R maradéktag nagyságrendje c, ν f k+4 di1 s,homl di1 µ + νl k+4 di1 µ + ν = O n k/2. Nyilván azok a tagok, melyeknél di 2 2, ugyanúgy kezelhetők, mint az előbb. Az ζ I 2 y 2 δ τ µ νdy 2 n 1 Λ 2 µ + ν, y 2 <1 S I 1 2 S I 2 4 f 5x 1, e, x 2, e, x 3 c 1 + x 1 x 2 di 1+2s 1 f sdi1,hom becslések alapján ezeknek a tagoknak a nagyságrendje c, ν f k+3s,hom Λ 2 µ + νl di1 µ + ν = O n k/2. Most azokkal a tagokkal foglalkozunk, melyekre 3 di 1 k+1 és 3 di 2 k+3 di 1, azaz amikor di 1 + di 2 k + 3 és di 1, di 2 3. Nyilván az eljárás folytatható a δ τ µ n k l mértéknek a δ τ ν n k l + n k l δ τ ν i 1 δ τ µ νδ τ µ n k l i alakban történő kifejtésével. Félretesszük az első szummát, és felbontjuk az integrálás tartományát az új δ τ µ ν faktorhoz tartozó y 3 változó értéke szerint, és így tovább. Nyilván ezt az eljárást addig kell folytatnunk, míg a i δ τ ν 1 δ τ µ ν δ τ µ νδ τ ν i k 1 δ τ µ νδ τ µ i k i 1 + +i k =n k+1 i 1,...,i k Z + felbontásig jutunk, amelynél az integrandus S I 1 2... S I k 1 2k 2 f 2k 1x 1, e, x 2, e,..., e, x k ζ I 1 y 1... ζ I k 1 y k 1, ahol di 1 + + di k 1 k + 2k 3 = 3k 1 és di 1,..., di k 1 3, tehát di 1 = = di k 1 = 3, és az integrálási tartomány { y 1 < 1,..., y k 1 < 1}. Először használjuk a 4.4.8 dekompozíciót, majd tegyük félre a i δ τ ν 1 δ τ µ ν δ τ µ νδ τ ν i k 1 δ τ µ νδ τ ν i k i 1 + +i k =n k+1 i 1,...,i k Z + mérték szerinti integrált. A többi már mind O n k/2 nagyságrendű, amiről meggyőződhetünk az integrációs tartomány megfelelő felbontásával és másodrendű Taylor kifejtés alkalmazásával.

94 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ Most a félretett tagokkal foglalkozunk: q q 1 S I 1 2... S I q 1 2q 2 f 2q 1x q δ τ ν i 1 dx 1... δ τ ν i q dx q p=1 y <1 ζ I p yδ τ µ νdy, ahol a summázás kiterjed minden q {2,..., k} számra, minden olyan I1,..., I q 1 Z d + multiindexre, melyre di 1 + +di q 1 k+2q 3 és di 1,..., di q 1 3, és minden olyan nemnegatív egész koordinátájú i 1,..., i q vektorra, melyre i 1 + + i q = n q + 1. Először helyettesíthetjük az y <1 ζip yδ τ µ νdy integrálokat az ζ Ip yδ τ µ νdy = n dip/2 m Ip µ m Ip ν integrálokkal, hiszen az elkövetett hiba kisebb mint n q 1 q 1 n 1 Λ dip µ + ν c, µn q 1k/2 = O n k/2. p=1 Az S differenciáloperátorokat helyettesíthetjük az S el, mivel az e pontban ugyanúgy hatnak. Megjegyezzük, hogy a ν t t 0 konvolúciós félcsoport stabilitása miatt δ τ ν i = δ 1/ n ν i = ν i/n, tehát alkalmazhatjuk a 4.4.2 Tételben adott kifejtést az F t 1,..., t q = S I 1 2... SI q 1 2q 2 f 2q 1x 1, e,..., e, x q ν t1 dx 1... ν tq dx q q függvényre. Megjegyezzük, hogy l F t 1,..., t q = Ñ 2l 1 S I 1 2... SI q 1 2q 2 f 2q 1x 1, e,..., e, x q ν t1 dx 1... ν tq dx q. q Összegyűjtve n j/2 együtthatóit, megkapjuk az α j együtthatót a kifejtésben.

4.4. TELJES EDEWORTH SORFEJTÉS 95 Példaként megadjuk a kifejtés első három együtthatóját: α 1 = di=3 α 2 = di=4 + α 3 = 1 2 T 2 T 2 di=dj=3 di=3 + di=5 + + di=3 dj=4 S2f I 3 x 2 ν t dx dt m I µ, 2 S2f I 3 x 2 ν t dx dt m I µ m I ν 2 T 2 T 3 T 2 T 3 di=dj=dk=3 3 S I 2S J 4f 5 x 3 ν t dx dt m I µm J µ, 2 Ñ1 + Ñ3S I 2f 3 x 2 ν t dx dt m I µ S2f I 3 x 2 ν t dx dt m I µ 2 3 S I 2S J 4 + S J 2S I 4f 5 x 3 ν t dx dt m I µm J µ m J ν T 4 4 S I 2S J 4S K 6f 5 x 3 ν t dx dt m I µm J µm K µ. Megjegyezzük, hogy = R d, + esetén S I = I I!, ezért a 2.4.15 Lemma alapján Ñ = I =2 m I µ I. I! Továbbá D I 1,...,I q 1 q,l,j f 2q 1 x l = b q,l J J!I 1!... I q 1!Ñ J I 1+ +I q 1 f l p=1 x p. A ν t t 0 konvolúciós félcsoport stabilitása miatt ebben az esetben D I1,...,Iq 1 q,l,j f 2q 1 x l ν t dx = R d l 1 Ñ J I 1+ +I q 1 fxνdx, J! I 1!... I q 1! R d ami nem függ t től, ezért a t T l változó szerint kiintegrálva egyszerűen egy l 1! 1

96 4. FEJEZET. KONVERENCIA SEBESSÉ faktor keletkezik. Tehát például = R, + esetén a kifejtés első három együtthatója: α 1 = 1 f 3 xνdx m 3 µ, 3! α 2 = 1 f 4 xνdx m 4 µ m 4 ν + 1 f 6 xνdx m 4! 23! 2 3 µ 2, α 3 = 1 f 5 xνdx m 23! 2 2 µm 3 µ + 1 f 5 xνdx m 5 µ 5! + 1 f 7 xνdx m 3 µm 4 µ m 4 ν 3! 4! + 1 f 9 xνdx m 3! 4 3 µ 3. Felhasználva, hogy m 4 ν = 3m 2 ν 2 = 3m 2 µ 2, megkapjuk az α j [34] által adott alakját. együtthatók ötze

5. fejezet Konvolúciós félcsoportok vizsgálata 5.1 Konvolúciós félcsoportok előállítása Legyen először egy exponenciális Lie csoport, azaz olyan Lie csoport, melynél az exp : L exponenciális leképezés egy analitikus diffeomorfizmus. Egy beli értékű ξt t 0 független, stacionárius növekményű folyamat infinitézimális generátora előáll 5.1.1 d Ñfx = a i X i fx + 1 d b ij 2 X i Xj fx i,j=1 [ ] d + fxy fx ζ i y1 { y <1} X i fx ηdy, alakban, ahol a = a i 1 i d R d, B = b ij 1 i,j d M + d, η egy Lévy mérték n, és y 2 := d ζ iy 2. Nyilván a ξt t 0 folyamatot beazonosíthatjuk egy olyan folyamattal is, mely értékeit R d ben veszi fel. Legyen Ỹ := d a i X i. Nyilván léteznek olyan ẽ j = d σ ij Xi L, j = 1,..., r r d elemek úgy, hogy r d ẽ 2 i = b ij Xi Xj. i,j=1 Továbbá b ij = r σ ik σ jk k=1 97

98 5. FEJEZET. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK teljesül minden i, j = 1,..., d esetén, azaz, mátrixos jelöléssel: B = ΣΣ, ahol Σ = σ ij. Legyen T j L az ẽ 2 j elsőrendű része: T j := d ẽ 2 jζ k k. k=1 Legyen W 1 t,..., W r t t 0 egy standard Wiener folyamat R r ben. Legyen továbbá Pds dy egy olyan stacionárius Poisson véletlen mérték R + R d n, mely független a W 1 t,..., W r t t 0 folyamattól, és intenzitás mértéke EPds dy = ds ηdy. Legyen Pds dy a kompenzátor mértéke: Pds dy := Pds dy ds ηdy. Használni fogjuk a ξs := lim u s ξu jelölést. Jelölje h : R d R d a hx := x1 { x <1} nyírófüggvényt, és vezessük be a h : R d R d, hx := x hx, x R d jelölést. 5.1.2 Tétel. Az integrál formában felírt ξt = 5.1.3 t + + Ỹ ξsds + 1 r r T j ξsds + ẽ j ξsdw j s 2 j=1 0 j=1 0 [ ] d ξsy ξs y k Xk ξs ηdyds 0 t 0 y <1 t+ t k=1 [ξs y ξs ] Pds dy + t t+ 0 y <1 0 y 1 [ξs y ξs ]Pds dy sztochasztikus differenciálegyenletnek létezik egyértelmű erős ξt, 0 t <, megoldása, mely egy időben homogén diffúzió ugrásokkal, melynek N infinitézimális generátora 5.1.1. Bizonyítás. Erős megoldás létezése és egyértelműsége következik az egyenletben szereplő vektor mezők lokális Lipschitz tulajdonságából. Azt, hogy a megoldás robbanási időpontja végtelen, a szokásos módon lehet bizonyítani lásd például Applebaum, Kunita [1, Theorem 2.4]. Az egyenletben szereplő utolsó három tag összege átírható a következő standard alakban lásd Jacod, Shiryayev [59, p. 143]: t + [ hξsy ξs 0 t+ 0 ] d h k y X k ξs ηdyds k=1 hξs y ξs Pds dy + t+ 0 hξs y ξs Pds dy. Most megmutatjuk, hogy az 5.1.3 sztochasztikus differenciálegyenlet az N infinitézimális generátorhoz tartozó martingálproblémának felel meg. Az Itô formulát alkalmazva az f

5.1. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK ELŐÁLLÍTÁSA 99 C 2 R d függvényre lásd például Ikeda, Watanabe [58, p. 66]: ezért az fξt = fξ0 + + 1 2 + + 1 2 + + + + r j=1 r j=1 r d d t 0 t 0 t d d j=1 k, t d 0 t+ 0 t+ 0 t 0 0 t i fξsỹ ξs i ds i fξs T j ξs i ds i fξsẽ j ξs i dw j s 0 i fξs k l fξsẽ j ξs k ẽ j ξs l ds [ h i ξsy ξs ] m h k y X k ξs i ηdyds k=1 [fξs + hξs y ξs fξs ]Pds dy [fξs + hξs y ξs fξs ] Pds dy [ fξs + hξsy ξs fξs = fξ0 + + t+ 0 d t 0 ] h i ξsy ξs i fξs ηdyds Ñfξsds + r j=1 t [fξs y fξs ] Pds dy, fξt fξ0 t 0 0 ẽ i fξsdw j s Ñfξsds, t 0, folyamat valóban martingál. Feinsilver [29] megmutatta, hogy az Ñ operátorhoz tartozó martingál problémának egyértelmű megoldása létezik, melyet ha úgy tekintünk, hogy a csoportban veszi fel az értékeit, akkor egy független, stacionárius növekményű folyamat, melynek infinitézimális generátora Ñ. Az 5.1.3 egyenlet jobboldalán szereplő második és harmadik tag összege tömören írható r t alakban is, Stratonovich integrált használva. 0 ẽ j ξs dw j s

100 5. FEJEZET. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK Mátrix Lie csoport esetén Holevo [53] tartalmaz hasonló egyenletet, de az ő egyenletében tévedésből X2 j szerepel Tj helyett mely annak csak az elsőrendű része, nem törődik a ξs baloldali határértékkel, és a bizonyításában Emery [28] és Skorokhod eredményeire hivatkozik, holott azok multiplikatív sztochasztikus differenciálegyenletre vonatkoznak! Tekintsünk most egy egyszeresen összefüggő nilpotens Lie csoportot, mely nyilván exponenciális Lie csoport. Vezessük be a következő jelölést: B k := { I, J Z d + Z d + : I, J 0, di, dj d k 1 }. Ekkor az 2.4.1 rekurzív formula írható ζ k xy = ζ k x + ζ k y + I,J B k c k IJζ I xζ J y, x, y alakban. Tekintsük az R d beli 5.1.4 5.1.5 r Z k t := a k t + σ kj W j t, Z k t := Z k t + j=1 t y k Pds dy + t 0 y 1 0 y <1 y k Pds dy folyamatokat. Ekkor Z 1 t,..., Z d t t 0 egy olyan független, stacionárius növekményű auss folyamat azaz egy Wiener folyamat, melynek infinitézimális generátora d a i i + 1 2 d b ij i j, i,j=1 és Z 1 t,..., Z d t t 0 egy olyan független, stacionárius növekményű folyamat, melynek infinitézimális generátora Ñ 1,..., d azaz a ξt t 0 folyamat Ñ = Ñ X 1,..., X d infinitézimális generátorában az X i differenciáloperátor helyett i kerül, vagyis a auss része Z 1 t,..., Z d t t 0, és a Lévy mértéke η. 5.1.6 Tétel. Legyen ξt t 0 egy olyan beli értékű független, stacionárius növekményű folyamat, melynek infinitézimális generátora 5.1.1, ahol a B = b ij d i,j=1 mátrix dekompozíciója B = ΣΣ valamely Σ = σ ij d r es 1 r d mátrix segítségével. Legyen W 1 t,..., W r t t 0 egy standard Wiener folyamat R r ben, legyen Z 1 t,..., Z d t t 0 az 5.1.4 ben definiált Wiener folyamat, és legyen Z 1 t,..., Z d t t 0 az 5.1.5 ben definiált független, stacionárius növekményű folyamat R d ben. Beazonosítva a ξt t 0 folyamatot egy R d beli folyamattal, a következő reprezentáció

5.1. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK ELŐÁLLÍTÁSA 101 érvényes eloszlásban: ξ 1 t = Z 1 t,... ξ k t = Z k t +... + + t c k IJ I,J B k, J 2 0 [ t+ c k IJ I,J B k, J =1 0 y 1 t+ c k IJ I,J B k, J 2 0 ξs I dzs J ξs I y J Pds dy + ξs I y J Pds dy, t+ ahol J = 2 esetén a Zs J = Z i sz j s folyamatot r Z i, Z j s = σ il σ jl s = b ij s helyettesíti. 0 y <1 ξs I y J Pds dy ] Bizonyítás. Figyelembe véve a csoportbeli műveletet, az Xi, Ỹ, ẽ j, T j L differenciáloperátorok kifejezhetők a parciális differenciáloperátorokkal a következő módon: X i fx = d δ ik + k fx, k=1 Ỹ fx = d a k + ẽ j fx = T j f i x = 2 k=1 d σ kj + k=1 I,J B i, J =2 J,[i] B k c k J[i]x J I,J B k, J =1 I,J B k, J =1 c i IJx I σ j J i fx. Alkalmazva ezeket az explicit kifejezéseket, kapjuk, hogy 1 2 r j=1 r j=1 t 0 t 0 t 0 Ỹ ξs kds = a k + T j ξs k ds = ẽ j ξs k dw j s = I,[j] B k c k I[j] I,[i]+[l] B k c k I,[i]+[l] r σ kj W j t + j=1 t c k IJx I a J k fx, 0 t r 0 c k IJx I σ j J k fx, ξs I da j s, ξs I db il s, c k I[l] j=1 I,[l] B k t 0 ξs I dσ lj W j s

102 5. FEJEZET. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK és ξsy k ξ k s d ζ i yẽ i ξs k = I,J B k, J 2 ξs y k ξ k s = y k + Az 5.1.2 Tétel alkalmazásával kapjuk az állítást. c k IJξs I y J, I,J B k c k IJξs I y J. Példaként tekintsük a H Heisenberg csoportot. Legyen ξt t 0 egy H beli független, stacionárius növekményű folyamat. A folyamat Ñ infinitézimális generátora a következő alakú: Ñfx = Ỹ fx + 1 3 ẽ 2 i fx 2 [ ] 3 + fxy fx ζ i y1 { y <1} X i fx ηdy, H ahol 3 Ỹ = a i ẽ i és e j = Alkalmazva az 5.1.6 Tételt, azt kapjuk, hogy 3 σ ij X i. ξ 1 t = Z 1 t ξ 2 t = Z 2 t ξ 3 t = Z 3 t + 1 2 + 1 t+ 2 0 + 1 t+ 2 = Z 3 t + 1 2 ahol 0 t 0 y 1 y <1 t+ 0 Z i t = ξ 1 sdz 2 s ξ 2 sdz 1 s ξ 1 s y 2 ξ 2 s y 1 Pds dy ξ 1 s y 2 ξ 2 s y 1 Pds dy ξ 1 s d Z 2 s ξ 2 s d Z 1 s, 3 σ ij W j t + a i t, W 1 t, W 2 t, W 3 t t 0 egy standard Wiener folyamat R 3 ban, és j=1 Z 1 t, Z 2 t, Z 3 t t 0 egy olyan független, stacionárius növekményű folyamat R 3 ban, melynek Lévy mértéke η és a auss része Z 1 t, Z 2 t, Z 3 t t 0.

5.2. BEÁYAZÁSI PROBLÉMA 103 5.2 Beágyazási probléma Legyen egy egyszeresen összefüggő nilpotens Lie csoport. Legyen µ t t 0 félcsoport M 1 ben. Ekkor a µ t t 0 infinitézimális generátora egy auss 5.2.1 Ñ = d a i Xi + 1 2 d b ij Xi Xj i,j=1 alakú, ahol a = a i 1 i d R d és B = b ij 1 i,j d M + d. Megint legyen Ỹ := d a X i i, és d ẽ j = σ ij Xi L, j = 1,..., r r d olyan elemek, hogy Legyen W 1 t,..., W r t t 0 r ẽ 2 i = d b ij Xi Xj. i,j=1 egy standard Wiener folyamat R r ben, és legyen Z i t := r σ ij W j t + a i t. j=1 Az 5.1.6 Tétel szerint a µ t mérték előállítható, mint az U 1 t,..., U d t t 0 R d beli folyamat t időpontbeli eloszlása, ahol 5.2.2 U 1 t = Z 1 t... U k t = Z k t +... di,dj d k 1, J 2 c k IJ t 0 Us I dzs J ahol J = 2 esetén a Zs J = Z i sz j s folyamatot r Z i, Z j s = σ il σ jl s = b ij s helyettesíti lásd még Roynette [84]. 5.2.3 Tétel. Legyenek µ t t 0 és ν t t 0 olyan auss félcsoportok egy egyszeresen összefüggő, nilpotens Lie csoporton, hogy µ 1 = ν 1. Ekkor µ t = ν t minden t 0 esetén. Bizonyítás. Be fogjuk látni, hogy a µ t t 0 auss félcsoport 5.2.1 infinitézimális generátorát egyértelműen meghatározza a µ 1 mérték, sőt valójában már az { } ζ i xµ 1 dx, ζ i xζ j xµ 1 dx : 1 i, j d

104 5. FEJEZET. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK momentumok is. Vagyis azt fogjuk bizonyítani, hogy a EU i 1 = ζ i xµ 1 dx, EU i 1U j 1 = ζ i xζ j xµ 1 dx, 1 i, j d momentumok egyértelműen meghatározzák az a i, b ij, 1 i, j d paramétereket. Mivel a Z 1 t,..., Z d t t 0 folyamat egy olyan független, stacionárius növekményű folyamat R d ben, melynek infinitézimális generátora d a i i + 1 2 d b ij i j, i,j=1 így a i = EZ i 1, b ij = CovZ i 1, Z j 1. Tehát elég azt mutatni k szerinti teljes indukcióval, hogy a {EU i 1, EU i 1U j 1 : 1 i, j k} momentumok egyértelműen meghatározzák az U 1 t,..., U k t, Z 1 t,..., Z k t t 0 folyamat eloszlását. Ha k = 1, akkor a Z 1 t t 0 folyamat egy független, stacionárius növekményű auss folyamat R ben, ezért a EZ 1 1 és EZ11 2 momentumok egyértelműen meghatározzák a Z 1 t t 0 folyamat eloszlását. Mivel U 1 t = Z 1 t, így a EU 1 1 és EU1 2 1 momentumok egyértelműen meghatározzák az U 1 t, Z 1 t t 0 folyamat eloszlását. Tegyük fel, hogy az állítás igaz k 1 ig. Mivel Z 1 t,..., Z k t t 0 egy független, stacionárius növekményű auss folyamat R k ban, ezért a {EZ i 1, EZ i 1Z j 1 : 1 i, j k} momentumok egyértelműen meghatározzák a Z 1 t,..., Z k t t 0 folyamat eloszlását. Mivel 1 EU k 1 = EZ k 1 + c k IJE Us I dzs J, di,dj d k 1, J 2 így az indukciós feltevés alapján a EU k 1 EZ k 1 mennyiségeket egyértelműen meghatározzák a {EU i 1, EU i 1U j 1 : d i, d j d k 1} 0

5.2. BEÁYAZÁSI PROBLÉMA 105 momentumok. Ha 1 l k, akkor EU l 1U k 1 =EZ l 1Z k 1 + + + di,dj d l 1, J 2 di,dj d l 1, J 2 dk,dl d k 1, L 2 di,dj d k 1, J 2 1 c l IJEZ k 1 0 1 c l IJc k KLE 0 c k IJEZ l 1 1 0 Us I dzs J Us I dzs J 1 Us I dzs J Us K dzs L, tehát megint felhasználva az indukciós hipotézist beláthatjuk d l szerinti teljes indukcióval, hogy a EU l 1U k 1 EZ l 1Z k 1 mennyiségeket egyértelműen meghatározzák az {EU l 1, EU k 1, EU i 1 : d i d k 1}, {EU l 1U j 1, EU i 1U k 1, EU i 1U j 1 : d i d l 1, d j d k 1} momentumok. Következésképpen a momentumok egyértelműen meghatározzák a {EU i 1, EU i 1U j 1 : 1 i, j k} {EZ i 1, EZ i 1Z j 1 : 1 i, j k} momentumokat, tehát a Z 1 t,..., Z k t t 0 folyamat eloszlását is. Felhasználva újra a 5.2.2 rekurzív formulát, kapjuk hogy az indukciós állítás igaz k ra is. Példaként megint tekintsük a H Heisenberg csoportot. Legyen ν t 0 egy auss félcsoport M 1 H ban. Az infinitézimális generátora a következő alakú: 0 Ñ = Ỹ + 1 2 3 ẽ 2 i, ahol Ỹ = 3 a i ẽ i és ẽ j = 3 σ ij Xi. Az 5.2.2 rekurzív formulák szerint ν t az U 1 t, U 2 t, U 3 t t 0 R 3 beli folyamat t időpontbeli eloszlása, ahol U 1 t = Z 1 t U 2 t = Z 2 t U 3 t = Z 3 t + 1 2 t 0 Z 1 sdz 2 s Z 2 sdz 1 s,

106 5. FEJEZET. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK ahol és W 1 t, W 2 t, W 3 t t 0 3 Z i t = σ ij W j t + a i t, j=1 egy standard Wiener folyamat R 3 ban. Nyilván EU i 1 = EZ i 1 ha i = 1, 2, 3 { EZ 2 EU i 1U j 1 = 3 1 + 1 4 D 2 Z 1 1D 2 Z 2 1 Cov Z 1 1, Z 2 1 2 ha i = j = 3 EZ i 1Z j 1 egyébként. Ezért a ν t t 0 auss félcsoport Ñ infinitézimális generátorát a µ 1 mérték a következő módon határozza meg: a i = EZ i 1 = EU i 1 ha i = 1, 2, 3 ahol b ij = CovZ i 1, Z j 1 { D 2 U 3 1 1 4 D 2 U 1 1D 2 U 2 1 Cov U 1 1, U 2 1 2 ha i = j = 3 = CovU i 1, U j 1 egyébként, EU i 1 = CovU i 1, U j 1 = minden 1 i, j 3 esetén. H H ζ i xµ 1 dx, ζ i xζ j xµ 1 dx H ζ i xµ 1 dx ζ j xµ 1 dx H 5.3 auss félcsoportok karakterizációja Ha D, HD egy unitér reprezentációja nek, akkor a D konjugált reprezentáció reprezentációs tere HD, a HD C lineáris duáltja. Legyen u HD esetén u HD az az elem, melyre uv = v, u. Ez az u u leképezés bijektív és konjugált lineáris. A belső szorzás HD ben u, v := u, v, és a D konjugált reprezentáció definíciója Dxu := Dxu. Tehát Dx mátrix elemei a Dx mátrix elemeinek komplex konjugáltjai. Legyen D 1, HD 1 és D 2, HD 2 két reprezentációja a csoportnak. A HD 1 és HD 2 Hilbert terek HD 1 HD 2 tenzorszorzata az összes S : HD 2 HD 1 Hilbert Schmidt operátorból álló Hilbert tér. A HD 1 és HD 2 terek, mint vektorterek HD 1 HD 2 vel jelölt algebrai tenzorszorzata egy sűrű alteret alkot HD 1 HD 2 ben, amennyiben beazonosítjuk az u v szorzatot az u vw := v, w u operátorral, és u 1 v 1, u 2 v 2 = u 1, u 2 v 1, v 2. A D 1 D 2 tenzorszorzat reprezentáció definíciója a

5.3. AUSS FÉLCSOPORTOK 107 HD 1 HD 2 altéren D 1 D 2 xu v := D 1 xu D 2 xv ha x, u HD 1 és v HD 2. Ez kiterjeszthető unitér reprezentációvá HD 1 HD 2 re D 1 D 2 xs := D 1 x S D 2 x 1 segítségével ha x. Legyen most egy Lie csoport, µ t t 0 egy konvolúciós félcsoport M 1 ben, és D Rep. Jelölje µ t t 0 generáló funkcionálját A, DomA. A Fourier transzformáció szokásos tulajdonságaiból következik, hogy µ t D t 0 egy erősen folytonos operátor félcsoport, mely HD kontrakcióiból áll. Jelölje az infinitézimális generátorát AD, DomAD. Siebert [89] alapján DomAD = {u HD : Du, v DomA ha v HD} és ADu, v = A Du, v ha u DomAD és v HD. Továbbá H 0 D DomAD. Jelölje D Rep és u H 0 D esetén f D,u : R a következő függvényt: f D,u x := Re[ u, u Dxu, u ]. 5.3.1 Tétel. Legyen egy Lie csoport. Legyen µ t t 0 egy nem elfajult mértékekből álló konvolúciós félcsoport M 1 ben A generáló funkcionállal és η Lévy mértékkel. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i µ t t 0 egy auss félcsoport. ii η = 0. 1 iii lim t 0 fxµ t tdx = 0 minden olyan f C b függvényre, melyre e / suppf. iv v Af 2 D,u = 0 minden D Irr és u H 0D esetén. Teljesül a Re AD Du u, u u + Re AD Du ū, u ū = 4 u 2 Re ADu, u auss feltétel minden D Irr és u H 0 D esetén. Bizonyítás. i ii iii jól ismert lásd Heyer [48]. ii = iv közvetlenül következik a Lévy Hincsin formulából, hiszen D Irr és u H 0 D esetén f D,u e = 0 és X i f D,u e = 0, i = 1,..., d, valamint ha i, j = 1,..., d. X i f 2 D,ue = 0, X i X j f 2 D,ue = 0

108 5. FEJEZET. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK iv v. azonosságok: Tetszőleges D Irr és u H 0 D esetén érvényesek a következő f D D,u u x = u 4 Re[ Dxu, u 2 ] f D D,u ū x = u 4 Re[ Dxu, u Dxū, ū ] = u 4 Re[ Dxu, u Dxu, u ] 4 u 2 f D,u x 2fD,ux 2 = 2f D,u x2 u 2 f D,u x = 2 u 4 2Re Dxu, u 2 = 2 u 4 Re[ Dxu, u Dxu, u + Dxu, u ]. Így f D D,u u + f D D,u ū = 4 u 2 f D,u 2f 2 D,u és Af D,u = Re ADu, u, amiből következik az ekvivalencia. iv = ii. A Lévy Hincsin formula alapján minden D Irr és u H 0 D esetén teljesül 0 = AfD,u 2 = fd,uxηdx. 2 Mivel {x : fd,ux 2 = 0} = kerd u H 0 D tetszőleges D Irr esetén lásd Siebert [89, Proof of Lemma 5.2] és kerd = e D Irr lásd Hewitt, Ross [46, 22.12], azt kapjuk, hogy η = 0. 5.3.2 Megjegyzés. Az v auss feltétel nyilván megfogalmazható a µ t t 0 konvolúciós félcsoport generáló funkcionáljával is: Re A D Du u, u u + Re A D Du ū, u ū = 4 u 2 Re A Du, u minden D Irr és u H 0 D esetén. 5.3.3 Megjegyzés. Sajnos általában az v auss feltételből nem következik, hogy maga a µ 1 Fourier transzformált is kielégít valamilyen egyenletet, mint abban az esetben, amikor nek csak végesdimenziós irreducibilis reprezentációi vannak. Ezért ebből az eredményből nem tudjuk levezetni, hogy a auss mértékek definíciója független a beágyazó félcsoporttól.

5.3. AUSS FÉLCSOPORTOK 109 5.3.4 Megjegyzés. Ha µ t t 0 egy auss félcsoport A generáló funkcionállal, akkor az f D D,u v + f D D,u v = 2 u 2 f D,v + v 2 f D,u f D,u f D,v azonosság alapján Re AD Du v, u v + Re AD Du v, u v = 2 u 2 Re ADv, v + v 2 Re ADu, u érvényes minden D Rep és u, v H 0 D esetén. Bevezetve az f D,u,v x := Re[ u, v Dxu, v ] jelölést D Rep, u, v H 0 D és x esetén, belátható az f D D,u1 v 1,u 2 v 2 + f D D,u1 v 1,u 2 v 2 = 2Re u 1, u 2 f D,v1,v 2 + Re v 1, v 2 f D,u1,u 2 f D,u1,u 2 f D,v1,v 2 azonosság, és megmutatható, hogy az A generáló funkcionál kielégíti a Re AD Du 1 v 1, u 2 v 2 + Re AD Du 1 v 1, u 2 v 2 = 2Re u 1, u 2 Re ADv 1, v 2 + Re v 1, v 2 Re ADu 1, u 2 egyenletet minden D Rep és u 1, u 2, v 1, v 2 H 0 D esetén.

6. fejezet Nem kommutatív háromszögrendszerek konvergenciája korlátos változású hemicsoportokhoz 6.1 A funkcionális centrális határeloszlás tétel problémaköre A funkcionális centrális határeloszlás tétel problémakörével kapcsolatosan a bevezetésben feltett két kérdésre a = R d, + csoport esetén jól ismertek a válaszok. Ezek megfogalmazásához először vezessük be a következő fogalmakat és jelöléseket. Egy h : R d R d függvényt nyírófüggvénynek nevezünk, ha h C c R d, R d, és hx = x teljesül valamely U U0 környezetben. Jelölje LR +, R d azon η M + R d R + mértékek halmazát, melyekre η{0} R + = 0 és a t y 2 1 ηdy [0, t] leképezés folytonos. Jelölje PR +, R d azon a, B, η hármasok halmazát, ahol a : R + R d folytonos és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +, R d. Az R d beli értékű, független növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamatok által a DR +, R d Szkorohod téren indukált valószínűségi mértékek PII c R d halmazát a karakterisztikus függvények segítségével a következő módon lehet karakterizálni lásd például Jacod, Shiryaev [59, II.5.2 Theorem]. 6.1.1 Tétel. Tekintsük azt a PII c R d µ a, B, η PR +, R d 111

112 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK relációt, mely akkor áll fenn, ha { e i u,xt xs µdx = exp i u, at as 1 u, Bt Bsu 2 e + i u,y 1 i u, hy } ηdy ]s, t] teljesül minden u R d és s, t S esetén. Ekkor ez a reláció egy bijekció. Mielőtt a második kérdésre a = R d, + csoport esetén megfogalmazzuk a választ, vezessük be a következő jelöléseket. Egy a, B, η PR +, R d hármas esetén jelölje B : R + M + d azt a mátrix értékű függvényt, melyre Bt = bi, jt i,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + h i yh j y ηdy [0, t]. Ekkor nyilván a, B, η PR +, R d, és az a, B, η a, B, η leképezés injektív. Továbbá minden n N esetén definiáljuk az a n : R + R d és Bn : R + M + d függvényeket a következő módon: a n t := k n t Ehξ nl, Bn t := valamint az η n M + R d R + mértéket: ahol µ nl a ξ nl eloszlását jelöli. η n dy [0, t] := k n t k n t µ nl dy, Covhξ nl, Háromszögrendszerekből felépített véletlen lépcsősfüggvény sorozatnak egy független növekményű sztochasztikusan folytonos folyamathoz való konvergenciájára a következő tétel ad szükséges és elegendő feltételt lásd például Jacod, Shiryaev [59, VII.3.4 Theorem, II.3.11 Theorem]. 6.1.2 Tétel. Legyen {ξ nl : n, l N 2 } R d beli valószínűségi változók soronként független rendszere. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + olyan monoton növekvő függvény, melyre k n = 0 és k n R + = Z +. Tegyük fel, hogy minden t R + esetén a {ξ nl : n N, 1 l k n t} rendszer infinitézimális. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan R d beli értékeket felvevő független növekményű, sztochasztikusan folytonos folyamat, melynek trajektóriái a DR +, R d Szkorohod térbe esnek. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i k n ξ nl L ξ.

6.1. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTEL 113 ii a a n t at egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, b Bn t Bt ha t D, c fy η n dy [0, t] fy ηdy [0, t] ha t D, f C 0 R d. Az a célunk, hogy megkeressük a 6.1.1 és 6.1.2 Tételek általánosítását Lie csoportokra. A PII c halmaz parametrizálása reménytelennek tűnik Fourier transzformáltak segítségével, ezért inkább a konvolúciós operátorokat fogjuk használni. Először is rávilágítunk a konvolúciós hemicsoportokkal való kapcsolatra. Ha ξt t 0 egy beli értékeket felvevő független bal növekményű sztochasztikusan folytonos folyamat, akkor a ξs 1 ξt, s, t S bal növekmények eloszlásai egy konvolúciós hemicsoportot alkotnak M 1 ben. Ha ráadásul a ξt t 0 folyamat bal növekményei stacionáriusak, azaz ξs 1 ξs + t eloszlása független s től, akkor ezek egy konvolúciós félcsoportot alkotnak M 1 ben. Fordítva: ha νs, t s,t S egy konvolúciós hemicsoport M 1 ben, akkor létezik olyan ξt t 0 beli értékeket felvevő független bal növekményű sztochasztikusan folytonos, DR +, beli trajektóriájú folyamat, hogy minden s, t S esetén a ξs 1 ξt bal növekmény eloszlása νs, t. Ha pedig νt t 0 egy konvolúciós félcsoport M 1 ben, akkor létezik olyan ξt t 0 beli értékeket felvevő független, stacionárius bal növekményű sztochasztikusan folytonos, DR +, beli trajektóriájú folyamat, hogy minden t R + esetén ξt eloszlása νt. reláció pedig létrehoz egy bijekciót egy- A konvolúciós operátorokkal létesített µ T µ részt az M 1 beli νt t 0 konvolúciós félcsoportok és azon T t t 0 erősen folytonos egy paraméteres operátor félcsoportok között, melyek a C 0 Banach téren értelmezett pozitív, balinvariáns, 1 normájú korlátos, lineáris operátorokból állnak, másrészt az M 1 beli νs, t s,t S konvolúciós hemicsoportok és azon T s, t s,t S evolúciós operátor családok között, melyek a C 0 Banach téren értelmezett pozitív, balinvariáns, 1 normájú korlátos, lineáris operátorokból állnak, ahol evolúciós operátor család alatt a következő fogalmat értjük: 6.1.3 Definíció. Egy E Banach tér korlátos, lineáris operátoraiból álló T s, t s,t S halmazt evolúciós operátor családnak nevezzük, ha T s, rt r, t = T s, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, T t, t = I minden t R + esetén, és az s, t T s, t leképezés erősen folytonos.

114 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK A Hille Yosida elmélet alapján tudjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van egy E Banach téren értelmezett T t t 0 erősen folytonos egy paraméteres operátor félcsoport és annak N, DomN infinitézimális generátora között, ahol T hf f Nf := lim, f DomN. h 0 h Megjegyezzük, hogy ha νt t 0 egy konvolúciós félcsoport M 1 ben, és tekintjük a T νt t 0 operátor félcsoportot C 0 n, akkor a hozzá tartozó Ñ infinitézimális generátor értelmezési tartományára teljesül DomÑ C 2 lásd Born [15]. Ez alapján azt várnánk, hogy egy T s, t s,t S evolúciós operátor család leírható infinitézimális generátoroknak valamely Ñt t 0 seregével, ahol Ñt az evolúciós család deriváltja t ben. Az egyik lehetséges kapcsolat tehát egy T s, t s,t S evolúciós operátor család és infinitézimális generátorok valamely Ñt t 0 serege között az volna, hogy f E elemek alkalmas halmazára és minden r > 0 esetén teljesül Ñrf = + t T r, tf = t=r s T s, rf, s=r amiből az következne, hogy teljesülnének a Kolmogorov féle differenciálegyenletek: lásd Heyer [48]. + T s, tf = T s, tñtf t forward T s, tf = ÑsT s, tf t backward A differenciálhatósági feltételt gyengíthetjük, ha a fenti egyenletek integrálásával kapott evolúciós egyenleteket tekintjük: T s, tf f = T s, tf f = t s t s T s, τñτf dτ forward ÑτT τ, tf dτ ahol az integrált például Bochner integrálként értelmezhetjük. backward Tovább lehet gyengíteni a feltételeket, ha Riemann Stieltjes integrálra térünk át: Mdτ := Ñτ dτ, így például T s, t I = T s, t I = t s t s T s, τ Mdτ := MdτT τ, t, lim Z Fs,t τ i 1,τ i Z T s, τ i Mτ i Mτ i 1, ahol Fs, t az s, t intervallum felosztásainak halmaza lásd 6.2 paragrafus, és τ i [τ i 1, τ i ]. Itt persze t Mt olyan függvény, melynek értékei infinitézimális generátorok,

6.2. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ INTERVALLUM FÜVÉNYEK 115 és növekvő abban az értelemben, hogy tetszőleges s, t S esetén Mt Ms is infinitézimális generátor. Evolúciós operátor családra vonatkozó Hille Yosida elmélettel kapcsolatosan meglehetősen kevés eredmény ismert. A legjobb eredményt Herod, McKelvey [45] érték el, akik Banach terek egymásba ágyazott láncolatán vizsgáltak olyan evolúciós operátor családokat, melyek kontraktív operátorokból állnak és korlátos változásúak a láncra nézve, és azt mutatták meg, hogy az ilyen evolúciós operátor családok karakterizálhatóak Riemann Stieltjes típusú evolúciós integrálegyenletekkel. Born [16] ez alapján karakterizálta az erősen korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat M 1 ben tetszőleges lokálisan kompakt csoport esetén: megmutatta, hogy a Riemann Stieltjes típusú evolúciós integrálegyenletek segítségével bijekciót kapunk az erősen korlátos változású konvolúciós hemicsoportok és az M : R + L C 2, C 0, M0 = I folytonosan korlátos változású, monoton növekvő függvények között. Itt a monoton növekedést úgy kell érteni, hogy tetszőleges s, t S esetén Mt Ms valamely M 1 beli konvolúciós félcsoport infinitézimális generátorának megszorítása C 2 re. Viszont Born módszere nem vihető tovább tetszőleges konvolúciós hemicsoportra. A 6. fejezet célja az, hogy egy Lie csoport esetén parametrizáljuk az M 1 beli gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoportokat; ez egy P bv R +, paraméterhalmaz segítségével fog történni, és a kapcsolatot olyan evolúciós integrálegyenlet fogja leírni, mely a Riemann Stieltjes típusúra emlékeztet, de annál gyengébb, mert csak pontonként kell teljesülnie; elegendő feltételt adjunk beli háromszögrendszerekből konstruált véletlen lépcsősfüggvények növekményeinek valamely M 1 beli gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoporthoz való konvergenciájára. 6.2 Folytonosan korlátos változású intervallum függvények Egy F : S R függvényt additívnak nevezünk, ha F s, r + F r, t = F s, t minden s, r, r, t S esetén. Nyilván egy F : S R függvény akkor és csak akkor additív, ha létezik olyan : R + R függvény, hogy F s, t = t s minden s, t S esetén. Az s, t S intervallum felosztásán S nek egy olyan Z = {z 0, z 1, z 1, z 2,..., z n 1, z n } véges részhalmazát értjük, melyre z 0 = s és z n = t. Jelölje s, t S esetén Fs, t az s, t intervallum felosztásainak halmazát. Egy F függvényt, mely S et egy E, E Banach térbe képezi, folytonosan

116 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK korlátos változásúnak nevezünk, ha minden s, t S esetén V F s, t := F z l 1, z l E < sup Z Fs,t z l 1,z l Z és a V F : S R + függvény folytonos. Nyilván egy F : S E függvény akkor és csak akkor folytonosan korlátos változású, ha minden T > 0 esetén létezik egy olyan folytonos v T : R + R függvény, hogy F s, t E v T t v T s minden s, t S T esetén. A t V F 0, t függvény tetszőleges T > 0 esetén megfelel. Egy F függvényt, mely S et egy E, E Banach térbe képezi, Lipschitz folytonosnak nevezünk, ha minden T > 0 esetén létezik olyan c T > 0 konstans, hogy minden s, t S T esetén F s, t E c T t s. Nyilván minden Lipschitz folytonos függvény folytonosan korlátos változású. Egy : R + E függvényt folytonosan korlátos változásúnak, illetve Lipschitz folytonosnak nevezünk, ha az s, t t s, S ből E be vivő leképezés rendelkezik a megfelelő tulajdonsággal. Könnyen belátható, hogy egy : R + E korlátos változású függvény akkor és csak akkor folytonos, ha folytonosan korlátos változású. Egy s, t µs, t, S et M 1 be vivő leképezést multiplikatívnak nevezünk, ha µs, r µr, t = µs, t teljesül minden s, r, r, t S esetén, és µt, t = ε e minden t R + esetén. Egy s, t µs, t, S ből M 1 be vivő leképezést folytonosan erősen korlátos változásúnak nevezünk, ha az s, t T µs,t I függvény, mely S et LC 2, C 0 be képezi, folytonosan korlátos változású. Egy s, t µs, t, S ből M 1 be vivő leképezést folytonosan gyengén korlátos változásúnak, illetve gyengén Lipschitz folytonosnak nevezünk, ha minden f C 2 esetén az F f : s, t T µs,t Ife függvény, mely S et R be képezi, rendelkezik a megfelelő tulajdonsággal. Egy s, t µs, t leképezés folytonosan gyengén korlátos változású, illetve gyengén Lipschitz folytonos akkor és csak akkor, ha a q µ : s, t qµs, t, S et R be képező függvény rendelkezik a megfelelő tulajdonsággal, hiszen a 2.1.1 Lemma alapján T µs,t Ife b f 2 qµs, t ha f C 2, és d qµs, t = T µs,t Ix i e + T µs,t I1 ϕe nyilván x 1,..., x d, 1 ϕ C 2. Ebben az esetben azt írjuk, hogy V µ := V qµ. 6.2.1 Lemma. Legyen s, t µs, t egy multiplikatív leképezés S ből M 1 be. Legyen s, t S esetén T s, t := T µs,t. Ekkor minden s, t, s, t S, [s, t] [s, t ] és minden f C 2,2 esetén T s, tfe T s, t fe b f 2 + f 2 qµs s, s s + qµt t, t t.

6.2. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ INTERVALLUM FÜVÉNYEK 117 Ha még azt is feltesszük, hogy az s, t µs, t leképezés folytonosan korlátos változású, akkor T w folytonos is. Bizonyítás. Abban az esetben, ha 0 s s t t, nyilván T s, t T s, t = T s, s T s, t T t, t I + T s, s IT s, t, tehát a 2.1.1 Lemma alapján T s, tfe T s, t fe T t, t If + bqµs, s T s, t f 2 b f 2 qµt, t + b f 2 qµs, s. Abban az esetben, amikor 0 s s t t, hasonlóan T s, t T s, t = T s, s IT s, t + T s, ti T t, t, tehát a 2.1.1 Lemma segítségével T s, tfe T s, t fe bqµs, s T s, tf 2 + I T t, t f b f 2 qµs, s + b f 2 qµt, t. Ha az s, t µs, t folytonosan korlátos változású, akkor minden T > 0 esetén létezik olyan v T : R + R folytonos függvény, hogy qµs, t v T t v T s teljesül minden s, t S T esetén, tehát lim qµs, t = 0 s,t r,r s,t S teljesül minden r R + esetén. Ezért a fenti egyenlőtlenség alapján f dµs, t f dµs, t = lim s,t s,t s,t S lim T s, tfe T s, t fe = 0 s,t s,t s,t S teljesül minden f C 2,2 esetén. Mivel C 2,2 sűrű C 0 ben, így következik a s, t µs, t, S et M 1, T w be vivő leképezés folytonossága. Szükségünk lesz még diffúziós hemicsoportokkal kapcsolatban a következő eredményre: 6.2.2 Lemma. Legyen µs, t s,t S egy hemicsoport M 1 ben, és legyen ξ t t 0 egy neki megfeleltetett független bal növekményű folyamat DR +, beli trajektóriákkal. Tekintsük a következő állításokat: i µs, t s,t S egy diffúziós hemicsoport. ii A ξ t t 0 folyamat trajektóriái 1 valószínűséggel folytonosak.

118 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK Ekkor i ből következik ii. Ha létezik olyan A : R + A monoton növekvő leképezés, hogy bármely f D C e esetén az F f : s, t Tµs,t Ife At Asf S et R be képező függvény folytonosan korlátos változású, és η t az At Lévy mértékét jelöli, akkor ii ekvivalens a következő állítással: iii η t = 0 minden t R + esetén. Ha az F f függvény Lipschitz folytonos bármely f D C e esetén, akkor i, ii és iii ekvivalensek. Lásd Siebert [92, Theorem 3, Corollary]. 6.3 yenge backward evolúciós egyenlet Tekintsünk egy olyan t At függvényt, mely R + t a konvolúciós félcsoportok generáló funkcionáljainak A halmazába képezi. Ezt a függvényt monoton növekvőnek nevezzük, ha At As A teljesül minden s, t S esetén. Továbbá ezt a függvényt folytonosan korlátos változásúnak, illetve Lipschitz folytonosnak nevezzük, ha folytonosan korlátos változású, illetve Lipschitz folytonos a 2 norma szerint. Egy t ηt leképezést, mely R + t M + be viszi, monoton növekvőnek nevezünk, ha ηt ηs M + minden s, t S esetén. Ezt a leképezést folytonosnak nevezzük, ha minden U Ue esetén a t ηt U, R + t M b + be vivő leképezés T w folytonos. Megjegyezzük, hogy ha t ηt egy olyan monoton növekvő függvény, hogy ϕy ηtdy < minden t R + esetén, akkor a folytonossága azzal ekvivalens, hogy a t ϕy ηtdy leképezés folytonos. Egy mátrix értékű B : R + M d függvényt monoton növekvőnek nevezünk, ha Bt Bs M + d minden s, t S esetén. Ha t Bt = bi, jt i,j=1,...,d, egy monoton növekvő folytonos függvény R + ból M + d -ba, akkor a bi, j : R + R, i, j = 1,..., d függvények folytonosan korlátos változásúak, hiszen minden s, t S esetén bi, jt bi, js Bt Bs c d Bt Bs 1 = c d TrBt Bs. Legyen t At egy leképezés R + ból A be. Azt mondjuk, hogy ennek a leképezésnek a kanonikus dekompozíciója at, Bt, ηt t 0, ha at R d, Bt M + d és ηt M + az At generáló funkcionálhoz a kanonikus dekompozíció által rendelt mennyiségek. Itt nem teszünk különbséget egy η M + mérték, és annak egy olyan η M + kiterjesztése között, melyre η{e} = 0. Ezen mennyiségeknek a 2.2.1, 2.2.2 és 2.2.3 előállítása alapján könnyen adódnak a következő észrevételek:

6.4. HÁROMSZÖRENDSZER RELATÍV KOMPAKTSÁA 119 t At akkor és csak akkor monoton növekvő, ha t ηt és t Bt monoton növekvőek. t At akkor és csak akkor monoton növekvő és folytonos, ha t ηt és t Bt monoton növekvőek és folytonosak, valamint t at folytonos. t At akkor és csak akkor monoton növekvő, folytonos és korlátos változású, ha t ηt és t Bt monoton növekvőek és folytonosak, valamint t at folytonos és korlátos változású. Jelölje LR +, azon η M + R + mértékek halmazát, melyekre η{e} R + = 0 és a t ϕy ηdy [0, t] leképezés folytonos. Jelölje P bv R +, azon a, B, η hármasok halmazát, ahol a : R + R d folytonos, korlátos változású és a0 = 0, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,. A 0, B, η jelölés azt fogja jelenteni, hogy at = 0 minden t R + esetén. Nyilván egy A : R + A leképezés akkor és csak akkor monoton növekvő, folytonos és korlátos változású, ha létezik olyan a, B, η P bv R +, hármas, hogy at, Bt, ηt az At generáló funkcionál kanonikus dekompozíciójában szereplő mennyiségek, ahol ηtdy := ηdy [0, t]. Ha A : R + A egy korlátos változású leképezés a, B, η kanonikus dekompozícióval és g τ C 2, τ R +, akkor legyen s, t S esetén ]s,t] Adτg := + d ]s,t] ]s,t] X i g τ e aidτ + 1 2 g τ y g τ e d d i,j=1 ]s,t] X i X j g τ e bi, jdτ X i g τ ex i y ηdy dτ, amennyiben a jobboldalon álló integrálok léteznek. Valójában ez az integrál értelmezhető az A függvény szerinti Riemann Stieltjes integrálként is, ahogy Born [16] cikkében szerepel. Azt mondjuk, hogy egy M 1 beli µs, t s,t S hemicsoport és egy A : R + A korlátos változású leképezés kapcsolatosak egymással a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, ha minden s, t S és f D esetén T µs,t Ife = AdτT µτ,t f. 6.4 Feltétel háromszögrendszer relatív kompaktságára A továbbiakban szükségünk lesz néhány egyszerű segédtételre valós függvények egyenletes konvergenciájával kapcsolatban. Egy F : [0, 1] R függvény folytonossági modulusa a ]s,t]

120 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK következő ω F : [0, 1] R függvény: ω F δ := sup F t F s, δ [0, 1]. t s δ 0 s t 1 Nyilván ω F egy monoton növekvő, nemnegatív függvény, és F akkor és csak akkor folytonos, ha lim δ 0 ω F δ = 0. 6.4.1 Lemma. Legyen D egy sűrű halmaz [0, 1]-ben. Legyen F 0 : [0, 1] R egy folytonos függvény és F n : [0, 1] R, n N folytonos függvényeknek egy olyan sorozata, hogy lim F n t = F 0 t minden t D esetén. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i lim lim sup ω Fn δ = 0, δ 0 ii F n F 0 egyenletesen a [0, 1] intervallumon. Bizonyítás. i = ii. Az egyszerűség kedvéért a bizonyítást D = Q [0, 1] esetére végezzük el. Minden m N esetén F n t F 0 t F n t F [mt] Fn n m + [mt] F [mt] F0 m 0 m + [mt] F m 0 t, tehát mivel lim sup lim sup t [0,1] sup t [0,1] sup [mt] F n m F n t F 0 t ω 1 F0 m + lim sup ω 1 Fn m, F [mt] 0 m = lim sup max 0 k m = max lim sup 0 k m k Fn m k F0 m k Fn m k F0 m = 0. Ezért m esetén i és az F 0 függvény folytonosságának felhasználásával azt kapjuk, hogy lim sup sup F n t F 0 t = 0, tehát az F n F t [0,1] konvergencia egyenletes a [0, 1] intervallumon. ii = i. Bármely n N és s, t S 1 esetén következésképpen F n t F n s F n t F 0 t + F 0 t F 0 s + F 0 s F n s, ω Fn δ ω F0 δ + 2 sup F n t F 0 t t [0,1] minden δ [0, 1] esetén. Nyilván ii alapján lim sup ω Fn δ ω F0 δ. Tehát δ 0 esetén az F 0 függvény folytonossága miatt fennáll i.

6.4. HÁROMSZÖRENDSZER RELATÍV KOMPAKTSÁA 121 6.4.2 Lemma. Legyen D egy sűrű halmaz [0, 1]-ben. Legyen F 0 : [0, 1] M d egy folytonos mátrix értékű függvény és F n : [0, 1] M d, n N folytonos, monoton növekvő mátrix értékű függvényeknek egy olyan sorozata, hogy lim F n t = F 0 t minden t D esetén. Ekkor F n F 0 egyenletesen a [0, 1] intervallumon. Bizonyítás. Megint csak D = Q [0, 1] esetére végezzük el a bizonyítást. Legyen F n t = F n i, jt i,j=1,...,d. Bármely i, j {1,..., d} és s, t S 1 esetén F n i, jt F n i, js c d F n t F n s 1 c d TrF n t F n s. Az s, t TrF n t F n s, S 1 et R be képező függvény nemnegatív és additív, ezért [s, t] [s, t ] [0, 1] esetén TrF n t F n s TrF n t F n s. Így minden i, j {1,..., d} és m N esetén tehát ω 1 Fni,j m cd max Tr F k+2 n 0 k m 2 m k Fn m, lim sup ω 1 Fn i,j m cd max 0 k m 2 lim sup Tr F k+2 n m k Fn m = 0, és a 6.4.1 Lemma alapján F n i, jt F 0 i, jt egyenletesen a [0, 1] intervallumon. Legyenek most {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Legyen minden n N esetén k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő függvény, melyre k n 0 = 0. Vezessük be s, t S és n N esetén a következő jelöléseket: µ n s, t := η n s, t := κ n s, t := *knt µ nl, l=k n s+1 k n t l=k ns+1 k nt l=k ns+1 µ nl, µ nl ε e, T n s, t := T µns,t, q n s, t := k n t l=k n s+1 qµ nl.

122 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK Nyilván bármely s, r, r, t S és n N esetén teljesül µ n s, r µ n r, t = µ n s, t, η n s, r + η n r, t = η n s, t, κ n s, r + κ n r, t = κ n s, t, T n s, rt n r, t = T n s, t, q n s, r + q n r, t = q n s, t. 6.4.3 Lemma. Bármely s, t S, n N és f C 0 2,2 esetén Tµn s,t I T κn s,tfe b 2 f 2,2 q n s, t 2, és létezik olyan c > 0, hogy qµ n s, t cq n s, t1 + q n s, t. Bizonyítás. Hasonló Siebert [91, Lemma 3.3] bizonyításához. 6.4.4 Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Legyen minden n N esetén k n : R + Z + olyan monoton növekvő függvény, melyre k n 0 = 0. Tegyük fel, hogy i minden T > 0 esetén lim lim sup sup q n s, t = 0, δ 0 t s δ 0 s t T ii bármely T > 0 és ε > 0 esetén létezik olyan K ε kompakt halmaz ben, hogy minden n N esetén Ekkor k nt µ nl K ε < ε. a bármely T > 0 esetén a {µ n s, t : s, t S T, n N} halmaz feszes, b létezik olyan νs, t s,t S folytonosan gyengén korlátosan változású hemicsoport M 1 ben, hogy n valamely n részsorozatára µ n s, t Tw νs, t ha s, t S. 6.4.5 Megjegyzés. Az i feltételből következik, hogy bármely t R + esetén a {µ nl : l = 1,..., k n t; n 1} háromszögremdszer infinitézimális.

6.4. HÁROMSZÖRENDSZER RELATÍV KOMPAKTSÁA 123 A 6.4.4 Tétel bizonyítása. a. Siebert [91, Lemma 3.4] bizonyításához hasonló. Legyen T > 0, ε > 0, és válasszuk a K ε kompakt halmazt ben a ii feltételnek megfelelően. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy e K ε. Ekkor létezik olyan K kompakt halmaz ben és egy olyan f D függvény, hogy 1 K f fe 1 K ε. Az i feltételből következik, hogy 6.4.6 ct := sup q n 0, T <, n 1 mivel elegendően nagy r, n N esetén q n u, v < 1 teljesül minden olyan u, v S T esetén, melyre v u 1/r, tehát q n 0, T = r q l 1T n, lt < r. r r Legyen s, t S T. Most megint az i feltétel miatt választhatunk olyan r, n 0 N számokat, hogy ε q n u, v < b 2 f 2,2 ct teljesüljön minden n > n 0 és minden olyan u, v S T esetén, melyre v u 1/r. Legyen s l := s + lt s/r ha l = 0, 1,..., r. Alkalmazva a 6.4.3 Lemmát, azt kapjuk, hogy f dµ n s l 1, s l fe f fe dη n s l 1, s l + b 2 f 2,2 q n s l 1, s l 2, tehát arra jutunk, hogy minden n > n 0 µ n s, t K r esetén r µ n s l 1, s l K r f fe dµ n s l 1, s l r f fe dη n s l 1, s l + b 2 f 2,2 q n s l 1, s l 2 k n T µ nl K ε + b 2 f 2,2 q n 0, T max 1 l r q ns l 1, s l < 2ε. A {µ n s, t : s, t S T, n N, n n 0 } halmaz véges, ezért szintén feszes. b. Az a pont alapján létezik olyan n részsorozat, hogy minden s, t S, s, t Q esetén létezik olyan νs, t M 1, hogy µ n s, t Tw νs, t. Meg fogjuk mutatni, hogy a { νs, t : s, t S, s, t Q} család kiterjeszthető egy olyan νs, t s,t S hemicsoporttá, mely teljesíti b t az n részsorozattal.

124 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK Először vegyük észre, hogy a konvolúciós operátorokra vonatkozó folytonossági tétel alapján 6.4.7 T n s, tfe T s, tfe teljesül minden f C 0 és s, t S, s, t Q esetén, ahol T s, t := Tν s,t. Rögzítsünk egy T > 0 számot. A 6.4.3 Lemma és 6.4.6 azt eredményezi, hogy minden s, t S T esetén 6.4.8 qµ n s, t c1 + ct q n s, t. Most megmutatjuk, hogy minden s, t S T esetén a µ n s, t sorozat gyengén konvergens. Az a alapján a µ n s, t sorozatnak van legalább egy torlódási pontja. Legyen νs, t M 1 egy torlódási pont. Ekkor létezik olyan n = n s, t részsorozata n nek mely függ s, t től úgy, hogy µ n s, t T w νs, t. Legyen T s, t := T νs,t. A konvolúciós operátorokra vonatkozó folytonossági tétel alapján arra következtethetünk, hogy minden f C 0 esetén T n s, tfe T s, tfe. Vegyünk olyan Q beli s l és t l sorozatokat, hogy s l s, t l t és s l, t l S T teljesüljön. A 6.2.1 Lemma valamint 6.4.7 és 6.4.8 alapján minden f C 2,2 és minden elegendően nagy l N esetén T s l, t l fe T s, tfe = Az i feltevés alapján lim n T n s l, t l fe lim n T n s, tfe lim T n n s l, t l fe T n s, tfe bc1 + ct f 2 + f 2 lim sup qn s l s, s l s + q n t l t, t l t. lim l tehát minden f C 2,2 esetén lim sup q n s l s, s l s = lim lim sup q n t l t, t l t = 0, l lim T s l, t l fe T s, tfe = 0. l Mivel C 2,2 sűrű C 0 ben, azt kapjuk, hogy νs l, t l T w νs, t. Ez a konvergencia tetszőleges olyan s l és t l Q beli sorozatokra teljesül, melyekre s l s, t l t és s l, t l S T, tehát azt kapjuk, hogy T w - lim νs, t = νs, t. s,t s,t s,t Q +

6.4. HÁROMSZÖRENDSZER RELATÍV KOMPAKTSÁA 125 Ez az egyenlőség teljesül minden νs, t M 1 torlódási pontjára a µ n s, t sorozatnak, ezért csak egyetlen torlódási pontja van melyet szintén νs, t vel fogunk jelölni, és T w - lim µ n n s, t = νs, t = T w - lim νs, t. s,t s,t s,t Q + Nyilván νs, t = νs, t minden s, t S, s, t Q esetén. Most megmutatjuk, hogy az s, t νs, t, S ből M 1 be vivő leképezés multiplikatív. Véve egy olyan t l sorozatot Q + ban melyre t l t, azt kapjuk, hogy νt, t = lim l lim µ n t l, t l = lim l lim ε e = ε e. Legyenek most s, r, r, t S és vegyünk olyan s l, r l és t l sorozatokat Q + ban, hogy s l s, r l r, t l t, és s l, r l, r l, t l S. Ekkor νs, t = lim lim µ n s l, t l = lim lim µ n s l, r l µ n r l, t l l l = lim lim µ ns l, r l lim lim µ nr l, t l = νs, r νr, t. l l Végül megmutatjuk, hogy az s, t νs, t, S T ből M 1 be vivő leképezés folytonosan gyengén korlátos változású. Az i feltételből következik, hogy az s, t v q s, t := lim sup n q n s, t függvény, mely S T t R be képezi, folytonos. Nyilván létezik olyan n részsorozata n nek, melyre lim q n n 0, t = v q 0, t teljesül minden t Q + esetén. Mivel a t q n 0, t függvények monoton növekvőek, alkalmazhatjuk a 6.4.2 Lemmát d = 1 választással, és azt kapjuk, hogy lim sup q n n 0, t v q t = 0, t [0,T ] ahol v q t := v q 0, t. Ezért minden T > 0 és s, t S T esetén q n s, t = q n 0, t v q t q n 0, s v q s + v q t v q s v q t v q s + 2 sup q n 0, t v q t, t [0,T ] tehát arra következtethetünk, hogy minden s, t S T 6.4.9 esetén lim sup q n s, t v q t v q s, n tehát hogy az s, t lim sup q n s, t S T ből R be vivő függvény folytonosan korlátos n változású. Így 6.4.8 alapján minden T > 0 és s, t S T esetén qνs, t = lim n qµ n s, t c1 + ct lim sup q n s, t c1 + ct v q t v q s. n Tehát az s, t qνs, t függvény is folytonosan korlátos változású, amiből következik az állítás.

126 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK 6.4.10 Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Legyen minden n N esetén k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő függvény, melyre k n 0 = 0. Tegyük fel, hogy i bármely T > 0 esetén lim lim sup δ 0 sup q n s, t = 0, t s δ 0 s t T ii létezik egy olyan nα α J univerzális résznet N ben és µs, t M 1 mértékek úgy, hogy minden s, t S esetén µs, t = T w - lim α J µ nα s, t. Ekkor létezik olyan v : R + R monoton növekvő, folytonos függvény úgy, hogy a következő állítások érvényesek: a µs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben, hogy minden s, t S esetén qµs, t vt vs. b Létezik egy olyan monoton növekvő A : R + A függvény, hogy minden f X 2 és t R + esetén Atf = lim f fe dη nα 0, t. α J c Az A leképezés folytonosan korlátos változású, és minden s, t S esetén At As 2 vt vs. d Bármely f C 2,2 és bármely s, t S esetén f dµs, t fe At Asf f 2,2vt vs 2. Bizonyítás. Siebert [91, Theorem 3.6] bizonyításához hasonló. Nyilván s, t µs, t egy multiplikatív leképezés S ből M 1 be. A 2.1.1 Lemma alapján minden s, t S és f C 2 esetén 6.4.11 f fe dη n s, t b f 2 qη n s, t b f 2 q n s, t.

6.4. HÁROMSZÖRENDSZER RELATÍV KOMPAKTSÁA 127 Megint mint a 6.4.4 Tétel bizonyításánál, az i feltételből következik, hogy létezik olyan ṽ : R + R monoton növekvő, folytonos függvény és olyan n részsorozat, hogy minden s, t S esetén 6.4.12 lim sup q n s, t ṽt ṽs. n Alkalmazva a 6.4.11 egyenlőtlenséget az f = x 1,..., x d, 1 ϕ függvényekre, azt kapjuk, hogy qµs, t cṽt ṽs valamely c > 0 konstanssal. Tehát az s, t qµs, t, S et R be vivő leképezés folytonosan korlátos változású, és a 6.2.1 Lemma alapján µs, t s,t S egy folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben. A 6.4.11 szerint bármely s, t S és f C 2 esetén az f fe dη nα s, t univerzális net konvergens. Legyen α J 6.4.13 As, tf := lim f fe dη nα s, t. α J Ekkor As, t egy majdnem pozitív lineáris funkcionál D n. A 6.4.11 és 6.4.12 alapján minden f D függvényre As, tf b f 2 ṽt ṽs. Nyilván s, t As, t additív, azaz As, r + Ar, t = As, t ha s, r, r, t S. 6.4.3 Lemma és 6.4.12 értelmében minden f D függvényre 6.4.14 f dµs, t fe As, tf b2 c 2 f 2,2 ṽt ṽs 2. A Ezután megmutatjuk, hogy minden s, t S esetén az As, t lineáris funkcionál normált. Legyen f n n 1 egy olyan sorozat D + ban, hogy f n 1, minden K Ue kompakt környezet esetén létezik olyan n N hogy f n K = 1, és sup f n 2,2 =: c < Lásd n 1 Siebert [91, Lemma 1.7]. Ekkor 6.4.14 miatt bármely s, t S esetén 0 As, t f n b 2 c 2 c ṽt ṽs 2 + f n dµs, t 1. Legyen r N tetszőleges, és legyen s l := s + lt s/r ha l = 0, 1,..., r. Ekkor r 0 As, tf n = As l 1, s l f n b 2 c 2 c r ṽs l ṽs l 1 2 + r f n dµs l 1, s l 1.

128 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK Ha n, akkor ebből 0 sup As, tf n b 2 c 2 c ṽt ṽs max ṽs l ṽs l 1. n 1 1 l r Mivel r N tetszőleges volt, így sup As, tf n = 0, tehát As, t normált. n 1 Alkalmazva a 6.4.13 összefüggést a ϕ 1 függvényre, azt kapjuk, hogy minden s, t S esetén lim α J ϕ dη nα s, t = As, tϕ 1 = As, tϕ. Legyen At := A0, t ha t R +. b, c és d állításokat. Ekkor Siebert [91, Lemma 1.8] alapján megkapjuk a 6.5 Folytonosan korlátos változású hemicsoportok generálása 6.5.1 Lemma. Legyen E egy kompakt topológikus tér, r > 0 és F : [0, r] E R egy olyan folytonos függvény, hogy F 0, x = 0 minden x E esetén. Tegyük fel, hogy minden olyan t, y [0, r] E esetén, melyre teljesül az F t, y = min{f t, x : x E} összefüggés, létezik olyan v : [0, t] R + folytonos, monoton növekvő függvény és χ : [0, t] R függvény, hogy lim s t χs = χt és F t, y F s, y χs χtvt vs ha s [0, t]. Ekkor F t, x 0 ha t, x [0, r] E. Bizonyítás. Siebert [91, Lemma 5.8] bizonyításához hasonló. Legyen Qt, x := 1 + cvtf t, x, ahol c > 0 tetszőleges. Elegendő azt megmutatni, hogy Q 0, hiszen ekkor c 0 esetén F 0 adódik. Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz. Ekkor [0, r] E kompaktsága miatt létezik olyan q < 0 és olyan t, y [0, r] E, hogy Qt, y = q, valamint Qs, x > q minden s, x [0, t[ E esetén. Mivel Q0, x = 0 minden x E esetén, ezért t > 0. Továbbá Qt, y = min{qt, x : x E}, és így F t, y = min{f t, x : x E}. Legyenek v és χ a feltétel alapján a t, y ponthoz létező függvények. Ekkor létezik olyan s [0, t[, hogy χs χt cq 21 + cvt 2,

6.5. HEMICSOPORTOK ENERÁLÁSA 129 és így Qt, y Qs, y = 1 + cvtf t, y F s, y + cvt vsf s, y q 1 + cvtχs χtvt vs + cvt vs 1 + cvs 1 2 cvt vs q 1 + cvt 0, ami ellentmond t, y választásának. 6.5.2 Tétel. Legyen A : R + A egy monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés. Ekkor legfeljebb egy olyan νs, t s,t S hemicsoport létezik M 1 ben, mely az A leképezéssel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Bizonyítás. Siebert [91, Theorem 5.7] bizonyításához hasonlóan történik. Legyen E := {ω} a csoport 1 pontos kompaktifikációja. Legyen ωx = xω = ω minden x E esetén. Minden g C 0 függvényt folytonosan kiterjesztünk E re: gω := 0. Tegyük fel, hogy két olyan hemicsoport van: νs, t s,t S és ν s, t s,t S, melyek az A leképezéssel kapcsolatosak a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Jelölje A : R + A kanonikus dekompozícióját a 0 t, B 0 t, η 0 t t 0. Jelölje s, t S esetén T s, t := T νs,t, T s, t := T ν s,t. Rögzítsük az r > 0 számot és az f D függvényt. Jelölje t [0, r] és x E esetén F t, x := T r t, rfx T r t, rfx. A következő vizsgálat célja az, hogy megmutassuk, hogy az F függvény kielégíti a 6.5.1 Lemma feltételeit. Legyen t, y [0, r] E olyan, hogy Minden s [0, t] esetén F t, y F s, y = F t, y = min{f t, x : x E}. ]r t,r s] Adτ T τ, r T τ, rl y f = I 1 + I 2 + I 3, ahol I 1 := I 2 := I 3 := Adτ T τ, r T r t, rl y f, ]r t,r s] Adτ T r t, r T r t, rl y f, ]r t,r s] Adτ T r t, r T τ, rl y f. ]r t,r s]

130 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK Először megmutatjuk, hogy I 2 0. Vezessük be a J := ]r t, r s] jelölést. Ekkor tehát a I 2 = = d T r t, r T r t, rx i L y fea 0 idτ J + 1 d T r t, r T r t, rx i X j L y feb 0 i, jdτ 2 i,j=1 J + T r t, r T r t, rl y fz T r t, r T r t, rl y fe J d T r t, r T r t, rl y X i fex i z η 0 dz dτ d X i L y T r t, r T r t, rfea 0 ir s a 0 ir t + 1 2 + d X i X j L y T r t, r T r t, rfeb 0 i, jr s b 0 i, jr t i,j=1 L y T r t, r T r t, rfz L y T r t, r T r t, rfe d függvényre azt kapjuk, hogy I 2 = X i L y T r t, r T r t, rfex i z η 0 dz ]r t, r s], gz := L y T r t, r T r t, rfz, d a 0 ir s a 0 ir tx i ge + 1 2 + z E d b 0 i, jr s b 0 i, jr tx i X j ge i,j=1 gz ge d = Ar s Ar tg. X i gex i z η 0 dz ]r t, r s] A feltételekből következik, hogy Ar s Ar t A, és a g függvényre g C 2 valamint g ge, mivel bármely x E esetén gx = F t, yx F t, y = ge a t, y pont választása miatt. Tehát azt kapjuk, hogy I 2 = Ar s Ar tg = Ar s Ar tg ge 0.

6.5. HEMICSOPORTOK ENERÁLÁSA 131 I 1 előáll I 1 = I 1,1 + I 1,2 + I 1,3 alakban, ahol d I 1,1 := T τ, r T r t, rx i L y fea 0 idτ, J I 1,2 := 1 d T τ, r T r t, rx i X j L y feb 0 i, jdτ, 2 i,j=1 J I 1,3 := T τ, r T r t, rl y fz T τ, r T r t, rl y fe J d T τ, r T r t, rl y X i fex i z η 0 dz dτ. Mint a 6.2.1 Lemmában, minden τ J = ]r t, r s] esetén tehát ahol a w : [0, t] R + Hasonlóan T τ, r T r t, rx i L y fe b X i L y f 2 qνr t, τ, I 1,1 b ws d X i L y f 2 V a0 ir t, r s, függvény definíciója ws := sup{qνr t, τ : τ ]r t, r s]}, I 1,2 b ws d X i X j L y f 2 V b0 i,jr t, r s. i,j=1 Most tekintsük a következő függvényt: hz := T τ, r T r t, rl y fz, z. s [0, t]. Mivel h C 2, így alkalmazhatjuk a Taylor formulát: d hz = he + X i hex i z + 1 d X i X j hξzx i zx j z, z U 0, 2 i,j=1 ahol ξz U 0. Nyilván 1 d x i zx j z 1 d 2 2 d x 2 i z = 1 2 dϕz ha z U 0, következésképpen i,j=1 U 0 J d hz he 1 2 d i,j=1 U 0 J 1 2 d h 2 X i hex i z η 0dz dτ X i X j hξzx i zx j z η 0 dz dτ ϕz η 0 dz ]r t, r s].

132 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK De nyilván létezik olyan c > 0 konstans, hogy d 2 + x i 1 U0 c ϕ, tehát d hz he X i hex i z η 0dz dτ d 2 + x i h 2 η 0 U 0 J U 0 J c h 2 ϕz η 0 dz ]r t, r s]. Összegyűjtve a három becslést, azt kapjuk, hogy I 1,3 c w 1 s ϕz η 0 dz ]r t, r s] ahol c := c + d/2, és a w 1 : [0, t] R + függvény definíciója w 1 s := sup{ T τ, r T r t, rl y f 2 : τ ]r t, r s]}, s [0, t]. Használva az analóg módon definiált w és w 1 függvényeket ν, illetve T helyett ν, illetve T szerepel, megkapjuk a kívánt egyenlőtlenséget a és vs := b F t, y F s, y χs χtvt vs χ := w + w + w 1 + w 1 d X i L y f 2 V a0 ir s, r + b + c ϕz η 0 dz ]r s, r] d X i X j L y f 2 V b0 i,jr s, r függvényekkel. Nyilván v monoton növekvő, és a feltételek szerint folytonos. Továbbá χt = 0, tehát már csak azt kell megmutatni, hogy lim χs = 0. Mivel az s, t νs, t, s t S ből M 1 be vivő leképezés folytonos, ezért az s, t T s, tf leképezés is folytonos S ből C 0 be minden f C 0 esetén, tehát az i,j=1 s, t d T s, tx i e + T s, tϕe = qνs, t

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 133 függvény is folytonos [r t, r s] ból R be. Ezért lim ws = lim w 1 s = 0. Hasonlóan s t s t kapjuk, hogy lim w s = lim w s t s t 1s = 0. Tehát alkalmazható a 6.5.1 Lemma, így F t, x 0 ha t, x [0, r] E, speciálisan, 0 F t, e = fz νr t, rdz fz ν r t, rdz minden f D, t [0, r] esetén. Felcserélve ν és ν szerepét 0 fz ν r t, rdz fz νr t, rdz minden f D, t [0, r] esetén. Végeredményben azt kapjuk, hogy νs, t = ν s, t ha s, t S, ami bizonyítja a hemicsoport egyértelműségét. 6.6 Háromszögrendszerek konvergenciája folytonosan korlátos változású konvolúciós hemicsoporthoz Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy növekvő függvény. Minden n N esetén definiáljuk az η n M + R + mértéket a következő módon: η n dy [0, t] := k nt µ nl dy, és az a n : R + R d, a n t = a n it,...,d, valamint a B n : R + M + d, B nt = b n i, jt i,j=1,...,d függvényeket a következő módon: a n it := b n i, jt := k n t k nt x i dµ nl = x i x j dµ nl = x i yη n dy [0, t], x i yx j yη n dy [0, t]. 6.6.1 Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, melyre k n 0 = 0 és k n R + = Z +. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy

134 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK i létezik olyan η 0 LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén fy η n dy [0, t] = fy η 0 dy [0, t], lim ii létezik olyan B 0 : R + M d, B 0 t = b 0 i, jt i,j=1,...,d folytonos függvény, hogy minden t D és i, j {1,..., d} esetén lim b ni, jt = b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t], iii létezik olyan a 0 : R + R d, a 0 t = a 0 it,...,d t D és i {1,..., d} esetén folytonos függvény, hogy minden iv minden T > 0 és i {1,..., d} esetén lim a nit = a 0 it, lim lim sup δ 0 sup t s δ 0 s t T k n t l=k n s+1 x i dµ nl = 0. Ekkor a 0, B 0, η 0 P bv R +, és *knt T µ nl w νs, t ha s, t S, l=k n s+1 ahol νs, t s,t S folytonosan korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely azzal az A : R + A leképezéssel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melynek kanonikus dekompozíciója a 0, B 0, η 0. Valamint létezik olyan v : R + R monoton növekvő, folytonos függvény, hogy minden f C 2,2 és s, t S esetén Tνs,t Ife At Asf f 2,2 vt vs 2. Továbbá tekintsük a következő állításokat: α νs, t s,t S egy diffúziós hemicsoport. β η 0 = 0. Ekkor α ból következik β. Ha még azt is feltesszük, hogy vi a t ϕy η 0dy [0, t], R + ből R be képező függvény Lipschitz folytonos,

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 135 vii minden i {1,..., d} esetén a t d b 0i, it, R + ból R be képező függvény Lipschitz folytonos, viii létezik olyan n részsorozata n nek, hogy minden i {1,..., d} esetén az s, t lim sup n k n t l=k n s+1 x i dµ n l, S et R be képező függvény Lipschitz folytonos, akkor α és β ekvivalensek. Néhány előkészületre van szükségünk a 6.6.1 Tétel bizonyításához. 6.6.2 Lemma. A 6.6.1 Tétel i iv feltételeinek teljesülése esetén a következő állítások érvényesek: I B 0 0 = 0 és a B 0 függvény monoton növekedő. II A 6.6.1 Tétel i, ii és iii pontjaiban a konvergencia tetszőleges T > 0 esetén a [0, T ] intervallumon egyenletes. III Minden T > 0 esetén lim lim sup δ 0 sup q n s, t = 0. t s δ 0 s t T IV Az n tetszőleges n részsorozatának van olyan n részsorozata, hogy az s, t lim sup n q n s, t S et R be képező függvény folytonosan korlátos változású. V Az a 0 i, i = 1,..., d függvények folytonosan korlátos változásúak. VI Minden T > 0 és ε > 0 esetén létezik olyan K ε kompakt halmaz ben, hogy minden n N esetén η n K ε [0, T ] < ε. Bizonyítás. I. Legyen ψ m m 1 egy olyan sorozat C e ben, hogy 0 ψ m 1 és ψ m 1. A B 0 mátrix értékű függvény azért monoton növekvő, mert monoton növekvő mátrix értékű függvények limeszeként áll elő: b 0 i, jt = lim lim x i yx j y1 ψ m y η n dy [0, t]. m

136 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK Valóban, az i feltétel szerint x i yx j yψ m y η n dy [0, t] = lim x i yx j yψ m y η 0 dy [0, t]. Az x i yx j y ϕy, y U 0 egyenlőtlenség, az i feltétel és Lebesgue Dominált Konvergencia tételével x i yx j y1 ψ m y η 0 dy [0, t] = 0. lim m Ebből és a ii feltételből következik b 0 i, j fenti előállítása. II. Az i esetén vegyük észre, hogy ha f C e +, akkor a t fy η n dy [0, t], n N függvények monoton növekvőek, és a t fx η 0dx [0, t] limesz függvény folytonos, tehát a 6.4.2 Lemma alkalmazható. A ii esetén a mátrix értékű B n, n N függvények monoton növekvőek, és a mátrix értékű t b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t] i,j=1,...,d limesz függvény folytonos, tehát megint alkalmazható a 6.4.2 Lemma. A iii esetében vegyük észre, hogy a iv feltétel miatt lim lim sup δ 0 sup a n it a n is = 0 t s δ 0 s t T minden T > 0 és i {1,..., d} esetén, tehát alkalmazható a 6.4.1 Lemma. III. Legyen f C e egy olyan függvény, hogy f 1 U 0. ϕ f + d x 2 i, Ekkor és az i beli és ii beli egyenletes konvergencia miatt minden T > 0 esetén lim lim sup δ 0 sup t s δ 0 s t T amiből a iv feltétel miatt következik III. k nt l=k ns+1 ϕ dµ nl = 0 IV. Mint a 6.4.4 Tétel bizonyításában, III ból következik IV. V. Most IV szerint választunk olyan n részsorozatot, hogy a s, t lim sup q n s, t, n S ből R be képező függvény folytonosan korlátos változású. Ezért ait ais = lim n k n t l=k n s+1 x i dµ nl lim sup q n s, t, n

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 137 tehát az ai, i = 1,..., d függvények is korlátos változásúak. VI. Elegendő azt megmutatni, hogy tetszőleges T > 0 és ε > 0 esetén létezik olyan K ε kompakt halmaz ben, hogy η n K ε [0, T ] < ε teljesül minden elegendően nagy n N esetén. Először válasszunk egy olyan kompakt V Ue környezetet, hogy η 0 V [0, T ] < ε/2. Ekkor létezik olyan K kompakt halmaz ben és egy olyan g C e függvény, hogy 1 K g 1 V. A 6.6.1 Tétel i feltétele alapján választhatunk olyan n 0 N számot, hogy gxη n dx [0, T ] gxη 0 dx [0, T ] < ε 2 teljesüljön, ha n > n 0. Ekkor minden n > n 0 esetén η n K [0, T ] gxη n dx [0, T ] < ε 2 + η 0 V [0, T ] < ε. gxη 0 dx [0, T ] + gxη 0 dx [0, T ] Most a 6.6.2 Lemma III és VI pontja biztosítja, hogy a 6.4.4 Tétel alkalmazható a 6.6.1 Tétel i iv feltételeinek teljesülése esetén. 6.6.3 Lemma. Jelölje νs, t s,t S azt a hemicsoportot, melyhez a 6.6.1 Tétel i iv feltételeinek teljesülése esetén a 6.4.4 Tétel értelmében valamely µ n s, t s,t S részsorozat konvergál. Ekkor ez a νs, t s,t S hemicsoport kapcsolatos az A : R + A leképezéssel a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Bizonyítás. Először jegyezzük meg, hogy a 6.6.1 Tétel i iii feltételei és a 6.6.2 Lemma I és V pontjai alapján A egy folytonos, korlátos változású leképezés. Most jelölje s, t S esetén T s, t := T νs,t. Meg fogjuk mutatni, hogy minden s, t S és f D esetén 6.6.4 lim T n n s, t Ife = AdτT τ, tf. Az egyszerűség kedvéért az n sorozatot beazonosítjuk az n sorozattal. Legyen ψ m m 1 egy olyan sorozat C e ben, melyre 1 U 0 ψ m 1 és ψ m 1. Tekintsük a következő hasznos felbontást: fy = fe + + d X i fex i y + 1 2 fy fe ]s,t] d X i X j fex i yx j y1 ψ m y i,j=1 d X i fex i y 1 2 d X i X j fex i yx j y1 ψy i,j=1

138 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK ahol f C 2 és y. Taylor formulát: fy = fe + Minden f C 2 függvényre alkalmazhatjuk a következő d X i fex i y + 1 2 d X i X j fξyx i yx j y, y U 0, i,j=1 ahol ξy U 0, tehát minden f C 2 és y esetén d fy = fe + X i fex i y + 1 d X i X j fex i yx j y1 ψ m y 2 i,j=1 d + fy fe X i fex i y ψ m y + 1 2 i,j=1 d X i X j fξy X i X j fe x i yx j y1 ψ m y. Ezután vegyük észre a következő dekompozíciót: T n s, t I = k nt l=k ns+1 ahol τ nl := inf{t R + : k n t = l}. T n s, t Ife = d ]s,t] + 1 2 + + 1 2 d i,j=1 ]s,t] d T µnl I = = k nt l=k ns+1 k n t l=k n s+1 Tehát azt kapjuk, hogy T n τ, tx i fea n idτ ]s,t] T µnl I k nt r=l+1 T µnr T µnl IT n τ nl, t, T n τ, tx i X j feb n,m i, jdτ T n τ, tfy T n τ, tfe ψ m yη n dy dτ i,j=1 ]s,t] d T n τ, tx i fex i y T n τ, tx i X j fξy T n τ, tx i X j fe x i yx j y1 ψ m yη n dy dτ, ahol b n,m i, jt := x i yx j y1 ψ m yη n dy [0, t].

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 139 Így végülis T n s, t Ife ahol I 1 n := ]s,t] d T n τ, tx i fea n idτ ]s,t] d I 2 nm := 1 2 I 3 m := 1 2 I 4 nm := i,j=1 d i,j=1 ]s,t] ]s,t] I 5 nm := 1 2 ]s,t] d AdτT ντ,t f = I 1 n + I 2 nm + I 3 m + I 4 nm + I 5 nm + I 6 m, ]s,t] T n τ, tx i X j feb n,m i, jdτ ]s,t] T τ, tx i fea 0 idτ, ]s,t] T τ, tx i X j fex i yx j y1 ψ m yη 0 dy dτ, T n τ, tfy T n τ, tfe i,j=1 ]s,t] T τ, tfy T τ, tfe T τ, tx i X j feb 0,m i, jdτ, d T n τ, tx i fex i y ψ m yη n dy dτ d T τ, tx i fex i y ψ m yη 0 dy dτ T n τ, tx i X j fξy T n τ, tx i X j fe x i yx j y1 ψ m yη n dy dτ, I 6 m := ]s,t] T τ, tfy T τ, tfe d T τ, tx i fex i y és 1 ψ m yη 0 dy dτ, b 0,m i, jt := b 0 i, jt + Minden f D függvény esetén belátható, hogy Csak a hogy lim I n 1 lim m x i yx j y1 ψ m yη 0 dy [0, t]. lim I1 n = 0, lim Il nm = 0 ha l = 2, 4, m 1, lim m Il m = 0 ha l = 3, 6, lim sup I nm 5 = 0. = 0 konvergencia bizonyítására szorítkozunk. Elegendő megmutatni azt, lim I1,1 n = lim I n 1,2 = 0,

140 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK ahol I 1,1 n := I 1,2 n := T n τ, t T τ, tgea n idτ, ]s,t] T τ, tgea n idτ a 0 idτ, ]s,t] és g C 2,2. Legyen T > 0 és s, t S T. A 6.6.2 Lemma III pontja alapján ct := sup q n 0, T <. n 1 Tekintsük az F 0 : τ F 0 τ := T τ, tge és F n : τ F n τ := T n τ, tge, n N függvényeket, melyek a [0, t] intervallumot R be képezik. A 6.2.1 és 6.4.3 Lemmák alapján minden τ, τ [0, t] és n N esetén F n τ F n τ = T n τ, tge T n τ, tge bc1 + ct g 2 + g 2 q n τ τ, τ τ, tehát a 6.6.2 Lemma III pontja szerint lim lim sup δ 0 sup F n τ F n τ = 0. τ τ δ 0 τ τ t Továbbá F 0 folytonos és lim F n τ = F 0 τ minden τ [0, t] esetén. A 6.4.1 Lemma szerint F n F 0 egyenletesen a [0, t] intervallumon, tehát lim sup T n τ, tge T τ, tge = 0. τ [0,t] Nyilván minden τ, τ S T és n N esetén a n iτ a n iτ k n τ l=k n τ+1 x i dµ nl q n τ, τ, ezért V an is, t ct ha n N, és az becslés miatt I n 1,1 V anis, t sup T n τ, tge T τ, tge τ [s,t] lim I n 1,1 = 0. A 6.2.1 Lemma alapján minden τ, τ [0, t] esetén F 0 τ F 0 τ = T τ, tge T τ, tge b g 2 + g 2 qντ τ, τ τ. A 6.4.4 Tétel szerint a νs, t s,t S hemicsoport gyengén korlátos változású, tehát az F 0 függvény is korlátos változású. Parciális integrálással I 1,2 n = a n it a 0 itge T s, tgea n is a 0 is T dτ, tgea n iτ a 0 iτ, ]s,t]

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 141 tehát az I n 1,2 g 2 2 + V F0 s, t sup a n iτ a 0 iτ τ [s,t] becslésből és abból, hogy az a n i a 0 i konvergencia egyenletes az [s, t] intervallumon, következik lim I n 1,2 = 0. Végeredményben lim T n n s, t Ife = AdτT τ, tf teljesül minden s, t S és f D esetén. Másrészről, ]s,t] lim n T n s, t Ife = T s, t Ife minden s, t S és f C 0 esetén. Így megkaptuk a lemma állítását, hiszen D sűrű C 0 ben. A 6.6.1 Tétel bizonyítása. Legyen n egy tetszőleges részsorozat n ben. Ekkor a 6.6.2 Lemma III és VI pontja alapján alkalmazható a 6.4.4 Tétel, tehát létezik olyan folytonosan korlátos változású νs, t s,t ST hemicsoport M 1 ben, hogy az n valamely n részsorozatára µ n s, t T w νs, t ha s, t S. A 6.6.3 Lemma szerint a νs, t s,t S hemicsoport kapcsolatban van az A : R + A leképezéssel a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. A 6.5.2 Tétel szerint a νs, t s,t S hemicsoport egyértelmű. Ezért a µ n s, t n 1 sorozat gyengén konvergens, és µ n s, t T w νs, t for all s, t S, tehát az első rész bizonyítása készen van. Mivel minden t R + Lévy mértéke, így minden t R + esetén η 0 dy [0, t] M + az At generáló funkcionál Atf = fy η 0 dy [0, t] és f D C e esetén. Az i feltételből lim T κ n s,tfe = lim fy fe η n dy ]s, t] = Atf Asf minden s, t S és f D C e esetén. A 6.6.2 Lemma IV pontja szerint választhatunk olyan n részsorozatot, hogy az s, t lim sup q n s, t, S et R be n képező függvény folytonosan korlátos változású. Ezért a 6.4.3 Lemma alapján Tνs,t Ife Atf Asf = lim n Tµn s,t Ife T κn s,tfe b 2 f 2,2 lim sup n q n s, t 2

142 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK minden s, t S és f D C e esetén. Tehát létezik olyan v : R + R monoton növekvő, folytonos függvény, hogy minden f C 2,2 és s, t S esetén Tνs,t Ife At Asf f 2,2 vt vs 2. A 6.2.2 Lemma alapján α ből következik β. Legyen most n egy olyan részsorozat, mely a vii feltétel alapján létezik. A 6.6.2 Lemma IV pontja szerint létezik olyan n részsorozata n nek, hogy a s, t lim sup q n s, t függvény, mely S et R be képezi, folytonosan korlátos változású. Legyen n f C e olyan függvény, hogy f 1 U 0. Ekkor ϕ f + d x2 i, tehát minden µ M 1 esetén 6.6.5 Tehát q n s, t d k n t l=k n s+1 qµ Az i és ii feltételek alapján Nyilván lim sup q n s, t n d x i dµ nl + d + lim sup n d x i dµ + d k n t l=k n s+1 x 2 i dµ + f dµ. x 2 i y η n dy ]s, t] + x i dµ n l + b 0 i, it b 0 i, is + f + d x 2 i c ϕ valamely c > 0 konstanssal, tehát az v vii feltételek miatt az s, t lim sup n q n s, t fy η n dy ]s, t]. fy η 0 dy ]s, t] x 2 i y η 0 dy ]s, t]. függvény, mely S et R be képezi, Lipschitz folytonos. A 6.6.2 Lemma III pontja alapján ct := sup q n 0, T <, tehát a 6.4.3 Lemma szerint n 1 qνs, t = lim n és így a hemicsoport Lipschitz folytonos. qµ n s, t c1 + ct lim sup q n s, t, n Ahogy már megállapítottuk, Tνs,t Ife Atf Asf b 2 f 2,2 lim sup n q n s, t 2

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 143 minden s, t S és f D C e esetén, tehát az s, t Tνs,t Ife At Asf függvény, mely S et R be képezi, Lipschitz folytonos. A 6.2.2 Lemma alapján megkapjuk α és β ekvivalenciáját. 6.6.6 Tétel. Legyen {µ nl : l = 1,..., n, n 1} egy háromszögrendszer M 1 ben. Legyen n N esetén k n : [0, 1] Z + a következő függvény: { } l n k n t := max l {0, 1,..., n} : qµ nr t qµ nr. Legyen D egy sűrű halmaz [0, 1] ben. Tegyük fel, hogy i minden U Ue esetén r=1 r=1 lim max{µ nl U : 1 l n} = 0, ii létezik olyan η 0 L[0, 1], mérték, hogy minden t D és f C e esetén lim fy η n dy [0, t] = fy η 0 dy [0, t], iii létezik olyan B 0 : [0, 1] M d, B 0 t = b 0 i, jt i,j=1,...,d folytonos függvény, hogy minden t D és i, j {1,..., d} esetén lim b ni, jt = b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t], iv létezik olyan a 0 : [0, 1] R d, a 0 t = a 0 it,...,d folytonos függvény, hogy minden t D és i {1,..., d} esetén lim a nit = a 0 it, v minden i {1,..., d} esetén sup n 1 n x i dµ nl <. Ekkor *knt T µ nl w νs, t ha s, t S1, l=k n s+1 ahol νs, t s,t S1 egy olyan gyengén Lipschitz folytonos hemicsoport M 1 ban, mely azzal az A : [0, 1] A leképezéssel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melynek kanonikus dekompozíciója a 0, B 0, η 0. Továbbá νs, t s,t S1 akkor és csak akkor diffúziós hemicsoport, ha η 0 = 0.

144 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK 6.6.7 Megjegyzés. Wehn [101, Theorem 8] bizonyított hasonló eredményt, de sokkal erősebb feltételek mellett. Megjegyezzük, hogy a 6.6.6 Tétel könnyen általánosítható olyan háromszögrendszerre is, amelyben a sorok hossza tetszőleges. A 6.6.6 Tétel bizonyítása. 6.6.8 Először vegyük észre, hogy sup n 1 n qµ nl <. Valóban, ha választunk egy olyan f C e függvényt, melyre f 1 U 0, akkor 6.6.5 alapján n d n qµ nl x i dµ nl + x 2 i y η n dy [0, 1] + fy η n dy [0, 1]. A ii, iii és v feltételek alapján következik 6.6.8. Most megmutatjuk, hogy 6.6.9 lim max qµ nl = 0. 1 l n Valóban, minden ε > 0 esetén létezik olyan U Ue környezet, hogy x i 1 U ε és ϕ 1 U ε, tehát bármely µ M 1 esetén Ezért az i feltételből qµ d + 1ε + ϕ + d x i µ U. lim max qµ nl d + 1ε. 1 l n Ez az egyenlőtlenség tetszőleges ε > 0 esetén fennáll, így megkapjuk a 6.6.9 összefüggést. A k n, n N függvények definíciója alapján minden s, t S 1 és n N esetén 6.6.10 q n s, t t s n qµ nl + max 1 l n qµ nl, mivel q n s, t = k n t t qµ nl n qµ nl s k n s+1 n qµ nl + qµ n,kn s+1 qµ nl + max 1 l n qµ nl.

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 145 Most 6.6.9 és 6.6.10 alapján megállapíthatjuk, hogy a 6.6.1 Tétel iv feltétele teljesül. Nyilván a 6.6.1 Tétel i iii feltételei is teljesülnek, így az első állítás bizonyítása készen van. Most belátjuk, hogy a 6.6.1 Tétel v vii feltételei is teljesülnek. A 6.6.9 és 6.6.10 összefüggések miatt n lim sup q n s, t t s sup qµ nl, n 1 tehát 6.6.8 alapján az s, t lim sup q n s, t függvény Lipschitz folytonos. Nyilván ebből következik, hogy teljesül a 6.6.1 Tétel vii feltétele, hiszen minden µ M 1 és i {1,..., d} esetén x i dµ qµ. Legyen f C e ismét egy olyan függvény, melyre f 1 U 0. és iii feltételeiből következik, hogy minden s, t S 1 esetén d b 0 i, it b 0 i, is + ϕy η 0 dy ]s, t] = d b 0 i, it b 0 i, is + d lim d x 2 i y η 0 dy ]s, t] + x 2 i y η n dy ]s, t] + lim fy η n dy ]s, t]. Nyilván létezik olyan c > 0 konstans, hogy f + d x2 i c ϕ, tehát d b 0 i, it b 0 i, is + ϕy η 0 dy ]s, t] c lim sup ϕy η n dy ]s, t] c lim sup q n s, t. Ekkkor a 6.6.6 Tétel ii fy η 0 dy ]s, t] Az 6.6.2 Lemma I pontja alapján a t TrBt = d b 0i, it függvény monoton növekvő, tehát 6.6.10 felhasználásával azt kapjuk, hogy teljesülnek a 6.6.1 Tétel v és vi feltételei is. Megmutatjuk, hogy Sobko [94] alábbi eredménye következik a 6.6.1 Tételből. 6.6.11 Tétel. Legyen {µ nl : l = 1,..., k n, n 1} egy háromszögrendszer M 1 ben. Legyen n N esetén 0 = τ n0 < τ n1 < < τ n,kn = 1 egy olyan felosztása a [0, 1] intervallumnak, hogy lim max{τ nl τ n,l 1 : 1 l k n } = 0. Tegyük fel, hogy

146 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK A1 minden i {1,..., d} esetén létezik olyan α i : [0, 1] R folytonos függvény, hogy lim k n x i dµ nl τ nl τ n,l 1 α i τ nl = 0, U 0 A2 minden i, j {1,..., d} esetén létezik olyan β ij : [0, 1] R kétszer folytonosan differenciálható függvény, hogy lim k n x i x j dµ nl 2τ nl τ n,l 1 β ij τ nl = 0, U 0 B létezik olyan K > 0 konstans, hogy bármely n N és l = 1,..., k n esetén d x i dµ nl + U 0 d x i x j dµ nl Kτ nl τ n,l 1, U 0 i,j=1 C minden U Ue esetén lim k n µ nl U = 0. Ekkor *knt T µ nl w νs, t ha s, t S1, l=k n s+1 ahol νs, t s,t S1 egy hemicsoport M 1 ben és n N esetén a k n : [0, 1] Z + függvény a következő módon van értelmezve: k n t = l 1 ha τ n,l 1 t < τ nl, 1 l k n. Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy teljesülnek a 6.6.1 Tétel feltételei az η 0 = 0, a 0 it = választással. Nyilván C ből következik i. t α i τ dτ, b 0 i, jt = t 0 0 β ij τ dτ

6.6. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 147 A1 és C alapján teljesül iii is, mivel minden t [0, 1], i {1,..., d} és n N esetén k nt k a n it a 0 it x i dµ nl U 0 + nt k nt x i dµ nl τ nl τ n,l 1 α i τ nl U 0 k nt t + τ nl τ n,l 1 α i τ nl α i τ dτ 0 k nt k nt x i µ nl U 0 + x i dµ nl τ nl τ n,l 1 α i τ nl U 0 k nt t + τ nl τ n,l 1 α i τ nl α i τ dτ 0, ami 0 hoz konvergál, amennyiben n. Hasonlóan vezethető le ii az A2 és C alapján. Nyilván B miatt teljesül iv is, mivel bármely s, t S 1, i {1,..., d} és n N esetén k n t l=k n s+1 x i dµ nl K U 0 k n t l=k n s+1 τ nl τ n,l 1 = Kτ n,knt τ n,kns = K τ n,kn t τ n,kn s+1 + τ n,kn s+1 τ n,kn s Kt s + max{τ nl τ n,l 1 : 1 l k n }, tehát ami szerint sup t s δ 0 s t 1 k n t l=k n s+1 lim sup x i dµ nl Kδ + max{τ nl τ n,l 1 : 1 l k n }, U 0 sup t s δ 0 s t 1 k n t l=k n s+1 amiből könnyen levezethető a iv feltétel is. x i dµ nl Kδ, U 0 6.6.12 Megjegyzés. Eredetileg Sobko [94] a C feltétel helyett csak azt tételezte fel, hogy lim k n µ nl U 0 = 0, de a bizonyításában a C feltételt használta. Sobko a νs, t s,t S1 limesz hemicsoportot a megfelelő T s, t s,t S1 konvolúciós operátorokkal sokkal bonyolultabb módon kapcsolta

148 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK össze. Továbbá a 6.6.11 Sobko tételben több felesleges feltétel is szerepel. Nyilván elegendő feltételezni az α i és β ij függvények Riemann integrálhatóságát. Az A1 és A2 feltételekben az abszolút érték nem szükséges, vagyis például az A1 feltétel helyett elegendő feltételezni, hogy lim k n x i dµ nl τ nl τ n,l 1 α i τ nl = 0. U 0 A B feltételben a második szummás tagra nincs szükség. Végül megemlítjük, hogy Sobko bizonyítási módszere csak akkor alkalmazható, ha a limesz hemicsoport diffúziós. 6.7 Folytonosan korlátos változású konvolúciós hemicsoportok paraméterezése 6.7.1 Tétel. Legyen A : R + A egy monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés. Ekkor pontosan egy olyan νs, t s,t S hemicsoport létezik M 1 ben, mely az A leképezéssel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Továbbá a νs, t s,t S hemicsoport folytonosan gyengén korlátos változású, és létezik olyan monoton növekvő, folytonos v : R + R függvény, hogy minden f C 2,2 és s, t S esetén Tνs,t Ife At Asf f 2,2 vt vs 2. Bizonyítás. Az egyértelműséget bebizonyítottuk a 6.5.2 Tételben. A létezés bizonyítását Siebert [91, Theorem 5.1] mintájára végezzük el. Legyen az adott A leképezés kanonikus dekompozíciója a 0 t, B 0 t, η 0 t t 0. Legyen f C 2, t R + és x esetén Ñtfx := d a 0 it X i fx + 1 2 + fxy fx d b 0 i, jt X i Xj fx i,j=1 d X i fxx i y η 0 dy [0, t]. Heyer [48, Theorem 4.2.5] alapján tetszőleges s, t S esetén az f Ñt Ñsf leképezés, mely C 2 t C 0 be viszi, egybeesik C 2 n egy egyértelműen meghatározott M 1 beli ν r s, t r 0 konvolúciós félcsoport Ñs, t infinitezimális generátorával. Először belátjuk, hogy az s, t Ñs, tf, S et C0 be vivő leképezés folytonosan

6.7. HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 149 korlátos változású tetszőleges f C 2 esetén. Valóban, Ñs, tfx d a 0 it a 0 is X i fx + 1 d b 0 i, jt b 0 i, js 2 X i Xj fx i,j=1 d + fxy fx X i fxx i y dη 0dy ]s, t], tehát használhatjuk a következő Taylor formulát: d fxy = fx + X i fxx i y + 1 2 d X i Xj fxξyx i yx j y, y U 0, i,j=1 ahol ξy U 0, és a 6.5.2 Tétel bizonyításában szereplő I 1,3 integrál becslésénél használt módszerrel belátható, hogy d Ñs, tfx f 2 a 0 it a 0 is + 1 d b 0 i, jt b 0 i, js 2 i,j=1 +c ϕy η 0 dy ]s, t] valamely c > 0 konstanssal. Ezért a feltételek szerint létezik olyan monoton növekvő, folytonos v : R + R függvény úgy, hogy minden f C 2 és s, t S esetén Bármely f C 2 függvényre 6.7.2 tehát T νr s,t Ife = Ñs, tf f 2 vt vs. r 0 Ñs, tfx ν u s, tdx du, T νr s,t Ife r Ñs, tf r f 2 vt vs. Behelyettesítve az f = x 1,..., x d, 1 ϕ függvényeket, azt kapjuk, hogy qν r s, t cvt vs valamely c > 0 konstanssal. Következésképpen az s, t qν r s, t függvény is folytonosan korlátos változású. Most legyen ha n, l N. 6.7.3 µ nl := ν l 1 1, l n n Először megmutatjuk, hogy minden s, t S és f C 2,2 esetén lim [nt] l=[ns]+1 f dµ nl fe = Ñs, tfe.

150 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK Mivel XÑs, tf = Ñs, txf ha X L, tehát teljesül Ñs, tf C 2 és Ñs, tf 2 f 2,2 vt vs. A 6.7.2 összefüggés és a 2.1.1 Lemma alapján minden s, t S esetén f dν 1 s, t fe Ñs, t fe 1 = Ñs, t f dν r s, t dr Ñs, t fe 0 1 1 = T νrs,t IÑs, t fedr b Ñs, t f 2 qν r s, t dr 0 bc f 2,2 vt vs 2, 0 tehát [nt] l=[ns]+1 = [nt] l=[ns]+1 bc f 2,2 f dµ nl fe Ñ [ns], [nt] fe n n bc f 2,2 v [nt] l=[ns]+1 [nt] n f dν l 1 1, l n n fe Ñ l 1, l n n fe v l n v v l 1 2 n [ns] n max [ns]+1 l [nt] v l n v l 1 n. Továbbá elég nagy n N esetén [ns] Ñ, [nt] fe Ñs, tfe n n Ñ [ns], s fe n + [nt] Ñ, t fe n c f 2,2 vs v + vt v Ezt a becslést és a v függvény folytonosságát használva kapjuk a 6.7.3 összefüggést. Ezután megmutatjuk, hogy teljesülnek a 6.6.1 Tétel i iv feltételei a {µ nl : n, l N 2 } mértékekre és a k n t := [nt], t R +, n N függvényekre. Először vegyük észre, hogy s, t S esetén [nt] l=[ns]+1 qµ nl c [nt] l=[ns]+1 v l n v l 1 n = c v [ns] n [nt] v n [nt] n [ns], n. amiből lim lim sup δ 0 sup t s δ 0 s t T [nt] qµ nl = 0,

6.7. HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 151 ezért teljesül a 6.6.1 Tétel iv feltétele. Most 6.7.3 alapján és Siebert [91, Lemma 1.7 iii] pontját használva megmutatható, hogy minden t R + és f C e esetén [nt] lim f dµ nl = Atf = fy η 0 dy [0, t]. Megint 6.7.3 miatt, minden i, j {1,..., d} és t R + [nt] lim [nt] lim x i x j dµ nl = Atx i x j = b 0 i, jt + x i dµ nl = Atx i = a 0 it. esetén x i yx j y η 0 dy [0, t], Tehát alkalmazhatjuk a 6.6.1 Tételt, és azt kapjuk, hogy létezik olyan νs, t s,t S folytonosan korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely az adott A leképezéssel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, és létezik olyan v : R + R monoton növekvő, folytonos függvény, hogy minden f C 2,2 és s, t S esetén T νs,t Ife At Asf f 2,2 vt vs 2. 6.7.4 Tétel. Legyen νs, t s,t S egy folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben. Ekkor pontosan egy olyan monoton növekvő, folytonos, korlátos változású A : R + A leképezés van, melyre teljesül A0 = 0 és kapcsolatos a νs, t s,t S hemicsoporttal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. A νs, t s,t S hemicsoport a hozzá tartozó A leképezést a következő explicit módon határozza meg: minden f X 2 és t R + esetén 6.7.5 [nt] Atf = lim f fe dν l 1 n, l n. Bizonyítás. Először az egyértelműséget bizonyítjuk. Legyenek A : R + A és à : R + A olyan monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezések, melyekre teljesül A0 = 0 és Ã0 = 0, valamint kapcsolatosak a νs, t s,t S hemicsoporttal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ekkor a 6.7.1 Tétel alapján léteznek olyan v : R + R és ṽ : R + R monoton növekvő, folytonos függvények, hogy minden s, t S és f C 2,2 esetén At Asf Ãt Ãsf f 2,2 vt vs 2 + ṽt ṽs 2. Mint Siebert [91, Corollary 4.6] bizonyításában, levezethető, hogy Atf = t R + és f C 2,2, tehát A = Ã. Ãtf ha

152 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK A létezés bizonyításához felhasználjuk Siebert [91, Theorem 5.1] bizonyításának néhány ötletét. Legyen µ nl := ν l 1, l n n ha n, l N. Mivel a νs, t s,t S hemicsoport folytonosan gyengén korlátos változású, ezért az s, t qνs, t, S et R be képező függvény is folytonosan gyengén korlátos változású, tehát qνs, t V ν 0, t V ν 0, s minden s, t S esetén, ahol t V ν 0, t folytonos függvény. Másrészt bármely s, t S és n N esetén q n s, t = [nt] l=[ns]+1 ezért minden T > 0 esetén qµ nl = lim lim sup δ 0 [nt] l=[ns]+1 Nyilván tetszőleges s, t S és n N esetén µ n s, t = q ν l 1 n, l n Vν 0, t V ν 0, s, sup q n s, t = 0. t s δ 0 s t T *[nt] µ nl = ν [ns], [nt]. n n l=[ns]+1 Most lim [nr]/n = r, r R + miatt lim µ n s, t = νs, t ha s, t S. Válasszunk egy nα α J univerzális résznetet N ben. Ekkor teljesülnek a 6.4.10 Tétel feltételei a {µ nl : n, l N 2 } mértékekre és a k n t := [nt], t R +, n N függvényekre. Ezért létezik olyan A : R + A monoton növekvő leképezés és olyan v 1 : R + R monoton növekvő, folytonos függvény, hogy 6.7.6 Atf = lim f fe dη nα 0, t α J minden f X 2 és t R + esetén, 6.7.7 At As 2 v 1 t v 1 s minden s, t S esetén, és 6.7.8 f dνs, t fe At Asf f 2,2 v 1 t v 1 s 2 minden f C 2,2 és s, t S esetén. Most belátjuk, hogy az A leképezést egyértelműen meghatározza a νs, t s,t S hemicsoport. Valóban, tegyük fel, hogy létezik egy másik à : R + A hemicsoport is úgy, hogy f dνs, t fe Ãt Ãsf f 2,2 ṽt ṽs 2

6.7. HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 153 valamely ṽ : R + R monoton növekvő, folytonos függvénnyel. Ekkor bármely f C 2,2 és s, t S esetén At As f Ãt Ãs f f 2,2 v1 t v 1 s 2 + ṽt ṽs 2. Rögzítsük a t R + számot, és legyen r N. Ekkor minden f C 2,2 és t R + esetén Atf Ãtf r = A lt r r f 2,2 f A l 1t r v 1 lt r f 2,2 v 1 t + ṽt max 1 l r f à lt r f à 2 l 1t v1 r + v 1 lt r ṽ lt r v1 l 1t r l 1t f r 2 ṽ l 1t r + ṽ lt r ṽ l 1t. r Ha r, akkor ebből következik Atf = Ãtf minden f C 2,2 és t R + esetén, ezért At = Ãt ha t R +. Az A egyértelműsége és 6.7.6 alapján megkapjuk a 6.7.5 előállítást. A 6.7.7 egyenlőtlenség alapján az A leképezés folytonosan korlátos változású, és a 6.7.1 Tétel szerint létezik olyan ν s, t s,t S hemicsoport M 1 ben és olyan monoton növekvő, folytonos v 2 : R + R függvény, hogy f dν s, t fe At Asf f 2,2 v 2 t v 2 s 2 ha f C 2,2 és s, t S. Továbbá A kapcsolatos a ν s, t s,t S hemicsoporttal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ezután megmutatjuk, hogy νs, t = ν s, t ha s, t S. Legyen E := {ω} a csoport 1 pontos kompaktifikációja. Legyen s, t S esetén T s, t := T νs,t, T s, t := T ν s,t. Rögzítsük az r > 0 számot és az f D függvényt. Legyen t [0, r] és x E esetén F t, x := T r t, rfx T r t, rfx. A következő vizsgálat célja az, hogy megmutassuk, hogy az F függvény kielégíti a 6.5.1 Lemma feltételeit. Most legyen t, y [0, r] E olyan, hogy Minden s [0, t] esetén F t, y F s, y F t, y = min{f t, x : x E}. = T r t, rfy T r t, rfy T r s, rfy T r s, rfy = T r t, r sfy T r t, r sfy,

154 6. FEJEZET. KORLÁTOS VÁLTOZÁSÚ KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK ezért F t, y F s, y L y f 2,2 v1 r s v 1 r t 2 + v 2 r s v 2 r t 2. Következésképpen megkapjuk a kívánt F t, y F s, y χs χtvt vs egyenlőtlenséget a χs := v 1 r s + v 2 r s és vs := L y f 2,2 v 1 r s + v 2 r s, s [0, r] függvényekkel. Alkalmazva a 6.5.1 Lemmát, azt kapjuk, hogy νs, t = ν s, t ha s, t S a 6.5.2 Tétel bizonyításának végén használt gondolatmenettel. Tehát A kapcsolatban van a νs, t s,t S hemicsoporttal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Megjegyezzük, hogy 6.7.5 alapján az At generáló funkcionál kanonikus dekompozíciójában szereplő mennyiségek közvetlenül kifejezhetők a νs, t s,t S hemicsoport segítségével a következő módon: [nt] fy η 0 dy [0, t] = lim [nt] b 0 i, jt = lim [nt] a 0 it = lim f dν l 1 n, l n, f Ce, x i x j dν l 1, l n n x i yx j y η 0 dy [0, t], x i dν l 1 n, l n.

7. fejezet Korlátos változású konvolúciós hemicsoportok Lie projektív csoportokon 7.1 Lie projektív csoportok Egy lokálisan kompakt topológikus csoportot Lie projektívnek nevezünk, ha létezik kompakt normálosztóinak olyan H rendszere, hogy minden H H esetén /H egy Lie csoport, és H H H = {e}. Ha H még ráadásul lefelé szűrő, akkor Lie rendszerének nevezzük. Feltehetjük és mindig fel is tesszük, hogy H lefelé szűrő, mert tetszőleges Lie projektív csoport esetén a Lie faktorcsoporttal rendelkező kompakt normálosztókból álló rendszer Lie rendszer lásd Montgomery, Zippin [64]. Legyen H egy Lie rendszere a Lie projektív csoportnak. Ekkor előáll mint a lim /H projektív limesz, mely definíció szerint a H H /H szorzatcsoportnak H H a következő zárt részcsoportja: { x H H H H H/H } : p M H x M = x H ha M, H H, M H Ezután lehet definiálni a csoport L Lie algebráját, mint a /H közönséges Lie csoportokhoz tartozó Lie algebráknak a lim L/H projektív limeszét a H H pm H : /M /H, M, H H, M H kanonikus leképezések differenciáljaira vonatkozóan, azaz { L := X H H H } L/H : dp M H XH = X M ha M, H H, M H. H H A dp H : L L/H kanonikus leképezések olyan folytonos, nyílt epimorfizmusok, melyekre dp H = dp M H dp M ha M, H H, M H. Továbbá L független a H Lie rendszer választásától. 155

156 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON Born [14, Theorem 2.2] szerint mindig lehet találni egy Lie projektív csoportnak olyan H Lie rendszerét, melyre nézve az L Lie algebrának van projektív bázisa a következő definíció értelmében: 7.1.1 Definíció. Egy X i i I családot L \ {0} ben projektív bázisnak nevezünk a csoport H Lie rendszerére nézve, ha minden H H esetén létezik olyan I H I véges részhalmaz, hogy dp H X i i IH bázist alkot az L/H vektortérben és dp H X i = 0 minden i I H esetén. A továbbiakban rögzítjük nek egy olyan H Lie rendszerét, hogy L rendelkezzen egy X i i I projektív bázissal H ra nézve. Born [14, Proposition 2.3] szerint minden r i i I R I esetén pontosan egy olyan X L vektor van, melyre Valójában lim J FI r i X i = X =: r i X i. i J i I r i X i = r i dp H X i i I i I H Továbbá Born [14, Theorem 2.4] szerint az r i i I i I r ix i leképezés egy topologikus vektor tér izomorfizmus R I ről L re, ezért I számossága csak től függ. H H A teszt függvények D terét a következő módon definiáljuk: D := {f H p H : f H D/H} H H lásd Bruhat [18]. A k szor balról, illetve jobbról differenciálható függvények C k és C k terét Born [14, 4.1] vezette be. Megjegyezzük, hogy minden X L, H H és f H C 1 /H esetén teljesül f H p H C 1 és Xf H p H = dp H Xf H p H. Bevezetjük a gyenge koordináta rendszer fogalmát ben, általánosítva egy Lie csoportbeli koordináta rendszer fogalmát a következő módon lásd Born [15]: 7.1.2 Definíció. Egy x i i I család D ben gyenge koordináta rendszere a csoportnak az e pontban X i i I re nézve, ha teljesül X i x j e = δ ij és x j = x j minden i, j I esetén. Azt mondjuk, hogy x i i I projektív, ha még az is teljesül, hogy minden H H esetén létezik olyan U H Ue környezet és olyan x H i i IH kanonikus koordináta rendszere /H nak e ben az L/H Lie algebra dp H X i i IH bázisára nézve, hogy x i y = x H i p H y ha y U H és i I H. Mindig lehet nek projektív gyenge koordináta rendszerét találni e ben X i i I re vonatkozóan. Valóban, minden H H esetén legyen x H i i IH egy kanonikus koordináta rendszere /H nek e ben az L/H Lie algebra dp H X i i IH bázisára nézve. Minden.

7.2. KONVOLÚCIÓS FÉLCSOPORTOK ÉS HEMICSOPORTOK 157 i I esetén válasszunk egy olyan Hi H kompakt normálosztót, melyre i I Hi. Legyen x i := x Hi i p Hi. Ekkor Born [15, Corollary 7] alapján az x i i I család egy projektív gyenge koordináta rendszere nek e ben. 7.2 Konvolúciós félcsoportok és hemicsoportok Lie projektív csoportokon Vezessük be a következő paraméter teret: P := R I M + I L. Born [15, Corollary 5] megmutatta a következő reprezentációs tételt konvolúciós félcsoportok generáló funkcionáljairól valójában lokálisan kompakt topológikus csoportokra bizonyított. 7.2.1 Tétel. Legyen egy Lie projektív csoport, X i i I egy projektív bázis L ben és x i i I egy gyenge koordináta rendszere nek e ben X i i I re nézve. A Ha µ t t 0 egy konvolúciós félcsoport M 1 ben A generáló funkcionállal, akkor D DomA és pontosan egy olyan a, B, η P hármas létezik, hogy Af = a i X i fe + 1 b ij X i X j fe + fy fe X i fex i y ηdy 2 i I i,j I i I minden f D esetén. B Minden a, B, η P hármashoz pontosan egy olyan µ t t 0 konvolúciós félcsoport létezik M 1 ben, melynek generáló funkcionáljára D n érvényes az A reprezentáció. Mértékeknek egy η t t 0 családját M + ben Lévy mérték családnak nevezzük n, ha η t η s L minden s, t S esetén, η 0 = 0, és az s, t f dη t leképezés folytonos, ha f D + és fe = 0. Jelölje LR +, azon η M 1 R + mértékek halmazát, melyekre teljesül η{e} R + = 0, ηdy [0, t] L ha t R +, és hogy a t fy ηdy [0, t] leképezés folytonos, ha f D + és fe = 0. Ekkor létezik egy természetes bijekció az η t t 0, M + beli Lévy mérték családok és az LR +, halmaz között: η t dy = ηdy [0, t], η LR +,. Vezessük még be a P bv R +, paraméter teret is, mely olyan a, B, η hármasokból áll, ahol a : R + R I, at = a i t i I olyan folytonos függvény, hogy a0 = 0 és minden i I esetén az a i : R + R koordináta függvény korlátos változású, B : R + M + I monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,. Egy a, B, η P bv R +, hármasnak megfeleltetünk egy A : R + P generáló leképezést úgy, hogy

158 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON At := at, Bt, η t, t R +. Egy C 2 beli g t t 0 függvény család és s, t S esetén legyen Adτg τ := X i g τ e a i dτ + 1 X i X j g τ e b ij dτ ]s,t] i I ]s,t] 2 i,j I ]s,t] + g τ y g τ e X i g τ ex i y ηdy dτ, i I ]s,t] amennyiben az integrálok léteznek. 7.2.2 Definíció. Azt mondjuk, hogy egy M 1 beli µs, t s,t S hemicsoport és egy a, B, η P bv R +, hármas kapcsolatosak a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint az L beli X i i I bázisra és nek e beli x i i I gyenge koordináta rendszerére nézve röviden: kapcsolatosak, ha minden s, t S és f D esetén T µs,t Ife = AdτT µτ,t f. Most adunk egy kritériumot arra, hogy egy M 1 beli hemicsoport kapcsolatos legyen egy hármassal, M 1 /H beli H H hemicsoportok segítségével. Legyen x i i I egy projektív gyenge koordináta rendszere nek e ben X i i I re nézve. Legyen a, B, η P bv R +,. Minden H H esetén definiáljuk az a H : R + R I H, a H t = a H i t i IH függvényt a következő módon: a H i t := a i t + x H i p H y x i y ηdy [0, t]. Az integrál létezik, mert x H i p H x i C e. Továbbá definiáljuk a következő B H : R + M + I H függvényt: B H t := b ij t i,j IH. Végül tekintsük a következő η H M + /H R + mértéket: ]s,t] η H dy [0, t] := η H t dy ahol η H t := p H η t, η t dy := ηdy [0, t]. Nyilván a H, B H, η H P bv R +, /H. 7.2.3 Állítás. Legyen egy Lie projektív csoport, X i i I egy projektív bázis L ben és x i i I egy projektív gyenge koordináta rendszere nek e ben az X i i I re nézve. Legyen minden H H esetén x H i i IH egy olyan koordináta rendszere /H nek e ben az L/H beli dp H X i i IH bázisra nézve, hogy x i y = x H i p H y ha y U H és i I H. Ekkor egy M 1 beli µs, t s,t S hemicsoport és egy a, B, η P bv R +, hármas pontosan akkor kapcsolatosak az L beli X i i I bázisra és nek az x i i I gyenge koordináta rendszerére nézve, ha minden H H esetén az M 1 /H beli p H µs, t s,t S hemicsoport kapcsolatos a fent definiált a H, B H, η H P bv R +, /H hármassal az L/H beli dp H X i i IH bázisra és /H nek az x H i i IH koordináta rendszerére nézve.

7.3. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 159 Bizonyítás. Nyilván minden s, t S, H H és f H D/H esetén T ph µs,t If H e = T µs,t If H p H e. Továbbá dp H X i T ph µτ,tf H e a H i dτ i I ]s,t] H = i I X i T µτ,t f H p H e a i dτ ]s,t] + X i T µτ,t f H p H ex H i i I H ]s,t] p H y x i y ηdy dτ, /H ]s,t] = ]s,t] Következésképpen ]s,t] i,j I H ]s,t] = i,j I dp H X i dp H X j T ph µτ,tf H e b H ij dτ ]s,t] X i X j T µτ,t f H p H e b ij dτ, T ph µτ,tf H y T ph µτ,tf H e i I H ]s,t] dp H X i T ph µτ,tf H ex H i y T µτ,t f H p H y T µτ,t f H p H e i I H ]s,t] A H dτt ph µτ,tf H = X i T µτ,t f H p H ex H i ]s,t] p H y η H dy dτ AdτT µτ,t f H p H, ηdy dτ. amiből következik az állítás. 7.3 Háromszögrendszerek konvergenciája Alkalmazva a Lie csoportokon értelmezett valószínűségi mértékekből álló háromszögrendszerek konvergenciájáról szóló 6.6.1 Tételt, a következő konvergencia-tételt kapjuk:

160 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON 7.3.1 Tétel. Legyen egy Lie projektív csoport, X i i I egy projektív bázis L ben és x i i I egy projektív gyenge koordináta rendszere nek e ben X i i I re vonatkozóan. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, hogy k n 0 = 0 és k n R + = Z +. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy i létezik olyan η LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén k nt lim f dµ nl = fy ηdy [0, t], ii létezik olyan B : R + M I, Bt = b i,j t i,j I folytonos függvény, hogy minden t D és i, j I esetén k n t lim x i x j dµ nl = b i,j t + x i yx j y ηdy [0, t], iii létezik olyan a : R + R I, at = a i t i I folytonos függvény, hogy minden t D és i I esetén k n t x i dµ nl = a i t, lim iv minden T > 0 és i I esetén lim lim sup δ 0 Ekkor a, B, η P bv R +, és sup t s δ 0 s t T k n t l=k n s+1 x i dµ nl = 0. *knt T µ nl w νs, t ha s, t S, l=k n s+1 ahol νs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely az a, B, η hármassal kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint az L beli X i i I bázisra és a beli x i i I gyenge koordináta rendszerre vonatkozóan. Továbbá legyen ξ t t 0 egy olyan beli értékeket felvevő, független bal növekményű DR +, beli trajektóriájú folyamat, mely a νs, t s,t S hemicsoportnak felel meg. Tekintsük a következő állításokat: α νs, t s,t S egy diffúziós hemicsoport.

7.3. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 161 β A ξ t t 0 folyamat trajektóriái 1 valószínűséggel folytonosak. γ η = 0. Ekkor β és γ ekvivalensek, valamint α ból következik β és γ. Ha még azt is feltesszük, hogy v minden f C e + Lipschitz folytonos, esetén a t fy ηdy [0, t], R + ból R be képező függvény vi minden i I esetén a t b i,i t, R + ből R be képező függvény Lipschitz folytonos, vii létezik olyan n részsorozat, hogy minden i I s, t lim sup n k n t l=k n s+1 esetén az x i dµ n l S ből R be képező függvény Lipschitz folytonos, akkor α, β és γ ekvivalensek. Bizonyítás. Minden H H esetén definiáljuk az a H : R + R I H függvényt, a B H : R + M + I H mátrix értékű függvényt és az η H M + /H R + mértéket úgy, mint a 7.2.3 Állítás előtt. Definiáljuk a µ H nl M1 /H mértékeket a következő módon: µ H nl := p Hµ nl. Megmutatjuk, hogy a 6.6.1 Tétel i iv feltételei teljesülnek a {µ H nl : n, l N2 } mértékekre, a {k n : n N} függvényekre és az a H, B H, η H hármasra. Nyilván f H C e /H esetén f H p H C e, ezért az i feltétel miatt minden t D esetén k n t lim /H f H dµ H nl = lim = k n t f H p H dµ nl f H p H y ηdy [0, t] = /H f H y η H dy [0, t]. Minden i, j I H esetén x H i p H x H j p H x i x j C e, ezért az i feltétel miatt minden t D esetén k nt lim x H i p H x H j p H x i x j dµnl = x H i p H yx H j p H y x i yx j y ηdy [0, t],

162 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON amiből a ii feltétel felhasználásával adódik k n t lim /H x H i x H j dµ H nl = lim k n t = b ij t + = b H ij t + x H i p H x H j p H dµ nl x H i p H yx H j p H y ηdy [0, t] /H x H i yx H j y η H dy [0, t]. Minden i I H esetén x H i p H x i C e, ezért az i feltétel miatt minden t D esetén k n t lim x H i p H x i dµ nl = amiből a iii feltétel felhasználásával adódik k n t lim x H i /H dµ H nl = lim k n t = a i t + x H i x H i p H y x i y ηdy [0, t], p H dµ nl x H i p H y x i y ηdy [0, t] = a H i t. Az i feltételbeli konvergencia nyilván egyenletes a [0, T ] intervallumon minden T > 0 esetén, hiszen minden f C e + esetén a t k n t f dµ nl, n N, függvények monoton növekvőek és folytonosak, és a t fy ηdy [0, t] limesz függvény folytonos. Tehát minden T > 0 és f C e + esetén lim lim sup δ 0 sup t s δ 0 s t T k n t l=k ns+1 lásd 6.4.1 Lemma. Következésképpen az x H i dµ H nl x i dµ nl + /H f dµ nl = 0 x H i p H x i dµ nl egyenlőtlenségből x H i p H x i C e + alapján azt kapjuk, hogy lim lim sup δ 0 sup t s δ 0 s t T k n t l=k n s+1 x H i /H dµ H nl = 0.

7.3. HÁROMSZÖRENDSZEREK KONVERENCIÁJA 163 Tehát alkalmazhatjuk a 6.6.1 Tételt. Azt kapjuk, hogy a H, B H, η H P bv R +, /H minden H H esetén, ezért a, B, η P bv R +,. Továbbá µ H n s, t := *k nt l=k ns+1 µ H nl T w ν H s, t ha s, t S, ahol ν H s, t s,t S egy folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 /H ben. Minden s, t S esetén a ν H s, t H H mérték család projektív rendszert alkot, hiszen ha M, H H, M H akkor p M H ν M s, t = lim p M H *knt l=k ns+1 = lim *knt µ M nl l=k n s+1 = lim p H µ nl = lim *knt l=k n s+1 *knt l=k ns+1 p M H p M µ nl µ H nl = ν H s, t. Ezért Heyer [48, Theorem 1.2.17] alapján létezik olyan νs, t M 1 /H mérték, hogy Jelölje s, t S és n N esetén p H νs, t = ν H s, t ha H H. ν n s, t := *k nt l=k n s+1 Ekkor νnl Hs, t = p Hν nl s, t, és minden s, t S, H H és f H K/H esetén lim f H p H y µ n s, tdy = lim f /H H y µ H n s, tdy = f H y ν H s, tdy = f H p H y νs, tdy, /H és mivel az {f H p H : f H K/H, H H} halmaz sűrű K ben, így µ nl. µ n s, t Tw νs, t ha s, t S. Véve s, t S esetén olyan s l és t l sorozatokat R + ben, hogy s l s, t l t és s l, t l S, azt kapjuk, hogy minden H H és f H K/H esetén lim f H p H y νs l, t l dy = lim f l /H H y ν H s l, t l dy = f H y ν H s, tdy = f H p H y νs, tdy, /H tehát νs, t s,t S egy hemicsoport M 1 ben.

164 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON A 6.6.1 Tételből még az is következik, hogy minden H H esetén a ν H s, t s,t S hemicsoport kapcsolatos az a H, B H, η H P bv R +, /H hármassal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint az L/H beli dp H X i i IH bázisra és a /H beli x H i i IH koordináta rendszerre nézve. Ezért a 7.2.3 állítás alapján azt kapjuk, hogy a νs, t s,t S hemicsoport kapcsolatos az a, B, η hármassal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint az L beli X i i I bázis és a beli x i i I koordináta rendszerre nézve. Továbbá minden H H esetén a ν H s, t s,t S hemicsoport folytonosan gyengén korlátos változású, tehát az s, t T ν H s,t If H e = T νs,t If H p H e leképezés folytonosan korlátos változású minden f H D/H függvény esetén. Következésképpen a νs, t s,t S hemicsoport is folytonosan gyengén korlátos változású, így az első rész bizonyítása készen van. A 6.2.2 Lemma alapján α ból következik β. A 6.6.1 Tétel szerint minden H H és f H D/H esetén az F H f H : s, t T ν H s,t If H e A H t A H sf H függvény, mely S et R be képezi, folytonosan korlátos változású. Könnyen lehet ellenőrizni, hogy minden t R + és f H D/H esetén Atf H p H = A H tf H. Tehát azt kapjuk, hogy minden f D esetén az F f : s, t T νs,t Ife At Asf függvény, mely S et R be képezi, folytonosan korlátos változású, tehát a 6.2.2 Lemma alapján a β és γ állítások ekvivalensek. Az v vii feltételekből következik, hogy minden H H esetén a t f H y η H dy /H [0, t], R + et R be képező függvény Lipschitz folytonos ha f H C e /H +, a t i I H b i,i t, R + et R be képező függvény Lipschitz folytonos, és létezik olyan n részsorozat, hogy minden i I H esetén az s, t lim sup n k n t l=k n s+1 x H i /H dµ H n l S et R be képező függvény Lipschitz folytonos. Tehát, mint a 6.6.1 Tétel bizonyításában, azt kapjuk, hogy minden H H esetén az η H = 0 tulajdonságból következik, hogy minden f H D/H esetén az F H f függvény Lipschitz folytonos, így minden f D esetén H az F f függvény Lipschitz folytonos. Következésképpen, újra a 6.2.2 Lemma alapján, az α, β és γ állítások ekvivalensek.

7.4. HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 165 7.4 Korlátos változású hemicsoportok paraméterezése 7.4.1 Tétel. Legyen egy Lie projektív csoport, és legyen a, B, η P bv R +,. Ekkor pontosan egy olyan νs, t s,t S hemicsoport létezik M 1 ben, mely kapcsolatos az a, B, η hármassal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Továbbá a νs, t s,t S hemicsoport folytonosan gyengén korlátos változású. Bizonyítás. Először az egyértelműséget bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy két hemicsoport van M 1 ben: νs, t s,t S és ν s, t s,t S, melyek az a, B, η hármassal kapcsolatosak. Ekkor a 7.2.3 Állítás alapján minden H H esetén az M 1 /H beli p H νs, t s,t S és p H ν s, t s,t S hemicsoportok kapcsolatosak az a H, B H, η H P bv R +, /H hármassal. A 6.5.2 Tétel szerint p H νs, t = p H ν s, t teljesül minden s, t S és H H esetén. Heyer [48, Theorem 1.2.17] alapján azt kapjuk, hogy νs, t = ν s, t minden s, t S esetén. Most a létezést fogjuk bizonyítani. Legyen f C 2, t R + és y esetén Ñtfy := a i t X i fy + 1 b i,j t 2 X i Xj fy i I i,j I + fyz fy X i fyx i x ηdy [0, t]. i I Born [15, Theorem 5] alapján azt kapjuk, hogy minden s, t S esetén az f Ñt Ñsf, C2 t C 0 be vivő leképezés egybeesik C 2 n valamely M 1 beli, egyértelműen létező ν r s, t r 0 konvolúciós félcsoport Ñs, t infinitézimális generátorával. Legyen minden H H, f H C 2 /H, y és t R + esetén ÑHtf H p H y := Ñtf p H y. Legyen a H, B H, η H P bv R +, /H úgy definiálva, mint a 7.2.3 Állítás előtt. Könnyen ellenőrízhető, hogy Ñ H tf H y = i I H a H i t dp H X i f H y + 1 2 minden f H C 2, t R + + f H yz f H y /H i I H és y /H esetén. b H i,jt dp H X i dp H X j f H y i,j I H dph X i f H yx H i x η H dy [0, t] Legyen minden s, t S és H H esetén ÑHs, t := ÑHt ÑHs. Ekkor valójában ÑHs, t az M 1 /H beli p H ν r s, t r 0 konvolúciós félcsoport infinitezimális generátorának megszorítása C 2 /H re. Mint a 6.7.1 Tétel bizonyításában, azt kapjuk, hogy *[nt] p l 1 H νr, l Tw n n ν H s, t ha s, t S, l=[ns]+1

166 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON ahol ν H s, t s,t S egy olyan M 1 /H beli folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport, mely az a H, B H, η H hármassal kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Minden s, t S esetén a ν H s, t H H család egy projektív rendszer, hiszen ha M, H H, M H akkor p M H ν M s, t = p M H lim p l 1 M νr *[nt], l n n l=[ns]+1 = lim p l 1 H νr *[nt], n n l = νh s, t. l=[ns]+1 Megint Heyer [48, Theorem 1.2.17] alapján azt kapjuk, hogy létezik olyan νs, t M 1 mérték, melyre p H νs, t = ν H s, t. Mint a 7.3.1 Tétel bizonyításában, meg lehet mutatni, hogy νs, t s,t S egy olyan hemicsoport M 1 ben, mely az a, B, η hármassal kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. 7.4.2 Tétel. Legyen egy Lie projektív csoport, és legyen νs, t s,t S egy folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben. Ekkor pontosan egy olyan a, B, η P bv R +, hármas létezik, mely kapcsolatos a νs, t s,t S hemicsoporttal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Az a, B, η hármast a νs, t s,t S [nt] fy ηdy [0, t] = lim [nt] b i,j t = lim [nt] a i t = lim hemicsoport a következő módon határozza meg: fy ν l 1 n, l n dy, f Ce, x i yx j y ν l 1, l n n dy x i yx j y ηdy [0, t], x i y ν l 1 n, l n dy. Továbbá minden f C 2 és t R + [nt] Atf = lim esetén fy fe dν l 1 n, l n dy, ahol A : R + P az a, B, η hármashoz rendelt leképezés. Bizonyítás. Először az egyértelműséget bizonyítjuk. Tegyük fel, hogy két hármas van: a, B, η és ã, B, η a P bv R +, paraméterhalmazban, melyek a νs, t s,t S hemicsoporttal kapcsolatosak a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Legyen H H esetén az a H, B H, η H és ã, B, η, P bv R +, /H beli hármasok úgy definiálva, mint

7.4. HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 167 a 7.2.3 Állítás előtt. A 7.2.3 Állítás alapján az a H, B H, η H és ã H, B H, η H hármasok kapcsolatosak az M 1 /H beli p H νs, t s,t S folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoporttal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Tehát a 6.7.4 Tétel alapján a H, B H, η H = ã H, B H, η H minden H H esetén. Ezért nyilván B = B. Minden t R + esetén az η H t H H és η H t H H családok projektív rendszert alkotnak, tehát Heyer [48, Theorem 1.2.17] szerint η t = η t, ezért η = η, ami miatt a = ã is teljesül. Most a létezést fogjuk bizonyítani. A feltételek szerint minden f C 2 függvény esetén az s, t T νs,t Ife leképezés folytonosan korlátos változású. Ezért minden H H és f H C 2 /H esetén az s, t T νs,t If p H e = T ph νs,t If H e leképezés is folytonosan korlátos változású. Tehát p H νs, t s,t S egy folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 /H ban. Alkalmazva a 6.7.4 Tételt, azt kapjuk, hogy létezik olyan a H, B H, η H P bv R +, /H hármas, mely kapcsolatos a p H νs, t s,t S hemicsoporttal, és az a H, B H, η H hármast a p H νs, t s,t S hemicsoport a következő módon határozza meg: /H [nt] f H y η H dy [0, t] = lim [nt] b H i,jt = lim [nt] a H i t = lim /H /H /H f H y p H ν l 1 n, l n dy, f H C e /H, x H i yx H j y p H ν l 1, l n n dy x H i yx H j y η H dy [0, t], /H x H i y p H ν l 1 n, l n dy. Legyen a, B, η a tételben definiált hármas. Ekkor könnyen megmutatható, hogy az a, B, η és az a H, B H, η H H H családok között ugyanolyan összefüggés áll fenn, mint amilyen a 7.2.3 Állítás előtt van leírva, ezért a, B, η P bv R +,. A 7.2.3 Állítás alapján azt is kapjuk, hogy az a, B, η hármas kapcsolatos a νs, t s,t S hemicsoporttal a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Továbbá, mint a 6.7.4 Tételben, minden H H, f H C 2 /H és t R + esetén [nt] A H tf H = lim f H y f H e p H dν l 1 n, l n dy, ahol A H : R + P az a leképezés, mely az a H, B H, η H hármashoz van rendelve. Könnyű ellenőrízni, hogy Atf H p H = A H tf H, tehát megkapjuk a bizonyítandó összefüggést At re.

168 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON 7.5 Példák 7.5.1 Példaként olyan Lie projektív csoportokra, melyekre a 7. fejezet eredményei alkalmazhatóak, megemlítjük a Moore csoportokat, melyek azok a lokálisan kompakt csoportok, amelyeknek az összes irreducibilis unitér reprezentációi véges dimenziósak. Speciálisan, minden kompakt csoport Lie projektív. A Moore csoportok struktúrája le van írva például Heyer [48, Theorem N, p.15] tételében. Kompakt nem Lie csoportok két osztályára megadunk Lie rendszert, projektív bázist, és leírjuk a C k beli függvényeket felhasználva Born [13], [14] eredményeit. 7.5.2 A végtelen dimenziós tórusz. Jelölje T := {z C : z = 1} az 1 dimenziós tórusz csoportot. Bármely I végtelen halmaz esetén a T I csoport egy összefüggő és lokálisan összefüggő kompakt, kommutatív csoport, mely akkor és csak akkor metrizálható, ha I megszámlálható. Mivel I végtelen, ezért { nem Lie csoport. Jelölje } FI az I véges részhalmazainak rendszerét. Ekkor H := {1} J T I \J : J FI egy Lie rendszere nek. Nyilván J, K FI esetén a dp J K differenciál a kanonikus leképezés R J ből R K ra. Tehát a csoport L Lie algebrája izomorf R I vel mint Lie algebra, és az X k k I, X k := δ kj j I, k I elemek projektív bázist alkotnak L ben. Lásd Born [14]. Most az f C k függvények rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy az {α I j : X α f = 0 ha j k} halmaz megszámlálható, tehát ezek a függvények a := T I csoportnak csak megszámlálható sok koordinátájától függenek, mégpedig k szor differenciálható módon. Mivel nem Lie csoport, ezért a C k tér tartalmazza a véges sok koordinátától k szor differenciálható módon függő függvényekből álló C k teret, de nem esik egybe vele. Bendikov [4] ezeket a differenciálható függvényeket beli értékeket felvevő Brown folyamatokkal kapcsolatban vizsgálta. 7.5.3 A p adikus szolenoid csoport a racionálisok diszkrét topológiával ellátott Q d additív csoportjának Σ := Q d = HomQ d, T karakter csoportja. Σ egy kompakt, kommutatív csoport, mely metrizálható, összefüggő, és létezik benne egy egy paraméteres részcsoport. Σ nem Lie csoport, de Lie projektív. Pontryagin dualitási tételéből következik Q d = Σ = {χ q : q Q}, ahol χ q χ := χq ha χ Σ és q Q. Adott k N esetén tekitsük az N k := A Σ, {χ 1/k! } annihilátort Σ ban. Ekkor {N k : k N} egy Lie rendszer Σ ra. Valóban: N k = A Σ, {χ z/k! : z Z}, tehát N k N k+1 minden k N esetén. Nyilván N k kompakt minden k N esetén, és a elfand Raikov tétel alapján {Nk : k N} = {e}. Mivel Σ/N k = AΣ, N k = Z/k! = Z, így Σ/N k = Z = T, {N k : k N} egy Lie rendszer Σ ra. Megjegyezzük, hogy a χ 1/k! karakterek a p k : Σ Σ/N k kanonikus leképezéseknek felelnek meg, és a p n m : Σ/N n Σ/N m, n, m N, m n kanonikus leképezésekre teljesül p n ms = s n!/m! minden s Σ/N n = T esetén. Következésképpen Σ és lim T topoló- n N

7.5. PÉLDÁK 169 gikusan izomorfak az N, T, p n m projektív rendszerre nézve. Másrészt LΣ = lim R n N az N, R, dp n m projektív rendszerre nézve. Mivel n m esetén a dp n m differenciálok izomorfizmusok R ben, így LΣ = R. És mivel a dp n : LΣ LΣ/N n kanonikus leképezések is izomorfizmusok, így R \ {0} minden eleme projektív bázist alkot LΣ ban. Minden C k Σ beli függvény N k invariáns a Σ Lie rendszerének valamely N k elemére. És, mint a 7.5.2 ben, C k Σ C k Σ. Ebből speciálisan az is következik, hogy Σ nem lokálisan összefüggő. 7.5.4 Egy atomfizikában felmerülő konvolúciós hemicsoport. Lásd Hantsch, von Waldenfels [38], Born [13] és Heyer [50]. Legyen egy második megszámlálható Lie csoport, U = U n : n N beli értékeket felvevő független, azonos eloszlású véletlen elemek sorozata valamely Ω, A, P valószínűségi mezőn, X = Xt : t R + egy beli értékeket felvevő, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat az Ω, A, P valószínűségi mezőn, és Π = Πt : t R + egy Z + beli értékeket felvevő Poisson folyamat az Ω, A, P valószínűségi mezőn folytonos v intenzitással, azaz Π sztochasztikusan folytonos, független növekményű folyamat, és valamely v : R + R monoton növekvő, folytonos függvénnyel teljesül vt vs vt vsk P [Πt Πs = k] = e k! ha k Z + és s, t S. Feltesszük, hogy U, X és Π függetlenek. Továbbá, legyenek T n, n Z + a következő valós értékű valószínűségi változók: T 0 := 0, T n := inf{t R + : Πt = n}. Most tekitsük a következő beli értékeket felvevő folyamatokat: Πt Y t := XT j 1 1 XT j U j XT Πt 1 Xt = j=1 Πt XT j U j XT j 1 Xt, j=1 Πt W t := ahol az üres szorzat definíció szerint egyenlő az e egységelemmel. Ekkor a következők érvényesek: j=1 W egy olyan sztochasztikusan folytonos, függtelen bal növekményű folyamat, melyhez tartozó µs, t : s, t S hemicsoport folytonosan gyengén korlátos változású, és a U j

170 7. FEJEZET. HEMICSOPORTOK LIE PROJEKTÍV CSOPORTOKON hozzá tartozó A W : R + P generáló funkcionál előáll A W tf = vt f fe du 1 P alakban minden f D, t R + esetén. Valóban, a megfelelő a, B, η P bv R +, hármasra teljesül a i t = vt x i du 1 P ha i I, Bt = 0, és ηdy [0, t] = vtu 1 P. Y egy sztochasztikusan folytonos, függtelen bal növekményű folyamat. Ha az X folyamat folytonosan gyengén korlátos változású és a hozzá tartozó generáló leképezést A X jelöli, akkor az Y folyamat generáló funkcionálja A X + A W, ahol A W a fenti alakban áll elő. Jelölje A valamely folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport generáló leképezését, legyen ν L, és tegyük fel, hogy v : R + R egy monoton növekvő, folytonos függvény. Legyen f D, t R + esetén A 1 tf := Atf + vt f fe dν. Ekkor A 1 egy egyértelműen meghatározott folytonosan gyengén korlátos változású konvolúciós hemicsoport generáló leképezése.

8. fejezet Funkcionális centrális határeloszlás tételek A 6. fejezetben beláttuk, hogy az M 1 beli µs, t s,t S folytonosan korlátos változású konvolúciós hemicsoportok és az a, B, η P bv R +, paraméterek között bijekciót hoz létre a T µs,t Ife = AdτT µτ,t f, s, t S, f D ]s,t] gyenge backward evolúciós egyenlet, ahol A : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melyre minden t R + esetén az At generáló funkcionál kanonikus dekompozíciója at, Bt, ηt t 0, ahol ηtdy := ηdy [0, t]. Ennek a fejezetnek a célja az, hogy az összes M 1 beli hemicsoportot parametrizáljuk azzal a PR +, paraméterhalmazzal, mely olyan m, B, η hármasokból áll, ahol m : R + folytonos és m0 = e, B : R + M + d monoton növekvő, folytonos és B0 = 0, valamint η LR +,. A bijekciót az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet teremti meg: minden s, t S és f D esetén T µ s,t Ife = ]s,t] Ãdτg τ,t, ahol µs, t := ε ms µs, t ε mt 1, g τ,t y := T µ τ,t fmτymτ 1, és az à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, B, η. Azt is be fogjuk látni, hogy ez a reláció ekvivalens azzal, hogy a µs, t s,t S hemicsoportnak megfelelő mérték a DR +, Szkorohod téren éppen az m, B, η hoz tartozó eltolt martingál probléma megoldása. Ennek az eltolásnak az az értelme, hogy ki kell operálni az m : R + függvényt, mert az lehet, hogy nem korlátos változású lásd Stroock, Varadhan [95], Feinsilver [29]. 171

172 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Ugyanúgy, ahogy a 6. fejezetben, most is először egy konvergencia tételt bizonyítunk a µ n s, t := *k nt µ nl l=k n s+1 konvolúciószorzatra. A 8.7 paragrafusban ki fog derülni, hogy a 8.3 paragrafusban adott elégséges feltételek egyúttal szükségesek is! Az alapötlet az, hogy a µ nl mértékeket a lokális várhatóértékükkel toljuk el. Véve egy x 1,..., x d D elsőfajú, ferdén szimmetrikus kanonikus koordináta rendszert, mely adaptált az {X 1,..., X d } bázishoz és valamely kompakt U 0 Ue környezetben érvényes, legyen y U 0 esetén d 1/2 y := x i y 2. Nyilván létezik olyan ϱ 0 > 0, hogy {y : y ϱ 0 } U 0. Feltehetjük, hogy ϱ 0 = 1 egyébként a normát módosíthatjuk megfelelően. Legyen ϱ [0, 1] esetén V ϱ := {y : y ϱ}. Azt mondjuk, hogy a µ M 1 mértéknek az m U 0 pont lokális várhatóértéke, amennyiben x i m = x i y µdy ha i {1,..., d}. Ha a µ M 1 mértéknek létezik m U 0 lokális várhatóértéke, akkor definiálhatjuk a lokális kovariancia mátrixát is a következő módon: B = b ij i,j=1,...,d, b ij := x i y x i mx j y x j m µdy. Nyilván B M + d. A {µ nl : n N, 1 l k n t}, t > 0 háromszögrendszerek infinitezimalitása garantálja, hogy tetszőleges t > 0 és elegendően nagy n N esetén léteznek az {m nl : n N, 1 l k n t} lokális várhatóértékek, így a fenti konvolúciószorzatot a következő alakban írhatjuk: ahol µ n s, t := ε mn s 1 *k nt l=k n s+1 ε mn1...m n,l 1 µ nl ε m 1 ε nl...m 1 n1 mnt, m n t := k nt m nl.

8.1. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜVÉNYEK TEREI 173 Ha még azt is feltesszük, hogy lim m n t = mt, t R +, ahol m : R + folytonos, akkor minden t R + esetén létezik olyan K kompakt halmaz ben, melyre teljesül {m nl : n N, 1 l k n t} K. Ezért a 8.2 paragrafusban olyan µ n s, t := *k nt l=k n s+1 ε znl µ nl ε m 1 nl z 1 n,l konvolúciószorzatokkal foglalkozunk, ahol z nl K, n, l N, és K egy rögzített kompakt halmaz ben. Ehhez viszont először a C 2, C2 és C 2,2 Banach terek olyan módosításait kell bevezetni, melyek bizonyos értelemben egyenletesen K differenciálható függvényekből állnak azaz a deriváltakat definiáló konvergenciák egyenletesen teljesülnek a z K elemmel történő belső automorfizmusra nézve. Szükségünk lesz még y esetén arra az Ad y : L L lineáris leképezésre, melyre teljesül exptad y X = y exptxy 1, X L, t R. Az {X 1,..., X d } bázisban az Ad y lineáris leképezés mátrixát jelölje Ad ij y i,j=1,...,d, azaz Ad y X j = d Ad ij y X i. Megjegyezzük, hogy az y Ad y, ből M d be vivő leképezés egy korlátlanul differenciálható homomorfizmus. 8.1 Differenciálható függvények terei Szükségünk van a C 2 és C 2 függvényterek módosított változataira. Ha az f : R függvény differenciálható az y U 0 pontban, akkor léteznek a i fy := d dt f exp d tx i + x l yx l t=0 parciális deriváltak i = 1,..., d esetén. Megjegyezzük, hogy v esetén X i fv = i R v fe = i u=e fuv, Xi fv = i L v fe = i u=e fvu, de y e esetén i fy függ a kanonikus koordináták megválasztásától. Legyen K egy kompakt halmaz ben. Egy f C 0 függvényt egyenletesen balról K differenciálhatónak nevezünk, ha L1 a i u=y fzum 1 z 1 v parciális deriváltak léteznek minden v, z, y, m K V 2 1 és i = 1,..., d esetén,

174 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK L2 a v, z, y, m i u=y fzum 1 z 1 v függvények, melyek K V1 2 ből R be képeznek, C 0 K V1 2 ben vannak minden i = 1,..., d esetén, L3 minden i = 1,..., d esetén a 1 lim f z exp tx i + t 0 t d x l yx l m 1 z 1 v fzym 1 z 1 v = i u=y fzum 1 z 1 v konvergenciák v, z, y, m K V 2 1 ben egyenletesen teljesülnek. Megjegyezzük, hogy az egyenletesen balról K differenciálhatóság függ a kanonikus koordináták választásától és a V 1 környezettől is. Hasonlóan definiáljuk a i j fy := 2 t i t j f exp d x l y + t l X l t=0 parciális deriváltakat és egy f C 0 függvény kétszer egyenletesen balról K differenciálhatóságát. Megjegyezzük, hogy ahol ϱ ij k i j fe = X i X j d k=1 ϱ ij k X k fe := X ix j x k e lásd Feinsilver [29], és a koordináták választása miatt ϱ ij k = ϱji k. Jelölje C 2,K a kétszer egyenletesen balról K differenciálható f C 0 függvények halmazát. Legyen f C 2,K esetén f 2,K := f + + d i sup sup sup u=y fzum 1 z 1 v v z K y,m V 1 d i sup sup sup j u=y fzum 1 z 1 v. v z K y,m V 1 i,j=1 Egy f C 0 függvény egyenletesen jobbról K differenciálhatóságát analóg módon definiáljuk, azzal a különbséggel, hogy például a i u=y fzum 1 z 1 v parciális derivált helyett a i u=y fvzum 1 z 1 parciális deriváltat használjuk. Jelölje C 2,K a kétszer egyenletesen balról K differenciálható f C 0 függvények halmazát. Legyen f C 2,K esetén f 2,K := f + + d i sup sup sup u=y fvzum 1 z 1 v z K y,m V 1 d i sup sup sup j u=y fvzum 1 z 1. u z K y,m V 1 i,j=1 Differenciálható függvényeknek még egy terére szükségünk van. Jelölje C 2,2,K azon f C 0 függvények halmazát, melyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek:

8.1. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜVÉNYEK TEREI 175 LR1 f C 2,K C 2,K, LR2 a i j u=y i j ũ=ỹ fzum 1 z 1 v zũ m 1 z 1 parciális deriváltak léteznek minden v, z, z, y, ỹ, m, m K 2 V 4 1 és i, j, i, j = 1,..., d esetén, LR3 a v, z, z, y, ỹ, m, m i j u=y i j ũ=ỹ fzum 1 z 1 v zũ m 1 z 1 függvények, melyek K 2 V 4 1 ből R be képeznek, C 0 K 2 V 4 1 ben vannak minden i, j, i, j = 1,..., d esetén, LR4 minden i, j, i, j = 1,..., d esetén a i j u=y i j ũ=ỹ fzum 1 z 1 v zũ m 1 z 1 konvergenciák v, z, z, y, ỹ, m, m K 2 V 4 1 ben egyenletesen teljesülnek. Legyen f C 2,2,K esetén f 2,2,K := f 2,K + + d sup z K i sup u=y fzum 1 z 1 y,m V 1 d i sup sup j u=y fzum 1 z 1. z K y,m V 1 2,K i,j=1 2,K Legyen ϱ [0, 1] és m V 1 esetén R 2 f, ϱ, K, m := R 2 f, ϱ, K, m := d i sup sup sup j u=y fzum 1 z 1 v i j u=m fzum 1 z 1 v v z K y V ϱ m i,j=1 d i sup sup sup j u=y fvzum 1 z 1 i j u=m fvzum 1 z 1 v z K y V ϱ m i,j=1 R 2,2 f, ϱ, K, m := R 2 f, ϱ, K, m + + d sup sup z K y V i,j=1 1 d sup z K sup y V 1 R i u=y fzum 1 z 1, ϱ, K, m R i j u=y fzum 1 z 1, ϱ, K, m ahol megfelelően f C 2,K, f C 2,K illetve f C 2,2,K. 8.1.1 Lemma. Legyen K egy kompakt halmaz ben. Ekkor a következő állítások érvényesek: i C 2,K, 2,K, C 2,K, 2,K, C 2,2,K, 2,2,K Banach terek és D C 2,2,K C 2,K C 2,K C 2,K C 2,K X 0 2 C 0.

176 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK ii Minden ϱ [0, 1] és m V 1 esetén R 2 f, ϱ, K, m < ha f C 2,K R 2 f, ϱ, K, m < ha f C 2,K R 2,2 f, ϱ, K, m < ha f C 2,2,K. iii Minden f C 2,K esetén létezik olyan ω f,k : R + R + növekvő függvény, hogy lim t 0 ω f,k t = 0 és R 2 f, ϱ, K, m ω f,k ϱ + m. Hasonló állítások érvényesek a R 2 és R 2,2 függvényekre is. Bizonyítás. Először megjegyezzük, hogy minden h C 0 K V 2 1 függvény egyenletesen folytonos abban az értelemben, hogy tetszőleges ε > 0 esetén létezik olyan U Ue környezet, hogy hv, z, y, m hv, z, y, m < ε teljesül amennyiben v 1 v, z 1 z, y 1 y, m 1 m U ez úgy bizonyítható, mint a Theorem 4.15 tétel a Hewitt, Ross [46] könyvben. Most legyen f n n 1 egy Cauchy sorozat a C 2,K térben. Mivel f n n 1 Cauchy sorozat a C 0 térben is, ezért létezik olyan f C 0, hogy f n f teljesül a C 0 térben. Továbbá rögzített v, z, y, m K V1 2 esetén a i u=y f n zum 1 z 1 v n 1 sorozat Cauchy sorozat R ben, így definiálhatunk egy g : K V 2 1 R függvényt: gv, z, y, m := lim i u=y f n zum 1 z 1 v. Az L3 beli egyenletes konvergenciából arra következtethetünk, hogy a v, z, y, m i u=y f n zum 1 z 1 v, n N, függvények egyenlő mértékben egyenletesen folytonosak. Ezért ahogy a valós analízisben, itt is beláthatjuk, hogy gv, y, z, m = i u=y fzum 1 z 1 v és hogy az f C 0 függvényre teljesülnek az L1, L2, L3 tulajdonságok lásd a középértéktétel alkalmazását Born [14] cikkében. Hasonló érvelést használva a i j u=y f n zum 1 z 1 v n 1 sorozatra, azt kapjuk, hogy f C 2,K, így C 2,K, 2,K Banach tér. Hasonlóan lehet kezelni a másik két teret is. Nyilván D C 2,K, tehát i bizonyítása kész. ii és iii következik a megfelelő parciális deriváltak korlátosságából és egyenletes folytonosságából.

8.1. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜVÉNYEK TEREI 177 8.1.2 Lemma. Legyen µ M 1 egy olyan valószínűségi mérték, melynek létezik m U 0 lokális várhatóértéke és B lokális kovarianciamátrixa. Legyen K egy kompakt halmaz ben, z K és legyen µ := ε z µ ε m 1 z 1. Legyen ϱ ]0, 1]. Ekkor i T µ D C 2,2,K, T µ C 2,K C 2,K, és T µ f 2,K f 2,K, R 2 T µ f, ϱ, K, m R 2 f, ϱ, K, m minden f C 2,K esetén, ii minden f C 2,K esetén T µ Ife b f 2,K µ V ϱ + TrB + R 2 f, ϱ, K, mtrb, iii minden f C 2,K esetén T µ If b f 2,K µ V ϱ + TrB + R 2 f, ϱ, K, mtrb, iv minden f C 2,2,K esetén T µ If 2,K b f 2,2,K µ V ϱ + TrB + R 2,2 f, ϱ, K, mtrb, ahol b > 0 egy olyan konstans, mely csak a kanonikus koordinátáktól függ. Bizonyítás. i. Nyilván T µ f f. Továbbá i u=y T µ fzum 1 z 1 v = i u=y fzum 1 z 1 vwµdw sup i u=y fzum 1 z 1 v v és hasonló egyenlőtlenségek érvényesek a i j u=y T µ fzum 1 z 1 v parciális deriváltakra is. A többi állítás is hasonlóan bizonyítható. ahol ii. A bizonyítás hasonló mint iii esetében. iii. Az y V ϱ fvzym 1 z 1 = fv + pontban alkalmazva a Taylor formulát: + 1 2 d x i y x i m i u=m fvzum 1 z 1 d x i y x i mx j y x j m i j u=m fvzum 1 z 1 i,j=1 + Rf, v, z, y, m, Rf, v, z, y, m d = x i y x i mx j y x j m i,j=1 1 0 1 λ i j u=my,λ fvzum 1 z 1 i j u=m fvzum 1 z 1 dλ

178 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK és d my, λ := exp λx i y + 1 λx i mx i V ϱ m. Ezért tetszőleges v esetén T µ Ifv = fvzym 1 z 1 fv µdy = V ϱ + 1 2 fvzym 1 z 1 fv 1 2 d x i y x i m i u=m fvzum 1 z 1 d x i y x i mx j y x j m i j u=m fvzum 1 z 1 µdy i,j=1 d b ij i j u=m fvzum 1 z 1 + Rf, v, z, y, m µdy, V ϱ i,j=1 amiből már következik iii. iv. Minden v, z, y, m K V 2 1 esetén i u=y T µ Ifzum 1 z 1 v = T µ Igz,y,m i v ahol g z,y,m i v := i u=y fzum 1 z 1 v, ezért alkalmazhatjuk a iii egyenlőtlenséget a g z,y,m i függvényekre. A többi tag is hasonlóan kezelhető. 8.2 Feltétel háromszögrendszer lokális centráltjának relatív kompaktságára Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy növekvő függvény. Tegyük fel, hogy minden t R +, n N és l = 1,..., k n t esetén a µ nl mértéknek van m nl lokális várhatóértéke és B nl lokális kovarianciamátrixa. Ekkor definiálhatjuk a β n M + R + és η n M + R + mértékeket a következő módon: β n [0, t] := k n t TrB nl, η n dy [0, t] := k n t µ nl dy. Legyen K egy kompakt halmaz ben és z nl K minden n, l N 2 esetén. Legyen µ n s, t := *k nt l=k ns+1 µ nl := ε znl µ nl ε m 1 nl z 1 nl, Tnl := T µ nl, µ nl, Tn s, t := T µ n s,t, η n s, t := k n t l=k n s+1 µ nl.

8.2. HÁROMSZÖRENDSZER LOKÁLIS CENTRÁLTJA 179 8.2.1 Lemma. Legyen s, t, s, t S úgy, hogy [s, t] [s, t ], és legyen J 1 := ]s s, s s ], J 2 := ]t t, t t ]. Ekkor tetszőleges n N, f C 2,2,K és ϱ ]0, 1] esetén T n s, tfe T n s, t fe b f 2,K + f 2,K η n V ϱ J 1 J 2 + β n J 1 J 2 + bβ n J 1 J 2 max R 2 f, ϱ, K, m nl + R 2 f, ϱ, K, m nl. k n s s +1 l k n s s vagy k n t t +1 l k n t t Bizonyítás. Abban az esetben, amikor 0 s s t t, azt kapjuk, hogy T n s, t T n s, t = T n s, t T n t, t I + T n s, s I T n s, t. A 8.1.2 Lemma ii és iii pontja alapján T n s, t T n t, t Ife T n t, t If k nt k = T n,kn t +1 T n,l 1 T nt nl If l=k nt +1 T nl If l=k nt +1 b f 2,K η n V ϱ ]t, t] + β n ]t, t] + β n ]t, t] max k n t +1 l k n t R 2 f, ϱ, K, m nl. Hasonlóan a 8.1.2 Lemma i és ii pontja alapján T n s, s I T n s, t fe k ns l=k ns+1 b f 2,K η n V ϱ ]s, s ] + β n ]s, s ] + β n ]s, s ] T nl I T n,l+1 T T n,kn s n s, t fe Abban az esetben, amikor 0 s s t t, azt kapjuk, hogy max k ns+1 l k ns T n s, t T n s, t = T n s, s I T n s, t + T n s, ti T n t, t, R 2 f, ϱ, K, m nl. tehát megint lehet alkalmazni a 8.1.2 Lemmát. 8.2.2 Lemma. Tetszőleges s, t S, n N, f C 2,2,K és ϱ ]0, 1] esetén f fe d µ n s, t f fe d η n s, t b f 2 2,2,K + max R 2,2 f, ϱ, K, m nl η n V ϱ ]s, t] + β n ]s, t] 2 k ns+1 l k nt + 2bβ n ]s, t] max R 2 f, ϱ, K, m nl. k ns+1 l k nt

180 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Bizonyítás. A 8.1.2 Lemma ii pontja alapján k nt k nt T nl I fe T nl Ife l=k ns+1 k nt = T nl I T n,l+1 T n,knt Ife l=k ns+1 b l=k ns+1 k nt l=k ns+1 gnl 2,K µ nl V ϱ + TrB nl + R 2 g nl, ϱ, K, m nl TrB nl, ahol g nl := T n,l+1 T n,knt If. A 8.1.2 Lemma i és iv pontjait használva k nt g nl 2,K = T n,l+1 T n,r 1 T n,r If 2,K r=l+1 k nt r=l+1 T n,r If 2,K b k n t r=l+1 f 2,2,K µ nr V ϱ + TrB nr + R 2,2 f, ϱ, K, m nr TrB nr és tehát kész a bizonyítás. R 2 g nl, ϱ, K, m nl 2R 2 f, ϱ, K, m nl, 8.2.3 Lemma. Tegyük fel, hogy tetszőleges T > 0 és U Ue esetén Ekkor lim lim sup sup η n U ]s, t] + β n ]s, t] = 0. δ 0 t s δ 0 s t T I minden t R + és U Ue esetén lim max µ nl U = 0, 1 l k n t II minden t R + esetén lim max m nl = 0, 1 l k n t III minden T > 0 esetén lim ϱ 0 max R 2f, ϱ, K, m nl = 0 1 l k nt ha f C 2,K

8.2. HÁROMSZÖRENDSZER LOKÁLIS CENTRÁLTJA 181 hasonló állítás érvényes az R 2 és R 2,2 függvényekre is, és minden ϱ ]0, 1] esetén c 2 f, ϱ, K, T := sup max R 2f, ϱ, K, m nl < 1 l k nt n 1 c 2 f, ϱ, K, T := sup max n 1 1 l k n T R 2 f, ϱ, K, m nl < c 2,2 f, ϱ, K, T := sup max R 2,2f, ϱ, K, m nl < 1 l k n T n 1 ha f C 2,K, ha f C 2,K, ha f C 2,2,K, IV minden T > 0 és U Ue esetén c U T := sup η n U [0, T ] <, n 1 ct := sup β n [0, T ] <. n 1 Bizonyítás. tehát I nyilvánvalóan következik a feltevésekből. II. Minden U Ue esetén I alapján x i dµ nl sup x i y + x i µ nl U, y U amiből következik II. lim max 1 l k nt x i dµ nl = 0, III következik a 8.1.1 Lemma iii pontjából és II ből. IV Könnyen következik a feltevésekből. 8.2.4 Tétel. Tegyük fel, hogy i minden T > 0 és U Ue esetén lim lim sup sup η n U ]s, t] + β n ]s, t] = 0, δ 0 t s δ 0 s t T ii minden T > 0 és ε > 0 esetén létezik egy olyan kompakt K ε minden n N esetén k nt µ nl K ε < ε. halmaz ben, hogy Ekkor a minden T > 0 esetén a { µ n s, t : s, t S T, n N} halmaz feszes, b létezik egy olyan νs, t s,t S folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben úgy, hogy n egy alkalmas n részsorozatára µ n s, t T w νs, t minden s, t S esetén.

182 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Bizonyítás. a. Legyen T > 0, ε > 0, és válasszunk egy K ε kompakt halmazt ben a ii feltevésnek megfelelően. Válasszunk egy olyan K ε kompakt halmazt ben, hogy K ε K K ε U0 1 K 1 teljesüljön. A feltételeknek megfelelően m nl U 0 minden l = 1,..., k n T esetén, tehát következésképpen µ nl K ε µ nl K K ε U 1 0 K 1 µ nl K ε, k n T µ nl K ε < ε. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy e K ε. Ekkor létezik olyan K kompakt halmaz ben és olyan f D függvény, hogy 1 K f fe 1 Kε. Legyen s, t S T. Most a 8.2.3 Lemma III és IV állítása alapján választhatunk olyan ϱ ]0, 1] és r, n 0 N számokat, hogy max R 2,2f, ϱ, K, m nl < 1 l k n T η n V ϱ ]u, v] + β n ]u, v] < ε 2bcT, ε b 2 f 2,2,K + c 2,2 f, ϱ, K, T c Vϱ T + ct teljesüljön minden n > n 0 és minden olyan u, v S T esetén, melyre v u 1/r. Legyen s l := s + lt s/r ha l = 0, 1,..., r. Alkalmazva a 8.2.2 Lemmát, azt kapjuk, hogy minden u, v S és n N esetén f fe d µ n u, v f fe d η n u, v + 2bβ n ]u, v] max R 2,2 f, ϱ, K, m nl k nu+1 l k nv + b f 2 2,2,K + max R 2,2f, ϱ, K, m nl η n V ϱ ]u, v] + β n ]u, v] 2 k n u+1 l k n v tehát arra következtethetünk, hogy minden n > n 0 esetén µ n s, t K r r µ n s l 1, s l K r f fe d µ n s l 1, s l k nt µ nl K ε + 2bβ n [0, T ] max 1 l k n T R 2,2f, ϱ, K, m nl + b 2 f 2,2,K + c 2,2 f, ϱ, K, T c Vϱ T + ct max 1 l r η n V ϱ ]s l 1, s l ] + β n ]s l 1, s l ] < 3ε. A { µ n s, t : s, t S T, n N, n n 0 } halmaz véges, tehát szintén feszes. b. Az a alapján létezik olyan n részsorozat, hogy minden s, t S, s, t Q esetén van olyan νs, t M 1, hogy µ n s, t T w νs, t.

8.2. HÁROMSZÖRENDSZER LOKÁLIS CENTRÁLTJA 183 Meg fogjuk mutatni, hogy a { νs, t : s, t S, s, t Q} család kiterjeszthető olyan νs, t s,t S hemicsoporttá, mely kielégíti b t az n részsorozattal. Először vegyük észre, hogy a konvolúciós operátorokra vonatkozó folytonossági tétel alapján 8.2.5 T n s, tfe T s, tfe teljesül minden f C 0 és s, t S, s, t Q esetén, ahol T n s, t := T µ n s,t, T s, t := Tν s,t. Rögzítsünk egy T > 0 számot. Most megmutatjuk, hogy minden s, t S T esetén a µ n s, t sorozat gyengén konvergens. Az a alapján a µ n s, t sorozatnak van legalább egy torlódási pontja. Legyen νs, t M 1 egy torlódási pont. Ekkor létezik olyan n = n s, t részsorozata n nek mely függ s, t től úgy, hogy µ n s, t T w νs, t. Legyen T s, t := T νs,t. A konvolúciós operátorokra vonatkozó folytonossági tétel alapján arra következtethetünk, hogy minden f C 0 esetén T n s, tfe T s, tfe. Vegyünk olyan Q beli s l és t l sorozatokat, hogy s l s, t l t és s l, t l S T teljesüljön. A 8.2.1 Lemma és a 8.2.3 Lemma III része alapján minden f C 2,2,K és minden elegendően nagy l N esetén T s l, t l fe T s, tfe = lim n lim T n n s l, t l fe T n s, tfe b f 2,K + f 2,K T n s l, t l fe lim n T n s, tfe lim supη n V 1 J l1 J l2 + β n J l1 J l2 β n J l1 J l2, + bc 2 f, 1, K, T + c 2 f, 1, K, T lim sup ahol J l1 := ]s l s, s l s], J l2 := ]t l t, t l t]. Az i feltevés alapján lim l lim sup η n V 1 J l1 J l2 = 0, lim lim sup β n J l1 J l2 = 0, l tehét minden f C 2,2,K estén lim T s l, t l fe T s, tfe = 0. l Ahogy a 6.4.4 Tétel b részének bizonyításánál, most is beláthatjuk, hogy T w - lim n µ n s, t = νs, t = T w - lim s,t s,t s,t Q + νs, t,

184 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK és hogy az s, t νs, t, S ből M 1 be vivő leképezés multiplikatív. Most megmutatjuk, hogy az s, t νs, t, S ből M 1 be vivő leképezés folytonosan gyengén korlátos változású. Alkalmazva a 8.2.2 Lemmát és a 8.1.2 Lemma ii részét az x 1,..., x d, 1 ϕ D függvényekre és ϱ = 1 re, azt kapjuk, hogy minden T > 0, s, t S T és n N esetén q µ n s, t ck, T η n V 1 ]s, t] + β n ]s, t], ahol ck, T egy olyan konstans, mely T > 0 tól és a K kompakt halmaztól függ. Legyen s, t S és n N esetén Az i feltevésből következik, hogy az q n s, t := η n V 1 ]s, t] + β n ]s, t]. s, t vs, t := lim sup n q n s, t S T ből R be képező függvény folytonos. Nyilván létezik olyan n részsorozata n nek, melyre lim q n n 0, t = v0, t teljesül minden t Q + esetén. Mivel a t q n 0, t függvények monoton növekvőek, így azt kapjuk, hogy lim n sup t [0,T ] q n 0, t vt = 0, ahol vt := v0, t. Ezért minden T > 0 és s, t S T esetén q n s, t = q n 0, t vt q n 0, s vs + vt vs vt vs + 2 sup q n 0, t vt, t [0,T ] tehát arra következtethetünk, hogy minden s, t S T esetén 8.2.6 lim sup q n s, t vt vs, n tehát hogy az s, t lim sup q n s, t S T ből R be vivő függvény folytonosan korlátos n változású. Ezért minden T > 0 és s, t S T esetén qνs, t = lim n q µ n s, t ck, T lim sup q n s, t ck, T vt vs. n Tehát s, t qνs, t folytonosan korlátos változású. A 6.2.1 Lemma bizonyításának érveléseit használva azt kapjuk, hogy az s, t νs, t leképezés τ w folytonos.

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 185 8.3 Háromszögrendszer konvergenciája tetszőleges konvolúciós hemicsoporthoz Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy növekvő függvény. Minden n N esetén definiáljuk a η n M + R + mértéket a következő módon: η n dy [0, t] := k n t µ nl dy. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy létezik egy olyan η 0 LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén 8.3.1 fy η n dy [0, t] = fy η 0 dy [0, t]. lim Itt a konvergencia tetszőleges T > 0 esetén a [0, T ] intervallumon egyenletes, hiszen minden f C e, f 0 függvény esetén a t fy η n dy [0, t], n N, függvények monoton növekvőek, és a t fy η 0 dy [0, t] limesz függvény folytonos. Tehát minden T > 0 és U Ue esetén lim lim sup sup η n U ]s, t] = 0, δ 0 t s δ 0 s t T és a 8.2.3 Lemma II részének bizonyításánál használt érvelés alapján minden T > 0, minden elegendően nagy n N és minden l {1,..., k n T } esetén a µ nl mértéknek létezik m nl U 0 lokális várhatóértéke és B nl lokális kovarianciamátrixa. Következésképpen a 8.3.1 feltétel teljesülése esetén minden T > 0 és minden elegendően nagy n N esetén definiálhatjuk az m n : [0, T ] lokális várhatóérték függvényt: m n t := k n t a B n : [0, T ] M + d, B nt = b n i, jt i,j=1,...,d m nl, lokális kovarianciafüggvényt: és a β n M + [0, T ] mértékeket: B n t := k nt B nl, β n [0, t] := k nt TrB nl. Továbbá minden ψ C e, 1 U 0 ψ 1 függvény esetén vezessük be a b ψ nl i, j := x i y x i m nl x j y x j m nl 1 ψy µ nl dy

186 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK csonkított lokális kovarianciákat, és a b ψ ni, jt := csonkított lokális kovarianciafüggvényeket. k nt b ψ nl i, j 8.3.2 Tétel. Legyenek {µ nl : n, l N 2 } valószínűségi mértékek a Lie csoporton. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + egy olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, melyre k n 0 = 0 és k n R + = Z +. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Tegyük fel, hogy i létezik olyan η 0 LR +, mérték, hogy minden t D és f C e esetén fy η n dy [0, t] = fy η 0 dy [0, t], lim ii létezik olyan B 0 : R + M d, B 0 t = b 0 i, jt i,j=1,...,d, folytonos függvény, hogy minden t D és i, j {1,..., d} esetén lim b ni, jt = b 0 i, jt + x i yx j y η 0 dy [0, t]. Ekkor 0, B 0, η 0 P bv R +, és *knt l=k n s+1 µ nl ε m 1 nl Tw νs, t ha s, t S, ahol νs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely a gyenge backward evolúciós egyenlettel kapcsolódik ahhoz a à 0 : R + A leképezéshez, melynek kanonikus dekompozíciója 0, B 0, η 0. Továbbá a νs, t s,t S hemicsoport megfelel az e, B 0, η 0 PR +, paraméternek az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ha még azt is feltesszük, hogy iii létezik olyan m 0 : R + folytonos függvény, hogy minden t D esetén iv minden T > 0 és i {1,..., d} esetén lim lim sup δ 0 lim m nt = m 0 t, sup xi mn s 1 m n t = 0, t s δ 0 s t T

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 187 akkor *knt T µ nl w µs, t l=k n s+1 ha s, t S ahol µs, t s,t S egy olyan hemicsoport, mely az m 0, B 0, η 0 PR +, paraméternek felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Néhány előkészületre van szükségünk a 8.3.2 Tétel bizonyításához. 8.3.3 Lemma. A 8.3.2 Tétel i és ii feltételeinek teljesülése esetén a következő állítások érvényesek: I B 0 0 = 0 és a B 0 függvény monoton növekedő. II Minden ψ C e, 1 U 0 ψ 1 és minden i, j {1,..., d}, t R + esetén lim bψ ni, jt = b ψ 0 i, jt, ahol b ψ 0 i, jt := b 0 i, jt + x i yx j y1 ψy η 0 dy [0, t]. III A 8.3.2 Tétel i és ii pontjaiban és II ben a konvergencia tetszőleges T > 0 esetén minden [0, T ] intervallumon egyenletes. IV Minden T > 0 és U Ue esetén lim lim sup δ 0 sup η n U ]s, t] = 0, t s δ 0 s t T lim lim sup δ 0 sup β n ]s, t] = 0. t s δ 0 s t T V Minden T > 0 és ε > 0 esetén létezik olyan K ε kompakt halmaz ben, hogy minden n N esetén Bizonyítás. lim k nt µ nl K ε < ε. II. Az i feltétel alapján x i yx j yψy η n dy [0, t] = A ii feltétel szerint lim x i yx j yψy η 0 dy [0, t]. x i y x i m nl x j y x j m nl η n dy [0, t] = b 0 i, jt + x i yx j yψy η 0 dy [0, t].

188 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Továbbá i ből levezethető mivel lim x i y x i m nlx j y x j m nl x i yx j y ψy η n dy [0, t] = 0, x i y x i m nl x j y x j m nl x i yx j y 3 max x i m nl max x i. 1 l k n t 1 i d 1 i d I és III IV ugyanúgy vezethető le i és ii segítségével, mint a 6.6.2 Lemmában. Most a 8.3.3 Lemma IV és V pontja biztosítja, hogy a 8.2.4 Tétel alkalmazható. 8.3.4 Lemma. Legyen µ nl := µ nl ε m 1 nl, µ n s, t := *k nt l=k n s+1 Jelölje νs, t s,t S azt a hemicsoportot, melyhez a 8.3.2 Tétel i és ii feltételeinek teljesülése esetén a 8.2.4 Tétel értelmében valamely µ n s, t s,t S részsorozat konvergál. Ekkor ez a νs, t s,t S hemicsoport azzal az à 0 : R + A leképezéssel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenleten keresztül, melynek a kanonikus dekompozíciója 0, B 0, η 0 P bv R +,. Bizonyítás. Legyen s, t S és n N esetén T n s, t := T µ n s,t és T s, t := T νs,t. Először megmutatjuk, hogy minden s, t S és f D esetén lim T n n s, t Ife = à 0 dτt τ, tf = 1 2 + d i,j=1 ]s,t] ]s,t] ]s,t] T τ, tx i X j fe b 0 i, jdτ T τ, tfy T τ, tfe d µ nl. T τ, tx i fex i y η 0 dy dτ. Az egyszerűség kedvéért az n sorozatot beazonosítjuk az n sorozattal. Most tekintsük a T n s, t I = k nt l=k n s+1 T µnl I = dekompozíciót, ahol τ nl := inf{t R + : k n t = l}. = k nt l=k n s+1 k n t l=k n s+1 T µnl I k nt r=l+1 T µnr T µnl I T n τ nl, t,

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 189 Legyen ψ r r 1 egy olyan sorozat C e ben, melyre 1 U 0 ψ r 1 és ψ r 1. Alkalmazva a Taylor formulát az {y : ψ r y < 1} U 0 halmazon mint a 8.1.1 Lemma bizonyításában, azt kapjuk, hogy ahol és T n s, t Ife = k nt l=k ns+1 + 1 2 + d T n τ nl, tfym 1 nl T n τ nl, tfe k n t d i,j=1 l=k n s+1 k nt l=k ns+1 Rg, y, m = Végül azt kapjuk, hogy ahol x i y x i m nl i u=mnl Tn τ nl, tfum 1 nl ψ r y µ nl dy b ψr nl i, j i j u=mnl Tn τ nl, tfum 1 nl R T n τ nl, tf, y, m nl 1 ψ r y µ nl dy, d x i y x i mx j y x j m i,j=1 1 T n s, t Ife I 1 n,r := 1 2 I 2 r := 1 2 0 1 λ i j u=my,λ gum 1 i j u=m gum 1 dλ d my, λ := exp λx i y + 1 λx i mx i. d i,j=1 d ]s,t] k nt l=k ns+1 i,j=1 ]s,t] ]s,t] Ã 0 dτt τ, tf = I 1 n,r + I 2 r + I 3 n,r + I 4 n,r + I 5 r, b ψ r nl i, j i j u=mnl Tn τ nl, tfum 1 nl X i X j T τ, tfe b ψ r 0 i, jdτ, X i X j T τ, tfex i yx j y1 ψ r yη 0 dy dτ,

190 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK I 3 n,r := I 4 n,r := I 5 r := k n t l=k n s+1 ]s,t] k n t l=k n s+1 ]s,t] T n τ nl, tfym 1 nl T n τ nl, tfe d x i y x i m nl i u=mnl Tn τ nl, tfum 1 nl ψ r yµ nl dy T τ, tfy T τ, tfe d R T n τ nl, tf, y, m nl ψ r y µ nl dy, T τ, tfy T τ, tfe Minden f D függvény esetén megmutatjuk, hogy ahol lim r T τ, tx i fex i y ψ r yη 0 dy dτ, d T τ, tx i fex i y ψ r y 1η 0 dy dτ. lim Il n,r = 0 ha l = 1, 3 és r N elegendően nagy, lim r Il r = 0 ha l = 2, 5, lim sup I n,r 4 = 0. 1. Ahhoz, hogy belássuk, hogy lim I 1 n,r = 0, elegendő megmutatni, hogy I 1,1 n,r := I 1,2 n,r := I 1,3 n,r := k nt l=k n s+1 k n t l=k n s+1 ]s,t] lim I1,k n,r = 0 ha k = 1, 2, 3, b ψ r nl i, j i j u=mnl Tn τ nl, tfum 1 nl i j u=e Tn τ nl, tfu, b ψr nl i, j Tn τ nl, tx i X j fe T τ nl, tx i X j fe, T τ, tx i X j feb ψr n i, jdτ b ψr 0 i, jdτ. Megjegyezzük, hogy de a ϱ ij k i j ge = X i X j ϱ ij k X k tagok eltűnnek, mivel a B ψ r nl k. = ϱji d k=1 ϱ ij k X k ge, = b ψ r nl i, j i,j=1,...,d mátrix szimmetrikus és

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 191 Legyen T > 0 és s, t S T. lim max i j u=mnl 1 l k nt Nyilván a 8.2.3 Lemma II pontja alapján Tn τ nl, tfum 1 nl i j u=e Tn τ nl, tfu = 0, ami a 8.3.3 Lemma II részével együtt azt eredményezi, hogy lim I 1,1 n,r = 0. Most definiáljuk a következő F 0 : [0, t] R, F n : [0, t] R, n N, függvényeket: F 0 τ := T τ, tge, F n τ := T n τ, tge, ahol g C 2,2,K egy rögzített függvény. A 8.1.1 Lemmát K = {e} esetén alkalmazva, és a 8.2.3 Lemma III pontját használva azt kapjuk, hogy minden τ, τ S t és n N esetén F n τ F n τ = T n τ, tge T n τ, tge b g 2,K + g 2,K η n V 1 ]τ, τ ] + β n ]τ, τ ] tehát a 8.3.3 Lemma IV pontja szerint lim lim sup δ 0 + bc 2 g, 1, K, T + c 2 g, 1, K, T β n ]τ, τ ], sup F n τ F n τ = 0. τ τ δ 0 τ τ t Továbbá F 0 folytonos és lim F n τ = F 0 τ ha τ [0, t], következésképpen F n F 0 egyenletesen a [0, t] intervallumon: 8.3.5 lim sup T n τ, tge T τ, tge = 0. τ [0,t] Nyilván minden τ, τ S T és n N esetén 8.3.6 k n τ l=k n τ+1 knτ b ψr nl i, j l=k n τ+1 d b nl i, i = β n ]τ, τ ] ct a 8.2.3 Lemma IV pontja szerint. Tehát azt kapjuk, hogy lim I n,r 1,2 = 0. Most tetszőleges s = s 0 < s 1 < < s p = t beosztás esetén F 0 τ b ψr n i, jdτ b ψr 0 i, jdτ ]s,t] p p F 0 τ F 0 s l b ψr n i, jdτ ]s l 1,s l ] + F 0 s l F 0 τb ψr 0 i, jdτ ]s l 1,s l ] p + F 0 s l b ψ r n i, jdτ b ψ r 0 i, jdτ = S 1 + S 2 + S 3. ]s l 1,s l ]

192 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK A jobboldalon levő első és a második szumma tetszőlegesen kicsivé tehető azáltal, hogy a max 1 l p s l s l 1 mennyiséget elegendően kicsire választjuk, felhasználjuk a 8.3.6 egyenlőtlenséget, és az F 0 függvény folytonosságát. Az [s, t] intervallum beosztását rögzítetten tartva, a harmadik szumma nullához tart ha n, mivel S 3 sup F 0 τ τ [0,t] p b ψ r n i, js l b ψ r n i, js l 1 b ψr 0 i, js l + b ψr 0 i, js l 1 és használhatjuk a 8.3.3 Lemma II pontját. Tehát lim I n,r 1,3 = 0. 2. Az x i yx j y1 ψy ϕy, y U 0 egyenlőtlenség, az i feltétel és a Lebesgue féle Dominált Konvergencia tétel segítségévelkapjuk, hogy lim I r 2 = 0. r 3. Ahhoz, hogy belássuk a lim I n,r 3 = 0 konvergenciát, elegendő megmutatni, hogy ahol I 3,1 n,r := I 3,2 n,r := I 3,3 n,r := I 3,4 n,r := k nt l=k n s+1 k n t l=k n s+1 k nt l=k n s+1 ]s,t] ]s,t] lim I3,l n,r = 0 ha l = 1, 2, 3, 4, Tn τ nl, tfym 1 nl T n τ nl, tfy ψ r yµ nl dy, i u=mnl T n τ nl, tfum 1 nl i u=e Tn τ nl, tfu x i y x i m nl ψ r yµ nl dy, T n τ nl, tx i fex i m nl ψ r yµ nl dy, T n τ, tfy T n τ, tfe T τ, tfy T τ, tfe Nyilván a 8.2.3 Lemma II pontjából következik lim y d d T n τ, tx i fex i y ψ r yη n dy dτ T τ, tx i fex i y ψ r yη 0 dy dτ. max sup T n τ nl, tfym 1 nl T n τ nl, tfy = 0, 1 l k n T ami a 8.2.3 Lemma IV pontjával együtt azt eredményezi, hogy lim I 3,1 n,r = 0. A lim I 3,l n,r = 0, l = 2, 3 konvergenciák hasonlóan bizonyíthatóak.

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 193 Definiáljuk most a h 0 : ]s, t] R, h n : ]s, t] R, n N, függvényeket a következő módon: Ha η 0 = 0, akkor h 0 y, τ := T τ, tfy T τ, tfe h n y, τ := T n τ, tfy T n τ, tfe d T τ, tx i fex i y, d T n τ, tx i fex i y. 8.3.7 sup n 1 sup sup y τ [0,T ] h n y, τ < és az i feltételből következik lim I 3,4 n,ψ = 0. Ha η 0 0, akkor ψ r yη 0 dy dτ 0 minden elegendően nagy r N esetén, ezért ]s,t] ]s,t] ψ r yη n dy dτ 0 elegendően nagy r, n N esetén, tehát definiálhatjuk az η n, η 0 M + ]s, t] mértékeket a következő módon: η ndy dτ := ψ r yη n dy dτ, η 0dy dτ := ψ r yη n dy dτ ]s,t] ψ r yη 0 dy dτ. ψ r yη 0 dy dτ ]s,t] A következő vizsgálat célja az, hogy alkalmazhatjuk Billingsley [12, Theorem 5.5] tételét az 8.3.8 η nh 1 n T w η 0 h 1 0 konvergencia bizonyítására. Meg fogjuk mutatni, hogy y n, τ n y, τ esetén h n y n, τ n h 0 y, τ. Először vegyük észre, hogy Nyilván lim h 0y n, τ = h 0 y, τ. h n y n, τ n h 0 y n, τ = T n τ n, t T τ, tfy n + T n τ n, t T τ, tfe d + T n τ n, t T τ, tx i fex i y n. A második és a harmadik tag nullához tart ha n, mivel T n τ n, tge T τ, tge sup T n τ, tge T τ, tge + T τ n, tge T τ, tge τ [0,t]

194 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK minden g C 2,2,K esetén, és használhatjuk a 8.3.5 összefüggést. A fenti egyenlőtlenségből következik, hogy lim T n τ n, t T τ, tfy = 0 ha f D, tehát már csak azt kell megmutatni, hogy lim T n τ n, tfy n T n τ n, tfy = 0. Legyen ε > 0. Először választunk egy olyan U Ue halmazt, hogy fx fy ε minden olyan x, y esetén, melyekre x 1 y U. Ezután választhatunk egy olyan K kompakt halmazt ben, hogy minden n N esetén µ n τ n, t K ε 2 f. Ez úgy bizonyítható, mint a 8.3.3 Lemma V pontja, kombinálva a 8.2.4 Tétel bizonyítása elején használt ötletekkel. Ezután választhatunk egy olyan Ũ Ue halmazt, hogy K 1 Ũ K U. Most y n y esetén yn 1 y Ũ teljesül elegendően nagy n N esetén, következésképpen u 1 yn 1 yu U minden u K esetén, amiből következik fy n u fyu ε minden u K és elegendően nagy n N esetén. Tehát elegendően nagy n N esetén azt kapjuk, hogy T n τ n, tfy n T n τ n, tfy = fy n u fyu µ n τ n, tdu 2 f µ n τ n, t K + ε 2ε. Ezért valóban alkalmazhatjuk Billingsley [12, Theorem 5.5] tételét, és megkapjuk a 8.3.8 konvergenciát. Továbbá 8.3.7 alapján azt kapjuk, hogy h n dη n h 0 dη 0, és az i feltétel szerint lim tehát lim I 3,4 n,r = 0. ]s,t] ψ r yη n dy dτ = ]s,t] ψ r yη 0 dy dτ, 4. A lim r lim sup I 4 n,r = 0 konvergencia megint a Lebesgue tétel segítségével bizonyítható. 5. Taylor formulát használva az {u : ψ r u < 1} U 0 halmazon, azt kapjuk, hogy I r 5 1 d X i X j T τ, tfξyx i yx j y 1 ψ r yη 0 dy dτ 2 i,j=1 ]s,t] ahol ξy {u : ψ r u < 1}, tehát hasonló érveléssel arra jutunk, hogy Tehát végülis lim n T n s, t Ife = ]s,t] Ã 0 dτt τ, tf lim I r 5 = 0. r

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 195 minden s, t S és f D esetén. Másrészről lim n T n s, t Ife = T s, t Ife minden s, t S és f C 0 esetén. 8.3.9 Lemma. Legyen µ nl := ε mn1 m n,l 1 µ nl ε m 1, nl m 1 n1 µ n s, t := *k nt l=k n s+1 µ nl, µ n s, t := *k nt l=k n s+1 µ nl = ε mn s 1 µ ns, t ε mnt. Jelölje µs, t s,t S azt a hemicsoportot, melyhez a 8.3.2 Tétel i iv feltételeinek teljesülése esetén a 8.2.4 Tétel értelmében valamely µ n s, t s,t S részsorozat konvergál. Ekkor ez a µs, t s,t S hemicsoport az m 0, B 0, η 0 PR +, paraméterrel kapcsolatos az eltolt gyenge backward evolúciós egyenleten keresztül. Bizonyítás. Hasonló a 8.3.4 Lemma bizonyításához. Legyen s, t S és n N esetén µs, t := ε ms µs, t ε mt 1 és T s, t := Tµ s,t. Legyen f D és g τ,t y := T τ, tfmτymτ 1, y, τ, t S. Alkalmazva az X i g τ,t e = d dh h=0 f mτ exphx i mτ 1 z µτ, tdz = Ad mτ X i T τ, tfe, formulákat, azt kapjuk, hogy ]s,t] à 0 dτg τ,t = 1 2 + ]s,t] X i X j g τ,t e = Ad mτ X i Ad mτ X j T τ, tfe d i,j=1 ]s,t] T τ, tfmτymτ 1 T τ, tfe Ad mτ X i Ad mτ X j T τ, tfeb 0 i, jdτ d Ad mτ X i T τ, tfex i y η 0 dy dτ, ahol az à 0 : R + A leképezés kanonikus dekompozíciója 0, B 0, η 0. Ezután tekintsük a T n s, t Ife ]s,t] à 0 dτg τ,t = I n,r 1 + I r 2 + I n,r 3 + I n,r 4 + I r 5

196 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK dekompozíciót, ahol I 1 n,r := 1 2 I 2 r := 1 2 I 3 n,r := I 4 n,r := I 5 r d i,j=1 d k nt l=k ns+1 i,j=1 ]s,t] k n t l=k ns+1 ]s,t] k nt l=k ns+1 := ]s,t] ]s,t] b ψr nl i, j i j u=mnl Tn τ nl, tfm n τ n,l 1 um n τ nl 1 Ad mτ X i Ad mτ X j T τ, tfeb ψ r 0 i, jdτ, Ad mτ X i Ad mτ X j T τ, tfex i yx j y1 ψ r yη 0 dy dτ, T n τ nl, tfm n τ n,l 1 um n τ nl 1 T n τ nl, tfe d x i y x i m nl i u=mnl Tn τ nl, tfm n τ n,l 1 um n τ nl 1 ψ r yµ nl dy T τ, tfmτymτ 1 T τ, tfe ψ r yη 0 dy dτ, d R T n τ nl, tf, y, m n τ n,l 1, m nl ψ r y µ nl dy, T τ, tfmτymτ 1 T τ, tfe 1 ψ r yη 0 dy dτ, Ad mτ X i T τ, tfex i y d Ad mτ X i T τ, tfex i y és Rh, y, z, m = d x i y x i mx j y x j m i,j=1 1 0 1 λ i j u=my,λ hzum 1 z 1 i j u=m hzum 1 z 1 dλ. Legyen T > 0 és s, t S T. A iii és iv feltételekből következik, hogy iii ban a konvergencia egyenletes, tehát K T := {m n t, mt : n N, t [0, T ]} egy kompakt halmaz ben. Mivel a z Ad z = Ad ij z i,j=1,...,d ből M d be képező függvény folytonos, ezért

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 197 a z Ad z ből R be képező függvény is folytonos, tehát c K T := sup z K T Ad z <. Most először az m nl lokális várhatóértékkel történő infinitezimális centrálástól szabadulunk meg, azután alkalmazzuk az Ad z X i = d k=1 Ad ki z X k, Ad z X i Ad z X j = d k, Ad ki z Ad lj z X k X l, formulákat, és használhatjuk ugyanazokat az ötleteket, mint az előző lemma bizonyításánál. 8.3.10 Lemma. a Legyen µ nl := µ nl ε m 1 nl, µ n s, t := *k nt l=k n s+1 Az a νs, t s,t S hemicsoport, melyhez a 8.3.2 Tétel i és ii feltételeinek teljesülése esetén a 8.2.4 Tétel értelmében valamely µ n s, t s,t S részsorozat konvergál, egyértelmű. b Legyen µ n s, t := *k nt l=k n s+1 µ nl := ε mn1 m n,l 1 µ nl ε m 1, nl m 1 n1 µ nl, µ n s, t := *k nt l=k n s+1 µ nl. µ nl = ε mns 1 µ ns, t ε mn t. Az a νs, t s,t S hemicsoport, melyhez a 8.3.2 Tétel i iv feltételeinek teljesülése esetén a 8.2.4 Tétel értelmében valamely µ n s, t s,t S részsorozat konvergál, egyértelmű. Bizonyítás. A b bizonyítására szorítkozunk. Siebert [91, Theorem 5.7] tételének, illetve a 6.5.2 Tétel bizonyításához hasonlóan járunk el. Legyen E := {ω} a csoport 1 pontos kompaktifikációja. Legyen ωx = xω = ω minden x E esetén. Minden g C 0 függvényt folytonosan kiterjesztünk E re: gω := 0. Tegyük fel, hogy két limesz hemicsoport van: µ s, t s,t S és µ s, t s,t S, tehát léteznek olyan n és n részsorozatai n nek, hogy µ n s, t T w µ s, t, µ n s, t T w µ s, t minden s, t S esetén. A 8.3.9 Lemma alapján ugyanannak az m 0, B 0, η 0 PR +, paraméternek felelnek meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Legyen

198 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK s, t S esetén T s, t := T µ s,t, T s, t := T µ s,t. Rögzítsük az r > 0 számot és az f D függvényt. Legyen t [0, r] és x E esetén F t, x := T r t, rfx T r t, rfx. A következő vizsgálat célja az, hogy megmutassuk, hogy az F függvény kielégíti a 6.5.1 Lemma feltételeit. Most legyen t, y [0, r] E olyan, hogy Minden s [0, t] esetén F t, y F s, y = ahol F t, y = min{f t, x : x E}. ]r t,r s] Ã 0 dτg τ,r,y g τ,r,y, g τ,r,yu := T τ, rl y fmτumτ 1, g τ,r,yu := T τ, rl y fmτumτ 1. Tehát F t, y F s, y = I 1 + I 2 + I 3, ahol I 1 := Ã 0 dτg τ,r,y g r t,r,y, ]r t,r s] I 2 := Ã 0 dτg r t,r,y g r t,r,y, ]r t,r s] I 3 := Ã 0 dτg r t,r,y g τ,r,y ]r t,r s] Először megmutatjuk, hogy I 2 0. Vezessük be a J := ]r t, r s] jelölést. Ekkor d I 2 = 1 2 i,j=1 + J J X i X j h τ e b 0 i, jdτ h τ u h τ e d X i h τ ex i u η 0 du dτ, ahol Legyen h τ u := T r t, r T r t, rl y fmτumτ 1, u E. hu := T r t, r T r t, rl y fu, u E. Minden u E esetén hu = F t, yu F t, y = he, tehát a h függvénynek minimuma van az e pontban, tehát a C := c ij i,j=1,...,d, c ij := X i X j he mátrix pozitív szemidefinit. Ebből következik, hogy minden τ R+ esetén a

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 199 Dτ := d ij τ i,j=1,...,d, d ij := X i X j h τ e mátrix is pozitív szemidefinit, hiszen Dτ = Ad mτ CAd mτ. A B 0 : R + M + d függvény monoton növekvő, ezért azt kapjuk, hogy a J X i X j h τ e b 0 i, jdτ i,j=1,...,d mátrix is pozitív szemidefinit, amiből következik, hogy d i,j=1 J X i X j h τ e b 0 i, jdτ 0. Mivel a h függvénynek minimuma van az e pontban, így X i he = 0 minden i = 1,..., d esetén, tehát d X i h τ e = Ad li mτx l he = 0. Továbbá minden u E és τ R + tehát és végül I 2 0. esetén h τ u = T r t, r T r t, rfymτumτ 1 = F t, ymτumτ 1 F t, y = h τ e, J h τ u h τ e d Az I 1 integrál előáll I 1 = I 1,1 + I 1,2 alakban, ahol és ahol most I 1,1 := 1 2 I 1,2 := d i,j=1 J J X i h τ ex i u η 0 du dτ 0, X i X j h τ e b 0 i, jdτ, h τ u h τ e d X i h τ ex i u η 0 du dτ, h τ u := T τ, r T r t, rl y fmτumτ 1, u E. Először az I 1,1 beli integrandust becsüljük meg. Nyilván X i X j h τ e = d k, Ad ki mτad lj mτ X kx l he, ahol most hu := T τ, r T r t, rl y fu, u E.

200 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Mint a 8.1.1 Lemmában, a K r := {m n τ, mτ : n N, τ [0, r]} kompakt halmazzal azt kapjuk, hogy minden τ J, n N és k, l = 1,..., d esetén T nτ, r T nr t, rx k X l L y fe Mint a 8.3.9 Lemma bizonyításában b X k X l L y f 2,Kr η n V 1 ]r t, τ] + β n ]r t, τ] + bβ n ]r t, τ]c 2 X k X l L y f, 1, K r, r. c K r := sup z K r Ad z <, ezért választva egy olyan c 0 > 0 konstanst, melyre teljesül c 0 ϕ 1 V 1, azt kapjuk, hogy minden τ R + és i, j = 1,..., d esetén d X i X j h τ e c K r 2 X k X l he d = c K r 2 lim n k, bc K r 2 c 0 k, + bc K r 2 β 0 ]r t, r s] T n τ, r T n r t, rx ix j L y fe ϕzη 0 dz ]r t, r s] + β 0 ]r t, r s] d c 2 X k X l L y f, 1, K r, r. k, d X k X l L y f 2,Kr Most becsüljük meg az I 1,2 integrált. Alkalmazzuk u V 1 esetén a Taylor formulát: ahol hmτumτ 1 = he + Rf, z, u = + 1 2 d x i ux j u i,j=1 d x i u i y=e hmτymτ 1 k, d x i ux j u i j y=e hmτymτ 1 + R h, mτ, u, i,j=1 1 0 1 λ i j y=uλ fzyz 1 i j y=e fzyz 1 dλ és Nyilván d uλ := exp λ x i ux i V 1. i,j=1 d d x i ux j u d x i u 2 = dϕu ha u V 1,

8.3. HÁROMSZÖRENDSZER KONVERENCIÁJA 201 következésképpen d h τu h τ e X i h τ ex i u η 0du dτ V 1 J d h 2,Kr + R 2 h, 1, K r, e ϕu η 0 du ]r t, r s]. Világos, hogy létezik olyan c 1 R + konstans, hogy d c 1 ϕ 2 + x i 1 V1, tehát d h τu h τ e X i h τ ex i u η 0du dτ V 1 J d 2 + x i h 2,Kr η 0 V 1 J c 1 h 2,Kr ϕu η 0 du ]r t, r s]. Összegyűjtve a becsléseket, azt kapjuk, hogy I 1,2 c h 2,Kr + R 2 h, 1, K r, e ϕu η 0 du ]r t, r s], ahol c := c 1 + d. Az I 3 integrál hasonlóan becsülhető. Végül megkapjuk a kívánt egyenlőtlenséget, ahol vs := bc K r 2 c 0 F t, y F s, y χs χtvt vs + bc K r 2 β 0 ]r s, r] d ϕuη 0 du ]r s, r] + β 0 ]r s, r] d c 2 X i X j L y f, 1, K r, r + c i,j=1 i,j=1 X i X j L y f 2,Kr ϕu η 0 du ]r s, r], χs := 2β 0 ]r s, r] + sup { T τ, r T r t, rl y f 2,Kr : τ ]r t, r s]} + sup { R 2 T τ, r T r t, rl y f, 1, K r, e : τ ]r t, r s] } + sup { T τ, r T r t, rl y f 2,Kr : τ ]r t, r s]} + sup { R 2 T τ, r T r t, rl y f, 1, K r, e : τ ]r t, r s] }.

202 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Nyilván v monoton növekvő, és a feltételek alapján folytonos. Továbbá χt = 0, tehát már csak azt kell megmutatni, hogy lim χs = 0. Mivel az s, t µ s, t, S ből s t M 1 be vivő leképezés folytonos, ezért az s, t T s, tf leképezés is folytonos S ből C 0 be minden f C 0 esetén, tehát a τ T τ, r T r t, rl y f 2,Kr és τ R 2 T τ, r T r t, rl y f, 1, K r, e függvények is folytonosak [r t, r s] ból R be. Hasonló állítás érvényes T re is, tehát lim s t χs = 0. Tehát alkalmazható a 6.5.1 Lemma, így F t, x 0 ha t, x [0, r] E, speciálisan, 0 F t, e = fu µ r t, rdu fu µ r t, rdu minden f D, t [0, r] esetén. Felcserélve µ és µ szerepét 0 fu µ r t, rdu fu µ r t, rdu minden f D, t [0, r] esetén. Végeredményben azt kapjuk, hogy µ s, t = µ s, t ha s, t S, ami bizonyítja a hemicsoport egyértelműségét. A 8.3.2 Tétel bizonyítása. Először legyen µ nl := µ nl ε m 1 nl, µ n s, t := *k nt l=k n s+1 Legyen n egy tetszőleges részsorozat n ben. Ekkor a 8.3.4 Lemma alapján az i és ii feltételek teljesülése esetén létezik olyan folytonosan korlátos változású νs, t s,t ST hemicsoport M 1 ben, hogy az n sorozat valamely alkalmas n részsorozatával µ n s, t T w νs, t ha s, t S, és a νs, t s,t S hemicsoport azzal az à 0 : R + A leképezéssel van kapcsolatban a gyenge backward evolúciós egyenleten keresztül, melynek a kanonikus dekompozíciója µ nl.

8.4. KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 203 0, B 0, η 0. A 8.3.10 Lemma a pontja szerint a νs, t s,t S hemicsoport egyértelmű. Következésképpen a µ n s, t n 1 sorozat gyengén konvergens, és tehát az első rész bizonyítása készen van. Ha µ n s, t := *k nt l=k ns+1 µ n s, t Tw νs, t ha s, t S, µ nl := ε mn1 m n,l 1 µ nl ε m 1, nl m 1 n1 µ nl, *knt µ nl = ε mn s 1 µ ns, t ε mnt, l=k ns+1 akkor a 8.3.9 Lemmát és a 8.3.10 Lemma b pontját használva a i iv feltételek teljesülése esetén hasonlóan érvelhetünk. 8.4 Konvolúciós hemicsoportok paraméterezése 8.4.1 Lemma. Tegyük fel, hogy νs, t s,t S egy olyan hemicsoport M 1 ben, amely az m, B, η PR +, hármasnak felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Legyen s, t S esetén νs, t := ε ms νs, t ε mt 1. Ekkor νs, t s,t S egy olyan folytonosan gyengén korlátos változású hemicsoport M 1 ben mely annak az à : R + A leképezésnek felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melynek a kanonikus dekompozíciója ã, B, η P bv R +,, ahol ãidτ := x i mτymτ 1 Bdτ := Ad mτ Bdτ Ad mτ, ηdy dτ := ηmτ 1 dy mτ dτ. d x j yad ij mτ ηdy dτ, Bizonyítás. Először belátjuk, hogy a ã függvény folytonosan korlátos változású. Az m függvény folytonosságából következik, hogy minden T > 0 esetén a K T := {mt : t [0, T ]} halmaz kompakt ben, ezért j=1 c K T := sup Ad z <. z K Továbbá létezik olyan V T Ue környezet, hogy K T V T K 1 T V T U 0. Nyilván minden y V T, τ [0, T ] és i = 1,..., d esetén x i mτymτ 1 = d x j yad ij mτ. j=1

204 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Ezért minden s, t S T és i = 1,..., d esetén d ãit ãis = x i mτymτ 1 x j yad ij mτ ηdy dτ V T ]s,t] j=1 d x i + c K T x j ηdy dτ V T ]s,t] c K 1 T ]s,t] j=1 ϕy ηdy dτ egy alkalmas c K 1 T > 0 konstanssal. Következésképpen ahol a v : [0, T ] R, ãit ãis vt vs, vt := c K 1 T ϕy ηdy [0, t] függvény monoton növekedő és folytonos, tehát az ã függvény folytonosan korlátos változású. Nyilván a B függvény folytonos és monoton növekvő, hiszen minden s, t S esetén Bt Bs = t s Ad mτ Bdτ Ad mτ M + d. Legyen megint T > 0. Legyenek K T és V T a fenti halmazok. Ekkor minden y V T és τ [0, T ] esetén ϕmτymτ 1 = d x i mτymτ 1 2 = d d x j yx k yad ij mτ Adik mτ, j,k=1 tehát ϕmτymτ 1 c K T 2 d j,k=1 d x j yx k y d 2 c K T 2 ϕy. Következésképpen létezik olyan c K 2 T > 0 konstans, hogy minden y és τ [0, T ] esetén ϕmτymτ 1 c K 2 T ϕy, tehát minden s, t S T esetén ϕy ηdy ]s, t] c K 2 T amiből következik, hogy η LR +,. ϕy ηdy ]s, t],

8.4. KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 205 Most a feltételek alapján T ν s,t Ife = Adτg τ,t, ahol g τ,t y := T ν τ,t fmτymτ 1 és az A : R + A leképezés kanonikus dekompozíciója 0, B, η. ]s,t] Használva az formulákat, azt kapjuk, hogy T ν s,t Ife = X i g τ,t e = T ν τ,t Ad mτ X i fe, X i X j g τ,t e = T ν τ,t Ad mτ X i Ad mτ X j fe ]s,t] Adτg τ,t = ]s,t] ÃdτT ν τ,t f, ahol az à : R + A leképezés kanonikus dekompozíciója ã, B, η. 8.4.2 Tétel. Legyen m, B, η PR +,. Ekkor pontosan egy olyan νs, t s,t S hemicsoport létezik M 1 ben, mely az m, B, η hármasnak felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Bizonyítás. Legyen ã, B, η P bv R +, úgy definiálva, mint a 8.4.1 Lemmában. Ekkor a 6.7.1 Tétel alapján létezik egy olyan νs, t s,t S gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport M 1 ben, mely annak az à : R + A függvénynek felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melynek kanonikus dekompozíciója ã, B, η: T ν s,t Ife = ÃdτT ν τ,t f. ]s,t] Mint a 8.4.1 Lemma bizonyításában, most is ÃdτT ν τ,t f = ahol ]s,t] ]s,t] Adτg τ,t, g τ,t y := T ν τ,t fmτymτ 1, és az A : R + A leképezés kanonikus dekompozíciója 0, B, η. Tehát a νs, t := ε ms 1 νs, t ε mt, s, t S hemicsoport az m, B, η paramétereknek felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Tegyük most fel, hogy νs, t s,t S egy olyan hemicsoport, mely az m, B, η paramétereknek felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, és legyen νs, t := ε ms νs, t ε mt 1, s, t S. Ekkor a 8.4.1 Lemma szerint νs, t s,t S egy olyan gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, mely az ã, B, η P bv R +, hármasnak felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. A 6.5.2 Tétel szerint a νs, t s,t S hemicsoport egyértelműen meg van határozva az ã, B, η hármas által, tehát az m, B, η hármas által is.

206 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK 8.4.3 Lemma. Legyen νs, t s,t S egy olyan gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, mely az A : R + A függvénnyel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Ekkor minden s, t S és g D S esetén T νs,t ge, s, t ge, t, t = AdτT ντ,t g, τ, t T ντ,t D 2 ge, τ, t dτ, ]s,t] ahol T és A az első koordinátára hat, és D 2 a második koordináta szerinti parciális deriváltat jelöli. Bizonyítás. egyenlet: Következésképpen Minden s, t S és f D esetén fennáll a gyenge backward evolúciós T νs,t Ife = T νs,t ge, s, t ge, s, t = ]s,t] ]s,t] ]s,t] AdτT ντ,t f. AdτT ντ,t g, τ, t ]s,t] Adτ T ντ,t g, τ, t g, s, t. Minden i = 1,..., d esetén X i T ντ,t ge, τ, t ge, s, t aidτ ]s,t] = X i gy, τ, t gy, s, t ντ, tdy aidτ ]s,t] = X i D 2 gy, θ, t dθ ντ, tdy aidτ ]s,t] ]s,τ] = X i T νθ,t D 2 ge, τ, t aidθ dτ. ]s,t] ]τ,t] Hasonló észrevételek arra vezetnek, hogy Adτ T ντ,t g, τ, t g, s, t = Adθ T νθ,t D 2 g, τ, t dτ ]s,t] ]s,t] ]τ,t] = T ντ,t ID 2 ge, τ, t dτ ]s,t] = T ντ,t D 2 ge, τ, t dτ ge, t, t ge, s, t. Ezzel kész a bizonyítás. ]s,t] Ha b : R + egy olyan folytonos, korlátos változású függvény, melyre b0 = e, akkor jelölje b i : R + R, i = 1,..., d azokat a korlátos változású függvényeket, melyekre b i 0 := 0 és d t fbt = X i fbτ b i dτ ha f D. 0

8.4. KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 207 Lásd Feinsilver [29, Section 2.3]. 8.4.4 Lemma. Legyen ν s, t s,t S egy olyan gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, mely azzal az A : R + A függvénnyel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melynek kanonikus dekompozíciója a, B, η P bv R +,. Legyen m : R + egy folytonos, korlátos változású függvény. Legyen s, t S esetén ν s, t := ε ms 1 ν s, t ε mt. Ekkor minden s, t S és f D esetén ahol ]s,t] T ν s,t Ife = ]s,t] Ad mτ 1A dτt ν τ,tf := Ad mτ 1A dτt ν τ,tf + d + + ]s,t] d i,j=1 ]s,t] d ]s,t] T ν τ,tad mτ 1X i fea idτ ]s,t] X i T ν τ,tfe m i dτ T ν τ,tad mτ 1X i Ad mτ 1X j feb i, jdτ T ν τ,tfmτ 1 zmτ T ν τ,tfe d T ν τ,tad mτ 1X i fex i z η dz dτ. Bizonyítás. Alkalmazzuk a 8.4.3 Lemmát a gy, s, t := fms 1 ymt, y, s, t S függvényre. Nyilván ge, t, t = fe, és T ν s,tge, s, t = fms 1 ymt ν s, tdy = fe ν s, tdy = T ν s,tfe. Továbbá X i gy, τ, t = d dh gexphx i y, τ, t = d h=0 dh fmτ 1 exphx i ymt h=0 = d dh fexphad mτ 1X i mτ 1 ymt h=0 = Ad mτ 1X i fmτ 1 ymt, tehát X i T ν τ,tge, τ, t = = Ad mτ 1X i fmτ 1 ymt ν τ, tdy Ad mτ 1X i fz ν τ, tdz = T ν τ,tad mτ 1X i fe. Hasonlóan X i X j T ν τ,tge, τ, t = T ν τ,tad mτ 1X i Ad mτ 1X j fe.

208 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Nyilván T ν τ,tgz, τ, t = fmτ 1 zymt ν τ, tdy = T ν τ,tfmτ 1 zmτ, speciálisan Továbbá D 2 gy, τ, t = T ν τ,tge, τ, t = T ν τ,tfe. d dh gy, τ + h, t = h=0 d dh fmτ + h 1 ymt. h=0 Az fz := fz 1 ymt, z függvényekre teljesül ahol X fmτ = Következésképpen d fmτ d = X fmτ m i dτ, d dh fexp hx i mτ 1 ymt = X i fmτ 1 ymt. h=0 T ν τ,td 2 ge, τ, t = Ezzel készen van a bizonyítás. d T ν τ,tx i fem i dτ. 8.4.5 Lemma. Legyenek ν s, t s,t S és ν s, t s,t S gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoportok. Tegyük fel, hogy létezik egy olyan m : R + folytonos függvény, hogy ν s, t := ε ms 1 ν s, t ε mt minden s, t S esetén. Ekkor m korlátos változású. Bizonyítás. Először vegyük észre, hogy egy νs, t s,t S hemicsoport akkor és csak akkor folytonosan korlátos változású, ha létezik olyan v : R + R monoton növekvő, folytonos függvény, hogy x i y νs, tdy vt vs, ϕy νs, tdy vt vs teljesül minden s, t S és i = 1,..., d esetén. Ebből nyilván következik, hogy minden U Ue környezethez létezik olyan cu > 0 konstans, hogy νs, t U cuvt vs, x i y νs, tdy cuvt vs. U Legyen most T > 0. Ekkor K T := {mt : t [0, T ]} egy kompakt halmaz ben. Létezik olyan V T Ue környezet, hogy V T = V 1 T és K 1 T V T K T U 0. Továbbá létezik olyan ṼT Ue környezete, hogy K T Ṽ T K 1 T V T.

8.4. KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 209 Legyen s, t S T és k {1,..., d}. Ha y V T, akkor mt 1 y 1 mt U 0, tehát alkalmazhatjuk a Taylor formulát: x k ms 1 mt = x k ms 1 ymtmt 1 y 1 mt d = x k ms 1 ymt + x i mt 1 y 1 mt X i x k ξy, s, t, ahol ξy, s, t U 0. Tehát x k ms 1 mt = x k ms 1 mt ν s, tdy x k ν s, t V T + x k ms 1 ymt ν s, tdy V T d + X i x k x i mt 1 y 1 mt ν s, tdy. V T Mivel ν s, t s,t S egy gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, ezért létezik olyan v T : R + R monoton növekvő folytonos függvény, hogy x k ms 1 ymt ν s, tdy = x k z ν s, tdz V T ms 1 V T mt x k z ν s, tdz + x k ν s, t ṼT v T t v T s. Ṽ T Hasonlóan, létezik olyan v T : R + R monoton növekvő, folytonos függvény, melyre teljesül x k ν s, t V v V T t v V T s és x i mt 1 y 1 mt ν s, tdy = d Ad ji V T mt x 1 j y ν j=1 V s, tdy T d c K T x j y ν s, tdy v T t v T s. V T j=1 Következésképpen minden s, t S T és k {1,..., d} esetén x k ms 1 mt v T t v T s, ahol v T t := v T t + cv T t és c := 1 + ck T d j=1 X i x k. Nyilván v T monoton növekvő, ezért m korlátos változású. 8.4.6 Lemma. Legyen ν s, t s,t S egy olyan gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, mely az a, B, η P bv R +, hármasnak felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Legyen m : R + egy olyan folytonos függvény, hogy a ν s, t := ε ms 1 ν s, t ε mt, s, t S hemicsoport is gyengén folytonosan korlátos változású. Ekkor a ν s, t s,t S hemicsoport azzal az a, B, η P bv R +, hármassal kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melyre

210 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK i η dy dτ = η mτ dy mτ 1 dτ, ii a idτ = d Ad ij mτ a jdτ + m 1 i dτ j=1 + x i y d x j mτymτ 1 Ad ij mτ η dy dτ, 1 j=1 iii B dτ = Ad mτ 1 B dτ Ad mτ 1. Bizonyítás. A 8.4.5 Lemma alapján az m függvény korlátos változású, tehát alkalmazhatjuk a 8.4.4 Lemmát. Nyilván d ]s,t] T ν τ,tad mτ 1X i fea idτ = d i,j=1 ]s,t] T ν τ,tad ji mτ 1 X j fea idτ, Továbbá ]s,t] = ]s,t] d i,j=1 ]s,t] T ν τ,tad mτ 1X i Ad mτ 1X j feb i, jdτ T ν τ,tfmτ 1 zmτ T ν τ,tfe T ν τ,tfy T ν τ,tfe = d k, d ]s,t] T ν τ,tx k X l feb k, ldτ. T ν τ,tad mτ 1X i fex i z η dz dτ d T ν τ,tad mτ 1X i fex i mτymτ 1 η dy dτ. Tehát minden s, t S és f D esetén T ν s,t Ife = ]s,t] A dτt ν τ,tf, ahol az A : R + A függvény kanonikus dekompozíciója a, B, η P bv R +,. A 6.7.1 és 6.7.4 Tételek szerint a gyenge backward evolúciós egyenlet kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot hoz létre a gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoportok és a P bv R +, paraméterhalmaz között, így kész a lemma bizonyítása. 8.4.7 Lemma. Legyen νs, t s,t S egy olyan hemicsoport, mely az m, B, η PR +, és az m, B, η PR +, paramétereknek is megfelel az eltolt gyenge backward evolúcios egyenlet szerint. Ekkor m, B, η = m, B, η.

8.4. KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 211 Bizonyítás. Legyen s, t S esetén ν s, t := ε m s ν s, t ε m t 1, ν s, t := ε m s ν s, t ε m t 1. A 8.4.1 Lemma szerint ν s, t s,t S egy olyan gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, mely azzal az ã, B, η P bv R +, paraméterrel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melyre d ã idτ := x i m τym τ 1 x j yad ij m τ η dy dτ, Bdτ := Ad mτ Bdτ Ad mτ, ηdy dτ := ηmτ 1 dy mτ dτ. gyengén folytonosan korlátos változású he- Hasonló formulák érvényesek a ν s, t s,t S micsoportra is. Továbbá minden s, t S estén j=1 ν s, t = ε ms 1 ν s, t ε mt, ahol mt := m tm t 1, t R +, ezért alkalmazhatjuk a 8.4.6 Lemmát. Mivel η dy dτ = η mτ dy mτ 1 dτ, így tehát η = η. η m τ 1 dy m τ dτ = η m τ 1 mτ dy mτ 1 m τ dτ, Mivel B dτ = Ad mτ 1 B dτ Ad mτ 1, így tehát B = B. Abból, hogy Ad m τ B dτ Ad m τ = Ad mτ 1Ad m τ B dτ Ad m τad mτ 1, ã idτ = d Ad mτ 1ã jdτ + m i dτ j=1 + levezethetjük, hogy x i m τym τ 1 = d j=1 + Ad mτ 1 x i y d x j mτymτ 1 Ad mτ 1 η dy dτ, j=1 d x j yad ij m τ η dy dτ j=1 x i m τym τ 1 x i m τzm τ 1 j=1 d k=1 x k yad jk m τ η dy dτ + m i dτ d x j mτm τzm τ 1 mτ 1 Ad mτ 1 η dz dτ.

212 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Mivel m τ = mτ 1 m τ, így Ad m τ = Ad mτ 1Ad m τ, tehát Ad ij m τ = d k=1 Ad ik mτ 1Adkj m τ, ezért m i dτ = 0, i = 1,..., d, amiből m0 = e alapján azt kapjuk, hogy mt = e minden t R + esetén. Ezért m = m. 8.4.8 Tétel. Legyen νs, t s,t S egy hemicsoport M 1 ban. Ekkor pontosan egy olyan m, B, η PR +, hármas van, mely a νs, t s,t S hemicsoporttal kapcsolatos az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Bizonyítás. Az egyértelműséget a 8.4.7 Lemmában bizonyítottuk. Legyen n, l N esetén Nyilván minden s, t S és n N esetén µ n s, t = µ nl := ν l 1 n, l n. *[nt] µ nl = ν [ns], [nt]. n n l=[ns]+1 Most lim [nr]/n = r, r R + azt eredményezi, hogy lim µ n s, t = νs, t minden s, t S esetén. A következő vizsgálat célja az, hogy megmutassuk, hogy a 8.3.2 Tétel alkalmazható. Az s, t µs, t, S ből M 1 be vivő leképezés T w folytonossága miatt a {µ nl : n N, 1 l [nt]} háromszögrendszer infinitézimális minden t R + esetén. Következésképpen minden T > 0 és minden elegendően nagy n N esetén definiálhatjuk az m n : [0, T ] lokális várhatóérték függvényt: [nt] m n t := m nl és a B n : [0, T ] M + d, B nt = b n i, jt i,j=1,...,d lokális kovarianciafüggvényt: [nt] b n i, jt := x i y x i m nl x j y x j m nl µ nl dy. Továbbá minden n N esetén definiáljuk az η n M + R + mértéket: [nt] η n dy [0, t] := µ nl dy. Feinsilver [29] 6.1 és 6.2 lemmái alapján létezik olyan m, B, η PR +, hármas és olyan n részsorozat, hogy

8.4. KONVOLÚCIÓS HEMICSOPORTOK PARAMÉTEREZÉSE 213 lim n fy η n dy [0, t] = fy ηdy [0, t] ha t R + és f C e, lim n lim n b n i, jt = bi, jt ha t R +, m n t = mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén. Definiáljuk a B : R + M d, Bt = bi, jt i,j=1,...,d függvényt a következő módon: bi, j := bi, jt x i yx j y ηdy [0, t]. Alkalmazva a 8.3.2 Tételt, azt kapjuk, hogy a νs, t s,t S hemicsoport az m, B, η PR +, hármasnak felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. A gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoportokat a következő módon karakterizálhatjuk: 8.4.9 Állítás. Legyen νs, t s,t S az a hemicsoport M 1 ben, mely az m, B, η PR +, hármasnak felel meg az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. A νs, t s,t S hemicsoport akkor és csak akkor gyengén folytonosan korlátos változású, ha az m függvény korlátos változású. Bizonyítás. Legyen s, t S esetén νs, t := ε ms νs, t ε mt 1. A 8.4.1 Lemma alapján νs, t s,t S egy folytonosan korlátos változású hemicsoport. Ha νs, t s,t S gyengén folytonosan korlátos változású, akkor a 8.4.5 Lemma szerint az m függvény korlátos változású. Ha az m függvény korlátos változású, akkor a 8.4.4 Lemma alapján minden T > 0 és minden f C 2 esetén létezik olyan v T : R + R monoton növekvő folytonos függvény, hogy T νs,t Ife v T t v T s, tehát a νs, t s,t S hemicsoport gyengén folytonosan korlátos változású. A következő állítás leírja a kapcsolatot a P bv R +, és a PR +, paraméterhalmazokkal történő paraméterezések között. 8.4.10 Állítás. Legyen νs, t s,t S az a gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, mely az a, B, η P bv R +, paraméternek felel meg a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint. Legyen m, B, η PR +, az a hármas, mely a νs, t s,t S hemicsoportnak az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint felel meg. Ekkor m i = ai, i = 1,..., d, B = B és η = η. Bizonyítás. Legyen s, t S esetén νs, t := ε ms νs, t ε mt 1. A 8.4.1 Lemma alapján νs, t s,t S az a gyengén folytonosan korlátos változású hemicsoport, mely az

214 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK ã, B, η P bv R +, paraméternek felel meg, ahol ãidτ := x i mτymτ 1 Bdτ := Ad mτ B dτ Ad mτ, ηdy dτ := η mτ 1 dy mτ dτ. d x j yad ij mτ η dy dτ, Továbbá νs, t = ε ms νs, t ε mt 1, ezért alkalmazhatjuk a 8.4.6 Lemmát. Mivel így η = η. Mivel ηdy dτ = ηmτ dy mτ 1 dτ = η mτ 1 mτ dy mτ 1 mτ dτ, j=1 Bdτ = Ad mτ 1 Bdτ Ad mτ 1 = Ad mτ 1Ad mτ B dτ Ad mτad mτ 1, így B = B. Végül abból, hogy aidτ = = d Ad ij mτ ãjdτ + m 1 i dτ j=1 + x i y d Ad ij mτ 1 j=1 + m i dτ + d x j mτymτ 1 Ad ij mτ ηdy dτ 1 j=1 x i mτymτ 1 x i y d x j yad ij mτ ηdy dτ j=1 d x j mτymτ 1 Ad ij mτ ηdy dτ, 1 j=1 azt kapjuk, hogy aidτ = m i dτ, hiszen Ad mτ 1 = Ad mτ 1. Mivel ai0 = m i 0 = 0, így ait = m i t minden t R + esetén. A konvolúciós félcsoportok speciális esetét a következő állítás tartalmazza: 8.4.11 Állítás. Ha νs, t s,t S egy eltolás invariáns hemicsoport, azaz νs+h, t+h = νs, t minden s, t S és h R + esetén, akkor νs, t s,t S gyengén folytonosan korlátos változású. Ha A A jelöli a νt t 0, νt := ν0, t, t R + konvolúciós félcsoport generáló funkcionálját, akkor a νs, t s,t S hemicsoport a t ta, R + ból A be vivő leképezéssel kapcsolatos. Ekvivalens módon, ha az A A kanonikus dekompozíciója a 0, B 0, η 0, akkor a νs, t s,t S hemicsoport azzal az a, B, η P bv R +, paraméterrel kapcsolatos a gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, melyre at := ta 0, Bt := tb 0

8.5. FORWARD EVOLÚCIÓS EYENLET 215 és ηdy [0, t] := tη 0 dy. Ha m, B, η PR +, az a hármas, mely a νs, t s,t S hemicsoporttal kapcsolatos az eltolt gyenge backward evolúciós egyenlet szerint, akkor az m függvény multiplikatív: ms + t = msmt minden s, t S esetén. Fordítva, ha νs, t s,t S az a hemicsoport, mely egy olyan m, B, η PR +, hármasnak felel meg, ahol m multiplikatív és B és η olyan, hogy Bt := tb 0 és ηdy [0, t] := tη 0 dy, akkor νs, t s,t S eltolás invariáns. 8.5 Forward evolúciós egyenlet A 8.3.2 Tételben megjelenő limesz hemicsoport forward evolúciós egyenlettel is kapcsolatba hozható. A természetes út az, hogy a µ M 1 mértékhez rendelt Tµ jobb invariáns konvolúciós operátort használjuk, mely szintén a C 0 függvénytéren van értelmezve: T µ fx := fyx µdy ha x. Legyen µs, t s,t S egy hemicsoport M 1 ben és A : R + A egy olyan monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója a, B, η P bv R +,. Azt mondjuk, hogy a µs, t s,t S hemicsoport és az A : R + A leképezés megfelelnek egymásnak a gyenge forward evolúciós egyenlet szerint, ha minden s, t S és f D esetén teljesül T µs,t Ife = ]s,t] Adτ Tµs,τ f. A kapcsolat a forward evolúciós egyenlet szerint áll fenn, ha minden s, t S és f D esetén T µs,t If = N Adτ Tµs,τ f, ]s,t] ahol A A esetén az N A : C 2 C 0 lineáris operátor definíciója: N A fx := AR x f. Megjegyezzük, hogy a forward evolúciós egyenlet írható a következő formában is: 8.5.1 T µs,t If = ]s,t] T µs,τ ÑAdτ f lásd Siebert [91], hiszen az X i Tµ L x fe = T µ Xi fx egyenlet, és hasonló meggondolások alapján T µs,t Ifx = T µs,t IL x fe = T µs,t IL x fe = Adτ Tµs,τ L x f = T µs,τ Ñ Adτ fx. ]s,t] ]s,t]

216 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Megjegyezzük, hogy beszélhetünk még a T µs,t I = ]s,t] T µs,τ ÑAdτ erős forward evolúciós egyenletről is, amelyben operátor értékű Riemann Stieltjes integrál szerepel lásd Born [16]. 8.5.2 Megjegyzés. Ugyanazokat a módszereket alkalmazva, mint a 6. fejezetben, belátható, hogy a 6.6.1 Tételben szereplő limesz hemicsoport gyenge forward evolúciós egyenlettel is kapcsolatos. Ha a Lie csoport második megszámlálható, akkor a kapcsolat fennáll a 8.5.1 forward evolúciós egyenlet szerint is lásd Siebert [91] Theorem 4.3 és Lemma 2.10 bizonyításában használt érveléseit. Most legyen µs, t s,t S egy hemicsoport M 1 ben és m, B, η PR +,. Azt mondjuk, hogy a µs, t s,t S hemicsoport és az m, B, η hármas megfelelnek egymásnak az eltolt gyenge forward evolúciós egyenlet szerint, ha minden s, t S és f D esetén teljesül T µ s,t Ife = Adτ g s,τ, ahol µs, t := ε ms µs, t ε mt 1, g s,τ y := T µ s,τ fmτymτ 1 és az A : R + A kanonikus dekompozíciója 0, B, η. A kapcsolat az eltolt forward evolúciós egyenlet szerint áll fenn, ha minden s, t S és f D esetén T µ s,t If = Adτ g s,τ,, ]s,t] ]s,t] ahol g s,τ,y u := T µ s,τ fmτumτ 1 y. Az eltolt forward evolúciós egyenlet írható 8.5.3 T µ s,t If = Adτ h s,τ,, ]s,t] alakban is, ahol hs,τ,z u := T µ s,τ L z fmτumτ 1 = fzymτumτ 1 µs, τdy. 8.5.4 Megjegyzés. Mint a nem eltolt esetben, most is belátható, hogy a 8.3.2 Tételben szereplő limesz hemicsoport eltolt gyenge forward evolúciós egyenlettel is kapcsolatos, és ha a Lie csoport második megszámlálható, akkor a kapcsolat fennáll a 8.5.3 eltolt forward evolúciós egyenlet szerint is.

8.6. MARTINÁL PROBLÉMA 217 8.6 Martingál probléma Ebben az alfejezetben feltesszük, hogy a Lie csoport második megszámlálható. Legyen ξ t t 0 egy beli értékeket felvevő sztochasztikus folyamat, és A : R + A egy olyan monoton növekvő folytonos leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója a, B, η P bv R +,. Azt mondjuk, hogy a ξ t t 0 folyamat és az A : R + A leképezések martingál kapcsolatban vannak, ha minden f D függvény esetén az fξ t AdτL ξτ f [0,t] = fξ t d [0,t] [0,t] X i fξ τ aidτ 1 2 fξ τ y fξ τ folyamat egy martingál a természetes filtrációval. d d i,j=1 [0,t] X i Xj fξ τ bi, jdτ X i fξ τ x i y ηdy dτ Feinsilver [29] bebizonyította a következő tételt független növekményű folyamatok martingál kapcsolattal történő karakterizációjáról: 8.6.1 Tétel. Legyen A : R + A egy olyan monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója a, B, η P bv R +,. Ekkor létezik olyan értékű ξ = ξ t t 0 folyamat, melynek trajektóriái a DR +, Szkorohod térbe esnek, martingál kapcsolatban van az A leképezéssel. Továbbá a folyamat sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű, és eloszlását a DR +, térben egyértelműen meghatározza az A leképezés. A következő állítás leírja az összefüggést hemicsoportoknak a martingál kapcsolattal és a forward evolúciós egyenlettel történő karakterizálása között: 8.6.2 Állítás. Legyen ξ t t 0 egy beli értékű sztochasztikus folyamat és A : R + A egy olyan monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója a, B, η P bv R +,. Jelölje s, t S esetén µs, t a ξs 1 ξ t eloszlását. A ξ t t 0 folyamat és az A leképezés akkor és csak akkor vannak martingál kapcsolatban, ha minden s, t S, minden f D és µ0, s majdnem minden z esetén T µs,t Ifz = T µs,τ Ñ Adτ fz. Más szavakkal, ha a forward evolúciós egyenlet fennáll majdnem mindenütt. ]s,t] Bizonyítás. A következő állítások ekvivalensek: 1 A ξ t t 0 folyamat és az A leképezés martingál kapcsolatban vannak egymással.

218 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK 2 Minden f D függvény esetén az fξ t AdτL ξτ f folyamat martingál. [0,t] 3 Minden s, t S és f D esetén { } E fξ t AdτL ξτ f F s ξ = fξ s [0,t] [0,s] AdτL ξτ f P m.m., ahol F ξ s a {ξ τ, τ [0, s]} elemek által generált σ algebrát jelöli. Felhasználva, hogy a ξ t t 0 folyamat független bal növekményű, azt kapjuk, hogy { } E fξ t AdτL ξτ f F s ξ [0,t] { } = E fξ s ξs 1 ξ t AdτL ξτ f AdτL ξτ f F s ξ [0,s] ]s,t] { } = Efzξs 1 ξ t AdτL ξτ f E AdτL ξτ f F s ξ, z=ξs [0,s] tehát 1, 2 vagy 3 ekvivalens a következő állítással is: ]s,t] 4 Minden s, t S és f D esetén { Efzξs 1 ξ t fz = E z=ξs ]s,t] } AdτL ξτ f F s ξ P m.m. Nyilván Efzξ 1 s ξ t fz = T µs,t Ifξ s z=ξs P m.m.. Továbbá { E ]s,t] } X i L ξτ fe aidτ F s ξ = E = [0,t] ]s,t] X i L zξ 1 s ξ τ fe aidτ T µs,τ Xi fξ s aidτ z=ξs P m.m., és hasonló meggondolások alapján { } E AdτL ξτ f F s ξ = ]s,t] ]s,t] T µs,τ Ñ Adτ fξ s P m.m., amivel kész a bizonyítás.

8.6. MARTINÁL PROBLÉMA 219 Most legyen ξ t t 0 egy beli értékű sztochasztikus folyamat és m, B, η PR +,. Azt modjuk, hogy a ξ t t 0 folyamat és az m, B, η PR +, hármas eltolt martingál kapcsolatban vannak, ha minden f D függvény esetén az fξ t mt 1 ÃdτL ξτ R mτ 1f [0,t] folyamat martingál a természetes filtrációval, ahol à : R + A az a monoton növekvő, folytonos, korlátos változású leképezés, melynek kanonikus dekompozíciója 0, B, η. Feinsilver [29] bebizonyította a következő tételt független növekményű folyamatok eltolt martingál kapcsolattal történő karakterizációjáról: 8.6.3 Tétel. Tetszőleges m, B, η PR +, esetén létezik olyan beli értékű ξ t t 0 folyamat, melynek trajektóriái a DR +, Szkorohod térbe esnek és eltolt martingál kapcsolatban van az m, B, η hármassal. Továbbá a folyamat sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű, és eloszlását a DR +, térben egyértelműen meghatározza az m, B, η hármas. Fordítva, ha ξ t t 0 egy olyan beli értékű folyamat, melynek trajektóriái a DR +, Szkorohod térbe esnek és független bal növekményű, akkor pontosan egy olyan m, B, η PR +, hármas létezik, mely eltolt martingál kapcsolatban van a ξ t t 0 folyamattal. Más szavakkal, az eltolt martingál kapcsolat kölcsönösen egyértelmű kapcsolatot teremt a független bal növekményű folyamatok által a DR +, Szkorohod téren generált valószínűségi mértékek és a PR +, paraméterhalmaz között. A hemicsoportoknak az eltolt martingál kapcsolattal és az eltolt forward evolúciós egyenlettel történő karakterizálása közötti kapcsolat ugyanúgy kezelhető, mint a nem eltolt esetben: 8.6.4 Állítás. Legyen ξ t t 0 egy beli értékű sztochasztikus folyamat és m, B, η PR +,. Jelölje s, t S esetén µs, t a ξs 1 ξ t eloszlását. A ξ t t 0 folyamat és az m, B, η hármas akkor és csak akkor vannak eltolt martingál kapcsolatban, ha minden s, t S, minden f D és µ0, s majdnem minden z esetén T µ s,t Ifz = Adτ h s,τ,z, ahol ]s,t] hs,τ,z u := T µ s,τ L z fmτumτ 1. Más szavakkal, az eltolt forward evolúciós egyenlet fennáll majdnem mindenütt. Összekombinálva a 8.4.2, 8.4.8 és 8.6.3 Tételeket, a 8.6.4 Állítást és a 8.5.4 Megjegyzést, kapjuk a következő eredményt: 8.6.5 Tétel. Legyen µs, t s,t S egy hemicsoport M 1 ben és m, B, η PR +,. Ekkor a következő állítások ekvivalensek:

220 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK i µs, t s,t S kapcsolatban van az m, B, η hármassal az eltolt backward evolúciós egyenlet szerint; ii µs, t s,t S kapcsolatban van az m, B, η hármassal az eltolt forward evolúciós egyenlet szerint; iii az eltolt forward evolúciós egyenlet fennáll µ0, s majdnem mindenütt; iv µs, t s,t S eltolt martingál kapcsolatban van az m, B, η hármassal. 8.7 Funkcionális centrális határeloszlás tételek globális és lokális centrálással Ebben az alfejezetben ismét feltesszük, hogy a Lie csoport második megszámlálható. Alkalmazva a 8.3.2 Tételt, bizonyítást adunk Feinsilver [29] határeloszlástételeire. Először tekintsük a globális centrálást. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } soronként független beli véletlen elemek. Minden n N esetén legyen k n : R + Z + olyan monoton növekvő, balról folytonos függvény, hogy k n 0 = 0, k n R + = Z +, és teljesüljön a lim max P ξ nl U = 0 1 l k n t infinitézimalitási feltétel minden U Ue és t R + ξ n = ξ n t t 0, ξ n t := k nt ξ nl esetén. Tekintsük n N esetén a sztochasztikus folyamatot. Jelölje µ nl a ξ nl eloszlását. Definiáljuk minden n N esetén az η n M + R + mértéket, valamint minden T > 0 és minden elegendően nagy n N esetén az m n : [0, T ] és B n : [0, T ] M + d függvényeket úgy, mint a 8.3 alfejezetben. Egy m, B, η PR +, hármas esetén legyen B : R + M + d, Bt = bi, jti,j=1,...,d, bi, jt := bi, jt + x i yx j y ηdy [0, t]. 8.7.1 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely az m, B, η PR +, hármassal kapcsolatos az eltolt gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a m n t mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén,

8.7. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK 221 b B n t Bt ha t D, c fy η n dy [0, t] fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξ n L ξ. Bizonyítás. i= ii. Nyilván teljesülnek a 8.3.2 Tétel feltételei, így kapjuk a véges L dimenziós eloszlások ξ f n ξ konvergenciáját. ihman, Skorohod [36, Theorem VI. 5.4] L alapján a ξ n ξ konvergencia bizonyításához elegendő azt belátni, hogy minden T > 0 és ϑ > 0 esetén teljesül 8.7.2 ahol α n T, δ, ϑ := lim δ 0 sup t s<δ 0 s t T lim α nt, δ, ϑ = 0, { } sup P ϱξ n t, x > ϑ ξ n s = x, x és ϱ egy olyan bal invariáns metrika a csoporton, hogy egy teljes szeparábilis metrikus tér a ϱ metrikával. Mivel a ξt t 0 folyamat független bal növekményű, így { } { } P ϱξ n t, x > ϑ ξ n s = x = P ϱξ n s 1 ξ n t, e > ϑ ξ n s = x k n t = P ϱξ n s 1 ξ n t, e > ϑ = P ϱ ξ nl, e > ϑ = µ n s, t{y : ϱy, e > ϑ}, ahol µ n s, t M 1, s, t S, µ n s, t := *k nt l=k ns+1 Az a feltételből következik, hogy K T := {m n t : n N, t [0, T ]} egy kompakt halmaz ben. Legyen U ϑ Ue egy olyan környezet, hogy U ϑ {y : ϱy, e ϑ}. Választhatunk egy olyan ŨT,ϑ Ue környezetet, hogy ŨT,ϑ K T U ϑ K 1. Ekkor µ nl. T µ n s, t U ϑ = µ n s, tm n s U ϑ m n t 1 µ n s, tk T U ϑ K 1 T µ ns, t ŨT,ϑ, ahol µ n s, t M 1, s, t S, és tehát µ n s, t := *k nt µ nl l=k n s+1 µ nl := µ nl ε m 1, nl µ n s, t = ε mn s µ n s, t ε mnt 1.

222 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK Legyen f C e D. A {µ nl : n N, 1 l k n T } háromszögrendszer infinitézimalitásából következik, hogy K T := {m nl : n N, 1 l k n T } egy kompakt halmaz ben. Nyilván b ben és c ben is egyenletes a konvergencia t [0, T ] ben, ezért minden U Ue környezet esetén lim lim sup sup η n U ]s, t] + β n ]s, t] = 0, δ 0 t s δ 0 s t T ahol a β n M + R + és η n M + R +, n N, mértékeket úgy definiáljuk, mint a 8.2 alfejezetben. Alkalmazva a 8.2.2 és 8.2.3 Lemmákat, azt kapjuk, hogy minden n N és s, t S esetén fy d µ n s, tdy fy d η n s, tdy + 2bc 2f, 1, K T, T β n ]s, t] + b 2 f 2,2,K T + c 2 f, 1, K T, T η n V 1 ]s, t] + β n ]s, t] 2, ahol η n s, t M 1, s, t S, A 8.1.2 Lemma felhasználásával fy d η n s, tdy = η n s, t := k n t l=k n s+1 k nt l=k ns+1 µ nl. T Ife µ nl k n t l=k n s+1 b f 2,K T η n V 1 ]s, t] + β n ]s, t] + c 2 f, 1, K T, T β n ]s, t]. T µ nl Ife Következésképpen azt kapjuk, hogy lim lim sup δ 0 sup t s δ 0 s t T fy d µ n s, tdy = 0. Végül egy olyan f C e D függvényt választva, melyre f 1 Ũ T,ϑ, azt kapjuk, hogy teljesül a 8.7.2 feltétel. ii= i. Legyen n egy tetszőleges részsorozata n nek. Mint Feinsilver [29] Lemma 6.1 és Lemma 6.2 lemmáiban, létezik olyan m, B, η PR +, hármas és egy olyan n részsorozata n nek, hogy lim fy η n n dy [0, t] = fy η dy [0, t] ha t R + lim b n n i, jt = b i, jt ha t R +, és f C e, lim m n n t = m t egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén.

8.7. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK 223 Legyen B : R + M d, B t = b i, jt i,j=1,...,d, b i, j := b i, jt x i yx j y η dy [0, t]. A 8.3.3 Lemma i pontja alapján azt kapjuk, hogy a B függvény monoton növekvő, tehát m, B, η PR +,. Az i= ii állítás felhasználásával azt kapjuk, hogy ξ n L ξ, ahol ξ = ξ t t 0 egy olyan sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely az m, B, η hármassal kapcsolatos. A 8.4.8 Tétel alapján m, B, η = m, B, η. Mivel n tetszőleges részsorozata n nek, így megkapjuk a ii állítást. Hasonló módon nyerhetünk határeloszlás tételt lokális centrálással. Definiáljuk n N esetén a következő ξ n = ξ n t t 0 sztochasztikus folyamatokat: ξ n t := k nt ξnl m 1 nl. 8.7.3 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy olyan beli értékű, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamat, mely a 0, B, η P bv R +, hármassal kapcsolatos a gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ben. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a B n t Bt ha t D, b fy η n dy [0, t] fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξn L ξ. Bizonyítás. Ugyanazokat az érveléseket lehet használni, mint a 8.7.1 Tétel bizonyítása során. Megjegyezzük, hogy az i ben szereplő b feltétel azzal ekvivalens, hogy fy η n dy [0, t] fy ηdy [0, t] ha t D, f C e, ahol az η n s, t M 1, s, t S mértékeket úgy definiáljuk, mint az előző bizonyításban. A következő tétel szükséges és elégséges feltételt ad független növekményű folyamatok sorozatának konvergenciájára. 8.7.4 Tétel. Legyenek ξ = ξt t 0 és ξ n = ξ n t t 0, n N, beli értéket felvevő, sztochasztikusan folytonos, független bal növekményű folyamatok, melyek az m, B, η PR +,, illetve az m n, B n, η n PR +,, n N hármasokkal kapcsolatosak az eltolt gyenge evolúciós egyenlet szerint. Legyen D egy sűrű halmaz R + ban. Ekkor a következő állítások ekvivalensek:

224 8. FEJEZET. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK i a m n t mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén, b Bn t Bt ha t D, c fy η n dy [0, t] fy ηdy [0, t] ha t D, f C e. ii ξ n L ξ. Bizonyítás. i= ii. Jelölje n N és s, t S esetén ν n s, t a ξ n s 1 ξ n t eloszlását. Mint a 8.4.8 Tétel bizonyításában, minden n N esetén lim k νk n s, t = ν n s, t ha s, t S, ahol és *[kt] ν n k s, t := ν l 1 n, k k l, l=[ks]+1 lim fy η n k k dy [0, t] = fy η n dy [0, t] ha t R + és f C e, lim k B k n i, jt = B n i, jt ha t R +, lim m k n k t = mt egyenletesen t [0, T ] ben minden T > 0 esetén. Figyelembe véve, hogy a C 0 tér szeparábilis, diagonalizációs eljárással és a 8.3.2 Tétellel L bizonyítható a ξ n ξ konvergencia. ii= i ugyanúgy bizonyítható, mint a 8.7.1 Tétel esetén. Végül megemlítünk olyan határeloszlás tételeket, melyekben a limesz folyamat független, stacionárius növekményű. Legyenek {ξ nl : n, l N 2 } soronként független, azonos eloszlású értékű véletlen elemek. Legyen k n n 1 egy olyan sorozat N ben, melyre k n. Definiáljuk n N esetén a ξ n = ξ n t t 0, ξ n t := [tk n ] ξ nl sztochasztikus folyamatokat. Legyen µ n a ξ nl, l N, elemek közös eloszlása. 8.7.5 Tétel. Legyen ξ = ξt t 0 egy beli értéket felvevő, sztochasztikusan folytonos, független stacionárius bal növekményű folyamat, melynek A A a generáló funkcionálja. Legyen A A kanonikus dekompozíciója a 0, B 0, η 0. Ekkor a következő állítások ekvivalensek:

8.7. FUNKCIONÁLIS CENTRÁLIS HATÁRELOSZLÁS TÉTELEK 225 i a k n Ex i ξ n1 a 0 i ha i = 1,..., d, b k n Covx i ξ n1, x j ξ n1 b 0 i, j + x i yx j y η 0 dy ha i, j = 1,..., d, c k n Efξ n1 fy η 0 dy ha f C e. ii ξ n L ξ. iii ξ n t L ξt ha t R +. Bizonyítás. i ii következik a 8.7.1 Tételből. i= iii következik Hazod [40, p. 63] általános eredményéből. iii= i Siebert [89] eredményei alapján bizonyítható, Nobel [66] Poisson approximációról szóló eredményét felhasználva. Lásd Hazod, Scheffler [42] és Scheffler [87] cikkeit. 8.7.6 Tétel. Legyenek ξ = ξt t 0 és ξ n = ξ n t t 0, n N, beli értéket felvevő, sztochasztikusan folytonos, független stacionárius bal növekményű folyamatok, melyeknek a generáló funkcionáljai A A, illetve A n A, n N. Legyen A A és A n A, n N kanonikus dekompozíciója a 0, B 0, η 0, illetve a n, B n, η n. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: i a a n a 0, b Bn B 0, c fy η n dy fy η 0 dy ha f C e. ii ξ n L ξ. iii ξ n t L ξt ha t R +. Bizonyítás. i ii következik a 8.7.4 Tételből. iii= i lényegében szerepel Siebert [89] cikkében, és i= iii bizonyítható Hazod [40, p. 63] áltános eredeménye alapján. A részletek szerepelnek a 3 fejezetben. Megjegyezzük, hogy = R d, + esetén a 8.7.5 és 8.7.6 Tételekben szereplő állítások L azzal is ekvivalensek, hogy ξ n 1 ξ1.

Irodalomjegyzék [1] Applebaum, D. and Kunita, H. 1993. Lévy flows on manifolds and Lévy processes on Lie groups. J. Math. Kyoto Univ. 33, 1103 1123. [2] Araujo, A. and iné, E. 1980. The central limit theorem for real and Banach valued random variables. John Wiley & Sons, New York. [3] Baldi, P. 1985. Unicité du plongement d une mesure de probabilité dans un semigroupe de convolution gaussien. Cas non-abélien. Math. Z. 188, 411 417. [4] Bendikov, A. 1995. Potential Theory on Infinite Dimensional Abelian roups. de ruyter Studies in Mathematics 21, Walter de ruyter, Berlin New York. [5] Bentkus, V. 1986. On the dependence on the dimension of the estimate of Berry Esseen. Lith. Math. J. 26, 205 210. [6] Bentkus, V. and Bloznelis, M. 1989. Nonuniform estimate of rate of convergence in central limit theorem with stable limit law. Lith. Math. J. 29, 14 26. [7] Bentkus, V., ötze, F., Paulauskas, V. and Račkauskas, A. 1990. The accuracy of aussian approximation in Banach spaces. Preprint No 90 100 Sonderforschungsbereich 343, Diskrete Strukturen in der Mathematik, Bielefeld. [8] Bentkus, V. and Pap,. 1996. The accuracy of aussian approximations in nilpotent Lie groups. J. Theor. Probab. 9, 995 1017. [9] Berg, C. 1976. Potential theory on the infinite dimensional torus. Invent. Math. 32, 49 100. [10] Bergström, H. 1969. On the central limit theorem in R k. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 14, 113 126. [11] Bhattacharya, R.N. and Ranga Rao, R. 1976. Normal Approximation and Asymptotic Expansions. John Wiley & Sons, New York. [12] Billingsley, P. 1968. Convergence of probability measures. John Wiley & Sons, New York. 227

228 IRODALOMJEYZÉK [13] Born, E. 1986. Differenzierbare Funktionen und Faltungshalbgruppen auf einer lokalkompakten ruppe. Dissertation, Universität Tübingen. [14] Born, E. 1989. Projective Lie algebra bases of a locally compact group and uniform differentiability, Math. Z. 200, 279 292. [15] Born, E. 1989. An explicit Lévy Hinčin formula for convolution semigroups on locally compact groups. J. Theor. Probab. 2, 325 342. [16] Born, E. 1990. Hemigroups of probability measures on a locally compact group. Math. Ann. 287, 653 673. [17] Bourbaki, N. 1960, 1972. Éléments de Mathématique, roupes et Algèbres de Lie, Chapitres 1,2,3., Actual. Scient. Ind. 1285, 1349. Hermann, Paris. [18] Bruhat, F. 1961. Distributions sur un groupe localement compact et applications à l étude des représentations des groupes p-adiques. Bull. Soc. Math. Fr. 89, 43 75. [19] Carnal, H. 1964. Unendlich oft teilbare Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf kompakten ruppen. Math. Ann. 153, 351 383. [20] Crépel, P. and Raugi, A. 1978. Théorème central limite sur les groupes nilpotents. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat. 14, 145 164. [21] Crépel, P. and Roynette, B. 1977. Une loi du logarithme itéré pour le groupe d Heisenberg. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 39, 217 229. [22] Csiszár, I. 1964. A note on limiting distributions on topological groups. Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 9, 595 598. [23] Csiszár, I. 1966. On infinite products of random elements and infinite convolutions of probability distributions on locally compact groups. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 5, 279 295. [24] Csiszár, I. 1970. Some problems concernings measures on topological spaces and convolutions of measures on topological groups. In: Les Probabilités sur les Structures Algébraiques, pp. 75 96, Paris. [25] Csiszár, I. 1971. On the weak continuity of convolution in a convolution algebra over an arbitrary topological group. Stud. Sci. Math. Hung. 6, 27 40. [26] Dieudonné, N. 1971. Éléments d Analyse, Tome IV, Chapitres XVIII à XX. authier Villars Éditeur, Paris. [27] Drisch, T. and allardo, L. 1984. Stable laws on the Heisenberg groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups VII. Proceedings, Oberwolfach, 1983. Lect. Notes Math., vol. 1064, pp. 56 79 Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo.

IRODALOMJEYZÉK 229 [28] Emery, M. 1978. Stabilité des solutions des équations différentielles stochastiques application aux intégrales multiplicatives stochastiques. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 41, 241 262. [29] Feinsilver, Ph. 1978. Processes with independent increments on a Lie group. Trans. Am. Math. Soc. 242, 73 121. [30] Feinsilver, Ph. and Schott, R. 1989. Operators, stochastic processes, and Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups IX. Proceedings, Oberwolfach, 1988. Lect. Notes Math., vol. 1379, pp. 75 85 Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [31] Feinsilver, Ph. and Schott, R. 1989. An operator approach to processes on Lie groups. In: Probability Theory on Vector Spaces IV. Proceedings, Łancut, 1987. Lect. Notes Math., vol. 1391, pp. 59 65 Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [32] Folland,.B. and Stein, E.M. 1982. Hardy spaces on homogeneous groups. Princeton University Press, New Jersey. [33] nedenko, B.V. and Kolmogorov, A.N. 1949. Limit distributions for sums of independent random variables. ostekhizdat. English translation Addison Wesley, Cambridge, 1954 [34] ötze, F. 1981. On Edgeworth expansions in Banach spaces. Ann. Probab. 9, 852 859. [35] renander, U. 1968. Probabilities on algebraic structures. Almquist & Wilksells, Stockholm. [36] ihman, I.I. and Skorohod, A.V. 1974. The theory of stochastic processes I. Springer, Berlin Heidelberg New York. [37] uivarc h, Y. 1980. Sur la loi des grands nombres et le rayon spectral d une marche aléatoire. Astérisque 74, 47 98. [38] Hantsch, L. and von Waldenfels, W. 1979. A random walk on the general linear group related to a problem in atomic physics. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups. Proceedings, Oberwolfach 1978. Lect. Notes Math. vol. 595, pp. 131 143. Springer, Berlin Heidelberg New York. [39] Hazod, W. 1974. Symmetrische aussverteilungen sind diffus. Manuscr. Math. 14, 283 295. [40] Hazod, W. 1977. Stetige Halbgruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und erzeugende Distributionen. Lect. Notes Math. Vol. 595, Springer, Berlin öttingen Heidelberg New York.

230 IRODALOMJEYZÉK [41] Hazod, W. 1984. Stable and semistable probabilities on groups and on vector spaces. In: Szynal, D., Weron, A. eds. Probability Theory on Vector Spaces III. Proceedings, Lublin 1983. Lect. Notes Math., vol. 1080, pp. 69 89 Springer, Berlin Heidelberg New York Tokyo. [42] Hazod, W. and Scheffler, H.P. 1993. The domains of partial attraction of probabilities on groups and on vector spaces, J. Theor. Probab. 6, 175 186. [43] Hazod, W. and Siebert, E. 1986. Continuous automorphism groups on a locally compact group contracting modulo a compact subgroup and applications to stable convolution semigroups. Semigroup Forum 33, 111 143. [44] Hebisch, W. 1989. Sharp pointwise estimate for kernels of the semigroup generated by sums of even powers of vector fields on homogeneous groups. Stud. Math. 95, 93 106. [45] Herod, J.U. and McKelvey, R.W. 1980. A Hille Yosida theory for evolutions, Isr. J. Math. 36, 13 40. [46] Hewitt, E. and Ross, K. A. 1963. Abstract Harmonic Analysis, Vol.1. Springer, Berlin öttingen Heidelberg New York. [47] Heyer, H. 1968. L analyse de Fourier non-commutative et applications à la théorie des probabilités. Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat. 4, 143 164. [48] Heyer, H. 1977. Probability Measures on Locally Compact roups. Springer, Berlin Heidelberg New York. [49] Heyer, H. 1979. Stetige Hemigruppen von Wahrscheinlichkeitsmaßen und additive Prozesse auf einer lokalkompaker ruppe. Nieuw Arch. Wiskd., IV. Ser. 27, 287 340. [50] Heyer, H. 1996. eneration and representation of convolution hemigroups on a polish group. In: Heyer, H. and Hirai, T. eds. Infinite Dimensional Harmonic Analysis. Transactions of a erman Japanese Symposium, Tübingen 1995, pp. 32 85. D.+M. räbner, Bamberg. [51] Heyer, H. and Pap,. 1997. Convergence of noncommutative triangular arrays of probability measures on a Lie group. J. Theor. Probab. 10, 1003 1052. [52] Heyer, H. and Pap,. to appear in 1997. Convolution hemigroups of bounded variation on a Lie projective group. J. London Math. Soc. [53] Holevo, A.S. 1991. An analog of the Itô decomposition for multiplicative processes with values in a Lie group. Sankhyā Ser. A 53, 158 161. [54] Hörmander, L. 1967. Hypoelliptic second order differential equations. Acta Math. 119, 147-171.

IRODALOMJEYZÉK 231 [55] Hucke, I. 1985. Schwache Stabilität stochastischer Differentialgleichungen und der zentrale renzwertsatz auf lokalkompakten ruppen. Dissertation, Universität Mainz. [56] Hunt,.A. 1956. Semi groups of measures on Lie groups. Trans. Am. Math. Soc. 81, 264 293. [57] Ibero, M. 1976. Intégrales stochastiques multiplicatives et construction de diffusions sur un groupe de Lie. Bull. Sci. Math. 100, 175 191. [58] Ikeda, N. and Watanabe, S. 1981. Stochastic differential equations and diffusion processes. North-Holland, Amsterdam. [59] Jacod, J. and Shiryaev, A.N. 1987. Limit Theorems for Stochastic Processes. Springer, Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo. [60] Khokhlov, Y.S. 1991. The domain of normal attraction of a stable probability measure on a nilpotent group. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups X. Proceedings, Oberwolfach, 1990, pp. 239 247. Plenum Press, New York. [61] Kuelbs, J. and Kurtz, T. 1974. Berry-Esseen estimates in Hilbert space and application to the law of the iterated logarithm. Ann. Probab. 2, 387 407. [62] Major, P. and Shlosman, S.B. 1979. A local limit theorem for the convolution of probability measures on a compact connected group. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 50, 137 148. [63] von Mises, R. 1918. Über die anzzahligkeit der Atomgewichte und verwandte Frage. Physikal. Z. 19, 490 500. [64] Montgomery, D. and Zippin, L. 1974. Topological Transformation roups. Robert E. Krieger Publ., Huntington New York. [65] Neuenschwander, D. 1996. Probabilities on the Heisenberg roup. Lect. Notes Math. Vol. 1630, Springer, Berlin Heidelberg. [66] Nobel, S. 1991. Limit theorems for probability measures on simply connected nilpotent Lie groups, J. Theor. Probab. 4, 261 284. [67] Pap,. 1991. Rate of convergence in CLT on stratified groups. J. Multivariate Anal. 38, 333 365. [68] Pap,. 1991. A new proof of the central limit theorem on stratified Lie groups. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups X. Proceedings, Oberwolfach 1990, pp. 329 336. Plenum Press, New York. [69] Pap,. 1993. Central limit theorems on nilpotent Lie groups. Probab. Math. Stat. 14, 287 312.

232 IRODALOMJEYZÉK [70] Pap,. 1993. Characterization of aussian semigroups on a Lie group. Publ. Math. 42, 295 301. [71] Pap,. 1994. Uniqueness of embedding into a aussian semigroup on a nilpotent Lie group. Arch. Math. 62, 282 288. [72] Pap,. 1994. Central limit theorems on some topological groups. A survey. In: New Trends in Probability Theory and Mathematical Statistics II. Proceedings of the Second Ukrainian-Hungarian Conference, Munkachevo, 1992, pp. 214 224. [73] Pap,. 1994. Central limit theorems on stratified Lie groups. In: VI International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Proceedings, Vilnius, 1993 [74] Pap,. 1994. Processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. In: Balakrishnan, A.V. ed. 4th International Conference on Advances in Communication & Control. Proceedings, Rhodes, 1993, pp. 787 792. University of Nevada, Las Vegas. [75] Pap,. 1995. Edgeworth expansions in nilpotent Lie groups. In: Heyer, H.eds. Probability Theory on Vector Spaces XI. Proceedings, Oberwolfach 1995, pp. 274 291. World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. [76] Pap,. 1997. Construction of processes with stationary independent increments on nilpotent Lie groups. Arch. Math. 69, 146 155. [77] Pap,. 1997. Functional central limit theorems and hemigroups of probability measures on a Lie group. Preprint. [78] Paulauskas, V. and Račkauskas, A. 1989. Approximation theory in the central limit theorem. Exact results in Banach spaces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London. [79] Perrin, J.B. 1928. Etude mathèmatique du mouvement Brownien de rotation. Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 45, 1 51. [80] Rachev, S.T. and Yukich, J.E. 1991. Rates of convergence of α-stable random motions. J. Theor. Probab. 4, 333 352. [81] Prékopa, A., Rényi, A. and Urbanik, K. 1956. On the limit distribution of sums of independent random variables in commutative compact topological groups. Acta Math. Hung. 7, 11 16. [82] Raugi, A. 1978. Théorème de la limite centrale sur les groupes nilpotents. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 43, 149 172.

IRODALOMJEYZÉK 233 [83] Riesz, F. és Szőkefalvi-Nagy, B. 1988. Funkcionálanalízis. Tankönyvkiadó, Budapest. [84] Roynette, B. 1975. Croissance et mouvements browniens d un groupe de Lie nilpotent et simplement connexe. Z. Wahrsch. Verw. ebiete 32, 133 138. [85] Ruzsa, I.Z. and Székely,.J. 1988. Algebraic Probability Theory, Wiley, New York. [86] Sazonov, V. 1981. Normal approximation some recent advances. Lect. Notes Math., vol. 879, Springer, Berlin New York. [87] Scheffler, H.P. 1994. D Domains of attraction of stable measures on stratified Lie groups, J. Theor. Probab. 7, 767 792. [88] Siebert, E. 1976. Convergence and convolutions of probability measures on a topological group. Ann. Prob. 4, 433 443. [89] Siebert, E. 1981. Fourier analysis and limit theorems for convolution semigroups on a locally compact group. Adv. Math. 39, 111 154. [90] Siebert, E. 1982. Absolute continuity, singularity, and supports of auss semigroups on a Lie group. Monatsh. Math. 93, 239-253. [91] Siebert, E. 1982. Continuous hemigroups of probability measures on a Lie group. In: Heyer, H. ed. Probability Measures on roups. Proceedings, Oberwolfach 1981. Lect. Notes Math. vol. 1080, pp. 362 402. Springer, Berlin Heidelberg New York. [92] Siebert, E. 1985. Jumps of stochastic processes with values in a topological group. Probab. Mat. Stat. 5, 197 209. [93] Siebert, E. 1986. Contractive automorphisms on locally compact groups. Math. Z. 191, 73 90. [94] Sobko,.M. 1972. The first diffusion problem on differential manifolds. Theory Probab. Appl. 17, 521 528. [95] Stroock, D.W. and Varadhan, S.R.S. 1973. Limit theorems for random walks on Lie groups. Sankhyā Ser. A 35, 277 294. [96] Takano, K. 1954. On some limit theorems of probability distributions. Ann. Inst. Stat. Math. Tokyo 6 [97] Taylor, M.E. 1986. Noncommutative harmonic analysis. Mathematical Surveys and Monographs, no. 22 American Mathematical Society, Providence, Rhode Island. [98] Tutubalin, V.N. 1964. Compositions of measures on the simplest nilpotent group. Theory Probab. Appl. 9, 479 487.

234 IRODALOMJEYZÉK [99] Virtser, A.D. 1974. Limit theorems for compositions of distribution on certain nilpotent Lie groups. Theory Probab. Appl. 19, 86 105. [100] Wehn, D. 1959. Limit distributions on Lie groups. Thesis, Yale. [101] Wehn, D. 1962. Probabilities on Lie groups. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 48, 791 795.