Lineáris programozási feladatok típusai és grafikus megoldása Alkalmazott operáiókutatás. elıadás 8/9. tanév 8. szeptemer 9. Maimumfeladat grafikus megoldása lehetséges megoldások + 4 + () 8 + Optimális megoldás: () () ma = = 6 8
Definíiók I. Lehetséges megoldások halmaza: az összes olyan pontok halmaza, amelyek kielégítik a lineáris programozási feladat valamennyi feltételét és az összes elıjelkorlátozást. Optimális megoldás: Maimalizálási prolémáan: olyan pont a lehetséges megoldások halmazáan, amelyikhez a legnagyo élfüggvényérték tartozik. Minimalizálási prolémáan: olyan pont a lehetséges megoldások halmazáan, amelyikhez a legkise élfüggvényérték tartozik Definíiók II. Maimum feladat: olyan lineáris programozási feladat, amelyen a feltételek értelmőek és a élfüggvény maimuma jelenti az optimumot. Minimum feladat: olyan lineáris programozási feladat, amelyen a feltételek értelmőek és a élfüggvény minimuma jelenti az optimumot.
Minimumfeladat Egy állattartó telepen az állatok etetésére kétfajta (A és B jelő) tápot használnak. A tápok 4 fajta alapanyagot (vitamin, úza, luerna, kukoria) tartalmaznak a tálázatan szereplı megoszlásan: A táp összetétele: kg =, kg vitamin +, kg luerna +,7 kg kukoria B táp összetétele: kg =, kg úza +, kg luerna +,6 kg kukoria Az állatorvos szerint egy állatnak naponta legalá 5,8 kg tápot kell megennie az elıírt összetételen. Vitamin Búza Luerna Kukoria kg költsége A táp, kg kg, kg,7 kg Ft/kg B táp kg, kg, kg,6 kg 4 Ft/kg Feladat: Határozzuk meg a gazdaságos tápanyag összetételét, ha ismertek az egyes összetevık elıírt mennyiségei és az A, illetve a B jelő táp kilogrammonkénti költségei. (Raffai,. o.) Elıírt menny, kg,4 kg, kg 4, kg 5,8 kg Minimumfeladat matematikai modellje = az A tápól szükséges mennyiség (a keverék elıállításához) = a B tápól szükséges mennyiség (a keverék elıállításához),,,7 + +, +, +,6,,4, 4, (vitamin) (úza) (luerna) (kukoria) (nemnegativitási feltétel) (nemnegativitási feltétel) z = + 4 min
Minimumfeladat grafikus megoldása, +,, +,,7 +,6 +,,4, (V) (B) (L) 4, (K) + 4 (nemn. felt.) (nemn. felt.) Optimális megoldás: = =,5 min Speiális esetek Alternatív optimum Nem megoldható lineáris programozási feladat A élfüggvény nem korlátos 4
Alternatív optimum Egy autógyár személyautókat és teherautókat gyárt. A gyártás során minden egyes jármőnek végig kell mennie a festımőhelyen és a karosszéria összeszerelı mőhelyen. Ha a festımőhely sak teherautókat festene, naponta 4 daraot tudna lefesteni. Ha a festımőhely sak személyautókat festene, naponta 6 daraot tudna elkészíteni. Ha a karosszériamőhely sak személyautókat állítana össze, naponta 5 d-ot tudna megsinálni, míg ha sak teherautókkal foglalkozna, akkor naponta 5 d-ot tudna elkészíteni. Minden teherautó dollárral és minden személyautó dollárral járul hozzá a profithoz. Alkalmazzuk a lineáris programozást a napi termelési terv meghatározásához úgy, hogy a vállalat profitja maimális legyen! (Winston, 68.o.) Alternatív optimum = a naponta gyártott teherautók száma = a naponta gyártott személyautók száma Matematikai modell: + 4 6 (festımőhely felt.) + 5 5 (karosszériamőhely felt.), + ma (száz dolláran) 5
Alternatív optimum + 4 6 (f) + 5 5 (k), + ma (száz dolláran) alternatív optimum, a szakasz minden pontja optimális Nem megoldható lineáris programozási feladat Az autókereskedık azt szeretnék, hogy az autógyár naponta legalá teherautót és személyautót gyártson. 4 5, + 6 + 5 + ma (száz dolláran) 6
Nem megoldható lineáris programozási feladat + 4 + 5, 6 5 + (t) (f) (k) (sz) ma (száz dolláran) LEHESÉGES MEGOLDÁSOK HALMAZA ÜRES! A élfüggvény nem korlátos () + 6 (), ma A CÉLFÜGGVÉNY NEM ÉRINI, HANEM MESZI A LEHESÉGES MEGOLDÁSOK HALMAZÁ! 7
A élfüggvény nem korlátos Maimum feladat esetén: a lehetséges megoldások halmazáan találhatók olyan pontok, amelyekhez tetszılegesen nagy z értékek tartoznak (növekvı z irányáa haladva sosem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát). Minimum feladat esetén: a lehetséges megoldások halmazáan találhatók olyan pontok, amelyekhez tetszılegesen kisi z érték tartozik (sökkenı z irányáa haladva sosem hagyjuk el a lehetséges megoldások halmazát). Lineáris programozási feladatok típusai és matematikai modelljei 8
Maimum feladat Maimum feladat: olyan lineáris programozási feladat, amelyen a feltételek értelmőek és a élfüggvény maimuma jelenti az optimumot. Alapforma ma Kanonikus forma, u + u= ma hiányváltozó Minimum feladat Minimum feladat: olyan lineáris programozási feladat, amelyen a feltételek értelmőek és a élfüggvény minimuma jelenti az optimumot. Alapforma min Kanonikus forma, v v= min töletváltozó 9
Normál feladat Normál feladat: olyan maimumfeladat, amelynél a feltétel is teljesül Alapforma, ma Kanonikus forma, u, + u= ma Módosított normál feladat Módosított normál feladat: olyan lineáris programozási feladat, amelynek egyenlıtlenségei értelmőek, tartalmaz egyenleteket és a élfüggvény maimumát keressük, továá és vektorok minden koordinátája nemnegatív, A A Alapforma =, ma A Kanonikus forma, u, A + u= = ma,
Általános feladat Általános feladat: olyan lineáris programozási feladat, amelynek feltételei között a kapaitások () nemnegativitása mellett reláiók is szerepelnek és maimum a él Alapforma A A = A, ma Kanonikus forma, u, v A + u= A = A v= ma, Köszönöm a figyelmet!