Operációkutatás. Glashütter Andrea

Átírás

1 Glashütter Andrea

2 Mátriok I. Mátriok A mátriok olyan számtáblázatok, amelyek n db sorral és m db oszloppal rendelkeznek. Általános mátri: m n nm n n m m a a a a a a a a a A K M O M M K K Egy tetszleges mátri: 8 M, ahol számpár jelöli a mátri típusát. A mátri egy tetszleges elemére a következképpen hivatkozhatunk: a. Speciális mátriok:. Kvadratikus (négyzetes) mátri: sorok és oszlopok száma megegyezik. 9 K A kvadratikus mátri azon elemei, amelynek a sor és oszlopindeei megegyeznek a mátri fátlóját alkotják.. Diagonális mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlón kívüli elemei csupa nullák. D. Egységmátri: olyan diagonális mátri, melynek fátlójában csak egyesek vannak. E Az egységmátri jele mindig: E. Ha egy tetszleges mátriot megszorzunk egységmátriszal és a szorzás elvégezhet, akkor az eredménymátri megegyezik az eredeti mátriszal.

3 Mátriok. Alsó háromszög mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlója felett csak nullák vannak. A. Fels háromszög mátri: olyan kvadratikus mátri, melynek a fátlója alatt csak nullák vannak. 6 F 6. Nullmátri: olyan mátri, melynek minden eleme nulla. Oszlopvektor: n típusú mátri. o 8. Sorvektor: m típusú mátri. ( ) * s 9. Egységvektor: olyan vektor, amelynek egyetlen komponense, az összes többi nulla. ( ) * e ( ) * e. Összegzvektor: olyan vektor, melynek minden komponense.

4 Mátriok Mveletek: Legyen A, és B 8 6. Transzponálás: A *, azaz az A mátri elemeinek oszlop- és sorindeét felcserélve kapjuk 8 A T * mátri elemeit. Ha a, akkor a. Az A kvadratikus mátri szimmetrikus, ha * A A. Pl: SZ 6 6 Az A kvadratikus mátri ferdén szimmetrikus, ha A A*. Pl: F 6 6. Relációk: < > Csak azonos típusú mátriokat lehet egymással összehasonlítani. Mindig az azonos inde9 elemeket kell összehasonlítani a két mátriban. Ha van olyan reláció, amely minden egyes elempár esetén igaz, akkor a reláció igaz a két mátrira is. Pl: ha C, akkor elmondhatjuk, hogy A C. 9. Összeadás: Csak azonos típusú mátriok adhatók össze, az összeadást elemenként végezzük. Az azonos inde9 elemeket adjuk rendre össze. A B. 6 Tulajdonságok: -kommutatív: ABBA -asszociatív: (AB)CA(BC)

5 Mátriok. Kivonás: Csak azonos típusú mátrioknak lehet a különbségét képezni. A m9veletet elemenként végezzük. Az azonos inde9 elemeknek képezzük a különbségét. A B 6 6. Skalárral való szorzás: A mátri minden elemét megszorozzuk a kijelölt skalárral (valós számmal). 6 C 6 8 µ ( ) ( µ A) Legyen A, A, A n azonos típusú mátriok,,,, n tetszleges skalárok. Ekkor a A A n A n mátriot az A, A, A n mátriok,,, n skalárokkal való lineáris kombinációjának nevezzük. Nemnegatív lineáris kombinációról beszélünk, ha a skalárok nemnegatívak. Konve lineáris kombinációról beszélünk, ha a skalárok nemnegatívak és az összegük. A 8 A 6 A A A 9 9 A 9 6. Mátriok szorzása FALK-SÉMÁval: A ; B A szorzás nem minden esetben végezhet el. Meg kell vizsgálni, hogy az els tényez (A) oszlopainak száma () megegyezik-e a második tényez (B) sorainak számával (). Ha a két szám egyenl, akkor a szorzás elvégezhet, ellenkez esetben nem.

6 Mátriok A B *(-)* (-)*(-)* ** (-)** ** (-)** Tulajdonságok: általában nem kommutatív asszociatív: (AB)CA(BC) (ha a m9veletek elvégezhetk) (A)B(AB) disztributív: (AB)CACBC A(BC)ABAC (ha a m9veletek elvégezhetk) Összefoglaló tulajdonságok: (AB) * A * B * (A) * A T (AB) * B * A *. Hatványozás: Csak kvadratikus mátriokat lehet hatványozni! A E (mindig ugyanolyan típusú amilyen A mátri) A A A AA A A A M A n A n- A 6

7 Lineáris egyenletrendszerek és a Gauss-elimináció II. Lineáris egyenletrendszerek és a Gausselimináció A lineáris egyenletrendszer bvített mátrián hajtunk végre ekvivalens m9veleteket úgy, hogy az eredeti mátriból egy fels háromszögmátriot kapjunk. Így már könnyen leolvashatjuk az egyenletrendszer megoldásait. Elvégezhet mveletek:. Tetszleges -tól különböz valós számmal bármelyik sort meg lehet szorozni.. Bármelyik sorhoz hozzá lehet adni a többi sornak egy lineáris kombinációját.. A sorok sorrendjét fel lehet cserélni. A m9veletek elvégzése után, a megoldások leolvasáskor a következ esetekkel találkozhatunk: az egyenletrendszernek megoldása van az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van az egyenletrendszernek nincs megoldása. feladat Oldjuk meg a következ lineáris egyenletrendszert! Az egyenletrendszerbl elsként fel kell írni annak bvített mátriát. Ez a bvített mátri az együtthatókból és az egyenletek jobb oldalából áll: Ezen a mátrion kell a fenti m9veleteket végrehajtani úgy, hogy fels háromszög mátri alakú legyen.. lépés: a. sorhoz adjuk hozzá a sort:

8 Lineáris egyenletrendszerek és a Gauss-elimináció. lépés: az els sorhoz adjuk hozzá a. sor kétszeresét:. lépés: cseréljük fel az. és a. sort: lépés: a. sorhoz adjuk hozzá a. sor háromszorosát: Megkaptuk a mátri kívánt alakját. Ebbl is fel tudunk írni egy egyenletrendszert, amelynek a megoldásai megegyeznek az eredeti lineáris egyenletrendszer megoldásaival: - - Az egyenletrendszer. sorából leolvashatjuk hogy. Ezt behelyettesítve a. egyenletbe már csak marad ismeretlen. Megoldva az egyenletet kapjuk: -. Végül az els egyenletbe behelyettesítve az ismert értékeket eredményre jutunk. Megkaptuk tehát az egyenletrendszer megoldásait. Láthatjuk ennek az egyenletrendszernek megoldása van.. feladat 6 Megoldás: az egyenletrendszernek nincs megoldása feladat Megoldás: az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. 6 8

9 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel III. Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat -, FELTÉTELEK ma CÉLFÜGGVÉNY Meg kell keresni az összes olyan pontot, amelyek a megadott feltételeket egyidej9leg teljesítik (L: lehetséges megoldások halmaza). A kapott pontokból kiválasztunk egyet, vagy többet, amelynél a célfüggvény felveszi a kívánt szélsértéket. MAXIMUM PONT LEHETSÉGES MEGOLDÁSOK HALMAZA z : Maimum pont meghatározása: toljuk a célfüggvényt felfelé mindaddig, míg el nem érünk egy olyan pontot, amelynél ha még feljebb tolnánk z -et, akkor már elhagyná L-t. Ez a pont lesz a maimumpont. Jelen esetben ez a pont a. egyenes és. egyenes metszéspontja: 6-9 amelybl és. Ezeket az értékeket a célfüggvénybe behelyettesítve kapjuk a maimum értékét: 8 9

10 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel Definíciók: Halmaz bels pontja: olyan pont, amelynek van olyan környezete, ami szintén a halmazhoz tartozik. Határpont: minden környezet olyan, hogy a halmazhoz tartozó és halmazon kívüli része is van. Etremális pont: a csúcspontok.. feladat - - ; ma Látható, hogy L most egy nemkorlátos halmaz, melyen z : 6 függvényt felfelé tolva a felvett függvényérték tetszlegesen nagy lehet, így a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán, a feladatnak nincs optimális megoldása. (Az, hogy L nem korlátos nem jelenti egyértelm9en, hogy nincs optimális megoldása a feladatnak, hiszen ha z: min lenne, akkor a célfüggvényt értelemszer9en lefelé kellene tolni, és akkor a (,) koordinátájú pont lenne az optimális megoldás.)

11 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat A feltételrendszer legyen ugyanaz, mint a. feladatban, de a célfüggvény legyen: - ma. Legyen z : - Ekkor a következképpen alakul az ábra: Ha a célfüggvényt felfelé toljuk láthatjuk, hogy egybe fog esni a. egyenessel. Azaz a maimumot most nem egyetlen pontban veszi fel, hanem egy szakasz összes pontjában. Ennek a szakasznak kell felírni az egyenletét: Legyenek a szakasz végpontjai Q és Q. Ki kell számolni ezek koordinátáit. Q koordinátáit az. és. egyenesek metszéspontja adja:,. 9 9 Q koordinátáit már kiszámoltuk az. feladatban:,. A szakasz q q, és q Q pont, q Q pont koordinátái.( Megjegyzés: q i koordinátáit oszlopvektor alakban kell megadni!) Behelyettesítve a kapott értékeket: 9 6 A szakasz összes A szakasz egy tetszleges pontjának (pl. valamely végpontjának) koordinátáit a célfüggvénybe helyettesítve megkapjuk a maimum értékét ().

12 Lineáris programozási feladatok megoldása grafikus módszerrel. feladat A feltételrendszer legyen ugyanaz, mint a. feladatban, de a célfüggvény legyen: - ma. Legyen z : - Ekkor a következképpen alakul az ábra: Ha a célfüggvényt felfelé toljuk láthatjuk, hogy egybe fog esni a. egyenes L halmazt határoló félegyenesével. Azaz a maimumot most sem egyetlen pontban veszi fel, hanem egy félegyenes összes pontjában. Ennek a félegyenesnek kell felírni az egyenletét: Legyenek a félegyenes végpontja Q. Ki kell számolni a koordinátáit. Q koordinátáit az. egyenes és az tengely metszéspontja adja: (, ). A félegyenes egyenlete: q tv, ahol t, q Q pont koordinátái és v a félegyenes irányvektora. (Megjegyzés: q i koordinátáit oszlopvektor alakban kell megadni!) A félegyenes irányvektora a következképpen adható meg: A célfüggvény egyenlete -, azaz ennek irányvektora, ahol együtthatója a vektor elemei a következk: együtthatójának ( ) - szerese Behelyettesítve a kapott értékeket: A félegyenes összes pontja: t, ahol t. A félegyenes tetszleges pontjának (pl. kezdpontjának) koordinátáit a célfüggvénybe helyettesítve megkapjuk a maimum értékét (8).

13 Szöveges feladatok IV. Szöveges feladatok Egy pék kg lisztet, kg cukrot,, kg vajat használhat fel féle süti elkészítéséhez. Egy tucat A süti elkészítéséhez kg lisztre, kg cukorra és kg vajra, míg tucat B süti elkészítéséhez 6 kg lisztre, ½ kg cukorra és kg vajra van szüksége. tucat A sütin Ft, tucat B sütin Ft a nyeresége. Hány tucat A és B süti elkészítése maimalizálja a pék nyereségét? TERMÉKEK A B KAPACITÁS ER<FORRÁSOK LISZT 6 CUKOR ½ VAJ, TERMÉKEK HOZAMA A táblázat alapján felírhatjuk az LP feladat matematikai modelljét:, 6 (A feladatot grafikusan megoldva a következ megoldást kapjuk: ;,; és ma), ma

14 Modellalkotás V. Modellalkotás. feladat Egy gyár négyféle terméket (A,B,C,D) termel három erforrás (I., II., III.) segítségével. A fajlagos felhasználásokat, az egyes termékek árát és az egyes erforrások kapacitását az alábbi táblázat mutatja: TERMÉKEK A B C D ERZFORRÁSOK KAPACITÁSA ER<FORRÁSOK I. 8 II. III: ÁR 6 8 Mennyit termeljen az egyes termékekbl a gyár, ha a maimális árbevételt akar elérni az alábbi feltételek teljesülése esetén: a) Az erforrások kapacitása nem léphet túl. b) Az A és B termékekbl legalább annyit kell termelni, mint C-bl. c) A B termékbl legfeljebb egységgel termelhet több, mint D-bl. Megoldás: Jelölje az A-ból, az B-bl, az C-bl, az D-bl gyártandó mennyiséget! Ezekkel a változókkal a feladat matematikai modellje a következ formában írható fel:, 6 8,, 8 ma

15 Modellalkotás. feladat Egy üzemben három gépen (I., II., III.) ötféle terméket (A, A, A, A, A ) lehet elállítani. Minden terméknek mindhárom gépen keresztül kell mennie. Az egyes termékek gépidszükséglete az egyes gépeken különböz. A fajlagos gépidszükségletet, a gépek kapacitását munkaórában a következ táblázat mutatja: TERMÉKEK A A A A A ERZFORRÁSOK KAPACITÁSA I. 8 GÉPEK II. 6 III: Az egyes termékek értékei rendre:,,,, egység. Mennyit termeljen az egyes termékekbl, ha az a célja, hogy maimális termelési értéket érjen el az alábbi feltételek teljesülése esetén: a) A gépek kapacitása nem léphet túl. b) Az els termékbl legalább kétszer annyit kell termelni, mint az ötödikbl. c) A második és a harmadik termékbl összesen legfeljebb darab termelhet. Megoldás: Ha i jelöli az A i (i,,,,) termékbl gyártandó mennyiséget, akkor a feladat matematikai modellje: 8,,,, 6 ma

16 Szállítási feladat VI. Szállítási feladat. feladat FELVEV<HELYEK F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG RAKTÁRAK R 8 R R 9 IGÉNY 6 A táblázatban található számok költségeket jelentenek, azaz például az els raktárból az els felvevhelyre egység terméket 8 egység költséggel tudunk elszállítani. (A költségeket jelöl számok által alkotott mátriot költségmátrinak nevezzük, elemeit c ij -vel jelöljük.) Célunk, hogy megtaláljuk a legolcsóbb szállítást, mellyel minden felvevhely igénye kielégítést nyer, és minden raktár kiürül. Kezdeti feltételként meg kell szabnunk, hogy: A RAKTÁROZOTT MENNYISÉGEK ÖSSZEGÉNEK EGYENLNEK KELL LENNIE A FELVEVHELYEK IGÉNYEINEK ÖSSZEGÉVEL!!!. A feladatot sorminimum-módszer segítségével oldjuk meg. Az eljárás lényeg a következ: Kiválasztjuk a táblázat els sorát. Mivel célunk a legolcsóbb szállítást megtalálni, így a legkisebb költségelem által meghatározott viszonylatban elszállítjuk a maimális mennyiséget. (Ezzel a szállítással vagy kimerült egy raktár, vagy egy megrendel igényét teljesen kielégítettük.) A táblázat szélén lév kapacitást és igényt csökkentjük az elszállított mennyiséggel. Ha nem a tárolóhely kapacitása merült ki, akkor a sor következ legkisebb elemével ismételjük meg ezt a lépést. Ha a tárolóhelyen már nincs elszállítandó termék, akkor a következ sorra lépünk, és ott ismételjük meg az eljárást. Ezeket a lépéseket addig ismételjük, míg eljutunk az utolsó sorba és kifogynak a raktáraink, valamint minden felvevhelyre eljuttatuk a kívánt mennyiséget. Az eljárás segítségével megkapunk egy lehetséges megoldást, mellyel azt a feltételt teljesítettük, hogy raktáraink kiürüljenek és az igényeket is kielégítettük. Ha a fenti lépéseket a kezdeti táblázaton végrehajtjuk a következ táblázatot kapjuk: 6

17 Szállítási feladat F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R 8 6, R R 8 9,, IGÉNY 6 8,, Azokat a helyeket, ahol szállítás történik kötött helynek (pl: 6 ), a többit pedig szabad helynek nevezzük A kötött helyek száma minden szállítási feladatban: RAKTÁRAK SZÁMA (m db)felvevhelyek SZÁMA (n db)- Azaz ebben a feladatban: -6, ami teljesül is, hiszen pontosan 6 kötött helyet jelöltünk be. Tehát egy lehetséges megoldása a feladatnak a következ: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 8 6. szállítás: R \ F Ezen szállítás költsége: *6****89*66. Kérdés: ez az optimális megoldás, vagy létezik ennél olcsóbb szállítás is? Ennek eldöntéséhez rendeljünk hozzá a táblázat minden sorához és oszlopához változókat! Legyenek ezek sorok szerint u, u, u m, az oszlopok szerint v, v, v n! Határozzuk meg ezeknek változóknak az értékét úgy, hogy fennálljon a következ összefüggés: Kötött helyeken: c ij u i v j Szabad helyekre számoljuk ki c ij -( u i v j ) értékeket. v v v v 8 u u -6 u

18 Szállítási feladat Kötött helyekre képezzük a c ij u i v j egyenleteket: (mn- db egyenlet). u v. u v. u v. u v. u v 6. u v 9 változó, 6 egyenlet ` egy szabad ismeretlen legyen u u helyére -át behelyettesítve a többi változó értéke rendre kiszámítható. Szabad helyekre számítsuk ki a c ij -( u i v j ) értékeket. Ha ezen értékek mindegyike pozitív, az eljárás véget ért, a feladat lehetséges megoldása egyben optimális megoldás is. Ha ezen értékek között van negatív, akkor a lehetséges megoldás nem optimális megoldás, szállítások átrendezésével a költségeinket csökkenteni tudjuk. Keressük meg a negatív értékek közül a legkisebbet. Ebbl a pontból indulva képezzünk hurkot a következképpen: Hurok: olyan zárt poligon, amelyik egy szabad helyrl indul ki, és úgy jut oda vissza, hogy közben a poligon sarkain csak kötött helyek vannak. A fenti példában egyetlen egy olyan helyet találtunk a táblázatban, amelyre c ij -( u i v j ) érték negatív. Ebbl a pontból kell kiindulnia a huroknak. A megfelel kötött helyek megkeresésével a következ hurkot kapjuk: A hurok elemeit jelöljük el illetve jelekkel a következképpen: a hurok kiindulási pontjában lév szabad elem jelet kap, majd a kötött helyeket felváltva és jelekkel lássuk el. Így a következket kapjuk: Számítsuk ki a jellel ellátott helyeken lév szállítások minimumát: min(;). Ezt a minimumot adjuk hozzá a jellel ellátott helyek szállításához, és vonjuk ki a jellel ellátott helyek szállításából. A hurok a következképpen alakul: Látható, hogy szabad hely volt, eddig ott nem volt szállítás, de az átrendezéssel egység szállítást rendeltünk hozzá, így ez a hely kötötté vált. Ugyanakkor 9 kötött hely volt egység szállítással, de elvettük onnan az összes szállítást, így szabad hellyé vált. Általánosságban is elmondható, hogy hurokképzés után egy szabad helybl kötött hely lesz, míg egy kötött hely szabaddá válik. Mivel a kötött és szabad helyek viszonya megváltozott újra kell számítani az u-v táblázat értékeit. 8

19 Szállítási feladat v v v v u u - u Látható, hogy most minden szabad helyen az c ij -( u i v j ) értékek pozitívak, azaz a feladat ezen lehetséges megoldása egyben optimális megoldás is. Megkaptuk a lehet legolcsóbb szállítást az adott feltételek mellett. Optimális megoldás: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F Szállítási költség: *6*****6. Fiktív igényl, fiktív raktár A szállítási feladatok esetében sokszor elfordul, hogy a feladat kiírása nem tesz eleget annak a követelménynek, hogy az raktározott mennyiségek összege egyenl legyen az igényel mennyiségek összegével. Két eset fordulhat el: raktárak felesleges kapacitással rendelkeznektúlkínálat vanfiktív igénylt iktatunk be. több az igény, mint a raktározott mennyiségtúlkereslet vanfiktív raktár biztosítja a hiányzó mennyiséget. Fiktív helyeken a szállítások költsége minden esetben (c ij ).. feladat F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R R R IGÉNY A raktározott mennyiségek összege:. Igények összege: 8. fiktív felvevhelyet kell felvenni, ahol az igény éppen annyi, hogy az egyenlség teljesüljön, azaz. 9

20 Szállítási feladat F F F F F RAKTÁROZOTT MENNYISÉG R R R IGÉNY Ezek után a feladatot ugyanúgy kell megoldani, mint az. feladat esetében. Optimális megoldás: Szállítások: Elszállított mennyiség:. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 8. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F 6. szállítás: R \ F. szállítás: R \ F Szállítási költség: 89.

21 Játékelmélet VII. Játékelmélet A játékelméletben olyan helyzeteket vizsgálunk, amelyekben két vagy több személy cselekvései befolyásolják egy esemény kimenetelét, de nem feltétlenül határozzák meg. Így az olyanféle játékok, amelyek kimenetele csak a véletlentl függ (pl.: kockajáték) nem tartoznak a játékelmélet körébe, mert itt nem egy másik játékossal, hanem a szerencsével áll szemben a játékos. Minden játéknak megvannak a szabályai, amelyek a mi esetünkben a következk:. A játékosok száma.. Az egyes játékosok lehetséges tevékenységei. Ezeket a tevékenységeket a játékelméletben a játékos stratégiáinak nevezzük.. Az egyes stratégiák alkalmazása esetén a játékos mennyit nyer vagy veszít. Ezt adja meg a kifizetfüggvény. Legegyszer9bb játékelméleti probléma a kétszemélyes, zérusösszeg9 játékok problémája. ZérusösszegG a játék, ha a játékosok nyereményeinek és veszteségeinek összege, vagyis amennyit nyer az egyik annyit veszít a másik. Minden kétszemélyes játék kifizetfüggvénye egy mátriszal adható meg. A mátrinak annyi sora van, amennyi az egyik játékos stratégiáinak száma, és annyi oszlopa, ahány stratégiája van a másik játékosnak. A mátri eleme az els játékos nyereményét (ill. a másik játékos veszteségét) adja meg. A játékosokat nevezzük A -nak és B -nek. A stratégiáinak száma legyen n, B stratégiáinak száma m. Az A játékos nyereményét tartalmazza a C mátri: c c K cm c c K c m C M M O M c n c n K c nm A c ij szám azt mutatja meg, hogy ha az els játékos az i-edik stratégiát, a második játékos a j-edik stratégiát választja, akkor az els játékos nyereménye c ij. Ha c ij >, akkor az els játékos nyer c ij -t, ha c ij <, akkor az els játékos veszít. Az A olyan i kiválasztására törekszik, hogy c ij a legnagyobb, a B pedig olyan j-t választ, hogy c ij a legkisebb legyen.. feladat Egy vendéglátós egység növelni akarja árait. Különféle lehetségei vannak az áremelés mértékére, kiterjedésére. Az áremelésre a vendégkör is különbözképpen reagálhat: van akit nem befolyásol az áremelés, ugyanannyit fogyaszt, tehát többet fizet, így az egységnek n a bevétele. Van aki ritkábban jön, kevesebbet fogyaszt, így az egységnek csak kisebb mértékben n, vagy nem változik bevétele. Lehet, hogy egyesek nem jönnek többet az étterembe, így az áremelés az egység számára ráfizetést eredményez. Tegyük fel, hogy az egység áremelési stratégiát alkalmazhat, a vendégkör pedig típusra osztható, azaz féle stratégiát alkalmazhat. Legyen A játékos a vendéglátó egység, B játékos a vendégkör. Az A játékos nyereménymátria:

22 Játékelmélet B I. II. III. IV A - - Az A és B játékosnak egyidej9leg kell választania stratégiát, vagyis A -nak egy sort, B -nek egy oszlopot kell választania. A játékos gondolkodása: Megnézem, hogy az egyes stratégiák választása esetén mi a legrosszabb eset, vagyis mennyi a minimális nyereségem (ami persze veszteség is lehet). Ha az. stratégiát választom, akkor az els sor elemei:,-,-,- közül kell választani a legkisebbet, ez -. Hasonlóképpen a stratégia esetén a minimális nyereség, végül a harmadik sor elemei közül a legkisebb -. Tehát a minimális nyereségek sorban: Akkor járok a legjobban, ha ezek közül a legnagyobbat () választom, tehát a. stratégiát alkalmazom. Ebben az esetben az ellenfél bármely stratégiája esetén is legalább érték9 nyereségem van, vagyis biztosan nem veszítek semmit, de lehetségem van a nyerésre is. B játékos gondolkodása: Hasonlóképpen a legrosszabb esetet, a maimális veszteséget nézem meg az egyes stratégiák alkalmazása esetén. ha az I. stratégiát választom, akkor az els oszlop elemei mutatják a veszteséget: lehet, vagy - (vagyis a nyereségem ). ezek közül a legnagyobb. A II. stratégia esetén a második oszlop elemei közül kell kiválasztani a legnagyobbat, ez. A harmadik oszlop elemei közül a legnagyobb, végül a negyedik oszlop elemei közül a legnagyobb a. Tehát a maimális veszteségek: Akkor járok a legjobban, ha ezek közül a legkisebbet választom (), tehát a III. stratégiát alkalmazom. Ekkor legfeljebb a veszteségem, de nyerhetek is. Jelöljük be ezeket a döntéseket a mátriban: I. II. III. IV * * - - Tehát ha az A játékos a., és a B játékos a III. stratégiát alkalmazza, akkor mindkét játékos a mátrinak ugyanazt az elemét választja, a játék értéke pedig. A játék igazságos, mert egyik játékos sem nyer és egyik sem veszít. A kifizetfüggvény, a mátri nyeregpontjának nevezzük azt a (k,l) számpárt, amelyre igaz, hogy a hozzá tartozó c kl függvényérték az t tartalmazó sorban a legkisebb, ugyanakkor az t tartalmazó oszlopban a legnagyobb szám.

23 Játékelmélet Ha létezik a mátrinak nyeregpontja, akkor a játékot szigorúan determináltnak nevezzük, és az a (k,l) stratégiapár az optimális stratégia. A szigorúan determinált játék optimális stratégiáját tiszta stratégiának nevezzük, a nyeregpontban lév elem, c kl pedig a játék értéke. Ha a játék értéke, akkor a játékot igazságosnak nevezzük. A példában ismertetett játék szigorúan determinált, az optimális tiszta stratégia, a mátri nyeregpontja a (,) számpár. A játék igazságos, mert a játék értéke, c -val egyenl.. feladat Nem minden esetben olyan egyszer9 a megoldás, mint az elz példában. Legyen a játék mátria: C Nézzük meg, hogy van-e nyeregpontja a mátrinak: Soronkénti minimumokat és oszloponkénti maimumokat keresve kapjuk: I. II.. *. * Látható, hogy a mátrinak nincs nyeregpontja, a játék nem szigorúan determinált. Így tehát nem lehet megadni az eddig ismertetett módon az optimális stratégiát. Hogyan gondolkodhatnak a játékosok? Mivel egyik stratégia sem optimális, felváltva alkalmazom mindkét lehetséges stratégiát. Ezt kevert stratégiának nevezzük Az A játékos számára a kevert stratégia a következket jelenti: Játszd az. sort p valószín9séggel, a. sor p valószín9séggel. A B játékos számára pedig a kevert stratégia: Az I. oszlopot q valószín9séggel, a II. oszlopot q valószín9séggel válaszd! Az A játékos nyereménye egy diszkrét valószín9ségi változó, jelöljük -vel, és képezzük a nyeremény várható értékét. Az A játékosnak az az érdeke, hogy úgy válassza meg p, p értékét, hogy a nyeremény várható értéke a lehet legnagyobb legyen. a B játékosnak ezzel szemben pedig célja úgy megválasztani q, és q értékét, hogy a várható érték minimális legyen. A várható érték felírásánál felhasználjuk, hogy a két játékos stratégiája független, így tehát pl. annak a valószín9sége, hogy A az., és B is az I. stratégiát választja: p q, vagyis a táblázat bal fels sarkában lév egység nyereményének a valószín9sége. Így a várható érték: M c p q p q p q p. ( ) q Vizsgáljuk meg a két játékos szemszögébl a fenti feladatot, valamint számítsuk ki a hiányzó valószín9ségeket: A továbbiakban jelölje a játék értékét: v.

24 Játékelmélet A játékos szemszögébl: p p p p p p v v p p p, p Az els és az utolsó feltétel nyilvánvaló a valószín9ség fogalmából. A. sorban lév egyenltlenség bal oldala az A játékos nyereményének várható értéke abban az esetben, ha B az. stratégiát választja. Ez a várható érték nem lehet kisebb, mint a játék értéke, vagyis v. A következ egyenltlenség is azt fejezi ki, hogy a nyeremény várható értéke legalább v kell hogy legyen a B. stratégiája esetén. Ábrázoljuk a egyenltlenségeket koordinátarendszerben! Felvesszük a p és v tengelyt, és a koordinátarendszerben ábrázoljuk az egyenltlenségek megoldását, a közös megoldásra egy síkbeli tartományt kapunk. Mivel A maimális nyereségre törekszik megkeressük a lehetséges megoldások közül azt, amelyhez tartozó v értéke a legnagyobb. Ez a két egyenes metszéspontja, ahol p ½ (így p ½) és v. p p v v B játékos szemszögébl: q q q q v p v q q q q v p v q, q Az els és az utolsó feltétel nyilvánvaló a valószín9ség fogalmából. A. sorban lév egyenltlenség bal oldala a B játékos veszteségének várható értéke abban az esetben, ha A az. stratégiát választja. Ez a várható érték nem lehet nagyobb, mint a játék értéke, vagyis v. A következ egyenltlenség is azt fejezi ki, hogy a veszteség várható értéke legfeljebb v lehet az A. stratégiája esetén. Ábrázoljuk a egyenltlenségeket koordinátarendszerben! Felvesszük a q és v tengelyt, és a koordinátarendszerben ábrázoljuk az egyenltlenségek megoldását, a közös megoldásra egy síkbeli tartományt kapunk. Mivel B minimális veszteségre törekszik megkeressük a lehetséges megoldások közül azt, amelyhez tartozó v értéke a legkisebb. Ez a két egyenes metszéspontja, ahol q d(így q e) és v. Tehát az optimális stratégia: A játékos: mindkét lehetséget ½ valószín9séggel választja. B játékos: az els lehetséget d, a második lehetséget e valószín9séggel választja. A játék értéke:.

25 Döntésanalízis VIII. Döntésanalízis Egy döntési probléma tisztázása felismerésével kezddik, hogy bizonyos cél eléréséhez két vagy több cselekvési lehetségünk van. Ilyen esetekben a döntést hozó szeretné a legkedvezbb cselekvési lehetséget kiválasztani egy elre meghatározott kritérium alapján. A döntési kritérium azoknak a szempontoknak az összessége, az a megítélési szint, amelynek alapján a döntést hozó a cselekvési lehetségek közül választ. A választást megnehezíti az a tény, hogy a döntést hozó nem tudja pontosan megmondani, hogy a cselekvési lehetségek milyen következményekkel járnak. Ha egy cselekvési lehetségnél két vagy több következménnyel számolhatunk, akkor azt mondjuk, hogy a bizonytalanság körülményei között kell döntést hozni. A döntést hozó helyzetét egy mátri segítségével szemléltetjük. A mátriban a, a,, a n -nel jelöljük a cselekvési lehetségeket, és S, S,, S m -mel a várható kimeneteleket, vagyis várható eseményeket. Kimenetelek\ Cselekvési S S K S m lehetségek` a e e K e m a e e K e m M M M O M a n e n e n K e nm A mátri elemei a megfelel cselekvési lehetséghez és eseményhez tartozó eredményeket jelölik. Például, ha a döntést hozó az a cselekvést választja és az S esemény következik be, akkor az eredmény a döntést hozó számára e. Általánosan az a i cselekvéshez és S j eseményhez tartozó eredmény e ij. Az eredménymátri elemei csak azonos tartalmúak lehetnek, általában nyereséget jelentenek.. feladat Legyen az eredménymátri a következ: S S S S a 8 a 8 - a 6 A mátri elemei jelentsenek nyereséget. Döntéselméleti feladatokat az alábbi kritériumok alapján értékelhetünk: I. A szélsségesen optimista döntést hozó A döntést hozó választásának alapja a maimális nyereségek maimumának megszerzése. A döntést hozó úgy gondolkodik, hogy ha a -et választja, akkor S fog bekövetkezni, az eredménye lesz, ha a -t választja, akkor S valósul meg, és eredménye 8 lesz.. Tehát optimizmusával minden cselekvési lehetséghez egy számot rendel hozzá,

26 Döntésanalízis mégpedig minden cselekvési lehetséghez a sorokban található elemek maimumát (nyereség maimalizálására törekszik): a : a : 8 a a : Mivel cél a maimális nyereség elérése, ezért a döntést hozó elsöpr optimizmusával a -t választja. II. A pesszimista döntést hozó A pesszimista mindig a legrosszabb esetre számít, és ezzel minden cselekvési lehetséghez egy-egy számot rendel hozzá, mégpedig a soronkénti minimumokat. a : a : - a a : 6 Ezek közük választja ki számára a legkedvezbbet, azaz itt a -at, hiszen ezen cselekvés választása esetén ennél csak többet nyerhet, de kevesebbet nem. III. Középérték kritérium Más elnevezés: egyenl valószíngségek esete. A döntést hozó nem tud semmit az S, S, S, S események bekövetkezésérl. Ez a tudatlanság adja azt az ötletet, hogy mindegyik cselekvési lehetséghez rendeljük hozzá az elre számított értékek átlagát. Másképpen: mivel az események megvalósulásával kapcsolatosan nincsen semmi információnk, tételezzük fel, hogy egyenl valószín9séggel következnek be, és számítsuk ki a várható értéket. Így egy átlagszámot rendelünk a döntési változókhoz: a :, a :, a a :, A legkedvezbb döntés, ha ezek közül a maimálisat választja a döntést hozó, itt a -et. IV. Az elmulasztott nyereségek kritériuma Egy mátriból újat készítünk úgy, hogy mindegyik oszlop mindegyik elemét kivonjuk az illet oszlop legnagyobb elemébl. Az így kapott mátri az elmulasztott nyereségek táblázata: S S S S a a a Valójában úgy gondolkodunk, hogy az eseménybl indulunk ki. Ha tudnánk, hogy S fog bekövetkezni, akkor a -t választanánk, hiszen ezzel érhet el a legnagyobb eredmény. Ehhez a döntési alternatívához a esetében -t rendelünk. A többihez a már ismertetett módon az elmulasztott nyereséget. A mátri kiértékelése a következ: mivel elmulasztott nyereségekrl van szó az a célunk, hogy az a legkisebb legyen. Így kiválasztjuk soronként a maimumokat, majd ezek közül a minimálisat, hiszen az így kapott eredménynél az adott cselekvést választva az elmulasztott nyereség csak ennél kevesebb lehet. a : a : a a : A döntés tehát: a. 6