Analízis Gyakorlattámogató jegyzet

Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március.

Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok..................................... 8.. Megoldások....................................... 9. Számsorozatok alaptulajdonságai 9.. Gyakorlat........................................ 9... Mértani (geometriai) sorozatok........................ 6.. Házi Feladatok..................................... 9.. Megoldások....................................... 4. Nevezetes sorozatok 49.. Gyakorlat........................................ 49... Nevezetes sorozatok............................... 5.. Házi Feladatok..................................... 55.. Megoldások....................................... 56 4. Határérték számítás I. 59 4.. Gyakorlat........................................ 59 4... Divergens sorozatok............................... 59 4... Határérték számítás a műveleti tulajdonságok alapján............ 6 4.. Házi Feladatok..................................... 67 4.. Megoldások....................................... 68 5. Határérték számítás II. 7 5.. Gyakorlat........................................ 7 5... Határérték számítás a műveleti tulajdonságok alapján............ 7 5... Sorozatok alsó- és felső határértéke...................... 77 5.. Házi Feladatok..................................... 8 5.. Megoldások....................................... 8 6. Végtelen sorok összege 87 6.. Gyakorlat........................................ 87 6.. Házi Feladatok..................................... 95

4 TARTALOMJEGYZÉK 6.. Megoldások....................................... 96 7. Konvergencia kritériumok, hatványsorok 7.. Gyakorlat........................................ 7... Hatványsorok.................................. 6 7.. Házi Feladatok..................................... 9 7.. Megoldások....................................... 8. Nevezetes függvények 8.. Gyakorlat........................................ 8.. Házi Feladatok..................................... 8.. Megoldások....................................... 4 9. Függvények határértéke 9.. Gyakorlat........................................ 9.. Házi Feladatok..................................... 4 9.. Megoldások....................................... 4.Folytonosság, invertálás 47.. Gyakorlat........................................ 47.. Házi Feladatok..................................... 57.. Megoldások....................................... 58 II. Analízis II. 67.Differenciálszámítás 69.. Gyakorlat........................................ 69... Műveleti szabályok............................... 7.. Házi Feladatok..................................... 75.. Megoldások....................................... 76.Deriválás 8.. Gyakorlat........................................ 8... Logaritmikus deriválás............................. 85.. Házi Feladatok..................................... 87.. Megoldások....................................... 88.Differenciálszámítás alkalmazásai I. 95.. Gyakorlat........................................ 95... Érintő egyenlete................................. 95... L Hospital szabály............................... 97.. Házi Feladatok..................................... 99.. Megoldások....................................... 4.Differenciálszámítás alkalmazásai II. 5 4.. Gyakorlat........................................ 5 4... Taylor-formula és alkalmazásai......................... 5 4... Szöveges szélsőérték feladatok......................... 8 4.. Házi Feladatok.....................................

TARTALOMJEGYZÉK 5 4.. Megoldások....................................... 5.Teljes függvényvizsgálat 9 5.. Gyakorlat........................................ 9 5.. Házi Feladatok..................................... 8 5.. Megoldások....................................... 9 6.Integrálási módszerek 9 6.. Gyakorlat........................................ 9 6... Műveleti tulajdonságok............................. 9 6... Elemi módszerekkel integrálható függvények................. 9 6... Helyettesítéses integrálás............................ 4 6..4. Parciális integrálás............................... 4 6.. Házi Feladatok..................................... 46 6.. Megoldások....................................... 47 7.Speciális függvényosztályok integrálása I. 5 7.. Gyakorlat........................................ 5 7... Racionális függvények integrálása....................... 5 7... Trigonometrikus függvények integrálása I................... 58 7.. Házi Feladatok..................................... 6 7.. Megoldások....................................... 6 8.Speciális függvényosztályok integrálása II. 69 8.. Gyakorlat........................................ 69 8... Trigonometrikus függvények integrálása II................... 69 8... Irracionális függvények integrálása....................... 76 8.. Házi Feladatok..................................... 8 8.. Megoldások....................................... 8 9.Határozott integrál, improprius integrál 95 9.. Gyakorlat........................................ 95 9... Határozott integrál............................... 95 9... Improprius integrál............................... 99 9.. Házi Feladatok..................................... 9.. Megoldások....................................... 4.Differenciálegyenletek.. Gyakorlat........................................... Elsőrendű differenciálegyenletek........................... Másodrendű differenciálegyenletek....................... 5.. Házi Feladatok..................................... 9.. Megoldások........................................Kétváltozós függvények.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok..................................... 9.. Megoldások....................................... 4

6 TARTALOMJEGYZÉK III. Analízis III. 49.Integrálszámítás alkalmazásai I. 5.. Gyakorlat........................................ 5.. Házi Feladatok..................................... 6.. Megoldások....................................... 6.Integrálszámítás alkalmazásai II. 7.. Gyakorlat........................................ 7.. Házi Feladatok..................................... 78.. Megoldások....................................... 79 4.Integrálszámítás alkalmazásai III. 89 4.. Gyakorlat........................................ 89 4.. Házi Feladatok..................................... 94 4.. Megoldások....................................... 95 5.Kétváltozós szélsőérték feladatok 99 5.. Gyakorlat........................................ 99 5... Szabad szélsőérték............................... 99 5... Feltételes szélsőérték.............................. 4 5... Szöveges szélsőérték feladatok......................... 48 5.. Házi Feladatok..................................... 4 5.. Megoldások....................................... 4 6.Vonalintegrál és alkalmazásai 49 6.. Gyakorlat........................................ 49 6... Vonalintegrál.................................. 49 6... Primitív függvény (potenciál) keresés..................... 4 6... Egzakt és egzakttá tehető differenciálegyenletek............... 45 6.. Házi Feladatok..................................... 4 6.. Megoldások....................................... 4 7.Kettősintegrál 449 7.. Gyakorlat........................................ 449 7.. Házi Feladatok..................................... 457 7.. Megoldások....................................... 458

Előszó Én már láttam a Végtelent. mondta az idegen. Nincs benne semmi különleges. Terry Pratchett Jelen jegyzet a TÁMOP-4..-8//A Tananyagfejlesztés című pályázat keretében készült első sorban a Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Karának Programtervező Informatikus hallgatói számára, de könnyen adaptálható A Gazdasági Informatikus, Fizika BSc képzések Kalkulus gyakorlataihoz. A jegyzet minden fejezete megfelel egy-egy 9 perces gyakorlat anyagának és tartalmazza a témakörhöz tartozó, egyéni feldolgozásra szánt feladatokat. Az Analízis I. és Analízis II. rész esetében ez illeszkedik a heti óraszámhoz, Analízis III. rész esetén egy fejezet feladatait két hét alatt dolgozzuk fel. A feladatok megoldásainak végét szimbólummal, a bizonyítások végét pedig szimbólummal jelöltük. Az egyéni feldolgozásra szánt feladatok (Házi Feladatok) megoldásait külön alfejezetben közöltük, hogy lehetőséget nyújtsunk az önálló megoldásra. A jegyzet két formátumban készült. Az elektronikus publikálásra alkalmas böngészhető pdf formátum mellett elérhető egy a hiperlinkektől megfosztott formátumban is, melyet nyomtatásra alkalmasabb, átláthatóbb, a hagyomásnyos könyvformátumokhoz jobban illeszkedő tagolással készítettünk. A jegyzethez a közeljövőben készül továbbá egy java nyelven írt program, melynek segítségével ellenőrző dolgozatok feladatsorait generálhatjuk. A próba feladatsorok a Programtervező Informatikus képzés analízis zárthelyi dolgozataihoz illeszkednek. Ezek időpontjai a képzés keretén belül: Analízis I.. dolgozat 7. gyakorlati héten -6. fejezet anyagából 9 perc. dolgozat. gyakorlati héten 7-. fejezet anyagából 9 perc Analízis II.. dolgozat 7. gyakorlati héten -6 fejezet anyagából 9 perc. dolgozat. gyakorlati héten 7-. fejezet anyagából 9 perc Analízis III. dolgozat. gyakorlati héten -7 fejezet anyagából 9 perc Ez úton szeretném megköszönni Dr. Eisner Tímeának a tananyag összeállítása és rendszerezése során nyújtott segítségét. Az idézet Terry Pratchett Soul Music című regényéből való. Az eredeti: I VE SEEN THE INFINITE, said the stranger. IT S NOTHING SPECIAL. 7

8 TARTALOMJEGYZÉK

Első rész Analízis I. 9

. fejezet Számhalmazok tulajdonságai, bizonyítási módszerek.. Gyakorlat Teljes indukció elve:.. Tétel. Ha a természetes számokra vonatkozó valamely állítás a) igaz a számra, b) abból, hogy az n természetes számra igaz az állítás, következik, hogy az n+ számra is igaz, akkor az állítás igaz minden természetes számra... Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az első n+ természetes szám összege n (n+), azaz n k ++ +n n (n+). k i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+). ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n k iii) Igazoljuk az állítást n+-re! k n (n+). (indukciós feltétel) (.) n+ k (n+)+ k n k (n+)+n(n+) k (.) (n+)+ n(n+) (n+)(n+) (n+)((n+)+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.

. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.. Feladat. Bizonyítsuk be a Bernoulli-féle egyenlőtlenséget, azaz, hogy minden n N és h R esetén a) +nh (+h) n, ha h >, b) (+h) n +nh, ha < h < n. a) i) n esetén +h (+h) +h. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás igaz: iii) Igazoljuk n+-re (+h) n+ (+h) n +nh (+h) n. (.) > (+h) > (.) (+nh)(+h) +nh+h+nh +(n+)h+ }{{} nh +(n+)h. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra. b) Segédegyenlőtlenségek: > h, (h > ; h ) (.) +h nh > +nh. ( < h < n ) (.4) Mivel + h >, ezért (.) ekvivalens a következő, nyilvánvalóan igaz egyenlőtlenséggel > ( h)(+h) }{{} h. Mivel + nh >, ezért (.4) ekvivalens a következő összefüggéssel Felbontva a zárójelet kapjuk, hogy ( nh)(+nh) >. +nh nh n h + nh( nh > ) >. Az igazolandó állítás bal oldalának reciprokát a következőképpen becsülhetjük: (.) ( h) n (a) nh > (+h) n +nh >. Kihasználva, hogy pozitív számok között éppen fordított reláció áll fent, mint reciprokaik között kapható az állítás: (+h) n +nh. >

.. GYAKORLAT.. Feladat. Mutassuk meg, hogy x, x,... x n R, n N számokra (Általánosított háromszög-egyenlőtlenség.). Megoldás: x +x + +x n x + x + + x n. i) n és n esetben az állítás semmitmondó. n esetén x +x x + x. Az abszolútérték előadáson igazolt tulajdonságai alapján a fenti állítás egyszerűen igazolható: } x x x ( x x x x + x ) x +x x + x. Innen szintén az abszolútérték tulajdonságai alapján következik az állítás x +x x + x. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N értékre az állítás igaz, azaz iii) Igazoljuk n+-re x +x + +x n x + x + + x n. (x +x + +x n ) X +x n+ Y x +x + +x n + x n+ (i) X + Y (ii) x + x + + x n + x n+. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N indexre.. Megoldás: A teljes indukciót az indukciós elv másik megfogalmazása alapján végezzük:.. Tétel. Ha a természetes számokra vonatkozó valamely állítás a) igaz a számra, b) abból, hogy minden az n természetes számnál kisebb természetes szám esetén igaz az állítás, következik, hogy az n számra is igaz, akkor az állítás igaz minden természetes számra. i) n esetén az állítás érdektelen, n esetben pedig nyílvánvaló. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N értékre és minden n <n esetére bizonyítottuk az állítást.

4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI iii) Igazoljuk n+-re: Legyen k n (x +x + +x k ) X +(x k+ +x k+ + +x n +x n+ ) Y x +x + +x k + x k+ +x k+ + +x n +x n+ (ii) X + Y (ii) x + x + + x n + x n+. Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N indexre... Megjegyzés. A számok abszolútértékének előadáson megismert tulajdonságai közül még nem bizonyítottuk az alábbi összefüggést: Bizonyítás. x y x y (x, y R). x y +(x y) (.i) y + x y x y x y x és y szerepét felcserélve a fenti gondolatmenet alapján adódik: ( x y ) y x y x x y x y x y A két becslést összevetve kapható az állítás..4. Definíció. A K R szám a H halmaz felső korlátja, ha minden h H esetén h K teljesül. Egy halmaz felső korlátjai közül a legkisebbet felső határnak, vagy szuprémumnak nevezzük. (Alsó korlát és alsó határ vagy infimum hasonlóan értelmezhető.).4. Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát! { } A n : n N, n > B {x Q : < x < } A) Sejtés: sup A. Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, hiszen ii) Az a legkisebb felső korlát, vagyis a A minden K-ra ilyen. a A a, mivel n n K < esetén a A : a > K. Azaz K valóban a legkisebb felső korlát. (Az állítás indokolható lett volna azzal is, hogy A így a halmaz maximuma és szuprémuma is egyben.)

.. GYAKORLAT 5 Sejtés: inf A. Bizonyítás. i) A egy jó alsó korlát, mivel a A a. nyilvánvaló, hiszen, n a n. ii) A a legnagyobb alsó korlát, vagyis k > esetén a A : a < k. Legyen b k R+. Az archimédeszi axióma alapján, b R + számokhoz n N b < n. Ekkor a : n < b k. Azaz k valóban a legnagyobb alsó korlát. B) Sejtés: sup B. Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, ami B definíciójából nyilvánvaló. ii) Az a legkisebb felső korlát, azaz K < esetén b B : b > K. Ha K <, akkor nyilvánvalóan létezik ilyen b. Vizsgáljuk a < K < esetet. Ekkor legyen c. Az archimédeszi axióma értelmében, (vagy mert N felülről K nem korlátos) n N, amelyre c < n K c > n K < n n n Továbbá b B is igaz, hiszen b Q és < b < is teljesül. : b Q. A bizonyítás során használhattuk volna azt a tételt, mely szerint minden intervallum tartalmaz racionális számot, így a (K,) intervallum is. Az inf B sejtés hasonlóan igazolható..5. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy inf { x : x X} sup X. Legyen α : sup X és legyen Y : { x : x X}. Ekkor i) Az α az Y egy jó alsó korlátja, mivel α sup X x X α x α x x X α y y Y.

6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI ii) Az α az Y infimuma, azaz k > α esetén y Y : y < k. Mivel α az X szuprémuma ezért bármely K < α esetén létezik x X elem, hogy x > K. Legyen K k < α és legyen x a fentiek alapján K -hoz talált X-beli elem, azaz x > K k K > α y x Y y x < K k. Azaz α valóban az Y halmaz infimuma..6. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy sup {x+y : x X, y Y } sup X + sup Y. } {{ } } {{ } } {{ } :A α β i) α+β egy jó felső korlát, hiszen x α ( x X) és y β ( y Y ). A két egyenlőtlenséget összeadva: x+y α+β x X, y Y. ii) α+β a legkisebb felső korlát, azaz K < α+β esetén a A, amelyre a > K. Mivel K < α+β ezért létezik k < α és létezik k < β, hogy K k +k. (Megjegyeznénk, hogy K felbontásai közül nem mind teljesíti egyszerre mindkét feltételt, de garantálható, hogy létezik olyan felbontás, amely igen.) Ekkor k < α sup X x X, x > k, k < β sup Y y Y, y > k. Így a : x +y A esetén a > K k +k teljesül..7. Feladat. Írjuk fel és igazoljuk a számtani- és mértani közép közötti összefüggést n esetben. Legyen x, x, ekkor x x x +x, vagyis nem-negatív számok mértani közepe kisebb egyenlő, mint a számtani közepük. Bizonyítás. x x x +x x x x +x x +x 4 4x x x +x x +x x x x +x (x x ), ami nyilvánvalóan minden x, x számra igaz. / ( )

.. GYAKORLAT 7.5. Megjegyzés.. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x x, ez a fenti bizonyítás alapján is nyilvánvaló.. A geometriai bizonyítás elegáns, de az algebrai megoldás könnyebben általánosítható. x +x R x x m m R mindig igaz.. Az általánosított összefüggés bizonyításától eltekintünk, de elolvasása tanulságos. Lásd: [5].o. 4. Az összefüggés ismerete szükséges, csak bizonyítani nem kell. A számtani- és mértani közép közötti összefüggés: Legyen n >, n N és x, x,..., x n R +. Ekkor n x x... x n x +x + +x n. n

8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k n (n+) (n+). 6.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k n (n+). 4 k k.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy megoldás megoldás + + +n (n+) n (n+) (n+). megoldás.4. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis + + +(n ) n (n ), n (k ) n (n ). k.5. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis!+!+ +n n! (n+)!, n k k! (n+)!. k.6. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy vagyis + + + n (n+) n n+, n k megoldás megoldás k (k +) n n+. megoldás.7. Házi Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát. { } { } ( ) n A : n N, n > B n n +( )n n : n N, n > { } x C y : < x < ; < y < x.8. Házi Feladat. Legyenek X R és Y R valós számhalmazok. Igazoljuk, hogy a) sup{ x : x X} inf X b) inf{x+y : x X y Y } inf X +inf Y c) sup{x y : x X y Y } sup X inf Y megoldás d) inf{x y : x X y Y } inf X sup Y megoldás

.. MEGOLDÁSOK 9.. Megoldások.. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k k n (n+) (n+). 6 Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+) (+) 6 ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ k (n+) + k n k n k (n+) (n +n+6n+6) 6 (n+) (n+) (n+) 6. k n (n+) (n+). (.5) 6 k (.5) (n+) + n (n+) (n+) 6 (n+) (n +7n+6) 6 (n+) ((n+)+) ((n+)+). 6 Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra... Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n k k n (n+). 4 Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (+) 4 4 4. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n k k n (n+). (.6) 4

. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ k (n+) + k n k (n+) (n +4 (n+)) 4 (n+) (n+) 4 k (.6) (n+) + n (n+) 4 (n+) (n +4n+4) 4 (n+) ((n+)+). 4 Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra... Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy + + +n (n+) n (n+) (n+). Bizonyítás. A fenti összefüggés az alábbi zárt alakban írható: n k k (k +) n (n+) (n+). A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen k k (k +) (+) (+) ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k 6. k (k +) n (n+) (n+). (.7) n+ k (k +) (n+) (n+)+ k (n+) (n+)+ n (n+) (n+) (n+) ((n+)+) ((n+)+). n k k (k +) (.7) (n+) (n+) (n+) Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.

.. MEGOLDÁSOK. Megoldás: Az állítás igazolható teljes indukció nélkül is. Jelen esetben ráadásul ez a módszer az egyszerűbb. A későbbiekben a sorozatok tulajdonságainál is visszatérünk a problémára. + + +n (n+) n (n+) (n+) 6 + n (n+) n k (k +) k.4. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy n (n+) 6 n k +k k + + +(n ) n (n ), n k + k n k k (n++) n (n+) (n+). vagyis n (k ) n (n ). k Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen ( ) ( ). ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: n (k ) n (n ). (.8) iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n+ n (k ) ((n+) ) + (k ) (.8) k k k (n+) +n (n ) n 4 n +8n +n +6n+ n 4 +8n +n +6n+ n 4 +6n +5n +n+n +6n +5n+ (n +6n +5n+)(n+) (n +4n +n+n +4n+)(n+) ( (n +4n+) (n+) ) (n+) (n+) ((n +n+) ) (n+) ((n+) ). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.. Megoldás: Ez az állítás is igazolható teljes indukció nélkül. + + +(n ) + + + +(n) ( +4 + +(n) ) + + + +(n) ( + + +n ) n k 8 n k k k (n) (n+) 8 n (n+) n (n+) n (n+) 4 4 n (4n +4n+ (n +n+) ) n (n ).

. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI.5. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy!+!+ +n n! (n+)!, vagyis n k k! (n+)!. k Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük. i) n esetén az állítás igaz, hiszen!!. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k k! (n+)!. (.9) k n+ k k! (n+) (n+)!+ k n k k k! (.9) (n+) (n+)!+(n+)! (n+)! ((n+)+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra. Így. Megoldás: Az állítás közvetlen igazolása is tanulságos és elegáns.!+!+ +n n! n k k! k k k! (k + ) k! (k +)! k! n (k+)! k!(/!!)+(/! /!)+ +((n+)! /n!)(n+)!. k.6. Házi Feladat. Bizonyítsuk be, hogy + + + n (n+) n n+, vagyis n k k (k +) n n+. Bizonyítás. A bizonyítást n-szerinti teljes indukcióval végezzük.

.. MEGOLDÁSOK i) n esetén az állítás igaz, hiszen +. ii) Tegyük fel, hogy valamely n N esetén az állítás teljesül: iii) Igazoljuk az állítást n+-re! n k k (k +) n n+. (*) n+ k k (k +) n (n+)(n+) + ( ) k (k +) k (n+)(n+) + n n+ n(n+)+ (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) (n+) (n+)(n+) (n+) (n+). Így a teljes indukció elve alapján az állítás igaz minden n N számra.. Megoldás: Ez az állítás is igazolható közvetlenül. A módszert a végtelen sorok témakörnél fogjuk sokszor alkalmazni. Visszaírva a zárt alakba: (k +) k k (k +) k (k +) k k +. + + + n n (n+) k ( /) ( / /) ( / + + + n k (k +) n n+ ) k k k + n+ n n+..7. Házi Feladat. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó- és felső határát. { } { } ( ) n A : n N, n > B n n +( )n n : n N, n > C { } x y : < x < ; < y < x A) Sejtés inf A és sup A Észrevétel: Ha n páros, akkor ( )n >, ha n páratlan, akkor ( )n <. Így a halmaz elemei n n két osztályra bonthatók aszerint, hogy n páros vagy páratlan. (Osztály: olyan részhalmazok

4. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI összessége, melyek páronként diszjunktak és egyesítésük visszaadja az eredeti halmazt.) Legyen tehát { } { } ( ) k+ ( ) k A : k + : k N és A : : k N. k Ekkor igaz, hogy a < < a a A, a A. Így sup A sup A és inf A inf A. sup A sup A. Bizonyítás. { ( ) k A : k : k N } { } k : k N. i) Az egy jó felső korlát, hiszen k k ii) Az a legkisebb felső korlát, hiszen A, így bármely K < esetén létezik az A halmaznak olyan a eleme, amelyre a > K. (Ha más nem, akkor az a ilyen elem.) Az infimum bizonyítását hasonlóan lehet elvégezni. B) Sejtés: B nem korlátos sem alulról, sem felülről. A páros n-ekhez tartozó elemek halmaza legyen B, a páratlanoké B : { } { } B : k +( )k : k N B : k + +( )k+ : k N Ekkor b < < b minden b B és minden b B esetén. Így Sejtés: inf B inf B. Bizonyítás. sup B sup B, és inf B inf B. K R esetén b B, amelyre b < K. Legyen c : K. Ekkor az archimédeszi axióma értelmében k N c < k. Erre a k-ra igaz a következő K c > k ( ) k+ k k + +( )k+ (k +) : b. A fenti levezetés lépései közül (**)-gal jelölt becslés magyarázata: k + < ( )k+ k > k + +( )k+ k k + +( )k+ (k +). Azaz megadtuk a képletet, amellyel tetszőleges K R szám esetén találhatunk egy b B elemet amely a kérdéses K-nál kisebb. Tehát K nem lehet alsó korlát.

.. MEGOLDÁSOK 5 A sup B sejtés hasonlóan igazolható. C) Sejtés: sup C és inf C. a) A C felülről nem korlátos halmaz, azaz K R esetén c C hogy c > K. Ekkor az archimédeszi axióma alapján K, R számokhoz létezik egy n N természetes szám, hogy K < n, így K < n n n n C n n Valóban, hiszen b) Sejtés: inf C. < x <, < y n <. i) Az valóban egy jó alsó korlát, hiszen < y < x minden c x C esetén, így c olyan y törtként írható fel, melynek számlálója nagyobb, mint a nevezője, vagyis c > minden c C esetén. ii) Az a legnagyobb alsó korlát, azaz k R, k > esetén c C hogy c < k. Legyen b :, ekkor mivel N felülről nem korlátos n N, hogy b < n, így k >. k n Legyen ekkor c : + < +k k. c C, hiszen n c + n n+ n+ n n+ n, ahol < x n+ n+ < és < y n n+ < x n+ n+. n+.8. Házi Feladat. Legyenek X R és Y R valós számhalmazok. Igazoljuk, hogy a) sup{ x : x X} inf X b) inf{x+y : x X y Y } inf X +inf Y c) sup{x y : x X y Y } sup X inf Y d) inf{x y : x X y Y } inf X sup Y Megoldás: a) Legyen A : { x : x X} és α : inf X. i) α egy jó felső korlát, hiszen mivel α inf X, ezért α x x X α x x X.

6. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI ii) α a legkisebb felső korlát, hiszen mivel α inf X, ezért k > α x X x < k. K k < α y x A y > k K, ami az állítással ekvivalens. b) Legyen B : {x+y : x X y Y } és α : inf X, továbbá β : inf Y. i) α+β egy jó alsó korlát, hiszen α x, β y, x X, mert α az X egy alsó korlátja, y Y, mert β az Y egy alsó korlátja. A két egyenlőtlenséget összeadva: ii) α+β a legnagyobb alsó korlát, vagyis α+β x+y x X, y Y. k > α+β esetén b B, amelyre b < k. k > α+β k > α, k > β, hogy k +k k. Ekkor mivel k > α inf X x X, x < k és mivel k > β inf Y y Y, y < k. Így b : x +y B esetén b < k k +k. Megjegyzés: A c és d feladat igazolható lenne a korábbiakra való hivatkozással is, de a teljesség kedvéért nézzük a részletes bizonyítást! c) Legyen C : {x y : x X y Y }, α : sup X és β : inf Y i) α β egy jó felső korlát, hiszen α x x X és β y y Y β y y Y α β x y : c C x X és y Y ii) α β a legkisebb felső korlát, azaz K < α β esetén c C c > K. K < α β k < α, k > β, hogy k k K. Mivel k < α sup X x X, x > k. Mivel k > β inf Y y Y, y < k y > k. A fenti két egyenlőtlenséget összeadva kapjuk: ami az állítással ekvivalens. x y > k k K, d) Legyen C az előző feladatban definiált halmaz és γ : inf X, továbbá δ : sup Y

.. MEGOLDÁSOK 7 i) γ δ egy jó alsó korlát, hiszen γ x x X és β y y Y β y y Y γ δ x y x X, y Y. ii) γ δ a legnagyobb alsó korlát, azaz k > γ δ esetén c C C < k. k > γ δ k > γ és k < δ, hogy k k k. Mivel k > γ inf X x X x < k. Mivel k < δ sup Y y Y y > k y < k. C c : x y < k k k, ami az állítással ekvivalens.

8. FEJEZET. SZÁMHALMAZOK TULAJDONSÁGAI

. fejezet Számsorozatok alaptulajdonságai.. Gyakorlat.. Feladat. Írjuk fel a sorozat.,.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Fogalmazzunk meg sejtést a sorozat monotonitásáról, majd igazoljuk azt. a ( ) n +n, n N a a + 4 a 4 +4 6 a 6 +6 5 8 a 5 + 9 4 a + 9 Sejtés: szigorúan monoton csökken. Monotonitás vizsgálat: a n+ a n? a n n +n a n+ (n+) +(n+) n +n+ n n+4 9

. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Ezeket felhasználva: a n+ a n n n+4 n +n ( n )(+n) ( n)(n+4) (n+4)(n+) 4n 4n n ( 4n +n 8n+4) 6 (n+4)(n+) < a n+ a n < n N a n+ < a n n N (n+4)(n+) n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő... Feladat. Vizsgáljuk meg monotonitás szempontjából a következő sorozatokat! ( ) n a) a +n, n N n+ a n+ a n? Ezeket felhasználva: a n n +n n+ a n+ (n+) +(n+) (n+)+ a n+ a n n +4n+ n+ n +n++n+ n+ n +4n+ n+ n +n n+ (n +4n+)(n+) (n +n)(n+) (n+)(n+) n +4n +n+n +4n+ (n +n +n +4n) (n+)(n+) n +n+ (n+)(n+) > n N a n+ a n > n N a n+ > a n n N Tehát a sorozat szigorúan monoton növő. b) b ( n n 7, n N) i) b > b 5 > b > b < b 4 4. A fenti néhány elem felírásából is látszik, hogy a sorozat nem monoton, mert b > b < b 4.

.. GYAKORLAT.. Megjegyzés.. Nem monoton sorozat esetén elegendő három egymás utáni elemet mutatni, amelyek úgy viselkednek, hogy a sorozat sem monoton növő, sem monoton csökkenő nem lehet.. A sorozat általános tagjának értelmezhetőségét vizsgálva a következő megállapítás tehető: n ; n 7 n,5. n 7 Ezt a kritikus értéket a sorozat elemeinek indexe a kikötéstől függetlenül sem venné fel (,5 / N), de a vizsgálat azért hasznos, mert a sorozat a kritikus pont környezetében vált monotonitást, vagyis most a b, b, b 4, vagy a b, b 4, b 5 elemhármas felírásával megmutatható, hogy a sorozat nem monoton.. Az előző megjegyzésekben vázolt módszer előnye, hogy kevés számolással választ tudunk adni a sorozat monotonitására. A hátránya abban rejlik, hogy csupán annyit lehet megállapítani, hogy a sorozat nem monoton. A következő módszerrel ennél többet is megállapíthatunk. ii) b n+ b n? Ezeket felhasználva: b n b n+ n n 7 (n+) (n+) 7 n+ n 5 b n+ b n n+ n 5 n n 7 (n 7)(n+) (n 5)n (n 5)(n 7) n 7n+n 7 (n 7n) (n 5)(n 7) 7 (n 5)(n 7) < ha n > ha n < ha n 4 Legyen A : n 5 és B : n 7. Ekkor a b n+ b n különbség egy olyan tört alakban írható, amelynek számlálója 7, nevezője pedig az A B szorzat, így az előjele leolvasható az alábbi táblázatból: n n n 4 n A + + B + b n+ b n + Tehát a b sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. Megjegyzés. A dolgozatban a feladat megoldását a részletesebb módszerrel kérjük.

. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI c) c (( 5 ) n, n N ) i) A sorozat nem monoton, hiszen például: ii) c n+ c n c > c 5 < c 5. ( 5) n+ ( ) n ( 5 5 n ( 5) ) n 5 ( 5) n ( 5 ) 6 5 Tehát a sorozat nem monoton. ( 5 ) n < ha n páros > ha n páratlan... Megjegyzés. A második, részletesebb megoldás során válik láthatóvá, hogy nincs olyan index, amelytől kezdve a sorozat monoton lenne. Érdemes megjegyezni, hogy a monoton és a bizonyos indextől kezdve monoton sorozatok viselkedése hasonlít egymásra és nem a nem monoton sorozatoké. Ezért érdemes a részletesebb vizsgálatot végigszámolni... Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n +n, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) sejtés a n.. Megjegyzés. A sejtés felső becslése rossz. A sorozat első néhány elemét felírtuk az.. feladatban. Azok alapján látható, hogy a sorozatnak van -nél nagyobb eleme. Azért választottuk a nyilvánvalóan hibás felső korlátot, hogy lássuk, mi történik, ha rossz a sejtés. Bizonyítás. Megvizsgáljuk, hogy a n n+ reláció mely n-ekre teljesül. n n+ n n+n+ + n+ n+ 98n+ n+ A tört akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. Legyen A:98n+ és B : n+. Ekkor felhasználva, hogy n+ n n 98n+ 98n n 98

.. GYAKORLAT a tört előjele leolvasható az alábbi táblázatból. n n < n < n < n < n 98 98 98 A + + + B + A + NA + B I. II. III. IV. V. Az I.-es és a II.-es tartomány a feltételnek megfelelne, de nincs ilyen n N. A III.- as és a IV.-es tartomány nem felel meg a feltételnek, úgysincs ilyen n N. n N tehát az V. tartományba esik. Ebben a tartományban pedig a fenti táblázat alapján minden pont kielégíti a feltételt. Ezzel az állítást igazoltuk, vagyis k egy jó alsó korlát..4. Megjegyzés. Fordítva is indokolhattunk volna: Ha n N, akkor 98n+ > és n+ >. Vizsgáljuk most a felső korlátra vonatkozó sejtést! Bizonyítás. a n n n+ n n+ + (n+) n+n+ n n+ A baloldalon szereplő tört nevezője minden n N esetén pozitív, így a tört előjelét a számláló határozza meg. Tehát a tört pontosan akkor nem-pozitív, ha n. A feltétel nem teljesül minden természetes index esetén, ebből látszik, hogy a becslés nem volt helyes. Szerencsére csak véges sok n N esetén nem igaz az állítás (n, n ). Ilyenkor új korlátot választunk. Ha lehetséges, akkor érdemes felírni a problémás elemeket és meghatározni a maximumukat. (Hiszen véges sok elem esetén mindig van ilyen tulajdonságú.) a, a. A következő sejtés K lesz, ami 4 már nyilvánvalóan jó lesz. a n n n+ n n+ (n+) n n n n+ Ami nyilvánvalóan minden szóbajöhető n-re teljesül.

4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI ii) Mivel monotonitás szempontjából már megvizsgáltuk a sorozatot, használhatók a monoton sorozatok korlátaira vonatkozó tételek. Ezek előnye, hogy rögtön a határokat adják meg, míg az első módszernél a határokat tovább kell keresni. a szigorúan monoton csökkenő, vagyis a > a > a > > a n > a n+ >... n N Így a a n n N. K a max{a n : n N} sup{a n : n N} sup a. Szigorúan monoton csökkenő sorozat alsó határa (infimuma) a határérték: k inf a lim a lim n a n. Ha az első módszerrel vizsgáljuk, a szuprémum illetve infimum tulajdonság bizonyítása a halmazoknál használt módon történik..4. Feladat. Vizsgáljuk meg az a ( n n 7, n N) sorozatot korlátosság szempontjából! i) A sorozatot a b feladatban megvizsgáltuk monotonitás szempontjából. A sorozat egy bizonyos indextől kezdve szigorúan monoton csökken. a n n n 7 ( ) n n,5+,5 n,5 n,5 +,5 n,5 7 4 n,5 +. Mivel a sorozatok N-en értelmezett függvények, így az n a n leképezés az x f(x) 7 + függvény leszűkítése N-re. 4 x,5

.. GYAKORLAT 5 A függvény menetéből nyilvánvaló, hogy a sorozat határait a szinguláris hely körül kell keresni. Jelen esetben min a inf a a max a sup a a 4 4. A dolgozatban ilyen esetben vagy a fenti részletes magyarázatot kell leírni az ábrával együtt, vagy a következő bizonyítást az sejtésekre. ii) Sejtés: inf a Bizonyítás. inf a és sup a 4. ) A egy jó alsó korlát, hiszen a n n N, mert Ha n 4, akkor a n n n 7 n n 7 + n+6n n 7 7n n 7 n n 7 Ha n < 4, akkor n és n 7 n n 7 n és n 7 < n n 7 ) A a legnagyobb alsó korlát, hiszen a sorozat elemei közt szerepel, így inf a min a a..5. Megjegyzés. A sup a4 bizonyítása hasonlóan történik. Ez házi feladatként elvégzendő!.5. Feladat. a) Definíció alapján igazoljuk az a ( n n+, n N) sorozat konvergenciáját! b) Adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe!

6. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI a) Sejtés: lim n a n A. Az (a n, n N) sorozat konvergens és a határértéke a A szám, ha ε > N N(ε) N n > N a n A < ε. (.) n n+ ( ) < ε n+(n+) n+ < ε n+ < ε Az abszolútértékben szereplő kifejezés n N esetén pozitív, így az abszolútértéke önmaga: Ekkor legyen N(ε) : max {[ ε n+ < ε < ε(n+) < n+ ε < n ε ], ε }. < n Nyilvánvaló, hogy ez jó küszöbindex és bármely ε > esetén a fenti formula alapján kiszámítható, így a sorozat valóban konvergens és a határértéke. [ ] [ ] [ ] 98 b) N(,) 49. Vagyis a sorozat 49. eleme még kívül van a (,;,99) környezeten, de az 5. elemtől kezdve az összes elem a fenti intervallumba esik.... Mértani (geometriai) sorozatok.6. Definíció. Legyen x (q n, q R rögzített, n N). Az ilyen alakban írható sorozatokat mértani sorozatoknak nevezzük..7. Tétel. Legyen x egy mértani sorozat, ekkor a) ha q >, akkor x divergens és lim x, b) ha q, akkor x divergens, c) ha < q <, akkor x konvergens és lim x, d) ha q, akkor x konvergens és lim x.

.. GYAKORLAT 7 Bizonyítás. a) q > lim x R R, N N(R) N n > N, x n > R. (.) Vizsgáljuk meg, hogy mely n-ekre teljesül, hogy q n > R. Mivel q > q n (+(q ) ) n B +n(q ) > R } {{ } > n > R q {[ ] } R N(R) : max ; q A fenti küszöbindex választása mellett (.) valóban teljesül..8. Megjegyzés.. A B -val jelölt becslés során az első gyakorlaton bizonyított Bernoulli-egyenlőtlenséget használtuk. A továbbiakban is ezt a jelölést alkalmazzuk.. A bizonyítás során az x n elemet alulról becsültük, majd beláttuk, hogy még a becslés is nagyobb R-nél. A bizonyításaink során gyakran használjuk a becslést, ezért fontos megértenünk az elvét. Egy A < B egyenlőtlenség igazolása során A-t felülről (B-t alulról) becsülhetjük, de csak úgy, hogy az egyenlőtlenség iránya ne változzon. b) Ha q, akkor x (( ) n, n N). A sorozat páros illetve páratlan indexű elemeiből álló részsorozatait vizsgálva megállapítható, hogy ezek határértéke nem egyenlő ( lim x n, lim x n+,). Ez ellentmond a határérték n n definíciójának harmadik következményének. ( Konvergens sorozat bármely részsorozata is konvergens és határértéke az eredeti sorozat határértékével egyenlő. ) Ha q <, akkor legyen ν (n, n N) x ν (q n, n N) ((q ) n, n N) q > lim(x ν) + µ (n+, n N) x µ (q n+, n N) (( ) q n+, n N) q > lim(x µ) Ez ellentmond a határérték definíciójának harmadik következményének, így x divergens. c) < q < lim x n ε > N N(ε) N n > N x n < ε. (.) n Ha q N N jó küszöbindex. q n < ε

8. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Ha q, akkor q n < ε > A fenti egyenlőtlenséget rendezve kapjuk: q n > ε { }} { (+( q )) n B +n( q ) >? ε }{{} > n > ε. q d) Legyen { [ ε N(ε) : max, ]}. N(ε) esetén (.) teljesül. x valóban null-sorozat. q q x (, n N), konstans sorozat lim x.

.. HÁZI FELADATOK 9.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! ( ) 4n+ a 5n+4, n N b (7 n, n N) ( c sin(n π ) ), n N d ( n, n N) megoldás.. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe! ( ) n+ a n+ ; n N ( ) 7n b n ; n N ( ) 6n c n ; n N megoldás További gyakorló feladatok ) [5] 7.o.:.,.,.a) feladatok ) Írjuk fel a következő sorozatok.,.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk őket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és a felső határaikat! a (5n, n N) b ( n n n+, n N) c (( 4) n, n N) d (cos n π 4, n N) e ( 4n+ n, n N)

4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI.. Megoldások.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok.,.,., 5.,. elemét, ábrázoljuk ezeket az elemeket. Vizsgáljuk meg a sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából, adjuk meg alsóés felső határaikat! ( ) 4n+ a 5n+4, n N b (7 n, n N) ( c sin(n π ) ), n N d ( n, n N) a) a 4, a 7 9, a 4, a 5 9, a 4 54. Sejtés a szigorúan monoton növő. a n+ 4(n+)+ 5(n+)+4 4n+7 5n+9 a n+ a n 4n+7 5n+9 4n+ 5n+4 (4n+7)(5n+4) (4n+)(5n+9) (5n+9)(5n+4) n +5n+6n+8 (n +6n+5n+7) (5n+9)(5n+4) > n N. (5n+9)(5n+4) A sorozat szigorúan monoton növő. a n+ a n > n N a n+ > a n n N

.. MEGOLDÁSOK 4 Mivel a sorozat szigorúan monoton növő inf a min a a 4, sup a lim a n 4 n 5. Ezeket a fenti tétel ismerete nélkül is igazolhatjuk. (Így nem kell a monotonitás ismerete.) Sejtés: inf a a 4 Bizonyítás. i) A 4 egy jó alsó korlát, hiszen a n 4 n N : 4n+ 5n+4 4 4n+ 5n+4 4 6n+ (5n+) n+6 Ami valóban minden n N esetén teljesül. n n+6 ii) A 4 a legnagyobb alsó korlát, hiszen a sorozat felveszi ezt az értéket. (a 4 ) Sejtés: sup a 4 5 Bizonyítás. i) A 4 5 egy jó felső korlát, hiszen a n < 4 5 n N : 4n+ 5n+4 < 4 5 4n+ 5n+4 4 5 < n+5 (n+6) < 5n+ Ami valóban minden n N esetén teljesül. ii) A 4 5 a legkisebb felső korlát, azaz 5n+ < K < 4 5 n N a n > K 4n+ 5n+4 > K 4n+ > K(5n+4) 4n+ > 5Kn+4K 4K > (5K 4)n

4. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI Mivel K < 4, 5K 4 <, így a reláció iránya megfordul. 5 4K 5K 4 < n, vagyis bármely K < 4 5 nál. 4K esetén a -nél nagyobb indexű elemek nagyobbak K- 5K 4 b) b 7 b 5 b b 5 b Sejtés a b sorozat szigorúan monoton csökkenő. b n+ 7 (n+) 7 n 5 n b n+ b n 5 n (7 n) < n N b n+ b n < n N b n+ < b n n N Tehát a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő. Mivel a sorozat szigorúan monoton csökkenő sup b max b b 7, inf b lim n b n. Ezeket a következőképpen is igazolhatjuk: Sejtés: sup b 7 Bizonyítás. i) A 7 egy jó felső korlát, mert b n 7 n N: 7 n 7 n, ami valóban minden szóbajövő n-re igaz. ii) A 7 a legkisebb felső korlát, hiszen a sorozat elemei között szerepel. Sejtés: inf b, vagyis a sorozat alulról nem korlátos.

.. MEGOLDÁSOK 4 Bizonyítás. R R n N b n < R. 7 n < R 7 R < n, Vagyis bármely R R esetén a sorozat 7 R -nél nagyobb indexű elemei kisebbek, mint R. c) c c c c c 5 c A sorozat nem monoton, hiszen például c < c < c, sőt egy adott indextől kezdve sem monoton, hiszen ( c n+ c n sin (n+) π ) ( sin n π ) Korlátosság: Sejtés: sup c max c Bizonyítás. i) Az egy jó felső korlát, hiszen x R esetén sin x. ha n 4k +, k Z ha n 4k +, k Z ( ) ha n 4k +, k Z ha n 4k, k Z. ii) Az a legkisebb felső korlát, mivel szerepel a sorozat elemei közt. Az inf c min c állítás hasonlóan igazolható. d) Mivel a sorozat elemeinek abszolútértéke nagyon gyorsan nő, ábrázolásuk még megfelelő egységválasztás mellett is nehézkes. Hogy használható ábrát kapjunk, a megadott elemek helyett a.,.,.,., 4. elemeket ábrázoltuk. Természetesen kiszámoltuk a kívánt elemeket is.

44. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI d d 6 d d 4 d 4 48 d 5 96 d 7 Sejtés: Szigorúan monoton csökkenő. d n+ n+ 6 n d n+ d n 6 n ( n ) n ( ) < n N d n+ d n < n N d n+ < d n n N Vagyis a sorozat valóban szigorúan monoton csökkenő. Mivel d szigorúan monoton csökkenő: sup d max d d, inf d lim n d n. Ezek, az előzőekhez hasonlóan a monotonitás ismerete nélkül is igazolhatók. Sejtés: sup d. Bizonyítás. i) A egy jó felső korlát, hiszen d n n N. n n n Mivel a x függvény szigorúan monoton növő, ezért a függvényértékek között fennálló reláció fennáll az argumentumok között is. Így a fenti egyenlőtlenség ekvivalens az alábbival: n, amely minden természetes n esetén automatikusan teljesül. ii) Ez a legkisebb felső korlát, hiszen a sorozat egyik eleme felveszi ezt az értéket.

.. MEGOLDÁSOK 45.. Házi Feladat. Definíció alapján igazoljuk a következő sorozatok konvergenciáját és adjuk meg, hogy a sorozat mely elemei esnek a határérték ε, sugarú környezetébe! ( ) n+ a n+ ; n N ( ) 7n b n ; n N ( ) 6n c n ; n N a) Sejtés lim n a n ε > N N(ε) N n > N a n < ε. n+ n+ < ε n+ (n+) n+ < ε n+ < ε n+ <, n+ n+. n+ < ε ε < n+ ε < n N(ε) : max {[ ] } ε ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így az a sorozat konvergens és határértéke. {[ ] } N(,) : max ; max {[5 ] ; } 49. Tehát a sorozat 49. eleme még kívül van, de az 5-től kezdve a sorozat minden eleme a szám, sugarú környezetébe esik. b) Sejtés lim n b n 7 ε > N N(ε) N n > N b n + 7 < ε.

46. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI 7n n + 7 < ε 4+4 6n (n ) < ε 5 (n ) < ε 5 (n ) <, 5 (n ) 5 (n ). 5 < ε (n ) 5 < n ε 5 + < n ε 5 + ε < n {[ 5 ε N(ε) : max + ] } ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így a b sorozat konvergens és határértéke 7. {[ 5 ε N(,) : max + ] } {[ 5 ; max 4 + ] } ; max {[ 6 ] } ; 6. Tehát a sorozat 6. eleme még kívül van, de a 64.-től kezdve a sorozat minden eleme a hatérérték ε sugarú környezetébe esik. c) Sejtés lim n c n. ε > N N(ε) N n > N c n + < ε. 6n n + < ε 6n +4 6n n < ε n < ε

.. MEGOLDÁSOK 47 n > n< n Ez végessok eset, ezért a konvergenciát nem befolyásolja. Ha n, akkor n < n n n < ε < n ε + < n ε + ε < n {[ ε N(ε) : max + ] } ; Tehát bármely ε > számhoz előállítható a definíciónak megfelelő küszöbszám, így a c sorozat konvergens és határértéke. {[ ] } + N(,) : max ; {[ max + ] } ; 5. Vagyis a sorozat elemei az 5.-től kezdve mind bent vannak a [,,,98] intervallumban.

48. FEJEZET. SZÁMSOROZATOK ALAPTULAJDONSÁGAI

. fejezet Nevezetes sorozatok.. Gyakorlat.. Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján! ( ) n+ a n+, n N. I) Monotonitás: a n+ a n (n+)+ (n+)+ n+ n+ n+5 n+4 n+ n+ (n+5) (n+) (n+) (n+4) (n+) (n+4) 7 (n+) (n+4) < n N a n+ a n < n N a n+ < a n n N Így a sorozat szigorúan monoton csökkenő. II) Konvergencia Sejtés: A sorozat konvergens és lim a n A, azaz n ε > N(ε) N n > N a n A < ε (6n +7n+5) (6n +7n+) (n+) (n+4) a n A < ε n+ n+ < ε 6n+9 (6n+) (n+) < ε 7 (n+) < ε, 7 >, ezért (n+) 49

5. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK Így 7 < ε, (n+) >, ezért (n+) 7 < n+ ε 7 9 ε < n {[ 7 N(ε) : max ] }, 9 ε választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határérétéke lim a. III) Korlátosság Mivel a sorozat konvergens és a konvergencia szükséges feltétele a korlátosság, ezért a sorozat korlátos is. Ha a sorozat alsó- illetve felső határát is kérdezné a feladat, akkor arra a tételre hivatkozhatnánk, melyszerint monoton csökkenő sorozat szuprémuma a kezdőelem és infimuma a határérték, azaz sup a a inf a lim a... Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. (Nem kell definíció alapján vizsgálni.) a (+( ) n n ), n N I. monotonitás: A ( ) n -es tényező miatt a sorozat felváltva tartalmaz -nál kisebb illetve -nál nagyobb elemeket. Így a sorozat nem monoton. (Indokolható lenne egymásutáni elem felsorolásával, például a < a 4 > a 7, ebből viszont még nem látszana, hogy a sorozat egy bizonyos indextől kezdve sem monoton. Vizsgálható lenne a szokásos módon az a n+ a n különbség előjele alapján is, de a ( ) n sorozat tulajdonságaira hivatkozni lényegesen egyszerűbb.) II. korlátosság, határok: Legyen Ekkor és ν (n, n N ) a ν (+( ) n n, n N ) µ (n+, n N) a µ (+( ) n+ n+, n N). Így sup a sup(a ν) és inf a inf(a µ). Sejtés: sup a sup(a ν) 4 (a ν) k > > (a µ) l, k N, l N, (a ν) fésűs (a µ) a.

.. GYAKORLAT 5 Bizonyítás. i) A 4 valóban jó felső korlát, hiszen (a ν) n 4 n N + n 4 n N ( <) n n N n n N, ami valóban mindig teljesül. ii) A 4 valóban a legkisebb felső korlát, hiszen (a ν) 4, ezért max(a ν) (a ν) 4. Az inf a inf(a µ) sejtés hasonlóan igazolható. Otthon egyénileg befejezendő. III. konvergencia lim (a ν) n lim + n n n lim (a µ) n lim n n n+ A fenti két állítás a definíció szerint igazolható és házi feladatként igazolni is kell. Mivel ezért (a ν) fésűs (a µ) a és lim(a ν) lim(a µ), lim a n. n... Nevezetes sorozatok A következő nevezetes sorozatok határértékeit definíció alapján fogjuk igazolni. A mértani sorozatok konvergenciáját és határértékét az előző fejezetben már vizsgáltuk. A gyakorlaton részletes magyarázattal csak az a(a n n α, n N, α R + ), a(a n n n, n N ) és az a(a n n n!, n N ) sorozatok szerepelnek. a (a n C, n N, C R + ) konvergenciája Sejtés: lim a C. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n C < ε. Mivel a n C minden n N index esetén, ezért az a n C < ε reláció bármely n N esetén fennáll, így N minden ε > esetén jó küszöbindex.

5. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK a (a n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Mivel > minden n n N esetén, ezért a n n, így a definícióban szereplő relációval n ekvivalens az alábbi összefüggés: n ε < ε (n >, ε > ) < n. Legyen tehát N(ε): [ ε]. A kapott küszöbindex választása mellett a definíció teljesül, azaz (an, n N) sorozat valóban konvergens és határértéke. a (a n n p, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N n p > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából p-edik gyököt vonunk: [ ] Így N(R) p R jó küszöbszám. n > p R. a (a n p n, n N, p N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N p n > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát p-edik hatványra emeljük: Így N(R) [R p ] jó küszöbszám. n > R p.

.. GYAKORLAT 5 a (a n αn, n N, α R) konvergenciája n! Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Legyen β : α, ekkor a fenti reláció a következő alakban írható βn < ε, melyre igaz az alábbi n! becslés: β n β β β... β β... β β n!... [β] ([β]+)... (n ) n β[β] [β]! β n < ε Ahonnan n > β[β]+ [β]! ε, így N(ε) : [ β [β]+ [β]! ε ] jó küszöbindex. a (a n n α, n N, α R + ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. < α : n α n n α n α A definícióban szereplő reláció helyett vizsgáljuk tehát a következő összefüggést: n α < ε ε < n α Ha ε, akkor minden N N jó küszöbszám, ha ε >, akkor az egyenlőtlenség mindkét oldalát n-edik hatványra emelhetjük: ( ε) n < α ( ) n > ε a Az egyenlőtlenség bal oldalát becsüljük a Bernoulli-egyenlőtlenség (.) alapján: ( ) n ( ( )) n ) B + +n ( ε ε ε > α A kapott összefüggésből n-et kifejezve: α n > [ > N(ε) : ] α ε ε A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. α > : n a > n n a n a

54. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK n a < ε < n a < +ε a < (+ε) n (+ε) n B +n ε > a n > a [ ] a > N(ε) :. ε ε A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. a (a n n n, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A konvergencia definícióját felírva: ε > N(ε) N n > N a n < ε. Mivel n n n n n n n, ezért a definícióban szereplő reláció helyett vizsgáljuk a következő összefüggést: n n < ε n < (+ε) n Hatványozás azonosságait és ismét a Bernoulli-egyenlőtlenséget (.) használhatjuk a becslésre: (+ε) n ( +ε) n (+( +ε ) ) n B (+n ( +ε )) > ( +ε ) n > n, } {{ } > ahonnan [ ] n > ( > N(ε) : +ε ) (. +ε ) A fenti N(ε) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban konvergens és a határértéke. a (a n n n!, n N ) konvergenciája Sejtés: lim a. Bizonyítás. A sorozat a sejtés alapján tágabb értelemben konvergens. Írjuk fel a megfelelő definíciót: R R N(R) N n > N n n! > R. Ha R, akkor N jó küszöbszám. Vizsgáljuk most az R > esetet. Mivel R >, ezért a reláció irányát nem változtatja meg, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát n-edik hatványra emeljük: R n n! n! > R n Rn n! <. R R R... R R... R R... [R] ([R]+)... (n ) n R[R] [R]! R n < n > R[R]+ [R]! [ ] [ R [R]+ N(R) : [R]! R [R] ([R] )! A fenti N(R) választása mellett a definíció teljesül, azaz a sorozat valóban divergens és a határértéke. ],

.. HÁZI FELADATOK 55.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján. ) a) a (+ ( )n n+ ; n N b) a ( ) n 5 n+7 ; n N megoldás megoldás

56. FEJEZET. NEVEZETES SOROZATOK.. Megoldások.. Házi Feladat. Vizsgáljuk meg a következő sorozatot monotonitás, korlátosság szempontjából. Adjuk meg az alsó- és felső határát. Adjuk meg a határértékét, ha létezik. Bizonyítsuk a konvergenciát definíció alapján. a) a ) (+ ( )n n+ ; n N I. Monotonitás: a nem monoton, hiszen elemei felváltva nagyobbak, illetve kisebbek mint. II. Korlátosság, határok: Legyen ) ( (ν n, n N) a ν (+ ( )n n+, n N + ) n+, n N ) (µ n+, n N) a µ (+ ( )n+ n+, n N ( + n+, n N ). Ekkor (a ν) k > > (a µ) l, k N, l N, és Így sup a sup(a ν) és inf a inf(a µ). Sejtés: sup a sup(a ν) Bizonyítás. i) A (a ν) fésűs (a µ) a. valóban egy jó felső korlát, hiszen (a ν) n + n+ ( <) n+ n+ n n, ami valóban minden n N esetén teljesül. ii) A a legkisebb felső korlát, hiszen (a ν). Az inf a inf(a µ) sejtés hasonlóan igazolható. Egyénileg befejezendő.

.. MEGOLDÁSOK 57 III. Konvergencia: sejtés: lim a ε > N N(ε) N n > N a n A < ε. ( )n + n+ < ε ( ) n n+ < ε n+ < ε < n+ ε ε < n {[ ] } N(ε) : max ε ; b) a ( ) n 5 n+7 ; n N I) Monotonitás: a n+ (n+) 5 (n+)+7 n n+9 a n+ a n n n+9 n 5 n+7 (n )(n+7) (n 5)(n+9) (n+9)(n+7) 6n +n 4n 4 (6n +7n n 45) (n+9)(n+7) >, n N. (n+9)(n+7) tehát a sorozat szigorúan monoton növő. II) Konvergencia Sejtés: lim a a n+ > a n, n N, ε > N N(ε) N n > N a n A < ε.