Kör alakú szupravezető grafén rendszer kvantumos és szemiklasszikus vizsgálata Hagymási Imre IV. éves fizikus Témavezető: Cserti József Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Budapest, 28.
Tartalomjegyzék Bevezetés 2 Köszönetnyílvánítás.................................. 3 1 A grafén 4 2 Az Andreev-reflexió 7 2.1 Szemiklasszikus kép............................... 7 2.2 Kvantummechanikai leírás........................... 9 2.2.1 Szórásállapotok a normál tartományban............... 9 2.2.2 Szórásállapotok a szupravezető tartományban............ 11 2.2.3 A visszaverődési amplitúdók kiszámítása............... 11 3 A rendszer kvantummechanikai vizsgálata 13 3.1 A normál tartománybeli hullámfüggvény................... 14 3.2 Hullámfüggvény a szupravezető tartományban................ 16 3.3 A hullámfüggvények illesztése és az egzakt lépcsőfüggvény......... 18 4 Az energiaspektrum és szemiklasszikus vizsgálata 22 4.1 Az E F, E tartomány vizsgálata..................... 23 4.1.1 Az átmérő menti pályák kvantálása.................. 23 4.1.2 A húr menti pályák kvantálása..................... 26 4.1.3 A lépcsőfüggvény közelítése...................... 27 4.2 Az E F, E tartomány vizsgálata..................... 29 4.2.1 Az átmérő menti pályák kvantálása.................. 29 4.2.2 A húr menti pályák kvantálása..................... 3 4.2.3 A lépcsőfüggvény közelítése...................... 32 Konklúzió, kitekintés 34 Irodalomjegyzék 36 1
Bevezetés Az elmúlt években egyre nagyobb érdeklődés bontakozott ki a mezoszkopikus rendszerek iránt. Manapság már létre tudnak hozni olyan 1 nm nagyságú tartományokat, amelyekben az elektronok mozgása kétdimenziós felületre korlátozható. Ilyen jön létre például GaAs és AlGaAs félvezetőrétegek egymáshoz illesztésekor a határfelületen kialakuló potenciálvölgy miatt. Ezekben a szerkezetekben a fellépő kvantumeffektusok alapvető módon befolyásolják a rendszer mérhető mennyiségeit, például a vezetőképességet. Különösen kutatott terület volt a különböző alakú tartományokba zárt elektronok viselkedése. Ezeket a néhány 1 nm nagyságrendű tartományokat kvantum-biliárdoknak [1] nevezik. Nanoméretű elektronikai eszközök létrehozásához feltétlenül szükséges ezen rendszerek viselkedését megérteni. Az elmúlt évtizedben a kutatás komplexebb rendszerek vizsgálatára is kiterjedt. A szupravezető és normál tartományokból alkotott heterostruktúrák újabb effektusokkal gazdagították a jelenségkört. 24 óta a kutatás irányvonalába a grafén került. Ekkor sikerült először leválasztani a grafitnak egy atomi rétegét [2, 3], amit az irodalomban grafénnek hívnak. A grafénen végzett mérések óriási érdeklődést váltottak ki azóta. A grafénbeli elektronok dinamikája egy zérus tömegű Dirac-egyenlettel írható le. Ennek eredményeképp számos relativisztikus effektust, mint például a Klein-paradoxont [4] és a Zitterbewegungot [5, 6] is megjósoltak a grafénban. Az elektronokat itt egy 2 2-es mátrix írja le, így sok hasonlóságot mutat a normál-szupravezető rendszerekkel. Ebben a dolgozatban egy szupravezető síkra helyezett grafén körlapból álló rendszer tulajdonságait vizsgáljuk. A dolgozat úttörőnek számít abból a szempontból, hogy a zárt szupravezető-grafén rendszerek kvantálása és szemiklasszikus vizsgálata még nem történt meg az irodalomban. Grafén-szupravezető rendszerben fellép az Andreev-retroreflexió mellett egy új jelenség (a Fermi-energiától függően) az ún. spekuláris Andreev-reflexió [7, 8], ami alapvető módon befolyásolja a rendszer állapotsűrűségét. A dolgozat első felében elvégezzük az egzakt kvantumos számolást. Kiderül, hogy a rendszerünk egy 4 4-es Hamiltonoperátorral írható le, amely a Bogoliubov de Gennes és a grafénban érvényes Dirac-egyenlet felhasználásával kapunk. Fő célunk a rendszer állapotsűrűségének, illetve az abból származtatható lépcsőfüggvénynek (ami az állapotok száma adott energia alatt) meghatározása, mivel a kísérletek szempontjából az állapotsűrűség az egyik legfontosabb mennyiség. Abban az esetben, amikor az Andreev-retroreflexió a domináns, az állapotsűrűségben szingularitások lépnek fel, amit a később részletezendő szemiklasszikus képpel meg is tudunk 2
BEVEZETÉS ÉS KÖSZÖNETNYÍLVÁNÍTÁS 3 magyarázni. Abban az energiatartományban, ahol a spekuláris reflexió domináns, ott nem lép fel szingularitás az állapotsűrűségben. Ebben az esetben is sikerült szemiklasszikusan leírni a rendszert, ami teljesen új az irodalomban. A szemiklasszikus közelítésből adódó energiaértékek kiváló egyezésben vannak az egzakt energiákkal. Köszönetnyilvánítás Mindenekelőtt köszönöttel tartozom témavezetőmnek: Cserti Józsefnek az érdekes témafelvetéséért, önzetlen segítségéért, a dolgozat végső formájának átolvasásáért és pontos javításáért. Külön köszönet illeti a Komplex Rendszerek Fizikája Tanszéket és végül de nem utolsó sorban Kovács István doktoranduszt a kézirat átolvasásáért és gondos javításáért.
1. fejezet A grafén A szén allotróp módusulatai közül a grafit és a gyémánt hosszú idő óta ismertek. Fizikai tulajdonságaikban rendkívül különböznek, a grafit puha, elektromosan vezető, míg a gyémánt igen kemény és elektromosan szigetelő. Annak az oka, hogy tulajdonságaik ilyen eltérőek, a kristályszerkezetükre vezethető vissza. A grafit réteges szerkezetű, ahol az egyes rétegekben a szénatomok hatszögesen, méhsejtszerűen helyezkednek el. A gyémánt az ún. gyémánt szerkezetben kristályosodik, ami legkönnyebben úgy kapható meg, mint egy fcc rács és egy másik fcc rács együttese, amelyek egymáshoz képest a testátló irányába 1/4 rácsállandónyival el vannak tolva. 1985-ben fedezték fel a C 6 molekulát, másnéven a fullerént, amely szabályos öt- és hatszögekből épül fel, egy közel gömb alakú molekulát alkotva. Nemsokkal később sikerült előállítani szén-nanocsöveket [9], melyeket többek között kvantummechanikai interferencia kísérletekben is használtak a kvantummechanika törvényszerűségeinek ellenőrzésére. 24-ben újabb felfedezést tett egy manchasteri kutatócsoport: sikerült előállítaniuk egy kétdimenziós, hatszögekből felépülő struktúrát, a grafit egy atomi vastagságú rétegének leválasztásával, amit grafénnek neveznek az irodalomban. Ez a méhsejtszerű struktúra látható az 1.1. ábrán. Szilárdtestfizikából tudjuk, hogy a Mermin-Wagner-tétel [1] szerint kétdimenziós kristályban nem létezhet hosszútávú rend, mivel a fellépő termikus fluktuációk olyan elmozdulásokat eredményeznek, amik összemérhetők a rácsállandóval. A mérések alapján viszont bizonyított, hogy grafén létezik. Az ellentmondás valószínűleg azzal oldható fel, hogy a szénatomok közötti összetartó erő olyan erős, hogy a termikus fluktuációk nem elegendőek a kristályhibák keltésére, vagy arra, hogy a síkbeli elrendezés a harmadik dimenzióban torzuljon. Miért került a grafén a kutatások középpontjába? Egyik oka az, hogy a töltéshordozók mozgékonysága a grafénben egy nagyságrenddel nagyobb, mint a szokásos félvezetőkben. A másik ok, a benne levő töltéshordozók különleges jellegéből fakad. Grafénben nagy pontossággal leírhatjuk a töltéshordozók dinamikáját a Dirac-egyenlet segítségével, annak ellenére, hogy az elektronok mozgása egyáltalán nem relativisztikus. Ez a hatszögrácsban elhelyezett szénatomok periodikus potenciáljával való kölcsönhatás eredménye. A grafén diszperziós relációja az 1.2. ábrán látható. A vezetési és valencia sáv az ábrán látható 4
FEJEZET 1. A GRAFÉN 5 A a 2 B a 1 1.1. ábra. A grafén méhsejtszerű szerkezete. A kristályszerkezetet az a 1 és a 2 elemi cella vektorokkal írhatjuk le. Minden elemi cella két típusú bázisatomot tartalmaz, melyeket A-val (zöld atomok) és B-vel (kék atomok) jelöltünk. 1.2. ábra. A grafén szoros kötésű közelítéssel számolt diszperziós relációja k = (k x, k y ) függvényében. A felső és alsó felület rendre a vezetési és a valencia sávot ábrázolja.
FEJEZET 1. A GRAFÉN 6 hat pontban, az ún. Dirac-pontokban összeér. A méhsejtrács Brillouin-zónájához tartozó Dirac-pontok közül azonban csak kettő független, melyeket például a K = (2b 2 +b 1 )/3) és K = (2b 1 +b 2 )/3) vektorokkal jelölhetünk, ahol b 1, b 2 a reciprokrács elemi cella vektorai. Mivel a Fermi-energiához közeli állapotok gerjeszthetők szobahőmérsékleten, ezért a közel Fermi-energiás elektronok határozzák meg a rendszer vezetési és elektromos tulajdonságait. A Fermi-energia épp a Dirac-pontoknál helyezkedik el, ezért célszerű a diszperziós relációt sorbafejteni a Dirac-pontok környékén. Bevezetve a δk = k K jelölést, a diszperziós reláció E = v δk (1.1) alakú a Dirac-pontok környékén, ahol v = 3 γa 2 16 m és γ 3 ev a legközelebbi s szomszédhoz tartozó hopping-energia. Láthatjuk, hogy ez gyökeresen eltér a fémekben megszokott k 2 -es diszperziós relációtól. Ebből az is következik, hogy alacsony energián energiafüggetlen a csoportsebesség: v g = 1 E k = v. (1.2) Ennek következtében az elektronszerű gerjesztések (vezetési sávbeli betöltött állapotok) vagy a lyukszerű gerjesztések (a valencia sávbeli betöltetlen állapotok) nulla effektív tömeggel rendelkeznek. Annak ellenére, hogy v c, megmutatható, hogy ezek a tömeg nélküli gerjesztések nagy pontossággal leírhatók a relativisztikus kvantummechanika Diracegyenletében szereplő Hamilton-operátorral: ( ) ( ) H+ σx Ĥ grafén = = iv x + σ y y, (1.3) H σ x x σ y y amely egy négydimenziós (Ψ A+, Ψ B+, Ψ A, Ψ B ) spinorra hat, σ x, σ y a Pauli-mátrixok. Az A, B indexek a méhsejt-rács 1.1 ábrán látható bázisatomokat jelölik, a ± indexek pedig a K illetve K pontot jelölik. Megmutatható, hogy a H ± operátorok a σ x Pauli-mátrixszal végzett unitér transzformációval σ x H ± σ x = H módon egymásba vihetők, ezáltal azonos diszperziós relációt kapunk az említett két Dirac-pont környezetében. Ezen degeneráció miatt elegendő az egyik típust vizsgálni, a továbbiakban mi a H + -t választjuk. A degeneráció egy 2-es szorzóval vehető figyelembe.
2. fejezet Az Andreev-reflexió 2.1. Szemiklasszikus kép Abban az esetben, ha normál fém (N) és szupravezető (S) struktúrákat összeillesztünk, az ekkor fellépő Andreev-reflexió [11, 12] különösen fontos szerepet játszik az energiaszintek meghatározásakor. Ez a reflexió tisztán kvantummechanikai effektus, ugyanis egy N-S határfelületre érkező elektron, amelynek Fermi-energiához képesti energiája kisebb a szupravezető gapjénél, lyukként verődik vissza a bejövő pályán ellentétes irányba. Ezt a típusú reflexiót gyakran Andreev-retroreflexiónak is nevezik (2.1(a) ábra) Az alábbiakban látni fogjuk, hogy grafénben lehetséges az ún. spekuláris Andreev-reflexió is (2.1(b) ábra), amely során a reflektálódó lyuk α szöget zár be a beesési merőlegessel, ha a beesési szög is α volt. Ebben a fejezetben ezeket vizsgáljuk meg részletesebben, összefoglalva [7, 8] cikkeket. A tárgyalás egyszerűségére törekedve és azért, hogy következetesek legyünk mindkét szupravezeto Α y szupravezeto Α Α y e e h h (a) Andreev-retroreflexió x (b) spekuláris Andreev-reflexió x 2.1. ábra. Az Andreev-reflexió típusai grafénben. esetet az alább bemutatandó Dirac-Bogoliubov de Gennes egyenletből fogjuk levezetni. Inhomogén, helytől függő párpotenciál esetén a szupravezető rendszereket a Bogoliubov de 7
FEJEZET 2. AZ ANDREEV-REFLEXIÓ 8 Gennes egyenlettel lehet leírni: ( H (r) (r) H ) Ψ = EΨ, (2.1) ahol Ψ egy kétkomponensű hullámfüggvény, H az egyrészecskés Hamilton-operátor. Továbbiakban E a Fermi-energiához viszonyított energiát jelenti és a Fermi-energia értéke a szupravezető és normál tartományban megegyezik. A (r) párpotenciál, általában lehet komplex helyfüggő mennyiség is. A későbbi számolások során =, azaz valósnak választjuk, ami nem jelent semmilyen megszorítást. Innentől kezdve végig az energiaspektrumnak az E < részét vizsgáljuk, mivel itt az Andreev-reflexió valószínűsége nem hanyagolható el. Ha a H operátort a szokásos H = (p ea)2 2m E F (2.2) alakúra választanánk (E F a Fermi-energia), akkor kapnánk a normál-szupravezető rendszerek leírásának alapegyenletét. Ebben a fejezetben a következő elrendezést vizsgáljuk: az x y síkban az x < tartományt szupravezető tölti ki, míg az x > félsíkot normál grafén. Kíséreltileg ezt úgy kell megvalósítani, hogy a szupravezető félsíkra egy grafén síkot helyezünk. A közelségi effektus (proximity effect) miatt a szupravezetőre helyezett grafén szupravezetővé válik [14, 15]. Emiatt ez a tartomány leírható az N-S rendszerek (2.1) egyenletével azzal a módosítással, hogy az egyrészecskés H Hamilton-operátor, az (1.3) grafénbeli Hamilton-operátor lesz. A K pontok degenerációja miatt elegendő csak az egyik pontot tekinteni mint említettük, a továbbiakban a H + operátort választjuk. A Dirac-Bogoliubov de Gennes-egyenlet tehát a következő: ( ) H+ E F I Ψ = EΨ, (2.3) I E F H + ahol Ψ egy négykomponensű bispinor, I pedig a 2 2-es egységmátrix. A párpotenciálra az irodalomban szokásos lépcsőfüggvény közelítést alkalmazzuk: {, ha x <, (r) = (2.4), ha x >. A (2.3) egyenletnek egy (u, v) exp(ik x x + ik y y) alakú síkhullám sajátállapota, méghozzá a következő diszperziós relációval: E = ± 2 + (E F ± v F k ) 2, (2.5) ahol k = k 2 x + k2 y. A (2.5) diszperziós reláció pozitív energiás része látható a 2.2. ábrán a normál tartomány esetére, azaz =. A gyökjel előtt álló ± a vezetési és a valencia sáv, míg a másik a két fajta (A és B) bázisatom következménye. Mielőtt a részletes vizsgálatba belefognánk, röviden vizsgáljuk meg a spektrumot. Tegyük fel, hogy egy elektron érkezik
FEJEZET 2. AZ ANDREEV-REFLEXIÓ 9 E E E F k F (a) Andreev-retroreflexió: az elektron és a lyuk is vezetési sávbeli (E < E F ) k F k x (b) spekuláris Andreev-reflexió: a vezetési sávbeli elektron valencia sávbeli lyukba megy át (E > E F ) k x 2.2. ábra. (2.5) diszperziós reláció = és merőleges beesés (k y = ) esetén. A piros vonalak elektronszerű gerjesztéseknek, a kék vonalak lyukszerű gerjesztéseknek felelnek meg. A folytonos és pontozott vonalak rendre a vezetési és valencia sávot jelölik. Az elektron lyuk átmenetet a nyíl jelöli mindkét Andreev-reflexió esetén. az x > tartományból a határfelületre. Mivel a reflektálódás során k y és E megmarad, a visszaverődés utáni állapot azon négy k x érték szuperpozíciójából állítható elő, amelyek megoldásai a (2.5) egyenletnek adott E és k y mellett. Tudjuk, hogy v x = 1 de, (2.6) dk x ebből kifolyólag a visszaverődés utáni állapot csak azon két k x értéket tartalmazza, amelyekhez pozitív meredekség tartozik. Ezek közül az egyik egy elektronszerű, a másik egy lyukszerű gerjesztés. A 2.2. ábrán jól látható, hogy a reflektált lyuk vagy vezetési sávbeli (E < E F ) vagy valencia sávbeli (E > E F ). Ez a két típusú lyuk teljesen eltérően viselkedik. A 2.2. ábra alapján ugyanis a vezetési sávbeli lyuk a sebességével ellentétes irányba propagál azaz v y és v x is előjelet vált (Andreev-retroreflexió), míg a valencia sávbeli lyuk esetén v y változatlan marad, tehát a hullámszámvektorával megegyező irányba halad (spekuláris Andreev-reflexió). A következő alfejezetben a [7, 8] cikkekben közölt kvantummechanikai leírást mutatjuk be. 2.2. Kvantummechanikai leírás 2.2.1. Szórásállapotok a normál tartományban Az Andreev-reflexió valószínűségének meghatározásához először szükségünk van a szórásállapotokra a normál és szupravezető tartományokban. A normál tartománybeli állapo-
FEJEZET 2. AZ ANDREEV-REFLEXIÓ 1 tok a (2.3) egyenlet megoldásai: ( p σ EF E F p σ ) ( u v ) = E ( u v ), (2.7) ahol p σ = iv F (σ x x + σ y y ). Adott E energia és k y transzverzális hullámszámvektor esetén, a következő bázisállapotokat kapjuk: exp( iα/2) Ψ e+ = exp(ik yy + ik x x) exp(iα/2) cosα, (2.8) ahol Ψ e = exp(ik yy ik x x) cosα Ψ h+ = exp(ik yy + ik xx) cos α Ψ h+ = exp(ik yy ik x x) cosα exp(iα/2) exp( iα/2) exp( iα /2) exp(iα /2) exp(iα /2) exp( iα /2), (2.9), (2.1), (2.11) ( ) vf k y α = arcsin, (2.12) E + E ( F ) α vf k y = arcsin, (2.13) E E F k x = E + E F v F cosα, (2.14) k x = E E F v F cosα. (2.15) α az elektron beesési szöge, α a lyuk visszaverődési szöge. Retroreflexió (E < E F ) esetén α és k x ellentétes előjelű, míg spekuláris reflexió esetén (E > E F ) azonos előjelű. A Ψ e+, Ψ h+ rendre +x irányba propagáló elektron és lyuk állapotok, míg Ψ e, Ψ h x irányba propagáló elektron és lyuk állapotok. Az 1/ cosα és 1/ cos α faktorok biztosítják azt, hogy az állapotok ugyanolyan részecskeáramot szállítsanak. Egy bizonyos α c beesési szög fölött nincs Andreev-reflexió, ami (2.12)-(2.13) formulákból következően: ( ) E EF α c = arcsin. (2.16) E + E F
FEJEZET 2. AZ ANDREEV-REFLEXIÓ 11 2.2.2. Szórásállapotok a szupravezető tartományban A szupravezető tartományban (x < ) a szórásállapotokat a (2.3) egyenlet megoldásai adják: ( ) ( ) ( ) p σ EF I u u = E. (2.17) I E F p σ v v Csak azok a megoldások jöhetnek szóba, amelyek x esetén lecsengenek: exp( iβ) Ψ S+ = exp(ik y + ik x + κx) exp(iγ iβ) 1, (2.18) exp(iγ) ahol Ψ S = exp(ik y ik x + κx) ( E β = arccos ( vf k y γ = arcsin k = exp(iβ) exp(i γ + iβ) 1 exp( iγ) E F, (2.19) ), (2.2) ), (2.21) E 2 F (v F ) 2 k2 y, (2.22) κ = E F (v F ) 2 k sin β. (2.23) 2.2.3. A visszaverődési amplitúdók kiszámítása Tegyük fel, hogy egy elektron érkezik a szupravezető határfelületre, ekkor a normál tartománybeli hullámfüggvény bizonyos amplitúdóval tartalmazni fog elektronszerű és lyukszerű állapotokat, a szupravezető tartománybeli hullámfüggvény pedig Ψ S+ és Ψ S állapotok lineárkombinációját. E két hullámfüggvényt a határfeltétel kapcsolja össze, mégpedig meg kell egyezniük a határon a folytonosság miatt, (az elsőrendű differenciáloperátor következménye). Azaz, az x = határon Ψ e + rψ e+ + r A Ψ h+ = aψ S+ + bψ S (2.24) egyenletnek kell teljesülnie. Ennek megoldása szolgáltatja a keresett r, r A, a, b amplitúdókat. Számunkra r, r A a fontos. Teljesen analóg egyenletet kapunk, ha egy beeső lyuk esetét tekintjük: Ψ h + r Ψ h+ + r A Ψe+ = a Ψ S+ + b Ψ S. (2.25)
FEJEZET 2. AZ ANDREEV-REFLEXIÓ 12 Feltéve, hogy a szupravezetőbeli Fermi-hullámhossz sokkal kisebb, mint a normál tartománybeli, a következő kifejezések adódnak a reflexiós amplitúdókra a különböző határesetekben: cosα r A (E, α) = (E/ ) cosα + ζ, ha E F E, (2.26) cosα r A (E, α) = E/ + ζ cos α, ha E F E (2.27) az Andreev-reflexióhoz tartozó amplitúdók, míg a normál reflexióhoz a r(e, α) = ζ sin α (E/ ) cosα + ζ, ha E F E, (2.28) r(e, α) = (E/ ) sin α E/ + ζ cos α, ha E F E (2.29) amplitúdók tartoznak, ζ = E 2 / 2 1. A (2.26)-(2.27) egyenletek mutatják, hogy az Andreev-retroreflexió és a spekuláris Andreevreflexió valóban jelen van grafénban. A 2.3. ábra összefoglalja ebben az alfejezetben kapott eredményeket, azaz, hogy különböző Fermi-energiák esetén mely típusú Andreev-reflexió domináns, illetve, milyen irányú a reflektált lyuk pályája. Az α vissza visszaverődési szög szupravezeto E E F E E F EE F EE F 2.3. ábra. A beeső elektron (piros vonal) és a reflektált lyukak pályái (kék vonalak) különböző (Fermi-energiához viszonyított) energiákra feltüntetve. E < E F esetben a lyuk a vezetési sávban van (folytonos vonalak), E > E F esetben a lyuk a valencia sávban van (szaggatott vonalak). kezdetben E E F esetén közel a beesési szög, α vissza α beesési, majd fokozatosan növekszik 9 -ig, E = E F -nél 9 -ra ugrik, végül E E F határesetben megközelíti az α vissza α beesési értéket.
3. fejezet A rendszer kvantummechanikai vizsgálata A bevezetőben említettük, a vizsgált rendszerünk egy végtelen szupravezető síkra helyezett R sugarú grafén körlap (3.1. ábra). Kísérletileg ez úgy valósítható meg, hogy egy hagyományos szupravezető síkban egy R sugarú lyukat vágunk, majd a szupravezetőre egy grafén síkot helyezünk. A lyuk fölötti rész kivételével a grafén szupravezetővé válik, ahogyan azt az előző fejezetben megindokoltuk. Célunk a rendszerben mozgó elektron 3.1. ábra. A vizsgált rendszer sematikus rajza: R sugarú grafén körlap szupravezető síkra helyezve. 13
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 14 energiaszintjeit, illetve az energiaszintek (E) állapotsűrűségét meghatározni. Az állapotsűrűség szokásos definíciója: (E) = n δ(e E n ). (3.1) A numerikus számolások során, azonban kényelmesebb egy ezzel ekvivalens mennyiség, mégpedig az N(E) lépcsőfüggvény vizsgálata, amely nem más, mint az állapotsűrűség integrálja: N(E) = E (E )de = n Θ(E E n ). (3.2) Az előző fejezetben láttuk, hogy inhomogén szupravezető rendszerek leírására a Bogoliubov de Gennes egyenletet kell használnunk, azzal a változtatással, hogy a benne szereplő egyrészecskés Hamilton-operátor helyébe, a grafén (1.3) Hamilton-operátorát kell írnunk. Ennek eredményeként a rendszerünket leíró Hamilton-operátor egy 4 4-es mátrix, melynek elemei operátorok. A szupravezető (r) párpotenciáljára, az irodalomban elterjedt lépcsőfüggvény közelítést alkalmazzuk, azaz {, ha < r < R, (r) = (3.3), ha R < r, ahol r = r. A közelítés jól működik, ha a ξ = v F (3.4) koherenciahossz sokkal kisebb a normál tartomány méreténél, azaz ξ R. Ilyenkor belátható, hogy nincs szükség további önkonzisztens számolásra [13]. A továbbiakban mindig a < E < részét vizsgáljuk a spektrumnak, ugyanis a gaptől nagyobb energiás tartományokban az Andreev-reflexió valószínűsége sokkal kisebb ehhez a tartományhoz képest. A következőkben levezetjük a normál és a szupravezető tartománybeli hullámfüggvényeket és a határon illesztjük őket. Mivel a Hamilton-operátorunk csak elsőrendű differenciáloperátorokat tartalmaz, ezért azt kell megkövetelni, hogy a hullámfüggvény minden komponense folytonosan menjen át az N-S határfelületen. Ez fogja adni a szekuláris egyenletet az energiasajátértékekre. 3.1. A normál tartománybeli hullámfüggvény A normál tartomány ( < r < R) Hamilton-operátora egy 4 4-es mátrix, amelynek az elemei operátorok: ( ) vf p σ E Ĥ = F I, (3.5) E F I v F p σ
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 15 ahol p az impulzusoperátor, σ a Pauli-mátrixokból alkotott vektor, I pedig a 2 2-es egységoperátor, E F a Fermi-energia. A rendszerünk forgásszimmetriájának megfelelően célszerű az impulzusoperátort síkbeli polárkoordinátákba írni: p = i ( cos ϕ sinϕ r r sin ϕ + cos ϕ r r ϕ ϕ ) (3.6) Vezessük be a fenti komponensekből képzett p ± = p x ± ip y operátorokat, az L ± impulzusmomentum operátor mintájára: ( p ± = ie ±iϕ r ± i ). (3.7) r ϕ Az elnevezést az indokolja, hogy a p ± operátort egy Z m (kr)e imϕ függvényre 1 hattatva, az m indexét eggyel növeli vagy csökkenti: p ± (Z m (kr)e imϕ ) = ±iz m+1 (kr)e i(m+1)ϕ. (3.8) Ezt az azonosságot a Bessel függvényekre vonatkozó [17] Z m (x) ± m x Z m(x) = ±Z m 1 (x) (3.9) rekurziós összefüggés felhasználásával könnyen beláthatjuk. A (3.8) formula felhasználásával a p σ skalárszorzat a következő alakba írható: ( ) p p σ =. (3.1) p + A (3.1) összefüggés felhasználásával a (3.5) Hamilton operátor a következő alakba írható: E F p Ĥ = p + E F E F p. (3.11) p + E F A hullámfüggvényt a következő alakban keressük: Ψ N (r) = A N (k)z m (kr) B N (k)z m+1 (kr)e iϕ C N (k)z m (kr) D N (k)z m+1 (kr)e iϕ eimϕ, (3.12) 1 Itt és a továbbiakban Z m (x) tetszőleges Bessel-függvényt (J m (x), Y m (x), H (1,2) m (x) ) vagy lineárkombinációit jelenti.
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 16 ahol k egyelőre ismeretlen hullámszám dimenzójú paraméter, A N (k), B N (k), C N (k), D N (k) együtthatók pedig ennek függvényei. A (3.12) hullámfüggvényről elemi számolással belátható, hogy valóban sajátállapota a (3.11) Hamilton-operátornak, bizonyos A N (k), B N (k), C N (k), D N (k) együtthatók esetén, melyeket a diszperziós relációval együtt a ĤΨ N (r) = EΨ N (r) (3.13) sajátértékegyenletből határozhatjuk meg. Hosszú, de elemi számolás után a következő diszperziós relációt kapjuk: E(k) = ±(E F ± v F k). (3.14) Ez pont megegyezik a 2.2. ábrán látható diszperziós relációval, azzal a különbséggel, hogy k x helyett k-t kell írni. A normál tartományban a Dirac-spinor elektronszerű és lyukszerű komponensei szétcsatolódnak. Adott E energiára (3.14) egyenletet megoldva kapunk négy darab k értéket. Ezek közül azt a két k értéket kell választanunk (ugyanis így tudjuk kielégíteni a határfeltételt), amelyeket behelyettesítve a (3.12) kifejezésbe és hattatva rá a (3.11) Hamilton-operátort pozitív energiát kapunk. A jó k értékek: v F k 1 = E E F, Ezekhez a k értékekhez a következő együtthatók tartoznak: v F k 2 = E + E F. (3.15) C N (k 1 ) = i, D N (k 1 ) = 1 A N (k 2 ) = i, B N (k 2 ) = 1. (3.16) Tudjuk, hogy a körön belül a hullámfüggvénynek nincs semmilyen szingularitása, ezért csak a J m (kr) Bessel-függvényt engedhetjük meg a belső a tartományban. Így a következő két bázisállapot lehetséges a normál tartományban: Ψ N k 1 (r) = ij m (k 1 r) J m+1 (k 1 r)e iϕ eimϕ, Ψ N k 2 (r) = ij m (k 2 r) J m+1 (k 2 r)e iϕ eimϕ. (3.17) 3.2. Hullámfüggvény a szupravezető tartományban A szupravezető (r > R) tartománybeli Hamilton-operátor a következő: ( ) vf p σ E Ĥ = F I I. (3.18) I E F I v F p σ
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 17 A normál tartománybeli (3.12) hullámfüggvény mintájára itt is keressük a sajátértékprobléma megoldását a A S (q)z m (qr) Ψ S (r) = B S (q)z m+1 (qr)e iϕ C S (q)z m (qr) eimϕ (3.19) D S (q)z m+1 (qr)e iϕ alakban. Itt q szintén hullámszám dimenziójú, azonban (mint később kiderül) komplex paraméter. A (3.19) anzatzról megmutatható, hogy sajátvektora a (3.18) operátornak, mégpedig E(q) = ± 2 + (E F ± v F q) 2 (3.2) sajátértékkel. Mivel az r > R síktartomány nem tartalmazza az origót, ezért itt már megengedhetők a H m (1) (qr) illetve H m (2) (qr) ún. első és másodfajú Hankel-függvények. Adott E energiához itt is négy darab q érték tartozik. Ezek közül azonban csak azokat választhatjuk, melyekre a hullámfüggvény r esetén lecseng. Mivel a Hankel-függvények között fennáll a H (1) m (x) = H (2) m (x), x C (3.21) reláció (itt a felülvonás a komplex konjugálást jelöli), ezért (3.2) egyenletet adott E esetén q-ra megoldva két olyan q érték van, melyekkel a szupravezető tartománybeli sajátállapotok függetlenek lesznek és a végtelenben lecsengnek. A fenti feltételeket kielégítő q értékek: q 1 = E F + i 2 E2 v F, (3.22) q 2 = E F + i 2 E 2 v F. (3.23) A későbbi számolások és a formulák egyszerűbbé tételének érdekében célszerű dimenziótlan paramétereket bevezetni. Minden energia dimenziójú mennyiséget egységekben fogunk mérni, így a későbbiekben az ε = E és ε F = E F (3.24) dimenziótlan mennyiségeket használjuk. A Bessel-függvények argumentumában pedig az η = ξ R (3.25) dimenziótlan mennyiség fog felbukkani, ezért érdemes külön dimenziótlan paraméternek bevezetni a (3.4) koherenciahossz és a minta sugarának a hányadosát.
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 18 A q 1 és q 2 értékekhez tartozó együtthatókat itt felsoroljuk, a bevezetett dimenziótlan mennyiségek felhasználásával: A S (q 1 ) = iε + 1 ε 2 = ie iφ, A S (q 2 ) = iε + 1 ε 2 = ie iφ, (3.26) B S (q 1 ) = ε i 1 ε 2 = e iφ, B S (q 2 ) = ε + i 1 ε 2 = e iφ, (3.27) C S (q 1 ) = i, C S (q 2 ) = i, (3.28) ahol bevezettük a D S (q 1 ) = 1, D S (q 2 ) = 1, (3.29) φ = arccos E = arccos ε (3.3) jelölést. Így a szupravezető tartománybeli bázisállapotok a következők lesznek: ie iφ H m (1) (q 1 r) ie iφ H m (1) (q 2 r) Ψ S e q 1 = iφ H (1) m+1 (q 1r)e iϕ ih m (1) (q 1 r) eimϕ, Ψ S e q 2 = iφ H (1) m+1 (q 2r)e iϕ ih (1) m (q 2 r) eimϕ. (3.31) H m+1(q (1) 1 r)e iϕ H m+1(q (1) 2 r)e iϕ 3.3. A hullámfüggvények illesztése és az egzakt lépcsőfüggvény Most már fel tudjuk írni a határfeltételre vonatkozó egyenletet. A normál és a szupravezető tartományban is vehetjük a bázisállapotok tetszőleges lineárkombinációját és ezeknek meg kell egyezniük az r = R helyen tetszőleges ϕ szög esetén: a 1 Ψ N k 1 (R) + a 2 Ψ N k 2 (R) = b 1 Ψ S q 1 (R) + b 2 Ψ S q 2 (R). (3.32) A (3.17) és a (3.31) felhasználásával egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk az a 1, a 2, b 1, b 2 együtthatókra. Ennek akkor van nemtriviális megoldása, ha az együtthatókból képezett determináns eltűnik, azaz: ij m (k 2 R) ie iφ H m (1) (q 1 R) ie iφ H m (1) (q 2 R) J m+1 (k 2 R) e iφ H (1) m+1 (q 1R) e iφ H m (1) (q 2 R) ij m (k 1 R) ih m (1) (q 1 R) ih m (1) (q 2 R) J m+1 (k 1 R) H (1) m+1 (q 1R) H (1) m+1 (q 2R) =. (3.33)
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 19 A (3.33) egyenlet megoldásai szolgáltatják az E energiasajátértékeket. Ezt az egyenletet csak numerikusan lehet megoldani. A feladatot nehezíti, hogy komplex változók is szerepelnek a Bessel-függvények argumentumaiban. A determinánst kifejtve, majd egyszerűbb alakra hozva a következő kifejezést kapjuk: e iφ [H (1) m+1(y 2 )J m (x 1 ) + H (1) m (y 2 )J m+1 (x 1 )][H (1) m+1(y 1 )J m (x 2 ) + H (1) m (y 1 )J m+1 (x 2 )] e iφ [H (1) m+1(y 1 )J m (x 1 ) H (1) m (y 1 )J m+1 (x 1 )][H (1) m+1(y 2 )J m (x 2 ) H (1) m (y 2 )J m+1 (x 2 )] =, (3.34) ahol bevezettük az x 1 = ε ε F η, x 2 = ε + ε F η y 1 = ε F + i 1 ε 2, y 2 = ε F + i 1 ε 2 η η, (3.35) (3.36) új változókat. A (3.34) egyenletet célszerű a következő szemiklasszikus vizsgálatok miatt átírni az alábbi alakba: [ ][ ] e iφ J m (x 1 ) + J m+1 (x 1 ) H(1) m (y 2 ) H (1) m+1 (y J m (x 2 ) + J m+1 (x 2 ) H(1) m (y 1 ) 2) H (1) m+1 (y 1) e iφ [ J m (x 1 ) J m+1 (x 1 ) H(1) m (y 1 ) H (1) m+1 (y 1) ] [ J m (x 2 ) J m+1 (x 2 ) H(1) m (y 2 ) H (1) m+1 (y 2) ] =. (3.37) A (3.37) egyenlet numerikus megoldásával megkapjuk az energiasajátértékeket, amelyekből könnyen tudjuk származtatni a lépcsőfüggvényt is. A 3.2. ábrán az egzakt lépcsőfüggvény látható, amely tipikus az E F energiatartományban. Jól látható, hogy bizonyos energiáknál a lépcsőfüggvény gyökösen, azaz végtelen nagy meredekséggel indul. Ezekben a pontokban az állapotsűrűségnek szingularitása van. A másik energiatartományban E F teljesen más viselkedést tapasztalunk az állapotsűrűségben. A 3.3. ábrán látható, hogy ekkor nem lépnek fel szingularitások. A következő fejezetben a két energiatartomány különböző viselkedésére fogunk fényt deríteni a szemiklasszikus közelítések segítségével. A 3.4. ábrán látható, hogy a normál és szupravezető tartomány hullámfüggvénye valóban folytonosan illeszkedik a határon és a szupravezető tartományban pedig exponenciálisan lecseng. A 3.5. ábrákon feltüntettük a normál tartománybeli hullámfüggvények abszolútérték négyzetének ábráját, mivel a szupravezető tartomány csak lecsengő részt tartalmaz.
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 2 1 3 NΕ 8 6 4 NΕ 25 2 2 15.2.4.6.8 1. (a) Az egzakt lépcsőfüggvény. Ε.1.15.2.25.3 (b) Az egzakt lépcsőfüggvény kinagyítva. Ε 3.2. ábra. Az egzakt lépcsőfüggvény η = ξ R =.3, ε F = E F = 1 esetén. 5 4 NΕ 3 2 1.2.4.6.8 1. Ε 3.3. ábra. Az egzakt lépcsőfüggvény η = ξ R =.3, ε F = E F = esetén.
FEJEZET 3. A RENDSZER KVANTUMMECHANIKAI VIZSGÁLATA 21.15.3.25 r 2.1.5 r 2.2.15.1.5. 1 2 3 4 (a) r..8.9 1. 1.1 1.2 (b) r 3.4. ábra. A normál (piros) és szupravezető (kék) tartomány normált hullámfüggvényének abszolútérték négyzete, a grafén minta sugarával (R) dimenziótlanított sugár függvényében, ε F = E F = 1 és η = ξ =.6 értékek esetén. R (a) m = és n = 3 (b) m = 4 és n = 2 3.5. ábra. A normál tartománybeli hullámfüggvény abszolútérték négyzete (normált) különböző kvantumszámok és ε F = 1 és η =.6 értékek esetén.
4. fejezet Az energiaspektrum és szemiklasszikus vizsgálata Ebben a fejezetben a (3.37) egyenlet megoldásait vizsgáljuk különböző esetekben. A második fejezetben láttuk, hogy E F, E esetén az Andreev-retroreflexió a domináns, míg E F, E esetén a spekuláris Andreev-reflexió. Természetesen vetődik fel a kérdés, hogy milyen a lépcsőfüggvény viselkedése a különböző Fermi-energiák esetén és milyen szemiklasszikus képet tudunk társítani az elektron viselkedéséhez. Tudjuk, hogy egy H(p i, q i ) Hamilton-függvénnyel leírható rendszerben a WKB-módszer szerint, minden periodikus pályához egy kvantált energiaszint tartozik, melyeket a [16] I i := 1 2π ( p i dq i = n i + ν ) i 4 n i =, 1, 2,... (4.1) Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási szabály ad meg. Itt I i az ún. hatásváltozók, ν i az alrendszer Maslov-indexe, melynek értékét a fordulópontok száma és a határfeltételek szabják meg. A későbbiekben szükségünk lesz a köralakú tartományban mozgó szabad részecske hatásváltozóira, ezért ezeket itt most megadjuk. Egy szabad részecske Lagrange-függvénye polárkoordinátákban: A kanonikus impulzusok a következők lesznek: L = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ϕ 2 ). (4.2) p r = L ṙ = mṙ p ϕ = L ϕ = mr2 ϕ, (4.3) a Hamilton-függvény pedig: H = p r ṙ + p ϕ ϕ L = 1 2 (mṙ2 + mr 2 ϕ 2 ) = 1 ( ) p 2 r + p2 ϕ. (4.4) 2m r 2 22
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 23 Innen: p r (r) = 2mE p2 ϕ r 2 = 2 k 2 p2 ϕ r 2. (4.5) Jól látható, hogy p r (r)-nek zérushelye van az r = p ϕ /(k) pontban. Az integrál alsó határa így r, felső pedig a tartomány fala lesz: I r = 1 p r dr = 1 R 2π π 2 k 2 p2 ϕ dr, (4.6) r2 az integrálást elvégezve kapjuk, hogy: I r = 1 [ ( )] π 2 (kr) 2 p 2 ϕ p pϕ ϕ arccos. (4.7) (kr) Az I ϕ hatásváltozóra vonatkozó kvantálási feltétel egyszerűen megkapható: I ϕ = 1 p ϕ dϕ = p ϕ = m, m =, 1, 2,... (4.8) 2π r A (4.8) kifejezést a (4.7) összefüggésbe helyettesítve és -sal elosztva kapjuk az Î r = 1 π [ ( m (kr)2 m 2 m arccos kr)] (4.9) formulát, mellyel a későbbiekben találkozni fogunk. 4.1. Az E F, E tartomány vizsgálata Az Andreev-reflexió vizsgálatánál láttuk, hogy az E F, E energiatartományban az Andreev-retroreflexió a domináns. Ezt a jelenséget korábban vizsgálták normálszupravezető rendszer esetében és szingularitásokat figyeltek meg az állapotsűrűségben [18]. Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy a grafénbeli Andreev-retroreflexió milyen energiaspektrumot eredményez. A kvantálási feltétel levezetéséhez a következőképpen járunk el: a (3.37) egyenletben a Bessel-függvényeket lecseréljük nagy argumentumra vonatkozó közelítésükre. A determinánst kifejtve, hosszú algebra után megkapjuk a szemiklasszikus kvantálási feltételt. 4.1.1. Az átmérő menti pályák kvantálása Az átmérő menti pályák kvantálásához lecseréljük a (3.37) egyenletben szereplő Besselfüggvényeket a nagy argumentumra vonatkozó közelítésükkel, vezető rendben. A vezető
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 24 rendbeli közelítés a következő [17]: 2 ( J m (x) πx cos x mπ 2 π 4 2 [ H m (1) (x) πx exp i ( x mπ 2 π 4 ), (4.1) )], (4.11) feltéve, hogy x m. Vegyük észre, hogy x 1 < az E F E feltétel miatt. A (4.1)-(4.11) közelítések azonban csak pozitív argumentum esetén igazak. Mivel x 1 csak J m (x) argumentumában fordul elő, ezért a [17] J m (x 1 ) = ( 1) m J m ( x 1 ) (4.12) azonos átalakítás felhasználásával már alkalmazhatjuk a közelítő formuláinkat. A (3.37) egyenletbe behelyettesítve a (4.1)-(4.11) közelítéseket, a következő egyenlethez jutunk: ahol exp [i ( 2φ 2θ 1 + 2θ 2 )] = 1, (4.13) θ 1 = x 1 mπ 2 π 4, (4.14) θ 2 = x 2 mπ 2 π 4. (4.15) A (4.13) egyenlet csak akkor teljesül, ha az exponensbeli i szorzótényezője 2π egész számú többszöröse, azaz 2 arccos E + E + E F v F 2R E F E v F 2R = 2πn, n N, (4.16) ahol visszatértünk az eredeti változókra és felhasználtuk φ (3.3) definícióját. Ezzel megkaptuk az átmérő menti pályák kvantálási feltételét. A kapott eredmény rendkívül szemléletes, ezt mutatja a 4.1. ábra. Az E F +E energiájú elektron hullámfüggvényének a fázisa 2R út megtétele után (E F + E)2R/(v F ) értékkel változik meg. Egy E F E energiájú lyuk esetében a fázisváltozás (E E F )2R/(v F ), mivel a lyuk impulzusa és az elmozdulás ellentétes irányú. Az Andreev-reflexió során pedig fellép még egy extra φ fázis is, s mivel periodikus pálya esetén két Andreev-reflexió történik, ezért 2φ = 2 arccos(e/ ) adódik hozzá a fázisváltozáshoz. A Bohr Sommerfeldkvantálás szerint ennek a fáziskülönbségnek 2π egész számú többszörösének kell lennie, épp ezt mondja a (4.16) egyenlet. Meglepő módon ugyanez a kvantálási feltétel adódik a normál-szupravezető rendszerben is kör geometria esetén [18]. Vezető rendben az adódott, hogy a kvantált energiaszintek nem függnek m-től. Ezt láthatjuk a 4.2. ábrán. Az m-től való (vezető rendbeli) függetlenség okozza azt, hogy ezeknél az energiaértékeknél nagy ugrás következik be a lépcsőfüggvényben. Azonban látható, hogy csak kis m értékek esetén konstansok az energiák az m-függvényében. Az eltérés abból adódik, hogy nem vettük figyelembe a húr menti pályákat. Ezt vizsgáljuk meg a következő alfejezetben.
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 25 szupravezeto e h 4.1. ábra. Az átmérő menti periodikus pálya szemléltetése Andreev-retroreflexió esetén. A piros folytonos vonal az elektront, a kék szaggatott a lyukat jelöli. 1.8.6 Ε.4.2 1 2 3 4 m 4.2. ábra. Az egzakt energiaszintek (+) (n =...1) és a vezető rendben ((4.16) egyenlettel) számolt közelítés (folytonos vonalak) az m függvényében, η =.6 és ε F = 1 értékek esetén.
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 26 4.1.2. A húr menti pályák kvantálása A húr menti pályák kvantálásához fel kell használni a Bessel-függvények ún. Debyeközelítését. Ez [17] műben megtalálható és némi számolással az ott megadott formulák általunk használható alakra hozhatók: 2 ( m ) J m (x) π x 2 m cos x2 m 2 m arccos( π ), (4.17) 2 x 4 J m(x) 2 4 x2 m 2 ( ( m ) sin x2 m π x 2 m arccos π ), (4.18) x 4 H m (1) (x) 2 [ ( ( m ) π x 2 m exp i x2 m 2 m arccos π )], (4.19) 2 x 4 H m (1) (x) i 2 4 x2 m 2 [ ( ( m ) exp i x2 m π x 2 m arccos π )], (4.2) x 4 ha x m. Most is úgy kell eljárnunk x 1 esetében, mint az előbb, alkalmaznunk kell a (4.12) átalakítást, hogy használni tudjuk a (4.17)-(4.2) közelítéseket. Azonban a Debye-közelítés bonyolultabb volta miatt egyéb átalakításokat is kell eszközölni. A (3.37) egyenletben megjelenő m+1 indexű függvények nem hozhatók olyan könnyen kapcsolatba az m indexűekkel, mint az előbb. Azonban tudjuk, hogy Bessel-függvények között teljesül a (3.9) rekurziós összefüggés. Ha x m, akkor fennáll, hogy Z m+1 (x) Z m (x). (4.21) A közelítés jogos, mivel k i R m, i = 1, 2. Ezzel a közelítéssel elértük azt, hogy a (3.37) szekuláris egyenletben csak m-edrendű Bessel-függvények fognak szerepelni. Felhasználva a (3.37), (4.17)-(4.2) és (4.21) egyenleteket, a szekuláris egyenlet a következő alakot ölti: e iφ [cosϑ 1 i sin ϑ 1 ][cos ϑ 2 + i sin ϑ 2 ] e iφ [cos ϑ 1 + i sin ϑ 1 ][cosϑ 2 i sin ϑ 2 ] =, (4.22) ahol ϑ 1 = ( ) m x 1 2 m 2 m arccos π x 1 4, (4.23) ( ) m ϑ 2 = x 2 2 m 2 m arccos π 4. (4.24) x 2 A (4.22) egyenlet némi algebra után a következő alakra hozható: exp[i( 2φ 2ϑ 1 + 2ϑ 2 )] = 1. (4.25) Ez akkor teljesül, ha 2φ 2ϑ 1 + 2ϑ 2 = 2πn n N, (4.26)
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 27 ami az eredeti változókban: 2 arccos E + 2(S e (E) S h (E)) = 2πn, n N, (4.27) ahol (E S e (E) = + EF v F S h (E) = (E EF v F ) 2 R m 2 m arccos ) 2 R m 2 m arccos ( m E+E F v F R m ( E E F v F R ), (4.28) ), (4.29) épp az elektronhoz, illetve a lyukhoz tartozó klasszikus (4.9) radiális hatásváltozók. Ezzel megkaptuk a húr menti pályák kvantálását. Pontosan ugyanaz a folyamat játszódik le, mint az átmérő menti pályák esetében, csak a húr menti hatásváltozókat kell használni. Vegyük észre, hogy ha az m impulzusmomentum kvantumszám, akkor visszakapjuk az átmérő menti kvantálás feltételét. A (4.27) összefüggéssel már a teljes energiaspektrumra kíváló közelítést tudunk adni. Ez látható a 4.3. ábrán. A -et és a +-t egymásra helyezve -ot kapunk, ez látható a 4.3. ábrán is, mutatva, hogy a közelítés tökéletes. 1.8.6 Ε.4.2 1 2 3 4 m 4.3. ábra. Az egzakt energiaszintek (+) (n =...1) és a húrmenti pályák kvantálásából ((4.27) egyenlettel) számolt energiaértékek ( ) az m függvényében, η =.6 és ε F = 1 paraméterek esetén. 4.1.3. A lépcsőfüggvény közelítése Az előzőekben láttuk (4.3. ábra), hogy a szemiklasszikus közelítés kiváló közelítést ad az energiaspektrumra. Természetesen vetődik fel az ötlet, hogy ezt használjuk fel a
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 28 lépcsőfüggvény közelítésére is és ezáltal megkapjuk a benne fellépő szingularitások jellegét. Az egyszerűbb írásmód kedvéért vezessük be a következő jelöléseket: k F = E F v F, z = ER v F. (4.3) Ezek felhasználásával a (4.27) egyenlet a következő alakot ölti: (kf R + z) 2 m 2 ) m (k F R z) 2 m 2 m arccos( + k F R + z ( ) ( ) m E +m arccos = arccos + nπ. (4.31) k F R z Mivel z 1 (E ), ezért sorbafejthetjük az egyenletben szereplő tagokat: (kf R ± z) 2 m 2 (k F R) 2 m 2 ± ( ) ( ) m m arccos arccos ± k F R ± z k F R k F R z, (4.32) (kf R) 2 m2 1 1 m2 kf 2 R2 k 2 F m R2 z. (4.33) Ezeket a (4.31) egyenletbe visszahelyettesítve, némi rendezés után a következőt kapjuk: 2R (kf R) k F R 2 m E ( ) E 2 = nπ + arccos. (4.34) v F Adott E energia és adott n esetén (4.34) egyenlet megszabja m értékét. Jelöljük ezt az értéket m R (E, n)-nel: ( ) 2 nπ + arccos ε m η (ε, n) = k R 1, (4.35) ε 2 ahol áttértünk a dimenziótlan paraméterekre. A lépcsőfüggvény ennek segítségével a következő alakba átírható: N(ε) = + + n= m= + = 2 ε F 1 η n= Θ(ε ε n,m ) = + n= ( nπ + arccosε 1 ε m (ε, n)θ(ε ε n ) = η 2 ) 2 Θ(ε ε n ), (4.36) ahol ε n a (4.16) egyenlet megoldása adott n mellett és ε-t, η-t a (3.24) és (3.25) egyenletben definiáltuk. A 2-es faktor az m szerinti degenerációt veszi figyelembe, ugyanis a m és a m indexekhez ugyanazok a sajátértékek tartoznak. Az egzakt és a (4.36) egyenlet által megadott lépcsőfüggvényt ábrázoltuk a 4.4. ábrán. Jól látható, hogy a szemiklasszikus lépcsőfüggvény kiválóan közelíti az egzaktot.
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 29 NΕ 3 25 2 15 1 5 NΕ 6 4 2 2..2.4.6.8 1. (a) Az egzakt és a szemiklasszikus lépcsőfüggvény. Ε 4..2.4.6.8 1. (b) Az egzakt és a szemiklasszikus lépcsőfüggvény különbsége. 4.4. ábra. Az egzakt lépcsőfüggvény (folytonos) és a szemiklasszikus közelítésből meghatározott (4.36) lépcsőfüggvény (szaggatott) ((a) ábra), a dimenziótlanított energia függvényében, η =.6 és ε F = 1 értékek esetén. A (b) ábrán az egzakt és a szemiklasszikus lépcsőfüggvény különbségét ábrázoltuk. 4.2. Az E F, E tartomány vizsgálata A következőkben megvizsgáljuk, hogy a spekuláris reflexió esetében hogyan módosul az energiaspektrum és a lépcsőfüggvény. Ebben az esetben is levezetünk egy szemiklasszikus kvantálási feltételt, mellyel jól tudjuk közelíteni az energiaspektrumot. Az előbb követett eljárást fogjuk itt is alkalmazni, lecseréljük a Bessel-függvényeket a nagy argumentumra vonatkozó (4.1)-(4.11) illetve (4.17)-(4.2) közelítésükkel. 4.2.1. Az átmérő menti pályák kvantálása A (3.37) egyenletben szereplő Bessel-függvényeket lecseréljük a vezető rendű (4.1)- (4.11) közelítésükkel. Mivel E F ezért a J m (x) argumentuma pozitív, így módosítás nélkül alkalmazhatjuk a közelítéseket. Némi algebra után a következő egyenlethez jutunk: exp[i( 2φ + 2θ 1 + 2θ 2 )] = 1, (4.37) Ε ahol (4.37) pontosan akkor teljesül, ha θ 1 = x 1 mπ 2 π 4, (4.38) θ 2 = x 2 mπ 2 π 4. (4.39) 2φ + 2θ 1 + 2θ 2 = 2πn n N, (4.4)
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 3 az eredeti változókra visszatérve, felhasználva a (3.35) definíciókat: 2 arccos E + E E F v F 2R + E + E F v F 2R = ( m + n + 1 2 ) 2π (4.41) Vegyük észre, hogy ebben az esetben nem esett ki az m kvantumszám az egyenletből. Azaz a gyökök vezető rendben lineárisan indulnak m függvényében. Itt azonban meg kell jegyeznünk, hogy a vezető rendű közelítés csak a körüli m értékek esetén ad jó közelítést. Az átmérő menti pályák kvantálási feltételét az m = helyettesítéssel kapjuk a (4.41) egyenletből. 4.2.2. A húr menti pályák kvantálása Az előzőekhez hasonlóan itt is lecseréljük a Bessel-függvényeket a (4.17)-(4.2) közelítések alkalmazásával. Mivel x 1 pozitív, ezért nem kell a (4.12) összefüggést alkalmaznunk. Ugyanakkor az m+1 indexű Bessel-függvényeket átalakítjuk m indexű Bessel-függvényekre a (3.9), illetve a (4.21) formulákat alkalmazva. Ezáltal a Bessel-függvények argumentumaiban ugyanazok a kifejezések szerepelnek. Némi számolás után a következő kifejezést kapjuk: exp[i( 2φ + 2ϑ 1 + 2ϑ 2 )] = 1, (4.42) ahol ( ) m ϑ 1 = x 2 1 m2 m arccos π x 1 4, (4.43) ( ) m ϑ 2 = x 2 2 m2 m arccos π 4. (4.44) x 2 (4.42) egyenletből azonnal adódik a kvantálási feltétel: ami eredeti változókban: 2φ + 2ϑ 1 + 2ϑ 2 = 2πn n N, (4.45) 2 arccos E + 2(S e (E) + S h (E)) = 2π ( n + 1 ), n N, (4.46) 2 ahol ismét megjelentek az elektronhoz (4.28), illetve a lyukhoz (4.29) egyenlettel adott radiális hatásváltozók. A (4.46) radiális kvantálási feltételben szereplő tagoknak ismét szemléletes jelentést adhatunk. Az egyenlet első tagja az elektron és a lyuk Andreev-reflexiója során kapott fázisából adódik. A második tag kétszer az elektron és a lyuk radiális hatásváltozójának az összege. Andreev-retroreflexió esetén (4.27) egyenletben a két hatás különbsége jelent meg. Ezt úgy érthetjük meg mint említettük, hogy Andreev-retroreflexió esetén a lyuk csoportsebessége és impulzusa ellentétes irányú, míg spekuláris Andreev-reflexió esetén egyirányúak. A (4.46) egyenlet jobb oldalán fellépő 1/2 onnan származik, hogy a
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 31 radiális kvantálás során az elektron és a lyuk pályája is klasszikus fordulópontba ütközik, mely eredményül épp ezt a fázistolást adja [16]. A (4.46) közelítésből számolt energiaspektrumot láthatjuk a 4.5. ábrán, ami igen jó egyezésben van az egzakttal. A (4.46) kvantálási feltételt szemlélteti a 4.6. ábra. Az elektronok és lyukak körbeszaladnak a kör mentén, ne feledjük, hogy a (4.46) kvantálási feltétel a fázistérben záródó trajektóriára vonatkozik, ami nem feltétlenül záródik a valós térben. Ε Ε 1..8.6.4.2. 5 1 15 2.7.65.6.55.5 5 6 7 8 9 1 m 4.5. ábra. Az egzakt energiaszintek (+) (n =...63) és a húrmenti pályák kvantálásából számolt enrgiaértékek ( ) láthatók az m függvényében a felső ábrán, η =.1 és ε F = esetben. Az alsó ábrán a felső spektrum bekeretezett részét nagyítottuk ki. m
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 32 szupravezeto szupravezeto h e (a) A húr menti spekuláris Andreev-reflexió. (b) A spekuláris Andreev-reflexió esetében létrejövő trajektóriák. 4.6. ábra. A spekuláris Andreev-reflexió szemléltetése. A piros folytonos vonal az elektront, a kék szaggatott a lyukat jelöli. 4.2.3. A lépcsőfüggvény közelítése Az Andreev-retroreflexió esetén láttuk, hogy a kvantálási feltétel sorbefejtésével jutottunk célhoz a lépcsőfüggvény meghatározásakor. Most is hasonlóan járunk el. A (4.46) egyenletben a következő sorfejtéseket végezzük, mivel jó közelítéssel x i m, ahol i = 1, 2: x 2i m2 x i m2, i = 1, 2, (4.47) 2x ( ) i m arccos π 2 m, i = 1, 2. (4.48) x i Némi algebra után a következő egyenlethez jutunk: ( 1 arccos ε + x 1 + x 2 + m 2 + 1 ) = 2x 1 2x 2 x i ( n + m + 1 ) π. (4.49) 2 Jelöljük (4.49) egyenlet megoldását adott ε és n mellett m S (ε, n)-nel! Ennek felhasználásával a lépcsőfüggvény a következő alakot ölti: N(ε) = + + n= m= Θ(ε ε n,m ) = + n= m S(ε, n)θ(ε ε n), (4.5)
FEJEZET 4. AZ ENERGIASPEKTRUM ÉS SZEMIKLASSZIKUS VIZSGÁLATA 33 ahol m S (ε, n) = π(ε2 F ǫ2 ) + (ε 2 F ε2 )(ε 2 F π2 ε((π 2 8)ε + 4πη(n + 1)) + 4εη arcsin ε). 2εη (4.51) A (4.5) kifejezésből adódó és az egzakt lépcsőfüggvény látható a 4.7. ábrán. 5 4 NΕ 3 2 1..2.4.6.8 1. 4.7. ábra. Az egzakt (folytonos) és a szemiklasszikus (4.5) lépcsőfüggvény, ε F = E F =, és η = ξ =.1 értékek esetén. R Ebben az alfejezetben levezettük az spekuláris Andreev-reflexió esetére vonatkozó kvantálási feltételeket és ezek segítségével megadtuk a lépcsőfüggvényt is. A szemiklasszikus közelítésből számolt energiaértékek jó egyezésben vannak az egzakt energiaértékekkel. Ε
Konklúzió, kitekintés A dolgozatban a szupravezető síkba helyezett grafén körlap rendszert vizsgáltunk meg egzakt kvantummechanikai és szemiklasszikus leírással. Fő szempontunk az energiasajátértékekből származtatható állapotsűrűség meghatározása volt, mivel ez az egyik kísérletileg legfontosabb mennyiség. Láttuk, hogy a rendszer a Dirac-Bogoliubov de Gennes egyenlettel írható le. Az egyenlet ötvözi a szupravezetés- és grafénbeli effektusokat. Ez eredményezi azt, hogy grafénben létrejöhet a spekuláris Andreev-reflexió, a normál-szupravezető hibrid rendszerekben megismert Andreev-retroreflexió mellett. Ezek után meghatároztuk grafénben és szupravezetőben a sajátállapotokat, majd a határon való illesztésükből adódott az energiasajátértékeket meghatározó egyenlet. A lépcsőfüggvény igen eltérő viselkedést mutat a Fermi-energiától függően. Abban az esetben, amikor nagy a Fermi-energia a szupravezető gapjéhez és a (Fermi-energiához viszonyított) sajátenergiához képest, akkor gyökös szingularitásokat találtunk az állapotsűrűségben. Míg a Fermi-energia jóval kisebb az említett mennyiségekhez képest, akkor az állapotsűrűségben nem lesznek szingularitások. Ahhoz, hogy megértsük a lépcsőfüggvény viselkedését, a szemiklasszikus módszerek adnak segítséget. Tudjuk, hogy az általunk vizsgált rendszer integrálható, ennek következtében a rendszer kvantált energiaszintjeit megkaphatjuk a periodikus pályáira vonatkozó Bohr-Sommerfeld-féle kvantálási feltétellel. Külön-külön kezeltük az átmérő és a húr menti pályák kvantálását. A kvantálást úgy végeztük el, hogy lecseréltük a determinánsban szereplő Bessel-függvényeket a szemiklasszikus közelítésükre. Kimutattuk, hogy Andreevretroreflexió esetén ugyanahhoz a kvantálási feltételhez jutunk, mint normál-szupravezető rendszerek esetén. A szemiklasszikus közelítéssel nagy pontossággal le tudtuk írni az energiaspektrumot és a gyökös jellegű lépcsőfüggvényt is. A spekuláris Andreev-reflexió esetére kapott kvantálási feltétel is igen jó közelítést ad az energiaspektrumra és a lépcsőfüggvényre is. Legjobb tudomásunk szerint ez a kvantálási formula nem ismert még az irodalomban. A közeljövőben a fenti eredményeket a Physical Review folyóiratok valamelyikében szeretnénk publikálni. Természetesen vetődhet fel a kérdés: mit mondhatunk általános geometria (nemintegrálható rendszerek) esetén? Ugyanez a kérdés vetődött fel a múlt század végén, a normálszupravezető rendszerekkel és kvantumbiliárdokkal kapcsolatban, amelynek azóta hatalmas irodalma van [1]. Ezen rendszerek energiaspektrumát sikeresen meghatározták a véletlen mátrix elmélet segítségével [1]. A kutatás eredményeként kiderült, hogy egy rendszer klasszikusan kaotikus jellege, a hullámfüggvény (abszolútérték négyzetének) szabálytalan 34
KONKLÚZIÓ ÉS KITEKINTÉS 35 viselkedésében, az energiaszintekből megkapható szinttávolság statisztikában és az energiaszintek taszításában jelentkezik. Ugyanakkor megmutatható, hogy ha egy klasszikusan kaotikus biliárdot szupravezetővel veszünk körül, akkor az integrálhatóvá válik az Andreevretroreflexió speciális jellege miatt. Ezen kérdés eldöntésére csak egy nemintegrálható rendszeren végzett analízis után lehet választ adni. Ilyet kapunk például ha egy grafénból készült stadion-alakú biliárdot (ami klasszikusan kaotikus) körülveszünk szupravezetővel. A jövőben ilyen kaotikus grafén rendszereket szeretnénk tanulmányozni.